PENGGUNAAN STATISTIK TATAAN UNTUK MENENTUKAN MEDIAN CONTOH

Jurnal Penelitian Sains

Volume 13 Nomer 2(A) 13202

Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial Herlina Hanum, Yuli Andriani, dan Retno Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia

Intisari: Statistik Tataan merupakan statistik dengan prinsip pengurutan suatu sampel acak dari sebaran bertipe diskrit atau kontinu yang positif. Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn suatu sampel acak maka Yi adalah statistik tataan ke-i dari sampel acak tersebut dengan i = 1, 2, . . . , n di mana Y1 < Y2 < · · · < Yn . Pada penelitian ini prinsip Statistik Tataan digunakan pada penentuan nilai median dari suatu distribusi Eksponensial dengan parameter β yang memiliki bentuk fungsi kepadatan peluang f (x) = β1 e−x/β untuk 0 < x < ∞ dan sama dengan 0 untuk lainnya. Median merupakan nilai tengah dari sekelompok objek. Median dari peubah acak berdistribusi Eksponensial yang diperoleh adalah n−1 n−1 2/(n+1) !−1 ( 2 )!( 2 )!(n + 1) m = β ln 1 − 4n!β (x−3)/2 untuk n ganjil, dan  m = β ln 1 −

(n2 + 2n)β 2−x ( n2 − 1)!( n2 − 1)! 16n!

!2/(n+1) −1  ,

untuk n genap.

Abstract: Order statistics is statistics with principle is ordering a random sample of the positive discrete or continous

distribution . Let X1 , X2 , . . . , Xn denote a random sample, so Yi is called the ith order statistics of that random sample with i = 1, 2, . . . , n and Y1 < Y2 < · · · < Yn . In the research, principle of order statistics is used in determining the median of a random samples of an Exponential distribution with parameter β which has probability density function f (x) = β1 e−x/β for 0 < x < ∞ and = 0, for otherwise Median is central value of the random sample of An Exponential Distribution is found as: 2/(n+1) !−1 n−1 n−1 ( 2 )!( 2 )!(n + 1) m = β ln 1 − 4n!β (x−3)/2 for odd n, and  m = β ln 1 −

(n2 + 2n)β 2−x ( n2 − 1)!( n2 − 1)! 16n!

!2/(n+1) −1  ,

for even n.

Mei 2010

1 1.1

PENDAHULUAN latar Belakang

enyelidikan segugus data kuantitatif akan sangat P membantu bila didefinisikan ukuran-ukuran numerik yang menjelaskan ciri-ciri data. Ukuran yang penting adalah ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran. Ukuran pemusatan menunjukkan pusat penyebaran nilai-nilai data. Salah satu ukuran pemusatan yang banyak digunakan adalah median. Median merupakan nilai tengah dari segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. c 2010 FMIPA Universitas Sriwijaya

Nilai median dalam suatu pengamatan yang berupa segugus data dalam bilangan riil dapat dengan mudah ditentukan, karena nilai-nilai tersebut mudah untuk diurutkan. Sebaliknya jika diberikan suatu sampel acak X1 , X2 , . . . , Xn yang non numerik, pengurutan nilai tidak dapat dilakukan. Akibatnya penentuan letak median dari sampel acak tersebut tidak dapat langsung ditentukan. Dalam teori statistika dikenal statistik tataan (order statistics) yaitu urutan nilai peubah acak dari yang terkecil ke terbesar. Dengan statistik tataan tersebut sebaran dari median dapat ditentukan. Selanjutnya nilai median dapat dicari dengan menggunakan defi13202-5

Herlina dkk./Penggunaan Statistik . . .

Jurnal Penelitian Sains 13 2(A) 13202

nisi bahwa nilai peluang peubah acak dengan batas atas median adalah 1/2. Oleh karena itu dalam penelitian ini diangkat permasalahan bagaimana menentukan median dari sampel acak yang non numerik, jika diketahui fungsi kepekatan peluang peubah acak asal sampel acak tersebut. Penelitian ini diterapkan pada peubah acak Eksponensial, karena memiliki terapan yang sangat luas. Pada contoh soal digunakan nilai parameter β = 2 1.2

Tujuan dan Manfaat

Tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan nilai median dari contoh acak dari distribusi Eksponensial. Manfaat yang bisa didapat dari penelitian ini antara lain dapat memahami kaitan penggunaan statistik tataan dalam menentukan nilai median serta dapat mengetahui nilai median dari suatu peubah acak yang memiliki distribusi Eksponensial. 2 2.1

TINJAUAN PUSTAKA Distribusi Eksponensial

Suatu peubah acak kontinu X berdistribusi Eksponensial dengan parameter skala β > 0 memiliki bentuk fungsi kepadatan peluang: ( 1 −x/β e untuk 0 < x < ∞ f (x) = β . 0 untuk lainnya

