Análisis Combinatorio
UNA COMIDA GRATIS
- Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos. La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con el objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.
Diez jóvenes decidieron celebrar la culminación de sus estudios en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético; otros, con arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exámenes; otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba, la sopa se enfrió y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el camarero, dirigiéndoles las siguientes palabras:
Sin embargo, no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el número total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Éstas son exactamente 3’628,800. Es fácil calcular, que este número de días son casi 10,000 años. Posiblemente a ustedes les parecerá increíble que 10 personas puedan colocarse en un número tan elevado de posiciones diferentes. Podrías comprobar esto cálculos?
- Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme. Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continuó: Profesor: Javier Trigoso
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Análisis Combinatorio
¿QUE ES EL ANÁLISIS COMBINATORIO? La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de la Matemática que estudia las diferentes maneras en que se pueden formar agrupaciones entre elementos de uno o más conjuntos y como contar ordenadamente su número. El análisis combinatorio exige el conocimiento de ciertas reglas y métodos para determinar el número o la manera de formar diferentes grupos con los elementos de un conjunto. Nos ocuparemos entonces de la correcta aplicación de tales reglas y procedimientos, como así también de la definición de algunos símbolos que nos servirán en el desarrollo de este capítulo. 1.- El símbolo de sumatoria: permite abreviar la notación de una suma cuyos términos admiten cierta ley de formación. Por ejemplo, para indicar la suma: a 1 + a2 + a3 + a 4 + a 5 + a 6 + a7 escribimos:
7
a y i1
Sigma (Σ) es la decimoctava
letra del alfabeto griego.
i
se lee, sumatoria de ai con i
variando de 1 a 7. Si el índice i es variable desde 1 a n, la notación es:
n
a i1
i
y significa la suma abreviada de los n
términos: a1 + a2 + a3 + ... + an. El desarrollo de una sumatoria se obtiene asignando a i, cada uno de los sucesivos valores de su rango de variación y sumando los términos así obtenidos.
Profesor: Javier Trigoso
2.- Factorial de un número: el factorial de un número natural n mayor que uno (1) es igual al producto de los n primeros números naturales; el símbolo característico es "!". Así: n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 De la definición se deduce que el factorial de un número es igual al producto de dicho número por el factorial del anterior. Ejemplo 3: 6! = 6.5! = 6.5.4! En general: 2! = 2 n.(n-1)!= n!
3! = 6
4! = 24
Además se define: 0! = 1 y 1! = 1.
5! = 120
PARA LA CLASE…. 01. Determina el valor de R, sabiendo que R 02. Determina el valor de J, sabiendo que J
8! x 7 ! 03. Calcula el valor de M 2 7 ! 6! n 1 ! n! 1 04. Reduce R n! n 1 ! n 1
05. Resuelve:
x 2 !. x 1 ! 3 x 1 !.x !
2
13! 9! x 4 ! 10! x 5! 12! x3!
25 ! 6
715 5/33
24
n + 1 2
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Análisis Combinatorio
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO En determinados problemas, se observa que una operación (o actividad) aparece en forma repetitiva y es necesario entonces conocer la cantidad de formas o maneras que se pueda realizar dicha operación. Para tales casos es útil conocer determinadas técnicas de conteo que facilitaran el cálculo señalado y será el medio adecuado para resolver estos problemas. El análisis combinatorio es lo que puede llamarse una forma abreviada de contar. Las operaciones o actividades que se presentan serán designadas como eventos. Ejemplos: Señalar las prendas que utiliza una persona para vestirse. Ordenar 7 objetos en 10 casilleros. Escribir una palabra de 6 letras utilizando 4 consonantes y 2 vocales señaladas. Pintar un dibujo de 2 figuras, con 5 colores posibles. Designar 2 delegados de 30 personas. Elegir un camino de 10 posibles. Estas operaciones que señalamos, pueden efectuarse de una o varias maneras, para encontrar la cantidad de formas, se utilizará dos principios fundamentales de conteo: Principio de Adición. Principio de Multiplicación. Profesor: Javier Trigoso
