algebra basica. soluciones con el paquete mathematica

COLECCIÓN LA LLAVE

Soluciones con el paquete Mathematica

• CLARAMARTHA ADALID DÍEZ DE U. • EDITH ARIZA GÓMEZ • VÍCTOR A. BREÑA VALLE • JOSÉ FERNÁNDEZ GARCÍA • ANDRÉS MORALES ALQUICIRA • ANA ELENA NARRO RAMÍREZ • VICENTE RAMÍREZ • ARACELI RENDÓN TREJO • JESÚS RODRÍGUEZ FRANCO • ANGÉLICA ROSAS HUERTA • JORGE ÓSCAR ROUQUETTE ALVARADO • IRENE SÁNCHEZ GUEVARA • TOMASA TLAHUEL TLAHUEL

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Casa abierta al tiempo

UNIDAD XOCHIMILCO División de Ciencias Sociales y Humanidades

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

Casa abierta al tiempo





ÁLGEBRA BÁSICA



UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

Rector general, doctor Luis Mier y Terán Casanueva Secretario general, doctor Ricardo Solís Rosales UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-XOCHIMILCO

Rectora, doctora Patricia Elena Aceves Pastrana Secretario, doctor Ernesto Soto Reyes Garmendia DIVISIÓN DE CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES

Director, licenciado Gerardo Zamora Fernández de Lara Secretario académico, maestro Roberto Martín Constantino Toto Jefe de la Sección de Publicaciones, licenciado Miguel Ángel Hinojosa Carranza COMITÉ EDITORIAL

Presidente, Carlos Alfonso Hernández Gómez Marta G. Rivas Zivy / Martha Griselda Martínez Vázquez / Myriam Cardozo Brum Enrique Cerón Ferrer / Teseo Rafael López Vargas / Rogelio Martínez Flores



Álgebra básica Soluciones con el paquete Mathematica

CLARAMARTHA ADALID DIEZ DE U. Y EDITH ARIZA GÓMEZ • VÍCTOR A. BREÑA VALLE Y JOSÉ FERNÁNDEZ GARCÍA r ANDRÉS MORALES ALQUICIRA • ANA ELENA NARRO RAMÍREZ T VICENTE RAMÍREZ T ARACELI RENDÓN TREJO T JESÚS RODRÍGUEZ FRANCO T ANGÉLICA ROSAS HUERTA T JORGE ÓSCAR ROUQUETTE ALVARADO T IRENE SÁNCHEZ GUEVARA • TOMASA TLAHUEL TLAHUEL

j ^ \ \ UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA casa abierta ai tiempo

UNIDAD XOCHIMILCO División de Ciencias Sociales y Humanidades

2001



Cuidado de la edición: Dora Luz Juárez Cerdi, Renata Soto-Elízaga y los autores Diseño de la portada: Mónica Cortés Genis Composición y formación: Irma Leticia Valera Jaso Elaboración de gráficas y cuadros: Laura Mier Producción editorial: Centro Editorial Versal, s.c. Primera edición, diciembre de 2001 D.R.© 2001 Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco Calzada del Hueso 1100 Colonia Villa Quietud, Coyoacán 0496o México, D.F. ISBN de la colección: 970-654-452-6 ISBN: 970-654-902-1 Impreso y hecho en México / Printed and made in México



ÍNDICE

PRESENTACIÓN

15

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CONJUNTOS Objetivos Estructura del capítulo Introducción 1.1. Conceptos básicos de conjuntos 1.1.1. Definición de conjunto 1.1.2. Notación Ejemplos de 1.1.2 1.1.3. Conjuntos especiales Ejemplos de 1.1.3 1.2. Relaciones entre conjuntos 1.2.1. Igualdad y contención Ejemplos de 1.2.1 1.2.2. Subconjuntos de un conjunto Ejercicios de 1.2.2 1.3 Operaciones entre conjuntos 1.3.1. Complementación Ejemplos de 1.3.1 1.3.2. Intersección 1.3.3. Unión 1.3.4. Diferencia de conjuntos Ejemplos de 1.3 1.4. Diagramas de Venn 1.4.1. Regiones en los diagramas 1.5. Aplicaciones 1.5.1. Número de elementos de la unión de conjuntos

17 19 19 19 20 20 20 21 21 22 22 22 22 23 23 24 25 25 25 26 26 26 28 30 31 31



8

Álgebra básica

Ejemplos de 1.5.1 Ejercicios de 1.5.1 1.6. El paquete Mathematica 1.6.1. Elementos básicos y cálculos numéricos 1.6.2. Mathematica y teoría de conjuntos Solución a los ejercicios propuestos Bibliografía

32 39 41 42 46 52 53

CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Objetivos Estructura del capítulo Introducción 2.1. Números enteros y fraccionarios 2.1.1. Los números negativos Ejercicios de 2.1.1 2.1.2. Fracciones y operaciones entre fracciones Ejercicios de 2.1.2 2.2. Números reales 2.2.1. Números irracionales Ejercicios de 2.2.1 2.3. Leyes y propiedades 2.3.1. Axiomas relativos a los números Ejercicios de 2.3.1 2.3.2. Propiedades de igualdad 2.3.3. Postulados de orden 2.3.4. Postulado de tricotomía Ejercicios de 2.3 2.4. Valor absoluto Ejemplos de 2.4 Ejercicios de 2.4 2.5. Aplicaciones 2.6. El paquete Mathematica y los sistemas numéricos Solución a los ejercicios propuestos Bibliografía

55 57 57 57 58 60 62 63 66 67 67 70 73 73 77 79 80 80 83 84 85 86 87 89 98 101

Capítulo 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Objetivos Estructura del capítulo Introducción

103 105 105 105



índice 3.1. Potenciación 3.1.1. Potencia de un monomio Ejemplos de 3.1.1 3.2. Exponentes enteros 3.2.1. Producto de potencias de igual base Ejemplos de 3.2.1 3.2.2. Elevar una potencia a otra potencia Ejemplos de 3.2.2 3.2.3. Producto elevado a una potencia n Ejemplos de 3.2.3 3.2.4. Elevar un cociente a una potencia n Ejemplos de 3.2.4 3.2.5. Cociente de dos potencias de igual base y exponente diferente Ejemplos de 3.2.5 3.3. Exponente cero y negativo 3.3.1. Exponente cero Ejemplos de 3.3.1 3.3.2. Exponente negativo Ejemplos de 3.3.2 Ejercicios de 3.1, 3.2 y 3.3 3.4. Radicales 3.4.1. Exponente fraccionario Ejemplos de 3.4.1 3.4.2. Radicales semejantes Ejemplos de 3.4.2 3.4.3. Simplificación de un radical Ejemplos de 3.4.3 3.4.4. Introducción de un coeficiente dentro de un radical Ejemplos de 3.4.4 3.4.5. Suma de radicales semejantes Ejemplos de 3.4.5 3.4.6. Conversión de radicales distintos a otros, con índice igual al m.c.m. de los índices Ejemplos de 3.4.6 3.4.7. Suma y resta de radicales Ejemplos de 3.4.7 3.4.8. Multiplicación de radicales del mismo índice Ejemplos de 3.4.8 3.4.9. División de radicales del mismo índice

106 107 107 107 107 108 108 108 108 109 109 109 110 110 111 111 111 111 112 113 114 114 115 117 117 117 117 118 118 118 118 119 119 119 120 121 121 121



10

Algebra básica

Ejemplos de 3.4.9 3.4.10. Potenciación de radicales (radical elevado a una constante) Ejemplos de 3.4.10 3.4.11. Radicación de radicales Ejemplos de 3.4.11 3.4.12. Racionalización del denominador cuando es un monomio Ejemplos de 3.4.12 3.4.13. Racionalización del denominador de una fracción cuando es un binomio con raíces cuadradas Ejemplos de 3.4.13 Ejercicios de 3.4 3.5 Polinomios 3.5.1. Suma de monomios Ejemplos de 3.5.1 3.5.2. Suma de polinomios Ejemplos de 3.5.2 3.5.3. Ley distributiva de la multiplicación Ejemplos de 3.5.3 3.5.4. Sustracción de monomios Ejemplos de 3.5.4 3.5.5. Sustracción de un polinomio Ejemplos de 3.5.5 3.5.6. Multiplicación Ejemplos de 3.5.6 3.5.7. Multiplicación de monomios Ejemplos de 3.5.7 3.5.8. Monomio por polinomio Ejemplos de 3.5.8 3.5.9. Multiplicación de dos polinomios Ejemplos de 3.5.9 3.5.10. División 3.5.11. Propiedades de la división 3.5.12. División de monomios Ejemplos de 3.5.12 3.5.13. División de un polinomio por un monomio Ejemplos de 3.5.13 3.5.14. División de dos polinomios Ejemplos de 3.5.14 Ejercicios de 3.5

122 122 122 123 123 123 123 124 124 125 128 128 128 129 129 130 130 131 132 132 132 134 135 136 136 138 138 139 139 141 141 142 142 143 143 145 145 148



índice

11

3.6. Aplicaciones 3.7. Manejo de polinomios con Mathematica Bibliografía

150 152 165

CAPÍTULO 4. FACTORIZACIÓN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Objetivos Estructura del capítulo Introducción 4.1. Factorización de polinomios 4.2. Productos notables Ejemplos de 4.2 Ejercicios de 4.2 4.3. Factorización con factor común, productos notables y combinación de ambos 4.3.1. Factorización con factor común Ejemplos de 4.3.1 4.3.2. Factorización con productos notables Ejemplos de 4.3.2 4.3.3. Factorización de polinomios combinando ambos métodos Ejercicios de 4.3.3 4.4. Factorización por agrupamiento Ejemplos de 4.4 4.5. Factorización de una ecuación cuadrática Ejemplos de 4.5 4.5.1. Factorización de un trinomio de segundo grado Ejemplo de 4.5.1 Ejercicios de 4.5.1 4.6. Descomposición factorial de polinomios 4.6.1. Raíces de polinomios 4.6.2. Teorema del residuo Ejemplos de 4.6.2 4.6.3. División por Regla de Ruffini Ejemplos de 4.6.3 4.6.4. Descomposición factorial de polinomios Ejemplo de 4.6.4 4.7. Fracciones algebraicas 4.7.1. Propiedades de las fracciones Ejemplo de 4.7.1 4.8. Simplificación mediante factorización

167 169 169 169 170 171 173 174 174 174 174 175 175 177 177 179 180 181 181 182 183 184 184 184 186 186 186 187 189 189 190 191 192 192



12

Álgebra básica

Ejemplos de 4.8 Ejercicios de 4.8 4.9. Multiplicación y división de fracciones algebraicas 4.9.1. Multiplicación de fracciones Ejemplos de 4.9.1 4.9.2. División de fracciones Ejemplos de 4.9.2 Ejercicios de 4.9.2 4.10. Suma y resta de fracciones algebraicas Ejemplo de 4.10 4.10.1. Procedimiento para sumar (o restar) fracciones Ejemplos de 4.10.1 4.11. Aplicaciones 4.12. Productos notables y factorización con Mathematica Solución a los ejercicios propuestos Bibliografía

192 193 193 193 194 196 196 198 198 200 201 202 204 204 212 216

CAPÍTULO 5. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES Objetivos Estructura del capítulo Introducción 5.1. Ecuaciones de primer grado Ejemplos de 5.1 5.2. Ecuaciones de segundo grado 5.2.1. Solución de la ecuación cuadrática pura Ejemplos de 5.2.1 5.2.2. Solución de la ecuación cuadrática pura por descomposición en factores Ejemplos 5.2.2 5.2.3. Solución de la ecuación cuadrática mixta incompleta Ejemplos de 5.2.3 5.2.4. Solución de ecuación cuadrática mixta completa por descomposición en factores Ejemplos de 5.2.4 5.2.5. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa por el procedimiento de completar el cuadrado perfecto Ejemplos de 5.2.5 5.2.6. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa por medio de la fórmula general

217 219 219 219 220 221 221 222 222 225 226 228 228 230 230 232 233 236



índice Ejemplos de 5.2.6 Ejercicios de 5.2 5.3. Sistemas de ecuaciones de primer grado Ejemplos de 5.3 5.3.1. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Ejemplos de 5.3.1 Ejercicios de 5.3.1 5.4. Sistemas de ecuaciones de primer y segundo grados Ejemplos de 5.4 Ejercicios de 5.4 5.5. Sistemas de ecuaciones de segundo grado Ejemplos de 5.5 Ejercicios de 5.5 5.6. Desigualdades 5.6.1. Concepto Ejemplos de 5.6.1 5.6.2. Desigualdades con una incógnita Ejemplos de 5.6.2 Ejercicios de 5.6.2 5.6.3. Sistemas de desigualdades simultáneas con una incógnita Ejemplos de 5.6.3 Ejercicios de 5.6.3 5.6.4. Desigualdades lineales con dos incógnitas Ejemplos de 5.6.4 Ejercicios de 5.6.4 5.6.5. Sistemas de desigualdades lineales con dos variables Ejemplos de 5.6.5 Ejercicios de 5.6.5 5.7. Aplicaciones 5.7.1. El ingreso nacional Ejemplos del 5.7.1 5.7.2. Modelo de mercado con dos bienes Ejemplos del 5.7.2 5.7.3. Análisis de optimización Ejemplo del 5.7.3 5.8. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con el paquete Mathematica Apéndice del 5.6 Bibliografía

13 237 238 239 239 241 241 243 244 244 249 249 250 253 253 253 254 255 255 258 258 258 260 260 260 262 263 264 265 266 266 269 271 273 277 278 280 297 299





PRESENTACIÓN

L

A PRESENTE OBRA está dirigida a cubrir los temas básicos de álgebra que los estudiantes de ciencias sociales deben conocer y manejar, en especial los de política y gestión social, economía y administración; también de aquellas carreras en las que no requieran conocimientos muy avanzados de matemáticas como: comunicación social, sociología y psicología, entre otras. Este material tiene como objetivo apoyar a los alumnos que ingresan a la universidad en los temas básicos de álgebra. Los contenidos se plantean de forma accesible, cuidando que el balance sea el adecuado entre la teoría, los cálculos y las aplicaciones; haciendo énfasis en las técnicas y métodos que el estudiante requiere para solucionar problemas específicos. En cada uno de los capítulos, el estudiante puede avanzar paso a paso para adquirir el conocimiento en forma gradual. Después de cada nuevo concepto se procede a ilustrarlo con varios ejemplos, complementando algunos de ellos con su solución por medio del paquete de computación Mathematica. Se incluyen aproximadamente 600 ejemplos, de los cuales 250 están resueltos con Mathematica y se identifican con el símbolo de la computadora (B). Al final de cada capítulo se encuentran los problemas por resolver, para que el estudiante reafirme y maneje las diferentes técnicas algebraicas en la solución de los mismos, empleando la forma tradicional o utilizando Mathematica. El primer capítulo se conforma de dos partes importantes, en la primera se describen los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, como son su definición, su notación, la relación entre conjuntos, las operaciones básicas entre conjuntos, la representación de éstas a través de diagramas de Venn y sus aplicaciones. En la segunda parte se dan a conocer los elementos básicos para el manejo del paquete de computación Mathematica, en la solución de cálculos numéricos y en la aplicación a la teoría de conjuntos. En el capítulo dos se estudia el sistema de números reales: los números enteros y fraccionarios, los números irracionales, sus leyes y propiedades más usuales; 15



también se trata el concepto de valor absoluto y el manejo de los sistemas numéricos con el paquete Mathematica. El capítulo tres se divide en cuatro partes, para estudiar las operaciones con expresiones racionales e irracionales. En la primera sección se aborda la potenciación, exponentes enteros, negativos y cero. En la segunda parte se estudian los exponentes fraccionarios, los radicales, la racionalización del denominador cuando es un monomio y la racionalización del denominador cuando es un binomio con radicales de segundo grado. En la tercera sección se explica la forma de efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre monomios, entre monomio y polinomio y entre polinomios. En la última parte se presenta el manejo de polinomios con el paquete Mathematica. El capítulo cuatro se refiere a la factorización y las operaciones con fracciones algebraicas. En el primer caso se analiza la factorización de polinomios, productos notables, factorización común, factorización con productos notables y la combinación de ambos; asimismo, se plantea cómo factorizar por agolpamiento, la factorización de la ecuación cuadrática y la descomposición factorial de polinomios. Para el caso de las fracciones algebraicas, se estudian sus propiedades, la simplificación mediante la factorización, así como las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. En la última parte del capítulo se indica cómo dar solución a los productos notables y a la factorización con el paquete Mathematica. El capítulo cinco está dividido en cuatro partes. En la primera se trabaja con las ecuaciones de primer grado con una incógnita y su solución; la solución de la ecuación cuadrática pura, cuadrática mixta incompleta, cuadrática mixta completa por descomposición de factores, mixta completa por el procedimiento de completar el cuadrado perfecto, cuadrática mixta completa por descomposición de factores y mixta completa a partir de la ecuación general. La segunda parte se refiere a la solución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, utilizando los métodos de igualación, sustitución, diferencia y determinantes; y la solución para sistemas de ecuaciones de segundo grado. En la tercera parte se tratan los conceptos básicos de las desigualdades, la solución de desigualdades con una incógnita, sistema de desigualdades simultáneas con una incógnita, desigualdades lineales con dos incógnitas y el sistema de desigualdades con dos incógnitas. En la última parte del capítulo se presenta la solución de las desigualdades con el paquete de cómputo Mathematica.

