양자물리학
양자물리학 원서 36장 무엇을 배우는가
34.1 34.2 34.3
물질, 시간, 공간의 본성 흑체복사 광전효과 보기문제 34.1 일함수
34.4 34.5
보기문제 34.2 레이저포인터의 광자 콤프턴 산란 보기문제 34.3 콤프턴 산란 물질파 보기문제 34.4 빗방울의 드브로이 파장
34.6
입자의 이중슬릿 실험 불확정성 관계 보기문제 34.5 속도위반 티켓에서 벗어나
34.7 34.8
기 위한 수단 스핀
슈테른-게를라흐 실험 기본입자의 스핀과 파울리의 배타원리 스핀과 통계
보스-아인슈타인 응축
무엇을 배웠는가/주요내용 문제풀이 능력 키우기 풀이문제 34.1 루비듐의 보스-아인슈타 인 응축 객관식 문제 설명문제 연습문제
그림 34.1 어둠 속에서 야간투시장치로 찍은 영상.
455
456
34장 양자물리학
무엇을 배우는가
양자가설에 기초하여 주어진 진동수 구간에서 방출되는
복사일률에 대한 플랑크의 복사법칙을 유도할 수 있다.
불확정도와 위치 불확정도의 곱은 절대하계를 갖는다고
수)에 대한 자외선파국을 피할 수 있고, 고전적 복사법칙
갖는다.
양자가설로 고전적 해석의 문제점이었던 단파장(고진동 을 하나의 극한으로 포함한다.
규정한다. 에너지와 시간 불확정도의 곱도 같은 하계를
핀에 따라 두 종류로 나뉜다. 플랑크 상수를 2로 나눈
성된다는 양자가설을 토대로 설명할 수 있다. 광자에너
단위로 스핀이 정수배인 입자를 보손, 반정수배인 입자
지는 진동수에 플랑크 상수를 곱한 값이다.
콤프턴 효과란 고에너지 광자(엑스선)와 전자의 충돌현
상이다. 엑스선의 산란에서 관찰된 현상들은 광자가 입
자의 특성을 갖는다고 가정하면 간단히 설명할 수 있다.
보통은 물질로 생각되는 것들도 파동의 특성을 갖는다. 입자의 드브로이 파장은 플랑크 상수를 입자의 운동량으 로 나눈 것으로 정의하며, 물질파와 관련된 기본파장이다.
기본 양자입자들은 스핀이라는 고유특성을 가지며, 스핀
은 각운동량의 단위이다. 스핀은 양자화된다. 입자는 스
보통은 빛과 같이 파동으로 생각되는 것들도 입자의 특 성을 갖는다. 광전효과는 빛이 광자라는 기본양자로 구
하이젠베르크의 불확정성 관계는 동시에 측정한 운동량
를 페르미온이라고 부른다.
파울리의 배타원리는 어떤 두 페르미온도 동시에 같은 양자상태를 점유할 수 없다고 천명한다. 즉 주어진 원자 에서 어떤 두 페르미온도 정확히 동일한 양자수를 가질 수 없다는 뜻이다. 여기서 양자수란 입자의 양자상태를
특징짓는 숫자들이다. 보손은 극저온에서 상당수가 동일 한 양자상태를 점유하도록 응축될 수 있다.
오늘날 야간투시장치는 경찰관이나 군인들에게 기본적인 장비가 되었다. 야간투시장치는 대부
분의 광학기기들과 마찬가지로 렌즈를 사용하여 영상을 포착하지만, 본래의 목적은 희미한 빛
을 잡아내고 증폭시켜서 사용자들이 미량의 불빛으로도 영상을 볼 수 있도록 하는 것이다(그
림 34.1 참조). 야간투시장치는 빛의 직진성이나 파동성이 아니라, 이 장에서 논의할 빛의 입자 성으로 작동한다.
빛은 물체와 상호작용할 때 자주 입자 같은 특성을 드러낸다. 빛이 개별 원자나 분자, 또는
생체세포들과 상호작용할 때는 광자라고 불리는 미세한 파동묶음처럼 행동한다. 야간투시장치
에서 광자는 광전효과라는 현상을 통해 전기신호로 변환되고, 다시 광전자증배관 또는 마이크로
.(
.)
채널판이라는 장치를 통해 증폭된다 이들 장치의 작동원리를 이 장에서 논의한다 이렇게 발
생한 전자들은 인광스크린에 부딪쳐 다시 빛으로 전환된다. 이때 어둠 속에서도 볼 수 있도록 빛을 증폭시키지만, 그림 34.1처럼 세부 사항이나 색깔을 표시하지는 못한다.
광자의 존재는 결국 빛이 파동이 아니라는 뜻일까? 이 장에서 입자와 파동의 경계가 모호
하다는 것을 알게 될 것이다. 미시세계에서 파동은 입자처럼 행동할 수 있고, 입자는 파동처럼
행동할 수 있다. 이러한 발견은 물리학의 이해에 혁명적인 변화를 가져왔으며, 상대성이론이 시간과 공간에 대한 인식의 틀을 바꾼 것에 필적한다. 이 책의 나머지 뒷장들은 양자물리로 알
려진 이러한 변화들을 설명하고 있다.
34.1
물질, 시간, 공간의 본성 지금쯤은 물질이 원자로 구성되어 있다는 사실을 받아들였을 것이다. 원래 원자는 눈에 보이지
34.2 흑체복사
않는 것이라고 여겨졌었다. 실제로 원자는‘개별적이고 더 이상 나눌 수 없는’ 이라는 뜻의 그
리스어에서 비롯된 단어이다. 그러나 원자가 하부구조를 가지고 있다는 것을 곧 알게 될 것이 다. 원자는 원자핵 주변에‘전자구름’ 이 둘러싸고 있으며, 원자핵은 다시 양성자와 중성자로 구성되어 있다. 물리학자들은 전자에는 하부구조가 없다고 믿고 있지만, 양성자와 중성자는 각 각 글루온으로 엮인 세 개의 쿼크가 모여 만들어진 것으로 알려져 있다(21.2절 참조). 쿼크와
글루온 또한 하부구조가 없는 기본단위로 알려져 있다. 물리학자들이 어떻게 이러한 추론에 도
37~40장에 걸쳐 논의하겠다. 지금은 물질이 더 이상 나눌 수 없는 최소단위, 즉 ‘알갱이’ 로 구성되어 있다는 것만 지적해 둔다. 시간과 공간은 어떠할까? 이들도‘알갱이’ 로 되어 있을까? 상대론에 관한 35장에서 시간 과 공간 사이의 관련성에 대한 놀라운 결과를 배웠다. 그러나 아직도 시간과 공간이 무한소의 양으로 나뉠 수 있는가에 대한 의문은 고려하지 않았다. 미적분학은 t→0의 극한으로 속도와 가속도를 정의하므로 시간이 띄엄띄엄한 것이 아니라 연속적인 것이라고 가정하고 있다. 에너 지와 운동량 사이의 관계는 시간과 공간의 관계와 비슷하다. 따라서 곧바로 에너지와 운동량이 연속적인 양인지, 아니면 가장 작은 에너지와 운동량 알갱이가 존재하는지에 대한 질문을 제기 한다. 예를 들어 회전하는 공은 회전운동에너지를 가지고 있다. 각속도를 증가시키면 공의 운 동에너지도 증가시킬 수 있다. 하지만 무한히 작게 증가시킬 수 있을까? 아니면 가장 작은 에너 지의 양자를 더해야만 할까? 빛을 다시 고려하면서 위의 질문에 대한 답을 탐구해 보자. 31장에서 배운 대로 빛은 전자 기파로 생각할 수 있다. 처음으로 빛을 탐구한 32장과 33장에서는 거울, 렌즈 및 기타 광학기기 를 조사하면서 기하광학을 배웠다. 빛이 직선으로 움직인다는 가정하에 빛을 광선으로 다루었 다. 그러나 34장에서 회절과 간섭 같은 물리적인 효과들을 설명할 때에는 빛의 파동성을 다룰 수밖에 없었다. 34장에서는 빛을 조사하는 공간의 크기가 빛의 파장 정도가 되어야만 파동성 이 유효하고, 그보다 훨씬 크면 기하광학이 훌륭한 어림이 된다는 것을 알았다. 달했는가는
빛을 전자기파로서 기술한 앞의 논의는 관찰할 수 있는 모든 현상을 설명하는 데 충분할 까? 다음 절들에서 설명하듯이 대답은‘아니요’ 이다.
34.2
흑체복사
18장에서 열복사를 논의할 때, 이상화된 흑체 개념을 도입했다. 이러한 이상화는 온도가 T인 커다란 공동에 뚫린 작은 구멍에서 나오는 복사를 관찰하는 것으로 정확하게 실현할 수 있었 다. 만약에 실온에서 위와 같은 구멍에서 나오는 빛을 응시한다면 구멍은 까맣게 보일 것이다.
구멍을 통해 공동으로 들어간 빛이 산란되어 결국 벽에 흡수되기 때문이다. 그러나 더 높은 온 도가 되면 구멍에서 전자기 스펙트럼의 가시광선 영역에 해당하는 빛이 나오기 시작한다. 전기
난로에서 가열된 조리기구의 탁한 빨간 색깔이나 백열전구 필라멘트의 밝은 빛깔, 태양광 등이 바로 일상에서 흔히 접하는 흑체복사이다(그림 34.2 참조).
먼저 고전 파동물리와 관찰로부터 알려진 흑체복사에 대한 사실을 간단히 정리하자. 흑체
복사의 전체 세기 I(단위시간, 단위면적당 복사되는 에너지)에 대한 슈테판-볼츠만의 법칙은
457
458
34장 양자물리학
(34.1) 이며, ()는 파장의 함수인 스펙트럼 방출도(spectral emmittance, 또는 스펙트럼 복사도)이다.
스펙트럼 방출도는 단위시간, 단위면적, 해당 파장당 복사되는 에너지이며 SI 단위는 [()]Wm3이다. 적분은 0부터 무한대까지 모든 파장 를 포함하며, 슈테판-볼츠만 상수 는 다음과 같다.
슈테판-볼츠만 복사법칙(식 34.1)에서 가장 중요한 것은 전체 복사세기가 온도의 네제곱에 비
례한다는 것이다.
독일의 물리학자 빌헬름 빈은 1896년에 흑체의 스펙트럼 방출도를 설명하기 위해 경험적
그림 34.2 빛을 내뿜는 화산용암은
으로 다음과 같은 빈의 법칙(Wien’slaw)을 유도했다.
흑체복사의 좋은 예이다.
(작은 어림).
(34.2)
여기서 a와 b는 상수이다. 빈의 법칙은 파장이 짧은 흑체의 방출도를 설명하는 데 성공했지만
파장이 긴 경우에는 실패했다. 빈의 변위법칙(Wien displacement law)은 스펙트럼 방출도에
대한 또 하나의 중요한 실험결과를 알려 준다. 즉 스펙트럼 방출도가 최대인 파장 m은 다음과 같이 온도에 의존한다.
(34.3) 한편 영국의 물리학자 레일리 경과 제임스 진스 경은 빛을 전자기파로 기술하여 흑체복사의 스펙트럼 방출도에 대한 다음의 공식을 유도했다.
(큰 어림).
(34.4)
여기서 c는 광속이며 kB는 볼츠만 상수로 다음과 같다.
그러나 이 결과는 →0일 때 발산한다는 확연한 단점을 갖고 있었다. 이 문제점은 이후 자외선
(
).
34.4가 모든 길이의 파장에 대해 옳 다면 식 34.1의 적분은 발산하므로 흑체복사의 세기는 모든 온도에서 무한대일 것이다. 분명히 불가능한 일이다. 그러나 긴 파장에서는 레일리와 진스의 결론이 실험결과와 일치한다. 1900년에 독일의 물리학자 막스 플랑크는 모든 파장에 대해 성립하는 스펙트럼 방출도를 유도하기 위해 급진적인 가정이 필요했다. 그는 빛이나 다른 전자기복사에 포함된 에너지는 띄 엄띄엄한 덩어리 형태로만 고체와 상호작용한다고 제안했다. 그는 다음과 같이 덩어리의 에너 지가 빛의 진동수에 비례한다는 가설을 세웠다.
파국으로 알려지게 되었다 자외선은 파장이 짧다 만일 식
(34.5) 여기서 h는 플랑크 상수(Plank’sconstant)이며 다음의 값을 갖는다.
34.2 흑체복사
459
(34.6) 앞에서 도입한 eV 단위(1 eV1.6021781019 J)로는 h4.135671015 eV s이다.
이 장의 뒷부분에서 알게 되겠지만, 플랑크 상수를 2로 나눈 값은 양자물리의 여러 방정
식에서 자주 사용되기 때문에 다음과 같은 새로운 기호 로 표기한다.
(34.7) 빛의 파장과 진동수는 여전히 cf의 관계를 통해 속도와 연관되어 있으므로 식 34.5를
(34.8) 로 다시 표기할 수 있다. 플랑크가 양자화 에너지 가설을 토대로 구한 플랑크의 복사법칙(Planck’s
radiationlaw)은
(34.9) 이며, IT (f)df는 f와 fdf 사이의 진동수에서 온도 T의 흑체가 단위입체각, 단위면적당 방출하
는 복사일률(단위시간당 에너지)이다. IT (f)는 고유세기 또는 스펙트럼 밝기(spectral brightness)이며, SI 단위는 W m2 sr1 Hz1이다. 지금은 플랑크의 결과를 그냥 사용하지만,
이 장의 후반에서 진동수와 온도 의존성을 이해하기 위해 다시 조사할 것이다.
스펙트럼 밝기는 방향에 의존하지 않는다. 스펙트럼 밝기 IT (f)를 반구의 모든 방향에 대
해 적분하면 스펙트럼 방출도 T (f)를 다음과 같이 얻는다.
따라서 스펙트럼 방출도는 정확히 스펙트럼 밝기의 배이다.
(34.10) cos 인자는 흑체의 구멍에 수직인 단위벡터 nt 의 복사성분이므로, 극각의 함수로 표기한 유효 단위면적을 나타낸다. 반구의 입체각에 대한 적분은 각도 (0부터 /2까 지)와 각도 (0부터 2까지)의 이중적분이다(그림 34.3 참조). IT (f)는 각도에 의존하지 않기 때문에 위의 적분은 매우 쉽게 계산할 수 있다. 식 34.10과 34.9를 결합하면 첫 번째 적분에서
(34.11) 을 얻는다. 스펙트럼 방출도 T (f)의 SI 단위는 Wm2 Hz1이다.
또한 스펙트럼 밝기와 스펙트럼 방출도는 진동수 대신 파장의 함수로 표기할 수 있다. 이
그림 34.3 흑체복사는 구멍에서 시작 해 반구의 모든 방향으로 방출된다.
460
34장 양자물리학
를 위해 cf를 사용하면 다음을 얻는다.
따라서 스펙트럼 밝기를 파장의 함수로 나타내면 표기하면
(34.12) 이며,
SI 단위는 Wm3 sr1이다. 이제 앞에서와 같이 파장의 함수로 얻은 스펙트럼 밝기를 모 든 방출각도에 대해서 적분하면 스펙트럼 방출도를 다음과 같이 파장의 함수로 얻게 된다. (34.13)
위의 SI 단위는 Wm3이다. 플랑크 법칙의 네 형태(식 34.9, 34.11, 34.12, 34.13)는 모두 똑같
이 유효하다. 그러나 스펙트럼 밝기나 스펙트럼 방출도를 논의할 때에는 주의를 기울여야 한 다. 위에서 확인했듯이 배 차이가 난다. 왜냐하면 스펙트럼 방출도가 스펙트럼 밝기의 반구의
방출각도에 대한 적분이기 때문이다.
