Perambatan Gelombang Elektromagnetik
Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Edisi I
Departemen Fisika-FMIPA Univeristas Indonesia 2007
Untuk: Nina, Muflih dan Hasan
Be carefull with your desire, because it will become your thought Be carefull with your thought, because it will become your words Be carefull with your words, because it will become your action Be carefull with your action, because it will become your habit Be carefull with your habit, because it will become your destiny
Kata Pengantar
Ada satu fakta yang seringkali ditemui di kalangan mahasiswa geofisika yaitu kelemahan mereka dalam memahami sifat dan karakteristik penjalaran gelombang elektromagnetik. Akibatnya, interpretasi dari suatu fenomena gelombang elektromagnetik tidak dapat diuraikan secara mendalam. Untuk mengatasi masalah tersebut, buku yang anda sedang anda baca ini disusun. Buku ini sebenarnya merupakan bagian dari Tesis S2 penulis ketika kuliah di Departemen Fisika, FMIPA-UI. Isi buku ini mencoba meletakkan pondasi dasar dari bangunan pemahaman akan penjalaran gelombang elektromagnetik baik di medium non-konduktor maupun di medium konduktor. Penyusunan buku ini masih akan terus berlanjut ke edisi-2, dimana isinya akan terus dipertajam secara lebih mendetil sampai pada penurunan rumus-rumus gelombang yang diturunkan dari persamaan Maxwell. Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede Djuhana yang telah berkenan membagi format LATEXkepada saya sehingga tampilan tulisan pada buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Rasa terima kasih juga ingin saya teruskan kepada Sarah Wardhani yang telah memicu langkah awal penulisan buku ini hingga Edisi-1 terselesaikan. Tak lupa, saya pun sepatutnya berterima kasih kepada seluruh rekan diskusi yaitu para mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Pengantar Geofisika ATA 2007/2008 di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia. Semoga buku ini bermanfaat buat kebangkitan ilmu pengetahuan anak bangsa. Saya wariskan ilmu ini untuk anak bangsa. Saya mengizinkan kalian semua untuk meng-copy dan menggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tujuan komersial. Jika ada koreksi maupun saran atas isi buku ini, mohon disampaikan secara tertulis melalui email ke alamat:
[email protected]. Terima kasih.
Depok, 12 September 2007 Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc
v
Daftar Isi
Lembar Persembahan
i
Kata Pengantar
v
Daftar Isi
vii
Daftar Gambar
ix
Daftar Tabel
xi
1 Gelombang EM pada Medium Udara
1
1.1
Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Energi Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Gelombang Pada Medium Nonkonduktor
5
2.1
Gelombang datang dengan sudut normal terhadap bidang batas . . . . . . . . . .
7
2.2
Gelombang datang dengan sudut sembarang terhadap bidang batas . . . . . . .
9
3 Gelombang pada Medium Konduktor
13
3.1
Gelombang Monokromatik pada Medium Konduktor . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
Refleksi dan Transmisi pada Permukaan Konduktor . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Daftar Acuan
19
vii
Daftar Gambar
1.1
Gelombang Elektromagnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1
Gelombang elektromagnetik pada batas antar medium non-konduktor
. . . . . . . . .
7
2.2
Gelombang datang dengan sudut θI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Kurva rasio amplitudo gelombang refleksi,EoR dan gelombang transmisi, EoT terhadap gelombang datang,EoI dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4
Kurva koefisien refleksi dan transmisi dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25 . . . . . . . . . . . . .
12
3.1
Gelombang medan magnet dan medan listrik tidak sefasa . . . . . . . . . . . . . . . .