Los autores



CAPÍTULO 1

Teoría de conjuntos





1. TEORÍA DE CONJUNTOS

Al terminar este capítulo, el lector podrá: y Identificar los elementos de un conjunto.
INTRODUCCIÓN

A

UNQUE SIEMPRE hemos estado rodeados de conjuntos, e incluso formamos parte de diversos conjuntos, la noción de conjunto tardó en aparecer, seguramente debido al nivel de abstracción que requiere este concepto, semejante al de los números; por ejemplo, la cinquidadftiz captada bastante tiempo después de la utilización del cinco ligado a cinco cosas. A pesar de su tardía puesta en escena, la teoría de conjuntos es tan valiosa que ha afectado significativamente la estructura y el lenguaje de las matemáticas modernas. Sin miedo a exagerar, puede afirmarse que todas las ramas de la matemática utilizan conjuntos. Por ejemplo, en aritmética se trabaja con los conjuntos de números y las operaciones efectuadas con ellos; la geometría estudia los conjuntos de puntos que definen diversas figuras y sus propiedades; el muestreo analiza las características de subconjuntos de una población, etcétera. Se puede atribuir el nacimiento de las ideas conjuntistas a los trabajos de los matemáticos alemanes Richard Dedekind (1831 -1916) y Georg Cantor (1845-1918). 19



20

Álgebra básica

Aunque ambos estaban fundamentalmente preocupados por conjuntos infinitos (con un número infinito de elementos), construyeron las bases de los números naturales sobre el concepto de conjunto. Por su parte, el matemático alemán Ernst Zermelo (1861-1953) estableció los axiomas sobre los que se desarrolló la teoría de conjuntos.

1.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS

1.11. Definición de conjunto Se llama conjunto a una colección de objetos de cualquier índole, relacionados o ajenos. Así, por ejemplo, se puede hablar en la UAM Xochimilco del conjunto de libros de la biblioteca, del conjunto de bienes que conforman el inventario, del conjunto de reglamentos, del conjunto de proveedores, del conjunto de egresados, del conjunto de docentes, del conjunto de alumnos reprobados en el trimestre pasado, etcétera. También puede hablarse de conjuntos en los que no hay relación explícita entre los objetos que los integran: "número, papel, vestido, planta, gises" o "refresco, árbol, auto, computadora, piedra". Las reglas que rigen la construcción de conjuntos son: 1. La colección de objetos debe estar bien definida. Se debe saber con certeza cuándo un objeto pertenece al conjunto y cuándo no. El conjunto no está bien definido cuando hay ambigüedad sobre los elementos que lo componen o se requiere incorporar criterios adicionales para identificar tales elementos. Por ejemplo, si el conjunto está formado por las 15 empresas más importantes del país, se requiere conocer los criterios que confieren importancia a las empresas: volumen de ventas, capital social, número de empleados, etcétera. 2. Ningún objeto puede aparecer más de una vez; en general, los elementos deben ser distintos. Por ejemplo, el conjunto de letras que forman la palabra Cacahuamilpa es: c, a, h, u, m, i, I, p. 3. El orden en el que se enumeran los objetos no tiene importancia.

1.1.2. Notación Para simbolizar los conjuntos se emplean letras mayúsculas, por ejemplo A = {letras consonantes} que se lee: A es el conjunto de letras consonantes. Las



/ Teoría de conjuntos

21

llaves sirven para encerrar entre ellas los componentes del conjunto o su descripción. Los objetos que forman parte del conjunto se conocen como elementosry generalmente se simbolizan mediante letras minúsculas. Se utiliza el símbolo e para indicar pertenencia y £ para negarla. Así, con respecto al conjunto A mencionado antes, se puede afirmar que/? e A y que o£ A. Se emplean dos formas para especificar un conjunto: 1. Por extensión, que consiste en listar todos los elementos que constituyen el conjunto, separados por comas y encerrados entre llaves. 2. Por comprensión, indicando dentro de las llaves las propiedades que sirvan para describir los elementos del conjunto.

Ejemplos de 1.1.2 ^ = { 0 , 7 , 14,21,28} = {x\ xe Aí,x=7n,Q
B

C- {x\ xzs proveedor de El Palacio de Hierro} D- {x I .res ciudadano mexicano}

1.1.3 Conjuntos especiales En el análisis de una situación particular, la colección de todos los elementos que intervienen constituye un conjunto especial denominado conjunto universal, que se representa por £1 Debe tomarse en cuenta que este conjunto universal no es único, pues cambia con el problema que se pretende resolver. Otro conjunto especial es aquel que no contiene elementos; este conjunto se denomina conjunto vacío y se denota por <|) o por { }. Al número de elementos del conjunto A se le llama cardinalidady se denota por 8{A). Un conjunto se consideray?////¿> cuando su cardinalidad es un número natural, de otra manera se le dice infinito. Cuando es infinito pero puede contarse, ponerse en correspondencia con los números naturales, se le llama numerable.

1

Ejemplos resueltos utilizando el paquete de computación Mathematica.



22

Álgebra básica

Ejemplos de 1.1.3

C- N— {números naturales), 8(C) es infinita numerable. /?= {O, 2, 4, 6, 8, . . . } , 8{D) es infinita numerable. ^ = 91= {números reales}, 8{E) es infinita no numerable. F- {números irracionales}, 8{F) es infinita no numerable.

1.2. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

/ 2.1. Igualdad y contención Se dice que dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos y se denota por A = B; cuando no sucede así se indica mediante A^ B. La definición formal de conjuntos distintos es: A^Bsiy

sólo si 3 (existe) x^ A^ (tal que)x<£ Bf o bien 3 (existe) (tal que)y& A.

Dados dos conjuntos cualesquiera, AyB, se dice que uno incluye a otro, A c B (se lee A es subconjunto deBoB incluye a ^ ) s i ¿ ? e ^ / = > (implica que) a e B. Es importante destacar la diferencia entre la relación de pertenencia (e) que se da entre un elemento y un conjunto y la relación de inclusión (c) que se establece entre dos conjuntos. Sin embargo, puede suceder que los elementos de un conjunto sean a su vez conjuntos.

Ejemplos de 1.2.1 SiA= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B= {0, 2, 4, 6, 8} y C= {1, 3, 5, 7} entonces

BczAy CaA,peroB<£C, C



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SiZ>= {{1,2}, {3,5,7}, {0,4,6,8}} entonces {1,2} e D, {3,5,7} e D, {0, 4, 6, 8} e D y {{1,2}} c D (el conjunto con un elemento que es un conjunto es subconjunto de D), {{1, 2}, {3, 5, 7}} cz£>, {{0, 4, 6, 8}} Una manera más formal de establecer la igualdad entre conjuntos consiste en afirmar A = B, si y sólo si cada elemento de uno de los conjuntos es también elemento del otro, esto es: \a e A=> ae B (que significa A c B) y G B=>be A (que significa B c A) Siempre es cierto que A - A, y en particular AczA, pero a este tipo de inclusión se le llama inclusión impropia y se simboliza por c ; las demás inclusiones se dicen propias. Es igualmente cierto que el vacío es subconjunto de cualquier conjunto, (|)c4 1.2.2. Subconjuntos de un conjunto Al conjunto de subconjuntos de un conjunto A se le llama conjunto potencia y se le denota por 2A; esta notación puede explicarse porque cuando el conjunto es finito, con cardinalidad n, la cardinalidad del conjunto de subconjuntos correspondiente es precisamente 2n.

Ejercicios de 1.2.2 1. Colocar un signo = o ^ según convenga: a) {a+b, (b-a)(b+a), b) {5 + 1, 7, 34 + 16, 0} c) {34, 2o, 52, 25} d) {0, 1, 2o, 3 - 3,1°}

{b2-

a+a)

a\2"a+¿>}

{5 - 5, 50, 6, 8 - 1} {92, 1, 25}

{81, 37°, 25, 25}

{0, 1}

2. Anota sobre la línea si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos:

a) {P\ = {P, $}



Algebra básica

24

b) {c{>, O, 1 } = {<}>, 1 } c) Ws = {0} d) { 2 - 2 } = {0}

f) 0 = W £> {5} = 5

y^ {x 3. Completa la tabla siguiente, colocando el símbolo de c , c o
{1}

{0}

{1,0}

{3,0,1}

* {1}

{1,3} {0,1} {0,1,3} {0}

1.3. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Las operaciones entre conjuntos son formas específicas de combinar conjuntos para formar nuevos conjuntos. Las operaciones más importantes son: complementación, intersección, unión y diferencia.



/. Teoría de conjuntos

25

1.3.1. Complementación Si A c Q, el complemento de ^ con respecto a Í2 es el conjunto de elementos de Q, que no están en A y se representa como: A',Ac={xe

Ejemplos de 1.3.1 1. Si Q, es el conjunto de lectores de La Jornada y A son los suscriptores de ese periódico, entonces Ac- {lectores de La Jornadano suscriptores}. 2. Si Í2 es el conjunto de mexicanos y A es el conjunto de ciudadanos con derecho a voto, Ac- {mexicanos sin derecho a voto}.

13.2. Intersección Si A y B son dos subconjuntos del conjunto universal, la intersección de estos conjuntos es la colección de elementos que pertenecen a ambos: AnB= {xe £l\ xe Ayxe A} Propiedades:

*(An£)c=Acv£c Donde u significa unión, operación definida a continuación. Cuando A n B- O los conjuntos se llaman ajenos o disjuntos.



26

Algebra básica 1.3.3. Unión

Si A y B son dos subconjuntos del conjunto universal, la unión de estos conjuntos es la colección de elementos que pertenecen al menos a uno de ellos:

AuB= {XG Q| XG Ay XG B) Propiedades:

Donde B- Crepresenta la diferencia de conjuntos, que es la siguiente operación explicada. Esta propiedad también se da para la intersección.

B-C) = (AnB)-(AnC) 1.3.4. Diferencia de conjuntos SiAy Bson dos subconjuntos del conjunto universal, la diferencia de estos conjuntos es la colección de elementos que pertenecen al primero de ellos y no al segundo:

J-B={xe Q | xe Ayx£ B} Propiedades:

-C) =

(AnB)-(AnC)

Ejemplos de 1.3 1. Se efectúa una encuesta entre 250 empleados de una empresa, acerca de un nuevo plan de jubilación. Los resultados son los siguientes:



27

/ Teoría de conjuntos Trabajadores Respuesta En favor En contra Indiferentes Total

Directores 1 2 1 4

Gerentes 5 8 2 15

Empleados 88 32 11 131

Temporales 52 38 10 100

Total 146 80 24 250

Los 250 empleados de la encuesta son los elementos del conjunto universal. Si los elementos que contestan en favor, N los que están en contra, Z> los directores, Glos gerentes, irlos empleados de base y T los empleados temporales a) Determinar el número de empleados en cada uno de los siguientes conjuntos: S,D, G, T,Du G, Sn T,(Su N)', (Eu T) n N, N- (Tu E\(SU n G, T- (SKJ N)

N)'

b) Escribir cada uno de los siguientes conjuntos usando sólo los símbolos S, N, GE, T/,u,r\\ • El conjunto de empleados que contestaron en favor y no son empleados de base. • El conjunto de empleados indiferentes. • El conjunto de empleados indiferentes que son trabajadores de base. • El conjunto de empleados que se pronunciaron en contra del proyecto y son trabajadores temporales. Solución:

a) S(S) = 146, 8(D) = 4, 8(G) = 15 5(7*) = 100, 5(¿>u G) = 19, S(Sn T) = 52, 8{{Ev T)nJV) = 70, 8(N- (Tu E)) = 10, 8(T-(Su JV))= 10

N)' = 24 N)' nG

b) • • • •

Sc\(Du Gu T) (SuNY (Su N)' n E Nr\T



Algebra básica

28

2. Sean £2= {0,1,2,3,4,5,6,7} el conjunto universal y sus subconjuntos A= {0, 1,2,3}, B= {0,2,4, 6}, C= {1, 3, 5, 7}, £>= {7}, aplicando las definiciones de

operaciones obtener: A', B', C,Av£,{AvB)\

A-B, An Q B'n C, B- Cf A

Solución: • A'= {4, 5, 6, 7}, B'= {1, 3, 5, 7}, r = {0, 2, 4, 6} • AuB= {0,1,2,3,4,6} • (AvB)'= {5, 7 } , ^ - ^ = {1,3} -C=B,A-D = A, ¿7-Z?={l,3,5} ={l, 3, 7}, i?u C= fí, (^X = {0, 1, 2, 3}

1.4. DIAGRAMAS DE VENN

Al trabajar con los conjuntos, sus relaciones y operaciones, es útil contar con un sistema de representación gráfica que permita visualizar lo que ocurre e interpretar con diagramas las relaciones lógicas correspondientes. El procedimiento usual, que consiste en dibujar rectángulos y círculos, se conoce como diagrama de Venn-Euler. En este diagrama, el conjunto de puntos interiores al rectángulo es el conjunto universal. Los subconjuntos del conjunto universal se representan a partir de los puntos interiores a los círculos trazados dentro del rectángulo. Los diagramas correspondientes al ejemplo anterior son:

-

,-

f :

5 ( 1

V

' 0 ^

3

7

1 )/ (\

/

2

6

/

)

A -~

D

c

B

-



29


AUB

(A U

5

¿57 v_._ í ) (

/T 1

V

V

...

3

í 0 > 46 i 2 ,

j

•

c

\ -

j

y

•

A

B

AC\C

>r 5

f \

^

21

w D

C

4 6

/o \ A

.

\

y

y B



30

Álgebra básica C-D

1.4.1. Regiones en los diagramas En todo diagrama de Venn-Euler se pueden identificar regiones que son útiles para reconocer relaciones de pertenencia. En el caso de un subconjunto se aprecian dos regiones: Rv que es la región de los puntos en A; y Rv la región de los puntos fuera de A.

En el caso de dos subconjuntos, se obtienen cuatro regiones:



/. Teoría de conjuntos xe Ay xe xe Ay x£ x£ Ay xe x£ Ay x£

31

B}=AnB B}=A-B B}=B-A B}=(A'KJB')

En el caso de tres subconjuntos, se obtienen ocho regiones:

xe A, xe By xe C) •--AnBnC R2={x xeA,xeByx<£ C} --Ar\Br\C xe A, x<£. By xe C) -•AnB'nC J Í A, xe By xe C) --A'nBnC 4 R5={x xe A, xí By xí C} --AnB'nC x£ A,xe Byx
1.5. APLICACIONES

/ 5.1. Número de elementos de la unión de conjuntos Una de las relaciones más utilizadas en las aplicaciones de teoría de conjuntos es aquella que permite conocer la cardinalidad de la unión de varios conjuntos, a partir del conocimiento de la cardinalidad de cada uno de ellos y la de sus intersecciones. Dados dos conjuntos, o son ajenos o tienen intersección distinta del vacío. Cuando son disjuntos, el número de elementos de la unión no es más que la suma de los elementos de ambos conjuntos S(A u B) = S(A) + S(B), si A n B=


Álgebra básica

32

de otra manera, 8{A u B) = 8(A) + 8(B) - 5(^ n B), ya que al sumar los elementos de A con los de B, los elementos comunes son contados dos veces por lo que es necesario restarlos.

Ejemplos de 1.5.1 1. Si todos los estudiantes del grupo SJO1 compraron boletos para asistir a los encuentros de fútbol el próximo fin de semana: 24 compraron para el partido Atlas-Toluca, 10 tienen boletos para el juego de Cruz Azul-Morelia y seis asistirán a los dos juegos. ¿Cuántos estudiantes forman este grupo? Solución:

8(A) = 24, 8(B) = 10,

= 69 entonces 8{Au B) = 24 + 10 - 6 = 28

2. La "técnica de panel", que consiste en seleccionar una muestra de la población y entrevistarla repetidas veces en diferentes intervalos de tiempo, en relación con el consumo de un producto determinado, es un método muy utilizado en la investigación de mercado. Por ejemplo, se elige una muestra de 2000 empleados, a los que se entrevista preguntándoles si utilizan cierta marca de productos para oficina, para analizar los efectos de la publicidad sobre el consumo. Seis meses después se entrevista a esas mismas personas para preguntarles si continúan utilizándolos y lo mismo se hace un año después. Sean P, Sy T los conjuntos de personas que respondieron afirmativamente a las entrevistas en la primera, segunda y tercera ocasiones. En el cuadro siguiente se especifican los datos obtenidos:

Conjuntos P S T POS PDT SDT PDSDT

Personas que respondieron afirmativamente

838 827 808 542 474 498 317

Entrevistas

Ia 2a 3a I a y 2a Ia y 3a 2a y 3 a Ia, 2a y 3 a




33

Utilizando el diagrama de Venn-Euler para tres conjuntos, se determinará la cantidad de usuarios que pertenecen a cada una de las ocho categorías o subconjuntos de empleados. Esto es, los elementos de las regiones R2 a J?r a) Como 8(Sn T) = 498 y 8(PnSn

T) = 317 y

<5(7?4) = 8{P'n Sn T) = 8(Sn T) - 8(Pn Sn T) entonces 5 ( ^ = 498-317=181 Esto significa que en la muestra hay 317 personas que respondieron en las tres oportunidades que utilizan los productos investigados, mientras que hay 181 personas que informaron que no los usaban en la primera entrevista y respondieron afirmativamente en la segunda y tercera entrevistas. b) Análogamente 8(Pn S) = 542 y 8{Pn Sn T) = 317, de donde 8(Pn Sn 7") = 8(Pn S) - 8(Pn Sn T) = 542 - 317 = 225 Entonces, 225 personas respondieron que utilizaban los productos en la primera y en la segunda entrevistas, pero no en la tercera. En términos de regiones del diagrama

c) De la misma manera se tiene que S(Pn T) = 474 y 8(Pn Sn T) - 317, de donde

8{Pn S'n T) = 8(Pn T) - 8(Pn Sn T) = 474 - 317 = 157 Esto es, hubo 157 entrevistados que informaron que utilizaban los productos en la primera y tercera ocasiones en que fueron interrogados, pero no en la segunda. En términos de regiones

d) Por otro lado, se sabe que 8(P) = 838, 8(J>n S) = 542, S(Pn T) = 474 y 8(/>n Sn T) = 317 => 8(Pn Sf n 7") = 8(P) - 8(Pn S) - 8(Pn T) + 8(Pn Sn T) = 8 3 8 - 5 4 2 - 4 7 4 + 317=139 que corresponde a la región R$, es decir, los consumidores que respondieron afirmativamente sólo en la primera entrevista.



