วิชาความถนัดทางคณิตศาสตร (PAT 1) สอบวันเสารที่ 3 กรกฎาคม 2553 เวลา 13.00 – 16.00 น. ตอนที่ 1 แบบปรนัย 4 ตัวเลือกจํานวน 25 ขอ (1 - 25) ขอละ 5 คะแนน 1. กําหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ที่ประพจน ( p ∨ q) → (r ∨ s ) มีคาความจริงเปนเท็จ และประพจน p ↔ r มีคาความจริงเปนจริง ประพจนในขอใดมีคาความจริงเปนจริง 1. (q → p) ∧ (q → r ) 2. q → [ p ∨ (q ∧ ~ r )] 4. (r ↔ s ) ∧ [ q → ( p ∧ r )] 3. ( p → s) ↔ (r ↔ q) 2. กําหนดเอกภพสัมพัทธ คือ { − 1, 0, 1 } ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ∀x∀y [ x + y + 2 > 0] มีคาความจริงเปนจริง 2. ∀x∃y [ x + y ≥ 0] มีคาความจริงเปนเท็จ 4. ∃x∃y [ x + y > 1 ] มีคา ความจริงเปนเท็จ 3. ∃x∀y [ x + y = 1 ] มีคาความจริงเปนเท็จ 3. ให A = {φ , {φ}, {φ , {φ}}} และ P( A) เปนเพาเวอรเซตของเซต A ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 2. จํานวนสมาชิกของ P( A) − {φ , {φ}} เทากับ 7 1. จํานวนสมาชิกของ P( A) เทากับ 16 4. {φ , {φ}, {{φ}}} ⊂ P( A) 3. {φ , {φ , {φ}}} ⊂ P( A) − {φ , {φ}} ⎧
4. ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา A = ⎪⎨ x ∈ R ⎪⎩
1 2 1. ⎛⎜ , ⎞⎟ 3 3 ⎝
⎠
1 2. ⎛⎜ , 1⎞⎟ 3 ⎝
⎠
⎫⎪ 1− x − 2 > 1 ⎬ แลว A ∩ [0, 1) x+ x −3 ⎪⎭ 2 3. ⎛⎜ , 1⎞⎟ 4. ⎝3 ⎠
เทากับขอใดตอไปนี้ ⎛2 3⎞ ⎜ , ⎟ ⎝3 2⎠
5. ให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง x+3 −6 x และ ( f −1 g )( x) = ถา g (a) = 2 แลว a อยูในชวงใดตอไปนี้ x −1 x+6 2. [1, 3) 3. [3, 5) 4. [5, 7) 1. [−1, 1)
โดยที่ f ( x) =
6. กําหนดให x เปนจํานวนจริง ถา arcsin x = 1 1. ⎛⎜ 0, ⎞⎟ 2 ⎝
⎠
⎛1
π
π
แลวคาของ sin ⎛⎜ + arccos ( x 2 ) ⎞⎟ อยูในชวงใด 4 ⎝ 15 ⎠
1 ⎞
2. ⎜ , ⎟ ⎝2 2⎠
⎛ 1 3⎞ , ⎟⎟ ⎝ 2 2 ⎠
3. ⎜⎜
⎛ 3 ⎞ , 1⎟⎟ 2 ⎝ ⎠
4. ⎜⎜
7. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ ถา a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A มุม B และมุม C ตามลําดับ แลว
1 1 1 cos A + cos B + cos C เทากับขอใดตอไปนี้ a b c 2 2 2 a +b +c (a + b + c)2 (a + b + c)2 1. 2. 3. abc 2abc 2abc
4.
a 2 + b2 + c2 abc
8. กําหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเสนผานศูนยกลางอยูบนจุดศูนยกลางและจุดโฟกัสดานหนึ่งของไฮเพอรโบลา 9 x 2 − 16 y 2 − 90 x + 64 y + 17 = 0 แลววงกลมดังกลาวมีพื้นที่เทากับขอใดตอไปนี้ 1.
25π ตารางหนวย 4
2.
25π ตารางหนวย 2
3. 4π ตารางหนวย
4. 5π ตารางหนวย
ˆ เปนมุมฉาก และดานตรงขามมุมฉากยาว 10 หนวย ถาพิกัดของจุด A และจุด B 9. รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม ABC คือ (−4, 3) และ (−1, 2) ตามลําดับ แลวสมการเสนตรงในขอใดผานจุด C 1. x + 8 y − 27 = 0 2. 8 x + y − 27 = 0 3. 4 x − 5 y + 3 = 0 4. −5 x + 4 y + 3 = 0
10. พิจารณาขอความตอไปนี้ 3
ข. log 2 ⎛⎜ ⎞⎟ < log 3 ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝8⎠ ⎝2⎠
4
3
ก. 2 2 < 3 3 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก แต ข ผิด
1
3. ก. ผิด แต ข. ถูก
11. ถา A เปนเซตคําตอบของสมการ 32 x + 2 − 28(3x ) + 3 = 0 และ B เปนเซตคําตอบของสมการ log x + log( x − 1) = log( x + 3) แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A ∪ B เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 2. 2 3. 3
4. ก. ผิด และ ข. ผิด
4. 4
⎡0 1⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡1 −1⎤ , B และ C คาของ det ( 2 At + BC 2 + Bt C ) = = ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 2 ⎦
12. กําหนดให A = ⎢
เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 1
2. 0
3. 2
4. 6
13. ถา sin15 และ cos15 เปนคําตอบของสมการ x 2 + ax + b = 0 แลว คาของ a 4 − b เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 1 2. 1 3. 2 4. 1 + 3 2 14. กําหนดให x เปนจํานวนจริงบวกที่สอดคลองกับสมการ 35 x ⋅ 9 x = 27 และ y = 2
(log 2 3)(log 4 5)(log 6 7) (log 4 3)(log 6 5)(log8 7)
คาของ x y เทากับขอใดตอไปนี้ 1. −
1 8
2.