16
ix
Daftar Tabel
2.1
Daftar nilai konstanta permeabilitas relatif dari berbagai mineral (Telford et al, 1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
6
Daftar nilai permitivtas relativ atau konstanta dielektrik, ǫr , dan kecepatan gelombang elektromagnetik dalam berbagai mineral geologi (Annan dan Cosway, 1992)
xi
6
Bab 1
Gelombang EM pada Medium Udara
1.1
Persamaan Gelombang
Sejarah telah mencatat bahwa hukum-hukum tentang elektrostatik, magnetostatik dan elektrodinamik ditemukan pada awal abad ke-19. Beberapa dari hukum-hukum itu, seperti hukum Faraday, hukum Ampere dan konsep mengenai displacement current, secara sistematik telah disusun oleh Maxwell menjadi apa yang dikenal sekarang ini sebagai persamaan Maxwell. Khusus pada ruang vakum dan berlaku juga pada medium udara, persamaan Maxwell dinyatakan sebagai ∇·E = 0
(1.1)
∇·B = 0
(1.2)
∇×E = −
(1.3)
∂B ∂t ∂E ∇ × B = µo ǫo ∂t
(1.4)
dimana E = vektor medan listrik, B = vektor medan magnet, ǫo = permitivitas listrik di udara atau vakum (8, 85 × 10−12 C 2 /N m2 ), µo = permeabilitas magnet di udara atau vakum (4π × 10−7 T.m/A).
Operasi curl yang dilakukan pada persamaan (1.3) dan (1.4) menghasilkan persamaan gelombang medan listrik dan gelombang medan magnet sebagai berikut ∇2 E = µo ǫo
∂2E ∂t2
∇2 B = µo ǫo
∂2B ∂t2
(1.5)
dengan kecepatan rambat gelombang di udara dan ruang vakum sebesar c= √
1 ≈ 3, 00 × 108 m/s ǫo µo
(1.6)
Persamaan (1.5) memiliki solusi sebagai berikut B = Bo ei(κx−ωt+δB ) kˆ
E = Eo ei(κx−ωt+δE ) ˆj 1
(1.7)
BAB 1. GELOMBANG EM PADA MEDIUM UDARA
2
Gambar 1.1: Gelombang Elektromagnetik
dengan Eo adalah amplitudo medan listrik pada sumbu y, sementara Bo adalah amplitudo medan magnet pada sumbu z. Sedangkan κ = konstanta propagasi, x = arah rambat gelombang, δE = beda fase gelombang medan listrik terhadap titik acuan yaitu pada x=0, y=0, z=0 , dan δB = beda fase gelombang medan magnet terhadap titik acuan. Pada ruang vakum dan medium non-konduktor, tidak terjadi beda fase antara medan listrik dan medan magnet, sehingga dapat dinyatakan δE = δB = δ. E = Eo ei(κx−ωt+δ) ˆj
B = Bo ei(κx−ωt+δ) kˆ
(1.8)
B = Bo cos (κx − ωt + δ)kˆ
(1.9)
atau bila dinyatakan hanya dalam komponen riil E = Eo cos (κx − ωt + δ)ˆj
Berdasarkan Hukum Faraday, persamaan (1.4), dapat dimengerti bahwa arah getar medan listrik harus saling tegak lurus dengan arah getar medan magnet. Hubungan antara amplitudo medan listrik dan medan magnet dapat dinyatakan sebagai κ(Eo ) = ω(Bo )
(1.10)
atau dalam bentuk yang lebih umum Bo =
1 κ Eo = Eo ω c
(1.11)
Jadi suatu gelombang elektromagnetik dapat dinyatakan sebagai E(x, t) = Eo ei(κx−ωt+δ) ˆj
1 B(x, t) = Eo ei(κx−ωt+δ) kˆ c
