UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Curso 2014-2015 INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos (1 punto cada apartado). TIEMPO: 90 minutos.
OPCIÓN A Pregunta 1.- Dos lunas que orbitan alrededor de un planeta desconocido, describen órbitas circulares concéntricas con el planeta y tienen periodos orbitales de 42 h y 171,6 h. A través de la observación directa, se sabe que el diámetro de la órbita que describe la luna más alejada del planeta es de 2,14·106 km. Despreciando el efecto gravitatorio de una luna sobre la otra, determine: a) La velocidad orbital de la luna exterior y el radio de la órbita de la luna interior. b) La masa del planeta y la aceleración de la gravedad sobre su superficie si tiene un diámetro de 2,4·104 km. Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2.
Solución. a. Conocido el diámetro de la órbita y el periodo se puede calcular la velocidad orbital mediante la definición de velocidad media s 2π ⋅ r π ⋅ D π ⋅ 2,14 × 10 9 m v= = = = = 10883 m s t T T 171,6 ⋅ 3600 s El radio de la órbita de la luna interior se puede obtener mediante la tercera ley de Kepler. En una órbita circular se cumple: FG = Fc G
Mm 2
r
=m
v2 r
v2 = G
M r
2
T12
b.
=
r23 T22
r1 = r2 ⋅ 3
T2 T12 T22
=
ω2 = G
r
r3
M 2π =G 3 T r r13
(ω ⋅ r )2 = G M =G
M
r3
4π 2
T2
M r3
= cte
2,14 × 10 6 42 2 ⋅3 = 4,187 × 10 5 Km 2 2 171,6
La masa del planeta se puede obtener mediante la tercera ley de Kepler. 3
2,14 × 10 9 4π ⋅ 2 4π 2 ⋅ r 3 M= = = 1,9 × 10 27 Kg 2 2 −11 G⋅T 6,67 ⋅ 10 ⋅ (171,6 ⋅ 3600) 2
r3 T
2
=G
M 4π 2
La intensidad gravitatoria se calcula igualando el peso en la superficie del planeta a la fuerza gravitacional. M M 1,9 × 10 27 Mm −11 g=G 2 =G = 6 , 67 × 10 = 880 m 2 mg=G 2 2 7 s R R (D 2)2 2,4 × 10 2
(
1
)
Pregunta 2.- Un muelle de masa despreciable y de longitud 5 cm cuelga del techo de una casa en un planeta diferente a la Tierra. Al colgar del muelle una masa de 50 g, la longitud final del muelle es 5,25 cm. Sabiendo que la constante elástica del muelle es 350 N m‒1: a) Determine el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta. b) El muelle se separa con respecto a su posición de equilibrio 0,5 cm hacia abajo y a continuación es liberado. Determine, la ecuación que describe el movimiento de la masa que cuelga del muelle. Solución. a. Aplicando la Ley de Hooke: F = −k ⋅ ∆x La fuerza aplicada al muelle es el peso de la masa que se cuelga de él. − k ⋅ ∆x m ⋅ g = −k ⋅ ∆x g= ∆x = l − l o = 5,25 − 5 = 0,25 cm m − 350 ⋅ − 0,25 × 10 −2 g= = 17,5 m 2 s 50 × 10 −3
(
)
b. La masa colgada del muelle comienza un movimiento armónico simple de amplitud 0,5 cm, que esta representado por la ecuación: y(t ) = A sen (ω t + φ o ) La velocidad angular del movimiento se calcula a partir de la constante del muelle y la masa colgada de él. k 350 k = m ⋅ ω2 ω= = = 10 70 rad = 83,67 rad s s m 50 × 10 −3 La fase inicial se obtiene de las condiciones iniciales (y(0) = − A ) π y(0 ) = − A = A sen (ω ⋅ 0 + φ o ) sen φ o = −1 φ o = − rad 2 π y(t ) = 5 × 10 −3 sen 10 70 t − 2
Pregunta 3.- Una varilla conductora desliza sin rozamiento con una velocidad de 0,2 m s‒1 sobre unos raíles también conductores separados 2 cm, tal y como se indica en la figura. El sistema se encuentra en el seno de un campo magnético constante de 5 mT, perpendicular y entrante al plano definido por la varilla y los raíles. Sabiendo que la resistencia del sistema es de 4Ω determine: a) El flujo magnético en función del tiempo a través del circuito formado por la varilla y los raíles, y el valor de la fuerza electromotriz inducida en la varilla. b) La intensidad y el sentido de la corriente eléctrica inducida. Solución. r r r r a. Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α = B S cos α
La variación de flujo a través de la superficie se debe al movimiento de la varilla, el cual modifica el área de la espira.