Y1 < Y2 < · · · < Yn mewakili X1 , X2 , . . . , Xn jika diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar. Secara spesifik dinyatakan bahwa Yi , i = 1, 2, . . . , n adalah statistik tataan ke-i dari sampel acak X1 , X2 , . . . , Xn . Sebagai sampel acak dari peubah acak yang memiliki fungsi kepadatan peluang f (x) = X1 , X2 , . . . , Xn , masing-masing adalah peubah acak yang memiliki sebaran seperti X dan bersifat bebas stokastik identik. Dari sifat tersebut dan banyaknya kemungkinan urutan X1 , X2 , . . . , Xn , fungsi kepadatan peluang bersama Y1 < Y2 < · · · < Yn adalah    n!f (y1 )f (y2 ) · · · f (yn ) g(y1 , y2 , · · · , yn ) = dengan a < y1 · · · < yn < b   0 untuk selainnya Dengan melakukan pengintegralan terhadap peubah acak Yi yang lain, fungsi kepadatan marginal Yj , 1 ≤ j ≤ n didapat  n! j−1 n−j f (yj )   (j−1)!(n−j)! [f (yj )] [1 − F (yj )] gj (yj ) = untuk a < yj < b   0 untuk selainnya dengan f (yj ) adalah fungsi kepadatan peluang X pada X = yj , sementara F (yj ) adalah fungsi sebaran X pada X = yj . Sementara fungsi kepadatan peluang bersama dari statistik tataan Yi dan Yj ,1 ≤ i < j ≤ n, adalah

Untuk peubah acak kontinu X yang menyebar menurut distribusi Eksponensial dengan parameter β jika dan hanya jika P |X > a + t|X.a| = P [X > t] untuk semua a > 0 dan t > 0[1] . 2.2

Median

n! (i − 1)!(j − i − 1)!(n − j)! ×[F (yi )]i−1 [F (yj )]j−i−1 ×[1 − F (yj )]n−j f (yi )f (yj )

untuk a < yi < yj < b[4]

Bila X1 , X2 , . . ., Xn menyatakan sampel acak berukuran n, diurutkan membesar menurut besar nilainya, maka median sampel ditentukan sebagai statistik, X +X X = X n+1 bila n ganjil X = n/2 2 (n/2)+1 bila n 2

genap[2] . Menurut Waxmann[3] median adalah rerata posisi, karena median adalah nilai bilangan ditengah dari sekolompok objek. Nilainya ditemukan dengan menyusun bilangan dalam suatu urutan, baik menaik maupun menurun, lalu menentukan subjek mana yang ada ditengah. 2.3

gij (yi , yj ) =

Statistik Tataan

Misalkan X1 , X2 , . . ., Xn sampel acak dari sebaran bertipe kontinu dengan f (x) positif pada a < x < b . Misalkan Y1 adalah sampel acak terkecil dari X i, Y2 sampel acak terkecil kedua dari Xi dan seterusnya sampai Yn sampel acak terbesar dari Xi . Jadi

3

METODOLOGI

Pada penentuan nilai median langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut : 1. Diberikan sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn , dari peubah acak X dalam bentuk fungsi kepadatan peluang suatu distribusi Eksponensial. 2. Untuk median dengan n ganjil diketahui rumus yaitu Xk = X n+1 maka langkah selanjutnya 2 adalah menentukan fungsi kepadatan peluang median tersebut yaitu gk (yk ) dengan k = n+1 , se2 dangkan untuk median dengan n genap diketahui X +X rumus yaitu X = n/2 2 (n/2)+1 sehingga perlu dilakukan transformasi peubah acak Yn/2 dan Y(n/2)+1 ke peubah acak Z didapat h(Z1 , Z2 ) dan selanjutnya ditentukan fungsi kepadatan peluang median untuk n genap.

13202-6



3. Menentukan nilai median dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang median baik untuk n ganjil maupun n genap dengan batas atas m dan batas bawah 0 (berdasarkan batas bawah distribusi Eksponensial) dengan menyamakan pengertian peluang yaitu P (X < m) = 21 . 4

sehingga n−1 1 n! β 2 = n−1 n−1 2 ( 2 )!( 2 )!β



f (x) =

Fungsi Sebaran dari sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn , yang berdistribusi Eksponensial berbentuk Z f (x) = 0

= 0, 4.1

x

x 1 − βx e dx = 1 − e− β β lainnya,

0 < x < ∞ (1)

