Resolución del cubo de Rubik - UC3M

Resolución del cubo de Rubik Ignacio Alonso Muñoz

Maxi Arévalo Garbayo

Víctor Collado Negro

Ingeniero de Telecomunicación Ingeniero de Telecomunicación Ingeniero de Telecomunicación Universidad Carlos III de Madrid Universidad Carlos III de Madrid Universidad Carlos III de Madrid Avda. Universidad, 30. 28911, Madrid Avda. Universidad, 30. 28911, Madrid Avda. Universidad, 30. 28911, Madrid +34 646120451 +34 660972878 +34 625095620

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Este artículo trata sobre el invento del escultor y arquitecto Ern Rubik, el mundialmente conocido Cubo de Rubik. En el comentaremos la larga historia de este famoso “juguete”, además de tratar de explicar los diferentes algoritmos de resolución.

Categorías y Descriptores del Tema

F.2.m [Theory of Computation]: Analysis Of Algorithms And Problem Complexity – Miscellaneous.

Términos Generales

Algoritmos, Lenguajes, Programación.

Palabras Clave

Cubo de Rubik, Esquina, Arista, Centro, Ern Rubik, Jessica Fridrich, Lars Petrus.

1. INTRODUCCIÓN

El objetivo de este trabajo es presentar los diferentes algoritmos de resolución de un Cubo de Rubik de 3x3. Fundamentalmente hay dos métodos de resolución: “Método Fridrich” y “Método Petrus”. El primero de ellos tiene dos algoritmos diferentes en función de la complejidad. Ambos parten del “Método de Cruz”, que consiste en crear una cruz en una cara. Para esto basta llevar las cuatro aristas, de dicha cara, a su posición. Se debe de tener en cuenta que las aristas tienen dos colores, un color es el de la cara superior y el otro debe coincidir con el color de la cara en común. Como se ha dicho anteriormente, con este método se desarrollan dos algoritmos. El primero y más simple es para principiantes. Con él, en 7 pasos básicos, se puede resolver el cubo. La simpleza radica en que se ven claramente los pasos a seguir del algoritmo. El segundo y de mayor complejidad, el original “Método Fridrich” [2] recibe su nombre por su creadora Jessica Fridrich. El segundo método se basa en las teorías de Lars Petrus [3]. Primero se trabaja para solucionar un bloque 2x2x2 del cubo, que se extiende a un bloque solucionado 2x2x3. Los dos lados restantes del cubo entonces se solucionan usando solamente algunos algoritmos. El programa [1] con el cual se explicará este proyecto se basa en el Método de Fridrich y sus dos algoritmos de resolución. A continuación se procede a explicar la historia del Cubo de Rubik, así como las principales definiciones básicas y necesarias para su resolución.

2. HISTORIA 2.1 Invento

El famoso cubo de Rubik fue inventado en el año 1974 por un profesor de Arquitectura de la Universidad de Budapest, en Hungría, llamado Erno Rubik, quien lo bautizó originalmente como el Cubo Mágico. Después de terminar sus estudios, se quedó en la academia para dar clases de Diseño de Interiores. Como maestro, Erno Rubik prefería comunicar sus ideas utilizando modelos reales, hechos de papel, cartón, Figura 1. madera o plástico, desafiando a sus Erno Rubik estudiantes a experimentar mediante la manipulación de formas claramente construidas y fáciles de interpretar. Esto le permitió darse cuenta que aún los elementos más simples, manipulados inteligentemente, daban una abundancia de múltiples formas. Cuando Rubik inventó su cubo, no pretendía crear el rompecabezas más vendido en la historia de los juguetes, sino que simplemente se desafió a crear un cubo en el que los bloques pudieran moverse de forma independiente, sin caerse y deshacer el cubo. Así es que creó un cubo de 26 cubitos individuales y un centro. Cada capa de nueve cubitos debía girar y las capas superponerse, moviéndose de todas formas excepto diagonalmente. Después de concebir la idea, el arquitecto tuvo que enfrentarse al problema nada sencillo de unir los elementos para que cada uno pudiera rotarse y moverse de la manera en que lo harían. Trató de mantener unidos los elementos mediante una construcción hecha con ligas, pero pronto se dio cuenta de que tal dispositivo no funcionaría. Las alternativas entonces disponibles, tales como imanes o sistemas de ranuras, no cubrían con la complejidad que requerían las uniones. Erno comprendió que sólo un concepto totalmente original podría proporcionar una solución satisfactoria. La inspiración vino un día de verano cuando miraba el flujo del río Danubio. Rubik notó unos guijarros, cuyos bordes agudos habían sido pulidos y aplanados de manera natural a lo largo del tiempo, proporcionando las formas redondeadas de gran belleza, pero también de enorme simplicidad. El interior de los elementos del cubo debía tener la misma arquitectura redondeada. Ern Rubik obtuvo la patente HU170062 para su cubo, aunque no solicitó ninguna a nivel internacional. El primer lote de prueba fue producido a finales de 1977 y distribuido en las jugueterías de Budapest. La popularidad del Cubo creció en Hungría gracias al boca a boca.