그림 34.4는 스펙트럼 방출도에 대한 플랑크 복사법칙을 세 온도에서 파장의 함수로 나타
낸 그래프이다. 가장 위의 곡선은 태양표면의 온도와 비슷한 5800 K에서 계산한 것이다. 방출
500 nm(청록색)의 파장 근처에서 최대이며, 빈의 법칙(식 34.3)과 일치한다. 다른 그림 34.4 세 온도(5800 K, 5400 K, 두 그래프는 540 nm(황록색)에서 최대인 5400 K 곡선과 580 nm(오렌지색)에서 최대인 5000 5000 K)에서 플랑크의 스펙트럼 방출 K 곡선이다. 또한 그림 34.4는 다른 가시광선 스펙트럼의 색깔들도 보여 준다. 도를 파장의 함수로서 나타낸 그래프. 도함수는
빈의 법칙, 레일리-진스의 법칙, 슈테판-볼츠만의 법칙, 빈의 변위법칙들은 모두 플랑크의
유 도 과 정 34.1
복사법칙
복사법칙(식 34.13)에서 유도할 수 있다.
:
.
빈의 법칙 가 작으면 플랑크 법칙에서 지수함수의 인수가 커진다 따라서
로 표기할 수 있다. 플랑크 법칙의 특수한 경우로 빈의 법칙을 다음과 같이 얻는다.
이는 식 34.2와 같은 파장 의존성을 가지며, 상수는 a2hc2, bhc/kB이다.
: . 1x로 전개할 수 있고, ehc/kBT1 hc/kBT이다. 따라서 다음을 얻는다.
e
레일리-진스의 법칙 가 크면 지수함수의 인수가 작아진다 따라서 지수함수를 x
34.2 흑체복사
이는 식 34.4인 레일리-진스의 법칙과 일치한다.
:
()
461
.
빈의 변위법칙 이 법칙을 이해하려면 가 최대가 되는 파장을 찾아야 한다 즉 파
장에 대해서 미분하고 근을 구해야 한다. 미분은 다음과 같다.
T→인 무의미한 경우를 제외하고, 위의 식은 분자가 0일 경우에만 0이 될 수 있다. 따라서 을 만족하는 파장을 구해야 한다. 여기서 m은 플랑크 복사법칙이 최대가 되는 파장의 값
이다. uhc/mkBT로 치환하면 위의 식을 다음과 같이 간단히 줄일 수 있다.
이 식은 스프레드시트와 같은 프로그램에서 간단한 회귀법으로 구할 수 있다. 뻔한 해로
u0이 있지만, 이는 무한 파장에 해당하므로 무의미하다. 따라서 먼저 유한한 값 1에서 회귀법을 시작하면 55e13.1606를 얻고 이 값을 이용해 다시 55e3.16064.7880를 얻는 등 이 과정을 몇 번만 거치면 다음의 값으로 빠르게 수렴한다.
이제 상수 h, c, kB의 값을 이용하여 다음을 얻는다.
이는 식 34.3에서 실험적으로 얻은 결과와 완전히 일치하는 값이다.
:
I
0
슈테판-볼츠만 법칙 전체 복사세기 는 플랑크 복사법칙을 부터 까지 모든 파장에
대해서 다음과 같이 적분해서 구한다.
퀴즈문제 34.1 빛의 가시 스펙트럼은 대략 380 nm(남보라색)에서 780 nm(빨간 색)까지이다. 광자에너지의 범위 는 전자볼트 단위로 무엇인가? a) 1.59 eV to 3.26 eV
플랑크 상수, 볼츠만 상수, 광속을 넣으면 슈테판-볼츠만 상수로 다음을 얻는다.
b) 2.541019 eV to 5.231019 eV c) 0.381015 eV to 0.781015 eV d) 190 eV to 390 eV
462
34장 양자물리학
그림 34.5에서 확인할 수 있듯이 플랑크 법칙은 이전에 존재했던 모든 복
사법칙들을 특별한 경우로 포함하고 있다.
플랑크의 법칙은 짧은 파장에서는 빈의 법칙과 일치하며, 긴 파장에서는
레일리-진스의 법칙과 부합한다. 이러한 성공으로 인해 플랑크의 흑체 복사법 칙은 양자화된 에너지상태라는 급진적인 가정에도 불구하고 학계로부터 즉시 인정받게 되었다. 특히 유도과정 34.1을 보면 양자가설이 앞에서 언급했던 고
전적 자외선파국(식 34.4 참조)을 어떻게 해결하는지 알 수 있다. 즉 주어진 진 동수 f에서 하나의 광자를 생성하려면 에너지 hf가 필요하므로 진동수가 증가
그림 34.5 T5000 K에서 플랑크의 함에 따라 광자를 생성하는 데 필요한 에너지를 공급하는 것이 점점 어려워진다 이에 따라 고 복사법칙, 레일리-진스의 복사법칙, 빈 의 법칙을 비교한 그래프. 유도과정 진동수에서 차단이 필수적이고 관측결과와도 부합한다 따라서 빛이 지닌 양자본성의 직접적 34.1에서 얻은 상수들을 사용한다. 인 결과로 자연스럽게 자외선파국을 피할 수 있는 것이다
.
.
.
가장 흥미로운 흑체 스펙트럼의 예는 우주배경복사이다. 배경복사는 빅뱅
의 잔재이며 전 우주에 걸쳐서 놀라울 정도로 균일하게 분포되어 있다. 1990년
에 추진된 COBE 위성탐사와 좀 더 최근의 WMAP 위성탐사 결과는 이를 놀라
울 정도로 세밀하게 증명했다. 그림 34.6처럼 COBE 탐사자료는 우주배경복사 가 온도 2.7250.001 K일 때의 흑체복사와 완벽히 일치한다. 즉 우주 자체가 완 벽한 흑체복사체라는 것을 발견한 것이다. COBE 탐사를 이끈 조지 스무트와 존
COBE 위성탐사의 성과를 인정받아 2006년 노벨 물리학상을 받았다. (우주배경복사에 대한 자세한 논의는 40장에서 계속하겠다.) 매더는
흑체복사로 우주의 온도를 측정하듯이 물리적으로 접촉하지 않고 물체의 온
.
,
그림 34.6 마이크로파 배경복사의 스 도를 측정하기 위해서 흑체복사를 이용할 수 있다 이 장 초반에 언급했듯이 물체가 충분히 뜨
.
펙트럼 방출도를 진동수의 함수로 나타 겁다면 가시영역의 광자를 방출할 것이다 예를 들어 제철소에서 녹은 철의 온도는 백열의 철에 낸 그래프. 푸른 네모들은 COBE 위성 으로 얻은 자료들이고, 빨간색 곡선은 서 방출되는 광자를 분석하여 측정하고 있다 실온에 가까운 물체들은 주로 적외선 영역의 광자 온도 2.725 K에서 얻은 플랑크 복사곡 들을 복사한다 현대식 적외선 온도계는 고막에서 방출되는 적외선을 이용하여 인체의 온도를 선이다.
.
.
잴 수 있다. 이 외에도 적외선 온도계는 음식물과 전기소자의 온도를 측정할 때도 사용된다.
34.3
광전효과 원래 플랑크의 에너지 양자가설은 물리학의 혁명이라기보다는 계산을 위한 특이한 수단쯤으 로 여겨졌었다. 그러나 1905년 아인슈타인의 광전효과에 대한 설명 이후로 이 관점은 완전히
바뀌었다. 아인슈타인은 빛이 에너지의 덩어리, 또는 양자로 이루어졌다고 가정하여 광전효과 의 수수께끼를 풀었다. 광전효과는 1886년 하인리히 헤르츠가 최초로 발견했고, 로버트 밀리컨 이 1916년 아인슈타인의 모든 예측들을 정량적으로 확인함으로써 증명되었다. 광전효과에 대
1921년 노벨 물리학상을 받았다. 34.4절에서 다시 보게 되겠지만, 빛의 양자본성은 1923년 콤프턴에 의해 결정적으로 확인되었다. 미국의 화학자 길버트 루이스 는 1926년에 빛의 양자를 나타내기 위해 광자(photon)라는 용어를 만들어 냈다. 이 장의 남은 부분에서 광자는 빛과 다른 모든 전자기복사의 양자를 통칭하는 용어로 사용한다. 광전효과(photoelectric effect)에서 빛은 적당한 금속의 표면에서 전자를 떼어 내어 전류 한 설명으로 아인슈타인은
34.3 광전효과
463
를 형성할 수 있다. 광전효과가 어디에 응용되는지는 엘리베이터의 문을
관찰하면 알 수 있다. 엘리베이터 문은 사람이 입구에 있다는 것을 어떻게
인식할 수 있을까? 답은 광원과 광전효과를 활용한 광수용체로 구성된 광 감지기에 있다. 만일 사람과 같은 물체가 광원과 광수용체 사이에 위치하
면, 수용체는 더 이상 빛을 받지 못하므로 전기 스위치가 작동하여 엘리베
이터의 문이 열리게 된다. 차고 문도 같은 원리로 작동한다. 광감지기가 있어서 머리 위로 문이 내려오는 것을 막는 것이다.
광전효과를 관찰하기 위해 다음과 같이 실험할 수 있다. 그림 34.7은
기본적인 장치를 보여 준다. 왼쪽은 전구나 발광다이오드(많은 광회로에
서 사용한다) 또는 태양광 같은 광원이다. 오른쪽은 광감지기로 진공상태
의 유리 용기 안에 금속조각(직사각형 모양의 음극)과 금속판(검은 줄로 표시한 양극)으로 이루 회로. 어져 있다. 광감지기에 자주 사용되는 금속은 세슘이다. 광감지기는 전원과 전류계로 구성된
그림 34.7 광전효과 장치의 개략도와
회로의 일부이다. 광원과 광감지기 사이에는 오직 한 가지 색깔(이 경우 푸른색)의 빛만 통과 시키는 필터가 있다. 실험에서 다음과 같은 결과를 도출할 수 있다.
V0인 전원과 푸른색 필터가 설치된 상태에서 전류계가 전류를 검출하면, 전자들이 금 속조각과 금속판 간격을 이동하고 있다는 뜻이다. 만약 세기가 증가하면 측정된 전류 또한 증가하고, 이는 더 많은 전자들이 이동하고 있다는 뜻이다. 빨간색 필터로 바꾸면 아무런 전류도 검출되지 않는다. 이 사실은 세기가 증가해도 마 찬가지이다. 푸른색 필터와 양의 V 값에서 전류계를 통과하는 전류의 양은 증가한다. 전압이 음의 값으로 변하여 증가하면 전류계에서 측정되는 전류의 양은 점점 감소하고 어느 문턱값 에 도달하면 전류가 멈춘다.
이와 같은 실험을 통해 금속의 표면에 빛을 쪼이면 전자들이 튀어나온다는 사실을 알 수 있다. 전자들은 운동에너지를 가지고 있으며, 최댓값은 음의 전압을 양극에 가하여 측정할 수 있다.
만일 전자들(전하 qe)이 퍼텐셜 VV0를 극복하고 최대 운동에너지
K최대로 음극에서 출발하여 운동에너지 0으로 양극에 도달하면 일-에너지 정리에서 다음을 얻는다. (34.14)
(이 경우의 전자들은 느리게 움직이므로 운동에너지로 비상대론적 어림값 mv2을 사용한다.) 퍼텐셜 V0는 멈춤퍼텐셜이라고 부르며, 주어진 금속에서 빛의 색깔, 즉 진동수에 의존한다. 자 세히 측정해 보면 V0가 진동수 f의 1차함수임을 알 수 있다. 또한 특정 진동수 이하에서는 멈춤 퍼텐셜이 0이 된다. 더 낮은 진동수의 빛은 광전음극판에 있는 전자들이 표면을 벗어나는 데 필요한 에너지를 공급하지 못한다. 고전 파동물리학의 관점에서 보면 다음과 같은 개념적 문제들이 발생한다. 1 2
고전적으로는 빛의 세기가 충분히 크면 진동수에 상관없이 금속으로부터 전자들을 떼
어 낼 수 있다. 그러나 관찰결과는 입사광의 세기에는 상관없이 f최소 이상의 진동수를
464
34장 양자물리학
표 34.1 원소
흔한 원소의 일함수와 대응하는 최소 진동수와 최대 파장 최소
최대
원소
알루미늄
마그네슘
베릴륨
수은
카드뮴
니켈
칼슘
니오븀
탄소
칼륨
세슘
백금
코발트
셀레늄
구리
은
금
나트륨
철
우라늄
납
아연
최소
최대
가질 때에만 광전효과가 일어남을 보여 준다. 아인슈타인은 (오늘날 광자라고 부르는) 광양자의 에너지가 진동수에 비례한다(Ehf)고 설명했다.
고전적으로는 튀어나온 전자들의 최대 운동에너지는 빛의 세기가 증가하면 같이 증가 해야 한다. 그러나 관찰결과에 의하면 빛의 세기를 증가시키면 전자의 운동에너지가 아
니라 매초 튀어나오는 전자들의 수만 증가한다. 빛의 진동수를 증가시켜야만 튀어나오 는 전자의 운동에너지가 증가한다.
광전효과의 물리적 원리는 다음과 같다. 식 34.5의 에너지를 갖는 광자가 금속표면에 충돌
하여, 전자와 금속의 인력을 극복할 만큼 충분한 에너지를 전달하면 전자를 떼어 낼 수 있다.
주어진 금속표면에서 전자를 떼어 내기 위한 최소한의 에너지를 일함수(work function)
라 하며, 이는 주어진 금속의 상수이다. 광자와 충돌한 전자가 가질 수 있는 최대 운동에너지는
K최대hf이다. K최대는 음수가 될 수 없으므로, 결국 광전효과가 일어나기 위한 빛의 최소 (문턱) 진동수는 다음과 같다. (34.15) 표 34.1에는 여러 물체의 일함수와 그에 대응하는 문턱진동수, 차단파장이 수록되어 있다. 식
34.14의 최대 운동에너지와 멈춤퍼텐셜 사이의 관계를 이용하면 다음과 같은 멈춤퍼텐셜의 진 동수 의존성을 얻는다. (34.16) 보 기 문 제 34.1
일함수
그림 34.7의 오른쪽 회로에서 광감지기의 광전음극이 무슨 물질인지 모른다고 하자. 파장
250 nm의 빛(자외선)을 사용할 때는 전류를 멈추기 위해 2.86 V의 멈춤퍼텐셜을 걸어야 하고, 400 nm의 빛(남보라색)을 사용할 때는 1.00 V, 630 nm(주황색)인 경우에는 0.130 V 의 멈춤퍼텐셜을 걸어야 한다.
34.3 광전효과
465
문제 미지 물질의 일함수는 얼마인가? 답 이 문제는 그래프를 이용하여 푸는 것이 가장 쉽다. 식 34.16에서 멈춤퍼텐셜, 일함수 및 진
동수는 선형관계이다. 선형관계는 직선으로 그릴 수 있으므로, fc/을 이용하여 주어진
파장들을 대응하는 진동수로 전환시킬 수 있다. 그리고 주어진 세 멈춤퍼텐셜 V0를 진동수
의 함수로 xy좌표축에 기입한다(그림 34.8 참조). 세 좌표들을 연결하여 그린 직선은 f0
에서 2.1 V의 값을 갖는다. 따라서 식 34.16을 이용하여 일함수를 구하면 다음과 같다.
표 34.1을 보면 광감지기로 사용한 미지의 금속이 세슘이라는 것을 알 수 있다. 세슘의 일 함수는 표에 수록된 가장 작은 값이다.
그림 34.8 특정 광감지기 물질에서 빛의 진동수 함수로 나타낸 멈춤퍼텐 셜.
확인문제 34.1 보기문제 34.1에서 일함수가 실제로 2.1 eV라고 가정하고, 세 빛을 광전음극에 쪼 일 때 방출되는 전자의 최대 운동에너지를 계산해라.
상대론에 대한 35장에서 입자의 운동량과 에너지의 관계식은 E2p2c2m2c4이었다. 이 식
에서 광자의 질량은 0이므로 에너지와 운동량의 관계는 Epc이다. (화살표 없이 사용한 p는 운동량의 크기이다. 그러나 p를 그냥 운동량이라고 부르겠다.) 따라서 식 34.8로부터 광자의 운
동량은 다음과 같이 표기할 수 있다.
(34.17) 즉 광자의 운동량과 에너지 둘 다 진동수에 비례하고 해당 전자기복사의 파장에 반비례한다.
