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PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME
Perímetro e área de algumas figuras geométricas
Indicaremos o perímetro de uma figura por P e sua área por A.
•
Retângulo P = 2h + 2b h
A = b.h b
•
Quadrado P = 4a A = a2
a a
•
Paralelogramo
P = 2a + 2b h
a
b
A = b.h
•
Triângulo ATENÇÃO: O triângulo possui três lados e qualquer um deles pode ser considerado como base. A altura relativa será a distância entre a base escolhida e o vértice oposto.
Exemplo: a b P=a+b+c A=
c
b.h b 2
hb
Há outras expressões que nos permitem calcular a área de um triângulo, vejamos: 1. Em função dos lados
P = a + b + c (perímetro) p = (a + b + c)/2 (semiperímetro) a
A=
b
p.(p − a).( p − b ).( p − c )
c
2. Em função dos lados e do raio r da circunferência inscrita a r
c
b
A = p.r
3. Em função dos lados e do raio R da circunferência circunscrita
a R
b A=
c
•
Trapézio
b P=a+b+c+B a
c
h A=
(b + B).h 2
B
•
Losango
a
a P = 4a D
a
a d
A=
d.D 2
a.b.c 4R
•
Alguns polígonos regulares Triângulo eqüilátero
a
a
Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos h2 + (a/2)2 = a2
h
h=a
a
3 2
Logo 2 h a 3 A = a. = 4 2
Hexágono O hexágono é formado por seis triângulos eqüiláteros, logo
a2 3 A = 6. 4
•
Circunferência
R
P = 2πR A = πR2
ALGUNS SÓLIDOS Indicaremos o volume de um sólido por V e sua área superficial total por Atotal. •
Paralelepípedo
V = a.b.c Atotal = 2(a.b + b.c + a.c) a c b
•
Cubo
V = a3 Atotal = 6a2 a a a
•
Prisma de base triangular
Base triangular (Ab)
V = Ab .h Altura do prisma (h)
Base triangular (Ab)
Atotal = 2Ab + Alateral
•
Pirâmide
O volume de uma pirâmide é calculado da seguinte maneira:
1 área da base x altura 3 As faces laterais da pirâmide são triangulares.
Lembre-se: A altura da pirâmide é a distância entre a base e o vértice oposto.
Vejamos algumas pirâmides. 1. Base triangular
h
V=
1 Abase.h 3
Atotal = 3Atriângulo + Abase
Base triangular (Ab) 2. Base retangular
h
V=
1 Abase.h 3
Atotal = 4Atriângulo + Abase
Base retangular
•
Cilindro
Lembre-se: A base de um cilindro circular é um círculo. h V = Abase.h = π.R2.h Alateral = 2.π.R.h
R
Atotal = 2.Abase + Alateral
•
Cone Lembre-se: A base de um cone circular também é um círculo. g h
V= R g é a geratriz
1 1 Abase.h = π.R2.h 3 3
Alateral = π.R.g Atotal = Abase + Alateral
EXERCÍCIOS SOBRE PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME 1) Calcule a área de um quadrado de lado a sabendo que o raio da circunferência circunscrita a esse quadrado mede 2 2 cm.
2 2 a
2) Sabendo que o raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular mede 3 cm, calcule a área desse hexágono. 3
3) Determine a área da região sombreada, sabendo que o raio de cada circunferência mede 2 cm. 2
4) Calcule a área total e o volume do cilindro circular da figura abaixo, sabendo que o raio da esfera inscrita mede 3 cm.
5) Calcule a área lateral, a área total e o volume de uma pirâmide de base quadrangular cujas medidas dos lados da base e das faces laterais medem 5 cm.
5
5 5
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE PERÍMETRO, ÁREA E VOLUME
1) 16 m 2 2)
27 3 2
3) 4 ( 4 - π ) 4) A = 54π cm 2 V = 108π cm 3 5) AL = 25 3