1 8
3. −27
4. 27
3 4 5 5
15. ให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอน ถา z1−1 = − i เมื่อ i 2 = − 1 และ 5 z1 + 2 z2 = 5 แลว z2 เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 3 − 2 i
2. 3 + 2 i
3.
1− 2i
4.
1+ 2i
16. กําหนด u และ v เปนเวกเตอร โดยที่ u = i + 3 j , v = 3 และ u − v = 4 คาของ u + v เทากับขอใดตอไปนี้ 1.
6
2.
3.
10
4. 4
13
17. กําหนดให x, y, z เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเทากับ r และ x ≠ y ถา x, 2 y, 3z เปนลําดับเลขคณิต แลว คา r เทากับขอใดตอไปนี้ 1.
1 4
2.
1 3
3.
1 2
4. 2
18. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชัน โดยที่ f ( x) = ax + b เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง ถา f เปนฟงกชันลด และ f ( f ( f ( f ( x)))) = 16 x + 45 แลวคาของ a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 11 2. – 5 3. 11 4. 5 ⎧ x3 − 1 ⎪ ⎪ x −1 19. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และให f เปนฟงกชัน โดยที่ f ( x) = ⎪⎨ ax + b ⎪ 5 ⎪ ⎪⎩ ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง (−1, ∞) แลวคาของ ab เทากับขอใดตอไปนี้
1.
5 4
2. −
7 4
3. 15
; −1 < x < 1 ; 1≤ x < 5 ; x≥5
4. −10
20. ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 30 คน มีคะแนนเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 60 คะแนน และมีสวนเบี่ยงเบน มาตรฐานเทากับ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนักเรียนกลุมนี้เพียง 29 คน เทากับ 2.5 แลวนักเรียนอีก 1 คนที่เหลือสอบไดคะแนนเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 35 2. 58 3. 60 4. 85 21. มีนักเรียน 5 คน รวมกันบริจาคเงิน ไดเงินรวม 360 บาท ความแปรปรวน (ประชากร) เทากับ 660 ถามีนักเรียนเพิ่มอีก 1 คน มารวมบริจาคเปนเงิน 60 บาท ความแปรปรวน จะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตรงกับขอใดตอไปนี้ 1. เพิ่มขึ้น 80 2. เพิ่มขึ้น 90 3. ลดลง 80 4. ลดลง 90 22. ในการทอดลูกเตา 2 ลูกพรอม ๆ กัน ความนาจะเปนที่ผลรวมของหนาลูกเตาทั้งสองเทากับ 7 หรือผลคูณของหนาลูกเตา ทั้งสองเทากับ 12 เทากับขอใดตอไปนี้ 1.
1 18
2.
1 6
3.
1000
23. กําหนดใหอนุกรมตอไปนี้ A = ∑ (−1) , k
k =1
คาของ A + B + C + D เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 7,917 2. 7,919
B=
20
∑k
2
,
2 9
C=
k =3
4. 100
∑ k, k =1
3. 7,920
∞
4 9
⎛1⎞ D = ∑ 2⎜ ⎟ k =1 ⎝ 2 ⎠
k
4. 7,922
24. กําหนด a = 248 , b = 336 และ c = 524 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1.
1 1 1 > > b c a
2.
1 1 1 > > a b c
3.
1 1 1 > > b a c
4.
1 1 1 > > a c b
25. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวนคี่ 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางดังตอไปนี้ แถวที่ แถวที่ แถวที่ แถวที่ แถวที่
1 2 3 4 5
1 3 7 13
5 9
15
11 17
19
จากตารางจะเห็นวา จํานวน 15 อยูในตําแหนงที่ 2 (จากซาย) ของแถวที่ 4 อยากทราบวา จํานวน 361 จะอยูตําแหนงใดในแถวที่เทาใด 1. ตําแหนงที่ 9 (จากซาย) ของแถวที่ 18 2. ตําแหนงที่ 10 (จากซาย) ของแถวที่ 19 3. ตําแหนงที่ 11 (จากซาย) ของแถวที่ 20 4. ตําแหนงที่ 12 (จากซาย) ของแถวที่ 21
ตอนที่ 2 แบบระบายตัวเลข จํานวน 25 ขอ (26 - 50) ขอละ 7 คะแนน 26. ในการสอบวิชาภาษาไทย วิชาภาษาอังกฤษ และวิชาคณิตศาสตร ของโรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียนเขาสอบทั้งหมด 66 คน ปรากฏวามีนักเรียนที่สอบตกทั้งสามวิชาจํานวน 13 คน นักเรียนที่สอบไดทั้งสามวิชามีจํานวน 17 คน นักเรียนที่สอบได วิชาภาษาไทยและวิชาภาษาอังกฤษแตสอบตกวิชาคณิตศาสตรมีจํานวน 10 คน นักเรียนที่สอบไดวิชาภาษาไทยและวิชา คณิตศาสตรแตสอบตกวิชาภาษาอังกฤษมีจํานวน 11 คน นักเรียนที่สอบไดเพียงวิชาเดียว มีจํานวน 6 คน จํานวนนักเรียน ที่สอบไดวิชาภาษาอังกฤษและวิชาคณิตศาสตร เทากับเทาใด __________
{
27. ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา S = x ∈ R
x + 1 + 3x − 1 = 7 x − 1
}
และ T = { y ∈ R y = 3x + 1, x ∈ S } แลวผลบวกของสมาชิกใน T เทากับเทาใด __________ 28. ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f1 , f 2 , f3 , f 4 , g และ h เปนฟงกชันจาก R ไปยัง R โดยที่ f1 ( x) = x + 1,
f 2 ( x) = x − 1,