광자는 진동수로 기술되지만 입자의 특성을 갖고 있다. 이러한 빛의 파동-입자 이중성(wave-
particle duality)은 개념적으로 이해하기 힘든 것으로, 20세기 전반의 물리학자와 철학자들을 분주하게 만들었다. 가시광선에서 단일광자를 검출하려면 여러 현실적인 문제들이 따라온다. 첫째, 앞에서 보 았듯이 각 광자는 1.6 ~3.3 eV 의 좁은 범위의 에너지를 갖는다. SI 단위로 표기하면 2.6 1019~5.2 1019 J 범위의 매우 적은 양의 에너지이다. 가장 성능이 뛰어난 광전음극도 이 범위의 광자에 대해서는 양자효율이 30% 또는 그 이하이다. 다시 말하면, 광전음극에 충돌 하는 광자 중 기껏해야 30% 이하만이 전자를 떼어 낼 수 있다는 뜻이다. 둘째, 방출된 하나의 전자는 매우 작은 전하이므로 극히 적은 양의 전류가 흐르게 된다. 전류를 쉽게 측정하 려면 방출된 광전자로 많은 수의 전자들을 생성해야 한다. 실제로 많은 장치들은 광전자 증배관으로 이 작업을 수행하고 있다. 광전자 증배관(photomultipliertube)은 금속표면에 100 eV 정도의 운동에너지로 충돌 하는 한 전자가 여러 전자들을 떼어낸다는 사실을 이용한다. 진공 유리관 안의 광전음극 과 양극 사이에 증배전극이라는 중간판들이 놓여 있다(그림 34.9 참조). 각 증배전극은 이 웃한 증배전극과 수백 볼트의 퍼텐셜차를 유지하고 있다. 구입 가능한 광전자 증배관에는 n14 개 증배전극이 결합되어 있으며, 각 증배전극은 충돌하는 전자 1개당 평균 개의 전자를 생성 할 수 있다. 여기서 는 최대 3.5의 값을 가질 수 있다. 따라서 광전자 증배관이 얻을 수 있는 총 증폭인자는 n이다. 예컨대 n14와 3.4인 경우에 증폭인자는 3.4142.8107이다. 즉 하나
그림 34.9 광전자 증배관의 개략도.
푸른색 화살표는 하나의 광자, 빨간색 화살표는 전자를 나타낸다.
466
34장 양자물리학
그림 34.10 야간투시장치는 빛이 적은 상태에서 얻은 물체의 영상을 증폭시킨 다.
퀴즈문제 34.2 주어진 광원에서 광도는 그대로 두고 파장만을 감소시키면 다음 중 무엇이 옳은가? a) 광원으로부터 초당 더 많은 광 자를 얻는다. b) 광원으로부터 초당 더 적은 광 자를 얻는다. c) 초당 방출되는 광자의 수는 같 지만, 광자의 에너지가 줄어든다. d) 초당 방출되는 광자의 수는 같 지만, 광자의 에너지가 늘어난다. e) 초당 방출되는 광자의 수는 같 지만, 광자의 속력이 줄어든다.
의 광자로 광전음극에서 튀어나온 광전자마다 양극에 2800만 개의 전자들이 도달하게 만든다.
광자를 검출하는 또 다른 응용은 이 장의 도입부에서 언급한 야간투시장치이다. 그림
34.10은 야간투시장치의 개략도이다.
야간투시장치는 광전자 증배관과 매우 비슷한 광전음극을 사용한다. 이 경우에는 대물렌
즈로 전체 영상이 광전음극에 생기도록 한다. 입사광자는 광전음극에서 전자들을 방출시킨다.
약 1000 V 정도의 퍼텐셜차로 전자들을 가속시켜서 소형 광전자 증배관의 역할을 수행하는 수 백만 개의 판들이 배열되어 들어 있는 마이크로채널판을 통과시키면 전자의 수가 대략 104 정 도 증폭된다. 마이크로채널판과 형광스크린 사이에 존재하는 약 1000 V의 두 번째 퍼텐셜차로
가속시킨 전자들이 스크린과 충돌하여 초록색 빛을 방출한다. 이렇게 생성된 빛을 접안렌즈로
초점을 모아서 그림 34.1과 같은 영상을 만든다. 또 다른 종류의 야간투시장치는 따뜻한 물체 에서 방출되는 적외선을 이용하여 어둠 속에서도 물체를 볼 수 있게 만든다.
광자를 포착해서 전기신호로 전환시키는 다른 방법들도 존재한다. 그 중 가장 주목할 만
한 것으로 CCD와 상보형 금속산화막 반도체(CMOS)가 있다. 이들은 시중의 디지털 카메라와
비디오 녹화기의 근간을 이룬다. 그러나 CCD와 CMOS의 물리원리를 이해하기 위해서는 먼저 반도체를 알아야 한다. 원자물리학을 다루는 38장에서 CCD가 어떻게 작동하는지 논의하겠다.
보 기 문 제 34.2
레이저포인터의 광자
주변의 모든 물체는 광자를 방출한다. 물체에서 나온 광자는 망막에 도달하여 뇌로 보내는 전기신호들을 유발시킨다. 이와 관련된 광자의 수를 계산하기 위해 광원을 살펴보자.
34.4 콤프턴 산란
467
문제 출력 5.00 mW의 초록색 레이저포인터에서 매초 방출되는 광자의 수는 대략 몇 개인가? 답 초록색 레이저포인터는 보통 532nm의 파장에서 작동한다. (이 값이 나오는 이유를 이 장
의 뒷부분에서 배울 것이다.) 532 nm의 파장에 대응하는 진동수는 다음과 같다.
플랑크의 가설 Ehf에서, 초록색 레이저포인터로부터 방출되는 광자의 에너지는
이다. 레이저포인터의 출력이 5.00 mW이므로 초당 5.00 mJ의 에너지를 방출한다. 따라서 매초 방출되는 광자의 수는 다음과 같다.
다시 말해서 휴대용 레이저포인터는 초당 1.31016개의 광자들을 방출한다!
확인문제 34.2
논의
태양에서 매초 가시광선으로 방출되는 광
플랑크 상수는 이미 eV s의 단위로 주어졌으므로, 초록색 레이저포인터에서 방출되는 광
자의 수를 계산해라. 태양으로부터 1억
자 하나의 에너지는 eV 단위로 다음과 같다.
4800만 km 떨어져 있는 지구에서 태양 복 사에너지의 세기는 1370 W/m2이다. 이 정 보로 태양의 총출력을 계산할 수 있다. 또
이제 원자와 양자 현상을 관찰할 때 eV의 에너지 단위가 얼마나 유용한지 깨닫기 시작할
것이다. 이 영역에서 일어나는 과정들의 전형적인 에너지 크기는 eV이다.
34.4
콤프턴 산란
31장에서 논의한 전자기 스펙트럼에서 엑스선을 가시광선보다 약 100~100,000배 높은 진동수 를 갖는 전자기파로 정의했다. 광자로 이루어진 전자기 스펙트럼을 사용하면, 엑스선의 광자는 수백~수십만 전자볼트의 에너지를 갖고 있다는 뜻이다. 엑스선은 수천 eV(수 keV)의 운동에너 지로 가속시킨 전자들을 금속 박판에 쪼여서 얻을 수 있다. 박판에서 전자들이 감속되면서 엑스 선이 발생한다. 이러한 엑스선들을 제동복사(Bremsstrahlung, 독일어로 감속복사라는 뜻이다) 라고 부른다. (원자들이 들떠서 특정 에너지의 엑스선들을 방출하는 경우는 37장에서 논의할 것 이다.) 고전 전자기이론으로도 가속된 전하로부터 나오는 전자기파에 대해 어느 정도 예측할 수 있지만, 이를 완벽하게 이해하려면 39장에서 논의할 양자전기역학(quantumelectrodynamics) 이라는 이론이 필요하다. 지금은 엑스선이 전자와 충돌하면 어떻게 되는지에 대해 알아보도록 하자. 첫째, 빛의 파 동성은 무엇을 예측할까? 만일 파동이 전자와 같은 작고 정지한 물질에 부딪치면, 하위헌스 원
한 그림 34.4를 분석하면 태양복사의 광자 중 약 1/4이 가시광선에 포함되어 있다는 것을 알 수 있다.
468
34장 양자물리학
리에 따라, 물체로부터 구형 파동이 생성되어 입사파를 산란(또는 반사)시킨다. 산란된 파동의
진동수와 파장은 입사파와 같다. 그러나 1923년에 미국의 물리학자 아서 홀리 콤프턴은 정지
한 전자에서 산란된 엑스선의 파장이 원래보다 더 길어지는 사실을 발견했다. 긴 파장은 낮은 진동수를 의미하므로 식 34.8에 의하면 엑스선 광자의 에너지와 운동량이 감소했다는 뜻이다.
만약 광자가 에너지와 운동량 같은 입자의 특성을 갖는다면, 엑스선과 전자의 상호작용은
당구공의 충돌처럼 분석할 수 있다. 광자는 광속으로 움직이고 엑스선 에너지는 전자의 질량에 비해 무시할 수 없으므로 35장의 상대론적 역학을 적용해야 한다. 즉 7장에서 배운 운동량과
충돌에 대한 공식들을 사용할 수 없다. 그러나 에너지와 운동량 보존법칙을 사용하면 똑같이 원하는 결과를 얻을 수 있다.
충돌 전 엑스선 광자의 에너지를 E, 충돌 후를 E 이라고 하면 충돌 전후 해당 광자의 운동
그림 34.11 콤프턴 산란에서의 운동 량 보존.
량은 각각 pE/c와 p E /c이다. 전자가 정지해 있다고 가정하므로 충돌 전 전자의 운동량은
0이다. 충돌과정에서 전자는 p"e의 운동량을 받는다. 그림 34.11은 전자의 산란과정을 보여 준 다. 충돌 전 전자의 에너지는 단지 정지에너지 mec2뿐이며, 충돌 후의 에너지는
이다. 충돌 시 에너지와 운동량 보존에 따라 다음을 얻는다.
(34.18) (34.19) 유도과정 34.2에서 엑스선의 최종 파장은 다음과 같다.
(34.20) 여기서 는 입사한 광자와 산란된 광자 사이의 각도이다. 이 식은 콤프턴 산란(Compton
scattering) 공식으로, 산란된 광자의 파장을 입사한 광자의 파장과 연결시켜 준다. 유 도 과 정 34.2
콤프턴 산란
식 34.20을 유도하기 위해서는 식 34.18을 p"e에 대해서, 식 34.19를 Ee에 대해서 풀어야 한 다. 첫 번째 식에서 p"ep"p" 를 얻고 양변을 제곱하면 다음을 얻는다.
(i) 식 34.19를 재배열하고 양변을 제곱하면 다음과 같다.
위 계산의 마지막 좌변에서 상대론적 에너지-운동량 관계식 Ee2pe2c2me2c4을 사용했다
(35.7절 참조). 또한 광자에 대한 에너지-운동량 관계식 Epc를 사용하면 다음을 얻는다.
34.4 콤프턴 산란
469
양변에서 me2c4을 빼고 공통인수 c2으로 나누면 다음을 얻는다.
(ii) 식 (i)과 (ii)는 좌변이 같으므로, 우변 역시 같아서
이고, (pp )2p2p 22pp 을 이용하여 다음을 얻는다.
이제 광자 운동량과 파장 ph/ 사이의 관계식 34.17을 이용하면 다음을 얻는다.
이 결과가 바로 식 34.20이다. 확인문제 34.3 상수 h/mec는 식 34.20에서 볼 수 있듯이 길이의 차원이다. 이 상수를 전자의 콤프턴 파장
(Comptonwavelength)이라고 하며 그 값은 다음과 같다.
금속 안에 있는 전자들은 정확하게 말하면 정지해 있는 것이 아니라 몇 eV의 운동에 너지를 갖고 있다. 콤프턴 산란공식을 유 도할 때 왜 전자가 정지해 있다고 가정해
(34.21) 보 기 문 제 34.3
콤프턴 산란
진동수 3.35301019 Hz의 엑스선이 금속 박판을 때릴 때, 엑스선의 입사방향에서 32.300 각도로 산란된 광자들이 검출되었다. 문제 1 입사한 광자와 산란된 광자의 에너지(eV 단위)는 각각 얼마인가? 답1
우선 입사하는 광자를 살펴보자. Ehf을 이용하면 광자의 진동수를 에너지로 전환할 수
있다. eV 단위로 에너지를 구하기 위해 플랑크 상수 또한 eV s의 단위로 표기하면 다음을 얻는다.
산란된 광자의 에너지는 콤프턴 산란공식 34.20으로 구할 수 있다(그림 34.11 참조). 이 식
에 필요한 입사광자의 파장은 다음과 같다.
도 무방한가?
470
34장 양자물리학
식 34.21의 콤프턴 파장을 이용하면 전자에 의해 산란된 광자의 파장은
이고, 에너지로 전환하면 최종적으로 다음을 얻는다.
문제 2
충돌 후 전자의 운동에너지는 얼마인가? 전자 운동량의 크기는 얼마인가? 광자는 x축 양
의 방향을 따라 입사하고, xy평면에서 산란된다고 가정하고, 운동량의 단위인 keV/c를 사
용해라. 답2
광자와 전자의 산란에서 에너지는 보존된다. (에너지 보존은 콤프턴 산란공식의 유도에서 근거가 되는 원리이므로 당연하다.) 따라서 전자가 얻는 운동에너지는 다음과 같이 광자 가 잃는 운동에너지와 같다.
전자의 총에너지는 운동에너지와 정지에너지 mec2의 합으로 다음과 같다.
위 식을 전자의 운동량 벡터의 절댓값에 대해 풀면 다음을 얻는다.
다른 풀이 전자의 운동량은 다음의 운동량 보존법칙으로도 구할 수 있다.
충돌 전후 광자의 에너지를 계산했으므로, 초기 및 최종 운동량은 keV/c 단위로 다음과 같다.
광자가 x축을 따라 입사한다고 가정하므로 다음과 같이 광자의 초기운동량 p"는 x성분만 있다.
34.5 물질파
471
광자의 산란각은 문제에서 32.300 이므로 최종운동량의 직각좌표들은 다음과 같다.
따라서 전자 운동량의 성분으로 다음을 얻는다. 확인문제 34.4 이제 성분의 제곱들을 합한 값에다 제곱근을 취하면 전자 운동량의 절댓값은 다음과 같다.
콤프턴 효과를 관측하기 위해서 왜 엑스선 을 사용하는가? 가시광선으로는 콤프턴 효과를 관측할 수 없는 이유를 설명할 수 있는가?
이는 위에서 구한 결과들과 같으며, 두 풀이 방법이 서로 모순이 없음을 알 수 있다.
34.5
물질파
지금까지 광자는 다른 모든 전자기파와 빛의 양자입자라는 사실을 확립했다. 그렇지만 여태까
지 빛의 파동성에 대해 말했던 모든 것들도 여전히 사실이다. 예를 들어 전형적인 파동현상인
간섭과 회절을 보여 줄 수 있다. 빛이 양자입자라 해서 빛의 파동성이 무의미하지 않듯이, 일반 적인 파동의 특별한 극한에서 빛을 광선으로 기술할 수 있다.
빛의 양자성과 전자기파의 입자성이 성립한다면, 보통은 입자로 생각하던 전자나 원자들
도 파동의 특성을 갖지 않을까? 당시 프랑스 대학원생이었던 루이 드브로이가 1923년에 제기
한 질문이다. 겨우 두 쪽에 불과한 그의 박사학위 논문에 포함된 이 가설로 그는 1929년 노벨 그림 34.12 속도의 함수로 나타낸 전 물리학상을 받았다.
자의 드브로이 파장. 빨간색: 정확한 결 과, 회색: 비상대론적 어림.
ph/이다(식 34.17 참조). 따라서 드브로이는 입자에 대해서도 같은 식을 적용하여 물질파 (matterwaves)의 파장을 다음과 같이 제안했다.