( )
S = base × altura = v ⋅ t × altura = 0,2 ⋅ t ⋅ 2 × 10 −2 = 4 × 10 −3 ⋅ t m 2 r El campo magnético B y el vector superficie forman un ángulo de 180º.
()
Φ = B S cos α = 5 × 10 −3 ⋅ 4 × 10 −3 t ⋅ cos 180º = −2 × 10 −5 t (Wb )
2
La fuerza electromotriz inducida se obtiene aplicando la ley de Lenz-Faraday. dΦ d =− − 2 × 10 −5 t = 2 × 10 −5 v ε=− dt dt
(
b.
)
La intensidad que recorre la espira se obtiene mediante la ley de Ohm: ε 2 × 10 −5 v I= = = 5 × 10 −6 A R 4Ω
El sentido de la corriente se obtiene mediante la ley de Lenz: “La fuerza electromotriz inducida en un conductor se opone a la variación de flujo magnético que la induce” El flujo inductor aumenta hacia dentro del papel debido al aumento del número de líneas de campo que atraviesan la superficie al desplazarse la varilla hacia la izquierda, según la ley de Lenz, el flujo inducido tiende a compensar al flujo inductor y por tanto la fuerza electromotriz inducida en la espira genera un campo magnético saliente, y según la regla de la mano derecha deberá girar en el sentido antihorario.
Pregunta 4.- La imagen de un objeto reflejada por un espejo convexo de radio de curvatura 15 cm es virtual, derecha, tiene una altura de 1 cm y está situada a 5 cm del espejo. a) Determine la posición y la altura del objeto. b) Dibuje el diagrama de rayos correspondiente. Solución. Espejo CONVEXO (R > 0). R = 15 cm; f = 7,5 cm; Imagen virtual s ′ = 5 cm ; Imagen a. derecha y ′ = 1 cm Se aplica la ecuación general de los espejos: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 + = = − =− + = s′ s f 5 s 15 2 s 15 5 15 s = −15 cm Con la expresión del aumento lateral, se calcula el tamaño del objeto. y′ s − 15 s′ y = − y ′ = −1 ⋅ = 3 cm AL = = − y s s′ 5
b.
3
Pregunta 5.- Cuando se encuentra fuera del núcleo atómico, el neutrón es una partícula inestable con una vida media de 885,7 s. Determine:1 a) El periodo de semidesintegración del neutrón y su constante de desintegración. b) Una fuente de neutrones emite 1010 neutrones por segundo con una velocidad constante de 100 km s‒1. ¿Cuántos neutrones por segundo recorren una distancia de 3,7·105 km sin desintegrarse? Solución. 1 1 a. τ = 885,7 s λ= = = 1,129 × 10 −3 s −1 τ 885,7
(
)
Aplicando la ecuación general de la radioactividad N = N o e − λ t al t 1 2 , N tiempo para que se reduzca el número de núcleos radioactivos a la mitad t = t 1 2 ⇒ N = o se 2 obtiene el periodo de semidesintegración. No 1 −λ t −λ t = No e 1 2 = e 12 2 2 Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros y ordenando se obtiene la expresión del periodo de semidesintegración en función de la constante de desintegración: Ln 2 ln 2 1 −λ t Ln = Ln e 1 2 t1 2 = = ≈ 614 s 2 λ 1,129 × 10 −3
(
)
b. Se calcula el tiempo que los neutrones tardan en recorre la distancia propuesta y con ese tiempo se calcula el numero de neutrones que quedan sin desintegrarse. s 3,7 × 10 5 Km t= = = 3700 s v 100 Km s −1 El número de neutrones que quedan sin desintegrarse pasado ese tiempo se calcula mediante la ecuación fundamental de la radioactividad. N = N o e −λ t = 1010 ⋅ e −1,129×10
4
−3
⋅3700
= 1,53 × 10 8
OPCIÓN B Pregunta 1.- Un cuerpo esférico de densidad uniforme con un diámetro de 6,0·105 km presenta una aceleración de la gravedad sobre su superficie de 125 m s‒2. a) Determine la masa de dicho cuerpo. b) Si un objeto describe una órbita circular concéntrica con el cuerpo esférico y un periodo de 12 h, ¿cuál será el radio de dicha órbita? Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2.
