TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ pentru examenul de bacalaureat şi

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior la UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” DIN TIMISOARA

PREFAŢĂ Prezenta culegere se adresează deopotrivă elevilor de liceu, în scopul instruirii lor curente, cât şi absolvenţilor care doresc să se pregătească temeinic în vederea examenului de bacalaureat şi a concursului de admitere în universităţi de prestigiu în care admiterea se face pe baza unor probe la disciplinele de matematică. Conţinutul culegerii este adaptat noului curriculum de matematică care prin setul de competenţe, valori şi atitudini pe care le promovează asigură premisele pentru o integrare profesională optimă prin trasee individuale de învăţare şi formare. Având în vedere diversitatea datorată existenţei unui mare număr de manuale alternative, am căutat să unificăm diferitele maniere de prezentare prin alegerea unor probleme pe care le considerăm indispensabile pentru abordarea cu succes a cursurilor de matematică din ciclul întâi de la toate facultăţile Universităţii „Politehnica”din Timişoara. La alcătuirea problemelor s-a avut în vedere o reprezentare corespunzătoare atât a părţii de calcul, cât şi a aspectelor de judecată, respectiv, de raţionament matematic. Gradul de dificultate al problemelor nefiind cel al unei olimpiade de matematică, acestea vor putea fi abordate de orice elev sau absolvent cu o pregătire medie a părţii teoretice şi care posedă deprinderi de calcul corespunzătoare. Problemele sunt prezentate după modelul „test”, cu şase răspunsuri fiecare, dintre care unul singur este corect. Conştienţi de faptul că doar urmărirea rezolvării unor probleme nu duce la formarea deprinderilor de calcul şi a unui raţionament matematic riguros, autorii au ales varianta problemelor propuse fără rezolvări. De asemenea, pentru a nu „forţa” în rezolvare obţinerea unui rezultat dinainte cunoscut, nu se face precizarea care dintre cele şase răspunsuri este adevărat, aceasta rezultând în urma unei rezolvări corecte. Totuşi, pentru unele problemele cu un grad mai mare de dificultate, autorii au considerat necesar să dea indicaţii şi rezolvări integrale. Ţinând cont de faptul că prezenta carte va fi folosită şi la întocmirea subiectelor pentru concursul de admitere la Universitatea „Politehnica” din Timişoara, invităm absolvenţii de liceu să rezolve testele din acest volum, adăugându-şi astfel cunoştinţe noi la cele deja existente şi implicându-se prin aceasta în demersul de evaluare a propriilor competenţe. Departamentul de Matematică al UPT

DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ

PROGRAMA ANALITICĂ

Elemente de algebră Progresii aritmetice şi geometrice. Funcţii: funcţia parte întreagă, funcţia radical, funcţia de gradul al doilea. Ecuaţii iraţionale. Sisteme de ecuaţii neliniare. Funcţia exponenţialǎ şi funcţia logaritmicǎ. Ecuaţii exponenţiale şi ecuaţii logaritmice. Permutări, aranjamente, combinări. Binomul lui Newton. Numere complexe sub formă algebrică şi sub formă trigonometrică. Matrice.Determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. Legi de compoziţie. Grupuri. Inele şi corpuri. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ.

Elemente de geometrie şi trigonometrie Funcţii trigonometrice. Relaţii între funcţii trigonometrice. Ecuaţii trigonometrice. Aplicaţii trigonometrice în geometria plană: teorema cosinusului, teorema sinusurilor; rezolvarea triunghiurilor. Dreapta în plan. Ecuaţii ale dreptei. Condiţii de paralelism şi condiţii de perpendicularitate a două drepte. Calcule de distanţe şi arii. Ecuaţii ale cercului în plan.

Elemente de analiză matematică Limite de şiruri. Limite de funcţii. Continuitate. Derivabilitate. Aplicaţii ale derivatelor în studiul variaţiei funcţiilor. Primitive. Integrala definită. Aplicaţii ale integralei definite: aria unei suprafeţe plane, volumul unui corp de rotaţie, calculul unor limite de şiruri.

Această culegere este recomandată pentru admiterea la următoarele facultăţi ale Universităţii „Politehnica” din Timişoara:

Facultatea de Arhitectură

Facultatea de Automatică şi Calculatoare

Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii

CUPRINS

ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL ).....................................................................................................................9 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol GT ).................................................................................................................165 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )................................................................................................................217 PROBLEME MODEL CU REZOLVĂRI...............................................................320 BIBLIOGRAFIE……………………………………………………………..………358

6

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

10

Culegere de probleme

ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL) AL - 001 Care este cel de-al 10-lea termen al şirului 1,3,5,7,...? a) 10

b) 11

c) 15

d) 20

e) 19

f) 17

AL - 002 Să se găsească primul termen a 1 şi raţia r ai unei progresii aritmetice a − a + a = −7 . (a n ) n≥1 dacă : a 2 − a 6 = 2a4 7 4  8 a) a 1 = −4, r = 3 d) a 1 = −5, r = 2

b) a 1 = −4, r = 4 e) a 1 = −2, r = 2

c) a 1 = −3, r = 1 f) a 1 = 1, r = 1

AL - 003 Să se determine suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice (a n ), dacă a 1 =2, a 5 =14. a) 10100 b) 7950 c) 15050 d) 16500 e) 50100 f) 350 AL - 004 Pentru o progresie aritmetică suma primilor n termeni ai ei este Sn = 5n 2 + 6n . Să se determine primul termen a 1 şi raţia r. a) a 1 = 11, r = 9

b) a 1 = 11, r = 10

c) a 1 = 11, r = 11

d) a 1 = 10, r = 11

e) a 1 = 10, r = 10

f) a 1 = 9, r = 9

AL - 005 Să se determine raţia şi primul termen ale unei progresii aritmetice pentru 1 care a 5 = 18, iar Sn = S2 n , unde Sn este suma primilor n termeni ai progresiei. 4 a) a 1 = 6, r = 3

b) a 1 = 14, r = 1

d) a 1 = −2, r = 5

e) a 1 = 8, r =

5 2

c) a 1 = 2, r = 4 f) a 1 = 1, r = 1

11

Elemente de algebră

 3x + 1 AL - 006 Să se determine x ∈ R astfel încât următoarele numere:  , 2x + 1 ,  5  4 x + 1 să fie în progresie aritmetică, unde [α ] reprezintă partea întreagă a lui α ∈ R . 3  a) x ∈  , 3  ; 4 

4  b) x ∈  , 3  ; 3 

4  c) x ∈  , 3 ; 3 

3  d) x ∈  , 3  ; 4 

4  e) x ∈  , 3 ; 3 

f) x ∈ φ

AL - 007 Să se determine  3x  aritmetică:  , 4x −1 ,  x + 1  a) x ∈ {1, 2, 3} ;

b) x = 5

x ∈ R astfel încât următoarele numere să fie în progresie 5 ∗  x  , unde x ∈ N .

c) x = 1

d) x ∈ {5, 6, 7,8}

e) x = 0

f) x ∈ φ

AL - 008 Să se determine x ∈ R astfel încât următorul triplet să fie format din numere în progresie geometrică x + 1 , − 4, 3 x + 5

 11  ,1  3 

a) x −

d) x ∈ {1}

11  , −1 3  11   e) x ∈ −   3

b) x 

c) x ∈ φ

 11    3

f) x ∈ 1,

AL – 009 Fie ( an )n≥1 un şir având suma primilor n termeni S n = n 2 + an + b , unde

a, b ∈ R , pentru orice n ≥ 1 . Să se determine a şi b astfel încât şirul ( an )n≥1 să fie progresie aritmetică cu primul termen egal cu 2.

a)= a 2,= b 3

b) a ∈ R , b ∈ (1, 2 )

c)= a 1,= b 0

d)= a 2,= b 0

e)= a 2,= b 1

f)= a 1,= b 2

12


AL – 010 Fie p, q ∈ N∗ , p ≠ q . Să se determine raţia unei progresii aritmetice în care primul termen este 3, iar raportul între suma primilor p termeni şi suma primilor q p2 . termeni este q2 a) 1

b) 2

c) 6

d) 5

e) 4

f) 3

AL – 011 Fie a1 , a2 ,..., an ∈ R \ {0} termenii unei progresii aritmetice cu raţia r ≠ 0 . În funcţie de a1 , n şi r să se calculeze suma: S n =

1 1 1 . + + ... + a1a2 a2 a3 an −1an

a)

n a1 (a1 + n )

b)

n +1 a + na1r

c)

n −1 a1 [a1 + (n − 1)r ]

d)

n −1 a1 (a1 − nr )

e)

n (a1 + r )n

f)

n+2 a1 + (n − 1)r

2 1

AL – 012 Să se determine numărul termenilor unei progresii aritmetice descrescătoare dacă simultan sunt îndeplinite condiţiile : (i) Raţia satisface ecuaţia

3

9

x2 − x−

3 2

= 27

(ii) Primul termen satisface ecuaţia :

lg 2 + lg( y + 1) = lg(5 y + 7 ) − lg 3 (iii) Suma progresiei este cu 9 mai mică decât exponentul p al binomului p

1 −  3 2  b + b 3  în a cărui dezvoltare termenul al patrulea conţine pe b la puterea întâi.    

a) n = 5

b) n = 3

c) n = 6

d) n = 10

e) n = 4

f) n=8

13

Elemente de algebră AL - 013 Să se determine primul termen a 1 şi raţia q pentru progresia a − a 1 = 15 geometrică (a n ) n ≥1 dacă :  5 . a 4 − a 2 = 6

1 2

a) a 1 = 0, q = 1

b) a 1 = 1, q = 2

c) a 1 = −16, q =

a 1 = −16 a = 1  d)  sau  1 1 q = 2 q = 2

e) a 1 = 1, q = −1

a = 4 a = 2 f)  1 sau  1 q = 2 q = 4

AL - 014 Suma a trei numere în progresie aritmetică este egală cu 12. Dacă se adaugă acestora, respectiv numerele 1, 2, 11, progresia devine geometrică . Să se afle aceste numere. a) 5,4,7 şi 15,14,13 d) 1,3,5 şi 17,15,13

b) 1,4,7 şi 17,4,-9 e) 5,9,13 şi 18,14,10

c) 6,8,10 f) 2,4,6 şi –1,4,9

AL – 015 Trei numere sunt în progresie geometrică. Dacă se măreşte al doilea cu 32, progresia devine aritmetică, iar dacă se măreşte apoi şi al treilea cu 576, progresia devine din nou geometrică. Care sunt cele trei numere ? a) 4,20,100 sau 1,-7,49 ; c) 100,4,20 sau 1,49,-7 ; e) 8,10,12 sau -3,-1,0 ;

b) 4,100,20 sau -7,1,49 ; d) 2,4,6 sau 6,4,2 ; f) 1,2,3 sau 49,50,51

AL – 016 Pot fi numerele 7,8,9 elemente ale unei progresii geometrice ? a) b) c) d) e) f)

Da în progresie geometrică în ordinea 7,8,9 cu o raţie q<1 Da în progresie geometrică în ordinea 9,8,7 cu o raţie q<1 Da în progresie geometrică în ordinea 7,9,8 cu o raţie q<1 Da în progresie geometrică în ordinea 8,9,7 cu o raţie q<1 Nu, cu numerele date nu se poate forma o progresie geometrică Da în progresie geometrică în ordinea 7,9,8 cu o raţie q>1

14


13

AL – 017 Să se calculeze

∑ k ⋅ 2k −1 . k =1

a) 98299;

b) 98301;

c) 98303;

d) 98305;

e) 98307;

f) 98309

AL – 018 Să se calculeze suma

S n = 1 + 11 + 111 + ... + 11 ...1 .  n − cifre

[

a)

1 10 n − 10 − 9n 81

d)

1 n 10 − 10 − 9n 9

[

]

]

[

]

[

b)

1 1 10 n −1 − 10 − 9n c) 10 n +1 − 10 − 9n 81 81

e)

1 n −1 10 − 10 − 9n 9

[

]

f)

[

1 n +1 10 − 10 − 9n 9

]

]

AL – 019 Fie n∈N , n ≥ 3 şi a1, a2 ,…,an primii n termeni ai unei progresii geometrice cu n

n

1 şi p= a1 ⋅ a2⋅…⋅ an , atunci : k =1 a k

ak > 0, k = 1, n . Dacă S1 = ∑ a k , S 2 = ∑ k =1

S  a) p =  1   S2 

n

S  d) p = n  1   S2 

S  b) p =  2   S1 

n

S  c) p =  1   S2 

2

e) p = S1n − S 2n

f) p =

S1 + S 2 S1 S 2

n

15


AL – 020 Fie (a n )n şi (bn )n două progresii astfel încât prima să fie aritmetică şi cea de a doua geometrică, iar a 1 = b 1 = 3 şi a 3 = b 3 . Să se determine aceste progresii dacă a 2 = b 2 + 6 . a) a n = 12n – 9, = 12n – 6 b n = 3n sau

a n =12n + 9 b n = 3n

c) a n = 12n – 9 b n = 3n

an = 3 b n = 3(-1) n-1

d) a n = 12n - 9 b n = 3n

a n = 12n – 9

f) a n = 12n + 9

b n = 3(-1)n

b n = 3(-1) n

sau

n

e) a n = 12n + 9 9 b n = 3(-1)n –1 sau

b) a n = 12n – 9 b n = 3n

an b n = 3n

sau

sau

an = 3 b n = 3(-1) a n = 12n – b n = 3n

sau

AL – 021 Fie a1 , a2 ,..., an un şir de numere reale în progresie geometrică şi p∈N*. Să se calculeze suma

Sn =

1 1 1 . + p + ... + p p p a + a1 a3 + a 2 a n +1 + a np

q np − 1 a) S n = p 2 np a1 q − 1

(

d) S n

(q =

q np − 1 b) S n = p 2 p a1 q − 1

)

)

p 2

(

− 1 q (n −1) p a1p q 2 p − 1 np

(

q np − 1 c) S n = p (n −1) p 2 p a1 q q −1

)

(

q (n −1) p e) S n = p p a1 q + 1

)

(

)

f) S n =

)

1

p 1

a q

( n −1) p

(q

p

AL – 022 Să se calculeze expresia

E=

a)

1 a

1 + a + a 2 + ... + a n −1 , a ∈ R \ {− 1}. 1 + a 2 + a 4 + ... + a 2 n − 2 b)

an + 1 a −1

c)

)

+1

a +1 an + 1

16

d)


a n a +1

e)

an + 1 a 2n + 1

f) 1

AL – 023 Să se decidă dacă este progresie geometrică un şir pentru care suma primilor săi n termeni este S n = n 2 + 1 ; în caz afirmativ precizaţi raţia q a acesteia. a) q =

3 2

d) q = 3

b) q =

2 3

e) Şirul nu este progresie geometrică

c) q = 2 f) q = 6

AL – 024 Să se determine numerele reale x,y,z dacă x,y,z sunt în progresie aritmetică cu raţia nenulă, x,z,y sunt în progresie geometrică şi x+y+z = 18. a) - 24, 6, 12

b) 24, 6, -12

c) 6, 12, 0

d) -12, 12, 18

e) 12, -6, 36

f) 36, -18, 0

AL – 025 Să se determine numerele reale a cu proprietatea  1  5a − 1 , şi să se precizeze intervalul în care se află soluţia. a + 2  = 3

3  a)  ,1 5 

1 4  b)  ,  5 5 

1 4 c)  ,  5 5

1 3  d)  ,  5 5 

 2 e) 0,   5

f) [1, ∞ )

AL - 026 Să se determine numărul natural

100  N = ∑ k  , k =1  2  6

unde [·] notează partea întreagă a numărului raţional scris în interior.

17


a) 70

b) 83

c) 57

d) 91

e) 97

f) 78

AL - 027 Dacă [α] reprezintă partea întreagă a lui α∈ R, să se rezolve ecuaţia :  x + 1 x − 1  3  = 2 precizându-se în care din următoarele intervale se află soluţia a) (2,7) ∪ (9,15)

b) (-5,-3) ∪ (1,3 ] ∪ [5,7)  3 d) 1,  ∪ (2,4) ∪ [5,7)  2 f) [0,2] ∪[4,7] ∪ (9,+∞)

c) (-3,2) ∪[3,4 ) ∪ (6,14) e) (-1,1] ∪[2,3) ∪ (5,8) AL - 028 Să se rezolve ecuaţia

[ ]

5 x 2 − 3[x ] + 2 = 0

[

a) x ∈ 1, 2 d) x ∈ (0,1]

)

(

b) x ∈ 1, 2

)

e) x ∈ ∅

c) x ∈ (0,1) f) x ∈

[ 2 ,2)

 5 + 6x  15x − 7 , unde [x] reprezintă partea = 5  8 

AL - 029 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei:  întreagă a lui x, este 4 a)   , 5

3 b)   , 4

 7 4 c)  ,  , 15 5 

7 d)   , 15 

1 3  e)  ,  , 2 4

1 4  f)  ,  2 5

AL - 030 Notând cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei 1 1  x  = [x ] să se precizeze care din următoarele mulţimi este S

18


 1 a)  , n ∈ Z*  n 

b)

d) {-1,1}

e) [-1,1]

{

1   k, k +  k k∈Z∗ 

c) n 2 ; n ∈ Z \ {− 1,1}

}

f) (-1,1)

x AL – 031 Se consideră funcţia f: R→R, f ( x ) = 2   + 1 2 şi se notează f 2 =f ο f, … , f n = f n-1 ο f . Să se determine expresia lui f n a) f n (x) =f(x) + n; d) f n (x) =f(x);

b) f n (x) =2nf(x); e) f n (x) =f(x)+2n+1;

 x − 2

c) f n (x) =2n f(x)+2n-1+1 f) f n (x) = 2f(x)+1

 x − 3

AL - 032 Fie ecuaţia  . Stabiliţi care dintre afirmaţiile de mai jos =  3   2  este adevărată a) ecuaţia are două soluţii b) ecuaţia are trei soluţii c) ecuaţia are o singură soluţie d) ecuaţia are o infinitate de soluţii e) ecuaţia nu are nici o soluţie f) ecuaţia are numai soluţii negative

 m2 x − 1 2 x + 1 AL - 033 Se dă ecuaţia  = , m ∈ Z \ {0} , unde [ x ] este partea  5  2 

întreagă a numărului real x. Să se determine m ∈ Z pentru care ecuaţia are soluţii şi apoi să se determine aceste soluţii: a) m = ±1

b) m = ±2

= x1 1;= x2 2 = x3 7;= x4

19 2

d) m = ±1 = x1 2;= x2

= x1 7;= x2

= x3 11; = x4

c) m = ±1 19 2 29

2

e) m = ±1 19 2

= x1 7;= x2

= x1 7;= x2

= x3 12; = x4

19 2 29

2

f) m = ±3 19 2

= x1 7;= x2

19 2

19


= x3

29 = ; x4 11 4

= x3 8;= x4

19

= x3 11; = x4

2

29 2

AL - 034 Să se calculeze f ((1,4]) pentru funcţia de gradul al doilea definită prin f ( x) = x 2 − 4 x + 3 .

a) [0,3]

b) [−1,0)

c) (0,3]

d) [−1,3]

e) (−1,0)

AL - 035 Dacă funcţiile f,g :R→R au proprietăţile: i) f(g(x)) = x2-3x+4, (∀)x∈R ; ii) g(f(2)) = 2 să se determine cel puţin o soluţie reală a ecuaţiei f(x) = g(x) a) x =1 b) x = −2 d) x = −2 e) x = 4

AL – 036 Să se rezolve inecuaţia

3

x−2

+

2

x+2

≤

 2  3

d) x ∈ (1,2) ∪ (3, ∞)

c) x = 2 f) x = 3

1 . 2( x − 1)

b) x ∈ (− ∞,−1) ∪ 0,  ∪ (1,2 )

a) x ∈ ( − ∞,−1)

 

2 3

c) x ∈  0,  ∪ [1, 2] ∪ (3, ∞ )  2 f) x ∈ ( − ∞,−2) ∪ 0,  ∪ (1,2)  3

e) x ∈R \ {1,2}

AL - 037 Să se determine mulţimea valorilor lui m ∈ R , astfel încât

{x∈R

a) (−∞, 5)

f) (0,3)

} {

}

3 x 2 + mx − 22 = 0  x ∈ R x 2 − (m + 4) x + 14 = 0 ≠ ∅ .

b) {− 7, 3}

c) R

d) {− 19, 5}

AL - 038 Să se rezolve inecuaţia x < x 2 − x .

e) {− 17, 8}

f) { 1 }

20


a) x ∈ R

b) x ∈ (−∞,2) ∪ (3,∞)

c) x ∈ (3,+∞)

d) x ∈ (0,+∞) ∪ ( −∞, −2)

e) x ∈ (−∞,0) ∪ (2,+∞)

f) x ∈ R \ {0,2}

AL - 039 Să se determine valorile parametrului real m astfel încât

{x ∈ R : (m − 1) x

2

}

− (m + 1) x + m + 1 > 0 = ∅ .

5  a) m ∈ ( − ∞,−1) ∪  ,+∞  3 

b) m ∈[1,+∞)

c) m ∈ ( − ∞,−1]

5  d) m ∈  ,+∞  3

5  e) m ∈ − 1,  3 

f) m ∈ ( − ∞,1]

AL - 040 Să se afle minimul expresiei E = a 2 + 2b 2 − 3a + 3b pentru a, b ∈ R . 27 9 a) − b) 1 c) 0 d) − e) − 1 f) − 3 8 4 AL - 041 Se consideră funcţia f : R → R , f ( x) = x 2 + mx + m − 4 , m ∈ R. Să se exprime în funcţie de m > 4 , expresia E = x1 ⋅ f ( x2 − m) + x2 ⋅ f ( x1 − m) , unde x1 , x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei f ( x) = 0 . a) 1 − m

b) m 2 + 1

c) 4m(m − 4)

d) 4(m 2 − 1)

e) m(m − 4)

f) m 2 + 2

AL - 042 Să se determine m ∈ R , astfel ca rădăcinile x 1 şi x 2 ale ecuaţiei x 2 − (2m − 3) x + m − 1 = 0 să satisfacă relaţia 3x1 − 5x1 x2 + 2 x2 = 0 . a) m1 = 2 , m2 = 3

b) m1 = 1 , m2 = −1

c) m1,2 = 2 ± 7

d) m1,2 = 2 ± 5

e) m1,2 = ± 5

f) m1 = 2 , m2 = −2

21


AL - 043 Fie ecuaţia 2 x 2 − 2mx + m 2 − 2m = 0 , unde m ∈ R. Care este mulţimea valorilor pe care le pot lua rădăcinile reale x1 , x 2 când m variază ? b) [1 − 2 ,1 + 2 ]

a) [− 2 , 2 ]

c) [2 − 3 ,2 + 3 ]

d) [−1,1] e) [1 − 3 ,1 + 3 ] f) [− 3 , 3 ] AL - 044 Fie ecuaţia 2x2-2(m+2)x+m2+4m+3=0, m∈R. Dacă ecuaţia are rădăcinile reale x 1 (m), x 2 (m), precizaţi valoarea maximă a expresiei E = x1 (m) + x2 (m) . a) 3;

b) 4;

c) 2;

d)

2;

e)

3;

f) 1.

AL - 045 Fiind dată ecuaţia ax2+bx+c=0, (a ≠0), să se exprime în funcţie de a, b şi c suma

S3 = x13 + x23 , unde x 1 ,x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei date. a) S3 =

b3 a3

d) S3 = −

−3

bc a2

b3 bc +3 2 3 a a

b) S3 =

c3 bc −3 2 3 a a

e) S3 = −

c3 bc +3 2 3 a a

c) S 3 =

b2 bc −3 3 2 a a

f) S3 = −

b2 bc +3 3 2 a a

AL - 046 Se consideră ecuaţiile x 2 − 7 x + 12 = 0 şi x 2 − 3 x + m = 0 . Să se afle m pentru ca ecuaţiile să aibă o rădăcină comună. a) m ∈ {− 4,0},

b) m ∈ {− 1,0}

c) m ∈ {− 4,1}

d) m ∈ {1,2}

e) m ∈ {2,3}

f) m ∈ {0,1}

AL - 047 Să se determine parametrii reali m şi n astfel ca ecuaţiile (5m − 52)x 2 + (4 − m )x + 4 = 0 şi (2n + 1)x 2 − 5nx + 20 = 0

22


să aibă aceleaşi rădăcini. a) m = -11, n = 7;

b) m = - 7, n = 11

c) m = 9, n = 7

d) m = 11, n = 7

e) m = 7, n = 11

f) m = 9, n = -7

AL - 048 Fie ecuaţia 3mx 2 + (2m + 1)x + m + 1 = 0 , m ∈ R , ale cărei rădăcini sunt x 1 şi x 2 . Să se determine o relaţie independentă de m între rădăcinile ecuaţiei. a) x1 + x2 = x1 x2 d) x1 + x2 + x1 x2 = −

1 3

b) x12 + x22 = 2 x1 x2

c) x12 − x22 = 2 x1 x2

e) x12 + x22 − 3 x1 x2 = 0

f) x12 + x22 + x1 x2 = 0

AL - 049 Se consideră ecuaţiile ax 2 + bx + c = 0,

a ' x 2 + b' x + c' = 0 a ≠ 0, a ' ≠ 0

cu rădăcinile x1 , x2 şi respectiv x1 ' , x2 ' . Dacă între coeficienţii celor două ecuaţii există relaţia ac'+ a ' c − 2bb' = 0 , atunci care din următoarele relaţii este verificată de rădăcinile celor două ecuaţii? a) x1 x2 + x1 ' x2 '−2( x1 + x2 )( x1 '+ x2 ') = 0

b)

c) x1 x1 '+ x2 x2 ' = x1 + x1 '+ x2 + x2 '

d) 2 x1 = x2 − x2 '+2 x1 '

e) x1 x2 = x1 ' x2 '

f) x1 x2 + x1 + x2 =

AL - 050 Să se rezolve ecuaţia iraţională

1 1 1 1 + = + x1 x2 x1 ' x2 '

1 1 + x1 ' x2 '

1 − x2 + x = 1 .

a) x1 = 0, x2 = 1

b) x1 = −1, x2 = 1

c) x1 = −1, x2 = 0

d) x1 = 1, x2 = 2

e) x1 = −1, x2 = 2

f) x1 = 0, x2 = 2

23

Elemente de algebră AL - 051 Determinaţi toate valorile lui x ∈ Z pentru care are loc inegalitatea

3 x − 11 − 7 + x < 0 . a) {1,3,4,5,6,7,8}

b) {1,2,3,4,5,7,8}

c) {2,3,4,5,6,7,8}

d) {4,5,6,7,8}

e) {2,3,5,6,7} f) {2,4,5,6,7,8} 3x − 1 . Să se determine x pentru care AL - 052 Fie funcţia f : R → R , f ( x) = 2 3x + 1 funcţia ia cea mai mare valoare. 3

a) 1− 3

b)

3 +1 3

d) − 1+ 3

c) 1

e)

1 2

f) 1+ 3

AL - 053 Să se determine toate valorile lui m ∈ R pentru care funcţia

f : R → R, este monotonă.

2 x − 1, x ∈ (− ∞,1) f (x ) =  mx − m + 1, x ∈ [1, ∞ )

a) m ∈ (− ∞, o )

b) m = −4

c) m ∈ R

d) m ∈ [0, ∞ )

e) m ∈ [− 2,1)

f) m ∈ φ

AL - 054 Să se determine valorile lui m ∈ R astfel încât funcţia

f : R → R,

 x + m, x ∈ (− ∞,3] f (x ) =  mx + 2, x ∈ (3, ∞ )

să fie surjectivă. a) m = −1

 

1 2

d) m ∈  − 1, 

 

1

b) m ∈ (0,1)

c) m ∈  0,  2

e) m ∈ φ

f) m = 1



AL - 055 Să se determine mulţimea maximală E astfel încât funcţia f : E ⊂ R → R ,

24


f (x ) = max{2 x − 5, x − 2} să fie bijecţie. b) E = [− ∞,0]

a) E = R +

d) E = [0,1]

e) E = (− ∞,3]

c) E = R

f) E = [1, ∞ )

AL - 056 Fie funcţia de gradul al doilea f m (x ) = mx 2 − (2m − 1)x + m − 1 , (m ≠ 0) . Să se determine m astfel încât vârful parabolei asociate acestei funcţii să se găsească pe prima bisectoare. a) m =

1 4

b) m = 4

c) m =

1 2

d) m = 2

e) m =

1 6

f) m = 6

AL - 057 Determinaţi valorile parametrului real m astfel încât dreapta de ecuaţie y + 1 = x să taie parabola de ecuaţie y = mx 2 + (m − 5)x + m 2 + 2 în punctele (1,0) şi (4,3). a) m1 = −1, m2 = −3

b) m1 = 3, m2 = −3

c) m = −3

d) m = 1

e) m = −21

f) m = 3

AL - 058 Fie familia de funcţii de gradul al doilea

f m (x ) = x 2 − 2(m − 1)x + m − 2, m ∈ R Să se arate că vârfurile parabolelor asociate acestor funcţii se găsesc pe o parabolă a cărei ecuaţii se cere. a) y = x 2

b) y = x 2 + x + 1

c) y = − x 2 − x + 1

d) y = − x 2 + x − 1

e) y = 2 x 2 − x + 3

f) y = x 2 + 1

AL - 059 Determinaţi expresia analitică a funcţiei de gradul al doilea f : R → R ,

25


f ( x ) = ax 2 + 4 x + c , ştiind că graficul ei taie axa Oy în punctul 1 şi are abscisa 2 vârfului − . 3 a) f ( x ) = 2 x 2 + 4 x + 1

b) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x − 1

c) f ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1

d) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1

e) f ( x ) = x 2 + 4 x + 1 f) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 3 AL - 060 Să se determine m ∈ R astfel încât parabolele asociate funcţiilor f (x ) = x 2 − 2 x − 4 şi g (x ) = mx 2 − 2mx − 6 să aibă acelaşi vârf. a) m = -1

b) m = 1

c) m = -2

d) m = 2

e) m = 3

f) m = -5

AL - 061 Fiind dată familia de parabole f m ( x ) = mx 2 − 2(m + 1)x + m + 2 ,

∀m ∈ R * să se determine valorile lui m pentru care obţinem parabole ale căror puncte

de intersecţie cu axa Ox sunt simetrice faţă de origine. a) m ∈ R − {− 1}

b) m = 2

c) m = 1

d) m = −1

e) m ∈ {− 1,1,2}

f) m = 3

AL - 062 Să se determine p, q ∈ R dacă funcţia f : R → R , f ( x ) = − x 2 + px + q are maximul 4 în punctul x = -1. a) p = −2, q = 3

b) p = −1, q = 2

c) p = 3, q = −2

d) p = q = −2

e) p = q = 1

f) p = 2, q = −3

AL - 063 Presupunem că pentru ecuaţia ax 2 + bx + c = 0

(a ≠ 0) avem ∆ > 0 şi

rădăcinile x1 , x2 . Să se calculeze x1 − x2 în funcţie de ∆ şi a.

26


a)

∆ 2a

b)

∆ a

c)

∆ 2a

d)

∆

e)

∆ −a

f)

b ∆ + 2a 2a

AL - 064 Dacă x1 , x2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 − x + 1 = 0 , atunci ecuaţia care are rădăcinile x1 + 1 şi x2 + 1 este echivalentă cu: a) y 2 − y + 1 = 0;

b) y 2 − y + 2 = 0

c) y 2 − 2 y + 2 = 0

d) y 2 − 3 y + 1 = 0

e) y 2 − 3 y + 2 = 0

f) y 2 − 3 y + 3 = 0

AL - 065 Fie o funcţie f : R → R , astfel încât f (1) = 5 şi ∀x, y ∈ R ,

f ( x + y ) − f ( x ) = Kxy + 2 y 2 , unde K este o constantă.

Să se determine valoarea lui K şi funcţia f. a) K = 4; f ( x ) = 2 x + 3

b) K = 3,

f (x ) = 2 x 2 − x + 4

c) K = 3;

f (x ) = x + 4

d) K = 1;

f (x ) = 2 x 2 − 3x + 6

e) K = 4;

f (x ) = 2 x 2 + 3

f) K = 2;

f x = 2x2 − 2x + 5

AL - 066 Fie a ∈ R şi funcţia f : R → R ,

(

)

f ( x ) =x 2 − 2ax + 3 .

Dacă rădăcinile x1 , x2 ale ecuaţiei f ( x ) = 0 satisfac relaţia 3 ( x1 + x2 ) = 4 x1 x2 ,

mulţimea soluţiilor inecuaţiei f ( 2 x + 1) < f ( x ) este: a) (-1, 0);

b) (-1, 1);

c) (-1, 2);

d) (0, 1);

e) (0, 2);

f) (-2, 2).

27

Elemente de algebră AL - 067 Care sunt valorile k reale pentru care inecuaţia x 2 − ( k − 3) x − k + 6 < 0 nu are soluţii ? a) k ∈ ( − 5,0)

b) k ∈[1,5)

c) k ∈[ − 3,5]

d) k ∈[ − 3,8]

e) k ∈ [ − 2,3] ∪ (4,7)

f) k ∈ [ − 1,2) ∪ (4,5)

AL - 068 Pentru ce valori ale parametrului real m inegalităţile 2 x 2 − mx + 2 −2< < 6 sunt satisfăcute pentru orice x ∈R ? x2 − x + 1 b) m ∈ ( − 2,6) c) m ∈ (6,+∞) a) m ∈R d) m ∈ ( − ∞,−2)

AL - 069 Să se rezolve inecuaţia 5 x 2 − 20 x + 26 ≥ a) [−1,0)

4  b)  ,+∞  5 

f) m ∈[ − 2,6]

e) m ∈ ( − 6,6)

c) {0, 1}

d) R

4 . x − 4x + 5 2

(

e) ∅

f) − 2 , 2

)

AL - 070 Să se determine mulţimea valorilor parametrului real m astfel încât funcţia 4 x 2 − 6mx + 9 să nu ia nici o valoare mai mică decât 3 sau mai f : R → R, f ( x ) = x2 +1 mare decât 13.  2 2 a) − ,  3  3 

b) ( − 2,2)

 2 2  c)  − , 3 3  

d) [ − 11 ,]

e) ( − 1,2]

f) − 2 , 2

AL - 071 Să se determine valorile parametrului real m astfel încât

(

)

28


x 2 + (m + 1) x + m + 2 x2 + x + m

{

a) m ∈ 1 − 2 2 ,1 + 2 2

> 0 pentru orice x ∈R .

}

(

c) m ∈ ( − ∞,−1) ∪ (4,+∞)

(

) [ 2 ) ∪ (1 + 2 ,+∞)

1  b) m ∈  − ∞,  ∪ 1 + 2 2 ,+∞  4

d) m ∈ − ∞,1 −

)

1  f) m ∈  ,1 + 2 2  4  AL - 072 Să se afle cea mai mică valoare a funcţiei f : R → R ,

e) m ∈ 1 − 2 2 ,1 + 2 2

f ( x) = x 2 − 2 x 1 − m2 + 1 + m + m2 , când parametrul real m parcurge toate valorile posibile. a) − 1

b) 0

c) 1

d) −

1 2

e) −

1 8

f) −

1 4

AL - 073 Să se determine distanţa celui mai apropiat vârf al parabolelor f ( x ) = x 2 + mx + m − 4 , m ∈ R de axa Ox. a) 0

b)

2

c) 2

d) 3

e) 4

f) 1

AL - 074 Să se determine m ∈R * astfel încât 4mx 2 + 4(1 − 2m) x + 3(m − 1) > 0 pentru orice x > 1 . a) m ∈( − ∞,0)

b) m ∈(0,+∞)

d) m ∈(0,1]

e) m ∈[2,+∞)

c) m ∈(1,4]

f) m ∈( − 11 , ) \ {0}

AL - 075 Pentru ce valori ale lui m , mulţimea

{

A = x ∈R

(m − 1) x 2 − 2(m + 1) x + m = 0} ∩ [− 11, ]

are un singur element ?

29


3  c) m ∈ − ∞ ,   4

a) m ∈R

b) m ∈( − 1,+∞)

d) m ∈[ − 2,−1]

 1   e) m ∈ − ,+∞ ∪ −    4

1  3

1  f) m ∈ − ∞ ,−   4

AL - 076 Fie ecuaţia x 2 (1 − m) + 2 x(a − m) + 1 − am = 0 , unde a ≠ 1 şi m sunt parametri reali. Pentru ce valori ale lui a, ecuaţia admite rădăcini reale oricare ar fi valoarea parametrului m ? 5  a) a ∈  − ∞,−  b) a ∈ R c) a ∈ (−1,1) d) a ∈ (0,1) e) a ∈ [0,+∞) f) a ∈ (1,+∞) 4  AL - 077 Se consideră ecuaţia mx 2 − x + m − 7 = 0 . Căruia din intervalele indicate mai jos trebuie să aparţină parametrul real m, astfel ca ecuaţia dată să aibă o singură rădăcină cuprinsă în intervalul [2,4] ? a) ( − ∞,−1]

b) (2,+∞)

 1 c)  0,   2

 1  d) − ,0  2 

 11 9  e)  ,   17 5 

 9 f)  0,   5

AL - 078 Să se determine valorile parametrului m ∈R \ {0} astfel încât ecuaţia

mx 2 − (m − 1) x − 1 = 0 să aibă ambele rădăcini în intervalul ( − ∞,3] .

1  a) m ∈ − ∞,−  ∪ (0,+∞)  5

b) m ∈( − 11 , ] \ {0}

1 1   c) m ∈ − ∞,−  ∪  ,+∞   5 5

d) m ∈( − ∞,0) ∪ [2,+∞)

 1 1 e) m ∈ − ,−   3 5

1  f) m ∈ − ∞,−  ∪ (0,+∞)  3

{

}

AL - 079 Să se determine Im f = f ( x ) x ∈ R pentru funcţia f : R → R ,

f (x ) =

x − 3x + 2 x2 + x + 1 2

 9 − 2 21 9 + 2 21  ,  3 3  

a) 

 9 + 2 21  , ∞  3  

b) 

30


9 − 2 21   3    9 − 3 21   9 + 3 21  e)  − ∞, , ∞    3 3    

9 − 2 21   9 + 2 21  , ∞   3 3      9 − 3 21 9 + 3 21   f)  ,   3 3  





c)  − ∞, 

d)  − ∞, 

AL - 080 Rezolvaţi în R inecuaţia 1 − x − x 2 − 3x + 2 > 0 . a) x ∈(1,3]

b) x ∈(1,3)

c) x ∈(2,4)

e) x ∈[2,4]

d) x ∈(0,2) ∪ (3,4)

f) x ∈( − 1,4]

AL - 081 Să se rezolve în R ecuaţia x 2 − 1 + x 2 − 4 − 1 = 0 . a) x ∈( − 2,1)

b) x ∈R

c) x ∈[2,+∞)

d) x ∈∅

e) x ∈( − ∞,−2]

f) x ∈R \ {1,4}

AL - 082 Precizaţi care este mulţimea soluţiilor sistemului 3 y 2 − 2 xy = 160 .  2  y − 3xy − 2 x 2 = 8

{

}

a) (8,2); ( − 8,−2); (17,−5); ( − 17,5)

  17 5   17 5   c) ( − 2,8); (2,−8);  − ,−  ;  ,    2 2  2 2     17   17   e) (1,−4); ( − 1,−4);  ,5 ;  − ,−5   2   2  

  17   17   b) (2,8); ( − 2,−8);  ,−5 ;  − ,5   2   2    5  5   d) (2,−8); ( − 2,−8);  17,  ;  − 17,−    2  2     17   17   f) ( − 1,4); (1,−4);  ,5 ;  − ,−5   2   2  

AL - 083 Să se rezolve sistemul

x + y = 3   xy = 2 a) {(1,3), (3,1)}

b)

{(2,3), (3,2)}

c) {(1,2 ), (2,1)}

31


d)

{(− 1,2), (2,−1)}

e) {(1,1)}

f)

{(2,2)}

b) {(1,1)}

c)

{(2,2)}

e) {(1,3), (3,1)}

f)

{(2,2), (1,1)}

AL - 084 Să se determine soluţiile reale ale sistemului

y 4  x + =   y +1 x +1 3  x + y + xy = 5  a) {(2,1), (1,2 )} , d)

{(2,3), (3,2)}

AL - 085 În care din următoarele mulţimi se află soluţiile sistemului

 x 2 + y 2 + xy = 91   x + y + xy = 13 a)

c)

e)

x1 ∈ [0,2], y1 ∈ {7,8}

x2 ∈ [5,10], y2 ∈ (− 1,1) x1 ∈ (2 ,3), y1 ∈ (0 ,7 )

x2 ∈ {5,7}, y2 ∈ (− 1,2 ) x1 ∈ [− 7,−2], y1 ∈ [3,5) x2 ∈ (3,6 ), y2 ∈ (3,6 )

AL - 086 Fie

b)

d)

f)

x1 ∈ (− 1,3], y1 ∈ [7,9]

x2 ∈ {7,8, 9], y2 ∈ [0,3] x1 ∈ (2, ∞ ), y1 ∈ (− ∞,0]

x2 ∈ {3,5,7}, y2 ∈ {0,1,3} x1 ∈ (1,5), y1 ∈ (7,9 )

x2 ∈ (7,9 ), y2 ∈ (1,5)

{( xk , yk ) k = 1, 2,..., n} mulţimea soluţiilor reale ale sistemului

32


 x 2 + y 2 + x + y = 8  2 2 6 .  x y + xy = Să se calculeze

n

∑x

k

k =1

.

a) 3 − 2 2 ;

b) 0;

c) 1;

d) 3 + 2 2 ;

e) – 2;

f) 2 + 2

AL - 087 Să se determine soluţiile sistemului

 x 2 = 4  x  y = 25

(2,5);  2, 1 

 5 a) 1   2,− ; (− 2,−5) 5 

c)

e)

x = 2;

(2,5); (2,−5) 1  1  − 2, ;  − 2,−  5  5 

b) 

x=2 este singura soluţie

d)

x= 4 1 este singura soluţie x= 5

f)

y=5

x2 + y2 = z

AL - 088 Fie (S ) : 

x + y + z = m

, m ∈ R . Fie

y=− x =2 y =5

1 este singura soluţie 5

33


 ~ ~ ~  A = {m ∈ R (S ) admite o soluţie reală unică, notată cu  xm , ym , zm  },    ~ 2 ~ 2 ~ 2 S1 = ∑ m şi S 2 = ∑  xm + ym + zm  . Atunci m∈ A m∈ A  a) S1 = 0; S 2 =

1 2

3 4

d) S1 = − ; S 2 =

1 2

3 4

1 3 ; S2 = 2 4

b) S1 = − ; S 2 = 25

c) S1 =

e) S1 = −5; S 2 = 14

f) S1 ≥ 5; S 2 = 25

AL - 089 În care din următoarele mulţimi se află soluţiile reale ale sistemului  x 6 − y 3 = 98 ?  4  x + x 2 y + y 2 = 49

(

a) x ∈( − 11 , ); y ∈{− 1,0,1}

(

) (

c) x ∈ − ∞,− 3 ∪

) (

b) x ∈ − 3 , 3 ; y ∈ − 3 , 3

) [

3 ,+∞ ; y ∈ 2,3 3

 1 1 e) x ∈ − ,  ; y ∈( − 11 ,)  2 2

]

)

d) x ∈( − ∞,−7); y ∈(7,+∞)  2 2  1 1  ; y ∈ − ,  f) x ∈ − ,  2 2  2 2 

AL – 090 Să se determine toate tripletele de numere reale (x, y, z) care verifică sistemul neliniar x2 −y = 0, y2 − xz = 0 , z2 −16y = 0 a) (0,0,0) ; (2,4,4) ; (−2,4,−8);

b) (0,0,0); (2,4,8); (−2,4,8)

c) (0,0,0) ; (−2,4,−8) ; (2,−4,8) ;

d) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (2,4,−8)

e) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (−2,4,−8) ;

f) (1,1,4) ; (1,1,1); (−1,1,−1); (1,−1,1)

34


AL – 091 Să se determine condiţiile pe care trebuie să le verifice parametri reali a,b astfel încât sistemul

 x 3 − y 3 = a(x − y )  3  x + y 3 = b( x + y )

să aibă toate soluţiile reale

a) a,b∈R a2 = 3b

b) a,b∈R + a≤ 3b, b≤ 3a

c) a,b∈R + a ≤ 2b, b≤ 2a

d) a,b∈R

e) a,b∈R a=b

f) a,b∈R +

x + y + z = 6  AL – 092 Fiind dat sistemul  x 2 + y 2 + z 2 = 14  x 3 + y 3 + z 3 = 36 

să se precizeze numărul soluţiilor reale şi intervalele în care se află aceste soluţii a) n = 3 b) n = 6 (x,y,z) ∈[−1,5] × [−1,5] × [−1,5] (x,y,z) ∈[0,4] × [0,4] × [0,4] c) n = 1 d) n = 6 (x,y,z) ∈ [3,7]×[3,7]×[3,7] (x,y,z) ∈ [2,9] × [2,9] × [2,9] e) n = 3 f) n = 2 (x,y,z) ∈[0,1] × [0,1] × [0,1] (x,y,z) ∈[−1,2] × [−1,2] × [−1,2] AL – 093 Să se determine în care din intervalele de mai jos se află soluţiile sistemului

xy yz zx x2 + y2 + z2 = = = 6 2 y + 3x 3z + y x + 2 z a)

 3  1  1 x ∈  0, , y ∈  0, , z ∈ 1,   2  2  2

1 3  2 1 , y ∈  ,1, z ∈  0,  2 2   2  2      

c) x ∈  ,

 2    3  2 , y ∈  0, , z ∈   , 1  2   2   2 ,1      

b) x ∈ 

d) x ∈ (0,1), y ∈ (1,2 ), z ∈ (2,3)

35


  

e) x ∈ (1,2 ), y ∈  0,

3 , z ∈ (0,1) 2 

  

f) x ∈  0,

(

3 3 , y ∈ 1, , z ∈ 1, 2  4   2

)

AL - 094 Să se determine valorile parametrului real a astfel încât sistemul x2 + y2 = 2 z   13 să aibă o soluţie unică reală. 2 2 x − y + z = a + 3a − 2  a) a ∈( − ∞,−2)

 − 3 − 35 − 3 + 35  b) a ∈  ,  2 2  

c) a ∈{− 1,2}

d) a ∈( − 1,2)

e) a ∈{− 4,1}

f) a ∈( − 4,1)

AL - 095 Să se determine m ∈R astfel încât x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + m > 0 pentru orice x, y ∈R . a) m = 7 b) m ∈ (− ∞,−1) c) m < 3 d) m ∈ (− 3,5)

e) m ∈ (8,+∞ )

f) m ∈ [− 3,5)

AL - 096 Fie f :R → R, f ( x ) = (m − 2 )x 2 + 2(m + 1)x + m − 3 . Să se afle în care din următoarele intervale se găseşte m astfel încât valoarea minimă a funcţiei f să fie –9 .

1  2 

a) m ∈ (− ∞,0 ) b) m ∈ (0,1) c) m ∈  ,3  d) m ∈ (4,7 ) e) m ∈ [7,9] f) m ∈ (8,+∞ )

AL - 097 Să se determine parametrul m ∈ R + din ecuaţia mx 2 + (m + 1)x − 5 = 0 , astfel încât rădăcinile acesteia să verifice inegalităţile x1 < −1, x2 >

1 . 2

a) m ∈(0,6)

b) m ∈[0,6]

c) m ∈R

d) m ∈(0,+∞)

e) m ∈ (− ∞,0 )

f) m ∈{− 1} ∪ (0,5)

36


AL - 098 Să se determine parametrul m ∈Z \ {2} , astfel ca rădăcinile x1 şi x 2 ale ecuaţiei (m − 2) x 2 − 5 x + m + 1 = 0 să satisfacă condiţiile: x1 ∈ (−∞,2) , x2 ∈ (3,5) . a) m = 1

b) m = 3

c) m = 4

d) m = 5

e) m = −3

f) m = −2

AL - 099 Să se afle mulţimea valorilor funcţiei f definită prin formula f ( x) =

AL - 100 Fie f :R → R , f ( x ) =

x2 + 1

.

d) [2, + ∞ )

c) [− 1, 1]

b) (0,+∞ )

a) (−∞, 0)

x2 + 2

(

e) − 2 , 2

)

f) {1}

3 x 2 + mx + n . Să se determine m, n ∈R x2 + 1

astfel încât f (R ) = [ − 3,5] .

{

}

 5 7 a) m ∈ ± 2 3 ; n ∈ − ,   2 2

[

]

d) m ∈ − 2 3 ,2 3 ; n = 0

{

d) A =

{

}

f) m ∈ ± 3 2 ; n = −1

}

{−2, 2}

}

e) m ∈[ − 3,5]; n ∈[ − 11 ,]

A= a ∈ R f (R) = [0, 2] .

a) A = ∅ ;

{

c) m ∈ ± 2 3 ; n ∈{± 1}

AL - 101 Fie funcţia f :R → R , f ( x ) =

{

}

b) m ∈ ± 4 3 ; n ∈{− 1}

b) A = e) A =

x 2 + ax + 1 . Să se determine mulţimea x2 + 1

{−1,1} ; [ −2, 2] ;

[ −1,1] ; A = [ 0, 2]

c) A = f)

37


AL - 102 Fie ecuaţia x 2 − x = mx( x + 1) . Să se determine valorile parametrului real m astfel încât această ecuaţie să aibă trei rădăcini reale diferite. a) m ∈R

b) m ∈ (−1,1)

c) m ∈∅

d) m ∈( − ∞,1]

e) m ∈ R \ {− 11 ,}

f) m ∈R \ {1}

AL - 103

(

)

1 + 4 − m2 x − x 2

Fie f : I ⊂ R → R , f ( x) =

(

)

m x2 + 1

, m ∈ R \ {0} . Să se

determine m astfel încât I să fie un interval mărginit de lungime minimă. a) m = 0

b) m = −2

c) m = 2

d) m = 1

e) m = 2

f) m = 4

AL - 104 Numerele a , b, c ∈R satisfac egalitatea 2a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Să se determine valoarea minimă pe care o poate lua expresia a − 2b + c . a) 33

b)

33 2

c) −

33 2

d) − 10

1 2

f) 10

 7 e)  0,   9

 7  f)  − ,0  9 

e)

AL - 105 Să se rezolve inecuaţia 2 + 3x + 5x + 4 < 0 .  4 2 a) − ,−   5 3

 4 2 b) − ,−   5 5

 4 7 c) − ,−   5 9

 3 1 d) − ,−   5 5

AL - 106 Să se determine x ∈R pentru care a) x ∈( − ∞,0)

b) x = −1

c) x =

3 2

1 + x − 1 − x = 1.

d) x = ±

3 2

e) x = −

3 2

AL - 107 Fie inecuaţia 4 − x 2 > 1 − x . Care din intervalele de mai jos reprezintă mulţimea soluţiilor inecuaţiei ?

f) x ∈∅

38

a) (− ∞,−3)


 17  b)  ,20  2  

c) (− 2,2]

AL - 108 Să se determine mulţimea A =  x ∈ R  a) ( − ∞,−1]

b) [2,+∞)

c) [1,+∞)

e) [4,5)

d) (22,+∞ )

1− 7  f)  ,2  2 

x 2 − 5x + 6 ≥ 3 − x  . 

d) ( − ∞,1] ∪ {3}

e) [1,2) ∪ {3}

f) [3,+∞)

2

 x  AL - 109 Să se rezolve în R ecuaţia x 2 +   =1.  x −1

a) x = 1 ± 2

b) x = 2 ± 1

c) x = 1 − 2 ±

1 2 2 −1 2

1 1 1− 2 e) x = ± f) x = 1 − 2 ± 2 2 − 1  2 2 −1 ± 2 2 −1  2 2 2 AL - 110 Să se determine domeniul maxim de definiţie D , al funcţiei

d) x =

f : D ⊂ R → R , unde f ( x) = n 1 − n +1 x + 1 + n +1 n x − 1 , n ∈ N . a) D = {0} pentru n = 2 k

D = [1,+∞) pentru n = 2 k + 1

b) D = ( − ∞,1] pentru n = 2 k D = R pentru n = 2 k + 1

c) D = [0,+∞) pentru n = 2 k

d) D = {1} pentru n = 2 k

e) D = [1,+∞) pentru n = 2 k

f) D = [ − 1,+∞) pentru n = 2 k

D = {0,1} pentru n = 2 k + 1

D = [ − 1,+∞) pentru n = 2 k + 1

D = {0,1} pentru n = 2 k + 1

D = {0} pentru n = 2 k + 1

AL - 111 Se consideră ecuaţia: 2 x + 1 + 1 − 2 x = 4 + x . În care din mulţimile indicate mai jos , ecuaţia are o singură rădăcină reală ? a) ( − ∞,−4)

 1 1 b)  − ,−   2 5

c) (8,+∞)

d) (1,2) ∪ [3,+∞)

e) ( − 2,−1)

1  f)  − 4,−   2

39

Elemente de algebră AL - 112 Precizaţi care este mulţimea soluţiilor inecuaţiei 15 + 5x − 13 − 2 x ≤ 2 .  109  a) A = − ,2  49 

 13  b) A = 2,   2

109   c) A = − 3, 49  

13   d) A = − 3,  2 

e) A = [ − 3,2]

 102  f) A = − ,2  49 

AL - 113 Să se afle pentru ce valori ale parametrului m ∈ R , ecuaţia

x + 8m + x = 4 x + 8m + 4 are soluţii reale.

 

c) m ∈ [− 1,1] \ {0}

b) m ∈ (− ∞,0 )

a) m ∈ R

1

1 2

d) m ∈  0,  2

 

 

e) m ∈  ,+∞ 



1 2

f) m ∈  − ∞, 

AL - 114 Precizaţi mulţimea A căreia îi aparţin valorile reale ale lui x pentru care are

( − x)

loc egalitatea

3 x −1 8 − 3 x

a)A = (0,1)

b)A = (1,2)

x

= 5x 2 x .

c)A = [2,3)

d)A = (2,3)

e)A (2,7)

f)A = [3,+∞)

AL - 115 Să se calculeze valoarea expresiei E=

a 3 + b 3 − 2ab ab a 3 + b 3 − 2ab ab − ab pentru a = 2 + 3 şi b = 2 − 3 . − a a − b b + ab a a −b b

a) E = 4

b) E = −4

c) E = −2

d) E = 2

e) E = 1

f) E = −1

AL - 116 Să se precizeze valoarea numărului real

E = 26 + 6 13 − 4 8 + 2 6 − 2 5 + 26 − 6 13 + 4 8 − 2 6 + 2 5

40

a) E = 6


b) E =

2 3

c) E =

13 2

e) E =

d) E = 4

5 2

f) E = 1

AL - 117 Să se determine valoarea expresiei

E = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

f) 0

AL - 118 Să se determine valoarea expresiei

E= n −1

(9 (27

n −1

a) 72 b) 2 ⋅ 3 c) AL - 119 Să se simplifice fracţia: 6

F=

n

−9

n −1

)

− 19 ⋅ 27

2 ⋅3

1 2 n−2

)

,n∈Z

1 3

−

d)

2 ⋅3

n+3 2

e) 1

f) 2

c) F =

x+ y+z 2

f) F =

x + y + z +1 2

x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz (x − y )2 + ( y − z )2 + (x − z )2

a) F = x − y + z

b) F = x + y + z

d) F = x + y + z + 1

e) F =

x+ y+ z+3 2

AL - 120 Care este mulţimea valorilor reale ale lui x pentru care avem 1 + x(2 − x) − 1 − x(2 − x) = 2(2 − x) ?

a) x ∈{0,1}

b) x ∈{3,4}

c) x ∈[0,1]

d) x ∈[1,2]

e) x ∈[2,3]

f) x ∈[0,2]

41

Elemente de algebră AL - 121 Pentru x ≠ ± y să se determine valoarea expresiei

E=

a) 1

(x 3

2

− y2

)(

3

x +3 y

x + x y − x y − y 5

2

3

3

AL - 122 Să se rezolve ecuaţia

3

3

c) x − y

b) x + y

)

2

d) x

1

x

3

d) x ∈{− a } ∪ (0, a ]

−

2 3

a 2 − x2 −

dat, în mulţimea numerelor reale. a) x ∈{− a , a }

5

( xy + y ) 2

3

3

1 3

e) x + y

1 3

f) y

2 3

a2 − 1 = 0 , cu a ∈ R , a > 0 , x2

b) x ∈[ − a , a ] \ {0}

c) x ∈[ − a ,+∞) \ {0}

e) x ∈(0,+∞)

f) x ∈{− a } ∪ [a ,+∞)

AL - 123 Fie ecuaţia x − (m − 1) x + m − 1 = 0 , m ∈ R . Să se determine m astfel 2

încât

3

x1 + x2 + 3 9 − x1 x2 = 3 .

a) m ∈{− 1,3} b) m ∈{5,8} c) m ∈{1,6} d) m ∈{− 3,8} e) m ∈{− 2,−9} f) m ∈{2,9} AL - 124 Să se rezolve ecuaţia a) x = ±

d) x = ±

5n + 1

n

( x + 1)

b) x = ±

5n − 1 5n − 1 5n + 1

e) x = ±

2

+ n ( x − 1) =

2n − 1 2n + 1 5n + 2 n 5n − 2 n

2

5n 2 x −1. 2

c) x = ±

f) x = ±

2n + 1 2n − 1 5n − 2 n 5n + 2 n

AL - 125 Fie f ( x ) = x 2 − mx + 1,= şi h ( x ) 2 x 2 + mx + 2. g ( x ) x 2 + 2mx + 1= Să se determine parametrul m ∈ R astfel ca toate rădăcinile ecuaţiei: 3

3 f ( x) f ( x) + 3 g ( x) =

42


să fie reale. a) m ∈ R ;

b) m ∈ ( −∞, −1]  [1, ∞ ) ;

d) m ∈ ( −∞, −3]  [3, ∞ )

c) m ∈ ( −∞, −2]  [ 2, ∞ )

e) m ∈ ( −∞, −4]  [ 4, ∞ ) ;

f) m ∈ ∅

AL - 126 Să se determine toate soluţiile reale ale ecuaţiei

x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1. a) x ∈{2,5,10} b) x ∈[5,10]

c) x ∈{5,10}

d) x ∈[1,5]

e) x ∈(5,+∞)

f) x ∈(5,10)

AL - 127 Să se determine numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei 2 − x2 + 3 3 − x2 = 0 .

a) o rădăcină reală

b) două rădăcini reale

d) nici o rădăcină reală e) patru rădăcini reale AL - 128 Să se determine toate soluţiile reale ale ecuaţiei 1 x2 − 1 + x ⋅ 1 − 2 = 0 .

c) trei rădăcini reale f) şase rădăcini reale

x

a) x ∈{− 11 ,}

b) x ∈{− 2,−11 ,}

d) x ∈R \ {0}

e) x ∈( − ∞,−1] ∪ {1}

c) x ∈∅ f) x ∈{− 11 , ,0}

AL - 129 Să se calculeze valoarea expresiei E = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 , pentru x ∈[1,2] . a) E = 1 + x

b) E = x 2 − 3x + 4

c) E = 2

d) E = 3x − x 2

e) E = 6 x − 2 x 2

f) E = 2(2 − x)

AL - 130 Să se determine valorile lui m ∈ R pentru care ecuaţia

43


mx 2 − x + 1 + mx 2 + x + 1 = x are soluţii în R şi să se determine aceste soluţii. a) m =

1 ; x ∈ [5,7] 4

d) m =

1 ; x ∈[2,+∞) 4

 1 1 b) m ∈  , ; x ∈[2,+∞) 2 8

c) m =

 1 1 e) m ∈ − ,  ; x ∈{2,3}  4 4

1+ 7  1 ; x ∈  ,+∞  4  2 

f) m =

2 ; x ∈{4,6} 3

AL - 131 Fiind date funcţiile f , g : [− 1,1] → [− 1,1] definite prin

 x 2 , x ∈ [− 1,0]  x, x ∈ [− 1,0] f (x ) =  g (x ) =  2 şi  x, x ∈ (0,1]  x , x ∈ (0,1] să se determine funcţia h = g  f . a) h = f b) h = g c) h = f 2 d) h = g 2

e) h = fg

 x 2 , x ∈ [− 1,0]  x 4 , x ∈ (0,1]

f) h( x ) = 

AL - 132 Fie f , g : R → R

 x − 3, dacă x ≥ 2 şi f (x ) =  2 x + 5, dacă x < 2 Atunci ( f  g )( x ) este :

 x 2 + 1, dacă x ≤ 0 g (x ) =  − x + 7, dacă x > 0

 x 2 − 2, x ∈ (− ∞,−1]  x 2 + 2, x ∈ (− ∞,0]  2  2 x + 7, x ∈ (− 1,0] a) ( f  g )( x ) =  b) ( f  g )( x ) = 2 x − 4, x ∈ (0,5]  x − 11, x ∈ (5, ∞ ) − x + 4, x ∈ (0,5]  − 2 x + 19 x ∈ (5, ∞ ) 

 x 2 − 2, x ∈ (− ∞,−1]  c) ( f  g )( x ) = − x − 4, x ∈ (− 1,0] 2 x − 19, x ∈ (0,8) 

 x 2 − 2, x ∈ (− ∞,−1]

e) ( f  g )( x ) = 

2 x − 19, x ∈ (− 1, ∞ )

2 x 2 + 7, x ∈ (− ∞,5]

d) ( f  g )( x ) = 

− x + 4, x ∈ (5, ∞ )

 x 2 − 2, x ∈ (− ∞,5]

f) ( f  g )( x ) = 

2 x − 19, x ∈ (5, ∞ )

44


 x − 1 x ∈ (− ∞,2 ) 2 x − 3 x ∈ [2,+∞ )

AL - 133 Fie f : R → R ; f ( x ) = 

Să se determine inversa acestei funcţii. a) f

c) f

−1

−1

(x ) = x + 1

(x ) = x;

∀x ∈ R

 x + 1 x ∈ (− ∞,1)  b) f ( x ) =  1  2 ( x + 3) x ∈ [1,+∞ ) −1

1  (x + 3) x ∈ (− ∞,1] d) f ( x ) =  2  x + 1, x ∈ (1, ∞ ) −1

∀x ∈ R

 1  x − 1 x ∈ (− ∞,2) −1 e) f ( x ) =   1 x ∈ [2,+∞ )  2 x − 3

f) funcţia nu este inversabilă

AL - 134 Să se precizeze care din răspunsurile de mai jos este corect pentru funcţia f :R → R,

2 x − 4, x ≤ 6 f (x ) =   x + 2, x > 6 y+4 , y ≤8  b) f este inversabilă şi f ( y ) =  2  y − 2, y > 8 −1

a) f nu este inversabilă; c) f este inversabilă şi f −1 ( y ) = y

d) f este inversabilă şi f −1 ( y ) = y − 2

y+4 e) f este inversabilă şi f ( y ) = 2

y+4 ,y >8  f) f este inversabilă şi f ( y ) =  2  y − 2, y ≤ 8

−1

−1

AL - 135 Determinaţi valorile lui a ∈ R pentru care funcţia f : R → R ,

45


f ( x ) = a x + 1 + x − 1 + (2 − a )x − a − 1 este inversabilă şi determinaţi inversa ei. a) a =

1 ; 2

c) a < 1 ; 2

e) a > 1 ; 2

x x ≤ 1  −1 f (x ) =  x + 2 x >1  3  x + 2a  1 − 2a ; x < −1  f −1 ( x ) =  x; − 1 ≤ x ≤ 1 x + 2  ; x >1  3  x + 2a  1 − 2a ; x < −1  f −1 ( x ) x; − 1 ≤ x ≤ 1 x + 2  ; x >1  3

b) a = 0;

d) a < 1 ; 2

f)

a = 1;

 x −1  2 ; x < −1  f −1 ( x ) =  x; − 1 ≤ x ≤ 1 x + 2  ; x >1  3  x+a 1 − 2a ; x > 1  f −1 ( x ) =  x; − 1 ≤ x ≤ 1 x + 2  ; x < −1  3  − x − 2; x < −1  −1 f ( x ) =  x; − 1 ≤ x ≤ 1 x + 2  ; x >1  3

1  2  2 f : [a, b ) → [ f (a ), ∞ ) , f ( x ) = x − x − 2 să existe f −1 . Să se precizeze dacă f −1 este strict crescătoare sau descrescătoare. 1  b)  , ∞ ; f −1 strict crescătoare a) [1, ∞ ) ; f −1 strict descrescătoare; 2  1  c)  , ∞ ; f −1 strict descrescătoare d) [1, ∞ ); f −1 strict crescătoare 2  3  4  e)  , ∞ ; f −1 strict descrescătoare f)  , ∞ ; f −1 strict crescătoare 2  3  AL - 136 Să se aleagă un interval maximal [a,b ) ⊂  , ∞  astfel încât pentru

 x 2 − mx + 1, x ≤ 0

AL - 137 Să se determine m ∈ R astfel încât funcţia f ( x ) =  să fie strict descrescătoare pe R.

− x + m, x > 0

46 a) m ∈ φ

Culegere de probleme b) m ∈ R

c) m ∈ (− ∞,0 ) d) m ∈ [0,1]

e) m ∈ (1,2 )

f) m ∈ [2, ∞ )

AL - 138 Pentru ce valori ale lui m ∈R , graficul funcţiei f : R → R ,

f ( x) = me x − (m + 1)e − x , taie axa Ox ?

a) ( − 1,0)

1  b)  − 1,   2

c) ( − ∞,−1) ∪ (0,+∞)

d) ( − 5,+∞)

e) ( − ∞,2)

x x 3 AL - 139 Să se rezolve ecuaţia:  3 + 2 2  −  3 − 2 2  = .     2 2 lg 2 a) x = 1 b) x = 2 c) x = lg 3 + 2 2

(

d) x ∈∅

e) x =

(

2 lg 2

lg 3 − 2 2

)

f) x = 2 lg 2

)

f) R


46

(

AL - 140 Să se rezolve ecuaţia: 1 + 2

(

)

d) x1,2 =

(

ln 3 ± 5

x

=2.

(

1+ 5 2 e) x1 = 0, x2 = ln 1 + 2

f) x1 = 0, x2 =

ln

)

)

ln 3 ± 5 − ln 2

c) x1,2 =

(

)

x

b) x1 = 0, x2 = 2

a) x1 = 0, x2 = 1

ln 3 − 2 2 − ln 2

) + (3 − 2 2 )

(

ln 3 − 2 2

)

(

)

ln 2 2 − 3 ln 3

AL - 141 Determinaţi valoarea lui x pentru care e x + e − x = 2 a) 1

b) –1

c) 2

d) 0

e) –2

AL - 142 În care din următoarele mulţimi se află soluţia ecuaţiei

4 −3 x

(

a) e,e 2

)

( ]

d) 1, 3

x−

1 2

=3

x+

1 2

− 22 x −1

b) (− 1,1)

c) (3,7]

e) (0,1)

f) (9,11)

AL - 143 Să se rezolve ecuaţia 2 x − 3x = 6 x − 9 x a) x1 = 0 este unica soluţie d) x1 = 0

x2 = log 2 3 + 1

b) x1 = 0

x2 =

1 1 − log 2 3

e) x1 = 0

x2 =

1 log 2 3

c) x1 = 0

x2 = log 2 f) x1 = 0

x2 = log 2 3

f) ln2


47

AL - 144 Determinaţi funcţia f : R → R , astfel încât y = f ( x ) să fie soluţie a ecuaţiei e y − e − y = x .

