Chap 7a Aplikasi Distribusi Fermi Dirac (part-1)
Teori Bintang Katai Putih • Apakah bintang Katai Putih – Bintang yg warnanya pudar/pucat krn hanya memancarkan sedikit cahaya krn supply hidrogennya sudah tinggal sedikit berubah menjadi helium. • Tipikal data bintang katai putih – Isi : sebagian besar helium – Kerapatan massa 107 gr/cm3 (107 0) – Massa : 1033 gr ( 1 MO) – Suhu pusat : 107 K (=T0 )
Teori Bintang Katai Putih • Jadi bintang katai putih : suhu tinggi dengan tekanan tinggi. Sehingga atom-atom sudah terionisasi. Sehingga bintang bisa dianggap terdiri dari inti helium dan elektron. • Jadi dianggap sebagai gas elektron yg bersifat seperti gas Fermi ideal dengan kerapatan sekitar 1030 elektron/cm3 yang setara dengan energi Fermi : • 𝜖𝐹 =
ℏ2 1 2𝑚 23 𝑣
= 20 𝑀𝑒𝑉
• Dengan temperature Fermi setara TF = 1011K. • Karena ternyata TF >>> T bintang, maka praktis bintang katai putih bisa dianggap sebagai gas Fermion degenerate dekat ground state.
Model • Model Bintang Katai Putih: – Sistem N gas elektron dalam kondisi ground state dengan kerapatan bahwa elektron diperlakukan secara relativistik. – Gas Elektron bergerak dengan latar belakang inti helium sejumlah N/2 yg diam yg memberikan daya tarik gravitasi. – Ada tiga efek : prinsip Pauli, dinamika relativistik, hukum gravitasi.
Energi Elektron • Elektron dengan spin = ½ dengan momentum p. Elektron memiliki energi : 𝜖𝒑,𝑠 = 𝑝𝑐 2 + 𝑚𝑒 𝑐 2 2 Dengan me : massa elektron. • Energi ground state dari gas Fermi:
𝐸0 = 2
𝑝𝑐
2
+ 𝑚𝑒 𝑐 2
2
𝒑 <𝑝𝐹
2𝑉 = 3 ℎ
𝑝𝐹
𝑑𝑝 4𝜋𝑝2 0
𝑝𝑐
2
+ 𝑚𝑒 𝑐 2
2
Energi Elektron Dengan momentum Fermi pF didefinisikan sbg (untuk elektron ): 𝑉 4 3 2∗ 3 𝜋𝑝𝐹 = 𝑁 → 𝑝𝐹 = ℏ ℎ 3 Dengan substitusi 𝑥 =
𝑝 , 𝑚𝑒 𝑐
1/3 2 3𝜋
maka integral dalam E0 dapat
dituliskan sbg:
𝐸0 𝑚𝑒4 𝑐 5 = 2 2 𝑣𝑓 𝑥𝐹 𝑁 𝜋 ℏ Dengan
𝑣
𝑥𝐹
𝑑𝑥 𝑥 2 1 + 𝑥 2
𝑓 𝑥𝐹 = 0
Energi Elektron 1 2
Untuk x<<1 maka : 𝑥 2 1 + 𝑥 2 = 𝑥 2 1 + 𝑥 2 +
1 2
1 −1 2
2
𝑥4 +
Zero Point Pressure Dengan aproksimasi tsb maka: 1 3 3 2 𝑥𝐹 (1 + 𝑥𝐹 + ⋯ . ) 3 10 𝑓 𝑥𝐹 = 1 4 1 𝑥𝐹 (1 + 2 + ⋯ . ) 4 𝑥𝐹 Dengan 𝑥𝐹 =
𝑝𝐹 𝑚𝑒 𝑐
=
ℏ 3𝜋2 𝑚𝑒 𝑐 𝑣
𝑥𝐹 ≪ 1 𝑥𝐹 ≫ 1
1/3
Tekanan zero point yang ditimbukan gas Fermi diberikan oleh:
𝑃0 = 𝑃0 =
𝜕𝐸 − 0 𝜕𝑉
𝑚𝑒4 𝑐 5 1 3 𝑥 𝜋 2 ℏ3 3 𝐹
=
𝑚𝑒4 𝑐 5 𝜋 2 ℏ3
−𝑓 𝑥𝐹 − 𝑉
1 + 𝑥𝐹2 − 𝑓 𝑥𝐹
𝜕𝑓 𝑥𝐹 𝜕𝑥𝐹 𝜕x𝐹 𝜕𝑉
Zero Point Pressure Untuk kasus non relativistik (xF<<1) 𝑃0 ≈
𝑚𝑒4 𝑐 5 1 3 𝑥 𝜋 2 ℏ3 3 𝐹
1+
𝑥𝐹2
1 3 − 𝑥𝐹 (1 3
3 2 + 𝑥𝐹 10
𝑚𝑒4 𝑐 5 1 3 1 2 1 3 3 2 𝑃0 ≈ 2 3 𝑥𝐹 (1 + 𝑥𝐹 ) − 𝑥𝐹 (1 + 𝑥𝐹 𝜋 ℏ 3 2 3 10 𝑚𝑒4 𝑐 5 5 𝑃0 ≈ 𝑥𝐹 2 3 15𝜋 ℏ Untuk kasus relativistik ekstreem (xF>>1): 𝑚𝑒4 𝑐 5 1 3 1 4 1 2 𝑃0 ≈ 2 3 𝑥𝐹 1 + 𝑥𝐹 − 𝑥𝐹 (1 + 2 ) 𝜋 ℏ 3 4 𝑥𝐹
Zero Point Pressure 𝑚𝑒4 𝑐 5 1 4 1 2 1 4 1 2 𝑚𝑒4 𝑐 5 4 2 𝑃0 ≈ 2 3 𝑥𝐹 + 𝑥𝐹 − 𝑥𝐹 − 𝑥𝐹 = 𝑥 − 𝑥 𝐹 𝜋 ℏ 3 6 4 4 12𝜋 2 ℏ3 𝐹 • Jika massa total bintang M dan jari-jarinya R, maka: • 𝑀 = 𝑚𝑒 + 2𝑚𝑝 𝑁 ≈ 2𝑚𝑝 𝑁 • 𝑅=
3𝑉 1/3 4𝜋
• Dengan mp:massa proton. Memakai besaran ini maka : 𝑣=
𝑉 𝑁
=
4 𝜋𝑅3 3
𝑁
=
8𝜋𝑚𝑝 𝑅3 3𝑀
Zero Point Pressure Dan : 𝑥𝐹 =
ℏ 1 9𝜋 𝑀 𝑚𝑒 𝑐 𝑅 8 𝑚𝑝
1/3
1/3
≡
𝑀 𝑅
Dengan definisi 𝑀=
9𝜋 𝑀 8 𝑚𝑝
dan 𝑅 =
𝑅 𝑚𝑒 𝑐
Zero Point Pressure • Memakai definisi 𝑀 dan 𝑅 tsb, dan • 𝐾=
𝑚𝑒 𝑐 2 12𝜋2
𝑚𝑒 𝑐 3 , ℏ
maka:
5/3
𝑃0 ≈
4 𝑀 𝐾 5 5 𝑅 𝑀
𝑃0 ≈ 𝐾(
(kasus non relativistik)
4/3
𝑅
4
relativistik)
−
𝑀
2/3
𝑅
2
) (kasus extrem
Kesetimbangan Bintang Katai Putih • Kesetimbangan bisa dihitung sbb: – Andai tak ada gravitasi, maka perlu tekanan dari luar untuk melawan tekanan gas fermi. Besar usaha untuk memampatkan gas tsb dari R= hingga jari-jari tertentu R: 𝑅
𝑃0 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟
𝑊=− ∞
– Jika sekarang gravitasi ada, maka akan ada gaya tarik antar massa di dalam bintang tsb, kita hitung usaha untuk membentuk bintang tsb oleh gaya gravitasi (gravitational self-energy ), berdasarkan analisa dimensionalitas bentuknya :
Kesetimbangan Bintang Katai Putih 𝛼𝛾𝑀2 𝑊𝑔 = − 𝑅 Dengan konstanta pembanding (sekitar 1) dan tetapan gravitasi umum. Perlu info ttg distribusi massa bintang untuk menghitung . • Pada jari-jari kesetimbangan mestilah usaha oleh gaya luar tsb = - usaha oleh gaya gravitasi 0 2 𝛼𝛾𝑀 𝑃0 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 = − 𝑅 ∞
Syarat Kesetimbangan Ambil turunan thd R pers. Di atas, maka syarat kesetimbangan: P0 =
𝛼𝛾𝑀2 4𝜋𝑅4
=
2 𝛼𝛾 8𝑚𝑝 2 𝑚𝑒 𝑐 4 𝑀 4 4𝜋 9𝜋 ℏ 𝑅
(*)
Sebenarnya persamaan ini mendefinisikan konstanta !