Las ventas del Cubo de Rubik seguían siendo escasas. Fue entonces cuando lo descubrió el Dr. Tibor Laczi, un hombre de negocios nacido en Budapest, pero que había hecho su vida en Occidente. En uno de sus viajes a Hungría, mientras tomaba un café, observó a un mesero jugando con el cubo. Laczi, un matemático amateur, se sintió fascinado. Al día siguiente, fue a la compañía de comercio estatal y pidió permiso para vender el cubo en Occidente. De inmediato concertó una cita con el inventor y quedó impresionado con su aspecto. El primer impulso de Laczi fue darle algo de dinero a Rubik, quien parecía un mendigo con sus ropas viejas y un barato cigarro húngaro colgando de su boca. Sin embargo, sabía que ese pobre hombre era un genio y le dijo que podían vender millones. Tibor Laczi procedió a demostrar el cubo en la Feria del Juguete de Nuremburgo, pero no como un expositor oficial. Caminó alrededor del recinto, jugando con el cubo, y se las arregló para conocer al británico Tom Kremer, un experto en juguetes, quien pensó que el Cubo era una maravilla. Los dos hombres hicieron un pacto, allí mismo, para traducir el éxito húngaro del cubo hacia la fase mundial. En septiembre de 1979, después de cinco días de negociaciones entre un capitalista escéptico y un sistema comunista obstinado e ignorante del funcionamiento del mercado libre, Laczi y Kremer lograron un acuerdo con Ideal Toys para distribuir el Cubo de Rubik en todo el mundo. Su presentación a nivel internacional tuvo lugar a comienzos de 1980 en las Ferias del Juguete de Londres, Nueva York, Nuremberg y Paris. Más adelante, Ideal Toys comercializó un cubo más ligero, y decidió rebautizarlo. Se barajaron nombres como Nudo Gordiano y Oro Inca, pero la compañía finalmente decidió llamarlo Cubo de Rubik, exportándolo por primera vez desde Hungría en mayo de 1980.

nombrado generalmente como CFOP (Cross, First 2 Layers, Orient Last Layer, Permute Last Layer).

Figura 2. Jessica Fridrich Lars Petrus (nacido en 1960) se hizo un hueco como cuber internacional cuando ganó el campeonato nacional de Suecia de 1981 y terminó cuarto en el campeonato mundial de Budapest en 1982. Más adelante publicó un método único, conocido como el sistema de Petrus. Se ha convertido en un método extremadamente popular entre cubers intermedios y superiores. Su uso más reciente ha disminuido considerablemente en el nivel profesional debido al predominio creciente de métodos algoritmo-basados en fuerza bruta. A los 46 años, Petrus continúa siendo una eminencia en un deporte dominado por los adolescentes. Petrus ganó la categoría “3x3x3 en pocos movimientos” en el campeonato del mundo de 2005 y su mejor tiempo, obtenido en el campeonato del 2006, es de 16,60 segundos.

Su éxito internacional fue casi instantáneo; sólo en los primeros dos años, se vendieron 100 millones. El juguete se volvió todo un icono cultural de los ochenta y convirtió a su inventor en el primer millonario del bloque comunista. Aprovechando que el producto se agotó inicialmente, surgieron muchas imitaciones baratas. En 1984, Ideal Toys perdió un pleito contra Larry Nichols, que había registrado el producto con la patente US3655201. Terutoshi Ishigi lo registró en Japón con la patente JP55-8192. Se ha dicho de él que es el juguete mejor vendido del mundo entero, con alrededor de 300 millones de cubos de Rubik e imitaciones vendidos.

2.2 Métodos “SpeedCubing”

Como se ha comentado en la introducción de este artículo los autores de los métodos de resolución más rápidos son Jessica Fridrich y Lars Petrus. Jessica Fridrich, anteriormente Jiri Fridrich, es la inventora del método más rápido y popular para solucionar el Cubo de Rubik. Fascinada por rompecabezas y geometría compleja, Fridrich tiene la firma de Ern Rubik en su cuaderno, que él firmó en el campeonato del mundo del Cubo de Rubik en Budapest en 1982, donde ella acabó décima cuando era un estudiante de diecisiete años. En el campeonato del mundo del Cubo de Rubik de Toronto en 2003, quedó segunda con 20,46 segundos, por detrás de Dan Knights, de 24 años, que fue el ganador con un tiempo de 20,00 segundos utilizando el método de Fridrich. En la comunidad speedcubing la consideran la número uno de los pioneros de speedcubing, al lado de Lars Petrus. Casi todos los speedcubers más rápidos han basado sus métodos en el de Fridrich,

