DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES
Recueil d'Exercices PROFESSEUR ALAIN PECKER Equipe Enseignante MATHIEU ARQUIER NICOLAS GREFFET ROMAIN MEGE SADRI MEVEL
Année Académique 2017 - 2018
Table des matières Préface ............................................................................................................................................. 5 Dynamique des Structures .............................................................................................................. 6 1 Systèmes à un degré de liberté ................................................................................................... 7 1.1 Poutre sur des appuis simples.............................................................................................. 7 1.2 Poutres sans masse avec surcharge ..................................................................................... 8 1.3 Chute de masse sur oscillateur simple................................................................................. 9 1.4 Automobile sur route de rugosité sinusoïdale .................................................................. 10 1.5 Modèle de frottement de Coulomb ................................................................................... 12 1.6 Spectres de réponse de sollicitations impulsives .............................................................. 13 1.7 Transformée de Fourier d'un accélérogramme et énergie ............................................... 14 1.8 Portique soumis à un chargement sismique ..................................................................... 15 1.9 Notions de transfert de spectres........................................................................................ 17 1.10 Etude d'un portique avec pont roulant* ......................................................................... 19 1.11 Oscillateurs généralisés et effet de forces longitudinales .............................................. 20 2 Systèmes à N degrés de liberté ................................................................................................. 21 2.1 Equation du mouvement d’un bâtiment rigide ................................................................. 21 2.2 Etude d'une barre sur 2 ressorts ........................................................................................ 22 2.3 Etude de la réponse dynamique d'une tuyauterie sous pression lors d'une rupture...... 24 2.4 Etude d'une poutre cantilever supportant trois masses* ................................................. 26 2.5 Etude d'un portique de 2 étages soumis à un chargement sismique ............................... 27 2.6 Prise en compte de l'interaction sol-structure .................................................................. 30 2.7 Dalle sur sol élastique couplée avec oscillateur de faible masse * .................................. 33 2.8 Comportement sismique dune structure asymétrique * .................................................. 35 Dynamique des Ouvrages .............................................................................................................. 37 1 Vibrations des poutres - systèmes continus ............................................................................. 38 1.1 Etude simplifiée des vibrations d'une masse attachée à un câble tendu ........................ 38 1.2 Etude d'une poutre à masse répartie soumise à un chargement dynamique ................. 40 1.3 Etude d'une poutre à masse répartie avec une section variable...................................... 42 1.4 Modes propres de poutres uniformes ............................................................................... 44 1.5 Chute de poutre en rotation .............................................................................................. 45 1.6 Modes propres de la Terre ................................................................................................. 46 1.7 Mode de vibration fondamental dune pile de pont.......................................................... 47 1.8 Tassement d’une pile de pont* .......................................................................................... 48 1.9 Calcul de cheminée avec interaction sol-structure ........................................................... 49 2 Propagation d'ondes .................................................................................................................. 50 2.1 Etude de la propagation des ondes suite à l'impact de 2 barres ...................................... 50 2.2 Propagation d'ondes sphériques ....................................................................................... 51 2.3 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes SH)................................................. 52 2.4 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes P/SV) ............................................. 54 2.5 Propagation d'ondes au travers d'une interface solide - fluide*...................................... 55 2.6 Ondes réfractées dans une membrane * ........................................................................... 56 3 Interaction Sol-Structure ........................................................................................................... 57
3.1 Fondation de machines tournantes ................................................................................... 57 3.2 Interaction cinématique d'un radier rectangulaire rigide................................................. 60 4 Interaction Fluide-Structure ...................................................................................................... 62 4.1 Calcul de la masse ajoutée de 2 cylindres concentriques séparés par un fluide ............. 62 4.2 Calcul d'une barre partiellement immergée...................................................................... 64
Préface Ce receuil d'exercices est destiné aux élèves participant aux cours Dynamique des Structures et Dynamique des Ouvrages de l'ENPC. La plupart des exercices inclus dans le recueil seront étudiés et résolus par les élèves eux-mêmes lors des séances des petites classes. Pour cette raison, on n'en fournit pas la solution détaillée mais uniquement quelques indications sur la démarche à suivre ainsi que les résultats finaux. Les exercices qui sont annotés avec une étoile ont servi comme sujets d'examen antérieurs.
Partie I Dynamique des Structures
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1 Systèmes à un degré de liberté 1.1 Poutre sur des appuis simples I. Ecrire les équations du mouvement du système rerpésenté sur la Figure 1. En supposant la poutre sans masse, le système présente un seul degré de liberté défini par la déflexion u sous poids propre P . La rigidité de flexion de la poutre est EI et sa longueur L .
Figure 1: Vibrations de poutres sans masse avec surcharge. II. Déterminer la fréquence propre d'un poids P suspendu à un ressort au milieu d'une poutre sur appuis simples (cf. Figure 2). La rigidité de flexion de la poutre est EI et sa longueur vaut L . Elle est supposée sans masse. La raideur du ressort vaut k .
Figure 2: Poids suspendu à une poutre sans masse par un ressort.
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Eléments de réponse I. k =
48 EI L3
II. ω =
48 EIk P avec m = 3 m(48 EI + L k ) g
8
1.2 Poutres sans masse avec surcharge Refaire l'exercice précédente avec : I. Le système représenté sur la Figure 3. II. Le système représenté sur la Figure 4.
Figure 3: Poutre console sans masse avec surcharge.
Figure 4: Poutre biencastrée sans masse avec surcharge. Eléments de réponse I. k =
3EI L3
9
II. k =
192 EI L3
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1.3 Chute de masse sur oscillateur simple Une masse m1 est suspendue à un ressort k et se trouve en équilibre statique. Une deuxième masse m2 chute d'une hauteur h et s'accole à m1 sans rebond (figure 5). I. Déterminer le mouvement u (t ) autour de la position d'équilibre statique de la masse m1 .
Figure 5: Chute d'une masse sur un système masse-ressort en équilibre statique. Eléments de réponse I. u (t ) =
2 gh m2 m2 g (1 − cos ωt ) + sin ωt k ω m1 + m2
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1.4 Automobile sur route de rugosité sinusoïdale Question A. Une automobile est modélisée de façon simplifiée par une masse concentrée m reposant sur un système ressort-amortisseur (Figure 6). L'automobile se déplace à vitesse constante v sur une route dont la rugosité est connue sous la forme d'une fonction de la position sur la route. I. Déterminer l'équation du mouvement.
Figure 6: Mouvement idéalisé d'une automobile sur une route.
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Figure 7: Mouvement d'une automobile sur un pont à plusieurs travées. Question B. Cette automobile se déplace maintenant sur un pont à plusieurs travées dont les piles sont distantes de 35m (cf. Figure 7). Le fluage à long terme du pont a provoqué une déflexion de 15cm en milieu de chaque travée. Le profil de la chaussée peut être approché par une sinusoïdee d'amplitude 15cm et de période 35m. La masse de l'automobile en charge est de 800kg, la raideur de son système de suspension est de 60000N/m et le coefficient d'amortissement visqueux est tel que le coefficient d'amortissement du système vaut 40%. Déterminer : II. L'amplitude ut ,0 du mouvement vertical ut (t ) quand l'automobile se déplace à 70km/h. III. La vitesse du véhicule qui conduirait à une résonance pour ut ,0 . Eléments de réponse I. Travailler avec la méthode de formulation directe de l'équation d'équilibre. II. ut ,0 = 0.175m III. v = 155.1km/h
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1.5 Modèle de frottement de Coulomb Des systèmes utilisés pour limiter les effets des séismes sur les structures permettent de dissiper l'énergie par frottement de Coulomb. Le dispositif est réglé pour fonctionner sous un effort de précontrainte constant N et un coefficient de frottement µ . Un essai de vibration libre (ou de lâcher) est effectué pour mesurer la fréquence propre fondamentale et le coefficient de frottement (cf. Figure 8). I. Montrez que la décroissance de l'amplitude entre 2 cycles consécutifs (ui − ui +1 ) est N où K est la raideur de la structure. constante et donnez sa valeur en fonction de u f = K II. Calculez la fréquence fondamentale et u f d'après la Figure 8.
