Minutos por unidad Tiempo disponible min/sem 6000 10000 4000 7000 4000
Producto Máquina
1
2
3
A, A2 B, B2
10 9 8
B3
5 7 6 4 7
-
-
Costo materiales
$250
$350
$500
Precio de venta
$1250
$2000
$2800
Demanda
800
600
550
-
12 -
11
-
Costo/sem a plena capacidad $300000 $321000 $250000 $770000 $200000
Se desea saber qué cantidades de los productos 1, 2 y 3 deben ser procesadas en cada máquina para que la utilidad obtenida sea máxima. VARIABLES REALES: • ->t
«. •
Producto
Costo por minuto
Máquina
1
2
3
A,
X,
Y,
-
A2
x2
Y2
u
B,
X3
Y, + Y2
B2
X4
-
u
B3
X5
-
-
$50 $32,10 $62,50 $110 $50
Modelo (primal): MAX Z =
1250(X, + X2) + 2000 (Y, + Y2) + 2800 U - 250 (X, + X2) - 350 (Y, + Y2) - 500 U - 50 (5 X, +10 Y,) - 32,10 ( 7 X , + 9 Y , + 12 U) - 62,50 [ 6X3 + 8 (Y, + Y,)] - .110 (4 X4 + 11 U ) - 50 (7 X s )
Sujeta a:
124
1. X 1. ' + X ,2 - X 3 - X 4 - X,5.
=
0
2. 5 X, + 10 Y,
<
6000
/
3. 7 X2 + 9 Y, + 12 U
<
10000
4. 6 X 3 + 8 ( Y , + Y 2 )
<
4000
5. 4 X 4+ 11 U
<
7000
6. 7X 5
<
4000
7. X, + X2
<
800
8. Y , + Y 2
<
600
9. U
<
550
>
0
X,, x2, x3, x4,
x5, Y,, Y,, U
• Una fábrica de conservas vegetales está considerando la planificación de la próxima campaña del melón. Las previsiones sobre la cosecha son optimistas y los expertos calculan que se dispondrá de unas 100 toneladas de fruta, el 30% será de la mejor calidad, llamada técnicamente calidad A y el resto será de calidad B. La calidad de un fruto está en relación con aspectos tales como: calibre, grado de madurez y se mide en una escala de uno a diez, siendo diez el índice de mejor calidad. La calidad Atiene un índice medio de nueve puntos por kilo, mientras que la calidad B alcanza un índice medio de cinco puntos por kilo. La fábrica comercializa el melón de dos maneras: en forma de enlatados de melón en almíbar y en forma de frascos de vidrio de jugo de melón. Con un kilogramo de fruta pueden producirse dos latas de melón en almíbar o bien tres frascos de jugo de melón. La fábrica piensa que puede vender todos las latas de fruta en conserva y frascos de jugo que pueda fabricar. No obstante, existen algunas limitaciones que han de tenerse presentes. En primer lugar, ha de tenerse en cuenta que la fruta destinada a conserva debe ser de una calidad superior. Esta calidad se ha fijado en un índice mínimo de 8,5 puntos por kilo. En la obtención de jugo puede emplearse fruta de cualquier calidad. En segundo lugar, el número máximo de latas que pueden producirse está limitado por las disponibilidades de material (hoja de lata, etiquetas, envases, etc.), la mano de obra, la competencia con otros productos de la empresa, etc. Después de detenidos estudios, la dirección ha determinado que pueden producirse un máximo de 100000 latas de melón en almíbar y un máximo de 240000 frascos de jugo de melón. Finalmente, por experiencias de campañas anteriores, se sabe que la cantidad de latas de melón vendidos nunca es inferior al 25%, ni superior al 40% de la cantidad de frascos de jugo vendidos. Recientes estudios de mercado realizados por una empresa de consultoría confirman que estas proporciones se seguirán manteniendo durante la presente campaña. La empresa ha comprado las 100 toneladas de la cosecha al precio fijo de 500 unidades monetarias por kilo. Los costes de fabricación y envasado suponen 700 unidades monetarias para una lata de fruta en conserva y 500 unidades monetarias para un frasco de jugo. La fábrica vende únicamente a mayoristas y distribuidores a un precio fijo de 2000 unidades monetarias la lata de melón en almíbar y 1000 unidades monetarias el frasco de jugo de melón.
125
El objetivo de la fábrica de conservas es determinar el plan de producción de la campaña del melón en orden a obtener el mayor beneficio posible. VARIABLES DE DECISION: XA: Número de kg de fruta de calidad A destinados a fabricar melón en almíbar Xg: Cantidad de kg de fruta de calidad B destinados a producir melón en almíbar Y a : Número de kg de fruta de calidad A destinados a fabricar jugo de melón Y b : Cantidad de kg de fruta de calidad B destinados a producir jugo de melón Z:
Función de utilidad
Modelo (primal): MAX Z =
2000 * 2 (XA + XB) - 700 * 2 (XA + XB) - 500 (XA + XB) + 1000 * 3 (YA + YB) - 500 * 3 (Y a + YB) - 500 (Y a + Y b )
Con sus restricciones: 1.