Penentuan Nilai Median dengan n ganjil

Suatu median dengan jumlah n ganjil didefinisikan M = Y(n+1)/2 di mana Yn adalah sampel acak tertinggi dari suatu sampel acak X1 , X2 , . . . , Xn , maka fungsi kepadatan peluang median dari distribusi Eksponensial dengan jumlah n ganjil diperoleh sebagai fungsi kepadatan peluang Statistik Tataan ke-k (gk (yk )) dengan k = (n + 1)/2 yaitu gk (yk ) =

n−1 yk n−1 y n! 2 2 − βk 1 − e e− β n−1 n−1 ( 2 )!( 2 )!β

Dari fungsi kepadatan peluang median tersebut dapat ditentukan nilai mediannya yaitu dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang median terhadap Yk dengan batas bawah 0 (berdasarkan batas bawah distribusi Eksponensial) dan batas atas m serta dengan menyamakan pengertian peluang yaitu P (X < m) = 1/2 1 = median = 2 Z m n−1 yk n−1 y n! 2 2 − βk 1 − e e− β dyk . n−1 ( n−1 )!( )!β 0 2 2 (2) Berdasarkan pers.(2) dapat dimisalkan u = 1−e−yk /β , du = β1 e−yk /β dyk , dan β

n−1 2

n−1 2 du = e−yk /β dyk

m = β ln 1 −

4.2 1 − βx e , 0
m

u

n−1 2

du.

0

Akhirnya didapat nilai median contoh acak berdistribusi Eksponensial untuk jumlah n ganjil

HASIL DAN PEMBAHASAN

Diberikan sampel acak X1 , X2 , · · · , Xn , yang berdistribusi Eksponensial dengan parameter β dalam bentuk fungsi kepadatan peluang yaitu :

Z

n−1 ( n−1 2 )!( 2 )!(n + 1) 4n!β (n−3)/2

2 n+1

−1 

(3)

Penentuan Nilai Median dengan n genap dari Peubah Acak Berdistribusi Eksponensial

Diambil Y1 sebagai sampel acak terkecil, Y2 sebagai sampel acak terkecil kedua dan seterusnya hingga Yn sebagai sampel acak terbesar sehingga Y1 < Y2 < · · · < Yn dari sampel acak X1 , X2 , . . . , Xn yang diberikan, maka median dengan jumlah n genap didefinisikan sebagai M = (Yn/2 + Y(n/2)+1 )/2. Selanjutnya ditentukan fungsi kepadatan peluang bersama statistik tataan g(Yn/2 + Y(n/2)+1 ) untuk suatu distribusi Eksponensial. Fungsi kepadatan peluang bersama statistik tataan ke-Yn/2 dan ke-Y(n/2)+1 untuk suatu distribusi Eksponensial diberikan oleh y n +1 +y n n! − 2 β 2 e β 2 ( n2 − 1)!( n2 − 1)! y(n/2)+1 n −1 yn/2 n −1 2 2 e− β 1 − e− β (4)

g(Yn/2 + Y(n/2)+1 ) =

untuk 0 < yn/2 < y(n/2)+1 < ∞ dan sama dengan 0 untuk lainnya. Penentuan fungsi kepadatan peluang median dari fungsi kepadatan peluang bersama pada pers.(4) tidak dapat langsung diselesaikan. Berdasarkan definisinya bahwa M = (Yn/2 + Y(n/2)+1 )/2 yang merupakan fungsi linier dari statistik tataan ke-(n/2) + 1 dan ken/2, maka perlu dilakukan transformasi dari peubah acak M ke peubah acak Z dengan mengambil Z1 = (Yn/2 + Y(n/2)+1 )/2 dan Z2 = Yn/2 sehingga didapat Y(n/2)+1 = 2Z1 − Z2 dan Yn/2 = Z2 . Selanjutnya dengan mendifferensialkan peubah Y(n/2)+1 dan Yn/2 masing-masing terhadap Z1 dan Z2 diperoleh nilai Jacobian δY(n/2)+1 δY(n/2)+1 δZ1 2 −1 δZ2 J = = = 2. δYn/2 0 1 δY n/2 δZ1

δZ2

Dengan mengalikan nilai mutlak Jacobian terhadap fungsi kepadatan peluang statistik tataan 13202-7



g(Yn/2 + Y(n/2)+1 ), diperoleh fungsi kepadatan peluang bersama Z1 dan Z2 yaitu h(Z1 , Z2 ) =

2Z1 2n! e− β n − 1)!( 2 − 1)! n2 −2 2Z1 −Z2 n2 −1 Z2 1 − e− β e− β

β 2 ( n2

m = 2 ln(0, 7694)−1 = 0, 524

untuk 0 < Z2 < Z1 < ∞ dan sama dengan 0 untuk lainnya. Akhirnya, fungsi kepadatan peluang median dapat diperoleh dengan mengintegralkan h(Z1 , Z2 ) terhadap Z2 yaitu: h(Z1 ) =

