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Trigonometr´ıa: Ley de los Senos y Ley de los Cosenos Carlos A. Rivera-Morales
Prec´ alculo 2
Rivera-Morales, Carlos A.
Trigonometr´ ıa: Leyes de los Senos, Cosenos
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Tabla de Contenido
Objetivos Resoluci´on de Tri´ angulos oblicu´ angulos Ley de los Senos; Ley de los Cosenos
´ F´ormula Trigonom´etrica para Area F´ormula de Her´on Aplicaciones Ap´endice
Rivera-Morales, Carlos A.
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Objetivos: Discutiremos: Resoluci´on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos
Rivera-Morales, Carlos A.
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Objetivos: Discutiremos: Resoluci´on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ley de los Senos
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Objetivos: Discutiremos: Resoluci´on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ley de los Senos Ley de los Cosenos
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Objetivos: Discutiremos: Resoluci´on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ley de los Senos Ley de los Cosenos
´ F´ormula Trigonom´etrica para Calcular el Area de un Tri´angulo
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Objetivos: Discutiremos: Resoluci´on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ley de los Senos Ley de los Cosenos
´ F´ormula Trigonom´etrica para Calcular el Area de un Tri´angulo ´ F´ormula de Her´on para Calcular el Area de un Tri´angulo
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Objetivos: Discutiremos: Resoluci´on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ley de los Senos Ley de los Cosenos
´ F´ormula Trigonom´etrica para Calcular el Area de un Tri´angulo ´ F´ormula de Her´on para Calcular el Area de un Tri´angulo Aplicaciones
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Anteriormente resolvimos tri´ angulos rect´ angulos haciendo uso de razones trigonom´etricas. Ahora resolveremos tri´angulos ablicu´ angulos; esto es, tri´ angulos que no tienen ´angulo recto alguno. Como herramientas, utilizaremos dos leyes: la Ley de los Senos y Ley de los Cosenos. Para resolver un tri´angulo, necesitamos algunos datos para comenzar ese proceso. Un tri´angulo est´a determinado por tres de sus seis partes, siempre que, al menos, una de ellas sea un lado. Por lo tanto, se tienen cinco posibilidades.
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Casos Posibles Caso 1: AAA. En este caso se dan los tres ´ angulos del tri´angulo. Hay infinitas soluciones; todos los tri´ angulos son semejantes entre s´ı.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Casos Posibles Caso 1: AAA. En este caso se dan los tres ´ angulos del tri´angulo. Hay infinitas soluciones; todos los tri´ angulos son semejantes entre s´ı. Caso 2: AAL o ALA. Se dan dos a ´ngulos y un lado del tri´angulo. Este caso determina un tri´ angulo u ´nico.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Casos Posibles Caso 1: AAA. En este caso se dan los tres ´ angulos del tri´angulo. Hay infinitas soluciones; todos los tri´ angulos son semejantes entre s´ı. Caso 2: AAL o ALA. Se dan dos a ´ngulos y un lado del tri´angulo. Este caso determina un tri´ angulo u ´nico. Caso 3: LLA. Se dan dos lados del tri´ angulo y un ´angulo opuesto a uno de esos lados. Este caso da lugar a tres posibilidades: no hay soluci´ on alguna, hay una soluci´on u ´nica o hay dos posibles soluciones. A este caso se le conoce como el caso ambiguo. Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Casos Posibles Caso 4: LAL. Se dan dos lados del tri´ angulo y el ´angulo comprendido entre ellos. Este caso determina un tri´angulo u ´nico.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Casos Posibles Caso 4: LAL. Se dan dos lados del tri´ angulo y el ´angulo comprendido entre ellos. Este caso determina un tri´angulo u ´nico. Caso 5: LLL. Se dan los tres lados del tri´ angulo. Este caso determina un tri´angulo u ´nico.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Casos Posibles Caso 4: LAL. Se dan dos lados del tri´ angulo y el ´angulo comprendido entre ellos. Este caso determina un tri´angulo u ´nico. Caso 5: LLL. Se dan los tres lados del tri´ angulo. Este caso determina un tri´angulo u ´nico. Dependiendo de la informaci´ on que se tenga a mano se comenzar´a la resoluci´ on del tri´ angulo con la ley de los senos o la ley de los cosenos.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos
sen(A) a
=
Ley de los Senos = sen(C) c
sen(B) b
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos
sen(A) a
=
Ley de los Senos a = sen(C) o sen(A) = c
sen(B) b
Rivera-Morales, Carlos A.