(

a) f ( x ) = ln x c) f ( x ) = ln

b) f ( x ) = ln x +

(x

2

+1 − x

)

d) f ( x ) = ln

x + x2 + 4 e) f ( x ) = ln 2

x2 + 4

)

x − x2 + 4 2

x − x2 + 4 f) f ( x ) = ln 2

AL - 145 Determinaţi mulţimea A căreia îi aparţine soluţia ecuaţiei

23 x − a) A =

(

2 ,8

)

8 1   − 6 2 x − x −1  = 1 3x 2 2   1  b) A =  ,16 2 

c) A =

 1  

d) A = [− 2,0 )

(

AL - 146 Să se determine valorile lui m ∈ R pentru care ecuaţia

(3x − 1)(x − m − 1) x−1 −1 − (2 x + m ) x−1 = (x − m − 1) x−1

cu condiţiile x > m + 1 şi x > −

m are trei rădăcini reale şi distincte. 2

a) m ∈ φ

b) m ∈ R

 

2   3 3   2

 

2 ,9

f) A = (0,1)

e) A = 0,  2

d) m ∈  − ∞,−  \ − 

3

 3 1 ,−   2 2

c) m ∈ R \ −

1 2

e) m ∈  − ∞,− 

 1  ,∞  2 

f) m ∈  −

)


48

 1 AL - 147 Să se rezolve inecuaţia:    3

b) [ − 2,1)

a) (4,+∞)

x+ 2

> 3− x .

c) (0,10)

d) (1,+∞)

e) (2,+∞)

x

f) ( − 11 ,)

x

2 4 AL - 148 Să se determine m ∈R astfel încât inegalitatea   − m  + 1 > 0 3 9 să fie adevărată pentru orice x < 0 . b) m ∈( − 2,2)

a) m ∈ φ

c) m ∈[ − 2,2]

d) m ∈ [−2,+∞)

AL - 149 Care este soluţia sistemului de inecuaţii:

[

(

a) log 3 2, log 3 3 + 17

d)

(

2, 3

)]

f) m ≤ 2

1 3x + 1 1 ? ≤ ≤ 3 9x + 1 2

(

)

c) (3,+∞)

(

)

f) [1, log 3 5]

 3 + 17  b) log 3 1 + 2 , log 3  2  

 3 − 17  e) log 3 1 − 2 , log 3  2  

)

e) m < −2

2 ⋅ 2 x −1 2 AL - 150 Să se rezolve inecuaţia: x > 1+   . x 3 −2 3 x

  

a) x ∈  0, log 2

(

3

5 −1  2 

d) x ∈ 0, log 2 ( 5 − 1) 3

)

  

b) x ∈  0, log 2

(

3

5 + 1  2 

e) x ∈ 0, log 2 ( 5 + 1) 3

)

c) x ∈ (0,1) f) x ∈ (−1,1)


AL - 151 Să se rezolve inecuaţia: x

x

<

( x)

49

x

.

 1 a)  0,   2

b) (0,1) ∪ (4,+∞)

c) (0,2)

d) (0,3)

e) (0,2) ∪ (6,+∞)

f) (0,3) ∪ (5,+∞)

log 2 (2 x − 5)

AL - 152 Să se rezolve ecuaţia:

a) x1 =

11 , x2 = 3 3

(

b) x1 =

=

1 . 2

11 , x2 = −3 3

e) x1 = −

d) x1 = 3

)

log 2 x − 8 2

c) x1 =

11 , x2 = −3 3

11 3

f) x1 = 9

AL - 153 Care este soluţia ecuaţiei: 2 + log 1 x + 3 = 1 − log 1 x ? 3

a) x ∈ φ

b) x = 3

c) x =

1 3

d) x ∈[9,+∞)

3

e) x = (0,9 )

1  f) x ∈ ,9 3 

AL - 154 Să se precizeze domeniul maxim de definiţie al funcţiei:

f ( x) = log 2

3 − 2x . 1− x

3  a) ( − ∞,1) ∪  ,+∞ 2 

b) ( − ∞,1) ∪ [2,+∞)

c) [2,+∞)

d) (1,+∞)

e) (0,2] ∪ (4, ∞ )

f) (− ∞,0] ∪ [2, ∞ )


50

AL - 155 Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiei:

f ( x) =

1 2

 1   4 

(

).

ln − 2 x 2 − x + 1 − 4x − x 2

 

 

 

1 2

 3  2

b)  − 1,  ∪ 1,  ∪ (2,4 )

a)  − ,0  ∪  ,2  ∪ (3, ∞ )

1 2

c) (− 1,0 ) ∪  0,  ∪ (2, ∞ ) d

1   1   1  d)  − 1,−  ∪  − ,0 ∪  0,   2   4   2

1  e) R \  0,−   4

f) R \ {0,1}

AL -156 Să se determine domeniul maxim de definiţie al funcţiei

f ( x) = log x 3x ⋅ log 3 x . a) (0,+∞)

b) (1,+∞)

 1 c)  0,  ∪ (1,+∞)  3

 1 2  d)  0,  ∪  ,1  2 3 

e) (0,1) ∪ (2,+∞)

f) (1,2)

AL - 157 Fie x1 , x2 , x3 trei numere din intervalul (0,1) sau din intervalul (1,+∞) . Precizaţi care este valoarea minimă a expresiei E = log x1 x2 x3 + log x2 x1 x3 + log x3 x1 x2 . a) 1

b) 0

c) 3

d) 6

e) − 3

f) − 6


51

AL - 158 Ştiind că log 40 100 = a , să se afle log 16 25 în funcţie de a .

a)

3a + 2 2a + 4

b)

3a + 1 a +2

c)

3a − 1 2a + 3

d)

3a − 2 4 − 2a

e)

3a − 4 a +2

f)

3a + 4 a −2

AL - 159 Dacă a = log 30 3 şi b = log 30 5 , să se calculeze log 30 16 în funcţie de a şi b . a) 4(1 − a − b)

b) 4(1 + a − b)

c) 2(1 − a + b)

d) 2a − b + 1

e) 2(a − 2b − 1)

f) 2(a + 2b + 1)

5 este: AL - 160 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei log x 2 x + log 2 x x = 2

a) φ ;

1  b)  , 2  ; 2 

1  d)  , 2  ; 4 

c) {2, 4} ;

e) {2, 5}

(

1  f)  , 2  5 

)

AL - 161 Să se rezolve ecuaţia: log x2 ( x + 2) + log x x 2 + 2 x = 4 . a) x = 1

b) x = −1

c) x = 3

d) x = 4

e) x = 2

f) x = 8

AL - 162 Să se rezolve ecuaţia: a log 6 x − 5x log 6 a + 6 = 0 , a > 0, a ≠ 1 . a) x1 = log a 3 , x2 = log a 2

b) x1 = 6 log a 3 , x2 = 6 log a 2

d) x1 = − log a 3 , x2 = − log a 2

e) x = 6

log a

3 2

c) x = 6

log a

2 3

f) x1 = a log 6 3 , x2 = a log 6 2


52

(

AL - 163 Să se rezolve ecuaţia: log 2 3 + 2 log 4 x = x a) x = 3

c) x =

b) x = 1

16 3

d) x =

)

1 log 9 16 log x 3

3 16

AL - 164 Să se determine m ∈R astfel încât ecuaţia

.

e) x =

1 3

f) x = 3

m + lg x = 2 să aibă o lg( x + 1)

singură soluţie reală. a) m ∈ φ

c) m = 1

b) m < 0

d) m = lg 2

e) m = lg 4

f) m = lg 6

AL - 165 Să se determine valoarea parametrului întreg m astfel încât ecuaţia      log 1 m − 3 x 2 − 2 3 log 1 m − 4 x + 7 log 1 m − 6 = 0 să aibă o rădăcină dublă.     3 3 3 b) m = −2

a) m = 1

3 3

c) m =

d) m = 4

e) m = 9

f) m = −9

  1 AL - 166 Rezolvând ecuaţia: log 3 log 2 (log 4 x) = 2 log 9  ,  log 4 (log 2 x) 

[

]

să se stabilească în care din următoarele intervale se află soluţia acesteia.

(

a) 1, 2

]

[

b) [2,3]

c) 2 3,4

)

d) [4,5)

e) [5,18]

f) (18,+∞ )

AL - 167 Să se determine valorile lui m > 0 pentru care funcţia

f (x ) = a) m = 4

x 2 log m

1  2 

b) m ∈  ,5 

1 − x log 1 m + 3 log 1 m − 4 este definită pe R . 2 2 2 1 3

 

c) m ∈  ,+∞ 

 1  4

d) m ∈  0, 

e) m =

1 4

f) m ∈ φ


53

AL - 168 Fiind dată expresia: E=

(log x 2 + log 2 x − 2)log 2 x + (log x 2 + log 2 x + 2)log 2 x

,

să se determine toate valorile lui x ∈ R pentru care E = 2 . a) [1,+∞ )

b) [1,2] ∪ {3}

1 

e) [1,2] \  

1 

c)  ,2 2 

3 2 

d)  ,2 \ {1} 2 

f) (1,2 ) ∪ (3,+∞ )


lg x 2 + 2 lg x = 23 . a) x=10

b) x=100

c) x= 1000

d) x=1

e) x=2

f) x=3

1



AL - 170 Fie f :  ,+∞  → [0,+∞ ) , f ( x ) = log a 2  Să se rezolve inecuaţia f

−1

(

)

2x − 1 + 1 , a > 1

( x ) ≤ 5 , unde f −1 este inversa funcţiei f .

a) x ∈ [2,4]

b) x ∈ [0, log a 2]

c) x ∈ [0, log a 4]

d) x ∈ [0,1]

e) x ∈ [1, log a 3]

f) x ∈ [5,8]


54

2 x + 3, x ∈ (− ∞,0]

AL - 171 Fiind date funcţiile f : R → R , f ( x ) = 

2 − x + x, x ∈ (0, ∞ )

e x , x ∈ (− ∞,−1)  şi g : R → R , g ( x ) = arcsin x, x ∈ [− 1,1] ln x , x ∈ (1, ∞ )  2

, să se determine

soluţia din intervalul (− 1,0] a ecuaţiei ( g  f )( x ) = 0 . a) x = −1

b) x = 0

2 3

e) x = −

d) x = −

c) x = −

1 1 şi x = − 4 2

1 2

f) Nu există.

3 AL - 172 Se consideră inecuaţia: log a x − log a 2 x + log a 4 x ≥ , a > 0, a ≠ 1 4 şi se notează cu M a mulţimea tuturor soluţiilor sale. Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată ?  1 a) M 1 =  0,   2 2

1 4

 

d) M 1 =  , ∞  4

1  b) M 1 =  ,+∞   2 2

1  c) M 1 =  ,+∞  2  2

e) M 1 = ( − 5,+∞)

f) M 2 = (2,10)

10

AL - 173 Să se rezolve inecuaţia: log 3 x < 1 . a) x ∈(0,1)

 1 1 b) x ∈ − ,   3 3

1  1   c) x ∈ − 3,−  ∪  ,3  3  3 


1  1   d) x ∈ − ∞,  ∪  ,+∞   3  3

55

e) x ∈(3,+∞)

f) x ∈( − 3,3)

AL - 174 Fie P ( x) = x 2 − x log a y + 3 log a y − 8 , y > 0 , a ∈(0,1) . Să se determine toate valorile lui y astfel încât P ( x) > 0 , oricare ar fi x ∈ R .

(

a) y ∈ a 4 , a 8

)

(

b) y ∈ a 8 , a 4

(

d) y ∈(a ,2)

e) y ∈ a 3 , a

)

[

]

[

]

c) y ∈ a 8 , a

)

f) y ∈ a 2 , a

AL - 175 Să se determine m ∈R astfel încât sistemul  x lg x + y lg y = m + 101  2  log y 10 log x 10  log 10 + log 10 = lg x lg y y  x

să admită soluţii reale. a) m ∈ [0,10]

b) m ∈ (−99,0)

c) m ∈ [−81, 0 )

d) m ∈ (10,100)

e) m ∈ (−∞,−100)

f) m ∈ φ

e x − 1, x < 0 AL - 176 Se consideră funcţia f : R → (−1,+∞) , f ( x) =  .  x , x≥0

Calculaţi inversa sa, f −1 .

a) f

c) f

−1

−1

ln( x + 1), x ∈ (−1,0) ( x) =  2  x , x ∈ [0,+∞) ln x, x ∈ (−1,0) ( x) =   x, x ∈ [0,+∞)

b) f

d) f

−1

−1

ln( x − 1), x ∈ (−1,0) ( x) =  2 x, x ∈ [0,+∞)

ln( x 2 + 1), x ∈ (−1,0) ( x) =  2  x − 1, x ∈ [0,+∞)


56

e) f

−1

2 ln( x + 1), x ∈ (−1,0) ( x) =  2 − x , x ∈ [0,+∞)

f) f

−1

ln x 2 , x ∈ (−1,0) ( x) =  2  x + 1, x ∈ [0,+∞)

AL - 177 Să se rezolve inecuaţia: log x 2 ⋅ log 2 x 2 > log 24 x 2 .  1 1 a) x ∈ ,  ∪ (1,+∞)  23 2 2 

b) x ∈( − 2,−1)

d) x ∈( − 1,+∞)

e) x ∈

 1  ,1 ∪ (1, ∞ )  2 

c) x ∈ 

 1 1 ,  ∪ (1, ∞ ) 3 2 2

f) x ∈(0,1)

AL - 178 Se consideră expresia E ( x) = log 4 x + log x 4 . Determinaţi valorile lui x ∈R astfel încât E ( x) <

5 . 2

a) x ∈(1,2)

b) x ∈(0,1) ∪ (2,16)

c) x ∈ [1,2] ∪ [16,32]

d) x ∈(16,+∞)

e) x ∈(1,2) ∪ (20,+∞)

f) x ∈(110 , ) ∪ (20,+∞)

AL - 179 Ştiind că a ∈(0,1) să se determine mulţimea:

{x ∈R

[

1  a)  ,1 ∪ a 2 ,+∞ a   1 d) 1,   a

)

}

log a x − 2 log x a ≥ 1 .

1

(



b)  , a 2  ∪ 0, a 3 a 

[

 1 e)  0,  ∪ a 2 ,+∞  a

)

)

(

]

 

1 a

 1 c) 0, a 2 ∪  1,   a

[

f)  a,  ∪ 0, a 2

AL - 180 Într-o progresie aritmetică termenul al nouălea şi al unsprezecelea sunt daţi , respectiv , de cea mai mare şi cea mai mică rădăcină a ecuaţiei : 1 1 lg 2 + lg x 2 + 4 x + 5 = lg x 2 − 4 x + 5 + 1 . 2 2

[(

) ]

)


57

Se cere suma primilor 20 termeni ai progresiei. a) 15

b) 18

c) 22 d) 30 e) 40 3 3  (log 2 x) + (log 2 y) = 9 . AL - 181 Să se rezolve sistemul:  2 2 log 2 x ) log 2 y ) ( (  x +y = 258

f) 100

a) x = 2, y = 2

b) x = 4, y = 4

c) x = 3, y = 9 ; x = 9, y = 3

d) x = 2, y = 4 x = 4, y = 2

e) x = 2, y = 3 ; x = 3, y = 2

f) x = 1, y = 9 ; x = 9, y = 1

 x lg y ⋅ y lg z ⋅ z lg x = 10  AL - 182 Să se rezolve în R sistemul:  x lg y lg z ⋅ y lg x lg z ⋅ z lg x lg y = 1000 .  xyz = 10 

a) x = 10, y = z = 1

b) x = y = 10, z = 1

c) x = y = z = 10

d) x = y = z = 10 −1

e) Sistemul nu are soluţii în R

f) x = 1, y = 5, z = 2

AL - 183 Să se determine mulţimea tuturor numerelor naturale pentru care inegalitatea: 2n > n3 este adevărată. a) {n ∈ N; n ≥ 5}∪ {0,1}

b) ∅

c){0,1}

d) {0,1}∪ {n ∈ N ; n ≥ 10}

e) {n ∈ N; n ≥ 10} \ {12}

f) N

AL – 184 Să se determine mulţimea tuturor numerelor naturale pentru care următoarea inegalitate 1⋅5

este adevărată.

a ⋅ 3⋅ 7 a ⋅ 5 ⋅ 9 a 

( 2 n −1)( 2 n + 3 )

a < a n , a > 1, n ∈ N∗ ,


58 a) {n ∈ N, n ≥ 3}

b) n ∈ N ∗

c) n ∈ N \ {3,4,5}

d) {n ∈ N : n = 2k }

e) n ∈ φ

f) {n ∈ N : n = 2k + 1}

AL - 185 Să se determine numărul de elemente ale mulţimii

 A4 15  E = n ∈ N n + 4 < (n + 2) ! (n − 1) !  a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

f) 5

AL – 186 Într-o discotecă, dintr-un grup de 7 fete şi 8 băieţi, la un anumit dans, trebuie să se formeze 4 perechi din câte o fată şi un băiat. În câte moduri se pot forma cele patru perechi ? a) 105;

b) 210;

c) 14700;

d) 58800;

e)2450;

f) 420.

AL - 187 La o reuniune de 12 persoane, fiecare a dat mâna cu fiecare dintre ceilalţi participanţi. Câte strângeri de mână au fost? a) 132

b) 66

c) 12!

d) 12

e) 33

f) 144

AL - 188 În câte moduri se poate face un buchet cu două garoafe albe şi cinci garoafe roşii având la dispoziţie 20 garoafe albe şi 9 garoafe roşii ? a) 180

b) 18.000

c) 90.000

d) 22.400

e) 23.940

f) 24.140

AL - 189 Care este domeniul maxim de definiţie D al funcţiei:

f : D → R , f ( x) = C7xx +10 + C5xx++43 x− 4 ? 2

2


59

a) D = {1,9,11}

b) D = {2,3,4}

c) D = ( − ∞,−1] ∩ Z

d) D = [7,+∞) ∩ N

e) D = {2,3,4,5}

f) D = [1,6] ∩ N

AL - 190 Să se precizeze în care din mulţimile de mai jos se află toate numerele naturale n care verifică relaţia: C3nn − 2 = A2nn−−11 . a)A 1 = N \ {1,2,3,4,7,9}

b)A 1 = N \ {2,3,4,5,6,9,30}

c) A3 = (9,30)

d) A4 = {2 k + 1, k ∈ N}

e) A6 = N \ {2,3,5,7,9,30}

f) A5 = {3k k ∈ N}


C3nn ++42 n − 4 = 210, n ∈ N . 2

a) n=4

b) n=3

c) n=2

d) n=1

e) n=5

f) n=6

AL – 192 Soluţia ecuaţiei

C xx++83 = 5( x + 6)(x + 5)(x + 4) se află în intervalul : a) (14,19);

b) (-8,-3);

c) (-6,-4);

d) (20,24)

e) (21,27);

f) (19,20).

AL – 193 Să se precizeze în ce interval se află soluţia ecuaţiei

C xx+−14 = a) (8,12)

7 x(x + 1)( x − 1) 15

b) (10,12)

c) (-1,4)


d) (7,9]

e) (11,17)

f) (-1,1).


60

3C x2+1 + x ⋅ P2 = 4 Ax2 . a) x=3

b) x=4

c) x=5

d) x=2 e) x=7 AL - 195 Să se calculeze suma:

(

f) x=10

) (

(

)

)

Sn = 1 ⋅ C11 + 2 C21 + C22 + 3 C31 + C32 + C33 + ... + n Cn1 + Cn2 + ... + Cnn . a) Sn = n ⋅ 2 n −

n(n + 1)

b) Sn =

2

c) Sn = (n − 1) ⋅ 2 n +1 + 2 − e) S n = (n − 1)2 n + 2 −

n(n + 1) 2

n(n + 1) 2

(n + 1) ⋅ 2 n − n 2

d) Sn = (n + 1) ⋅ 2 n −1 −

n(n + 1) 2

f) Sn = n ⋅ 2 n + n(n + 1)

AL - 196 Să se calculeze suma:

E = Cnk + Cnk−1 + ... + Ckk+1 + Ckk , unde n, k ∈N, n ≥ k . a) E = Cnk+−11

b) E = Cnk++11

c) E = Cnk++12

d) E = Cnk+−12

e) E = Cnk++21

f) E = Cnk++22

AL - 197 Să se calculeze expresia: C k − Cnk− 2 − Cnk−−22 , n ≥ 3, k ≥ 2, n ≥ k + 2 . E= n k −1

Cn − 2

a) E = 1

b) E = 2

c) E = 3

d) E =

1 2

e) E =

1 3

f) E = −1


61

AL - 198 Determinaţi mulţimea A a valorilor lui x ∈R pentru care: C10x−1 > 2C10x . a) A = ( − ∞,−3) ∪ ( − 11 ,]

b) A = {5,6,7}

c) A = [1,7]

d) A = {8,9,10}

e) A = [ − 3,−2] ∪ {1,2}

f) A = {1,2,3,4}

AL - X. 199 Să se rezolve inecuaţia: C31x + C63x ≤ 24 , precizându-se care din următoarele intervale conţine soluţia.

3   

1  b)  ,1 2 

 1 a) 0,   2

c)  ,1 4

5   

d)  ,1 6

e) [7,14]

f) [14,+∞)

 Axy = 10 Axy−1  AL - X. 200 Să se precizeze soluţia sistemului :  y 5 y+1 . C x = C x 3 

a) x = 23, y = 14

b) x = 20, y = 5

c) x = 17, x = 8

d) x = 12, y = 3

e) x = 10, y = 2

f) x = 8, x = 5

AL – 201 Să se determine numerele naturale x şi y , astfel încât numerele C xy−−11 , C xy−1 , C xy să fie în progresie aritmetică, iar numerele Axy , Axy +1 , Axy++11 să fie în progresie geometrică. a) x = 1, y = 3; d) x = 3, y =

1 ; 2

b) x=3, y = 1;

c) x = y = 3;

e) x ∈ N *, y = 1;

f) x = 4, y = 2

AL – 202 Fie a1 , a2 ,..., an , an +1 , n + 1 numere reale în progresie aritmetică de raţie r. Să se calculeze suma:

n

∑ (− 1) C k =0

a) r

b a1

k

k n

ak +1 .

c) 1

d) 0

e) n

f) 2n


62

AL - 203 Să se determine al patrulea termen din dezvoltarea binomului n

 1  2n n  x + 3  , în ipoteza că 2 − 2 − 240 = 0 , n ∈ N .   x

a)

4

c) 6 3 x

b) 4 x

d)

6 3

e) 4

f) 2 x 2

x x AL - 204 Să se precizeze termenul care nu conţine pe x din dezvoltarea binomului 1  −1 −   ax 2 + xa 2      10 15 a) C30 a

30

5 7 b) C30 a

, a , x ∈ R *+ . 7 5 c) C30 a

4 12 d) C30 a

15 14 e) C30 a

8 8 f) C30 a

n

 1  AL – 205 În dezvoltarea binomului  x +  , n∈ N , n ≥ 2, x∈ R ∗+ , 4 2 x  

coeficienţii primilor 3 termeni formează o progresie aritmetică. Să se determine termenii raţionali ai dezvoltării.

a) T 1 ; T 7 ; T 9 ;

b) T 1 ; T 5 ; T 9 ;

c) T 2 ; T 4 , T 8 ;

d) T 1 ; T 3 ; T 7 ;

e) T 2 ; T 6 ; T 8 ;

f) T 1 ; T 3 ; T 5 .

AL – 206 Determinaţi x din expresia

 log a x 

n

x

1 +  , (a > 0, a ≠ 1) x

ştiind că suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării este 128, iar al şaselea termen al dezvoltării este egal cu

21 . a4

a) x 1 = 3a , x 2 = a2

b) x 1 = 2a , x 2 = a3

d) x 1 = 3a, x 2 = a -2 x 2 = a- 4

e) x 1 = a, x 2 = a4

c) x 1 = 2a -1 , x 2 = a-3 f) x 1 = a –1,


63

AL - 207 Câţi termeni care nu conţin radicali sunt în dezvoltarea binomului  3 x 2 + 4 x   

16

?

a) Un termen

b) Doi termeni

c) Trei termeni

d) Nici unul

e) Şase termeni

f) Patru termeni 13

 a 3   , AL - 208 Care este expresia termenului din dezvoltarea binomului  + 3 a  3 care conţine pe a4 ?

a) 187

a4 37

b) 286

a4 37

c) 107

a4 35

d) 286

a4

e) 202

33

a4 37

 x AL - X. 209 Care este termenul din dezvoltarea binomului  3 +  y  în care exponenţii lui x şi y sunt egali ?

a) T 13

b) T 10

c) T 6

d) T 8

f) 200

a4 34

21

y  , 3 x 

e) T 15

n

f) T 11

AL - X. 210 În dezvoltarea binomului  2 x + 2 1− x  , suma coeficienţilor   binomiali ai ultimilor trei termeni este egală cu 22. Să se afle valorile lui x pentru care suma dintre termenul al treilea şi termenul al cincilea este egală cu 135. a) x1 = 1, x2 = 2

b) x = 2

c) x1 = −1, x2 = 2

d) x1 = −1, x2 = −2

e) x = 1

f) x1 = 1, x2 = −1


64

n

 1  AL - X. 211 În dezvoltarea binomului  x +  , suma coeficienţilor binomiali 3  x este cu 504 mai mică decât suma coeficienţilor binomiali din dezvoltarea binomului

(a + b) 3n . Să se afle termenul al doilea al primei dezvoltări.

a) 3x

b) 3 3 x

c) 3 3 1 x

d) 3 3 x 2

f) 3x 2

e) 3

AL - 212 Să se determine termenul ce nu conţine pe a din dezvoltarea binomului 17

 1   + 4 a 3  , a ≠ 0 3 2  a  8 a) T9 = C17 = 24.310

b) T7 = C176 = 12376

c) T6 = C175 = 6188

1 d) T2 = C17 = 17

e) T3 = C172 = 136

f) T4 = C173 = 680

AL - 213 Să se găsească rangul celui mai mare termen din dezvoltarea (1 + 0,1) a) 9

b) 10

c) 11

d) 20

e) 30

100

f) 22

AL - 214 Determinaţi valoarea celui mai mare coeficient binomial al dezvoltării

binomului (a + b) , dacă suma tuturor coeficienţilor binomiali este egală cu 256. n

a) 1

b) 8

c) 60

d) 70

e) 28

f) 7

AL – 215 Să se determine coeficientul lui x23 din dezvoltarea lui (x2 + x + 1)13 . a) 0

b) 13

c) 21

d) 442

e) 884

f)169

.


65

AL – 216 Să se afle coeficientul lui x12 din dezvoltarea (10x2 +15x – 12) (x+1)15 . a) 13C155

b) 14C155

c) 15C155

d) 20C155

e) 25C155

f) 30C155

AL - 217 Ştiind că suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării (1 + x ) n + (1 + x ) n +1 este 1536, să se calculeze coeficientul lui x 6 din această dezvoltare. a) 295

b) 294

c) 320

d) 293

2

e) 128

f) 200

2

AL - 218 Calculaţi E = z1 z 2 + 1 + z1 z 2 − 1 pentru numerele complexe z 1 şi z 2 ( z fiind complexul conjugat numărului z).

(

a) 2 z1 + z2 2

d) 2 z1 z2

2

2

)

(

b) 2 1 + z1 z2

(

e) 1 + z1

2

2

) (z

( )(1 − z ) f) 2(1 + z − z )

)

1

2

c) 2 1 + z1

)

−1

2

2

2

2

2

1

2

AL - 219 Să se găsească valorile reale ale lui m pentru care numărul

(

)

3i 43 − 2mi 42 + (1 − m )i 41 + 5 este real i 2 = −1 . a) m = −1

b) m = −2

c) m = −

5 2

d) m = 3

1996

1+ i   1− i 

AL - 220 Să se calculeze valoarea expresiei E =  a) i

b) 2

c) –i

d) –2

e) m = 1

1− i  +  1+ i 

e) 2i

f) m = 0

1996

. f) –2i


66

AL - 221 Precizaţi partea imaginară a numărului complex

(2 − i ) − i + 6 . 1 + 4 + 3i 1+ i 4i − 3 2 − i 2

a) −

23 i 10

b) −

29 i 10

c)

19 i 10

d)

10 i 13

e) −

1− 3 2

3+2 4

b)

3 +1 4

c)

AL – 223 Fie z 1 ,z 2 ∈C şi x + iy =

z1 + z 2 2

a) x =

z1 − z 2

z1 + z 2 z1 + z 2

z1 − z 2 z1 − z 2

z1 z 2

,

2

,

2

y=i y=

z1 z 2 − z1 z 2

z1 + z 2 z1 − z 2

2 3 +1 4

e)

z12 + z 22 b) x = 2 , z1 − z 22

z1 z 2 + z1 z 2

2

10 i 33

3 4

1+ 2 3

f)

z1 + z 2 , x, y ∈ R Atunci avem: z1 − z 2

2

z1 − z 2

2

2

2

e) x =

, y=

2

2

c) x =

2

d)

f) −

1− i 3 să fie real. α + (α + 1)i

AL - 222 Să se determine α ∈ R astfel încât numărul complex

a)

33 i 10

2

2

y=i

z1 − z 2 2

d) x =

z1 − z 2 2

f) x =

z1 − z 2

2

, y=i

2

z1 − z 2

2 z1 z 2 z12 − z 22

2

,

2

y=

z1 z 2 − z1 z 2 z1 − z 2 z1 z 2

2

2

z1 − z 2

2

4

AL - 224 Să se calculeze z dacă z =  2 + 2 + i 2 − 2  .   a) 1

b) 2

c)

2

d) 16

e) 4

f) 6


67

AL – 225 O ecuaţie de gradul al doilea cu coeficienţi reali care are ca rădăcină

1+ i 3  numărul complex    1− i 3 

2008

este:

a) z 2 + z + 1 = 0;

b) z 2 − z + 1 = 0;

c) z 2 + 2 z + 2 = 0;

d) z 2 − 2 z + 2 = 0;

e) z 2 + 1 = 0;

f) z 2 + 3 = 0

AL - 226 Să se determine numerele complexe z astfel încât 4 z 2 + 8 z − 3 = 0 . 2

 3  a) z ∈ 1 ± i ,±  2  

1 ± i 3  b) z ∈    2 

 3 1  c) z ∈ ± i ,±  2   2

3   1 d) z ∈ ± i ,±  2   2

2 ± i 5   e) z ∈ − 1 ± i ,  2  

 3 ± 2 2i − 5 i + 7  f) z ∈  , ,  2  3  2

(1 + i ) . z= (1 − i ) 7 9

AL – 227 Să se precizeze cu care din valorile date mai jos este egal a) z = 1 + i

b) z = 2

c) z = 1 − i

d) z = −i

AL - 228 Căreia din mulţimile de mai jos aparţine α =

e) z = i

f) z = 2 + i

z z , pentru + z z

z ∈C \ {0} ? N

b) Z

c) Q

d) R

e) C \ R

f) R \ {0}

AL - 229 Să se determine toate numerele complexe z ∈C care verifică ecuaţia


68

z − z = 1 + 2i . a) z = −

d) z =

1 +i 2

b) z1 = −

3 − 2i 2

1 3 + i , z2 = − 2i 2 2

e) z1 = 0, z2 = −

c) z1 = 0, z 2 =

1 +i 2

f) z =

3 + 2i 2

5 + 3i 2

AL - 230 Să se afle numerele complexe z = x + iy, x, y ∈ R \ {0} , de modul

(

astfel încât x + iy 2

)

3

să fie pur imaginar.

(

) (

)

  3 3 c) z ∈  1± i 5 , −1± i 5  3   3

(

) (

)

 3  3 2±i 2 , −2±i 2  3  3 

e) z ∈ 

) (

)

  2 2 b) z ∈  1± 3 , −1± i 3  2   2

a) z ∈{1 ± i ,−1 ± i}

(

2,

AL - 231 Fie a ∈ R + şi z ∈C , astfel încât z +

 2 d) z ∈   2

(

3 ±i ,

) 22 (−

 3 ±i  

 3 f) z ∈   3

(

5 ±i ,

)

) 33 (−

 5 ±i  

)

1

= a . Să se determine cea mai z mare şi cea mai mică valoare posibilă a lui z .

a)

a + a2 + 4 2

,0

d) 2 + a 2 + 4 , a 2 + 4 − 2

b) a ,0

e)

c)

a2 + 4 − a 2

,

a + a2 + 4 2

a2 + 4 − a −1 2

,

a2 + 4 − a 2

f)

3a a , 4 4


69

AL - 232 Fie z un număr complex astfel încât z − a = a 2 − b 2 , unde, a > b > 0 . Să se calculeze

a) a

b−z . b+z

b) 1 −

b a

c)

a −b a+b

a2 − b2 a2 + b2

d)

e) 1 +

b a

f)

a− b a+ b

AL - 233 Fie a∈C . Să se calculeze valoarea expresiei 2

2

i 1 1 2 E (a ) = a + +ia+ − (1 + i ) a − (1 + i ) . 4 2 2 a) 1- a

b) 1+a

c) a

d) 2a

e) 1

f) 0

AL - 234 Fie ε = cos

2π 2π . Să se calculeze : + i sin 3 3

(

)

(

)

E = (1 + ε ) 1 + ε 2 ⋅ ... ⋅ 1 + ε 1997 . a) E = 1

b) E = 2

c) E = 2 663

d) E = 2 1997

AL - 235 Pentru x ∈ C \ R care satisface ecuaţia să se calculeze valoarea expresiei

E = x 333 +

1 . x 333

x+

e) E = 2 665

1 = −1 , x

f) E = 4


70

a) E=1

b) E=2

c) E=-3

d) E=i

e) E=2i

f) E=3i

AL - 236 Fie α şi β rădăcinile ecuaţiei x 2 + x + 1 = 0 . Să se calculeze α 2000 + β 2000 .

a) 1

b) 0

c) –1

d) i 3

e) − i 3

f) 2

AL - 237 Fie z un număr complex de modul 1 şi argument θ . Să se calculeze expresia

zn , (n ∈ N ). 1+ z 2 n a) 2 cos nθ d)

b) cos nθ

1 2 cos nθ

e)

1 cos nθ

c) 2 sin nθ f)

1 2 sin nθ

AL - 238 Precizaţi care din valorile de mai jos sunt rădăcinile ecuaţiei

z 2 − 2i 3z − 5 = 0 . a) z = 2 ± i 3

b) z = ± 2 + i 3

c) z = − 3 ± i 2

d) z = − 2 ± i 2

e) z = 3 ± i 2

f) z = − 3 ± i 3

AL - 239 Soluţia ecuaţiei z 2 + (5 − 2i )z + 5(1 − i ) = 0 este: a) i − 3, i − 2 ; d) 2 − i, 3 − i ;

b) 3i, 2 − i ; e) 5 − 2i, 1 − i ;

c) 2i, 3 − i ; f) 2i, 3i


71

AL - 240 Se consideră ecuaţia (2 − i ) z 2 − (7 + 4i ) z + 6 + mi = 0 , în care z ∈C este necunoscuta, iar m este un parametru real. Să se determine valorile lui m pentru care ecuaţia admite o rădăcină reală.

 

a) m ∈ − 12,

33   5

c) m ∈{2,5}

b) m = 32

 33   33   31  d) m ∈ 12,  e) m ∈ 0,  f) m ∈ 2,  4   5  2 AL - 241 Formaţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi reali, care admite ca rădăcini şi rădăcinile ecuaţiei : z 2 − 3 2 z + 5 + 2 i = 0 .

a) z 3 − 6 2 z 2 + 2 z + 27 = 0

b) z 4 − 6 2 z 3 + 28 z 2 − 30 2 z + 27 = 0

c) z 4 + 2 2 z 3 − 4 z 2 − 6 2 z + 27 = 0

d) z 4 − 2 z 2 + 28 z + 27 = 0

e) z 4 + 2 z 3 − 28 z 2 − 27 = 0

f) z 4 − 6 2 z 2 + 30 2 z + 27 = 0

(

(

)

)

AL - 242 Se dă ecuaţia 2 z 2 − 5 + i 3 z + 2 1 + i 3 = 0 . Fie α o rădăcină a ecuaţiei pentru care | α | = 1. Să se determine x ∈ R astfel încât să aibă loc egalitatea

1 + ix =α . 1 − ix

a) x = −

1 3

b) x =

1 c) x = − 3 3

d) x = 3

e) x =

2 2 f) x = − 3 3

AL - 243 Rădăcinile pătrate ale numărului complex 3+4i sunt : a) 2+i, 2-i ;

b) 2+i, -2-i ;

c) 2+i, -2+1 ;

d) 2-i, -2+i ;

e) 1+i, 1-i ;

f) 1+i, 2+i

AL - 244 Pentru z ∈ C să se determine soluţiile sistemului


72

 z 2 − 2i = 4  .  z +1+ i =1   z −1 − i a) z1 = 1, z 2 = 1 − i

b) z1 = 1 − i, z 2 = −1 + i

c) z1 = 1 − i, z 2 = 0

d) z1 = 0, z 2 = −1 + i

e) z1 = i, z 2 = 0

f) z1 = −i, z 2 = 1 + i

AL - 245 Să se calculeze rădăcina pătrată din numărul complex

(

)

z = −3 + 4i, i = − 1 . a) 2 + i, 2 − i

b) 1 + 2i, − 1 + 2i

c) 1 + 2i, − 1 − 2i

d) − 2 + i, 2 + i

e) 1 − 2i, − 1 − 2i

f) 2 − i, − 1 − 2i

AL - 246 Să se calculeze rădăcinile de ordinul n=3 ale lui z = a) z1 = i, z2 = −i, z3 = 1

(

3 + i , z2 =

)

(

)

1+ i . 1− i

b) z1 = 1, z2 = −1, z3 = −i

(

)

1 − 3 + i , z3 = −i 2

c) z1 =

1 2

e) z1 =

1 1 1 + 3i , z2 = − 1 + 3i , z3 = −i 2 2

(

)

d) z1 = z 2 = z3 = −i, f) z1 = z2 = z3 − 1,

AL - 247 Să se determine toate rădăcinile complexe ale ecuaţiei z 4 + 81 = 0 .


a)

3 2 3 2 1 ± i) , − ( (1 ± i ) 2 2

d) 2 (1 ± i ) , − 2 (1 ± i )

b)

3 3 1 ± i) , − ( (1 ± i ) 2 2

e) 2 ± i , − 2 ± i

73

c) 2(1 ± i ) , − 2(1 ± i )

f) ± 3 i ,  3 i

AL - 248 Fie mulţimile :

A = {z ∈ C | z = 1},

2π   B =  z ∈ C* | arg z <  3  

C = {z ∈ C | z + 1 ≤ 1}; D = {z ∈ C | z − i ≤ 2}; 2π 5π   < arg z < E = {z ∈ C | Im z = 2}, F =  z ∈ C* |  3 4  Să se precizeze care dintre următoarele afirmaţii sunt corecte. a) A este discul de centru 0 şi rază 1; b) B este mulţimea punctelor din semiplanul y>0, c) C este cercul de centru A(-1,0) şi rază 1; d) D este cercul de centru A(0,1) şi rază 2 e) E este o dreaptă paralelă cu axa Oy; f) F este Int  AOB  unde A − 1 , 3  şi B − 2 , − 2   2 2   2 2      


74

AL – 249 Să se determine modulul şi argumentul pentru numărul complex: z = cos a +sin a + i(sin a- cos a). a) z = 2, arg z =

π

b) z = 2 , arg z = a −

4

c)

a π z = 2 cos , arg z = 2 4

e)

z = 2, arg z =

π 4

c) z = 4 cos

α

 α   α cos −  + i sin  −   2  2  2 

α

2

(cosα + i sin α )

a π z = 2 cos , arg z = a − 2 4

f)

z = 2, arg z = a −

 

b) z = cos α  cos d) z = cos

α 2

 7π  −α   3    7π d) Re z = sin  +α    6

  7π +α    6 π  e) Re z = cos + α  4 

b) Re z = cos

π 4

+ i sin

2

f) z = 2 cos α  cos

AL – 251 Determinaţi partea reală a numărului complex z =

a) Re z = sin 

α

+ i sin

 

e) z = cos α (cos α + i sin α )

4

d)

AL – 250 Să se scrie sub formă trigonometrică numărul complex : z = 1+ cos α - i sin α, unde α∈(0,π). a) z = 2 cos

π

α  2

α 2

α

2

− i sin

α  2

1− i 3 . 2(sin α + i cosα ) c) Re z = cos

5π 3

π  +α  4 

f) Re z = sin 

AL – 252 Să se determine modulul şi argumentul redus pentru numărul complex: 16

1− i 3   . z =   + 1 i   a) z = 2 , arg z =

2π 3

b) z = 2, arg z =

2π 3

c) z = 2, arg z =

π 3


d) z = 2 , arg z =

π

75 2π 3

e) z = 2 8 , arg z =

3

f) z = 2 8 , arg z =

AL – 253 Să se scrie sub forma z = x + iy numărul complex : z =

3

a)

2

7

(− 1 + i 3 )

( (

1 1− i 3 128 1 e) 3 +i 128 b)

d) i

)

d) Z = 2 n sin

nπ 3

nπ 3

 

e) Z = 2 n +1  cos

AL – 255 Ştiind că z +

3 +i

)

7

.

1 2 −i 2 2 1 f) 3 −i 128

(

)

b) Z = 2 n+1 sin

(

3

c)

)

(

) + (1 − i 3 ) , n∈N .

nπ 3

c) Z = 2 n+1 cos

AL – 254 Să se determine numărul complex: Z = 1 + i 3 a) Z = 2 n cos

3−i 3

π

n

n

nπ 3

nπ nπ  nπ nπ  n +1  + i sin − i sin  f) Z = 2  cos  3 3  3 3  

1 1 = 2 cosα .Să se calculeze expresia: E = z n + n , n∈N*. z z

a) E = 2cos nα d) E = cos nα

b) E = 2isin nα e) E = 2icos nα

c) E = 2sin nα f) E = sin nα

AL – 256 Se notează cu z 1 şi z 2 rădăcinile complexe ale ecuaţiei: z3 +1=0. Să se determine valorile posibile pe care le poate lua expresia: E (n ) = z1n + z 2n , când n ia valori întregi pozitive.

{

a) E (n ) n∈ N

} = {0,±1}

b)

{E (n )

n ∈N

} = {0,1,2}

c)

{E (n )

n ∈N

} = {± 1,±2}

d)

{E (n )

n ∈N

}= Z

e)

{E (n )

n ∈N

} = {± 2}

f)

{E (n )

n ∈N

}= N


76

AL – 257 Să se determine toate soluţiile ecuaţiei z = z n −1 , oricare ar fi numărul natural n > 2. a) z = 1+ i

b) z = 1± i

e) z1 = 0, z k = cos

c) z = i

d) z 1 = 0, z 2 = i

2kπ 2kπ + i sin , k ∈0, n − 1 n n

f) z1 = 1 + i 3 , z 2 = 1 − i 3

AL – 258 Să se determine rădăcinile z k , k ∈ 0,5 ale ecuaţiei: z6 = i.

kπ kπ + i sin , k = 0,5 11 11 kπ kπ c) z k cos π + i sin π , k = 0,5 7 7 kπ kπ e) z k = cos + i sin , k = 0,5 13 13 a) z k = cos

4k + 1 4k + 1 π + i sin π , k = 0,5 12 12 2kπ 2kπ d) z k = cos , k = 0,5 + i sin 5 5 2k + 1 2k + 1 f) z k = cos π + i sin π , k = 0,5 12 12

b) z k = cos

AL – 259 Fie ω o rădăcină complexă a ecuaţiei: zn = 1, n∈N * , n > 2. Să se precizeze valoarea expresiei: S = 1 + 2ω + 3ω 2 + ... + nω n −1 .

1 ω −1 n d) S = 1−ω

a) S =

b) S =

n ω −1 nω f) S = ω −1

1 1−ω

c) S =

e) S = n ⋅ω

 1 + ix  AL – 260 Să se determine rădăcinile ecuaţiei:   = cos t + i sin t în care  1 − ix  n

n∈N*, x,t∈R. a) xk = tg

t + 2kπ , k = 0,n − 1 2n

b) x k = tg

t + kπ , k = 0, n − 1 2n


c) x k = tg

t + kπ , k = 0, n − 1 n

e) xk = cos

t + 2kπ , k = 0, n − 1 2n

77

d) x k = sin

t + 2kπ , k = 0, n − 1 2n

f) xk = sin

t + kπ , k = 0, n − 1 n

AL – 261 Precizaţi numărul maxim de rădăcini comune ale ecuaţilor: z8 = 1 şi z12 = 1. a) nici una

c) două

b) una

d) patru

e) trei

f) opt

 1 + iz  1 + a ⋅ i , a∈ R* .  =  1 − iz  1 − a ⋅ i Care este valoarea produsului z1 ⋅ z 2 ⋅ z 3 ⋅ z 4 ? 4

AL – 262 Fie zk , k = 1,4 soluţiile ecuaţiei: 

a) 1

b) 2

c) –1

d) 3

e) –3

f) –2

AL – 263 Să se calculeze expresia:

E = 1 + 3 (cos t + i sin t ) + 3 (cos t + i sin t ) + (cos t + i sin t ) . 2

a) cos

3t 3t + i sin 2 2

d) 8 sin

3t 2

e) cos 3

b) 8 cos

3t 2

c) 8 cos 3

t 3t  3t  cos + sin  2 2 2

3

t 3t  3t  cos + i sin  2 2 2

f) cos

3t 3t − i sin 2 2

AL – 264 Să se afle afixul celui de al treilea vârf al unui triunghi echilateral, ştiind că afixele a două vârfuri sunt: z 1 = 1, z 2 = 2+i.

a)

3 − 3 1+ 3 +i 2 2

b)

3 + 3 1− 3 +i 2 2

c) 3+i


78

d) i

e)

3 − 3 1+ 3 +i 2 2

şi

3 + 3 1− 3 +i 2 2

f) 1 + i

AL – 265 Fie M 1 , M 2 , M 3 , M 4 puncte ale căror afixe sunt, respectiv,

z1 = 2 − i 3 , z 2 = 2 + i 3 , z 3 = − 6 + i , z 4 = − 6 − i . Care din afirmaţiile următoare este adevărată a) M 1 , M 2 , M 3 , M 4 sunt coliniare b) M 1 , M 2 , M 3 , M 4 sunt conciclice c) patrulaterul M 1 M 2 M 3 M 4 nu este inscriptibil d) patrulaterul M 1 M 2 M 3 M 4 este un pătrat e) M 1 M 2 = M 3 M 4 f) patrulaterul M 1 M 2 M 3 M 4 este romb. AL – 266 Să se determine valorile expresiilor:

2π 4π 2(n − 1)π + cos + ... + cos n n n 2π 4π 2(n − 1)π S 2 = sin + sin + ... + sin , n∈N n n n S1 = 1 + cos

a) S 1 = S 2 = 1 d) S 1 = S 2 = 0

b) S 1 = 0, S 2 = 1 e) S 1 = -1, S 2 = 0

c) S 1 = S 2 = -1 f) S 1 = 0, S 2 = -1

AL – 267 Se dau numerele complexe: z1 = sin α − cos α + i (sin α + cos α ) şi

z 2 = sin α + cos α + i(sin α − cos α ) , unde α este parametrul real dat. Să se

găsească numerele n pentru care a) n = 3p, p∈ N d) n = 4p, p∈N

(z1 ⋅ z2 )n

este un număr real şi pozitiv.

b) n = 2p, p∈N e) n = 4p + 1, p∈ N

c) n = 2p+1, p∈ N f) n = 3p + 1, p∈ N

AL – 268 Numerele complexe z 1 şi z 2 satisfac relaţia: z1 + z 2 = z1 ⋅ z 2 . Care din afirmaţiile următoare este adevărată ? c) z1 = 0, z 2 > 0

a) z 1 = 0, z 2 =1- i

b) z 1 = z 2 = 2+3i

d) z1 >2 şi z 2 >2

e) cel puţin unul din cele două numere f) z1 >2, z 2 = 0


79

are modulul mai mic sau egal cu 2.

AL – 269 Fie z ∈ C \ {0} , w =

z z + şi Im( w ) -partea imaginară a numărului w . z z

Care dintre afirmaţiile următoare este adevărată ? c) dacă z = i atunci w ≠0 e) dacă z = −i atunci w = i

a) Im( w )>0 b) Im( w )< 0 d) w ≠ 0 pentru orice z∈C \ {0}

f) w ∈R şi există a,b∈ R astfel încât z 2 = az + b AL – 270 Determinaţi mulţimea tuturor punctelor din plan ale căror afixe z verifică relaţia:

1 z + ∈R . z

a) axa reală mai puţin originea b) cercul cu centrul în origine şi raza 2 c) cercul cu centrul în origine şi raza 1 d) axa imaginară e) axa reală fără origine reunită cu cercul cu centrul în origine de rază 1 f) axa imaginară reunită cu cercul cu centrul în origine de rază 2 AL – 271 Considerăm două numere complexe z 1 , z 2 ∈C* \ R astfel încât:

z1 z 2 = z1 ⋅ z 2 . Ce putem afirma despre imaginile lor ? a) sunt coliniare cu originea b) sunt conciclice cu originea c) coincid d) împreună cu originea formează vârfurile unui triunghi nedegenerat e) imaginea lui z 1 coincide cu imaginea lui

1 z2

f) împreună cu originea formează un triunghi isoscel. AL – 272 Vârfurile A, B, C ale unui triunghi au afixele 1, 1 + z , 1 + z + z 2 , unde

2π  2π  + i sin z = r  cos  cu r ∈(0,1) . Precizaţi poziţia originii O (0,0) faţă de 3  3  laturile triunghiului. a) O ∈ [ AB ]

b) O ∈ [ AC ]

c) O ∈ [BC ]


80

d) O aparţine interiorului triunghiului e) O aparţine exteriorului triunghiului f) O este centrul cercului înscris în triunghiul ABC n

 1 + itg t   π   , t ∈ R - (2k + 1) , k ∈ Z  , n ∈N*. AL – 273 Să se calculeze : E =  2   1 − itg t   a)

tg nt + i tg nt − i

b)

1 + itg nt 1 − itg nt

d)

ctg nt + i ctg nt − i

e) ctg nt + i

c)

1 + ictg nt 1 − ictg nt

f) 1 + itg nt

AL - 274 Să se calculeze

E = C n0 − C n2 + C n4 − C n6 + ... + (−1) k C n2 k + ... nπ 4 nπ d) E = 2 sin 4

nπ 6 nπ e) E = 2n sin 6 b) E =

a) E = 2 cos

2 n cos

nπ 4 nπ f) E = 2n sin 4 c) E = 2n cos

 π a = tgα , α ∈  0,  , să se calculeze suma  2

AL – 275 Dacă

C n1 − aC n3 + a 2 C n5 − a 3C n7 + ... a)

sin α sin nα cos n −1 α

b)

sin nα sin α cos nα

c)

sin nα sin α cos n −1 α

d)

sin nα cosα sin n α

e)

sin nα cos n α sin α

f)

sin nα sin α cos n α n


81

 − 1 0, (6 ) 0, (3)  2  ; B =  1 AL - 276 Se dau matricele A =  3     − 0,5 1,4  5  2

Să se calculeze matricea C = A + B.

 1 − 1 ; 3 

 − 1 0,5   2 

1 0

a) C =  2

b) C =  0

 c) C =  0 1

 2 0, (3)  d) C =  0  −1

 0, (6 ) − 1 e) C =  1  1  2 

f) C =  0

1 1  2 

81


 − 5 3  şi 6 

AL - XI. 277 Se dau matricele pătratice de ordinul al doilea E =   4

1 − 2  . F =  3 7  Să se calculeze matricea A = 2E – 3F

 − 13 12    −1 − 9

c) A = 

 13 12    −1 9 

f) A = 

 13 12    −1 − 9

b) A = 

13 12   1 9

e) A = 

a) A = 

d) A = 

 13 − 12    −1 − 9 

13 12    1 − 9

2 1 0   AL - 278 Fie A =  2 1 − 1 ∈ M 3 (Z ) . 3 −1 3    Dacă f ( x ) = 3 x să se calculeze f ( A) .

3 0 6    a) f ( A) =  2 1 − 1 3 −1 3   

2 3 0   b) f ( A) =  6 1 − 1 c) 9 −1 3   

2 3 0   d) f ( A) =  2 3 − 1 3 −1 9   

1 0 6    e) f ( A) =  2 3 − 1 9 −1 3   

6  3 0   f ( A) =  6 3 − 3  9 − 3 9   

f) f ( A) = I 3

82


AL - 279 Să se calculeze produsul de matrice A⋅B, unde

1   3 2 1  , B =  3  A =  0 1 2  2   11 7   b)   3 6

7  11

a) 

11  7

e) (11 7

d) 

11 7 2    3 1 2 11   f)  7  3  

c) 

3)

AL - 280 Să se rezolve ecuaţia matriceală:

2 1 1 d)  5

a) 

0  1  2  2 

1 2  2  =  X ⋅   2 5  3 0 2  b)  1 0 1 4   e)  1 1 

4  7  1 3 2 f)  0 c) 

1  4  1  1

AL - 281 Să se rezolve ecuaţia matriceală:

 1 1 − 1  1 − 1 3      X  2 1 0  =  4 3 2  1 −1 1   1 − 2 5     −3 2 0    a)  − 4 5 − 2  −5 3 0     − 3 1 0   d)  − 4 5 1   − 5 3 0  

 − 3 2 0   b)  1 5 1   1 3 0   −3 2 0    e)  − 4 5 0   − 5 3 − 2  

 − 3 2 1   c)  1 5 1   1 3 0   −3 2 0    f)  − 4 5 − 2  −5 3 1   

83

Elemente de algebră AL - 282 Să se rezolve ecuaţia matriceală

1 2 3   6 9 8  X ⋅  2 3 4  =   3 4 1  0 1 6    1 1  a) X =   − 1 1 − 3 1 2   2 − 3 

d) X =   1

0 1 1   b) X =   1 0 − 1 1 1

1

 e) X =  1 1 − 1

2 1 1   c) X =  1 1 2  2 1 1    1 2 3  3 1 

f) X =  2

AL - 283 Aflaţi a ∈ R astfel ca matricea diagonală constantă

a 0 0   X =  0 a 0  să fie soluţia comună a ecuaţiilor matriceale 0 0 a   1  3     (1 2 3)X  2  = 1 şi (3 2 1)X  2  = 1  3 1     1 10

a) a =

3 10

b) a =

2 10

c) a =

d) a =

10 3

e) a =

10 2

f) a = 10

84


AL - 284 Să se determine toate matricile X, cu proprietatea că AX = XA ,

1 2   .  3 1

unde A =   α 1 a)   ; α,β∈R  β α

 1 0 b)    0 1

 α 2 c)   ; α∈R  0 α

 1 2α  d)   ; α∈R  3α 1

 α 2β e)   ; α,β∈R  3β α 

 α β f)   ; α,β∈R  β α

 2  2 − 2 4 AL - 285 Să se determine matricea X care verifică relaţia:   X =  .  3 3 − 3 6

a) X = (1 − 1 2)

1 − 1 b) X =  0 0

d) X = (1 − 2 3)

 1   e) X =  − 1  2  

2  0

 1 − 1 c) X =    2 2  1 − 1 f) X =    2 − 2

AL - 286 Care este valoarea parametrului a∈R pentru care există x,y,z,t ∈R , nu toţi  1 2 − 2 −1   1 3  − 1 − 3  0 0 nuli, astfel încât x   + y   =  + z  + t   ?  1 2  1 a − 1  1 2  1 a   0 0 a) a = 1

b) a = 0

c) a = −1

d) a = 2

e) a = −2

f) a = 4

AL - 287 Să se determine constantele reale p şi q pentru care matricea  1 0 1   A =  0 1 0 satisface relaţia A3=pA2+qA .  1 0 1  

a) p = −2 , q = 3 d) p = −2 , q = −3

b) p = 3 , q = −2 e) p = 2 , q = 1

c) p = 1 , q = 4 f) p = 1 , q = 3

85


 2 2 3    1 2 − 3 AL - 288 Să se rezolve ecuaţia matriceală X  1 − 1 0 =  .  − 1 2 1   − 1 3 − 2  

 6 − 31 − 5 a) X =    4 − 12 − 14

4  6   d) X =  − 31 2  5 − 11  

 2 4 6   c) X =  − 1 3 2   1 − 2 2  

 6 − 32 − 21 b) X =    4 − 23 − 14

 5 − 31 4  e) X =    4 − 12 10

 6 − 32 21 f) X =    4 − 23 14

AL - 289 Să se determine matricea X care verifică ecuaţia

1 2   − 1− 2 2       0 − 1 X =  3 0 − 3  .  31  12 − 6 − 9       5 0 1 a) X =    3 2 1

 3 − 2 4 b) X =    5 1 3

 3 − 2 3 c) X =   5 1 4 

0 3 5 d) X =    − 3 − 2 4

 5 − 2 − 4 e) X =    − 3 0 3

 1 − 1 − 1 f) X =    0 1 − 1

86


AL – 290 Să se rezolve ecuaţia matricială

 1 2 3   −1 5 3      X ⋅  0 1 2 =  2 1 −1   − 1 2 1  − 3 4 − 5      − 4 4 −8   1 a) X = −  − 9 16 − 1  ; 4   − 4 24 − 16 

4 4 8   1 b) X =  9 16 1  4   4 24 16 

 4 4 8  1 c) X = −  9 − 16 1  ; 4   4 − 24 16 

 1 3 4  1 d) X =  − 1 2 1  2   7 8 0

 4 − 4 − 8  1 e) X = −  9 16 1 ; 4   4 24 − 16 

 1 3 4  1 f) X = −  − 1 2 1  2   7 8 0

AL – 291 Să se determine toate matricile formate cu elemente din codul binar

1    B= {0,1} care să transforme prin înmulţire matricea coloană  2  în matricea 3   3   1  coloană   2    4  

87


1  0 a)  0  1 

0 1 0 0

0 1 1   0 0 1 şi   1 0 0     0 1 0

1  1 c)  0  1 

1 0 1 0

0  0 şi 0  1 

0  0 e)  1  1 

0 1 0 0

1  1 0  1 

0  0 1  0 

0  0 b)  1  0 

1 0 0 1

0  1 0  1 

1 1 0 0

0  1 1  0 

0  1 0  1 

0 0 1 0

1  0 0  1 

1  0 d)  1  1 

1  0 şi  0  1 

0 1 0 0

0  0 1  0 

1  0 f)  0  1   1

AL - 292 Să se rezolve ecuaţia: X 2 =  −4

0 1 0 1

0  0 1  1 

12   , X∈M 2 (Z). 1 

 2 3 a) X =    − 1 2

 − 2 − 3 b) X =    1 − 2

 2 3  − 2 − 3 c) X =   şi X =    − 1 2  1 − 2

6i    i 3 − 3  d) X =   2i i 3    3

 2 3 e) X =   1 2 

 − 2 − 3 f) X =    − 1 − 2

1 AL - 293 Să se determine toate matricile X ∈M 2 ( Z ) astfel ca: X 2 =  2 −1 a)  −1

0  1

 − 1 0  1 0 d)   şi    − 1 − 1  1 1

 1 b)  − 1

0  şi 1

− 1   1

 1 0  1 0 e)   şi    1 − 1  1 1

0  1

0 . 1

1 0 c)    1 − 1  − 1 0   1 0 f)   şi    − 1 − 1  − 1 − 1

88


1 2   0 1  m 3 AL - 294 Se dau matricele A =  , B =  , C =   cu m∈R.. Să se  2 0  − 1 0  2 0

determine valorile lui m ∈R astfel încât să existe trei constante nu toate nule, a,b,c∈R cu condiţia aA+bB+cC = 0, 0 - matricea nulă. 5 5 b) m = 0 c) orice m ∈R d) m ∈∅ e) m = f) m = − a) m = 1 4 4

AL - 295 Să se calculeze suma:

 1 k k2 k3   .  k =1  − 1 2 3 k ( k + 1) n

∑

  n a)   − n 

n(n + 1) 2

n(n + 1)(2n + 1) 6

2n

3n



  −n

n(n + 1) 2 2n

n(n + 1)(2n + 1) 6 3n

 n!  − n!

(2n )! (3n )! (4n )!  2! 3! (6n )!

n c) 

e) 

AL – 296 Dacă ω =

2  n(n + 1)    2   n(n + 1)(n + 2)   3 

n(n + 1)   3  3n! 

 n n! 2n! 3n!   − n 2n 3n 3n!

b) 

 1 n n2  −1 2 3

d) 

n3   n(n + 1)

 1 n! n 2 n 3     − n 2n 3n 3n!

f) 

1 ω  1 − 1 + i 3 iar A =  2  , să se determine numărul 2  ω 1

(

)

a n ∈ R astfel încât să avem

A 2 + A3 + ... + A n = a n ⋅ A,

(∀) n ∈ N .

a) 2 n + 2

b) 2 n −1 − 2

c) 2 n − 2

d) 2 n −1 + 2

e) 2 n −1 − 1

f) 2 n −1 + 1 .

89

Elemente de algebră AL - 297 Dacă ω este o rădăcină a ecuaţiei x2+x+1 = 0 şi n = 3p, p∈N*, să se calculeze suma: n  k ω ω 2 k ω 3k    . 3k ω 2k ω k  k =1  ω

∑

 ω ω 2 n  a)   n ω 2 ω

 − 1 − 1 n b)    n − 1 − 1

 0 0 n c)    n 0 0

ω ω2 ω3   d)  2 ω ω ω2 

ω ω2 ω3   e)  3 2 ω ω ω 

 n 0 0 f)    0 0 n

1 1  AL – 298 Fie A = 1 ε 1 ε 2 

1  ε 2 ; ε 

 ε 2 ε 1   B =  ε ε 2 1 , unde ε este o rădăcină  1 1 1  

cubică complexă a unităţii şi fie ecuaţia matriceală AX = B. Fie S suma modulelor elementelor matricei X. Atunci :

a) S = 4;

b) S = 16;

c) S = 3;

d) S = 1+ 3 ;

e) S = 1− 3 ;

f) S = 2 + 3

AL – 299 Fie M mulţimea tuturor matricelor cu 4 linii şi 5 coloane în care toate elementele sunt numerele +1 şi - 1 şi astfel încât produsul numerelor din fiecare linie şi din fiecare coloană este -1 . Să se calculeze numărul elementelor mulţimii M. a) 2

b) 7

c) 6

d) 4

e) 0

f) 1

90


 a b AL - 300 Se consideră matricea M =   , a,b,c,d∈R. Să se determine c d

condiţiile în care există p,q∈R , unici astfel ca M 2-pM-qI = 0, I fiind matricea unitate, 0 matricea nulă. Să se determine în acest caz valorile lui p şi q. a) b = c, a = d, p = a, q = b2-a2

b) b,c∈R, a = d, p = 2a, q = bc-a2

c) b = c, a,d∈R, p = a+d, q = b2-a2

d) b ≠ 0 sau c ≠ 0 sau a ≠ d, p=a+d, q = bc-ad

e) b = 0, c = 0, a = d, p = a+d, q = bc-ad

f) b ≠ 0, a ≠ d, c∈R, p = a+d, q = -ad

AL - 301 Fie A,B,C ∈ M n ( C ) cu proprietăţile A+B = AB, B+C = BC, C+A = CA. Pentru ce valoare m∈R are loc egalitatea A+B+C = mABC ? a) m = 1

b) m =

1 2

c) m =

1 4

d) m = 3

e) m =

3 4

f) m =

1 3

 a b AL - 302 Fie A =   o matrice nenulă cu ad = bc , a,b,c,d∈R. Să se determine c d (în funcţie de elementele matricii A) numărul real r asfel încât să aibă loc egalitatea An = rn-1A pentru orice n∈N, n ≥ 2.

a) r = a-d

b) r = a+d

c) r = b+c

d) r = b-c

e) r = a+c

f) r = b+d

91


1 0 0   AL - 303 Să se determine puterea n ∈ N a matricei A =  2 1 0  .  3 2 1   1  a) A =  an b  n

an

0  an = 2 n 0 , bn = 2n 2 + n  1

1  b) A =  an b  n

an

0  an = n 0 , bn = n 2  1

1  c) A =  an b  n

0 1 an

0  an = 2 n 0 , b = 2n 2 1  n

1  d) A =  an b  n

0 1 an

0  an = 2 n 0 , b = n2 + n 1  n

1  e) A =  an b  n

0 1 an

0  an = n 2 0 , b = 2n 2 + n 1  n

1  f) A =  an b  n

0 1 an

0  an = n 0 , b = n2 − n 1  n

n

n

n

0 1

1 AL - 304 Fie matricea A =  0

a) 0

b) 1

n

n

n

0 1

2 100  . Calculaţi det P(A), unde P(x) = x - 1. 3

c) -1

d) 99

e) 100

f) -100

1 a n   1 2 AL - 305 Fie A =   . Să se arate că An este de forma: An =   şi să se  0 1 0 1 

determine apoi a n , n ∈ N. a) a n +1 = a n + 2, a n = 2n

b) a n +1 = a n , a n = 1

c) a n +1 = a n + 1, a n = n

d) a n +1 = 2a n , a n = 2 n

e) a n +1 = a n + 2, a n = 2 n

f) a n +1 = 2a n , a n = 2n 2

92


AL - 306 Să se determine An, n∈N*, unde A∈M 3 (Z) este o matrice care verifică relaţia: (1 1+x 1+x2) = (1 x x2)A pentru orice x∈R .  1 n n   a) A =  1 1 0  1 1 1   

1 0 0    b) A =  n 1 0  n 0 1   

 1 − n − n   d) A =  0 1 0   0 0 1  

1  e) A =  0 0 

n

n

n

n

n − n  1 0 0 1

 1 n n   c) A =  0 1 0  0 0 1   n

n 1 1    f) A =  0 n 0   0 0 n   n

 cos α − sin α n AL - 307 Fie matricea A =   . Să se calculeze A , (n ≥ 1). cos α  sin α  cos n α − sin n α  a) A =  n  sin α cos n α 

 n cos α − n sin α b) A n =    n sin α n cos α

 cos nα − sin nα  c) A n =   cos nα  sin nα

 cos nα d) A n =   − sin nα

 cos nα n sin nα e) A n =    − n sin nα cos nα 

1  1  cos α − sin α n n n  f) A =  1  1 cos α  sin α  n n

n

sin nα   cos nα

30

1 3    AL - 308 Să se calculeze  2 2  .  3 1  −  2 2  − 1 0  1 0 b)  a)     0 − 1 0 1

 0 − 1 c)    − 1 0

 0 − 1 e)   1 0 

0 1 f)    0 − 1

 0 1 d)    − 1 0

93


1 1 0   AL - 309 Fiind dată matricea A =  0 1 1  , să se calculeze matricea An, n∈N*. 0 0 1   2  n (n − 1)  n(n − 1)    1 n  1 n  1 n 3n  4 2      n n  n a) A =  0 1 b) A =  0 1 n n  c) A =  0 1 n   0 0 1   0 0 0 0 1 1           n(n + 1)    1 n  1 3n n 2   1 n 2 n 3 − 1 2       d) An =  0 1 3n  e) An =  0 1 f) An =  0 1 n2  n  0 0 1  0 0 0 0 1  1         1  AL - 310 Fie matricea A =  0   0   1 a n bn     0 1 a n  şi să se determine 0 0 1   

1 1  2 3 1  . Să se arate că An, n ≥ 1 are forma 1 2  0 1  a n şi b n .

a) a n =

n(n + 1) n , bn = 2 6

b) a n =

n(2n + 5) n , bn = 2 12

c) a n =

n(2n + 1) n +1 , bn = 2 6

d) a n =

n(3n + 5) n , bn = 2 24

f) a n =

n(5n + 4) 2n + 1 , bn = 4 4

e) a n = 2n + 3 , bn = 3n + 7

94


1 2 3   AL - 311 Fie matricea A =  0 1 2  . Să se calculeze An, n∈N, n ≥ 2. 0 0 1    1 2n n 2 + 4n − 2    a)  0 1 2n   0 0 1  

  n(n + 1) 3n  n 3   n(n + 1)   d) 0 n  2    0 n  0  

 1 2n n(2n + 1)   b)  0 1 2n  0 0  1  

 n 2n 3n    e)  0 n 2n  0 0 n   

1 0 0   c)  0 1 0  0 0 1  

1 2 3   f)  0 1 2  0 0 1  

 2 1 0   AL - 312 Să se calculeze An, n∈N* unde A =  0 1 0  .  0 0 2    2n  a) An =  0 0 

2n −1 0   1 0 0 2n 

 2n  b) An =  0 0 

2n + 1 0   1 0  c) An = 0 2 n 

0  0 2 n 

 2n  e) An =  0 0 

1 2n   1 0 0 2 n 

 1 2n  d) An =  0 1 0 0 

 2n  0 0 

2n −1 0   1 0 0 2 n 

 2n  f) An =  0 0 

n2 −1 0   1 0 0 2 n 

95


AL - 313 Care sunt valorile parametrului a∈R pentru care matricea 1   1 a − a  2 2   1  1 A=  −a a  este inversabilă. 2 2   1 1   a −a   2 2  a) orice a∈R\ {1,2}

b) orice a∈[-7,2]

c) orice a∈R

d) orice a∈ ( − ∞,1] ∪ {9}

e) orice a∈ {1,2,3,4}

f) orice a∈R\ {3,4}

1 1 1    AL - 314 Să se calculeze inversa matricei A =  2 3 4   4 9 16    1  − 1 1  2

1 −1 0    −1 a) A =  0 2 − 1 0 −1 1   

 6 −7  −1 b) A =  − 8 6  5  3 − 2 

7   6 − 2  c) A−1 =  − 8 6  3 −5  2 

1 1 2   d) A =  − 1 − 2 0  0 1 − 1 

5  2 −1 e) A =  − 1   1 

 1 3  2  5 3   0 1 

1  2 − 1 1 2 

−1

1 0 0   f) A =  0 1 0  0 0 1   −1

96


1

AL - 315 Să se determine parametrul α ∈ R astfel încât matricea A = 

α

să fie inversabilă şi apoi să se afle inversa sa.