9X X
a A
+ 5 X +
X
q
.
>
8,5
B
2. X a + Y a
<
30000
3. X_D + Y„D
<
70000
4. 2(X A + XB)
<
100000
5. 3 ( Y a + Y b )
<
240000
>
0
6. 0,25 * 3 (Y a + Y 0 ) 2(X A + XB) 0 , 4 * 3 ( Y a + Y b ) X
a> X b>Y a ,Y b
Resumiendo: MAX Z = 2100 X A +2100 X B + 1000 Y,A + 1000 Y Bn Con sus restricciones: 1. 0,5 X 4A - 3,5 XRB ' ' 2.
126
XA
—
+
Ya
<
>
0
30000
3
-
4
-
xB XA +
5
+ Yb
XB
6.
2Xa
Ya +Y b + 2Xb-0,75Ya-0,75Yb
7.
-2Xa
- 2 X b + 1,2Y a + 1,2Y b X
A '
X
B>
Y
A '
Y
B
<
70000
<
100000
<
80000
>
0
>
0
>
0
93.
En una empresa petrolífera se presentan los siguientes procesos: el proceso 1 es un proceso de destilación en el que el petróleo bruto se transforma en un producto A, obteniéndose diversos subproductos denominados S,. En este proceso, un barril de petróleo rinde 0,4 barriles de producto Ay 0,6 de S r La capacidad del proceso es de 80000 barriles diarios y el coste operativo (consumo de energía, etc.) es de 360000 unidades monetarias por barril de petróleo bruto. En el proceso 2, que es un proceso de refinamiento, el producto A es transformado en un producto B y en diversos subproductos denominados S2, de modo que un barril de Aproduce 0,7 barriles de B y 0,3 barriles de S2. La capacidad del proceso 2 es de 60000 barriles diarios y su costo operativo es de 480000 unidades monetarias por barril de producto A. Finalmente, el proceso 3 es un proceso de mezclado sin limitación de capacidad y de costo despreciable. En él se mezclan los productos A y B para obtener los dos tipos de gasolina normal y extra que se comercializan. La única condición es que las mezclas han de efectuarse en las proporciones apropiadas a fin de que el octanaje de cada gasolina sea el adecuado. Así, la gasolina normal debe tener un índice mínimo de 90 octanos y la gasolina extra debe tener un índice mínimo de 94 octanos. Por su parte el producto A tiene un índice de 86 octanos y el producto B tiene un índice de 96 -octanos. El índice de una mezcla es la media ponderada de los índices de los productos mezclados. La refinería compra el barril de petróleo a 20000 unidades monetarias. Todos los productos y subproductos pueden venderse directamente al exterior a los precios siguientes: -
S,: 2040 unidades monetarias/barril A: 3,125 unidades monetarias/barril B: 3850 unidades monetarias/barril S,: 3100 unidades monetarias/barri 1 Gasolina normal: 3800 unidades monetarias/barril
- Gasolina extra: 4000 unidades monetarias/barril Por otra parte, se estima que la cantidad máxima de gasolina que se puede vender es de 20000 barriles de normal y de 50000 de extra. El problema de la empresa de petróleo es organizar el funcionamiento de la refinaría, teniendo en cuenta que los beneficios obtenidos deben ser los mayores. VARIABLES REALES: P: Número de barriles de petróleo bruto que se deben comprar A: Cantidad de barriles del producto A que se deben obtener 127
A q : Número de barriles del producto A que se venden al exterior A,: Cantidad de barriles del producto A que se mezclan para obtener gasolina normal A,: Número de barriles del producto A que se mezclan para obtener gasolina extra S , : Cantidad de barriles del subproducto A que se deben obtener S2 : Número de barriles del subproducto A que se deben obtener B : Cantidad de barriles del producto B que se deben obtener B 0 : Número de barriles del producto B que se venden al exterior B!: Cantidad de barriles del producto B que se mezclan para obtener gasolina normal B 2 : Número de barriles del producto B que se mezclan para obtener gasolina extra G,: Cantidad de barriles de gasolina normal que se deben obtener G,: Cantidad de barriles de gasolina extra que se deben obtener Z : Función de utilidad.
Modelo (primal): MAX Z =
- 420000 P - 480000 A+ 90000 A0 + 60000 S, + 120000 S, + 110000 B0 + 100000 G, +130000G,
Sujeta a: 1.
P < 80000
2.
A < 60000
3.
A := 0,4 P
4.
S, = 0,6 P
5.
A := A 0 + A 1
6.
B = 0,7 A
7.
S2 = 0,3 A
8.
B = B0 + B , 4 B 2
9.
G, = A, + B,
+ A2
10. G2 = A2 + B2 11. G, < 20000 12. G, < 50000
128
86A, +96B]
13
>9Q
A,+B, 86 A 2 + 9 6 B 2 A2 + b 2
14
^
94
Resumiendo: MAX Z =
- 420000 P - 480000 A + 90000 A0 + 60000 S, + 120000 S2 + 110000 B0 + 100000 G, + 130000 G,
Sujeta a: P
<
80000
2. A
<
60000
1.