34

Álgebra básica e) Además, 8(S) = 827, 8(Pn S) = 542, 5 ( ^ n 7*) = 498

y 8(Pn Sn T) = 317 => b{F n Sn F) = 5(J) - S(Pn S) - 8(Sn T) + 8{Pn Sn T) = 827 - 542 - 498 + 317 = 104, que corresponde a la región R6. f) Se tiene que 8{T) = 808, 5 ( ^ n T7) - 474, 5(^n T7) - 498 y 8(Pn Sn T) = 317, de donde

5(/"n ^ n r) = 5(r) - 8(Pn T) - 8(Sn T) + 8{Pn Sn T) = 808 - 474 - 498 + 317 = 153, que corresponde a la región Rr g) Finalmente, para determinar el número de elementos de la región Rg se recurre a la fórmula que proporciona la cardinalidad de la unión de tres conjuntos:

T) = 8{P) + 8{S) + 8{T) - 8(Pn S) - 8(Pn T) - 8(Sn T) + 8{Pn Sn T) = 838 + 827 + 808 - 542 - 474 - 498 + 317 = 1276

Por lo tanto 8(P'n S'n F) = 8(O) - 8(Pu Su T) = 2000 - 1276 = 724 que corresponde a la región Rg. La conclusión correspondiente al análisis de los datos obtenidos de los cuestionarios es la siguiente: al comparar las cifras de respuestas afirmativas en cada entrevista, se observa que la población de consumidores se mantiene aproximadamente estable, con una leve declinación: 8(P) = 838, 8(S) = 827 y 8{T) = 808. Sin embargo, la cifra 8(Pn Sn T) = 3\7 está indicando que la cantidad de consumidores fieles al producto es mucho menor. En términos porcentuales, las respuestas afirmativas constituyen respectivamente 41.9,41.4 y 40.4% de la población muestreada, mientras el porcentaje "cautivo" de ese mercado es sólo de 15.8 por ciento. Suponiendo que la información original es fidedigna, estos hechos se pueden interpretar de la siguiente manera: I. 8(Pn S' n T) = 157 significa que 7.8% de los consumidores no estuvieron muy convencidos de las propiedades del producto; que en el momento de la segunda encuesta estaban experimentando con algún producto competidor y que finalmente han regresado al producto original. II. S(Pn Sn F) = 225 significa que 11.3% de los consumidores estaban probando otros productos al ser interrogados en la tercera ocasión. III. 8{P/n Sn T) = 181 puede interpretarse como el incremento de mercado logrado durante el periodo que se está analizando, que representa 9% del total.




35

IV. 5(Pc\ S' n T') = 139 puede interpretarse como la disminución de mercado ocurrida en ese periodo, que es cercana a 7% del total. V. Tanto 5 ( ^ n Sn T') = 104 como S(P'n S"n T) = 153 representan grupos de consumidores sobre los cuales ha influido la publicidad efectuada en el periodo considerado; 5.2% probaron los productos investigados en la época de la segunda encuesta y al no convencerse de sus cualidades volvieron a usar el producto que consumían originalmente. Por otra parte, 7.6% de los consumidores estaban experimentando con estos productos al efectuarse la tercera entrevista. VI. 8(P'c\ S' n T') = 724 significa que 36.2% del mercado no consume estos productos y que la publicidad no ha tenido efecto sobre esas personas. VIL En resumen: los productos son conocidos por 63.8% de la población sometida a las entrevistas; 15.8% es mercado "cautivo" de los productos; el efecto neto de la publicidad ha sido aumentar 2% ese mercado (puntos III y IV), a ese 15.8% debe agregarse 7.8% de consumidores que ha vuelto a usar este producto después de experimentar con otros y, además, que hay 11.3% de consumidores no satisfechos. 3. Un jefe de publicidad ha entrevistado a 2000 personas para apreciar los efectos de tres campañas publicitarias, con los siguientes resultados: 580 personas conocen la campaña^. 840 personas conocen la campaña B. 920 personas conocen la campaña C. 260 personas conocen las campañas A y B. 220 personas conocen las campañas A y C. 300 personas conocen las campañas i? y C. 100 personas conocen las tres campañas. Se desea saber: a) ¿Cuántas personas conocen sólo la campaña A?, ¿sólo la campaña B?, ¿sólo la campaña C? b) ¿Cuántas personas conocen sólo las campañas A y B?, ¿sólo las campañas A y C?, ¿sólo las campañas By C? c) ¿Cuántas personas conocen la campaña B, la Co ambas? d) ¿Cuántas personas conocen al menos una de las campañas? e) ¿Cuántas personas no conocen ninguna de las campañas?



36

Algebra básica Solución: Los datos con los que se cuenta son: 8{A) = 580 8{B) = 840 = 920

8(AnB) = 260 8(A nC) = 220 8(£nC) = 300

S(AnBnC) 5(Q) - 2000

a) "Sólo la campaña^ "significa el conjunto AnB'n de Venn-Euler corresponde a la región Ry

= 100

C, que en el diagrama

Se sabe que: 8(AnB'nC/) = S(A)-S(AnB)-8(AnC) + S(AnBnC) - 5 8 0 - 2 6 0 - 2 2 0 + 1 0 0 = 200 Análogamente, "sólo la campaña B " significa el conjunto A' c\Br\ C\ que en un diagrama de Venn-Euler corresponde a la región R6. Utilizando los datos originales, se obtiene: 8(A'nBn C) = 8(0)- 8(AnB)- 8(Bn C) + S(AnBn C) = 8 4 0 - 2 6 0 - 3 0 0 + 100-380 De la misma manera, "sólo la campaña ¿""corresponde al conjunto A' n B' c\ C, o sea, la región Rn de un diagrama de Venn-Euler. Como en los dos casos anteriores: 8(A' n JFn C) = 8(C) - S(AnC)- 8(Bn C) + S(AnBn C) = 920-220-300+100 = 500 b) "Sólo las campañas A y B" corresponde a la región R2 de un diagrama de Venn-Euler. Su cardinalidad se calcula así: S(A n B n C) = 8{A n B) - 8(A n B n C) = 260 - 100 = 160 "Sólo las campañas A y ¿^'corresponde al conjunto A n B'n C, o sea, a la región R3 de un diagrama de Venn-Euler y su cardinalidad es: 8{AnB'n

C) = 8{An C)- 8{AnBn

C) = 220- 100 = 120



1. Teoría de conjuntos

37

Y "sólo las campañas By C" corresponde a la región R4 de un diagrama de Venn-Euler y 8(A'nBn

C) = 8(£n C)-8(AnBnC)

= 300- 100 = 200

c) "La campaña B, o la C, o ambas", en el diagrama de Venn-Euler corresponde a ^ u C que son las regiones Rp R2, R3, J?4, i?6, i? r El número de elementos se calcula: 8{BKJ C) = 8(B) + 8{C) - 8(Bn

C) = 840 + 920 - 300 -

1460

d) "Al menos una de las campañas" corresponde a las regiones Rv Rv Rv R4, R5, R6, Rr Su cardinalidad se calcula:

= 580 + 840 + 920 - 260 - 220 - 300 + 100 = 1660 e) "Ninguna de las tres" corresponde a la región R que es el conjunto A'c\ B' n C Utilizando el resultado de 8{A u £\j C) - 1660 se tiene: 8{A'c\ B'n C) = 8(íl) -8(AUBKJ

C) = 2000 - 1660 = 340

La información obtenida permite efectuar análisis semejantes al del ejemplo anterior. 4. Se desea comparar la preferencia de una población sobre el consumo de tres productos y para esto se ha contratado a un investigador de mercados. Es natural que algunas de las personas entrevistadas declaren que les gustan todos los productos investigados, que algunos gusten de sólo dos de ellos y a otros no les guste ninguno. El investigador decidió que estas últimas personas no se incluirían en la muestra y entrevistó a 1000 personas que gustaban de al menos uno de los productos. El reporte que presentó indicaba que: 729 gustan del producto 1. 814 gustan del producto 2. 628 gustan del producto 3. 592 gustan de los productos 1 y 2. 465 gustan de los productos 1 y 3.



38

Álgebra básica

411 gustan de los productos 2 y 3. 300 gustan de los tres productos. La empresa que contrató al investigador sospecha que las entrevistas no se realizaron con honestidad, es decir, que algunas de las cifras presentadas fueron inventadas por el investigador. Se trata de comprobar esta hipótesis. Solución: Sean 1 = Conjunto de personas entrevistadas que prefieren el producto 1. 2 = Conjunto de personas entrevistadas que prefieren el producto 2. 3 = Conjunto de personas entrevistadas que prefieren el producto 3. Entonces, 1 u 2 u 3 = Conjunto de personas entrevistadas. 1 n 2 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 1 y 2. 1 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 1 y 3. 2 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los productos 2 y 3. 1 n 2 n 3 = Conjunto de personas entrevistadas que gustan de los tres productos. De acuerdo con la información reportada: 5(1 u 2 u 3) = 1000 5(1 n 2) = 592 5(1) =729 5(1 n 3) = 465 5(2) =814 5(2 n 3) = 411 5(3) =628 5 ( l n 2 n 3 ) = 300 Si el investigador no miente, se debe satisfacer la ecuación de la cardinalidad de la unión de tres conjuntos 5(1 u 2 u 3) = 1000 =>

5(1 u2u3) = ^ w = 5(1) + 5(2) + 5(3) - 5(1 n 2) - 5(1 n 3) - 5(2 n 3) + 5(1 n 2 n 3) = w= 729 + 814 + 628 - 592 - 465 - 411 + 300 w= 1003 Por lo que se concluye que el reporte no es internamente consistente.




39

Ejercicios de 1.5.1 1. El departamento de publicidad de El Palacio de Hierro interroga a una muestra de 1000 clientes, seleccionados de entre todos los que abrieron su cuenta de crédito en el pasado mes de diciembre, y se les pregunta si su crédito fue utilizado para comprar artículos para el hogar, artículos de vestir o juguetes. Los resultados fueron los siguientes: Mercancía Artículos para el hogar Artículos de vestir Juguetes Artículos del hogar y de vestir Artículos del hogar y juguetes Artículos de vestir y juguetes Artículos de vestir, del hogar y juguetes

Número de personas 275 400 550 150 110 250 100

Se desea saber: a) ¿Cuántas personas no usaron su crédito en alguna de esas tres mercancías? b) ¿Cuántas personas utilizaron su crédito sólo para comprar artículos de vestir? c) ¿Sólo para artículos del hogar?, ¿sólo para juguetes? 2. Un investigador de mercados efectúa una encuesta sobre los hábitos de lectura de periódicos de la ciudad, con los siguientes resultados:

Periódico La Jornada El Financiero Reforma La Jornada y El Financiero La Jornada y Reforma El Financiero y Reforma Al menos uno de los tres

Lectores 9.8% 22.9% 12.1% 5.1% 3.7% 6.0% 32.4%



Álgebra básica

40

Calcular el porcentaje de personas que: a) No leen ninguno de los periódicos mencionados. b) Leen dos de los periódicos. 3. La compañía Central de Suministros Metálicos, distribuidora de artículos de ferretería, ha adquirido un lote de tuercas a granel en una subasta de la Dirección de Aduanas. Una muestra de 500 tuercas reveló que éstas pueden utilizarse en tres diferentes operaciones básicas, como se indica a continuación: Operación Contrapieza Soporte Contrapieza y soporte Contrapieza y nivelación Sólo para nivelación Contrapieza o soporte Nivelación y soporte

Tuercas 255 215 25 125 105 395 60

Se desea conocer: a) Número de tuercas que pueden utilizarse en las tres operaciones. b) Número de tuercas que tienen que ser desechadas. 4. AMSA realizó una encuesta de opinión sobre la preferencia de los productos Tía Rosa. Se entrevistó a 900 amas de casa y se obtuvieron los siguientes datos: Productos de preferencia Sólo conchas Sólo cuernitos Sólo mantecadas Conchas y cuernitos Cuernitos y mantecadas Conchas y mantecadas Los tres productos

Personas 130 88 32 144 86 89 205




41

Se pregunta: a) ¿Cuántas personas consumen al menos conchas o cuernitos? b) ¿Cuántas personas no consumen alguno de estos productos? c) Analiza la información obtenida. En caso de ser necesario, obten la información adicional que requiere este análisis mediante operaciones entre conjuntos. 5. En una investigación referente a los hábitos de fumar del consumidor, se efectuó una encuesta y se obtuvo la siguiente información: 55% fuma cigarros Boots. 50% fuma cigarros Delicados. 40% fuma cigarros Benson. 10% fuma las tres marcas de cigarros. 20% fuma las dos primeras pero no la tercera. 18% no fuma las dos primeras pero sí la tercera. 5% sólo fuma la tercera y segunda marcas o no fuma. Se pregunta: a) ¿Qué porcentaje fuma por lo menos dos marcas de cigarros? b) ¿Qué porcentaje fuma exactamente dos de las marcas?

1.6. EL PAQUETE MATHEMATICA

Debido a los grandes avances logrados en el campo de la computación aplicada, se han creado herramientas que, además de ser fáciles de manejar e interactivas, constituyen un gran apoyo para quien usa las matemáticas. Mathematica, más que un paquete, es un sistema general de computación y un lenguaje; permite manipular símbolos, hacer cálculos numéricos y granear de manera simple; calcula integrales indefinidas; resuelve ecuaciones y sistemas de ecuaciones; encuentra la solución de una ecuación diferencial o de un sistema de ecuaciones diferenciales; resuelve problemas de programación lineal, no lineal y entera. Además, es posible extender sus alcances programando en el lenguaje que incluye.



Álgebra básica

42

1.6.1. Elementos básicos y cálculos numéricos Para utilizar este paquete es necesario entrar a Windows y después abrir Mathematica marcando dos veces el icono correspondiente. Una vez dentro se pueden incluir comentarios, títulos o explicaciones sobre la operación que se realizará, tecleando e ingresando con enter (véase imagen 1.1).

IMAGEN 1.1

Efe £tót Qe\l £raph ¿ction

Aqui se muestra el icono de Mathematica, así como el menú que aparece en pantalla y el corchete a la derecha acompaña cada operación

Mathematica Front End Ready

Cada operación consiste en un pequeño diálogo con el paquete. El texto que aparece en las líneas marcadas con InfnJ es lo que se tecleó en el renglón n, o mejor dicho, es la operación n-ésima. Lo que aparece en el renglón marcado con Outfn] es la respuesta correspondiente a esa operación proporcionada por el paquete; cuando no cabe en un solo renglón, se indica con \ y se continúa en el renglón siguiente. Para obtener el resultado de la operación que se desea efectuar, es necesario apretar simultáneamente las teclas shifty enter. Cada operación queda indicada con un paréntesis rectangular o corchete, que aparece del lado derecho; al solicitar el resultado, una recta da por terminada la operación. Cuando el cursor se coloca arriba de la recta se tiene la oportunidad de




43

aumentar el número de instrucciones para la misma operación y si el cursor se coloca por debajo de esta línea y se oprime return, se puede introducir una nueva operación, tecleando otro conjunto de instrucciones marcadas con un nuevo corchete del lado derecho. Es importante notar que la primera letra de cada instrucción es la única mayúscula, las demás deben ser minúsculas. El menú que aparece en la ventana de Mathematica contiene las funciones: File, Edit, Cell, Graph, Action, Style, Options, Windowy Help. Aquí se señalan las operaciones más usuales. Cuando se selecciona File aparece un menú que ofrece, entre otras, la opción New, que permite crear un archivo nuevo; se obtiene el mismo resultado apretando simultáneamente las teclas Controly No el icono de hoja blanca (véase imagen 1.2). IMAGEN 1.2 £d¡l £©B New upen...

firaph

Action £lyle fiptíoms Ctrl+N Ctrl+O

fclelp

Ctrl+S Save As... import.. Export... Print...

Drl+P AU+F4

1AAC0NJUNT0.MA Z NOTEBOOKSCHAOS.MA 3D0CSNWINFEAT.MA

i

Ctose the current N otebook. i j ^ inicio | i£J Disco de 3H (A;)

f

[15876K Bytes Fi

| % f Microsoft Word* capi.doc | [%& Mathematica for W i n .

