Statistika Unipa Surabaya
Rumus-rumus yang Digunakan 1. Sampel Tunggal
t
X
=
n s
................................…. 1
2. Sampel berkorelasi X1 X 2
t
................................….... 2
D
D 2
2
N N N 1
3. Sampel Bebas a. Untuk varians sama
t
x
X1 X 2
sg
1 1 n1 n2
....................... 4
Sampel Heterogen Gunakan Uji Corhan - Cox (t ) sebagai ganti t-tabel, sedangkan t-hitung diperoleh dengan cara :
t
t Xi x D N ni s sg
.... 3 atau
X1 X 2
t
b.
x 22 1 1 n1 n2 2 n1 n2 2 1
= = = = = = =
X1 X 2 s12 s22 ............... 5 n2 n1
Koefisien t-student Rata-rata kelompok ke i i = 1,2,….. deviasi terhadap rata-rata Selisih Pasangan Jumlah Pasangan Jumlah Data Kelompok Sampel ke-i, i=1,2, ……. Standard deviasi Standard deviasi gabungan
4
Statistika Unipa Surabaya
s12 s22 t1 t2 n1 n2 t s12 s2 2 n1 n2
dan
sg
5
n1 1s12 n1 1s12 n1 n2 2
Contoh : 1. Untuk Sampel Tunggal Seorang guru menerapkan metode mengajar baru, diuji cobakan pada 10 orang siswa. Data prestasi hasil belajar`sebagai berikut : 70
72
67
65
70
78
80
56
85
76
Buktikan apakah Metode mengajar yang baru tersebut dapat meningkatkan prestasi belajar siswa , jika metode lama menghasilkan prestasi hasil belajar rata-rata kelas sebesar 67 ? Jawab :
Gunakan rumus ................1
t
X
=
n
s
Perhitungan mencari rerata dan standard deviasi No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Rerata
Xi2 4900 5184 4489 4225 4900 6084 6400 3249 7225 5776 52432
Prestasi (Xi) 70 72 67 65 70 78 80 57 85 76 720
X = 72 t
Pengujian Hipotesis H o : 1 Uji 2 Pihak
s
72 67 x
2
811 .
2 720 52432
10 10 1
10
195 .
= 8.11
Statistika Unipa Surabaya
6
H1: 1 2 Cari harga t tabel dengan db = n-1 = 10 -1 = 9, dan taraf signifikans ( ) 5 % diperoleh harga t tabel = 2 ,62 Nilai t-hitung lebih besar dari pada Nilai t-tabel, maka terima H0 atau tolak H1. Kesimpulan : Kedua Metode Mengajar memiliki efektivitas yang sama. Contoh 2 (data Berkorelasi) Seorang peneliti ingin menerapkan dua metode mengajar yang berbeda, sebutlah Metoda A dan Metoda B. Kedua Metode Mengajar diterapkan pada sekelompok siswa berjumlah 15 orang. Tentukan Metoda manakah yang lebih efektif. Data prestasi hasil belajar seperti tercantum di bawah ini. 1 No. Met. A 6 Met. B 6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7 9
8 7
4 6
3 6
9 7
4 5
6 4
7 8
8 7
9 9
4 5
3 4
7 8
5 7
Jawab : Gunakan Rumus No. 3 Tabel. 2 Perhitungan Uji t sampel berkorelasi No Met. A (X1) 1 6 2 7 3 8 4 4 5 3 6 9 7 4 8 6 9 7 10 8 11 9 12 4 13 3 14 7 15 5 90
Met. B (X2) 6 9 7 6 6 7 5 4 8 7 9 5 4 8 7 98
90 6.00 , 15 D 8 , X1
D 0 -2 1 -2 -3 +2 -1 +2 -1 +1 0 -1 -1 -1 -2 -8
D2 0 4 1 4 9 4 1 4 1 1 0 1 1 1 4 36
98 6.53 , N 15 15 D2 36 sehingga X1
Statistika Unipa Surabaya
X1 X 2
t
D 2
D
6 6.53
N N N 1
8 2
2
36
7
136 .
