GUIDG.COM – PG. 1
5/7/2011 – CDI-1: Inequações, passo à passo, exercícios resolvidos. TAGS: Exercícios resolvidos, Inequações, passo à passo, soluções, cálculo 1, desigualdades, matemática básica.
Exercícios iniciais: Determine o conjunto solução das inequações: i) x 2 + 1< 2x 2 @ 3 ≤ @ 5x : Solução: Resolvendo em partes: y1) x 2 + 1 < 2x 2 @ 3 @x2 + 4 < 0 x2@ 4 > 0 w w w w w w w x = F p4 = F 2 y2)
2x 2 @ 3 ≤ @ 5x 2x 2 + 5x @ 3 ≤ 0 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w `w aw `w a q25 @ 4 2 @ 3 @ 5 F f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f x= 4 w w w w w w w w w w w w p @ 5 F 49 5f F 7f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f @ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f x= f = f 4 4 1f f f x i = e x ii = @ 3 2 Logo o conjunto solução é a interseção de y1 e y2 , então montamos o diagrama:
R
S
S = x 2R |@3 ≤ x <@2
B
c
ou por intervalos S = @ 3, @ 2
Exercício para o leitor: ii) @ 5 < x 2 @ 3 < 1 R
S
S = x 2 R | @ 2 < x <2
ou por intervalos
b
c
S = @ 2, 2
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Livro: Calculo A – Funções, Limite, Derivação, Noções de integração (5ª Edição, revista e ampliada). Diva Marília Flemming, Mirian Buss Gonçalves
(Números reais, pg. 15) - 1.6 Exercícios. (Inequações) 1. Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica. a
a
a 3 @ x < 5 + 3x
l x4 ≥ x2
a 1f @ xf f f 3x f f f f f f f 1f f f f f f f f f f f f f f b 2x @ 5 < f + f + f 3 4 3
a f xf f f f f f f f f f f f f f f m f <4 x @3
a
c 2 > @ 3 @ 3x ≥ @ 7
d
n
a 5f f f f 3f f f f
<
x
a
4
o
e x ≤9 2
a
f x 2 @ 3x + 2 > 0 a
g 1 @ x @ 2x 2 ≥ 0 h
a xf + 1f xf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
2@x
a
<
3+x
i x3 + 1 > x2 + x j k
ab
c`
a
a f 2f + 2f f f f f f f f f f f f f f f f xf f f f f f f f f f f f f f f f
≤
x@2
4+x
>1
a f 3f f f f f f f f f f f f f f f f
x@5
≤2
a
p x3 @ x2 @ x @ 2 > 0 a
q x 3 @ 3x + 2 ≤ 0 r
a f 1f 3f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
x+1
≥
x@2
a
s 8x 3 @ 4x 2 @ 2x + 1 < 0
x2 @ 1 x + 4 ≤ 0
x@2
1f f f f f xf @ 3f a 2f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
a
t 12x 3 @ 20x 2 ≥ @ 11x + 2
≤1
Soluções: a a 3 @ x < 5 + 3x Por tratar-se de uma desigualdade simples, podemos resolver da seguinte maneira:
3 @ x < 5 + 3x 3 @ x @ 5 @ 3x < 0 @ 4x @ 2 < 0 4x + 2 > 0 4x> @ 2 2f f f x >@ f 4 1f f x >@ f 2 f g 1f f S= @ f ,+1 2
GUIDG.COM – PG. 3
1f @ xf f f 3x f f f f f f f 1f f f f f f f f f f f f f f b 2x @ 5 < f + f + f 3 4 3 Solução: a
2x @ xf f f f f f f f 5f f 1f f 3x f f f f f f 1f f f f f f f f f f f f f f @ f < f + f + f 1 1 3 4 3 b
c
m A m A c 1,3,4 = 12 24x @ 60 < 4f + 9x +f 4f @ 4x f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 12
a
c 2 > @ 3 @ 3x ≥ @ 7 Solução: 2 > @ 3 @ 3x ≥ @ 7 5 > @ 3x ≥ @ 4 @ 5 < 3x ≤ 4 5f 4f f f f @ f
