Turunan

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah Kode SKS

: Kalkulus : CIV - 101 : 3 SKS

Turunan Pertemuan – 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa mampu :  - menjelaskan arti turunan fungsi  - mencari turunan fungsi  - menggunakan aturan rantai  - menggunakan aplikasi dari turunan

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship • Sub Pokok Bahasan : • Turunan fungsi • Turunan sinus dan kosinus • Aturan rantai • Turunan tingkat tinggi • Turunan implisit • Penggunaan turunan untuk maksimum dan minimum (global dan lokal) • Penggunaan turunan untuk kemonotonan dan kecekungan • Penggunaan turunan dalam penggambaran grafik • Turunan fungsi multivariabel

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship 

Garis Singgung y = f(x)

(c+h, f(c+h))

f(c+h)

f(c+h) – f(c)

Definisi Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(c, f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan mtan  lim msec  lim h 0

f(c)

Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞

(c, f(c)) c

h 0

f (c  h )  f (c ) h

c+h

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Garis Singgung Contoh : 1. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = x2 di titik (2,4) 2. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = -x2 + 2x+2 pada titik-titik dengan koordinat x = -1, ½ , 2 dan 3. 3. Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/x di titik (2, ½)

y = 1/x y = x2

y = -x2 +2x + 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat Apabila benda P bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya pada saat t diberikan oleh s = f(t). Pada saat c, benda berada di f(c); pada saat c+h benda berada di f(c+h), maka kecepatan rata-rata pada interval ini adalah : f (c  h)  f (c ) vavg  h Sedangkan kecepatan sesaatnya adalah : f (c  h )  f (c ) v  lim vavg  lim h0 h 0 h Asalkan limitnya ada dan bukan ∞ atau −∞

perubahan waktu c c+h

f(c)

perubahan posisi f(c+h)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat Contoh : 1. Hitunglah kecepatan sesaat suatu benda jatuh dari posisi diam pada t = 3,8 detik dan pada t = 5,4 detik, jika f(t) = 16t2 2. Berapakah waktu yang diperlukan oleh benda jatuh dalam contoh di atas untuk mencapai kecepatan sesaat sebesar 112 m/dt 3. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s (jarak berarah dalam cm yang diukur dari titik asal ke titik yang dicapai setelah t detik) ditentukan oleh fungsi s = f(t) = (5t + 1)½ . Hitunglah kecepatan sesaat partikel setelah 3 detik 4. Problem Set 2.1 No. 18 - 25

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Konsep Turunan (Derivative) Kemiringan garis singgung, kecepatan sesaat, laju pertumbuhan organisme, keuntungan marjinal, kepadatan kawat adalah merupakan konsep matematika yang dikenal dengan istilah turunan atau derivative. Definisi Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f/ yang nilainya pada sembarang bilangan x adalah f ( x  h)  f ( x ) f / ( x)  lim h 0 h Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞ Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi, dan bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Konsep Turunan (Derivative) Contoh : 1. Andaikan f(x) = 13x – 6. Carilah f/(4) 2. Jika f(x) = x3 + 7x, carilah f/(x) 3. Jika f(x) = 1/x, carilah f/(x) 4. Carilah F/(x) jika F(x) = √x, x > 0

Problem Set 2.2 No. 1 - 22

Teorema (Keterdiferensiasi-an Mengimplikasikan Kekontinuan Fungsi) Jika f/(c) ada, maka f dikatakan kontinu di c Teorema di atas tidak berlaku kebalikannya. Sebagai contoh fungsi f(x) = │x│ Tugas : Tentukan di mana saja suatu fungsi menjadi tidak terdiferensiasi ? Penulisan bentuk lain untuk turunan diberikan oleh Gottfried Leibniz, yang sering dikenal dengan sebutan notasi Leibniz. dy y f  x  x   f  x   lim  lim  f /  x   Dx f  x  dx x0 x x0 x