Solución. a. D = 6,0×1015 Km ⇒ R = 3,0×105 Km; g = 125 m/s2 Igualando el peso de un cuerpo en la superficie del planeta a la fuerza gravitacional se obtiene una relación entre la intensidad de campo gravitatorio, el radio del planeta y su masa. M⋅m M m⋅g =G g=G 2 P = FG 2 R R
(
)
2
g ⋅ R 2 125 ⋅ 3 × 10 8 M= = = 1,69 × 10 29 kg −11 G 6,67 × 10
b. Para calcular el radio de la órbita se igual la fuerza gravitacional a la fuerza centrípeta, ya que por ser una órbita circular se cumple: FG = Fc G
Mm r
2
=m
v2 r
v2 = G
2
r3
M 2π =G 3 T r
r=3
M r T2
(ω ⋅ r )2 = G M r
=G
M 4π 2
6,67 × 10 −11 ⋅ 1,69 × 10 29 ⋅ (12 ⋅ 3600)2 4π
ω2 = G
2
r=3
M r3
G ⋅ M ⋅ T2 4π 2
= 8,11 × 10 8 m
Pregunta 2.- Una onda armónica transversal se propaga en el sentido de las x positivas. A partir de la información contenida en las figuras y justificando su respuesta: a) Determine el periodo, la frecuencia, el número de onda y la longitud de onda. b) Escriba la expresión de la función de onda.
Solución. a. De las graficas se leen los valores de la longitud de onda (λ ) , distancia entre dos puntos en igualdad de fase, periodo (T), tiempo que invierte en un ciclo completo y amplitud (A), distancia que hay entre la posición de equilibrio y el punto de elongación máxima. T = 2 s ; λ = 10 cm ; A = 5 cm
5
f=
1 1 = = 0,5 Hz T 2
k=
2π 2π = = 20π m −1 λ 0,1
2 π 2π = = π rad s T 2 La fase inicial se calcula sabiendo que y(0, 0) = 0 y que v(0, 0) < 0 , como pone de manifiesto el hecho de que la pendiente de la recta tangente a la grafica y-t a la derecha del origen de coordenadas es negativa. φ o = 0 rad y(0,0 ) = A sen φ o = 0 : φ o = π rad
b.
y(x , t ) = A sen (ω t − k x + φ o )
ω=
Para es coger el desfase se estudia el signo de la velocidad Aω cos 0 = Aω > 0 v(0,0 ) = Aω cos φ o = ⇒ φ o = π rad Aω cos π = − Aω < 0 y(x , t ) = 0,05 sen (π t − 20π x + π )
Pregunta 3.- Dos cargas de 2 nC se sitúan en los vértices de la base de un triángulo equilátero de lado 2 cm que se encuentra situada sobre el eje de abscisas. El punto medio de la base está en el origen de coordenadas y el vértice superior en el semieje positivo de ordenadas. Determine: a) El campo eléctrico y el potencial eléctrico creado por las cargas en el vértice libre. b) La fuerza que las cargas positivas ejercerían sobre una carga de -2 nC situada en el vértice libre del triangulo. Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N m2 C‒2.