24x @ 60 @ 4 @ 9x @ 4 + 4x < 0 19x @ 68 < 0 68 f f f f f f x< f 19 f g 68 f f f f f f f S = @1 , 19
d
a 5f f f f 3f f f f
x
<
4
Solução: 5f f f f 3f f f f @ <0 x 4 20 @ 3x f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f <0 x4
ou
b c @ 3x + 20 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f < 0 inequação quociente 4x
Análise do comportamento de sinais das funções. Pela última desigualdade queremos a parte menor que zero (negativa):
y1
a
@ 3x + 20 < 0 @ 3x + 20 = 0 @ 3x = @ 20 20 f f f f f f f x= 3
y2
a
4x< 0 x =0
Então montamos o diagrama de sinais:
Logo, vemos que os valores que tornam a desigualdade verdadeira é a união de dois intervalos: b
c
S = @1 ,0 S
f
g
20 f f f f f f f ,+1 3
GUIDG.COM – PG. 4 a
e x2 ≤ 9 x2@ 9 ≤ 0 b c 2 x 2 @ 3 ≤ 0 produto notavel, diferença de quadrados `
a`
a
b
c
x + 3 A x @ 3 ≤ 0 inequação produto
Análise do comportamento de sinais das funções:
y1
a
x+3≤0 x + 3 = 0 [ x =@3
y2
a
x @3 ≤ 0 x @3 =0[x =3
E assim montamos o diagrama de sinais:
Portanto encontramos os valores que tornam esta inequação verdadeira: R
S
B
S = x 2 R | @ 3 ≤ x ≤ 3 ou por intervalos S = @ 3,3
C
GUIDG.COM – PG. 5 a
f x 2 @ 3x + 2 > 0 x 2 @ 3x + 2 = 0
Para resolver, precisamos comparar com a equação do segundo grau: ax² + bx + c = 0 , assim identificamos os valores de a = 1, b = -3, c = 2 . Isso se repetirá sempre, é importante saber! x=
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w 2 q @ bf F bf @ 4f Af af Af cf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
2a
Agora substituímos nessa fórmula, que é conhecida como fórmula de Bhaskara, daqui pra frente será muito útil, portanto você deve memorizar! Substituindo os valores na fórmula temos:
x
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w ` a q` a2 ` a` a @ @ 3f F @ 3f @ 4f Af 1f Af 2f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ` a = =
2 1
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w
w w w w w
p p 3f F 9f @ 8f 3f F 1f 3f F 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f = = 2 2 2
Resolvendo, encontramos os valores de x : S = { 1, 2 } Mas o exercícios não quer os valores de x , e sim os valores de x para os quais a função é maior que zero (símbolo >), então fazemos o gráfico para melhor visualizar:
O software Geogebra gera esse gráfico facilmente, mas você também deve aprender a fazer o gráfico sem a ajuda do computador, veja que só precisamos dos valores de x e do sinal de a , que identifica se a parábola esta para cima (positivo) ou para baixo (negativo).
Agora podemos responder a pergunta. Para que valores a função é maior que zero? A resposta é a parte cinza do gráfico, ou b c b c R S S = @1 ,1 S 2, + 1 ou ainda S = x 2 R | x 2 6 1
g 1 @ x @ 2x 2 ≥ 0 Este fica como exercício para o leitor. O processo de resolução é o mesmo, mas veja que o sinal de a é negativo, então a parábola esta para baixo.