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Aturan Mencari Turunan

1. f ( x)  constant  f ' ( x)  0

 Aturan F. Konstanta

2. f ( x)  x 

 Aturan F. Identitas

f ' ( x)  1

3. f ( x)  x n  f ' ( x)  n x n 1

 Aturan Pangkat

4. Dx [k f ( x)]  k Dx f ( x)  k f ' ( x)

 Aturan Kelipatan Konstanta

5. Dx [ f ( x)  g ( x)]  f ' ( x)  g ' ( x)

 Aturan Jumlah

6. Dx [ f ( x)  g ( x)]  f ' ( x)  g ' ( x)

 Aturan Selisih

7. Dx [ f ( x)  g ( x)]  f ( x) g ' ( x)  g ( x) f ' ( x)  Aturan Hasil Kali 8. Dx [ f ( x) / g ( x)] 

g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)  Aturan Hasil Bagi 2 g ( x)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Aturan Mencari Turunan Contoh : 1. Tentukan derivatif dari 5x2 + 7x – 6 dan 4x6 – 3x5 – 10x2 + 5x + 16 2. Misalkan g(x) = x; h(x) = 1 + 2x; f(x) = g(x)∙h(x) = x(1 + 2x). Temukan f/(x), g/(x), dan h/(x). Tunjukkan bahwa f/(x)≠ g/(x)∙h/(x) 3. Temukan derivatif dari (3x2 – 5)(2x4 – x) 4. Temukan d 3x  5



dx x 2  7



y

2 3  x4 1 x

5.

Tentukan Dxy jika

6. 7.

Tunjukkan bahwa Dx(x –n) = − nx –n–1 Problem Set 2.3 No. 1 – 44

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Turunan Fungsi Trigonometri

1. f ( x)  sin x  f ' ( x)  cos x 2. f ( x)  cos x  f ' ( x)   sin x 3. f ( x)  tan x  f ' ( x)  sec 2 x 4. f ( x)  cot x  f ' ( x)   csc 2 x 5. f ( x)  sec x  f ' ( x)  sec x tan x 6. f ( x)  csc x  f ' ( x)   csc x cot x

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Turunan Fungsi Trigonometri Contoh : 1.

Tentukan Dx(3sin x – 2cos x)

2.

Tentukan persamaan garis singgung dari fungsi y = 3 sin x di titik (p,0)

3.

Tentukan Dx(x2 sin x)

4.

d  1  sin x  Tentukan dx  cos x 

5.

Tentukan Dx(xn tan x) untuk n > 1

6.

Problem Set 2.4 No. 1 – 22

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Aturan Rantai Teorema (Aturan Rantai) Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f◦g, didefinisikan oleh (f◦g)(x) = f(g(x)) terdiferensiasikan di x dan : (f ◦g)/(x) = f/(g(x))∙g/(x) Atau Dx(f(g(x))) = f/(g(x))∙g/(x) Atau Dxy = Duy∙Dxu Atau dy dy du  dx du dx

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Aturan Rantai Contoh : 1.

Jika y = (2x2 – 4x + 1)60, tentukan Dxy

2.

Jika y = 1/(2x5 – 7)3, tentukan dy/dx

3. 4.

13

3 Temukan D  t  2t  1  t 4   t 3 

Jika y = sin 2x, tentukan dy/dx

5.

Tentukan F/(y) jika F(y) = y sin y2

6.

Tentukan

7.

 x 2 1  x 3   Dx  Tentukan  1  x 

8.

d 1 3 2 x3(4x) Tentukan Ddxxsin  1

9.

Tentukan Dx sin[cos(x2)]


Respect, Professionalism, & Entrepreneurship • Sub Pokok Bahasan :  Turunan Tingkat Tinggi  Turunan Implisit  Maksimum dan Minimum  Maksimum dan Minimum Lokal


Turunan Tingkat Tinggi

 Operasi diferensiasi fungsi f, menghasilkan fungsi baru f ’, jika f ’ dideferensiasi lagi akan menghasilkan f ’’, demikian seterusnya akan diperoleh f ’’’, f(4), f(5) dan seterusnya

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Turunan Tingkat Tinggi Contoh : 1. Jika y = sin 2x, carilah d3y/dx3, d4y/dx4 2. Sebuah benda bergerak sepanjang koordinat sehingga posisinya s memenuhi s = 2t2 – 12t + 8, dengan s diukur dalam cm dan t dalam detik (t > 0). Tentukan kecepatan benda ketika t = 1 dan ketika t = 6. Kapankah kecepatannya nol. Kapankah kecepatannya positif? 3. Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian rupa sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh s = t3 – 12t2 + 36t – 30. Di sini diukur dalam desimeter dan t dalam detik. Kapankah kecepatannya nol? Kapan kecepatannya positif? Kapan titik bergerak mundur (ke kiri)? Kapan percepatannya positif (a = dv/dt = d2s/dt2) 4. Problem Set 2.6 No. 1 - 16