Figura 3. Lars Petrus

2.3 Records Mundiales

Se han celebrado muchas competiciones para determinar quién puede solucionar el cubo del Rubik en el menor tiempo posible. El primer campeonato del mundo fue llevado a cabo en Budapest el 5 de Junio de 1982 y ganado por Minh Thai, estudiante vietnamita de Los Ángeles, con una media de 22.95 segundos. La WCA (World Cube Association) es el cuerpo oficial que gobierna y regula los acontecimientos. En 2004, el WCA estableció un nuevo sistema de estándares, con un dispositivo especial de sincronización llamado contador de tiempo de Stackmat. Toby Mao fijó el menor tiempo mundial actual de 10.48 segundos en la competición de 2006 nacionales de los E.E.U.U. el 6 de agosto de 2006. En la Tabla 1 se reflejan algunos de los records del mundo actuales de la WCA. Tabla 1. Records del mundo 2006 Categoría

Nombre

Record

Más rápido

Toby Mao[USA]

10.48

Ojos vendados

Leyan Lo [USA]

1:28.82

Con 1 mano

Ryan Patricio [USA]

20.09

Menos movim.

Mirek Goljan [R. Checa]

28 mov.

Con los pies

Anssi Vanhala [Finlandia]

1:18.15

3. DEFINICIONES BÁSICAS 3.1 Piezas del Cubo

Es un cubo en el que cada uno de sus seis lados está dividido en nueve partes, 3x3, lo que conforma un total de 27 piezas que se articulan entre sí gracias al mecanismo de la pieza interior central, oculta dentro del cubo. El resto de las piezas es visible y se puede observar tres tipos que no pierden su condición a lo largo de los múltiples movimientos que se realizan.

Estas piezas son: las centrales, las aristas y las esquinas. Cada una de estas piezas se caracteriza porque poseen 1, 2 ó 3 colores respectivamente. Es importante notar que en realidad son las aristas y las esquinas las que se mueven, pues las piezas Figura 4. Cubo de Rubik centrales siempre guardan la misma posición relativa entre ellas. Todos los movimientos que pueden hacerse con el cubo se reducen a girar una o más veces las caras del cubo, sin desplazar de su posición las piezas centrales.

3.2 Notación Empleada

Lo notación empleada en el programa de resolución del Cubo de Rubik es la siguiente: La cara de Arriba: A La cara de aBajo: B La cara de la Izquierda: I La cara de la Derecha: D La cara del Frente: F La cara de aTrás: T

Cuando se nombre una cara por su letra, va a significar (en términos de movimiento) un giro de un cuarto de vuelta (90 grados) en la dirección de las agujas del reloj. Del mismo modo, el movimiento contrario (es decir, un giro de un cuarto de vuelta en el sentido contrario a las agujas del reloj) estará indicado por A'. En tanto que, un giro de media vuelta (180 grados) se indica como A2.

3.3 Número de Combinaciones

El grupo de todas las permutaciones posibles del Cubo de Rubik es el siguiente: por una parte podemos combinar entre sí de cualquier forma todos los picos lo que da lugar a 8! posibilidades. Con las aristas pasa lo mismo, es decir, que podemos combinarlos como queramos lo que da lugar a 12! posibilidades, pero la permutación total de vertices y aristas debe de ser en total par lo que nos elimina la mitad de las posibilidades. Por otra parte, podemos rotar todos los vértices como queramos salvo uno sin cambiar nada más en el cubo. La orienntación del último vértice vendrá determinada por la que tenga los otros siete y esto nos crea 3^7 posibilidades. Con las aristas pasa lo mismo, es decir, nos aparecen 2^11 posibilidades más. En total tendremos que el número de permutaciónes posibles en el Cubo de Rubik es de: (8! 12! 3^7 2^11)/2 = 43.252.003.274.489.856.000

4. MÉTODO DE FRIDRICH 4.1 Introducción

Existen básicamente dos tipos de algoritmos de resolución del Cubo de Rubik: los basados en “bordes de esquinas” y los basados en “capa a capa”. El método de fridrich pertenece al segundo tipo. Dentro del método de fridrich encontramos dos alternativas: la de principiantes, adecuada para todo tipo de personas que decidan resolver el Cubo de Rubik, o la de expertos, indicada para aquellos que quieran resolver el cubo en un tiempo rápido. De hecho, esta última variante es la utilizada por la mayoría de los speed cubers, ya que garantiza una solución en un tiempo medio inferior a los 17 segundos. Tanto la versión para principiantes como la de expertos pueden ser divididas en tres partes bien diferenciadas: la resolución dela primera capa, la resolución de la segunda capa y, por último, la resolución de la tercera. Según se avanza de etapa en etapa (o de capa en capa), se va ganando en complejidad.