Solución. El campo eléctrico en el punto C se obtiene como suma vectorial a. de los campos que generan las cargas situadas en los puntos A y B. Por ser las cargas de igual intensidad y estar situadas a igual distancia, los módulos de los campos creados por ambas serán iguales. r r q 2 × 10 −9 E A = E B = E = K ⋅ 2 = 9 × 10 9 ⋅ = 45000 N 2 C − 2 d 2 × 10
(
)
La disposición de las cargas y el punto, determinan ángulos de 60º para los vectores campo (triángulo equilátero). r r r 1r 3r E A = E ⋅ cos 60º i + E ⋅ sen 60º j = 45000 ⋅ i + 45000 ⋅ j 2 2 r r r 1r 3r E B = − E ⋅ cos 60º i + E ⋅ sen 60º j = −45000 ⋅ i + 45000 ⋅ j 2 2 r r r r r E = E A + E B = 45000 3 j = 77942,3 j N C El potencial que generan las dos cargas en el punto C es la suma escalar de los potenciales que crean cada una de las cargas en el punto. −9 q q 2 × 10 −9 9 2 × 10 VC = VA + VB = K ⋅ A + K B = 9 × 10 9 ⋅ + 9 × 10 ⋅ = 1800 v d d 2 × 10 − 2 2 × 10 − 2
b. Si sobre el punto C se coloca una carga, esta se vera sometida a una fuerza que viene dada por la expresión: r r r r r F = q ⋅ E = −2 ⋅ 10 −9 C ⋅ 45000 3 j N = −9 3 × 10 −5 j = −1,56 × 10 −4 j N C
6
Pregunta 4.- Cierta lente delgada de distancia focal 6 cm genera, de un objeto real, una imagen derecha y menor, de 1 cm de altura y situada 4 cm a la izquierda del centro óptico. Determine: a) La posición y el tamaño del objeto. b) El tipo de lente (convergente/divergente) y realice su diagrama de rayos. Solución. La Posición de la imagen ( a la izquierda de la lente) y su tamaño (menor), determinan a. que el tipo de lente empleada es divergente. Datos: Por ser divergente f ′ = −6 cm ; y ′ = 1 cm ; s ′ = −4 cm Aplicando la ecuación general de las lentes permite calcular la posición del objeto. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = − = = − =− s = −12 cm ′ ′ s s f −4 s −6 s 6 4 12 Aumento lateral: A L =
y′ s′ = y s
y = y′ ⋅
s − 12 = 1⋅ = 3 cm s′ −4
La imagen obtenida es virtual derecha y de menor tamaño.
b. Para el trazado de rayos basta con trazar dos de los tres rayos, en las imágenes adjuntas se muestran dos posibilidades.
Pregunta 5.- Dos núcleos de deuterio (2H) y tritio (3H) reaccionan para producir un núcleo de helio (4He) y un neutrón, liberando 17,55 MeV durante el proceso. a) Suponiendo que el núcleo de helio se lleva en forma de energía cinética el 25% de la energía liberada y que se comporta como una partícula no relativista, determine su velocidad y su longitud de onda de De Broglie. b) Determine la longitud de onda de un fotón cuya energía fuese el 75% de la energía liberada en la reacción anterior. Datos: Masa del núcleo de Helio, mHe = 6,62·10‒27 kg; Velocidad de la luz en el vacío, c=3·108 m s‒1; Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6·10‒19 C; Constante de Planck, h=6,63·10‒34 J s.
Solución. a.
10 6 eV 1,6 × 10 −19 J ⋅ = 2,808 × 10 −12 J MeV eV 25 25 1 Ec = ⋅E = ⋅ 2,808 × 10 −12 = 7,02 × 10 −13 J = m ⋅ v 2 100 100 2
E = 17,55 MeV ⋅
v=
λ DB =
2 ⋅ 7,02 × 10 −13 6,62 × 10
− 27
= 1,456 × 10 7 m
s
h 6,63 × 10 −34 = = 6,88 × 10 −15 m mv 6,62 × 10 −27 ⋅ 1,465 × 10 7
7
b.
Aplicando la ecuación de Planck
E = h ⋅ ν h⋅c h⋅c c :E = →λ= ν= λ E λ λ=
6,63 ⋅ 10 −34 ⋅ 3 × 10 8 = 9,44 × 10 −14 m 75 −12 ⋅ 2,808 × 10 100
8