Figure 8: Réponse en vibration libre du dispositif de dissipation d'énergie par frottement. Eléments de réponse I. Etudier la vibration forcée du système sous la force de frottement. II. f = 2Hz, u f = 0.38cm 14
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1.6 Spectres de réponse de sollicitations impulsives Calculer les spectres de réponses des sollicitations suivantes : I. L'impulsion simple représentée sur la Figure 9. II. L'impulsion sinusoïdeale de la Figure 10 en considérant ξ = 0 et T < 2s
Figure 9: Impulsion simple.
Figure 10: Impulsion sinusoïdeale. Eléments de réponse P I. S d (ξ , T ) = Te 2π II. S d (T ) =
−
P0 β 2 π 2 1− β
ξ 1−ξ 2
cos −1ξ
2π n T , pour β = < 1 sin 2 1+ β
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1.7 Transformée de Fourier d'un accélérogramme et énergie Montrer que la transformée de Fourier (ω ) d'un accélérogramme ug (t ) et l'énergie totale (td ) introduite dans l'oscillateur élémentaire non-amorti sont liées par la relation:
2(td ) m La quantité td représente la durée totale de l'accélérogramme. (ω ) =
Eléments de réponse Ecrire l'énergie totale comme la somme de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans l'oscillateur.
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1.8 Portique soumis à un chargement sismique On désire dimensionner un portique en béton armé situé en zone sismique. Le portique est représenté sur la Figure 11. On ne considérera que la composante horizontale du mouvement sismique. Les caractéristiques du portique sont les suivantes : • Hauteur des poteaux : H = 10m • Portée de la poutre : L = 8m • Largeur des poteaux : l = 0.40m • Hauteur de la poutre : b = 0.60m • Epaisseur des poteaux et de la poutre: t = 0:25m. La masse est supposée concentrée sur la poutre supérieure et vaut m = 50t. On prendra un module d'Young du béton de E = 30000MPa.
Figure 11: Portique en béton armé.
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Figure 12: Spectre de réponse élastique PS92 I. En supposant que la poutre est infiniment rigide par rapport aux poteaux, calculez les 2 premières fréquences de la structure (horizontale et verticale). II. Si on considére le spectre de réponse des régles PS92 avec an = 2.5m/s 2 (pour un sol dur S0). • Quel est l'effort tranchant global de dimensionnement (à la base de la structure). • Quelle est la contrainte de cisaillement de dimensionnement dans les poteaux ? • En pensant à la répartition de moment dans un poteau bi-encastré, donnez la valeur du moment de dimensionnement. • Calculez le déplacement relatif (de la poutre par rapport au sol) imposé par le séisme de dimensionnement. III. Mêmes questions pour le sol S3 (sédiments). Conclusions ? Les valeurs numériques pour la définition du spectre de réponse pour chaque catégorie 19
de sol sont données dans le Tableau suivant. Type de sol S0 S1 S2 S3
TB [s] 0.15 0.20 0.30 0.45
TC [s] 0.30 0.40 0.60 0.90
TD [s] 2.67 3.20 3.87 4.44
RA 1.0 1.0 0.9 0.8
RM 2.5 2.5 2.25 2.0
La pseudo-accélération des spectres élastiques des règles PS92 vaut : PSA = an Re(T ) avec : • Branche AB: Re(T ) = RA + ( RM − RA)
T TB
• Branche BC: Re(T ) = RM TC T TCTD • Branche DE: Re(T ) = RM 2 T
• Branche CD: Re(T ) = RM
Eléments de réponse I. TX = 1.434s, TZ = 0.057s. II. S d = 0.068m, Vmax = 32.75kN, τ max = 490.3kPa, M max = 163.5kNm. III. S d = 0.163m, Vmax = 78.45kN, τ max = 1176.8kPa, M max = 392.2kNm.
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1.9 Notions de transfert de spectres L'objectif de cet exercice est de présenter les notions principales dans la procédure de tranfert des spectres, couramment utilisé dans la pratique pour la justification de la tenue d'équipement secondaire. A cette fin, on examine le portique présenté sur la Figure 13. Le comportement dynamique de cette structure est modélisée par un oscillateur à un degré de liberté, caractérisé par sa masse m0 et sa rigidité k0 . L'amortissement de la structure est négligé. La structure est soumise à une excitation de support impulsive comme suit : ug (t ) = Aδ (t )
Dans l'expression précédente, A représente l'amplitude de l'impact (unités de vitesse) et δ (t ) est la fonction delta de Dirac.
Figure 13: Portique avec créneau. I. Calculer le déplacement horizontal au niveau du toit du portique. II. Déterminer le déplacement horizontal maximal au niveau du toit du portique comme fonction du période propre du portique. III. Dessiner les spectres de réponse en pseudo-accélération, pseudo-vitesse et 21
déplacement de l'excitation de support considérée. Partie II. Dans la suite, on va considérer qu'un créneau se trouve suspendu du plafond du portique. La masse du créneau est m1 et est considérée beaucoup plus faible que la masse du portique m0 . Par conséquant, on supposera que la présence du créneau n'altére pas le mouvement du portique. La rigidité de la connection du créneau est k1 et l'amortissement au niveau de la connection ξ1 . IV. Calculer le déplacement horizontal du créneau quand le portique est soumis à l'excitation de support considérée. V. Déterminer le déplacement horizontal maximal du créneau comme fonction du période propre du créneau. VI. Dessiner les spectres de réponse en pseudo-accélération, pseudo-vitesse et déplacement qui fournissent la réponse maximale du créneau. VII. Comparer les spectres obtenus pour l'excitation de support impulsive avec les spectres de réponse tranférés à la position du créneau.
et
NOTE. Noter que la fonction de Dirac est définie comme suit : +∞ t = 0 δ (t ) = 0 t≠0
∫
+∞
−∞
δ (t ) dt = 1
La fonction de Dirac et une fonction arbitraire f (t ) satisfont la relation suivante : t
∫ f (t − τ )δ (τ ) dτ = f (t ) 0
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1.10 Etude d'un portique avec pont roulant* Un portique supporte un pont roulant (voir Figure 14) auquel est suspendue une masse M par l'intermédiaire d'un câble souple. Le portique est soumis à une sollicitation sismique ; cette sollicitation se traduit au niveau des poutres de roulement par un mouvement caractérisé par le spectre de réponse donné sur la Figure 15. I. Donner les expressions analytiques des différentes branches du spectre de réponse. II. Etablir l'équation du mouvement de la masse. III. Calculer le déplacement horizontal maximal de la masse.
Figure 14: Portique avec pont roulant.