Por último, cabe destacar que la diferencia entre las dos versiones presentadas radica en las subetapas que contienen. Así, la versión para principiantes llega a dividir el proceso de 3 etapas en 7, mientras que la versión para expertos se queda en 3 etapas, con la particularidad de que une las dos primeras en una única etapa y divide la última en dos subetapas. A continuación se describen las dos versiones:

4.2 Principiantes

El algoritmo de fridrich en su versión para principiantes se divide en siete etapas. Las dos primeras tienen como objetivo resolver la primera capa del cubo. La tercera resuelve la capa intermedia. Las últimas cuatro etapas resuelven la tercera y última capa del cubo. Figura 5. Notación del Cubo de Rubik

1. Cruceta inicial. El primer paso es muy sencillo, consiste en crear una cruz en una cara. Para esto basta llevar las cuatro aristas de dicha cara a su posición. Obsérvese que aparte de formar la cruz debemos tener en cuenta que las aristas tienen dos colores: un color es el de la

cara que estamos haciendo y el otro color debe coincidir con el color de la cara adyacente. El resultado final es el que se muestra en la figura 6:

El resultado final es el que se muestra en la figura 9:

Figura 9. Resultado del paso 3 de principiantes Figura 6. Resultado del paso 1 de principiantes

2. Primera capa. El segundo paso es sencillo también, aunque implica mayor complejidad que el primero, pues es necesario conservar su resultado (aunque en pasos intermedios lo perdamos). Consiste en terminar la primera capa del cubo. Para ello basta llevar las cuatro esquinas de la cara que habiamos empezado a resolver en el paso 1 a su sitio, con la orientación correcta. El resultado final es el que se muestra en la figura 7:

Figura 7. Resultado del paso 2 de principiantes

3. Segunda capa. El tercer paso consiste en completar la segunda

capa del cubo. Para ello debemos colocal las cuatro aristas de la segunda capa que faltan por colocar. Este paso sigue siendo sencillo, aunque se complica cuando llegamos a la última de las aristas, pues debemos mantener el resultado obtenido hasta aquí. Existe una secuencia de movimientos específica para colocar la última arista. Dicha secuencia es la siguiente: D A' D' A' F' A F, y queda reflejada en la figura 8 (para esta secuencia se tiene como sistema de referencia que la cara ya resuelta es la de abajo, que el arista a colocar es el que tienen en común las caras frontal y derecha, y que este arista debe estar colocado entre las caras izquierda y arriba, tal y como muestra la primera fase del gráfico de la figura 8).

4. Colocación de las aristas en la cara inferior. Lo primero que haremos en este paso es cambiar el cubo de tal manera que la cara de abajo pase a ser la de arriba y la derecha pase a ser la izquierda, es decir, “darle la vuelta al cubo”. Realizamos este cambio de sistema de referencia para mejorar la visión del cubo a la hora de resolver la tercera capa. En este paso queremos que en la cara inferior (ahora superior por haber girado el cubo) aparezca una cruz, aunque las aristas no queden correctamente colocadas en su sitio. En este caso, no vamos a hacerlo poniendo una arista primero y después otra (de hecho es imposible hacerlos así) sino que lo que vamos a hacer es ponerlas de 2 en 2. El movimiento a realizar dependerá de la posición de las aristas que tengan su cara A en la cara A. Siempre habrá un número de aristas par bien orientadas. Girando el cubo tendremos uno de los siguientes casos (además de que ya estuviese hecho y no tuviésemos que hacer nada): Caso 1: Todas las aristas colocadas. No hacemos nada y pasamos al siquiente paso. Caso 1: Si AD y AI son las únicas aristas con la cara A mirando hacia arriba (figura 10) aplicamos T' D' A' D A T.

Figura 10. AD y AI, aristas con cara A en la cara de arriba Caso 2: Si AI y AT son las únicas aristas con la cara A mirando hacia arriba (figura 11) aplicamos F A D A' D' F'.

Figura 11. AI y AT, aristas con cara A en la cara de arriba

Figura 8. Colocación de la última arista de la segunda capa

Caso 3: Por último, si no tenemos ninguna cara A de ninguna arista mirando hacia arriba (figura 12), aplicamos un movimento cualquiera de los dos anteriores y el cubo quedará como en el caso 1 o 2. Podemos por ejemplo aplicar 1, girar el cubo en sentido contrario de las agujas del reloj y aplicar 2. También podemos aplicar directamente I D' A F A' F' A' F' A' F A I' D.

Figura 12. No hay aristas con cara A en la cara de arriba

Figura 16. Resultado del paso 5 de principiantes

El resultado final es el que se muestra en la figura 13:

Figura 13. Resultado del paso 4 de principiantes 5. Orientación de las aristas en la cara inferior. En este caso lo que debemos hacer es que la cruz creada en el apartado anterior esté bien colocada, es decir, que el color de cada arista coincida con el color de la correspondiente cara lateral. Lo primero que hay que hacer es ir girando la cara superior hasta que quede sólo un arista bien colocada, pues si tuvieramos dos aristas colocadas el movimiento a realizar sería más largo, pues primero descolocaríamos una arista para despues aplicar el movimiento de una arista. De esta manera, una vez tenemos colocada solo una arista, y considerando que está colocada en la unión de las caras arriba e izquierda, tenemos dos casos posibles: Caso 1: Si las tres aristas precisan una rotación en el sentido de las manecillas del reloj (figura 14) aplicamos F A2 F' A' F A' F'.