15 1515 1
Pengujian Hipotesis H o : 1 Uji 2 Pihak
2 H1: 1 2
Cari harga t tabel dengan
db = N-1 = 15 -1 = 14, dan taraf signifikans ( ) 5 %
diperoleh harga t tabel = 2 ,14 t-hitung = ! -1,36 ! < dari t-tabel sehingga Ho diterima dan H1 ditolak, kesimpulannya kedua metode mengajar memiliki efektivitas yang sama. Contoh 3. Data Sampel Bebas Dua produk makanan ikan jenis A dan jenis B diuji cobakan pada 2 kelompok ikan. Kelompok I berjumlah 11 ekor dan kelompok II berjumlah 10 ekor, setelah 1 bulan pertambahan bobot ikan ditimbang . Tentukanlah manakah jenis pakan yang paling efektif. ? Adapun data beserta hasil perhitungannya seperti berikut : Jawab. Pertambahan Bobot Kelompok A (XA) No XA XA xA2 1 3.20 -0.20 0.04 2 3.30 -0.10 0.01 3 3.40 0.00 0.00 4 2.95 -0.45 0.20 5 2.70 -0.70 0.49 6 3.80 0.40 0.16 7 3.70 0.30 0.09 8 2.75 -0.65 0.42 9 3.90 0.50 0.25 10 4.20 0.80 0.64 11 3.50 0.10 0.01 37.4 2.31
XA
37.40 3.40 11
sA
x A 2.31 0.23 n 1 10 2
2
Pertambahan Bobot Kelompok B(XB) No XB xB xB2 1 2.80 -0.80 0.64 2 3.00 -0.60 0.36 3 3.50 -0.10 0.01 4 3.40 -0.2 0.04 5 3.50 -0.10 0.01 6 3.00 -0.60 0.36 7 4.10 0.50 0.50 8 5.50 1.90 3.6 9 3.80 0.20 0.04 10 3.40 -0.20 0.04 11 36 5.6
XB
36.00 360 . 10
x B 5,6 0.62 n 1 9 2
sB 2
Statistika Unipa Surabaya
8
Uji Homogenitas sB2 0.62 Fh 2 2.70 sA 0.23 F-tabel 0.05(10,9) = 3.13 sehingga F hitung lebih kecil dari F-tabel Kedua Sampel Homogen Gunakan Rumus 4
t
x
2 1
X1 X 2 x
2 2
1
n1 n2 2 n1
1 n2
3.40 3.60 2.31 5.60 1 1 11 10 2 11 10
0.20 7.91 21 19 110
0.71
Pengujian Hipotesis Uji 2 Pihak H o : 1
2 H1:1 2
Cari harga t tabel dengan
db = n1+n2 - 2 = 19, dan taraf signifikans ( ) 5 %
diperoleh harga t tabel = 2 ,09 t-hitung
= ! -0.71 ! < dari t-tabel sehingga
Ho
diterima sebagai akibatnya
H 1 ditolak kesimpulannya kedua jenis pakan ikan memiliki yang kualitas sama. Contoh 4. Data Sampel Bebas Dua produk makanan ayam yakni jenis A dan jenis B, diuji cobakan pada 2 kelompok ayam. Kelompok I berjumlah 11 ekor dan kelompok II berjumlah 10 ekor, setelah 1 Minggu pertambahan bobot ayam ditimbang dan hasilnya ditabelkan. Tentukanlah manakah jenis pakan yang paling efektif. ? Adapun data beserta hasil perhitungannya seperti berikut : Jawab. Pertambahan Bobot Kelompok A (XA) No XA XA xA2 1 3.20 -0.20 0.04 2 3.30 -0.10 0.01 3 3.40 0.00 0.00 4 2.95 -0.45 0.20 5 2.70 -0.70 0.49 6 3.80 0.40 0.16 7 3.70 0.30 0.09 8 2.75 -0.65 0.42 9 3.90 0.50 0.25 10 4.20 0.80 0.64 11 3.50 0.10 0.01 37.4 2.31