1. Principio de Adición: Si una operación o actividad A, puede realizarse de m maneras diferentes y otra operación o actividad B, puede realizarse de n maneras diferentes, entonces la operación que consiste en hacer A o B (no ambas simultáneamente, sino la una o la otra) podrá ocurrir de (m + n) formas distintas. La regla se puede ampliar a más de dos tareas siempre que no haya dos de ellas que se puedan efectuar simultáneamente. Ejemplo 1: Javier puede viajar de Lima a Cuzco por vía aérea, usando 2 líneas de transporte aéreo o por vía terrestre, a través de líneas de omnibus. ¿De cuántas maneras puede Javier realizar el viaje de Lima a Cuzco? Resolución Según el enunciado Javier puede viajar de Lima a Cuzco de las siguientes formas: Por vía terrestre, y ya no utiliza la vía aérea, o Por vía aérea, y ya no utiliza la terrestre. Como al utilizar una, deja de utilizar la otra, no se realizan simultáneamente. Por el principio de adición: Por vía aérea: 2 formas Por vía terrestre: 3 formas
Podrá viajar de (2 + 3) = 5 formas
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Análisis Combinatorio Ejemplo 2: Manuel desea cruzar un río, para ello puede utilizar 2 botes, 3 lanchas pequeñas o un deslizador. ¿De cuántas formas podrá cruzar Manuel el río utilizando uno de los medios de transporte señalados? Resolución Puede utilizar: 2 botes (2 formas) 3 lanchas (3 formas) 1 deslizador (1 forma)
Como al usar una, no necesita utilizar las otras, el total de formas es: 2+3+1=6
2. Principio de Multiplicación:
Resolución Por el principio de multiplicación serán: 4 x 5 = 20 uniformes diferentes. Ejemplo 2: El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas maneras se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre? Resolución Podríamos hacer una lista de todas las posibilidades, pero será mucho más cómodo aplicar el principio de la multiplicación: Hay 3 maneras de elegir el plato caliente y para cada una de ellas hay 4 maneras de elegir el postre. Por lo tanto, hay 3 x 4 = 12 comidas posibles.
Si una operación o actividad A, puede realizarse de m maneras diferentes y cuando ha sido efectuada por cualquiera de esas maneras, se realiza otra operación o actividad B que puede efectuarse de n maneras diferentes, entonces ambas operaciones o actividades podrán efectuarse de (m x n) maneras distintas. Ejemplo 1: Un equipo de basquet tiene que elegir un nuevo uniforme. Para ello debe escoger entre 4 camisetas y 5 pantalones con diferentes colores. ¿Cuántos uniformes distintos se pueden componer con las camisetas y pantalones disponibles?
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MÉTODOS DE CONTEO: En diferentes casos, se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para tomar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden en que están colocados dichos elementos o por la naturaleza de alguno de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí, serán llamadas agrupaciones sin repetición y si algunos de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición.
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Análisis Combinatorio P8 = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 6 840
1. PERMUTACIÓN: Se llama así a un arreglo u ordenación de todos o parte de los elementos de un conjunto considerando el orden en que se encuentran. Para n objetos diferentes, el número de permutaciones, representado como Pn, que se puede obtener con los n objetos está dado por:
PARA LA CLASE….
Ejemplo 1:
08. ¿Cuántas de estas “palabras” obtenidas en el ejercicio Anterior empiezan con V y terminan en O?
¿Cuántas posibilidades de ubicación tienen cinco alumnos al sentarse en cinco sillas colocadas en línea recta? Resolución Es una permutación lineal de cinco elementos tomados de cinco en cinco. Calculamos el número de posibilidades: P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Ejemplo 2 Ocho amigos planean salir de viaje en dos automóviles de modo que irán 4 en cada vehículo. ¿De cuántas formas pueden ir, si todos tienen licencia de conducir? Resolución Es una permutación lineal de ocho elementos tomados de ocho en ocho. Calculamos el número de posibilidades: Profesor: Javier Trigoso
06. Una madre tiene 3 hijos ¿de cuántas maneras distintas, nombrándolos uno por uno, puede llamarlos a cenar? 07. ¿Cuántas “palabras” no necesariamente pronunciables pueden Formarse con las letras de la palabra “vestido” (no pueden repetirse las letras ni pueden omitirse)? 5 040
120
09. Un club tiene 13 miembros de los cuales 6 son hombres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros (presidente, vicepresidente y vocal) pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente tiene que ser hombre? 10. ¿De cuántas formas se pueden acomodar y viajar 5 personas de un grupo de 6, en un auto de 5 asientos si sólo 2 de ellas saben manejar? 11. Con 4 banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden enviar si no es obligatorio utilizar todas las banderas? 12. Se tiene 3 rosas rojas, 3 amarillas, 3 blancas y 2 rosadas. ¿Cuántos ramos de 6 rosas se puede formar, de tal manera que tengan por lo menos una rosa de cada color? Página 5
Análisis Combinatorio
2. PERMUTACIÓN CIRCULAR:
PARA LA CLASE…
Es un arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto alrededor de un objeto (o centro) señalado. El número de permutaciones circulares, denotado como Pc, de n elementos está dado por:
13. En su campamento por Semana Santa, ¿de cuántas maneras se podrán sentar 5 amigas alrededor de una fogata?
Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras distintas podrán sentarse 4 niños alrededor de una mesa circular? Resolución Se deberá de encontrar las diferentes ordenaciones de 4 elementos (niños) alrededor de un centro (mesa), estará dado por:
Pc 4 4 1 ! 3! 6
Ejemplo 2: Alrededor de una torta de cumpleaños, se ubican 6 vasos diferentes. ¿De cuántas formas pueden ser ubicados? Resolución
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14. Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas formas podrán ubicarse, si tres de ellas deben estar siempre juntas? 15. Alrededor de una mesa circular de seis se ubican dos niñas y tres niños. ¿De cuántas formas podrán hacerlo si el asiento vacío debe quedar entre las niñas? 16. ¿De cuántos modos distintos podemos ubicar las cifras del 1 al 7 en la figura siguiente?
3. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN: Es un arreglo en el cual no todos los elementos son distintos entre sí, esto es, hay elementos que se repiten. El número de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos, esta denotado por:
Pc 6 6 1 ! 5! 120
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Análisis Combinatorio Donde k1 , k2 , k3 ,......., km es el número de veces que se repite cada elemento. Ejemplo 1: Con 2 bolas rojas, 2 bolas amarillas y 3 bolas azules. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar?
19. Un barman va a colocar en hilera sobre la barra de un bar: 8 vasos, 5 de los cuales contienen whisky, 2 contienen tequila y uno contiene vino tinto. ¿De cuántas formas lo podrá ordenar? 20. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 chicas en una banca para 7, si dos de ellas quieres sentarse en los extremos
Resolución 7 Se tendrá: P2,2,3
7! 210 2!2!3!
Ejemplo 2: ¿De cuántas formas deferentes se pueden ordenar las letras de la palabra TAPITA? Resolución Podemos observar que la letra T se repite 2 veces, la letra A 2 veces y las letras P e I una vez cada una. 6! 6 180 Luego: P2,2,1,1 2!2!1!1!
4. COMBINACIÓN: Es una selección o agrupamiento que se puede formar con los elementos de un conjunto (los elementos deben de ser diferentes). En general con n elementos diferentes, el número de combinaciones que se pueden obtener agrupando de k en k (k ≤ n), estará dado por las permutaciones de n objetos agrupados de k en k, pero dividido entre el número de permutaciones de k elementos que se pueden obtener.
PARA LA CLASE…. 17. ¿Cuántas palabras diferentes, no necesariamente pronunciables o con sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra TERREMOTO? 18. ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? Profesor: Javier Trigoso
Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger 3 niños de un total de 5?
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Análisis Combinatorio Resolución Al señalar que vamos a “escoger”, indica que no se necesita indicar ningún orden, lo que sí interesa es el grupo formado, luego se trata de combinar 5 elementos, tomándolos de 3 en 3.
5! 4.5 C35 10 2!3! 1.2 Ejemplo 2: De un grupo de 7 personas se quiere formar una comisión de 3 personas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar dicha comisión? Resolución Digamos que una comisión está formada por Luis, José y Alberto, la comisión será la misma a que la nombremos como la integrda por Alberto, Luis y José. Vemos que no interesa el orden, luego se buscará el número de combinaciones de 7 elementos agrupados de 3 en 3.