6. Colocación de las esquinas en la capa inferior. Ahora lo que tenemos que hacer es colocar cada esquina en su sitio, aunque no importa que estén giradas. Por razones análogas a las expuestas en el anterior paso, nos interesa estudiar solamente el caso en el que tenemos una sola esquina colocada y necesitamos rotar las otras tres, pues los demas casos son una extension de éste. Giraremos el cubo hasta que el vértice correctemente situado quede en la intersección de las caras arriba, derecha y frontal. Ahora tenemos las siguientes posibilidades: Caso 1: Tenemos sólamente un vértice (posiblemente girado) y los otros tres precisan una rotación en sentido horario (figura 17). Entonces aplicamos I' A D A' I A D' A'

Figura 17: Tres esquinas que necesitan rotación horaria Caso 2: Tenemos sólamente un vértice (posiblemente girado) y los otros tres precisan una rotación en sentido antihorario (figura 18). Entonces aplicamos A D A' I' A D' A' I

Figura 14. Tres aristas que precisan rotación en sentido horario Caso 2: Si las tres aristas precisan una rotación en el sentido de las contrario al de las manecillas del reloj (figura 15) aplicamos F A2 F' A' F A' F'.

Figura 15. Tres aristas que precisan rotación en sentido antihorario El resultado final es el que se muestra en la figura 16:

Figura 18: Tres esquinas que necesitan rotación antihoraria Un ejemplo del resultado final es el que se muestra en la figura 19. Puede haber varios según sea la orientación de las esquinas.

Figura 19. Resultado del paso 6 de principiantes 7. Orientación de las esquinas en la capa inferior. En este paso debemos orientar las esquinas de la última capa. La forma más sencilla de llevar a cabo esta misión es orientar las esquinas de una en una. Los movimientos que debemos aplicar son los siguientes: Caso 1: Giro en sentido horario. Aplicamos D' B D B' D' B D B'. Caso 2: Giro en sentido antihorario. Aplicamos B D' B' D B D' B' D.

Estas dos secuencias de movimientos son complementarias, es decir, deben hacerse bloques de dos secuencias para no perder todo el trabajo realizado en los pasos anteriores. Si realizamos un número impar de secuencias, el cubo quedará incompleto. Llegados a este punto, el cubo debería estar completamente resuelto. El resultado final es el que se muestra en la figura 20.

salvo una esquina

D I A2 I F' I' F A F A F' A I'

Orientación de todas las piezas salvo dos esquinas opuestas

F D A2 D2 A' F' A F D A2 F'

Orientación de todas las piezas salvo dos esquinas adyacentes

F A2 D' F' A' F A D2 A2 D' F’ T' D' F' A2 F A2 F' A2 F D T

Orientación de las cuatro aristas Figura 20. Cubo resuelto.

Orientación de todas las piezas salvo dos aristas opuestas

El algoritmo de fridrich en su versión para expertos se divide en tres etapas. Las primera tiene como objetivo resolver las dos primeras capas del cubo. La segunda etapa y la tercera resuelven la última capa.

El resultado final del cubo después del paso 1 es el que se muestra en la figura 21:

D' A' F A2 F A' F A F' A2 F' AD D' A2 D2 A D' A D A2 T' D' T

4.3 Expertos

1. Dos primeras capas. Este paso tiene como objetivo resolver las dos primeras capas del cubo. Para tal fin, los movimientos propuestos son iguales que los del método para principiantes. Existen algunos algoritmos que responden a casos individuales encontrados en esta etapa, pero aquí no son tratados, pues en palabras de la inventora de este método “para las dos primeras capas puedes usar tu intuición”.

I D' A F A' F' A' F' A' F A D I'

I A F A' F' A F A' F' I' D A T A' T I' T' I T' D' “Y” formada por una esquina y dos aristas Orientación de todas las piezas salvo dos aristas adyacentes

I' A' I T I' T' A T I T' D A D' T' D T A' T' D' T D T I' T I T' I' T I T2 D' I' T' D T' D' T D T' D' T2 I D T' D2 T A2 T A2 T' D I' T I2 T' A2 T' A2 T I' D T A T' A' T A T' A' D' I' T' A' T A T' A' T A I

Figura 21. Resultado del paso 1 de expertos 2. Orientación de la cara de abajo. Sometemos ahora al cubo al cambio del sistema de referencia realizado en el paso 4 del método para principiantes. En este paso buscamos que la cara de arriba quede completamente orientada. Para ello, la inventora del método propone 40 algoritmos diferentes, uno para cada uno de los 40 casos posibles en que podemos encontrarnos la capa de arriba (en realidad son 41 casos posibles, 40 casos con las piezas desorientadas más el caso en el que las piezas estén colocadas con la orientación correcta, y no tengamos que hacer nada). A continuación se muestra una tabla con los algoritmos más relevantes: Tabla 2. Algoritmos para paso 2 del método fridrich para expertos Situaciones Orientación de todas las piezas

Algoritmos a aplicar F D' F' D A2 F D' F' D2 A2 D' D A2 D2 F D F' A2 D' F D F'

Orientación de todas las piezas

D' A2 D' F D F' A' F' A' F A'

Pequeña “z” formada por dos aristas y una esquina

D T I' T I T2 D' I' T' D T' D' T2 I T F2 I' F I' F' I2 F I' T' F T' F2 D F' D F D2 F' D T F'