− 1  2 

 2  a) α ≠ −2;  α + 2  − α α + 2

1   α + 2 1   α + 2

 2  b) α = −2;  α + 2  − α α + 2

1   α + 2 1   α + 2

 1  c) α ≠ −1;  α + 2  − α α + 2

2   α + 2 α   α + 2

 2  d) α = −1;  α − 1  − α α + 2

1   α −1  1   α + 2

 1  e) α = 1;  α + 1  − α α + 2

−2   α +1  1   α + 2

2   2   f) α ≠ −1;  α + 1 α + 2  −1   1  α +1 α +1 

2 − 3 4  AL - 316 Matricea  1 2 α 5 − 4 7  a) α = 2, β = −5 d) α = 1, β = −10

− 5  0  are rangul doi pentru: β 

b) α = −1, β = −10 e) α = 3, β = −1

c) α = −3, β = 2 f) α = −1, β = 10

AL - 317 Să se determine valorile parametrilor reali α şi β pentru care matricea: β 1 2 4    A =  1 α 2 3 are rangul 2.  1 2α 2 4    a) α = 1, β = 1 1 d) α = − , β = 1 2

1 ,β = 1 2 1 e) α = −1, β = 2

b) α =

c) α = 1, β =

1 2

1 1 f) α = − , β = − 2 2

97


 1 1 − 1 2   a 1 1 1  AL - 318 Se dă matricea . Să se determine parametrul 1 − 1 3 − 3    4 2 0 a 

real a pentru care rangul matricei este egal cu 2.

a) a = 4

b) a = -2

c) a = 3

d) a = 8

e) a = -1

f) a = 0

AL - 319 Pentru ce valori ale parametrilor a, b ∈ R , matricele

1 − 2 − 2 1 − 2 − 2 4     A = 3 1 a  şi B =  3 1 a 4  au ambele rangul 2. 3 −1 1  3 −1 1 b     1 3

19 44 ,b = 5 7

44 19 ,b = 7 5

b) a = , b = −1

c) a =

d) a = −1, b = −2

e) a = 2, b = −1

f) a = −1, b =

a) a =

1 3

α α α    AL - 320 Fie matricea A = α α i  , α ∈ R ; dacă rangul matricii este 2, atunci α i i    suma elementelor sale este soluţie a ecuaţiei: a) x 2 + 1 = 0

b) x 2 − 9 = 0

c) x 3 + 1 = 0

d) x 3 − 27i = 0

e) x 4 + 1 = 0

f) x 4 − 81 = 0

98


AL - 321 Să se determine valorile parametrilor a, b ∈ R pentru care matricea

1 b 1 0   A = a 1 2 − 1 a − 2 −1 1    are rangul minim. a) a = 1, b = 1 d) a = 2, b = −

1 3

1  1 AL - 322 Se dă matricea:  1  2

2 2 2 4

1 3

b) a = 1, b = −1

c) a = 1, b = −

e) a = 2, b = 2

f) a = −1, b = −

1 α 1 2

1 3

β   − 1 . Să se determine toate valorile parametrilor − 1  − 2

reali α , β pentru care rangul matricei este doi. a) α ≠ 1, β ≠ −1

b) α = 1, β ≠ −1

c) α = 1, β ≠ −1 ; α ≠ 1, β = −1

d) α ≠ 1, β = −1

e) α = 1, β = −1

f) α = 1, β ∈R

AL - 323 Pe care din următoarele mulţimi de variaţie ale parametrilor reali β 1 2 4    α şi β matricea  1 α 2 3 are rangul 3?  1 2α 2 4    a) α ∈ [ − 11 , ], β ∈ [ − 1,4]

2  b) α ∈  − 7, , β ∈ (0,2)  3

3  3  c) α ∈  0,  , β ∈  − 1,   4  2

3  d) α ∈  − 3,  , β ∈ (0,1)  5

 1  1  e) α ∈ − ,1 , β ∈  ,2  2  2 

 1  f) α ∈  − ,2, β ∈ (0,7]  2 

99

Elemente de algebră AL – 324 Se consideră matricea

 2 α − 2 2   A =  4 − 1 2α 5  .  2 10 − 12 1    Să se precizeze valoarea parametrului α, pentru care rangul matricei este doi. a) α = 3;

b) α = 1;

c) α = -5;

d) α = 5;

e) α = -3;

f) α = 4.

1 x x2 x3    a a a  a AL – 325 Fie matricea A =    a a + 1 a + 2 a + 3 1 4 9 16   Pentru ce valori reale ale lui a şi x matricea A are rangul 2? a) a = 0; x = 1 b) x = 1; a ∈ R c) a = 0; x ∈ R e) pentru nici o valoare reală a lui a şi x.

d) a = 0; x ∈(-1,2) f) a = 0; x = 0

2 X − 5Y = A  1 − 2  2 1 unde A=  AL - 326 Să se rezolve sistemul   , B=  . 0 1   3 0 − X + 3Y = B  13 − 1  0 0 a) X =  , Y =    15 3   6 1

 13 − 1  5 0 b) X =   , Y =    15 3   6 1

 13 − 1 5 c) X =  ,Y =   15 3  6

0  1

1 0  1 − 1 d) X =   , Y =   − 1 − 1 2 3 

0  5 − 1  , Y =  1  2 1

1 3   5 1 f) X =   , Y =   2 − 1  − 2 − 1

 13 e) X =   15

100


AL - 327 Să se precizeze care dintre perechile de matrice (X,Y), date mai jos,  1 0  0 1  2 2    ⋅ X +   ⋅ Y =   1 1  2 3  1 1 . reprezintă o soluţie a sistemului:   1 2  X+ Y =   1 1   1 a) X =  0

0 1  ,Y =  1 0

0  1

0 b) X =  1

1 1  ,Y =  1 0

0  1

 0 1 1 1  c) Y =   , X =    1 1  0 0

 1 0 1 1  d) X =   , Y =    0 1  0 0

 − 1 − 1  0 − 1 e) X =    ,Y =   0 0  − 1 1

 0 − 1  1 0 f) X =   ,Y =    − 1 1  0 1

AL - 328 Să se calculeze determinantul:

1 2 0 2 2 3 4 1 2 a) 8

b) 6

c) 16

d) 17

e) 18

f) 0

AL - 329 Să se calculeze determinantul:

− a −1 ∆ = − a a2 a 1 −1 a 1

a) 0

b) 2a2

c) 4a2

d) 6a2

e) 1

f) -1

101


( )

AL - 330 Să se calculeze det A

a) 1

b)

1 2

−1

c) −

1 4 0   dacă A =  0 3 1   2 0 1  

1 11

d)

1 7

e)

1 11

f)

1 5

 1 1 1 1 1 1    AL - 331 Fie matricele A = 1 2 1 şi B = 1 2 3  . Să se calculeze      2 1 1 1 4 9  determinantul matricii A⋅B.

a) -2;

b) -1;

c) 0;

d) 1;

x2

AL - 332 Calculaţi determinantul ∆ = 1

x

e) 2;

f) 3

1

− y y2 .

y 2 − xy x 2

(

)

(

)

b) ∆ = x 2 − y (1 − xy ) x − y 2

(

)

(

)

d) ∆ = x 2 + y (1 + xy ) x + y 2

a) ∆ = x 2 + y (1 − xy ) x + y 2 c) ∆ = x 2 − y (1 − xy ) x + y 2

(

)

(

e) ∆ = − x 2 + y (1 + xy ) x − y 2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

f) ∆ = − x 2 − y (1 + xy ) x + y 2

)

102


2 2 2 +2 +5 +3 2 2 1+ x 1+ x 1+ x2 AL - 333 Se consideră f(x) = − 2 x . 1 − 5x − 3x 4 7+x 5

Aduceţi f (x) la forma cea mai simplă. a) f ( x ) =

1 1+ x2

d) f ( x ) = x 2

b) f ( x ) =

4x 1+ x2

e) f ( x ) = 0

c) f ( x ) =

2 x +1 2

f) f ( x ) = 2 + x 2

1 + cos α 1 + sin α 1 AL - 334 Care este valoarea determinantului ∆ = 1 − sin α 1 + cos α 1 ? 1 1 1

a) 3

b) 2

c) -2

d) 1

e) -1

f) 0

sin 2 x cos 2 x sin 2 x

AL - 335 Se consideră f(x) =

cos 2 x sin 2 x sin 2 x . 1 + sin 2 x − 1 1

Aduceţi f (x) la forma cea mai simplă. a) f ( x ) = 1 + cos x

b) f ( x ) = sin 2 x + 2 cos x

c) f ( x ) = −2 sin 2 x

d) f ( x ) = cos x

e) f ( x ) = − cos 2 x

f) f ( x ) = cos 3 2 x

2

3

AL - 336 Dacă a,b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi şi h a , h b , h c sunt 1 a hb ⋅ hc înălţimile corespunzătoare, care este valoarea determinantului: ∆ = 1 b hc ⋅ ha ? 1 c hb ⋅ ha a) ∆ = abc

b) ∆ = 0

d) ∆ = 1;

e) ∆ = 2abc

c) ∆ = a2+b2+c2 1 f) ∆ = (ab+ac+bc) 2

103


1 1

AL - 337 Să se calculeze determinantul: ∆ = 1 ω

1 ω 2 , unde ω este o

1 ω2 ω

rădăcină cubică complexă a unităţii ( ω 3 = 1 ). a) ∆ = − 3

b) ∆ = − 3 − 6ω

c) ∆ = − 3 + 6ω

d) ∆ = 1

e) ∆ = 3

f) ∆ = 6ω

 2 1 AL - 338 Dacă A =   , calculaţi determinantul matricii  0 − 1

a) 15

b) 20

c) 40

4

∑A

k

.

k =0

d) 30

e) 31

f) 41


a+b ∆ = a2 + b2 a3 + b3

b+c b2 + c2 b3 + c3

c+a c2 + a2 c3 + a3

a) ∆ = 2abc(a − b )(b − c )(c − a )

b) ∆ = 2abc(a − c )(c − b )(b − a )

c) ∆ = 2abc(a + b )(b + c )(c + a )

(

e) ∆ = 2 a − b 2

2

)(b

2

−c

2

)(c

2

−a

2

d) ∆ = 0

)

(

)(

f) ∆ = (a + b ) a 2 + b 2 a 3 + b 3

AL – 340 Fie x,y,z ∈R; să se calculeze valoarea determinantului

1 x 1 y ∆= 1 z 1 x+ y+z a) ∆ = 1 d) ∆ = x + y + z

x2 y2 z2 xy + xz + yz

x3 y3 z3 xyz

b) ∆ = −1 e) ∆ = x 2 + y 2 + z 2

c) ∆ = 0 f) ∆ = xyz

)

104


AL – 341 Fie a,b,c,d ∈ R . Să se calculeze determinantul:

D=

1+ a2 ab ba 1 + b 2 ca da

ac bc

ad bd

1 + c2 cd dc 1 + d 2

cb db

a) 1 − a 2 − b 2 − c 2 − d 2

b) (a − b )(b − c )(c − d )

c) 1 + a 2 + b 2 + c 2 + d 2

d) a 2 + b 2 + c 2 + d 2

e) 1

f) 0

AL – 342 Să se calculeze valoarea determinantului asociat matricei

a  b A= c  d  a) a 2 + b 2 + c 2 + d 2

(

d) ± a 2 + b 2 + c 2 + d 2

b −a −d c

)

2

d   −c b   − b − a 

c d −a

(

b) − a 2 + b 2 + c 2 + d 2 e) (a + b + c + d )

2

)

2

(

c) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 f) ± (a + b + c + d )

2

AL – 343 Să se determine toate valorile x ∈ R astfel ca valoarea determinantului

1 1 1 1 1 4 + 2i 4 − 2i 1 − 3i D= 1 x + 2i x − 2i 1 + 3i 1 x + i 8 + 3i 1 − i să fie un număr real. a) x ∈ {0,6}

b) x ∈ {0,2}

c) x ∈ {2,6}

d) x ∈ {1,2}

e) x ∈ {− 1,1}

f) x ∈ {3,4}.

)

2

105

Elemente de algebră AL – 344 Să se calculeze determinantul:

1 0 0 −1 0 1 0 −1 0 0 1 −1 −1 −1 −1 −1

a)4

b)3

c) 5

d)-4

e)-5

f) 0

( )

AL – 345 Fie A = ai j o matrice pătrată de ordinul 4, definită astfel :

ai j = max{i, j}, i, j = 1,4 . Să se determine det A. a) 0

b) 4 !

c) -4 !

d) –4

e) 4

f) 1


det ( A2008 )

det ( A2007 )

1  1  1 2  2 An  1 = 22  ... ...   1n −1 2n −1 

a) 2009!;

b) 2008!;

, unde

... ...

1  n 

... ...

n2  , ... 



n ∈ N, n ≥ 2



... n n −1 

c) 2007!;

d) 2006!;

e) 2008;

f) 2007.

106


AL – 347 Dacă b1 , b2 , b3 sunt numere reale în progresie geometrică cu raţia q ∈ R + ,

să se calculeze pentru α ∈ R , în funcţie de primul termen b 1 şi raţia q, valoarea determinantului

1 + b12α 1 1 2α 1 1 + b2 1 1 1 1 + b32α 1 1 1

1 1 1 1

a) b16α q 2α

b) b16α +1q12α

c) b16α q15α

d) b16α q 6α

e) b16α q 3α

f) b16α q 4α


a2 − x

ab

ac

ba

b2 − x

bc

ca

cb

c2 − x

=0.

a) x1 = x2 = x3 = 0

b) x1 = x2 = x3 = a

c) x1 = a, x2 = b, x3 = c

d) x1 = x2 = 0, x3 = a 2 + b 2 + c 2

e) x1 = x2 = 0, x3 = a 2 + b 2 − c 2

f) x1 = x2 = 1, x3 = 0

4−x 1 4 AL - 349 Care sunt soluţiile ecuaţiei 1 2 − x 2 =0 ? 2 4 1− x

a) x1 = 3, x 2 = 7, x 3 = −1

b) x1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 3

c) x1 = 7, x 2 = 5 , x 3 = − 5

d) x1 = x 2 = 7, x 3 = 1

e) x1 = 7, x 2 = 3 , x 3 = − 3

f) x1 = −2, x 2 = 7, x 3 = 1

107


x3 1 AL - 350 Care sunt soluţiile ecuaţiei −1 4

a) x1 = 1, x 2 ,3 =

x2 x 1 2 −1 1 =0 ? 1 5 3 1 0 0

3 ± 29 2

b) x1 = 1, x 2 ,3 =

− 3 ± 29 2

1± 5 , x 3 = −1 2 f) x1 = −1, x 2 ,3 = ± 2

c) x1 = 0, x 2 = −1 , x 3 = 2

x1,2 =

d)

e) x1 = x 2 = 1, x 3 = 2 x a AL - 351 Precizaţi soluţiile ecuaţiei a a

a x a a

a a x a

a a =0. a x

a) a ,−a ,2a ,3a

b) a ,−a ,2a ,−2a

c) a ,−a ,−a ,−3a

d) a , a ,− a ,−3a

e) a , a , a ,−3a

f) a , a ,− a ,3a e 2 x e −a e − x

AL - 352 Care sunt soluţiile reale ale ecuaţiei e − a e 2 x e − x = 0 ? e − x e − x e 2a

a) x = 0

b) x = a

c) x = 2a

d) x = −

a 2

e) x = − a

f) x = −2a

AL - 353 Fie A o matrice pătratică de ordinul n (n ≥ 2) nesingulară. Precizaţi care este relaţia între det(A*) şi detA , unde A* este reciproca lui A. n−1

a) detA = detA* d) (detA*)

n

= detA

b) det(A*) = (detA) e) (detA*)

n−1

= detA

c) det(A*) = (detA) 1 f) detA = det A *

n

108


( )

AL - 354 Fie matricea A = aij

1≤i ≤ 4 1≤ j ≤ 4

, aij = max{i + j − 2 , i + j − 3 }.

Să se calculeze det (A ⋅ A), unde A t

a) 25

b) 9

c) 0

t

este transpusa matricei A.

d) 1

e) -1

f) 36

( )

AL - 355 Fie matricea A = aij , 1 ≤ i ≤ 3 , 1 ≤ j ≤ 3 , cu elementele ai j = min{ i + j − 3 , i − 2 j + 3

a) det A = 2 ,

 3 0 − 1 1 A =  2 2 1  2 − 1 0 1  −1

}. Să se calculeze

b) det A = −3 ,

0 1 3  c) det A = 1 , A = 1 1 1  0 1 2

det A şi A

−1

.

 2 −2 1  1 A = − 1 1 1  3  1 2 − 1 −1

3 1 0 1 d) det A = 2 , A = 0 1 1 2 1 0 3 −1

−1

1 0 2  1 e) det A = −3 , A = − 3 1 − 1 3 0 − 1 2 

1 3 1 f) det A = 1 , A = 0 1 1 2 1 1

−1

−1

x1 x 2 x 3 x 4

AL - 356 Să se calculeze determinantul ∆ =

x 2 x3 x 4 x1 x3 x 4 x 1 x 2

, unde x1 , x 2 , x 3 , x 4 sunt

x 4 x1 x 2 x3

rădăcinile ecuaţiei x 4 + px 2 + qx + r = 0 . a) ∆ = 1

b) ∆ = -1

c) ∆ = p-q

d) ∆ = 0

e) ∆ = p-q+r

f) ∆ = -1

109


x3 1 x AL - 357 Se dă ecuaţia 1 − 1 1 = 0; a ∈ R \ {-1}. Să se determine parametrul a x 1 a

astfel încât între rădăcinile ecuaţiei să existe relaţia x12 + x22 + x32 − 1 < ( x1 x2 x3 ) . 2

a) a∈ ( − ∞,−1] ∪ [ 2,+∞)

b) a∈ ( − ∞,−1) ∪ (2,+∞)

c) a∈[-1,2]

d) a∈[1,2]

e) a∈ ( − ∞,1]

f) a∈ [1,+∞)

1

1

1

AL - 358 Să se calculeze ∆ = d , unde d = x1 x 2 x 3 , iar x1 , x 2 , x 3 ∈ R sunt x12 x 22 x 32

rădăcinile ecuaţiei x 3 + px + q = 0 .

a) ∆ = 2 p 2

b) ∆ = p 3 − 27 pq

c) ∆ = 4pq

d) ∆ =

e) ∆ =

f) ∆ =

q2 − p

− 4 p 3 − 27q 2

− 4 p 3 + 27q 2

x1 x 2 x 3 AL - 359 Să se calculeze determinantul ∆ = x 2 x 3 x1 , ştiind că x1 , x 2 , x 3 x 3 x1 x 2

sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 − 2 x 2 + 2 x + 17 = 0 a) ∆ = 1

b) ∆ = -1

c) ∆ = 2

d) ∆ = 4

e) ∆ = 3

f) ∆ = 0

110


 1 −1 1   AL - 360 Fie matricea A =  − x1 x 2 − x 3  , unde x1 , x 2 , x 3 sunt rădăcinile ecuaţiei:   2  x1 − x 22 x 32 

(

)

x 3 + ax + b = 0 , a, b∈R. Să se calculeze det A ⋅ t A în funcţie de a şi b,

unde tA este transpusa matricei A .

a) a 3 + b 2

b) − 4a 3 − 27b 2

c) 4a 3 + 27b 2

d) 4a 3 − 27b 2

e) a 3 + b 2

f) − 4a 3 + 27b 2

 x + y + 2z = 2  AL - 361 Să se rezolve sistemul:  x − y + 3z = 5 . 2 x + y + z = 2 

a) (1,1,0)

b) (1,-1,1)

c) (-4,0,3)

d) (0,0,2)

e) (1,0,0)

f) (1,0,2)

AL - 362 Să se rezolve sistemul

2 x + 3 y + z = 11   x + 2 y + 3z = 14 3x + y + 2 z = 11  a) x =1, y =2, z =3

b) x =2, y =1, z =1

c) x =3, y =2, z =2

d) x =1, y =1, z =4

e) x =1, y =3, z =2

f) x =1, y =7, z =6

111

Elemente de algebră AL - 363 Să se rezolve sistemul

 x − y + 3 z + t = −8  3 x + y − z + 2t = −5 2 x + 2 y − 4 z + t = 3  a) x = − b) x =

2 z + 3t + 13 10 z + t + 19 ,y= , z = z ∈ R, t = t ∈ R 4 4

z + t +1 2z + t + 1 , z = z ∈ R, t = t ∈ R ,y= 3 3

c) x = z + t , y = 2 z + t , z = z ∈ R , t = t ∈ R d) x = 1 + t , y = 1 + t , z = 2 + t , t = t ∈ R e) x = 2t + 1, y = 2t − 1, z = 2 − t , t = t ∈ R f) x = 2 z + 1, y = z − 1, t = z , z = z ∈ R

AL - 364 Care sunt valorile parametrului m∈R pentru care sistemul de ecuaţii: mx + y + z = 1   x + my + z = 2 admite soluţie unică ?  x + y + mz = 4  a) m∈R \ {-2,1} b) m∈R \ {2,-1} c) m∈R \ {-2,-1} d) m∈R \ {2,1}

e) m∈R \ {-2,2}

f) m∈R \ {-1,1}

AL – 365 Se consideră sistemul

 x + y + mz = 1  x − 2 y + z = m mx + y + z = 0  Să se determine parametrul real m pentru ca sistemul să fie incompatibil. a) m = 1, m = -2;

b) m = 2, m = -2;

c) m = -1, m = 0;

d) m = 3, m = 4;

e) m = -3, m = 3;

f) m = 0, m = -2.

112


AL - 366 Să se determine m∈ R astfel ca sistemul:

2 x + y = 8  x − y = 1 5 x + 4 y = m  să fie compatibil. a) 0

b) 1

c) 20

d) 23

e) 8

f) 21

AL - 367 Pentru ce valoare a parametrului real m ∈ R sistemul de ecuaţii

2 x + y − z = −1  x + 5 y + 4z = 4 x + 2 y + z = m  este compatibil şi nedeterminat de ordinul întâi ? a) m =-1

b) m =2

c) m =-2

d) m =1

e) m =-3

AL - 368 Să se determine la care din următoarele mulţimi aparţin parametrii a, b ∈ R pentru care sistemul

ax + ay + (a + 1)z = b  ax + ay + (a − 1)z = a (a + 1)x + ay + (2a + 3)z = 1  este compatibil nedeterminat. a) a ∈ (− 1,1), b ∈ (0,1)

b) a ∈ (− 1,1), b ∈ (− 1,1)

c) a ∈ (1,90 ), b ∈ (− 2,30 )

d) a ∈ (0,32 ), b ∈ (− 2,30 )

e) a ∈ R \ {0}, b ∈ R

f) a ∈ (− 1,3), b ∈ R \ {0}

f) m=3

113

Elemente de algebră AL - 369 Să se determine valorile parametrilor reali a şi b pentru care sistemul  x + 2 y − 2 z = −6  2 x + y + bz = 4 este incompatibil. ax − y + z = 8 

1 a) a ≠ şi b ≠ −1 2

d) a ≠

1 şi b ∈ R 2

1  a = − 2 , b ∈ R sau b)  a ∈ R \  4  , b = −1  7 

1  a ≠ − c)  2 b = −1

a = 0 e)  b = 1

4  a = f)  7 b = −1

 x1 + αx 2 + 2 x 3 = 1  AL - 370 Să se determine α , β ∈R astfel încât sistemul 2 x1 + 2 x 2 + x 3 = −1 ,  x + x − x = β 2 3  1

să fie incompatibil. a) α ≠ 1, β ≠ −2

b) α = 1, β ≠ −2

c) α = 1, β = −2

d) α =1, β ≠ 1

e) α = β = −2

f) α = 1, β ≠ −6

ax + by + z = 1  AL - 371 Fie sistemul de ecuaţii bx + ay + bz = a , a,b∈R.  x + y + az = b 

Să se determine valorile parametrilor a,b∈R pentru care sistemul este incompatibil. a) a = 1, b = –2

b) a∈R \ {1, –1}, b = –2

c) a = –1, b∈ R \ {0}

d) orice a = b∈R

e) a = 1, b∈R \ {1, –2}

f) a = –1, b = 0

114


mx + y − 2 z = 2   AL - 372 Se consideră sistemul liniar  2 x + y + 3z = 1 , m,n∈R. (2m − 1) x + 2 y + z = n 

Pentru ce valori ale parametrilor m şi n sistemul este compatibil simplu nedeterminat? a) m =3, n≠3

b) m=3, n=3

c) m≠3, n=3

d) m≠3, n≠3

e) m=3, n=0

f) m=3, n=2

AL - 373 Să se determine toate valorile parametrilor reali α , β, χ pentru care  x+ y+ z=1  sistemul:  αx + βy + χz = 1 este compatibil dublu nedeterminat.  2 2 2 α x + β y + χ z = 1

a) α ≠ β ≠ χ

b) α = β ≠ χ

c) α = χ ≠ β

d) α ≠ β = χ ≠ 1

e) α = β = χ = 1

f) α = 1, β ≠ 1, χ = −1

AL - 374 Să se determine α , β ∈R astfel încât sistemul liniar: 3x + 2 y + z − t = 2   x + αy − 2 z + 3t = 1 să fie compatibil dublu nedeterminat.  x + 4 y + 5z − 7t = β  a) α = −1, β = 2

b) α = 0, β = 1

c) α = 1, β = −1

d) α = −1, β = 3

e) α = −1, β = 0

f) α = 2, β = 0

− x + 2 y + 2 z + t = 1  AL - 375 Pentru ce valori ale lui λ ∈ R sistemul: − 2 x + y + z + t = 0  5x − y − z − 2t = λ 

este compatibil ? a) λ = 2

b) λ = −1

c) λ = −2

d) λ = 3

e) λ = 1

f) λ = −3

115

Elemente de algebră AL - 376 Să se determine parametrii reali a,b,c astfel ca sistemul: 2 x − 3 y + 4 z − 5t = 1   x + 9 y + az + t = −3 să fie dublu nedeterminat. 5x − 6 y + 10z + bt = c  a) a = b = c = 2

b) a = 2, b = -12, c = -2

c) a = c = 2, b = -12

d) a = b = 2, c = -12

e) a = b = 2, c = 12

f) a = c = 2, b = 12

AL - 377 Să se determine mulţimea valorilor parametrului real m pentru care sistemul următor este compatibil my + 1 =0  x−  y− m = 0. 2 x + 3x + (m − 1) y + m − 1 = 0 

a) {0,2}

b) ∅

c) {1,0}

d) {-1,1}

e) R \{-1,1}

f) {3,2}

2 x + my + z = 0  AL - 378 Pentru ce valori ale lui m sistemul 2 x + 2 y − z = 0 admite şi soluţii 2 x − y + z = 0 

diferite de soluţia banală? a) m∈R

b) m∈∅

c) m = 0

d) m ≠ 0

e) m = -1

f) m ≠ -1

AL - 379 Să se determine parametrul real α astfel încât sistemul omogen: x − y + z − t = 0  x + 2 y + z − 4t = 0  să aibă soluţii nenule.   x − y + αz + αt = 0  x + 2 y − z − 2t = 0 a) α = 1

b) α = -1

c) α = 0

d) α = 2

e) α = 1 sau α = - 1

f) α = -1 sau α = 2

116


AL - 380 Ce valori întregi pot lua parametrii p, q şi r astfel încât sistemul 1  2 x = px + qy + rz  1  y = rx + py + qz să admită soluţii nenule ? 2 1  2 z = qx + ry + pz a) p = 1, q = 2, r = 3

b) p = -1, q = 0, r = 1

c) p,q şi r pot lua orice valori întregi

d) p,q şi r nu pot lua nici o valoare întreagă pentru a satisface condiţia cerută e) p = 1, q = 1 şi r orice valoare întreagă

f) p = 1, q = 2, r = 2

AL - 381 Dacă p = xyz , unde ( x, y , z ) este o soluţie a sistemului: 2 x + y + z = x − y − z = 0   1 x + 2 y + z = 2 x + y − z =−1

atunci a) p ∈ ∅ ;

b) p ∈ ( −3, −2] ;

d) p ∈ ( −1, 0] ;

e) p ∈ ( 0,1] ;

c) p ∈ ( −2, −1] ;

f) p ∈ (1, 2]

AL – 382 Se consideră sistemul:

3 x + y − z = 5  x − 2 y + z = n mx + y + z = 6 

(m, n ∈ R )

Să se determine valorile lui m ∈ R, n ∈ R, astfel ca sistemul dat să fie compatibil şi nedeterminat. a) m ≠ -11, n ∈ R; d) m = -11, n ≠ −

21 ; 2

21 ; 2 21 e) m ∈ R, n = − ; 2 b) m = -11, n = −

c) m = -11, n ∈ R f) m ∈ R, n ∈ R .

117

Elemente de algebră AL – 383 Se consideră sistemul

2ax + y + z = 0   x + ay − z = −1 ,  x + 2ay + z = 1 

unde a ∈ R .

Fie S suma valorilor parametrului a pentru care sistemul este incompatibil. Stabiliţi dacă :

1 ; 2 5 d) S = ; 3

a) S =

1 ; 6 3 e) S = − ; 4

1 ; 6 2 f) S = − 3

b) S =

c) S = −

a a o   AL – 384 Fie A =  0 a a  şi sistemul A3 − I 3 0 0 a  

(

 x  9      y  = 3 ,  z   2    

)

a fiind un parametru real iar I 3 este matricea unitate de ordinul trei. Pentru ce valori ale lui a sistemul de mai sus admite soluţie unică ? a) a ≠ 1

b) a = 1

c) a ≠ -2

d) a ≠ 0

e) a ∈ R \ {− 1}

f) a ≠ 2.

AL – 385 Să se determine parametrii α , β ∈ R

α x + β y + z = 1  astfel încât sistemul  x + α β y + z = β x + β y + α z = 1  să aibă soluţiile x = z = λ , y = −

1 (1 + λ ) , λ ∈R . 2

a) α = 2, β = 0

b) α = −2, β = 2

c) α = β = 1

d) α = β = −2

e) α = −2, β ∈ R

f) α ∈ R , β = 0

118


AL – 386 Se consideră sistemul

ax − by = 2a − b  (c + 1)x + cy = 10 − a + 3b Să se determine mulţimile A, B, C cărora le aparţin valorile reale respectiv ale lui a, b,c pentru care sistemul are o infinitate de soluţii, iar x = 1, y = 3 este una dintre soluţii. a) A = [0,3];

B = [− 2,−1); C = (0,3) b) A = [0,3]; B = [− 1,0]; C = (0,3)

c) A = (0,3);

B = (− 2,−1); C = (0,3) d) A = (1,2]; B = [− 1,0]; C = (1,2]

e) A = (1,3);

B = [− 1,0]; C = (1,2]

f) A = (2,4];

B = [− 1,0]; C = [1,3)

 x − ay + a 2 z = a 3  AL – 387 Se consideră sistemul liniar :  x − by + b 2 z = b 3  x − cy + c 2 z = c 3  Care din următoarele condiţii sunt satisfăcute de soluţiile x,y şi z ale sistemului, pentru orice valori ale parametrilor a > 0, b> 0, c > 0 şi a ≠ b ≠ c ? a) x < y < z

b) y < z < x

c) z 2 , y 2 < x 2

d) 27 x ≥ z 3 , y < z 2

e) 27 x ≤ z 3 , y < z 2

f) z , x < y

119

Elemente de algebră AL – 388 Să se determine toate valorile lui λ ∈R pentru care tripletele (x, y, z) corespunzătoare sunt soluţii ale sistemului omogen

x − 4 y − 2z = 0  2 x − (λ + 3) y − 2 z = 0 3 x − 7 y + λ z = 0  oricare ar fi k ∈ R :

(x = 6k , y = − k , z = 5k ) sau (x = 6k , y = 2k , z = −k ) b) λ ∈ R \ {− 5,4}, ( x = 6k , y = −k , z = 5k ) sau ( x = 6k , y = 2k , z = −k ) c) λ ∈ {− 5,4}, ( x = 2k , y = k , z = −k ) sau ( z = 2k , y = 3k , z = k ) d) λ ∈ R \ {− 5,4}, (x = 2k , y = k , z = − k ) sau ( x = 2k , y = 3k , z = k ) sau ( x = k , y = 3k , z = 2k ) e) λ ∈ {− 5,4}, ( x = k , y = k , z = −2k ) f) λ ∈ R \ {− 5,4}, ( x = k , y = k , z = −2k ) sau (x = k , y = 3k , z = 2k ) . a) λ ∈ {− 5,4},

AL – 389 Fie a,b∈ R şi θ ∈ [0,2π ) . Să se afle varianta în care una sau alta dintre perechile (x,y) , prezentate alăturat , este soluţie a sistemului de ecuaţii liniare

 x ⋅ sin θ + y ⋅ cosθ = a ⋅ sin θ   x ⋅ cosθ − y ⋅ sin θ = a ⋅ cosθ + b ax ⋅ sin θ + y ⋅ (a cosθ + b ) = 0  a) a ≠ ±b, b) a ≠ ±b, c) a ≠ ±b, d) a = ±b, e) a = ±b, f) a = ±b,

(x = a + b, y = −b ) sau (x = a − b, y = −b ) (x = a + b, y = 0) sau (x = a − b, y = 0) (x = a + b, y = b ) sau (x = a − b, y = b )

(x = a (x = a (x = a

)

( (x = a

2

+ b 2 , y = −b sau x = a 2 − b 2 , y = −b

2

+ b2 , y = 0

2

+ b2

) sau , y = b ) sau (x = a

2

2

− b2 , y = 0

)

)

− b2 , y = b .

)

120


AL – 390 Se consideră sistemul:

 m m m      1 + m 2 − m + 1  x +  − 1 + m 2 − m + 1  y +  2 + m 2 − m + 1  z = 0       3mx + (1 + m ) y + 4mz = 1 2 x + (1 − m ) y + 3 z = 1   cu x, y, z ∈ R şi parametrul m ∈ R .

{

Dacă M = m ∈ R sistemul este incompatibil

} , să se calculeze

S=

∑m

3

.

m∈M

a) S =

7 4

d) S = −

b) S=1

1 8

e) S = −

9 8

c) S =

9 8

f) S =

8 9

AL – 391 Să se determine produsul valorilor parametrului λ ∈ R , valori pentru care sistemele de ecuaţii

x + y − z = 1 2 x − y − 3 z = −3 respectiv    x + 2λy − 2 z = 2λ − 2 3 x + λ (λ + 1) y − 4 z = λ − 1 sunt compatibile şi au aceleaşi soluţii.

a) –2

b) –1

c) 0

d) 1

e) 2

f) 3


121

AL - 392 Se consideră funcţiile f i : R \ {0} → R , i ∈ {1,2,3,4}, definite prin 1 1 f1 (x) = x , f 2 (x) = , f 3 (x) = − x , f 4 (x) = - . x x Care din următoarele afirmaţii relative la operaţia de compunere a funcţiilor este adevărată? a) necomutativă şi neasociativă

b) comutativă şi asociativă

c) necomutativă, dar asociativă

d) comutativă, dar neasociativă

e) nu orice element are invers

f) fără element neutru

AL - 393 Să se determine toate valorile parametrului a∈R pentru care intervalul (-1,∞) este partea stabilă în raport cu legea de compoziţie x ∗ y = xy + x + y + a a) a∈∅

b) a≤0

c)a=0

d) a≥0

e) a=-1

f) a≥-1

AL - XII. 394 Să se determine α∈R astfel încât funcţia f : (1, ∞)x(1, ∞) → (1, ∞) , definită prin f(x, y) = xy − (x + y) + α să fie o lege de compoziţie pe (1,∞). a) α<0

b) α>0

c) α<1

d) α≥-1

e) α<-2

f) α≥2

AL - XII. 395 Pe R se consideră legea de compoziţie internă „∗” definită astfel: x ∗ y = 2xy − 2x − 2y + m, m∈R Să se determine m astfel încât această lege să fie asociativă. a) m=1

b) m=2

c) m=3

d) m=4

e) m=-1

f) m=-2


122

AL - 396 Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie „  ”, definită prin x  y = 2xy − 6x − 6y + 21 . Când relaţia x  (y  z) = (x  y)  z este adevărată? a) numai pentru x=y=z; c) numai pentru valori pozitive ale lui x,y,z; e) numai pentru valori negative ale lui x,y,z; f) numai pentru valori întregi ale lui x,y,z.

{

AL - 397 Mulţimea K = e 0 , e1 ,..., e 6

b) pentru orice x,y,z∈R; d) numai pentru x=y şi z=0;

} cu ei ≠ e j dotată cu operaţiile:

1) e i + e j = e k unde k=i+j dacă i+j≤6 şi k=i+j-7 dacă i+j>6 2) e i e j = e k unde k este restul împărţirii lui i⋅j la 7 formează un corp. Atunci ecuaţia e3 x + e 4 = e 6 are soluţia b) e 1 a) e 0 d) e 4 e) e 5

c) e 3 f) e 6

AL - 398 În mulţimea [0,+∞ ) este definită legea de compoziţie internă „∗” definită prin x∗y =

x 2 + y 2 + xy + x + y

. 1+ x + y Determinaţi elementul neutru al acestei legi. a) 1

b) -1

c)

1 2

d) 0

e) 2

f) 1+ 2

AL - 399 Pe Z se defineşte legea de compoziţie ∗ prin: x ∗ y = xy − 4x − 4y + 20, ∀x, y ∈ Z

este simetrizabil în raport cu legea ∗}, α = ∑ x ∈ A k Să se precizeze care dintre afirmaţiile următoare este adevărată. a) α=3 b) α=5 c) α=8 d) α=0 e) α=10 Fie = A

{ xk ∈ Z xk

x k


123

AL - 400 Determinaţi elementele simetrizabile în raport cu înmulţirea claselor din Z20 . ∧∧∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧ a) 1 , 5 , 7 , 9 ,11,13,17,19,

∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ b) 1 , 3 ,9, 4 ,11,13,17,19,

∧∧∧∧ ∧ ∧ ∧ ∧ c) 1 , 3 , 7 , 9 ,11,13,17,19,

∧∧∧∧∧ ∧ d) 1 , 2 , 4 , 6 , 9 ,11,

∧∧∧ ∧ e) 1 , 4 , 6 ,17,

f) ∅

AL - 401 Se defineşte pe C legea de compoziţie

(

)

Z1 ∗ Z 2 = Z1Z 2 + i (Z1 + Z 2 ) − 1 − i, i = − 1 .

Determinaţi soluţia ecuaţiei: z ∗ (1 − i ) = 3 + i . a) z = 3 + i

b) z = 2 + i

c) z = −5 + 2i

d) z = −3 + i

e) z = 3 − i

f) z = 2 − i

AL - XII. 402 Fie M = {0,1,2,3}. Pe M se defineşte legea de compoziţie:

 x − y + 1,

x< y<3

max {x, y},

în rest

( x, y ) → x ∗ y = 

.

Să se rezolve ecuaţia z ∗ 2 = 2 ( z ∈ M ) . a) z = 0, z = 1;

b) z = 1, z = 3;

c) z = 0, z = 2;

d) z = 1, z = 2;

e) z = 3, z = 2;

f) z = 0, z = 3;


124

AL - 403 Pe mulţimea R se definesc legile de compoziţie internă ” ∗ ” şi ”  ” astfel: ( ∀) a , b ∈ R : a ∗ b = 2a + 2b + 2ab + 1 , a  b = 2a + 2b + ab + 2 . ( x + y) ∗ 2 = 35 Sistemul  are soluţiile : ( x − y)  3 = 13

a) x = 3, y = 2

b) x = 1, y = 0

c) x = 2, y = 3

d) x = 2, y = 2

e) x = 1, y = 1

f) x = 1, y = 2

AL - 404 Găsiţi toate soluţiile din R 12 ale sistemului de ecuaţii liniare 3 ⊗ x ⊕ 4 ⊗ y = 11 , unde ⊗ şi ⊕ sunt simbolurile înmulţirii şi adunării modulo 12.  4 ⊗ x ⊕ 9 ⊗ y = 10 a) x = 1, y = 2

b) x = 2, y = 1

c) x = 5, y = 2

d) x = 5, y = 1

e) x = 9, y = 6

f) x = 1, y = 6

AL – 405 Găsiţi soluţiile din R 6 ale ecuaţiei: 5 ⊗ x ⊕ 2 = 4 unde ⊕ şi ⊗ sunt simbolurile adunării şi înmulţirii modulo 6. a) x=1

b) x=2

c) x=3

d) x=4

e) x=5

f) x=0

AL – 406 Pe mulţimea R definim două legi de compoziţie internă „* „ şi „T „ prin:

x ∗ y = 3 x 3 + y 3 şi xTy = x + y + 1

(∀)x, y ∈ R .

 x ∗ y = −1  xTy = 0

Indicaţi soluţiile (x,y) ale sistemului:  a) (0,1);(2,0)

b) (2,0); (-1,1)

c) (0,-1); (-1,0)

d) (-2,1); (1,2)

e)(0,3); (3,0)

f) (2,1); (-1,1)


125

AL - 407 În mulţimea Q + se defineşte operaţia x ∗ y astfel încât (∀)x , y , z ,t ∈ Q + , să avem: 1) ( x ∗ y )( z ∗ t ) = ( xz ) ∗ ( yt ) 2) x ∗ x = 1 3) x ∗1 = x Care din răspunsurile de mai jos ne dă 12 ∗ 3 ? a) 36

b) 4

c) 15

d) 9

e) 0,25

f) 0,15

AL – 408 Pentru orice x ∈ R, y ∈ R se defineşte legea de compoziţie

(

)

x ∗ y = ln e x + e y ; precizaţi mulţimea soluţiilor ecuaţiei ( x ∗ x ) ∗ x = 0 1 3

 

 1  3

a) ln 3 , ln 

 

1 3

d) − ln 

1 3

{

b) ln ,− ln 

c) − ln 3

e) {− ln 3}

f) {ln 3}

AL - 409 Pe mulţimea R definim legea de compoziţie

x ∗ y = 2 x + y, (∀)x, y ∈ R şi notăm xn+1 = xn ∗ x ; x1 = x , (∀) x ∈ R . Să se determine numărul natural n ≥ 2 pentru care x2 n = 8( xn − x ) − x, (∀) x ∈ R a) n ≥ 2

b) n ∈ φ

c) n = 6

d) n = 4

e) n = 2

f) nici un răspuns nu e corect

}


126

AL - 410 Fie a ∈ Z şi f : Z → Z, f ( x ) = x + a . Cum sunt definite legile de compoziţie pe Z notate „⊥” şi „T” dacă şi

a) c) e)

f ( x + y ) = f ( x ) ⊥ f ( y ), (∀) x, y ∈ Z f ( xy ) = f ( x )T f ( y ), (∀) x, y ∈ Z ?

x⊥ y = x+ y xTy = xy − ax − ay + a x⊥ y = x+ y+a

2

xTy = xy − ax − ay − a 2 + a x⊥ y = x+ y+a xTy = xy − ax − ay − a 2 − a

b) d)

x⊥ y = x+ y+a xTy = xy + ax + ay x ⊥ y = x+ y−a

xTy = xy − ax − ay − a 2 + a


AL - 411 Pe R se defineşte legea de compoziţie „∗” : R × R → R , (x, y ) → x ∗ y = x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + m , unde m ∈ R . Care sunt valorile m ∈ R pentru care intervalul (0,∞) este parte stabilă a lui R în raport cu legea considerată? a) m < −8 b) m ∈ {− 8,0,8} c) m ∈ (− 8,0 ) e) m > 8 f) m < 8 d) m ∈ ∅ AL - 412 Fie mulţimea

 1 0   0 1   0 1   − 1 0   0 − 1 ,  ,  ,  ,   ⊂ M 2 (R ) ; K =   0 1   1 0   − 1 0   0 − 1  − 1 0 

să se determine submulţimea maximală a lui K ce este parte stabilă a mulţimii M 2 (R) în raport cu înmulţirea matricelor.

 1 0   1 0   0  ,  b)   0 1   0 1   1  1  0 1   − 1 0   0 − 1 ,  ,   d)  c)   0  − 1 0   0 − 1  − 1 0   1 0   0 1   − 1 0   0 − 1 ,  ,  ,   e)   0 1   − 1 0   0 − 1  − 1 0 

a) 

1   0 − 1  ,   0   − 1 0  0   0 1   − 1 0   0 − 1  ,  ,  ,   1   1 0   0 − 1  − 1 0  f) K


127

AL - 413 Pe mulţimea A = R \ {1} se consideră legea de compoziţie „∗” definită prin:

x ∗ y = 2 xy − 2 x − 2 y + c, (∀)x, y ∈ A, c ∈ R

Pentru ce valoare a lui c legea „∗” este asociativă? a) c=1 d) c=2

b) c=-1 e) c=4

c) c=3 f) c=6

AL - 414 Pe mulţimea (0,∞) se consideră legea de compoziţie „∗” definită prin

x∗ y = ea ln x −b ln y , oricare ar fi x, y > 0 , unde a, b ∈ R ∗ .

Precizaţi în ce condiţii legea considerată este asociativă şi comutativă. a) a = 1, b = −1 c) a = −1, b = 1

b) pentru orice a, b ∈ R cu proprietatea a + b = −1 d) a = 1, b = 1

e) nu există a, b ∈ R ∗ cu proprietatea cerută


AL - 415 Fie legea de compoziţie internă pe R definită prin x∗ y = xy + 2αx + βy (∀)x, y ∈ R , unde α , β ∈ R . Care sunt valorile lui α şi β pentru care legea este comutativă şi asociativă ?

1 şi β = 1 2 1 c) α = β = 0 sau α = şi β = 2 2 a) α = β = 0 sau α =

b) α + β = 1 d) α = β = 1 f) α = 2 , β =

e) α = β = −1

1 2

AL - 416 Fie operaţia „∗” cu numere reale, definită astfel: a ∗ b = ma + nb + p (∀)a, b ∈ R . Sistemele de constante m,n,p pentru care operaţia ∗ este asociativă şi necomutativă sunt: a) (1,0,0); (0,1,0)

b) (1,1,0); (0,1,0)

c) (1,1,1); (0,1,0)

d) (1,0,0); (1,1,0)

e) (1,0,0); (1,1,1)

f) (1,1,1); (1,1,0)


128

AL - 417 În mulţimea numerelor reale, se definesc operaţiile : T şi ⊥ prin relaţiile :

aTb = a + ab + b

(∀)a, b ∈ R

a ⊥ b = a − ab + b

Operaţiile au acelaşi element neutru e. Expresia

1  1   aT  ⋅  a ⊥  − (eT1) ⊥ (e ⊥ 1) are valoarea a  a  1 a2 1 d) a 2 − 2 a

a) a 2 +

1 a2 1 f) − 2 a

b) a 2

c)

e) − a 2

AL - 418 În mulţimea R este definită legea de compoziţie internă „∗” astfel încât

(∀)x, y ∈ R :

x∗ y =

x+ y cu xy ≠ 1 . 1 − xy

Elementul neutru e, admis de lege este: a) 0 d) 2

b) 1 e) –2

c) –1 f) 3

AL – 419 Pe R se defineşte legea de compoziţie „∗” prin x ∗ y = axy − x − y + 2 , unde a ∈ R . Pentru ce valori ale lui a legea considerată admite element neutru? a) a = −1 d) a =

c) a = 1

b) 0

1 2

e) a = −

1 2

f) a =

3 2

AL – 420 Fie f : R → R o funcţie bijectivă cu f −1 (1) = 2 . Definim legea de compoziţie „∗” pe R prin a ∗ b = f f −1 (a ) + f −1 (b ) − 2 , pentru orice a, b ∈ R . Care este elementul neutru al acestei legi?

[

]

a) nu are

b) 1

c) 2

d) 0

e) –1

f) –2


129

AL – 421 Pe mulţimea (1, ∞ ) se defineşte legea de compoziţie

x ∗ y = ( x − 1)

ln ( y −1)

+ 1 . Determinaţi elementul său neutru.

a) ε = 1 + e d) ε = 3 − e

b) ε = 1 − e e) ε = 3 + e

c) ε = −1 + e f) ε = −3 + 2e

AL – 422 Pe mulţimea R se definesc legile de compoziţie ∗ şi  , a ∗ b = a + ab + b şi a  b = a − ab + b , care admit acelaşi element neutru, e . Să se determine mulţimea tuturor valorilor lui a pentru care există inegalitatea

 1  1   a ∗  a   > (e ∗ 1)  (e  1)  a  a  a) a ∈ {− 3,−2,−1,1,2,3};

b) a ∈ φ

d) a ∈ R  [(− ∞,−1)  (1, ∞ )];

e) a ∈ R

c) a ∈ R \ {0} ;

f) a ∈ R \ {− 2,−1,0,1,2}

AL – 423 Ce relaţii trebuie să existe între a,b şi c pentru ca operaţia ∗, definită pe mulţimea Z a numerelor întregi prin x ∗ y = axy + b( x + y ) + c , să admită element neutru? a) b 2 − 4ac = 0 c) b 2 − ac = b şi b divide pe c ; e) c divide pe b şi b 2 − ac = 2b

b) b 2 − ac = 0 şi b divide pe a ; d) a divide pe b şi b 2 − ac = b f) c divide pe b şi b 2 − ac = b

2 x  AL – 424 Să se determine α ∈ R astfel încât matricea Ax =  x α 1 x 

1  x 2 

să fie un element simetrizabil al monoidului (M 3 (R ), ⋅) pentru orice x >1. a) α > 1 d) α >

3 2

b) α = 1 e) α ≤

2 3

c)

2 3 <α ≤ 3 2

f) α ∈ R ∗


130

 0 0    n 1 0 AL - 425 Fie mulţimea G =  X X =  0 1   0 0   

 0 1   0 0 ∗ ,n∈N  0 0    1 0  

Care este simetricul elementului X1997 în raport cu operaţia indusă pe G de înmulţirea matricelor?

0  1 0  0 

a) X

0  0 b)  1  0 

d) I 4

0 0 0  1997   1997 0 0   0 e)  0 0 1997 0     0 0 0 1997  

0 0 0 1

1 0 0 0

0  0 c)  0  1 

  a 0 a     AL - 426 Fie mulţimea M =  0 0 0 , a ∈ C   a 0 a     i 0  4 Care este simetricul elementului A =  0 0 i 0 4 

compoziţie indusă pe M de înmulţirea matricelor?

 4 0 4   a)  0 0 0   4 0 4  

− i 0 − i   d)  0 0 0  − i 0 − i  

1  4 b)  0 1 4  1  e)  0  −1 

1  4 0 0 1 0 4  0 1  0 0 0 − 1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0  0 1  0 


i  4 0  în raport cu legea de i 4  i 0 i   c)  0 0 0  i 0 i  

 − 1 0 − 1   f)  0 0 0   − 1 0 − 1  


131

AL - 427 În corpul (R,+,⋅) se introduce legea de compoziţie:

x ∗ y = ax + ay + bxy + c, (∀) x, y ∈ R şi a, b, c ∈ R . Ştiind că elementul său neutru este e = - 4 şi că orice element cu excepţia lui –5, admite un simetric, să se determine constantele a,b,c. a) a=b=c=1

b) a=b=1, c∈R

c) a=5, b=1, c=20

d) a=3, b=2, c=0

e) a=1, b=4, c=2

f) a=b=2, c=40

AL - 428 Determinaţi elementul neutru al operaţiei ∗ definită în R2 prin

(x1 , y1 ) ∗ (x2 , y2 ) = (x1 x2 + x1 + x2 , y1 y2 + y1 + y2 )

a) (1,0)

b) (0,1)

c) (1,1)

d) (0,0)

e) (-1,-1)

f) (0,-1)

AL – 429 Pe mulţimea R a numerelor reale definim legea de compoziţie *, astfel:

x∗ y =

1 (x + y − 2 xy + 1) , oricare ar fi x,y ∈R . 3

Să se determine elementele simetrizabile şi simetricul fiecăruia dintre acestea.

x +3 ; x −1 x−2 1  c) x ∈ R \  , x ′ = ; 2x −1 2 x −5 1  e) x ∈ R \  , x ′ = ; 3x − 1 3 a) x ∈ R \ {-1},

2x + 1 x +1 x+4 1  d) x ∈ R \  , x ′ = ; 2x −1 2 x f) x ∈ R \ {1}, x ′ = x −1 b) x ∈ R \ {− 1},

x′ =

x′ =

AL – 430 Pentru fiecare n ∈ N * se defineşte funcţia

f n : R → R,

nx, x > 0 . f n (x ) =  0, x ≤ 0

Care este simetricul elementului f a) f 1

b) nu există

c) f

2000

2001

faţă de compunerea funcţiilor ? d) f

2002

e) f

1000

f) f

1001


132

{

}

AL – 431 Se consideră mulţimea M = a + b 2 a, b ∈ Z înzestrată cu operaţia de înmulţire indusă din R . Care este condiţia suficientă pentru ca elementul x = a + b 2 să admită un invers în mulţimea M ? a) Nu există un invers al lui x în M.

b) a 2 − 2b 2 ≠ 0

c) a 2 − 2b 2 = ±1

d) a 2 − 2b 2 = 2

e) a 2 − 2b 2 = −2

f) a 2 − 2b 2 = 0

AL - 432 Fie E = R × R . Pentru orice t ∈R , fie funcţia f t : E → E ,

  t2 f t ( x, y ) =  x + t y + , y + t ,(∀) ( x, y ) ∈ E şi mulţimea G = { f t t ∈R } înzestrată 2   cu operaţia de compunere a funcţiilor. Care este simetricul elementului f −1 ? a) g( x, y) = ( x, y)

b) g( x, y) = ( y, x)

c) g( x, y) = ( x + y , y − 1)

1 1  d) g( x, y) =  x − y + , y −   2 2

1   e) g( x, y) =  x + y + , y + 1   2

y 1 1  f) g( x, y) =  x + + , y +   2 8 2

AL - 433 Să se determine elementul neutru al grupului comutativ (G,∗), unde G = (0, ∞ ) \ {1} iar x ∗ y = x ln y a) 1

b) e

c) 0

d) 2

e)

1 e

f) e2

AL - 434 Pe R se defineşte legea de compoziţie

x ∗ y = ax + by, (∀) x, y ∈ R

unde a şi b sunt parametri reali. Legea „∗” defineşte pe R o structură de grup pentru: a) a=1, b=0

b) a=0, b=3;

c) a=0, b=1;

d) a=1, b=1;

e) a=b= α ∈ R \ {1};

f) a=b=2


133

AL - 435 Pe Z se defineşte legea de compoziţie

( x, y ) → x ∗ y = x + y + k ,

unde k ∈ Z . Să se determine toate valorile lui k pentru care (Z, ∗) este grup. a) k∈Z; d) k∈ ∅ ;

b) k=-1; e) k∈{-1,1};

c) k=0; f) k∈{-1,0}

AL - 436 Determinaţi mulţimea A ⊂ R astfel ca legea de compoziţie

x ∗ y = xy − x − y + 2

să determine o structură de grup pe R\ A. a) A=R d) A= ∅

b) A={0} e) A={1}

c) A={0,1} f) A={2}

AL - 437 Ce structură algebrică defineşte pe R şi ce element neutru, respectiv inversabil admite pe R legea de compoziţie x ∗ y = 3 x 3 + y 3 , x, y ∈ R ? a) grup comutativ; 0; -x d) grup comutativ; -x; 0

b) grup; 0; -x e) grup; 0;1

c) grup; -x;0 f) grup; 0; -1.

AL - 438 Pentru ce valori ale parametrului real λ intervalul (2,+∞) este monoid în raport cu legea de compoziţie definită pe R prin : x∗ y = xy − 2 x − 2 y + λ , (∀) x, y ∈ R ? a) λ ∈( − ∞,6) d) λ = 0

b) λ ∈(6,+∞)

e) λ ∈(0,+∞)

c) λ = 6 f) λ ∈( − ∞,0)

AL - 439 În mulţimea R a numerelor reale se consideră legea de compoziţie ’’ ⊕ ’’ definită prin : x ⊕ y = ax + by − 1, ( ∀) x, y ∈ R . Să se determine parametrii reali a şi b astfel încât această lege de compoziţie să determine pe R o structură de grup abelian. a) a = 1, b = 0

b) a = 2, b = −1

c) a = b = 1

d) a = 2, b = 1

e) a = 1, b = 2

f) a = 0, b = 1


134

AL - 440 Fie R mulţimea numerelor reale înzestrate cu legea de compoziţie internă definită prin : x ∗ y = ax + by + c , a , b, c ∈ R şi ab ≠ 0 . Precizaţi valorile lui a, b, c pentru care ( R , ∗ ) este un grup cu elementul neutru e = 1991 . a) a = −1, b = −1, c = 1991

b) a = 1, b = 1, c = −1991

c) a = −1, b = −1, c = −1991

d) a = 1, b = 1, c = 1991

e) a = b, c = 1991

f) a = b = 2, c = −1991

AL - 441 Se consideră grupul abelian ( R , ∗ ) cu legea de compoziţie :

x∗ y =

(

)

k

x + k y − k a , unde a ∈ R este un număr fixat , iar k este impar şi k ≥ 3 . Care este elementul neutru şi care este simetricul elementului x ∈R în raport cu k

legea considerată ?

( a + x) d) 1; ( a + x )

a) a ;

k

k

k

k

( a − x) e) 1; ( a − x )

k

b) a ;

k

k

k

k

k

( f) 1 ; (2

k

) x)

c) a ; 2 k a − k x

k

k

a −k

k

k

AL - XII. 442 Se defineşte pe C legea ’’ ∗ ’’ : z1 ∗ z2 = z1 ⋅ z2 + i ( z1 + z2 ) − 1 − i . Să se determine elementul neutru e , elementele simetrizabile şi să se determine α ∈C , astfel încât C \ {α} , ∗ să fie grup abelian.

(

)

2 + iz ;α=i z −1 1+ z c) e = 1 + i ; z ' = ;α=2 2z − i 1 e) e = 2 + i ; z ' = ; α = 2 z

a) e = 1 − i ; z ' =

1− z ; α = −1 z+i zi + z ; α = −2 d) e = −i ; z ' = z −1

b) e = 1 ; z ' =

f) e = 1 − i ; z ' =

2 − iz ; α = −i z+i

AL - 443 Să se determine partea mulţimii Z pe care legea de compoziţie definită prin : x∗ y = x + y + xy, (∀) x, y ∈ Z determină o structură de grup abelian propriu. a) Z

b) Z \ {1}

c) Z \ {− 1}

d) Z \ {0}

e) {−2,0}

f) {0}


135

∧

AL – 444 Care este ordinul elementului 25 al grupului abelian (Z120 ,+ ) ? a) 20;

b) 21

c) 22

d) 23

e) 24

f) 25

AL – 445 Se consideră mulţimea G = (− 1, ∞ ) şi legea de compoziţie

(∀)x, y ∈ G (a, b ∈ R ). Să se determine valorile lui a şi b pentru care (G,∗) este grup abelian. x ∗ y = xy + ax + by,

a) a = 1, b = 0 d) a = b = -1

b) a = b = 1 e) a = b = 0

c) a = 1, b = -1 f) a = 0, b = 1

AL – 446 Fie mulţimea M = R \ {− 1} pe care se dă legea ” * ” definită astfel :

(

)

(

)

x ∗ y = a x 2 + y 2 + 2 xy + 2 m 2 − 3 x + 2 y + m − 1, (∀) x, y ∈ M , unde a şi m sunt constante reale. Să se determine a, m ∈ R, astfel ca (M ,∗) să fie

grup.

3 ; 2

a) a = 0, m = -1;

b) a = 0, m = −

d) a ∈ R, m = 2;

e) a ∈ R, m = -1;

c) a = 0, m = 2; f) a ∈ R, m ∈ R

AL – 447 Se consideră grupul (Z 6 ,+ ) Care este numărul subgrupurilor (H,+) ale acestuia, diferite de grupul dat ? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

f) 6

AL – 448 Fie x şi y elemente distincte ale unui grup multiplicativ cu elementul neutru e, care satisfac relaţiile:

x 2 = y 6 = e,

xy = y 4 x .

Care dintre elementele menţionate mai jos este egal cu y3 ? a) x ;

b) xy ;

c) y ;

d) e ;

e) y2 ;

f) xy2 .


136

AL - 449 Fie grupul ( R , ∗ ) unde legea de compoziţie ’’ ∗ ’’ este definită prin : x ∗ y = x + y + axy , pentru orice x, y ∈R , unde a ∈R . Să se determine a ∈R

(

)

astfel încât intervalul (−1,+∞) să fie subgrup al grupului R \ {− 1} , ∗ . a) a = 0

b) a = 1

c) a = −1

d) a ∈∅

e) a ∈( − ∞,−1)

f) a ∈(1,+∞)

3 AL - 450 Fie M = R \   . Să se determine m, a , b ∈R * astfel ca legea 2  x ∗ y = 2 xy − 3x − 3 y + m să determine pe M o structură de grup abelian , iar aplicaţia

(

)

f : ( M , ∗ ) → R * , • , f ( x) = ax + b să fie un izomorfism între ( M , ∗ ) şi grupul multiplicativ al numerelor reale, diferite de zero. a) m = 6 ; a = 2 ; b = −3 2 1 d) m = 2 ; a = ; b = 3 2

b) m = 6 ; a = 1 ; b = 2 1 2 e) m = −3 ; a = ; b = 2 3

{

AL - 451 Considerăm mulţimea F (R , R ) = f : R → R

c) m = 5 ; a = −1 ; b = 1 f) m = 3 ; a = 3 ; b = −4

}

f este bijecţie

înzestrată cu structură de grup faţă de operaţia de compunere a funcţiilor. Dacă ϕ : (Z , + ) → F (R , R ) ,  este un morfism de grupuri astfel încât ϕ(1) = f , unde

(

)

f (x ) = x 3 − 5,(∀) x ∈ R , să se determine funcţia g = ϕ(2). a) x 9 − 15x 6 + 75x 3 − 130

b) x 9 + 15x 6 − 75x 3 − 130

c) x 8 − 3x 6 + 3x − 5

d) x 8 + 3x 6 − 3x − 5

e) x 6 − 9 x 4 + 15x 2 + 1

f) x 6 + 9 x 4 − 15x 2 + 1

AL - 452 Fie grupurile (R , +

f : R → (0,+∞) , f ( x) = e αx+ grupuri ? a) α = 5

b) α ∈∅

) şi ( (0,+∞) , ⋅ ) . În ce condiţii funcţia α 2 −11 − α 2 − 20 −1

c) α = 8

, α ∈ N , α ≥ 5 este un izomorfism de

d) α = 6

e) α = 7

f) α = 9


137

13  λ  11   2 AL - 453 Se consideră grupul (M 3 (R ),+ ) şi A =  121 λ 169  ∈ M 3 (R ) . 1331 λ3 2197    Să se determine λ ∈ R astfel încât funcţia : f :M 3 (R ) → M 3 (R ), f ( X ) = AX ,(∀)X ∈ M 3 (R ) să fie un automorfism. a) λ = 0

d) λ ∈ R \ {0,11,13}

b) λ = 12

c) λ ∈ R \ {12}

e) λ = 11 şi λ = 13

f) λ ∈ ∅

AL - 454 Fie grupul (A , + ) unde A = R × R × R şi ’’+’’ este legea de compoziţie definită prin :

(x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ),(∀)(x1 , x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 )∈ A . Pentru ce m ∈ R funcţia f :A → A cu

f (x1 , x2 , x3 ) = (mx1 + x2 + x3 , x1 + mx2 + x3 , x1 + x2 + mx3 )

este un automorfism al grupului (A , + ) ? a) m = ±1

b) m ∈R \ {0}

c) m ∈{− 1,3}

d) m = −2

e) m ∈∅

f) m ∈ R \ {− 2,1}

AL - 455 Fie G = (2,+∞) care are o structură de grup faţă de operaţia ’’ ∗ ’’

definită prin : x ∗ y = xy − 2( x + y) + 6 , ( ∀) x, y ∈ G . Să se determine a , b ∈R astfel încât funcţia f : R *+ → G , f ( x) = ax + b pentru orice x ∈ R *+ , să realizeze un

(

)

izomorfism de la grupul R *+ , ⋅ la grupul (G , ∗ ) . a) a = 0, b = 2

b) a = 1, b = 2

c) a = 0, b = 3

d) a = 1, b = 3

e) a = b = 1

f) a = −1, b = 2


138

AL – 456 Fie Z mulţimea numerelor întregi. Se ştie că mulţimile (Z,∗) şi (Z, ) au structură de grup în raport cu operaţiile definite prin egalităţile :

x ∗ y = x + y + 1,

x  y = x + y − 1. Să se determine a,b∈ Z astfel încât funcţia f ( x) = ax + b , f : (Z,∗) → (Z, ) să fie

un izomorfism de grupuri, cu condiţia a + b = 3 a) a = 1, b = 2 d) a = 0, b = 3

b) a = 2, b = 1 e) a = -1, b = 4

c) a = 3, b = 0 f) a = 4, b = -1.

AL – 457 Se consideră legea de compoziţie

3 xy − 4 x − 4 y + 6 , care determină pe intervalul (1,2) o 2 xy − 3 x − 3 y + 5 structură de grup comutativ. Precizaţi valoarea parametrului m , astfel încât între grupul x∗ y =

multiplicativ al numerelor reale pozitive şi grupul menţionat mai sus să existe un izomorfism

f : (0, ∞ ) → (1,2) de forma a) m = 2; d) m = - 2;

f ( x) =

x+m . x +1

b) m = 1; e) m = 3 ;

c) m = -1; f) m = -3.

AL – 458 Fie (G, ⋅ ) grupul multiplicativ al matricelor de forma

1 a b  X = 0 1 c  , ( a,b,c ∈ R). 0 0 1

Să se determine printre subgrupurile sale comutative subgrupul izomorf cu grupul aditiv al numerelor reale, ( R, +) .

1 0 b    a) 0 1 c   0 0 1 1 a 0   d) 0 1 c   0 0 1

1 a b   b) 0 1 0   0 0 1 1 a b   e) 0 1 c   0 0 1

1 0 b    c) 0 1 0   0 0 1 1 0 0   f) 0 1 0   0 0 1


139

AL - 459 Fie ( I,+,⋅ ) un inel cu proprietatea : x 2 = x, (∀) x ∈ I . Să se precizeze care din următoarele afirmaţii rezultă din proprietatea menţionată : a) inelul I este necomutativ şi x 4 = − x, (∀) x ∈ I b) inelul I este necomutativ şi x = − x,(∀) x ∈ I c) inelul I este comutativ şi x = − x,(∀) x ∈ I d) inelul I este necomutativ e) inelul I este necomutativ şi x = − x 3 ,(∀) x ∈ I f) inelul I este comutativ şi x 5 = 2 x AL - 460 Fie ( A, + , ⋅ ) un inel pentru care 1 + 1 = 0 (0 şi 1 fiind elementele neutre ale inelului). Să se exprime (x +1)5 ca sumă de puteri ale lui x ∈ A . a) x 5 + 1

b) x 5 + x

c) x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 1

d) x 5 + x 4 + x + 1

e) x 5 + x 3 + x + 1

f) x 5 + x 4 + x 2 + 1

AL – 461 Pe mulţimea Z se definesc legile de compoziţie “ ⊕ ” şi “ ⊗ “ prin : x ⊕ y = x + y − 3 şi x ⊗ y = xy − 3( x + y ) + 12 , (∀)x, y ∈ Z . Care din următoarele afirmaţii este adevărată ? a) (Z,⊕ ) şi (Z,⊗) sunt grupuri abeliene

b) (Z,⊕,⊗) este inel necomutativ

c) (Z,⊕,⊗) este inel comutativ cu divizori ai lui zero

d) (Z,⊕,⊗) este inel comutativ fără divizori ai lui zero e) (Z,⊕,⊗) este corp necomutativ

f) (Z,⊕,⊗) este corp comutativ.