(1.12)
1.2. ENERGI GELOMBANG
3
dan khusus untuk bagian riil adalah 1 B(x, t) = Eo cos(κx − ωt + δ)kˆ c
E(x, t) = Eo cos(κx − ωt + δ)ˆj
1.2
(1.13)
Energi Gelombang
Energi gelombang elektromagnetik yang tersimpan per satuan volume dinyatakan sebagai 1 1 U = (ǫo E 2 + B 2 ) 2 µo
(1.14)
2 U = ǫo E 2 = ǫo Eoy cos2 (κx − ωt + δ)
(1.15)
Selama gelombang merambat, ia membawa energi sepanjang lintasan yang dilaluinya. Kerapatan fluks energi yang dibawa oleh medan ditentukan oleh vektor poynting S=
1 (E × B) µo
2 S = cǫo Eoy cos2 (κx − ωt + δ)ˆi = cU ˆi
(1.16) (1.17)
Vektor poynting juga menunjukkan arah rambat gelombang. Persamaan di atas menunjukkan bahwa arah rambat gelombang searah dengan sumbu x. Intensitas gelombang dinyatakan sebagai harga rata-rata dari S, hSi 1 2 I = hSi = ǫo cEoy 2
(1.18)
4
BAB 1. GELOMBANG EM PADA MEDIUM UDARA
Bab 2
Gelombang Pada Medium Nonkonduktor
Gelombang elektromagnetik dapat juga merambat pada medium nonkonduktor. Pada kasus ini, bentuk persamaan Maxwell dimodifikasi menjadi ∇·D = 0
(2.1)
∇·B = 0
(2.2)
∂B ∇×E = − ∂t ∂D ∇×H = ∂t
(2.3) (2.4)
dengan D adalah medan listrik pergeseran dan H adalah kuat medan magnet pada medium. Jika medium bersifat linear, maka D = ǫE
H=
1 B µ
(2.5)
dan bila medium bersifat homogen, maka nilai konstanta permitivitas, ǫ, dan permeabilitas, µ tidak mengalami variasi pada setiap titik dalam medium , sehingga persamaan Maxwell dinyatakan sebagai ∇·E = 0
(2.6)
∇·B = 0
(2.7)
∇×E = −
(2.8)
∂B ∂t ∂E ∇ × B = µǫ ∂t
(2.9)
Pada medium non-konduktor, besar kecepatan rambat gelombang elektromagnetik adalah 1 v=√ ǫµ 5
(2.10)
BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR
6
Sebagian besar mineral geologi yang ada di alam ini memiliki nilai µ yang mendekati µo , kecuali jika material tersebut memiliki sejumlah besar molekul F e2 O3 yang terkandung didalamnya (Telford et al, 1990)?. Lihat Tabel 2.1. Di lain pihak,lihat Tabel 2.2, ǫ selalu lebih besar dari ǫo . Hal ini membawa konsekuensi bahwa kecepatan gelombang elektromagnetik pada suatu medium, selalu lebih rendah dibandingkan dengan kecepatan gelombang elektromagnetik di udara. Tabel 2.1: Daftar nilai konstanta permeabilitas relatif dari berbagai mineral (Telford et al, 1990) Mineral Magnetite Pyrhotite Hematite Rutile Calsite Quartz
Permeabilitas relatif, µ/µo 5 2,55 1,05 1,0000035 0,999987 0,999985
Tabel 2.2: Daftar nilai permitivtas relativ atau konstanta dielektrik, ǫr , dan kecepatan gelombang elektromagnetik dalam berbagai mineral geologi (Annan dan Cosway, 1992) Mineral Udara Air laut Pasir kering Pasir basah Limestone Silts Granit Es
ǫr 1 80 3-6 20-30 4-8 5-30 4-6 3-4