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Figure 15: Spectre de réponse au niveau des poutres de roulement.
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1.11 Oscillateurs généralisés et effet de forces longitudinales Considérons la poutre cantilever de la Figure 16 dont la masse par unité de longueur est m( x) et la rigidité en flexion EI ( x) . La poutre est soumise à une charge dynamique p ( x, t ) = f ( x) g (t ) ainsi qu'à une force longitudinale constante N à son extrémité. La déformée de la poutre est approximée par la relation : u ( x, t ) = ψ ( x) z (t )
(1)
où ψ ( x) est une fonction donnée. I. Utiliser la méthode des puissances virtuelles afin de Déterminer l'équation du mouvement du système. En particulier, montrer que le travail virtuel effectué par la force longitudinale N lors d'un déplacement virtuel δ u = ψ ( x)δ z est donnée par l'expression : l
δ WN = z (t )δ zN ∫ [ψ ′( x)]2 dx 0
II. Déterminer la valeur de la force N , appelée charge critique N cr pour laquelle la rigidité apparente du système est nulle.
25
(2)
Figure 16: Poutre et coordonnée généralisée. Eléments de réponse l
II. N cr
∫ EI ( x)[ψ ′′( x)] dx = ∫ [ψ ′( x)] dx 2
0
l
2
0
2 Systèmes à N degrés de liberté 2.1 Equation du mouvement d’un bâtiment rigide On considère le bâtiment parfaitement rigide de la Figure 17. Le bâtiment est fondé sur un sol mou au moyen d'un radier de surface a × b . La hauteur du bâtiment est h et sa masse
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volumique ρ . Le bâtiment est sollicité par un chargement dynamique dans le plan x − z . Le sol est considéré élastique et peut être représenté par des ressorts verticaux (k z ) , horizontaux (k x ) et de rotation autour de l'axe y (kφ ) . Déterminer l'équation du mouvement du système en considérant comme degrés de liberté : I. Le déplacement vertical, le déplacement horizontal et la rotation du point A . II. Le déplacement vertical, le déplacement horizontal et la rotation du point A′ . III. Comment est-ce que l'équation du mouvement est modifiée dans les cas précédents si l'on considère l'effet du poids propre lors de la rotation du bâtiment ?
Figure 17: Bâtiment rigide sur sol mou. Eléments de réponse III. Utiliser l'approximation : cos φ = 1 −
φ2 2!
+ ...
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2.2 Etude d'une barre sur 2 ressorts Une barre de longueur L et de masse uniformément répartie M repose sur 2 ressorts de raideur K1 et K 2 (cf. Figure 18).
Figure 18: Barre sur deux ressorts. I. Après avoir choisi 2 degrés de liberté permettant de décrire le mouvement vertical de la barre, calculer les matrices de masse et de rigidité et écrire les équations de mouvement de ce système. II. Que devient la matrice de masse si on fixe une masse M 0 au 1/3 de la barre. III. Calculer la matrice d'amortissement si on fixe un amortisseur C à la barre. IV. Calculer les fréquences et les modes propres de ce système pour K1 = K2 = K et M 0 = 0.
Eléments de réponse K M / 3 M / 6 ,K = 1 I. M = M / 6 M / 3 0
0 K 2
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M / 3 + 4M ′ / 9 M / 6 + 2M ′ / 9 II. M = M / 6 + 2M ′ / 9 M / 3 + M ′ / 9 xC 2 xC xC 1 − 1 − L L L III. C = 2 x xC C 1 − xC L L L
IV. Pulsations propres : ω1 =
.
1 1 2K 6K , ω2 = . Modes : Φ1 = , Φ 2 = M M −1 1
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2.3 Etude de la réponse dynamique d'une tuyauterie sous pression lors d'une rupture Question A. On désire vérifier le comportement d'une tuyauterie sous pression d'un circuit primaire d'un réacteur nucléaire à la suite d'une rupture accidentelle. La rupture se produit à la sortie d'un coude à 90 degrés situé à une distance 2L d'un encastrement. après la rupture, le gaz éjecté exerce sur le tuyau une force parallèle à son axe (au niveau de la rupture) passant brusquement de 0 à F0 = 1.26 P0 S0 ( S0 : section de la brèche et P0 : pression du fluide contenu dans la tuyauterie avant rupture). En première approximation, la tuyauterie est modélisée par une poutre de raideur EI et 2 masses concentrées situées en x = L et x = 2 L de valeurs M 1 = 0.50 M tot et M 2 = 0.25M tot où M tot est la masse totale du tronçon de tuyauterie ( M tot = ρ SL = 460kg ) . Les applications numériques se feront avec les caractéristiques suivantes : • 2L = 6m • E = 210000MPa • R = 12.5cm • e = R /10 = 1.25cm • I = ρ R 3e = 7670cm 4 • S = 2π Re = 98.2cm 2 • S0 = π R 2 = 491cm 2 • ρ = 7.8t/m 3 • P0 = 166bars = 1628kPa
Figure 19: Modélisation simplifiée d'une rupture de tuyauterie sous pression. I. Calculer les matrices de flexibilité et de rigidité. II. Donner les équations du mouvement.
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III. Calculer les fréquences et modes propres de ce système. IV. Déterminer l'évolution dans le temps des déplacements des points A et B pour ce chargement (cf. Figure 19). Question B. Dans la suite, on ne tiendra compte que d'un seul mode. V. Préciser pour quelle valeur de déplacement la vitesse est maximale. VI. Déterminer les forces statiques équivalentes qui permettent de dimensionner statiquement la tuyauterie. VII. Déterminer les efforts tranchants et moments fléchissants dans les différentes sections en fonction du temps. Eléments de réponse I. K =
6 EI 7 L3
16 −5 −5 2
1 III. Pulsations propres : ω1 = 40.2 rad/s, ω2 = 207 rad/s. Modes propres : Φ1 = , 3.05 1 Φ2 = −0.655 V. max u yB = 17.9m/s
FstA 1.07 VI. B = F0 0.816 Fst VII. Venc = 1.886 F0 , M enc = 2.7 F0 L
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2.4 Etude d'une poutre cantilever supportant trois masses* Une poutre cantilever supporte trois masses égales comme il est indiqué sur la Figure 20. Les modes propres de vibration ainsi que les fréquences propres ont été déterminés expérimentalement et sont donnés ci-dessous :
0.054 0.283 0.957 3.61 Φ = 0.406 0.870 −0.281 , ω = 24.2 rad/s 77.7 0.913 −0.402 0.068 Une charge harmonique est appliquée au noeud 2 P = 3k sin(ω t ) dans laquelle ω = 0.75ω1 .
Figure 20: Poutre cantilever. I. Ecrire l'expression de la réponse stationnaire de la masse m1 , en supposant la structure non amortie. II. Evaluer les déplacements de toutes les masses à l'instant de réponse maximale et tracer la déformée à cet instant. III. Reprendre les questions ci-dessus avec un amortissement de 10% pour tous les modes.
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2.5 Etude d'un portique de 2 étages soumis à un chargement sismique On désire dimensionner un bâtiment de bureaux ou d'habitations R+1 situé en zone sismique (cf. Figure 21). Le bâtiment est formé d'un portique en béton armé ayant les dimensions suivantes : • Hauteur d'un étage: H = H1 = H 2 = 3m • Portée des poutres: L = 6m • Section des poteaux : 25 × 25(cm × cm) La masse est supposée concentrée à chaque plancher, la masse surfacique valant 1t/m 2 soit une masse par étage valant 36t. On prendra un module d'Young du béton de 30000MPa. On rappelle que la force nécessaire pour appliquer un déplacement différentiel à une poutre biencastrée de hauteur H , d'inertie I et de module E vaut : Fx =
12 EI ux H3
33
Figure 21: Portique en béton armé.