3. A - 0,4 P
=
0
4. S, - 0,4 P = 0 0,6 P
=
0
5. A - AQ - A, - A2
=
0
6. B - 0,7 A
=
0
7. S2 - 0,3 A
=
0
8. b - b 0 - b , - b 2
=
0
9. G . - A . - B ,
=
0
10. G2 - A2 - B2
=
0
11.
<
20000
<
50000
13. - 4 A, + 6 B,
>
0
14. - 6 A2 + 2 B2
>
0
>
0
12.
G ,
G
2
P, A, A0, A,, A,, S,, S 2 , B, B0, B,, B2, G,, G2
I
9 4 * • • Un fabricante de artículos de consumo está trabajando con su departamento de publicidad en la distribución del presupuesto de la campaña publicitaria de la nueva temporada; dicho presupuesto asciende a 500000000 de unidades monetarias y se pretende realizar una campaña de gran impacto que alcance al mayor número posible de consumidores.
129
Los medios de comunicación que admiten publicidad pueden clasificarse del siguiente modo: televisión, radio, prensa diaria, revistas semanales y vallas publicitarias. Cada una de ellas presenta una rentabilidad publicitaria que viene medida por el cociente entre el número de consumidores a los que potencialmente llega dicho anuncio y el coste de dicho anuncio en el medio de que se trate. Estas rentabilidades se obtienen a partir del estudio general de medios de comunicación que periódicamente actualiza la difusión de cada emisora, publicación periódica, etc., junto con las tarifas de publicidad que proporcionan dichos medios. En la siguiente tabla, que el agente de publicidad pone a disposición de su cliente, se muestran dichos cocientes para la próxima temporada, tanto globalmente, como por segmentos de consumidores, según una clasificación de interés para el anunciante.
Televisión Radio Prensa diaria Revistas semanales Vallas publicitarias
Total
Jóvenes
Mujeres
10 9 6 4 1
15 12 3 1 0
11 14 2 5 3
Educación superior 9 9 8 3 1
Por las características de los productos que se anuncian se piensa que el número adecuado de personas a los que puede llegar la campaña en cada segmento sería el siguiente: jóvenes superior a 2000000, mujeres superior a 3500000, educación superior superior a 2500000. Para asegurar una difusión conveniente, no debe gastarse en ningún medio más del 50% del presupuesto, ni menos del 5%; así mismo, la cantidad gastada en medios audiovisuales, televisión y radio, puede ser como máximo tres veces superior a la gastada en los otros tres medios. Plantear un modelo de programación lineal para el problema del anunciante. VARIABLES DE DECISIÓN: Xf: Cantidad de unidades monetarias gastadas en publicidad en televisión X^: Unidades monetarias gastadas en publicidad en radio Xp: Cantidad de unidades monetarias gastadas en publicidad en prensa diaria X^: Unidades monetarias gastadas en publicidad en revistas semanales Xv; Cantidad de unidades monetarias gastadas en publicidad en vallas publicitarias Z: Función de utilidad
Modelo (primal): MAX Z = 10 X T + 9 XR + 6 Xp + 4 X s + X y Sujeta a:
130
1.
XT + XR + Xp + x s + Xy
<
500000000
2.
15X T +12X R + 3 X p + 4XS
>
2000000
3.
11X T +14X R + 2 X p + 5X S + 3X V
>
3500000
4.
9X T + 9 XR + 8 Xp + 3 X s + Xy
>
2500000
5.
XT + XR - 3X p - 3X S -3X V
<
0
6.
X,.
>
25000000
7.
Xj.
<
250000000
8.
XR
>
25000000
9.
XR
<
250000000
10.
Xp
>
20000000
11.
Xp
<
2500000000
12.
Xs
>
250000000
13.
Xs
<
2500000000
14.
Xv
>
250000000
15.
Xv
<
2500000000
XT, XR, Xp, X s , Xy
>
o
95.
Una empresa que fabrica colchones, para la elaboración de su producto estrella precisa de una serie de tareas ligadas por relaciones de precedencia; además, cada tarea requiere de un tiempo de ejecución indicado a continuación: Tarea 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Peso 0 2 5 7 10 12 17 21 26
Duración 10 23 12 10 3 11 5 4 10
Tareas precedentes Ninguna 1 1 2 3,4 2 2 7 5,6
Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal, sabiendo que se requiere disminuir el tiempo total.
131
VARIABLES REALES: X.: Tiempo de comienzo asociado a la tarea i, i = 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 W: Función de costo
Modelo (primal): 1 MIN W = — (0 X, + 2 X2 + 5 X3 + 7 X4 + 10 X5 + 12 X6 + 17 X7 + 21 Xg + 26 X9) Sujeta a: 1. x , 2. - X,
=
+
4.
>
10
>
10
>
23
+ x5
>
12
- X,4 + x 5.