Kecepatan (m/ns) 0,30 0,01 0,15 0,06 0,12 0,07 0,13 0,16
Nilai rasio kecepatan gelombang elektromagnetik di udara terhadap kecepatan gelombang elektromagnetik medium non-konduktor, disebut indeks bias, n, c n= = v
r
ǫµ ∼ = ǫo µo
r
√ ǫ = ǫr ǫo
(2.11)
dimana ǫr adalah konstanta dielektrik. Faktor indeks bias dalam pengolahan data GPR menjadi hal yang sangat penting, karena berpengaruh langsung terhadap arah rambat gelombang refleksi dan tranmisi, terutama bila pulsa-pulsa radar bertemu dengan batas antara dua lapisan batuan. Hal ini akan dibahas lebih dalam pada bagian tulisan berikutnya. Solusi persamaan gelombang pada medium nonkonduktor adalah E(x, t) = Eoy ei(κx−ωt+δ) ˆj
B(x, t) =
1 Eoz ei(κx−ωt+δ) kˆ v
(2.12)
Kerapatan energi gelombang, vektor poynting dan intesitas pada medium linear dinyatakan
2.1. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT NORMAL TERHADAP BIDANG BATAS 7
Gambar 2.1: Gelombang elektromagnetik pada batas antar medium non-konduktor
dengan U
=
S = I =
2.1
1 1 (ǫE 2 + B 2 ) 2 µ 1 (E × B) µ 1 2 ǫvEoy 2
(2.13) (2.14) (2.15)
Gelombang datang dengan sudut normal terhadap bidang batas
Anggaplah ada bidang pembatas antara dua medium linear yang berbeda. Sebuah gelombang datang dengan frekuensi ω, merambat pada medium 1 searah dengan sumbu x positif mendekati bidang batas dari arah kiri, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.1: EI (x, t) = EoyI ei(κ1 x−ωt+δ)ˆj 1 EoyI ei(κ1 x−ωt+δ) kˆ BI (x, t) = v1
(2.16) (2.17)
Saat bertemu bidang batas, akan terbentuk gelombang refleksi ER (x, t) = EoyR ei(−κ1 x−ωt+δ)ˆj 1 BR (x, t) = − EoyR ei(−κ1 x−ωt+δ) kˆ v1
(2.18) (2.19)
BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR
8
yang merambat berlawanan arah dengan gelombang datang namun tetap merambat pada medium 1. Hal ini mengakibatkan vektor Poynting berbalik arah, sehingga BR bertanda negatif. κ1 juga bertanda negatif karena arah rambat gelombang refleksi berlawanan dengan arah rambat gelombang datang . Selain itu akan terbentuk juga gelombang transmisi yang terus merambat pada medium 2. ET (x, t) = EoyT ei(κ2 x−ωt+δ)ˆj 1 BT (x, t) = EoyT ei(κ2 x−ωt+δ) kˆ v2
(2.20) (2.21)
Pada x = 0, kombinasi gelombang pada medium 1, EI + ER dan BI + BR harus kontinyu dengan gelombang yang berada pada medium 2, ET dan BT memenuhi syarat-syarat batas sebagai berikut Emedium1 = Emedium2 1 1 Bmedium1 = Bmedium2 µ1 µ2
(2.22) (2.23)
Berdasarkan kedua syarat batas tersebut maka
1 µ1
EoyI + EoyR = EoyT 1 1 1 1 EoyI − EoyR EoyT = v1 v1 µ2 v2
(2.24) (2.25)
atau disederhanakan menjadi √ µ1 ǫ2 µ1 v1 = √ β= µ2 v2 µ2 ǫ1
EoyI − EoyR = βEoyT
(2.26)