34
Figure 22: Spectre de réponse élastique PS92. I. En supposant que la poutre est infiniment rigide par rapport aux poteaux, calculez les 2 premières fréquences correspondant aux modes propres horizontaux de la structure. Donnez les déformées modales correspondantes. Calculez le coefficient de participation et la masse modale de chacun des modes. II. Si on ne considère que le premier mode et le spectre S0 des règles PS92 (cf. Figure 14b), quel est l'effort tranchant global de dimensionnement et le déplacement correspondant (on prend an = 2.5m/s 2 ). • Quelle est la contrainte de cisaillement de dimensionnement dans les poteaux ? • Donnez une valeur approchée du moment de dimensionnement des poteaux. III. Considérez les 2 modes. Quelles sont donc, dans ce cas, les erreurs commises sur les déplacements et l'effort tranchant à la base en négligeant le second mode ? On précisera la méthode utilisée pour la recombinaison des modes. La pseudo-accélération des spectres élastiques des règles PS92 vaut : PSA = an Re(T ) avec : 35
• Branche AB: Re(T ) = RA + ( RM − RA)
T TB
• Branche BC: Re(T ) = RM TC T TCTD • Branche DE: Re(T ) = RM 2 T • Branche CD: Re(T ) = RM
Type de sol S0 S1 S2 S3
TB [s] 0.15 0.20 0.30 0.45
TC [s] 0.30 0.40 0.60 0.90
TD [s] 2.67 3.20 3.87 4.44
RA 1.0 1.0 0.9 0.8
Eléments de réponse −0.62 1 I. ω1 = 9.61r/s, ω2 = 25.1r/s, Φ1 = , Φ2 = 1 0.62 Coefficients de participation : a1 = 1.17, a2 = 2.75.
u 2 = 3.66cm II. U = , Vdim = 99kN, M dim = 148kNm, τ max = 2.38MPa u1 = 2.25cm III. max u2 = 3.67cm.
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RM 2.5 2.5 2.25 2.0
2.6 Prise en compte de l'interaction sol-structure L'objectif de cet exercice est de mettre en évidence les effets de l'interaction solstructure sur le comportement dynamique et le dimensionnement des structures. L'exercice est inspiré par les deux centrales nucléaires situées à San Onofre en Californie qui sont présentés sur la Figure 23(a). Il est connu que le période propre des centrales en considérant des conditions de base encastrée est environ 0.15s alors que le période propre en prenant en compte de la fléxibilité du sol de fondation vaut environ 0.5s. On étudie la réponse des centrales dans la direction horizontale avec le modèle simplifié présenté sur la Figure 23(b). La superstructure est modélisée comme un oscillateur à un degré de liberté de masse mS et de rigidité kS .
Figure 23: (a) Centrales nucléaires de San Onofre, Californie et (b) modèle simplifié pour analyse dynamique Les centrales sont fondées au moyen d'un radier circulaire très rigide de rayon r et de masse mF sur la surface d'un sol considéré comme milieu élastique homogène et isotrope avec module de cisaillement G , coefficient de Poisson ν , masse volumique ρ et épaisseur H = 2r . Suivant la couche de sol, on rencontre le substratum rocheux, celui-ci considéré comme une assise parfaitement rigide. La présence du sol est prise en compte dans le modèle avec un ressort équivalent de rigidité K F qui dépend linéairement de la fréquence comme présenté sur la Figure ??. La dépendence sur la fréquence est introduite au moyen du paramètre adimensionnel α défini par la relation suivante : ωr α= Vs 37
Dans l'expression précédente, ω est la pulsation de l'excitation et Vs la vitesse des ondes de cisaillement dans la couche de sol. La rigidité du ressort équivalent pour une fréquence d'excitation tendant vers zero (cas statique) est donnée par la relation suivante : r 8Gr K F ,st = 1 + 0.5 H 2 −ν On considère que la structure est soumise à une excitation sismique caractérisée par le specte de réponse présenté sur la Figure 25, défini à 5% d'amortissement avec les valeurs suivantes : TB [s] 0.25
TC [s] 0.45
TD [s] 3.0
RA 1.0
La pseudo-accélération vaut : PSA = an Re(T ) avec : T • Branche AB: Re(T ) = RA + ( RM − RA) TB • Branche BC: Re(T ) = RM T • Branche CD: Re(T ) = RM C T TT • Branche DE: Re(T ) = RM C 2D T
38
RM 2.5
PGA 2.5
Figure 24: Variation de K F par rapport à la fréquence.
Figure 25: Spectre de réponse de dimensionnement. I. Calculer l'effort tranchant maximal développé à la base de la structure en considérant des conditions de base encastrée. II. Calculer l'effort tranchant maximal à la base de la structure en tenant en compte de la souplesse du sol de fondation et en ne considérant que le mode fondamental du système solsuperstructure. Afin de prendre en compte de l'incertitude sur les propriétés mécaniques du sol de fondation, on considérera un paramétrage pour la valeur du module de cisaillement G avec 2 3 valeur moyenne Gmoy = G , valeur minimale Gmin = G et valeur maximale Gmax = G . Les 3 2 amortissements modaux sont égaux à 5%. La rigidité du ressort équivalent K F doit être calibré de manière à correspondre au mode propre du système sol-fondation-superstructure. III. Refaire la question précédente en considérant la contribution des deux modes. Paramètres numériques. 39
Les calculs seront effectués avec les valeurs numériques suivantes: • mS = 100kt • kS = 175000MN/m • r = 12.0m • mF = 0.2 mS • G = 500MPa • ν = 0.3 • ρ = 0.002 kt/m 3
40
2.7 Dalle sur sol élastique couplée avec oscillateur de faible masse * Question A. La dalle de la figure 26, considérée comme étant infiniment rigide est sollicitée par un moment harmonique M e (par exemple à cause d'une machine tournante présentant un balourd). On suppose que les mouvements horizontaux de la dalle sont bloqués et on étudie les petits mouvements dans le plan vertical x O y autour de la position d'équilibre statique. La dalle est appuyée sur un support souple qui peut être modélisé par une densité de raideur verticale (l'effort linéique dans le sol est : f = ks v ou ks est la densité de raideur et v est le déplacement vertical).
Figure 26: Dalle sur sol élastique. I. Choisir comme degrés de liberté la rotation et le déplacement vertical du centre de la dalle. Montrer que les deux pulsations propres de la dalle sont égales. Calculer leur valeur, et l'amplitude de la réponse stationnaire quand la fréquence de l'excitation est respectivement ωe ω0 , ωe = ω0 et ωe ω0 . On considérera que le taux d'amortissement critique est ξ 1 . On notera m la masse linéique de la dalle et L sa longueur. Question B. On ajoute au système un pendule inversé rigide (figure 27). Il est attaché au milieu de la dalle par l'intermédiaire d'un ressort de rotation de raideur kθ . La masse de la tige est négligée. On note M et H la masse à l'extrémité et la hauteur respectivement.
Figure 27: Dalle sur sol élastique avec oscillateur de faible masse.