Turunan Implisit

Fungsi : y=x3+ 2x + 5 disebut fungsi eksplisit Fungsi : y3+7y +x3=0 disebut fungsi implisit Bagaimana mencari derivatif dari suatu fungsi implisit? Yaitu dengan menggunakan turunan implisit y  f ( x) y 3  7 y  x3 d d d ( y3 )  (7 y )  ( x3 ) dx dx dx 3y

2

dy dy dy 3x 2 2 7  3x   dx dx dx 3y2  7






Turunan Implisit

Contoh : 1. Carilah dy/dx jika 4x2y – 3y = x3 – 1 2. Carilah dy/dx jika x2 + 5y3 = x + 9 3. Cari persamaan garis singgung pada kurva y3 – xy2 + cos xy = 2 di titik (0,1) 4. Jika y = 2x5/3 + (x2 + 1) ½ , Carilah Dxy 5. Problem Set 2.7 No. 1 - 34


Maksimum dan Minimum

Definisi Jika S, adalah domain dari f, berisi titik c. Maka dikatakan : • f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) > f(x) untuk semua x di S • f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) < f(x) untuk semua x di S • f(c) adalah nilai ekstrim f pada S bila ia adalah nilai maksimum atau minimum • Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif Pada [0,∞) tanpa maks atau min Pada [1,3], maks = 1, min = 1/3 Pada (1,3], tanpa maks, min = 1/3

tanpa maks , min = 0

Teorema Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di interval tersebut


Maksimum dan Minimum

Teorema Jika f terdefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni berupa salah satu dari : • Titik ujung dari I • Titik stasioner dari f (titik dimana f/(c) = 0), atau • Titik singular dari f (titik dimana f/(c) tidak ada)

titik ujung

titik stasioner

titik singular

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Maksimum dan Minimum Contoh : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x3 + 3x2 pada [ - ½ , 2] Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3, pada [-2,2] Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari f(x) = -2x3 + 3x2 Fungsi F(x) = x2/3 kontinu di semua interval. Temukan nilai maksimum dan minimumnya di [-1,2] Temukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x + 2 cos x pada interval [-p,2p] Problem Set 3.1 No. 1 - 26

Concept Review 1. Suatu fungsi ….. pada suatu interval ….. akan selalu mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada interval tersebut. 2. Istilah nilai ….. menyatakan suatu nilai maksimum atau minimum 3. Suatu fungsi dapat mencapai nilai ekstrim hanya pada titik kritis. Titik kritis tersebut ada tiga jenis yaitu ….., ….., dan ….. 4. Titik stasioner untuk f adalah sebuah nilai c sedemikian sehingga …..; titik singular untuk f adalah sebuah nilai c sedemikian sehingga …..


Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi Jika S, adalah domain dari f, berisi titik c. Maka dikatakan : • f(c) adalah nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) ∩ S • f(c) adalah nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) ∩ S • f(c) adalah nilai ekstrim lokal dari f bila ia adalah nilai maksimum lokal atau minimum lokal


Maksimum dan Minimum Lokal

Teorema (uji turunan pertama) Jika f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c : • Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f • Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai minimum lokal f • Jika f ’(x) bertanda sama pada kedua sisi c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f

tanpa nilai ekstrim lokal

nilai maksimum lokal

nilai minimum lokal

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Maksimum dan Minimum Lokal Contoh : 1. Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 – 6x + 5 pada (−∞,∞) 2. Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari f(x) = 1/3x3 – x2 – 3x + 4 pada (−∞,∞) 3. Carilah nilai ekstrim lokal dari f(x) = (sin x)2/3 pada (-p/6, 2p/3) Teorema (uji turunan kedua) Jika f ‘ dan f ‘’ ada pada setiap interval terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0 : • Jika f ’’(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f • Jika f ’’(x) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f

4. 5. 6.

Untuk f(x) = x2 – 6x + 5, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal Untuk f(x) = 1/3x3 – x2 – 3x + 4, gunakanlah uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal Problem Set 3.3 No. 1 - 18

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship • Sub Pokok Bahasan :  Kemonotonan dan Kecekungan  Penggambaran Grafik


Kemonotonan

Definisi Andaikan f terdefinisi pada interval I, dikatakan bahwa : • f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I x1 < x2 → f(x1) < f(x2) • f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I x1 < x2 → f(x1) > f(x2) • f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I


Kemonotonan

Teorema Kemonotonan Andaikan f kontinu pada interval I, dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I • Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam I, maka f naik pada I • Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam I, maka f turun pada I

Contoh : 1. Jika f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7, cari dimana f naik dan dimana turun 2. Tentukan dimana g(x) = x/(1+x2) naik dan dimana turun