7! 7.6.5 C37 35 4!3! 1.2.3
PARA LA CLASE…. 21. Un alumno decide rendir tres de los cinco exámenes finales ¿De cuántas maneras distintas puede elegir esas tres pruebas? 22. Entre Ana, Beatriz, Carlos y Diego se debe elegir una comisión formada por tres personas. ¿De cuántas formas distintas se puede elegir la comisión? Profesor: Javier Trigoso
23. ¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero del damos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno? 24. Calcula el número de triángulos que se pueden trazar por 7 Puntos no colineales. 35 25. Al final de un torneo de ajedrez se clasifican 5 jugadores. ¿Cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos.
PARA LA CASA…. 01. Determina el valor de P, sabiendo que P A) 3/5
B) 5/3
02. Simplifica P A) 8
A) n
A) n - 1
E) 1
C) 12
D) 24
E) 36
C) n + 1
D) 2n
E) 1
11! 10 ! 9! 121x 8!
n ! n 1 !
n 1 !
B) n - 1
04. Reducir: R
8! D) 3/7
C) 7/3
B) 9
03. Reducir: P
6! x 4 !
n 2 ! n n 3 n 2 ! n 3 ! n!
B) n
C) n + 1
D) n + 2
E) n - 3 Página 8
Análisis Combinatorio 05. Resolver: A) 1
x 6 ! x 2 ! 44 x! x 4 ! B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
06. Para ir de la ciudad A a la ciudad D hay que pasar por las ciudades B y C a través de las carreteras que se indican en la figura:
A
B
C
El número de posibles recorridos distintos es: A) 10 B) 15 C) 25 D) 30
12. Rocío tiene 3 minifaldas y 6 blusas. ¿De cuántas se podrá vestir, si la minifalda azul siempre debe usarla con la blusa amarilla? A) 18 B) 16 C)15 D) 13 E) 11
D
E) 45
07. De una ciudad A a otra B hay 6 caminos diferentes y de la ciudad B a C hay 4 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando por B? A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 24 08. Hay 3 caminos para ir de “x” a “y” , 8 para ir de “x” a “z”, 7 para ir de “y” a “w” y 5 para ir de “z” a “w”. ¿De cuántas maneras se puede ir de “x” a “w”? A) 59 B) 24 C) 35 D) 61 E) 16 09. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una banca de seis asientos, cuatro personas? A) 24 B) 120 C) 180 D) 360 E) 720 10. Una señora tiene 10 amigas de confianza, ¿de cuántas maneras puede invitar a seis de ellas a cenar? A) 60 B) 90 C) 120 D) 210 E) 720 Profesor: Javier Trigoso
11. María tiene 5 pantalones y 3 blusas. ¿De cuántas maneras Distintas puede ponerse un pantalón y una blusa? A) 8 B) 12 C) 15 D) 30 E) 60
13. ¿De cuántas maneras se puede escoger un menú (entrada, plato de fondo y postre) si se dispone de 3 entradas, 3 platos de fondo y 5 postres? A) 11 B) 14 C) 15 D) 45 E) 125 14. Un producto se vende en 3 mercados en el primero se tienen disponibles 7 tiendas en el segundo en 4 tiendas y en el tercero en 6 tiendas. ¿De cuántas maneras puede adquirir una persona un ejemplar de dicho producto? A) 148 B) 17 C) 168 D) 24 E) 236 15. ¿Cuál es el número de colocaciones diferentes de 7 libros en una estantería de modo que tres libros determinados estén siempre separados entre sí? A) 1 520 B) 1 634 C) 1 440 D) 1 780 E) 1920 16. Cinco viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hoteles. ¿De cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en hoteles diferentes? A) 60 B) 24 C) 120 D) 720 E) 30
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Análisis Combinatorio 17. ¿De cuántas maneras diferentes, 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sientan juntos? A) 864 B) 1 728 C) 688 D) 892 E) 1 700 18. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular para jugar casino, sí éstas parejas juegan siempre juntas? A) 120 B) 16 C) 48 D) 144 E) 48 19. Para viajar de Miami a Puno se pueden abordar 5 aerolíneas diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá hacer el viaje de ida y vuelta, abordando una aerolínea distinta al regreso? A) 10 B) 8 C) 9 D) 20 E) 25 20. En el hipódromo, en la primera carrera corren 7 caballos. Si “Rex” fue descalificado, ¿de cuántas maneras distintas pudieron llegar los restantes? A) 24 B) 120 C) 240 D) 480 E) 720 21. Se quiere confeccionar banderas tricolores de franjas horizontales. Si se disponen de 7 colores distintos, ¿cuántas banderas se podrán hacer? A) 60 B) 120 C) 144 D) 180 E) 210 22. ¿Cuántos números pares de 4 cifras distintas pueden formarse con los dígitos 2,3,4,7,8y 9 A) 360 B) 240 C) 180 D) 120 E) 90