41
II. Ecrire les équations de mouvement linéarisées de ce système couplé. Donner l'expression des matrices de raideur et de masse. On considère que MgH kθ ( g étant l'accélération de pesanteur). Montrer que dans ce cas on peut négliger le poids propre du pendule. Question C. En plus de la relation ci-dessus, la masse et la hauteur ont été choisies de 12 MH 2 sorte que = ε 1 et la raideur kθ est telle que la fréquence du pendule seul est égale à mL3 la raideur de la dalle, ω0 . couplé.
III. Calculer les modes propres (pulsations propres et déformées modales) du système
IV. Calculer l'amplitude de la réponse établie de la dalle et du pendule quand la fréquence de l'excitation est ωe ω0 , ωe = ω0 , ωe = ω1 et ωe = ω2 où ω1 , ω2 sont les pulsations propres du système. On fera l'hypothèse que le taux d'amortissement critique modal ξ , est le même pour les deux modes propres et que ξ 2 ε . Tracer qualitativement la courbe de l'amplitude de la réponse établie en fonction de la pulsation de l'excitation. Comparer par rapport à la réponse de la dalle seule en supposant que le taux d'amortissement critique est le même dans les deux cas.
42
2.8 Comportement sismique dune structure asymétrique * On considère la structure de la Figure 28, qui se compose d'une plaque carrée en béton armé de dimensions L × L et de masse totale M , supportée par quatre poteaux en béton armé de hauteur h . La section des poteaux est carrée : les sections des poteaux 1 et 2 sont de dimensions a × a et celles des poteaux 3 et 4 de dimensions b × b . On considère que la rigidité de la plaque est très élevée par rapport à celle des poteaux. On peut donc supposer que la plaque se comporte comme corps rigide. De plus, on néglige les déformations axiale et de cisaillement dans les poteaux. On considère finalement que la masse de la plaque est uniformément repartie dans son volume. La masse des poteaux est négligée.
Figure 28: Structure étudiée. I. Calculer la rigidité K de chaque poteau (rapport de force horizontale sur déplacement horizontale en tête de chaque poteau). II. En choisissant comme degrés de liberté les déplacements du centre de la plaque u x , u z et sa rotation autour de l'axe vertical ϕ , écrire les équations linéarisées du mouvement. Donner l'expression des matrices de rigidité K et de masse M . III. Calculer les fréquences propres et les déformées modales. Tracer les déformées modales. IV. On suppose que tous les modes ont le même taux d'amortissement critique ξ = 5% et que la donnée de l'aléa sismique est le spectre de la Figure 29. Calculer les maxima des moments M x , M y dans le poteau 2 dus à un séisme suivant y pour chacun des modes. V. En appliquant les règles de recombinaison des réponses modales SRSS calculer les
43
maxima des M x et M y .
44
On effectuera les calculs avec les données suivantes : Spectre d'aléa sismique : La pseudo-accélération spectrale à 5% d'amortissement vaut PSA = an Re(T ) avec : T • Branche AB: Re(T ) = RA + ( RM − RA) TB • Branche BC: Re(T ) = RM T • Branche CD: Re(T ) = RM C T TT • Branche DE: Re(T ) = RM C 2D T Paramètres numériques : • Dimension de la plaque L = 5m. • Hauteur des poteaux h = 3m. • Dimension de la section des poteaux 1 et 2 a = 0.3m. • Dimension de la section des poteaux 3 et 4 b = 0.5m. • Masse totale de la plaque M = 25t. • Module d' Young du béton E = 30000MPa. Paramètres pour la définition du spectre : • Accélération maximale du sol an = 1.5m/s 2 . • Paramètre RA = 1.0. • Paramètre RM = 2.5. • Paramètre TB = 0.06s. • Paramètre TC = 0.40s. • Paramètre TD = 2.50s.
45
Figure 29: Spectre d'aléa sismique
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Partie II Dynamique des Ouvrages
47
1 Vibrations des poutres - systèmes continus 1.1 Etude simplifiée des vibrations d'une masse attachée à un câble tendu On désire étudier les vibrations longitudinales (traction-compression) d'une masse attachée à un câble (cf. Figure 30). On note les quantités suivantes : • Longueur du câble : 2 L • Section du câble : S • Caractéristiques du câble : E , ν , ρ . • Masse du télécabine : M
Figure 30: Masse attachée à un câble horizontal tendu.
48
Figure 31: Masse attachée à un câble vertical. I. Rappeler l'équation de la dynamique de ce système. II. Ecrire les conditions aux limites. Quelles seraient les conditions aux limites pour la Figure 31 ? III. Donner l'expression permettant de calculer la fréquence fondamentale. IV. Donner les fréquences et les déformées des premiers modes lorsque M ρ LS et M ρ LS . V. Dans ce dernier cas, vérifier l'orthogonalité des 2 premiers modes propres.
49
Eléments de réponse ω L 2 ρ SL . tan = c cp M p 0< x
III.
Si
ωL
0< x
ωL
V. u x ( x, t ) = u0 sin(nπ x / 2 L), 0 < x < 2 L .
50
1.2 Etude d'une poutre à masse répartie soumise à un chargement dynamique On se propose de calculer l'ordre de grandeur des efforts engendrés par un impact d'avion sur une tour de grande hauteur. Les caractéristiques de la tour étudiée sont les suivantes : • Hauteur totale : H = 400m • Section de la base : S = 60 × 60 (m × m) • Masse totale : M = 300000t La structure de la tour est tubulaire et l'épaisseur du tube vaut 10cm. On prendra un module d'Young de l'acier égal à E = 200000MPa. La tour sera considérée comme une poutre de section constante ayant une masse uniformément répartie sur la hauteur de la poutre.
Figure 32: Evolution temporelle de la force d'impact : chargement simplifié.
51
Figure 33: Chargements réels pour plusieurs types d'avion. I. Rappeler l'équation de la dynamique pour ce système. II. Donner les équations permettant de calculer les fréquences propres et montrer que l'existence d'une solution non nulle conduit à une équation du type : cos k cosh k + 1 = 0 où on précisera la signification du facteur k . EI est une pulsation propre. ρ SH 4 IV. A l'aide de la méthode de Rayleigh, donner une valeur approchée de la première fréquence propre.
III. Montrez que ω1 = (1.875) 2
V. On suppose qu'un avion d'une masse de M avion = 300t volant à une vitesse vavion = 100m/s impacte la tour à mi-hauteur. L'impact est modélisé par le chargement représenté sur la Figure 32 avec :
52
1 Fimp ∆T = M avion vavion 3 En considérant la déformée approchée du premier mode, Déterminer la masse et la raideur généralisées puis calculer les données suivantes: • Le vecteur force généralisée • Le déplacement en tête • L'effort tranchant global en pied • Le moment de flexion global en pied Comparer la contrainte axiale maximale induite par la flexion à la contrainte sous poids propre.
Eléments de réponse IV. Considérer la déformée de la poutre sous chargement uniforme. Il s'ensuit : EI ω 2 = (1.878) 4 ρ SH 4 V. Le chargement généralisé : f = 0.771Fimp , umax = 0.095, M dim = umax EIψ ′′(0) ⇒ M dim = 6.79GNm, Vdim = −umax EIψ ′′′(0) ⇒ Vdim = 33.9MN.