"W" formada por 2 esquinas y 2 aristas

D T A T2 A' D' A D T D'

Cuadrado formado por una esquina y dos aristas

I' T2 D T D' T I

“L” formada por una esquina y dos aristas

I' T' A' T2 A I A' I' T' I

D T2 I' T' I T' D' D T' D' A' D T D' T' A T I' T I A I' T' I T A' T'

I F I' D A D' A' I F' I' D' F' D I' A' I A D' F D Giro de 2 esquinas adyacentes y 2 aristas adyacentes que no forman una "d"

D A' D' A2 D A T A' T' A' D' I' A I A2 I' A' T' A T A I

3. Permutación de la última capa. En este paso vamos a permutar las piezas de la última capa hasta colocarlas en el sitio correcto. Para ello, la inventora del método propone 13 algoritmos diferentes, uno para cada uno de los 13 casos posibles en que podemos encontrarnos la capa de arriba (en realidad son 14 casos posibles, 13 casos con las piezas descolocadas más el caso en el que las piezas estén colocadas en la posición correcta, y no tengamos que hacer nada). A continuación se muestra una tabla con los algoritmos más relevantes:

T I T' D T I2 T I T2 D' T' D' T I' T' D2 T' D' T2 I "d" formada por 2 aristas y 2 esquinas

D A T' A' D' A D T D'

Tabla 3. Algoritmos para paso 3 del método fridrich para expertos Situaciones

Algoritmos a aplicar

Intercambio de 3 aristas

D2 A F T' D2 T F' A D2

I' A' T A I A' I' T' I

D2 A' F T' D2 T F' A' D2

T A I A' I' T'

I F' I T2 I' F I T2 I2

T' A' D' A D T "Z" formada por 2 esquinas y 2 aristas

D T' D' A' D A T A' D'

Esquina y cuadrado opuesto

"T"

Intercambio de 2 pares de aristas adyacentes

D' F D F' T' D F T' D F' D' T2 (A')

T I' T' I A I A' I'

Intercambio de 2 pares de aristas opuestas

D I A2 D' I' F' T' A2 F T

F' A2 F2 D' F' D F' A2 F

Intercambio de 2 pares de vértices adyacentes

I' T I A I' A' T' A I

D T A T' A' D' T' A' T A T I' T' I

"U"

F A F D' F' D A' F' I A I' A' F' I' T I F T'

Orientación de 4 esquinas

I A I' A I A D' A I' A' D D A2 D2 A' D2 A' D2 A2 D

Orientación de 2 esquinas adyacentes

F2 B' F A2 F' B F A2 F D' F' I F D F' I' F

Orientación de 2 esquinas opuestos

D' F D' T2 D F' D' T2 D2

Intercambio de 2 vértices adjuntos y 2 aristas opuestas formando una "T"

D T A' T' A T A T2 D' T A T A' T'

Intercambio de 2 vértices opuestos y 2 aristas adjuntas de forma paralela

F' A F' A' D' B D' B' D2 F' D' F DF

Intercambio de 2 vértices adjuntos y 2 aristas opuestas de forma paralela

D' I F2 I B' D F2 I' A D2 I' T2 D2 (A')

Intercambio de 2 aristas adyacentes y 2 vértices adyacentes sin cruzarse

F I A I' F I A' F A F A' F' I' F2

D' F' I' F D F' I F


D T I T' D' F T D F' I' F D' F' T'

Intercambio de 2 aristas adyacentes y 2 vértices adyacentes cruzándose

F' D' A' D F' D' A F' A' F' A F D F2 F T A2 T' A' T A2 F' A T' (A') F' T' A2 T A T' A2 F A' T (A)


Figura 22. Resultado del paso 2 de expertos

Figura 24. Resultados del paso 1 de Petrus

2.Expandir la esquina 2x2x3. En este paso hay tres capas que se pueden mover libremente sin modificar lo que ya se ha conseguido. Se tratará de ampliar el cubo 2x2x2 a uno 2x2x3, añadiendo una esquina y dos aristas a lo que ya se ha formado. Figura 23. Resultado del paso 3 de expertos Por último, cabe destacar que la diferencia entra ambas versiones, como ya se indicó antes, radica en la aplicación de algoritmos a situaciones más o menos genéricas. Así, el método para principiantes aplica no mas de 20 algoritmos para la resolución del cubo, pero al ser estos algoritmos propios para la resolución de problemas genéricos, su longitud en movimientos es sensiblemente mayor que en la versión para expertos, en la cual tenemos hasta 60 algoritmos diferentes, cada uno de ellos de no más de 12 movimientos de longitud.

Se elige una de las tres posibles esquinas para expandir hacia esta. En el gráfico se ha solucionado para la esquina verde-amarilla-naranja. Como en el paso 1, se empareja la esquina con una de las aristas y se trabaja desde ahí. Hay que tener cuidado de no desarmar el bloque 2x2x2 conseguido en el paso 1.

