TRIGONOMETRI I.
KOMPETENSI YANG DICAPAI
Mahasiswa dapat : 1.
Membuktikan identitas trigonometri.
2.
Menghitung hubungan antara sudut dan sisi segitiga dengan Rumus Sinus.
3.
Menghitung hubungan antara sudut dan sisi segitiga dengan Rumus Cosinus.
4.
Menghitung luas segitiga dari dua sisi dan satu sudut yang diapit.
5.
Menghitung luas segitiga dari tiga sisinya.
6.
Menyelesaikan persamaan trigonometri
II.
MATERI
A. Pengertian Arti trigonometri adalah ilmu ukur segitiga atau pengukuran segitiga. Trigonometri mempelajari sudut dan fungsinya. Aplikasi matematika dalam bidang keteknikan banyak menggunakan hubungan antara sudut-sudut dan sisi-sisi segitiga. Hubungan tersebut disebut fungsi trigonometri.
Satuan Sudut : Derajat 90O
180O
0O
270O
Modul Trigonometri
Apabila satu lingkaran penuh dibagi menjadi 360 bagian yang sama, maka setiap bagian disebut satu derajat. Satu derajat dapat didefinisikan sebagai sudut yang besarnya 1/360 keliling lingkaran. o Simbol derajat adalah . Satu derajat dapat dibagi 60 bagian yang sama besar, yang disebut satu menit (‘), dan satu menit dibagi menjadi 60 bagian sama besar yang disebut satu detik (“).
Halaman-1
Satuan Sudut : Radian Satu radian adalah besarnya sudut dalam lingkaran yang panjang busur di depannya sama dengan jarijarinya. Simbol radian adalah rad. Apabila keliling lingkaran K dan jarijarinya r, maka K = 2 π r, sehingga besar sudut satu keliling lingkaran adalah 2 π radian. Jadi konversi derajat dan radian adalah : o 2 π rad = 360 o π rad = 180 Harga π = 3,14 ...
1 rad r
0O
B. Fungsi Trigonometri Y
r y α x
X
Untuk sudut-sudut lancip (sudut yang lebih kecil dari 90o) berlaku fungsi-fungsi trigonometri beikut : Fungsi
Singkatan
Perbandingan
Sinus α Cosinus α Tangen α Cotangen α Secan α Cosecan α
Sin α Cos α Tan α Cot α Sec α Cosec α
y/r x/r y/x x/y r/x r/y
Modul Trigonometri
Halaman-2
Identitas Trigonometri Antara fungsi-fungsi trigonometri tersebut berlaku identitas yang dapat diturunkan dari perbandingan antara x, y dan r tersebut, serta Dalil Pythagoras. Identitas trigonometri yang diturunkan dari perbandingan antara x, y dan r adalah sebagai berikut : cosec α = 1/sin α
atau
sin α. cosec = 1
sec α = 1/cos α
atau
cos α. sec α = 1
cot α = 1/tan α
atau
tan α. cot = 1
tan α = sin α / cos α
atau
cot α = cos α / sin α
Identitas trigonometri yang diturunkan dari Dalil Pythagoras adalah sebagai berikut : 2
2
sin α + cos α = 1 2
2
tan α + 1 = sec α 2
2
cot α + 1 = cosec α C. Rumus Sinus dan Rumus Cosinus Dalam segitiga lancip berlaku Rumus Sinus dan Rumus cosinus sebagai berikut : γ b
a
c a b = = sin sin sin (Rumus Sinus) 2
α
β c
Modul Trigonometri
2
2
a = b + c – 2 b c cos α 2 2 2 b = a + c – 2 a c cos β 2 2 2 c = a + b – 2 a b cos γ (Rumus Cosinus)
Halaman-3
D. Luas Segitiga Apabila diketahui dua sisi segitiga dan sudut yang diapit, maka luas segitiga dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut : Luas segitiga = ½ a b sin α, atau Luas segitiga = ½ a b sin β, atau Luas segitiga = ½ a b sin γ
Apabila yang diketahui hanya ketiga sisinya, maka luas segitiga dihitung dengan rumus : Luas segitiga = s(s a)(s b)(s c) dengan s = ½ (a+b+c)