Sebagian besar mineral di alam ini memiliki permeabilitas magnet µ yang hampir sama dengan nilai permeabilitas magnet di ruang vakum µ0 , sehingga dapat diasumsikan µ1 = µ2 . Besar amplitudo gelombang refleksi dan amplitudo gelombang transmisi yang masing-masing dinyatakan dalam gelombang datang berturut-turut sebagai berikut EoyR
√ √ ǫ1 − ǫ2 = √ EoyI √ ǫ1 + ǫ2
EoyT =
√ 2 ǫ1 EoyI √ √ ǫ1 + ǫ2
(2.27)
Berdasarkan persamaan (2.15), rasio intensitas gelombang refleksi terhadap gelombang datang, atau koefisien refleksi adalah IR = R= II
EoyR EoyI
2
√ √ ǫ1 − ǫ2 2 = √ √ ǫ1 + ǫ2
(2.28)
2 √ √ ǫ2 2 ǫ1 =√ √ √ ǫ1 ǫ1 + ǫ2
(2.29)
Sementara koefisien transmisi ditentukan oleh ǫ2 v2 IT = T = II ǫ1 v1
EoyT EoyI
2
2.2. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT SEMBARANG TERHADAP BIDANG BATAS9
Gambar 2.2: Gelombang datang dengan sudut θI
2.2
Gelombang datang dengan sudut sembarang terhadap bidang batas
Jika gelombang EM jatuh pada bidang batas dengan sudut datang tertentu, maka persamaan syarat batasnya menjadi ǫ1 (EoI + EoR )x = ǫ2 (EoT )x
(2.30)
(BoI + BoR )x = (BoT )x
(2.31)
(EoI + EoR )y,z = (EoT )y,z 1 1 (BoI + BoR )y,z = (BoT )y,z µ1 µ2
(2.32) (2.33)
dimana Bo = (kˆ × Eo )/v. Dua syarat batas terakhir merupakan pasangan persamaan, jika salah
satu persamaan dinyatakan dalam komponen-y, maka persamaan lainnya harus dinyatakan dalam komponen-z. Gambar 2.2 menunjukkan model fenomena refleksi dan transmisi dengan sudut datang sembarang. Dari syarat batas (2.30) diperoleh ǫ1 (−EoI sin θI + EoR sin θR ) = ǫ2 (−EoT sin θT )
(2.34)
syarat batas (2.31) tidak memberikan kontribusi apa-apa, syarat batas (2.32) menjadi
syarat batas (2.33) menjadi
EoI cos θI + EoR cos θR = EoT cos θT
(2.35)
1 1 (EoI − EoR ) = Eo µ1 v1 µ2 v2 T
(2.36)
BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR
10
Persamaan (2.34) dan (2.36) dapat disederhanakan menjadi √ ǫ2 µ1 v1 β= =√ µ2 v2 ǫ1
EoI − EoR = βEoT
(2.37)
dan persamaan (2.35) disederhanakan menjadi EoI + EoR = αEoT
cos θT cos θI
α=
(2.38)
Berdasarkan Hukum Snellius, faktor α dapat dinyatakan dalam sudut datang dan permitivitas medium, yaitu p 1 − sin2 θT = α= cos θI
s
1−
ǫ1 sin θI ǫ2
cos θI
2
(2.39)
Rasio amplitudo gelombang refleksi dan transmisi terhadap gelombang datang dapat dinyatakan sebagai berikut
EoR = EoI
EoT EoI
α−β α+β
=
ǫ2 ǫ1
ǫ2 ǫ1
cos θI − cos θI +
s s
ǫ2 ǫ1
ǫ2 ǫ1
− sin2 θI
(2.40)
2
− sin θI
r ǫ2 cos θI 2 ǫ1 2 s = = α+β ǫ2 ǫ2 cos θI + − sin2 θI ǫ1 ǫ1
(2.41)