Hubungan M dan R, akan diperoleh untuk 3 kasus : a. Misal suhu elektron jauh lebih tinggi dari suhu Fermi, sehingga distribusi Fermi-Dirac gas Boltzmann , sehingga: 𝑘𝑇 3𝑘𝑇 𝑀 𝑃0 = = 𝑣 8𝜋𝑚𝑝 𝑅3
Hubungan M-R • Substitusi ke (*) diperoleh: 𝑚𝑝 𝛾 2 𝑅 = 𝛼𝑀 3 𝑘𝑇 Jadi R sebanding dengan M. Hubungan ini tak pernah dijumpai untuk bintang katai putih. b. Misal bintang katai putih memiliki kerapatan (1/v) yang rendah dan bersifat non relativistik (xF<<1), menggunakan P0 untuk kasus ini diperoleh: 5/3
2
4 𝑀 𝑀 ′ 𝐾 5 =𝐾 4 5 𝑅 𝑅
Hubungan M-R Dengan 𝛼𝛾 8𝑚𝑝 ′ 𝐾 = 4𝜋 9𝜋 Sehingga diperoleh persamaan: 𝑀
5/3
𝑅
2
𝑚𝑒 𝑐 ℏ
4
4𝐾 = 5 𝐾′
Artinya : jika massa bintang besar maka jari-jarinya kecil. Cocok dengan aproksimasi yg adalah density rendah, ketika R besar dan M kecil.
Hubungan M-R • C. Misal gas elektron memiliki kerapatan besar sehingga efek relativistik penting (xF>>1), maka dengan P0 yg sesuai didapatkan: • 𝐾
4 𝑀3
𝑅
4
−
2 𝑀3
𝑅
2
= 𝐾′
𝑀 𝑅
2
4
atau 𝑅 = 𝑀
2/3
1 − 𝑀/𝑀0
2/3
• Dengan • 𝑀0 =
𝐾 3/2 𝐾′
=
27𝜋 3/2 64𝛼
ℏ𝑐 2 𝛾𝑚𝑝
3/2
𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑀0 ≈
1033 𝑔𝑟 =massa matahari • Aproksimasi ini valid untuk kerapatan tinggi, atau R0. Jadi ketika massa mendekati massa matahari.
Limit Chandrasekhar • Berarti : tidak ada bintang katai putih yg massanya lebih besar dari matahari (kalau tidak jari-jarinya akan imajiner)!. Secara fisis hal ini dijelaskan karena kalau massa terlalu besar maka tekanan (tolak-menolak) karena prinsip Pauli tidak akan cukup melawan oleh keruntuhan bintang karena gaya gravitasinya.
Note: Perhitungan yg lebih akurat memberikan estimate thd M’0 = 1,4 M0 yg dikenal dengan nama limit Chandrasekhar. Jadi tak akan ada bintang yg bisa jadi bintang katai putih kalau massanya lebih dari massa Chandrasekhar.