퀴즈문제 34.3
만약 입자들이 파동성을 가지고 있다면 그들의 파장은 무엇일까? 빛에서 광자의 운동량은
다음 중 무엇이 옳은가?
(34.22) 드브로이 파장(de Broglie wavelength)으로 부르는 이 파장은 입자의 질량 m과 속력 v에 의존 한다. 식 34.22는 운동량으로 상대론적 결과인 pmv 를 사용했지만, 여러 교과서들에서는 흔 히 다음의 비상대론적 어림을 사용한다. (비상대론적 어림).
(34.23)
a) 크고 빠른 물체들은 작고 느린 물체들에 비해 드브로이 파장이 크다. b) 작고 빠른 물체들은 크고 느린 물체들에 비해 드브로이 파장이 크다. c) 크고 느린 물체들은 작고 빠른 물체들에 비해 드브로이 파장이 크다.
그림 34.12의 전자에 대해서 알 수 있는 것처럼, 비상대론적 어림은 광속의 약 40%까지만 식
34.22의 정확한 결과와 같다. 그림 34.12에서 볼 수 있듯이, 광속의 10%로 움직이는 전자인 경우에도 드브로이 파장은 나노미터의 1/10 정도이다. 거시물체에 대한 전형적인 드브로이 파장은 무엇일까? 보기문제 34.4에서 답을 알 수 있다.
d) 작고 느린 물체들은 크고 빠른 물체들에 비해 드브로이 파장이 크다.
472
34장 양자물리학
보 기 문 제 34.4
빗방울의 드브로이 파장
빗방울의 지름은 약 0.50mm에서 5.0mm까지로 그 크기가 광범위하다. 이 범위의 하한에
서 빗방울은 2m/s의 속도로 낙하하며, 상한에서는 9m/s의 속도로 낙하한다. 문제 빗방울에 대한 드브로이 파장의 범위는 무엇인가? 답 빗방울의 질량과 지름은 다음 식으로 연관되어 있다.
여기서 는 밀도, r은 반지름, d는 지름이다. 물의 밀도가 1000 kg/m3이므로, 지름 d0.50mm인 물방울의 질량은 6.5 108 kg이고, d5.0mm이면 6.5 105 kg이다. 이 문제에서 고려하고 있는 극히 작은 속도에 대해서는 드브로이 파장으로 비상대론
적 어림인 h/mv를 사용해도 무방하다. 따라서 가장 작은 빗방울의 드브로이 파장은
이고, 가장 큰 빗방울의 드브로이 파장은 1 1030 m이다. 논의 가장 작고 느린 빗방울들도 원자의 지름인 약 1010 m보다 훨씬 적은 자릿수의 드브로이
파장을 갖는다. 따라서 거시물체에 대한 물질파 효과는 사실상 모두 무시해도 좋다. 맨눈
으로 볼 수 있을 정도로 크고 움직임을 식별할 수 있을 정도로 느리게 움직이는 물체의 드 브로이 파장은 너무 작아서 양자역학적 파동현상을 관찰할 가능성은 전혀 없기 때문이다.
확인문제 34.5
콤프턴 산란에서 살펴보았듯이, 운동에너지-운동량의 관계식은 다음과 같다.
전자의 드브로이 파장을 1 eV와 1000 eV 사 이에서 운동에너지의 함수로 그려라. 비상 대론적 어림식 p'∂2∂mßK를 사용하면 이 에너지의 범위에서 뚜렷한 차이가 있는가?
따라서 드브로이 파장은 입자의 운동에너지의 함수로 다음과 같이 표기할 수 있다.
지금까지는 드브로이의 가정을 토대로 물질파의 이론적인 가능성만을 논의했다. 과연 실험적
인 증거가 있을까? 증거를 조사하기 전에 파동광학을 다루는 34장으로 되돌아가서 무엇이 파 동을 파동답게 만드는가를 복습하면 도움이 될 것이다.
입자의 이중슬릿 실험
물질파의 존재를 실험적으로 증명하려면, 보통 입자라고 생각하는 질량을 갖는 전자, 중성자,
34.5 물질파
473
양성자, 또는 원자 같은 물체가 파동처럼 거동한다는 사실을 보여 주어야 한다. 34장에서 파동
의 대표적인 두 현상이 회절과 간섭이라는 것을 배웠다. 어떤 종류의 실험이 물질의 회절과 간 섭 현상을 보여 줄 수 있을까?
영은 간격이 d인 두 슬릿 사이로 빛을 비추어 빛의 파동성을 보일 수 있었다. 이 방식으로
형성된 간섭무늬를 그림 34.13에서 볼 수 있다.
이중슬릿 실험에서는 슬릿으로부터 거리 L인 스크린에 밝은 간섭무늬들이 나타난다. 두
슬릿의 중심에서 밝은 무늬까지 그은 선이 스크린의 수직방향과 이루는 각도가 작으면, 한 무 그림 34.13 빛의 이중슬릿 실험. 늬에서 이웃 무늬까지의 거리는 다음과 같이 주어진다.
(34.24) 그러나 34장에서 극대무늬에 대한 위 식을 유도할 때는 개별 슬릿의 너비가 빛의 파장과
같은 크기 정도라는 조건이 필요했다. 보통의 빠르기로 움직이는 전자인 경우에 드브로이 파장
이 1나노미터의 1/10이나 그 이하이므로 가시광선의 파장보다 세 자릿수 이상 낮다. 따라서 전 자의 이중슬릿 실험을 위해서는 슬릿간격 d와 슬릿너비 a가 충분히 작아야 하는데 상당한 기
술적인 어려움이 있다. 또한 양성자와 중성자같이 더 무거운 입자를 사용하고 싶다면 기술적 난관은 한층 더 심각해진다. 드브로이 파장이 입자의 질량에 반비례하기 때문이다.
이러한 이유로 전자의 파동성을 증명하기 위한 이중슬릿 실험은 드브로이의 혁명적 이론 이 제시된 뒤에도 즉시 실행되지 못했다. 1927년 뉴저지의 벨연구소에 근무하던 미국의 물리학 그림 34.14 전자의 이중슬릿 실험의 자 클린턴 데이비슨과 레스터 저머가 수행한 실험으로 비로소 물질파가 실질적으로 존재한다 개략도. 는 증거를 얻게 되었다. 데이비슨과 저머는 이전부터 실험했던 결정에 대한 엑스선의 브래그 산 란 연구를 계속하여 니켈 결정에 전자빔을 산란시켜서 엑스선과 비슷한 간섭무늬를 관찰하는 데 성공했다. 오늘날에는 결정에 중성자빔을 산란시키는 것도 가능하다. 미국의 물리학자 클리
퍼드 슐과 캐나다의 물리학자 버트럼 브록하우스는 이 같은 기술을 개발한 공로로 1994년 노벨
물리학상을 받았다. 엑스선, 전자, 중성자 모두 물질파의 증거인 브래그 산란무늬를 보여 준다.
1960년대 초반에서야 전자의 이중슬릿 산란실험을 수행하기 위한 정밀한 기술이 개발되 었다. 따라서 실험에서 어떤 일이 일어날 것인가를 예측하고 실험결과와 비교하는 것이 가능하 게 되었다. 그림 34.14는 실험장치의 개략도를 보여 준다. 판에서 방출된 전자는(이를 위해서 판을 가열시키는 가열기는 그림에 표시하지 않았다) 전압 V로 가속되어 (중앙의) 이중슬릿을 통과해서 위의 스크린으로 향한다. 만약 전자가 입자처럼 행동한다면, 전자총으로부터 방출된 전자는 슬릿들 중 하나를 통과 해서 스크린으로 도달할 때까지 일직선으로 움직일 것이다. 그렇다면 스크린에 두 슬릿의 영상 인 두 개의 선이 나타날 것이라고 예상할 수 있다. 물론 각 슬릿을 통과하는 전자들이 슬릿을 통과할 때 약간 휘어질 수도 있기 때문에 스크린에 생기는 전자의 분포는 약간 퍼질 수 있을 것이다. 또한 두 슬릿의 분리거리 d가 매우 작기 때문에, 두 슬릿을 통과하는 전자들의 분포는
스크린에서 겹쳐질 것이다. 이러한 고전적 입자성 예측에 따르면 스크린의 특정 부분에 부딪치
는 전자수의 분포는 그림 34.15a와 같다. 왼쪽 슬릿을 통과하는 전자들의 분포는 푸른색, 오른 그림 34.15 전자의 이중슬릿 실험에 서 스크린에 형성되는 세기분포(단위길
쪽 슬릿을 통과하는 전자들의 분포는 빨간색으로 표시되어 있다. 초록색은 두 분포의 합으로서 이당 스크린에 부딪치는 전자의 수). (a) 고전적 입자성 예측을 따르는 경우. 입자성 예측에 따라 얻게 될 전체 세기분포이다.
(b) 전자들이 파동성을 갖는 경우.
474
34장 양자물리학
반면에 전자들이 파동성을 지닌다면, 파동광학을 다룬 34장의 빛에 대한 이중실험의 결과
처럼, 전체 세기분포는 회절과 간섭의 효과가 결합되어 나타날 것이다. 이 경우(34.9절과 비교
해 보아라), 세기는 스크린의 x좌표에 대한 함수로 다음과 같다.
(34.25) 여기서 d는 두 슬릿의 분리거리, a는 슬릿너비, L은 이중슬릿과 스크린 사이의 거리이다. 이들 은 빛에 대한 영의 간섭실험과 똑같지만, 는 전자의 드브로이 파장이다(식 34.22 참조). 그림
그림 34.16 스크린에 부딪친 전자들
(윗부분의 노란 점들)과 전자수의 막대 그림(아랫부분의 푸른색)을 예측한 세 기분포(빨간색 곡선)의 비교.
그림 34.17 전자의 이중슬릿 실험에 서 시간에 따라 형성되는 간섭무늬.
34.15b는 식 34.25의 함수 I(x)를 나타낸 그래프이다. 그림 34.16은 스크린에 부딪치는 전자들의 무늬(노란 점)가 식 34.25의 세기분포로 어떻 게 표현되는지 보여 준다. 식에서 12.2 pm, d3.0 nm, a1.0 nm, L1.0 m로 계산했다. 아 랫부분의 푸른색 막대그림은 스크린에서 x좌표의 작은 구간에 부딪친 전자의 수를 나타낸 것 이다. 푸른색 막대그림에 덧그린 빨간색 곡선은 식 34.25의 세기분포를 나타낸다. 실제 실험결과는 무엇일까? 슬릿을 통과하여 스크린에 직접 부딪치도록 전자를 발사할 수 있기 때문에, 스크린에 생기는 무늬를 시간의 함수로 관측할 수 있다. 그림 34.17은 1976년에 P.G. 메를리 등이 수행한 이중슬릿 실험의 결과이다. 그림에서 오른쪽 하단으로 갈수록 간섭무늬가 선명하게 드러난다. 이 실험은 전자들이 파동처럼 간섭한다는 사실을 분명하게 실증한 것이다. 뿐만 아니라 각 전자는 스크린의 특정 국소영역에 부딪쳐서 흔적을 남기므로, 각 전자가 전체 세기분포에 비례하여 스크린 전체에 분포된다는 것은 사실이 아니다. 광자도 입자성을 지니기 때문에, 이중슬릿을 통과하는 광자들은 그림 34.17처럼 알갱이의 분포형태를 띨 것으로 기대할 수 있다. 실제로 한 번에 광자 하나를 통과시키는 이중슬릿 실험 에서 그림 34.17의 전자무늬와 비슷한 광자무늬를 얻을 수 있다. 그렇다면 무엇이 개별 전자들의 행로를 결정할까? 이것이 양자물리학의 핵심적인 질문이 다. 질문의 답을 이해하면 원자의 양자세계에서 무엇이 핵심인가를 알 수 있다. 간섭무늬를 만들 때 반드시 두 슬릿이 필요할까? 달리 말하면 전자가 어떻게든 동시에 두 슬릿을 통과할 수 있을까? 만약 한쪽 슬릿이 닫혀 있다면, 스크린의 간섭무늬는 사라지고 오직 하나의 최댓값, 즉 슬릿의 영상만이 형성될 것이다. 그리고 어느 슬릿이 닫혀 있느냐에 따라 그 림 34.15a의 빨간색이나 푸른색 곡선 중 하나에 대응할 것이다. 한쪽 슬릿을 닫지 않고서도 전자가 어느 슬릿을 통과했는지 어떻게 관측할 수 있을까? 전 하를 가진 전자가 슬릿을 통과할 때 전류를 생성한다는 사실을 이용하면 가능하다. 아마도 전 자가 슬릿을 통과할 때 이 전류를 측정할 수 있을 것이다. 퀴즈문제 34.4 전자가 어느 슬릿을 통과하느냐를 측정하는 실험의 결과를 예측해 보자. 만약 슬릿을 통과하는 전자 를 나타내는 전류를 측정한다면 다음 중 무슨 결과를 얻게 되는가? a) 정확히 전자의 반이 두 슬릿을 각각 통과한다. b) 각 전자는 하나의 슬릿만 통과한다. 왼쪽 슬릿을 통과하는 전자는 간섭무늬의 왼쪽 부분을, 오른쪽 슬릿을 통과하는 전자는 오른쪽 부분을 만든다. c) 각 전자는 하나의 슬릿만 통과한다. 왼쪽 슬릿을 통과하는 전자는 간섭무늬의 오른쪽 부분을, 오른 쪽 슬릿을 통과하는 전자는 왼쪽 부분을 만든다. d) 각 전자는 하나의 슬릿만 통과하지만, 어느 전자가 어느 슬릿을 통과하느냐를 측정할 때 스크린의 간섭무늬가 사라져서 스크린의 중앙극대만 관측할 수 있다.
34.6 불확정성 관계
전자를 특정 슬릿에 관련시키려고 시도하면 간섭무늬가 사라진다는 사실을 알았다. 보통은
입자라고 생각하던 물체나 전자의 파동성을 탐구하면 이 결과를 받아들이기가 더 쉬울 것이다.
34.6
불확정성 관계
위치, 운동량, 에너지, 시간과 같은 물리량들을 얼마나 정밀하게 측정할 수 있을까? 또한 동시에
측정하면 어떻게 될까? 이런 질문은 적절한 기구만 있으면 모든 역학적 물리량을 임의로 정밀
하게 측정할 수 있다는 고전역학에서는 전혀 생각할 수 없는 것들이다.
그러나 입자가 파동처럼(드브로이 물질파), 파동이 입자처럼(광자) 거동하는 원자 속 양자
영역에서는 이 질문에 대한 답이 그리 간단하지 않다. 예컨대 파동의 정확한 위치를 어떻게 알
수 있을까? 아마도 더 중요하게는, 양자물체의 물리특성을 측정하는 과정이 측정의 결과는 물 론 미래의 측정에도 영향을 미치지 않을까? 예를 들어 물체의 위치를 측정할 때, 보통 물체로부
터 방출된 광파를 기록한다. 그러나 이 장에서 배웠듯이 방출된 광파 또한 운동량을 지니고 있
다. 따라서 입자의 위치와 운동량을 측정하는 과정이 임의로 정밀하게 동시에 이루어질 수 없 음을 예상할 수 있다.
입자의 측정에서 위치의 불확정도를 x, 운동량의 불확정도를 px라 하자. 통계에서는 일
련의 독립적인 측정 결과는 평균값 더하기/빼기 표준편차로 제시한다. 표준편차는 측정분포의
너비를 나타내는 값이다. 실험실에서 수행한 물리적 측정의 결과 또한 평균값 더하기/빼기 측
정의 불확정도로 표기해야 한다. 이러한 불확정도는 통계적 또는 체계적인 근원을 갖고 있지만 지금은 그 차이를 구별하지 않겠다.
양자물리가 천명하는 놀라운 사실은 물체의 운동량과 위치를 동시에 임의로 정밀하게 측 정할 수 없다는 것이다. 물체의 운동량을 보다 정밀하게 측정할수록, 위치에 대한 정보가 덜 정
밀해지며 그 역도 마찬가지다. 이러한 물리적 진술인 하이젠베르크 불확정성 관계(Heisenberg
uncertaintyrelation)를 수학적으로 표기하면 다음과 같다.