Kedua persamaan terakhir dikenal dengan Persamaan Fresnel. Berdasarkan kedua persamaan tersebut dapat dimengerti bahwa gelombang transmisi selalu sefase dengan gelombang datang, sedangkan gelombang refleksi akan sefase bila α > β, tetapi berlawanan fase bila α < β. Lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.3 Ketika gelombang datang bertemu dengan bidang batas dari arah normal (θI = 0), maka α = 1, dan hasil-hasil penurunan rumusnya sesuai dengan pembahasan terdahulu. Namun, yang paling menarik adalah ketika α = β, hal ini mengakibatkan hilangnya gelombang refleksi, dan yang tersisa hanya gelombang transmisi. Sudut datang yang menyebabkan fenomena tersebut disebut sudut Brewster, θB
1 − β2 sin2 θB = ǫ1 − β2 ǫ2
(2.42)
jika µ1 = µ2 , sudut Brewster dapat dinyatakan dengan tan θB =
r
ǫ2 ǫ1
(2.43)
2.2. GELOMBANG DATANG DENGAN SUDUT SEMBARANG TERHADAP BIDANG BATAS11 1
Rasio Eot/Eoi Rasio Eor/Eoi
0.8
Magnitude
0.6
0.4
0.2
(θ ) B
0
−0.2
−0.4
0
10
20
30
40 50 sudut datang(θ)
60
70
80
90
Gambar 2.3: Kurva rasio amplitudo gelombang refleksi,EoR dan gelombang transmisi, EoT terhadap gelombang datang,EoI dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25
Intesitas gelombang datang, refleksi dan transmisi masing-masing adalah 1 1 1 II = ǫ1 v1 Eo2I cos θI IR = ǫ1 v1 Eo2R cos θR IT = ǫ2 v2 Eo2T cos θT 2 2 2
(2.44)
sehingga besar koefisien refleksi dan transmisi berturut-turut dapat ditentukan sebagai berikut IR R= = II T =
IT ǫ2 v2 = II ǫ1 v1
EoR EoI
EoR EoI
Secara grafik dapat dilihat pada Gambar 2.4.
2
2
=
α−β α+β
cos θT = αβ cos θI
2
2 α+β
(2.45) 2
(2.46)
BAB 2. GELOMBANG PADA MEDIUM NONKONDUKTOR
12
1
0.9
0.8
0.7
Magnitude
0.6 Koef. Transmisi Koef. Refleksi
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40 50 sudut datang(θ)
60
70
80
90
Gambar 2.4: Kurva koefisien refleksi dan transmisi dengan ǫ1 = 5 dan ǫ2 = 25
Bab 3
Gelombang pada Medium Konduktor
Bentuk persamaan Maxwell dalam medium konduktor adalah ∇·E = 0
(3.1)
∇·B = 0
(3.2)
∂B ∇×E = − ∂t ∇ × B = µσE + µǫ
(3.3) ∂E ∂t
(3.4)
dimana σ adalah konstanta konduktivitas. Dari persamaan di atas, dapat diturunkan persamaan gelombang medan listrik dan medan magnet sebagai berikut ∇2 E = µǫ
∂2E ∂E 2 ∂2B ∂B + µσ ∇ B = µǫ + µσ ∂t2 ∂t ∂t2 ∂t
(3.5)
Kedua persamaan ini memberikan solusi persamaan gelombang bidang, yaitu E(x, t) = Eoy ei(κx−ωt+δE ) ˆjB(x, t) = Boz ei(κx−ωt+δB ) kˆ
(3.6)
dimana bilangan gelombang, κ, berbentuk bilangan kompleks κ2 = µǫω 2 + iµσω
(3.7)
yang dapat disederhanakan menjadi κ = κ+ + iκ− , dengan κ+ (ω) = ω
r
ǫµ 2
#1/2 #1/2 r "r σ 2 σ 2 ǫµ 1+ 1+ +1 −1 κ− (ω) = ω ǫω 2 ǫω
"r
(3.8)
dengan demikian, solusi lengkap persamaan gelombang di atas dapat ditulis sebagai E(x, t) = Eoy e−κ− x ei(κ+ x−ωt+δE ) ˆjB(x, t) = Boz e−κ− x ei(κ+ x−ωt+δB ) kˆ 13
(3.9)
BAB 3. GELOMBANG PADA MEDIUM KONDUKTOR
14