>
10
>
23
+ X7
>
23
-x7+xs
>
5
X2 +
3. - X,
X3 +
- x2
5.
- X.
6. 7.
- x2
8.
- x2
X4
H- x 6
9. 10.
-x5
11.
0
X6
+
X9
>
3
+
X9
>
11
>
0
x . , x , , x , x 4 , X5, X , X X , X
• Una empresa necesita tener cada día de la semana al menos el siguiente número de empleados: Día Empleados
Lunes 16
Martes 15
Miércoles 17
Jueves 19
Viernes 14
Sábado 12
Domingo 18
Si se sabe que atendiendo a convenios laborales cada empleado hará su semana laboral trabajando cinco días consecutivos, comenzando cuando la empresa lo considere y que cada contrato le supone un costo de 300000 unidades monetarias por semana. ¿Cuántos empleados deberá contratar y qué días deberá trabajar cada uno de ellos con el objetivo de minimizar los costos de contratación?
132
VARIABLES DE DECISIÓN: X,: Cantidad de empleados que empiezan a trabajar el lunes X0: Número de empleados que comienzan a laborar el martes X3: Cantidad de empleados que empiezan a trabajar el miércoles X4: Número de empleados que comienzan a laborar el jueves X5: Cantidad de empleados que empiezan a trabajar el viernes X6: Número de empleados que comienzan a laborar el sábado X?: Cantidad de empleados que empiezan a trabajar el domingo W: Función de costo.
Modelo (primal): MIN W = 300000 (X,I + X,2 + X,3 + X,4 + X,5 + X,+ X,) 6 7' V
Sujeta a: 1.
+ x 4 + x 5 + x6+x7
>
16
+ x5 + x 6 + x 7
>
15
>
17
>
19
>
14
>
12
x3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7
>
18
X
>
0
X,
2. X, +
X
2
X
2
+
+ 4. X, +
X
2
+
x3 + x4
5. X, +
X
2
+
x3
6.
X
2
+
x3 + x
3. X,
7. X
P
X
+
3
2>
X
+
X
6
7
+x 7
x4+x5
+
X
3>
4 +
X
4 '
x
X
s +
5>
x
X
6
6 '
X
7
• Cinco corredores de fondo de un mismo equipo tienen que repartirse la única bicicleta del equipo para lograr llegar a la meta en el menor tiempo posible; en la siguiente tabla se muestra las velocidades, en kilómetros por hora, caminando y en bicicleta de cada corredor: Deportista Caminando en bicicleta
n°l (Km/h) 4 7
n°2 (Km/h)
n°3 (Km/h)
n°4 (Km/h)
n°5 (Km/h)
2 8
3 7
2 9
3 8
Sabiendo que los deportistas salen todos juntos desde el mismo punto de salida y que la meta se encuentra a 10 kilómetros del mismo, plantear un modelo matemático de programación lineal que resuelva el problema de optimizar el uso de la bicicleta en cada momento del trayecto, para que el último deportista llegue al punto de destino lo antes posible. 133
VARIABLES REALES: X,: Cantidad de kilómetros que el deportista n°l hace en bicicleta Xn: Número de kilómetros que el deportista n°2 recorre en bicicleta X3: Cantidad de kilómetros que el deportista n°3 hace en bicicleta X4: Número de kilómetros que el deportista n°4 recorre en bicicleta X5: Cantidad de kilómetros que el deportista n°5 hace en bicicleta T: Tiempo mínimo empleado por el grupo en el recorrido, determinado como el tiempo empleado por el último deportista del grupo que llega a la meta
Modelo (primal): MIN W = T Sujeta a:
1.
X,
10-X, +7 4
X, 1 0 - X1, 2. — +
<
X, 1 0 - X1, 3. — +
<
4
'
9
2
X5 10-X, 5. — +
<
T
6. X , + X2 + X3 + X4 + X5
=
10
>
o
X , X„ X , X4, x
98.
El Club Deportivo Once Caldas ha colocado sus acciones en bolsa y un inversionista ha descubierto la clave para obtener el beneficio que en el terreno de juego el resto de los accionistas no han conseguido en toda la temporada; el funcionamiento es el siguiente: al inicio de la temporada se puede invertir en ella una cantidad cualquiera de X unidades monetarias, al empezar la siguiente temporada se debe invertir adicionalmente X/2 unidades monetarias y luego pasada otra temporada se obtienen 2 X unidades monetarias. Lo conseguido en estas acciones al final de una temporada puede ser reinvertido de nuevo en dichas acciones al comienzo de la siguiente, si se desea; si en el momento
134
actual el inversionista dispone de 10000000 unidades monetarias. ¿Cuál debe ser su plan de inversión en tales acciones para disponer de un máximo capital dentro de seis años? Temporadas
Nueva inversión
0
X0
Inversión adicional
Beneficios
—
i * 1
—
X,
2X0 2Xi
2
x2
3
2 X2
i *
2X3
X3 i " '
4
X4
5
—
6
—
Ix.