AL – 462 Fie a, b, c ∈ R . Pe mulţimea R se definesc legile de compoziţie

x⊥y = ax + by − 2 xTy = xy − 2 x − 2 y + c, (∀)x, y ∈ R Să se determine a,b şi c astfel încât (R, ⊥, T ) să fie un inel. a) a = b = c = 1 d) a = b = c = 3

b) a = b = c = 6 e) a = b = c = 2

c) a = b = 1, c = 6 f) a = b = 1, c = 2.


140

{

}

AL - 463 Fie Z × Z = ( x, y ) x, y ∈ Z . Să se determine a ∈ Z pentru care operaţiile

(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (x1 , y1 )  (x2 , y2 ) = (x1 y2 + y1 x2 , ay1 y2 )

şi

determină pe Z × Z o structură de inel cu elementul unitate e=(0,1). În acest caz să se determine divizorii lui zero dacă există. a) a=1; nu există d) (∀)a ∈ Z ; nu există

b) a=1; (x,0), x∈Z* e) ∀a ∈ Z ; (0,y), y∈Z*

c) a=0; (x,0), x∈ Z* f) (∀)a ∈ Z ;(x,0), x∈ Z*

AL - 464 Pe mulţimea R 2 = R × R a tuturor perechilor ordonate de numere reale, z = ( x,y) , se definesc operaţiile

zTz ′ = (x, y )T(x ′, y ′) = (x + x ′, y + y ′) z⊥z ′ = (x, y )⊥(x ′, y ′) = (xx ′, xy ′ + x ′y )

Care este structura definită de aceste operaţii pe mulţimea R2 ? a) inel necomutativ

b) inel comutativ

d) corp necomutativ

e) corp comutativ

( ) f) (R , ⊥ ) este grup comutativ

c) R 2 , ⊥ grup necomutativ 2

AL – 465 Fie inelul (Z,⊕, ) unde legile de compoziţie sunt definite prin

x ⊕ y = x + y − p; x  y = xy − px − py + p 2 + p,

p ∈ Z∗ .

Să se stabilească dacă inelul are sau nu divizori ai lui zero. În caz afirmativ să se determine divizorii lui zero. a) Da; 2p, p-1; d) Da; 0, p+1;

b) Nu; e) Da; 2p,p;

c) Da; p, p; f) Da; 2p, p+1.

AL – 466 Fie inelul (Z,⊕,⊗) unde: x ⊕ y = x + y + 2 şi x ⊗ y = xy + 2 x + 2 y + 2 Să se determine divizorii lui zero în acest inel. b) {0,−1} ; c) {− 2,−4} ; a) {− 2,2} ; f) inelul are o infinitate de divizori ai lui zero.

d) {2,4};

e) nu există ;


141

AL – 467 Fie inelul (Z,∗, ) unde x ∗ y = x + y + 3 şi x  y = xy + 3 x + 3 y + 6

(∀) x, y ∈ Z . Să se determine numărul α = ∑ a , ( A fiind mulţimea elementelor a∈A

inversabile din inel) şi mulţimea B a divizorilor lui zero. a)

d)

α =2

B = {− 1,1}

b)

α = −6 B =φ

e)

α = −4 B =φ

c)

α =4

f)

B = {− 3,3}

AL – 468 Pe Z definim legile de compoziţie : x ⊗ y = x + y − 4 şi x ∗ y = xy − 4 x − 4 y + 20,

Stabiliţi mulţimea divizorilor lui 0 din inelul (Z,⊗,∗) . a) ∅ ;

{

}

α =3

B = {− 2,−4}

(∀)x, y ∈ Z .

{ } f) {3k + 2 k ∈ Z}.

{ } e) {3k + 1 k ∈ Z};

c) 3k k ∈ Z ;

b) 2k k ∈ Z ;

d) 2k + 1 k ∈ Z ;

α =6 B =φ

∧

∧

AL – 469 Fie S1 suma elementelor neinversabile ale inelului (Z12 ,+,⋅) , S 2 suma ∧  ∧ S1  1 ∧  ∧ elementelor inelului şi A∈ M 3 (Z12 ) , unde A =  S1 1 ∧ ∧ ∧  S 2 + 1 S1 

∧  S 2 + 11 ∧  S1  . ∧  1  

Atunci: ∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

a) rang A=1; S1 S 2 = 0 c) rang A=2; S1 S 2 = 0 e) rang A=3; S1 S 2 = 0

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

b) rang A=1; S1 S 2 = 3 d) rang A=2; S1 S 2 = 3 f) rang A=3; S1 S 2 = 3


142

AL - 470 Legile x ⊕ y = x + y − 4 şi x ⊗ y = xy − 4 x − 4 y + 20 determină pe R o structură de corp comutativ. Să se determine elementele neutre ale corpului faţă de cele două legi. a) 4, 5 b) 0, 1 c) 2, 0 d) 1, 1 e) 0, 0 f) 1, 1  a b   AL - 471 Fie k ∈Z şi mulţimea M k =   a , b ∈ Z  care în raport cu   kb a  adunarea şi înmulţirea matricelor are o structură de inel comutativ. Pentru care din următoarele valori ale lui k inelul are divizori ai lui zero ?

a) k = 2

b) k = 3

c) k = 4

d) k = 5

e) k = 6

f) k = 7

AL - 472 Fie a , b, c ∈R . Pe R definim legile de compoziţie ’’ ⊥ ’’ şi ’’ Τ ’’ prin: x⊥ y = ax + by − 2, (∀) x, y ∈ R şi xΤ y = xy − 2 x − 2 y + c, (∀) x, y ∈ R . Care sunt valorile a, b, c astfel încât ( R , ⊥ , Τ ) să fie corp ? a) a = 0, b = 0, c = 3 d) a = 1, b = 1, c = 3

b) a = 1, b = 1, c = 6 e) a = 1, b = 1, c = −3

c) a = 0, b = 1, c = 6 f) a = 1, b = 0, c = 6

AL - 473 Fie K un corp comutativ cu proprietatea că există un cel mai mic număr n ∈N * astfel ca 1 + 1 + ... + 1 = 0 (0 şi 1 sunt elementele neutre ale corpului).  n ori

Care din următoarele afirmaţii este adevărată ? a) n = număr par d) n = 4 k , k ∈N *

b) n = număr prim e) n = 4 k , k ∈N *

c) n = număr impar f) n = 3 k , k ∈ N * , k ≥ 2

AL – 474 Fie mulţimea numerelor complexe C dotată cu operaţiile x ∗ y = x + y + a

şi x  y = bixy + b( x + y ) + ci , a, b, c ∈ C, b ≠ 0, i 2 = −1 . Să se determine valorile numerelor a,b şi c pentru care C este corp în raport cu cele două legi de compoziţie, cu elementul neutru faţă de prima lege i, respectiv faţă de a doua lege –i. a) a = 1, b = 1, c = 0;

b) a = i, b = 2, c = -1;

d) a = -i, b = c = i;

e) a = i, b =

1 , c = 1; 2

c) a = -i, b = c =

1 ; 2

f) a = i, b = c = -i.


143

AL – 475 Pe mulţimea R a numerelor reale se consideră legile de compoziţie internă, x ⊕ y = ax + by − 1, x ⊗ y = 2(xy − x − y ) + c oricare ar fi x, y ∈ R iar

a, b, c ∈ R . Să se determine a,b, şi c astfel ca (R,⊕,⊗) să fie corp.

a) a = b = 1, c = 2

b) a = b = c = 1

c) a = b = c = 2

d) a = b = 1, c = 3

e) a = 2, b = 1, c = 3

f) a = 1, b = 2, c = 3.

AL - 476 Pentru ce valori ale lui a şi b funcţia f : R → R , f ( x) = ax + b determină un izomorfism între corpul numerelor reale şi corpul ( R , Τ , ∗ ) , unde 1 1 1 x Τ y = x + y − 2 , iar x ∗ y = xy − x − y + 3 pentru ( ∀) x, y ∈ R ? 4 2 2 a) a = 1, b = 1

b) a = 2, b = 2

c) a = 1, b = 2

d) a = 4, b = 2

e) a = 2, b = 4

f) a = 1, b = 4

 a 2b  AL - 477 Fie corpurile ( K , + , • ) şi ( L , + , • ) unde: K =   a , b ∈Q  ,  b a  

{

}

L = a + b 2 a , b ∈Q , iar ’’+’’ şi ’’ • ’’ sunt operaţiile de adunare şi înmulţire a matricelor , respectiv , a numerelor reale. Care din următoarele funcţii este un izomorfism al acestor corpuri ?  a 2 2b   a) f1 a + b 2 =  b a 2 

 − a − 2b b) f 2 a + b 2 =   − b − a

 a 2b 2 c) f 3   =a +b+b ⋅ 2 b a 

 a 2b d) f 4   =a +b+b 2 b a 

 a 2b e) f 5   = −a + b 2 b a 

f) f 6 a + b 2 =  − b

(

)

(

(

)

)

 a − 2b   a 


144

AL - 478 Fie U , E , X ∈ M 2 (Z 6 ) (inelul matricilor de ordin doi cu coeficienţi  a  1 0   3 5  din Z 6 ) : U =   , E =   , X =   0 1  5 4   c U⋅X=E ?

 2 a) X =   3

 1 3   b) X =  1   2

 3 2   c) X =  5  2

b

 . Care este soluţia X a ecuaţiei: 

d

 4 2   d) X =  3   2

 2 3   e) X =  1  5

 1 5  f) X =  3   2

5   5

AL - 479 Să se calculeze determinantul de mai jos având elementele în corpul claselor de resturi modulo 7 : 1 3

0 4 1 2 6 5 . ∆= 0 1 5 1 6 0 2 3

a) ∆ = 1

b) ∆ = 0

c) ∆ = 2

d) ∆ = 3

e) ∆ = 4

f) ∆ = 5

 2  AL - 480 Fie A ∈ M 3 (Z 3 ) , unde A =  1  0  matricea A este inversabilă ?

a) x = 0

b) x = 2

0 x  1 0  , x ∈ Z 3 . Pentru ce valori ale lui x  x 1 

c) x = 1

e) matricea nu este inversabilă pentru nici o valoare a lui x

{ }

d) x ∈ 1,2

{ }

f) x ∈ 0 ,1


145

AL – 481 Să se calculeze în corpul claselor de resturi modulo 11 expresia:

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 8 7 9 3 E =  ∧ + 5+ ∧ ⋅ ∧  ⋅ ∧ 4 3 6  2  ∧

∧

a) E = 0 ;

∧

∧

b) E = 1 ;

∧

∧

d) E = 3 ;

c) E = 2 ;

f) E = 5 .

e) E = 4 ;

∧

AL – 482 Să se determine a ∈ Z 7 pentru care polinomul P ∈ Z 7 [ X ] , ∧

∧

P( x ) = x 6 + a x + 5 este ireductibil. ∧

a) a ∈ Z 7 ;

∧

∧

b) a ∈ ∅ ;

∧

c) a = 2 ;

∧

∧

d) a = 4 ;

∧ ∧   

∧

e) a ∈ 3, 6 ;

∧

∧ ∧   

f) a ∈ 5, 6

AL – 483 Pe mulţimea R ∗+ \ {1} se defineşte legea de compoziţie internă :

x ∗ y = x ln y . Se consideră afirmaţiile: A) R ∗+ \ {1},∗ este grup abelian B) (M,∗) este subgrup al grupului R ∗+ \ {1},∗ unde M = eα ,α ∈ Q ∗ . C) Aplicaţia f : R+∗ \ {1},∗ → R ∗ ,⋅ cu f ( x) = ln x şi " ⋅ " reprezintă înmulţirea,

(

)

( ) ( )

(

)

{

}

este un izomorfism de grupuri D) R ∗+ \ {1},∗,⋅ este un inel E)

( ) (R \ {1},∗,⋅) este un corp. ∗ +

Stabiliţi câte afirmaţii sunt corecte . a) nici una;

c) două;

b) una;

d) trei;

e) patru;

f) cinci.

AL – 484 Fie f k , k = 1, n , automorfismele corpului (C,+,⋅) , ce au proprietatea că :

f k ( x ) = x, (∀) x ∈ R .

Să se calculeze S ( z ) =

n

∑ f (z ) . k =1

a) S(z) = 0 d) S(z) = Im z

k

b) S(z) = n e) S(z) = 2Re z

c) S(z) = Re z f) S(z) = 2Im z


146



z u

Al – 485 Fie corpul (M 2 ,+,⋅) , unde M 2 = M 2 ( z , u ) = 



 − 5u  ; z , u ∈ R  iar z + 3u  

legile de compunere internă "+ " şi "⋅" sunt adunarea şi înmulţirea matricelor. Să se

determine izomorfismele f : (M 2 ,+,⋅) → (C,+,⋅) , cu proprietatea

f (α M 2 (z, u )) = α f (M 2 ( z, u )) (∀)α ∈ R , unde (C,+,⋅) este corpul numerelor complexe. z

− 5u  z  = z − 5iu b) f1  z + 3u  u

z

− 5u  z 3 5  = z + u + ui ; f 2  z + 3u  2 2 u

z

− 5u  z 3 5  = z − u + ui ; e) f1  z + 3u  2 2 u

− 5u  3 11  = z + u + ui ; z + 3u  2 2

− 5u  3 11  = z + u − ui z + 3u  2 2

− 5u  3  z  = z + u + i − 5u  z + 3u  2  2

a) f  u c) f1  u d) f  u

z f 2  u

− 5u   = z + 5iu; z + 3u 

z f 2  u

− 5u   = z − 3iu z + 3u 

− 5u  3 5  = z + u − ui z + 3u  2 2

z

f) f  u

AL – 486 Legile de compoziţie x ⊕ y = 3 x 3 + y 3 şi x ⊗ y = xy determină pe R o structură de corp comutativ. Pentru ce valori α , β ∈ R funcţia bijectivă

f : R → R, f (x ) = 3 αx + β determină un izomorfism între corpul numerelor reale

(R,+,⋅) şi corpul (R,⊕,⊗) ? a) nu există α , β ∈ R ; d) α = 1, β = 0;

b) α , β ∈ R ; e) α = 2, β = 1;

c) α = β = 1 ; f) α = 1, β = 2

AL - 487 Să se rezolve următorul sistem de ecuaţii în corpul claselor de resturi 3 x + 4 y = 5 modulo 11:  . 7 x + 3 y = 8 a) 9 ,0 b) 0 ,9 c) 6 ,9 d) 8 ,9 e) 5 ,0 f) 6 ,0

( )

( )

( )

( )

( )

( )


147

3 x + 2 y = 1 AL - 488 Care sunt soluţiile sistemului:  în inelul Z 12 ? 4 x + 3 y = 2

a) x = 2 , y = 7

b) x = 1, y = 4 e) x = 11, y = 2

d) incompatibil

c) x = 10 , y = 3 f) x = 8 , y = 3

3 x + 2 y = 4 . AL - 489 Să se rezolve în inelul Z 12 sistemul:  2 x + 3 y = 1

a) x = 0 , x = 2 d) x = 4 , y = 1

b) x = 10 , y = 7 e) x = 2 , y = 11

c) x = 5 , y = 2 f) x = 11, y = 8

AL - 490 Să se rezolve în corpul claselor de resturi modulo 11, sistemul 2 x + 10 y + z = 4  următor:  x + 3 z = 2 .   10 x + 2 y + 2 z = 1

(

)

a) 6 ,3 ,6

(

)

b) 3 ,6 ,3

(

)

c) 3 ,3 ,6

(

)

d) 6 ,6 ,3

( )

e) 6 ,6 ,1

( )

f) 3 ,3 ,1

 x + y + z + u = 6   x − y + 2 z − u = 2 AL - 491 Să se rezolve sistemul:  în corpul claselor de 2 x + y − z + u = 3 x + y +  z − u =  3 2  resturi modulo 7.

a) x = 1, y = 10 , z = 2 , u = 4

b) x = 2 , y = 3 , z = 1, u = 4

c) x = 2 u, y = 1 + 3 u, z = 5 + u, u = u

d) x = 2 u, y = 1 + 2 u, z = 6 + u

e) x = 1, y = 2 , z = 3 , u = 4

f) x = 2 , y = 3 , z = 4 , u = 5


148 AL - 492 Să se rezolve sistemul

∧ ∧ ∧ ∧ 3 x 8 y 8 z 3 + + =  ∧ ∧ ∧ ∧ 8 x + 8 y + 3 z = 0 în corpul claselor de resturi modulo 13. ∧ ∧ ∧ ∧ 8 x + 3 y + 8 z = 5  ∧

∧

∧

a) x = 5, y = 2, z = 3; ∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

b) x = 2, y = 5, z = 2;

∧

d) x = 1, y = 2, z = 2;

∧

∧

∧

∧

∧

∧

c) x = 4, y = 1, z = 2;

e) x = 2, y = 2, z = 5;

f) x = 2, y = 2, z = 7;

λ x + y + z = 1  AL - 493 Precizaţi valorile λ ∈Z 4 pentru care sistemul:  x + λ y + z = λ   2  x + y + λz = λ este incompatibil. b) λ = 3ˆ,0 c) λ = 1ˆ,0ˆ d) λ ∈ 1,3 e) λ ∈∅ f) λ ∈ 1,2 a) λ ∈ 0 ,2

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

λ x + y + z = 0  AL - 494 Care este condiţia ca sistemul:  x + λ y + z = 0 să aibă numai soluţia     x + y + λz = 0 banală în inelul claselor de resturi modulo 4 ?

a) λ = 0

b) λ = 1

c) λ ∈∅

e) λ = 2

d) λ ∈Z 4

f) λ = 3

AL - 495 În corpul claselor de resturi modulo 5 să se afle restul împărţirii polinomului ∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

2 x 4 + 3 x 3 + 4 x 2 + x + 3 la polinomul 3 x 2 + 3 x + 4 . ∧

∧

a) x + 2

b) x + 1

∧

∧

d) x + 4

e) x + 5

c) x ∧

∧

f) 2 x + 1


149

AL - 496 Să se determine cel mai mare divizor comun al polinoamelor f , g ∈Z 5 [ X ] : f = 3 X 5 + 4 X 4 + 3 X 3 + 3 X 2 + 2 X + 2 şi g = 2 X 2 + 3 X + 1 . a) ( f , g ) = 1

c) X + 1

b) g

d) 2 X + 3

e) 2 X + 1

f) X + 2ˆ

AL - 497 Să se descompună în factori ireductibili peste corpul Z 3 polinomul: f = x 3 + 2 x 2 + x + 2 ∈Z [ X ] . 3

(

)(

(

)(

)

a) x − 1 x 2 + x + 1

)

d) x + 2 x 2 + 1

(

)(

)

c) x + 1 x 2 + 1

(

(

)(

)

f) x x − 1 x − 2

b) x + 1 x 2 + x

(

e) x − 2 x 2 − 1

(

)(

)

)(

)

)

AL - 498 Să se determine p astfel încât polinomul 2 x 3 + p + 2 x + 1 ∈Z 3 [ X ] să fie ireductibil peste Z 3 . a) orice p din Z 3 satisface condiţia cerută b) nici un p din Z 3 nu satisface condiţia cerută

{ }

c) p ∈ 0 ,1

d) p = 1

e) p = 0

f) p = 2

AL - 499 Să se determine m ∈ Z 5 astfel încât polinomul X 4 + mˆ X 3 + 2ˆ X 2 + 4ˆ X + 1ˆ ∈ Z [ X ] să aibă două rădăcini diferite. 5

ˆ = 0ˆ a) m

ˆ = 1ˆ b) m

ˆ = 2ˆ c) m

d) mˆ = 3ˆ

e) mˆ = 4ˆ

f) mˆ ∈ ∅

AL - 500 Produsul elementelor nenule într-un corp comutativ cu n elemente este: a) 1

b) –1

c) 1+1

d) (–1)+( –1)

e) ( –1)+ ( –1)+ ( –1)

f) 1+1+1


150

AL – 501 Să se determine toate morfismele de grupuri f : (Q,+ ) → (Q,+ ) . a) f ( x ) = rx, x ∈ Q; r ∈ Q

b) f ( x ) = rx, x ∈ Q; r ∈ Z

e) f ( x ) = nx, x ∈ Q, n ∈ N

f) f ( x ) = 0, x ∈ Q

c) f ( x ) = x, x ∈ Q

d) f ( x ) = − x, x ∈ Q

AL – 502 Care trebuie să fie expresia lui f(x) pentru ca aplicaţia f : Q → C să fie un morfism de corpuri. a) d)

f (x ) = x + 1 f ( x ) = x + x −1

b) f ( x ) = x 2 e) f ( x ) = x

−1

c) f ( x ) = x f) Nici una dintre cele menţionate anterior.

AL – 503 Să se determine valoarea parametrului real m astfel încât polinomul P( x ) = x 4 − x 2 + 2 x − 1 + m să se dividă cu x+1. a) 0

b) –1

c) 3

d) 1

e) –1

f) 2

AL – 504 Să se determine câtul q şi restul r al împărţirii polinomului

f = 2 x 4 − 3x3 + 4 x 2 − 5 x + 6 la polinomul g = x 2 − 3 x + 1 . a) q = 2 x 2 + 3 x + 11, r = 25 x − 5;

b) q = 2 x 2 + 3 x − 11, r = 25 x + 5;

c) q = 2 x 2 − 3 x + 7, r = 5 x − 1;

d) q = 2 x 2 + 2, r = x + 2;

e) q = 2 x 2 + 3 x − 6, r = − x + 2;

f) q = 2 x 2 , r = 2 x + 5;

AL - 505 Să se determine gradul polinoamelor f ∈ Z[ X ] astfel încât f(7)=5 şi f(15)=9. a) 2

b) Nu există asemenea polinom

c) 3

d) 4

e) 6

f) 8


151

AL - 506 Să se determine restul împărţirii polinomului: f = (cos a + x sin a ) , n

n ∈N * , a ∈R la polinomul g = x 2 + 1 . a) x cos na + sin na

b) x sin na + cos na

c) cos na + i sin na

d) nx + 1

e) x tgna

f) x + 1

AL - 507 Un polinom P împărţit la x − α dă restul β , iar împărţit la x − β , dă restul α . Fie R 1 , respectiv R 2 , resturile împărţirii polinomului P(P(x)) la x − α , respectiv la x − β . În funcţie de α şi β să se determine R 1 şi R 2 . a) R1 = α , R2 = β

b) R1 = β, R2 = α

c) R1 = α 2 , R2 = β 2

d) R1 = β 2 , R2 = α 2

e) R1 = R2 = αβ

f) R1 = α − 1, R2 = α + 1

AL - 508 Fie P un polinom care împărţit la x 2 − 1 are restul x − 2 şi câtul Q(x), iar împărţit la x 2 − 4 are restul x + 1 şi câtul H(x). Fie R1 restul împărţirii lui Q(x) la x − 2 şi R2 restul împărţirii lui H(x) la x + 1 . Să se determine R1 şi R2 . a) R1 = R2 = 1 d) R1 = 0, R2 = 3

b) R1 = −3, R2 = 0 e) R1 = R2 = 0

c) R1 = −3, R2 = 3 f) R1 = R2 = −1

AL - 509 Fie P un polinom cu coeficienţi reali. Dacă resturile împărţirii lui P la x − a şi x − b , (a ≠ b) sunt egale, să se determine restul împărţirii lui P la polinomul ( x − a )( x − b) .

a) ax + b

b) bx + a

c) P(a)

d) bx + 1

e) x + a

f) x + b

AL - 510 Să se determine restul împărţirii polinomului

P ( x) = ( x − 2)

a) x + 1

b) x − 1

2n

+( x − 1) n −1 la polinomul Q( x) = x 2 − 3x + 2 .

c) 0

d) x + 2

e) 2 x + 1

f) 2 x − 1


152

AL - 511 Fie f = X 2 n +1 + aX 2 n + bX 2 n −1 − 1 . Să se determine a , b ∈R astfel încât restul împărţirii lui f la x − 1 să fie egal cu 5, iar restul împărţirii lui f la x + 1 să fie egal cu –3, apoi să se găsească restul împărţirii lui f la X 2 − 1 . a) a = 2, b = 3 ; 5x − 3

b) a = 2, b = 3 ; − 3x + 5

c) a = 2, b = 3 ; 4 x + 1

d) a = 2, b = 1; 5x − 3

e) a = 2, b = 1; − 3x + 5

f) a = 2, b = 1; 3x − 4

AL - 512 Se consideră polinomul: f ( X ) = X 4 + X 3 + aX + b , f ∈ R [ X ] .

Să se determine parametrii a , b ∈R astfel ca restul împărţirii lui f ( X + 2) la

X + 1 să fie –18 , iar restul împărţirii lui f ( X − 2) la X − 1 să fie egal cu –12 .

a) a = −4, b = −16 d) a = 6, b = 12

b) a = 4,b = 16 e) a = 10, b = 16

c) a = 5,b = 11 f) a = 9, b = 10

AL - 513 Fie f ∈R [ X ] un polinom de grad cel puţin doi. Dacă f dă restul 2

prin împărţirea la X + 1 şi ( X + 2 ) f ( X ) − X f ( X + 3) = 1 , să se determine restul

împărţirii lui f la X 2 − X − 2 . a) 1 − X

b) 1 + X

c) 1

AL - 514 Fie f ∈R [ X ] , f = X( X + 1)

d) 0 2 n +1

e) X 2 − X − 2

f) X

+ ( m − 1) X n unde m ∈R .

Determinaţi condiţia necesară şi suficientă pentru ca polinomul f să fie divizibil prin polinomul g = X 2 + X + 1 . a) m = −1

b) m = 1

c) m = −2

d) m = 2

e) m ∈R

f) m ∈ ∅

AL - X. 515 Un polinom împărţit la x-1, x+1 şi x+4 dă respectiv resturile 15,7 şi –80. Să se afle restul împărţirii polinomului prin ( x − 1)( x + 1)( x + 4 ) . a) 5 x 2 + 4 x + 16 d) − 5 x 2 + 4 x + 16

b) 5 x 2 − 4 x + 16 e) − 5 x 2 − 4 x + 16

c) 5 x 2 − 4 x − 16 f) − 5 x 2 + 4 x − 16


153

AL - 516 Să se determine toate polinoamele de gradul trei care se divid la x-1, iar resturile împărţirii la x-2, x-3 şi x-4 sunt egale.

( c) α (x e) α (x

( d) α (x − 9 x f) α (x + 9 x

) − 26 x − 18) − 26 x − 18)

a) α x 3 − 9 x 2 + 26 x − 18 3 3

− 9x + 9x2 2

) + 26 x + 18) + 26 x + 18) α ∈ R

b) α x 3 + 9 x 2 + 26 x − 18 3

2

3

2

AL - 517 Să se determine parametrii reali m şi n astfel încât polinomul f = 2 X 29 + X 23 + X 12 + mX 11 + X 8 + 5 X 6 + nX 2 + 2 să fie divizibil prin polinomul

g = X4 + X3 + X2 + X + 1. a) m = −3, n = 1 d) m = 1, n = −3

b) m = −3, n = −1 e) m = 1, n = 3

c) m = 0, n = 0 f) m = 0, n = −3

AL - 518 Determinaţi restul împărţirii polinomului

P ( x) = x n + x n −1 + ... + x + 1 , (n ≥ 3) la polinomul Q( x) = x( x − 1) . 2

a) nx 2 + n(n − 3) x + 1

1 1 b) n(n − 1) x 2 − n(n − 3) x + 1 2 2

1 1 c) n(n + 1) x 2 + n(n + 3) x + 1 2 2

d) (n − 1) x 2 + 2nx + 1

1 e) n(n + 1) x 2 + n(n − 1) x + 2 2

f)

1 (n + 1) x 2 + 2nx + 3 2

AL - 519 Să se determine restul împărţirii polinomului P ( x) = x 2 n − x n + x 4 + 1 , prin polinomul Q( x) = ( x − 1) . 2

a) nx − 2 d) (n − 4) x + n + 2

b) (n + 1) x − n − 2 e) (2n + 1) x − 3

c) (n + 4) x − n − 2

f) (2n − 1) x + n − 2


154

AL - 520 Fie P un polinom cu coeficienţi reali de grad mai mare sau egal cu 3, iar R = mX 2 + nX + p restul împărţirii lui P prin produsul X 2 − 1 ( X − 2 ) . Să se determine m , n şi p astfel încât resturile împărţirii lui P prin X − 1, X − 2 şi X + 1 să fie, respectiv , − 2 , 3, − 6 .

(

)

a) m = 1,n = 2, p = −1

b) m = 1,n = −1, p = 2

c) m = −7,n = 26, p = −21

d) m = 1,n = 2, p = −5

e) m = −1,n = 3, p = 1

f) m = 1,n = 2, p = 3

AL - 521 Determinaţi puterile naturale n pentru care polinomul

(

)

f = X2 + X + 1

3n

+ ( 2 X − 2)

3n

este divizibil prin g = X 2 − X + 1 .

a) n = 3 p, p ∈ N

b) n = 3 p + 1, p ∈N

c) n = 3 p + 2, p ∈ N

d) n = 2 p, p ∈ N

e) n = 2 p + 1, p ∈ N

f) n ∈N

AL - 522 Să se determine parametrii a,b∈ R astfel încât polinomul P( x ) = 2 x 4 − 2 x 3 + ax + b , să fie divizibil cu Q( x ) = x 2 − 3 x + 2 . a) a = 12 b = - 12 d) a = 16 b = - 14

b) a = 16 b = - 16 e) a = 15 b = - 15

c) a = - 16 b = 16 f) a = 13 b = - 13

AL – 523 Să se determine restul R(x) al împărţirii polinomului Q( x ) = x 3n −1 + ax + b la x2+x+1, n ∈ N +.

(

)

a) R( x ) = a 2 − 1 x + b 2 − 1

d) R( x ) = (a − 1)x + b − 1

b) R( x ) = (a + 1)x + b + 1

e) R( x ) = (a − 1)x + 1 − b

c) R( x ) = ax + b

f) R( x ) = (a − 1)x + b + 1

AL - 524 Să se determine polinomul de gradul trei, care împărţit la x 2 − 3 x dă restul 6 x − 15 şi împărţit la x 2 − 5 x + 8 dă restul 2 x − 7 . b) 2 x 3 − x + 1 c) x 3 − 6 x 2 + 15 x − 15 a) x 3 − 7 x 2 + 14 x − 13 e) 2 x 3 − 6 x 2 + 15 x − 15 f) x 3 − 7 x + 1 d) x 3 − 6 x 2 + 14 x − 15


155

AL - 525 Să se determine λ şi µ ∈ Q astfel încât un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f = 2 X 3 − 7 X 2 + λX + 3 şi g = X 3 − 3 X 2 + µX + 3 să fie un polinom de gradul doi. a) λ = −1,µ = 2

b) λ = µ = 0

c) λ = 2,µ = 0

d) λ = 2, µ = −1

e) λ = µ = −1

f) λ = 0, µ = 2

AL - 526 Fie f ∈ Z [ X ] , f = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 . Determinaţi coeficienţii

polinomului f , dacă f (1) + f (2) + ... + f (n) = n 4 , (∀) n ∈ N * . a) f = −1 + 3 X − 5 X 2 + 4 X 3

b) f = 2 − 2 X − 3 X 2 + 2 X 3

c) f = −1 + 4 X + 6 X 2 + 4 X 3

d) f = −1 + 4 X − 6 X 2 + 4 X 3

e) f = −2 − 2 X + 3 X 2 − 2 X 3

f) f = 1 − 4 X − 6 X 2 + 4 X 3

AL - 527 Să se determine polinomul P ∈ R [ X ] care satisface condiţiile:

( X − 1)[ P ( X ) − P ( X − 1)] − 4 P ( X ) = 0 , (∀) x ∈ R

şi P(0) = 24.

a) X( X − 1)( X − 3)( X − 4) + 24

b) − 2( X + 1)( X − 1)( X − 3)( X − 4)

c) ( X − 1)( X − 2)( X − 3)( X − 4)

d) X( X − 1)( X − 2)( X − 3) + 24

e) X( X − 5)( X + 1)( X − 2) + 24

f) X + 24

AL - 528 Să se determine toate polinoamele P ∈R [ X ] , astfel încât

P ( x + 1) = P ( x) + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 pentru orice x ∈R .

a) k x 3 , k ∈R

b) x 4 + x 3 − 5

c) x 4 + k , k ∈ R

d) x 5 + k , k ∈ R

e) k ∈R

f) x 4 + x + k , k ∈ R


156

AL - 529 Fie f ∈Z [ X ] un polinom de grad oarecare, care pentru patru valori întregi diferite este egal cu p, p fiind un număr prim. Pentru ce valori întregi ale lui x avem f ( x) = 2 p ? a) Nu există x ∈Z

b) Pentru orice x ∈N

c) Pentru x = 2 k + 1, k ∈Z

d) Pentru orice x ∈Z

e) Pentru x = 2 k , k ∈ Z

f) Pentru x număr prim

AL - 530 Dacă polinomul f ∈ Z[ X ] are proprietatea că f(0) şi f(1) sunt numere impare, atunci: a) f are numai rădăcini întregi

b) f are numai rădăcini întregi pare

c) f are numai rădăcini întregi impare

d) f nu are rădăcini întregi

e) f are numai rădăcini întregi pozitive

f) f are numai rădăcini întregi negative

AL - 531 Să se determine toate valorile parametrilor a , b ∈R pentru care există

[

]

polinoame P ∈R [ X ] care verifică identitatea x P ( x) − b = ( x − a ) P ( x + a ) , ( ∀) x ∈ R .

a) b = 0, a ∈ R

b) a = 0, b ∈ R \ {0}

c) a ≠ b şi a ≠ 0, b ≠ 0

d) a = b sau a ≠ 0 şi b = 0

e) a , b ∈R

f) a , b ∈R \ {0}

AL - 532 Fie polinomul f = X 4 − 2aX 3 + b 2 X 2 − bX + 1, a , b ∈ R . Care din următoarele afirmaţii este adevărată pentru orice valori ale numerelor reale a şi b . a) f are cel mult o rădăcină reală

b) f nu are rădăcini reale

c) f are 4 rădăcini reale

d) f are cel puţin două rădăcini reale

e) f are cel mult două rădăcini reale

f) a + ib ; a , b ∈ R este rădăcină a polinomului


157

AL - 533 Să se determine a ∈ R astfel încât rădăcinile x1 , x 2 , x3 ale ecuaţiei x 3 − 6 x 2 + ax + a = 0 , să verifice relaţia ( x1 − 1) 3 + ( x2 − 2) 3 + ( x3 − 3) 3 = 0 .

a) a ∈ {− 1,1,3},

 27 5 7  , , ,  5 3 2

c) a ∈  ,

 5 16 27  , , 3 5 2 

f) a ∈ {2,3,5}

b) a ∈ 

 7 16 27  , , 2 3 2 

d) a ∈  ,

e) a ∈  ,

 5 16 27  , , 2 3 4 

AL - 534 Determinaţi ordinul de multiplicitate m ∈N al rădăcinii x = 2 a ecuaţiei : x 5 − 5x 4 + 7 x 3 − 2 x 2 + 4 x − 8 = 0 . a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

f) 5

AL - 535 Fie P ∈ R [ X ] , P = aX 3 + bX 2 + cX + d , a , b ≠ 0 . Să se determine relaţia dintre coeficienţii a, b, c, d pentru care rădăcinile lui P sunt în progresie aritmetică. a) 3b 3 + 27ab + 9abc = 0 d) 3a 3 + 27abc − 9bd = 0

b) 2b 3 − 27a 2 d + 9abc = 0 e) 3c 3 + 27abc = 0

c) 2b 3 + 27a 2 d − 9abc = 0 f) 2c 3 + 27a 2 d − 9abc = 0

AL - 536 Fie polinomul P ∈ R [ X ] , P = aX 3 + bX 2 + cX + d , a , d ≠ 0 . Să se determine relaţia dintre coeficienţii a, b, c, d pentru ca rădăcinile polinomului P să fie în progresie geometrică. a) a 2 b = c 2 d d) ac 3 = b 3 d

b) a 2 b 2 = c 2 d e) ac = bd

c) ab 3 = c 3 d f) a 3 c = b 3 d

AL - 537 Să se determine valorile lui m ∈R pentru care produsul a două rădăcini 2m ale ecuaţiei x 3 − 3x − 2 = 0 este egal cu 1. m +1 a) m = 0

b) m ∈{2,5}

c) m ∈R

d) m ∈ ∅

e) m = −2

f) m ∈{− 5,7,10}


158

AL - 538 Care este relaţia dintre a şi b atunci când ecuaţia x 3 − 3ax + 2ab = 0 ,

a , b ∈R \ {0} , are o rădăcină dublă.

a) 2b = 3a

b) b 2 = a 2

c) b 2 = a

d) a 3 = 5b

e) a = 2b

f) a = b

AL - 539 Arătaţi că ecuaţia x 3 + (2m − 5) x 2 + (9 − 5m) x + 2(m − 3) = 0 , m ∈R , admite o rădăcină x 1 independentă de m şi apoi determinaţi m astfel încât : 1 log 10 x2 − x3 = log 10 (6m + 5) , x2 şi x3 fiind celelalte rădăcini ale aceleiaşi ecuaţii. 2 a) m1 = 4, m2 = − d) m =

1 2

1 2

b) m1 = 3, m2 = 1 e) m1 =

1 , m2 = 3 2

c) m = 2 f) m = 5

AL - 540 Să se determine m ∈R ştiind că rădăcinile x1 , x2 , x3 ale ecuaţiei

x 3 + 2 x 2 − mx + 1 = 0 satisfac relaţia x14 + x24 + x34 = 24 . a) m = 0, m = −1

b) m = 1, m = −1

c) m = 0, m = 1

d) m = 0, m = −8

e) m = −1, m = 3

f) m = 4, m = 0

AL - 541 Să se determine m ∈R astfel încât rădăcinile x1 , x2 , x3 ale ecuaţiei

x 3 + x + m = 0 , să verifice egalitatea x15 + x25 + x35 = 10 . a) m = 1

b) m = 2

c) m = −1

d) m ∈ ∅

e) m = −2

f) m ∈R

AL - 542 Dacă x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 − x + 1 = 0 , să se calculeze expresia : E = a) E = 3

b) E = −3

x12 + x22 x22 + x32 x32 + x12 . + + x32 x12 x22 c) E = 2 d) E = −2 e) E = −1

f) E = 1


159

AL - 543 Se consideră ecuaţia x 3 + ax 2 + ax + a = 0 , a ∈ C , cu rădăcinile

(

)

2

x1 , x2 , x3 . Să se calculeze expresia : E = x13 + x23 + x33 + 1 . a) E = (a + 1)

b) E = (a − 1)

6

(

)

d) E = a 3 − 1

2

(

6

)

c) E = a 3 + 1

e) E = a 6 + 1

2

f) E = a 6 − 1

AL - 544 Dacă x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile ecuaţiei ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ,

a , b, c, d ∈R * , să se formeze ecuaţia în y care are ca rădăcini : y1 =

1

x2

+

1

x3

, y2 =

1

x3

+

1

x1

, y3 =

1

x1

3

2

 d)  y + 

c) dy 3 + cy 2 + by + a = 0 3

1

x2

.

2

c c c    b) d  y +  + c y +  + b y +  − a = 0 d d d   

a) by + cy + dy + a = 0 3

+

3

2

1 1 1 1   +y+  + y+ + =0    a b c d

2

c c c    e) d  y +  − c y +  + b y +  − a = 0    d d d

 

f) d  y −

3

2

c c c    − c y −  + b y −  − a = 0 d d d  

AL - 545 Dacă x1 , x2 , x3 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 + x 2 − 3 = 0 , să se precizeze care din ecuaţiile următoare are drept rădăcini : y1 = x2 + x3 , y2 = x3 + x1 , y3 = x1 + x2 . a) y 3 − y + 2 = 0

b) 2 y 3 − y − 1 = 0

c) 2 y 3 + y + 7 = 0

d) y 3 + 2 y 2 + y + 3 = 0

e) y 3 + y − 2 = 0

f) y 3 − 2 y 2 + y − 3 = 0


160

AL - 546 Ştiind că ecuaţia : x 3 − (a + 2) x 2 + 2(a + 2) x − 8 = 0 , admite şi rădăcini independente de a, să se determine mulţimea tuturor valorilor lui a pentru care toate rădăcinile ecuaţiei sunt strict pozitive. a) [ − 4,4]

b) (0,+∞)

c) ( − 1,0)

d) [4,+∞)

(

e) ( − ∞,−4) ∪ (4,+∞)

)

(

f) ( − ∞,−4]

)

AL - 547 Să se rezolve ecuaţia : x 3 − 2 1 + 2 x 2 + 1 + 4 2 x − 2 = 0 , ştiind că ea admite rădăcina 1 + 2 . a) 1 + 2 , 1 − 2 , 2

b) 1 + 2 , 1 − 2 , 2 2

c) 1 + 2 , − 1 + 2 , 2

d) 1 + 2 , − 2, − 2

e) 1 + 2 , 1 + 2 , 1 + 2

f) 1 + 2 , 1 − 2 , − 2 2

AL - 548 Să se determine a , b ∈R astfel ca ecuaţia x 4 − 4 x 3 + ax 2 + bx + 17 = 0 să aibă rădăcinile în progresie aritmetică. a) a = 2, b = −17

b) a = 12, b = −19

c) a = −52, b = 12

d) a = −14,b = 36

e) a = 21, b = 36

f) a = 52, b = 40

AL - 549 Fie ecuaţia x 4 − 7 x 3 + 17 x 2 + mx + n = 0 . Să se rezolve şi să se afle m şi n ştiind că admite o rădăcină dublă şi că suma celorlalte două rădăcini este 5. a) x1 = x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, m = −17, n = 6 b) x1 = x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, m = 6, n = −17 c) x1 = x2 = 2, x3 = 1, x4 = 5, m = 1, n = 1 d) x1 = x2 = 1, x3 = 1, x4 = 5, m = 3, n = 4 e) x1 = x2 = 3, x3 = 2, x4 = 3, m = −3, n = 3 f) x1 = x2 = 2, x3 = 4, x4 = 1, m = 3, n = −3


161

(

)

AL - X. 550 Să se rezolve ecuaţia: x 3 − 2 x 2 + 1 + 2 2 x + 2 = 0 , ştiind că admite rădăcina 1 − 2 . a) x1 = 1 − 2 , x2 ,3 =

1+ 2 ± i 5+ 6 2 2

b) x1 = 1 − 2 , x2,3 =

±i 5+6 2 2

c) x1 = 1 − 2 , x2 = 1 + 2 , x3 = 1 + 2

d) x1 = 1 − 2 , x2 = 1 + 2 , x3 = 1 − 2

e) x1 = 1 − 2 , x2 ,3 = ± 5 + 6 2

f) x1 = 1 − 2 , x2 = 1 + 2 , x3 = 5 + 6 2

AL - 551 Să se determine valorile raţionale ale parametrilor a şi b astfel încât 1 + 2 să fie rădăcină a ecuaţiei : x 4 + ax 3 + bx 2 + 5x + 2 = 0 .

a) a = −3, b = −1

b) a = 3, b = 1

c) a = −3, b = 1

d) a = 2, b = 1

e) a = −2, b = −1

f) a = −2, b = 1

AL - X. 552 Să se determine toate valorile parametrilor reali a şi b pentru care ecuaţia x 4 + 3x 3 + 6 x 2 + ax + b = 0 are cel mult două rădăcini reale. a) a = 1, b = 2

b) a ∈ R , b = 5

c) a ∈ R \ {1}, b = 2

d) a , b ∈R

e) a = −2, b = 3

f) a ≠ 1, b ≠ 3

AL - 553 Să se determine parametrul real a astfel încât ecuaţia : x 4 + 2 x 3 + ax 2 + 2 x + 1 = 0 , să aibă toate rădăcinile reale. a) a ∈( − ∞,3]

b) a ∈( − 6,3]

c) a ∈(0,1)

d) a ∈( − ∞,−6]

e) a = 0

f) a = 1

AL – 554 Se consideră ecuaţia

(

)

(

)

x 4 − 2m −1 x3 + 2m x 2 − 2m −1 x + 1 = 0 Să se determine m ∈R astfel încât ecuaţia să aibă două rădăcini reale, distincte, negative. a) m = log 2 3 d) m < 0

b) m = 2

e) m ∈ (0,1)

c) m ∈ ∅

f) m ∈ (2, ∞ )


162

AL - 555 Precizaţi mulţimea A căreia îi aparţine cel mai mic număr întreg k pentru care ecuaţia x 4 − 2( k + 2) x 2 − 12 + k 2 = 0 are numai două rădăcini reale distincte. a) A = {− 6,−5,−4}

b) A = {− 2,−11 ,}

c) A = {− 3,2,7}

d) A = {− 1,0,7}

e) A = ∅

f) A = {0,1,2}

AL - 556 Să se determine toate polinoamele de gradul n ∈ N * , P ∈ R [ X ] , care verifică identitatea :

( )

( ) (

)

P (1) + P ( x) + P x 2 + ... + P x n = 1 + x + x 2 + ... + x n P ( x) , (∀) x ∈R .

(

)

b) k x 2 − x

(

)

e) k x 4 − 3

a) k x 2 + 1

d) k x 2 + x

(

)

c) k x 3 − x

(

)

(

)

f) k x 2 − 2

(

)

AL - X. 557 Să se determine parametrii reali m, n şi p pentru care ecuaţiile de gradul trei : (m + 1) x 3 + (m + n + p − 1) x 2 + (3m − n − 2 p) x + 3 − m − 2n − 2 p = 0 şi

x 3 + x + 1 = 0 au aceleaşi rădăcini. a) m = n = p = 1

b) m,n, p ∈ φ

d) m = 1 − n − p, n, p ∈ R

e) m =

f) m =

4 p −1 p−2 ,n = , p = −5 3 3

p+2 3

c) m =

,n =

p+2 3

1− 4p , p ≠ −5 3

,n =

1− 4p , p ∈R 3


163

AL - 558 Să se determine parametrii reali a, b şi c ştiind că ecuaţiile x 4 + ax 2 + bx + 2 = 0 şi x 3 − 3x + 2c = 0 au o rădăcină dublă comună. a) a = −1,b = −2,c = 1 a = −1, b = 2, c = −1

b) a = 1, b = 2, c = 2

c) a = −1, b = 3, c = −1 a = 1, b = −3, c = 1

d) a = −2, b = 3, c = −1

e) a = −1, b = 3, c = 1 a = 1, b = 2, c = −1

f) a = b = c = 1

AL - 559 Să se determine suma coeficienţilor polinomului obţinut din dezvoltarea

(10x

a) 0

8

)

− x4 − 8

c) 2 1997

b) 1

1997

d) 101997

. 8 e) C1997

f) 1997

AL - 560 Să se determine coeficientul lui x1997 din expresia :

E = (1 + x)

a) 0

1997

+ x(1 + x)

b) 1

1996

+ x 2 (1 + x)

c) 1996

1995

+ ... + x1996 (1 + x) + x1997 , x ∈ R \ {− 1,0} .

d) 1998

e) 1997

f)1999

AL - 561 Să se determine toate valorile lui m ∈R astfel încât ecuaţia :

x 4 + x 3 − 2 x 2 + 3mx − m2 = 0 , să admită numai rădăcini reale. a) φ

 1  4

 

b) − ,−1

1  c) − 1,  4 

 1   

d) − ,1 4

e) ( − 4,1]

1   

f)  ,2 4


5x5 − 4 x 4 + 5x3 + 5x 2 − 4 x + 5 = 0

 3 ± i 21 1 ± i 3   2 ± i 21 1 ± i 3   2 ± i 21 1 ± i 3  ; ; ;  b) 3;   c) − 1; 5 5 2  5 2  3    

a) 1;



d) − 1;



 3 ± i 3 1± i 2   2 ± i 3 1± i 2  1 ± i 21 1 ± i 3  ; ; ;  f) − 1;  e) − 1;  2 3 3 3  2  2   


164 AL - 563 Ştiind că ecuaţia

2ax 5 + 2(a + b )x 4 + (2b + 3)x 3 + 2ax 2 + (2a + b − 2)x + b + 1 = 0 este reciprocă să se calculeze suma rădăcinilor negative ale acesteia a) –5

c) −

b) –6

9 2

e) −

d) –1

1 2

f) −

3 2

AL - 564 Determinaţi polinomul de grad minim cu coeficienţi raţionali care admite ca 5 4 şi x2 = . rădăcini x1 = − 2 − 3i 1− 5 a) 13 X 4 + 46 X 3 − 13 X 2 + 30 X + 100

b) 13 X 4 − 46 X 3 + 13 X 2 + 30 X − 100

c) X 4 − 5 X 2 + 129

d) X 4 + 10 X 3 − X 2 + 5

e) X 4 − 3 X 2 + 5 X + 6

f) X 4 − 9 X 2 + 81

AL - 565 Determinaţi modulul rădăcinilor ecuaţiei 9 x 4 + 8 x 3 + 14 x 2 + 8 x + 9 = 0 . a) 2

b) 1

c) 3

d) 0

e)

f)

2

3

AL - 566 Să se determine a ∈R * astfel încât ecuaţia ax 3 − x 2 − (a + 2) x − 2a = 0 să aibă o rădăcină complexă nereală de modul egal cu 1. a) a = 1

b) a = −1

c) a = 2

d) a = −2

e) a =

1 2

f) a = −

1 2

AL - 567 Să se determine a ∈R astfel încât ecuaţia x 4 + 2 x 3 + ax 2 + 2 x + 1 = 0 să aibă numai două rădăcini reale. a) a ∈( − ∞,2)

b) a ∈(2,+∞)

c) a ∈(2,3]

d) a ∈(1,+∞)

e) a ∈ (−6,2]

f) a ∈ ∅

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE


166

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol TG )

TG - 001

Corzile

[ AB ] şi [CD ]

ale cercului C ( O, r ) sunt perpendiculare şi se

intersectează în punctul P. Determinaţi valoarea parametrului m pentru care are loc relaţia:

   





PA + PB + PC + PD + m ⋅ PO = 0

a) -1;

b) -2;

c) -4;

d) 4;

TG - 002 Se consideră vectorii





 







şi

a= 4i + j





e) 2;

f) 1.



b= 2i − 3 j



Exprimaţi vectorul v= 5i − 4 j în funcţie de a şi b .       1 5 b) v = −2a + b c) Imposibil: a şi b sunt coliniari a)= v a+ b 2 2



d)= v

1 2

3 a+ b 2



e)= v



1 9 a+ b 4 2

 1

f) v= a + b 2

1 + 3 iar TG - 003 În triunghiul dreptunghic ABC suma catetelor este AB + AC =

înălţimea din vârful A are lungimea h = măsura unghiului B.

π a) a 2= 3, Bˆ = 6

b)= a 2,= Bˆ

π a 2= 3, Bˆ = 3

π a 2,= Bˆ =

d)= a 2,= Bˆ

π 4

π 6

3 2

. Să se determine lungimea ipotenuzei şi

sau

3

π e) a = 2 + 3, Bˆ = 4

π c) a = 2 + 3, Bˆ =sau 6 π 2 + 3, Bˆ = a=

3

f)= a 4,= Bˆ

π 4

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie TG - 004 Fie A ( 3,1) , B ( 2, 5şi) , C ( −1,4, 3) ,5

(



)

D (− −

)

167

patru puncte în planul R 2

raportat la reperul cartezian O, i, j . Punctele M şi N sunt mijloacele segmentelor AC respectiv BD.



Determinaţi coordonatele şi lungimea vectorului MN. Exprimaţi MN în funcţie de





AB şi CD .







a) MN =−2i − 2 j ; MN =2 2;



= MN



1   AB + 5CD 2

(





= MN



= MN







6;



( 7 AB + 5CD ) 2

1







)

= i + 2 j ; MN c) MN 2=







b) MN = 2i − 2 j ; MN = 2 2; 1   AB + 5CD 2

(



)



d) MN = 2i − 2 j ; MN = 6;



1







1

= MN

 

(9 AB + CD ) 2 

f) MN 2= e) MN =−2i − 2 j ; MN =2 2;= i + 2 j ; MN 2 2;



= MN

1   AB + CD 2

(

)

= MN

 

( 7 AB + CD ) 2 

 n

TG - 005 Determinaţi parametrii reali m şi n aşa încât vectorii a = (1 − m ) i +

  n b= − i + 4m j să fie vectori ortogonali în R 2 . 5

5

j şi

1 1 = , n 0 sau m = 0; − ,n= 4 4

b)= m

1 1 = , n 3 sau m = , n = −3 ; 5 5

1 1 c) m = − ,n= 3 sau m = − ,n= −3 ; 3 3

d)= m

1 1 − ,n= 0 = , n 0 sau m = 3 5

1 1 = , n 3 sau m = − ,n= −3 ; 2 2

f)= m

1 1 = , n 0 sau m = − ,n= −3 4 2

a)= m

e)= m


168

TG - 006 Vârfurile triunghiului ABC au coordonatele A ( −5,8 ) , B ( −2, a ) şi

C ( b,1) . Determinaţi aria triunghiului ABC ştiind că centrul său de greutate este G (1,1) . 231

c)

a) 189

b)

d) 231

e) Nu există un astfel de triunghi

2

f)

189 2 201 2

TG - 007 Fie ABCD un paralelogram, O punctul de intersecţie al diagonalelor şi M un punct arbitrar în plan. Determinaţi parametrul α pentru care are loc relaţia:

 

MA ⋅ MC =

a) −

1

b) -1

4

OM

2

2

+ α ⋅ AC .

c) 2

d) 1

e)

1

f) -2

4



TG - 008 Se consideră hexagonul regulat ABCDEF. Să se exprime vectorul AF în









funcţie de a = AB şi b = BC .

 



a) 2a − b

 



c) b + a

b) b − 2a

 

 

 

e) b − a

d) 2b + a

f) 2a + b

TG - 009 Fie ABC un triunghi oarecare şi punctul N ∈ ( AC ) astfel încât







2AN = CN . Să se exprime vectorul BN în funcţie de AC şi BC .

 1 

a) BC +

3

AC

 

d) 3BC + AC

 

b) 3BC − AC

 2 

e) BC −

3

AC





c) BC − 2 AC

f)

1   BC − 2 AC 2

Elemente de geometrie plană şi trigonometrie

169 





TG - 010 Să se determine parametrul real m aşa încât vectorii a = ( m + 1) i + 3m j şi







b = ( m − 1) i + m j să aibă aceeaşi lungime şi să fie perpendiculari. 1 a) + ; 2

b) 2;

c) 0;

e) Nu există m

d) -2;

cu această proprietate;





1 f) − ; 2



TG - 011 Determinaţi parametrul real m astfel încât vectorii = a 2 3 i + 2m j şi







= b m i + 3 j să formeze un unghi de 450 .

a) ±2

b)

2 ±1

c) ±1

d)

6± 3

3 ±1

e)

f) 3

TG - 012 Fie ABC triunghiul cu laturile AB = c, BC = a şi CA = b. Exprimaţi suma de produse scalare:

     

în funcţie de a, b şi c. a) d)

1 3 1

(a + b + c)

(a 2

2

+ b2 + c2

AB ⋅ AC + BC ⋅ BA + CA ⋅ CB

c) a 2 + b 2 + c 2

b) a + b + c

)

e)

(a 3 1

2

+ b2 + c2

)

f)

1

2

(a + b + c)

TG - 013 Fie a şi b doi vectori ce formează un unghi de 600 având lungimile 1 şi respectiv 2. Calculaţi ariile paralelogramelor formate de vectorii u= a + 2b

şi

= v 3a − b

u= a + 2b

şi

w= −3a + 2b

respectiv

a) 7; 8

b) 6 3; 8 3

c) 7 3; 5 3

d) 7 3; 8 3

e) 6 3; 5 3

f) 5; 6.


170

TG - 014 Fie A(-3,4) şi B(5,12) două puncte situate în planul real raportat la

(

)

reperul ortogonal O; i, j .



Calculaţi măsura unghiului pe care vectorul AB îl face cu vectorul de poziţie al punctului A şi precizaţi natura triunghiului OAB. a) π − arccos

c) π − arccos

e) arccos

33 65

2 10

; ∆OAB - ascuţitunghic

17 2 26

b) arccos

; ∆OAB - obtuzunghic

d) arccos

2 10 2 10

f) π − arccos

; ∆OAB - dreptunghic

; ∆OAB - obtuzunghic

; ∆OAB - dreptunghic

2 10

; ∆OAB - obtuzunghic.

TG - 015 Se consideră patru puncte coplanare distincte A,B,C şi D situate în planul

(

)

R 2 raportat la reperul ortogonal O; i, j . Calculaţi valoarea expresiei:

     

E = DA ⋅ BC + DB ⋅ CA + DC ⋅ AB . 2

DA + DB

a)

2

+ DC

d) 0

2

;

c) BC + CA + AB ;

b) -1

e)

BC

2

2

+ CA + AB

2

f) 1.

TG - 016 Punctele A(5,-12), B(-12,-5) şi C(5,-5) determină în planul real raportat la

(





 

)

reperul ortogonal O; i, j vectorii de poziţie OA, OB şi respectiv OC . Calculaţi

(

 

)

(

  

)

valoarea expresiei E = α + β + γ ştiind că α= < OA, i , β= < OC , i + j . a)

π 2

b)

3π 2

c) 2 arccos

5 13

+

π 2

d) π

e) arccos

10 13

f) 0


171

v3 având aceeaşi lungime l şi acelaşi

TG - 017 Suma a trei vectori v1 ,şiv2

punct de aplicaţie este 0 . Precizaţi natura poligonului format de extremităţile acestor vectori. a) Nu există asemenea trei vectori

b) Triunghi dreptunghic

c) Triunghi echilateral

d) Triunghi isoscel.

e) Lungimea vectorilor este l=0 şi triunghiul se reduce la punctul de aplicaţie comun. f) Cei trei vectori sunt coliniari şi triunghiul se reduce la un segment.

TG - 018 Să se calculeze: E =

a)

2 2

3

b)

cos150 − sin150 tg150 + ctg150

c)

2

2

.

d)

4

3 4

e)

2

8

3 8

f)

TG - 019 Să se determine soluţiile ecuaţiei ctg x − 2 cos x = 0 , satisfac condiţia π < x<π . 2 2π 9π 5π 5π 5π 7π a) b) c) d) e) f) 3 10 8 9 6 12 TG - 020 Dacă= tga 1,= tgb 2,= tgc 3 , cât este tg ( a + b + c ) ? a) 1

b) 0

c) 2

d)

e)

3

1 2

TG - 021 Dacă tg x + ctg x = m , să se calculeze în funcţie de m expresiile: E1 = tg 2 x + ctg 2 x,

a) E1 = m − 2,

E2 = m3 − 3m

c) E1 =− m 2 2,

E2 = m3

e) E1 =− m 2 2,

E2 =− m3 3

E2 = tg 3 x + ctg 3 x .

b) E1 =− m 2 2,

E2 =− m3 3m

2 d) E1 m= = , E2 m3

f) E1 =+ m 2 2,

E2 =+ m3 3m

f)

2 3


172

TG - 022 Dacă se notează t = sin 2u , se cere să se exprime în funcţie de t expresia = E tg 2u + ctg 2u . a) t 2 + 1

b)

1 t

2

c) 2t 2

d)

1 t

2

−1

e)

4 t

2

−2

f)

1 t +1 2

3 TG - 023 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei: cos 4 x − sin 4 x = . 2

 π  + kπ  , k ∈ Z  12 

b) x ∈  ±

 3π  + 2 kπ  , k ∈ Z 8 

d) x ∈ 

 3kπ  , k ∈ Z  4 

f) x ∈ k

 π  + kπ  , k ∈ Z  8 

a) x ∈  ±

π  + 2 kπ  , k ∈ Z 9 

c) x ∈ 

 π , k ∈ Z  3

e) x ∈ 

TG - 024 Determinaţi soluţiile ecuaţiei sin x + sin x = 2 cos x situate în intervalul [ 0, 2π ] a) x1 =

d) x1 =

π

,x = 3 2

2π 3

3π ,x π = 4 2

b) x1 =

e) x =

π

,x = 4 2

3π 2

5π

c) x1 =

f) x =

4

π

,x π = 2 2

2π

3

TG - 025 Rezolvaţi ecuaţia: sin 4 x + 3sin 2 x = 0.

  π   3   ± arccos  −  + 2kπ  , k ∈ Z  2   2   π c) x ∈  k  , k ∈ Z  2 e) x ∈ {kπ } , k ∈ Z a) x ∈ k

   3 b) x ∈  ± arccos  −  + 2kπ  , k ∈ Z  2    π , k ∈ Z  3 f) x ∈ {2kπ } , k ∈ Z d) x ∈  k


TG - 026 Rezolvaţi ecuaţia: sin x cos x =

.

 π , k ∈ Z  4

c) x ∈ k

b) x ∈ 

 π , k ∈ Z  3

d) x ∈ k

c) E = tg x

f) ecuaţia nu are soluţii

( ) ( ) − tg x . 0 0 sin ( 45 + x ) + cos ( 45 + x ) sin 450 + x − cos 450 + x

TG - 027 = Să se restrângă expresia: E b) E = 1

2

 2π  + 2 kπ  , k ∈ Z  3  3 k  e) x ∈ ( −1) arcsin  , k ∈ Z 2 

π  a) x ∈  + kπ  , k ∈ Z 2 

a) E = 0

3

173

d) E = ctg x

e) E = sin x

f) E = cos x

TG - 028 Dacă A1 = cos θ , A2 = cos 2θ , iar = Ak 2 cos θ ⋅ Ak −1 − Ak − 2 , pentru orice k ∈ N, ( k > 2 ) , să se determine A4 .

a) sin 3θ

c) sin 4θ

b) cos 3θ

e) sin 5θ

d) cos 4θ

f) cos 5θ

TG - 029 Determinaţi valoarea constantei α ∈ R pentru care are loc egalitatea sin 4 x − sin 2 x sin 4 x + sin 2 x

a) α = 2



= α tg x ctg 3 x , pentru orice x ∈ R \  ( 2k + 1)



b) α = 1

c) α = 3

d) α =

1 2

π  π    k   . 2 k∈Z  3 k∈Z 

e) α = 4

f) α =

3 2

TG - 030 Să se verifice că următoarea expresie este independentă de x

(

) (

)

E= 2 cos 6 x + sin 6 x − 3 cos 4 x + sin 4 x .

a) E = −1

b) E = 0

c) E = 1

d) E = 2

e) E = −2

f) E =

1 4


174

TG - 031 Să se restrângă expresia E =cos α ⋅ cos 2α ⋅ cos 4α ⋅ ... ⋅ cos 2n α , unde n ∈ N∗ . a)

d)

sin 2n α

b)

2n +1 sin α cos 2n α

e)

2n cos α

sin 2n α

cos 2n α

1

b) −

2

1 2

TG - 033 Dacă cos x =

a)

π

b)

3

c)

1 7

, cos y =

2π

c)

3

2π 7

+ cos

1

d) −

4

13 14

2

b) −

3

2

c)

3

+ cos

7 1

6π 7

2n sin α

.

e) 1

4

f)

π 6

π

d)

3

4

sin 2 x − 2 cos 2 x sin 2 x − cos 2 x

d) −

2

e)

3

e)

7

5π

f) π

4

. 7

f) −

3

2x

− tg x π 3 pentru x = . TG - 035 Să se calculeze valoarea expresiei: E = cos x − ctg 2 x 4

b)

2

c) −

2 2

2

 π  , să se calculeze x − y .  2

sin

a) 1

3

şi x, y ∈  0,

TG - 034 Ştiind că ctg x = 2 , să se calculeze: E =

a)

4π

2n +1 sin α cos 2n +1α

f)

2n +1 cos α

TG - 032 Să se calculeze expresia: E = cos

a)

c)

2n sin α

sin 2n +1α

d) − 2

e)

2 2

f)

1 3

7 3


TG - 036 Ştiind că sin α =

a)

3

b) −

4

3 4

4 5

175

 π  , să se calculeze tg α .  2

, α ∈  0,

c)

4

d)

3

3

e) −

5

4

f)

3

2 3

TG - 037 Să se afle valoarea numerică a produsului P = cos 200 cos 400 cos 800 . a)

d)

1

b)

3 1

e)

6

1

c)

4 1

f)

7

TG - 038 Să se afle α ∈ [ 0, π ] pentru care avem arctg

a)

d)

π

b)

6

π

e)

2

1 2

+ arctg

1 3

1 5 1 8

= α.

π

c)

4

2π

f)

3

π 3

3π 4

 π π TG - 039 Care sunt soluţiile ecuaţiei: sin 3 x − cos 2 x − sin x = 0 din intervalul  − ,  ?  2 2

 π π π , ,   6 6 4

b) x ∈ −

 π π ,   4 4

e) x ∈ 0,

a) x ∈ −

d) x ∈  −

 π π π , ,   4 4 6

c) x ∈  −

 π π ,   6 6

 π π ,   6 4

f) x ∈ 0, −

 

π 6

,−

π  4


176

TG - 040 Să se calculeze S = cos 4 100 + cos 4 500 + cos 4 700 a) 1

b) 2

c)

9

d)

8

(

)

8 9

e)

(

)

1

f)

9

(

7 8

)

TG - 041 Să se rezolve ecuaţia: sin x + 200 + cos x − 100 − sin x − 400 = 3.

{ } c) x ∈ {450 + k ⋅ 3600 } e) x ∈ {200 + k ⋅ 3600 }  {−400 + k ⋅ 3600 } a) x ∈ 300 + k ⋅ 3600

{ } d) x ∈ {−200 + k ⋅ 1800 }  {400 + k ⋅ 1800 } f) x ∈ {200 + k ⋅ 1800 }  {400 + k ⋅ 1800 } b) x ∈ 600 + k ⋅ 3600

TG - 042 Să se determine soluţia generală a ecuaţiei: 1 sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + = 0. 2  π  a) x ∈ ± + 2kπ   6 

π k π  c) x ∈ ( −1) ⋅ + k  3 2 

 

e) x ∈ ( −1)

k +1

⋅

π

4 pentru orice k ∈ Z

+k

π  2

 π  + 2 kπ   3  π  k + 1 3π d) x ∈ ( −1) ⋅ +k  4 2  π k π  f) x ∈ ( −1) ⋅ + k  3 6  b) x ∈  ±

TG - 043 Să se determine toate soluţiile reale ale ecuaţiei: π . arccos x 3 + arccos x = 2



a) ±



2 1  ,  3 2 

1  d)   2

 1 b)  ±   2

 1 1 2  c) ± , ,   3 2 3 

 1 3  e)  , ±  3   2 

f) ∅


TG - 044 Determinaţi perioada principală a funcţiei f : R → R ,

a) 0

d)

b)

10π

e)

7

TG - 045 Să se calculeze expresia E =

7π

177

7x . f ( x) = cos 5

c) 35π

10 5π

3π

f)

7

4

sin 600 − sin 300 cos 300 + cos 600

a) 2 + 3

b)

3−2

d) 3 + 2

e) 2 − 3

c)

2 −3

f) 2 + 2

TG - 046 Care este mulţimea tuturor valorilor parametrului real a pentru care ecuaţia cos x − sin x = a , admite soluţii? a) ∅

b) [ −1,1]

c)  − 2, 2 

d) [ −2, 2]

e) R

 1  f)  − , 2   2 





1  TG - 047 Să se determine soluţiile ecuaţiei: sin  arccos x  = 1 . 5   1 1 a) x ∈  − ,   5 5

1  b) x ∈  −1, −  5 

d) x ∈ ∅

e) x ∈ ( −1) ⋅

 

k

c) x ∈ R

5π 6

 

+ kπ  , k ∈ Z

f) x =

1 5


178

TG - 048 Să se calculeze expresia: x ∈ [ 0, π / 2] .

a)

d)

(3 − 5 ) 4

b)

(3 + 5 ) 25

e)

3

16

sin x + tgx

, ştiind că avem cos x =

cos x + ctgx

(3 + 5 ) 3

c)

(3 − 5 ) 16

f)

4

25

16 25

25 16

2 3

,

(3 − 5 )

(3 + 5 )

TG - 049 Arătaţi că următoarea expresie este independentă de x, = E

a) E =

1

b) E =

2

1

3

1 + sin 2 x 2 + ctg 2 x

+

1

c) E =

1 + cos 2 x 2 + tg 2 x

d) E = 1

4

.

e) E = 2

f) E = 3

TG - 050 Să se verifice că expresia= E cos 2 ( x − y ) + cos 2 ( x + y ) − cos 2 x cos 2 y este independentă de x şi y . a) E = −1

b) E = 0

c) E = −

1

d) E =

2

1 2

e) E = 1

f) E = −4

TG - 051 Să se scrie sub formă de produs de funcţii trigonometrice expresia: 5π 11π π E = sin + sin + cos 24 6 24 a) 4 sin

π 12

d) 4 cos

π 12

cos

sin

π 48

π 48

cos

cos

5π 48 5π 48

b) 4 cos

e) 4 sin

π 12

π 12

cos

sin

π 48

π 48

cos

19π 48

c) 4 sin

f) 4 sin

π 12

π 12

cos

cos

π 48

π 48

cos

19π 48


179

1 TG - 052 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei: sin 4 x + cos 4 x = . 2

π  π + k , k ∈ Z 2  4

π  b) x ∈  + 2kπ  , k ∈ Z 3 

π  c) x ∈  + 2kπ  , k ∈ Z 2 

π  + kπ  , k ∈ Z 4 

e) x ∈ {kπ } , k ∈ Z

f) x ∈ k

a) x ∈ ±

d) x ∈ 

 π , k ∈ Z  3

TG - 053 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei:

(

)

2 sin 6 x + cos 6 x + sin 4 x + cos 4 x = 3.