20:58

Open sirve para abrir un archivo existente y puede sustituirse oprimiendo Control7y OOQI icono de carpeta semiabierta; Cióse se utiliza para cerrar el archivo con el que se está trabajando y corresponde a oprimir Control^ F4; Save y Save as se utilizan para grabar un archivo, la primera en el disco en el que se trabaja y la segunda



Álgebra básica

44

en el que se seleccione, y estas operaciones pueden realizarse también apretando las teclas Control y S, Shifty Control y So el icono del disco; para imprimir, aquí aparece la instrucción Print, también puede usarse el icono de impresora o las teclas Control y P; para salir, en este menú aparece como última opción Exit. Otra opción interesante que aparece en File es la que se llama Palettes, que proporciona símbolos, como extensiones del teclado, muy útiles para simplificar la entrada de datos; por ejemplo, la correspondiente a operadores generales de caracteres completos es la que se muestra en la imagen 1.3: IMAGEN 1.3 t>

Letters

t>

Letter—I i Ice F o r m s

^^

Oîerators

35 •

-*- 1 3FI;

.,„£,.! £j .w i "V : « :

m \

u t <

j j >

W>

—.

±,

-

3»

.TU

•

•

s *_•o

mm

«E>

<&*

\

**.

•v

n

n

u XX n H

r

i

y

•

s

^. Oí

En lo que respecta a iT¿/// (véase imagen 1.4), el menú que aparece al apretar esta opción ofrece, entre otras operaciones, Cuty Clear, que se usan para borrar; la forma de aplicarlos consiste en: primero, marcar lo que se desea borrar, posando el cursor en el paréntesis de la derecha, correspondiente a las instrucciones o resultados que se deseen desaparecer, después se pulsa Edit y luego Cut o Clear o Control y X. El icono de Copy se utiliza para reproducir lo que ya se tecleó, procediendo de la misma manera que con las instrucciones anteriores o apretando el icono de las dos hojas; su instrucción compañera es Paste, que sirve para que aparezca en el lugar en el que se ponga el cursor lo que se había copiado con la instrucción anterior.




45

IMAGEN 1.4 £ite § ü | £ell £raph éction £tyle Qptions jlnput

Undo

Ctrl+2

Cu]

Drl+X

,_IJA-J-.J.J—I-J-JJ:L-J-.J-.L.J-J-.J.J.ÍLJ.

Drl+C Clear

Del

Paúe and Discard Auto Paste Find...

SNII+F3

FindandReplace... SelectAHCells

Shift-Drl+A

iJJ Seiect aJI the cells in the Notebook. I g f Microsoft Word -oapi.doc ||^MathemaUca foi Win..

21:05

Cuando se tenga alguna duda se puede recurrir al menú Help (véase imagen 1.5), que presenta una explicación amplia sobre la utilización del paquete y funciona ofreciendo opciones en menús sucesivos hasta llegar a la respuesta buscada.



Álgebra básica

46

IMAGEN 1.5

About Mathematica... V/hv the Beep?...

DrkH

Mathematíca Help contents page. I ]^f Microsoft Word -capi.doc ||^pMathematíca for W i n . .

21:09

/ 6.2. Mathematica y teoría de conjuntos Mathematica utiliza la notación ^r/^//jr/V¿7para denotar los conjuntos, esto es, entre llaves enumera sus elementos, separándolos por comas (véase imagen 1.6).




47

IMAGEN 1.6 ¡ g ] £¡le

Edil £ell

Graph Action Style üptions V¿indow Help

-Ifli xj

ú L I JL I I K i l M I fl-IMlS,!,^] S C m i IMiTTtl Ejemplos de la seccitfn 1.1.2 ^7,14,21,28} ={lo5 mineros THturales x C={Proveedores de El Palacio de Hierro} D={ciudadaTOs mexicanos}

=7n, 0<=¿TK=4}

About M athematica. jgB Inicio | ^JDi$code3^(A:l

15878K Byte$ Ftee | Jgy Microsoft Word • capVdoc | | ^ M a t e m á t i c a for Win...

üsü&J

21:15

Unión de conjuntos La unión de conjuntos se obtiene a partir de la instrucción Unionfconjunto,, conjunto2, ..., conjuntoj

Ejemplo

A = {1,3,5,7,9} B = {2,3,4,5,8} In[2]:=Union[A,B] Out[2]={l,2,3,4,5,7, 8,9}



48

Álgebra básica

Intersección También maneja la notación comprensiva, definiendo el conjunto a partir de sus propiedades. La intersección se indica mediante Intersection[conjunto1? conjunto2,..., conjuntoj In[3]:= A = Table[2An-l, {n, 1, 16}] B = Table[Prime[i], 1,5000}] In[4]:= Intersection[A, B] Out[4]={3,7,31, 127,8191} La función Table[2An-l, {n, 1, 16}] representa una tabla que contiene el conjunto de números de la forma 2n~\ donde n- 1, ...,16. Análogamente, el conjunto B está expresado mediante una tabla, que contiene los números primos entre 1 y 5000, y la función intersectionfA, B] devuelve los elementos comunes a ambos conjuntos.

Complementación Otra instrucción relativa a conjuntos es la que permite encontrar el complemento de un conjunto o una colección de conjuntos: Complementfuniverse, A p A2,...] proporciona los elementos del primer conjunto que están fuera de los conjuntos señalados posteriormente.

Ejemplo In[5]:= Enteros ={1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14,15,16, 17, 18,19,20} Primos = { 2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} Números ={1,3, 7, 15,31} In[6]:= Complement[Enteros, Primos] Out[6]= {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}




49

In[7]:= Complement[Enteros, Primos, Números] Out[7]= {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20} En las imágenes 1.7 y 1.8 se muestra la forma como se introducen las operaciones entre conjuntos y aparecen los resultados.

IMAGEN 1.7 m UrttílletM mil]:- A = U , 3 , 5, 7, 9} B={1,

2 , 3 , 4 , 5, 7, 8, 9}

Union[A, B] I n t e r s e c t i o n [ A , B]

Out[1]= ( 1 , 3 , 5 , 7 , 9} Out[2]= { 1 , 2, 3 , 4, S, 1, 8 , 9} Out[3]= { 1 , 2, 3, 4, 5 , 1, 8 , 9} 0ut[4]= { 1 , 3 , 5 , 1, 9} ln[5]:= L = {0, 3, 5, 11, 15} F = { 1 , 2, 3, 6, 12} Union [A, B, L, F ] Intersection[A, B, L, F ] Out[5]= { 0 , 3 , 5 , 1 1 , 1 5 } Out[6]= { 1 , 2 , 3 , 6 , 1 2 } Out[7]= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 1 , 1 2 , 1 5 } Out|8]= {3}



Algebra básica

50

IMAGEN 1.8 ln[9]:= U - { X , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,

Out[0]= Out[1D]= ln[11]:=

Out[11]=

{1, <1O,

2,

3, 4,

13,

5,. 6 ,

7

Coir^leirentCa, B ]

{ }

Co^lenentCF, A ] <2,

6,

12}

ín [13]:-

Com^leineiit [L , Out[13]=

XO ,

14}

ln[12]:«

Quil-

7 , 8 , 9,

{O,

5,

11,

1

15}

-f % ;-

En las imágenes 1.9 y 1.10 se muestran las operaciones entre conjuntos sugeridas en el ejemplo 2 de la sección 1.3. Observe que las etiquetas de los conjuntos C y D son sustituidas por Fy G, debido a que las letras Cy D son reservadas por el paquete Mathematica para usos predeterminados internos.




51

IMAGEN 1.9

U . {O, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7}; A - { O , 1, 2, 3}; B - { 0 , 2 , 4 , ( } ; F * { 1 , 3 , 5, 7}; G- {7}; Canvlenent[U, A] , B] U, F] Union[A, B] CoiTi)lejnent[U, Unió*[A, B ] ] ; Coiri>le™>nt[A, B] IntersectionCA, F] I n t e r s e c t i o n [ B , F] B, F] A, G] F, G] Union[Intersection[A, F ] , G] , Ccnt*lei«nt[U, A]]

IMAGEN 1.10

J 'A Outp2]« { 4 , 5 , 6 , 7} Outp3]= { 1 , 3 , 5 , 7} 0utp4]= { 0 , 2, 4, 6} Outp5]= { 0 , 1 , 2, 3 , 4 , 6} Outp6]= { 5 , 7} Outp?]= { 1 , 3} Outp8]= { 1 , 3} Outp9]= { } Outp0]= { 0 , 2, 4, 6} Outpi]= { 0 , 1 , 2, 3} Outp2]= { 1 , 3 , 5} Outp3]= { 1 , 3 , 7} 0utp4]= { 0 , 1 , Z, 3}

3 3 3 3 3 3 }', 3 3 3 3 3 3 3. '•'',



Álgebra básica

52

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Tema 1.2.2 1. a) * bj =

2. a) (f) c) (í) d) (v) ej (f)

f)

(í)

h) (í)

0 J)

(v)

(f)

3.

Conjuntos

{1}

{0}

{1,0}

{3,0,1}

•

C

c

c

{1}

c

c c

t

c c c c

{1,3} {0,1} {0,1,3} {0}

t
Q

t

c

t

Tema ]. 5.1 1. tfy1 185 ^ 100 c) Sólo hogar: 115 Sólo juguetes: 290 2.

67.6% 10%



1. Teoría de conjuntos

53

3. a) 20 b) 0 4. a) 142 ^ 126 5. a) 42% b) 32%

BIBLIOGRAFÍA

Bartle, Bartle, y Sheerbert Donald, Introducción al análisis matemático de una variable, Limusa, México, 1994. Kleiman, Ariel, Teoría de conjuntos para economía y administración, Limusa, México, 1997. Lipschutz, Seymour, Probabilidad, McGraw-Hill, México, 1994. Lovaglia, Florence, et al, Álgebra, Haría, México, 1997. Sauvegrain, Robert, et al, Tópicos de matemáticas para administración y economía, Trillas, México, 1993. Weber, E. Jean, Matemáticasparaadministración yeconomía, Haría, México, 1994.





CAPÍTULO 2

Sistemas numéricos





2. SISTEMAS NUMÉRICOS

Al terminar este capítulo, el lector podrá: Identificar los elementos de los distintos sistemas numéricos. Conocer sus propiedades y limitaciones. Efectuar las distintas operaciones definidas entre sus elementos. Dominar las leyes que rigen estas operaciones.

Estructura del capítulo Introducción 2.1. Números enteros y fraccionarios. 2.2. Números reales. 2.3. Leyes y propiedades. 2.4. Valor absoluto. 2.5. Aplicaciones. 2.6. El paquete Mathematica y los sistemas numéricos. Solución a los ejercicios propuestos

INTRODUCCIÓN

A

sí COMO ESTAMOS acostumbrados a ver el Sol, la Luna y las estrellas en el cielo y no nos llama la atención su existencia ni valoramos su grandeza, también aceptamos nuestro sistema de números. Pero hay una diferencia: nos vemos forzados al aprendizaje de números y operaciones numéricas cuando somos pequeños y no podemos apreciarlos, por lo que crecemos en la creencia de que los números son monótonos y aburridos. Sin embargo, el sistema de números merece toda nuestra atención, no sólo porque es la base de las matemáticas, sino porque contiene ideas significativas que dan pie a interesantes aplicaciones. Entre las civilizaciones del pasado, fueron los griegos quienes mejor evaluaron el prodigio y las virtudes del concepto de número. Hubo otros pueblos bien dotados intelectualmente, pero debido a que no consideraron los números de manera abstracta, no pudieron comprender su naturaleza. Para los griegos fue un maravilloso descubrimiento el hecho de abstraer de muchas y diversas colecciones de objetos una propiedad como la cinquidad(á& cinco). 57



58

Álgebra básica

En este capítulo se presentan los sistemas numéricos más utlizados, sus propiedades y operaciones.

2 . 1 . NÚMEROS ENTEROS Y FRACCIONARIOS

Los primeros números que aparecieron fueron los naturales N- {1, 2, 3, 4, ...}, utilizados para contar y ligados siempre con objetos. Su justificación fue la necesidad de distinguir entre las diferentes cantidades de objetos, pues no es lo mismo poseer tres animales que cinco y fue necesario diferenciarlos de alguna forma. Por lo tanto, los números se utilizaban como calificativos de las cosas y era difícil hacer una separación entre ellos y los objetos. Por esta dependencia, no fue fácil concebir el número correspondiente a la ausencia de cosas, el cero, además de que presenta mayor dificultad distinguir entre lo que es ausencia de cosas y lo que significa vacío. Los mismos griegos no lo lograron. Esta distinción puede entenderse claramente en los siguientes ejemplos: no es lo mismo no tener calificación por haber faltado a un curso que tener cero después de haber presentado el examen; asimismo, es distinto no tener cuenta en el banco, y por consiguiente carecer de saldo, que tener en su cuenta bancada un saldo de cero. Al sistema formado por los números naturales y el cero se le representa por ^ = N u {0}. Además, incluyendo al cero en el sistema numérico, fue posible establecer el método actual de escritura de números: primero se cuentan las unidades, las grandes cantidades se miden en decenas o decenas de decenas o decenas de decenas de decenas, etcétera. Así, el doscientos cincuenta y dos se representa 252. El 2 de la izquierda significa dos decenas de decenas, el 5 indica cinco veces 10 y el 2 de la derecha simboliza dos unidades. El concepto de cero hace que sea práctico el sistema de escribir cantidades, pues permite, por ejemplo, distinguir entre 22 y 202. Como el 10 desempeña un papel fundamental en el sistema numérico, se le llama sistema decimal, en el cual el 10 es la base. Lo más seguro es que el uso del 10 resulte del hecho de que una persona contaba (y sigue contando) con los dedos y, habiendo pasado por todos los dedos de las manos, consideraba que el número al que había llegado era la unidad mayor. Del principio de que la posición de un número es lo que determina la cantidad que representa resulta la notación posicional. El sistema decimal de notación posicional que usamos es un legado hindú. Pero volviendo a los griegos, es interesante resaltar las ideas de los seguidores de Pitágoras con respecto a los números; a los pitagóricos les emocionaban los números y, dado que eran místicos, les asignaban importancia y significados que ahora juzgamos infantiles. Creían que el número "uno" era la esencia o la



2. Sistemas numéricos

59

naturaleza misma de la razón, pues de ésta resulta solamente un cuerpo de doctrina. El número "dos" lo identificaban con la opinión, ya que ésta implica claramente la posibilidad de que exista opinión contraria y, por consiguiente, hay por lo menos dos. En el "cuatro" reconocían la justicia, porque es el primer número que resulta un producto de iguales. Los pitagóricos representaban los números como puntos en la arena o por medio de piedritas. Para cada número, los puntos o las piedritas se ordenaban de manera especial. El "cuatro", por ejemplo, se representaba con cuatro puntos, que sugerían un cuadrado. Así quedaban vinculados también el cuadrado y la justicia. Hasta hoy, "cuadrar" significa en español ajustar una cosa a otra. "Cinco" denotaba matrimonio por ser la unión del primer número masculino, tres, con el primer femenino, dos (los números impares eran masculinos y los pares, femeninos). El número "siete" indicaba salud y el "ocho", amistad o amor.

Operaciones aritméticas Las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división nos resultan tan familiares que no percibimos que son en extremo complejas y, a la vez, de notable eficiencia. Se remontan a los tiempos de los griegos y poco a poco fueron evolucionando, a medida que mejoraban los procedimientos para escribir números y aparecía el concepto de cero. Los europeos heredaron de los árabes los procedimientos correspondientes. Primero, los europeos utilizaron el sistema romano de escribir números, y las operaciones aritméticas tuvieron que basarse en este sistema. En parte, porque estos procedimientos eran laboriosos y en parte porque la educación estaba limitada a una minoría: los que poseían el arte del cálculo tenían reputación de diestros matemáticos. En realidad, los procedimientos aritméticos de la época ponían a prueba la inteligencia de la mayoría, al grado de que llegaban a convencerse de que quienes dominaban tales habilidades debían poseer poderes mágicos. Los buenos calculistas eran conocidos como practicantes del "arte negro". Una operación definida entre los números naturales es una función de Nx N{X) en N(operación: Nx N —> JV), que asocia a cada par de números naturales otro número llamado resultado de la operación. Se dice que una operación está bien definida cuando satisface la cerradura, esto es, para cualquier par de números el resultado es un número del mismo conjunto. (1)

Ax Bes producto cartesiano entre los conjuntos A y B, es la colección de parejas ordenadas (a, b)

con a e A y óe B.



60

Álgebra básica

Las operaciones bien definidas entre los números naturales son la adición y la multiplicación (adición abreviada), pero al trabajar con la suma s de dos números a y b se observó que no siempre era posible encontrar en los números naturales un número b que al ser sumado con a diera s. Por ejemplo, no hay un número que sumado a 5 dé 3, por esta razón la resta no está bien definida entre los números naturales, ya que para encontrar la solución de b + 5 = 3 es necesario restar 5 de 3, esto es, b = 3 - 5 y este número no está entre los naturales. Para que fuera posible restar entre cualquier pareja de números fue necesario ampliar el sistema numérico y agregar el cero y los números negativos. Cuando el sistema numérico incluye el cero y los negativos se llama sistema de los números enteros, Z- {..., - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. En este sistema están bien definidas las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.