(34.26) 1927년에 독일의 물리학자 베르너 하이젠베르크가 제안한 불확정성 관계는 측정과정의 이해 는 물론 물리 세상에 대한 우리의 인식에도 혁명적인 변화를 가져왔다. 37장에서 불확정성 관 계를 계산하는 방법을 다룰 것이다. 지금은 하이젠베르크가 그의 논문에서 제시했던 방법으로 불확정성 관계를 파악하는 것이 더 중요하다. 감마선 현미경을 사용하여 유도해 보자. 유 도 과 정 34.3
감마선 현미경과 불확정성 관계
만약 현미경으로 뭔가를 보고 싶다면, 물체에 쪼여서 반사된 빛을 현미경의 렌즈로 잡아내
야 한다. 현미경으로 분해할 수 있는 물체의 최소 크기 x는 회절로 인해 다음과 같이 제
한된다(34장 참조).
(i)
475
476
34장 양자물리학
여기서 는 빛의 파장이고, 는 열린 각도, d는 현미경 렌즈구경의 크기이다(그림
그림 34.18 감마선 현미경과 광자전자 상호작용의 운동량 사이의 기하학 적 구조.
34.18 참조). 한편 은 물체와 렌즈 사이의 거리로 렌즈구경보다 훨씬 크다고 가정한다. 즉 2 sin d/이다. 작은 크기를 분해하려면 단파장의 빛, 즉 감마선을 사용해야 한다. 감마선 광 자의 운동량이 ph/이기 때문이다(식 34.17 참조). 물체(전자)를 감마선(종이면으로 들어가는 빔을 나타내는 노란색 원)으로 비추면, 물 체로부터 튕겨 나온 광자들이 콤프턴 산란에 의해 렌즈 쪽으로 편향된다. 한 극단적인 경 우에, 전자에서 튕겨진 광자가 렌즈의 오른쪽 가장자리로 편향될 수 있다. 이 광자의 운동 량은 그림에서처럼 p" 1이다. 광자 운동량의 x성분은 p 1,xp 1 sin h sin /이고, 되튀 긴 전자는 반대방향인 왼쪽으로 향하는 운동량의 x성분 pe1,x를 갖는다. 다른 극단적인 경 우에, 광자는 전자와 충돌한 후 운동량 p" 2로 현미경의 왼쪽 가장자리로 산란하고, 전자는 전과 같은 크기지만 반대방향(오른쪽)으로 되튀기게 된다. 이때 현미경으로 들어오는 광자를 검출할 수 있지만, 구경 d의 어디를 통과했는지는 알 수 없다. 즉 전자가 받은 되튐 정도가 미정이라는 뜻이다. 따라서 전자의 운동량은 다음 과 같은 불확정도를 갖는다. (ii) 이를 식 (i)과 결합하면 다음을 얻는다.
결국 전자의 위치에 대한 최소 불확정도와 전자의 운동량에 대한 불확정도의 곱은 플랑크 상수 h라는 것을 알 수 있다. 논의 위의 논의가 대충대충인 것처럼 느낄 수 있다. 실제로 어느 정도 그렇다. 최종결과가 식
34.26의 최솟값보다 4배나 크기 때문이다. 그러나 정확한 수치는 감마선 현미경 보기문 제의 핵심이 아니다. 그보다는 동시에 측정할 때 위치와 운동량의 불확정도 사이에 특정 한계가 있다는 것이 더 중요하다. 이는 그 자체로도 놀라운 양자물리의 결과이다. 하이젠베르크는 물체의 에너지 측정의 불확정도 E와 시간 측정의 불확정도 t에 대한
또 하나의 불확정성 관계를 언급했다. 식 34.26의 위치-운동량 불확정성 관계와 비슷하며 다음 과 같이 표기한다.
(34.27) 유 도 과 정 34.4
에너지-시간 불확정성
위치-운동량 불확정성 관계에서 비상대론적 자유입자에 대한 시간-에너지 관계를 유도하
는 것은 간단한 일이다. 자유입자의 에너지는 모두 운동에너지뿐이므로 에너지의 불확정 도는
34.6 불확정성 관계
477
이고, 시간의 불확정도는 다음과 같다.
위의 두 결과를 곱하면 다음을 얻는다.
마지막 단계에서는 식 34.26을 사용했다.
에너지-시간 불확정성 관계는 어떤 시간간격에서 특정한 양의 에너지 때문에 고전적 에너
지 보존이 위반될 수 있다고 암시한다. 양자상태가 뚜렷한 에너지 값을 가지지 않기 때문이다.
그러나 에너지 보존에서‘위배’ 하는 정도가 클수록‘위배’ 하는 시간간격은 더 짧아진다.
이들 불확정성 관계가 일상의 경험과 충돌할까? 다시 말해서 불확정성 관계로 생기는 근
본적인 제한이 얼마나 중요할까? 다음의 보기문제로 알아보자.
보 기 문 제 34.5
속도위반 티켓에서 벗어나기 위한 수단
문제 독일 아우토반의 어떤 구간에서는 사실상 제한속력이 있다. 때때로 독일 경찰들은 이들 구
간에서 속력위반을 단속한다. 경찰은 속력위반의 증거로 자동차의 속력을 측정하는 동시
에 운전사의 사진도 찍는다. 독일의 물리학과 학생이 자신과 자동차(BMW 318Ci, 운전사
1462 kg)의 사진과 함께, 제한속력 100 km/h의 구간에서 132 km/h로 달렸다는 통보를 받았다. 학생은 경찰이 찍은 사진이 매우 뚜렷하다는 것을 알아 채고 자신의 위치를 1mm의 불확정도로 고정시킨다. 학생은 위치가 정밀하므로 불확정성 관계에 따라 속력을 정밀하게 측정하는 것은 불가능하다고 주장하면서, 속력위반 티켓을 받을 수 없거나 최소한 30 km/h 이상의 과속 부분(운전면허를 정지시키는 조건)은 부당하 다고 한다. 과연 이 전략이 성공할 수 있는가? 와 기름을 포함한 총질량
퀴즈문제 34.5 보기문제 34.5에서 다른 모든 변수
답 만약에 판사가 물리학에 대한 지식을 갖고 있다면 학생은 성공하지 못할 것이다. 자동차의
질량을 정확하게 알고 있으면, 속력에 대한 불확정도는 운동량의 불확정도로부터 다음과 같다.
가 일정하고 자동차의 질량만 2배 가 된다면, 속도의 불확정도는 어 떻게 되는가? a) 보기문제 답과 같다. b) 보기문제 답의 1/2이다. c) 보기문제 답의 1/4이다. d) 보기문제 답의 2배이다.
불확정성 관계에서 운동량의 불확정도는 p /x이고, 속도의 불확정도는 다음과 같다. 1 2
e) 보기문제 답의 4배이다.
478
34장 양자물리학
확인문제 34.6 보기문제 34.5에서, 속력의 불확정도가 2.00 km/h보다 커야만 면허정지가 가능하 장이 타당성을 가지려면 자동차의 다는 주장
식 34.7의 상수 1.05457 1034 J s, 문제에 주어진 x103 m, m1462 kg에서
위치를 얼마나 정밀하게 고정시켜야 되는 가?
을 얻는다. 결국 불확정성 관계에 의한 속력 불확정도의 최솟값은 1035분의 일로 너무나 작기 때문에 자신을 방어하기위해 사용될 수 없다.
불확정성 관계는 아마도 이 장에서 논의한 가장 중요한 결과이고 그 영향은 지대할 것이 다. 불확정성 관계는 얼마나 정밀하게 측정할 수 있는가, 즉 세상을 얼마나 정밀하게 알 수 있 는가에 근원적인 제한을 둔다. 거시물체에 대해서는 불확정성 관계에 의한 효과는 거의 모든
응용에서 무시해도 전혀 상관이 없다. 하지만 이는 요점이 아니다. 요점은 운동량과 위치, 에너 지와 시간과 같은 한 짝의 변수들에 대한 측정의 정밀도에 넘을 수 없는 한계가 존재한다는 것 이다. 감마선 현미경에서 위치를 측정하려는 시도가 측정대상인 물체에 어떻게든 되튐을 전달 해 준다. 양자세계에서는 보통 파동으로 생각하던 것들이 입자성을 갖고, 보통은 입자로 생각 하던 것들이 파동성을 갖는다. 불확정성 관계는 파동-입자 이중성에서 비롯된 것이다. 양자역 학을 이용하여 물성을 계산하는 방법을 다루는 37장에서 이에 대해 자세히 논의하겠다.
34.7
스핀 슈테른-게를라흐 실험
1920년에 독일의 물리학자 오토 슈테른과 발터 게를라흐는 양자물리 역사 상 영향력이 큰 실험중 하나를 수행했다. 그들은 원자의 고전적 묘사와 양 자적 묘사를 실험적으로 구별하려고 했다. 그림 34.19는 슈테른-게를라흐 실험의 개략도이다. 오븐에서 생성된 은 원자들(전기적으로 중성)은 오븐 구멍으로 빠져나가서‘은 원자빔’형태로 직진한다(그림의 초록색 선). 은 원자빔은 특이한 자석으로 형성된 불균일한 자기장으로 들어가서 스크린 까지 진행한다.
28.5절에서 원자의 자기모멘트는 다음과 같이 주어진다.
그림 34.19 슈테른-게를라흐 실험의
개략도.
" 여기서 L 은 각운동량이다. 28.5절에서 자기모멘트는 원형 궤도를 도는 전하에 인한 현상이며,
각운동량은 궤도운동 때문에 생긴다고 배웠다. 한편 27.6절에서는 자기장 안에 있는 자기쌍극 " " 자의 퍼텐셜에너지를 Uu B 로 얻었으며, 힘은 퍼텐셜에너지 기울기의 음수이었다. 따라서
z좌표만의 함수인 자기장에서 힘은 다음과 같다.
34.7 스핀
슈테른과 게를라흐는 궤도각운동량의 양자화 여부를 판별하려고 했다. 자기모멘트를 가진 원 자들을 불균일한 자기장으로 통과시키면 장의 기울기 B/ z와 원자의 자기모멘트 z성분 z의
" 상호작용에 의해 빔이 굴절된다. 고전적으로는 자기모멘트의 z성분은 | |과 | "| 사이의 모
든 값을 가질 수 있으므로, 가능한 모든 굴절에 해당하는 선들이 스크린에 나타난다. 그러나 양
자화된 각운동량의 z성분은 오직 띄엄띄엄한 값들만이 가능하므로, 그림 34.19처럼 스크린에 서 공간적으로 분리된 띄엄띄엄한 점들만이 나타날 것이다.
은 원자의 궤도각운동량은 바닥상태에서 0이다(원자와 궤도각운동량을 계산하는 38장에
서 증명하겠다). 따라서 궤도각운동량에 의한 은 원자빔의 분리만을 측정했다면, 이 실험은 실 패했을 것이다. 그러나 원자의 총각운동량은 궤도각운동량뿐만이 아니라 스핀(spin)이라고 부
르는 고유 각운동량이 있다. 원자 속의 모든 기본입자가 가지는 스핀은 고전적으로 동등한 개 념이 없다.
기본입자의 스핀과 파울리의 배타원리
모든 기본입자는 특징적인 고유 각운동량, 즉 스핀을 갖고 있다. 기본입자에는 근본적으로 다
른 두 개의 집단이 존재한다. 정수의 스핀 값(플랑크 상수 의 배수)을 갖는 집단과 반정수 값
을 가지는 집단이다. 스핀이 0인 경우는 정수 스핀으로 취급한다.
반정수 스핀의 기본입자들은 이탈리아계 미국의 물리학자 엔리코 페르미를 기념하여 페 르미온(fermions)이라고 부른다. 페르미온은 전자, 양성자, 중성자, 즉 주변의 모든 물체를 이루
는 기본입자 들을 포함한다. 스핀 2 의 페르미온은 관습적으로 z축에 투영된 스핀을 상징하는 1
2 와 2 의 상이한 두 스핀상태로 나타난다. 다음의 장들에서 다른 양자수들을 다루겠지 1
1
만, 지금은 스핀 2 의 입자들이 스핀 위와 스핀 아래라고 부르는 두 스핀상태로만 존재한다는 1
것을 알면 충분하다.
정수 스핀의 기본입자들은 인도의 물리학자 사티엔드라 나스 보스를 기념하여 보손
(bosons)이라고 부른다. 이 장의 앞에서 빛의 양자로 도입한 광자는 보손이며, 스핀 1이다. 기본입자와 핵물리에 관한 39장과 40장에서 스핀을 다시 다루면서 반정수와 정수 스핀을 갖는 기본입자들을 조사하고 보다 일반적인 원리를 배울 것이다. 지금은 근본적으로 다른, 보 손과 페르미온이라는 두 부류의 입자들이 있다는 것으로 개념을 정리해 두자. 페르미온에서 가장 중요한 규칙은 파울리의 배타원리(Pauli exclusion principle)이다. 어떤 두 페르미온도 같은 시간과 같은 장소에서 동일한 양자상태를 점유할 수 없다는 규칙이다. 주 어진 원자에서, 어떤 두 페르미온(전자)도 정확히 동일한 양자수를 가질 수 없다. 에너지가 양 자화되어 있기 때문에, 주어진 계 내에서 각 에너지의 양자상태는 최대한 두 페르미온(스핀 위 와 스핀 아래)만이 점유할 수 있다. 이 책의 나머지 장들에서 파울리 배타원리의 결과를 계속 해서 이용할 것이다. 37장에서 파동함수를 소개하고 페르미온과 보손에서 두 입자 파동함수의 대칭성이 근본적으로 다르다는 사실을 배울 것이다. 38장에서는 다중전자 원자의 구축에서 파 울리 배타원리가 미치는 영향을 탐구할 것이다. 39장과 40장에서는 파울리 배타원리에 따라 핵 내부의‘페르미-에너지’생성에 대해서 배울 것이다.
479
480
34장 양자물리학
34.8
스핀과 통계
19장에서는 동일한 고전입자에 대한 확률 분포함수를 도입했다. 이들 동일입자의 분포함수를 다음과 같은 맥스웰-볼츠만 분포라고 부른다.
여기서 E는 에너지, T는 온도, kB는 볼츠만 상수다. (맥스웰-볼츠만 분포를 유도할 때 기체 내 분자들의 운동에너지 분포만을 살펴보았지만, 이 함수는 고전입자의 모든 에너지 분포에 대해
서도 성립한다.) 이 유도과정에서는 모든 양자효과를 무시했다. 이제 양자효과가 어떻게 분포 를 변화시키는지 조사해 보자.
맥스웰-볼츠만의 결과는 띄엄띄엄한 에너지상태인 Ei에 있는 입자들에 대해서는 다른 방
식으로 다시 표기해야 한다. 계 내에 있는 입자의 총수를 N, 에너지 Ei인 입자의 수를 Ni라 하
면, 에너지상태 Ei에서 기대되는 입자의 비율 niNi/N은 다음과 같다.
(34.28) 여기서 gi는 에너지상태 Ei의 겹침수로서 에너지가 Ei인 서로 다른 에너지상태의 개수를 뜻한
다. 는 화학퍼텐셜이라고 불리며 에너지와 단위가 같다. 화학퍼텐셜은 계의 다른 특성들이 일
정하게 유지되면서 입자 하나가 더해졌을 때 계의 에너지가 변하는 정도를 나타낸다. 또한 Z는
분배함수(partition function)로 불리며 다음과 같이 정의한다.
(34.29) 분배함수는 계의 열역학적인 특성을 담고 있으며, 분배함수의 적절한 미분으로 계의 열역학적 특성, 즉 열역학적 물리량들을 계산할 수 있다.
맥스웰-볼츠만 분포의 유도과정에서 앙상블 내의 모든 입자는 고전입자라고 가정했다. 고
.
전적이라는 말은 모든 입자를 서로 구별할 수 있다는 뜻이다 그러나 양자입자들은 구별이 불
가능하다. (예를 들어 한 양성자를 다른 양성자와 구별할 수 없다.) 따라서 분포함수는 적절하
게 수정되어야 한다.