53
1.3 variable
Etude d'une poutre à masse répartie avec une section
On considère une cheminée en béton armé de hauteur 180m, de section circulaire creuse avec le rayon extérieur de 15m à la base et de 7.5m en tête. La structure de la cheminée est tubulaire et l'épaisseur e du tube (qui est constante sur toute la hauteur) vaut 0.75m (cf. Figure 34). On prendra un module d'Young du béton armé égal à 25000MPa. Le poids volumique de béton armé est égal à 24kN/m 3 . On suppose que l'accélération de la pesanteur vaut g = 10m/s 2 . La cheminée est considérée encastrée à la base et l'amortissement sera pris égal à 5%. Le rayon moyen et le moment d'inertie peuvent être donnés par les relations suivantes : 3.75 Rmoy = 7.125 − x 180 3 I ( x) = π eRmoy ( x)
La déformée est approchée par la fonction suivante : 3x 2 x3 ϕ ( x) = 2 − 3 2L 2L où L est la hauteur de la cheminée et x est mesuré à partir de la base. La cheminée sera considérée comme une poutre de section variable ayant une masse répartie sur la hauteur de la poutre en fonction de x .
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Figure 34: Schéma de la cheminée.
55
Figure 35: Spectre de réponse. En considérant la déformée approchée donnée ci-dessus : I. Déterminer la masse et la raideur généralisées ainsi que la charge généralisée induite par un tremblement de terre. écrire l'équation d'équilibre en faisant intervenir la pulsation propre du système ω et le pourcentage d'amortissement critique ξ . II. Calculer la première fréquence propre. III. Sous un chargement défini à partir du spectre de réponse donné sur la Figure 35 avec une accélération maximale de 0.25 g , calculer : • Le déplacement en tête. • L'effort tranchant et le moment de flexion en pied et à mi-hauteur de la cheminée.
56
Eléments de réponse
= 4087000kg, Raideur généralisée : k = 7464600N/m Charge I. Masse généralisée : m généralisée : p = -6966100 ug (t ) . II. f = 0.215Hz. III. umax = 0.799m. IV. Calculés par les dérivées de la déformée : M (0) = 1.58GNm, M (90) = 0.32GNm, V (0) = 22.5MN, V (90) = 7.2MN. Calculés en fonction des forces d'inertie en considérant l'équilibre dynamique en vibration libre, avec amortissement nul : M (0) = 1.27GNm, M (90) = 1.147GNm, V (0) = 10.1MN, V (90) = 8.18MN.
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1.4 Modes propres de poutres uniformes I. Calculer les trois premières fréquences propres de vibration et les modes propres associés d'une poutre uniforme encastrée à ses deux extrémités. On appellera EI , m la rigidité en flexion et la masse au mètre linéaire de la poutre de longueur L . On négligera les termes d'inertie en rotation. II. Reprendre le problème précédent en libérant une des extrémités de la poutre et en y attachant une masse ponctuelle M . Eléments de réponse I. ωi = ki
EI , k1 = 22.37, k2 = 61.7, k3 = 120.6. mL4
II. Pour la condition aux limites à l'extrémité libre de la poutre, considérer l'équilibre de forces en y ajoutant la force d'inertie due à la masse ajoutée.
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1.5 Chute de poutre en rotation La poutre représentée sur la Figure 36 se pivote librement autour de son support A et chute sur son support B d'une hauteur h (sans rebond). Calculer la vibration de la poutre.
Figure 36: Chute d'une poutre supportée à son extrémité. Eléments de réponse 2 3 gh 1 πx 1 2π x u ( x, t ) = sin ω1t − sin sin ω2t + ... sin π ω1 L 2ω2 L
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1.6 Modes propres de la Terre L'objectif de cet exercice est de réaliser une analyse simplifiée des modes propres de la Terre. Pour ce faire, l'ensemble du globe est assimilé à une sphère élastique homogène isotrope caractérisée par : • le rayon R = 6400 km • la célérité des ondes P : cL = 11km/s • la célérité des ondes S : cT = 4km/s On considère de plus que les mouvements sont purement radiaux et ne dépendent que de r , soit : u = u ( r )e r On explicitera successivement : I. La forme générale des modes. II. Les conditions aux limites. III. L'équation caractérisant les pulsations propres (on calculera quelques solutions et on Déterminera notamment la période propre du premier mode). IV. Quels sont les autres modes possibles dans le cas réel ? Eléments de réponse I. ur (r ) =
ω d f (r ) B = 2 (kr cos kr − sin kr ) , k = cL dr r r
II. σ rr ( R) = 0 III. tan kR =
ω kR ,k= . λ + 2µ 2 2 cL 1− k R 4µ
60
1.7 Mode de vibration fondamental dune pile de pont Pour la conception parasismique d'un pont à plusieurs travées on désire estimer le premier mode de vibration de la pile typique du pont. Il s'agit d'une pile en béton armé de section circulaire, modélisée avec le modèle simplifié qui est représenté sur la Figure 37. Le modèle présente une masse concentrée m0 à la tête de la pile et une masse repartie m le long de la pile. La pile est considérée encastrée à la base. L'inertie en rotation du tablier est considérée nulle. On adoptera une poutre de type Euler - Navier pour la modélisation de la pile (déformations de cisaillement négligées).
Figure 37: Pile de pont étudié. Le système met en évidence les caractéristiques suivantes : • Hauteur h = 13m. • Diamètre de la pile D = 2m. • Masse concentrée m0 = 1200t. • Masse volumique du béton ρ = 2.5t/m3. • Module élastique du béton E = 30000MPa. • Amortissement du béton armé ξ = 5%. I. Calculer la fréquence du premier mode de vibration de la pile.
61
Eléments de réponse I. f = 0.856Hz.
62
1.8 Tassement d’une pile de pont* On considère la poutre de la Figure 38. La poutre modélise un pont en béton avec deux travées de longueur L .
Figure 38: Tassement de pile de pont à deux travées. La rigidité en flexion et la masse linéique du pont sont uniformes le long de la poutre. L'appui B du pont subit à l'instant t0 un déplacement donné par l'expression : u ( L, t ) = u0 sin ω (t − t0 ) I. Calculer la réponse verticale du pont : u ( x, t ) pour x ∈ [0, 2 L] et t ∈ [t0 , t0 + négligera la déformation axiale et la déformation de cisaillement.
π ] . On 2ω
DONNEES • Masse linéique de la poutre m . • Module d'Young du béton E . • Moment d'inertie de la section I . • Pulsation du déplacement induit en B, ω . • Amplitude du déplacement induit u0 . Eléments de réponse I. Ecrire la réponse de la poutre comme la somme d'un terme correspondant au déplacement statique de la poutre et un terme correspondant à l'effet dynamique.
63
1.9 Calcul de cheminée avec interaction sol-structure La cheminée de la Figure est modélisée avec un modèle de poutre de caractéristiques de masse et de rigidité uniformément réparties sur la hauteur de la cheminée.
Figure 39: Cheminée en interaction sol-structure Afin de prendre en compte l'interaction sol-structure, on introduit à la base de la cheminée une masse ponctuelle représentant la masse de la fondation et deux ressorts reproduisant l'impédance de translation de la fondation suivant l'axe x et l'impédance de rotation autour de l'axe y . On étudiera le mouvement horizontal de la cheminée suivant l'axe x . On négligera les 64
déformations axiales et de cisaillement de la poutre. On négligera aussi l'inertie en rotation de la fondation. I. Fournir l'expression permettant le calcul de la valeur exacte de la fréquence propre de la cheminée. DONNEES. • Hauteur de la cheminée H . • Masse linéique de la cheminée m . • Module d'Young du matériau de la cheminée E . • Moment d'inertie de la section de la cheminée I . • Masse de la fondation M F . • Raideur du ressort de translation K x . • Raideur du ressort de rotation K yy .