Diamagnetism Landau • Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehingga terjadi tolak-menolak. • Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism dari kuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruh medan magnet • Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: 𝜒 ≡ 𝜕𝑀/𝜕𝐻 • Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan 1 medan magnet H: 𝑀 ≡ < −𝜕𝐻0 /𝜕𝐻 > 𝑉
Diamagnetism Landau • Diamagnetism : gejala terinduksinya suatu bahan oleh medan magnet luar, dan menghasilkan medan magnet induksi yang berlawanan dengan medan magnet luar penginduksi sehingga terjadi tolak-menolak. • Landau mendemonstrasikan sumber diagmagnetism dari kuantisasi orbit partikel bermuatan di bawah pengaruh medan magnet • Susceptibilitas magnetik per volum didefinisiknan sbg: 𝜒 ≡ 𝜕𝑀/𝜕𝐻 • Dengan M: momen dipol magnet/volume yg searah dengan 1 medan magnet H: 𝑀 ≡ < −𝜕𝐻0 /𝜕𝐻 > 𝑉
Diamagnetism Landau • Dengan H0: hamiltonian sistem dengan adanya medan magnet luar H. 𝜕 ln 𝑄𝑁 /𝑉 dan 𝜕𝐻 𝜕 ln 𝜁 𝑘𝑇 𝜕𝐻 𝑉 𝑇,𝑉,𝑧
• Untuk Ensembel Kanonik: 𝑀 = 𝑘𝑇 • Ensembel Grand Kanonik 𝑀 =
• Jika 𝜒 < 0 maka sistem bersifat diagmagnetik dan jika 𝜒 > 0 bersifat paramagnetik
Model Diamagnetism • Sumber sifat magnetik bahan : • (a) elektron (bebas/terikat) yg bergerak di orbit yg terkuantisasi di bawah medan magnet luar. Hal ini terkait dengan diagmagnetism • (b) spin elektron yg cenderung paralel dengan medan magnet luar. Hal ini terkait dengan paramagnetism. • Model diagmagnetism : gas elektron bebas (spinless) di bawah pengaruh medan magnet luar. Elektron non relativistik.
Model Diamagnetism Hamiltonian diberikan oleh: • 𝐻0 =
1 2𝑚
𝒑𝟐 +
𝟐 𝑒 𝑨 𝑐
• Dengan p momentum dan A: vektor potensial magnetik . Konstanta e: besar muatan elektron (+). Sedangkan 𝑯 = 𝛻 × 𝑨 • Pers. Schrodinger sistem ini : 𝐻0 𝜓 = 𝐸𝜓 • Asumsi : medan magnet luar : 𝑯 = 𝒛𝐻, dengan H: konstan (uniform external field), dengan ini maka : 𝑨 = −𝐻𝑦 𝒙 kita pilih Ay=Az=0.
Hamiltonian Sistem • Substitusikan ke pers. Schrodinger akan menghasilkan: 1 𝑒𝐻 2 2 2 2 2 ℏ 𝑘𝑥 + ℏ 𝑘𝑧 + 𝑝𝑦 + 𝑦 2𝑚 𝑐
2
2𝑒𝐻 − ℏ𝑘𝑥 𝑦 𝜓 = 𝐸𝜓 𝑐
ℏ2 2 1 2 1 𝑒𝐻 2 𝑘𝑥 + 𝑘𝑧 + 𝑝𝑦 + 𝑦 2𝑚 2𝑚 2𝑚 𝑐 = 𝐸𝜓
2
− ℏ𝑘𝑥
𝑒𝐻 𝑦 𝑚𝑐
𝜓
Pers. Schrodinger System 𝑒𝐻
Pakai definisi frekuensi cyclotron :𝜔0 ≡ , maka: 𝑚𝑐 ℏ2 2 1 2 1 2 𝑘𝑥 + 𝑘𝑧 + 𝑝𝑦 + 𝑚𝜔02 𝑦 2 − 𝜔0 ℏ𝑘𝑥 𝑦 𝜓 = 𝐸𝜓 2𝑚 2𝑚 2 Selanjutnya kuantitas dalam [..] dapat dituliskan sbg: [..]