어떻게 수정할 것인지 알아보기 위해, 두 입자를 서로 다른 두 상태에 분포시키는 가장 간
단한 경우를 살펴보자. 각 상태를 a와 b라고 하자(그림 34.20 참조). 먼저 1과 2로 표시한 서로 구별 가능한 입자들을 생각해 보자. 이들의 분포가 고전 맥스웰-볼츠만 분포(Maxwell-Boltzmann
distribution)이다. 이 경우에 계는 4가지로 배열될 수 있다. 두 입자 모두가 상태 a에 있거나, 입 자 1은 상태 a에 입자 2는 상태 b, 또는 입자 1은 상태 b에 입자 2는 상태 a, 그리고 두 입자 모 두 상태 b에 있을 수 있다. 결국 구별 가능한 두 입자 계에는 4가지 다른 상태(배열)들이 존재한 다. 다음에는 서로 구별할 수 없는 양자입자, 즉 스핀이 0인 두 보손을 생각해 보자. 이들의 분포 를 보스-아인슈타인 분포(Bose-Einstein distribution)라고 부른다. 이 경우에는 두 입자 모두 구 별 가능한 입자처럼 둘 다 상태 a나 b에 있을 수 있다. 하지만 두 입자가 각각 상태 a와 상태 b 에 있으면, 두 입자를 구별할 수 없기 때문에 어느 것이 어느 상태에 있는지는 무의미하다. 따 라서 구별 가능한 고전입자의 경우와는 달리 구별 불가능한 보손인 경우에는 두 입자 계의 배
34.8 스핀과 통계
481
그림 34.20 두 입자를 서로 다른 두 상태로 분포시킨 모습.
열로는 단지 3가지만 가능하다. 마지막으로 가장 간단한 경우는 동일한 두 스핀- 12 의 페르미온 이다(예컨대 스핀 위의 두 전자). 이들의 분포를 페르미-디랙 분포(Fermi-Diracdistribution)라고
부른다. 파울리 배타원리는 동일한 두 페르미온이 같은 양자상태를 점유할 수 없다고 규정한
다. (그림 34.20의 맨 아래 칸에서 빨간 원과 사선으로 표시한 금지상태에서 두 페르미온은 같 은 상태에 있다.) 따라서 동일한 페르미온으로 이루어진 두 입자 계는 각각의 페르미온이 양자 상태 a와 b를 점유하는 한 가지 배열만 가능하다.
이제 좀 더 복잡한 1차원 모델로 6개의 에너지 양자를 5개의 입자들에 분배하는 에너지
분포를 조사해 보자. 구별 가능한 고전입자에서는, 6개의 에너지 양자를 한 입자가 차지하고
나머지 4개의 입자가 각각 0의 에너지를 가질 수 있다. 이 방식은 660000로 표기할
수 있다. 구별 가능한 입자이므로 5개 입자들 중 어느 것이 6개 에너지 양자를 가지는지 따져
보면 5가지 방식이 가능하다. 또 다른 방법으로 에너지 양자를 651000로 분배할 수
있다. 이때 5개 입자 모두 5개의 양자를 가질 수 있으며, 나머지 4개 입자들이 나머지 양자 하 나를 가질 수 있다. 따라서 이러한 에너지 분배로 gi5420가지 다른 방식이 가능하다. 그림
34.21은 6개 에너지 양자를 5개 입자로 분배할 수 있는 가능한 모든 경우를 보여 준다. 각 배열 위의 푸른색 숫자들은 아래의 배열을 만들 수 있는 가능한 모든 경우의 수를 나타낸다. 6개 에 너지 양자를 5개 입자로 분배할 수 있는 경우의 총수는 각 숫자들의 합이며, 이는 210이다.
그림 34.21 5개의 구별 가능한 입자들이 6개의 에너지 양자를 가질 수 있는 모든 분배의 모습.
482
34장 양자물리학
이제 각 에너지상태의 점유확률을 계산해 보자. 점유확률은 각 에 너지상태로 가능한 경우의 수에 각 상태를 점유한 입자 수를 곱하여 모두 더한 결과를 분배의 총수로 나눈 것이다.
그 결과가 그림 34.22의 푸른색 네모로 표시되어 있다. 예를 들어
4개의 에너지 양자를 가진 입자의 확률을 알아보자. E4인 상태를 점 유한 분배는 그림 34.21의 세 번째와 다섯 번째뿐이며, 하나의 입자만 이 E4 상태를 점유하고 있다. 세 번째 분배는 20개의 경우, 다섯 번째 분배는 30 개의 경우가 있다. 따라서 E 4 상태의 점유확률은 f(4)(120130)/2100.238이며, 분배의 총수는 210이다. 다른 에
그림 34.22 그림 34.21의 분배에서 너지 값들에 대한 점유확률도 같은 방법으로 구할 수 있다. 각 에너지상태를 점유하는 평균 점유수.
그림 34.22의 푸른색 곡선은 식 26.28의 지수함수를 나타낸다. 이렇게 작은 숫자의 입자
계와 에너지상태에서도 해석적인 해인 지수함수(볼츠만 분포)와 대체로 잘 맞는다는 것은 실 로 대단한 일이다. 식 34.28의 온도 T와 화학퍼텐셜 는 모든 점유수의 합이 입자의 수(이 경
¡i NiN)과 점유수와 에너지의 곱을 모두 다 더하면 계의 에너 지 양자의 수(이 경우 6)와 같아야 한다는 조건( ¡ NiEiE )으로부터 도출할 수 있다. i
우 5)와 같아야 한다는 조건(
전체
이번에는 구별 불가능한 입자들인 경우에는 어떻게 달라지는지 조사해 보자. 보손인 경우
에는 그림 34.21처럼 배열할 수 있으므로 거의 대부분의 작업은 끝낸 셈이다. 그러나 보손은 구별이 불가능하므로 서로 다른 입자들에 대한 순열은 새로운 상태를 만들지 못한다. 즉 주어진 입자의 배열 수를 나 타내는 가중인자는 그림 34.21의 모든 경우에 대해 항상 1이다. 따라
서 분배의 총수로 구별 가능한 입자인 경우에는 210개이지만, 구별 불
10개만이 가능하다. 결국 E4 상태의 점유확률은 f(4)(1111)/100.2이다. 동일한 보손의 분포는 그림 34.23의 빨간색 곡선이며 고전적 분 포(푸른색 선)와 함께 나타나 있다. 두 분포는 매우 비슷하지만, 작아 그림 34.23 6개의 에너지 양자를 5개 의 입자에 분배하는 문제에 대한 맥스 도 중요한 차이가 존재하며 이는 단순한 수치적인 문제가 아니다. 예를 들어 보손의 경우 E0 웰-볼츠만(MB), 보스-아인슈타인(BE), 의 점유확률이 고전입자보다 약간 크다. 만일 계에 입자들이 많아지면, 이 효과는 더욱 두드러 페르미-디랙(FD) 분포의 비교. 질 것이다. 이것이 보손의 특성이다. 즉 보손은 가능한 한 다른 보손들과 같은 상태를 점유하려 고 한다. 6개 에너지 양자를 5개 페르미온에 분배할 때 그림 34.21과 같은 에너지상태가 가능할까? 파울리 배타원리는 이를 허용하지 않는다. 각 에너지상태는 스핀 위와 스핀 아래 하나씩 최대 2개의 페르미온만이 점유할 수 있다. 결국 각 에너지상태의 점유수는 2를 넘을 수 없으므로 그 림 34.21에서 점유수가 3개 이상인 일곱 경우는 불가능한 상태들이다. 가능한 세 상태는 그림 34.24에 별도로 표시되어 있다. 이를 설명하기 위해 계 내에 3개의 스핀 위와 2개의 스핀 아래 가능한 보손인 경우에는 오직
그림 34.24 6개의 에너지 양자를 5개 의 페르미온에 분배하는 가능한 경우.
34.8 스핀과 통계
483
페르미온들이 있다고 가정하자. 그림 34.24의 왼쪽과 오른쪽 분배에서 하나의 페르미온이 점
유한 상태에서는 짝을 이루지 못한 스핀 위가 될 수밖에 없다. 가운데 분배에서는 한 상태만 짝
을 이루고 나머지 세 상태는 페르미온이 홀로 점유한 상태이므로, 이 중 2개는 스핀 위, 하나는
스핀 아래일 수밖에 없다. 이때 스핀 아래 페르미온이 세 에너지상태 중 어디나 점유할 수 있
으므로 가능한 경우의 수는 3이다. 이에 따라 전체 계의 가능한 상태의 총수는 5이다. 따라서
E4 에너지상태의 점유확률을 계산하면 f(4)(11)/50.2를 얻는다(우연히도 보손의 경우와 같은 값이다). 그림 34.23의 오렌지색 선은 모든 에너지상태의 평균 점유확률을 보여 준다. 페 르미온의 경우 E0의 점유확률이 고전입자보다 훨씬 억제된다. 퀴즈문제 34.6 4개의 에너지 양자를 5개의 스핀- 2 페르미온에 분배할 수 있는 경우는 무엇(들)인가? 1
확인문제 34.7 8개의 에너지 양자를 5개의 입자에 분배 하는 평균 점유수를 그래프로 그려라. 페 르미온, 보손, 고전입자의 경우, 가능한 상 태의 총수는 각각 얼마인가?
매우 적은 수의 입자를 다룬 문제들을 풀었으니, 계 내에 매우 많은 수의 입자가 있는 경
우의 분포를 살펴보자. 보손의 경우에는 에너지상태 Ei에 있을 점유확률은 보스-아인슈타인 분 포인 다음 식으로 주어진다.
(34.30) 페르미온의 경우에는 페르미-디랙 분포로 다음과 같다.
(34.31) 여기서 gi는 동일한 상태 i의 수인 겹침수이다. [앞의 5개 페르미온에서, 각 에너지상태의 겹침
수는 2(gi2)이다. 파울리 배타원리에 따라 각 에너지상태에는 최대로 하나씩의 스핀 위와 스 핀 아래 페르미온만 점유할 수 있기 때문이다.]
때때로 다음과 같이 정의하는 절대활성도로 이들 분포를 표기하기도 한다.
그러면 보스-아인슈타인 분포는
로, 페르미-디랙 분포는 다음과 같이 표기할 수 있다.
484
34장 양자물리학
두 분포함수 모두, 무시할 수 있을 정도로 작은 절대활성도의 극한인 z V 1에서는 맥스웰-볼
츠만 분포에 접근한다.
에너지상태들이 충분히 가까운 경우에는 불연속 에너지상태 Ei를 연속 에너지변수 E로 대
체할 수 있다. 이 경우에는 맥스웰-볼츠만 극한에서 에너지 E의 입자를 발견할 확률을
(34.32) 로 표기할 수 있으며, a는 규격화 상수이다. 규격화 상수는 화학퍼텐셜과 겹침수의 함수로 주
어진다. 같은 방식으로, 페르미-디랙 분포에서 에너지 E의 입자를 발견할 확률은 다음과 같다.
(34.33) 그림 34.25는 gi2인 페르미-디랙 분포를 화학퍼텐셜로 나눈 에너지
의 함수로 나타낸 그래프들이다. 각 그래프는 세 경우의 온도에 대한
것이다. kBT V 이면 페르미-디랙 분포함수는 E 일 때 2에서 0의 값으로 떨어지는 계단함수에 접근한다. 온도가 높아지면 높은 점유수
(2)에서 낮은 점유수(0)로의 변화가 점점 더 매끄러워진다. 보스-아인슈타인 경우에 에너지 E의 입자를 발견할 확률은 다음 과 같다. (34.34)
그림 34.25 서로 다른 세 온도에 대 한 페르미-디랙 분포.
여태껏 논의한 대로 광자는 보손이므로 보스-아인슈타인 통계를 따른다. 광자인 특별한
경우에 화학퍼텐셜이 0이므로 식 34.34의 규격화 상수는 a1이다. 만약 광자에너지가 0으로 접근한다면, eE/kBT는 1로 접근하므로, 식 34.34의 분모는 0으로 접근한다. 매우 낮은 에너지를 점유하는 광자의 수가 무한대로 증가할 수 있다는 뜻이다.
스펙트럼 밝기를 파장의 함수로 표기한 플랑크의 복사공식 34.9 IT(f)2hc2 f 3/(ehf/kBT1) 를 다시 살펴보자. 광자에서 Ehf이므로, 분모가 (eE/kBT1)이다. 즉 보스-아인슈타인의 분포함 수와 같다. 따라서 플랑크의 스펙트럼 밝기는 광자에너지의 함수로 다음과 같이 표기할 수 있다.
(34.35) 결국 플랑크가 구한 복사공식은 광자에너지의 함수인 스펙트럼 밝기는 에너지의 세제곱과 그 에너지에서 광자를 발견할 보스-아인슈타인 확률의 곱에 비례한다는 뜻이다.
보스-아인슈타인 응축
보스는 1924년의 논문에서 광자의 흑체 스펙트럼을 논의했다. 같은 해, 아인슈타인은 정수 스 핀을 갖는 원자로 확장했다. 아인슈타인은 극저온에서 원자의 많은 부분이 가장 낮은 에너지
상태로 들어간다는 것을 깨닫고“ , 한 부분이 응축되고, 나머지는 포화된 이상기체의 상태를 유
지한다. ” 라고 발표했다. 이런 일이 일어나려면 원자들의 드브로이 파장(식 34.23 참조)이 서로 겹칠 수 있을 만큼 서로 충분히 가까이 있어야 한다. 즉 이러한 조건이 3 > 2.61임을 보일
무엇을 배웠는가
485
수 있다. 여기서 는 원자의 단위부피당 밀도이고, 는 드브로이 파장이다.
어떻게 실험실에서 BEC(보스-아인슈타인 응축)를 얻을 수 있을까? 칼 와
이먼과 에릭 코넬은 저온과 강한 자기장에서 스핀-1 보손을 이루는 루비듐 원
자들을 모으기 위해 자기 덫을 이용했다. 그들은 온도를 낮추기 위해 레이저
냉각을 사용했지만, BEC로의 전환이 가능한 온도에 도달하기에는 아직 충분
하지 않았다. 점진적으로 자기 덫의 깊이를 줄여서, 높은 에너지의 원자들이
덫에서 탈출하는 것을 허용하여, 오직 낮은 에너지의 원자들만을 덫 안에 남 겨 두었다. 이러한 증발냉각 방식으로 원자들의 온도를 수 나노켈빈(nK)으로
낮출 수 있었다. 그러고 나서 덫을 풀어서 갇힌 원자들이 팽창하도록 유도했다. 원자들이 모두 그림 34.26 자기 덫에 갇힌 루비듐
단순한 이상기체였다면 열운동으로 인해 단순하게 팽창했을 것이다. 그러나 하이젠베르크 불 원자들의 보스-아인슈타인 응축. 이 그 림은 와이먼-코넬 연구팀이
1995년에
확정성 관계에 따라 최소 한의 속도로만 팽창하는 현상이 BEC 실험에서 관측됐다. 잠시 후 기 발표한 것이며, 그들의 노벨상 강연에
포함되어 있다. (세 축은 이 책의 저자 들이 첨가했다.) 가운데 그림은 보스-아 의 속도분포는 서로 다른 세 온도에서의 실험 결과를 보여 준다 명백히 의 결과는 인슈타인 응축의 발현을 나타낸다. 오 른쪽 그림에서는 거의 모든 원자들이 와 다르다 에서 가운데 봉우리는 의 존재를 보여 준다 오른편 그림은 응축상태에 있다.
체는 팽창하는 구름의 모양이 되었으며, 이때의 공간적 크기는 0.2 mm 정도에 도달했다. 그림
34.26 . 200nK 400 nK . 200 nK BEC . 50 nK일 때의 결과이며, 사실상 모든 루비듐 원자들이 BEC 상태가 되었다. BEC 현상을 발견한지 6년이 채 지나지 않아 와이먼과 코넬은 같은 시기에 다른 계의 BEC 에 대해서 비슷한 일을 수행한 볼프강 케털리와 함께 2001년 노벨 물리학상을 공동 수상했다. 이제 BEC에 대한 연구는 세계적으로 활발히 진행되고 있으며, 계속해서 원자, 응축, 양자역학 에 대한 놀라운 사실들이 발견되고 있다. 무엇을 배웠는가 | 주요내용
플랑크 상수는 h6.62606876(52)1034
너지는 Ehf이다.