b sen(B)
=
c sen(C)
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Objetivos Resoluci´ on de Tri´ angulos oblicu´ angulos ´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Area F´ ormula de Her´ on Aplicaciones Ap´ endice
Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos
sen(A) a
=
Ley de los Senos a = sen(C) o sen(A) = c
sen(B) b
b sen(B)
=
c sen(C)
Ley de los Cosenos a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos
sen(A) a
=
Ley de los Senos a = sen(C) o sen(A) = c
sen(B) b
b sen(B)
=
c sen(C)
Ley de los Cosenos a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A) b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos
sen(A) a
=
Ley de los Senos a = sen(C) o sen(A) = c
sen(B) b
b sen(B)
=
c sen(C)
Ley de los Cosenos a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A) b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B) c2 = a2 + b2 − 2ac cos(C) Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ejercicio: Resuelva el siguiente tri´ angulo.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ejercicio: Resuelva el siguiente tri´ angulo: ∠A = 26◦ , a = 1.0 m, b = 1.8 m
Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ejercicio: Resuelva el siguiente tri´ angulo: ∠A = 26◦ , a = 1.0 m, b = 1.8 m Si tratamos de dibujar el tri´ angulo, encontramos dos posibles tri´angulo: el I y el II.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ejercicio: Resuelva el siguiente tri´ angulo:
Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ejercicio: Resuelva el siguiente tri´ angulo:
Rivera-Morales, Carlos A.
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´ F´ ormula Trigonom´ etrica para Calcular el Area de un Tri´ angulo F´ormula trigonom´etrica para calcular el ´ area de un tri´angulo Para cualquier tri´angulo ABC, el ´ area del tri´ angulo est´a dada por cualquiera de las siguientes f´ ormulas: ´ ´ ´ Area = 12 bc sen(A); Area = 21 ac sen(B); Area = 21 ab sen(C)
Rivera-Morales, Carlos A.
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F´ ormula de Her´ on
El matem´atico griego Her´ on de Alejandr´ıa desarroll´o la siguiente f´ ormula para calcular el ´ area de un tri´ angulo siempre que se conozcan las longitudes de los tres lados a, b y c del tr´ıangulo.
Rivera-Morales, Carlos A.
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F´ ormula de Her´ on
El matem´atico griego Her´ on de Alejandr´ıa desarroll´o la siguiente f´ ormula para calcular el ´ area de un tri´ angulo siempre que se conozcan las longitudes de los tres lados a, b y c del tr´ıangulo. F´ormula de Her´on para calcular el ´ area de un tri´angulo p ´ Area = s(s − a)(s − b)(s − c) ımetro del tri´ angulo) s= a+b+c 2 (semiper´ Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ejercicio: Calcule el ´ area del tri´ angulo ABC si ∠A = 24◦ 400 , ◦ 0 b = 23.7cm y ∠C = 52 40 . Haga uso de la f´ ormula: 1
trigonom´etrica de ´ area.
2
de Her´on.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ejercicio: Distancia a trav´ es de un r´ıo Para calcular la distancia AB a trav´es de un r´ıo, se mide una distancia BC = 354m en un lado del r´ıo. Se determin´ o que el ∠B = 112◦ 100 y el ∠C = 15◦ 200 . Determine la distancia AB.(Vea la figura.)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Resoluci´ on de Tri´ angulos Oblicu´ angulos Ejercicio: Longitud de un t´ unel Para medir la distancia a trav´es de una monta˜ na para la construcci´ on de un t´ unel, se escogi´o un punto C que se puede alcanzar desde ambos extremos del t´ unel. (Vea la figura.) Si la distancia AC = 3800m, BC = 2900m y el ∠C = 110◦ , determine la longitud del t´ unel.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ap´ endice
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Ley de los Senos; Caso Ambiguo Si el ´angulo A es agudo, entonces hay cuatro posibles resultados. Tri´angulos Posibles
Dibujo
Condiciones Necesarias
0
sen(B) > 1;a < h < b
1
sen(B) = 1;a = h < b
1
0 < sen(B) < 1;a ≥ b
2
0 < sen(B2 ) < 1;a < h < b
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ley de los Senos; Caso Ambiguo Si el ´angulo A es obtuso, entonces hay 2 posibles resultados. Tri´angulos Posibles
Dibujo
Condiciones Necesarias
0
sen(B) ≥ 1;a ≤ b
1
0 < sen(B) < 1;a > b
Rivera-Morales, Carlos A.
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