2.1.1. Los números negativos Añadir los números negativos al sistema numérico fue también idea de procedencia hindú. Es común usar los números para representar cantidades de dinero, en particular las que se deben. Quizá porque la condición normal de los hindúes era la de estar endeudados, se les ocurrió que sería útil disponer de números que representaran el monto de las deudas. En consecuencia, inventaron lo que ahora se conoce como números negativos; para distinguir claramente los números positivos de los negativos se añade un signo - antes del número para indicar que es negativo. En los bancos y las grandes empresas comerciales, que manejan constantemente números negativos, es frecuente que se escriban éstos con tinta roja, mientras para los positivos utilizan tinta azul. El uso de números positivos y negativos no se limita a la representación de ingresos y egresos, abonos y cargos, haberes y débitos. Se toman como negativas las temperaturas por debajo de 0 o y como positivas las que están por encima de esta cifra. Las alturas sobre y bajo el nivel del mar se pueden representar también con números positivos y negativos, respectivamente. A veces, tiene sus ventajas representar el tiempo anterior y el posterior a un acontecimiento dado con números negativos y positivos. Por ejemplo, utilizando el nacimiento de Cristo como punto de partida, el año 50 a.C. se podría indicar como el año -50. Para sacar el máximo provecho al concepto de números negativos debe ser posible operar con ellos igual que con los positivos. Son fáciles de entender las operaciones con números negativos, así como con números negativos y positivos simultáneamente, si se tiene en mente el significado físico de estas operaciones.




61

Como los números negativos representan deudas, y por lo regular la sustracción tiene el significado físico de "quitar", entonces la resta de un número negativo significa la eliminación de una deuda. Por consiguiente, si una persona tiene, por ejemplo, $3.00 y le pagan una deuda de $8.00, entonces la cancelación de ésta deja a la persona con $ 11.00. En términos matemáticos se ve que +3 - (-8) = +11. Y en palabras se dice que, para sustraer un número negativo, se añade el número positivo correspondiente. Supóngase que cierta persona se endeuda a razón de $5.00 por día. A los tres días de una fecha dada, tendrá una deuda de $15.00. Si denotamos la deuda de $5.00 con -5 y si se endeuda a razón de $5.00 por día durante tres días, su deuda se representa matemáticamente como 3 (-5) = -15. Así, la multiplicación de un número positivo por otro negativo produce un número negativo, cuyo valor numérico es el producto de los valores numéricos implicados. Hay una definición más sobre los números negativos, cuya veracidad es fácil de percibir. Por razones obvias, se dice de los números positivos y del cero que 3 es mayor que 2, que 2 es menor que 12 y que cualquier número positivo es mayor que cero. De los números negativos se dice que son menores que los positivos y que el cero. Además, que - 5 es menor que - 3 o que - 3 es mayor que - 5 . Es fácil comprender la posición relativa de los números positivos, los negativos y el cero imaginando estos números como los puntos de una línea que crecen hacia la derecha, como en la figura siguiente. Lo que se aprecia en ella no difiere mucho de lo que se observa cuando se pone la escala de un termómetro en posición horizontal (véase figura 2.1): FIGURA 2.1

- 4 - 3 - 2 - 1 0

1 2 3 4 5 Dirección de crecimiento

Los subconjuntos más importantes del conjunto Zson: N- {1, 2, 3, 4,...} los números naturales o enteros positivos. W— {0, 1, 2, 3, 4,...} los enteros no negativos. {..., - 4 , - 3 , - 2 , -1} los enteros negativos. {..., - 4 , - 3 , - 2 , -1,0} los enteros no positivos.



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Álgebra básica

Reglas de los signos Para operar con los números enteros es importante tener presentes las reglas de los signos: • Para sumar dos elementos del conjunto /Fsólo se suman y su resultado está en /F(la suma de positivos es positiva y con magnitud(2) igual a la suma de las magnitudes), así 8 + 23 = 31. • Para sumar dos elementos del conjunto de enteros negativos, se suman sus magnitudes y al resultado se le asigna el signo negativo, - 7 + (-13) = -20. • La suma entre un número positivo y un negativo es igual a la resta de sus magnitudes con el signo correspondiente al de mayor magnitud, 36 + (-47) = - 1 1 . • La multiplicación de números con el mismo signo (positivo o negativo) es igual al producto de los números con signo positivo, (5)(8) = (-5) (-8) = 40. • La multiplicación de dos números con distinto signo es igual al producto de las magnitudes de los números y su signo es negativo, (7)(-8) = (-7)(8) = -56.

Ejercicios de 2.1.1 1. Supóngase que una persona tiene $3.00 y contrae una deuda de $5.00. ¿Cuál es su capital neto? 2. Una persona debe $5.00 y luego adquiere una deuda nueva de $8.00. Utiliza números negativos para determinar su situación financiera. 3. Un comerciante debe $5.00 y gana $8.00. Utiliza números positivos y negativos para calcular su capital neto. 4. Supóngase que una persona debe $13.00 y paga una deuda de $8.00. Utiliza números positivos y negativos para calcular su capital neto. 5. Una persona pierde dinero en los negocios a razón de $100.00 por semana. Indica este cambio de capital con -100, el tiempo futuro con números positivos y el tiempo pasado con números negativos. a) ¿Cuánto perderá esta persona en cinco semanas? b) ¿Cuánto tenía hace cinco semanas?

(2)

Se llama magnitud a la distancia del número al cero en la recta.




63

2.1.2. Fracciones y operaciones entre fracciones Como ya se mencionó, en el sistema de los números enteros están bien definidas la suma, la resta y la multiplicación, que son cerradas. La resta, además, es la operación inversa a la suma, deshace lo que la suma hizo. Pero la multiplicación no posee una operación inversa, pues la división, que tiene este papel, no está bien definida en este conjunto. Para que sea factible su definición es necesario ampliar nuevamente el sistema de números, agregando las fracciones. Así, los números fraccionarios deben su existencia a la operación división. Se dice que un número b divide a otro número a, y se indica como b/a, si existe un número c tal que cb = a, pero no todos los números son divisibles entre los demás; cuando existe c tal que cb = a, se dice que c y b son factores o divisores de a. Si b no divide exactamente a a, se indica como bYa, entonces el resultado no es un número del mismo conjunto, es una fracción. Es importante destacar que se deduce de la definición de la división que ésta no es posible entre cero, pues para que O/a se requiere que exista c tal que Oc = a, lo que no es cierto para ninguna a^Q porque el resultado de multiplicar por cero es siempre cero. Cuando se empiezan a manejar fracciones y la división es también una operación bien definida, se está trabajando con el sistema de los números racionales Q{p/q\p,q e Z, con q± 0}, es decir, £?es el conjunto de cocientes de enteros con denominador diferente de cero. Aunque el procedimiento común de escribir fracciones, por ejemplo 2/3 o 7/5, para expresar partes de un todo no es difícil de comprender, las operaciones con fracciones parecen tener algo de misterioso. Para sumar 2/3 a 7/5 se lleva a cabo el siguiente proceso: 2, 7 10 21 31 +

+

Lo que se hizo fue expresar cada una de las fracciones en su forma equivalente, de modo que los denominadores fueran iguales, y luego se sumaron los numeradores. Para convertir una fracción en otra equivalente basta multiplicarla por la unidad expresada como fracción, con el numerador y el denominador iguales. En este caso, la primera se multiplicó por 5/5 y la segunda por 3/3. Los números fraccionarios se agrupan en clases de fracciones equivalentes, y cada clase tiene un representante llamado fracción irreducible. Así, están en la misma clase 1 = 1(2) = 2 = 1(3) _ 3 _ 1(4) _ 4 _ 5 2 " 2(2) " 4 " 2(3) " 6 " 2(4) ~ 8 " 10



Algebra básica

64

El representante de esta clase es 1/2, el cual es irreducible. Una fracción se dice irreducible cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes, es decir, sonprimos relativos.^ Es recomendable utilizar este representante irreducible para simplificar los cálculos. La operación que consiste en reducir una fracción a su representante irreducible se llama simplificación y se efectúa cancelando los factores comunes a numerador y denominador. En el ejemplo anterior los denominadores 3 y 5 son primos relativos, por eso basta con cruzarlos; es decir, la primera fracción se multiplica por el denominador de la segunda y la segunda por el denominador de la primera, y el común divisor resulta ser el producto de los denominadores; pero, en general, el que funciona como común denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores, y para averiguar el número por el que se debe multiplicar cada fracción, para convertirla en otra equivalente con un denominador igual al denominador común, es necesario dividir el máximo común divisor entre el denominador correspondiente: 3 8

_5___3x3 12 " 8x3

5x2__9_ 12x2 " 24

10__19^ 24 ~ 24

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) se obtiene descomponiendo los denominadores en sus factores primos y se multiplican todos los factores primos distintos a la mayor potencia a la que aparecen. Así, m.cm. (8, 12) = 12

8 - 23

12 = 22 x 3

entonces m.c.m. (8, 12) = 23 x 3 = 24 además 24/8 = 3 y 24/12 = 2

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores; ésta es la operación que se utilizó cuando se multiplicó cada fracción por la unidad, convertida en una fracción con el numerador y el denominador iguales:

> Dos números se dicen primos relativos cuando su máximo común divisor es 1.




65

1 7 7 —x — = — 3 5 15 o también .

1

7

O V

.

v

7

14

/ V

3 5 15 15 La operación de dividir una fracción entre otra consiste en multiplicar el numerador por el inverso del denominador, por ejemplo:

3

2

- T 3

|

1

2

2

3

=

}

x

5

2

=

10

Notación decimal Las fracciones, como los números enteros, se pueden escribir en notación posicional. Así, j L _ ^ 5 _ _ ^ 0 _ _5__J2_ _5_ 4 ~ 100 ~ 100 100 ~ 10 100



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Álgebra básica

Si se conviene en suprimir las potencias de 10, esto es, 10 y 100, así como las mayores potencias cuando las haya, entonces se puede escribir 1/4 = 0.25. El punto decimal recuerda que el primer número es en realidad 2/10, el segundo 5/100, y así sucesivamente. Los babilonios ya empleaban la notación posicional para las fracciones, pero utilizaban 60 como base en lugar de 10, igual que para los números enteros. La base decimal para las fracciones fue introducida por los algebristas europeos del siglo XVI. Las operaciones con fracciones se pueden efectuar también en forma decimal. Lo que resulta frustrante de la representación decimal de fracciones es que no todas las fracciones simples se pueden escribir como decimales con un número finito de dígitos. Así, cuando se trata de expresar 1/3 como decimal, resulta que no basta con 0.3, ni con 0.33, ni con 0.333, etcétera. Todo lo que puede decirse de éste y otros casos parecidos es que, agregando dígitos, es posible aproximarse cada vez más a la fracción, pero ningún número finito de dígitos dará la respuesta exacta. Este hecho se expresa con la notación: - = 0.333...,

en donde los puntos suspensivos indican que se debe añadir continuamente un 3 para aproximarse más y más a la fracción 1/3. Es importante resaltar que la expresión decimal de los números fraccionarios es finita o periódica; en el ejemplo anterior el periodo que se repite es el número 3, lo cual también se indica como: -- = 0.333...,= 0.3

Cuando la expresión decimal de un número no es de ninguno de los tipos mencionados, esto es, cuando es infinita no periódica, el número correspondiente no es racional y se llama entonces irracional: {irracionales} = Qf- complemento de los racionales Q.

Ejercicios de 2.1.2 1. 2. 3. 4.

¿Cuál es el principio de la notación posicional? ¿Por qué es indispensable el número cero en el sistema de notación posicional? ¿Qué significa la afirmación de que el cero es un número? ¿Cuáles son las dos maneras de representar fracciones?




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2.2. NÚMEROS REALES

2.2.1. Números irracionales Los pitagóricos, como se hizo notar antes, fueron los primeros en captar el concepto mismo de número y en tratar de emplear los números para describir los fenómenos fundamentales de los mundos físico y social. Para los pitagóricos, los números también fueron interesantes en sí mismos y por sí mismos. Les gustaron los números cuadráticos, es decir, números como 4,9,16,25,36, etcétera, y observaron que las sumas de ciertos números cuadráticos, o cuadrados perfectos, eran también números cuadráticos. Por ejemplo, 9 + 16 = 25, 25 + 144 = 169 y 36 + 64 = 100. También se pueden escribir así estas relaciones: 3 2 +4 2 =5 2 ,

5 2 +12 2 =13 2

6 2 +8 2 =10 2

A los conjuntos de tres números, cuyos cuadrados satisfacen igualdades como éstas, se les sigue llamando ternas pitagóricas. Así, 3, 4 y 5 constituyen una terna pitagórica porque: 32+ 42 = 52. Los pitagóricos trabajaron mucho con estas ternas, fundamentalmente porque se prestaban a una interesante interpretación geométrica (Teorema de Pitágoras). Si los dos números más pequeños son las longitudes de los lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo, es decir, los catetos, entonces el tercer número será la longitud de la hipotenusa (véase figura 2.2).

FIGURA 2.2

13

Los pitagóricos edificaron una filosofía, para ellos muy satisfactoria, en la que se aseguraba que todos los fenómenos naturales y los conceptos éticos y sociales no eran, en esencia, más que números enteros o relaciones entre números enteros.



Álgebra básica

68

Pero cierto día, a uno de los miembros de la secta se le ocurrió examinar el caso, al parecer más sencillo, del Teorema de Pitágoras: supongamos que cada uno de los catetos de un triángulo (figura 2.3) tiene una longitud de 1. ¿Cuál será entonces la longitud de la hipotenusa? El Teorema de Pitágoras dice que el cuadrado (de la longitud) de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos. Por lo tanto, si llamamos c a la longitud desconocida de la hipotenusa, de acuerdo con el teorema tendremos que:

c2=2 FIGURA 2.3

-J2

Pero 2 no es un número cuadrático, es decir, un cuadrado perfecto, y entonces c no es un número entero. Pero podría ser una fracción, esto es, seguramente habría una fracción cuyo cuadrado fiiera 2. La fracción 7/5 se acerca al valor correcto porque (7/5)2= 49/25, que es casi 2. Pero por muchas pruebas que se hagan no se encontrará la fracción cuyo cuadrado sea 2. Para investigar si existe o no una fracción cuyo cuadrado sea 2, se razonó así: se requiere encontrar un número cuyo cuadrado sea 2. Supóngase ahora que 2 es la fracción [a/ó]2, en donde a y b son números enteros. Para simplificar más el problema, se supone que ya se han eliminado todos los factores comunes de a y b (a/b es una fracción irreducible). La operación inversa de elevar al cuadrado es obtener la raíz cuadrada:

De ser correcta la ecuación 1, entonces, elevando al cuadrado sus dos miembros, paso que se funda en el axioma de que números iguales multiplicados por números




69

iguales dan resultados iguales (multiplicando el miembro izquierdo por VJ Y e^ derecho por alb), se obtiene:

Aplicando el axioma anterior, se multiplican ambos miembros de la ecuación por b2 y se tiene: 2b2•= a2

(2)

El miembro izquierdo de esta ecuación es un número par porque contiene 2 como factor. Por lo tanto, el miembro derecho deberá ser también un número par. Pero si a1 es par, entonces, según los resultados del ejercicio 3, a deberá ser par también. Si a es par debe contener 2 como factor, esto es, a=2d, en donde ¿/es un número entero. Sustituyendo este valor de a en la ecuación 2 se obtiene:

2b2 = (2d)2 = (2d)(2d) = Ad2 Como:

(3)

2b2=4d2

se pueden dividir ambos miembros de esta ecuación entre 2 para obtener b2=2d2

(4)

Por lo que b2 es número par y recurriendo una vez más al resultado del ejercicio 3, b tendrá que ser igualmente número par. Lo que demuestra esta argumentación es que si V2" - Qlb> entonces a y b deben ser números pares. Pero la fracción es irreducible, y a y b siguen conteniendo 2 como factor común. ¡Contradicción! Como el razonamiento es correcto, la única posible equivocación estriba en el supuesto de que V2" equivale a una fracción. En otras palabras, VJ no puede ser la razón de dos números enteros. El símbolo ^/2 es un número porque representa la longitud de una línea, la hipotenusa de un triángulo, pero este número no es ni un entero ni una fracción. También descubrieron que hay una colección infinita de otros números que tampoco son enteros o fracciones. Así, VJ, V5~ y V7> e n general, la raíz cuadrada de cualquier número que no sea cuadrado perfecto, la raíz cúbica de cualquier número que no sea cubo perfecto, y así sucesivamente, son números que ni son enteros ni son fracciones. El número TC, que es la razón de la circunferencia a su diámetro, tampoco es entero o fraccionario. Todos estos "nuevos" números se llaman números



70

Álgebra básica

irracionales. La palabra irracional significa ahora que estos números no pueden expresarse como razones de números enteros, pero en tiempos de los pitagóricos quería decir inmencionable, inescrutable o inconocible. Al agregar los irracionales a los racionales se obtiene el sistema de números reales 91 = QKJ {Irracionales}, en el que están bien definidas: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación(4) y la radicación(5) de números no negativos. Para poder utilizar los números irracionales se debe establecer la manera de operar con ellos; es decir, cómo sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Es cierto que

Para multiplicar raíces cuadradas es suficiente con multiplicar los radicandos. Para la división, -V9~/-Vi> el procedimiento es semejante al caso de la multiplicación: ¡9 -74

=

\9~ ^V 4 '

pues esta ecuación informa sencillamente que 3/2 = 3/2.