J s이며, 광자에
복사세기는
f와 fdf의 진동수 사이에서 방출되는 복사일률에 대한
이며, 슈테판-볼츠만 상
수는 다음과 같다.
플랑크의 복사법칙에서 스펙트럼 밝기는 진동수의 함수로 다음과 같다.
보통은 파동으로 생각하는 것들도 입자의 특성을 갖는다. 광전효과는 빛의 기본양자인 광자에 입자성을 부여하는 양자가설로 설명된다. 양자가설은 멈춤퍼텐셜의 진동수
고전적 결과에서 나타나는 고진동수 영역의 비물리적인 자외선 발산이 생기지 않으며, 고전적 복사법칙은 하나의
의존성 eV0hf를 올바르게 설명한다. 일함수 는 사
극한으로 포함된다.
스펙트럼 밝기는 파장의 함수로 다음과 같다.
용한 물질에 의존하는 상수이다.
콤프턴 효과는 파장 의 광자가 한 전자에서 산란된 후의 파장 을 다음과 같이 기술한다.
스펙트럼 방출은 스펙트럼 밝기에 단순히 를 곱한 T(f)IT(f)이다.
모든 진동수(또는 파장)에 대해서 스펙트럼 방출을 적분한
전자의 콤프턴 파장은 다음과 같다.
486
34장 양자물리학
2 이다. 1
기본 양자입자들은 스핀이라는 고유한 특성을 가지며, 스
핀은 각운동량의 단위이다. 양자화된 스핀에 따라 입자를
보통은 물질로 생각하는 것들도 파동의 특성을 갖는다. 드
두 부류로 나눈다. 하나는 의 반정수배 스핀을 가지는 페
브로이 파장은 다음과 같이 정의한다.
르미온이고, 다른 하나는 의 정수배 스핀을 가지는 보손 이다.
전자들로 이중슬릿 간섭실험을 수행하면 증명할 수 있다.
자상태를 점유할 수 없다고 천명한다. 즉 주어진 원자에서
전자를 사용해도 광자와 동일한 간섭무늬를 얻을 수 있다.
파울리의 배타원리는 어떤 두 페르미온도 동시에 같은 양 어떤 두 페르미온도 정확히 동일한 양자수를 가질 수 없다.
하이젠베르크 불확정성 관계는 운동량 불확정도와 위치 불확정도의 곱은 절대하계를 갖는다고 천명한다. 즉
보손은 낮은 온도에서 상당수가 같은 양자상태를 점유하 도록 응축할 수 있다.
xpx 2 이다. 에너지-시간 불확정성 관계는 Et 1
주요용어 광자(photon)
분배함수(partition function)
콤프턴 파장(Comptonwavelength)
광전효과(photoelectric effect)
빈의 변위법칙(Wien displacement law)
파울리 배타원리(Pauliexclusionprinciple)
광전자 증배관(photomultiplier tube) 드브로이 파장(de Broglie wavelength) 맥스웰-볼츠만 분포
(Maxwell-Boltzmanndistribution) 물질파(matterwaves) 보손(bosons) 보스-아인슈타인 분포(Bose-Einstein distribution)
빈의 법칙(Wien’slaw)
스펙트럼 밝기(spectralbrightness)
파동-입자 이중성(wave-particleduality)
페르미-디랙 분포(Fermi-Diracdistribution)
스펙트럼 방출도(spectral emmittance)
페르미온(fermions)
양자전기역학(quantumelectrodynamics)
플랑크 상수(Plank’sconstant)
스핀(spin)
일함수(work function)
제동복사(Bremsstrahlung)
플랑크 복사법칙(Planck’sradiationlaw) 하이젠베르크 불확정성 관계(Heisenberg
uncertaintyrelation)
콤프턴 산란(Compton scattering)
새 기호와 주요 방정식
h6.62606876(52)1034 J s, 플랑크 상수 eV0hf, 광전효과의 일함수 콤프턴 산란 공식
xpx 2 , 위치와 운동량에 대한 하이젠베르크 불확정성 1
관계
Et , 에너지와 시간에 대한 하이젠베르크 불확정성 1 2
관계 전자의 콤프턴 파장
확인문제 해답
34.1 K최대(ff최소)hhf. 34.2 1억 4800만 km148106103 m1.481011 m
문제풀이 능력 키우기
가시 스펙트럼에서 P가시P/49.431025 W이다. 1초에 9.431025 J의 에너지가 태양으로부터 방출된다.
가시광자의 평균 파장이 550 nm라고 가정하면 각 광자의
에너지는 다음과 같다.
487
가시광자의 운동량은 전자 운동량의 0.224%이며, 충분히 무시 할 수 있다.
34.5
34.3 1.00 eV 전자의 운동량은 mec2511 keV이다. 운동에너지가 1000 eV인 전자의 드브로이 파장은 0.0387879
nm이다.
비상대론적으로 운동량을 계산하면 다음을 얻는다.
100 keV 엑스선의 운동량은 다음과 같다.
0.0388068 nm.
따라서 차이는 매우 작다.
34.6 v2.00 km/h0.556 m/s
전자의 운동량은 엑스선의 1%이며, 충분히 무시할 수 있다.
34.4 가시광선에서 광자에너지는 1.59 eV와 3.27 eV 사이에 있다. 34.7 상태의 수는 각각 18, 16, 495이다. 2.26 eV 광자의 운동량은 다음과 같다.
1.00 eV 전자의 운동량은 mec2511 keV이다.
(pc)광자/(pc)전자(2.26 eV)/(1010 eV)2.24103 문제풀이 능력 키우기 문제풀이 요령
1.
광자나 물질파에 대한 대부분의 계산은 입자의 특성인 에너
지 E와 운동량 p를 파동의 특성인 파장 와 진동수 f에 연관시
키는 것으로 시작한다. 주요 관계식으로 Ehf, pE/chf/c
h/, h/p이 있다. 2. 단위를 적용할 때 주의해라. 모든 단위를 미터와 킬로그램으 로 바꾸는 것은 단위 지수의 관리를 수월하게 한다. 전자볼트를 사용하면 계산을 간단하게 할 수 있지만, 플랑크 상수를 적절한
488
34장 양자물리학
단위 h6.6261034 J s 또는 h4.1361015 eV s로 사용하는
지 확인해야 한다.
3.
재확인할 때는 각 물리량의 대략적인 크기를
기억하면 편리하다. 예컨대 원자의 크기는 1010 m, 전자의 질 량은 1030 kg, 양성자나 전자의 전하는 1019 C, 실온에서
10의 지수로 kBT eV이다.
풀 이 문 제 34.1
1 40
루비듐의 보스-아인슈타인 응축
문제 온도 200 nK의 자기 덫에서 보스-아인슈타인 응축을 관찰하는 데 필요한 루비듐 원자의 최소 밀도는 얼마인가?(귀띔: 루비듐-87 원자의 질량은 1.51025 kg이다.) 풀이 생각하기 보스-아인슈타인 응축을 다룬 절에서 보면 루비듐 원자들은 양자역학적으로 겹칠 수 있을 만큼 서로 충분히 가까이 있어야 하며, 기준은 3 > 2.61이다. 따라서 200 nK의 온도에서 열운동을 하는 루비듐 원자의 드브로이 파장을 구해야 한다. 그리기 그림 34.27 덫 내에서 겹쳐 있는 루
비듐 원자의 개념도.
이 경우에 그림이 반드시 필요하지는 않지만, 그림 34.27에서 원자의 파동함수가 퍼진 정
도인 드브로이 파장과 덫 내에서 겹쳐 있는 원자들 사이의 최인접 거리를 시각화했다. 조사하기 밀도의 기준은
(i) 이고, 드브로이 파장 는 식 34.22에서 다음과 같다.
(ii) 루비듐 원자의 운동량 p는, 기체 내 원자의 운동에너지가 주어진 온도에서의 열에너지와
같다는 다음의 식에서 구한다.
(iii) 단순화하기 식 (iii)을 식 (ii)에 대입하면 드브로이 파장은 다음과 같다.
(iv) 식 (i)에서 구한 밀도에 방금 구한 드브로이 파장에 대한 식 (iv)를 대입하면 다음을 얻는다.
객관식 문제
계산하기
상수 값(h6.631034
J s, kB1.381023 J/K)과 주어진 온도(T200 nK2107 K)를 대입하여 다음의 드브로이 파장을 얻는다.
따라서 밀도는 다음과 같다.
반올림하기 온도의 유효숫자가 한 자리이므로 드브로이 파장에 대한 답은 6107 m이다. 이 크기 는 루비듐 원자의 지름인 약 51010 m보다 대략 1000배 이상이다. 한편 BEC를 관찰할 수 있는 최소 밀도는 대략 > 11019 m3이다.
재확인하기 밀도 1019원자/m3는 큰 값일까, 작은 값일까? 물 분자와 공기 분자의 밀도와 비교해 보자. 1
m3의 액체 물에는 31028개의 물 분자가 있으며, 1 m3의 공기에는 31025개의 질소와 산소 분자들이 들어 있다. 따라서 덫 내 루비듐 원자의 기체 밀도는 정상상태에 있는 공기의 밀 도보다 약 100만 배 낮다. 만약 밀도 1019원자/m3의 덫 안에 100만 개의 원자들이 구형으로 배열되어 있다면, 구 의 반지름은 얼마인가?100만 개의 원자들이 점유한 구의 전체 부피는 다음과 같다.
4 구의 부피는 V 3 r3이므로, 주어진 밀도에서 100만 개의 원자를 포함하는 구의 반지름
으로 다음을 얻는다.
따라서 코넬과 와이먼이 성공한 실험에서 보스-아인슈타인 응축에 대한 영상을 직접 얻을
수 없음이 분명하다. 이 때문에 두 사람은 덫의 전원을 끄고 내용물이 각 방향으로 적어도
10배 이상 팽창한 후에야 그림 34.26의 영상을
얻을 수 있었다.
객관식 문제
34.1
파장 350nm의 자외선이 멈춤퍼텐셜 0.25 V의 물질에 입사한다.
물질의 일함수는 무엇인가?
a) 4.0 eV b) 3.3 eV d) 5.2 eV c) 2.3 eV 34.2 광전효과에서 차단진동수로 무엇이 옳은가?
a) 고전물리로는 설명할 수 없다. b) 이 경우에 고전모형은 정확하지 않다는 것을 보여 준다. c) 빛의 광자모형을 반드시 사용해야 한다는 것을 보여 준다. d) 광자에너지가 진동수에 비례한다는 것을 보여 준다.
489
490
34장 양자물리학
e) 모두 다 맞는다. 34.3 더 큰 광전류를 발생시키려면 무엇(들)이 필요한가? a) 더 밝은 빛 b) 더 높은 진동수 c) 더 어두운 빛 d) 더 낮은 진동수 34.4 다음 중 드브로이 파장이 가장 작은 것은 무엇인가? a) 광속의 80%로 진행하는 전자 b) 광속의 20%로 진행하는 광자 c) 광속의 70%로 진행하는 탄소 핵 d) 광속의 80%로 진행하는 헬륨 핵 e) 광속의 50%로 진행하는 리튬 핵 34.5 이상적인 흑체로 무엇이 옳은가? a) 입사광의 100%를 흡수하지만, 자체 복사는 없다. b) 생성하는 빛의 100%를 방출하지만, 자체 복사는 흡수하지 못한다. c) 입사광의 100%를 흡수하거나 자체 복사를 100% 방출한다. d) 입사광의 50%를 흡수하고 자체 복사를 50% 방출한다.
e) 접촉하는 모든 물체를 완전히 어둡게 만든다. 34.6 진동수는 일정하고 광선의 세기가 증가하면 무엇이 옳은가? a) 광자의 속도가 증가한다. b) 광자의 에너지가 증가한다. c) 단위시간당 광자의 수가 증가한다. d) 빛의 파장이 증가한다. 34.7 다음 중 무엇의 온도가 더 높은가? b) 적열 물체 c) 청열 물체 a) 백열 물체 34.8 운동에너지의 범위가 좁은 전자들이 슬릿 사이의 거리가 D인 이 중슬릿에 입사한다. 전자들은 인광 스크린에 분리거리가 x인 줄무늬 를 만든다. 슬릿 사이의 거리가 D/2로 줄어들면, 줄무늬 사이의 분리거 리는 어떻게 되는가? b) 2x c) x/2 d) 답이 없다. a) x
설명문제
34.9 왜 백열 물체는 적열 물체보다 뜨거운가? 34.10 이 장을 배운 후 전자는 입자인가, 파동인가? 34.11 만일 푸른색 셔츠를 입는 도중에 거울을 보면, 거울영상의 셔츠 는 푸른색이지, 빨간색이 아니다. 하지만 콤프턴 효과에 의하면, 되튕 기는 광자는 더 낮은 에너지, 즉 더 긴 파장이어야 한다. 왜 거울영상의 색깔이 입고 있는 셔츠와 같은 색깔인지 설명해라. 34.12 우주의 진공상태는 비어 있는 것이 아니라 입자와 반입자들이 끊임없이 생성하고 소멸하기를 반복하는 들끓는 바다이다. 양성자-반 양성자 쌍이 하이젠베르크의 불확정성 관계를 위반하지 않고 생성되 기 위한 최소 수명을 구해라.
34.13 플랑크 상수가 5 J s인 우주에서 테니스 게임은 어떻게 바뀌는 가? 선수와 공, 공과 네트의 상호작용을 각각 고려해라. 34.14 고전역학에서 알짜힘이 작용하지 않는 입자의 최종위치를 예측 하려면 어떤 정보가 필요한가? 왜 양자역학에서는 이러한 예측이 불가 능한가?
34.15
고전 물리학자는 더 밝은 자외선을 금속표면에 비추면서 어떤
결과를 예상하는가? 광전효과 이론의 예측과 어떻게 다른가?
34.16 60 W의 가시광선과 2 mW의 엑스선 중 무엇이 인체조직에 더 심한 해를 끼치는가? 그 이유를 설명해라. 34.17 중성자는 스핀 12 인 페르미온이다. 비편극 중성자빔은 1/2와 1/2 상태에 있는 스핀의 수가 서로 같다. 비편극 중성자빔이 비편극 된 3He을 통과하면 3He이 중성자를 흡수하여 4He을 생성할 수 있다. 만일 3He이 편극되어 3He 핵 안 중성자들의 스핀이 모두 정렬되어 있 다면, 편극된 3He은 비편극 중성자빔에서 비편극된 3He과 같은 수의 중성자를 흡수하는가? 비편극 중성자빔의 각 스핀상태는 3He에 얼마 나 잘 흡수되는가? 34.18 광전효과 실험에서 100 mW의 푸른색 레이저광선(514.5 nm)을 세슘으로 만든 광전음극에 쪼이고, 다음에는 레이저광선의 출 력을 2배로 증가시켜서 200 mW를 쪼인다. 음극에서 방출되는 전자 하나의 에너지를 비교해라.
연습문제 각 장의 푸른색 문제번호는 문제풀이집에 풀이한 문제를 나타낸다. 또
한 푸른 점 •와 ••은 문제의 난이도를 표시한다.
34.2절 34.19 다음의 봉우리 파장을 각각 구해라. 태양과 지구의 표면온도는 각각 5800. K와 300. K라고 가정해라. a) 지구가 받는 태양광 b) 지구가 방출하는 빛 34.20 전자기 스펙트럼의 가시광선 영역 내에서 뜨거운 필라멘트의 흑체복사 봉우리 방출이 일어나는 온도의 범위를 계산해라. 가시광선 의 파장은 380 nm에서 780 nm까지이다. 이들 두 온도의 필라멘트에
서 나오는 복사의 전체 세기는 각각 얼마인가?