π  + 2 kπ  , k ∈ Z 4 

b) x ∈ ±

 π , k ∈ Z  3

e) x ∈ k

a) x ∈ 

d) x ∈ k

TG - 054 Ştiind că sin α + cos α =

a)

1 4

b)

1 2

c)

7 5 1 5

 π  + 2 kπ  , k ∈ Z  3 

c) x ∈ k

 π , k ∈ Z  4

f) x ∈ k

 π , k ∈ Z  2

 π , k ∈ Z  6

α  π  , să se calculeze tg . 2  4

, α ∈  0,

d)

1 3

e)

2 5

f)

3 4

TG - 055 Să se transforme în produs următoarea expresie: S = cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3 x + cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x .

a) 6 sin x ⋅ sin 2 x ⋅ sin 3 x

b) 6 sin x ⋅ sin 2 x ⋅ cos 3 x

c) 6 sin x ⋅ cos 2 x ⋅ cos 3 x

d) 6 cos x ⋅ cos 2 x ⋅ cos 3 x

e) 6 cos x ⋅ cos 2 x ⋅ sin 3 x

f) 6 cos x ⋅ sin 2 x ⋅ sin 3 x


180

TG - 056 Determinaţi toate valorile lui x ∈ [ 0, 5] care verifică acuaţia: 1+ x

2 arccos

)

2

− arcsin

d) [ 0, 5]

c) [ 0,1]

b) {0, 5}

a) {0,1}

(

2 1 + x2

π

=

x 5

e) {0, 3}

f) {1, 5}

TG - 057 Să se calculeze

1 1 + 2 0 2 cos 15 sin 150 a) 4

b) 16

TG - 058 Să se calculeze:

a) 1

b) 2

c) 24

1 sin10

0

−

d) 4 2

e) 6 2

d) 4

e)

f) 16 2

3 cos100

c) 3

a sin x b cos x, TG - 059 Să se arate că funcţia f ( x ) =+

3

f)

2

 π π ,   2 2

m a 2 + b2 = b) b α = arctg a

m = a 2 + b2

m a 2 + b2 = e) a α = arctg

d)

α = arctg

b a

b

2

a, b ∈ R∗ se poate scrie

sub forma= f ( x ) m sin ( x + α ) , determinându-se m şi α ∈  − m a 2 + b2 = a) b α = arcsin a

3

m = a 2 − b2

c)

α = arctg

b a

m = a 2 − b2

f)

α = arccos

b a


181

TG - 060 Să se calculeze: tg15 0 + ctg15 0 cos150 − sin150

a) 1

b) 4

c) 3 2

d) 4 2

e) 5 2

f)

2

TG - 061 Să se descompună în produs expresia E = sin 3 x + sin 2 x + sin x

x π x π +  cos  −  2 6 2 6

b) 4 sin x cos 

x π x π +  cos  −  2 6 2 6

d) 4 sin 2 x sin 

x π x π +  sin  −  2 6 2 6

f) 4 sin x sin 

x π x π +  cos  −  2 6 2 6

a) 2 sin 2 x cos 

x π x π +  sin  −  2 6 2 6

c) 4 sin 2 x cos 

x π x π +  sin  −  2 6 2 6

e) 4 cos 2 x sin 

TG - 062 Care sunt valorile lui a ∈ ¡ , pentru care expresia: E=

a) a 2kπ , k ∈ Z =

d) = a kπ , k ∈ Z

4 cos 2 x + cos 2 x + cos 2a cos 2a − cos 2 x

b) a = ( 2k + 1)

e) a = ±

π 3

π 2

, k ∈Z

+ kπ , k ∈ Z

nu depinde de x ?

c) a =2kπ +

3π 2

, k ∈Z

π f) a =+ kπ , k ∈ Z 4


182

TG - 063 Fie E =

sin x + cos ( 2 y − x )

.

cos x − sin ( 2 y − x )

Să se calculeze valoarea expresiei E, pentru y =

a)

b) −

3

3 3

2

 

(

)

(

d) 2n ctg x ⋅ tg x / 2n

(

)

(

)

b) 2n tg 2 x ⋅ tg x / 2n

)

e) 2n ctg 2 x ⋅ tg x / 2n

.

e)

TG - 064 Să se restrângă expresia: Ω=  1 − tg 2 a) 2n tg x ⋅ tg x / 2n

12

1

d) −

c) 2tg x

7π

3 +1

f)

3

2

x

 2 x 2 x    1 − tg  ⋅ ... ⋅  1 − tg n  2 4 2  

(

)

(

)

c) 2n tg ( x / 2 ) ⋅ tg x / 2n

f) 2n ctg ( x / 2 ) ⋅ tg x / 2n

TG – 065 Să se calculeze: E = sin 8 x − cos8 x + 4 cos 6 x − 6 cos 4 x + 4 cos 2 x a) 1

b) 2

d) sin x

c) cos x

1

e)

2

f) 4

TG - 066 Să se determine soluţiile din intervalul [ 0, π ] ale ecuaţiei 4 sin 4 x − 3sin 2 2 x = 1 − 2 cos 2 x .

a)

d)

π π 2π ,

6 3

,

b)

3

π 2π 3π 5π 6

,

6

,

6

,

6

e)

π π 5π ,

3 2

,

c)

6

π 5π 7π 11π ,

,

12 12 12

,

12

f)

π π 2π , , 4 2 3

π 5π 7π 11π

, , , 24 24 24 24


183

TG - 067 Să se determine toate valorile parametrului real m pentru care ecuaţia:

3 sin x − cos x + m − 1 = 0 , are două soluţii în intervalul [ 0, 4π ] .

a) m = 2 d) m =

1 2

b) m ∈ {−1, 3}

c) m ∈ [ −1, 3]

e) m = 1

f) m = −

1 2

TG – 068 Să se determine toate valorile lui m ∈ R pentru care ecuaţia: m ( sin x − cos x ) − cos 4 x − 1 = 0 , admite soluţii. 2

a) m ∈ [ 0, 4]

b) m ∈ [ −2, 2]

c) m ∈ R

 1  d) m ∈  − ,1  2 

e) m ∈ [ −1,1]

f) m ∈ [ −4, 4]

TG - 069 Să se determine toate valorile parametrului real λ pentru care ecuaţia: cos ( x − λ ) + cos ( x + λ ) = 1 , admite soluţii.

π π  π π  a) λ ∈   2kπ − , 2kπ +   ( 2k + 1) π − , ( 2k + 1) π +  k∈Z  3 3  3 3

 k∈Z 

b) λ ∈   kπ −

 k∈Z 

π 3

d) λ ∈   2kπ −

, kπ +

2π 3

π  3

, 2 kπ +

 k∈Z 

c) λ ∈   2kπ − 5π   3 

π π  π π , 2 kπ +    2 kπ − , 2 kπ +  3 3  6 6

e) λ ∈ ∅

f) λ ∈ R


184

TG - 070 Să se calculeze valoarea expresiei: E ( x ) =

1 sin x

+

1 cos x

+

1 tg x

+

1 ctg x

pentru argumentele x care verifică ecuaţia 8 ( sin x + cos x ) + 3sin 2 x = 0. a) 1

c) − 1

b) 2

d) − 2

e) − 3

f) −

1 3


(1 − sin x )

2

+ sin 2 (1 − x ) = 0. k k   c) x ∈ ( −1) ⋅ + kπ  , k ∈ Z 2  

a) x ∈ ¡

b) x ∈ ∅

d) x ∈ {1 − kπ } , k ∈ Z

e) x ∈ {kπ } , k ∈ Z

 π , k ∈ Z  4

f) x ∈ k

TG - 072 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei: sin x

( x − 4)

2

0, x ∈ ¡ \ {4} . + sin x =

 π , k ∈ Z  2

a) x ∈ {3, 5}  {kπ } , k ∈ Z

b) x ∈ {3, 5}   k

c) x ∈ {5}  {kπ } , k ∈ Z

d) x ∈ {3}  {kπ } , k ∈ Z

e) x ∈ {2kπ } , k ∈ Z

f) x ∈ {0}


TG - 073 Determinaţi mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei: sin

 π , k ∈ Z  4

a) x ∈ {kπ } , k ∈ Z

 2π 8kπ  +   {2kπ } , k ∈ Z 5  5

5x 4

+ cos x = 2.

 2π 8kπ  +   {2 k π } , k ∈ Z 5   5

b) x ∈  k

c) x ∈ 

 2 kπ  , k ∈ Z  5 

d) x ∈ 

185

e) x ∈ 

 kπ  , k ∈ Z  3 

f) x ∈ 

TG - 074 Determinaţi mulţimea tuturor valorilor parametrului m ∈ R pentru care ecuaţia sin x − cos x =+ m 1 admite rădăcini reale.

 9  c) m ∈  − , 0   8 

a) m ∈ ( 0, 2 )

b) m ∈ ( 0, 2]

 9  d) m ∈  − , 0   8 

e) m ∈  −1 − 2, −1 + 2 



TG - 075 Să se rezolve ecuaţia:



 9  f) m ∈  − , 2   8 

3 sin x + cos x = 2.

π   7π  + 2 kπ    + 2 kπ  , k ∈ Z 12   12 

a) m ∈ 

π  + kπ  k ∈ Z 6 

 π   7π  + 2 kπ    + kπ  , k ∈ Z  12   12 

b) m ∈ −

π  + 2 kπ  k ∈ Z 6 

d) m ∈ 

c) m ∈ 

 π  ,k ∈Z  3

 π  ,k ∈Z  4

f) m ∈ k

e) m ∈ k

TG - 076 Dacă sin 2 ( a + c ) = p sin 2b , să se calculeze în funcţie de p expresia: E=

a)

2 p −1 2 p +1

b)

2 p −1 p −1

tg ( a + b + c ) tg ( a − b + c )

c)

p +1 2 p −1

d)

3 p −1 p +1

e)

p +1 p −1

f)

p −1 p +1


186

TG - 077 Să se transforme în produs de funcţii trigonometrice expresia: E= 1 + cos x + cos 2 x

 

a) 2 cos x cos  x +

π  4

 

b) 2 cos x cos  x −

x π x π +  cos  −  2 6 2 6

x π x π +  cos  −  2 6 2 6

c) 4 cos x cos 

e) 4 cos x cos

π  4

d) 4 cos x cos 

x

f) 4 cos x cos

2

3x 2

TG - 078 Calculaţi produsul: P = cos100 cos 300 cos 500 cos 700 . a)

1

b)

4

2 5

c)

4

d)

9

3

e)

16

5

f)

8

1 2

TG - 079 Să se calculeze: tg10 ⋅ tg20 ⋅ tg30 ⋅ ... ⋅ tg890 . a) 1

b)

1 2

c) 0

d)

TG - 080 Să se determine soluţiile ecuaţiei: arctg x +

b) x = ±

a) x = ±1

d) x = ±

3 3

1 2

e) x = ± 3

e) 10

3

1 2

arccos

1

f) 2

π

. = 5x 4 c) x = ±

1

f) x = ±

1

3

4


187

TG - 081 Să se rezolve ecuaţia: sin 2 x

cos x (1 + tg x )

−

cos 2 x

sin x (1 + ctg x )

= 2.

 3π  + 2 kπ  , k ∈ Z 4 

b) x ∈ ±

c) x ∈ ±

 π  + 2 kπ  , k ∈ Z  4 

d) x ∈ ±

e) x ∈ ∅

f) x ∈ k

 π  + kπ  , k ∈ Z  4 

a) x ∈ 

 π  + 2 kπ  , k ∈ Z  2 

 π , k ∈ Z  3


( )

cos (π x ) + 2 cos π 2 x = 3.

a) x = 0

b) x = 1

c) x ∈ ∅

d) x ∈ R

e) x = 2

f)= x k, k ∈ Z

π   3π  + x  − cos 2  + x 8   8  se poate TG - 083 Să se arate că funcţia: f ( x ) = π  sin  + x  4  scrie sub forma= f ( x ) m cos (α + x ) , determinându-se m şi α ∈ ( 0, π ) . cos 2 

3π a) m = − 2, α = 4

b) m =

2, α =

2 3π d) m = − ,α = 2 4

e) m =

2, α =

π 4

3π 4

c) m =

2 π ,α = 2 2

f)= α m 1,=

π 3


188

 π TG - 084 Determinaţi valorile lui n ∈ N şi α ∈ 0,  pentru care expresia  2

E= 3 − 4 sin 2 x se poate scrie sub forma E =n sin (α + x ) sin (α − x ) .

a)= α n 4,= d)= α n 2,=

π

π

b)= α n 3,=

3

π

6

π

e)= α n 8,=

2

c)= α n 2,=

π 4

f)= n 1,= α 0

2

TG - 085 Să se determine valorile lui λ ∈ R astfel ca ecuaţia:

(1 − λ 2 ) sin 3x + 2λ cos 3x = (1 + λ 2 )

2

să aibă soluţii reale.

a) λ = 1

b) λ = −1

c) λ = 0

 1  d) λ = − , 0   2 

e) λ ∈ {1, 2}

f) λ ∈ {2, 3}

π  + arctg ( tg x )  în intervalul 6 

TG - 086 Să se rezolve ecuaţia: = sin 3 x cos 

a)

d)

9π

b)

14 7π

e)

12

3π

c)

4 5π

f)

6

π   ,π  . 2 

4π 3 5π 8

TG - 087 Pentru ce valori ale lui m ∈ R , ecuaţia 8ctg8 x + 4tg4 x + 2tg2 x + tgx −

a) m ∈ [0,1]

b) m ∈ [0, 2]

m −1 sin x

c) m ∈ [ −1,3]

= 3 , admite rădăcini reale?

d) m ∈ [1, 2]

e) m ∈ [ −1, 0]

f) m = 0


189

TG - 088 În triunghiul ascuţit unghic ABC au loc relaţiile: sin B = sin = C

1 2

a) sin ( B − C ) = −

1

2 + 2 şi

2

2 − 2 . Să se calculeze sin ( B − C ) . 2

2 1 d) sin ( B − C ) = 2

2 b) sin ( B − C ) = 2

3 c) sin ( B − C ) = 2

e) sin ( B − C ) = 1

f) sin ( B − C ) = 2 − 2

TG - 089 Fie ABC un triunghi dreptunghic în A, în care există relaţia a + b = 3c . C Să se calculeze sin 2B şi tg . 2 a) = sin 2 B

3 −1

3 C = , tg 2 2

b) = sin 2 B

3 +1 3 +1

c) = sin 2 B

1 C = , tg 2 2

e)= sin 2 B

C 12 2 = , tg 13 2 3 + 13

3 −1

C 3 = , tg 2 2

d)= sin 2 B

C 1 24 = , tg 25 2 3

f)= sin 2 B

C 1 12 , tg = 25 2 3

1 3

TG - 090 Se dă triunghiul ABC în care AB = R 3 şi m ( BAC ) = α , R fiind raza cercului circumscris triunghiului. Să se determine celelalte laturi în funcţie de α şi R.

(

a) R 3, 2 R sin α , 2 R sin α + 600

)

(

b) R 3, 2 R sin α , 2 R sin α + 300

)

c) R 3, 2 R sin α , 2 R sin α

d) R 3, R 3, 2 R sin α

e) R 3, R, R

f) R 3, 2 R sin α + 300 , 2 R sin α

(

)


190

TG - 091 Fie ABC un triunghi dreptunghic isoscel, având unghiul drept în punctul C. Ipotenuza AB se prelungeşte cu un segment BD congruent cu BC şi se uneşte C cu D. Care din valorile de mai jos reprezintă pe sin D. 2+ 2

a)

d)

1

2− 2

2

2− 2

b)

e)

1

c)

2+ 2

3

f)

1 2 1 3

2+ 2

2− 2

TG - 092 Între laturile unui triunghi avem relaţia: 2a= b + c , iar între unghiurile sale 2Aˆ= Bˆ + Cˆ . Triunghiul este: a) ascuţit unghic oarecare

b) obtuz unghic oarecare

c) isoscel

d) dreptunghic

e) echilateral

f) oarecare

TG - 093 În triunghiul ABC se = dă b

( )

3 şi m Cˆ = 600 . Să se calculeze

= 2, c

latura a. a)

d)

(

2− 6

( 2

2+ 6

1 2 1

)

b)

)

e)

6− 2

( 2

1

2− 6

c)

)

1

şi

2

(

6 − 2 şi

2+ 6

)

6+ 2

f)

6+ 2

TG - 094 Un triunghi ABC cu lungimile laturilor 13, 14, 15 are vârful A opus laturii A ? de mărime mijlocie. Care este valoarea lui tg 2 a)

3 7

b)

4 7

c)

5 7

d)

6 7

e) 1

f)

8 7


191

2 2 π TG - 095 În triunghiul ABC, = m Aˆ , AB a şi AC = = a. 4 3 Să se calculeze tgB .

( )

a) tgB = 2

b) tgB = 3

c) tgB = 2

d) tgB = 3 3

e) tgB = 1

f) tgB = 3

TG - 096 Unghiurile unui triunghi ABC au laturile proporţionale cu numerele 2, şi respectiv 1 + 3 . Să se determine m Aˆ , m Bˆ şi m Cˆ .

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

6

( )

( )

( )

b) m= Aˆ m= Bˆ 450 , m= Cˆ 900

( )

( )

( )

0 0 d) m Aˆ 30 = = , m Bˆ 90 = , m Cˆ 600

( )

( )

( )

0 0 a) m Aˆ = 45 = , m Bˆ 30 = , m Cˆ 1050 0 0 c) m Aˆ 105 = = , m Bˆ 15 = , m Cˆ 600

0 0 e) m Cˆ 60 , m Bˆ 45 , m Aˆ 750 = = =

0 0 f) m Aˆ 45 = = , m Bˆ 60 = , m Cˆ 750

TG - 097 Determinaţi unghiurile triunghiului ABC ştiind că laturile sale au lungimile: = AB 20, = BC 10

(

)

3 + 1 şi CA = 10 2 .

0 ˆ 0 ˆ a) Aˆ 90 = = , B 30 = , C 600 ;

0 ˆ 0 ˆ b) Aˆ 105 = = , B 30 = , C 450 ;

0 ˆ 0 ˆ c) Aˆ 75 = = , B 45 = , C 600

0 ˆ 0 ˆ d) Aˆ 90 = = , B 15 = , C 750

0 ˆ 0 ˆ e) Aˆ 80 = = , B 30 = , C 700

0 ˆ 0 ˆ f) Aˆ 105 = = , B 15 = , C 600

TG - 098 Dacă A,B,C sunt măsurile unghiurilor unui triunghi să se calculeze: E = tg A + tg B + tg C a) E = ctg A ⋅ ctg B ⋅ ctg C ;

b) E = ctg A ⋅ ctg B ⋅ tg C

c) E = ctg A ⋅ tg B ⋅ tg C

d) E = tg A ⋅ tg B ⋅ tg C

e) E = tg A ⋅ tg B ⋅ ctg C

f) E =tg A ⋅ ctg B ⋅ tg C


192

TG - 099 În ce unghi ABC poate avea loc relaţia sin ( A − B ) sin C a 2 − b2 = 1 + cos ( A − B ) cos C a 2 + b 2 a) oarecare b) numai în triunghiuri dreptunghice c) numai în triunghi isoscel d) numai în triunghiuri echilaterale e) numai în triunghiuri dreptunghice isoscele f) relaţia nu are loc în nici un triunghi TG – 100 Să se precizeze valoarea maximă a expresiei cos A ⋅ cos B ⋅ cos C E= sin 2 A ⋅ sin 2 B ⋅ sin 2 C

Stiind că A,B,C sunt măsurile unghiurilor unui triunghi ascuţitunghic. a) Emax = 1

b) Emax =

4

e) Emax =

d) Emax =

9

1

c) Emax =

2 8

2 3

f) Emax = 2

27

TG - 101 Dacă A, B, C sunt unghiurile unui triunghi ABC şi R este raza cercului circumscris acestui triunghi, să se calculeze expresia E = 1 + cos A ⋅ cos ( B − C ) . a) E =

d) E =

b2 − c2

b) E =

R2 b2 − c2

e) E =

4R2

b2 + c2

c) E =

R2 bc

f) E =

4R2

b2 + c2 4R2 b2 + c2 2R2

TG - 102 Să se determine valoarea expresiei: a sin

B −C

E= cos

2 A 2

b sin

C−A

+ cos

2 B

c sin

A− B

+

2

cos

2 C 2

a) E = a + b + c

b) E =− ( a + b + c )

d) E = 0

e) E =

a+b+c 2

într-un triunghi oarecare. c) E = a 2 + b 2 + c 2 f) E =

a 2 + b2 + c2 2


TG - 103 Dacă în triunghiul ABC avem tg răspunsurile de mai jos este corect.

A 2

=

1 3

şi b + c = 3a , precizaţi care din

π π a) m Bˆ = sau m Cˆ = 2 2

b) m Aˆ = m Bˆ

π π d) m Bˆ = sau m Cˆ = 4 4

e) m Aˆ = m Cˆ

( )

( )

( )

( )

193

( )

( )

π c) m Aˆ = 2

( )

( )

π f) m Aˆ = 3

( )

( )

TG - 104 În triunghiul ABC are loc relaţia: a 2 + b 2 + c 2 = 8 R 2 . Ce putem afirma despre acesta? a) este un triunghi isoscel

b) este un triunghi echilateral

c) este un triunghi dreptunghic

d) este un triunghi oarecare

e) relaţia din enunţ nu poate avea loc în nici un fel de triunghi f) este triunghi isoscel şi dreptunghic

TG - 105 Între unghiurile unui triunghi există relaţia: cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1. Ce fel de triunghi este ABC ? a) echilateral

b) dreptunghic

c) obtuzunghic

d) isoscel

e) oarecare

f) isoscel şi dreptunghic

TG - 106 În triunghiul ABC are loc relaţia:

a+c

= ctg

B

. Care din numerele de mai b 2 jos reprezintă măsura unuia dintre unghiurile triunghiului ? a)

π 3

b)

π 6

c)

π 2

d)

2π 3

e)

π 4

f)

π 12


194

TG - 107 Dacă între lungimile laturilor triunghiurilor ABC are loc relaţia: b2 − c2 = 2a 2 ce putem afirma despre măsura unghiului Aˆ .

π a) m Aˆ = 4

π b) 0 < m Aˆ ≤ 6

π d) m Aˆ > 2

e)

( )

π c) m Aˆ = 3

( )

( )

π

( )

π < m Aˆ = 4 3

π f) m Aˆ = 2

( )

( )

TG – 108 Fie triunghiul ABC cu lungimile laturilor a,b,c şi aria = S

(4 a2 + b2 ) .

1

Determinaţi măsurile unghiurile Aˆ , Bˆ , Cˆ .

( )

a) = m Aˆ

π

π π , m Bˆ , m Cˆ = = 3 2 6

π π b) m= , m= Cˆ Bˆ m= Aˆ 2 4

( )

( )

( )

π c) m= Aˆ m= Bˆ m= Cˆ 3

( ) ( )

e) m Aˆ =

( )

( )

( )

d) m= Aˆ

2π π π , m Bˆ , m Cˆ = = 3 4 12

( )

( )

( )

( )

2π 3

( )

( )

, m= Bˆ m= Cˆ

π 6

π π π f) m Aˆ , m Bˆ , m Cˆ = = = 2 6 3

( )

( )

( )

TG - 109 Aria triunghiului ABC este de 16 cm2 . Ştiind că AC = 5 cm , BC = 8 cm şi Cˆ este obtuz să se calculeze cos C. a) −

4 5

b)

3 4

c) −

3 5

d)

4 5

e) −

1 2

f)

3 5

TG - 110 Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că= a 6,= B 600 şi C = 450 .

( ) d) 6 ( 3 − 3 )

a) 6 3 + 3

( ) 9 e) ( 3 − 3 ) 2

b) 9 3 − 3

( ) 9 f) ( 3 + 3 ) 2

c) 9 3 + 3


195

TG - 111 Lungimile laturilor unui triunghi oarecare sunt trei numere consecutive, iar aria triunghiului este 84. Care sunt lungimile acestor laturi? a) 10, 11, 12

b) 11, 12, 13

c) 12, 13, 14

d) 13, 14, 15

e) 14, 15, 16

f) 15, 16, 17

TG - 112 Într-un triunghi ABC laturile a, b, c sunt îm progresie aritmetică, a fiind termenul din mijloc. Să se calculeze expresia: B C = E tg ⋅ tg . 2 2 a) E =

1

b) E =

3

d) E = 3

1

c) E =

6

1 2

f) E = 2

e) E = 6

TG - 113 Dacă A, B, C sunt unghiurile unui triunghi, iar tgA, tgB, tgC sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, care dintre relaţiile de mai jos este adevărată? a) tgA ⋅ tgC = 0

b) tgA = −ctgC

c) tgA ⋅ tgC = 3

d) tgA = ctgC

e) tgA = −tgC

f) ctgA ⋅ ctgC = 0

( )

TG - 114 În triunghiul dreptunghic ABC, m Cˆ = 900 , se cunosc lungimea a a catetei (BC) şi raza r a cercului înscris în triunghi. Să se determine lungimile celorlalte laturi b, c ale triunghiului. a) b =

r (a − r ) a2 − r ( a − r ) = ,c a − 2r a − 2r

2ar − r 2 c) b = = ,c a − 2r

(a − r ) a − 2r

2

b) b =

a 2 − 2r ( a − r ) 2r ( a − r ) ,c = a − 2r a − 2r

r 2 − a2 ar 2a − r 2 d) b = e) b = = ,c = ,c r − 2a 2 a − 2r

f) Nici una din afirmaţiile a), b), c), d), e) nu este corectă.

(r + a) 2a − r

2


196

TG - 115 Calculaţi suma sin A + sin B + sin C în funcţie de aria S a triunghiului ABC, aria S 1 a cercului înscris în triunghi şi aria S 2 a cercului circumscris triunghiului. a)

πS

b) S S1S 2

S1S 2

c)

π ⋅ S2

1

d) S 

 S1

S1S 2

+

1 

 S2 

e)

S1S 2

f)

S

π S1S2 S

TG - 116 Dacă A, B, C sunt unghiurile unui triunghi, să se calculeze expresia: E=

a) 1

b)

cos B + cos C . A tg ( sin B + sin C ) 2

1

c) 2

2

d)

2

e) 3

3

f)

TG - 117 Fie în planul (Oxy) punctele A(5,6), B(-4,3), C(-3,-2) şi D(6,1). Ce figură geometrică reprezintă patrulaterul ABCD ? a) dreptunghi

b) romb

c) pătrat

d) trapez isoscel

e) trapez dreptunghic

f) paralelogram

TG - 118 Se dau punctele A(3,5), M(-1,3), N(4,1). Să se scrie ecuaţiile dreptelor ce trec prin A şi fac unghiurile de 45° şi, respectiv ,135° cu dreapta (MN). a) 3x - 7y + 26 = 0, 7x + 3y - 36 = 0

b) 2x - 5y + 19 = 0, 5x -2y -5 =0

c) x - y + 2 = 0, x + y - 8 = 0

d) 3x - 2y + 1 = 0, 2x + 3y - 21 = 0

e) x - 2y + 7 = 0, 2x + y - 11 = 0

f) 3x - 7y +1 = 0, 7x - 3y - 2 = 0

 5  TG - 119 Fie în planul (Oxy) punctele A(1,2), B  − ,0 şi C(0,2). Să se afle  3   în triunghiul ABC . lungimea bisectoarei interioare unghiului A

a)

5

b)

10 13

c)

2 10 3

d)

6 10 13

e)

7 5 13

f)

8 10 13

1 3


197

TG - 120 Să se afle coordonatele vârfurilor unui triunghi cunoscând mijloacele laturilor P(3,-1), Q(1,7), R(-4,3). a) (-1,-4), (5,2), (-3,12)

b) (-2,3), (8,-5), (-6,19)

c) (-2,-5), (4,19), (-12,13)

d) (-2,-5), (8,3), (-6,11)

e) (2,-3), (-10,9), (0,17)

f) (1,-3), (5,1), (-9,9)

TG - 121 Se dau punctul A(-3,4) şi dreapta (d) 2 x − y + 5 = 0 . Să se determine coordonatele punctului B, simetricul lui A faţă de dreapta (d). a) B(-1,3)

b) B(2,1)

c) B(1,-2)

d) B(1,2)

e) B(3,-4)

f) B(-1,2)

TG - 122 Fiind date numerele a , b ∈ R * , se consideră punctele A(a,0), B(0,b) şi M(0,λ) situate pe axele de coordonate (Ox) şi (Oy). Să se determine λ astfel ca proiecţia punctului M pe dreapta (AB) să coincidă cu mijlocul segmentului AB .

a 2 − b2 a) a d)

b2 − a 2 2a

a 2 − b2 b) b e)

b2 − a 2 2b

a 2 + b2 c) a f)

a 2 + b2 b

TG – 123 În sistemul cartezian (Oxy) se consideră punctele A(3,0), B(0,2), M(3,-3) şi N(-2,2) . Să se determine punctul de concurenţă al dreptelor (AN), (BM) şi al perpendicularei din O pe (AB).

 18 12  ,   19 19 

b) 

 12 8  ,   19 19 

e) 

a) 

d) 

 12 18  ,   19 19 

c) 

 8 12  ,   19 19 

 18 6  ,   19 19 

f) 

 16 18  ,   19 19 


198

TG - 124 Se dau punctele A(3,5), B(-1,3), C(4,1). Se cere să se scrie ecuaţia medianei din A a triunghiului ABC . a) 2x + 5y - 31 = 0

b) x - 2y + 7 = 0

c) 2x + y - 11 = 0

d) x + 2y - 13 = 0

e) 2x - y - 1 = 0

f) 3x - y - 4 = 0

TG – 125 Ştiind că punctul M(x,y) se află pe dreapta D : x + y + 1 = 0 , să se determine minimul expresiei: E = x 2 + y 2 . a) 1

b)

1 2

c) 2

d)

3

e)

3 2

f)

1 3

TG – 126 Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin punctul de intersecţie al dreptelor

(d1 )

x + 2 y − 7 = 0,

(d 2 )

2x − y + 1 = 0

şi este paralelă cu prima bisectoare. a) 2 x − 2 y = 1;

b) y = x + 7;

c) x − y + 5 = 0

d) x − y + 2 = 0;

e) x − y + 3 = 0;

f) 3 x − 3 y + 7 = 0 .

TG - 127 Se dă dreapta (α - 1)x + (α - 2)y - α + 3 = 0 cu α∈R. Să se determine α astfel că dacă A,B sunt intersecţiile dreptei cu (Ox), respectiv (Oy), să avem: 1 1 + = 10 . 2 OA OB2

a) α 1 =3, α 2 =4

b) α 1 =

5 17 α2 = 2 4

c) α 1 =

7 15 α2 = 2 4


d) α 1 = − α2 = −

5 17 α2 = 2 4

e) α 1 =

5 17 α2 = − 2 2

199

f) α 1 = −

7 2

15 4

TG - 128 Într-un sistem de axe rectangulare se dau dreptele: (AB) 8x + 15y -168 = 0 , (CA) 4x - 3y = 0 , (BC) 12x + 5y + 168 = 0 , care formează triunghiul ABC . Să se calculeze lungimea m c a medianei din vârful C şi aria triunghiului ABC . a) mc = 20, S = 255 2 d) m c =

2 3 , S= 3

2996

b) m c =25, S = 625

c) m c =28, S = 420

e) m c =17 3 , S = 210 3

f) m c =27, S=421

TG - 129 Un triunghi isoscel cu baza AB are vârfurile A(-3,-1), B(7,5) , iar C este situat pe dreapta (d) x-y+8 = 0. Să se scrie ecuaţiile laturilor (AC) şi (BC). a) 2x - y + 9 = 0 (AC), x + 2y - 13 = 0 (BC)

b) x - 3y = 0 (AC), 3x - y - 16 = 0 (BC)

c) 2x - y + 5 = 0 (AC), x + 2y - 17 = 0 (BC)

d) 4x - y + 11 = 0 (AC), x + 4y - 27 = 0 (BC)

e) 4x - 3y + 9 = 0, (AC), 3x + 4y - 41 = 0 (BC) f) x + y + 4 = 0 (AC), x - y - 2 = 0 (BC)

TG - 130 Pe catetele OB şi OC ale unui triunghi dreptunghic se construiesc în afară pătrate în care vârfurile opuse lui O sunt, respectiv, D şi E. Să se determine coordonatele punctului H de intersecţie a dreptelor (CD) şi (BE), dacă B(b,0) iar C(0,c).   bc 2 b2c a) H  2 ,   b + c 2 + bc b 2 + c 2 + bc 

  bc 2 b2c b) H  2 ,   b + c 2 − bc b 2 + c 2 − bc 


200

bc   bc c) H  ,   b + c b − c

 b2 c2  d) H  ,   b + c b + c

 b2 c2  e) H  ,   b − c b − c

 b2 + c2 b2 − c2  f) H  ,  bc   bc

TG - 131 Fie A şi B punctele în care dreapta ax + (2a + 1)y + a2 = 0 taie axa (Ox), respectiv (Oy), (d 1 ) dreapta ce trece prin A şi este paralelă cu prima bisectoare a axelor; (d 2 ) dreapta care trece prin B şi este perpendiculară pe (d 1 ). Să se determine “a” astfel încât punctul de intersecţie dintre (d 1 ) şi (d 2 ) să fie pe dreapta de ecuaţie x + 5y = 1. a) a = ± 2

b) a = ± 1

c) a = 0, a = 1

d) a = 2, a = 3

e) a = ± 3

f) a = -1, a = 3

TG - 132 Se dau dreptele (AB): x - 2y + 3 = 0, (AC): 2x - y - 3 = 0, (BC): 3x + 2y + 1 = 0. Să se scrie ecuaţia înălţimii din A a triunghiului ABC . a) 2x - 3y + 3 = 0

b) 6x - 9y - 1 = 0

c) -4x + 6y - 1 = 0

d) 2x - 3y - 1 = 0

e) 6x - 9y + 2 = 0

f) 4x - 6y + 3 = 0

TG – 133 Fie în planul (Oxy) punctele A(3,0) şi B(-1,8) . Prin A se duce o paralelă (d) la prima bisectoare, iar prin punctul B se duce o dreaptă care taie dreapta (d) întrun punct C astfel încât triunghiul ABC să fie isoscel cu baza AB . Să se afle coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC . a) (3,4)

 7 10   3 3 

d)  ,

b) (-1,3)

 19 20  ,  3 3 

e) 

c) (3,5)

 17 10  ,   3 3

f) 


201

TG - 134 Se dau punctele A(3,0), B(-1,8) şi C astfel încât triunghiul ABC este isoscel cu baza AB şi C aparţinând dreptei (d), paralela prin A la prima bisectoare. Să se determine coordonatele punctului H de intersecţie a înălţimilor triunghiului. a) H(2,4)

 7 14  b) H  ,  3 3

 7 14  c) H  ,−  3 3

 1 2 d) H  ,   3 3

 7 14  e) H  − ,   3 3

 1 2 f) H  − ,−   3 3

TG - 135 Se dau dreptele x + y - 1 = 0, x + y - 2 = 0, x - 2y + 1 = 0 şi x - 2y - 3 = 0 , care sunt laturile unui paralelogram. Să se scrie ecuaţiile diagonalelor. a) 2x - y = 0, x - 2y + 1 = 0

b) x - 2y - 3 = 0, x + 2y - 3 = 0

c) x - 2y + 1 = 0, x + 2y - 1 = 0

d) x + 4y - 1 = 0, -x + 2y + 3 = 0

e) 3x + 6y - 5 = 0, 5x + 2y - 7 = 0

f) 3x + 6y - 5 = 0, 2x - 3y + 1 = 0

TG - 136 Fie în planul (xOy) triunghiul având laturile de ecuaţii x - y + 1 = 0, 2x + y - 4 = 0 şi x + 2y + 7 = 0. Să se determine coordonatele ortocentrului H al acestui triunghi.  1 2 a) H  ,   3 3

 2 1 b) H  ,   3 3

 1 2 c) H  − ,−   3 3

 1 2 d) H  − ,   3 3

 1 2 e) H  ,−   3 3

 2 1 f) H  − ,−   3 3

TG - 137 Să se determine punctul de intersecţie al dreptei (d), de pantă trece prin punctul (3,1), cu drepta ( d' ) având urmele : a) (1,1)

b) (-1, -1)

c) (2,1)

d) (2,2)

2 şi care 5

8 pe axa (Ox) şi -4 pe (Oy). 3

e) (-2, -1)

f) (1,2)


202

TG - 138 Se dau punctele A(1,0), B(-2,4), C(-1,4), D(3,5). Să se găsească pe dreapta y = 3x - 5 un punct M astfel încât ariile triunghiurilor MAB şi MCD să fie egale.

 

7 3

7 3

 

a) M 1  2,  , M 2 (-9, -32)

b) M 1  ,2  , M 2 (-9,-32)

5  c) M 1 (1,-2), M 2  ,0 3 

d) M 1 (-1,-8), M 2  −

1  e) M 1 (-2, -11), M 2  ,−4 3 

2  f) M 1 (3,4), M 2  ,−3 3 

 5

 ,−10   3 

TG - 139 Se dă triunghiul ABC determinat de dreptele (AB): x + 2y - 4 = 0, (BC): 3x + y - 2 = 0, (CA): x - 3y - 4 = 0. Să se calculeze aria triunghiului ABC . a) A ∆ ABC = 10

b) A ∆ ABC = 8

c) A ∆ ABC = 6

d) A ∆ ABC = 5

e) A ∆ ABC = 7

f) A ∆ ABC = 9

TG - 140 Se dau punctele A(2,1) şi B(-5,-3). Să se afle punctul M pe dreapta (d) y = x + 4, astfel ca m ( AMB ) = 90°. a) M 1 (-1,3), M 2 (1,5) d) M 1 (1,5)

 11 3  b) M 1 (-2,2), M 2  − ,−   2 2 e) M(-3,1)

 11 3  c) M 1 (-1,3), M 2  − ,−   2 2 f) M 1 (0,4), M 2 (-3,1)

TG - 141 Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin intersecţia dreptelor (d 1 ) 2x - 3y + 6 = 0, (d 2 ) x + 2y - 4 = 0 şi este perpendiculară pe dreapta care trece prin P(2,2) şi intersectează axa (Ox) într-un punct aflat la distanţa 4 de originea O a sistemului de axe de coordonate. a) x + y - 2 = 0

b) x - 3y + 4 = 0

c) x + y -2 = 0 şi x - 3y + 4 = 0

d) x - 2y + 4 = 0 şi 6x + y - 2 = 0

e) 4x + y - 2 = 0

f) x - y + 2 = 0 şi 3x + y - 2 = 0


203

TG - 142 Se dau punctele A(2,2) şi B(5,1). Să se determine punctul C situat pe dreapta x - 2y + 8 = 0 , astfel încât aria triunghiului ABC să fie 17.  76 18   8 16  a) C 1 (12,10), C 2  − ,−  b) C 1 (10,9), C 2  − ,−   5  5 5 5  12 14  c) C 1 (8,8), C 2  − ,−   5 5

 26 7  d) C 1 (-20,-6), C 2  − ,   5 5

 14 5  e) C 1 (-2,3), C 2  − ,   3 3

 12 14  f) C 1 (12,10), C 2  − ,−   5 5

TG - 143 Se dă dreapta 3x - 4y + 4 = 0 şi punctul A(8,0). Să se afle aria triunghiului format de dreapta dată şi două drepte ce trec prin A şi fac cu axa (Ox) unghiurile de 45° şi 135°. a) 90

b) 100

c) 105

d) 110

e) 116

f) 112

TG - 144 Se dă dreapta 5x - 12y + 32 = 0 şi punctele A(1,-1), B(5,-3). Să se afle coordonatele punctului M egal depărtat de A şi B şi care are distanţa de 4 unităţi până la dreapta dată. a) M 1 (1,-6), M 2 (9,10)

b) M 1 (-1,-10), M 2 (9,10)

 180 208  d) M 1 (-2,-12), M 2 (1,-6) e) M 1 (4,0), M 2  ,   19 19 

c) M 1 (2,-4), M 2 (-2,12) f) M 1 (0,-8),

 180 512  M2  − ,−   19 19 

TG - 145 Să se determine λ astfel ca distanţa de la punctul A(3,4) la dreapta variabilă (λ+3)x - (λ-2)y + 3λ - 1 = 0 să fie d = a) 4, -2

b) 1, −

7 4

c) −

9 7 , 2 4

d)

10 .

9 7 ,− 2 4

e) -1,

7 4

f)

TG - 146 Să se scrie ecuaţiile dreptelor care trec prin punctul A(-5,7) şi sunt

2 2 ,− 3 3


204

situate la distanţa 3 de punctul B(0,7). a) 4x + 3y - 1 = 0, 4x - 3y + 41 = 0

b) 4x + 5y - 15 = 0, 4x - 5y + 55 = 0

c) 3x - 2y + 29 = 0, 3x + 2y + 1 = 0

d) 3x + 4y - 13 = 0, 4x + 3y - 1 = 0

e) 3x - 4y + 43 = 0, 3x + 2y + 1 = 0

f) 3x - 4y + 43 = 0, 3x + 4y - 13 = 0

TG - 147 Se dau dreptele 3x - 4y + 6 = 0 şi 4x - 3y - 9 = 0. Să se determine paralela la a doua bisectoare a axelor de coordonate care formează între cele două drepte un segment de 5 2 unităţi. a) y = -x + 10, y = -x + 20

b) y = -x - 20, y = -x + 20

c) y = -x + 50, y = -x + 20

d) y = -x + 50, y = -x - 20 e) y = -x - 10, y = -x + 30 f) y = -x + 10, y = -x – 30 TG - 148 Să se calculeze mărimea unghiului format de dreptele 2x - y - 5 = 0 şi x - 3y + 4 = 0 în care se află originea axelor. a) 30°

b) 150°

c) 45°

d) 135°

e) 60°

f) 120°

TG - 149 Se consideră triunghiul cu vârfurile: A(7,4), B(5,1) şi C(1,3). Să se determine distanţele vârfurilor B şi C la mediana din vârful A. a) d B =

4 5

b) d B = 1 , d C =

,d C = 1

d) d B = d C =

3

e) d B =

5

3 5

4

c) d B = d C = 1

5

,d C =

2

f) d B = d C =

5

4 5

TG - 150 Fie în planul (xOy) punctul M(-2,6) şi dreapta (d) x + 2y - 5 = 0. Să se afle distanţa simetricului punctului M în raport cu dreapta (d) până la prima bisectoare. a)

3 2 2

b)

2 2

c) 3 2

d)

5 2 3

e)

2 3

TG - 151 Fie în planul (xOy) punctele A(3,3) şi B(7, -3) şi dreapta (d)

f)

2 5


205

4x-2y+3=0. Să se afle punctul M de pe dreapta (d) care este echidistant faţă de punctele A şi B. a) M(1,2)

 13 23 b) M  − ,−   4 4

 23 29  c) M  − ,−   4 4

 1 1 d) M  ,−   8 4

 29 23 e) M  − ,−   8 4

 13 23 f) M  − ,−   8 4

TG – 152 Să se determine m ∈ R astfel încât dreptele d 1 : 3x+my+2m+3=0 şi d 2 : 2x+(m-1)y+m+3=0 să coincidă. a) m∈∅

b) m=0

c) m=1

d) m=2 e) m=3 f) m=4 TG – 153 Să se determine α∈R astfel încât dreptele de ecuaţii (d 1 ) x+2y-2=0, (d 2 ) 2x-4y+3=0 şi (d 3 ) αx+y-1=0 să fie concurente: a) α=1

b) α=0

c) α=

1 2

d) α=-1

e) α= −

1 2

TG – 154 Să se scrie ecuaţia dreptei din plan, ştiind că A(2, 3) este piciorul perpendicularei coborâtă din origine pe dreaptă. a) 3x+2y-13=0;

b) x+3y-11=0;

c) 3x+y-9=0;

d) 2x+3y-13=0;

e) 3x+4y-14=0;

f) 4x+3y-17=0.

TG – 155 Pe dreapta care uneşte punctele A(-3,5), B(-1,2) să se determine un punct de abscisă x=5 a) (5, -1)

b) (5, -7)

c) (3, 5)

d) (-7, 5)

e) (5, 0)

f) (1,5)

TG – 156 Să se determine ecuaţia mediatoarei segmentului ce uneşte punctele (3,1) şi (4,8)


206 a) 9x-7y=0

b) 7x-9y=0

c) x+7y-35=0

d) 7x-y-20=0

e) x+7z-20=0

f) x-y+1=0

TG – 157 În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-2, 0) şi B(0,1). Fie A’ mijlocul segmentului [OA] şi B’ simetricul lui B faţă de origine. Să se determine punctul de intersecţie al dreptei (A’B’) cu prima bisectoare a axelor de coordonate.

1 1 a)  ,−  2 2

1 1  1 1 c)  ,  ;  − ,−  3 3  3 3

 1 1 b)  − ,−   2 2

1 1 f)  ,  2 2 TG – 158 Să se determine vârful C al triunghiului ABC, A(1,0), B(-2,4) pentru care d) (-1, -1)

e) (1,1)

centrul de greutate este punctul G (1,2). a) C (4,2)

b) C (0,2)

c) C (-4,2)

d) C (4,-2)

e) C(1,1)

f) C (2,4)

TG – 159 Să se determine α∈R* astfel încât punctele A(3,9), B(8,4), C(-2,4) şi D(α, -α) să definească un patrulater inscriptibil. a) α=1

b) α∈∅

c) α=-1

d) α=2

e) α=-2

f) α=3

TG – 160 Să se determine raza cercului de ecuaţie: x 2 + y 2 − 2x − 4y − 3 = 0 .

a) 4;

b)

2;

c) 2 2 ;

d) 4 2 ;

e) 8;

TG – 161 Să se determine ecuaţia cercului ce trece prin origine şi are centrul în punctul (-1,3). a) x 2 + y 2 − 4x + 6y = 0

b) x 2 + y 2 + 2x − 6y = 0

f) 9.


207

c) x 2 + y 2 − 8x − 6y = 0

d) x 2 + y 2 − 3x + y - 10 = 0

e) x 2 + y 2 − 8x - 4y = 0

f) x 2 + y 2 + 2x + 6y - 10 = 0

TG – 162 Să se determine ecuaţia cercului tangent dreptei y=1 în punctul A(1,1) şi

3 4 tangent dreptei 4x-3y=0 în punctul B  ,  5 5 a) x 2 + y 2 − 10x + 9y - 1 = 0 c) x 2 + y 2 − 2x - 1y + 1 = 0

b) x 2 + y 2 − 13x + 13y = 0 d) x 2 + y 2 − 8x + 5y + 1 = 0

e) x 2 + y 2 − 12x + 13y - 3 = 0 f) x 2 + y 2 − 11y + 9 = 0 TG – 163 În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A(4,5), B(-2, -3) şi C(5, 4). Cercul circumscris triunghiului ABC are ecuaţia: a) x 2 + y 2 + 2 x − 2y − 23 = 0

b) x 2 + y 2 − 2x + 2y - 23 = 0

c) x 2 + y 2 − 2x − 2y − 23 = 0

d) x 2 + y 2 + 2x + 2y − 23 = 0

e) x 2 + y 2 + 2x + 2y + 23 = 0

f) x 2 + y 2 + 2x − 2y + 23 = 0

TG – 164 Să se determine coordonatele centrelor cercurilor de rază 13 ce trec prin punctul A(2,1) şi taie axele de coordonate după două coarde de lungime egală. a) C 1 (1, -1) , C 2 (1, 4)

b) C 1 (4, 1) , C 2 (1, 4)

c) C 1 (-1, -1) , C 2 (4, 4)

d) C 1 (1, 1) , C 2 (4, 4)

e) C 1 (1, 2) , C 2 (2, 1)

f) C 1 (4, 4) , C 2 (3, 3)

TG – 165 Găsiti ecuaţia cercului care trece prin punctele A(1,0) , B(-1,0) şi C(1,1). a) x 2 + y 2 + y − 1 = 0

b) x 2 + y 2 − y − 1 = 0

c) x 2 + y 2 − y + 1 = 0


208

d) x 2 + y 2 + y + 1 = 0

e) x 2 + y 2 − y = 0

f) x 2 + y 2 − 1 = 0

TG – 166 Se consideră dreapta D: x = 4 şi punctul P ( 6,5) în planul ( Oxy ). Să se determine cercul de diametru PP ′ , unde P ′ este proiecţia punctului P pe dreapta D. a) x 2 + y 2 − 10 x + 10 y + 49 = 0

b) x 2 + y 2 − 10 x − 10 y + 49 = 0

c) x 2 + y 2 − 10 x − 10 y − 49 = 0

d) x 2 + y 2 + 10 x − 10 y + 49 = 0

e) x 2 + y 2 + 10 x + 10 y + 49 = 0

f) x 2 + y 2 + 10 x + 10 y − 49 = 0

TG – 167 Se dă cercul de ecuaţie x 2 + y 2 − 3 x − 3 y + 2 = 0 şi punctul A(0,2) situat pe cerc. Să se afle coordonatele vârfurilor pătratului ABCD înscris în cerc. b) C (3,2 ); B(3,1); D(2,0 ); a) C (2,0 ); B(1,3); D(1,0 ); c) C (1,3); B(0,1); D(3,2 );

d) B(1,0 ); C (3,1); D(2,3);

e) B(3,2 ); C (0,1); D(2,3);

f) B(2,3); C (2,0 ); D(3,2 ) .

TG - 168 Se cer centrul şi raza cercului a cărei ecuaţie este 8(x2 + y2) + 4x + 12y - 27 = 0. Care este poziţia originii faţă de acest cerc ?

1 3 4 4

b) C  −

 1 3 ,−  , r = 2  4 4

 3 1 e) C  ,  , r = 3  4 4

a) C  ,  , r = 2 interioară d) C  −

exterioară

 1 3 ,−  , r = 2  4 4 interioară

interioară

1 1 2 2

c) C  ,  , r = 4 exterioară  1 1 f) C  − ,  , r = 2  4 4

exterioară


209

TG - 169 Se dau punctele A(-1,4), B(3,-2). Să se scrie ecuaţia cercului care are pe

AB ca diametru . a) x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0

b) x2 + y2 + 2x - 2y - 11 = 0

c) x2 + y2 - 2x + 2y + 11 = 0

d) x2 + y2 - 4x - 2y - 13 = 0

e) x2 + y2 + 4x - 4y - 13 = 0

f) x2 + y2 - 4x - 4y - 14 = 0

TG - 170 Să se determine toate valorile parametrului real λ pentru care dreapta (1 - λ2)x - 2λy + 2(1 + λ2) = 0 este tangentă la cercul cu centrul în origine şi având raza r = 2. 1 2 d) λ = -1 şi λ = 3 e) λ∈∅ f) λ∈R TG - 171 Să se scrie ecuaţia cercului înscris în triunghiul ce are ca vârfuri

b) λ = 2 şi λ = -2

a) λ = 1

c) λ =

punctele A(2,-2), B(2, 2 − 2 ) şi C( 2 + 2 , − 2 ) .

(

a) x − 1 − 2

) + (y + 3 − 2) 2

2

= 3− 2 2

(

b) x + 1 + 2

) + (y − 3 + 2) 2

c) ( x − 1) + ( y + 1) = 1

d) ( x + 1) + ( y − 1) = 1

e) x 2 + ( y + 2) = 2


2

2

2

2

2

= 3− 2 2

2

TG - 172 Se consideră cercul de ecuaţie x 2 + y 2 − 4 x − 4 y − 1 = 0 . Să se determine cercurile de centru C(-2,5) tangente cercului dat. a) x 2 + y 2 − 4 x + 10 y + 25 = 0

b) x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 25 = 0

c) x 2 + y 2 + 4 x − 10 y − 35 = 0

d) x 2 + y 2 − 4 x + 10 y + 25 = 0

x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 25 = 0 e) x 2 + y 2 + 4 x − 10 y + 25 = 0

f) x 2 + y 2 − 4 x + 10 y + 25 = 0

x 2 + y 2 + 4 x − 10 y − 35 = 0

x 2 + y 2 + 4 x − 10 y − 35 = 0


210

TG - 173 Să se determine centrele cercurilor ce sunt tangente axei (Ox) şi trec prin punctele A(2,3) şi B(4,1).

( 6, 3) C ( 6 ,− 3 ) C (5 + 6 ,4 + 6 ) d) C (5 − 6 ,4 − 6 ) a)

( ) C (3 − 6 ,2 + 6 ) C (5 − 6 ,2 + 6 ) e) C (5 + 6 ,2 − 6 )

C1

b)

2

C1 3 + 6 ,2 + 6 2

1

1

2

2

( C (5 − C (5 + f) C (5 −

c)

) 6) 6) 6)

C1 5 + 6 ,4 − 6 2

6 ,4 +

1

6 ,3 −

2

6 ,3 +

TG - 174 Să se afle lungimea tangentei duse din origine la cercul care trece prin punctele A(1,1), B(2,0), C(3,2). 13 3 14 14 d) e) f) 5 14 3 4 TG - 175 Unul dintre focarele unei elipse este situat la distanţele 7 şi, respectiv, 1 faţă de extremităţile axei mari. Să se scrie ecuaţia acestei elipse.

a) 1

b) 10

c)

a)

x2 y2 + =1 4 9

b)

x2 y2 + =1 9 4

c)

x2 y2 + =1 16 7

d)

x2 y 2 + =1 7 9

e)

x2 y2 + =1 4 16

f)

x2 y2 + =1 16 4

TG - 176 Un punct M descrie o elipsă de centru O şi semiaxe 2 şi 1. Fie P proiecţia lui M pe axa mare iar N un punct pe (OM) aşa încât ON = 2 NM . Dreapta (PN) taie axa mică în Q, să se calculeze lungimea segmentului PQ. a) 2

b)

1 2

c) 1

d)

2 3

e)

3 2

f)

1 4


211

TG - 177 Se consideră elipsa de ecuaţie x 2 + 4 y 2 = 9 . Să se scrie ecuaţia unei drepte ce trece prin punctul M(2,1), care intersectează elipsa în punctele A şi B, astfel ca M să fie mijlocul segmentului AB . a) 8 x − y + 17 = 0

b) x − 8 y + 17 = 0

c) 8 x − 8 y + 17 = 0

d) 8 x + y − 17 = 0

e) x + 2 y − 4 = 0

f) x − 2 y + 4 = 0

x2 y2 + = 1 se duce o coardă a 2 b2 perpendiculară pe axa mare. Să se găsească lungimea acestei coarde. TG - 178 Prin focarul F(c,0) al elipsei

a)

a b

b)

b a

c)

2b

d)

a2

2b 2

a

 3  2

TG – 179 Fiind dat punctul M 1,  al elipsei : (E )

e)

a2 b

f) a + b

x2 y2 + − 1 = 0 , să se scrie 4 3

ecuaţiile dreptelor suport pentru razele focale ale acestui punct.

a) x + y = 1 3x + 4 y + 3 = 0

b) x − 1 = 0 3x − 4 y + 3 = 0

c) x + y + 1 = 0 x + 3y + 4 = 0

d ) 2x − y + 3 = 0

e) x − 1 = 0

f ) x −1 = 0

3x − 4 y + 2 = 0

3x + 4 y + 3 = 0

TG – 180 Să se afle punctul de pe elipsa dreapta x + ay = 3a .

a 3  2 2

a)  , ;

x2 y2 + = 1 care este cel mai apropiat de 3 a2

 a 3  ,  2 2 ;  

b) 

3x − 4 = 0

a 2 6   3 3 ;  

c)  ,


212

 a

 , 2 ;  3 

 a 3 , ;  2 2

f) (a,0 )

e) 

d)  −

x2 y2 + − 1 = 0 , a > b şi unul din focare situat în punctul F. a2 b2

TG – 181 Fie elipsa

Prin F se duce o secantă oarecare, care taie elipsa în punctele M şi N. Să se calculeze valoarea expresiei E =

1 1 + FM FN

a) E =

2a b2

b) E =

a b2

c) E =

a 2b 2

d) E =

2b a2

e) E =

b a2

f) E =

b 2a 2

TG - 182 Să se calculeze aria unui pătrat având două vârfuri ce coincid cu x2 y2 focarele elipsei E: + −1 = 0. 25 16 a) 36

b) 18

c) 36 sau 18

x2

d) 9 sau 18

e) 36 sau 9

f) 20

y2

= 1 se înscrie un dreptunghi astfel încât două laturi 49 24 opuse ale sale să treacă prin focare. Să se calculeze aria acestui dreptunghi.

TG - 183 În elipsa

a) 27 3

b)

480 7

+

c) 27 3 + 1

d) 27 + 2 e)

3 2

f) 25

TG - 184 Un romb cu latura de lungime 5 şi înălţimea de lungime 4,8 are diagonalele situate pe axele de coordonate (Ox) şi (Oy). Să se determine elipsele, având axa mare pe (Ox), care trec prin două vârfuri opuse ale rombului, iar focarele sunt situate în celelalte două vârfuri.


a)

x2 16

+

y2 9

=1

213

b)

x2 y2 x2 y2 + − 1 = 0, + −1 = 0 25 8 16 8

c)

x2 y2 + −1 = 0 4 1

d)

x2 y2 + =1 25 4

e)

x2 y2 x2 y2 + − 1 = 0, + −1 = 0 25 16 25 9

f)

x2 y2 + −1 = 0 9 4

TG - 185 Să se determine focarele elipsei x 2 + 3 y 2 − 9 = 0 . a) F1 (− 3,0 ), F2 (3,0 )

(

) (

 1   3 

b) F1 (0,−3), F2 (0,3)

d) F1 0,− 6 , F2 0, 6

)

(

TG - 186 Se dă hiperbola

) (

e) F1 − 6 ,0 , F2 2

6 ,0

1  3 

c) F1  − ,0 , F2  ,0 

)

(

) (

f) F1 − 3 ,0 , F2

3 ,0

)

2

x y − = 1 . Să se calculeze coordonatele focarelor F şi F’. 9 16

a)

F (5,0 ) F ' (− 5,0 )

b)

F (0,5) F ' (0,−5)

c)

F (3,0) F ' (− 3,0)

d)

F (0,3) F ' (0,−3)

e)

F (3,4) F ' (− 3,4)

f)

F (0,4) F ' (0,−4)

TG - 187 Se dă hiperbola H: 2 x2 − 5 y2 − 10 = 0. Să se determine vârfurile şi asimptotele hiperbolei H. a) (-5,0),(5,0); y =

2 2 x, y = − x 5 5

c) (- 5 ,0),( 5 ,0); y =

2 2 x, y = − x 5 5

b) (- 5 ,0), ( 5 ,0); y =

2 2 x, y = − x 5 5

d) ( 2 ,0), (- 2 ,0); y =

5 5 x, y = − x 2 2


214

e) (-2,0),(2,0); y =

5 5 x ,y =− x 2 2

f) (- 2 ,0), ( 2 ,0); y =

5 5 x ,y =− x 2 2

TG - 188 Să se scrie ecuaţia hiperbolei care trece prin focarele elipsei

x2 y2 + = 1 şi are focarele în vârfurile acestei elipse. 169 144 x2 y2 a) − =1 169 144 d)

x2 y2 − =1 169 25

x2 y2 b) − =1 16 25 e)

x2 y2 c) − =1 25 144

x2 y2 − =1 16 144

f)

TG – 189 Să se scrie ecuaţia hiperbolei ce are asimptotele y = ±

x2 y2 − =1 169 16 2 x şi care trece 3

prin punctul P(5,-2). a) 64 x 2 − 144 y 2 − 1 = 0

b) 4 x 2 − 9 y 2 − 64 = 0

c) 9 x 2 − 64 y 2 − 1 = 0

d) 144 x 2 − 64 y 2 − 1 = 0

e) 9 x 2 − 4 y 2 − 64 = 0

f)

y2 = 1 , să se calculeze aria triunghiului 4 9 format de asimptotele hiperbolei (H) şi dreapta (d ) : 9 x + 2 y = 24.

TG – 190 Pentru hiperbola

a) 24

b) 16

(H ) : x

2

x2 y2 1 − − =0 9 4 36

c) 18

−

d) 12

e) 14

f) 15


215

TG – 191 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei :

x2 y2 − = 1 la cele două asimptote. a2 b2 a)

a2 − b2 ; a2 + b2

b)

a 2b 2 d) 2 ; a + b2

a2 + b2 ; a2 − b2

c)

a 2b 2 e) 2 ; a − b2

a+b ; a2 + b2

f) 1.

TG - 192 Se consideră hiperbola de vârfuri A(a,0), A' (-a,0) şi focare F(c,0) şi F ' (−c,0) . Perpendiculara în A pe axa (AA' ) taie o asimptotă în G. Să se determine mărimea unghiului FGF ' . 2π π π π 3 5 b) c) d) e) arctg f) arctg 3 3 4 2 2 4 TG - 193 Să se determine unghiul ascuţit dintre asimptotele hiperbolei

a)

c x2 y2 − 2 = 1 , având raportul = 2 , c - fiind abscisa unui focar al hiperbolei. 2 a a b a) 30°

b) 45°

c) 90°

d) 15°

e) 75°

f) 60°

TG - 194 Un cerc de centru C(0,2) este tangent ramurilor hiperbolei y2 x2 − − 1 = 0. Să se determine coordonatele punctelor de contact. 4

(

) (

a) − 41 ,8 şi

)

41 ,8

8  8 41  41   şi  ,  d)  ,− 5  5 5 5 

TG - 195 Se dă hiperbola

x2

 1 8  1 8 b)  − ,  şi  ,   5 5  5 5

 41 8  c)  − ,  şi 5 5  

e) (1,0) şi (-1,0)

f)

(

) (

 41 8   ,   5 5

2 ,2 şi − 2 ,2

)

− y 2 = 1 . Prin punctul A(+3, -1) să se ducă o coardă la 4 hiperbolă astfel încât acest punct s-o împartă în două părţi egale.


216

a) -x + y + 4 = 0

b) x + y - 2 = 0

c) 3x + 4y - 5 = 0

d) -2x + y + 7 = 0

e) 2x + y - 5 = 0

f) -3x + y + 10 = 0

TG - 196 Să se determine coordonatele focarului F al parabolei y 2 = 2 x

1  2 

a) F  ,0 

b) F (1,0 )

c) F (2,0 )

 1  ,0   2 

d) F  −

 

1 2

e) F  0, 

f) F (0,1)

TG - 197 Prin focarul parabolei y 2 = 8 x se duce o coardă AB care face unghiul α cu axa (Ox). Dacă prin focar se mai duce şi corda CD care este perpen-diculară pe

AB , să se calculeze suma

S= a)

1 8

b)

1 4

1 1 + AB CD 1 c) 2

d) 8

e) 4

f) 2

TG - 198 Să se determine ecuaţia unei parabole raportată la axa de simetrie şi tangenta în vârf, ştiind că trece prin punctul A(3,3). a) y2 = 3x

b) y2 = 3x

c) y2 = 9x

d) y2 = 6x

e) y2 = 3x

f) y2 = 6x

TG – 199 La ce distanţă de vârf trebuie plasată o sursă luminoasă pe axa unui reflector parabolic de înălţime 20 cm şi diametrul bazei 20 cm, pentru a produce prin reflexie un fascicol de raze paralele. a) 10 cm;

b) 2 cm;

c) 2,5 cm;

d) 3 cm;

e) 1,25 cm;

f) 1,5 cm.

TG - 200 Să se determine un punct M situat pe parabola y2 = 64x, cât mai aproape posibil de dreapta 4x + 3y + 37 = 0 şi să se calculeze distanţa de la punctul M la această dreaptă. a) M(9, -24), d = 5

b) M(9, -24), d =

d) M(9,24), d = 5

e) M(1, -8), d =

1 5

1 5

c) M(1,8), d = 5 f) M(1,1), d = 1


217

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ


218

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )

AM - 001 Să se calculeze: L = lim

2 n + ( − 2)

n→∞

n

, n ∈N .

3n

a) L = 1

b) L nu există

c) L = 0

1 d) L = 3

0, n = 2 k + 1  e) L =  2  3 , n = 2 k

f) L =

2 3

AM - 002 Precizaţi toate valorile parametrului a ∈(0,+∞) pentru care 2 n + 3n + a n =0. n→∞ 3n + 4 n lim

a) a ∈(0,1)

b) a ∈(2,3)

c) a ∈(0,4)

d) a ∈(0,2)

e) a ∈{5,6,7}

AM - 003 Să se calculeze limita şirului cu termenul general a n =

a) 1

b) 0

c) 3

d)

1 3

b) 2

c) 0

d) e

3n , n ≥ 1. n!

e) 2

AM - 004 Să se calculeze limita şirului cu termenul general a n =

a) 1

f) a ∈(0,+∞)

e) 3

nn

(n !)

2

f)

1 2

f)

1 3

.

Elemente de analiză matematică

219

AM - 005 Să se calculeze lim a n , unde n→∞

 

a n = 1 −

a) 1

b) 2

1 1  1   1 − 2  ...  1 − 2  , n ≥ 2 . 2 n  2  3  

c) 3

d)

1 2

e)

1 4

f)

1 3

AM - 006 Să se determine limita şirului cu termenul general

1  1   1   1  a n = 1 +  1 + 2  1 + 4 ...1 + 2n −1  ,  2  2  2   2  a) 4

b) 2

c) 1

d) 0

n ∈ N* .

e)

1 2

f) 3

AM - 007 Care este limita şirului cu termenul general

a n = 3 5 ⋅ 9 5 ⋅ 27 5⋅...⋅ 3 5,n ∈ N * ? n

a)

3

b)

5

5

c)

1 5

d)

2 5

e) 2 3 5

AM - 008 Calculaţi limita şirului cu termenul general an = 2n sin

a) 1

b) 0

c) π

d)

π

f) 2 5

π n

, n ≥1 f) ∞

e) 2π

2 x

x

x

AM - 009 Să se precizeze valoarea limitei L = lim cos ⋅ cos 2 ⋅ ... ⋅ cos n , n→∞ 2 2 2 unde x ∈R \ {0} . a) L = x sin x d) L =

sin x 2

b) L =

sin x

x

e) L = 2 sin x

c) L = sin x f) L =

sin 2 x 2x


220

1 + xe nx . n→∞ 1 + e nx

AM - 010 Fie x ∈R . Să se calculeze: f ( x) = lim a) f ( x) = 1 , x ∈R

b) f ( x) = x , x ∈R

c) f ( x) = x 2 , x ∈R

 x , dacă x ≥ 0 d) f ( x) =  1 , dacă x < 0

1 , dacă x ≥ 0 e) f ( x) =   x , dacă x < 0

 x , dacă x > 0 1  f) f ( x) =  , dacă x = 0 2 1 , dacă x < 0

AM - 011 Care este limita şirului cu termenul general a n = n 2 1 a) ln 2 2

1 c) ln 3 3

b) ln 2

d) e ln 2

(

n

)

2 − n +1 2 , n ≥ 2 ?