Ejercicios de 2.2.1 1. Demostrar que el cuadrado de cualquier número par es par también. (Sugerencia: por definición, todo número par contiene 2 como factor, es decir, se representa como 2n.) 2. Demostrar que el cuadrado de cualquier número impar es también impar. (Sugerencia: todo número impar termina e n l , 3 , 5 , 7 o 9 y puede representarse como 2/z+ 1.) 3. Sea a un número entero. Demostrar que si a2 es par, entonces a es par también. (Sugerencia: utilizar el resultado del ejercicio 1.) 4. Establecer la verdad o la falsedad de la afirmación de que la suma de cualesquiera dos cuadrados es asimismo el cuadrado de un número. (4)

Potenciación es la operación inversa de la radicación: elevar a una potencia un número, multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indica el exponente. (5) Radicación es la operación para obtener la raíz de un número.




71

5. Expresar las soluciones a estos problemas de la manera más concisa posible: a) V7 +V7

b) V3>V7

c) (VI2)(V3)

6. Simplificar las siguientes expresiones: a) V50

b) V200

^ V75

(Sugerencia: V5Q = V(25)(2) = V25 * -V2) 7. Explicar qué significa la afirmación de que n no es un número racional. ¿Es cierto que n = 22/7? 8. Dado A = {3, -1/3, V3 , 1/7, 0, 272727..., 3/7 , -2, 8/7, 3, 1/4, 0, 1/2} escribir los elementos de cada uno de los conjuntos siguientes: a) £= {x\ XG Jyxe

Z)

b) C= {x\ XG AyXG Q)

c) D= {x\ d) E= \x\ e) G- {x\ f) H- {x\ g) J = {x| h) K= {x\

XG AyxG W) XG AyxG N) XG A y xes irracional} XG A y x es un entero positivo par} x G A y x es un número primo} XG A y .res el inverso aditivo de un número natural}

9. De los conjuntos siguientes, ¿cuáles son finitos y cuáles infinitos? a) b) c) d) e) f) g) h) i)

{x\ {x\ {x\ \x\ \x\ \x\ {x\ {x\ {x\

xes número natural par} xes cualquiera del primer millón de números naturales} XG £? y .resta entre 3 y 4} XG Qy xzsXk entre 1/4 y 1/3} XG QyxQStk entre 1/4000 y 1/3000} XG Wy .resta entre 3000 y 4000} XG Wy xestá entre 3 y 3 billones} XG Wy xes menor que 3 billones} x G Wy xes mayor que 3 billones}



72

Álgebra básica

Analizar las afirmaciones de los ejercicios 10 a 30 y marcar si son verdaderas o falsas. 10. WaN 11. NczQ 12. 13. 14. 15. 2 e Q 16.

17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

QKJQ'=3Í

Si ae Q, entonces ae 9i Siê % entonces ae Q Si ae Z, entonces ae Q Sií7e {0},«e 9f Zu^=V 0u#=F {0} € N

24.

ZVJQ=Q

25. 26. 27. 28. 29. 30.

TKn /F= {0} 0 c {0} -3 e W -3 e £> JVe 9f

Explicar por qué los números de los ejercicios 31 a 36 son racionales. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

0.3 3.61 1/7 1416 15% 0.5%

En los ejercicios 37 a 46, encontrar el número decimal que es equivalente al número dado. 37. 7/8 38. 3/500



2. Sistemas numéricos 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.

73

5 2/3 1/9 7/11 3 3/7 14 2/5% 0.7% 102%

Encontrar una fracción que sea equivalente a cada uno de los números decimales periódicos dados en los ejercicios 47 a 50. 47. 48. 49. 50.

0.444 0.707070... 1.21414 3.023023...

2.3. LEYES Y PROPIEDADES

2.3.1. Axiomas relativos a los números Para entender el proceso deductivo de las matemáticas de los números es necesario reconocer la existencia y el empleo de axiomas (verdades absolutas). Los más importantes son los siguientes: Axioma 1. Para cualesquiera dos números a y b: a+b=b+a Éste es el axioma conmutativo de la adición. Afirma que se puede conmutar, o intercambiar, el orden de los dos números al sumarlos. La sustracción no es conmutativa: 3 - 5 no es lo mismo que 5 - 3 . Si se tuviera que calcular 3 + 4 + 5, primero se podrían sumar 4 y 3 y luego añadir 5 a este resultado; o se podrían sumar 5 y 4 y después el resultado a 3. Desde luego, la suma será la misma en ambos casos, y esto es exactamente lo que afirma el segundo axioma.



74

Álgebra básica Axioma 2. Para cualesquiera números a, b y c:

{a + b) + c=a+(b+c) Éste es el axioma asociativo de la adición. Indica que se pueden asociar los tres números de dos maneras diferentes al ejecutar la adición. Los dos axiomas anteriores tienen sus correspondientes para la multiplicación. Axioma?>. Para cualesquiera dos números a y b:

ab- ba Éste se llama axioma conmutativo de la multiplicación. Axioma 4. Para cualesquiera tres números a, b y c:

(ab)c = a(bc) Éste se denomina axioma asociativo de la multiplicación. Significa que [(3)(4)]5 = Como ya se destacó, la existencia del número 0 fue crucial para el avance de los sistemas numéricos. Para reconocer formalmente que existe tal número y posee las propiedades que requiere su significado físico, se enuncia el siguiente axioma: Axioma 5. Hay un único número 0 tal que a) 0 + a- a para todo número a b) 0 (a) - 0 para todo número a c) si ab- 0, entonces a=0 o b=0, o ambos son 0 El número 1 es otro número con propiedades especiales, que se especifican en el sexto axioma. Axioma 6. Hay un único número 1 tal que I (a) = ¿7 para todo número a

)

Observa el uso de los diferentes tipos de paréntesis para aclarar la forma de asociación.




75

Como ya se ha mencionado, además de la suma y la multiplicación se tienen operaciones como la sustracción y la división. Se sabe que, dados cualesquiera dos números a y b, hay otro número c que resulta de sustraer b a a. Pero la sustracción es la operación inversa de la adición. Esto significa sencillamente que si se tiene que encontrar la solución a 5 - 3 se puede preguntar, y de hecho así se hace, ¿cuál es el número que agregado a 3 da 5? Si se sabe sumar se puede solucionar el problema de restar. Aun cuando se obtiene la respuesta mediante un procedimiento especial de sustracción, la comprobación consiste en sumar el resultado a la cantidad sustraída para ver si da el número original, o minuendo.(7) Por lo tanto, es un problema de sustracción, como 5 - 3 = x; pero lo que en realidad se está pidiendo es el número x que sumado a 3 dé 5: es decir, x + 3 = 5. El axioma 7 establece la existencia de la solución(8) de esta ecuación:(9) Axioma 7. Si a y b son dos números cualesquiera, hay un único número x tal que

a= b + x El número x es lo que comúnmente se representa con a - b. Con respecto a la multiplicación, la división es también su operación inversa. Cuando se trata de calcular 8/2 se puede reducir el problema de división a problema de multiplicación, preguntando qué número x, multiplicado por 2, da 8, y si se sabe multiplicar se encontrará la respuesta. También aquí, como en el caso de la sustracción, aun si se aplica un procedimiento especial de división, larga, para encontrar la respuesta, se comprobará el resultado multiplicando el divisor(10) por el cociente para ver si el producto es el dividendo (cuando la división es exacta, de otra manera es necesario sumar el residuo). Esto quiere decir sencillamente que el significado básico de alb es el de encontrar algún número xtal que bx — a.

(7)

Los números que intervienen en la resta se llaman minuendo, el número del que se desea sustraer otro; sustraendo, que es el que se quita al minuendo; y resta, que se refiere al resultado. (8) Se llama solución al número que hace cierta la igualdad establecida. (9) Se llama ecuación a la igualdad de dos expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionados mediante operaciones aritméticas. (•o) Divisor, dividendo y cociente son los nombres que reciben los números que intervienen en una división. Dividendo es el número que se va a repartir, divisor es el número entre el que se va a repartir el dividendo y cociente es el resultado de la operación.



76

Algebra básica

Axioma 8. Siay bson dos números cualesquiera, pero b^ 0, entonces hay un único número x tal que bx= a Por supuesto, x es el número que se acostumbra designar con aIb. El axioma que aparece a continuación no es tan obvio. Afirma, por ejemplo, que (3)(6) + (3)(5) = 3(6 + 5). En este ejemplo se pueden hacer los cálculos para saber si los miembros izquierdo y derecho son iguales. Supóngase que se tienen dos lotes de producción, uno de 157 y el otro de 379 artículos, y que el costo de producción por artículo no depende del tamaño del lote y es de $7.00; el costo total entonces es de (7)(157) + (7)(379). Pero si todos estos artículos hubieran resultado de una sola corrida, es decir, se hubieran producido (157 + 379), entonces el costo habría sido de (7)(157 + 379). Los hechos muestran que, en estas condiciones, el costo de producir dos lotes es el mismo que el de producir uno solo mayor, esto es: (7)(157) + (7)(379) = (7)(157 + 379). Dicho en términos generales, queda: Axioma 9. Para cualesquiera tres números a, b y c:

ab + ac- a(b + c) Éste es el axioma distributivo o ley distributiva, que relaciona las dos operaciones, la suma y la multiplicación. Por ejemplo, para calcular 571 x 36 + 571 x 64 = 571(36 + 64) = (571) (100) = 57100. Ordinariamente se dice que se obtiene 571 como factor común de la suma (o bien, que se ha factorizado esta expresión). Se observa que:

ab + ac - a (b + c) y también:

ba + ca = (b + c) a Además de los axiomas anteriores, se tienen otros que se refieren a propiedades evidentes de los números: Axioma 10. Números iguales a otro son iguales entre sí.




11

Axioma 11. Si a números iguales se suman o restan números iguales, los resultados serán iguales; y si números iguales se multiplican o dividen entre números iguales, los resultados serán iguales. (No olvidar que está prohibida la división entre 0.) El conjunto de axiomas enunciados no está completo, es decir, no forma la base lógica de todas las propiedades de los números enteros positivos y negativos, los fraccionarios y los irracionales. Sin embargo, en estos axiomas se tiene la base lógica de lo que se acostumbra hacer con los números en el álgebra básica.

Ejercicios de 2.3.1 1. ¿Es cierto que 256(437 + 729) = 256 x 437 + 256 x 729? ¿Por qué? 2. ¿Es correcto afirmar que a(b - c) = ab- acl (Sugerencia: b-c = b + {-c)) 3. Completa las operaciones que se piden en los siguientes ejemplos: a)3a+9a

B

d) 3(2¿? + 4¿) B g)

¿>Ja(3) + a(9)

c) la-9a

^(4*+5¿)7

f)a{a+b)

B

a(a-b)

4. Efectúa la multiplicación

(Sugerencia: trata (a+ 3) como un solo número y aplica el axioma distributivo.) 5. 6. 7. 8.

Calcula (/?+l)(/?+l) Si3x=6, ¿esx=2?, ¿porqué? ¿Es correcto que a + {be) -{a-\- b)(a + c)l Calcula:

a) 3/4 + 4/7 B

b) 3/5 - 4/7 B

c) 4/7 - 3/5

d) 2/9 + 5/12 B

e) 2/9 - 5/12

f) 2/9 - (-5 /12)



Algebra básica g)-2l9 +(-5/12)

h) alb-Y cid

j)

k) Vx+ 1/2

alb-(-cid)

i)

alb-cid

9. Calcula: a) (3/5X4/9)

/^ (3/5X-4/9) B

c) (-3/5)(-4/9)

d) (-3/5)(-4/9)

e) (alb)(cld)

^ (alb)(cla) B

g) (alb)(bla)

h) (alb)(-cld)

# 2/5 + 1/5

j) 2/3 + 3/7

k) 3/5 + 6/10

^ 21/6 + 7/4 a

m) alb -s- cid

n) 21/8 + 5 (1/2)

^ -8 - 2

b) (2a)(2b)

cy (2^)(3¿)

10. Calcula:

a

e) (2x)(3y)(4z)

11. Calcula: a) (3/4X5/7) + 3/2

b) (3 + 6a)/3

<# (4or+8^)/2 B

e) (ab + ac)la B

cj(3a+6b)!3

12. Calcula: a) x/49 Jt

#

«im

¡W

^ V2-7T

^ ^"-J? a




79

13. Simplifica: a) V32

b

) V48

[9~

d

c) /72

[W

)

[27~

M [27

14. Escribe como fracción: a) 0.294

# 0.3742

c) 0.08

^ 0.003

15. Aproxima, con números que sean correctos, hasta una cifra decimal: a) VT

b) ,/T

c) ./y

2.3.2. Propiedades de igualdad El símbolo = se usa entre conjuntos para indicar que ambos tienen los mismos elementos. También se escribe a = b para indicar que a y b representan el mismo elemento de algún conjunto. Se requieren ciertas suposiciones acerca de la relación de igualdad respecto al conjunto de los números reales. Estas hipótesis pueden parecer triviales, pero son extremadamente importantes en el desarrollo lógico de este sistema.

Postulado 1. La propiedad reflexiva de la igualdad Para cada ae % a- a Postulado 2. La propiedad de simetría de la igualdad Si a, be SÍ y si a = b, entonces b - a Postulado 3. La propiedad transitiva de la igualdad Si a, b, c e 9? y si a - b y b - c, entonces a - c Postulado 4. La propiedad de sustitución de la igualdad Si a, b G SRyúa-b, entonces a puede ser sustituida por b en cualquier expresión, enunciado específico o proposición abierta. Tal sustitución



80

Algebra básica

no cambia el valor de la expresión ni altera la veracidad del enunciado específico, ni el conjunto de verdad de la proposición abierta. La primera de estas propiedades, la propiedad reflexiva, ciertamente parece obvia, pero debe destacarse que no todas las relaciones sobre el conjunto de los números reales tienen esta propiedad. Por ejemplo, no es cierto que a < a para cada número real a. Nótese también que si a, b e 9Íysia
2.3.3. Postulados de orden Los postulados de la igualdad ayudan a comparar números que no son iguales, tales como 13 y 2. En el caso de 13 y 2 se sabe que 2 es la cardinalidad de un conjunto que se puede equiparar con un subconjunto propio de un conjunto de cardinalidad 13 y, por tanto, 2 es menor que 13. Se dice que una persona con un cuarto de su problema correcto tiene menor cantidad correcta que una persona con la mitad correcta; o que un terreno de media hectárea es mayor que otro de un cuarto de hectárea. Éste es el lenguaje que se requiere formalizar. Se desea establecer una relación de orden entre los números reales. Esto significa que dados dos elementos diferentes de 9Í uno debe ser menor que el otro y se debe tener la posibilidad de decidir cuál es el más pequeño. Como primer paso en el desarrollo de estas nociones se supone que el conjunto de los números reales 9Í tiene un subconjunto propio P, con las propiedades descritas en los postulados siguientes, llamados postulados de orden.

2.3.4. Postulado de tricotomía Si x G % entonces una, y sólo una, de las proposiciones siguientes es verdadera: xe P,

-XE

P

o

x=0

Postulado de cerradura para P: S i x , ^ e P, entonces^-+ye Pyxye.

P

Se procede a definir P:




81

Todo elemento de Pse llama número real positivo. x es negativo si y sólo si -x es positivo Para cada par de números reales x y y se dice que x es menor que y (se denota por xy) si y sólo siy y

(XQS menor que y) {XQS mayor que y)

xy

fxcs menor o igual que y) (xes mayor o igual que y)

Así, el conjunto de los números reales se expresa como la unión de tres conjuntos ajenos: el de los números positivos, el que contiene sólo al 0 y el de los números negativos.

SH = Fu {0} u {x | -XG P} Los números positivos son mayores tanto que 0 como que todos los negativos. Entonces, todo número no nulo es positivo o negativo. De ser positivo es mayor que 0 y si es negativo es menor que 0.

Teorema de tricotomía Dados cualesquiera dos números reales xyy siguientes es verdadera: x
y
una y sólo una de las proposiciones

x-y

La desigualdad tiene propiedades similares a las de la igualdad, que son necesarias para encontrar la solución de ecuaciones.



82

Álgebra básica Teorema, x(U) x + zy=>x+z>y+z

Se puede sumar cualquier número a ambos lados de una desigualdad y obtener una desigualdad equivalente. Sin embargo, el resultado de multiplicar ambos lados por un número depende de si el multiplicador es positivo o negativo. Al multiplicar por un número positivo se cumple: x y

y y

z>0 =$ xz0 => xz> yz

Segunda proposición: x>y

y

z> 0

<=>< 12 V<-

z>0 =$yz
xz>yz

Es muy importante destacar que cuando se multiplica una desigualdad por un número negativo, se debe cambiar un menor que por un mayor que y viceversa. z <0 *=-2

2<4

al multiplicar por z: (-2)(2)>(-4>-8

z<0

3>2

z=-2

3(-2)<2(-2) -6<-4

Las relaciones de orden < y >, al igual que =, son transitivas.

Teorema de transitividad para desigualdades x y

y y

y x z=> x>z

<") => es el símbolo de implicación, corresponde a j / . . , entonces... (12) <=$ es el símbolo de equivalencia, se lee ...siy sólo si...




83

También son ciertas: x y

ax+ a b =>x+ a>y+ b

x, y a, b>0, x, y a, b>0,

xy

y y

a< b=$ ax> by a> b=> ax> by

Ejercicios del 2.3 1. 2. 3. 4. 5. 6.