f3 ( x) = x 2 + 4,
f 4 ( x) = x 2 − 4
( f1 g )( x) + ( f 2 h)( x) = 2 และ ( f 3 g )( x) − ( f 4 h)( x) = 4 x
คาของ ( g h)(1) เทากับเทาใด __________ 44
29. คาของ
∑ cos n n =1 44
∑ sin n n =1
44
−
∑ sin n n =1 44
∑ cos n n =1
เทากับเทาใด __________
⎡5a
30. ให a, b, c, d เปนจํานวนจริง ถา 3 ⎢
⎣2
c
⎡ 5a b⎤ 6⎤ ⎡ 4 = ⎥ ⎢ ⎥+⎢ c d⎦ ⎣ d − 1 3⎦ ⎣ 2
5a + b ⎤ ⎥ 2d ⎦
แลว คาของ b + c เทากับเทาใด ___________ ⎡a b ⎤ 2 −1 ⎥ โดยที่ det A = t ≠ 0 และ det ( A + t A ) = 0 c d ⎣ ⎦
31. ให a, b, c, d , t เปนจํานวนจริง ถา A = ⎢
แลวคาของ det ( A − t 2 A−1 ) เทากับเทาใด ___________
32. กําหนดให u = 2 i − 5 j และ v = i + 2 j ให w เปนเวกเตอร โดยที่ u ⋅ w = − 11 และ v ⋅ w = 8 ถา θ เปนมุมแหลมที่เวกเตอร w ทํามุมกับเวกเตอร 5i + j แลว tan θ + sin 2θ เทากับเทาใด ___________ n
⎛ 2 i 2⎞ 2 + 33. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุดที่ทําให ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 เมื่อ i = −1 2 2 ⎝ ⎠ แลว n มีคาเทากับเทาใด ___________
34. ให {an } เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ a1 + a2 + a3 + ... + an = n 2 an สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ถา a1 = 100 แลว lim n 2 an มีคาเทากับเทาใด ___________ n →∞ 35. กําหนดให β เปนจํานวนจริง และให {an } เปนลําดับของจํานวนจริงที่ นิยามโดย an =
βn −7 n+2
สําหรับ
n = 1, 2, 3, ... ถาผลบวก 9 พจนแรกมีคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลําดับ {an } เปนจํานวนเทากับ a108 an มีคาเทากับเทาใด ___________ แลว lim n →∞
36. โรงงานผลิตตุกตาแหงหนึ่ง มีตนทุนในการผลิตตุกตา x ตัว โรงงานจะตองเสียคาใชจาย x3 − 450 x 2 + 60, 200 x + 10, 000 บาท ถาขายตุกตาราคาตัวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลิตตุกตากี่ตัว จึงจะไดกําไรมากที่สุด ___________ 37. กําหนดให f ( x) เปนฟงกชันพหุนามกําลังสอง ถาความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f ( x) ที่จุด (1, 2) มีคาเทากับ 4 และ
2
∫ f ( x) dx = 12
แลว f (−1) + f ′′(−1) มีคาเทากับเทาใด ___________
−1
38. กําหนดให h( x) = f ( x) g ( x) โดยที่ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f ( x) ที่จุด ( x, y ) เทากับ 2 − 2 x และเสนสัมผัสเสนโคง y = f ( x) มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ 5 ถา g เปนฟงกชันพหุนาม ซึ่งมีสมบัติ g (2) = g ′(2) = 5 แลว h′(2) มีคาเทากับเทาใด ___________
2
2
1 1 39. กําหนดให an = 1 + ⎛⎜1 + ⎞⎟ + 1 + ⎛⎜1 − ⎞⎟ สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ 1 1 1 1 เทากับเทาใด ___________ + + +…+ คาของ a1 a2 a3 a20 k (n5 + n) + 3n 4 + 2 12 ⎛2⎞ = 15 + 6 + + ... + 15 ⎜ ⎟ 40. ให k เปนคาคงที่ และถา lim 5 n →∞ (n + 2) 5 ⎝5⎠ แลว k มีคาเทากับเทาใด ___________
n −1
+ ...
41. ขอสอบปรนัย 20 ขอ คะแนนเต็ม 50 คะแนน โดยกําหนดขอ 1 – 10 ขอละ 4 คะแนน ขอ 11 – 20 ขอละ 1 คะแนน ถาหากนักเรียนตอบขอใดถูกตอง จะไดคะแนนเต็มของขอนั้น แตถาตอบผิดหรือไมตอบ จะไดคะแนน 0 คะแนน จะมีกี่วิธี ที่นักเรียนคนหนึ่ง จะทําขอสอบชุดนี้ไดคะแนนรวม 45 คะแนน ___________ 42. กําหนดให A = { 1, 2, 3, ..., 9, 10 } จงหาจํานวนสับเซตของ A ทั้งหมดที่ประกอบดวยสมาชิก 8 ตัวที่แตกตางกัน โดยที่ ผลรวมของสมาชิกทั้ง 8 ตัว เปนพหุคูณของ 5 ___________ 43. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ถานักเรียนคนหนึ่งในหองนี้สอบได 55 คะแนน คิดเปนคะแนนมาตรฐาน ไดเทากับ 0.5 และสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (coefficient of variation) ของคะแนนนักเรียนหองนี้ เทากับ 20% คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหองนี้เทากับเทาใด ___________ 44. สรางตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่ง โดยใหความกวางของแตละอันตรภาคชั้นเปน 10 แลว ปรากฏวามัธยฐานของคะแนนการสอบเทากับ 57 คะแนนซึ่งอยูในชวง 50 – 59 ถามีนักเรียนที่สอบไดคะแนนต่ํากวา 49.5 คะแนน อยูจํานวน 12 คน และมีนักเรียนไดคะแนนต่ํากวา 59.5 คะแนน อยูจํานวน 20 คน จงหาวานักเรียนกลุมนี้ มีทั้งหมดกี่คน ___________ 45. กําหนดจุด 10 จุด โดยที่ระยะหางระหวางจุดเทา ๆ กัน ดังรูป