2 Propagation d'ondes 2.1 Etude de la propagation des ondes suite à l'impact de 2 barres
On laisse tomber depuis une hauteur H chute une barre B1 de hauteur H1 , module E1 , section S1 et masse volumique ρ1 sur une seconde barre B2 de hauteur H 2 , module E2 , section S 2 et masse volumique ρ 2 qui est sur un support fixe. On étudiera le cas particulier : E1 = E2 S1 = S 2 ρ1 = ρ 2 H 2 = 10 H1
65
Figure 40: Impact de 2 barres. I. Rappeler l'équation de propagation des ondes de compression et les conditions aux limites dans chacune des 2 barres. II. Ecrire les conditions initiales au moment de l'impact des 2 barres. III. Analyser la propagation d'ondes dans les 2 barres avant qu'elles n'atteignent l'extrémité de chacune des barres. IV. Décrire la réflexion aux extrémités des barres et caractériser le champ d'ondes qui en
66
résulte. Eléments de réponse III. Il s'agit de deux ondes de compression écrites : N = − ES
v01 2c p
2.2 Propagation d'ondes sphériques Un milieu infini elastique homogene isotrope (masse volumique ρ et coefficients de Lame λ , µ ) est soumis a une sollicitation harmonique ponctuelle. On se placera donc en coordonnees spheriques. I. Ecrire l'equation indefinie du mouvement. II. En ne conservant que les termes radiaux des tenseurs de contrainte et de deformation σ rr , ε rr et du champ de deplacement ur , donner la forme simplifiee de l'equation indefinie du mouvement et en deduire la solution du probleme en deplacement. III. En ne conservant que le terme radial du champ de deplacement ur mais en considerant tous les termes des tenseurs de contrainte et de deformation (sans toutefois de dependance en θ , ϕ ), donner la forme plus complete de l'equation indefinie du mouvement. Montrer alors que la solution en deplacement s'ecrit comme la somme d'un terme de ((champ proche)) et d'un terme de ((champ lointain)). On se donne la divergence d'un tenseur de deuxieme ordre en coordonnees spheriques :
∇ (σ ) ⋅ e r =
∂σ rϕ ∂σ rr ∂σ rθ 1 + + + (2σ rr − σ θθ − σ ϕϕ + σ rθ cot θ ) r ∂θ r sin θ∂ϕ r ∂r
∇ (σ ) ⋅ eθ =
∂σ θϕ ∂σ θ r ∂σ θθ 1 + + + [(σ θθ − σ ϕϕ ) cot θ + 3σ rθ ] r ∂θ r sin θ∂ϕ r ∂r
∇ (σ ) ⋅ eϕ =
∂σ ϕ r ∂r
+
∂σ ϕθ r ∂θ
+
∂σ ϕϕ
1 + (3σ ϕ r + 2σ ϕθ cot θ ) r sin θ∂ϕ r
Eléments de réponse II. u (r , t ) =
u0 i( kr −ωt ) ρ , k =ω e r λ + 2µ
III. u (r , t ) =
u0 1 i( kr −ωt ) ki − e r r
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2.3 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes SH) Un milieu infini élastique homogène isotrope (masse volumique ρ , module de cisaillement µ ) contient une couche rectiligne élastique infinie plus rigide (masse volumique ρ ′ , module de cisaillement µ ′ ). A l'aide de cette couche plus rigide, on cherche à limiter la propagation d'une onde plane harmonique (SH) écrite : u1 = u2 = 0 i( kx −ωt ) u3 = u0 e 1
Les coefficients Ri et Ti représentent les rapports d'amplitude en déplacement en réflexion et en transmission. Dans les questions qui suivent, on adoptera les notations suivantes :
α=
µ ′k ′ µk
e + = eik ′h
e − = e − ik ′h T ′ = T2 eik ′h
68
Figure 41: Propagation d'ondes SH dans un milieu stratifié. I. Déterminer le coefficient de transmission T0 de l'onde à travers la couche rigide en fonction des grandeurs α , e + , e − .
II. Déterminer l'épaisseur de la couche conduisant au coefficient de transmission T2 minimal et donner l'expression analytique de ce dernier. III. Quel est le résultat lorsque la couche rectiligne est moins rigide que le milieu infini et 1 que le facteur α vaut α1 = ?
α
Eléments de réponse I. T ′ =
4α (1 + α ) e − (1 − α ) 2 e +
II. T ′ =
2α 1+ α 2
2
−
69
70
2.4 Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes P/SV) Un milieu infini élastique homogène isotrope (masse volumique ρ , coefficients de Lamé λ et µ ) contient une couche rectiligne élastique infinie plus rigide (masse volumique ρ ′ , coefficients de Lamé λ ′ et µ ′ ). A l'aide de cette couche plus rigide, on cherche à limiter la propagation d'une onde plane harmonique de compression P . Les coefficients Ri , Ti , Ri′ et Ti′ représentent les rapports d'amplitude en déplacement en réflexion et en transmission en onde P et en onde SV (respectivement). I. Déterminer le vecteur contrainte normale aux interfaces. II. Ecrire les équations de continuité en déplacement et en contrainte normale. Quelles autres relations faut-il écrire pour résoudre le problème ? III. Que deviennent ces équations lorsque l'onde P a une incidence normale ?
Figure 42: Propagation d'ondes P et SV dans un milieu stratifié.
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u1 = u0 cos θ ei( k1x + k2 y −ωt ) i( k x + k y −ωt ) - Onde incidente P : u2 = u0 sin θ e 1 2 u3 = 0
u1 = T2′u0 cos θT ′ ei( K1x + K2 y −ωt ) 2 i( K x + K y −ωt ) - Onde résultante SV : u2 = T2′u0 sin θT ′ e 1 2 2 u3 = 0
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2.5 fluide*
Propagation d'ondes au travers d'une interface solide -
Un milieu elastique assimilable a un semi espace de caracteristiques ρ , CS , CP (masse volumique, celerites des ondes de cisaillement et de compression) est surmonté par un fluide parfait de caracteristiques ρ w , CF ,. Ce semi espace est le siège d'une onde de compression harmonique se propageant avec un angle θ 0 par rapport a la verticale.
Figure 43: Propagation d'ondes à travers d'une interface solide - fluide. I. Determiner dans chaque milieu les differents types d'fondes, directions de propagations et amplitudes lorsque l'onde incidente heurte l'interface entre les deux milieux.
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2.6 Ondes réfractées dans une membrane * Un semi espace élastique est recouvert d'une membrane tendue comme indiqué sur la figure ci-dessous. L'équation de vibration de la membrane soumise à une charge q ( x1 , x3 , t ) par unité de surface est : ∂ 2 u2 ∂ 2 u2 q ρ ∂ 2 u2 + 2 + = ∂x12 ∂x3 T T ∂t 2 Une onde longitudinale harmonique plane, d'amplitude A et de pulsation ω , heurte la surface du semi espace ; en admettant un contact parfait entre la membrane et le milieu et en supposant la membrane infiniment rigide dans son plan, Déterminer les amplitudes des ondes réfractées.