¿Qué dice el postulado de tricotomía acerca del número real 0? ¿Es 1 = 0 ? Justifica la respuesta. ¿Qué dice el postulado de tricotomía acerca del número real 1? ¿Qué expresa el teorema de tricotomía acerca del par de números 0 y 1? ¿Qué dice el teorema de tricotomía acerca del par de números - 1 y 1? Aplica la definición de menor que a los siguientes hechos. ¿Qué se puede concluir? a) 5<1 b) -3<-2 H c) 15-5 e P

dj 20-16 e P e) 14-18 e P f) -3(-2)eP

7. Aplica la definición de mayor que a, los siguientes hechos. ¿Qué se puede concluir? aj 5>2 bJ-3>-7 c) 10 > 0

O

8. Aplica la definición de negativo a los siguientes hechos. ¿Qué se puede concluir? a) - 5 es negativo. b) 4 es negativo. c) a+ bes negativo. d) a + ¿espositivo. e) xy es positivo. f) xy es negativo. g) (a+ b) es negativo. h) (xy) es positivo.



84

Álgebra básica

9. Aplica la definición de > a cada una de las proposiciones del ejercicio anterior ¿Cuáles son las conclusiones? 10. Supon que cada una de las proposiciones siguientes es verdadera y escribe una conclusión que se pueda derivar de ella. La conclusión no es necesariamente cierta. ¿Por qué? a) - 5 > 0

bj cj d) e) f)

-le P B a^ by ano es menor que b 7-5e P 7>0 -8 - 6 e P

h) 5 no es menor que 3 y 5 ^ 3 i) 2 y 7 e P j) - 4 es un número negativo k) a no es mayor que 0 y a no es menor que 0

2.4. VALOR ABSOLUTO

¿Qué tienen en común los números 7 y -7? Son números enteros que constituyen las coordenadas de dos puntos distintos en la recta numérica. Sin embargo, ambos quedan a la misma distancia del origen (véase figura 2.4).

FIGURA 2.4

-7

En otras palabras, - 7 está tan lejos a la izquierda de 0 como 7 a la derecha del mismo. Este hecho se señala empleando la notación de valor absoluto en la forma siguiente: |-7| = 7, que se lee: el valor absoluto de - 7 es 7. |7| = 7, que se lee: el valor absoluto de 7 es 7.




85

Geométricamente, para cualquier número real x, \x\ es la distancia (sin tomar en cuenta el sentido) del origen al número x. Observa que para un número positivo |jr| = x y para un número negativo \x\ = —x Así, la definición de valor absoluto es: x cuando x >0 -x cuando x < 0

Propiedades: 1. 2. 3. 4.

Para k> 0, \x\ = k, si y sólo si, x= ko -x= k, además |0| = 0 Para k> 0, \x\ < k, si y sólo si, -k< x< k Para k> 0, \x\ > k, si y sólo si, x< -kox> k \x\ = \-x\

5. W>jr>-|x|

6. \xy\ = \x\\y\ 7 - x \x\ - =—, con y ^ 0

y\ \y\ 8. |^"+^| < \x\ + l^| desigualdad del triángulo 9. \x"\ = x" si n es un entero par

Ejemplos de 2.4 1. Resuelve

=1 |JC

—5|

Solución: Esta ecuación se resuelve(13) a partir de la definición de valor absoluto y del conocimiento de las fracciones: \x- 5| = x- 5 cuando x- 5 > 0 => x> 5, pero x= 5 => \x- 5| = 0 que no puede aparecer en el denominador, entonces la solución es x> 5. (13)

Resuelve se refiere a encontrar el o los valores de x que hacen cierta la ecuación.



86

Álgebra básica

2. Encuentra el conjunto solución que satisface \x- 2| < 3. Solución: Por la propiedad 2 es equivalente a - 3 < . r - 2 < 3 = > - l < . r < 5 3. Gráfica |^+ 1|>2 Solución: Esto es lo mismo que |.r-(-l)| que se interpreta como la distancia entre x y - 1 mayor que 2 .\ la representación gráfica se presenta en lafigura2.5:

FIGURA 2.5

-3

- 1 0 1

Ejercicios de 2.4 1. Califica cada proposición como falsa o verdadera: = 2/3 H b) |-1000|<0 c) |-1/2| = 2 d)\-(-X)\ =-1 e) \x\-\y\=x-y f) \x-y\=x-y 2. Resuelve para x y gráfica a) \x\ = 3/2 bj \x-l\ = 3 c) |3 JT-4| = 0 ^|l/(x-l)| = 2 e) | jr|/jtr=—1




87

2.5. APLICACIONES

Uno de los usos frecuentes de la propiedad distributiva es la de abreviar los cálculos, así por ejemplo, el producto de 7(999) = 7(1000 - 1) = 7000 - 7 = 6993.

Ejercicio Aplicar esta idea para realizar los siguientes cálculos: 1. 4(9995) 2. 6(99997) 3. 3(999992) Otra muestra de la aplicación de esta propiedad es el juego de adivinanzas numéricas:

• • • •

Estrategia Piensa un número Súmale 3 Triplica el resultado Réstale 9

• Divide entre el número que pensaste • El resultado es

Operaciones x x+3

-^——'-— = 3 x 3

4. ¿Cuál es el resultado del siguiente acertijo?

• • • • • •

Estrategia Piensa un número Súmale 5 Quintuplica el resultado Réstale 25 Divide entre el número que pensaste El resultado es

Operaciones



88

Algebra básica

5. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 120 km/hora en carretera y de 80 km/hora en la ciudad. Maneja diariamente 6 horas y recorre 660 km. ¿Cuánto tiempo conduce en carretera y cuánto en la ciudad? Solución: Si XQS el tiempo que conduce en carretera, el tiempo que conduce en la ciudad es 6 - x; entonces la distancia de cada recorrido se expresa, recordando que la distancia se calcula como el tiempo por la velocidad, como 120x+ 80(6 — x)y es de 660 km, entonces, 120x+ 80(6 -x) = 660, que se convierte, usando la ley distributiva, en: 120x+ 80(6) - 80^= 40^+480 = 660 ,\ x= (660 - 480)/40 = 4.5 => en la ciudad conduce 6 - 4.5 = 1.5 horas y en carretera 4.5 horas. 6. El propietario de una tienda, con objeto de aumentar la venta de 30 kilos de avellanas, que no ha podido vender, con precio de venta de $150.00 por kilo, pretende mezclarlas con nueces, que vende a $120.00 el kilo y vender la mezcla a $138.00. ¿Cuántos kilos de nueces debe agregar a las avellanas? Solución: Si XQS el número de kilos de nueces que debe agregar, entonces la mezcla será de 30 + x kilos, el precio de la mezcla se puede expresar como 120^+ 150(30) = 138(30 + ^), lo que se convierte en 120^+4500= 138(30) +138^=4140 + 13&tr .\ \%x- 360 => x- 20; esto es, necesita agregar a las avellanas 20 kilos de nueces. 7. Con una pequeña sierra un talador clandestino puede limpiar en seis días un kilómetro de camino en un bosque. Con una sierra mayor, puede hacerlo en tres días. Si tuviera ambas a su disposición, ¿en cuánto tiempo podría terminar? Solución: Si con la sierra pequeña en seis días se tala un kilómetro, esto significa que cada día limpia 1/6 de kilómetro, y con la grande, cada día avanza 1/3 de kilómetro. Si XQS el número de días que necesita trabajar con ambas herramientas, entonces

con las dos sierras juntas tardaría dos días en talar un kilómetro de bosque.




89

2.6. EL PAQUETE MATHEMATICA Y LOS SISTEMAS NUMÉRICOS

Muchos programas pueden realizar cálculos numéricos. Mathematica va más allá, ya que puede efectuar cálculos en los que la respuesta no es un número sino una expresión como: 21x+ 8. En vez de manejar: (5 + 4) A7(14) puede manejar (a+ b) A 7. Puede multiplicar: Expand^ [(a + b) A7] = a1 + ...; integrar: Intégrate (16) [(a + b) A7, a]; o efectuar cálculos simbólicos como Permutations{X1) [{jorge, eva, daniel, femando}].(18) Mathematica permite la manipulación de una amplia variedad de funciones matemáticas, así como también de objetos, como matrices. Pueden efectuarse operaciones como suma, resta, multiplicación, inversión, composición de funciones o matrices, cálculo de valores y vectores propios. También maneja datos, proporciona sus estadísticas y efectúa análisis. De la misma manera, permite la interpolación y el cálculo de mínimos cuadrados, pudiendo encontrar la función que mejor representa el comportamiento de una variable. La diagonal / indica división y el asterisco * o el espacio significan multiplicación 2 * 3 * 4 = (2) (3) (4) = 24. También utiliza la notación científica (potencias de 10). Dos diagonales al final indican que se desea un resultado aproximado. In[40]:=2A100 Out[40]= 1267650600228229401496703205376 In[41]:=2A100// Out[41]= 1.26765x1030

(14) A

Este símbolo se usa para indicar exponente, por ejemplo x2 se indica como x A2. Expandsignifica desarrollar. (16) Intégrate quiere decir integrar. (17) Permutations significa permutaciones, cambio de orden. (18) Mathematica cuenta con una sección de ayuda a la cual el usuario tiene acceso mediante el uso de los siguientes símbolos, además del Help: ? seguida del símbolo, función, comando, operador o aquello de lo cual se tiene duda. Por ejemplo, suponga que se desea información del comando Plot, entonces el usuario deberá dar la instrucción ? Plot; la máquina mostrará la información básica de cómo usar el comando /%?/para graficar. Si se requiere más información, se usan entonces dos signos de interrogación: ??Plot. (15)



90

Álgebra básica

En Mathematicano se efectúan automáticamente las aproximaciones de un cálculo numérico, a menos que se le indique. Por ejemplo, si se desea calcular la raíz cuadrada de 12, el resultado que muestra es: In[2]:= Sqrt(12) Out[2]= 2 Sqrt [3] Pero si se desea el cálculo numérico, debe indicarse añadiendo la función: N In[3]:=N[Sqrt[12]], obteniéndose: Out[3]= 3.4641 Para encontrar el valor numérico del logaritmo de 4TI, se procede: In[4]:=N[Log[4Pi]](19> Out[4]= 2.53102 Si se desea una expresión con 40 decimales, entonces se agrega a la función N un segundo argumento que lo indica: In[5]:=N[Log[4Pi],40] Out[5]= 2.531024246969290792977891594269411847798 Cuando se aplica un exponente a un decimal, automáticamente contesta con otro decimal, y cuando la operación se efectúa con fracciones la respuesta se obtiene en fracciones. In[6]:= Sqrt[2.5], responde Out[6]= 1.4421 In[7]:=3/4 + 5/8 Out[7]=ll/8 Cuando se manejan números racionales pueden elegirse resultados fraccionarios o decimales; cuando se requieren decimales se agregan IIN^ al final.

(19)

Las funciones se indican con la primera letra mayúscula y las demás minúsculas, y su argumento se encierra entre corchetes, como ya se indicó. (20) La instrucción //N solicita un valor numérico.




91

In[42]:=l/3+2/7 Out[42]= 13/21 In[43]:=l/3 + 2/7//N Out[43]= 0.619048 Otra forma de indicar aproximaciones es el uso de un punto después del número. 3 es un número exacto y 3. es un número aproximado. La instrucción N[ ] puede convertir un número exacto en aproximado. El paquete obtiene el valor exacto de factoriales y también sus resultados aproximados. In[44]:=28! Out[44]= 3048883446117138605015040000 In[45]:=35!//N Out[45]=1.0331xl040 También maneja números complejos, pero la parte imaginaria que aparece multiplicada por el número i, la raíz cuadrada de — 1, se representa con /(i mayúscula). In[46]:=Sqrt[-16] Out[46]=4I Logfxjss el logaritmo natural, un logaritmo de otra base se representa añadiendo dentro del paréntesis primero la base: Log[2, 256J se refiere al logaritmo base 2 del número 256, /og2(256). El signo % se usa para referirse a valores asignados anteriormente a las variables. % obtiene el último resultado generado. %% se refiere al penúltimo resultado generado. %...% {n veces) obtiene el //-ésimo resultado previo. %n se refiere al resultado de la entrada n, OutfnJ. Es importante resaltar que, una vez asignado un valor a una variable, éste se mantiene mientras no se indique lo contrario mediante x=. o ClearfxJ.



Algebra básica

92

La aplicación más sencilla es la de utilizar el paquete como calculadora para realizar cálculos numéricos. Se teclea la operación que se desea efectuar y el paquete da el resultado. La capacidad del paquete es, sin embargo, mayor que la de cualquier calculadora, soporta 750 operaciones y maneja no sólo operaciones numéricas, sino también simbólicas y gráficas. In[l]:= 52+158 Out[l]=210 Mathematica usualmente envía mensajes de aviso al usuario, cuando la entrada de datos no es la correcta o la esperada por el sistema. Los argumentos de las funciones deben aparecer dentro de corchetes; si no se introduce de esta manera aparece el mensaje de error. En la imagen 2.1 se muestra un mensaje de error para la raíz cuadrada de 12.

IMAGEN 2.1 Mathematica foi Windows - [Newnb-1] [ Ríe £dft

BOO

Ce» £raph

~n

i i mmmmi P T Í Í M I \mm\

Sqrt(12) Syntax:rtaktwrn: ¥arning: "Sqrt(12)" should probably be "Sqrt [12] " . Out¡2¡= 12 Sqrt Sqrt[12] Out¡3¡= 2 Sqrt[3]

•Tinte8




93

La función raíz cuadrada debe tener un solo argumento y Mathematica envía un mensaje cuando se ha dado entrada a dos argumentos: In[l]:=Sqrt[4,5] Aparece, con letras rojas Sqrt: : argx: Sqrt called with 2 arguments; 1 argument is expected. Out[l]=Sqrt[4,5] Esto es, el paquete no realiza alguna operación, así reacciona cuando se le hace una solicitud incorrectamente. Cada mensaje tiene un nombre y este mensaje se puede eliminar a partir de su nombre y la instrucción Off: In[2]:=Off[Sqrt::argx] In[l]:=Sqrt[4,5] Out[l]=Sqrt[4,5] Para activarla nuevamente se utiliza la instrucción On acompañada por el nombre del mensaje: In[4]:=On[Sqrt: : argx]



Álgebra básica

94

En la siguiente tabla se muestra un diccionario de los símbolos más usados en el paquete para las operaciones: Símbolo A

/ *

0 [] {}

% I = :=

==

Ejemplos

Significado A

Indica la operación de exponenciación. Expresa la operación de división. Indica la operación de multiplicación. Este operador puede sustituirse por un espacio. Permite especificar la prioridad de las operaciones, al igual que en álgebra. Se usa para especificar los argumentos de funciones y comandos. Permite especificar un conjunto a partir de la enumeración de sus elementos.

2 3 = 23

Permite el cálculo de un factorial. Indica asignación, conservando el mismo valor a través del cálculo conjunto. Corresponde a la definición de una función; es una ecuación expresada con una o varias variables. Prueba la igualdad

5! = 120 a=5

1/2 = 0.5 34*89 = (34)(89) 34 89 = (34)(89) observe que:

(x + 3)/x*x + 3/x Sin[jc]

{1,3,5,7} un conjunto con cuatro números Se utiliza para referirse al resultado del cálculo anterior. 5*8 = 40 % A 2=1600

F[JC]:=3X + 2

F[a]= 17 3JC + 2 = = 0

paraje = -2/3 <

<= >

>=

Diferente. Es el contrario de = = Permite una comparación: menor que. Indica una comparación: menor o igual. Expresa una comparación: mayor que. Permite una comparación: mayor o igual.

La forma abreviada de expresar operaciones como suma y el producto de muchos términos es a partir de las funciones: Sum[f, {i, imin, imax}] suma la función/de i, desde imin hasta imax.(21) (2I)

imin, imax son los extremos del intervalo en el que se hace variar i. Por ejemplo sum[3/2 + 8, {/; 2, 5}] da 3(22) + 8 + 3(32) + 8 + 3(42) + 8 + 3(52) + 8 = 194.




95

Sum[f, {i, imin, imax, di}] suma la función/de i, desde imin hasta imax, creciendo en pasos de tamaño di. Sum[3/2 - 3, {/; 2,10,2}] da 3(22) + 8 + 3(42) + 8 + 3(62) + 8 + 3(82) + 8 + 3(102) + 8 = 700 Sum[f, {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax}] es la doble suma sobre ambos índices i,j. Product[f, {i, imin, imax}] es el producto de la fimción/de i, desde imin hasta imax. El punto y coma (;) al final de un renglón tiene el efecto de efectuar las operaciones sin indicar el resultado, se usa para operaciones intermedias. Cuando se desea interrumpir la operación que Mathematica está efectuando, ya sea porque se cree que hay un error o porque se tarda demasiado y se quiere saber qué está haciendo, se logra con las instrucciones: Contro/y CoA/t y,. La respuesta del paquete es el menú: Continué para continuar. ShowpdiX'di mostrar lo que está haciendo. fnspectpara analizar el estado actual del cálculo. abortar el cálculo actual, salir del paquete. Los siguientes son los alcances de Mathematica: • • • • •

Efectúa operaciones aritméticas con números de hasta 1000 dígitos. Desarrolla un polinomio con hasta 1000 términos. Factoriza polinomios en tres variables con hasta 500 términos. Aplica una regla recursiva con hasta 10 000 iteraciones. Encuentra la matriz inversa de una matriz de hasta 100 x 100.