Faktor κ− , bagian imajiner dari κ, menjelaskan terjadinya atenuasi gelombang, yaitu gejala melemahnya amplitudo seiring dengan bertambahnya jarak tempuh gelombang. Disamping itu, κ− juga menentukan kedalaman skin depth, yaitu suatu jarak tertentu dimana amplitudo gelombang melemah dengan faktor 1/e, dan dihitung dengan cara 1 κ−
d=
(3.10)
Bagian riil dari κ, yaitu faktor κ+ berhubungan dengan panjang gelombang, λ, kecepatan rambat gelombang, v, dan indeks bias, n, yang masing-masing dinyatakan dengan λ=
2π = κ+ ω
v=
r
ω =r κ+
cκ+ =c n= ω
ǫµ 2
ǫµ 2
r
2π #1/2 σ 2 1+ +1 ǫω
"r
1 #1/2 σ 2 1+ +1 ǫω
"r
ǫµ 2
"r
#1/2 σ 2 1+ +1 ǫω
(3.11)
(3.12)
(3.13)
Bila gelombang elektromagetik berfrekuensi tinggi merambat pada medium berkonduktivitas rendah (non konduktor), atau dengan kata lain memenuhi syarat σ << ωǫ
(3.14)
maka komponen riil dan imajiner dari bilangan gelombang, κ, dapat ditulis sebagai √ κ+ (ω) ∼ = ω ǫµ
σ κ− ∼ = 2
r
µ ǫ
(3.15)
Besar kecepatan gelombang pada medium seperti itu adalah 1 v=√ µǫ
(3.16)
Hasil ini sama persis dengan penurunan rumus kecepatan pada pembahasan gelombang elektromagnetik dalam medium non-konduktor. Selain itu dapat dimengerti pula bahwa skin depth terbebas dari pengaruh frekuensi, sehingga penetrasi gelombang elektromagnetik pada mineral berkonduktivitas rendah atau non-konduktor semata-mata hanya ditentukan oleh parameter listrik-magnet mineral tersebut. Pada kasus yang lain yaitu ketika gelombang elektromagnetik ber-frekuensi tinggi merambat pada medium berkonduktivitas tinggi, atau dengan kata lain memenuhi syarat σ >> ωǫ
(3.17)
3.1. GELOMBANG MONOKROMATIK PADA MEDIUM KONDUKTOR
15
maka faktor κ+ dan κ− mempunyai harga yang hampir sama κ+ (ω) ∼ = = κ− (ω) ∼
r
ωσµ 2
(3.18)
tetapi pada kasus ini, skin depth dipengaruhi oleh frekuensi. Skin depth semakin dangkal bila frekuensi semakin tinggi demikian pula sebaliknya.
3.1
Gelombang Monokromatik pada Medium Konduktor
Solusi persamaan gelombang untuk medium konduktor, sebagaimana yang telah dibahas pada bagian yang terdahulu adalah sebagai berikut E(x, t) = Eoy e−κ− x ei(κ+ x−ωt+δE ) ˆj B(x, t) =
κ ω
Eoz e−κ− x ei(κ+ x−ωt+δB ) kˆ
(3.19) (3.20)
yang menunjukkan bahwa gelombang medan listrik dan medan magnet saling tegak lurus. Seperti bilangan kompleks lainnya, κ juga dapat diekspresikan dalam modulus dan fase: κ = κ+ + iκ− = |κ|eiφ
(3.21)
dengan q |κ| = κ2+ + κ2− = ω dan φ = tan−1
s
ǫµ 1 +
r
κ− κ+
σ 2 ǫω
(3.22)
(3.23)
Mengacu pada persamaan (3.19) dan (3.20), amplitudo medan listrik dan medan magnet saling dihubungkan dengan Boz eiδB =
|κ|eiφ Eoy eiδE ω
(3.24)
Jadi, secara matematis dapat dibuktikan bahwa perambatan gelombang elektromagnetik pada medium konduktor akan menghadirkan beda fase antara medan listrik dan medan magnet, sebagaimana diperlihatkan Gambar 3.1. Beda fase tersebut adalah δB − δE = φ