2 X,
—
VARIABLES DE DECISIÓN: X: Cantidad de dinero invertido al inicio de la temporada i - ésima i = l , 2 , 3,4, 5 , 6 Z: Función de utilidad Debido a las condiciones de las acciones, conviene que X5 = 0 y X6 = 0, porque estas inversiones no producen beneficios dentro de las seis temporadas.
Modelo (primal): t) 1 1 1 1 1 MAX Z = — 2 X o + -2 X .1 + ~ 2 X,2 + — 2 X3 + 2- X4 . + 100000 Sujeta a: 1 1. X, + - X0
<
100000-X 0
135
2. X
<
100000+ ^ X 0 - X ,
x2
<
100000+
1 4. x . + - X,3 4 2
<
100000+
-
1 100000+ j X 0 + -
>
0
2
+|x,
3. x 3 + ^
5
1 - 2X4 X,, X2, X3, X4
x0+
-x,-x
1 1 - x 0 + - x ,1 + 2 2
2
1 -x,-x, 2 2 3
1 1 1 X,+ - X2+ - X3-X4
Resumiendo: MAX Z = 2 X 0 + 2 X , + 2X 2 + 2X 3 + 2X 4 (Función objetivo equivalente a la anterior) Sujeta a: 3
1. - x0
+X,
2. - ~ x 0 +
|
X, + x 2
3. - \
~
X,+ |
4
x0-
x2 + x3
1 x 1 1 3 - - T 2 no- T2 X, '- -2 X,2 + -2 X,3 + X44
5
1
1
1
1
3
2 - - X, - - T 2 Xon - 2- x 1. - 2- X, 2 3 + 2 - 4X.
<
100000
<
100000
<
100000
<
100000
<
100000
X,, X2, X3, X4
• Un industrial desea determinar el programa óptimo para tres mezclas distintas que hace con diferentes proporciones de pistachos, avellanas y castañas. Las especificaciones de cada una de ellas son: la mezcla 1 debe contener 50% de pistachos como mínimo y 25% de castañas cuando más; la libra de esta mezcla se vende a 500 unidades monetarias. El segundo tipo debe contener el 25% de pistachos, por lo menos y un 50% de castañas, cuando más y se vende a 350 unidades monetarias la libra. El tercer tipo no tiene especificaciones y se vende a 250 unidades monetarias la libra. Sin embargo, están restringidas las cantidades de materias primas que puede conseguir el industrial; las máximas por período son: 100 libras de pistacho, 60 libras de avellanas y 100 libras de castañas. Cada libra de pistachos le cuesta 650 unidades monetarias, la de avellanas 350 unidades monetarias y 136
y la de castañas 250 unidades monetarias. Se trata de determinar cuántas libras se deben preparar de cada mezcla, de manera que se obtengan las máximas utilidades. Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal. DEFINICIÓN DE VARIABLES: X..:
Cantidad de libras de mezcla tipo i (i = 1, 2, 3) a asociar con las materias primas j (j = P: pistachos, A: avellanas y C: castañas)
Z :
Función de utilidad
Modelo (primal): MAX Z =
500 (X |p + X1A + X1C) + 350 (X2p + X2A + X2C) + 250 (X3p + X3A + X3C) - 650 (X |p + X2p + X3p) - 350 (X,A + X2A + X3A) - 250 (X, c + X2C + X3C)
Sujeta a: 1. x 1 P 2
-
1 - (X1P + X]A + X1C) ^(X,p
X, c
3. X2p
2
4
1 2
-
5.
X
2C
+ X
,A + X,C)
(X2p + X2A + X2C)
> j&m*•
.ip (X
-
+
X lp + X ; p +X 3 p
+
>S <
100
6- X1A + X2A + X3A
<
60
7. X,„ + X,„ + X,„
<
100
m í
> BIBLIOTECA \
o' i • *
Resumiendo: MAX Z = - 150 X lp + 150 X1A + 250 X, c - 300 X2p + 100 X2C - 400 X3p - 100 X Sujeta a:
137
I
l x
2
, p
-
I 2
4
-
l X
IP
•
i 3
4
i x
, a
X
IA
2
4
2P
•
4
"
^ X 2P
+
^ X 2A
2 A
x
-
7.
"
4
x
'
c
X
ic
x
2C
-
*
i x
-
5. 6
2
i
4
l x
"
"
4
"
fX2C
>
0
X lp + x 2 p + X3P
<
100
, A
+ x
2 A
+
x
3A
*
60
X, c + X2C + X3C
<
100
x i p , x I A , x i c , x 2P , x 2A , x 2C , X3P, x 3A , X3C
<
0
1 0 0 . Una empresa observa que las demandas de sus productos varían cada dos meses en el año según se ilustra en la siguiente tabla:
Período
Enero Febrero
Marzo Abril
Mayo Junio
Julio Agosto
Septiembre Octubre
Noviembre Diciembre
Demanda
100
230
100
235
100
200
En cuanto a sus productos iniciales, dispone de dos suministradores con diferentes precios: el suministrador A produce en cada período 70 unidades y vende cada unidad a 300000 unidades monetarias, mientras que el suministrador B produce en cada período 100 unidades y las vende a 330000 unidades monetarias por unidad. Obviamente le conviene comprar en cada período tanto como sea posible al más barato y lo menos al más caro, pero la exigencia de satisfacer las demandas obliga a la empresa el tener que disponer siempre del número de productos demandados, teniendo presente que el costo de conservar en su almacén un producto que llega en un período y sale en el siguiente es de 15000 unidades monetarias por unidad; esta última situación puede aparecer, ya que algunos períodos la demanda supera la oferta de los suministradores. Plantear un modelo matemático para el problema de planificar la compra a los suministradores y el almacenamiento, de manera que se minimicen los costos totales de un año específico (es decir, no hay nada almacenado antes de enero, ni hay nada que guardar después de diciembre).