34.21
우리은하의 중심으로부터 방출되는 초고에너지 감마선의 최대 에너지는 3.51012 eV이다. 이 빛의 파장은 얼마인가? 이 빛의 에너지를
양성자의 정지질량 에너지와 비교해라.
34.22
실온(20.0 C)의 물체와 물체에서 방출되는 복사를 생각해 보자.
스펙트럼 에너지밀도의 봉우리에서 하나의 에너지를 각각 계산해라.
(a) 파장, (b) 진동수 및 (c) 광자
•34.23 인체 피부의 온도는 약 35.0 C이다.
a) 흑체로 가정하면, 피부에서 방출되는 복사의 봉우리 파장은 얼마인가? b) 전체 표면적을 2.00 m2로 가정하면, 피부에서 방출되는 전체 일률
연습문제
은 얼마인가?
491
eV, 1.42 eV이다. a) 각 반도체의 실온 투명도 범위를 구해라. b) 띠 간격 2.67 eV의 반도체인 ZnSe의 투명도 범위와 비교하고, ZnSe 결정의 색깔이 노란색인 이유를 설명해라. c) 셋 중 무엇을 1550 nm 광통신 파장에 대한 광검출기로 사용할 수 있는가? •34.25 다임(미국의 10센트 동전)의 질량은 2.268 g, 지름은 17.91 mm, 두께는 1.350mm이다. a) 실온의 다임에서 방출되는 초당 복사에너지는 얼마인가? b) 다임에서 방출되는 광자의 수는 얼마인가? (어림계산에서 모든 광 자가 봉우리 파장을 가진다고 가정해라.) c) 다임에서 방출되는 초당 복사에너지와 동일한 에너지를 갖기 위해 필요한 공기의 부피는 얼마인가?
34.4절 34.33 파장 0.120 nm의 엑스선이 탄소로부터 산란된다. 입사방향 에 대해 90 방향에서 검출한 광자의 콤프턴 파장이동을 구해라. 34.34 2.0 MeV 엑스선 광자가 정지한 자유전자와 충돌하여 53 로 산 란된다. 산란된 광자의 파장은 얼마인가? 34.35 정지한 전자와 충돌한 파장 0.30 nm의 광자가 160 로 산란되면 광자가 잃은 에너지는 얼마인가? 34.36 400.0 keV의 엑스선이 표적물과 콤프턴 산란을 한다. 산란된 광 선은 입사광선의 25.0 방향에서 검출된다. (a) 산란된 엑스선의 운동 에너지와 (b) 되튀는 전자의 운동에너지를 구해라. 34.37 광자와 자유 양성자의 콤프턴 산란을 생각해 보자. a) 140. keV의 엑스선이 양성자와 충돌 후 90.0 로 산란된다면, 광자에 너지의 부분변화율, 즉 (E0E)/E0는 얼마인가? b) 90.0 산란에서 광자에너지의 1.00%가 변화한다면 입사하는 광자 의 에너지는 얼마인가? •34.38 50.0 keV의 엑스선 광자가 금속 내에 정지한 전자에 충돌하여 45 로 산란된다. 충돌 후 전자의 운동에너지와 운동량(크기와 방향)은 각각 얼마인가? 전자의 운동에너지와 운동량 사이의 비상대론적 어림 식을 이용해라.
34.3절 34.26 특정 물질의 일함수는 5.8 eV이다. 이 물질의 광전문턱은 얼마 인가? 34.27 470. nm의 빛에 의해 나트륨 표면에서 튀어나오는 전자의 최대 운동에너지는 얼마인가? 34.28 특정 합금의 광전문턱 파장은 400. nm이다. 일함수는 eV 단위 로 얼마인가? 37.29 광전효과 실험에서 파장을 알지 못하는 레이저광선을 세슘(일 함수 2.100 eV) 음극에 쪼일 때 발생하는 전류를 상쇄시키기 위해 서 0.310 V의 멈춤퍼텐셜이 필요하다. 그 다음에 동일한 레이저광선을 미지의 물질에 쪼일 때는 0.110 V의 멈춤퍼텐셜이 필요하다. a) 미지 음극물질의 일함수는 얼마인가? b) 미지 음극물질의 후보로 무엇이 가능한가? 34.30 550nm의 빛으로 아연 표면을 비춘다. 광전전류를 완전히 없애 려면 멈춤퍼텐셜을 얼마로 높여야 하는가? 34.31 400. nm에서 750. nm까지의 백색광이 바륨(248 eV)을 비춘다. a) 바륨에서 튀어나온 전자의 최대 운동에너지는 얼마인가? b) 가장 긴 파장은 전자를 떼어 낼 수 있는가? c) 어느 파장의 빛이 운동에너지가 0인 전자를 떼어 내는가? •34.32 광다이오드로 사용하는 물질의 일함수를 알아내기 위해서 특 정 파장에 해당하는 최대 운동에너지 0.50 eV를 측정했다. 다음에 파 장을 50.0%로 줄이고 측정한 광전자의 최대 운동에너지는 3.80 eV이 다. (a) 물질의 일함수와 (b) 원래 파장을 구해라.
34.5절 34.39 다음의 파장을 계산해라. a) 2.00 eV의 광자 b) 운동에너지 2.00 eV의 전자 34.40 속력 100.0 km/h, 질량 2.000103 kg인 자동차의 드브로이 파장 은 얼마인가? 34.41 질량 m4.6481026 kg인 질소 분자의 속력은 300.0 m/s이다. a) 드브로이 파장을 구해라. b) 질소 분자로 이중슬릿 실험을 한다고 하자. 슬릿에서 70.0 cm 떨어 진 곳의 스크린에서 0.30 cm 간격의 간섭무늬가 생긴다면 이중슬릿 사이의 거리는 얼마인가? 34.42 알파입자가 20,000 V의 퍼텐셜차에서 가속된다. 알파입자의 드 브로이 파장은 얼마인가? 34.43 드브로이 파장이 초록빛의 파장(약 550 nm)과 같은 전자를 고 려해 보자. a) 비상대론적으로 다루면 전자의 속력은 얼마인가? b) 위의 비상대론적 계산이 이 문제를 풀이하는 데 충분하다는 것을 보여 주는가? c) 전자의 운동에너지를 eV 단위로 계산해라. •34.44 운동량 p의 입자가 파장이 h/p인 파동의 특성을 갖는다는 드브로이 가설을 친구에게 설명했더니, 60.0 kg의 친구는 자신을 파동 처럼 생각하고 자신이 너비 90.0 cm의 방문에서 회절되는지를 질문 한다. a) 친구가 분명하게 회절되려면 방문을 통과할 때 최대 속력은 얼마이 어야 하는가?
c) (b)의 답에 따라 왜 전구처럼 밝게 빛나지 않는가? •34.24 결점 없는 순수한 반도체 물질은 입사광의 개별 광자의 에너지 가 반도체의‘띠 간격’ 으로 알려진 문턱값보다 큰 경우에만 물질에 입
사하는 전자기파를 흡수한다. 실온에서 게르마늄, 실리콘, 갈륨비소(세 물질은 반도체로 널리 쓰이고 있다)의 띠 간격은 각각
0.66 eV, 1.12
492
34장 양자물리학
b) 문턱을 통과하는 데 한 걸음이 필요하다면, 친구가 회절되려면 한 걸음을 옮길 때 걸리는 시간이 얼마이어야 하는가? (보폭은 0.75 m라 고 가정하자.) c) 친구의 질문에 대한 답은 무엇인가? 귀띔: 분명한 회절은 회절구멍 의 너비가 파동의 파장보다 10.0배 작을 때 일어난다. ••34.45 질량 m, 운동량 pmv, 에너지 Ep2/(2m)인 뉴턴 입자의 드 브로이 파동과 진동수 E/h, 파장 h/p인 파동을 생각해 보자. a) 두 파동의 분산관계 (k)을 계산해라. b) 두 파동의 위상과 군속도를 계산해라. 무엇이 입자의 고전적 속도에 해당하는가? •• 34.46 이제는 질량 m, 운동량 pmv , 총에너지 Emc 2 , [1(v/c)2]1/2인 상대론적 입자의 드브로이 파동을 생각해 보자. 다른 파동의 파장과 진동수는 위와 마찬가지로 vE/h, h/p지만, 상대론 적인 운동량과 에너지를 갖고 있다. a) 두 파동의 분산관계를 계산해라. b) 두 파동의 위상과 군속도를 계산해라. 무엇이 입자의 고전적 속도에 해당하는가? 34.6절 34.47 50.0 kg 입자의 드브로이 파장은 20.0 cm이다. a) 입자는 얼마나 빠르게 움직이는가? b) 입자의 위치 불확정도가 20.0 cm라면, 속도의 최소 불확정도는 얼 마인가? 34.48 빛이 수소 원자(r0.531010 m)를 통과하는 데 걸리는 시간 동안에 원자 에너지의 최소 불확정도는 얼마인가? 전자볼트 단위로 답 을 표기해라. 34.49 자유중성자(m1.671027 kg)의 평균수명은 900. s이다. 중성 자 질량의 불확정도는 kg 단위로 얼마인가? 34.50 양자역학적 오리인 퍼지가 플랑크 상수 1.00 J s의 양자세계 에 살고 있다고 가정하자. 퍼지의 질량은 0.500 kg이며 너비 0.750 m의 연못에 있다. 퍼지 속도의 최소 불확정도는 얼마인가? 이 불확정도가 5.00 s 동안 지속된다면 5.00 s 후 퍼지는 연못에서 얼마나 멀리 있는가? 34.51 길이 20.0 m의 상자 안에 갇혀 있는 전자가 가질 수 있는 최소 속력은 얼마인가? •34.52 질량 1.001016 kg, 지름 5.00 m의 먼지입자가 길이 15.0 m 의 상자 안에 갇혀 있다. a) 입자가 정지해 있는지 어떻게 알 수 있는가? b) 입자가 정지해 있지 않다면, 입자의 속도 범위는 무엇인가? c) 가장 낮은 속도를 사용하면, 입자가 1.00 mm 움직이는 데 걸리는 시간은 얼마인가? 34.8절 ••34.53 n개(0 포함)의 보손 입자가 점유할 수 있는 에너지 E의 양자 상태를 생각해 보자. 양자상태에서 n개의 입자를 발견할 확률은 PnN
exp(nE/kBT)이며, kB는 볼츠만 상수, T는 절대온도이고, 규격화 인자 N은 모든 확률의 합이 1이라는 조건으로 결정한다. 양자상태 점유수 n 의 평균값과 기댓값을 구해라. •34.54 위 문제와 같은 확률분포를 갖는 페르미온 입자를 생각해 보 자. 페르미온이므로 가능한 점유수는 n0과 n1뿐이다. 양자상태의 평균 점유수 을 계산해라. ••34.55 N개의 입자로 구성된 계를 생각해 보자. 각 입자당 평균에너 지는 ¡ Ei exp(nEi/kBT)/Z이며, Z는 식 34.29로 정의된 분배 함수이다. 만일 계가 E1 0, E2 E, g1 g2 1인 두 상태 계일 때 N(d/dT)로 정의하는 열용량을 계산해라. 또한 극고온과 극저온, 즉 kBT W 1과 kBT V 1에서 열용량의 거동을 어림해라. 추가문제
34.56
일함수가 4.55 eV인 텅스텐 음극과 360nm의 빛을 사용하는 광
전실험에서 멈춤퍼텐셜은 얼마인가?
34.57 100 MeV 양성자와 100 MeV 전자의 드브로이 파장의 비율을 구해라. 34.58 1아인슈타인(E)은 아보가드로수(6.021023)와 같은 광자수의 측 정단위이다. 1아인슈타인 보라색 빛(400. nm)에는 얼마의 에너지 가 들어 있는가? 34.59 100. g의 야구공이 100. mph로 움직인다. 야구공의 드브로이 파 장은 얼마인가? 125,000 km/h로 움직이는 질량 250. kg인 보이저 우주 비행선의 드브로이 파장은 얼마인가? 34.60 너비 1.0 mm의 핀 머리에 놓여 있는 1.0 ng 입자 속도의 최소 불확정도는 얼마인가? 34.61 광전지 장치는 면적 10.0 cm2의 표면에 수직으로 입사하는 파장 700. nm의 단색광을 사용한다. 빛의 세기가 0.300 W/cm2일 때 광자의 흐름률을 계산해라. 34.62 지구위성이 측정한 태양상수는 대략 1400. W/m2이다. 태양이 다양한 파장의 빛을 방출하지만, 파장 스펙트럼의 봉우리는 500. nm 에 있다. a) 봉우리 파장에 해당하는 광자진동수를 구해라. b) 봉우리 파장에 해당하는 광자에너지를 구해라. c) 지구에 도달하는 광자의 유량을 구해라. 태양이 방출하는 모든 빛의 파장이 봉우리 파장과 같다고 가정해라. 34.63 진공에서 1 cm 떨어져 있는 두 은판 사이에 20. kV의 퍼텐셜차 가 걸려 있다. 양극으로 전류가 흐르도록 음극에 쪼일 수 있는 빛의 가 장 큰 파장은 얼마인가? 34.64 파장 600. nm의 단색광으로 1.00 N의 힘을 가하려면 초당 몇 개의 광자가 면적 10.0 m2의 표면에 충돌해야 하는가? 광자는 모두 흡 수된다고 가정해라. 34.65 한 전자를 기술하는 파동함수에서 전자 속도의 통계적 분산이 104 m/s라고 하자. 전자 위치의 통계적 분산은 얼마인가? 34.66 봉우리 파장이 스펙트럼의 엑스선 영역에 속하는 흑체의 온도
연습문제
는 얼마인가?
34.67 야행성 새의 눈은 출력이 2.33310 W에 불과한 진동수 5.81014 Hz의 단색광을 탐지할 수 있다. 야행성 새가 탐지하는 초당 광자의 수는 몇 개인가? 34.68 특정한 자외선 레이저는 파장 355nm의 빛을 생성한다. 칼슘 시 료를 쓰는 광전실험에 이 레이저를 사용하면 멈춤퍼텐셜은 얼마인가? 34.69 퍼텐셜차 1.00105 V에서 정지상태로부터 가속된 전자의 파장 은 얼마인가? •34.70 콤프턴은 파장 0.0711 nm의 광자를 사용했다. a) 180 에서 산란된 광자의 파장은 얼마인가? b) 광자에너지는 얼마인가? c) 만일 표적물이 전자가 아닌 양성자였다면, (a)의 답은 어떻게 변하 는가? •34.71 지구의 상층대기가 태양으로부터 매년 받고 있는 광자의 수를 계산해라. •34.72 기체 내 자유전자가 8.5 nm 엑스선과 충돌하여 엑스선의 파장 17
493
이 1.5 pm 증가한다. 충돌 후 전자는 얼마나 빠르게 움직이는가?(전자 는 정지해 있었다고 가정해라.)
•34.73 양성자의 드브로이 파장이 3.51015 m가 되도록 양성자의 운동 에너지를 가속기로 증가시킨다. 양성자의 운동량과 에너지는 얼마인가?
•34.74 감마선 섬광검출기는 광전효과나 콤프턴 산란을 통해 감마선 광자에너지를 결정 내 전자로 전이시킨다. 전자는 결정 내 원자들에 에너지를 전이시키고, 원자들이 재방출하는 섬광을 광전자 증배관으
로 검출한다. 광전자 증배관에 의해 생성된 전하의 펄스는 결정에 축 적된 에너지에 비례한다. 이를 측정하면 에너지 스펙트럼을 얻을 수 있다. 광전효과로 흡수된 감마선은 감마선 최대 에너지 스펙트럼에 광
.
전봉우리로 기록된다 콤프턴 산란된 전자들 또한‘콤프턴 고원’ 으로
알려진 저에너지 영역에 기록된다. 이들 중 가장 에너지가 높은 것들
은 고원의 콤프턴 경계를 만든다. 콤프턴 효과로 인해
180 로 산란된 감마선 광자는 스펙트럼에서 후방산란자 봉우리의 형태로 나타난다. 에 너지 511 keV의 감마선 광자에서 콤프턴 경계와 후방산란자 봉우리의 에너지를 계산해라.