1 = p2y 2m
+
1 𝑚𝜔02 2
𝑦 − 𝑦0
2
−
ℏ2 𝑘𝑥2 2𝑚
dengan 𝑦0 ≡
Sehingga persamaan Schrodinger menjadi: 1 2 1 𝑝𝑦 + 𝑚𝜔02 𝑦 − 𝑦0 2 𝑓 𝑦 = 𝐸 ′ 𝑓(𝑦) 2𝑚 2 Dengan
E′
=E−
ℏ2 𝑘𝑧2 2𝑚
ℏ𝑐 𝑘 𝑒𝐻 𝑥
Energi eigen sistem Arti: 1 2 1 𝑝𝑦 + 𝑚𝜔02 𝑦 − 𝑦0 2 2𝑚 2 Suku : Energi kinetik + potensial dari osilator harmonis dengan pusat osilasi di y0 dengan frekuensi ω0. Oleh karena itu energi eigen sistem osilator ini adalah: Energi kinetik dari 1 ℏ𝜔0 𝑛 + , 𝑛 = 0,1,2, … gerak sejajar medan 2 luar (z) Dan energi eigen sistem keseluruhan adalah: 2𝑘2 2 ℏ 1 𝑝 1 𝑧 𝑧 ′ 𝐸 =𝐸− = ℏ𝜔0 𝑛 + 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐸(𝑝𝑧 , 𝑛) = + ℏ𝜔0 𝑛 + 2𝑚 2 2𝑚 2 E’ : kontribusi energi dari komponen gerak arah XY = ℏ𝜔0 (n+1/2 ). Ingat 𝜔0 ≡
𝑒𝐻 𝑚𝑐
Energi krn gerak di bidang tegak lurus medan luar (XY)
Analisa Energi & Level Landau • Jika H=0, maka eigenstates hanyalah gerak di bidang XY saja, dengan spektrum energi diberikan oleh :
•
𝐸′
=
ℏ2 𝑘𝑥2 2𝑚
+
2 ℏ2 𝑘𝑦
2𝑚
• Tapi sejalan dengan L (ukuran sistem) , maka praktis spektrum energi ini kontinu. • Jika H0, maka spektrum energi yg kontinu akan pecah menjadi satu set tingkat energi diskrit yg degenerate yg dilabeli bilangan kuantum n, dengan energi E’ = ℏ𝜔0 𝑛 +
1 2
Analisa Energi & Level Landau • Untuk tiap nilai n tertentu, ada banyak status degenerate yg dilabeli kx. Set yg dilabeli satu nilai n disebut level Landau. 𝑒ℏ 𝐻. 𝑚𝑐
• Jarak antara 2 Level Landau adalah ℏ𝜔0 = Jelas semakin besar medan luar, semakin besar juga jarak ini. • Misal elektron ini berada dalam kotak LxLxL. Dengan syarat batas periodik, maka nilai-nilai kx yg diijinkan adalah • 𝑘𝑥 =
2𝜋𝑛𝑥 , 𝐿
dengan nx=0, 1, 2,…
Degenerasi Level Landau • Tetapi ada batasan nx sebab y0 mestilah: 0y0 L, sehingga nx mestilah positif. • 𝑦0 =
ℏ𝑐 𝑘 𝑒𝐻 𝑥
=
ℎ𝑐 𝑛𝑥 𝑒𝐻 𝐿
• Berarti nx max :
𝑛𝑥,𝑚𝑎𝑥 =
𝑒𝐻 2 𝐿 ℎ𝑐
≡𝑔
g: degenerasi tiap level Landau!