จะตองลบจุดออกจากภาพอยางนอยที่สุดกี่จุด เมื่อลบออกจากภาพแลวไมมีสามจุดใด ๆ (ที่เหลือ) เปนจุดยอดของ สามเหลี่ยมดานเทา ___________ 46. ใหเติมจํานวนเต็มบวกลงในชองสี่เหลี่ยมโดยใหผลรวมของจํานวนในชองสี่เหลี่ยมสามชองที่ติดกัน เทากับ 18 7 คาของ x เทากับเทาใด ___________
x
8
47. จากตารางที่กําหนดให มีชองวางทั้งหมด 16 ชอง ดังรูป หลัก (ค) หลัก (ง) แถว (ก)
1
5
แถว (ข)
x
13
ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชองสี่เหลี่ยมชองละ 1 จํานวน โดยใหผลบวกของจํานวนใน แตละแถว ((ก) และ (ข)) และในแตละหลัก ((ค) และ (ง)) มีคาเทา ๆ กัน ถาเติมจํานวนเต็มบวก 1, 5, 13 ดังปรากฏในตารางแลว จํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด ___________ 48. ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางในตาราง 5 × 5 ตอไปนี้ 5 3
1
4 5 3
2
3 1 x
โดยที่ แตละแถวตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 แตละหลักตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด ___________ 49. สําหรับ a และ b เปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ กําหนดให a ⊗ b เปนจํานวนจริงที่มีสมบัติดังตอไปนี้ (ก) a ⊗ a = a + 4
(ข) a ⊗ b = b ⊗ a
คาของ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 เทากับเทาใด ___________ 50. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวน 2, 5, 8, 11, 14, ... ในตารางดังตอไปนี้ หลักที่ 1 23 47
หลักที่ 2 2 20 26 44
หลักที่ 3 5 17 29 41
หลักที่ 4 8 14 32 38
จํานวน 2012 อยูในหลักที่เทาใด ___________
หลักที่ 5 11 35
(ค)
a ⊗ ( a + b) a+b = a ⊗b b
เฉลยขอสอบ PAT 1 (3 ก.ค. 2553) ตอนที่ 1 ขอ ๑ ตอบ ๒ p ↔
และ
r
( p ∨
q ) →
F
T
F
F
q
→
[ p
∨
( q
U = {−1,0,1}
เปนเท็จ
2. x = −1, y = 1; x = 0, y = 0; x = 1, y = −1
4.
F
T
ขอ ๒ ตอบ ๓
3.
s )
F
T
1. − 1 + (−1) + 2 = 0
(r ∨
เปนจริง
ไมมี x ที่ทําใหทุก y; x + y = 1 เปนเท็จ ให x = 1, y = 1; x + y > 1 เปนจริง
ขอ ๓ ตอบ ๓ A = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}; n( A) = 3 1. ∴ n( P( A)) = 2 3 = 8 2. n( P ( A) − {∅,{∅}}) = 8 − 2 = 6 3. {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ⊂ P( A) − {∅, {∅}} 4. {∅,{∅}, {∅, {∅}}} ∈ P( A)
∧
F
F
r)
ขอ ๔ ตอบ ๓ ⎧ ⎫ | 1 − x | −2 A = ⎨x ∈ R | > 1⎬ x + | x | −3 ⎭ ⎩
พิจารณา จะได
x ∈ [0,1) 1− x − 2 >1 x+ x−3 − ( x + 1) −1 > 0 2X − 3 x +1 +1 < 0 2x − 3 x + 1 + 2x − 3 <0 2x − 3 3x − 2 <0 2x − 3
+ 2 3
⎛2 3⎞ ⎛2 ⎞ ⎜ , ⎟ ∩ [0,1) = ⎜ ,1⎟ ⎝3 2⎠ ⎝3 ⎠
ขอ ๕ ตอบ ๓ x+3 ;f x+6
y+3 → xy + 6 x = y + 3 y+6 3 − 6x y= x −1 3 − 6 g ( x) − 6 x ( f −1og )( x) = f −1 ( g ( x)) = = g ( x) − 1 x −1 ถา g (a) = 2 แลว 3 − 6(2) = − 6a 2 −1 a −1 a=3 f =
−1
:x=
ขอ ๖ ตอบ ๔ จาก
arcsin x =
π 4
→ sin
π 4
=x→x=
1 2
2 ⎛π ⎛ 1 ⎞ ⎞⎟ ⎛π 2⎞ ⎜ + arccos⎜ sin ⎜ + arccos x ⎟ = sin ⎟ ⎜ 15 ⎝ 15 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎛π π⎞ = sin ⎜ + ⎟ ⎝ 15 3 ⎠ = sin(12o + 60o )
จะเห็นวา ดังนั้น
= sin 72o sin 60 < sin 72 < sin 90
3 < sin 72 < 1 2
-
+ 3 2
ขอ ๗ ตอบ ๑ จากกฎของโคไซน
(
)
(
)
(
1 1 1 1 b2 + c2 − a2 1 a2 + c2 − b2 1 a2 + b2 − c2 + + cos A + cos B + cos C = a b c a 2bc b 2ac c 2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c −a +a +c −b +a +b −c = 2abc 2 2 2 a +b +c = 2abc
ขอ ๘ ตอบ ๑
(
)
(
)
)
9 x 2 − 10 x + 25 − 16 y 2 − 4 y + 4 = −17 + 225 − 64
( x − 5)
2
−
( y − 2)
2
=1 16 9 c 2 = 16 + 9 = 25 →∴ c = 5
จะได วงกลมที่มีจุดปลายของจุดศูนยกลางอยูที่จุดศูนยกลางไฮเพอรโบลาและจุดโฟกัสจุดหนึ่งของไฮเพอรโบลาจะมีรัศมียาว เทากับ 5 หนวย 2
ดังนั้น พืน้ ทีว่ งกลม
2
25π ⎛5⎞ = πr = π ⎜ ⎟ = 4 ⎝2⎠ 2
ตารางหนวย
ขอ ๙ ตอบ ๒ C(x,y) 10 AB ⊥ BC ⎛ y − 2 ⎞⎛ 3− 2 ⎞ ∴⎜ ⎟⎜ ⎟ = −1 ⎝ x + 1 ⎠ ⎝ −4 + 1 ⎠ y = 3x + 5
(x + 4)2 + ( y − 3)2 = 10 2 (x + 4)2 + (3x + 2)2 = 100 10 x 2 + 20 x + 20 = 100 x 2 + 2x − 8 = 0 (x + 4)(x − 2) = 0 ∴ x = 2 → y = 11(8(2) + 11 − 27 = 0)
A(-4,3) B(-1,2)
ขอ ๑๐ ตอบ ๑ 3 2
9 6
4 3
8 6
( ) ก. 3 = 3 = (3 ) ∴ (3 ) > (2 ) 2 = 2 = 29
1 8 6
3 = log 2 3 − log 2 8 = log 2 3 − 3 8 1 log 3 = log 3 1 − log 3 2 = 0 − log 3 2 2 ∴ log 2 3 − 3 < − log 3 2
1 6
log 2
1 8 6
ข.