Kecekungan

Jika f terdiferensiasi pada interval terbuka I. Dikatakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada I dan dikatakan bahwa f cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada I Teorema Kecekungan Andaikan f terdiferensiasi dua kali pada interval terbuka I • Jika f’’(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I • Jika f’’(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Contoh : 1 1. Dimana f(x) = x3 – x2 – 3x + 4 naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke 3 bawah 2. Dimana f(x) = x/(1+x2) cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Titik Balik • Andaikan f kontinu di c, maka titik (c, f(c)) merupakan titik balik dari grafik f, jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. • Titik-titik dengan f ’’(x) = 0 atau f ’’(x) tidak ada, merupakan calon-calon untuk titik balik

• Contoh : carilah titik balik untuk F(x) = x1/3 + 2 • Problem Set 3.2 No. 1 – 28

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship • Sub Pokok Bahasan :  Fungsi Dua Variabel atau Lebih  Limit dan Kekontinuan  Turunan Parsial  Aturan Rantai

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Fungsi Dua Variabel

 

y= f(x)  fungsi satu variabel z= f(x, y)  fungsi dua variabel z: variabel tak bebas x, y: variabel bebas

Contoh :

1. f ( x, y )  x 2  3 y 2 2.g x, y   2 x y

Domain z = f(x,y) : semua titik (x,y) yang memberikan suatu bilangan real untuk f(x,y). Kecualikan x dan y yang menghasilkan bilangan kompleks dan penyebut nol

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Fungsi Dua Variabel Contoh : y  x2 f ( x, y )  2 2 1. Sket domain asli dari fungsi : x   y  1 1 2. f ( x, y )  36  9 x 2  4 y 2 3 3.z  f ( x, y )  y 2  x 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Fungsi Dua Variabel • Untuk membuat sket grafik z = f(x,y) biasanya cukup sulit • Cara yang lebih simple adalah dengan menyajikan dalam bentuk peta kontour • Tiap bidang datar z = c akan memotong permukaan dalam bentuk sebuah kurva. • Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian, dan kumpulan kurva-kurva tersebut dinamakan peta kontour Contoh : Gambarkan peta kontour dari permukaan yang berhubungan dengan 1 z 36  9 x 2  4 y 2 3 z  y2  x2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Fungsi Dua Variabel

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Limit dan Kekontinuan Definisi (Limit Fungsi Dua Variabel) lim f ( x, y)  L berarti bahwa untuk setiap  > 0 (betapapun ( x , y )( a ,b ) kecilnya) terdapat  > 0 yang berpadanan sedemikian hingga |f(x, y) – L| <  dengan syarat bahwa 0 <|(x, y) – (a, b)|< . • Atau secara sederhana dikatakan apabila (x, y) cukup dekat dengan (a, b), maka f(x, y) akan cukup dekat dengan L

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Limit dan Kekontinuan Contoh : evaluasi limit berikut jika ada a. lim

( x , y ) (1, 2 )

x

2

y  3y



x2  y2 1 b. lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x2  y2 x2  y2 c. lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2  y 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Kekontinuan Pada Titik f(x, y) kontinu di titik (a, b) jika 1. f memiliki nilai di (a, b) 2. f memiliki limit di (a, b), dan 3. Nilai f di (a, b) sama dengan limitnya di titik itu

Catatan : 1. 2.

Fungsi Polinom kontinu di mana-mana Fungsi Rasional kontinu di mana-mana asalkan penyebut bukan nol

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Kekontinuan Pada Titik Contoh : Tentukan titik (x,y) di mana fungsi berikut kontinu

a.H ( x, y ) 

2x  3y y  4x2



b.F ( x, y )  cos x 3  4 xy  y 2




Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Turunan Parsial

Definisi

f Andaikan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel, maka x atau fx

adalah turunan parsial dari f terhadap x, dan adalah turunan parsial dari f terhadap y.

f y

atau fy

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Turunan Parsial

Note: fx dihitung dengan menganggap y konstan fy dihitung dengan menganggap x konstan

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Turunan Parsial Contoh :

1.

Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2) jika f(x,y) = x2y + 3y3

2.