138
VARIABLES DE DECISIÓN: X: Número de unidades procedentes del suministrador A al inicio del período i - ésimo i
e {1,2,3,4,5,6}
Y. : Cantidad de unidades procedentes del suministrador B al inicio del período i - ésimo i e {1,2,3,4,5,6} U. : Número de unidades almacenadas durante el período i - ésimo i e {1,2,3,4,5,6} W : Función de costos Se observa que U, = 0 y que si U7 representa las unidades que deben estar almacenadas después del período sexto, entonces U7 = 0.
Modelo (primal):
MIN W =
300000 (X, + X2 + X3 + X4 + X5 + X6) + 330000 (Y, + Y2 + Y3 + Y4 + Ys + Y6) + 15000 (U2 + U3 + U4 + U5 + U6)
Sujeta a : 1. X . + Y . - U , 2. x 2 + Y2 + U, -U 3
=.
100
=
230
'
-U4
=
100
4. x 4 + Y4 + U3 -U 5
=
235
=
100
3.
X
3
+
Y
3
+
U
2
5.
X
5 + YS + U 4 - U 6
6.
X
6
+
Y6 + U5
200
0 < X1
<
70
0 < Y1
<
100
>
0
u
139
BIBLIOGRAFÍA
ACKOFF Russell L., SASIENI Maurice W. Fundamentos de investigación de operaciones. Limusa. México: 1965. ANDERSON David R., et al. Métodos cuantitativos para los negocios. Thomson. México: 2005. ARBONES Malisani Eduardo A. Optimización Marcombo. Barcelona: 1989.
industrial
(I): Distribución
de los
recursos.
ARREOLA R. J. S., ARREOLA R. A. Programación lineal. Thomson. México: 2003. BARBOLLA Rosa, et al. Optimización. Prentice Hall. Madrid: 2001. BARSOV A.S. ¿Qué es programación lineal? Limusa Wiley. México: 1972. BAZARAA S., et al. Programación lineal y flujo en redes. Limusa. México: 1998. BAZARAA S. Mokhtar, et al. Nonlinear programming. John Wiley & Sons, Inc. Singapore 1993. BERGREN Stephen. Algunas técnicas de la investigación Universidad Tecnológica de Pereira: 1976.
de operaciones.
Mimeografiado
BIERMAN Harold Jr., et al. Análisis cuantitativo para los negocios. Me Graw-Hill Irwin. Bogotá: 1999. BOIZÁN Jústiz Meinardo Alberto. Optimización. Editorial Pueblo y Educación. La Habana: 1988. BRONSON Richard. Investigación de operaciones. Me Graw-Hill (Colección Schaum). México: 1982. BUFFA Elwood S. Dirección de operaciones. Limusa. México: 1973. BUFFA S. Elwood, DYER S. James. Ciencias de la administración e investigación de operaciones. Limusa. México: 1982. BUFFA S. Elwood, SARIN Rakesh K. Administración Limusa. México: 1992.
de la producción y de las
operaciones.
CAMACHO Quiroz Arturo. Principios de investigación de operaciones. Ecafsa. México: 1997. CHASE R. B., AQUILANO N. J. Dirección y administración operaciones. Me Graw-Hill Irwin. México: 1997.
de la producción
y de las
CHEDIAK F. A. Investigación de operaciones (Volumen I). Corporación Universitaria de Ibagué. Ibagué: 2001. CHURCHMAN West C., et al. Introducción a la investigación de operaciones. Aguilar. Madrid: 1971. DACCARETT Enrique. Investigación Bucaramanga: 1994.
de operaciones.
Universidad Industrial de Santander.
DANTZIG George Bernard. Linear programming and extensions. Princeton University Press. New Yersey: 1963. 141
DAVIS Roscoe K., MCKEOWN Patrick G. Modelos cuantitativos para administración. Grupo Editorial Iberoamérica. México: 1986. EDGAR T.F.,HIMMELBLAU D. M. Optimization of chemicalprocesses. Me Graw-Hill. Singapore: 1988. DE LA FUENTE O'Connor José Luis. Tecnologías computacionales para sistemas de ecuaciones, optimización lineal entera. Editorial Reverté S.A. Barcelona: 1993. DOMINGUEZ Machuca José Antonio, et al. Dirección de operaciones. Aspectos estratégicos y metodológicos en la producción y los servicios. Me Graw-Hill. Madrid: 1995 DOMINGUEZ Machuca José Antonio, et al. Dirección de operaciones. operativos en la producción y los servicios. Me Graw-Hill. Madrid: 1995.