1 9 6
ถูก
ถูก
ขอ ๑๑ ตอบ ๒ 32 ⋅ 32 x − 28 ⋅ 3x + 3 = 0
(9 ⋅ 3
x
− 1)( 3x − 3) = 0
1 3x = ,3x = 3 9 ∴ x = −2, x = 1 A = {−2,1} log x + log( x − 1) = log( x + 3); x > 0, x > 1, x > −3 x( x − 1) = x + 3; x > 1 x2 − 2 x − 3 = 0 ( x − 3)( x + 1) = 0 ∴ x = 3; x ≠ 1, x > 1 B = {3} ∴ A ∪ B = {−2,1,3}
ขอ ๑๒ ตอบ ๒ 0 0 ⎡0 1⎤ A=⎢ , At = ⎡⎢ ⎤⎥ ⎥ ⎣0 1⎦ ⎣1 1 ⎦ ⎡1 − 1⎤ ⎡1 − 1⎤ ⎡1 − 3⎤ C2 = ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎣ 0 2 ⎦ ⎣0 2 ⎦ ⎣ 0 4 ⎦ ⎡1 1⎤ ⎡1 − 3⎤ ⎡1 1⎤ BC 2 = ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 4 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎡1 0⎤ ⎡1 − 1⎤ ⎡1 − 1⎤ BtC = ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣1 0⎦ ⎣0 2 ⎦ ⎣1 − 1⎦ ⎡ 2 0⎤ 2 A t + BC 2 + B t C = ⎢ ⎥ ⎣3 1⎦ ∴ det 2 A 2 + BC 2 + B t C = 2 − 0 = 2
(
)
,
⎡0 0 ⎤ 2 At = ⎢ ⎥ ⎣ 2 2⎦
ขอ ๑๓ ตอบ ๓ จาก x 2 + ax + b = 0
(x − sin 15 )(x − cos15 ) = 0 x − (sin 15 + cos15 )x + sin 15 o
2
o
o
o
o
cos15 o = 0
∴ a = sin 15 o + cos15 o ; b = sin 15 o cos15 o 1 o sin 30 1 a 2 = 1 + 2 sin 15 o cos15 o ; b = = 2 = 2 2 4
= 1 + sin 30 o 1 = 1+ 2 3 = 2 2
1 8 ⎛3⎞ a −b = ⎜ ⎟ − = = 2 4 4 ⎝2⎠ 4
ขอ ๑๔ ตอบ ๒ 2
2
35 x ⋅ 9 x = 27 → 35 x ⋅ 32 x = 33
และ
x>0
2 x2 + 5x − 3 = 0
( 2 x − 1)( x + 3) = 0 1 x = ; x = −3 2 1 ∴x = 2 log 3 log 5 log 7 ⋅ ⋅ log 2 log 4 log 6 log 8 = = log 2 8 = 3 y= log 3 log 5 log 7 log 2 ⋅ ⋅ log 4 log 6 log 8 3
⎛1⎞ 1 x =⎜ ⎟ = ⎝2⎠ 8 y
ขอ ๑๕ ตอบ ๔ Z 1−1 =
3 4 3 4 − i → Z1 = + i 5 5 5 5
⎛3 4 ⎞ 5Z 1 + 2 Z 2 = 5 → 2 Z 2 = 5 − 5⎜ + i ⎟ ⎝5 5 ⎠ = 2 − 4i Z 2 = 1 − 2i
Z 2 = 1 + 2i
ขอ ๑๖ ตอบ ๒ 2
2
2
u − v = u − 2u v + v = 16 2
2
u = 4, v = 9 ∴ 4 − 2u v + 9 = 16 2u v = −3 2
2
2
u + v = u + 2u v + v = 4 − 3 + 9 = 10 ∴ u + v = 10
ขอ ๑๗ ตอบ ๒ x, y, z เปนลําดับเรขาคณิต
x≠ y
y y , y, yr เปนลําดับเรขาคณิต ∴ x = , z = yr r r จาก x,2 y,3z เปนลําดับเลขคณิต y ∴ 2 y − = 3 yr − 2 y r y 4 y = 3 yr + r 2 3r − 4r + 1 = 0 (3r − 1)(r − 1) = 0 1 ∴ r = ,1 3
ถา
r =1 1 ∴r = 3
แลว
x= y
ขอ ๑๘ ตอบ ๑ f ( x) = ax + b
และ
f
เปนฟงกชันลด จะได
a<0
f ( f ( f ( f ( x)))) = a 4 x + a 3b + a 2 b + ab + b = 16 x + 45 a 4 = 16 a = −2
และ
a 3b + a 2 b + ab + b = 45 − 5b = 45 b = −9
a + b = −2 + (−9) = −11
ขอ ๑๙ ตอบ ๔ ตอเนื่องบน (− 1, ∞ ) จะได
∵f
1.) lim− f ( x) = f (1) → lim− x →1
x3 −1
x →1
(x
x −1
= a+b
)
−1 = a + b → −(1 + 1 + 1) = a + b x →1 x −1 a + b = −3 → (1) 2.) lim− = f (5) → 5a + b = 5 → (2) lim− −
3
x →5
(2) − (1) → 4a = 8 a=2 b = −5
ab = 2(− 5) = −10
ขอ ๒๐ ตอบ ๑ 30
∑Z i =1
i
= 0 ∴ Z 30 = −2.5 x − 60 10 x = 60 − 10(2.5) = 35
− 2.5 =
ขอ ๒๑ ตอบ ๔ จากสูตร
σ
2
∑X =
660 =
2 i
N ∑ X i2
5
−µ
2
2
5 ⎛ 360 ⎞ −⎜ ⎟ → ∑ X i = (660 + 5184 ) × 5 = 29220 ⎝ 5 ⎠ i =1
6
∴ ∑ X i = 29220 − 3600 = 32820 i =1
32820 − 70 2 = 5470 − 4900 = 570 6 ดังนัน้ ความแปรปรวนลดลง 660 − 570 = 90