V
W
F G 1f 1f f f f f S = x 2ℜ|@1 ≤ x ≤ ou por intervalos: @ 1, 2 2
GUIDG.COM – PG. 6 h
a xf + 1f xf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
2@x
<
3+x
Solução: Veja que x ≠ 2 e x ≠ @ 3 (veja que o denominador não pode ser zero) ... então: ` a` a ` a xf + 1f 3f + xf < xf 2f @ xf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ` a` a
2@x 3 + x
2 2x + 2x +f 3f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f <0 2 @x @x + 6
Inequação quociente, resolvendo o numerador: a
y1 2x 2 + 2x + 3< 0 2x 2 + 2x + 3 = 0
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w `w aw `w a
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w q4 @ 4 2 3 @ 2f F p 2f F @ 20 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f @ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f x= = 4 4
Como vemos deu raiz negativa e isso implica que não existem raízes Reais tais que tornem a equação verdadeira, isto é, as raízes são números complexos. Logo a função é positiva para todo x pertencente aos reais. Resolvendo o denominador: a
y2 @ x 2 @ x + 6 < 0 @ x2@ x + 6 = 0 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w `w aw `w a q1 @ 4 @ 1 6 1f F F 5f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1f f f f f f f f f f f f f f f x= = @2 @2 x i = @ 3 e x ii = 2 Logo, temos os valores que satisfazem a inequação e podemos ver neste esboço. (em vermelho os valores de x):
A solução é dada após montarmos o diagrama de sinais:
Então os valores que tornam a inequação verdadeira é o conjunto: R
S
b
c b
c
S = x 2 ℜ | x< @ 3 e x>2 ou por intervalos S = @1 , @ 3 S 2, + 1
GUIDG.COM – PG. 7 a
i x3 + 1 > x2 + x Solução: x3 + 1 @ x2@ x > 0 ` a ` a x2 x @ 1 @ 1 x @ 1 > 0 b
c`
a
x2@ 1 x @ 1 > 0
y1
a
x 2 @ 1> 0
y2
x2@1w =w 0 w w w p x =F 1 =F 1
a
x @1>0 x @1 =0 x =1
Montamos o diagrama de sinais de y1 com y2 :
Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação: R
S
b
c b
c
S = x 2 R | @ 1 < x < 1 e x >1 ou por intervalos S = @ 1,1 S 1, + 1 j
ab
c`
a
x2 @ 1 x + 4 ≤ 0
Inequação produto, resolvendo:
y1
a
x2@ 1 ≤ 0
y2
x2@ 1 = 0
a
x+4≤0 x +4=0 x =@4
Montando o diagrama de sinais temos:
Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação: R
S
S = x 2 R | x ≤ @ 4 e @ 1 ≤ x ≤ 1 ou
b
C B
C
@1 , @ 4 S @ 1,1
GUIDG.COM – PG. 8 k
a f 2f + 2f f f f f f f f f f f f f f f f xf f f f f f f f f f f f f f f f
x@2
≤
x@2
≤1
Solução: Resolvendo cada inequação separadamente, com x ≠ 2 : 2f + 2f f f f f f f f f f f f f f f f f xf f f f f f f f f f f f f f f f ≤ x @2 x @2 2f @ xf @ 2f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ≤0 x @2 z ~y 1 | ~x ` a @ xf f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ` a ≤0 x @ 2 { ~ ~ ~ } ~ ~ ~y
b
c
passando ao lado esquerdo e simplificando
b
c
ineq A prod A
y2
Pelo gráfico das funções podemos concluir, visualizando o digrama de sinais:
Logo
b
C
b
c
S 1 = @ 1 ,0 U 2, + 1
Agora, resolvendo o lado direito:
xf + 2f f f f f f f f f f f f f f f f ≤1 x @2 xf + 2f f f f f f f f f f f f f f f f @1 ≤ 0 x @2 4f f f f f f f f f f f f f f f f f ≤0 x @2
b
c
mmc e simplificação
Pelo gráfico da função do denominador, concluímos:
b
c
S 2 = @ 1 ,2
GUIDG.COM – PG. 9 Comparado as soluções: b
C
b
c
S 1 = @ 1 ,0 U 2, + 1 b
c
S 2 = @ 1 ,2
Visualizando por intervalos, lembrando que x ≠ 2 para não zerar no denominador:
A única solução (ou o domínio) que satisfaz simultaneamente as duas inequações é a interseção das soluções: R
S
S = x 2R | x ≤ 0
ou
b
S = @1 , 0
C
a
l x4 ≥ x2 Solução x4 ≥ x2 x4@ x2 ≥ 0 b cb c x2 + x x2@ x ≥ 0 a
a
y1 x 2 + x ≥ 0
y2 x 2 @ x ≥ 0
x2 + x = 0
x2@ x = 0
x=
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w 2 q @ 1f F 1f @ 4f Af 1f Af 0f 1f F 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f @ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
2 x i = 0 x ii = @ 1
=
2
Montando o diagrama de sinais:
E assim: b
C B
c
PQ
S = @1 , @ 1 S 1, + 1 S 0
w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w ` a2
q @1 @4A1A0 1f F F 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 1f f f f f f f f f f f f f f f x= = 2 2 x i = 1 e x ii = 0
GUIDG.COM – PG. 10 a f xf f f f f f f f f f f f f f f m f <4 x @3
Ficabcomo exercício para o leitor. c b c S = @1 ,3 U 4, + 1
n
1f f f f f xf @ 3f a 2f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
4+x
>1
1f 1f 6f f f f f f f f f f xf @ 3f xf @ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2f 2f
4+x
=
4+x
@ 1>0
xf @ 6f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 2f
4+x
@ 1>0
xf @ 6f 1f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f f f f f f f f f A f @ 1>0 2 4+x xf @ 6f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
8 + 2x
@ 1>0
xf @ 6f +f 2x f f f f f f f f f f f f f f f f f f 8f f f f f f f f f f f f f f f f f f @ f >0 8 + 2x 8 + 2x xf @ 6f @ 8f @ 2x f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f >0 8 + 2x @ xf @ 14 f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f >0 8 + 2x Da última desigualdade temos: y1) -x-14 > 0 -x -14 = 0 -x = 14 x = -14
y2) 8+2x > 0 2x +8 = 0 x = -8/2 = -4
b
c
Logo, os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira é o intervalo aberto: S = @ 14, @ 4 . Isto é, a inequação é verdadeira para todo x pertencente a este intervalo, exceto as bordas x = -14 e x = -4 .