E. Rumus Dua Sudut Untuk dua sudut dalam pada segitiga berlaku persamaan atau rumus dua sudut sebagai berikut : Jumlah Dua Sudut sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β) Selisih Dua Sudut sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β tan (α – β) = (tan α – tan β) / (1 + tan α tan β) Apabila α = β, maka α + β = 2 α, sehingga : sin 2α = 2 sin α cos α 2
2
2
2
cos 2α = cos α – sin α = 1 – 2 sin α = 2 cos α – 1 2
tan 2α = 2 tan α / (1 – tan α) Modul Trigonometri
Halaman-4
F. Invers Fungsi Trigonometri Invers fungsi trigonometri digunakan untuk mencari besar sudut apabila harga fungsi trigonometrinya diketahui. Invers fungsi-fungsi trigonometri adalah sebagai berikut : –1
y = arc sin x
atau
y = sin x
y = arc cos x
atau
y = cos x
y = arc tan x
atau
y = tan x
y = arc cosec x
atau
y = cosec x
y = arc sec x
atau
y = sec x
y = arc cot x
atau
y = cot x
–1
–1
–1
–1
–1
G. Contoh Soal dan Penyelesaiannya 1. Buktikan identitas trigonometri berikut 1 12 1 1 2 tan x cos x
Jawab :
1 1 cos 2 x 1 ( 2 1) ( 2 1) 2 2 tan x cos x sin x cos x cos 2 x 1 cos 2 x sin 2 x cos 2 x
cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x =1
2. Berapakah besar sudut dalam segitiga dengan panjang sisi-sisinya 11 m, 13 m dan 15 m ? Jawab : Misal : a = 15 m, b = 13 m dan c = 11 m Modul Trigonometri
Halaman-5
Rumus Cosinus : 2
2
2
a = b + c – 2 b c cos α cos α = =
b2 c2 - a 2 2bc 132 112 - 15 2 = 0,227… 2 13 11
α = 76o51’48” 2
2
2
b = a + c – 2 a c cos β cos β = =
a 2 c2 - b2 2ac 15 2 112 - 13 2 = 0,536… 2 15 11
β = 57o33’49” 2
2
2
c = a + b – 2 a b cos γ cos γ = =
a 2 b2 - c2 2ab 15 2 13 2 - 112 = 0,7 2 15 13
γ = 45o34’23” Cek : α + β + γ = 76o51’48” + 57o33’49” + 45o34’23” = 180 o00’00”
3. Sebuah segitiga dengan sisi-sisi a = 81 m, b = 50 m dan c = 60 m. Berapakah luasnya? Jawab : s = ½ (81+50+60) = 95,5 m Luas segitiga = 95,5(95,5 81)(95,5 50)(95,5 60) = 1495,57 m
2
4. Segitiga ABC siku-siku di C, sisi a = 3,6 m dan b = 4,7 m. Berapakah panjang sisi c ? Modul Trigonometri
Halaman-6
Jawab : 2
2
2
A
c = a +b
b
c = a 2 b2 = (3,6) 2 (4,7) 2
c
= 5,92 m C
a
B
5. Hitunglah harga x (0o ≤ x ≤ 360o) yang memenuhi persamaan 3 cos 2x + cos x + 1 = 0 Jawab : 2
cos 2x = 2 cos x – 1, maka : 2
3 (2 cos x – 1) + cos x + 1 = 0 2
6 cos x – 3 + cos x + 1 = 0 2
6 cos x + cos x – 2 = 0 –1
misal : cos x = p, maka : x = cos p 2
6p +p–2=0 p1,2
p1 =
1 12 4.6.(2) = 2.6
p1,2 =
1 1 48 12
p1,2 =
1 49 12
p1,2 =
1 7 12
1 7 6 = = 0,5 12 12 –1
x = cos 0,5 maka :
x1 = 60o
Modul Trigonometri
Halaman-7
x2 = 360o – 60o = 300o p2 =
1 7 8 = = –0,666... 12 12 –1
x = cos 0,666... maka :
x3 = 131o48’37” x4 = 360o–131o48’37” = 228o11’23”
H. Soal Latihan 1. Dalam segitiga ABC, besarnya sudut A = 47o21’ dan sudut B = 70o15’, serta panjang sisi c = 5,30 m. Hitunglah : a. Sisi-sisi segitiga dan sudut yang belum diketahui. b. Luas segitiga tersebut.
2. Segitiga ABC, sisi-sisi a = 11,32 m, b = 13,23 m dan c = 14,92 m. Berapakah : a. Luas segitiga tersebut ? b. Besar sudut A, B dan C ? 3. Buktikan identitas trigonometri berikut : a.
1 - tan 2 x = 2 cos2x – 1 2 1 tan x
b.
1 cot 2 x = sec x cot x cosec x
4. Tentukan harga x antara (0o ≤ x ≤ 360o) yang memenuhi persamaan berikut : a. 2 sin2x + sin x – 1 = 0 b. sin 2x = sin x c. cos 4x + cos x = 0 Modul Trigonometri
Halaman-8