σ2 =
ขอ ๒๒ ตอบ ๓ n( S ) = 6 × 6 = 36
,
E1 (ผลบวกเทากับ 7 ) = {16,61,25,52,34,43} E 2 (ผลคูณเทากับ 12 ) = {26,62,34,43}
E = E1 ∪ E 2 = {16,61,26,62,25,52,34,43} n( E ) = 8 ∴ P( E ) =
8 2 = 36 9
ขอ ๒๓ ตอบ ๑ 1000
A = ∑ (− 1) = 0 k
k =1
20
B = ∑k2 = k =3
100
C = ∑k = k =1
20(21)(41) − (12 + 2 2 ) = 2870 − 5 = 2865 6
100(101) = 5050 2
⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛1⎞ 2 ⎜ ⎟=2 D = ∑ 2⎜ ⎟ = 2 ⎜1− 1 ⎟ k =1 ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ A + B + C + D = 0 + 2865 + 5050 + 2 = 7917 k
∞
ขอ ๒๔ ตอบ ๔
( ) = (3 ) = (5 )
a = 2 48 = 2 4 b = 336 c = 5 24
12
= 1612
3 12
= 2712
2 12
= 2512
∴a < c < b →
1 1 1 > > a b c
ขอ ๒๕ ตอบ ๒ จาก 1,3,5,7,9,...,361,... 361 = 1 + (n − 1)2 n=
361 − 1 + 1 = 181 2
ผลบวกของจํานวนในแตละแถว 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n ≥ 181
19(20 ) = 190 2 18(19 ) n = 18 ⇒ = 171 2 ดังนั้น 361 อยูในแถวที่ 19 n = 19 ⇒
ตําแหนงที่
10
(จากซาย)
เฉลยขอสอบ PAT 1 (3 ก.ค. 2553) ตอนที่ 2 ขอ ๒๖ ตอบ ๒ T
U=66 M 11 17
X1
X2
10
Y 13
X3 E
( X 1 + X 2 + X 3 ) + 11 + 17 + 10 + Y = 66 − 13 6 + 38 + Y = 53 Y =9
ดังนั้นสอบไดอังกฤษและคณิตศาสตร
17 + 9 = 26
ขอ ๒๗ ตอบ ๒
(
) ( 2
x + 1 + 3x − 1 =
)
2
7x −1 ; x ≥
1 3
x + 1 + 3x − 1 + 2 3x 2 + 2 x − 1 = 7 x − 1
2 3x 2 + 2 x − 1 = 3x − 1
(
)
4 3x 2 + 2 x − 1 = 9 x 2 − 6 x + 1 3x 2 + 14 x − 5 = 0 ( 3x − 1)( x − 5) = 0 1 x = , x = −5 3 1 ⎛1⎞ y = 3x + 1; x = → y = 3⎜ ⎟ + 1 = 2 3 ⎝3⎠
ขอ ๒๘ ตอบ ๑
g ( x) + 1 + h( x) − 1 = 2 → g ( x) = 2 − h( x) − − − −− > (1)
(g ( x) )2 + 4 − (h( x) )2 + 4 = 4 x − − − −− > (2) แทนคา g ( x) = 2 − h( x) จาก (1) ในสมการ (2) (2 − h( x) )2 − (h( x) )2 + 8 = 4 x 2 2 4 − 4h( x) + (h( x) ) − (h( x) ) + 8 = 4 x 4h( x) = 12 − 4 x h( x ) = 3 − x g ( x) = 2 − 3 + x = x − 1 ∴ ( g h )(1) = g (h(1)) = g (3 − 1) = G (2) = 1
คน
ขอ ๒๙ ตอบ ๒ 44
∑ cos n
o
= cos1o + cos 2 o + cos 3o + ... + cos 44 o
n =1
45 o 2 45 o = 2 cos 2
43o 45 o 41o 45 o 1o cos cos + 2 cos + ... + 2 cos 2 2 2 2 2 o o o ⎛ 43 41 1 ⎞ ⎜⎜ cos + cos + ... + cos ⎟⎟ 2 2 2⎠ ⎝
= 2 cos
44
∑ sin n
cos
= sin 1o + sin 2 o + sin 3o + ... + sin 44 o
o
n =1
45 o 2 45 o = 2 sin 2
= 2 sin
43o 45 o 41o 45 o 1o cos cos + 2 sin + ... + 2 sin 2 2 2 2 2 o o o ⎛ 43 41 1 ⎞ ⎜⎜ cos + cos + ... + cos ⎟⎟ 2 2 2⎠ ⎝ cos
⎛ 45 45 ⎞ 45 45 45 45 − sin 2 2 ⎜ cos 2 ⎟ sin cos 2 − sin 2 2 2 ⎠ n =1 n =1 2 − 2 = 2 2 = ⎝ − = 44 44 45 45 45 45 45 45 o sin cos no n sin cos sin cos 2sin cos ∑ ∑ 2 2 2 2 2 2 n =1 n =1 2 cos 45 = = 2 cot 45 sin 45 = 2 44
∑ cos no
44
∑ sin n
o
cos
ขอ ๓๐ ตอบ ๔ ⎡3 ⋅ 5a 3b ⎤ ⎡ 5a + 4 ⎢ c ⎥=⎢ c ⎣3 ⋅ 2 3d ⎦ ⎣ d − 1 + 2 3d = 3 + 2d → d = 3
5a + b + 6 ⎤ ⎥ 3 + 2a ⎦
3 ⋅ 2c = 3 − 1 + 2c 2 ⋅ 2c = 2 → 2c = 1
3 ⋅ 5 a = 5 a + 4 → 5a = 2
∴c = 0