1 e) ln 5 4

1 f) ln 2 3

AM - 012 Să se calculeze, pentru k ∈ N , a ∈ R , a > 0 , a ≠ 1 , limita  1  n − 1 n +1 . L = lim n  a n − 1  − n→∞ n n + 2    k

0, k < 3  a) L = − ln a , k = 3 + ∞ , k > 3 

0, k < 3  b) L = − ∞, k > 3 − ln a , k = 3 

0, k < 3 − ln a , k = 3  c) L =  − ∞, k > 3 şi a > 1 + ∞, k > 3 şi a < 1

+ ∞, k ≥ 3, a > 1 d) L =  0, k ≤ 3

0, k ≤ 3 e) L =  + ∞ , k > 3

− ∞, k < 3 şi a < 1  f) L = + ∞, k > 3 şi a > 1 − ln a , k = 0 

AM - 013 Care este valoarea limitei şirului cu termenul general  2n + n + 3   a n =   2n + 1 

a) e

b)

3

e

c)

n

?

e

d)

1

e

e) e2

f) 0


221

 n 2 − 1 AM - 014 Să se calculeze lim a n , unde a n =  2  n→∞  n + 1

a) α

b) e α

αn 2 2

, α ∈R .

d) e −α

c) 0

e) e 2α

f) − α

AM - 015 Să se calculeze limita şirului cu termenul general

[ (n + 1)(n = 2

an

a) e 2

2

n

3n

2

b) e −6

)]

)( ( n + n)

− n + 1 n 2 − 2n + 1

c) e −4

, n ≥ 1.

d) e 3

e) e −3

f) 1

 π  π 1  AM - 016 Să se calculeze L = lim n sin n + tg n  + n   . n→∞  4 2  2 

a) L = 0

c) L =

b) L = 2

1 2

d) L = 1

e) L = −1

f) L = 3

AM - 017 Să se determine mulţimea valorilor a ∈R , astfel ca

(1 − a ) 2

lim

n→∞

a) (0,1)

b) {− 2,2}

2

⋅ n2 + 2

n

= 3.

c) {0,1}

d) {0,1,2}

e) ( − 2,2)

f) ( − 11 ,)

AM - 018 Să se determine constanta α ∈R astfel încât lim n α  n + n − n − n  să fie finită.   n→∞ a) α ≤ 1

b) α ≤ 0

c) 0 < α < 1

d) α > 1

e) α = −1

f) α =

1 2


222

AM - 019 Să se determine numerele reale a, b, c astfel încât lim n an + cn 2 + bn + 2  = 1 . n→∞  a) a = −1, b = 0, c = 1

b) a = −1, b = 0, c = −1

c) a = b = c = −1

d) a = b = c = 0

e) a = 1, b = 0, c = −1

f) a = 0, b = c = −1

AM - 020 Ce relaţie trebuie să existe între parametrii reali a şi b astfel încât să

(

)

aibă loc relaţia: lim a n + 1 + b n + 2 + n + 3 = 0 ? n→∞

a) a + b = 0

b) a + b + 1 = 0

c) a + b = 1

d) a = b = 1

e) a = 1, b = 0

f) a 2 = b 2

AM - 021 Fie a 0 , a 1 ,..., a k numere reale astfel încât a 0 + a 1 + ... + a k = 0 .

(

)

Să se calculeze L = lim a 0 3 n + a 1 3 n + 1 + ... + a k 3 n + k . n→∞

a) L = 1

b) L = 2

c) L =

k 3

d) L =

1 2

e) L = 0

f) L =

2k 3

AM - 022 Să se determine a , b ∈R astfel încât: lim  3 1 − n 3 − an − b = 0 . n→∞ a) a = 1, b = 0

b) a = −1, b = 1

c) a = −1, b = 0

d) a = b = 0

e) a = b = 1

f) a = 1, b = 2

AM - 023 Să se calculeze lim sin 2  π n 2 + 3n + 4  .   n→∞

a)

1 2

b)

1 4

c)

3 4

d)

1 3

e) 1

f) 0


AM - 024 Să se calculeze lim

1 + a + a 2 + ... + a n

n→∞

a)

1− a 1− b

b)

1− b 1− a

, dacă a , b ∈( − 11 , ).

1 + b + b 2 + ... + b n

c)

1+ a 1− b

d)

223

1− a 1+ b

e)

a

f)

b +1

1+ b 1+ a

AM - 025 Într-o progresie aritmetică a 1 , a 2 ,..., a n ,... suma primilor n termeni 3n 2 + 9n , oricare ar fi n ≥ 1 . Să se determine a n şi să se calculeze: 2 a + a 2 + ... + a n . L = lim 1

este Sn = n→∞

nan

b) a n = 3n + 3, L =

a) a n = 3n, L = 1 d) a n = n + 2, L =

3 2

1 2

e) a n = 3n + 3, L =

c) a n = 3n + 3, L = 2

3 2

f) a n = 4n, L =

AM - 026 Să se calculeze limita şirului ( xn ) n ≥1 , unde

(

(

)

2 3

)

xn = ac + (a + ab)c 2 + a + ab + ab 2 c 3 + ... + a + ab + ... + ab n c n +1 , a, b, c fiind

numere reale astfel încât c < 1, b ≠ 1 şi bc < 1 . a) 0 d)

b)

2ac (1 − c)(1 − bc)

n→∞

b)

c) 1

e) a c

AM - 027 Să se calculeze: lim

a) 1

ac

(1 − c)(1 − bc)

5 6

c)

1

n

3

3 2

(k ∑ k n

2

f)

abc (1 − c)(1 − bc)

4 3

f) 2

)

− nk + n 2 .

=1

d)

2 3

e)


224

1 1  π2  AM - 028 Dacă lim  1 + 2 + ... + 2  = , care este valoarea limitei n→∞  n  6 2

  1 1 1  ? lim 1 + 2 + 2 + ... + 2 n→∞   3 5 − n 2 1 ( )  

a)

π2 2

b)

π2 3

c)

π2 4

d)

π2 8

e)

π2 12

f)

2π 2 3

1  1 1 +...+ 2 . 4n − 1   3 15

AM - 029 Să se calculeze: lim + n →∞

a) 1

b) 2

c)

3 2

1 2

d)

AM - 030 Să se determine limita şirului (a n )n≥1 , unde a n =

a) 1

b) 0

c) e

d)

1

e

e)

3 5

f) 3

2k + 1

n

∑ k (k + 1) k =1

2

e) 1 − e

2

.

f) 2

2 k −1 (k −1) ∑ (k +1) ! n→∞

AM – 031 Să se calculeze L = lim

n

k =2

a) L = 1

b) L = e;

c) L = e2;

d) L = 0;

e) L = 2

f) L =

1 e

AM - 032 Se consideră şirul cu termenul general n

1 1 1 1  Sn = + +...+ , n∈N* . Să se calculeze: lim 2 n  S n −  . n →∞ 1⋅3 2⋅ 4 n(n + 2 ) 4  a) 1

b)

1

e

2

c) e

d)

1

e

e) 2e

f) 4e


225

n

 4 n 1 AM - 033 Să se calculeze L = lim  ⋅  . n→∞ 3  k =1 k( k + 2) 

∑

3

a) L = 1

b) L = e 2

AM - 034 Fie a n =

c) L = e

n

(n + 1)!

d) L = e

−

4 3

e) L = e

−

1 2

f) L = 2

şi Sn = a 1 + a 2 + ... + a n , oricare ar fi n ∈N * .

Să se calculeze: lim Sn . n→∞

a) 0

b) e

d) + ∞

c) 1

AM - 035 Fie şirul (a n ) n ≥1 , unde a n =

n

e) 2

arctg ∑ 1 + k( k + 1) x k

x

=1

2

f)

1 2

şi x > 0 . Să se

calculeze lim a n . n→∞

a) + ∞

b) − ∞

c) arctg

1

x

d) arctg

2

1

e) 1

x

f) 0

AM - 036 Să se calculeze limita şirului cu termenul general: 1 1 1 an = + + ... + , n ≥ 1. 2 2 2 n +1 n +2 n +n a) 2

b)

1 2

c)

2 3

d) 1

e) 4

AM - 037 Să se calculeze limita şirului cu termenul general a n = a) 2

b)

1 2

c)

1 4

d)

1 3

f) 3

k3 + k ,n ≥ 1 ∑ 4 k =1 n + k n

e) + ∞

f) 0


226


n→∞

a)

1 2



n

 ∑ k 

1+

=1

b) 1

c) 2

 k  . − 1 n2 

d)

1 4

e) 4

f) 3

e) 1

f) 2

n 1 π . cos n→∞ 3n + 1 2n + k k =1

∑


a)

1 2

b) 0

c)

1 4

d)

1 3

n  2π  AM - 040 Notând L = lim  n − cos  , precizaţi care din următoarele n→∞  n + k k =1 afirmaţii este adevărată.

∑

a) L = 0

b) L = 1

c) L = +∞

e) L nu există

d) L = e

AM - 041 Fie şirul ( xn ) n ≥0 astfel încât x0 = 1 şi xn +1 =

xn 3

1 + xn3

f) L = 2

, n≥0.

Să se calculeze lim xn . n→∞

a) 1

b) 0

c) 2

d) nu există

AM - 042 Fie şirul ( xn ) n ≥0 definit prin x0 = 3 şi xn = Să se calculeze lim xn .

e) + ∞

f) − ∞

1 xn −1 − 4 , n ≥ 1 . 3

n→∞

a) 0

b) 1

c) − 2

d) − 3

e) –6

f) nu există


227

AM - 043 Fie şirul (a n ) n ≥0 definit astfel: a n +1 − a n =

1 ⋅ a n , n ≥ 0 . Să se 10 determine L = lim a n în funcţie de a 0 ∈R . n→∞

a) L = a 0

1, dacă a 0 ≥ 0 b) L =  0, dacă a 0 < 0

c) L = +∞, ∀a 0 ∈ R

+ ∞, dacă a 0 ≥ 0 d) L =  1, dacă a 0 < 0

+ ∞, dacă a 0 > 0  e) L = 0, dacă a 0 = 0 − ∞, dacă a < 0 0 

1  , dacă a 0 ≠ 0 f) L =  a 0 0, dacă a = 0 0 

AM - 044 Se consideră şirul ( xn ) n ≥0 definit prin: xn +1 = xn2 − 2 xn + 2 , unde

x0 = a cu a > 0 . Să se determine toate valorile parametrului a pentru care şirul este convergent şi apoi să se calculeze limita şirului. a) a ∈(1,2] , lim xn = 1

b) a ∈[1,2] , lim xn = 1

1, dacă a ∈(0,2) c) a ∈(0,2] , lim xn =  n→∞ 2, dacă a = 2

1, dacă a ∈(1,2) d) a ∈[1,2] , lim xn =  n→∞ 2, dacă a = 2

e) a ∈(0,1] , lim xn = 1

f) a ∈(0,2) , lim xn = 1

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

AM - 045 Să se calculeze: lim x→ 7

a) −

1 56

b)

1 56

2− x−3 . x 2 − 49

c)

1 48

d) −

1 48

e) 0

f) 1


228

AM - 046 Determinaţi numerele reale a şi b astfel încât: lim x→1

x 2 + 3x + a − b 5 = . 18 x2 + x − 2

a) a = −3, b = −5

b) a = 3, b = −5

c) a = 5, b = 3

d) a = −5, b = −3

e) a = 2, b = 1

f) a = −2, b = −1

AM - 047 Să se determine parametrii a şi b reali, aşa încât: lim  3 8 x 3 − ax 2 − bx + 2 = 1 . x→−∞  a) a = 12, b = 2

b) a = 10, b = 2

c) a = 12, b = 4

d) a = −10, b = 2

e) a = 8, b = 6

f) a = 6, b = 10

 2 x + 3x + 4 x AM - 048 Să se calculeze: lim x →∞ 3  a)

24

b)

3

24

c) 4

1x

  .  d) 1

e)

2

e

f)

1  1  AM - 049 Fie lim x 3  e x − e x+1  . Care din următoarele afirmaţii este adevărată ? x→−∞  

a) limita nu există

b) limita este –1

c) limita este − ∞

d) limita este 0

e) limita este + ∞

f) limita este 1

AM - 050 a) –1

(1 + x) Să se calculeze limita: lim x→ 0

b) −

e 2

c) 0

1x

x

−e

.

d) + ∞

e) 1

f)

e 2


229

AM - 051 Se consideră funcţia f : R \ {0,1} → R , definită prin: f ( x) =

1 . e −e Să se cerceteze existenţa limitelor laterale ale lui f în punctele x = 0 şi x = 1 . 1x

1 a) f (0 − 0) = − , f (0 + 0) = 0

1 b) f (0 − 0) = , f (0 + 0) = 0

c) f (0 − 0) = e, f (0 + 0) = +∞

d) f (0 − 0) = −∞, f (0 + 0) = +∞

f (1 − 0) = , f (1 + 0) = −∞ e

f (1 − 0) = +∞, f (1 + 0) = −∞

e f (1 − 0) = −∞, f (1 + 0) = +∞

e f (1 − 0) = +∞, f (1 + 0) = −∞

1

1 1 f) f (0 − 0) = , f (0 + 0) = −

1 1 e) f (0 − 0) = − , f (0 + 0) =

e e f (1 − 0) = −∞, f (1 + 0) = ±∞

e e f (1 − 0) = −∞, f (1 + 0) = ±∞

AM - 052 Să se determine parametrul real a astfel încât funcţia f : R \ {1} → R , a ln(3 − x), dacă x < 1  să aibă limită în punctul x = 1. definită prin f ( x) =  2 x − 2 , dacă x > 1   x−1 1 a) 0 b) 1 c) 2 d) e) ln2 2

f) 2ln2

n   m AM - 053 Să se determine: lim − , unde m, n ∈ N * . n x→1 1 − x m 1− x  a) m − n

b)

m− n

c) m + n

2

d)

m+ n 2

e) 1

f) 0

3 2

f) 3

2

e x − cos x . x→ 0 x2

AM - 054 Să se calculeze: lim a) –1

b)

1 2

c) 1

d) 2

e)


230

[

]

AM - 055 Să se calculeze: lim x ln(1 + x) − ln x . x→∞

a) 0

b)

1 2

c) 1

d) 2

e) e

f) 2e

1   x AM - 056 Să se calculeze: lim − . x→1 x − 1 ln x 

a)

1 2

b) 0

c)

3 4

d) −

AM - 057 Să se determine: lim x sin x→0

a) − ∞

b) + ∞

1

x

n(n + 1) 2

b)

d) 1

e)

1 − cos x ⋅ cos 2 x ⋅ ... ⋅ cos nx

x→ 0

a)

e) −

3 4

f) 1

.

c) 0


1 2

x

n(n + 1)(2n + 1) 12

2

c) n

d)

1 2

f) nu există

, unde n ∈ N * .

n2

e) 0

4

f) 1

xe −1 x . x→ 0 tg 2 x x> 0


a) 1

b) 0

d) π

c) –1

(

e)

π 2

f) 2

)

AM - 060 Să se calculeze: lim sin x + 1 − sin x . x→∞

a) + ∞

b) − ∞

c) 0

d) 1

e)

1 2

f) 2



x→ π

a)

m n

b) ( − 1) ⋅ m

m n

x→ π

a) 0

b) 1

x→ 0

a b

b)

a2 b2

m− n

⋅

sin x 1−

x2

d) ( − 1)

m n

tg(bx) − sin(bx)

c) a ⋅ b

d)

x


x→∞

arctg

x→ 0

b) 1

c) n

e)

n m

e)

π 2

f) ( − 1)

n−m

⋅

n m

1

x

−

f) π

, unde a , b ∈ R , a ≠ 0 , b ≠ 0 .

a3 b3

e)

1 x+1

− arctg

c) 0

AM - 065 Să se calculeze: Ln = lim

a) 0

m n

d) 2π

tg(ax) − sin(ax)

b) + ∞

⋅

π2

1

a) − ∞

mn

.

c) 3π


a)

sin mx , unde m, n ∈ N * . sin nx

c) ( − 1)


231

1 x+1

x2 d) n2

f) a 3 ⋅ b 3

.

d) 1

1 − cos(n arcsin x)

a4 b4

e) –1

f) 2

, unde n ∈ N * .

e)

n2 2

f)

n2 4


232 3

ex − 1 . x→ 0 sin 3 x


a) –1

b) 1

c)


x 2 cos

x→0

a) –1

1 2

sin x

b) 0

d) e

e) e2

f) + ∞

1

x.

c) 1

d) sin1

e) e

f) 2

1− x

 1 + x  1− AM - 068 Să se calculeze: lim   x→∞  2 + x 

a) 0

b) 1

x→ 3

b) 1

d) e

tg

πx 6

b) 1

1

e

f) 2e

e) e 4 π

f) e 12 π

x2

.

d) e −π

c) e

e)

. d) e π 3

c) e

2 πx   AM - 070 Să se calculeze: lim  cos  x→∞  x + 1

a) 0

.

c) 2

AM - 069 Să se calculeze: lim(7 − 2 x) a) 0

x

e) e −2 π

2

f) e −π

AM - 071 Se consideră şirul (bn ) n ≥1 cu termenul general bn = a 1 + a 2 + ... + a n , unde a n = lim(1 − x sin nx) x→ 0

a) 1 − e

b)

1 1− e

c) e

1 x2

. Să se calculeze: lim bn . n→∞

d) e − 1

e)

1 e −1

f) 0

2


233

AM - 072 Fie f : (0,+∞) → R , definită prin relaţia

[

f ( x) = 1 + ln(1 + x) + ln(1 + 2 x) + ... + ln(1 + nx) Să se determine lim f ( x) .

]

1x

pentru orice x > 0 .

x→0

n ( n +1)

a) 1

c) e n

b) 0

d) e

n ( n +1)( 2 n +1)

2

e) e

6

f) e − n

e) 2e

f) e 2

2

x

 sin x  x− sin x . AM - 073 Să se calculeze: lim  x→ 0 x 

a) 1

b)

1

c) 0

e

d) e

(

)

x

1  AM - 074 Să se calculeze limita: lim  a 1 x + b 1 x  . x→∞  2 

a) ab

b)

a b

c)

e) a 3b 3

d) a 2 b 2

ab

f)

AM – 075 Să se determine a ∈ R astfel ca funcţia

 ln(1 + x )  − x , x ∈ (− 1,0 ) f (x ) =  2 2  ln 1 + x + x + ln 1 − x + x , x ∈ (0,+∞ )  ax 2 să aibă limită pentru x → 0 .

(

)

(

)

a) –2

b) –1

c) −

d) 1

e) 2

f)

1 2

1 2

1 ab 2


234

1

π  ln x AM - 076 Să se calculeze: lim  − arctg x . x→∞  2 

a) 1

b) 0

c) e

d)

1

e

e) e 2

f)

1 3

f)

1

e2

1 + x  AM - 077 Să se calculeze: lim  x − x 2 ln . x→∞  x 

a) 1

c) −

b) 2

1 2

d) 3

e)

1 2

1  π AM - 078 Se consideră funcţia f :  0,  → R , f ( x) = 2 − ctg 2 x . Să se  2 x

calculeze lim f ( x) . x→ 0 x> 0

a) 1

b)

1 3

c) −

1 3

d)

2 3

e) −

2 3

f)

AM - 079 Pentru ce valori ale numărului natural n există limita:

lim x →0

x cos x − sin x ? xn

{

}

b) n ∈N \ 2 k k ∈N

a) n ∈N

{

}

d) n ∈N \ 2 k k ≥ 2, k ∈N

{

}

c) n ∈N \ 2 k + 1 k ∈N

e) n ∈N \ {1,2,3}

f) n ∈∅

1 2


235

AM - 080 Să se calculeze pentru n ∈N , n ≥ 1 , limita L = lim

x n − (sin x) x n+2

x→ 0

a) L =

n

b) L =

2

n2 3

d) L =

c) L = n − 1

n

e) L =

6

n 3

n

.

f) L =

n2 6

AM - 081 Se consideră funcţia

x 2 + px − 1 , unde p ∈ R . x+1 Să se determine p astfel încât graficul funcţiei să admită asimptotă dreapta y = x + 1 la ramura + ∞ . f : R \ {− 1} → R , f ( x) =

a) 1

b) 2

c) 3

d) –1

e) –2

f) –3

x 2 − 3ax + 2a 2 , x+k unde a , k ∈R . Să se precizeze relaţia dintre a şi k astfel încât graficul funcţiei f să admită ca asimptotă dreapta y = x + 1. AM - 082 Se consideră funcţia f : ( − k ,+∞) → R , f ( x) =

a) 3a + k = 0

b) 3a + k = −1

c) 3a + k = 1

d) 3a + 2 k = 1

e) 3a + 2 k = 0

f) 3a + 2 k = −1

x2 + 1 , unde D este domeniul x 2 + ax + a maxim de definiţie şi a > 0 . Să se determine a astfel încât graficul lui f să admită o singură asimptotă verticală. AM - 083 Fie f : D ⊂ R → R , f ( x) =

a) a = 4

b) a ∈{0,4}

c) a ∈(0,4)

d) a = 2

e) a = 1

f) a ∈(4,+∞)

x2 − x − 1 , unde D este domeniul maxim x2 + x − 2 de definiţie. Să se determine asimptotele lui f .

AM - 084 Fie f : D ⊂ R → R , f ( x) =

a) x = 2, x = 3, y = 5

b) x = 3, x = 1, y = 6

d) x = −2, x = 1, y = 1

e) x = 3, x = 4, y = 5

c) x = 2, x = −1, y = 2 1 f) x = , x = 2, y = −1 2


236

AM - 085 Să se determine toate valorile parametrilor reali a, b, c astfel încât graficul funcţiei f : E ⊂ R → R , f ( x) =

ax 4

(b + cx)

să admită ca asimptotă dreapta

3

y = x –3 . a) a = 8, b = −1, c = 2

b) a = 18, b = −1, c = 1

c) a ∈ R , b = − c

d) b = c, a = c 3 , c ≠ 0

e) b = 2c, a = 1

f) b = −2c, a ∈ R

AM - 086 Se dă funcţia f : R \ {2} → R , f ( x) =

ax 2 + bx + c

, unde a > 0 , x−2 c < 0 , b ∈ R . Să se determine coeficienţii a, b, c astfel ca graficul funcţiei să admită asimptotă dreapta y = x + 3 , iar f (0) = −1 .

a) a = 2, b = 1, c = −3

b) a = 1, b = 2, c = 3

c) a = 1, b = 2, c = −3

d) a = 1, b = 1, c = 2

e) a = 1, b = 1, c = −2

f) a = 1, b = −1, c = 2

AM - 087 Se consideră funcţia f : ( − ∞,0] ∪ [4,+∞) → R , f ( x) = x 2 − 4 x . Să se determine ecuaţia asimptotei spre − ∞ la graficul lui f . a) y = x

b) y = x − 2

c) y = − x + 2

d) y = − x

e) y = − x + 1

f) nu există

AM - 088 Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f : R → R ,

f ( x) = x −

x2 + x .

c) x = 0 d) y = 1 asimptotă orizontală la + ∞ a) nu are b) y = −1 1 1 e) y = − asimptotă orizontală la + ∞ şi y = 2 x + asimptotă oblică la − ∞ 2 2 1 f) y = asimptotă orizontală la − ∞ 2


237

AM - 089 Să se determine valorile parametrilor p şi q astfel ca graficul funcţiei

f : R → R , f ( x) = px − q x 2 − 1 să admită ca asimptote dreptele y = 2x şi y = 0.

{ } e) ( p, q ) ∈{( − 1,2), (2,1)}

{ } d) ( p, q ) ∈{( − 11 , ), ( − 1,−2)}

b) ( p, q ) ∈ (1,−1), (11 ,)

a) ( p, q ) ∈ ( − 1,−1), (1,0)

{ } f) ( p, q ) ∈{(2,−1), ( − 1,2)}

c) ( p, q ) ∈ (0,1), ( 2,1)

AM - 090 Se dă funcţia f ( x) = x 2 + αx + β + χx cu α , β, χ ∈ R . Să se

determine α , β , χ astfel încât f să fie definită pe R , iar lim f ( x) = 3 . x→∞

a) α = 6, β ≥ 9, χ = −1

b) α = −6, β ≥ 9, χ = 3

c) α = 1, β = 10, χ = 6

d) α ≥ 3, β ≥ 2, χ ≥ 1

e) α = 6, β = 10, χ = 1

f) α = 1, β = 10, χ = −1

AM - 091 Se consideră funcţia f : R → R , f ( x) = ax + bx 2 + cx + 1 ,unde a > 0 ,

b > 0 , c ∈R . Să se determine a, b, c astfel încât graficul funcţiei să admită la + ∞ o asimptotă paralelă cu dreapta y = 4x –2 , iar la − ∞ asimptota orizontală y = –1 . a) a = 1, b = 1, c = 2

b) a = 2, b = 1, c = 2

c) a = 1, b = 4, c = 4

d) a = 2, b = 4, c = 4

e) a = 1, b = 4, c = −4

f) a = −1, b = −1, c = −2

AM - 092 Să se determine asimptotele oblice ale funcţiei f : R \ {1} → R ,

f ( x) = x ⋅ e

1

x −1

.

a) y = x şi y = − x

b) y = 2 x şi y = −2 x

d) y = 2 x + 3 şi y = − x + 1

e) y = x +

1 şi y = − x 2

c) y = x + 1 şi y = x − 1 f) y = −

1 x şi y = x 2


238

x2 + 1 3 AM - 093 Fie funcţia f : R \   → R , definită prin f ( x) = . Să se 2x − 3 2  determine asimptotele la graficul acestei funcţii. 3 , y= x 2

a) x =

3 1 1 , y= , y=− 2 2 2

b) x =

d) x =

3 , y=0 2

3 1 1 e) x = − , y = , y = − 2 2 2

c) x =

3 1 , y= x+ 2 2

f) x = 1, y = x + 1

AM - 094 Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f : R → R ,

f ( x) = x − 2arctg x .

a) x = 0, x = 1

b) y = 0

c) y = x, y = − x

d) nu are asimptote

e) y = πx, y = − πx

f) y = x + π, y = x − π

2 x − a 2 x 2 + ax + 1 , x ≤ 1 AM - 095 Fie f : R → R, f ( x ) =  .  x − 1 + a x , x > 1

Să se determine valorile parametrului real a pentru care f este continuă pe R. b) a = −

a) a = −1

 

3 5

d) a ∈ − 1, 

 

3 5

c) a = 0

5 3

e) a ∈ − 1, 

f) a ∈ ∅

1  arctg x , x ≠ 0 AM - 096 Fie funcţia f : R → R , definită prin f ( x) =  pentru c , x = 0  orice x ∈R . Să se determine valoarea constantei c ∈R pentru care f este continuă pe R

a) c = 0

b) c = 1

c) c = −1

d) c =

π 2

e) c = −

π 2

f) c = π


239

AM - 097 Se consideră f : [0, π] → R , definită prin:

e 3 x , pentru x ∈[0,1]  . f ( x) =  sin( x − 1) a x ∈ , pentru 1 , π  2 ( ]  x − 5x + 4 Determinaţi valorile lui a astfel încât funcţia f să fie continuă pe [0, π] .

a) 2e 3

c) − 3e 3

b) e

d) 3e 3

e) 3e 2

f) 2e

AM - 098 Să se determine β ∈ [0,1] astfel ca funcţia f : R → R ,  x 2n − x 2 + 6 , dacă x < 1 nlim să fie continuă pe R . f ( x) =  →∞ x 2 n + x 2 + 4 1 + x 2 − β ⋅ e − x , dacă x ≥ 1 

a) β = e

b) β = 1

c) β = −1

d) β = e −1

e) β = 0

f) β = e 2

AM - 099 Să se studieze continuitatea funcţiei definită prin:  1 − x2  1 ln f ( x) =  x 2 1 + x 2 , x ∈R \ {− 1,0,1} .  − 2 , x = 0 a) f continuă pe R

b) f continuă pe R \ {0}

c) f continuă pe R \ {− 11 ,}

d) f discontinuă în x = 0

e) f discontinuă pe R

f) f continuă pe R \ {1,0}

2 − x, x ∈ Q . 2 x, x ∈ R \ Q

AM - 100 Fie funcţia f : R → R , definită prin f ( x ) = 

Să se determine mulţimea punctelor în care f este continuă. 2  a) R \   3

b) R

c) Q

2  d)   3

e) ∅

f) {0}


240

AM - 101 Să se determine mulţimea punctelor în care funcţia f : R → R ,  x 2 − 1 , x ∈ Q

f ( x) = 

1 , x ∈ R \ Q

a) {0}

{

este continuă.

b) {0,2}

}

c) {− 2,2}

{

d) − 2 ,2

e) − 2 ,0, 2

}

{

f) − 2 , 2

(

}

)

1 + xn x2 + 4 , să se precizeze care n→∞ x xn + 1

AM - 102 Fiind dată funcţia f ( x ) = lim

(

)

este domeniul maxim de definiţie A şi mulţimea punctelor sale de discontinuitate D. a) A = (0,+∞), D = {1,2}

b) A = R \ {− 1,0}, D = {1}

c) A = ( − 1,+∞) \ {0}, D = {1}

d) A = R \ {− 1,0}, D = {− 1}

e) A = R \ {− 1,0}, D = {0,1}

f) A = ( − ∞,−1), D = {0,−1}

AM – 103 Să se determine punctele de discontinuitate ale funcţiei

[ ]

f : 1, e 2 → R ,

f ( x ) = [ln x ] .

a) {1} ;

b) {2};

d) ∅

e) 1, e, e 2

{

{ }

c) e, e 2 ;

}

f) {1,2, e}


241

x 2 ,  AM – 104 Fie f : R → R funcţia definită prin f ( x ) =  3  x  a , 

x≠0 x=0

unde [x ] reprezintă partea întreagă a lui x ∈ R . Să se determine valoarea lui a ∈ R pentru care funcţia este continuă în punctul x = 0. a) a = 0;

b) a = −

2 ; 3

c) a =

2 ; 3

d) a = 2;

e) a =

1 ; 3

f) a ∈ ∅

AM – 105 Se cere mulţimea de continuitate a funcţiei f : R → R ,

1   xarctg x 2 − 3x + 2 , x ∈ R \ {1,2}   π f (x) =  , x=1 2 π , x=2    b) R ∗ a) R d) R \ {1,2} e) R \ {1}

c) R +

f) R \ {2} .

AM - XI. 106 Funcţia f : R → R

 x2 + a − 2 , x < −2  f ( x ) =  x − b, x ∈ [− 2,2]  x2 + a  , x>2  2 este continuă pe R dacă: a) a=b=0

b) a=2, b=0

c) a=0, b=1

d) a=2, b=1

e) a=b=1

f) a=b=2


242

AM - 107 Se consideră funcţia f : [0,2] → R , f ( x ) =

x − [x ] , unde [x ] este 2 x − [x ] + 1

partea întreagă a lui x. Fie S suma absciselor punctelor de discontinuitate ale graficului funcţiei f; atunci: a) S =

1 2

b) S=1

c) S=2

e) S =

d) S=3

3 2

f) S=0

AM - 108 Fie funcţia f : D → R ,

1 1   x ln x + (1 − x )ln 1 − x f (x ) =  0 

x ≠ 0, x ≠ 1 x = 0, x = 1

unde D este domeniul maxim de definiţie. Să se determine D şi mulţimea de continuitate C. a) D = [0,1] ; C=(0,1)

b) D = (− ∞,1]; C = (− ∞,1) \ {0}

e) D = (− ∞,1]; C = (− ∞,0 ) ∪ (0,1]

f) D = R; C = R

c) D = (− ∞,1]; C = (− ∞,1]

d) D = (− ∞,1]; C = (− ∞,1)

AM – 109 Se consideră funcţia f : [0,1] → R ; x 0= sau x 1 = 0,  1  x sin 1 , 0< x< x π   f ( x) =  1 1 ≤ x ≤ 1− 0, π π  1  1 − x sin 1 , 1− < x < 1 ( )  1− x π  Să se determine mulţimea punctelor din [0,1] în care f este continuă

1

a) f este discontinuă în x = 0

b) f nu este continuă în x =

c) f este continuă pe [0,1]

d) f este continuă pe [0,1] \  ,1 −

1 π

e) f este continuă pe (0,1] \  ,1 −

1  π

π

1 1  π π 1 1 f) f este continuă pe (0,1) \  ,1 −  π π


243

AM – XI. 110 Să se determine valoarea constantei a ∈ R , astfel încât funcţia

 7 sin a( x − 2 ) , x ∈ [0,2 )  f : [0,3] → R , f (x ) =  x−2 6 x + a, x ∈ [2,3]

să fie continuă pe domeniul

ei de definiţie. a) a = 2;

b) a = 1;

c) a = 3;

d) a = 4;

e) a = 5;

f) a = 0,5.

AM – XI. 111 Să se determine valoarea constantei a ∈ R astfel încât funcţia f :R →R,

 3 sin x − 1 π , dacă x ≠  π 2  x− f (x ) =  2  π a , dacă x = 2  să fie continuă pe R . a)

π

b) 1

2

c) 0

d) –1

e)

1 3

f)

1 2

AM – 112 Să se determine funcţia continuă f : R → R pentru care f (0 ) =

1 şi e

x f (x ) − f   = x, ∀x ∈ R . e a) f ( x ) =

e2 x + e −1 e(e − 1)

x +1 d) f ( x ) = e

b) f ( x ) =

e2 x + 1 − e e(1 − e )

x2 + e e) f ( x ) = e2

c) f ( x ) =

ex + 1 − e e(1 − e )

e2 x + 1 f) f (x ) = e


244

AM – 113 Fie ecuaţia

(

)

ax 5 b x 3 − 25 + = 0, a > 0, b > 0. x −1 x−3

Care este mulţimea tuturor valorilor lui a şi b pentru care ecuaţia dată are cel puţin o rădăcină în intervalul (1,3) ? a) a ∈ (0,1), b ∈ (0,1) ; d) a ∈ {1,2}, b = 3;

b) a ∈ (2,3), b ∈ (0, ∞ );

e) a ∈ (1,3), b ∈ (1,3);

c) a ∈ (0, ∞ ), b ∈ (0, ∞ );

f) a ∈ (2,3), b ∈ (1,3).

AM - 114 Fie f , g : R → R , unde g ( x ) = [x ] f ( x ), pentru orice x ∈ R . Dacă f şi g sunt continue în punctul n ∈N * , să se calculeze f (n) .

a) f (n) =

g ( n) + 1 n

d) f (n) = −1

b) f (n) = g(n) − 1

c) f (n) = 1

e) f (n) =

f) f (n) = 0

1 2

AM – 115 Fie funcţiile f 1 , f 2 , f 3 : R → R definite astfel :

 1 sin , x > 0 ; f1 (x ) =  x 1, x≤0

1  − sin , x > 0 ; f 2 (x ) =  x 0, x≤0

f 3 (x ) = f1 (x ) + f 2 (x )

Care dintre următoarele funcţii au proprietatea lui Darboux pe R ? a) f 1 şi f 3 ;

b) f 3 ; c) f 1 şi f 2 ;

d) f 2 şi f 3 ;

e) f 1 ,f 2 şi f 3 ;

f) nici una .

AM - 116 Fie f : R → R cu proprietatea că:

 x +1 f (x − 1) ≤ 3 x + 1 ≤ 3 f   − 14, ∀x ∈ R .  3  Decide : b) f este injectivă, dar nu este surjectivă a) f (0 ) = 3 d) f nu are proprietatea lui Darboux e) f nu e continuă

c) f este bijectivă f) nu există f cu această proprietate


245

− x 2 + 2 x + 3; x ∈ [− 1,3] AM - 117 Fie f : [− 3,3] → R , f ( x ) =  x ∈ [− 3,−1)  x + m; Să se determine toate valorile m ∈ R pentru care funcţia f are proprietatea lui Darboux pe [− 3,3] a) m ∈ {1}

b) m ∈ [1,3)

c) m ∈ [3,7]

d) m ∈ [1,7]

e) m ∈ R

f) m ≥ 1

AM - 118 Să se determine valorile parametrului real m astfel încât ecuaţia 2mx 3 − 5 x − 12m = 0 să aibă cel puţin o rădăcină reală în intervalul (1,2). a) m ∈ (1,2 )

 1 5 ,   2 2

d) m ∈  −

 

1 2

5 2

 

b) m ∈  − ∞,−  ∪  ,+∞ 

 1 5 ,  2 2 

 1 5 ,   2 2

c) m ∈ −

1 3  

e) m ∈ −

f) m ∈  ,  2 2

AM - 119 Fie funcţia f : R → R ,

 21 cos , dacă x ≠ 0 f (x ) =  x - 1 , dacă x = 0 Să se precizeze care dintre afirmaţiile de mai jos este corectă: a) f nu este mărginită;

b) f are limită în punctul x=0;

c) f este continuă în punctul x=0;

d) f are proprietatea lui Darboux pe R;

e) f nu are proprietatea lui Darboux pe R

f) restricţia funcţiei f la intervalul [− 1,1] are proprietatea lui Darboux.


246

AM - 120 Ecuaţia x 2 x = 1 are pe segmentul [0,1]: a) cel puţin o soluţie

b) nu are soluţie

d) x=1 este singura soluţie

e) x =

c) x=0 este singura soluţie

1 este singura soluţie 2

1 2

AM - 121 Fie f : [0,1] → [0,1] ∪ [2,3] , f continuă şi f   = 0 . Decide: a) f surjectivă

b) f injectivă

d) f strict crescătoare

e) f strict descrescătoare f) a), b), c), d), e) false

AM - 122 Să se rezolve inecuaţia:

(x

c) f nu are proprietatea lui Darboux

2

)

− 5 x + 6 ln (x − 1) > 0

a) x ∈ (2,3)

b) x ∈ (1,2 )

c) x ∈ (1,2 ) ∪ (2,3)

d) x ∈ (3, ∞ )

e) x ∈ (1, ∞ )

f) x ∈ (0, ∞ )

AM - 123 Să se afle mulţimea soluţiilor inecuaţiei

(x

3

)

+ 2 x ln (x + 1) < 0

a) (-1, 0)

b) (0, ∞ )

c) {− 1}

d) ∅

e) (− 1,0 ) ∪ (0, ∞ )

f) {− 1,0}

AM - 124 Fie funcţiile f1 : D1 ⊂ R → R , f1 ( x) = x 2 ( x − 1) şi funcţiile

f 2 : D2 ⊂ R → R , f 2 ( x) = x x − 1 . Ştiind că D 1 şi D 2 sunt domeniile maxime de definiţie ale celor două funcţii, să se precizeze aceste domenii. a) D1 = [1,+∞) ∪ {0}; D2 [1,+∞)

b) D1 = [1,+∞) ∪ {0}; D2 = [1,2)

e) D1 = [1,+∞); D2 = [1,+∞) ∪ {0}

f) D1 = D2 = [1,+∞) ∪ {0}

c) D1 = (1,+∞); D2 = [1,+∞) ∪ {0}

d) D1 = D2 = [1,+∞)


247

AM - 125 Se consideră funcţiile f , g : R → R . Ştiind că g( x) = x +

( f  g )( x) = x 4 + 4

1

, să se determine f ( x) . 4

1 1  c) f ( x) =  x −  −  4 4

4

f) f ( x) = ( x − 1) +

1 1  b) f ( x) =  x −  +  4 4

1 a) f ( x) = x − 4 4

4

1 1  d) f ( x) =  x +  +  4 4

1 , iar 4

1 1  e) f ( x) =  x +  −  4 4

4

4

1 4

AM - 126 Cum se poate exprima faptul că graficul unei funcţii f : R → R este simetric faţă de punctul C (a , b) , a , b ∈R ?

a) f (a − x) = f (a + x) , ∀x ∈ R

b) f (a + b − x) = f (2a − x) , ∀x ∈ R

c) 2b − f ( x) = f (2a − x) , ∀x ∈ R

d) 2b + f (a − x) = f (2a − x) , ∀x ∈ R

e) 2b + f ( x) = f (2a + x) , ∀x ∈ R

f) 2b − f ( x) = f (a − x) , ∀x ∈ R

AM - 127 Se consideră funcţia f : (0, ∞ ) → R ,

Să se calculeze f ′(1) . a) 1

b) 2

c) 3

f ( x ) = ( x + 1)ln x

d) 0

e) –1

f) –2

AM - 128 Să se calculeze derivata de ordinul unu a funcţiei

f : R ∗ → R,

x2 + 4 2x2 x2 + 4 ′ d) f ( x ) = x2

a) f ′( x ) =

1 4 f (x ) =  x +  x 2

x2 − 4 2x2 x2 + 4 ′ e) f ( x ) = 2x

b) f ′( x ) =

x2 − 4 x2 x2 − 4 ′ f) f ( x ) = 2x c) f ′( x ) =


248

AM - 129 Să se calculeze derivata de ordinul doi a funcţiei

f ( x ) = tg 2 (2 arcsin x )

a)

d)

− 16 x 2 + 64 x + 8

(1 − 2 x )

2 3

− 16 x 2 − 64 x + 8

(1 − 2 x )

2 3

b)

e)

80 x 2 + 8

− 16 x 2 + 8 1 − 2x2

c)

(1 − 2 x )

2 4

− 16 x 2 + 64 x − 8

(1 − 2 x )

2 3

f)

16 x 2 + 64 x + 8

(1 − 2 x )

2 3

AM - 130 Care este cea mai mică pantă posibilă a unei tangente la curba y = x3 − 3x 2 + 5 x ? a) −

5 2

b)

5 3

c) 1

d) 0

e) 2

f) -3

1 1 *  n , x = , n ∈N AM - 131 Fie f : [ − 11 . , ] → R , f ( x) =  2 n 0 , în toate celelalte puncte 

Să se calculeze f ' (0) . a) nu există f ' (0)

b) f ' (0) = 0

c) f ' (0) = 1

d) f ' (0) =

e) f ' (0) = +∞

f) f ' (0) = 2

1 2

AM - 132 Fie f : [ −1,1] → R , Să se calculeze f ' ( 0 ) a) nu există f ' ( 0 ) ; d) f ' ( 0 ) =

1 2

  1 1 ∗ ln  1 + ă  , dac , x =n ∈ N f ( x) = n   n x , în toate celelalte puncte.  b) f ' ( 0 ) = 0 ;

c) f ' ( 0 ) =1

e) f ' ( 0 ) = ∞ ;

f) f ' ( 0 ) = 2


249

AM - 133 Fie funcţia f : D → R , f ( x) = sin x 2 , unde D este domeniul maxim de definiţie al funcţiei f . Să se studieze derivabilitatea funcţiei f în punctul x = 0 şi în caz afirmativ să se calculeze valoarea derivatei în acest punct. a) f ' (0) = 1

b) f ' (0) = − 1

c) f ' (0) nu există

d) f ' (0) = 0

e) f ' (0) = 2

f) f ' (0) =

{

1 2

}

AM - 134 Fie f : R → R , definită prin f ( x) = min x 4 , x 5 , x 6 , x 7 . Determinaţi punctele în care f nu este derivabilă. a) {− 1,0,1}

b) {− 1,0}

c) {0,1}

d) ∅

e) {− 11 ,}

f) {0}

x 2 + xe nx . Care este n→∞ 1 + e nx mulţimea punctelor de derivabilitate ale funcţiei f ?

AM - 135 Fie f : R → R , definită prin f ( x) = lim

a) R \ {0}

b) R

c) [0,+∞)

d) ( − ∞,0]

e) [1,+∞) ∪ {0}

f) ( − ∞,1]

AM - 136 Fie şirul (un ) n∈N* , cu termenul general un =

1 + xn 1 + x + ... + x n + p −1

,

unde x ≥ 0 şi p ∈N . Dacă f ( x) = lim un , atunci să se determine domeniile de n→∞

continuitate C şi de derivabilitate D pentru f . a) C = [0,+∞); D = [0,+∞) b) C = [0,+∞); D = [0,+∞) \ {1} c) C = (0,+∞); D = (0,+∞) d) C = R ; D = R

e) C = R ; D = R \ {1}

f) C = [1,+∞); D = [1,+∞)


250

1  AM - 137 Fie f :  , e → R , definită prin f ( x) = arcsin ln x . Să se determine e  mulţimea punctelor în care funcţia este derivabilă. 1  a)  , e e 

1  b)  ,1 e 

c) (1, e]

d) [1, e]

1  e)  ,1 ∪ (1, e) e 

(

1  f)  ,1 ∪ (1, e] e 

)

AM - 138 Se dă funcţia f : E ⊂ R → R , f ( x) = arccos 3x − 4 x 3 . Să se determine domeniul maxim de definiţie E şi domeniul său de derivabilitate D . a) E = [ − 11 , ]; D = ( − 11 ,)

b) E = R ; D = R

1  1 1  1  1  1    c) E = [ − 11 , ]; D =  − 1,−  ∪  ,1 d) E = [ − 11 , ]; D =  − 1,−  ∪  − ,  ∪  ,1      2 2 2  2 2  2 

e) E = [ − 2,2]; D = [ − 2,0) ∪ (0,2]

 1 1  1   1 f) E = − ,  ; D = − ,0 ∪  0,   2 2  2   2

[x ], dacă x ∈ Q  x, x ∈ R \ Q

AM – 139 Fiind dată funcţia f : R → R, f ( x ) = 

să se precizeze care din următoarele afirmaţii este adevărată : a) f are limită, (∀)x ∈ R ;

b) f are limită într-un număr finit de puncte din R

c) f nu are limită în nici un punct din R ;

d) f e continuă pe R

e) f are proprietatea lui Darboux pe R ;

f) f este derivabilă pe R .


251

AM – 140 Fie funcţiile f : (0,1) → (2,3); g : (2,3) → (3,4 ) si

5 1 x 2 ; 2 x + < ≤  2 2 unde h = g  f ; g (x ) =  3 1 5  x− ; < x<3  2 2 2

h : (0,1) → (3,4 )

şi h( x ) = sin x + 3 . Să se

determine mulţimea punctelor de derivabilitate ale funcţiei f. a) (0,1);

b) (0,1) \

d) (0,1) \ arcsin

e) (0,1) \

1 4

c) (0,1) \ arcsin

1 2 1

f) (0,1) \

3

1 3

3 2

AM – 141 Să se determine derivatele la stînga şi la dreapta punctelor x = 0 şi x = 1 ale funcţiei f : R → R , a)

d)

f (x ) = 3 x 2 1 − x .

f s′(0 ) = −∞; f d′ (0 ) = −∞ f s′(0 ) = −∞; f d′ (0 ) = +∞ f s′(0 ) = ∞; f d′ (0 ) = −∞ b) c) f s′(1) = −∞; f d′ (1) = −∞ f s′(1) = −∞; f d′ (1) = −∞ f s′(1) = ∞; f d′ (1) = −∞ f s′(0 ) = −∞; f d′ (0 ) = ∞ f s′(1) = −∞; f d′ (1) = ∞

e)

f s′(0) = ∞; f d′ (0) = ∞ f s′(1) = ∞; f d′ (1) = ∞

f)

f s′(0 ) = −∞; f s′(0 ) = ∞ f s′(1) = ∞; f d′ (1) = ∞

AM – 142 Să se găsească punctele în care funcţia f : [0,3] → R ;

f ( x ) = arcsin

2 x nu este derivabilă. 1+ x 1

a) x = 0 şi x = 3

b) x = 0 şi x = 1

c) x = 1 −

d) f nu este continuă pe [0,3]

e) (0,3)

f) (0,3) \ {1}

π


252

AM – 143 Se dă funcţia f : D ⊂ R → R , f ( x ) = x + 8 − 6 x − 1 ; să se determine domeniul maxim de definiţie D şi mulţimea M a punctelor în care f nu este derivabilă . a)

d)

D = [1, ∞ ) M =φ D = [1, ∞ ) M = {1,10}

b)

D = [1,10] M = {1,10}

c)

D = [10, ∞ ) M = {10}

e)

D = [1, ∞ ) \ {10} M = {1}

f)

D = [1, ∞ ) M = {10}

AM – 144 Fie funcţia f : R → R ,

 x 3 + bx 2 + cx + d , x < 1 f (x ) =  , x ≥1 arctg (x − 1)

Ştiind că f este derivabilă de două ori pe R să se calculeze f(-2) . a) 30

b) –30

c) –2

d) 25

e) –15

f) 6.

AM - 145 Se dă funcţia f ( x) = 3 x 2 + mx − m , unde m ∈ R . Să se determine mulţimea tuturor valorilor lui m pentru care domeniul maxim de definiţie al funcţiei coincide cu domeniul maxim de derivabilitate al acestei funcţii. a) ( − 4,0)

b) [ − 4,0]

c) ( − 5,−3)

d) ( − ∞,−4) ∪ (0,+∞)

e) [ − 4,4]

f) (4,+∞)

AM - 146 Să se determine parametrii reali a şi b astfel încât funcţia f : R → R , x2 + a , x ≤ 2 , să fie derivabilă pe R . definită prin f ( x) =  ax + b , x > 2

a) a = 4, b = 0

b) a = 3, b = 0

c) a ∈ R , b = 5

d) a = 3, b ∈ R

e) a = 4, b = −1

f) a = −1, b = 4


253

2α 4 − x + β , x < 2 AM - 147 Fie f : R → R , definită prin f ( x) =  , unde α ∈Q şi  x 2 + α , x ≥ 2 β ∈R . Precizaţi care sunt valorile lui α şi β pentru care f este derivabilă pe R .

a) α = 1, β = 0

b) α = 1, β = −1

c) α = 2, β = 5 2

d) α = −2, β = 5 2

e) α = 2, β = −5 2

f) α = 0, β = 1

AM - 148 Să se determine parametrii reali a şi b astfel încât funcţia f : R → R ,  xe x , x ≤ 1 , să fie derivabilă pe R . definită prin f ( x) =  ax + b , x > 1

a) a = 1, b = 1

b) a = 2e, b = e

d) a = 2e, b = − e

e) a = e, b = 0

c) a = −2e, b = e 1 f) a = 2, b =

e

ae 2 x , x ≤ 0 AM - 149 Fie funcţia f : R → R , f ( x) =  . sin 2 x + b cos 3x , x > 0 Să se determine constantele reale a şi b astfel încât f să fie derivabilă pe R .

a) a = b = 1

b) a = 1, b = 2

c) a = b = 2

d) a = 3, b = 1

e) a = b = 3

f) a = 1, b = −1

AM - 150 Pentru ce valori ale tripletului de numere reale (α , β, χ) funcţia ln x, dacă x ∈(0,1] 2 αx + βx + χ , dacă x ∈(1,+∞)

f : (0,+∞) → R , f ( x) =  este de două ori derivabilă pe (0,+∞) ? a) (1,−1,2)

3  b)  − 1,2,−   2

3  c)  − 11 , ,−   2

3  1 d)  − ,2,−   2 2

3 1 e)  ,2,−  2 2

3 1 f)  ,−2,  2 2


254

AM - 151 Să se calculeze derivata funcţiei f : E ⊂ R → R , definită prin

f ( x) = arctg

x2 − 2 x − 1 . x2 + 2 x − 1

a) f ' ( x) =

1 x +1

b) f ' ( x) =

d) f ' ( x) =

1 1 + x2

e) f ( x) =

4

x x +1 3

1 x −1 2

c) f ' ( x) =

2 x −1

f) f ' ( x) =

2 x +1

2

2

AM - XI. 152 Să se calculeze derivata funcţiei f : R \ {0} → [ −1,1] ,

f ( x ) = sin

definită prin a) f ' ( x ) = −

1 1 cos 2 x x

1 1 cos 2 x x

d) f ' ( x ) =

1 . x

b) f ' ( x ) = sin

1 x

c) f ' ( x ) = 0

e) f ' ( x ) = cos

1 x

f) f ' ( x ) =

AM - 153 Fie a 1 , a 2 , ... , a n constante reale nenule cu proprietatea că

1 cos x

n

a i ∈R ∑ i

*

.

=1

Să se determine funcţiile f : R → R derivabile pe R astfel încât n

f ( x + a i y) = n f ( x) + b y ∑ i =1

pentru orice x ∈R şi y ∈R , unde b este o constantă reală. *

a) f ( x) =

bx n

ai ∑ i

+ c , c ∈R

=1

b) f ( x) =

x   b a i   i =1  n

+ cx + d , c, d ∈ R

∑

 n  c) f ( x) = bx + x 2  a i  + c , c ∈ R  i =1 

 n  d) f ( x) = cx − b a i  x + d , c, d ∈ R  i =1 

 n  e) f ( x) = b a i  x  i =1 

f) f ( x) = bx +

∑

∑

∑

n

ai ∑ i =1


255

1  2  x sin , dacă x ≠ 0 AM – 154 Fie f , g : R → R , unde f ( x ) =  x 0, dacă x = 0 şi g este derivabilă în x = 0 . Să se calculeze derivata funcţiei g  f în x = 0 . a) nu există

b) 1

c) 2

d) 0

1 e) 2

f) –1

AM – 155 Fie funcţia f : R → R , derivabilă , cu proprietăţile :

f ( x + y ) = f (x ) + f ( y ) + 5 xy şi lim h→0

f (h ) = 3. Determinaţi f (0 ) şi f ′( x ) . h

a) f (0 ) = 1,

f ′( x ) = 3 x; b) f (0 ) = 0, f ′( x ) = 3 x; c) f (0 ) = 3, f ′( x ) = 5 x; d) f (0 ) = 1, f ′( x ) = 5 x + 1; e) f (0 ) = 0, f ′( x ) = 5 x + 3; f) f (0 ) = 3, f ′( x ) = 3 x + 5 AM – 156 Fie f şi g funcţii derivabile pe intervalul (-1,1) cu proprietăţile: f (0) = 2 − 1, f ′(0 ) = 2 + 1 , f ′( x ) = g ( x ) şi g ′( x ) = − f ( x ) . Determinaţi funcţia h : (− 1,1) → R , definită prin h( x ) = f

2

(x ) + g 2 (x ) .

a) h( x ) = x 2 + x + 6;

b) h( x ) = x 2 + 6;

c) h( x ) = 6 ;

d) h( x ) = 2

e) h( x ) = 6 − x;

f) h( x ) = 6 − 2 x

AM – 157 Fiind dată funcţia f : R → R pară şi derivabilă, să se calculeze g ′(0 ) unde funcţia g : R → R este definită prin relaţia :

 x3  g ( x ) =  + 1 f ( x ) + x .  3  a)

g ′(0 ) = 1; b) g ′(0 ) = −1; c) g ′(0 ) = 0 d) g ′(0 ) =

1 1 e) g ′(0 ) = − ;f) g ′(0 ) = 2 2 2


256

AM - 158 Fie f : (a , b) → R , f ( x) ≠ 0 pentru orice x ∈(a , b) şi c ∈(a , b) . 1

 f ( x)  x− c  Ştiind că f este derivabilă în x = c , să se calculeze lim . x→ c f ( c)   

a) e

f '( c )

b) e

2 f '( c ) ⋅ f ( c )

f '( c )

c) e

f ( c)

d) e

f ( c)

− f '( c )

e) e

f '( c )

− f c ⋅f ' c f) e ( ) ( )

AM - 159 Fie f : [ − 11 , ] → R , derivabilă astfel încât f ( − x) = f ( x) pentru orice x ∈[ − 11 , ] . Să se calculeze f ' (0) .

a) f ' (0) = 1 b) f ' (0) = −1 c) f ' (0) =

1 2

d) f ' (0) = −

1 2

e) f ' (0) = 0 f) f ' (0) = 2

AM - 160 Fie f : R → R cu proprietatea f (0) = 0 şi pentru care există f ' (0) . Să se calculeze lim x→ 0

1  x  x  x  *  f ( x) + f   + f   + ... + f    , unde k ∈ N . x 2 3 k 

a) 0

1  b)  1 + + ... +  2

d) 1 + 2 + ... + k

e) k

1  f ' (0) k

1  c)  1 + + ... +  2

1  k

f) 1

AM - 161 Fie f : R → R o funcţie derivabilă astfel încât lim f ( x) = a , real şi există lim x f ' ( x) . Să se calculeze: lim x f ' ( x) . x→∞

a) 1

x→∞

x→∞

b) 0

c) –1

d) a

e) a2

f)

a 2

Elemente de analiză matematică AM - 162 Se consideră funcţia f : (0,+∞) → R , f ( x) = e

k ∈R , astfel încât funcţia g : (0,1) ∪ (1,+∞) → R , g( x) =

257 −2 ln x

. Să se determine

x 2 f ' ' ( x) + kx f ' ( x) f ( x)

să fie

e) k = 1

f) k = −1

constantă. b) k =

a) k = 2

1 2

c) k = 0

d) k = 4

AM - 163 Fie α un număr real şi f : [0,1] → R funcţia dată de: 1  α  x sin , x ≠ 0

f ( x) = 

x

.

0 , x = 0 Să se determine α ∈R pentru care f este de două ori derivabilă în x = 0 .

a) α = 2

b) α = 1

c) α > 1

d) α > 2

e) α > 3

f) α ≤ 3

AM - 164 Se dă funcţia f : R → (0,+∞) , prin f ( x) =

a)

1 1 + x . Să se calculeze x 2 5 derivata inversei funcţiei f în punctul y = 2 . 1 1 b) ln 5 c) d) ln10 e) − f) ln 2 ln 10 ln 10

1 ln 5

AM - 165 Fie funcţia f : R → (1,+∞) , f ( x) = 4 x + 2 x + 1 . Să se arate că f este inversabilă, să se determine g = f

(

)

a) g( y) = ln 4 y − 3 − 1 ; g ' (3) =

1 3

c) g( y) =

4y − 3 − 1 1 1 ln ; g ' (3) = 2 ln 2 3

e) g( y) =

1 1 ln 4 y − 3 ; g ' (3) = ln 2 3 ln 2

(

)

b) g( y) =

−1

şi să se calculeze g ' (3) .

[(

]

)

1 1 ln 4 y − 3 − 1 − ln 2 ; g ' (3) = ln 2 3 ln 2

d) g( y) = ln 4 y − 3 + 1; g ' (3) = f) g( y) =

(

)

1 3

1 1 ln 4 y − 3 + 2 ; g ' (3) = ln 2 3 ln 2


258

AM - 166 Fie f : R → R , f ( x) = x 5 + x . Să se arate că f este bijectivă.Dacă g este inversa lui f , să se calculeze g ' (2) şi g ' ' (2). a) g ' (2) = 6, g ' ' (2) = −20

b) g ' (2) = e) g ' (2 ) =

d) g ' (2) = 0, g ' ' (2) = 1

1 20 , g ' ' ( 2) = − 3 6 6

1 ,g ' ' (2) = 0 6

c) g ' (2 ) = f) g ' (2) =

1 1 ,g ' ' (2) = − 6 25

1 5 , g ' ' ( 2) = − 3 36 6

AM - 167 Fie f : (1,+∞) → R , f ( x) = x 3 − 3x . Să se arate că funcţia

f : I → f ( I ) este inversabilă pe intervalul I = (1,+∞) şi fie g inversa lui f . Să se calculeze g ' (2) şi g ' ' (2) . a) g ' (2) =

1 , g ' ' (2) = 243 9

d) g ' (2) = 9, g ' ' (2) = −

b) g ' (2) =

1 4 , g ' ' ( 2) = − 9 243

c) g ' (2) = 2, g ' ' (2) = 15

243 4 1 2 4 e) g ' (2) = − f) g ' (2) = , g ' ' (2) = − , g ' ' ( 2) = 4 243 9 9 243

− 3x − 2 , x ∈[ −1,0] , AM - 168 Fiind dată funcţia f :[ −11 , ] → [ −2,2] , f ( x) =  2  x + 1 , x ∈ (0,1] să se precizeze dacă este inversabilă şi în caz afirmativ să se determine inversa.

a) f

c) f

e) f

−1

−1

−1

 1 − ( y + 2) , y ∈[ −2,1] ( y) =  3  y − 1 , y ∈ (1,2] 

b) f

−1

1 y + 2 , y ∈[ −2,0] ( y) =  3  y + 1 , y ∈ (0,2] 

1 ( y + 2) , y ∈[ −2.1] ( y) =  3 − y + 1 , y ∈(1,2] 

d) f

 y − 1 , y ∈[ −2,1] ( y) =  1 y + 1 , y ∈(1,2]  3

f) f nu admite inversă

−1

 1 − ( y + 2) , y ∈[ −2,1] ( y) =  3 − y + 1 , y ∈ (1,2] 


259

− 2 x − 1 , x ∈[ −2,0] AM - 169 Fiind dată funcţia f :[ −2,2] → [ −1,5] , f ( x) =  2 ,  x + 1 , x ∈ (0,2] să se determine inversa ei în cazul în care există.

 1 − ( y + 1), y ∈ [− 1,3] a) f ( y ) =  2  y − 1, y ∈ (3,5] 

 1 − ( y + 1), y ∈ [− 1,1] b) f ( y ) =  2  y − 1, y ∈ (1,5] 

−1

−1

c) nu este inversabilă

e) f

−1

d) f

1 ( y − 1) , y ∈[ −11, ] ( y) =  2  y − 1 , y ∈ (1,5] 

f) f

−1

−1

1 ( y + 1) , y ∈[ −1,0] ( y) =  2  y + 1 , y ∈ (0,5] 

 1 − ( y + 1) , y ∈[ −1,2] ( y) =  2  y − 1 , y ∈ (2,5] 

AM - 170 Să se determine coeficientul unghiular al tangentei în punctul (e, e 2 ) la graficul funcţiei f : (0,+∞) → R , f ( x) = ln x + x 2 − 1 .

a) e − 1

b)

1 − 2e 2 2

c) 1 + 2e 2

d)

2e 2 + 1

e

e)

2e 2 − 1 2

f) 2e

AM - 171 Pentru ce valoare a parametrului real t , funcţia f : R → R ,

tx 3 are în punctul x = 1 graficul tangent unei drepte paralelă cu prima 1 + x2 bisectoare ? f ( x) =

a) t = 1

b) t = −1

c) t = 2

d) t = −2

e) t = −3

f) t = 0


260

AM - 172 Fie f : [ − 1,+∞) → R , definită prin f ( x) = x + 1 . Să se determine abscisa x0 a unui punct situat pe graficul lui f în care tangenta la grafic să fie paralelă cu coarda ce uneşte punctele de pe grafic de abscisă x = 0 , x = 3 . a) x0 =

1 3

b) x0 =

1 4

c) x0 = −

1 3

d) x0 =

5 4

e) x0 = −

AM - 173 Se consideră funcţia f : R \ {− 3} → R , f ( x) =

x0 = −3 + abscisă x0 .

2 3

f) x0 =

4 3

2x − 1 şi x+3

14 . Să se scrie ecuaţia tangentei la graficul lui f în punctul de 2

a) y = 2 x + 4 − 2 14

b) y = 2 x + 8 + 2 14

c) y = 4 x + 8 + 2 14

d) y = 4 x + 8 − 2 14

e) y = 2 x + 8 − 2 14

f) y = x − 4 + 2 14

AM - 174 Fie funcţia f ( x) = 2 arcsin

x−2

− 4 x − x 2 . Să se determine ecuaţia

2 tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă x = 1 . 1 1 π 1 π b) y = c) y = 3 + a) y = ( x − 1) + 3 + 3 ( x − 1) − 3 − 3 ( x − 1) 3 3 3

d) y = ( x − 1) −

1 3

+

π 3

e) y = −( x − 1) − 3 −

π 3

f) y = x +

1 3

−

π 3

x 2 + ax + b , unde a , b ∈ R . Să se x determine a şi b ştiind că graficul lui f este tangent dreptei y = −2 în punctul x = 1 . AM - 175 Fie f : R \ {0} → R , f ( x) =

a) a = 4, b = −1

b) a = −1, b = 2

c) a = 2, b = 3

d) a = −4, b = −1

e) a = −4, b = 1

f) a = 4, b = 1


261

AM - 176 Se consideră funcţiile f ( x) = x 2 şi g( x) = − x 2 + 4 x + c , unde c ∈R . Să se afle c astfel încât graficele lui f şi g să aibă o tangentă comună într-un punct de intersecţie a curbelor. a) c = 1

b) c = 2

c) c =

1 2

d) c = −2

AM - 177 Fie f , g :R → R , definite prin f ( x) =

e) c = 3

f) c = −1

x şi g( x) = x 3 + ax + b , unde

a , b ∈R . Să se determine a şi b pentru care graficele celor două funcţii sunt tangente în x = 1 . a) a = b = 1 d) a =

5 5 ,b = − 2 2

b) a = 7, b = −7

c) a = b = 3

5 5 e) a = − , b = 2 2

f) a = 2, b = −3

AM - 178 Fie funcţia f : R → R, f ( x ) = xe x . Să se determine panta tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă x=-1. a) -1

b) 0

c) 1

d) e

e) -e

f) 2e

AM - 179 Se consideră funcţia f(x) =

x 2 + px + q . Să se determine parametrii x2 + 2

p,q∈R astfel ca dreapta y=x-3 să fie tangentă graficului funcţiei în punctul A(1,-2). a) p=1, q= -8

b) p=-2, q=-5

c) p=-3, q= -4

d) p=-4, q=-3

e) p=-5, q=-2

f) p=-6, q=-1


262

AM - 180 Determinaţi punctele A, B ∈G f , unde G f este graficul funcţiei − 16x , f : E ⊂ R → R , f(x) = 4x 2 + 12x + 1 în care tangentele la grafic sunt paralele cu (Ox).

 1  1  a) A − ,−2 , B ,−1  2  2 

1   1  b) A ,0 , B − ,1 2   2 

1   1  c) A ,1, B − ,−1 2   2 

 1  1  d) A − ,1, B ,2   2  2 

3   3  e) A ,0 , B − ,1 2   2 

 3  3  f) A − ,1, B ,−1  2  2 

AM - 181 Tangenta la graficul funcţiei f : R → R ,

2x , face cu axa Ox un f(x) = x2 + 1

unghi de 450 în punctele de abscise: a) ±

5 +1

b) ±

3 −1

c) ±

3+2

d) ±

5 -2

e) ±

5 +2

f) ±

5 +4

AM - 182 Să se determine punctul P de pe graficul funcţiei f(x) = e x + x , în care tangenta la grafic trece prin origine. a) P(0,1)

b) P( −1, e −1 − 1)

c) P(1, 1+e)

d) P(2, e 2 + 2)

e) P(-2, e -2 − 2)

f) P∈∅

AM - 183 Inegalitatea

 π a) x ∈ 0,   2 d) x ∈ ( −1,+∞)

x 1 + x2

< arctg x este adevărată pentru

b) x ∈ [0,1]

c) x ∈ (0,+∞)

e) x ∈ [- 1,1]

f) x ∈ ( −1,+∞)


263

1  arctg x , x ≠ 0 f (x ) =  0, x=0 

AM - 184 Fiind dată funcţia f : R → R ,

să se precizeze care dintre afirmaţiile următoare este adevărată a) f este continuă pe R d) f nu este derivabilă în 0 dar are derivata f ' (0 ) = ∞

b) f este discontinuă pe R c) f este derivabilă în 0 e) f nu este derivabilă în 0 f) f nu este derivabilă ' dar are derivata f (0 ) = −∞ şi nici nu are derivată în x = 0

AM - 185 Folosind intervalele de monotonie ale funcţiei f : (0,+∞) → R , definită prin f ( x) =

a)

( 3)

d) 8

5

10

ln x

>5

< 10

x

, să se precizeze care din următoarele inegalităţi este adevărată.