Aspectos tácticos y
DORAN Jody L., HERNÁNDEZ Eugenio. Las matemáticas en la vida cotidiana. Addison-Wesley/ Universidad Autónoma de Madrid. Madrid: 1999. DORFMAN Robert, et al. Programación lineal y análisis económico. Aguilar. Madrid: 1972. EPPEN G. D., et al. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. Pearson. México 1999. ESPINOSA Berriel Héctor M. Programación lineal. Editorial Pax. México: 1975. FOGARTY Donald W., et al. Administración de la producción e inventarios. CECSA. México: 1993. GALLAGHER Charles A., WATSON Hugh J. Métodos cuantitativos para la toma de decisiones en administración. Me Graw-Hill. México: 1982. GARCIA Cabañes Jaime, et al. Técnicas de investigación operativa. Editorial Paraninfo S.A. 1989. GASS Saúl I. Linear programming. Me Graw-Hill. Singapore: 1994. GEREZ Víctor, CZITROM Verónica. Introducción al análisis de sistemas e investigación operaciones. Representaciones y Servicios de Ingeniería S. A. México: 1978.
de
GOBERNA Torrent Miguel Angel, et al. Optimización lineal. Teoría, métodos y modelos. Me Graw Hill. Madrid: 2004. GONZALEZ Ariza Angel León. Manual práctico de investigación de operaciones I. Ediciones Uninorte. Barranquilla: 1998. GROSSMAN Stanley I. Aplicaciones de algebra lineal. Me Graw - Hill. México: 1992. GUERRERO Casas Flor María. Curso de optimización. Ariel Economía. Barcelona: 1994. HANSEN Gregory A. Automatización. Prentice Hall. México: 1997. HEIN Leonard W. El análisis cuantitativo en las decisiones administrativas. Diana. México: 1967. HIERCHE HENRI. Técnicas modernas de gestión de empresas. Aguilar. Madrid: 1970. HILLIER Frederick S., LIEBERMAN Gerald J. Introducción a la Investigación de Operaciones. Me Graw-Hill. México: 2001. HILLIER Frederick S., et al. Métodos cuantitativos para administración. Me Graw-Hill. México: 2001. HOPEMAN Richard J. Administración de producción y operaciones. Cecsa. México: 1993. HOROWITZ Ira. Introducción Madrid: 1968. 142
al análisis cuantitativo de los negocios. Ediciones del Castillo.
INFANTE Villarreal Arturo. Notas sobre investigación (Mimeografiado). Santafé de Bogotá D.C.: 1976.
operacional. Universidad de los Andes
JAUFFRED M. Francisco J., et al. Métodos de optimización. Representaciones Ingeniería S. A. México: 1980.
y Servicios de
JIMÉNEZ Lozano Guillermo. Investigación operativa I. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales Departamento de Administración y Sistemas. Manizales: 2001. JIMENEZ Lozano Guillermo. Investigación operativa II. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales Departamento de Administración y Sistemas. Manizales: 2002. KALENATIC Dusko. Técnicas de la investigación operacional. Universidad Piloto de Colombia. Santafé de Bogotá D.C.: 1992. KAUFMANN A. Métodos y modelos de la investigación de operaciones (Tomo I). Cecsa. México: 1965. KAUFMANN A. Métodos y modelos de la investigación de operaciones (Tomo H). Cecsa. México: 1966. KAUFMANN A., Henry-Labordére A. Métodos y modelos de la investigación de (Tomo III). Cecsa. España: 1976.
operaciones
LAWRENCE A. John, PASTERNACK A. Bany Ciencias administrativas aplicadas. CECSA. México: 2004. LEVIN Richard I., KIRKPATRICK Charles A. Enfoques cuantitativos a la administración. Cecsa. México: 1983. LUENBERGER David E. Programación lineal y no lineal. Addison - Wesley Iberoamericana. E.U.A.: 1989. MAROTO Alvarez Concepción. Formulación de modelos de programación análisis de sensibilidad. Universidad Politécnica de Valencia. Valencia: 1997.
lineal, solución y
MATHUR Kamlesh, Solow Daniel. Investigación de operaciones Prentice-Hall Hispanoamericana S.A.México: 1996. MICHA Elias. Matemáticas discretas: Limusa. México: 1998. MILLER M. David, SCHMIDT J. W. Ingeniería industrial e investigación de operaciones. Noriega. México: 1992. MITAL K.V. Métodos de optimización. Limusa. México: 1984. MONKS Joseph G. Administración de operaciones. Me Graw-Hill. México: 1987. MONTANO Agustín. Iniciación al método del camino crítico. Trillas. México: 1972. MORA Escobar Héctor Manuel. Programación lineal. Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá D.C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá: 2004. MORA Escobar Héctor Manuel. Optimización no lineal y dinámica. Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá D.C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá: 2001. MORA José Luis. Investigación de operaciones e informática. Trillas. México; 1986. MORENO Osorio Luis G. Teoría de la decisión. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D.C. Departamento de Matemáticas y Estadística. Bogotá: 1995. 143
MOSKOWITZ Herbert, WRIGHT Gordon C. Investigación de operaciones. Prentice Hall Carvajal. Cali: 1982. MURO Sáenz Javier. Práctica de ¡a investigación A. Barcelona: 1975.
operativa empresarial.