(3.25)
Secara fisis artinya adalah gelombang medan magnet selalu tertinggal di belakang gelombang medan listrik. Pada sisi lain, amplitudo riil dari medan listrik dan medan magnet dihubungkan oleh persamaan berikut
Boz
|κ| Eoy = = ω
s
r
σ 2 Eoy ǫµ 1 + ǫω
(3.26)
BAB 3. GELOMBANG PADA MEDIUM KONDUKTOR
16
Gambar 3.1: Gelombang medan magnet dan medan listrik tidak sefasa
Akhirnya, gelombang medan listrik dan medan magnet pada medium konduktor harus dinyatakan sebagai E(x, t) = Eoy e−κ− x cos(κ+ x − ωt + δE )ˆj |κ| B(x, t) = Eoy e−κ− x cos(κ+ x − ωt + δE + φ)kˆ ω
(3.27) (3.28)
Pada konduktor, energi gelombang tidak dibagi secara merata pada gelombang medan listrik dan medan magnet
1 1 U = (ǫo E 2 + B 2 ) 2 µo
|κ| 1 2 −2κ− x 2 2 ǫ cos (κ+ x − ωt + δE ) + cos (κ+ x − ωt + δE + φ) U = Eoy e 2 µω 2
(3.29) (3.30)
Energi rata-rata dinyatakan sebagai # " r µ 2 1 2 −2κ− x < U >∼ e 1+ 1+ = ǫEoy 4 ǫω
(3.31)
Suku kedua dari persamaan (3.31) menunjukkan dominasi medan magnet. Bahkan, bila suatu material tergolong dalam konduktor yang baik, maka 1 µ 2 −2κ− x E e < U >∼ = 4 ω oy
(3.32)
Sementara, fluks energi rata-rata ditentukan oleh vektor poynting sebagai berikut < S >=
1 κ+ 2 −2κ− xˆ E e i 2 µω oy
(3.33)
3.2. REFLEKSI DAN TRANSMISI PADA PERMUKAAN KONDUKTOR
3.2
17
Refleksi dan Transmisi pada Permukaan Konduktor
Anggaplah terdapat bidang yz sebagai batas antara medium 1 yang non-konduktor dan medium 2 yang konduktor. Suatu gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1, melintasi bidang batas, menuju medium 2 seperti gambar 2.1 Persamaan gelombang untuk gelombang datang, refleksi dan transmisi adalah sebagai berikut EI (x, t) = EoyI ei(κ1 x−ωt+δ)ˆj ER (x, t) = EoyR ei(−κ1 x−ωt+δ)ˆj ET (x, t) = EoyT ei(κ2 x−ωt+δ)ˆj
1 EoyI ei(κ1 x−ωt+δ) kˆ v1
BI (x, t) =
1 EoyR ei(−κ1 x−ωt+δ) kˆ v1 κ2 BT (x, t) = EoyT ei(κ2 x−ωt+δ) kˆ ω
BR (x, t) = −
(3.34) (3.35) (3.36)
Gelombang transmisi mengalami atenuasi ketika memasuki konduktor, karena κ2 merupakan bilangan kompleks. Syarat batas harus memenuhi dua syarat batas, yaitu
dan
EoyI + EoyR = EoyT
(3.37)
1 κ2 1 (EoyI − EoyR ) = EoyT ) µ1 v1 µ2 ω
(3.38)
atau EoyI − EoyR = βEoyT
β=
µ1 v1 κ2 µ2 ω
(3.39)
Dari persamaan (3.37) dan (3.39) diperoleh EoyR =
1−β 1+β
EoyI
EoyT =
2 1+β
EoyI
(3.40)
Hasil ini identik dengan yang diperoleh sebelumnya pada batas antar dua bahan non-konduktor, hanya saja sekarang β merupakan bilangan kompleks. Untuk konduktor yang sempurna (σ = ∞), β menjadi tak terhingga, sehingga EoyR = −EoyI
EoyT = 0
(3.41)
Pada kasus ini, semua gelombang datang akan dipantulkan menjadi gelombang refleksi dengan beda fase 180.
Daftar Pustaka
19