3b = 5a + b + 6 → 2b + 8 ∴b = 4 ∴b + c = 4 + 0 = 4
ขอ ๓๑ ตอบ 4 พิจารณาจากโจทย A + A−1 = 0 นั้น A นาจะเปนเมตริกซเสมือนสมมาตร (Skew symmetric matrix) โดยสมาชิกนอกแนวทแยงมุมหลัก เปน 1 นั่นคือ ⎡a b ⎤ ⎡ 0 1⎤ A=⎢ = ⎢ det A = 1 ≠ 0 ⎥ ⎥ ⎣c d ⎦ ⎣ −1 0 ⎦ 0 1⎤ 1 ⎡0 −1⎤ แทนคา A + t 2 A−1 = ⎡⎢ + (1) 2 = ⎥ (1) ⎢⎣1 0 ⎥⎦ ⎣ −1 0 ⎦ 0 1⎤ 1 ⎡0 −1⎤ ดังนั้นคาของ A − t 2 A−1 = ⎡⎢ − (1) 2 ⎥ (1) ⎢⎣1 0 ⎥⎦ ⎣ −1 0 ⎦
จะได
det( A − t 2 A−1 ) = 4
⎡0 0⎤ ⎢0 0 ⎥ จริง ⎣ ⎦ ⎡ 0 2⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ −2 0 ⎦
At = − A
ขอ ๓๒ ตอบ ให
2
w = ai + b j u ⋅ w = 2a − 5b = −11
− − − − − − > (1)
v ⋅ w = a + 2b = 8
− − − − − − > ( 2)
2 × ( 2 ) : 2a + 4b = 16
− − − − − −− > ( 3)
(1) − ( 2 ) : −9b = −27 ∴ b = 3, a = 2 w = 2i + 3 j
,
w = 4 + 9 = 13
5i + j = 25 + 1 = 26 cos θ =
(
w ⋅ 5i + j w 5i + j
)=
10 + 3 13 1 = = 13 26 13 2 2
∴θ = 45o ∴ tan θ + sin 2θ = tan 45o + sin 90o = 1 + 1 = 2
ขอ ๓๓ ตอบ
8 n
n ⎛ 2 2⎞ π π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 + i 2 ⎟ = ⎜⎝ cos 4 + i sin 4 ⎟⎠ ⎝ ⎠
nπ nπ ⎞ ⎛ = ⎜ cos + i sin ⎟ =1 4 4 ⎠ ⎝ nπ nπ cos = 1 และ sin = 0 เมื่อ n = 8,16,24,... 4 4 ∴n = 8
ขอ ๓๔ ตอบ จาก
200
a1 + a 2 + a3 + ... + a n = n 2 a n
a1 3 a a1 + a 2 + a3 = 9a3 → a 3 = 1 6 a a1 + a2 + a3 + a4 = 16a4 → a4 = 1 10 i ∴ a1 + a 2 = 4a 2 → a 2 =
i i
จะได
a1 a1 a1 a + + + ... + 2 1 = n 2 a n 3 6 10 n +n 2 2 n a ∴ lim n 2 a n = lim 2 1 = 2a1 = 2(100 ) = 200 n →∞ n →∞ n + n 2 a1 +
ขอ ๓๕ ตอบ an =
จาก
2
βn − 7 n+2 S 9 − S 7 = a108
a8 + a9 = a108 →
8β − 7 9β − 7 108β − 7 + = 10 11 110
88β − 77 + 90 β − 70 = 108β − 7 70β = 140
β =2 ∴ lim a n = lim n →∞
ขอ ๓๖ ตอบ
n →∞
2n − 7 =2 n+2
200
f ( x) = 200 x − x 3 + 450 x 2 − 60200 x − 10000 f ′( x) = 200 − 3 x 2 + 900 x − 60200 = 0
3x 2 − 900 x + 60000 = 0
x 2 − 300 x + 20000 = 0 (x − 100)(x − 200) = 0 ∴ x = 100,200 ′′ f ( x) = −6 x + 900 f ′′(100) = −600 + 900 = 300 f ′′(200) = −1200 + 900 = −300 ∴ x = 200
ขอ ๓๗ ตอบ ให
10
f ( x) = ax 2 + bx + c f ′(1) = 4 → 2
∫ (ax
−1
2
)
+ bx + c dx = 12
,
f ′( x) = 2ax + b
2a + b = 4 →
− − − − − − > (1) ⎛ x3 ⎞ x2 ⎜⎜ a + b + cx ⎟⎟ 2 ⎝ 3 ⎠
2
= 12
−1
8 a b a + 2b + 2c + − + c = 12 3 3 2 3b 3a − + 3c = 12 2 b a− +c =4 − − − − − − > (2 ) 2 f (1) = 2 → a+b+c = 2 − − − − − − > (3) 4 (2) − (3) : − 3b = 2 → b=− 2 3 4 4+ 8 4 2 , ∴c = 2 − + = แทนใน (1) : a = 3 = 8 2 3 3 3 3 8 4 2 ⎛ 8 ⎞ 30 f (−1) + f ′′(−1) = + + + 2⎜ ⎟ = = 10 3 3 3 ⎝ 3⎠ 3
ขอ ๓๘ ตอบ
10 h( x) = f ( x) g ( x) → h′( x) = f ( x) g ′( x) + g ( x) f ′( x) h′(2) = f (2) g ′(2) + f ′(2) g (2)
f ′( x) = 2 − 2 x
→
f ′(2) = 2 − 4 = −2
;
f ( x) = 2 x − x 2 + c
;
2 − 2x = 0 ∴x =1 f (1) = 5 5 = 2 −1+ c ∴c = 4
f (2) = 4 − 4 + 4 = 4 ∴ h′(2) = 4(5) + 5(−2) = 2(5) = 10
ขอ ๓๙ ตอบ