La autora hace mención incluso a una posible uificación de las dos últimas etapas de la versión para expertos, suponiendo ello una mayor especializacion de los algoritmos a aplicar, y con ellos una reduccion considerable de tiempo de resolución. Sin embargo, si utilizaramos este método, tendríamos que desarrollar del orden de 1200 algoritmos, lo cual es sencillamente imposible.

MÉTODO DE PETRUS 4.4 Idea básica

La gran diferencia entre este método y los hasta ahora explicados es que no se basa en ir resolviendo el cubo capa a capa. En los métodos tradicionales, "capa a capa", cuando se ha terminado con la primera capa, el algoritmo hace que tengas que desarmar esa capa, hacer algo útil y nuevamente volver a terminar esa capa. Por lo que no se está haciendo algo útil en todo momento.

Lo que Petrus aporta es que podemos hacer algo que nos encamine a la solución continuamente, por eso la primera capa estará orientada a la solución pero no formará parte de ella.

4.5 El método

Se divide en siete pasos:

1.Construir una esquina 2x2x2. Aquí se busca preparar una esquina, colocando sus tres aristas contiguas en la posición correcta. Se junta una esquina, tres aristas y tres centros. Aunque hay casos especiales el proceso para conseguirlo es el siguiente: se empareja la esquina con una de las aristas y una segunda con un centro. Ahora se unen estos dos elementos para formar un cubo 2x2x1. La arista que no se ha utilizado se empareja con los otros dos centros y finalemente se une todo con un último movimiento.


3.Girar las aristas. La idea principal de este paso es resolver el cubo entero desde este punto simplemente girando las dos partes libres que quedan. El problema es que algunas aristas se giran siempre de forma equivocada, en este paso se trata de descubrir esas “malas” aristas y corregirlo. Esencialmente se hacen dos cosas: 1.Identificar las aristas malas. Hay 7 aristas que no forman parte del bloque 2x2x3. Elige una de ellas y, utilizando las dos capas libres, colócala en medio de los centros de sus colores. (rojo/azul, entre los centros rojo azul). Si encaja, es una arista de las buenas, sino de las malas. Asi se hace con todas las aristas, sin prestar atención a mantener las aristas ya comprobadas en su sitio. Es muy dificil y no sirve para nada. Ya tenemos clasificadas las aristas en buenas y malas. 2. Convertir las aristas malas en buenas. Siempre hay un número par de aristas malas. Se puede resolver por parejas. La manera más fácil es realizar la siguiente secuencia mostrada en la figura. Sólo hay que colocar dos aristas malas en las posiciones indicadas (ver gráfico). Es conveniente ir comprobando que las aristas pasan a ser buenas. Se continúa asi hasta estar seguro de que todas las aristas son buenas.


4.Terminar dos capas. Es el paso más complicado de todo el método con diferencia. Lo que se hace en este paso es muy parecido a los pasos 1 y 2, pero aquí tenemos una mano detrás de la espalda

porque sólo se pueden mover dos partes. Además en mitad del proceso no se podrán hacer muchos de esos movimientos porque desarmarían lo que ya se hubiese conseguido. Atendiendo a los objetivos de este paso en términos de piezas, lo que se quiere obtener es añadir dos esquinas y tres aristas al bloque 2x2x3, para convertirlo en un bloque 2x3x3 (dos capas completas). Existe la posibilidad de elegir entre dos formas de expandir, dependiendo del color que se quiera dejar para el final. En el ejemplo dejaremos el rojo para el final (expandiendo con las esquinas blancoverde-naranja y blanco-azul-naranja, y las aristas blanco-verde,blancoazul y blanco-naranja.Despues de esto tendremos 12 de las 20 piezas resueltas.

nada más. Lo que significa que la esquina roja/azul/blanca debería estar entre los centros rojo, azul y blanco, pero su casilla roja no tiene porque estar emparejada con el centro rojo. Las esquinas normalmente parecen muy incompletas despues de completar el apartado 5, hay que inspeccionarlas para saber que están orientadas de la manera precisa. Para hacer esto necesitamos una herramienta que mueva las esquinas superiores sin mover las aristas, esta herramienta se denomina Niklas™, y se puede ver más abajo.

Parte ‘a’. Nos fijamos primero en posicionar una esquina y sus aristas adyacentes. Hay que proceder de la misma manera que en los primeros pasos pero con mayor complicación ya que no podemos girar más que dos partes. Para conseguirlo, lo primero es mover las piezas a una posición donde se puedan realizar los giros necesarios con las dos partes libres.

Figura 29. Resultados del paso 5 de Petrus En el ejemplo, no hay que preocuparse sobre cómo las esquinas se giran, sólo hay que darse cuenta de que las esquinas blancas intercambian sus posiciones.

Figura 27. Resultados del paso 4a de Petrus En este punto, se tienen dos bloques completos de 2x2x3, hay que recordar con cuál de ellos se empezó ya que si se utiliza el otro reapareceran las aristas malas y se tendrá que empezar otra vez desde el paso 3. Parte ‘b’. Poner las dos últimas piezas en su sitio sin deshacer nada es muy dificil. La forma normal de hacer esto es juntando las dos piezas de la cara superior, y despues poner la pareja en su sitio, como se puede ver en los ejemplos.