Figure 44: Onde longitudinale heurtant à une membrane élastique.
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3 Interaction Sol-Structure 3.1 Fondation de machines tournantes On désire estimer le mouvement vibratoire d'un radier supportant une machine tournante comportant un léger balourd (turboalternateur). La machine étant fixée directement à un radier rigide, ceci nécessite de Déterminer l'impédance du sol situé sous le radier. Pour cela, un modèle simplifié dit de cône est adopté : le sol est représenté par un cône d'angle α et de caractéristiques mécaniques homogènes E , ν , ρ . De plus, on suppose que le sol possède un amortissement de type hystérétique, i.e. que les contraintes peuvent s'écrire dans le domaine fréquentiel :
τ = G (1 + 2iζ )γ Le radier est de géométrie circulaire de rayon R . On suppose que le cône se déforme en traction - compression lorsque le mouvement du radier est vertical et en cisaillement pur lorsque le mouvement est horizontal. La machine tournante applique au radier une force tournante s'exprimant sous la forme : f x = md Ω 2 cos Ωt 2 f y = md Ω sin Ωt
La machine tourne à une vitesse nominale de 50tour/s. Les grandeurs m et d représentent respectivement la masse et l'excentrement du balourd. On étudiera les phases de montée et de descente en négligeant les phases transitoires et en ne regardant que le régime forcé : 0 < Ω < 50 × 2π = 100π
Les masses de la machine et du radier valent respectivement M 1 = 100t et M 2 = 1000t. L'amortissement matériel du sol sera négligé dans les questions I et II. I. Donnez les équations différentielles régissant le mouvement horizontal et le mouvement vertical d'une tranche de sol situé à la profondeur z . Comparez les. Partie 2. Par la suite, seul le mouvement horizontal sera étudié. II. Donnez les conditions aux limites. Déduisez-en l'impédance du sol (raideur et amortissement) si l'amortissement hystérétique du sol ζ est négligé. Les résultats seront adimensionnés par rapport à la raideur statique horizontale d'une fondation circulaire de rayon 8GR ). Donnez la valeur de l'angle α qui vous semble la plus cohérente. R ( K st = 2 −ν
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III. Donnez l'impédance du sol lorsque l'amortissement hystérétique du sol n'est plus négligé. IV. Comparez le modèle de cône ( α > 0) et le modèle 1D ( α = 0). V. Donnez l'équation du mouvement du radier supportant la machine tournant fonctionnant à la vitesse Ω . Discutez l'amplitude et la phase du mouvement selon les valeurs de la vitesse de rotation de la machine. On négligera l'amortissement hystérétique du sol. VI. On isole maintenant la machine du radier à l'aide d'un support élastique de raideur K ′ et d'amortissement C ′ . Donnez l'équation régissant les mouvements du radier et de la machine.
Figure 45: Modélisation simplifiée du sol avec modèle de cône.
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Figure 46: Modélisation simplifiée du sol avec modèle 1D . Eléments de réponse
ωR (2 −ν )π II. K (ϖ ) = K st 1 + i . ϖ , où ϖ = c 8 (2 −ν )πζϖ III. K (ϖ ) = K st 1 − 8A
A(2 −ν )π 2ζ + + iϖ K st 8 ϖ
IV. Modèle 1D : K (ϖ ) = GRπϖ i 1 + 2ζ i .
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2 , où A = 0.5 1 + 4ζ .
V. u x (t ) = f x
M (2 −ν )πΩR 1 , A = K st 1 + i − Ω2 2 . 8c K st A
VI. Travailler avec un système à deux degrés de liberté.
78
3.2 Interaction cinématique d'un radier rectangulaire rigide On considère un radier rectangulaire parfaitement rigide de dimensions L × D . Le radier est sollicité par une onde incidente uniforme dans la direction x , qui se propage dans la direction y avec une vitesse Vα et induit un déplacement dans la direction x . Alors le mouvement du sol peut s'écrire comme intégrale de Fourier: 1 ugx ( y, t ) = 2π
∫
+∞
−∞
A(iω )e
iω ( t −
y ) dω Vα
Ce mouvement est transmise sur le radier et le met en vibration. Alors il peut s'écrire aussi comme : ∞
ugx ( y, t ) = ∑aix (t )γ i ( y ) 1
où les fonctions γ i ( y ) sont les modes propres du radier qui satisfont la condition d'orthogonalité :
∫
D
0
γ i ( y )γ k ( y ) dy = 0, i ≠ k
Figure 47: Radier rectangulaire de grandes dimensions.
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I. Ecrire la fonction γ 1 ( y ) qui correspond au premier mode rigide (translation) du radier et la fonction γ 2 ( y ) qui correspond au deuxième mode rigide du radier (rotation rigide autour de l'axe z ). II. En utilisant la condition d'orthogonalité calculer les coefficients a1x (t ) et a2 x (t ) . III. En ne retenant que le premier mode rigide du radier et en considérant une onde incidente monochromatique, calculer le rapport entre l'amplitude du mouvement libre du sol par rapport à l'amplitude du mouvement transmise au radier. Eléments de réponse III.
Aradier 1 ωD . = 2(1 − cos k ) , k = Asol k Vα
80
4 Interaction Fluide-Structure 4.1 Calcul de la masse ajoutée de 2 cylindres concentriques séparés par un fluide On desire calculer la matrice de masse ajoutee du systeme forme de 2 cylindres rigides de rayons respectifs R1 et R2 initialement concentriques. L'espace entre les 2 cylindres est rempli d'un fluide de masse volumique ρ .
fluide.
Partie 1 I. Rappeler les equations que doivent verifier les champs de pression et de vitesse du II. Rappeler les conditions aux interfaces entre le fluide et chacun des cylindres.
III. Montrer que le champs de pression peut s'écrire sous la forme: c d p (r , θ ) = ar cos θ + br sin θ + cos θ + sin θ r r IV. Déterminer les constantes a , b , c , d à partir des accélérations de chacun des cylindres. V. En déduire les forces exercées par le fluide sur chacun des cylindres et la matrice de masse ajoutée. Partie 2 Donner la matrice de masse ajoutée pour les cas particuliers suivants : I. Réservoir cylindrique rempli de fluide. II. Pile de pont de rayon R plonge dans un fluide. III. Palier d'une machine tournante (épaisseur du film d'huile mince devant le rayon du cylindre central et le rayon du cylindre extérieur).
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Figure 48: système de deux cylindres rempli de liquide. Eléments de réponse I-IV.
ρ R22
ρ R12 a= 2 U x ,2 − 2 U x ,1 R1 − R22 R1 − R22 b=
ρ R22
2 − ρ R1 U U y ,2 y ,1 R12 − R22 R12 − R22
ρ R12 R22 c= 2 U − Ux ,1 ) 2 ( x ,2 R1 − R2
d=
ρ R12 R22 (U y ,2 − Uy ,1 )
R12 − R22
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4.2 Calcul d'une barre partiellement immergée Utiliser les résultats précédents pour calculer les fréquences et modes propres d'une barre de hauteur H = 1m, de masse M = 1kg et de section S = 5cm 2 fixée à ces 2 extrémités à 2 ressorts horizontaux de raideur K = 10kN/m et immergée sur une hauteur de 50cm.
Figure 49: Barre partiellement immergée.
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