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23. Al lanzar dos dados, ¿de cuántas maneras puedo obtener lograr una suma igual a 6? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 24. En una bolsa hay 15 bolas azules, 12 blancas, 13 rojas y 17 verdes. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que debe tomar para tener la seguridad de haber extraído un color por completo? A) 48 B) 56 C) 17 D) 55 E) 54 25. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra “JAPANAJA”? A) 81 B) 840 C) 120 D) 8 E) 64 26. En un cajón se encuentran 3 pares de medias blancas, 2 pares de medias azules y 4 pares de medias marrones. ¿Cuál es el menor número de medias que hay que sacar para estar seguro de haber extraído un par de medias del mismo color? A) 4 B) 10 C) 13 D) 3 E) 5 27. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar la palabra EXAMENES si no puede haber dos “E” adyacentes? A) 2 100 B) 2 400 C) 3 200 D) 5 100 E) 5 400 28. Con las frutas: plátano, papaya, melón, piña y mamey. ¿Cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer? A) 13 B) 10 C) 25 D) 32 E) 31 29. Una organización estudiantil tiene que elegir un delegado y un subdelegado. Hay 7 candidatos. ¿Cuántas elecciones distintas se pueden hacer? Página 10
Análisis Combinatorio A) 21
B) 28
C) 35
D) 42
E) 49
A) 576
B) 625
C) 480
D) 25
E) 24
30. Un palco de 4 asientos, es vendido a 2 parejas. ¿De cuántas maneras diferentes podemos acomodar si cada pareja quiere estar junta? A) 2 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4
36. ¿De cuántas formas se pueden sentar en una fila de 5 asientos: 2 hombres, 2 mujeres y un niño de modo que a la derecha e izquierda del niño se encuentre siempre una mujer? A) 12 B) 18 C) 8 D) 36 E) 24
31. ¿Cuántos diccionarios bilingües hay que editar si consideramos los idiomas: español, inglés, francés, portugués y alemán? A) 2 B) 5 C) 10 D) 9 E) 7
37. ¿De cuántas maneras diferentes se puede verter una persona que tiene 6 ternos (2 iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)? A) 420 B) 280 C) 288 D) 840 E) 2 800
32. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si sólo 2 saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse? A) 24 B) 60 C) 120 D) 240 E) 360 33. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el estudiante debe contestar 10. Si de las 6 primeras preguntas deben contestar por lo menos 5, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? A) 15 B) 36 C) 51 D) 21 E) 27 34. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran 5 asientos juntos, en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las tres chicas no quieren estar una al costado de la otra? A) 10 B) 16 C) 18 D) 15 E) 12 35. Se tiene una mesa redonda en la cual se pueden sentar 5 mujeres y 5 hombres. ¿De cuántas maneras lo podrán hacer con la condición de que no queden juntos dos hombres? Profesor: Javier Trigoso
38. Luis, hace cigarrillos con las colillas que recoge del suelo. Si necesita 7 colillas para hacer un cigarrillo. ¿Cuántos hará con 49 colillas? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 9 39. ¿Cuántas palabras diferentes que terminen en “O” pueden obtenerse con las letras de la palabra “MÉDICO”, sin que se repita ninguna palabra y sin importar si las palabras tienen o no sentido? A) 6 B) 24 C) 48 D) 120 E) 146 40. En una reunión hay 40 damas y 20 varones. Se desea elegir un presidente, vice-presidente, tesorero y un secretario. La condición es que el tesorero sea una dama y el secretario un varón y nadie puede ocupar más de un cargo. Entonces el número de maneras en que puede elegirse ese grupo directivo es igual a: A) 2 644 800 B) 2 844 600 C) 2 866 400 D) 3 088 400 E) 3 244 800 Página 11