3

8

<5

5

b) 3 e) 10

11

(

3

< 11

10

)

c) 2

3

>3

2

f) 2

5

>5

2

AM - 186 Să se afle soluţia inecuaţiei ln x 2 + 1 > x . a) x ∈(0,+∞)

b) x ∈( − ∞,1)

d) x ∈(1,+∞)

e) x ∈( − 1,+∞)

c) x ∈( − ∞,0) f) x ∈( − ∞,2)

AM - 187 Pentru ce valori ale lui x are loc inegalitatea

ln ( x + 1) ≥

2x ? x+2

a) x > -1

b) x > 0

c) x ≥ 0

d) x < -1

e) x ∈ (− 1,0 )

f) x ∈ R


264

AM - 188 Precizaţi soluţia inecuaţiei arcsin

[

a) − 2 , 2

]

[ ]

b) 1, 2

1

x

− arccos

c) ( − ∞,−1] ∪ [1,+∞)

1

x

≥ 0.

d) [0,1]

e) [ − 1,0]

f) [ − 11 ,]

AM - 189 Să se determine valorile parametrului real m pentru care funcţia

(

)

f : R → R , f ( x) = ln 1 + x 2 − mx este monoton crescătoare pe R .

a) ( − ∞,1]

b) [1,+∞)

d) ( − ∞,−1]

e) ( − ∞,1] ∪ [2,+∞)

AM - 190 Fie funcţia f : R → R , f ( x) =

{

}

f (R ) = f ( x) x ∈ R . a) R

c) ( − ∞,−1] ∪ [1,+∞)

b) [0,+∞)

f) [ − 11 ,]

1 . Să se afle mulţimea 5 + 3sin x

1 1 c)  ,  8 2 

1  d)  ,1 4 

1  f)  ,8 2 

e) (1,5)

AM - 191 Să se determine toate soluţiile x ∈(0,+∞) ale inecuaţiei: ln x ≤ a) (0,+∞)

b) (1, e]

c) [e,+∞)

d) e

[ ]

e) e, e 2

AM - 192 Fie f : [ − 1,+∞) → R , definită prin f ( x ) = arcsin

x −1 2(1 + x 2 )

x . e

[

f) e 2 ,+∞

− arctg x .

Să se determine parametrii a , b ∈R pentru care f ( x) = ax + b , ∀ x ∈[ − 1,+∞) . π 4 π π d) a = − , b = 4 4

a) a = 0, b = −

b) a = 0, b =

π 4

e) a = 1, b = −1

π ,b = 0 4 π π f) a = , b = 2 4

c) a =

)


265

AM - 193 Fiind date funcţiile f , g : R → R , f ( x) = arcsin

2x , 1 + x2 g( x) = −2arctg x , să se arate că f şi g diferă printr-o constantă pe anumite intervale şi

să se precizeze intervalele şi constantele corespunzătoare. a) f ( x) − g( x) =

π , x ∈ [ − 11 ,] 2

− π , x ∈( − ∞,−1] c) f ( x) − g( x) =  π , x ∈[1,+∞)

e) f ( x) − g( x) =

b) f ( x) − g( x) = π , x ∈( − ∞,−1] ∪ [1,+∞) π  2 , x ∈( − ∞,−1] d) f ( x) − g( x) =   π , x ∈[1,+∞)  4

 π − , x ∈( − ∞,−1] f) f ( x) − g( x) =  2  π , x ∈[1,+∞)  2

π , ∀ x ∈R 4

AM - 194 Să se afle punctele de extrem local ale funcţiei f : R → R , definită prin

f ( x) = x 4 − 10 x 2 , precizând natura lor.

a) − 5 = min, 0 = max,

5 = min

b) 0 = max, 5 = min

c) − 5 = min, 5 = max

d) 0 = max, 5 = max

e) − 5 = max, 0 = min, 5 = min

f) − 5 = max, 0 = min,

5 = max

AM - 195 Să se determine cea mai mică şi cea mai mare valoare a funcţiei f : R → R , f ( x) = 6 x − x 3 pe segmentul [ −2,3] . a) f min = 2, f max = 4

b) f min = −5, f max = 6

c) f min = −8, f max = 4 2

d) f min = −2, f max = 7

e) f min = −9, f max = 4 2

f) f min = −7, f max = 4


266

AM - 196 Care sunt valorile parametrului real m pentru care funcţia m− x nu are puncte de extrem ? f : R \ {1,4} → R , f ( x) = 2 x − 5x + 4 a) m ∈( − 1,0) b) m ∈(5,8) c) m ∈( − 3,0) d) m ∈(2,7) e) m ∈( − 3,2) f) m ∈ [1,4]

(

)

AM - 197 Fie f : R → R , definită prin f ( x) = e x x 2 − x − 1 . Dacă notăm cu m valoarea minimă , iar cu M valoarea maximă a funcţiei f pe intervalul [ −3,0] , să se determine m şi M . a) m = −1, M = 5e −2

b) m = 0, M = e −1

c) m = 5e −2 , M = 6e −2

d) m = e −1 , M = 5e −2

e) m = e −1 , M = 11e −3

f) m = 1, M = e

AM - 198 Care este mulţimea punctelor de extrem local ale funcţiei

f : E ⊂ R → R , f ( x) = x 2 − 4 x , unde E este domeniul maxim de definiţie ? b) {0,4}

a) {2}

c) ∅

e) {1,2}

d) {1}

AM - 199 Fie f : R → R , definită prin f ( x) =

x x2 − x + a

f) {− 1,5}

, unde a ∈R . Să se 2

determine parametrul a astfel încât funcţia să admită un extrem cu valoarea a) a =

1 3

b) a = 0 şi a = 1

c) a = −

1

d) a = 1

e) a = 5

.

3

f) a = −2

3

AM - 200 Fie f : R → R , definită prin f ( x) =

x 2 − ax

unde a ∈R . Să se x2 + 1 determine a pentru care funcţia f admite un punct de extrem situat la distanţa 2 de axa Oy. a) a = −11, a = 12

b) a = −12, a = 11

c) a = −12, a = 12

d) a = −4, a = 3

e) a = 1, a = −2

f) a = 4, a = 7


267

ax + a − 2 unde a este un parametru x2 + 1 real. Să se determine a astfel încât funcţia să aibă un extrem în punctul x = 1 . AM - 201 Se consideră funcţia f : R → R , f ( x) =

a) a = 1

b) a = 2

c) a = −2

d) a = −1

e) a = 3

f) a = −3

x3 − 2 x2 − x + a , a , b ∈ R . Să se x 2 + 2bx + 1 determine valorile parametrilor a şi b pentru care graficul funcţiei f are un extrem în punctul A (0,−1) . 1 1 b) a = −1, b = − c) a = 0, b = a) a = 1, b = 0 2 2 1 1 d) a = −1, b = e) a = 2, b = − f) a = −2, b = 0 2 2

AM - 202 Fie funcţia f : R → R , f ( x) =

AM - 203 Să se determine mulţimea punctelor de inflexiune pentru funcţia f : R → R , f ( x) = x 3 − 3x 2 + 5 . a) {0,3}

b) {0}

d) ∅

c) {0,2}

e) {1}

f) {0,1}

x 2 + 2 px + q unde a , p, q ∈R . Ştiind că x−a graficul funcţiei f nu taie axa Ox , precizaţi câte puncte de extrem local are funcţia. AM - 204 Fie f : R \ {a } → R , f ( x) =

a) nici unul

b) unu

c) două

d) trei

AM - 205 Se dă funcţia f : E ⊂ R → R , f ( x) =

e) cel puţin trei

f) patru

ax unde a , k ∈R * . 2 x + 3x + k Să se determine a şi k pentru care valorile extreme ale funcţiei f sunt –1 şi –2 .

d) a = −4, k = ±

1 2 3 e) a = −1, k = 2

b) a = 5, k = ±

a) a = 2, k = 3 1 2

2

c) a = 2, k = 5 f) a = −2, k = ±

3 2


268

AM - 206 Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f : R → R ,

f ( x) = 3 ( x − 1) ( x + 2) . 2

a) x = − 1 maxim, x = 1 minim

b) x = − 1 maxim, x = −2 minim

c) x = − 1 şi x = −2 maxime, x = 1 minim

d) x = − 1 şi x = 2 maxime

e) x = 1 şi x = −2 minime

f) x = − 1 şi x = −3 maxime

AM - 207 Fie funcţia f : D ⊂ R → R , f ( x) = ax 2 + b , D fiind domeniul maxim de definiţie , iar a , b ∈R . Să se determine a şi b cunoscând că D este un interval de lungime 2 şi că funcţia admite un extrem egal cu 1. a) a = 1, b = 1

b) a = −4, b = −2

c) a = 1, b = −1

d) a = 0, b = 2

e) a = −1, b = 1

f) a = −2, b = 0

AM - 208 Fie funcţia f : D ⊂ R → R , f ( x) = arcsin

x−1

unde D este domeniul ei x2 + 1 maxim de definiţie. Să se determine coordonatele şi natura punctelor sale de extrem. a) f nu are puncte de extrem local

π  b) A  − 1,−  - minim  4

π  c) B  0,−  - minim  2

π  d) C  0,−  - maxim şi D(1,0) - minim  2

 3π  e) E  0,  - minim  2

π  f) F  0,−  - minim şi G(1,0) - maxim  2 1

AM - 209 Fie funcţia f : R \ {0} → R , f ( x) = x − 1 ⋅ e x . Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată ? a) f nu este definită în x = 1

b) f este strict monotonă

c) f este derivabilă pe domeniul de definiţie

d) f are un punct unghiular în x = 1

e) f este convexă pe tot domeniul de definiţie

f) f are un punct de întoarcere în x = 1


269

AM - 210 Să se determine punctele unghiulare şi punctele de întoarcere ale x−1 funcţiei f : R → R , f ( x) = . x +1 a) x = 0, x = 1 puncte de întoarcere

b) x = 1 punct unghiular şi x = 0 punct de întoarcere

c) x = 0 şi x = 1 puncte unghiulare d) f nu are puncte unghiulare şi nici puncte de întoarcere e) x = −1 punct unghiular

f) x = 1 punct de întoarcere şi x = 0 punct unghiular

AM - 211 Fie f : (0,1) → R şi x0 ∈(0,1) . Considerăm proprietăţile: P 1 : x0 este punct de extrem local al funcţiei f P 2 : x0 este punct de inflexiune P 3 : x0 este punct de întoarcere al graficului funcţiei f P 4 : f ' ( x0 ) = 0 Care din următoarele implicaţii este adevărată ? a) P 1 ⇒ P 4 b) P 4 ⇒ P 1

c) P 3 ⇒ P 1

d) P 3 ⇒ P 2

f) P 4 ⇒ P 2

e) P 2 ⇒ P 4

AM - 212 Se consideră funcţia f : R → R , f ( x) = arcsin

(

x

2 x + 2x + 2 2

)

.

π  Să se precizeze natura punctului A  − 2,−  .  2

a) punct de inflexiune, (∃) f ′(− 2 ) ∈ R

b) punct de maxim, ( ∃) f ' ( −2) ∈ R

c) punct de discontinuitate

d) punct de minim, ( ∃) f ' ( −2) ∈ R

e) punct de întoarcere

f) punct unghiular

AM - 213 Se dă f : R → R , definită prin f ( x) =

x 2 + ax + b cu a , b ∈ R .

Să se determine parametrii a şi b astfel ca f să admită pe x1 = −1 , x2 = 2 , x3 = 5 ca puncte de extrem local. a) a = 4, b = 5 b) a = −4, b = 5 c) a = 4, b = −5 d) a = −4, b = −5 e) a = 1, b = 3 f) a = −2, b = 4


270

AM - 214 Fie m şi M valorile extreme ale funcţiei

f : R → R , f ( x ) = x 3 + ax + b ( a , b ∈ R , a < 0) . Să se calculeze produsul m ⋅ M în funcţie de a şi b . a)

a3 + b2 3

b)

27a 3 + b2 4

c) b 2 +

4 3 a 27

d) a 2 + b 2

e) 1

f)

4b 2 + a3 27

AM - 215 Să se precizeze valorile parametrului real a, pentru care funcţia x 2 + ax + 5 are trei puncte de extrem diferite. f : R → R , f ( x) = x2 + 1 b) a ∈( − 2,2) c) a ∈{− 2,2} a) a ∈( − 3,3) d) a ∈ [− 2,2]

e) a ∈( − ∞,2) ∪ (2,+∞)

 1  f) a ∈ − ,7  2 

AM - 216 Se consideră ecuaţia x 5 + 5x 3 + 5x − 2m = 0 , unde m ∈R . Să se determine toate valorile lui m astfel încât ecuaţia să aibă o singură rădăcină reală. a) m ∈R

b) m ∈R \ {0}

c) m = 0

d) m ∈( − ∞,0]

e) m ∈[0,+∞)

f) m ∈∅

AM - 217 Să se determine mulţimea valorilor parametrului real m astfel ca ecuaţia 2 ln x + x 2 − 4 x + m2 − m + 1 = 0 să aibă o rădăcină reală supraunitară. a) m ∈(10,11)

d) m ∈(2,+∞)

b) m ∈( − 2,−1]

e) m ∈( − ∞,−1) ∪ (2,+∞)

c) m ∈( − 1,2)

f) m ∈( − ∞,−1)

AM - 218 Să se determine toate valorile parametrului real m pentru care ecuaţia e x = mx 2 are trei rădăcini reale. a) m ∈( − ∞,0]

 e2  b) m ∈ 0,   8

c) m = 1

 e2 e2  d) m ∈ ,   8 4

 e2  e) m ∈ ,+∞  4 

f) m =

e2 4


271

AM - 219 Se dă ecuaţia 2 x 3 + x 2 − 4 x + m = 0 , unde m ∈R . Să se determine parametrul real m astfel ca ecuaţia să aibă toate rădăcinile reale.

 − 44  ,3  27 

a) m ∈( − ∞,−3)

b) m ∈ 

 44  c) m ∈( − ∞,−3] ∪  0,   27 

d) m ∈( − 3,+∞)

 44  e) m ∈( − ∞,−3) ∪  ,+∞  27 

44   f) m ∈ − 5,  27  

AM - 220 Să se determine mulţimea tuturor valorilor parametrului real p pentru care ecuaţia: 3 x 4 + 4 x 3 − 24 x 2 − 48 x + p = 0 are toate rădăcinile reale. a) R

b) [0,4]

c) {0,4}

d) [16,23]

e) [ − 23,−16]

f) [ − 23,16]

AM - 221 Să se determine toate valorile reale ale lui a pentru care ecuaţia x 3 − 3x 2 + a = 0 are toate rădăcinile reale şi distincte. a) [0,4]

b) (0,4)

c) (0,4]

d) [1,+∞)

 1 e) 0,   2

f) (0,1)

AM - 222 Pentru ce valori ale lui m ∈R , ecuaţia 2 x − x ln 2 = m are două rădăcini reale distincte ? a) m < 1

b) m = 1

c) m > 1

d) m = ln 2

e) m > ln 2

f) m < ln 2

AM - 223 Fie x1 , x2 , x3 rădăcinile ecuaţiei x 3 − x 2 − 1 = 0 . Dacă x1 este

(

)

rădăcina reală a ecuaţiei , să se calculeze: lim x2n + x3n . n→∞

a) nu există

b) + ∞

c) − ∞

d) 0

e) 1

f) –1


272

AM - 224 Se consideră ecuaţia: x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 + ax + b = 0 , unde a , b ∈R , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 . Dacă toate rădăcinile ecuaţiei sunt reale , să se precizeze aceste rădăcini. a) x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4

b) x1 = −1, x2 = 2, x3 = −3, x4 = −4

c) x1 = x2 = x3 = x4 = 1

d) x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2, x4 = −2

e) x1 = −2, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 5

f) x1 = 1, x2 = 2, x3 = −2, x4 = 5

AM - 225 Să se afle mulţimea valorilor lui p ∈R pentru care ecuaţia 3x 4 + 4 x 3 − 24 x 2 − 48 x + p = 0 are rădăcină dublă negativă.

a) {− 23,−16}

b) ∅

c) {− 23, 16}

d) {23,−16}

e) {23}

f) {16}

AM - 226 Care sunt valorile parametrului real λ pentru care ecuaţia:

x 3 − 3x 2 − 3x + 5 + λ2 2 = 0 admite rădăcini duble ? a) ( − 11 , )⊂R

b) nu admite rădăcini duble

c) {− 2,2}

d) {3,4}

e) {1,3}

f) [0,1) ⊂ R

AM - 227 Fie a 1 > 0, a 2 > 0 şi a 1x + a 2x ≥ 2 pentru orice x ∈R . Să se calculeze produsul a 1 ⋅ a 2 . 1 d) 1 e) f) 4 a) 0 b) 2 c) + ∞ 2 AM - 228 Să se determine a ∈R astfel încât 2 x + a x ≥ 3 x + 4 x , ( ∀) x ∈ R . a) 3

b) 6

c) 2

d) 5

e) –5

f) 8


273

 x 2 + ax + b , x ∈[ −1,0) AM - 229 Fie f : [ − 11 , , ] → R , definită prin f ( x) =  cx 2 + 4 x + 4 , x ∈[0,1] unde a , b, c ∈R . Care sunt valorile parametrilor a, b, c pentru care f verifică ipotezele teoremei lui Rolle pe intervalul [ −11 ,] ?

a) a = 1, b = 2, c =

1 3

d) a = 4, b = 4, c = −7

b) a = −1, b = −1, c = 2

c) a = −2, b = −2, c = 8

e) a = 2, b = 3, c = 5

f) a = −1, b = −2, c = 7

AM – 230 Fie funcţia f : [− 1, a ] → R,

f ( x ) = 3 x − 2 − 5 , unde a > −1 . Să se

determine valoarea lui a astfel încât f să îndeplinească condiţiile din teorema lui Rolle. a) 0

b)

7 3

c) nu există

d) 1

e) 2

f)

2 3

AM – 231 Se consideră ecuaţia 4 x 3 + x 2 − 4 x + a = 0 , unde a este un parametru real. Pentru ca ecuaţia să aibe trei rădăcini reale, parametrul a aparţine următorului interval :

 5 5 , ;  2 4

 2 5 ,   7 4

 52 5  , ;  27 4 

b) a ∈  −

c) a ∈  −

 5 4 , ;  7 5

e) a ∈ (1,5)

f) a ∈ (2,5)

a) a ∈ −

d) a ∈  −

AM – 232 Să se determine pentru care valori ale parametrului real a ecuaţiei x 5 − 5a 4 x + 4a 3 = 0 admite o singură rădăcină reală ( fără a fi multiplă). a) a ∈ (− ∞,−1) b) a = −1 c) a ∈ (− 1,0 ) ∪ (0,1) d) a = 1 e) a ∈ (0, ∞ ) f) a = 0


274

AM – 233 Ecuaţia f n ( x ) = 1 +

x x2 xn + ++ = 0 admite: n! 1! 2!

a) numai rădăcini complexe dacă n impar b) numai rădăcini reale dacă n par

c) o singură rădăcină reală dacă n este impar şi nici o rădăcină dacă n este par d) admite toate rădăcinile reale dacă n este impar e) admite două rădăcini complexe dacă n este impar şi restul reale f) admite două rădăcini reale şi restul complexe dacă n este par AM – 234 Care sunt intervalele de variaţie ale parametrului real a pentru care ecuaţia

x 4 − 15 x 2 + ax − 12 = 0

are două rădăcini reale. a) (− ∞,−26 )

b) (− 28,28)

e) (− ∞,−28) ∪ (− 26,26 ) ∪ (28,+∞ )

c) (26,+∞ )

d) (− ∞,−26 ) ∪ (26,+∞ ) f) (− 28,−26 ) ∪ (26,28)

AM – 235 Pentru ce valori ale parametrului m ∈ R , funcţia polinomială f (x ) = x 3 − 3x 2 − m + 7 , admite trei rădăcini reale distincte, una negativă şi două pozitive. a) m ∈ [3,7]

b) m ∈ [3,7 )

c) m ∈ (3,7]

d) m ∈ (3,7 )

e) m ∈ (0,7 )

f) m ∈ (0,3) .

AM – 236 Ştiind că ecuaţia 3 x 3 − 3 x 2 + 1 = 0 are o rădăcină reală x1 , iar celelalte două rădăcini complexe conjugate x 2,3 = a ± ib , să se determine tripletul de mulţimi I , J 1 şi J 2 pentru care x1 ∈ I , a ∈ J 1 şi x 2 = x3 ∈ J 2 .

1 2

 

a) I = (− ∞,0 ); J1 =  , ∞ ; J 2 = R ∗+ ;

b) I = (− ∞,0 ); J 1 = (1, ∞ ); J 2 = (− ∞,0 )

c) I = (− ∞,0 ); J1 = (− ∞,0 ); J 2 = (1, ∞ ) ;

d) I = (− ∞,−1); J 1 =  − ∞, ; J 2 = (0, ∞ )

1 2

f) I = R; J 1 =  , ∞ ; J 2 =  − ∞,− 

 

e) I = (1, ∞ ); J1 =  , ∞ ; J 2 = R ∗ ;

1 2

 

1 2

 

 

1 2


275

AM – 237 Să se determine numărul de soluţii reale ale ecuaţiei : x 3 − 2 x − ln x = 0 . a) 0;

b) 1;

c) 2;

d) 3;

e) 4;

f) 5.

AM – 238 Să se determine mulţimea valorilor parametrului real m astfel ca ecuaţia x 4 − 4 x 3 + m = 0 să aibă toate rădăcinile complexe. a) m ∈ (− ∞,27 )

b) m ∈ (27, ∞ )

c) m ∈ (0,27 )

d) m ∈ (− 8,0 ) ∪ (27, ∞ )

e) m ∈ (− 27,0 )

f) m ∈ (− ∞,−27 )

AM – 239 Care este condiţia ca ecuaţia

na 0 x n −1 + (n − 1)a1 x n − 2 +  + 2a n − 2 x + a n −1 = 0

n ≥ 2, n ∈ N să aibe cel puţin o

rădăcină în intervalul (0,1) a)

na 0 + (n − 1)a1 +  + 2a n − 2 = 0 ;

b) a 0 + a1 + a 2 +  + a n −1 ≠ 0

d) a 0 + a1 + a 2 +  + a n −1 = 0 a 0 − a1 + a 2 − a3 +  + (− 1) a n −1 = 0 ; e) na 0 + (n − 1)a1 +  + 2a n − 2 ≠ 0 ; f) n(n − 1)a 0 + (n − 1)(n − 2 )a1 +  + 6a n −3 + 2a n − 2 = a n −1 c)

n −1

AM- 240 Fie polinomul f = x 3n −1 + ax + b; n ∈ N ∗ , a, b ∈ R. Care din următoarele afirmaţii sunt adevărate pentru valorile lui a şi b pentru care f se divide cu x 2 + x + 1, ∀n ∈ N ∗ a) f nu are rădăcini reale

b) f are cel puţin o rădăcină reală

c) f are cel mult o rădăcină reală

d) f are cel puţin două rădăcini reale

e) f are două rădăcini reale

f) f are trei rădăcini reale.


276

AM – 241 Să se precizeze care dintre următoarele condiţii este suficientă pentru ca ecuaţia :

(

)

x p + q − A x p − 1 = 0,

( p ,q ∈ N , impare, A > 0)

să aibă două rădăcini reale şi pozitive. a) p p q q A p < ( p + q )

p+q

d) q q p p A p < ( p + q )

p ⋅q

;

;

b) p p q q A p > ( p + q )

p+q

e) p q ⋅ q p A p > ( p + q )

; p ⋅q

c) p p A p > ( p + q )

; f) p p ⋅ q q > A p .

AM – 242 Dacă x 2 şi x 3 sunt rădăcinile imaginare ale ecuaţiei x 3 − x − 1 = 0 , precizaţi cărui interval aparţine partea lor reală :



 ,0 ;  2 3 

a) −

1   1 ,− ;  2 2 3

1

  

d)  − ∞ ,−

b)  −

3 ; 2 

  

e)  −

3 2 ; ,− 2 2 

  

c)  −

2 1 ,− ; 2 2

 1

 , ∞  .  3 

f) 

AM – 243 Să se determine mulţimea tuturor valorilor parametrului real m pentru care ecuaţia: 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x + m = 0 nu are nici o rădăcină reală. a) m ∈ (− 8,−13);

b) m ∈ (− 13,−8);

c) m ∈ (− 8,19 );

d) m ∈ (19, ∞ );

e) m = −8;

f) m = 19 .

AM – 244 Fiind dată ecuaţia x 3 − 2 x + 1 − ln x = 0 , iar S fiind suma rădăcinilor acesteia, să se precizeze care din următoarele afirmaţii este adevărată.

(

a) S ∈ − e 2 ,−e d) S ∈ (− 1,0 )

)

b) S ∈ (− e,−2 )

 

1 2

e) S ∈  0, 

c) S ∈ (− 2,−1)

1  2 

f) S ∈  ,1

p+q


277

1  2  x sin x , x ∈ R \ {0} AM – 245 Fiind dată funcţia f ( x ) =  şi c n punctele rezultate 0, x=0  aplicând teorema lui Lagrange funcţiei f pe intervalul

    1 1 ( f (cn ) + nf ′(cn )). , , n ∈ N, să se calculeze : L = lim  3π n →∞ π  + 2nπ + 2nπ    4 4 1 2 2 d) L = e) L = 2π f) L = a) L = 0 b) L = 1 c) 2π 2 π

AM – 246 Fie f : Dm → R,

 mx  f (x ) = ln1 + , m > 0 , m parametru şi D m 5  

domeniul maxim de definiţie. Să se determine toate valorile lui m pentru care f verifică ipotezele teoremei lui Lagrage pe intervalul [− 4,4] a) m ∈ [0,5];

4 5 5 4

d) m ∈  , ;

5

 

b) m ∈  − ∞, ; 4



5 4

 

 

5 4

c) m ∈  0, ;

f) m ∈ φ

e) m ∈  ,2  ;

AM – 247 Se consideră funcţiile f , g , h : R → R ,

1 + x ⋅ e nx , g ( x ) = e x +1 şi h( x ) = ( g  f )( x ) . n →∞ 1 + e nx

f ( x ) = lim

Să se determine constanta c din teorema lui Lagrange aplicată funcţiei h pe [1,2] .

(

)

a) c = 1 − ln (e − 1);

b) c = ln e 2 − 1 ;

d) c = ln (e − 1) − 1;

e) c =

3 ; 2

c) c = 1 + ln (e − 1); f) c = 1.


278

AM - 248 Să se determine constanta c care intervine în teorema lui Lagrange  x + 3 , x ∈[ − 2,1)  pentru funcţia f : [ − 2,5] → R , f ( x) =  x 7  + , x ∈[1,5] 4 4 a)

3 4

b)

2 7

c)

1 8

d)

1 16

e) −

1 16

f)

1 14

AM - 249 Să se determine constanta c care intervine în teorema lui Lagrange pentru  x3 2  − x + 1 , x ∈(1,3] 3 funcţia f : [0,3] → R , f ( x) =  − x + 4 , x ∈[0,1]  3 a) c =

2 2 −1 3

d) c = 1 +

2 2 3

2 3 3

b) c = 1 + e) c =

c) c1 = 1 −

2 3 −1 3

f) c =

2 2 2 2 , c2 = 1 + 3 3

−2 3 +1 2

AM - 250 Fie f : [0,1] → R , f ( x) =

1 . Aplicând teorema lui Lagrange x+1 funcţiei f pe intervalul [0, x] , se obţine punctul c ∈(0, x) , unde c = θ ⋅ x , 0 < θ < 1 şi θ = θ ( x) . Să se calculeze: L = lim θ ( x) . x→ 0 x> 0

a) L = 1

b) L = 2

c) L =

1 2

d) L =

1 3

e) L = 0

f) L = 3

1  1 1 sin − cos , x ≠ 0 , să se AM - 251 Fiind dată funcţia f : R → R , f ( x) =  x x x k , x = 0 determine valorile parametrului real k pentru care f admite primitive pe R.

a) k = 0

b) k = 1

c) k = 0 sau k = 1

d) k = 2

e) k ∈ R

f) nu există k


279

 x, x ∈( − ∞,0)  2 AM - 252 Se dă funcţia f : R → R , f ( x) =  x , x ∈[0,2) .  2 x, x ∈[2,+∞) Care din următoarele funcţii F este o primitivă a lui f pe R ?  x2  + 1, x ∈( − ∞,0) 1, x ∈( − ∞,0) 2   x3 b) F ( x) =  , x ∈[0,2) a) F ( x) = 2 x, x ∈[0,2)  3 2, x ∈[2,+∞)  2 4  x − 3 , x ∈[2,+∞) 

1 , x ∈( − ∞,0)  c) F ( x) = 2 x − 2, x ∈[0,2)  2 , x ∈[2,+∞)  x2  + 1, x ∈( − ∞,0) 2  x3 e) F ( x) =  + 1, x ∈[0,2) 3  2 1  x − 3 , x ∈[2,+∞) 

 x2  , x ∈( − 1,0) 2  x3 d) F ( x) =  , x ∈[0,2) 3  2 4  x − 3 , x ∈[2,3) 

f) Nici una dintre funcţiile precedente nu este primitivă a lui f pe R

 x 2 + x + 1, x ≤ 0 . Precizaţi care din AM - 253 Fie f : R → R, f ( x) =  x e , x > 0 următoarele funcţii reprezintă o primitivă a funcţiei f :  x3 x2 + x, x ≤ 0  + F1 ( x) =  3 2 e x , x > 0 

 x3 x2 + x + c, x ≤ 0  + F2 ( x) =  3 2 e x + c, x > 0 

280


 x3 x2 + x, x ≤ 0  + F4 ( x) =  3 2 e x + 1 , x > 0 

 x3 x2 + x, x ≤ 0  + F3 ( x) =  3 2 e x − 1, x > 0 

a) toate

b) nici una

c) F1

d) F2

e) F3

f) F4

e x , x ∈[ − 1,0) AM - 254 Se dă funcţia f : [ − 11 . , ] → R , f ( x) =  2  x + 2 , x ∈[0,1] Care din următoarele afirmaţii este adevărată ?

e x + 1, x ∈ [ − 1,0)   x3  + 2, x ∈ [0,1] 3 este primitivă a lui f

e 2 x , x ∈[ − 1,0) e x , x ∈[ − 1,0) b) F ( x ) =  c) F ( x ) = a) F ( x ) =  2 x , x ∈[0,1] 2 x + 1, x ∈[0,1]

este primitivă a lui f

este primitivă a lui f

e x , x ∈[ − 1,0) e x , x ∈[ − 1,0)   e) f nu are primitive pe [ − 11 d) F ( x ) =  x 3 , ] f) F ( x ) =  x 2  + 3, x ∈[0,1]  + 1, x ∈[ 0,1] 2 3 este primitivă a lui f este primitivă a lui f

 x 2 2 x

AM - 255 Fie f : R → R , f ( x ) = 

x∈Q x∈R \Q

Care din următoarele afirmaţii este corectă ?

 x3 , x∈Q  3 a) f(x) admite primitiva F ( x ) =  x 2  ln 2 , x ∈ R \ Q


 x3  + c1 3 b) f(x) admite primitiva F ( x ) =  x  2 +c 2  ln 2

281

, x∈Q c1 ≠ c 2 ,x∈R \Q

c) f(x) nu admite primitive

 x3  + c 3 d) f(x) admite primitiva F ( x ) =  x  2 +c  ln 2  x3  + 1 3 e) f(x) admite primitiva F ( x ) =  x  2 +1  ln 2

, x∈Q ,x∈R \Q

,x∈R \Q , x∈Q

AM - 256 Să se stabilească dacă există primitivele F : R → R ale funcţiei 1  arctg , x < 0 , iar în caz afirmativ să se f : R → R, f ( x) =  x  1, x≥0 calculeze. 1 1  2  x arctg + ln 1 + x + C , x < 0 a) F ( x) =  x 2  x + C , x ≥ 0

(

)

(

)

1 1  2  x arctg + ln 1 + x + 1, x < 0 b) F ( x) =  x 2  x + 1, x ≥ 0

1   x arctg + C , x < 0 c) F ( x) =  x  x + C , x ≥ 0

d) nu admite primitive pe R

1 2  ln 1 + x + C , x < 0 e) F ( x) =  2  x + C , x ≥ 0

1 1  2  x arctg + ln (1 + x ) + C1 , x < 0 f) F ( x) =  x 2  x + C2 , x ≥ 0

(

)

282


AM - 257 Să se precizeze dacă funcţia f : R → R,

( (

)

1  t 2 − t + 1 , dac ă x ≤ inf t≤x 2 f ( x) =  sup − t 2 + t + 1 , dacă x > 1  t ≥ x 2

)

admite primitive pe R şi în caz afirmativ să se determine primitivele.  x3 x2 5 1 +x+ + C, x ≤  − 24 2 a) F ( x ) =  3 3 2 2 − x + x + x + 1, x > 1  3 2 2

 x3 x2 1 + x + C, x ≤  − 2 b) F ( x ) =  3 3 2 2 − x + x + x − 1 + C , x > 1  3 2 6 2

x3 x2 1 + x + 1 + C, x ≤  − 3 2 2 c) F ( x ) = 3 2 − x + x + x , x > 1  3 2 2

d) Nu admite primitive

 x3 x2 5 1 − x+ + C, x ≤  − 2 24 2 e) F ( x) =  3 1 − 5x + C , x >  2

 x3 x2 1 − x + C1 , x ≤  + 2 2 f) F ( x) = 3 1 5x + C , x > 2  2

AM - 258 Să se determine a ∈ R astfel ca funcţia f : R → R, 2 + ln(1 − x), x 〈 0  f ( x) =  a, x=0  −2 x 1 + e , x > 0

a) a = 1

b) a = -1

c) a = -2

să admită primitive pe R .

d) a = 2

e) a = 3

f) a =

1 3


283

2 − e − x , x < 0  AM - 259 Fie f : R → R , f ( x ) = m , x =0 . 1 − 3 sin x , x > 0  Să se determine m ∈ R pentru care funcţia f admite primitive şi apoi să se determine primitivele corespunzătoare. 2 x + e − x +2 + C , x < 0  a) m = 2, F ( x)= 2 x , x = 0  x + 3 cos x + C , x > 0 

2 x + e − x + 2 + C , x ≤ 0 b) m = 1, F ( x ) =   x + 3 cos x + C , x > 0

2 x + e − x + 2 + C , x < 0  c) m = 1, F ( x) = C , x = 0  x + 3 cos x + C , x > 0 

 x, x ≤ 0 d) m = 1, F ( x) =   x + 3 cos x + C , x > 0

2 x + e − x + 2 + C , x ≤ 0 e) m = 0, F ( x ) =   x + 3 cos x + C , x > 0

 x2 −x  + e + C, x ≤ 0 f) m = 3, F ( x ) =  2  x + 3 sin x + C , x > 0 

AM - 260 Fie F : R → R , F(x) = x x − a + x − b + x − c unde a, b, c ∈ R . Care sunt valorile parametrilor a, b, c pentru care F este o primitivă a unei funcţii f:R→R? a) a = b = c = -1

b) a = b = 3, c = 4

c) a = b = c = -3

d) a = -1, b = c = 1

e) a = b = c = -2

f) a = -b = c = 3

AM - 261 Să se determine primitivele funcţiei f :[0,2π] → R , unde f ( x ) = 1 + cos x .

a) 2 2 sin

x +C 2

x  2 2 sin 2 + C1 , x ∈[ 0, π] b)  − 2 2 sin x + C2 , x ∈( π,2 π]  2

284


x  2 2 sin 2 , x ∈[ 0, π] d)  − 2 2 sin x + C , x ∈( π,2 π]  2

x  2 2 sin 2 + C1 , x ∈[ 0, π] c)  − 2 2 sin x + C1 + 4 2 , x ∈( π,2 π]  2

e)

2 x sin + C 2 2

f) −

2 x cos + C 2 2

AM - 262 Să se stabilească dacă există , şi în caz afirmativ să se afle primitivele funcţiei f : R → R , f ( x ) = x − 2 + x 2 − 2 x + 1 + x 2 − 6 x + 9 . a) nu admite primitive  x2 + 2 x + C1 , x ∈( − ∞,1] −  2  x2 b) F ( x) = − x ∈(1,3] + C2 ,  2  x2 + 6 x + C3 , x ∈(3,+∞) 3 2 

 x2 + 2 x + C , x ∈( − ∞,1] −  2  x2 c) F ( x) =  + 1 + C , x ∈(1,3] 2  x2 3 − 6 x + 10 + C , x ∈(3,+∞)  2

 x + 2 x + C , x ∈( − ∞,3] − d) F ( x) =  2 2 3 x + 6 x + C , x ∈ 3,+∞ ( )  2

 x2  + 2 x + C , x ∈( − ∞,1]  2 e) F ( x) = 2 x + 3 + C , x ∈(1,3]  2 3 x + 6 x + C , x ∈(3,+∞)  2

2

f) F ( x ) =

x2 − 2x + 2

2x − 1 x − 2x + 1 2

+

x x − 6x + 9 2

+C


285 x 3 + 3x 2 − 9 x − 27 . x2 − 2x + 1

AM - 263 Se consideră funcţia f : (0, 1) → R , f ( x ) =

Să se găsească numerele reale m, n şi p astfel încât funcţia mx 3 + nx 2 + px să fie primitivă pentru f . x −1

F : (0,1) → R , F ( x ) = a) m = 1, n =

9 , p = 27 2

b) m =

1 9 d) m = − , n = , p = 27 2 2

1 9 , n = − , p = 27 2 2

c) m =

e) m = 1, n = 27, p = 9

1 9 , n = , p = 27 2 2

f) m = 2, n = 3, p =

1 2

AM - 264 Să se determine parametrii reali a, b, c astfel încât funcţia

axe nx + bx 2 + c f : R → R, f ( x ) = lim să admită primitive pe R . n →∞ e nx + 1 a) a, b, c ∈ R\ {0}

b) a,b ∈ R , c = 0

d) a = 1, b, c ∈ R \ {0}

c) a = 1, b = 1, c = -3

e) a = 1, b,c ∈ R

f) a, c ∈ R, b = 0

AM - 265 Să se determine relaţiile dintre a, b, c, A, B, C, astfel încât primitivele a) A⋅ B = B⋅ C = C ⋅ A a⋅ b = b ⋅ c = c ⋅ a d) A + B + C = 0 a+b+c=0

∫

2

B C   A + +   dx să fie funcţii raţionale.  x − a x − b x − c

b) A = B⋅ C a = b⋅ c e) A(b - c) = B(c - a) = C( a - b)

c) A = B = C a = 1, b = 2, c = 3 f) A⋅ a + B⋅ b + C⋅ c = 0

286


AM – 266 Calculaţi integrala nedefinită x +1 dx pentru orice x ∈ (a, b ) , unde 0 ∉ (a, b ) .

∫

x

1 +C x2

a) 1 + ln x + C

b) x −

c) x +

d) x + ln x + C

e) ln x + 1 + C

e)

1 +C x2

x +1 +C x

AM – 267 Calculaţi integrala: 2

∫ 1

a) e −1 − e −

(

d) 2 e −

2

b) e −

2

− e −1

)

e)

2

dx xe

x

.

(

− e −1

(

1 −1 − e −e 2

c) 2 e −1 − e − 2

(

)

f) e −

2

− e −1

2

)

)

AM – 268 Să se calculeze integrala:

ex ∫0 e2 x + 2dx 1 b) arctg 2 ln 2

a)

1 1 arctg 2 2

e) arctg 2

d) arctg 2 −1

AM – 269 Să se calculeze

∫

−2

a) arcsin e − arcsin e 2

ex 1 − e2 x

1 arctg 2 2

f)

1 1 arctg 2 arctg2 2 2

dx .

b) arcsin e −1 − arcsin e −2

d) arcsin e −2 − arcsin e −1 e)

c)

c) arcsin e 2 − arcsin e

1 1 arcsin e−2 − arcsin e−1 ) f) ( arcsin e − arcsin e 2 ) ( 2 2


287

π 4

∫π


( d) ln(

a) ln 3 − 2 2

−

)

4

1 + tg 2 xdx .

( ) e) ln(2 − 2 )

( ) f) ln(2 + 2 )

b) ln 3 + 2 2

)

2 −1

c) ln 1 + 2

2

AM – 271 Să se calculeze:

∫ f ( x )dx , unde 1

f (x ) = x ⋅ ln x, x > 0 , n – număr natural (n ≥ 1) . n

a)

d)

2n +1 ln 2 n +1 2n +1

( n + 1)

2n +1 2n +1 ln 2 − 2 n +1 ( n + 1)

b)

ln 2 2

2n +1

e)

( n + 1)

∫ (x

ln 2 − 1) 2 (

2

b) -3

2n +1

( n + 1)

2

( ln 2 + 1)

− 2 x − 1 e x dx .

0

a) e − 1

f)

2n +1 2n +1 − 1 ln 2 − 2 n +1 ( n + 1)

)

1


c)

c) 3(e − 1)

d) 3(1 − e )

f) − 3e

e) 3e

AM – 273 Să se calculeze 1

I = ∫ ax

3

+3x

⋅ ln a x

5

+ 4 x3 +3x

dx ,

0

unde a > 0, a ≠ 1 . a)

(

)

1 ln a a 3 ln a − 1 3

4a 4 ln a − a 4 + 1 d) 3 ln a

b)

(

1 3a 4 ln a − a 4 a ln a

(

e) a 4 a 3 + 3a − ln a

)

)

c)

1 4 a ln a 3

f)

1 4 a ln a + 1 3

(

)

288


AM – 274 Să se calculeze 1

I = ∫ [1 + xf ' ( x )]e f ( x )dx . 0

a) I = e f (1) ;

b) I = e f (1) − e f (0 ) ;

d) I = 0;

e) I = 1;

c) I = e f (0 ) − e f (1)

f) I = f (0 )e f (1) − f (1)e f (0 ) ;

AM – 275 Să se calculeze primitivele funcţiei

f : (1, 2) ∪ (2, ∞ ) → R ,

(

f (x ) =

x2 + 2 . x 2 − 3x + 2 x −1 c) ln +C x−2

x−2 +C x −1 x−2   x + 2 ln x − 1 + C1 (x − 2)2 + C e)  f) x + ln x −1  x + 2 ln x − 2 + C 2  x −1

)

a) 2 ln x 2 − 3 x + 2 + C

b) ln

 (x − 2)2 + C x + 3 ln  1  x −1 d)  2  x + 3 ln ( x − 2) + C 2  x −1

x4 dx pentru orice x ∈ (a, b), unde 1 ∉ (a, b). x −1 1 x2 1 1 2x + 1 a) ln x − 1 − ln x 2 + x + 1 + + arctg +C 3 6 2 3 3

AM - 276 Să se calculeze :

∫

(

)

(

)

(

)

3

b)

x3 1 1 1 3x + 1 ln x + 1 − ln x 2 + x + 1 + + arctg +C 6 3 3 2 2

c)

x2 1 1 1 2x + 1 ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + + arctg +C 3 3 3 3 2

d)

x2

1 + ln x + 1 + arctg x + C 2 3

(

)

f) ln x 2 + x + 1 +

1 x+1 arctg +C 3 2

e)

(

)

x2 1 − ln x 2 − x + 1 + C 2 6


289

AM – 277 Să se determine mulţimea primitivelor următoarei funcţii trigonometrice

f : (0, π ) → R, f ( x ) =

1 sin x

a) ln ctg x + C

d) ln tg

b)

x +C 2

e) ln ctg

AM - 278 Să se calculeze I = a) I = ln tg

x 2

1 +C cos x

x +C 2

f)

∫ sinxsinx dx , + cosx

+C

c) I =

1 arctg x + C 2

e) I =

1 ln sin x − cos x + arctg x + C 2

(

c) ln tgx + C

)

1 +C ln (cos x )

 π 3π  unde x ∈  − ,  .  4 4

(

)

b) I =

1 2 x − ln sin x − cos x + C 2

d) I =

1 x − ln sin x + cos x + C 2

f) I =

1 x + ln sin x + cos x + C 2

(

)

(

)

AM - 279 Să se determine toate polinoamele P ∈ R [ X ] astfel încât pentru orice x real să avem:

∫

x 1

P (t )dt = P ( x) ⋅ P (2 − x) .

 1  a) P ( x)= k ( x − 1), k ∈ − , 0  2 

 1 b) P ( x) = k ( x + 1), k ∈ 0,   2

 1  c) P ( x) = k( x + 1), k ∈ − ,0  2 

d) P ( x) = 2 x − 1

e) P ( x) = 1

f) P ( x) = k( x − 1), k ∈{− 11 ,}

290


AM - 280 Să se calculeze

∫

1 0

x + sin x − cos x − 1dx, x ∈ R . x + e x + sin x

a) e sin1 + cos1

b) 1 − esin1 + lnsin1

c) 1 + lnsin1 + e

d) 1 − ln (e + 1 + sin1)

e) ln sin1 + ln cos1 + e − 1

f) e − 1 + ln cos1

2 x 2 2x 2xe x + e x − 1 dx AM - 281 Să se calculeze: ∫ 2x e − x e x− 2 0 xe + 1 2

1

a) ln(e + 1) − e − 1

d)

b) ln(e + 1) −

1 [ln(e + 1) − e − 1] 2

e +1 2

2

c)

2

2

1 ln(e + 1) − e − 1 2

e) ln(e + 1) − 1

f) e + 1 − ln(e + 1)

AM- 282 Să se determine primitivele funcţiei

f (x ) = x + 5 − 4 x + 1 + x + 10 − 6 x + 1 , x ∈ [3,8]. a) F ( x ) =

4 3

(x + 1)3

+C

d) F ( x ) = 2 x + 1 + C

f) F ( x ) = −5 x + C

b) F ( x ) = x + C

c) F ( x ) =

x +1 + C

 x + C , x ∈ [3,5]  e) F ( x ) =  4 3  3 ( x + 1) + 5 − 8 6 + C , x ∈ [5,8]


291


∫

2

1

((

) )

a)

1 ln 2 + 3 − 1 2

d)

1 2 3+2 ln 2 3+ 7

(

b)

)

1 ⋅ dx x x + x2 + 1 4

(

1 2 21 − 3 2

)

c)

17 − 3 2

f) 2 ln 2

e) 1

3+ 2 7− 3

AM – 284 Să se determine constantele reale a,b,m astfel încât

∫ f (x )dx = (ax + m) unde f ( x ) =

x 2 + mx + 5 1+ x2

9 2

d) a = 1; b = ; m =

9 2

1 1+ x2

dx

.

b) a =

a) a = b = m = 1

1 + x 2 + b∫

1 9 ; b = ; m∈R 2 2

c) a =

1 1 ; b = ; m∈R 2 2

1 9 ;m= 2 2

f) a =

9 1 ; b = ; m ∈ R. 2 2

e) a ∈ R; b =

AM – 285 Să se calculeze integrala :

I =∫

2

1

a) I = 5 − 2 ;

d) I =

1 5 +1 ln 2 2 +1

1 + x 2 dx. x b) I = 5 − 2 + ln

e) I = ln

2 2+2 ; 5 +1

5 +1 ; 2 2+2

c) I = 5 − 2 + ln

f) I = 5 − 2 +

2 +1 ; 5 +1

1 5 +1 ln 2 2 +1

292


AM - 286 Să se stabilească o relaţie de recurenţă pentru integralele: 1/ 2

∫

I n , n ∈ N , n≥2, I n =

0

a) I n = −

3 2 3

c) I n =

2n 3

e) I n =

2n

n

xn 1 − x2

dx .

b) I n = −

+ ( n − 1 )( I n −2 − I n )

3 2n

+ (n − 1) (I n − I n − 2 )

− ( n + 1 )( I n − I n −1 )

d) I n = (n − 1) I n−1 + I n−2

+ n( I n −1 − I n − 2 )

f) I n = (n − 1)( I n−2 − I n )

AM – 287 Să se stabilească o relaţie de recurenţă pentru integralele I n , n ∈ N , π

I n = ∫ 2 ( sin x ) dx n

0

a) I n =

n +1 I n − 2 , n ≥ 2; n

b) I n =

n −1 I n −1 , n ≥ 2 n

c) I n =

n −1 I n − 2 , n ≥ 2; n

d) I n =

n −1 I n−2 , n ≥ 2 2

e) I n =

n −1 I n −1 , n ≥ 2; 2

f) I n =

n +1 I n−2 , n ≥ 2 2


1 p + 2 p + 3 p +...+ n p

n→∞

a) L = 1

b) L = 0

c) L =

n 1

p +1

p +1

d) L = e

, unde p∈N * .

e) L = +∞

f) L =

1

p


n

AM - 289 Să se calculeze L = lim

n→∞

a) L = 0

b) L =

π 4

∑ k =1

293

n2 − k 2 . n2

c) L = 1

π 2

e) L =

d) L = e

f) L = 2

 1 1 1  AM - 290 Să se calculeze: L = lim n + +...+ . 2 n→∞  ( n + 1) 2 ( n + 2) ( 2n ) 2 

a) L = 1

b) L = 0

c) L =

1 2

d) L = −

1 2

AM - 291 Care este limita şirului cu termen general: a n =

n

k2

∑ k

(2 k ) 3 + n 3

=1

a)

1 ln 3 12

b)

1 ln 7 2

c)

1 ln 3 6

d)

1 ln 13 12

AM - 292 Care este limita şirului cu termenul general: a n =

a)

π 3 18

b) 1 + ln 2

c) − 1 + ln 3

d)

f) L =

e) L = e

π 2

1 ln 4 3

e)

n

?

f)

k2

2 2 n∑ k =1 4n − k

1

e)

3 2

1 4

1 ln 2 4

?

f) − 1 + ln 2

AM - 293 Să se calculeze limita şirului cu termenul general:

an =

a) 0

b) 2

 n n n 3 + +...+ 1 +  . n  n+3 n+6 n + 3(n − 1) 

c) 1

d) e

e) 3

f)

1 2

294


AM - 294 Să se calculeze lim a n , unde n→∞

an = a) ln2 +

π −2 2

d) 3 ln 2 +

 n −1

 2 2 2  ln k + n + ln n − 2n ln n + ln 2 . n  k =1  π π b) ln3 + − 3 c) ln 2 + 2 4 1

∑ (

)

π 4

e) 2 ln 2 −

1


n2

n→∞

a) 1

f) ln 2 −

n

∑ (2k − 1)

1−

k =1

c) π

b) 2

π 2

e)

π +2 2

k4 . n4

π 4

d)

π 2

f) 0

AM - XII. 296 Care din următoarele funcţii nu este integrabilă pe intervalul specificat ? a) f ( x ) = 

 1 sin , x ≠ 0 b) f ( x) =  x pe [ − 11 ,] 0 ,x= 0

 1 ,x<1  c) f ( x) =  1 − x pe [ 0,1] 0 ,x≥1 

d) f ( x) =

,] e) f ( x) = e − x pe [ − 11

f) f ( x)=

 x , x <1 pe[− 1,1]  x + 1, x ≥ 1

2

1

x

pe [1,2]

1  π pe 0,  1 + sin x  2 

2


∫ x dx. 3

−1

a) 4

15 b) 4

c) 3

d)

1 4

e)

17 4

f) 2


295

3


∫ (x + 2)dx . 0

a) 3

b)

10 3

c)

AM – 299 Să se calculeze = I

a)

7 5

b)

5 2

20 3

d)

21 2

e)

9 2

f) 6

d)

2 5

e)

3 2

f)

 x 32 + 1 dx  ∫0   2

c) 5

5 7

AM - 300 Presupunând că funcţiile implicate mai jos sunt toate integrabile pe [a ,b] , care din următoarele egalităţi este adevărată ? b

a)

∫a f ( x) g( x)dx = ∫a f ( x)dx ⋅ ∫a g( x)dx

c)

  ∫a [ f ( x)] dx = ∫a f ( x)dx

n

b

f ( x)dx ∫ f ( x) a b) ∫ dx = b a g ( x) ∫a g( x)dx b

b

b

b

b

n

d)

 n   Ck f k ( x) dx =  k =1 

∫a ∑ b

n

C  ∑  k ∫ a f k ( x)dx k b

=1

(C1 , C2 ,..., Cn constante)

e)

b

∫a

f ( x) dx =

b

∫a f ( x)dx

f)

b

b

∫a ln f ( x) ⋅ g( x) dx = ln ∫a

b

f ( x) dx + ln ∫ g ( x) dx a

AM - 301 Fie funcţia f : [1,3] → R, f ( x ) = x 2 . Să se determine c ∈ (1,3) astfel 3

∫ f (x )dx = 2 f (c ) .

încât

1

a) c =

1 3

b) c = ±

13 3

c) c =

13 3

d) c =

28 3

e) c = ±

28 3

f) c = 2

296


AM - 302 Ştiind că

∫

5 1

∫

P ( x)dx = −1 şi

5 3

P ( x)dx = 3 , să se calculeze

∫ [2 P (t ) + P (2t − 1)]dt . 1

3

a) 4

b) 9

c)

8 3

d)

19 2

17 2

e)

AM - 303 Să se calculeze integrala I =

∫

2 0

f) Nu are sens o astfel de integrală

f ( x)dx ştiind că f (0) = 1 , iar

1 − x pentru x ∈[ 0,1] .  x − 1 pentru x ∈(1,2]

f ' ( x) = 

a) I = 1

b) I = 2

c) I = 3

d) I =


e 4x dx ∫ −1 e4x + 1

a) e

c)

b) 1

AM - 305 Să se calculeze a) 1

b)

π

e) I =

2 3

f) I = 0

1

e

1 4

d) 4

e) ln(e+1)

f) ln

e) ln2

f)

e +1 e

∫ x ( ln 1

ln x dx 2 x + 1) d) ln 2

c) e-1

4

3 2

π 2

 7π 

AM - 306 Se consideră funcţia f : 0,  → R, definită prin f (x ) = ln(1 + 2 sin x ).  6 

I =∫

Să se calculeze integrala definită a) –2

b) –3

c) –1

d) 2

π 2 0

f ′′( x )dx. e) 3

f) 1.


∫

AM - 307 Să se calculeze F (a) =

1 0

297

x 2 + a dx, a ∈ R.

1  a + 3 , a ≤ 0 a) F (a ) =  a − 1 , a > 0  3

1  − a − 3 , a ≤ −1  1  4 b) F (a ) = − a − a + a + , − 1 < a ≤ 1 3  3  1 a − 3 , 1 < a 

1  − a − 3 , a ≤ −1  1  4 c) F (a) = − a − a + a + , − 1 < a ≤ 0 3  3 1  a + 3 , 0 < a 

1  − a − 3 , a ≤ −1  1  4 d) F (a ) = − a a + , − 1 < a < 1 3  3 1  a + 3 , 1 ≤ a 

1  a + 3 , a < 0 e) F (a ) =  a a + a + 1 , a ≥ 0  3

 1 a − 3 , a ≤ −1  4 f) F (a ) =  a a + a , − 1 < a < 1 3  1 a − 3 , 1 ≤ a 

 x , pentru x ≤ 1  şi I = AM - 308 Fie f : R → R, unde f ( x) = x 2 + 1 , pentru x > 1   2

∫

1 0

f (e − x ) dx . f (e x )

Precizaţi care din răspunsurile de mai jos este corect: a) I nu există

b) I = 2 −

d) I = 1

e) I = e

2

e

− 2 arctg e +

π 2

c) I =

1 1 − 2 2 2e

f) I = ln 2 + arctg e +

1

e

298


AM - 309 Calculaţi valoarea integralei: I = a) 8

b) 5

c) 10

∫ ( x − 1 + x + 1 ) dx . 2

−2

d) 9

AM - 310 Să se calculeze valoarea integralei: I =

a) I =

5 12

b) I =

1 2

c) I =

1 3

d) I =

∫

e) 7

x−2

3 1

(x

2

)

− 4x

1 12

2

f) 18

dx .

e) I =

1 4

f) I =

1 10

xn + x4 + 1 ∫ 0 x 2 + x + 1 dx . Precizaţi pentru ce valori naturale ale lui n, I este un număr raţional.

AM - 311 Fie I =

1

a) pentru orice n∈N

b) nu există n∈N astfel ca I∈Q

c) n = 3k, unde k∈N

d) n = 3k + 1, unde k∈N

e) n = 3k + 2, unde k∈N

f) n = 2k, unde k∈N

AM - 312 Fie P o funcţie polinomială de gradul n cu rădăcinile 1, 2,...,n. Să se n + 2 P ' ( x) calculeze I = dx . n +1 P ( x)

∫

a) I = 2n + 3

b) I = n

c) I = n – 1

AM - 313 Să se calculeze integrala: I =

a)

I=

d) I =

3 − 4 ln 2 2

3 + 4 ln 2 2

d) I = 1

∫

3 2

e) I = ln (n + 1)

f) I =

x2 − 2 x + 5 dx . x−1

1 b) I = − − 4 ln 2 2 1 e) I = − + 4 ln 2 2

3 c) I = − + 4 ln 2 2

f) I = 1 + 3 ln 2

1

n



a)

π 2

1+ 5 2

∫

b) 2 + 5

a) 0;

b)

π 6

;

x 2 + 1 dx . x − x2 + 1 4

1

c)

∫


c)

1 0

π 4

π 4

d) 0

;

d)

∫

1 0

π 3

;

e)

d) ln2

e)

3 2

b) ln

4032 3107

1

c) ln

1  3985 1 −  1991 ⋅ 1992  31992 

1 1 d) I = − 1992 1991 ⋅ 1992 3

dx

2

AM - 318 Să se calculeze : I = a) I =

1+ 5 2

π 2

;

f)

3π ; 2

dx . x + x2 + x + 1 b) ln 4 2 +

a) ln

f)

5

3

a) ln 2 + arctg2

∫

e)

x 4 + 1 dx x6 + 1

AM - 316 Să se calculeze : I =


299

x( x + 1) 10

2100 103

π 8

c) ln 2 +

π 8

f) ln 3 2 + π

.

d) ln

e 2

e)

1 2048 ln 10 1025

f) ln

140 343

2 x 3 + 3x 2 + x dx . 0 ( x 2 + x + 1) 1993 1  1 1  b) I = c) I =  1 − 1992  1991 ⋅ 1992  3  1991 ⋅ 1992

∫

π 2

1

1 1 e) I = + 1991 1992

f) I =

1  1992 3

1 1  +    1991 1992 

300


∫

AM - 319 Care este valoarea integralei : a ) 2 ln(9 8 + 1)

b) arctg 2

9

−9

x5 dx ? x8 + 1

c) 1

d) 0

AM - 320 Să se calculeze valoarea integralei: I = 5− 2 2

a) I =

d) I =2

(

5− 2

)

b) I =

2− 5 2

e) I = 2

(

AM - 321 Care este valoarea integralei: a) 0

b)

π 2

b) 2 ( π − 1)

AM - 323 Să se calculeze : a) 5

∫

b) 2

AM - 324 Valoarea integralei a)

π 12

b)

π 4

0

x + 4x + 8

2

3− 2 2

(

f) I = 2 5 + 2 − 2

dx 8 x − x 2 − 15

? e)

5 3

e)

π 2

d) π

∫

dx .

2

)

f) 1

4 − x 2 dx .

0

d) π

c) 2π

f) 3π

x

3 0

3

1 2

c)

AM - 322 Să se calculeze integrala : a) 2 ( π + 1)

∫

x+2

2

1 8

f)

c) I =

2− 5

5

∫

e) –1

dx . x + 3− x 3 c) d) 3 2

∫

dx

2 2

x x2 − 1

c) 0

e)

5 2

f) 1

este : d) –1

e)

π 6

f)

π 2

)


AM - 325 Valoarea integralei I =

a)

π 2

d) arctg

1 π + 2 4

AM - 326 Să se calculeze: I =

a) I = 1

b) I =

2 3

∫

∫

3 0

301

dx este: (2 + x) 1 + x

b)

π 4

c) 2arctg 2 −

e)

π 1 − arcsin 6 4

f) arctg 2 +

xdx

1

−1

1− x + 1+ x

c) I = 0

π 2

π 2

.

d) I = -1

e) I =

π 2

f) I = −

π 2

π 2

AM - 327 Să se calculeze integrala definită

dx

∫ π sin x 3

a)

1 ln 2 3

b)

1 ln 3 2

c) ln 4


a)

1 4

b)

1 8

∫

π 4 0

d) 3ln2

1 2

b) 0

f) ln 8

tg 3 xdx .

c) 1

d)

1 − ln 2 2

c) ln 2

e) ln

e 2

f) ln( 2 − 1)

π4

sin 2 x dx . 4 cos x + sin 2 x 1 8 d) ln e) 1 3 5

AM - 329 Determinaţi valoarea integralei: I = a)

e) 2ln3

∫

0

2

f)

1 3 ln 2 5

302


∫

AM – 330 Calculaţi I =

a) I =

π 8

;J =

d) I = J =

π 2

π 2 0

3π 8

π

sin5 x cos 5 x dx şi J = ∫ 2 dx 5 5 5 0 sin x + cos 5 x sin x + cos x b) I =

π 6

;J =

e) I = J =

;

π 4

π

c) I =

3

π 5

;J =

3π 10

f) I = J = π

;

AM – 331 Ştiind că m este un număr natural impar, să se calculeze

∫

π

2 0

sin(m − 1)x sin mx sin(m + 1)x dx

a) 0

d)

4m 2 − 1 3m m 2 − 4

(

)

AM - 332 Să se calculeze a)

1 2 − 2 π

b) 1 − π

∫

1 0

( (

2 m2 −1 3m m 2 − 4

e)

1 3m

d) I =

π − ln 2 4

)

c)

m2 −1 12m m 2 − 4

f)

m2 −1 3m

(

)

( x − tg x ⋅ sec x)dx .

c)

3 − cos1 2

AM - 333 Să se calculeze integrala: I =

a) I = 1

)

b)

∫

d)

1 0

arcsin

b) I = 3

e) I =

π + ln 2 4

3 − sec 1 2

x 1 + x2

e) 0

f) tg 1

dx .

c) I =

π +1 4

f) I =

π + ln 2 4


m

AM - 334 Fie f : R →R , f(x) = x arcsin

m + x2 2

m 3

∫m a)

d)

m2 π

b)

24

m2 4

( π − 1)

303

, m > 0 . Să se calculeze

f ( x)dx . π  c) m2  3 − 1 −   12 

π  3 −1+   2 6

m2 

e) 1

f)

π  2 −1+  2  6

m2 

3

AM - 335 Să se calculeze I =

∫ xarctgxdx . 1

a)

d)

π 2

−

1 2

(

5π 1 + 12 2

3 −1

(

)

3 −1

b)

)

e)

1 2

(

3 −1

5π 1 − 12 2

(

3 +1

π 12

+

)

c)

5π 1 − 12 2

(

3 −1

)

)

f)

5π 1 + 12 2

(

3 +1

)

AM – 336 Să se calculeze :

I= a) π

∫

2

1

 3x + arccos x dx.  arctgx + arctg3x + arccos  1 + 9x 2 1 + x2   b) 0

c) 1

AM - 337 Să se calculeze I = a) I =

1 2n

b) I = 1

∫

π 2 n +1 0

c) I =

1 4n

d) 2π

e)

π

f)

2

sin x cos x cos 2 x...cos 2 n −1 xdx .

d) I = 0

e) I =

1 2

n +1

f) I =

1 4

n +1

1 2

304


AM - XII. 338 Fie funcţia f : [1,+∞ ) → [− 1,∞ ) , f ( x) = x 3 − 3 x + 1 . Să se calculeze

∫

3

−1

a)

xf

−1

( x) dx .

140 1089

b) 1

c)

1 2

AM - 339 Să se calculeze I = lim

b→∞

d)

∫

b 2

108 13

e)

1089 140

f)

1098 143

x − 3 e − x dx .

a) I = e −3 (1 − e)

b) I = 2e −3 (2 + e)

c) I = 2e −3 (1 − e)

d) I = 2e −3 (2 − e)

e) I = e −3 (2 − e)

f) I = 2e −3

AM - 340 Valoarea integralei I = b) 3 − π

a) 4 − π

c) 2 −


a) e

π 6

b) e

π 3

∫

∫

1

0

ln 5 0

π 2

ex ex − 1 dx este: e x +3 d)

π −1 2

e) π − 5

f) 4 + π

x 2 + x + 1 earctg x dx . x2 + 1

c) e

π 2

d) e

π 4

e) e

f) 2e 2

π 2

∫

AM - XII. 342 Să se calculeze I = e 2 x sin 3 xdx . 0

(

)

1 3 − 2eπ 13 1 1  d) I =  3 − eπ  5 2  a) I =

1 1 π   e − 3 13  2  1 1  e) I =  − 3 + eπ  5 2  b) I =

1 1 π 3 + e  5 2  1 1  f) I =  3 + eπ  13  2 

c) I =


305

AM – 343 Fie f i : [0, ∞ ) → R , i = 1,2 şi f 1 ( x ) = x + 1, f 2 ( x ) = e calculeze integrala definită:

x x +1

. Să se

 f (x )  I = ∫  2  dx. 0  f1 (x )  2

1

b) I = e 2 − 1;

a) I = 1 − e ; d) I =

1 (e − 1); 2

e) I =

c) I = e − 1;

1 (1 − e ); 2

f) I = e + 1.

π2

AM - 344 Calculaţi I =

1 + sin x x e dx . + x 1 cos −π 2

∫

π  π −  b) 2 e 2 + e 2   

π

a) 2e 2

π

d) e 2 + e

c) 0

−

π 2

e) e

−

π 2

f) 2e

−

π 2

AM - 345 Indicaţi care din valorile de mai jos reprezintă valoarea integralei

I =

∫

π 3

0

(

)

ln 1 + 3tgx dx . π ln 2 3

a) I =

π ln 3 3

b) I =

d) I =

π ln 2 2

e) I = π ln 3

AM – 346 Să se calculeze integrala I =

a) 1;

b)

π 2

ln 2;

c)

π 3

ln 2;

∫

c) I =

π ln 3 2

f) I = π ln 2

ln (1 + x ) dx. 0 1 + x2 1

d)

π 4

ln 2;

e)

π 8

ln 2;

f) ln 2 .

306


AM - 347 Să se stabilească în care din intervalele următoare se află valoarea integralei 1

I = ∫ 1 − x 2 arctgx dx . 0

π

b) 1,  2

 π ln 2  − 2   4

d) 0,

AM - 348 Să se calculeze a)

1 2

b)

35 3

∫

1 6

b) I =

1 −1

∫

3

8 3

b) 1

π

ln 2 

f)  + ,2 2  4

}

d) −

1 2

e) −

1 6

f)

1 4

{ }

min t 2 dx .

−2 t ≤ x

c) I = −

AM - 350 Să se calculeze I = a) –1

{

c)  ,  4 4 

min 1, x, x 2 dx .

c) 1

AM - 349 Calculaţi I = a) I =

π 3π 

 π   π ln 2  e)  − ,1 4  4

ln 2 

a)  − ,1 2  4

∫

2 −2

c) −

8 3

d) I = −

{

35 3

e) I =

10 3

f) I =

}

min x 2 − 1, x + 1 dx.

1 2

d) 2

e) 3

f) -3

AM - 351 Dacă t1 ( x ) şi t2 ( x ) sunt rădăcinile ecuaţiei t 2 + 2( x − 1)t + 4 = 0 , iar

f ( x ) = max{t1 ( x ) , t2 ( x )}, să se calculeze

4

∫ f (x )dx .