GUIDG.COM – PG. 11 o
a f 3f f f f f f f f f f f f f f f f
x@5
a
≤2
Fica como exercício para o leitor.
c F 13 f f f f f f f
b
S = @1 , @ 5 U
2
,+1
g
p x3 @ x2 @ x @ 2 > 0 x3@ x2@ x @ 2 = 0
O método para encontrar as raízes de polinômios como este se chama Pesquisa de raízes , e é assim: (-2) é o coeficiente d, e 1 é o coeficiente a da função polinomial. As possíveis raízes são os divisores inteiros de d, e de a, na fração d/a . Divisores de
d(-2): {±1, ±2}
Divisores de
a(1): {±1}
P Q Possíveis raízes: dffff: F 1, F 2 a
Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a primeira que reduza o grau:
1 -1 2
1 1 1 1
-1 0 -2 1 b
-1 -1 1 1
-2 -3 -3 0
c`
a
F F V
E re-escrevemos a função polinomial como: x 2 + x + 1 A x @ 2 = 0
Mas estamos procurando por valores tais que: y1
a
y2
a
b
c`
a
x2 + x + 1 A x @ 2 > 0
x @2>0 x @2 =0[x =2
x 2 + x + 1>0 x2 + x + 1 = 0 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w p @ 1f F 1f @ 4f Af 1f Af 1f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f x= 2 b c + x 2R logo 9 as raízes são números complexos
b
c
Como y2 é maior que zero para todo x pertencente aos Reais, temos que: S = 2, + 1
GUIDG.COM – PG. 12 a
q x 3 @ 3x + 2 ≤ 0 Neste caso a soma dos coeficientes resulta num valor igual a zero: a = 1 , b = -3 , c = 2 a+b+c = 0 Conclui-se que 1 é raiz da equação, para mais informações consulte o exercício “t”. Prosseguimos realizando a divisão de polinômios. Divisão de polinômios, método da chave: x³ - 3x + 2 x-1 -x³ + x² x² + x - 2 = 0 + x² -3x + 2 -x² + x = 0-2x + 2 +2x - 2 = 0+0 Então 1 é raiz. Logo podemos escrever: x³ -3x + 2 = (x -1)(x² + x -2) ≤ 0 y1)
x-1 ≤ 0 x -1 = 0 x=1
y2)
x² + x -2 ≤ 0 x² + x – 2 = 0 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w `w a
q1 @ 4.1 A @ 2 @ 1f F 1f F 3f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f @ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f x= = 2 2 x i = 1 e x ii = @ 2 2
b
C
P Q
Portanto o intervalo que satisfaz a inequação é: S = @1 , @ 2 U 1
GUIDG.COM – PG. 13 r
a f 1f 3f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
≥
x+1
x@2
Solução: Verificando o denominador vemos que: x ≠ -1 e x ≠ 2 .