Jika z = x2sin(xy2), tentukan ∂z/∂x dan ∂z/∂y

tentukan ∂f/∂x dan ∂f/∂y dari fungsi :

x  y2 3. f ( x, y )  2 x  ( y  1) 2

4. f ( x, y )  xy 2  x 2 y  2 5. f ( x, y )  1

3

36  9 x 2  4 y 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Turunan Parsial Tingkat Tinggi

Jika z= f(x,y), maka turunan parsial kedua dari fungsi f adalah : 2 f   f  1.  f xx    2 x x  x  2 f   f    2a.  f xy  ;   xy x  y  2 f   f  2b.  f yx    yx y  x  2 f   f    3.  f  yy 2  y y  y  

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Turunan Parsial Tingkat Tinggi

Contoh : 1. Tentukan empat buah turunan parsial kedua dari f(x,y) = xey – sin(x/y) + x3y2 2. Jika f(x,y,z) = xy + 2yz + 3zx, tentukan fx, fy, fz 3. JikaT ( w, x, y, z )  z  e w

2

x  y 2

2

 2T  2T  2T , tentukan , , 2 wx xw z


Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Aturan Rantai

Teorema : Jika x = x(t) dan y = y(t) dapat didiferensialkan di t dan andaikan z = f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(t), y(t)), maka z = f(x(t), y(t)) dapat didiferensialkan di t : dz f dx f dy   dt x dt y dt

Contoh : 1. Jika z = x3y, dengan x = 2t dan y = t2, tentukan dz/dt 2. Misalkan w = x2y + y + xz, dengan x = cos q, y = sin q dan z = q2. Tentukan dw/dq dan evaluasi pada q = p/3

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Teorema : Jika x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai turunan parsial pertama di (s,t), dan z = f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(s,t), y(s,t)), maka z = f(x(s,t), y(s,t)) mempunyai turunan parsial z z x z y   s x s y s

z z x z y   t x t y t

Contoh : 1. Jika z = 3x2 - y2, dengan x = 2s+7t dan y = 5st, tentukan ∂z/∂t 2. Misalkan w = x2 + y2 + z2 + xy, dengan x = st, y = s- t dan z = s + 2t, tentukan ∂w/∂t

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Misalkan F(x,y) = 0, dengan aturan rantai dapat didiferensialkan ke x sehingga

F dx F dy  0  x dx y dx

dy F x  dx F y

Contoh : 1. Tentukan dy/dx jika x3 + x2y – 10y4 = 0 2. Jika F(x,y,z) = x3ey+z – y sin(x – z) = 0, tentukan ∂z/∂x 3. Problem Set 12.6 No. 1 – 16


• TIU :  Mahasiswa dapat melakukan turunan fungsi multivariabel

• TIK :  Mahasiswa mampu menggunakan uji turunan kedua untuk mencari nilai ekstrim fungsi multivariabel • Sub Pokok Bahasan :  Nilai Ekstrim

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship  Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel

Definisi 1.

2.

3.

Misalkan f adalah fungsi dengan domain S, dan p0=(x0, y0) adalah titik di S, maka : f(p0) adalah nilai ekstrim (global) dari f pada S, jika f(p0) adalah suatu nilai maksimum (global) atau nilai minimum (global) f(p0) adalah nilai maksimum global dari f pada S jika f(p0)  f(p) untuk semua p pada S f(p0) adalah nilai minimum global dari f pada S jika f(p0)  f(p) untuk semua p pada S.


Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel Di mana nilai ekstrim muncul ? 1. Titik – Titik Batas 2. Titik Stasioner (fx = 0 ; fy = 0) 3. Titik Singular, titik di mana f tidak dapat didiferensialkan, misalkan titik di mana grafik f mempunyai pojok tajam



Contoh : 1. Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari f(x,y) = x2 – 2x + y2/4 2. Temukan nilai maksimum atau minimum lokal dari f(x,y) = -x2/a2 + y2/b2


Andaikan f(x,y) memiliki turunan parsial kedua fxx, fxy, and fyy dan f ( x0 , y0 )  0 , maka 1.

Jika D>0 dan fxx(x0, y0)<0, f(x0, y0) adalah lokal maksimum

2.

Jika D>0 and fxx(x0, y0)>0, f(x0, y0) adalah lokal minimum

3.

Jika D<0, f(x0, y0) adalah titik saddle (bukan nilai ekstrim)

4.

Jika D=0, tidak ada kesimpulan D= fxx(x0, y0)fyy(x0, y0)- [fxy(x0, y0)]2


Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel Contoh : 1.

Cari nilai ekstrim jika ada, dari fungsi F(x,y) = 3x3 + y2 – 9x + 4y

2.

Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan z2 = x2y + 4

3.

Problem Set 12.8 No. 1 – 12

Turunan

Recommend Documents