Editorial Labor S.
NAMAKFOROOSH Mohammad. Investigación de operaciones. Limusa. México: 1984. NARASIMHAN Sim, et al. Planeación de la producción y control de inventarios. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México: 1996. NASH Stephen G, Sofer Ariela. Linear and nonlinearprogramming. Me Graw Hill. Singapore: 1996. NOBLE Ben, Daniel James W. Algebra lineal aplicada. Prentice Hall. México: 2000. PENAFIEL Millán Luis. Programación lineal. Trillas. México: 1979. PEREZ S. Eduardo, CEBALLOS C. Fabio. Álgebra y programación lineal. Universidad Pontificia Bolivariana. Medellín: 2002. PIKE Ralph W., Guerra Lautaro G. Optimización en ingeniería. Alfaomega. México: 1991. PRAWDA Witenberg Juan. Métodos y modelos de investigación de operaciones (Tomo 1). Limusa. México 1982. PRAWDA Witenberg Juan. Métodos y modelos de investigación de operaciones (Tomo 2). Limusa. México: 1982. QUESADA Ibargüen Víctor Manuel. Programación lineal y entera. Gráficas El Cheque. Cartagena: 1997. RENDER Barry, STAIR Ralph M. Quantitative analysis for management. Render Allyn and Bacon. Massachusetts: 1988. RENDON Castaño Hernán Darío, DÍAZ Serna Francisco Javier. Introducción a la investigación de operaciones. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín. Medellín: 2002. RINCON Abril Luis Alberto. Investigación de operaciones para ingenierías y administración de empresas. Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira. Palmira: 2001. RÍOS Insua Sixto, et al. Programación lineal y aplicaciones. Rama. Alfaomega. Santafé de Bogotá: D.C.1998. RÍOS Insua Sixto. Investigación operativa. Editorial Centro de Estudios Ramón Areces S.A. Madrid: 1996. RÍOS García Sixto. Modelización. Alianza Universidad. Madrid 1995. SAATY L. Thomas. Elementos de la teoría de colas. Aguilar. Madrid: 1967. SABOGAL Sánchez Carlos Arturo, ARDILA Romero Esperanza. Algebra y programación Universidad Externado de Colombia. Bogotá: 2003.
lineal.
SASIENI M., et al. Investigación de operaciones. Limusa. México: 1982. SCHNEIDER Kenneth C., RANDALL Byers C. Métodos cuantitativos en administración. Limusa. México: 1982. SERRA de la Figuera Daniel. Métodos cuantitativos para la toma de decisiones. Gestión 2000. Barcelona: 2004. 144
SHAMBLIN James E.,STEVENS G. T. Investigación de operaciones. Me Graw-Hill. México: 1975. SINGLETON Robert R., TYNDALL William F. Introducción programación lineal. Editorial Labor. Barcelona: 1977.
a la teoría de juegos y a la
SOLER Fajardo Francisco et al. Algebra lineal y programación lineal. Ecoe Ediciones. Bogotá: 2003. TAHA Hamdy A. Investigación de operaciones. Pearson Prentice Hall. México: 2004. THIERAUF Robert J., GROSSE Richard A. Toma de decisiones por medio de investigación de operaciones. Limusa. México: 1982. TURNER J. C. Matemática moderna aplicada: probabilidades, operativa. Alianza Universidad. Madrid: 1995.
estadística
e
investigación
ULLMAN John E. Métodos cuantitativos en administración. Me Graw-Hill (Colección Schaum). México: 1979. URIBE Alvaro. Programación lineal. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D.C. :1976. VAN DEN BERGHE Edgar. Simulación de decisiones gerenciales. Universidad Nacional de Colombia Sede Santafé de Bogotá D.C. 1997. VARELA Jaime Enrique. Investigación de operaciones. Fondo Educativo Interamericano. Santafé de Bogotá D.C.: 1982. VARGAS Morales Germán. Modelos lineales en investigación de operaciones. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Santafé de Bogotá D.C.: 1990. VARGAS Morales Germán. Métodos cuantitativos en producción. Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Santafé de Bogotá D.C.: 1996. VENTSEL S. Elena. Investigación de operaciones. Editorial Mir. Moscú: 1992. WAINRIGHT Martín E. Jr. Programación lineal. Editorial Ateneo. Buenos Aires: 1978. WINSTON Wayne L. Investigación de operaciones. Thomson. México: 2004. WHITAKER David. Investigación Madrid: 1988.
operativa
con el computador.
Editorial Paraninfo S.A.
145