1f 3f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
x+1
@
x @2
≥0
` a ` a @ 3f xf +f 1f xf @ 2f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ` a` a ≥
x + 1 x @2
0
xf @ 2f @ 3x @ 3f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ≥0 2 x @ 2x + x @ 2 @ 2x @ 5f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
x2@ x @ 2
≥0
Resolvendo a última desigualdade: y1)
-2x -5 ≥ 0 -2x -5 = 0 -2x = 5 2x = -5 x = -5/2
y2) x² -x -2 ≥ 0 x² -x -2 = 0 Vamos resolver esta equação de segundo grau usando Soma e Produto, isto é dois números somados que são iguais à S, e dois números multiplicados que são iguais à P:
bf 1f f f @ f f f f f f f f S =@ f =@ f =1 a 1 cf f f 2f f P= f =@ f =@2 a 1 xi = @ 1
e
x ii = 2
Pois S: @ 1 + 2 = 1 Logo, as raízes são
e
`
xi = @ 1
e
x ii = 2
Com isso montamos o diagrama:
f
a
P: 1 A @ 2 = @ 2
c G b 5f f Logo os valores de x que satisfazem a inequação é o intervalo S = @ 1 , @ f S @ 1,2 . 2
GUIDG.COM – PG. 14 a
s 8x 3 @ 4x 2 @ 2x + 1 < 0 Uma das formas de resolver este exercício é fatorando o polinômio: `
a
`
a
8x 3 @ 4x 2 @ 2x + 1 = 4x 2 2x @ 1 @ 2x @ 1 <0 `
ab
c
2x @ 1 4x 2 @ 1 <0
Resolvendo a última desigualdade: y1) 2x-1< 0 2x-1= 0 2x= 1 x=1/2
y2) 4x² -1 < 0 4x²-1 = 0 4x² = 1 x² = ¼
w w w w w w w w w 1 1f f f f f f f x = ±s = F
4
então: x i = @
2
1f f f e 2
1f f x ii = f 2
Então montamos o diagrama:
Logo, os valores que tornam a desigualdade verdadeira é o intervalo: S = (-∞ , -1/2)
GUIDG.COM – PG. 15 a
t 12x 3 @ 20x 2 ≥ @ 11x + 2 O procedimento já foi visto na resolução do exercício ( p ) , chama-se Pesquisa de raízes, infelizmente são poucos os alunos que tenham estudado este assunto no ensino médio, portanto se você não entender deverá estudar Polinômios e equações polinomiais. Solução: 12x3 @ 20x 2 + 11x @ 2 ≥ 0 12x 3 @ 20x 2 + 11x @ 2 = 0 Agora devemos fatorar o polinômio e precisamos das raízes. O procedimento é um pouco longo, mas funciona.
Pesquisa de raízes: (-2) é o coeficiente d , e 12 é o coeficiente a da função polinomial. As possíveis raízes são os divisores inteiros de d , e de a , na fração d/a . Divisores de d(-2): {±1, ±2} Divisores de a(12): {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} V
W
1f 1f 2f 2f f f f f 1f f 1f f f 1f f f f f f f f 2f f 2f f f 2f f f f f f f Possíveis Raízes: df : F 1, F f ,F f ,F f ,F f ,F f , F 2, F f ,F f ,F f ,F f ,F f a 2 3 4 6 12 2 3 4 6 12
Percebemos que algumas são equivalentes, e resumimos o conjunto em: V
W
1f 1f 2f df f f f f 1f f 1f f f 1f f f f f f f f : F 1, F f ,F f ,F f ,F f ,F f , F 2, F f 2 3 4 6 12 3 a
Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a primeira que reduza o grau:
1 -1 1/2
12 12 12 12
-20 -8 -32 -14
11 3 43 4
-2 1 -45 0
Logo podemos re-escrever a função polinomial como um produto: cf
g
1f f f 12x @ 14x + 4 A x @ = 0 2
b
2
Mas estamos procurando por valores tais que: b
cf
12x 2 @ 14x + 4 A x @
g
1f f f ≥0 2
F F V
GUIDG.COM – PG. 16 cf
g
1f f f 12x @ 14x + 4 A x @ ≥ 0 2
b
2
Resolvendo a última desigualdade: a 1f f y1 x @ f ≥0 2 1f f x@ f =0 2 1f f x= f 2
a
y 2 12x 2 @ 14x + 4 ≥ 0 12x 2 @ 14x + 4 = 0 6x 2 @ 7x + 2 = 0 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w p F 1f 7f F 49 @ 4f Af 6f Af 2f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f 7f f f f f f f f f f f f f f f f = x= 12 12 xi =
8f f f f f f f 2f f f
12
=
3
e
x ii =
6f f f f f f f 1f f f
12
=
2
Então, montamos o diagrama:
Logo, os valores de x que tornam a inequação verdadeira é o intervalo: S = {1/2} U [2/3 , +∞ )
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