Pertambahan Bobot Kelompok B(XB) No XB xB xB2 1 3.80 -0.70 0.49 2 2.50 -2.00 4.00 3 4.50 0.00 0.00 4 4.40 -0.10 0.01 5 5.50 1.00 1.00 6 3.60 -0.90 0.81 7 4.30 -0.20 0.04 8 5.00 0.50 0.25 9 6.00 1.50 2.25 10 5.40 0.90 0.81 11 45 9.66
Statistika Unipa Surabaya
37.40 3.40 11 2 x 2.31 2 sA A 0.231 n 1 10 Uji Homogenitas
9
45 4.50 10 2 x B 9.66 2 sB 107 . n 1 9
XA
XB
sB2 107 . 4.65 2 sA 0.23 F-tabel 0.05(10,9) = 3.13 sehingga F hitung lebih besar dari F-tabel Kedua Sampel Heterogen Gunakan Rumus 6 Fh
t
X1 X 2 s12 s22 n n2 1
3.40 4.50 1.1 3.08 0.356 0.23 1.07 11 10
Pengujian Hipotesis Uji 2 Pihak H o : 1
2 H1:1 2
Dengan menetap taraf signifikans ( ) 5 % diperoleh harga t- tabel untuk : Kelompok 1 dengan db = n1 - 1 = 11 -1 = 10 -----> t-tabel = 2,262 Kelompok 2 dengan db = n2 - 2 = 10 - 1 = 9 -----> t-tabel = 2,228 Maka harga t Corhan-Cox (t ) . 0.23 107 2.228 2.262 11 10 0.271 t 213 . 0.23 107 . 0127 . 11 10
Kesimpulan Harga t-hitung > dari t Corhan -Cox sehingga ada perbedaan yang signifikans efektivitas kedua pakan ayam tersebut.
Statistika Unipa Surabaya
10
Analisis Varians (satu Arah) Gunanya seperti uji t, tetapi untuk lebih dari 2 kelompok sampel, sehingga perumusan Hipotesis Statistiknya sebagai berikut : Ho = 1 2 3 .......... ................... k H1 = paling sedikit ada satu tanda yang tidak berlaku. Bentuk
1 y11 y12 y13 y14 y15 .. . . y1n1
DATA .
Jumlah Rerata
2 y21 y22 y23 y24 y25 . . .
3 y31 y32 y33 y34 y35 . . .
J1
y2n2 J2
y3n3 J3
Y1
Y2
Y3
SAMPEL .
.
. .
. .
. .
. . .
.
.
.
yknk Jk
n Y Y / k 1 k
2
i
i
i 1 k ni
Y
ij
i 1 j 1
Yi
/ n 1 2
k
i
i 1
Pengujian Hipotesis terima Ho apabila F-hitung < dari F-tabel dengan taraf nyata dann dk pembilang = k-1 , dk penyebut =(n-1) Keterangan Yij = data ke j sampel ke i i=1,2,3........k , j= 1,2, ......ni ni
Yi
=
Y =
Yij
j 1
k
ni
i 1
j 1
ni ------> Rata-rata sampel ke I Yij
-------> Rata-rata total
k
ni
i 1
Penyederhanaan Perhitungan ( dengan menggunakan Jumlah Kuadrat (JK))
J2 Ry ni
k yk1 yk2 yk3 yk4
Yk
Statistik Uji dengan menggunaka distribusi F F
.