−2

7−3 5 2 7−3 5 c) 13 + 3 5 − 2 ln 2 7+3 5 e) 13 + 3 5 + 2 ln 2

a) 13 − 3 5 − 2 ln

7+3 5 2 7−3 5 d) 13 + 3 5 + 2 ln 2 b) 13 − 3 5 + 2 ln

f) 13 + 5 3 − 2 ln 7 + 3 5

2

5 3


2   min  x, dx. 2  0  1+ x  1 π π c) 2arctg 2 − d) + 2arctg 2 − 2 2 2

AM - 352 Să se calculaze a) 0

b)

1 2

∫

2

AM - 353 Care este valoarea integralei I = a) I =

3 ln 2

d) I = 1


a) 0

307

b)

∫

}

56 3

c) I =

e) I =

3 56 + ln 2 3

f) I =

 1  x  3

−1

2 ln 4

AM - 355 Care este valoarea integralei: 0

{

max x 2 ,2 x dx ?

b) I =

c)

π 4

0

256 3

3 53 − ln 2 3



d)

5 ln 3

(



e) 1

)

2 ln 3 2

b)

2 (ln 3 − ln 2) 2

c) ln 2 − ln 3

d)

2 (ln 4 − 1) 2

e)

2 ln 2 − 2

f)

AM - 356 Să se calculeze b) 0

f) ln3

max{sin x, cos x} ⋅ ln 1 + 2 sin x dx ?

a)

a) 2

π 2

, ]. f ( x)dx , unde f ( x) = max   ,3 x  , x ∈[ − 11

1

4 ln 3

I =∫

∫

4

f) arctg 2 −

e) -1

∫

π 2 0

2 ln 2 + 2

max{sin x, cos x}dx .

c)

3 2

d)

2 2

e) 1

f) -1

308


AM - 357 Dacă [α ] reprezintă partea întreagă a lui α ∈ R , atunci să se calculeze

∫

1990 0

[ x]dx.

a) 1989 ⋅ 995

b) 1992 ⋅ 995

c) 1990 ⋅ 995

d) 1988 ⋅ 995

e) 1991 ⋅ 995

f) 1993 ⋅ 995


∫ [2 x]dx .

a) I = 32

b) I =

31 2

1

5

0

c) I = 16

d) I = 1

AM - 359 Se consideră funcţia f : [0,2] → R , f ( x ) =

e) I = 2

f) I =

1 2

1 − [x ] . 2 x − [x ] + 1

2

Să se calculeze integrala

I = ∫ f ( x )dx 0

1 a) I = ln 3 2 1 d) I = − ln 12 2

e) I =

1 ln12 − 1 4

AM - 360 Care este limita şirului: a n = a) 0

b) + ∞

1 n!

c) 1

 1  AM - 361 Să se calculeze: lim  e n − 1  n→∞   

întreagă a numărului real a . 1 a) b) e −1 2

c) I = 1 −

b) I = 1 − ln 6

c) 1

∫

n +1 1

1 0

1 ln12 4

ln[ x]dx ?

d) e

∫

f) I =

1 ln12 4

e) e

−1

f) e 2

e x [ nx]dx , unde [a ] reprezintă partea

d) 0

e) e –1

f) e + 1


309

n x−1 an ∗ , dacă a n = ∫ dx pentru orice n ∈N . n→∞ n 1 x+1

AM - 362 Să se calculeze lim a) 2

b) 3

c) 1

d) –1

∫ ( x − 1)e n


n→∞ 1

a) 0

b) e

2

c) e - 1

AM - 364 Să se calculeze l = lim

n→∞

a) l = 1

∫

f) 4

dx .

d)

1

e)

e

1

e

−1

f) 1

xn dx . 1 + x2

1 0

d) l = − ∞

c) l = + ∞

b) l = 0

−x

e) 5

e) nu există

f) l = arctg

1 2

AM - 365 Fiind dată funcţia continuă f :[0,1] → R, să se calculeze limita şirului

(a n )n∈N a) 1

b)

dat de: a n =

1 2

∫

1 0

x n f ( x)dx .

c) 0

d) e

e)

2

f) f (1)

AM - 366 Fie G g graficul funcţiei g :[0, π] → [0,1] , g ( x) = sin x . Familia de drepte y = t, t ∈[0,1] taie graficul G g în două puncte A 1 şi A 2 . Fie γ :[0,1] → R , astfel

încât γ (t ) este egală cu distanţa dintre A 1 şi A 2 pentru orice t ∈[0,1] . Să se calculeze integrala I =

a) I = 2

b) I =

2 3

∫

1 0

γ (t )dt .

c) I =

3 2

d) I = 3

e) I = 1

f) I = 4

310


AM - 367 Dacă f :[a , b] → R este o funcţie de două ori derivabilă şi cu deriva-ta a doua continuă pe [a , b] , atunci calculaţi I =

b

∫a x f

''

( x)dx , în funcţie de a şi b.

a) I = bf ′(b) − af ′(a ) + f (b) − f (a )

b) I = bf ′(b) − af ′(a ) + f (a ) − f (b)

c) I = bf ′(a ) − af ′(b) + f (b) − f (a )

d) I = af ′(a ) − bf ′(b) + f (b) − f (a )

e) I = af ′(a ) − bf ′(b) + 2 f (b) − f (a )

f) I = (b − a )( f ′(b) − f ′(a ))

AM - 368 Fie a < b şi f :[ 0, b − a ] → (0,+∞) continuă pe [0, b − a ] . Să se calculeze

a)

b−a

b) b – a

2

f (x − a) dx în funcţie de a şi b. f ( x − a ) + f (b − x)

b

∫a

c) a – b

AM - 369 Să se calculeze I = a) π

b)

π 4

∫

1 0

d)

a −b 4

b−a 3

f)

a −b 3

2x + 1 dx . x 4 + 2 x3 − x 2 − 2 x + 2

c) 0

d)

π 2


x 2 + 1 e x dx . ∫ 0 ( x + 1 )2

a) 10

c)

b) 2

e)

e)

3π 4

f)

3π 2

e)

1 10

f) 4

1

1 2

d) 1

AM - 371 Fie f : R → R o funcţie continuă şi k ∈ R astfel încât: x x f (t )dt = ( f ( x ) + k ) pentru orice x∈R. Care este valoarea lui f (0) ? 0 2 k k k2 a) 1 b) k c) d) 0 e) f) 3 2 4

∫


311

AM - 372 Fie f : [a , b] → R o funcţie continuă şi F : [a , b] → R , definită prin x

b

F ( x) = (b − a ) ⋅ ∫ f (t )dt − ( x − a ) ⋅ ∫ f (t )dt . Să se calculeze F ′( x) . a

a

a) F ′( x) = (b − a ) f ( x) − ( x − a ) c) F ′( x) = (b − a ) −

b

∫a

b

∫a

f ′(t )dt

d) F ′( x) = −

f (t )dt

e) F ′( x) = (b − a ) f ( x) −

b

∫a

b) F ′( x) = (b − a ) − ( x − a )

f ′( x) pentru orice x∈ [0,1] . 2

∫

x 0

2

f (t )dt

2

et dt . Să se calculeze

6x

2

c) f ′( x) = 3x2 e x

6

f) f ′( x) = 3x2 e 2 x

b) f ′( x) = 3x2 e x

d) f ′( x) = 3x 2 e 3 x

∫a

f) F ′( x) = 0

f (t )dt

AM - 373 Fie f : [0,1] → R definită prin f ( x ) =

a) f ′( x) =e x

b

b

∫a f (t )dt

e) f ′( x) = 3x2 e x

AM- 374 Să se determine toate funcţiile polinomiale f : R → R astfel încât :

∫ a) x 2 + x −

1 ; 6

d) x 2 + 2 x − 1;

x +1 x

f (t )dt = x 2 , x ∈ R . b) x 3 − x 2 +

1 x + 2; 6

e) x 3 + x 2 + x −

1 6

c) x 2 − x +

1 6

f) x 2 + 2 x +

1 6

312


AM - 375 Se dau funcţiile f , g : [0,1] → R , f ( x) = x

∫

x2 0

sin t 2 dt şi

g ( x) = ∫ e t dt . Care este valoarea limitei lim 2

x→ 0 x> 0

0

a) e

b) e – 1

c) 1

d) 1 – e

f ( x) ? g ( x)

e) 0

f)

1 2

 π AM - 376 Să se determine expresia analitică a funcţiei: f :  0,  → (0,+∞) ,  2

f(x)= ∫

x

(sin t + cos t ) sin t

0

cos 2 t

dt.

a) f(x) = - ctg x - x - ln (cos x)

b) f(x) = tg x - x + ln (cos x) + 1

c) f(x) = ctg x - x - ln (cos x) – 1

d) f(x) = tg x + x - ln (cos x)

e) f(x) = tg x - x - ln (cos x)

f) f(x) = tg x + 2x + ln (sin x)

AM - 377 Fie F : R →R , F ( x) =

∫

x 0

e t ln(1 − t + t 2 )dt . Determinaţi punctele de

extrem local ale funcţiei F. a) x1 = −1 d) x1 =

1

e

b) x1 = e

c) x1 = 0, x2 = 1

e) nu are puncte de extrem local

f) x1 = 2, x2 = 5

AM - 378 Determinaţi o funcţie polinomială f : R→R , de grad minim, astfel încât să admită un maxim egal cu 6 în x = 1 şi un minim egal cu 2 în x = 3. a) f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 2 x + 7

b) f ( x ) = x 4 − 3x 2 − 5

d) f ( x ) = − x 3 + 5 x 2 + 2 x + 7

e) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 2 f) f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 1

c) f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + x + 1


AM - 379 Fiind dată funcţia f : R→R , f(x)=

313

x+ 2 π

t

∫x

1 + sin 2 t

calculeze f ′(0) . a) f ′(0) = π

b) f ′(0) = 0

d) f ′(0) = 2π

e) f ′(0) = 1

dt , să se

π 2 π f) f ′(0) = 4

c) f ′(0) =

AM - 380 Să se calculeze derivata funcţiei F : (0,+∞) → R , 

F ( x) = sin  ∫ 

1

x 1

1+ t

dt + ∫

2

1+ t

0

a) F ′( x) = cos x

b) F ′( x) = cos

d) F ′( x) = sin 2 x

e) F ′( x) = 1



1

1x

dt  . 

2

1

c) F ′( x) = 0

x

f) F ′( x) = cos2 x

AM - 381 Fie F : [0,3] → R definită prin F ( x ) =

∫

x 0

(

)

et − t 3 + 4t 2 − 5t + 2 dt 2

pentru orice x ∈[0,3] . Pentru ce valoare a lui x ∈[0,3] , F are valoarea maximă ? b) x ∈∅

a) x = 0

c) x = 3

AM – 382 Fie= funcţia f ( x )

I =∫ a) I = 1;

∫

arctgx 0

d) x = 2

e) x = 1

f) x =

e tg t dt; x ∈ R; Să se calculeze 2

xf ( x ) 1 1 e x dx dx + 0 ex 2e ∫ 0 1 + x 2 2

1

2

b) I =

π 4

;

c) I =

π 8

;

d) I = 0 ;

e) I =

π 2

;

f) I =

3π 4

1 2

314


AM - 383 Să se calculeze aria domeniului marginit de graficul funcţiei f ( x ) = cu axa Ox şi dreptele x=0, x=1. a) ln2

b)

1 2

c) π

d) 1

π

e)

1 x +1

f)

2

π 3

AM - 384 Să se calculeze aria subgraficului funcţiei

f : [0,2] → R, f ( x ) =

( ) 5 − 2 + ln (2 + 5 )

2x + 1

x2 + 1

.

(

a) 5 2 − 2 + ln 2 + 5

b) 2 5 + 2 + ln 2 + 5

d) 2

e) − 2 5 + 2 − ln

(

)

5−2

c) 2 5 + ln

)

9 2

b) 3

c) 2

d)

8 3

5−2

f) 2 5 + 2

AM - 385 Să se calculeze aria figurii plane cuprinsă între parabola y = x dreapta x + y = 2. a)

(

2

şi

e) 7

f) 8

AM - 386 Calculaţi aria domeniului mărginit de curbele : y = 2 x − x 2 şi y = − x . a) 13,5

b) 4,5

c) 13,2

d) 6,5

e)

1 2

f) 3,5

AM - 387 Fie f : (-1,+ ∞ ) →R, definită prin f (x) = x ln (1+x ). Care este aria porţiunii plane cuprinsă între graficul funcţiei, dreptele x = 0 , x = 1 şi axa Ox ? 2

a) 0 d)

2 1 ln 2 − 3 3

3

b) ln 2

c) ln

e) 3 ln 2 − 1

f)

1 3

3 1 ln 2 + 2 3

)


315

AM - 388 Să se calculeze aria porţiunii plane mărginită de graficul funcţiei x −1 f : ( − ∞,−1) ∪ [1, ∞) → R , f ( x) = , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 1 şi x = 2. x+1

(

)

a) ln 2 − 3 + 3

b) ln 2 + 3

d) ln 2

e) ln 2 + 3 − 3

(

c) ln 2 − 3

(

)

)

f) ln 3 + 2 + 3

AM - 389 Să se determine abscisa x = λ , a punctului în care paralela dusă la axa Oy 1 împarte porţiunea plană cuprinsă între curba y = 2 , axa Ox şi dreptele x = 1 x + 2x + 5 şi x = 2 3 − 1 , în două părţi de arii egale. a) λ = 3 − 1 d) λ = tg

7π 1 − 4 2

b) λ = 2 3 − 2

c) λ = 2 tg

e) λ = 2

f) λ =

7π −1 24

3 2

AM - 390 Să se calculeze aria A a porţiunii plane mărginite de graficele 1 x2 . funcţiilor f , g :[ − 11 , ] → R , f ( x) = , g ( x) = 2 2 x +1 a) A =

π 4

b) A =

π −1 2

c) A =

π 1 − 2 3

d) A =

π 6

e) A =

π +5 6

f) A =

π +1 3

AM - 391 Care este aria suprafeţei cuprinsă între parabolele de ecuaţii : y2 = x şi x 2 = 8 y ? a) 8

b)

16 3

c)

8 3

d) 1

e)

1 24

f)

1 4

316


AM - 392 Care este aria figurii plane situată în cadranul doi, mărginită de axe şi x+2 ? graficul funcţiei f : R → R , f ( x) = 2 x + 2x + 2 b) A =

a) A = π − ln 3 d) A =

π 2

1 ln 2 2

c) A = π ln 3

e) A = π + ln 3

f) A = π − ln 3

AM - 393 Să se calculeze aria suprafeţei cuprinsă între graficele funcţiilor f , g : [0,2π ] → R , f (x ) = sin x, g ( x ) = cos x a) 2 3

b) 4 3

c) 4 5

d) 4 2

e) 4

f) 3 2

AM – 394 Să se calculeze aria domeniului mărginit de graficul funcţiei

 3π  f : 0,  → R ,  4 3π . x = 0, x = 4

a) 2 + tg d) − tg

f (x ) =

3π π + 8 4

cos x , 1 + cos x

b) − 2 + tg

3π 3π + 8 4

e) 2 − tg

axa (Ox) şi dreptele de ecuaţii

3π π + 8 4

3π π + 8 4

c) − 2 − tg

3π π + 8 4

f) − 2 − tg

3π π − 8 4

AM - 395 Să se calculeze aria cuprinsă între graficul funcţiei

f (x ) = arccos

a)

π 2

x3 − 3x , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = -1 , x = 1. 2 b)

π 4

c) π

d)

π 2

e)

π 3

f)

π 6


317

AM - 396 Să se calculeze aria porţiunii plane mărginită de graficele funcţiilor f ( x ) = ln 1 + x 2 , g ( x ) = xarctgx şi dreptele x = -1, x = 0.

(

a) −

d)

)

3 π + ln 2 + 2 4

3 π + ln 2 − 2 4

b) −

3 π + ln 2 − 2 4

c)

3 π − ln 2 − 2 4

e) −

3 π − ln 2 + 2 4

f)

3 π + ln 2 + 2 4

AM - 397 Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficului funcţiei f ( x ) = 8 x , x ∈ [0,4] . a) 64 π

b) 66 π

c) 20 π

d) 24 π

e) 4 π

f) 8π

AM - 398 Care este volumul corpului de rotaţie generat prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficului funcţiei f ( x) = x + e x , x ∈[ 0,1] ?

(

a) V =

π (e + 1) 2

b) V = π e 2 + 9

d) V =

π (2e + 3) 3

e) V =

(

)

c) V =

)

π 2 3e + 11 6

π (3e − 1) 8

f) V = π e

AM - 399 Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficului funcţiei f ( x ) = a) 216 π

b) 200 π

c) 400 π

x 2 − 16 , x ∈ [4,10] . d) 20 π

e) 10 π

f) 60π

AM - 400 Calculaţi volumul corpului obţinut orin rotirea subgraficului determinat de arcul de elipsă

a) 16π

x2 y 2 + = 1 situat deasupra axei Ox în jurul acestei axe. 9 4 b) 9π

c) 36π

d) 6π

e)

4 π 3

f)

4π 9

318


AM - 401 Să se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat prin rotirea

subgraficului funcţiei f :[1,2] → R , f ( x) = x 3 − 1 în jurul axei Ox .

a) π

π 4

b)

c)

11 π 4

d)

11 π 2

e)

7π 4

f)

5π 4

AM - 402 Să se calculeze aria porţiunii plane mărginită de graficul funcţiei 1  π π f : R \ {0} →  − ,  , f ( x) = arctg , axa (Ox) şi dreptele de ecuaţii: x 3 = 1 şi x  2 2 x= 3. a)

d)

1 π 1 ⋅ + ln 2 2 3 3

b)

π

1 + ln 2 3 6 3

e)

π

1 + ln 3 6 3 2

c)

π

1 − ln 3 3 3 2

f)

π + ln 3 3 π

1 − ln 3 6 3 2

AM - 403 Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea subgraficului 1 1 3 în jurul axei Ox. funcţiei f :  ,  → R , f ( x) = 2 4 4 x(1 − x)  

a)

π 2

b)

π2 4

c)

π2 8

d) 1

e)

π2 6

f)

π2 2 2

AM - 404 Să se calculeze aria domeniului plan cuprins între curba de ecuaţie y = x , tangenta în x = 4 la această curbă şi axa Oy. a)

1 2

b)

2 3

c)

1 3

d) 1

e)

1 5

f)

2 5


AM - 405 Calculaţi aria limitată de curba y =

319

1 , asimptota sa şi paralelele la 1 + x2

axa Oy duse prin punctele de inflexiune.

a)

π 2

b)

π

c) π

3

d)

π

e)

4

π

f)

6

π 2

AM - 406 Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea subgraficului funcţiei f : [0,1] → R , f ( x) = 4 x(1 − x) , în jurul axei Ox.

a)

π 2

b)

π2 8

c)

π 4

d)

π2 2 2

e) 1

f) π 2 2

AM - 407 Pentru ce valoare m > 0 , aria mulţimii  6 A = ( x, y) m ≤ x ≤ 2m, 0 ≤ y < x + 2  este minimă ? x  

a) m = 2

b) m = 10

c) m =

5 6

d) m =

3 2

e) m = 5

f) m = 1

PROBLEME MODEL CU REZOLVĂRI ŞI INDICAŢII ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL ) AL - 009 a1 = 2;

Sn =

( 2 + an ) n = 2

n 2 + an + b, ( ∀ ) n ≥ 1

2n + nan = 2n 2 + 2an + 2b, ( ∀ ) n ≥ 1

2n + n  a1 + ( n − 1) r  = 2n 2 + 2an + 2b

(

)

n 2 r + 2 + a1 − r n= 2n 2 + 2an + 2b, ( ∀ ) n ≥ 1

r 2= r 2 =

Răspuns corect c.

 a1 =2a  2b = 0

⇒

 b =0 a = 2a = 2 ⇒ a = 1 1

AL – 016 Fie Rezultă

Avem:

8

= q m şi

= qn

8 7 n 8 şi = q m+ n n 7

9m = q m+ n m 8

8n 9 m = ⇒ 7 n ⋅ 9 m = 8m + n 7 n 8m

Cu m 8 = 7 + 1 ⇒ 8m + n forma termenii unei progresii geometrice. Răspuns corect e.

9

nu poate fi divizibil cu 7, deci nu pot

Probleme model cu rezolvări şi indicaţii

AL – 019

321

n

1   − 1 1 qn − 1 1 n 1 1 q = ⋅ , ∑=

qn − 1 = S1 a1 = , S2 q −1 k =1 a q n−1 1

a1

1

q

−1

a1 q − 1 q n−1

1+ 2+...+ n−1 a n q n 1 2 n−1 a n= = P a= 1 q q ...q 1q 1

( n−1)n 2

qn − 1 n a1   S1 S n( n−1) q −1 ⇒ = = a12 q n−1 ⇒  1 = a12n q n S  1 q −1 1 S2  2 ⋅ a1 q − 1 q n−1

S  ⇒ P = 1  S   2

n

Răspuns corect c. AL - 025 Notăm

5a -1 3

= K , deci K ∈ Z . Avem 5a - 1=3K, a =

 6K + 7 

Adică  = K . Dar K ≤  10  Răspuns corect b. AL - 028

6K + 7 10

3K +1 5

1 4  < K +1 deci a ∈  ,  5 5 

Avem:

(1) x -1 < [ x ] ≤ x, ∀ x ∈ R (2) x 2 -1 <  x 2  ≤ x 2 , ∀ x ∈ R . Se înmulţeşte (1) cu -3 şi (2) cu 5 şi ⇒

(3) -3x ≤ -3 [ x ] < -3x + 2

322


(4) 5x 2 - 5 < 5  x 2  ≤ 5x 2 ; adunând (3) şi (4) ⇒ (5) 5x 2 - 3x - 3 < 5  x 2  - 3 [ x ] + 2 < 5x 2 - 3x + 5 . Deoarece

  5  x  - 3 [ x ] + 2 = 0 , (5) devine 2

 3 - 69 3 + 69   10 , 10   

5x 2 - 3x - 3 < 0 < 5x 2 - 3x + 5 ⇒ x ∈ 

rezultă: [ x ] = -1 sau [ x ] = 0 sau [ x ] = 1 . Pentru primele 2 valori nu se verifică ecuaţia iniţială. Deci [ x ] = 1 ⇒ x ∈ [1, 2 ) ⇒ x 2 ∈ [1, 4 ) Rezultă  x 2  = 1 sau  x 2  = 2 sau

 x 2  = 3

Pentru nici una din aceste valori nu este verificată soluţia. Răspuns corect e. AL - 039 Se pun condiţiile: m − 1 < 0, ∆= şi

( m + 1)

2

(

)

− 4 m2 − 1 ⇔ m < 1

m 2 + 2m + 1 − 4m 2 + 4 ≤ 0 ⇔ m < 1 şi −3m 2 + 2m + 5 ≤ 0 m1,2 =

−1 ± 1 + 15 −1 ± 4 = −3 −3

5  Deci m < 1 şi m ∈ ( −∞, −1] ∪  , +∞  3 

⇒ m ∈ ( −∞, −1] .

Răspuns corect c. AL - 048 Se scriu relaţiile lui Vieta:  x + x =  x +x = − 2m+1 − 2− 1 1 2 3m ⇒  1 2 3 3m + ⇒   1 1 m+1  x1x2 = 3m  x1x2 = 3+ 3m 1 ⇒ x1 + x2 + x1x2 = − 3

Răspuns corect d.


AL - 056

323

(m ≠ 0) f m (x ) = mx 2 − (2m − 1)x + m − 1 b 2m − 1 − ⇒ xv = xv = 2a 2m 2 2m − 1) − 4m ( m − 1) ( ∆ − ⇒ yv = − yv = 4a 4m V ∈ I bis ⇒ xv = yv ⇒

2m − 1 2m

1

= − ⇒ 4m

8m 2 − 4 m + 2 m = 0 8m 2 − 2 m = 0 m=

m=0

1 4

nu convine

Răspuns corect a. AL - 069 Notând x 2 − 4 x + 5 = t obţinem

4  t ∈ [ −1, 0 ) ∪  , +∞  , de unde 5  4 −1 ≤ x 2 − 4 x + 5 < 0 sau x 2 − 4 x + 5 ≥ 5 Răspuns corect d. AL - 077 Se pun condiţiile: (1) f ( 2 ) ⋅ f ( 4 ) ≤ 0 (1)

( 4m − 2 + m − 7 )(1

şi

⇒ x∈R

(2) ∆ ≥ 0

m −64 + m − 7 ) ≤ 0 ⇔

( 5m − 9 )(17m − 11) ≤ 0 ⇔ m ∈ 

11 9  , = I1 17 5 

(2)

∆ = 1 − 4m ( m − 7 ) ≥ 0 adică: −4m 2 + 28m + 1 = 0

7±5 2 ⇒ m1,2 = 2

324


7 −5 2 7 + 5 2  ,  = I2 2  2 

deci ∆ ≥ 0 pentru m ∈ 

 11 9  m trebuie să aparţină lui = I I1 ∩ I 2 adică ⇒ m ∈  ,  17 5 

Răspuns corect e. AL - 107

Se pune condiţia 4 − x 2 ≥ 0 ⇒ x ∈ [ −2, 2] 1 − x ≤ 0 ⇒ [1, ∞ )

Cazul I Soluţia (1) Cazul II

[ −2, 2] ∩ [1, ∞ ) =[1, 2] 1 − x > 0 x ∈ ( −∞,1)

În acest caz se ridică inegalitatea la pătrat

1− 7 1+ 7  ,  2   2

4 − x2 > 1 − 2 x + x2

⇒ x ∈

1− 7 1+ 7  1− 7  , ,1 = 2   2  2  1− 7  1− 7  Soluţia finală = Sol (1) ∪Sol (2) = [1, 2] ∪  ,1 = , 2   2   2 

Soluţia 2

[ −2, 2] ∩ ( −∞,1) ∩ 

Răspuns corect f. AL - 109

 x    x −1 

Adăugăm în ambii membrii 2 x 

2  x   x   x    x 2 +  + x = + x 2 1 2      ⇔  x −1  x −1  x −1       


325

  2 2  2  x  x x2 2 x2   ⇔  1+ 1 ⇔  x + =  −2  =      x −1  x −1 x −1  x − 1       Notăm

x2 x −1

(

)

 y = 1+ 2  y = 1− 2

= y ⇔ y2 − 2 y −1= 0 ⇔

 x2  = 1 + 2  ⇔ x2 − x 1 + 2 + 1 + 2 = 0 ⇒ x ∈ ∅   x −1     x2  = 1 − 2  ⇔ x2 − x 1 − 2 + 1 − 2 = 0 ⇒   x −1    1  ⇒ x ∈  1− 2 ± 2 2 −1  2 

(

(

(

)

)

(

)

)

)

(

Răspuns corect f. AL - 146 Se scrie

 x − m −1    2x + m 

sau 

( x − m − 1)

x −1 −1

( 2x + m) − ( 2x + m)

x −1

= 0

x −1 −1 =1

pentru 2 x + m ≠ 0

de unde rezultă x − 1 − 1 = 0 deci x1 = 0 x2 = 2 x − m −1 şi = 1 , deci x3 = −2m − 1 . Condiţia cu x − m − 1 > 0 conduce la 2x + m −3m − 2 > 0 deci m < −

2 3

2   3  ⇒ m ∈  −∞, −  \  −  , 3   2  Răspuns corect a.

, iar −2m − 1 ≠ 0 şi −2m − 1 ≠ 2

x1= 0 ⇒ m > 0 rezultă m ∈ ∅

326


AL - 168 Se pun condiţiile E=

x > 0, x ≠ 1

( y − 1)

2

+

( y + 1)

2

y= log 2 x ⇒ = y − 1 + y + 1 , ( ∀ ) y ∈ R \ {0}

−2 y , y ∈ ( −∞, −1)  = E 2, y ∈ [ −1,1]  y ∈ (1, ∞ ) 2 y , ⇒E= 2⇔

Răspuns corect d.

1  y ∈ [ −1,1] \ {0} ⇔ x ∈  , 2  \ {1} 2 

AL - 182 Not. lg= x u , lg= y v, lg= z t;

x, y , z > 0 ⇒

1 uv + ut + vt =  ⇔ w3 − s1w2 + s2 w − s3 =0 ⇔ w3 − w2 + w − 1 =0 v1 u t = u + v + t = 1 

(

)

⇔ ( w − 1) w2 + 1 =0 ⇒ Sistemul nu are soluţii în R

Răspuns corect e. AL - 189 Cnk ; n, k ∈ N, n ≥ k

x 2 + 10, 7 x, 5 x + 4, x 2 + 3 x − 4 ∈ N, x ∈ N∗ 2 7 x ≥ x 2 + 10  x − 7 x + 10 ≤ 0  x ∈ [ 2, 5] ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ [ 2, 4] ∩ N = {2, 3, 4}  2 2 5 x + 4 ≥ x + 3 x − 4  x − 2 x − 8 ≤ 0  x ∈ [ −2, 4]

Răspuns corect b.


AL - 196

k +1 k +1 k Pentru n ≥ k + 1 avem C= m+1 Cm + Cm Dând lui m valorile n, n − 1, ..., k + 1 obţinem: k +1 k +1 k C= n+1 Cn + Cn k +1 C k +1 + C k C= n n−1 n−1 ............................ k +1 k +1 k C= k +1 Ck +1 + Ck +1 Cnk++11 = Cnk + Cnk−1 + ... + Ckk+1 + Ckk++11

Cnk++11 Ckk++11 = Ckk , deci Cnk + Cnk−1 + ... + Ckk+1 + Ckk = Răspuns corect b.

Dar

AL - 207 Se scrie termenul general

16−k

k

 3  1 k  x2  k x  x4  = Tk +1 C= C16 16        

2(16−k ) k + 3 4

4 ( 32 − 2k ) + 3k 128 − 5k = ∈ N ⇔ k ∈ [ 0,16 ] , k ∈ N ⇒ 12 12 = k 4; = k 16 ⇒ Doi termeni nu conţin radicali

Răspuns corect b. AL - 223 z1 + z2 = z1 + z2

z1 + z2 )( z1 − z2 ) (=

z1 z1 − z2 z2 + z1z2 − z1 z2 = 2 z1 − z2

2 z1 − z2 2 2 z1 − z2 z z −z z = + 1 2 1 2 2 2 z1 − z2 z1 − z2

327

328


Z =z1z2 − z1 z2 ⇒ Z =z1 z2 − z1z2 =− Z ⇒ X − Yi =− X − Yi ⇒ X =0, Y ∈ R X + Yi

⇒ Z= Yi ⇒ −iZ= Y

Răspuns corect d. AL - 232 z−a z

2

2

(

)

(

)

(

)

= ( z − a ) z − a = ( z − a ) z − a = z ⋅ z − a z + z + a2 =

− 2a.Re z + a 2 = a 2 − b 2 ⇒

b−z = b+ z

=

(b − z ) (b + z ) = (b + z ) (b + z )

2 b 2 − z − 2ib Im z = 2 ( a + b ) Re z

(

)

2 2 b 2 − a Re z + b 2 ( Im z ) = Re z ⋅ ( a + b ) Răspuns corect c.

z

2

= 2a.Re z − b 2

(

)

b2 − z z − b z − z = b2 + b z − z + z z

(

)

b 2 − a Re z − ib Im z = Re z ⋅ a + b

a 2 − b2 ) ( =

( Re z )

2

Re z ( a + b )

a −b a+b

AL - 250

α α α Se folosesc formulele 1 + cos α = şi sin α = 2 sin cos 2 cos 2 2 2 2

Avem: Z = 2 cos 2 = 2 cos

Răspuns corect a.

α 2

− i 2 sin

α 2

cos

α 2

= 2 cos

α  α  α  cos  −  + i sin  −    2  2  2 

α α α cos − i sin  =  2 2 2


329

AL - 259

Avem ω n = 1 şi 1 + ω + ω 2 + ... + ω n−1 = 0 Înmulţim relaţia dată cu 1 − ω . Avem 1 − ω S =1 + 2ω + 3ω 2 + ... + n − 1 ω n−2 + nω n−1

(

)

(

)

−ω − 2ω 2 − ... − ( n − 1) ω n−1 − nω n 1 ω + ... + ω n−1 − nω n = −n (1 − ω ) S =+ −n (1 − ω ) S =

Avem

S=

Răspuns corect c. AL - 274

(i ) n = (1 + i )

( 2)

2k

=

n

ω −1

( ) i2

k

=

( −1)

nπ nπ  + i= sin  cos  4 4  

n

k

;

 

2n  cos

nπ 4

+ i sin

nπ   4 

Avem:

(1 + i )

n

2k = Cn0 + C1ni + Cn2 ( −1) + Cn3 ( −i ) + Cn4 + Cn5i + Cn6 ( −1) + ... + Cn2k ( i ) =

(

k = Cn0 − Cn2 + Cn4 − Cn6 + ... + ( −1) Cn2k + i C1n − Cn3 + Cn5 + ... ⇒ E =2n cos

Răspuns corect c.

nπ 4

AL - 286 Identificând matricele avem  x − 2 y + z − t =0

1

−2

1 −1

2 x − y + 3 z − 3t = 0 2 −1 3 −3  ⇒ =0 ⇒ a =0  1 1 1 1  x + y + z + t =0 2 a −1 2 a 2 x + ( a − 1) y + 2 z + at = 0

Răspuns corect b.

)

330


AL - 310 1 1 1 An+1 = An ⋅ A ⇔ an+1 = an + ; bn+1 = bn + + 2 2 3

1 1 n 1 n n ( n − 1) n a1 = , b1 = ⇒ an = ; bn = 1 + 2 + ... + ( n − 1) + = + 2 3 2 4 3 8 3 bn =

n ( 3n + 5 ) 24

Într-adevăr 1 aşi 1=2 1 a2 = a1 + 2

1 1 b2 = b1 + + 4 3

1 a3 = a2 + 2

2 1 b3 = b2 + + 4 3

......................

......................... n −1 1 + bn = bn−1 + 4 3 n 1 bn=  1 + 2 + ... + ( n − 1) +  4 3

1 an = an−1 + 2 an=

n 2

Răspuns corect d

AL - 317 Trebuie ca un determinant de ordinul doi format din A să fie diferit de zero şi toţi determinanţii de ordinul 3 din A să fie nuli β 2 4 2 4 Fie ∆ 2 = =−2 ≠ 0 ⇒ ∆1 =1 2 3 =2 ( β − 1) =0 2 3 1 2 4 1

2 4 1 1; ∆ 2 =α 2 3 = 0 α= ⇒β = −2 ( 2α − 1) =⇒ 2 2α 2 4 Pentru aceste valori:


β

= ∆3

1

4

1= 0, ∆ 4 α 3 = 1 2α 4

β

1

331

2

1= α 2 0 1 2α 2

Răspuns corect b. AL – 323

β

β 2 4

1

2 Dacă 1 α = 2 0; 1 2α 2

1 2 = 3 0; 1 2 4

1

2 4 α 2 = 3 0 2α 2 4

⇔

2α − 2αβ = 0  1 ⇔ 2 ( β − 1) = 0 ⇒ Pentru= , β 1, matricea cu rangul 2 α = 2  0 2 (1 − 2α ) = Deci rangul este 3 dacă α ≠ Răspuns corect d.

1 2

nu β ≠1 .

AL - 332 x2 y

∆=

= −

1 xy

x y2

2y x xy y y 1 2y − xy xy 2= x+x 0 xy 2 + = y xy − xy x 2 x2 y + y 2 0 x2 + y xy

x x (1 + xy ) y (1 + xy ) = − (1 + xy ) y x2 + y x2 y + y 2 x2 + y

(

(

= − (1 + xy ) x 2 + y

Răspuns corect e.

)( x − y2 )

)

y x2 + y

=

332


AL - 336 Fiindcă: = S

aha bhb chc avem: = = 2 2 2

1 a

1

bc 1 = S2 1 b ∆ 4= 0 ac 1 1 c ba

Răspuns corect b. AL - 351 x a a a

a x a a

a a x a

a a = a x

x + 3a x + 3a x + 3a x + 3a

a x a a

( x + 3a )( x − a )

3

a a x a

a a = a x

1 a a a 0 x−a 0 0 ( x + 3a ) 0 0 x − a 0 0 0 0 x−a

=⇒ 0 x1 = −3a, x2 = x3 = x4 = a


 1 −m   2 1 ; A=   3 m − 1  

1 −m 1 = 1 + 2m ≠ 0 pentru m ≠ − 2 1 2

1 −m −1 1 −m −1 ∆car = 2 1 m = 0 2m + 1 2 + m = 6 1 − m2 = 0 3 m − 1 1 − m 0 4m − 1 4 − m

(

⇒m= 1, m = −1

)


Pentru m = −

= ∆ princ

1 2

2 3 −

1 3 ≠0

∆car

333

e acelaşi

2

⇒

m ∈ {−1,1}

Răspuns corect d. AL - 385 Metoda 1.

Sistem compatibil simplu nedeterminat ⇒ necesar ca det A = 0

α

β 1 2 1 αβ 1 = β (α − 1) (α + 2 )= 0 1 β α

α 0 1  β =0 ⇒ A = 1 0 1  ⇒ x sau z necunoscută secundară, exclus   1 0 α    1 β 1 α =1 ⇒ A =1 β 1 ⇒ rang A = 1, exclus   1 1 β    −2 β 1  α =−2 ⇒ A = 1 −2 β 1  ⇒ pentru p ≠ 0 posibil ca x sau z să fie cunoscute secundare    1 β −2  dacă z= nec.sec. :

−2 β 1 ∆ c= 1 −2 β β= 0 1 β 1

⇔ β 2 + 2 β =0 ⇔ β =−2 ≠ 0 dacă x= nec.sec. :

β 1 1 ∆ c =−2 β 1 β =0 β −2 1

334


1 x= z= λ, y = − (1 + λ ) verifică ecuaţiile principale 2

pentru α = β= −2 :

Metoda 2: Înlocuim x,y,z în sistem şi identificăm ∀λ ∈ R Răspuns corect d. AL - 409

(

)

Avem: x2 = x ∗ x = 3 x = 22 − 1 x Presupunem = xk 2k − 1 x şi demonstrăm că:

(

)

( 2k +1 − 1) x  2k − 1 x  ∗= )  x 2 ( 2k − 1) x +=x ( 2k +1 − 1) x ( = xk +1

xk ∗= x

deci

1) x 8 ( 2n − 1) x − x  − x, ∀x ∈ R ( 22n −=   ( 22n − 1) x = (8 ⋅ 2n − 8 − 8 − 1) x, ∀x ∈ R 22n − 1 =8 ⋅ 2n − 17 ⇔ 22n − 8 ⋅ 2n + 16 =0 ⇔ 2 ⇔ 2n − 4 = 0 ⇔ 2n = 4 ⇔ n = 2

(

)


E1 = ( a ∗ b ) ∗ c = ( ma + nb + p ) ∗ c = m ( ma + nb + p ) + nc + p E2 =a ∗ ( b ∗ c ) =a ∗ ( mb + nc + p ) =ma + n ( mb + nc + p ) + p

0 (1) m ( m − 1) =  0) din E1 ≅ E2 ⇒ n (1 − n = ( 2)  0 ( 3)  p (m − n) =

Ec (3) poate fi satis. în 2 cazuri a)

m=n d ar atu n ci o p . * este co mu t şi n u n e in tere d eci a; b ) p =0 iar (1 ) şi (2 ) n e conduc fiecare la 2 posibilităţi: m=0 şi n=0 m=1 şi n=1 când * este comutat.


335

şi m=1 şi n=0 m=0 şi n=1 când * nu este comut./ceeace ne intere. Deci soluţiile sunt: (1,0,0) şi (0,1,0) Răspuns corect a. AL – 425 Avem:

0 0 1 0 0 0 0 1 , X 3 = X 2 = 1 0 0 0 0 1 0 0  

0 1 0 0 0 0 1 0 = , X 4 I 4 0 0 0 1 1 0 0 0  

Dar 1997=4.499+1 1997 X=

( )

(

−1 = X 3 X 3 ⋅ X= XX 3= I 4

X 1997

X4

)

499 = ⋅X X

(

)


m>0

n m (fx ) , f m ( x ) > 0 ⇒ x > 0 = fn ( fm ( x ) )  = : f n  f m f nm ⇓ , fm ( x ) ≤ 0 x≤0 0 A f n  fe = fe  f n = f n ⇔ e = 1 f 2001  f n = f n  f 2001 =⇔ f1 = 2001n ⇒ 1 ∉n

Răspuns corect b. AL - 431

N∗

336

Culegere de probleme Inversul lui x în M este elem. simetric al operaţiei x ' , adică: x ⋅ x ' = 1 sau 2) ( a + b 2 ) ⋅ ( a '+ b ' =

1,

aa '+ 2bb '+ 2 ( ab '+ ba= ') 1

1 aa '+ 2bb ' = Nec.: ∆ ≠ 0, ⇒ 0 ba '+ ab ' =

a 2b ≠0 b a

sau a 2 − 2b 2 ≠ 0 (Condiţie Nec) Dar, mai trebuie ca

 1 2b  0 a a = ∈Z  a='  2 2 ±1 şi ∆ ∆  ⇒ a − 2b =  1 a 1 −b = = ∈Z b' ∆ b 0 ∆  Răspuns corect c. AL - 432 Elementul neutru e funcţia identică 1E = f0 f= t  f −1 f0 −1  ft f=  1   ft  x − y + , y= − 1 2  

( x, y ) ,

∀ ( x, y ) ∈ E



  1 t2 1+ t   x − y + + t ( y − 1) + , y −=   2 2  

( x, y ) ,



1 = 1 −1 + t =0  1 f1ă, adic ⇒ t =⇒ 1 t2 0 t − + =  2 2 −1 + t =0

∀x, y ∈ R



337

1   g ( x, y ) =  x + y + , y + 1  ; 2  

z ∗= e z , ∀z ∈ C

∗este evident comutativă

z ( e + i ) + ie − 1 − i = z

∀z ∈ C ⇒ e + i = 1 e= 1 − i

z ⋅ z ' = 1− i ⇒ z ' =

2 − iz z+i

(

)

Deci orice z ∈ C \ {−i} este simetrizabil astfel încât C \ {−i} , ∗ este grup abelian α = −i Răspuns corect f. AL - 458 Condiţia de comutativitate X ⋅ X ' = X '⋅ X , unde

1 a b   1 a ' b '   ac ' a ' c ( ∗) = X = 0 1 c , X ' 0 1 c ' , implică:=     0 0 1  0 0 1  Dar ( ∗) nu este satisfăcută pentru orice a, b, c ∈ R în cazurile subgrupurilor generate de matricele d) şi e). Astfel, sunt comutative subgrupurile generate de a), b), c), şi f). Definim, acum, f : ( R, + ) → ( G , ⋅) prin

1 0 x  f ( x ) = 0 1 0    0 0 1   1 0 x + x ' Avem f ( x + x ')= 0 1 0 =   0 0 1  Iar f este bijecţie. Răspuns corect c.

 1 0 x   1 0 x ' 0 1 0  ⋅ 0 1 0 = f ( x ) ⋅ f ( x ')     0 0 1  0 0 1 

338


AL - 481 3 4

= 3 ⋅ 4

−1

7

= 3 ⋅ 3 = 9;

(

6

 = 7 ⋅ 2 = 3;

)

9 2

1 = 9 ⋅ 6 = 10;

( )

 ⋅ 3 = 9 ⋅10  = 3 + 8 10  = 0 ⋅10  = 0;  E = 9 ⋅ 5 + 10

Răspuns corect a. AL - 484

(

)

( ) ( )

1) f z1 + z2 = f z1 + f z2

deci f : C → C, f ( x) = x x∈R

) 2) ( ) ( )

1) 2) f ( x + yi )= f ( x ) + f ( yi ) ⇒ f ( x ) + f ( y ) f ( i )=

x + yf ( i )

f ( x) = x

( )

(

şi f z1 ⋅ z2 = f z1 ⋅ f z2 , ∀z1, z2 ∈ C;

f i2 = f ( −1)

− 1;

deci f ( i ) =±i ⇒ f ( x + yi ) =x ± yi



 f ( i )

⇓ 2

= f ( z ) z= , f ( z) z

(sunt morfisme şi bijecţii)

⇒ S ( z ) = z + z = 2Rez


= f a0 x n + a1x n−1 + ... + an−1x + an

(

)

(

)

f (15 ) − f= − 7) ( 7 ) a0 15n − 7n + a1 15n−1 − 7n−1 + ... + an−1 (15= 4 = 8k , k ∈ Z , absurd

Răspuns corect b.


AL - 513

f ( −1) = 2 f ( 2 ) = −1 ; Din identitatea împărţirii f ( X )=

( X 2 − X − 2) Q ( X ) + mX + n; deducem

f ( −1) =− m + n =2 f ( 2 ) =2m + n =−1

m = −1

⇒

n = 1

⇒ − X +1

Răspuns corect a. AL - 525 Se face împărţirea şi se aplică Algoritmul lui Euclid 2X 3 − 7X 2 + λ X + 3 X 3 − 3X 2 + µ X + 3 −2 X 3 + 6 X 2 − 2 µ X − 6 2 / − X 2 + λ − 2µ X − 3

(

X 3 − 3X 2 + µ X + 3 − X 3 + ( λ − 2µ ) X 2 − 3 X

)

X 2 − ( λ − 2µ ) X + 3 X + ( λ − 2 µ − 3)

/ − ( λ − 2 µ − 3) X 2 + ( µ − 3) X − 3 − ( λ − 2 µ − 3) X 2 + ( λ − 2 µ )( λ − 2 µ − 3) X − ( λ − 2 µ − 3) ⋅ 3 /

( λ − 2 µ )( λ − 2 µ − 3) + µ − 3 X + (12 − 3λ + 6 µ ) ≡ 0 4 λ − 2 µ =  µ = −1 ⇔ 0 λ = 2 ( λ − 2 µ )( λ − 2 µ − 3) + µ − 3 =

⇔

Răspuns corect d. AL - 528

P ( x + 1) − P ( x )= 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1, ( ∀ ) x ∈ R ⇒ grad P= 4 ,

⇒ P ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e ;

339

340


(

) (

)

P= ( x + 1) P ( x ) a x 4 + 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1 + b x3 + 3x 2 + 3x + 1 +

(

)

+ c x 2 + 2 x + 1 + d ( x + 1) + e − ax 4 − bx3 − cx 2 − dx − e = = 4a 3x+ ( 6a + 3b ) x 2 + ( 4a + 3b + 2c ) x + a + b + c + d ≡ 4 x3 + 6 x 2 + 4 x + 1

= a 1= a 1





= 6a + 3b 6 = b 0 ⇔ ⇔  3b + 2c 4 =  4a += c 0

⇔

P ( x) = x4 + k ,

k ∈R

a += d 0 b+c+d 1 =


= f ( a ) p= , f ( b ) p= , f ( c ) p= , f ( d ) p,

a, b, c, d ∈ Z diferite.

⇒ f =

( X − a )( X − b )( X − c )( X − d ) g + p, g ∈ Z [ X ]

( ) ( X 0 − a )( X 0 − b )( X 0 − c )( X 0 − d ) g ( X 0 ) =+ p =prim.

Dacă ( ∃) X 0 ∈ Z : f X 0 =2 p ⇔ (∗)

Egalitatea (∗) este imposibilă deoarece p este număr prim. Rezultă că nu

( )

există X 0 ∈ Z cu f x0 = 2 p Răspuns corect a. AL - 535 Notăm rădăcinile x1, x2 , x3 cu: u − r , u , u + r ; b  + + = − x x x 1 2 3 a

 c   x1x2 + x1x3 + x2 x3 = a  d   x1x2 x3 = − a 

⇔


341

b  u = − 3a  elimin  2 2 c ⇒ 2b3 + 27 a 2 d − 9abc = 0 r 3u −= a u şi r  d  2 2 − u u − r = a 

(

)


(x

3 1

)

+ x23 + x33 = ( x1 + x2 + x3 ) − 3 ( x1 + x2 + x3 )( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) + 3

3 +3 x1x2 x3 =− ( 2 ) − 3 ( −2 )( −m ) − 3 =−6m − 11

x14 = −2 x13 + mx12 − x1    4 3 x2 =−2 x2 + mx2 − x2  ⇒ x14 + x24 + x34 =−2 ( −6m − 11) + m ( 4 + 2m ) + 2 =2m 2 + 16m + 24  x34 = −2 x33 + mx3 − x3   ⇒ 2m 2 + 16m + 24 = 24 ⇔ m = 0, m = −8

Răspuns corect d.

ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol TG )

TG - 141 Ecuaţia fasciculului de drepte ce trec prin intersecţia dreptelor d 1 şi d 2 este ( 2 + λ ) x + ( 2λ − 3) y + 6 − 4λ =0 (1) Ecuaţia unei drepte ce trece prin P este y − = 2 m ( x − 2) Punem condiţia ca această dreaptă să treacă prin punctul (4,0) respectiv (- 4,0). Găsim m = −1 1 respectiv m = . Obţinem două drepte ( 2 ) x + y − 4 = 0 şi x − 3 y + 4 = 0 ( 3) . 3 Condiţia ca dreapta (1) să fie perpendiculară pe (2) respectiv pe (3) este:

342


−

λ=

2+λ 2λ − 3 1 3

1 respectiv − =

respectiv λ =

x− y+2 (δ1 ) =

11

5

0

2+λ 2λ − 3

=−3 ⇒

. Obţinem două drepte

(δ 2 )

= 3x + y − 2 0

Răspuns corect f. TG - 148 1 = m1 2,= m2 3 1 2− 3 = ±1 ⇒ θ = tgθ = 450 , θ = 1350 ± 1 1+ 2 3 Răspuns corect c.

Avem:

450 ⇒θ =

TG - 174 Determinăm centrul şi raza cercului ce trece prin cele 3 puncte: 2 2 x−a + y −b = r2

(

)

(

)

(1 − a )2 + (1 − b )2 = r2  13 7 2  2 2 , b= , r= ⇒ a= ( 2 − a ) + b = r 6 6  2 2 r2 ( 3 − a ) + ( 2 − b ) =   13 7  ,   6 6

Deci ω 

Oω 2= OT 2 + r 2 ⇒ OT 2= Oω 2 − r 2 OT 2 =

Răspuns corect c.

169 36

+

49 36

−

50 36

=

168 36

⇒ OT 2 =

14 3

50 6


343

TG - 181 Fie M ( x1 , y1 ) şi N ( x2 , y2 ) de pe elipsă: avem

 x2 y 2 2  2 + 2 − 1= 0 ⇒ x − Sx + p= 0 b  a   y1 + y2 =S =m ( S − 2c )  y = m ( x − c) ⇒ 2 2   y1 y2 = P = m p − cs + c 

(

1

E=

   MN =      FM =    FN =  

FM

( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) 2

( x1 − c ) ( x2 − c )

2

+ y12 =

2

+ y22 =

2

=

+

1 FN

)

MN

=

FM ⋅ FN

(1 + m2 )( S 2 − 4 p ) =

(1 + m2 ) ( x1 − c ) 2 (1 + m2 ) ( x2 − c )

(

4 a 2b 4 1 + m 2

( b2 + a 2m2 )

)

2

2

2

⇒

(

)

b4 1 + m2 2 2 ⇒ FM ⋅ FN = 1 + m P − CS + c = b2 + a 2m2

(

E=

2a b2

Răspuns corect a.

)

344


ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM ) AM - 015 Avem

1−n ⋅n

1−2n ⋅n

 n2 + n  n2 + n  n2 + n  n2 + n   1 − 2n  1−2n  1 − n  1−n  ⋅  1 + ⋅ an =  1 + 2    2 +n + n n n             1−3n ⋅n

 n2 + n  n2 + n  1 − 3n  1−3n  ⋅  1 +   2  n + n    

e −6 → e −1 ⋅ e −2 ⋅ e −3 =

Răspuns corect b.

AM - 020 Limita devine: lim  a n→∞ 

(

) (

n +1 − n + 3 + b

)

n + 2 − n + 3 + ( a + b + 1) n + 3  =

= lim ( a + b + 1) n + 3 = 0 ⇔ a + b + 1 = 0 n→∞ Răspuns corect b.

AM - 029 Limita devine: n n  1 1 1  1 lim ∑ = lim ∑  − ⋅ n→∞ k 1 = = 4k 2 − 1 n→∞ k 1 2k − 1 2k + 1  2 =

Răspuns corect d.

1 1  1 lim 1 − = n→∞ 2  2n − 1  2




345

AM - 072 Avem:

     n f ( x) =  1 + kΠ=1 ln n (1 + kx )     

1 n

Π ln (1+ kx ) 1  x k =1 n  Π ln1+kx   k =1  

    

=

1 n Π ln (1+ kx ) x = e k =1

n n( n+1) ∑k k =1 lim = f ( x ) e= e 2 x→0

Răspuns corect d. AM - 100 Arătăm că singurul punct de continuitate al funcţiei este Fie x0 ∈ R \ Q şi

( xn )n∈N ⊂ Q

2 3

.

cu xn → x0 n→∞

( )

Avem f ( xn ) =2 − xn → 2 − x0 ≠ 2 x0 =f x0 , deci f nu e cont. în x0 n→∞

2 Fie x0 ∈ Q \   şi 3

( xn )n∈N ⊂ R \ Q

cu xn → x0 n→∞

( )

Avem f ( xn= → 2 x0 ≠ 2 − x= ) 2 xn n→∞ 0 f x0 2 arunci ( ∀ ) ( xn )n∈N , xn → x0 avem Dacă x0 = n→∞ 3

( )

2 4 , deci conf. T. Heine f este continuă doar în x0 = f ( xn ) → f x0 = n→∞ 3 3

Răspuns corect d.

346


AM - 102

x ∈ ( −1,1) 0  x =1 1 Se ştie că x n →  n→∞ ∞ x ∈ (1, ∞ )   Nu există , x ∈ ( −∞, −1 ] 

Se vede că şirul an ( n ) =

(

1 + xn x2 + 4

(

)

x xn + 1

)

nu e definit în x = 0

 1  xn  n + x2 + 4  2 x  x +4 Trecând la limită avem lim an ( x ) = = lim n→∞ n→∞ 1  x  xn  x + n  x   1  : x ∈ ( −1, 0 ) ∪ ( 0,1) x   Deci = A R \ {0, −1} = f ( x ) , = 3, x 1  2  x + 4 , x ∈ ( −∞, −1) ∪ (1, ∞ )   x f (1 − 0 ) =1 ≠ 5 = f (1 + 0 ) ≠ 3 = f ( 0 ) Deci D = {1} Răspuns corect b. AM - 104 Se foloseşte inegalitatea Pentru x > 0 , înmulţind cu

2 2 −1 <   ≤ x x x

2

x

se obţine 3 x 2 2  2  x x 2 2 x 2  − 1 <   ≤ ⋅ = rezultă lim   =  x  3 3 x x 3 3 x→0 3  x  3 x >0


Pentru x < 0 înmulţind cu

x 3

347

se obţine

x 2 2 2 2 x x 2 x  2  ⋅ ≤   <  − 1 şi lim   = ⇒ a = 3 x 3 3 x 3  x  x→0 3  x  3 x >0

Răspuns corect c. AM - 131 Avem:

f ( 0 ) 0;= f ' ( 0 ) lim = x →0

f ( x ) − f ( 0) f ( x) = lim = 0 x → x−0 x

 1  2n 1  1 , când x =  x = = lim  0 n x→0  1 0 = 0 când x ≠  n x în xşi 0= deci f este derivabilă = f ' ( 0) 0 Răspuns corect b. AM - 134 Funcţia se scrie  x7 , x ∈ ( −∞, −1] ∪ ( 0,1]

 

f ( x )  x5 , =  4 x ,



x ∈ ( −1, 0] x ∈ (1, ∞ )

f s ' ( −1) = 7 ≠ 5 = f d ' ( −1) f s ' ( 0) = fd ' ( 0)

7 x6 , x ∈ ( −∞, −1) ∪ ( 0,1)   f ' ( x ) 5 x 4 , x ∈ ( −1, 0 ) =  3 4 x , x ∈ (1, ∞ ) f s ' (1) = 7 ≠ f d ' (1) = 4

Deci f nu este derivabilă în x = −1şi x 1= Răspuns corect e.

348


AM - 143

(3 −

x −1

)

2

(

=8 + x − 6 x − 1 ⇒ f ( x ) = 3 − x − 1

3 − xşi− 1 ≥ 0 x

( )

9 ≥x −⇔ 1 ≤ f ⇒ x10 =

)

2

=3 − x − 1 ⇒ D =[1, ∞ ) x ∈ [1,10 ]

3 − x − 1,   x − 1 − 3,

x ∈ (10, ∞ )

1  − 2 x − 1 , x ∈ (1,10 ) ⇒ f '( x) =   1 x ∈ (10, ∞ )  2 x − 1, f a ' (1) = −∞;

Răspuns corect d.

1 fs ' (0) = − ; 6

f a ' (10 ) =

1 6

⇒ M = {1,10}

AM - 150 Punem succesiv condiţiile ca f să fie continuă în 1, derivabilă în 1 şi de două ori derivabilă în 1. f (1 − 0 ) = 0, f (1 + 0 ) = α + β + γ ⇒ α + β + γ = 0 (1)

1 x ∈ ( 0,1) f s ' (1) = 1  , f '( x)  x = = ⇒ 2α + β 1 2α x + β , x ∈ (1, 0 ) f ' ( 2α + β ) d 

 1 − 2 , f '' ( x ) =  x 2α 

f s '' (1) = −1  −1  ⇒ 2α =  f d '' 2α 

x ∈ (1, ∞ )

(1) , ( 2 ) , ( 3) ⇒ α =− Răspuns corect d.



x ∈ ( 0,1)

1 2

,

2, γ = β= −

3 2

( 2)

( 3)


349

AM - 173 Avem f ' ( x= )

7

( x + 3)

( )

f ' x0= 2;

( )

y−

( )( x − x0 )

y − f x0= f ' x0

Ec.tg :

2

 14  −6 + 14 − 1 = 2 x + 3 −  2  14 

2 ⇒ y = 2 x + 8 − 2 14

Răspuns corect e. AM – 186

(

)

f (= x ) ln x 2 + 1 − x

Fie:

2 − ( x − 1) 2x f ' (= x) = −1 <0 x 2 +1 x2 + 1

Tabelul de variaţie x

−∞

1

∞

−−−−−−−0−−−−−

f' f

0

∞

 0

−∞

Deci f ( x ) > 0 pentru x ∈ ( −∞, 0 ) Răspuns corect c. AM - 200 Trebuie ca f ' ( −2 ) = 0 şi f ' ( 2 ) = 0 = f '( x)

( 2 x − a ) ( x 2 + 1) − x3 + ax 2

= 3/2 x2 + 1

(

)

−8 − 4 − a =0 ⇒ a =−12

Răspuns corect c

8 + 4 − a = 0 ⇒ a = 12

x3 + 2 x − a 3/2 x2 + 1

(

)

350


AM - 207 Avem: f ' ( x ) =

ax ; ax 2 + b

f ' ( x ) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ f ( 0) = b = 1 ⇒ b = 1

Pentru ca D să fie interval de lungime minimă trebuie ca −4ab > 0 ∆ > 0

  ⇒  −b  2 =2  S − 4 P = x1 − x2 = 2 2 a  ⇒ −

1 a

= 1 ⇒ a =−1 şi b = 1

Răspuns corect e. AM - 215 x3 − 3 x + a f '( x) = x2 + 1 x2 + 1

Avem:

(

)

x3 − 3 x + a = 0 Şirul lui Rolle : ϕ ' ( x = ) 3x 2 − 3= 0 −∞ −

−1

1

∞

a+2

a−2

+

+

−

a + 2 > 0 ⇒ a ∈ ( −2, 2 )  a − 2 < 0 Răspuns corect b. AM - 217 f ( x= ) 2 ln x + x 2 − 4 x + m2 − m + 1

Fie:

Avem:

f '( x) =

x>0 2

+ 2 x − 4 = 0 ⇔ 2 x2 − 4 x + 2 = 0

x ⇒ x1,2 = 1


351

Şirul lui Rolle x

0

+∞

1 m −m−2

−∞

+∞

2

m 2 − m − 2 < 0 ⇒ m ∈ ( −1, 2 )

Trebuie ca: Răspuns corect c.

AM - 250 Avem: f ( x ) − f ( 0 ) = xf ' (θ ( x ) ) , unde θ ( x ) = θ ⋅ x cu θ ∈ ( 0,1) f ' ( x ) =−

1

Avem:

Evident L =

x +1 −1 x

( x + 1)

− 1 =−1

x +1

Deci = θ θ (= x)

1 2

: ∀x ∈ [ 0,1]

1

[1 + θ ⋅ x]

2

: ∀x ∈ ( 0,1)

, ∀x ∈ ( 0,1)

x +1 −1 1 = lim x→0 x 2

Răspuns corect c. AM - 251 '

1  Pentru x ≠ 0, f ( x ) =  x sin  . Dacă f α 

F : R → R o primitivă.

Atunci F= ( x ) x sin

1

+ c, ∀x ≠ 0, c ∈ R . x Cum F este continuă pe R ⇒ F ( 0 ) = C

admite primitive pe R , fie

352


F ( x ) − F (0) 1 Cum F este derivabilă pe R ⇒ F ' ( 0 ) = K= lim = lim sin , x −0 x→0 x−0 x limită care nu există. Deci am obţinut o contradicţie, aşadar f nu admite primitive pe R Răspuns corect f.

AM - 254 f nu are proprietatea lui Darbaux pe [ −1,1] ⇒ f nu are primitive pe [ −1,1] . Într-adevăr f 

 −1,0

)

şi f 

  0,1

sunt continue fără ca f să fie continuă pe [ −1,1]

1 f [ −1,1= ]  ,1 ∪ [ 2, 3] e 

nu este interval

Răspuns corect e.

AM - 270 Schimbarea de variabile tgx =t ⇒ x =arctgt =ϕ ( t )

ϕ ' (t ) =

 π π ,  ⇒ t∈R  2 2

1 2 t +1

x ∈−

1 1 2 2 dt = ∫ dt = ∫ 1 + tg xdx = ∫ 1 + t ⋅ 2 2 t +1 t +1

 

= ln  t + t 2 + 1  + C= ln  tgx +



Răspuns corect b.



1  +C cos x 

AM - 278 sin x cos x = I ∫= dx; J ∫ dx sin x + cos x sin x + cos x I + J = ∫ dx = x + c1


353

cos x − sin x = dx ln sin x + cos x + c2 sin x + cos x 2 I = x + c1 − ln sin x + cos x − c2 −I ∫ J=

I=

1 2

( x − ln sin + cos x ) + k

Răspuns corect d. AM - 282 2 2 ( 5 + x ) − 16 x − 16 =( x − 3) , x+5+ x−3

f ( x) ⇒ = f ( x) =

2 2x + 2 2

−

⇒ F ( x )= x + c

8 2

+

− 1 2

(10 + x )

2

x+5− x−3 2 −

8 2x + 2 2

− 36 x − 36 =( x − 8 ) +

x + 10 + x − 8 2

2

−

x + 10 − x − 8 2

,

x ∈ [3,8]

=−2 + 3 =1

Răspuns corect b. AM - 285 1 + x2 1 + x2 dx x = = ⋅ dx ∫ = ∫ +∫ = I ∫ x x 1 + x2 x 1 + x2 1 + x2 =J + 1 + x 2

J =∫

unde ⇒I=

Răspuns corect b.

dx x 1 + x2

=∫

1 dx x2 1 2 x +1

=− ∫

1 d  x

1 + x2 + 1 2 +C 1 + x − ln x

1 +1 x2



=− ln 



1 1 +1 +  + C x x2



354


AM - 293

    3 1 1 1  an = 1 + + + ... + n 3 6 3 ( n − 1)  1+ 1+   1+ n n n   an =

Alegem funcţia

3 n−1 ∑ n i =0

f : [ 0, 3] → R,

integrabilă şi diviziunea ∆ 

0,3 

1 1+ i

3 n

1 care este continuă deci f ( x) = 1+ x

3 ( n − 1)   3 6 9 , 3 = 0, , , ,..., n  n n n 

3 ( n − 1)   3 6 şi punctele ε i = 0, , ,...,  n   n n

3 dx lim an= ∫ = 2 1 + x 30= 2 0 1+ x

(

)

1+ 3 − 1+ 0 = 2

Răspuns corect b. AM - 307 Cazul I.

(

(

Cazul II.

) (

 x 2 + a, x ∈ −∞, − − a ∪ − a , ∞  a ≤1 x2 + a =  2 − x − a, x ∈  − − a , − a   x3  1 1 2 F ( a ) =∫ − x + a dx =−  + ax  10 =− − a 3 0  3 

)

−1 < a ≤ 0 −a 1 4 1 F ( a ) = ∫ − x 2 − a dx + ∫ x 2 + a dx =− a − a + a + 3 3 0 −a

(

)

(

)

)


Cazul III.

0
(

355

)

1 2 1 F (a) = ∫ x + a dx =+ a 3 0

Răspuns corect c. AM - 326 Avem integrală pe interval simetric din funcţia impară f ( x ) =

x 1− x − 1+ x

Deci I = 0 Răspuns corect c. AM - 351

(

)

Ecuaţia t 2 + 2 ( x − 1) t + 4 = ∆ 4 x2 − 2 x − = 3 4 ( x + 1)( x − 3) 0 , are = Dacă

x ∈ ( −1, 3) ,şi∆ < 0,

= t1 t= 2 2. 2 1, 2 ∈ R cu t1,2 =1 − x ± x − 2 x − 3

t1\ t2 ∈ C R

xşi ∈ ( −∞ t ,t −1] ∪ [3, ∞ ) , ∆ ≥ 0

1 − x − x 2 − 2 x − 3, x ≤ −1  t1 ( x ) =  −1 + x + x 2 − 2 x − 3, x ≥ 3; aşa că

cu

Dacă

1 − x + x 2 − 2 x − 3, x ≤ −1  t2 ( x ) =  −1 + x − x 2 − 2 x − 3, x ≥ 3;

1 − x + x 2 − 2 x − 3, x ≤ −1  = f ( x ) 2 x ∈ ( −1, 3)  −1 + x + x 2 − 2 x − 3, x ≥ 3 Se calculează separat I = ∫ x 2 − 2 x − 3dx = ∫

( x − 1)

2

− 4dx =

1 2

( x − 1) ( x − 1)

2

− 4 − 2 ln x − 1 +

( x − 1)

2

−4

356


Atunci 4 −1  3 4 2 2   ∫ f ( x ) dx= ∫  1 − x + x − 2 x − 3  dx + ∫ 2dx + ∫  −1 + x + x − 2 x − 3  dx=     −2 −2 −1 3 = 13 + 3 5 + 2 ln

7−3 5 2

Răspuns corect d. AM – 369 Avem: x 4 + 2 x3 − x 2 − 2 x + 2=

(

( x2 + x − 1)

)

2

+1

2 1 x + x −1 ' = = − 1 10 I ∫ dx arctg x 2 + x= 2 0 1 + x2 + x − 1 Deci

(

(

)

= arctg1 − arctg ( −1) =

π

)

 π π = 4  4 2 −−

Răspuns corect d.

AM - 390 1 1 A = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx = −1 −1 2 1 1 x  x3 1 π 1 1 = − =− arctgx −1 −  dx = ∫  2  6 −1 2 3 −1 x + 1 2 

Răspuns corect c.


AM - 406 1 V =π ∫ x (1 − x )dx; 0

x =sin 2 t

π

2 2 2 = V π= ∫ sin t cos t 2 sin t cos tdt 0

π

π

2 2 π 2 2 = 2π ∫ sin = t cos 2 tdt = ∫ sin 2tdt 2 0 0

π π 2

π2 = ∫ (1 − cos 4t ) dt = 4 0 8 Răspuns corect b.

357

BIBLIOGRAFIE [1] MANUALE ALTERNATIVE APROBATE DE MEdC pentru clasele IX, X, XI, XII. [2] Catedra de matematică: - Algebră şi Analiză matematică - Culegere de teste pentru admitere în învăţământul superior, Universitatea Tehnică din Timişoara, 1991 (reeditată în 1992 – 1996). [3] Catedra de matematică: - Geometrie şi Trigonometrie - Culegere de teste pentru admitere în învăţământul superior, Universitatea Tehnică din Timişoara, 1991 (reeditată în 1992 – 1996). [4] Boja N., Bota C., Brăiloiu G., Bînzar T., Găvruţă P., Klepp F., Lipovan O., Matei Şt., Neagu M., Păunescu D. : - Teste de matematică – pentru bacalaureat şi admitere în învăţământul superior, Ed. Mirton, Timişoara, 1993. [5] Boja N., Bota C., Bânzaru T., Bînzar T., Hossu M., Lugojan S., Năslău P., Orendovici R., Păunescu D., Radu F. : - Probleme de Algebră, Geometrie, Trigonometrie şi Analiză matematică – pentru pregătirea examenului de bacalaureat şi a concursului de admitere în facultăţi.Ed. Mirton, Timişoara, 1996. [6] Bânzaru T, Boja N, Kovacs A, Lipovan O, Babescu G, Găvruţa P, Mihuţ I, Rendi D, Anghelescu R, Milici C. - Probleme de matematică – pentru absolvenţii de liceu, Ed. Politehnica Timişoara, Ediţia I.1998,Ediţia II-a revăzută 1999, Ediţia a III-a revizuită 2000. [7] Bânzaru T., Boja N., Kovacs A., Lipovan O., Babescu Gh.,Găvruţa P.,Mihuţ I., Rendi D., Anghelescu R., Milici C. - Matematică – Teste grilă pentru examenele de bacalaureat şi admitere în învăţământul superior Ed. Politehnica, Timişoara, 2001. [8]

Bânzaru T, Boja N, Kovacs A, Lipovan O, Babescu G, Găvruţa P, Mihuţ I, Rendi D, Milici C, Anghelescu R. – - Teste grilă de matematică pentru examenul de bacalaureat şi admitere în învăţământul superior. Editura Politehnica Timişoara 2002.

TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ pentru examenul de bacalaureat şi

Recommend Documents