Estas son los casos y sus probabilidades de ocurrir: 1/6 de las veces, las esquinas estarán ya correctamente situadas. Se puede saltar al paso número 6. 1/6 de las veces, dos esquinas diagonalmente opuestas habrán intercambiado sus posiciones. El resto de las veces , dos esquinas adyacentes habrán conmutado sus posiciones. Primero se necesita encontrar qué dos esquinas (si hay alguna) han cambiado sus posiciones. Es sencillo. Se gira la capa superior hasta que dos esquinas estén en las posiciones correctas. Las otras dos están ya correctamente situados o necesitan ser movidas. Sólo hay cuatro posciones que comprobar. Niklas™ moverá las dos esquinas que están en la posición opuesta a la cara en la que se hizo el primer movimiento. Se puede hacer esto simplemente observando a las esquinas de la cara superior, pero es más sencillo girandola coincidiendo los colores con el resto del cubo. Se pierde un movimiento pero se gana tiempo.

6.Girar las esquinas. Una vez están las aristas giradas correctamente y las esquinas colocadas correctamente, el siguiente paso es girar las esquinas de forma adecuada. Esto se puede conseguir con una simple secuencia de movimientos, como se puede ver más abajo. Figura 28. Resultados del paso 4b de Petrus

5.Colocar las esquinas. Lo bueno de este paso es que sus múltiples giros pueden hacerse casi a ciegas, ya que sólo se mueven las mismas dos partes en todo momento, y no se necesita en ningún momento cambiar el agarre. Ahora estamos en la última capa. En esta no hace falta pensar mucho, reconocemos patrones y aplicamos reglas. Al empezar este paso, debería haber solamente una capa sin resolver, y las aristas ya orientadas de manera correcta (formando una cruz). En este paso se colocarán las esquinas superiores en su posición correcta,

Figura 30. Resultados del paso 6 de Petrus Es denominada por Petrus como Sune™. Gira tres esquinas dejando una sin girar. También mueve aristas pero no hay que preocuparse por eso ahora. Este paso puede ser resuelto con 2 Sunes o menos, hay que aprender lo que es Sune para poder utilizar este método. Para hablar de cómo usar Sune™ se necesita definir el concepto de “blanco” u “objetivo” de Sune™. En el ejemplo, el objetivo de Sune es el cuadrado amarillo. En palabras, el primer giro de un Sune, apunta al cuadrado que (a) está en el lado opuesto de el lado del primer giro, y (b) de los dos cuadrados de la esquina, apunta al que está en el lado que se gira hacia arriba. Una vez entendido el concepto de objetivo, sólo hay que seguir estas tres reglas siguientes, dependiendo del caso. Si la última cara es roja: *Sin esquinas correctas, el objetivo es un cuadrado rojo. Lo que deja una esquina correcta. *Con una esquina correcta. *Con dos esquinas correctas, el objetivo es un cuadrado no rojo de una esquina girada de forma incorrecta. Hay una esquina correcta. Aqui, un ejemplo de cada uno de los tres casos vistos anteriormente.

Figura 31. Ejemplo del paso 6 de Petrus

7.Colocar las aristas. Sólo quedan 12 posiciones posibles. Una de ellas es el caso resuelto. Las otras 11 se resuelven como sigue. 8 de las 12 soluciones tienen la posición que se observa, con tres aristas permutadas (o su imagen simétrica). Hay que aprenderse la solución que se detalla abajo (y su imagen simétrica). Esta solución se denomina Allan™. Si llegamos a una de las otras posiciones, basta con hacer Allan dos veces.

6. REFERENCIAS

[1] Iván Ridao Freitas y Santiago Agustín Vidal. Algoritmos de resolución para el cubo de Rubik. Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, 2005. [2] Jessica Fridrich. Rubik’s Cube. http://www.ws.binghamton.edu/fridrich/cube.html, 2006. [3] Lars Petrus. Solving Rubik's http://lar5.com/cube/index.html, 2006.

Cube

for

speed.

[4] Carlos A. Hernández. El cubo de Rubik de la A a la Z. Algoritmos de resolución del cubo de Rubik. http://www.rubikaz.com/resoluciones.html, 2006.


5. AGRADECIMIENTOS

Queremos agradecer a Iván Ridao y Santiago Vidal su programa de resolución del Cubo de Rubik “El Cubo de Rubik v1.0”, que sirve de apoyo a la presentación de este artículo.

[5] Conti González Báez. El Cubo de Rubik. http://radiocentro.com.mx/grc/homepage.nsf/main?readform&url= /grc/redam.nsf/vwALL/XPAO-6LBPUU, 2006. [6] Wikipedia. Rubik´s Cube. http://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube, 2006. [7] Wikipedia. SpeedCubing. http://en.wikipedia.org/wiki/Speedcubing, 2006

Resolución del cubo de Rubik - UC3M

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