(Jk Rata-rata dengan J = J1 + J2 + J3 ......... Jk)
Statistika Unipa Surabaya
J2 Ay i R y ni
Y
2
=
11
( Jk antar Kelompok)
Jumlah Kuadarat semua Nilai (JK dalam kelompok)
D y Y 2 R y Ay
Sumber Variasi
dk
Rata-rata Antar Kelompok Dalam Kelompok Total
1 k-1
( Jk Total) Rekapitulasi Anava Jk
Rjk
F
Ry Ay
R = Ry/1 A=Ay/(k-1)
A/D
(ni-1)
Dy
D=Dy/ (ni-1)
ni
Y2
Contoh : Empat macam jenis pakan diberikan kepada empat kelompok udang. Setelah percobaan selesai pertambahan bobot dalam gram ditabelkan seperti di bawah ini Tentukan apakah terdapat perbedaan kualitas pakan udang tersebut ? Pertambahan berat Udang berdasarkan jenis pakannya A 4 5 1 0 2 12 2,4
Bobot
Jumlah Rerata
B 9 10 9 6 6 40 8,0
C 2 6 6 5 2 21 4,2
Jawab : 2 2 12 40 21 27 100 Ry 500 5 5 5 5 20 12 2 40 2 212 27 2 Ay 500 82.80 5 5 5 5 Y 2 16 +25+1+0+4+ 81+100+81+36+36+
4+36+36+25+4+49+49+16+4+49 = 652
Dy 652 500 82.80 69.20 K = 4
dan
ni = 20 serta
(ni-1) =16
D 7 7 4 2 7 27 5,4
Statistika Unipa Surabaya
Daftar Rekapitulasi Analisis Varians Pertambahan Bobot Udang Sumber Variasi dk Jk Rjk Rata-rata Antar Kelompok Dalam Kelompok Total
1 3
500 82.80
500 27.60
16
69.20
4.32
20
652
12
F
6.39
F-tabel dicari dengan menentukan taraf nyata ( ) 5% dengan dk pembilang = 3 dan dk penyebut = 16 maka diperoleh nilai 3,.24. maka F-hitung (6,39)>F-tabel (3,24) sehingga diterima H1 berarti ada perbedaan rerata bobot udang . Uji lanjut Anava Uji F pada anava memberikan pengertian bahwa terdapat perbedaan rerata populasi, namun demikian Uji F tidak memberikan penjelasan rerata populasi manasaja yang berbeda dan rerata populasi manasaja yang sama. Untuk mengetahui itu diperlukan uji lanjut anava, kita akan membahas 2 macam uji lanjut anava yakni : 1. Uji Beda Nyata Terkecil (BNT)/Least Significance Difference (LSD). Rumus yang digunakan adalah : RJK ( E ) RJK ( E ) LSD0.05 t0.05 , df n k ni nj RJK(E) = Rerata Jumlah Kuadrat Error(Dalam Kelompok/dari tabel Anava). t0.05, df(n-k) = t-tabel dengan derajad kebebasan n-k (lihat tabel t). ni = jumlah kelompok i nj = jumlah data kelompok j Perbedaan adalah sigifikanns jika | (Xi - Xj) | >= LSD0.05 2. Uji Beda Nyata Tertinggi (BNG)/High Significance Difference(HSD). sedangkan HSD rumusnya sebagai berikut :
HSD0.05 q0.05
RJK ( E ) RJK ( E ) ni nj
q0.05 = diperoleh dari tabel berdasarkan jumlah perlakuan k
Statistika Unipa Surabaya
13
Contoh : Uji LSD Dari uji anava di atas diketahui rata-rata setiap perlakuan adalah sebagai berikut : Perlakuan Rerata
A 2,4
B 8,0
C 4,2
D 5,4
Data di atas menunjukkan bahwa terdapat 4 perlakuan dengan masing-masing perlakuan mempunyai jumlah anggota yang sama (5 data maka keseluruhan terdapat 20 data), sehingga perhitungan dapat disederhanakan sebagai berikut : LSD.0.05 = t 0.05, df 20-4
RJK(E) + RJK(E) ni ni
LSD.0.05 = t 0.05, df 16
2RJK(E) ni