Susceptibility Magnetik • Fungsi partisi Grand Kanonik: (1 + 𝑧𝑒 −𝛽𝜖𝑚 )
𝜁= 𝑚
• Dengan m =(pz,n,) dengan =1,2,..,g. 𝑔
∞
ln(1 + 𝑧𝑒 −𝛽𝜖𝑝𝑧,𝑛,𝛼 )
ln 𝜁 = 𝛼=1 𝑛=0 𝑝𝑧
mengingat 𝑝𝑧 = ℏ𝑘𝑧 = 𝐿 2 ∫ 𝑑𝑝: ℎ
ℎ 2𝜋 𝑛 2𝜋 𝐿 𝑧
=
ℎ 𝑛 , 𝐿 𝑧
banyak momentum pz :−∞, … , ∞
sehingga Σ𝑝𝑧 →
Susceptibility Magnetik Sehingga: 2𝑔𝐿 ln 𝜁 ≈ ℎ
∞
𝑑𝑝 ln(1 + 𝑧𝑒 −𝛽𝜖
𝑝,𝑛
)
𝑛=0 0
Jumlah rata-rata elektron: 2𝑔𝐿 N≈ ℎ
∞
𝑑𝑝 𝑛=0 0
1 𝑧 −1 𝑒𝛽𝜖 + 1
Pada daerah klasik, yaitu T>>. Pada limit ini z 0 agar N tetap berhingga. Sehingga persamaan di ln di ekspansi dan diambil order-1: ln 1 + 𝑧𝑒 −𝛽𝜖 ≈ 𝑧𝑒 −𝛽𝜖
Susceptibility Magnetik Sehingga: 2𝑔𝐿𝑧 ln 𝜁 ≈ ℎ
∞
𝑑𝑝𝑧𝑒 −𝛽𝜖 𝑛=0 0
2𝑔𝐿𝑧 = ℎ
∞
𝑝2 1 −𝛽(2𝑚+ℏ𝜔0 𝑛+2 ) 𝑑𝑝𝑧𝑒
𝑛=0 0 ∞ 1 𝑝2 2𝑔𝐿𝑧 −𝛽ℏ𝜔0 𝑛+2 ln 𝜁 ≈ 𝑒 𝑑𝑝𝑧𝑒 −𝛽(2𝑚) ℎ 0 𝑛=0 ∞ 1 2𝑔𝐿𝑧 2𝜋mkT −𝛽ℏ𝜔0 𝑛+ 2 ≈ 𝑒
ℎ
2
𝑛=0 𝛽ℏ𝜔0 − 𝑒 2
𝑔𝐿𝑧 𝑔𝐿𝑧 𝑒 −𝑥 ln 𝜁 ≈ = −𝛽ℏ𝜔 0 𝜆 1−𝑒 𝜆 1 − 𝑒 −2𝑥
Aproksimasi suhu Tinggi ℎ
Dengan 𝜆 = 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 2𝜋mkt −𝑥 𝑒 1 = 𝑥 −2𝑥 1−𝑒 𝑒 − 𝑒 −𝑥 ≈
𝛽ℏ𝜔0 , 2
aproksimasi untuk x kecil:
1
𝑥2 𝑥3 𝑥2 𝑥3 1 + 𝑥 + + + ⋯ − (1 − 𝑥 + − + ⋯ ) 2 6 2 6 −1 1 1 1 2 1 1 2 ≈ ≈ 1 + 𝑥 +. . ≈ (1 − 𝑥 + ⋯ ) 1 6 2𝑥 6 2𝑥 + 𝑥 3 + ⋯ . 2𝑥 3 Sehingga 2 𝑔𝐿𝑧 1 1 2 𝑔𝐿𝑧 𝑘𝑇 1 ℏ𝜔0 ln 𝜁 ≈ 1− 𝑥 = 1− 𝜆 2𝑥 6 𝜆 ℏ𝜔0 24 𝑘𝑇
Susceptibilitas Magnetik Dengan mengingat definisi 𝑔 = 𝑔𝐿ℎ 𝑚𝜔0
𝑒𝐻 2 𝐿 ℎ𝑐
dan 𝜔0 =
𝑒𝐻 , 𝑚𝑐
maka faktor
= 𝑉 dengan V=L3. Sehingga : 𝑧𝑉 1 ℏ𝜔0 ln 𝜁 ≈ 3 1 − 𝜆 24 𝑘𝑇
2
Sekarang kita bisa menghitung susceptibilitas magnetik : 𝜕 𝜕 ln 𝜁 𝜒= 𝑀 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑀 = 𝑘𝑇 𝜕𝐻 𝜕𝐻 𝑉 Maka akan diperoleh : 2 𝑧 eℏ 𝜒=− 3𝑘𝑇𝜆3 2𝑚𝑐
Susceptibilitas Magnetik • Jelas 𝜒 <0 faktor dalam (..) tak lain adalah Bohr Magneton. Variabel z dapat dieliminasi dengan bantuan N dengan mempertahankan hingga order satu dalam z. • Hasil akhirnya dapat diperoleh: 1 𝑒ℏ 𝜒=− 3𝑘𝑇𝑣 2𝑚𝑐
2
Hasil ini sesuai dengan hukum Curie yang terkenal bahwa 𝜒
1 ~ 𝑇