7 2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ n 1 + ⎜1 + ⎟ − 1 + ⎜1 − ⎟ 1 ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ = 4 an
2
1 5 −1 = 4 a1 ⎛ 13 5⎞ − 2⎜ ⎟ 4 4⎠ 1 13 − 5 ⎝ = = 4 4 a2 1 25 − 13 = 4 a3 1 41 − 25 = a4 4 i i i
1 841 − 761 = a20 4 ∴
1 1 1 1 5 − 1 + 13 − 5 + 25 − 13 + ... + 841 − 761 + + + ... + = a1 a2 a3 a20 4 =
ขอ ๔๐ ตอบ lim n→∞
25
(
)
k n 5 + n + 3n 4 + 2
(n + 2)
5
−1 + 841 −1 + 29 = =7 4 4
12 + ... 5 15 15 5 k= = = 15 × 2 3 3 1− 5 5 = 15 + 6 +
= 25
ขอ ๔๑
ตอบ 352 จะตอบใหไดคะแนน
45 คะแนน
(1) ตอบถูกตอนที่ 1
10
ขอ และตอบถูกตอนที่
2
⎛10 ⎞⎛10 ⎞ 10! = 252 = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 10 5 5 ! 5 ! ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 ขอ และตอบตอนที่ 2 ผิด 1
อีก
5
ขอ
จํานวนวิธตี อบ (2) ตอบตอนที่ 1 ผิด
ขอ
⎛10 ⎞⎛10 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = 100 ⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠ 252 + 100 = 352 วิธี
จํานวนวิธตี อบ ดังนั้นจํานวนวิธตี อบทั้งหมด คือ ขอ ๔๒
ตอบ 9 A = {1,2,3,4,5,...,9,10} 10 10(11) i= = 55
∑ i =1
2
ดังนั้น ตัวเลขทีต่ ัดออกสองตัวตองมีผลบวกเปนพหุคูณของ ซึ่งจะมี 9 แบบ ขอ ๔๓
ตอบ
5
ซึ่งมี (1,4), (1,9), (2,3), (2,8), (4,6), (5,10), (3,7 ), (6,9), (7,8)
50
55 − X − − − − − − > (1) S S 20 1 X = = → S= − − − − − − > (2) 5 X 100 5 X 0.5( ) = 55 − X 5 55 X + 0.1X = 55 → X = = 50 1.1 ตอบ 36 คน 0.5 =
ขอ ๔๔
ชวงคะแนน
f
cf ⎫ ⎪ ⎪ ⎬12 ⎪ ⎪⎭
50 − 59
⎛N ⎞ ⎜ 2 − ∑ fL ⎟ Med = L + I ⎜ ⎟ fm ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛N ⎞ ⎜ 2 − 12 ⎟ 57 = 49.5 + 10 ⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎝ ⎠ 4 N 7.5( ) = − 12 5 2 N 6 = − 12 2
8
N = 18 2 ∴ N = 36
20
ขอ ๔๕ ตอบ
4
จุด
หรือ
ขอ ๔๖ ตอบ 3 7 8
3
7
8
3
7
7 7
3
ขอ ๔๗ ตอบ
8
8
3
7
X
7
3
8
7
3
8
ค
ง
ก
1
5
ข
X
13
7
ใหผลบวกแตละแถว ก ข แตละหลัก ค ง = k 16(17 ) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 16 = = 8(17 ) 2
4k = 2 (1 + 5 + X + 13) + (ผลบวกของจํานวนนอกเหนือจาก 1,5, X ,13 )
∴ 8 (17 ) = 4k − (1 + 5 + X + 13)
4
หาร
1 + 5 + X + 13
4 ( X + 19)
∴X =9
ลงตัว
3
7
8
7
3
8
9
จะไดวา
8
3
8
ขอ ๔๘ ตอบ
ขอ ๔๙
3
ตอบ
3
5
4
2
1
1
3
2
5
4
4
1
5
3
2
2
4
3
1
5
5
2
1
4
x=3
208
8 (5 ⊗ 3) 3 5 5 ⊗ 3 = 3 ⊗ 5 = 3 ⊗ (3 + 2) = (3 ⊗ 2) 2 3 ⊗ 2 = 2 ⊗ 3 = 2 ⊗ (2 + 1) = 3(2 ⊗ 1) 2 ⊗ 1 = 1 ⊗ 2 = 1 ⊗ (1 + 1) = 2(1 ⊗ 1) = 2(5)
8 ⊗ 5 = 5 ⊗ 8 = 5 ⊗ (5 + 3) =
⎛ 8 ⎞⎛ 5 ⎞ ∴ 8 ⊗ 5 = ⎜ ⎟⎜ ⎟(3)(2)(5) = 200 ⎝ 3 ⎠⎝ 2 ⎠ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 = 200 ⊗ 100 = 100 ⊗ (100 + 100)
จะได ขอ ๕๐ ตอบ
⎛ 100 + 100 ⎞ =⎜ ⎟ (100 + 4 ) = 2(104) = 208 ⎝ 100 ⎠ 2
หลักที่ 1 หลักที่ 2 23 20 26 47 44 50 71 68
จากหลักที่ ถา
1
a n = 24n − 1
n = 84
จะได
2
หลักที่ 5 17 29 41 53 65
3
หลักที่ 8 14 32 38 56 62
a84 = 24(84) − 1 = 2016 − 1 = 2015
ดังนั้น
2012
อยูในหลักที่
2
4
หลักที่ 11 35 59
5