Penyelesaian: Karena n = 7 ganjil maka dari pers.(3) diperoleh nilai mediannya

2n! e−2Z1 /β (5) β 2 ( n2 − 1)!( n2 − 1)! Z Z1 n2 −1 2Z1 −Z2 n2 −1 Z2 1 − e− β e− β dZ2 0

Dengan pemisalan u = 1 − e−2Z2 /β diperoleh fungsi kepadatan peluang median dengan n genap dari peubah acak berdistribusi Eksponensial sebagai berikut n Z 4n! − β1 2 −nZ1 /β e h(Z1 ) = 1 − e n+2 nβ 2 ( n2 − 1)!( n2 − 1)! untuk 0 < Z1 < ∞ dan sama dengan 0 untuk yang lainnya. Selanjutnya, dari fungsi kepadatan peluang median dapat ditentukan mediannya yaitu dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang median dengan n genap yang telah diperoleh terhadap Z1 dengan batas bawah 0 (berdasarkan batas bawah distribusi Eksponensial) dan batas atas m serta dengan menyamakan pengertian peluang yaitu P (X < m) = 1/2 diperoleh (dengan pemisalan u = 1 − e−Z1 /β ) m n+2 1 4n! 2 2 (6) = u 2 nβ 2−n ( n2 − 1)!( n2 − 1)! n + 2 0

Contoh 2. Diberikan X1 , X2 , . . . , X8 suatu sampel acak berukuran n = 8 dari suatu distribusi Eksponensial dengan parameter β = 2. Tentukan nilai mediannya? Penyelesaian: Karena n = 8 genap maka dari pers.(7) diperoleh nilai mediannya m = 2 ln(1 − 0, 1475)−1 = 0, 3191 5

SIMPULAN DAN SARAN

5.1

Berdasarkan uraian pada bagian pembahasan dapat disimpulkan bahwa: 1. Statistik Tataan untuk 1 peubah digunakan pada penentuan nilai median dengan n ganjil, sedangkan Statistik Tataan untuk 2 peubah digunakan pada penentuan nilai median dengan n genap. 2. Suatu fungsi kepadatan peluang median untuk peubah acak berdistribusi Eksponensial tergantung dari fungsi kepadatan peluang dan fungsi distribusi Eksponensial itu sendiri dengan faktor pengali tergantung dari jumlah n pada suatu nilai β tertentu. 3. Nilai Median untuk n ganjil dapat ditentukan melalui rumus m = β ln 1 −

( n−1 )!( n−1 )!(n + 1) 2 2 4n!β (x−3)/2

2/(n+1) !−1 .

Sementara untuk n genap digunakan rumus

Berdasarkan penguraian statistik tataan terhadap suatu peubah acak berdistribusi Eksponensial tersebut diperoleh suatu nilai median untuk jumlah n genap yaitu

m = β ln 1 − (n2 + 2n)β 2−x ( n2 − 1)!( n2 − 1)! 16n!

m = β ln 1 − (n2 + 2n)β 2−x ( n2 − 1)!( n2 − 1)! 16n!

Simpulan

!2/(n+1) !−1 ,

!2/(n+1) !−1 .(7)

5.2

Saran

Untuk pengembangan lebih lanjut disarankan untuk membahas tentang: 4.3

Contoh Penggunaan Rumus Median

Contoh 1. Diberikan X1 , X2 , . . . , X7 suatu sampel acak berukuran n = 7 dari suatu distribusi Eksponensial dengan parameter β = 2. Tentukan nilai mediannya!

1. Penentuan median suatu peubah acak dengan distribusi yang berbeda 2. Keterkaitan median dengan β dan n dari suatu distribusi Eksponensial.

13202-8



DAFTAR PUSTAKA [1]

[2]

[3]

[4]

Nugroho, S., 2008, Bab 2 Peubah Acak, www.geocities.com/mhsmatmipaunib/ StatistikaMatematika02.Pdf, diakses pada tanggal 16 september 2008; Bab 4, Sebaran Fungsi Peubah Acak, www.geocities.com/dosmatmipaunib/ StatistikaMatematika04.pdf, diakses pada tanggal 16 september 2008 Suryadi, C., 2003, Beberapa Distribusi Peluang Kontinu II, http://kur2003.if.itb.ac.id/ file/CN%20IF2152%20Beberapa% 20Distribusi%20Peluang%20Kontinu%20II%20.pdf, diakses pada tanggal 16 september 2008 Waxmann, P., 1993, Businiss Mathematics and Statistics, 3rd edition, Prentice Hall, Victoria Hogg, R.V. and A.T. Craig, 1995, Introduction to Mathematical Statistics, 5th edition, Prentie Hall, New Jersey

13202-9

PENGGUNAAN STATISTIK TATAAN UNTUK MENENTUKAN MEDIAN CONTOH

Recommend Documents