Estas operaciones toman sólo unos segundos. Los siguientes ejemplos corresponden a algunos de los ejercicios propuestos, resueltos usando Mathematica: 10 d), 11 d), Me), \2f)y\2h)de\os ejercicios 2.3.1 (véase imagen 2.2).



Álgebra básica

96

IMAGEN 2.2 O
3J

ln[3]: = E:xE>-curMÍ[2 x 3 y ]

2.3.1. Ejercicio 10 d)

Outf3]= 6 x Y S±iT^l±£y[í4 ac + 8 y) / 2 ]


Out[5]= 2 (x+2 Y )

*3

2.3.1. Ejercicio 11 e)

Out [10]- ID -I- c Sqfrt[21 wSqcrt[8]

2.3.1. Ejercicio \2f)

O>jt[1 1]= 4

Scir-t [21 * S«rt [5 / 3] Our[12]«

3J J 11 3J

2.3.1. Ejercicio 12 h)

1

j1O

1 ^

En la imagen 2.3 aparece el 3 a), 3 ¿^ 3 d), 4, 8 ¿^y 8 b)áe los ejercicios 2.3.1. IMAGEN 2.3 infi4j = 3 a + 9 a

2.3.1. Ejercicio 3 a)

]]

Out 114]= 12 a ln[15]:= 7 a - 9 a

2.3.1. Ejercicio 3 c)

Out {153= - 2 a ln[16]:= 3 ( 2 A a + 4 b )

]i

J


Out[16]= 3 ( 2 * + 4 b )

11

Out[17]= 3 2*+ 12 b In[l3]:= (a+3) (a+2) uutii8j-

2.3.1. Ejercicio 4

¡n[í-3]:= 3 / 4 + 4 / 7


Out[t9]= 28 ln|20J:= 3 / 5

- 4 / 7

2.3.1. Ejercicio 8 b)

1

\

i1

i

35 Wn*

i

( 2 + a ) (3 + a )

2 / 9 +5 / 1 2

«1

i




97

En la imagen 2.4 se muestra el 8 d), 9 a), 9f), 91), 9n)y Yhf) de los ejercicios 2.3.1. IMAGEN 2.4 ln[2i] - 2 / 9 + 5 / 1 2


36

\

i«p>J« 3 / 5 ( - 4 / 9 )


15 InpíJ* ( 2 1 / 8 ) /

,,,,

( 5* 1 / 2 )

IIJj

2.3.1. Ejercicio 9 /^

i

\ .

ln[24j- a / b * c / a

2.3.1. Ejercicio 9/7

0utp4]« —

\\

lnf«]= 2 1 / 6 + 7 / 4

2.3.1. Ejercicio 9 #

21 — inptv- Sqrt[18/4]

2.3.1. Ejercicio 13^?

„>,„„,. - i .

"Si se escribe N antes y se agrega " , número de decimales deseados " se obtiene:"

f \ y.

Entre los ejemplos siguientes están: 6 b), 7 b), 10 b) de los ejercicios 2.3 y 1 a) de los 2.4; como puede observarse, también califica de verdadera o falsa una proposición (véase imagen 2.5). IMAGEN 2.5 "Si se escribe H antes y se agrega " , número de decimales deseados " se obtiene:"

]

1

mpc]= H[Sgrt[3], 8]

il

Outpo]- 1.7320508

i]

Inpi].- H[Sgrt[7], 12]

ú

O.itpil= 2.64575131106 Ir» pe] = - 5 < 0

3J

0utp4]= T r u e i n píj= - 3 > - 7

2.3. Ejercicio 7 b)

Outfi5j= T r u e lnpej.= - 3 < - 2

2.3. Ejercicio 6 b)

Outtê]- True Ir.p71-a - 2 > 0

2.3. Ejercicio 10 b)

0uip7]= F a l 3 e

i] ¡]

i]J V J

•npsj* -flbs[-2/3] 2

"

"

""••

0

1



Álgebra básica

98


Tema 2.1.1 1. - 2 2. -13 3. 3 4. - 5 5.

aj-500 ÓJ500

Tema 2.1.2 1. La posición del número determina la cantidad. 2. Permite distinguir entre 55 y 505. 3. Se puede operar con él. 4. Con notación decimal y como cociente de enteros. Terna 2.2.1

1. (2/z)2 = 4/z 2 =2 2 /? 2

2. 3. 4. 5-

(2n + I)2 = 2(2/?2 + 2rí) + 1 a impar => a2 impar .*. a es par Falso 5 2 +3 2 = 34 a) 2 / 7

b) ¡2\ c) 6 6

- ^ 5/2 b) 1 0 / 2

^ 5/3 7. No 8. *> {3, - 2 , 0} b) {3, -1/3, 1/7, 0.2727, - 2 , 8/7, 31/41,0, 1/2} c) {3,0} ^ {3} ^ {V7,'73} ^ {2} ^ {3} # {-2} 9. <^ Infinito b) Finito

c) Infinito ¿Înfinito e) Infinito /i. Finito g) Finito ^Finito i) Infinito 10. F 11. V 12. V 13. V 14. V 15. F 16. V 17. V 18. F 19. V 20. V 21. F 22. V 23. F 24. V




25. F 26. F 27. F 28. V 29. F 30. V 31. Decimal 32. Decimal 33. Fracción 34. Decimal 35. Fracción 36. Fracción 37. .875 Tema <7.3.1 1. Sí, ley distributiva 2. Sí 3. a) 12*

b) a{\2) cj -2a d) 6a+ Ylb e) 28«+35¿ 1 f)1 a + ab 4. a + 5^+6 5. n1 + 2n+ 1 6. (3(2) = 6) 7. Nc> 8. a) 37/28 b) 1/35 c) -1/35 d) 28/36 e) -7/36 f) 23/36 g) -23/36 h) (ad+ bc)lbd 0 {bad+ bc)lbd j) (ad+ bc)lbd k) (2+x)l2x 9.a) 4/15

99

38. .006 39. 5.66 40. .11 41. .6363 42. 3.4285714 43. .4 44. .004 45. .007 46. 1.02 47.419 48. 70/99 49. 601/495 50. 3020/999

-4/15 -4/15 4/15 aclbd f) clb g) 1 h) -aclbd 0 3/5 j) 23/21 k) 6/5 1) 63/12 m) adlbc n) 21/44 o) -10 10. a) 140 b) Aab 6ab d) 6xy e) 2Axyz 11. a) 5/14 b) 1+2* c) a+2b d) e) b+c b) c) d) e)



100

Algebra básica

12.

13. a) b) c) d)

1 11 3/2 9/4 3 4 2-/2 ,/TO73 4-/2 4-/3 6-/2 2-/2

Tema. 7.3 1. Ur\ número real es 0, positivo o negativo. 2. Nc).x+0 = x±x+ 1 3. 1 es positivo porque - 1 es negativo 4. 0 < l 5. le E P porque - 1 5 d) 20>16 e) Falso Te?na. 1. a)

e) 3/2 f) (3/2)V2 g) (3/2)V3 h) (3/2)V372 14. a) 47/500 b) 1871/500 c) 2/25 d) 3/100 15. a) 1.732 b) 2.236 c) 2.645

7. a) 5 - 2 e P b) -3 - (7) e P 8. bj-4e P c) -(a+b)e P dj-(a+b)e N ej-(a+b)e N f) -xy& P g) -{a + b) e P h) -xye. N 10.. Nc) es cierta la pr

F

2. a) x= 3/2 0-3/2

% F d) F e) F f) F

c) d) J = 3 / 2 O J = ] e) x es negativa f) - 2 < x < 4 g) -2/5<^-<0




101

BIBLIOGRAFÍA

Dorofeiev, G., etal, Temas selectos de matemáticas elementales, Mir, Moscú, 1983. Kline, Morris, Matemáticas para humanidades, Siglo XXI Editores, México, 1998. Leithold, Louis, Álgebra superior, CECSA, México, 1995. Lovaglia, Florence, et al, Algebra, Haría, México, 1997.





CAPÍTULO 3

Expresiones algebraicas





3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Al terminar este capítulo, el lector podrá: / Manejar expresiones algebraicas con exponentes enteros positivos, negativos y fraccionarios. / Reducir, multiplicar, dividir y racionalizar expresiones con radicales. y Convertir expresiones con exponentes fraccionarios a expresiones con radicales.
Estructura del capítulo Introducción 3.1. Potenciación. 3.2. Exponentes enteros. 3.3. Exponente cero y negativo. 3.4. Radicales. 3.5. Polinomios. 3.6. Aplicaciones. 3.7. Manejo de polinomios con Mathematica.

INTRODUCCIÓN

E

EL LENGUAJE de las matemáticas, los símbolos son elementos esenciales para escribir expresiones en forma concisa y breve; esto nos permite plantear y resolver diferentes tipos de problemas utilizando el mismo razonamiento. El desarrollo de este lenguaje tuvo lugar al generalizarse de la aritmética al álgebra. El álgebra, por lo tanto, tiene una estructura sencilla, caracterizada por un conjunto de operaciones: suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces, que se realizan de la misma forma que en la aritmética con números, sólo que en el álgebra se utilizan símbolos. Los números se usan, como en la aritmética, para representar cantidades determinadas y, generalizando, una letra representa una cantidad cualquiera. Asimismo, las operaciones están sujetas a determinadas condiciones, llamadas propiedades o leyes. Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias de las operaciones mencionadas, con números o símbolos cualesquiera. Así, las siguientes expresiones son algebraicas: N

?>x2y\x1-5xy+yA •IX

así como también 3b - — y

105



106

Algebra básica

Las expresiones algebraicas más sencillas se denominan términos y son aquellas en las que sólo intervienen números, letras y cualesquiera de las operaciones, exceptuando la suma y la resta, como: 3xl2y 5 lab, 5x2y3. Un solo término algebraico se denomina monomio; pero si las expresiones están ligadas mediante las operaciones de suma o resta se denotan de acuerdo con el número de términos utilizados. Así, un binomio consta de dos términos, un trinomio de tres y un polinomio de cuatro o más términos. Por ejemplo: -2x,Jy + /Zes un binomio, 4x2 - 5xy+y4 es un trinomio y 3xA + 5x3 - 2x2 + x- 3 es un polinomio. Como resumen tenemos que: • El álgebra es la parte de las matemáticas que trabaja con las propiedades generales de los números y las generalizaciones que de éstas provienen. • Las propiedades generales de los números y las generalizaciones se usan para denotar números arbitrarios y establecer propiedades válidas en general. • Una expresión algebraica es la combinación de una o varias de las operaciones, con letras o símbolos. • Una ecuación es una proposición que establece la igualdad de dos expresiones algebraicas. • Un término es una expresión algebraica en la que no intervienen las operaciones de suma o resta, como 3x2yo 58x3yg. • Un monomio es una expresión algebraica con un solo término. El binomio tiene dos términos, el trinomio tres y el polinomio consta de cuatro términos o más, así 3x2y + 5%x3y% es un binomio y 3x2y - 5Sx3ys + 347xyz es un polinomio.

3.1. POTENCIACIÓN

La potenciación es una operación que consiste en tomar una expresión algebraica como factor dos o más veces; al resultado de esta operación se le llama potencia. Así:

Si xe R, n e vVentonces: xn - (x) (x) (x)... (x) = n-ésimapotencia de x. Al entero positivo n se le denomina exponente y a x se le llama base. La primera potencia de una expresión es la misma expresión: xl = x. La segunda potencia, o cuadrado de una expresión, es tomar dos veces como factor a la expresión: x2 = (x) (x).



3. Expresiones algebraicas

107

3.1.1. Potencia de un monomio Para elevar un monomio a un exponente, es necesario elevar el coeficiente a dicho exponente y multiplicar el exponente de cada literal por el exponente de la potencia.

Ejemplos de 3.1.1 1. (4 ab3f = (42) O 2 )( bM) = 16 a2b6 H (4 ab3f= (4ab3)(4aP) = I6a2b6 2. (-2 a2b4)2 = (-22)O2x2)(¿4x2) = 4 aAb*

H

3. (-3x2l?y = -33x6b9= 3a1)

21a6

sí;T

^ lx3)

En los ejemplos anteriores se presentan dos casos, cuando el monomio es negativo: 1) Si el exponente es par, el signo de la potencia es positivo; 2) Si el exponente es impar, el signo en la potencia es negativo.

3.2. EXPONENTES ENTEROS

3.2.1. Producto de potencias de igual base Este producto es igual a la potencia que se obtiene de elevar la base común al exponente que resulta de la suma de los exponentes de las potencias que se desean multiplicar. (an){am) = an



108

Álgebra básica

Ejemplos de 3.2.1 1. (22)(23) = 22+3 = 2 5 - 32

B

2. (3-2)(34) = 3"2+4 = 3 2 3. (-2) 4 (-2) 2 = (-2) 4+2 = (-2) 6 = 64 4. (x-2)(x4)(x5) = x~2+4+5 = x1 5. ( J ^ ) 3 ( ^ ) 2 = (xy)M

B

B

= (xy)s

B

J. J7. J7. Elevar una potencia a otra potencia Esto es igual a la base elevada a un exponente, que se obtiene de multiplicar los exponentes originales. (a")"7 — flW

Ejemplos de 3.2.2 1 # M 2 \ 3 _ 4(2)(3) _ 46

2 . ( ^ 5 ) 4 = ^ 5)(4) = ^ 20 3. [(-1)3]4 = (-1)0X4) 4.

=

(.

a

5.

J.^. 3. Producto elevado a una potencia n Este producto es igual al primer factor elevado a esta potencia por el segundo factor elevado a la misma potencia.




109

Ejemplos de 3.2.3 1. ((2)(5))3 = (23)(53) 2. {Axyf = (42)(x2)O2) 3. {-Zaby = (-3)V 4 )( 4. (1/2

^ ^

5. (3x 2 ) 2 =(3 2 J.i7. ^. Elevar un cociente a una potencia n La operación de elevar un cociente a una potencia n es igual a elevar por separado el numerador y el denominador a esa potencia.

b)

b"

Ejemplos de 3.2.4 3

34

\y)

y (3x)4

a I 4.

3ab

a j

a



110

5.

Álgebra básica

mx) _ (nvc)3 Kny) ~\nyf

3.2. S. Cociente de dospotencias de igual base y exponente diferente Este cociente es igual a elevar la base a la potencia que resulta de la diferencia entre los exponentes. Los resultados posibles son:

a)

am a"

b)

am a"

i >m a —-; si m = i; sin=m

Ejemplos de 3.2.5 H

~8JT~2V~ 2. —- = —- = -

3. " . =

4.

5.

= 3V = 1 Ix1 tx2 4 3 343x " 7 V " (7 -')(x4-2) ~ 7 V " 49?

B




111

3.3. EXPONENTE CERO Y NEGATIVO

3.3.1. Exponente cero Se obtiene de dividir potencias iguales y con la misma base a

2-2

a

—ao

donde toda cantidad elevada a cero equivale a 1. a°= 1; si

Ejemplos de 3.3.1 1. 5°=1 2.

í. =

3. (^ 3 )(/^ 0 )=^ 3 + 0 = w

5.

J.J.2 Exponente negativo Se obtiene de dividir dos potencias de igual base, con exponente mayor en el divisor y menor en el numerador. 2-3

si a ^ 0, entonces

a

= a -i

es conocido como el inverso multiplicativo de a.



Álgebra básica

112 Por ejemplo: a — ay

— ya ) — a a a

Toda cantidad elevada a un exponente negativo es igual a tener en el numerador el 1 y en el denominador la base con el exponente positivo. Si a es un número real diferente de cero y n es un entero positivo:

Ejemplos de 3.3.2

3. | Ij =,4 = 512

4. I-

1

1

1 ,

1X3

16mV

52 U




113

Ejercicios de 3.1, 3.2 y 3.3 1. (-4<7)3 2. (-6a2bf 3. (4ab4c3)2 (

4. V

1 Uí Y

3m- )

2

R. - í R. 36 aAb2 R. 16 aWc6

tó,

)

5

4 2

6. ( Ú - + 7 ¿ )

9. ^ - S Z - 2 ) 3 10. (-x3)3 11. [(-2)3]4

R. 49m4 .

2,4 6

32 R. tf'°4 R. 64¿?3R. (-.r)9 R. (-2)12

Descomponer en factores 12. (l/3x) 2 13. ( 4 ^ ) 3 14. {-2mnf 15. (2)(7)5

R. R. (43)(x3) R. \-2)\m R. (2)(7)5

Elevar un cociente a una potencia (4x) 4

16.m

R. Obf

Exponentes fraccionarios y negativos 4 v2

1

R. - 1 64y3

17. ^ ^

18. ^^42

R.

9xy

19 _.^Z__

R_ 1 ^

' 6561y8

' 81j 6



Álgebra básica

114

2

3

x y

R. 1

20. - -V Exponentes xxy y cero, fraccionarios y negativos

.(m2\ 21. m T - 2

R.

22. ¿"3

R. 1

23.

R. 1

24.

R.

25.

R.(1,V3 ,3;

u -~

m'

3.4. RADICALES

Radical es la raíz de una cantidad denotada por el signo $/~, que consta de un índice y una cantidad subradical, a la que se le extrae la raíz indicada por el índice.

3.4.1. Exponente fraccionario Se obtiene de extraer una raíz a una potencia




115

donde: n a r

es el índice de la raíz la cantidad del subradical símbolo del radical

Ejemplos de 3.4.1 1. 16^=4/16 = 2 2. 16^=V¿ 3.

4a^=4/a

4. 8^=V8 = 2 B 5. (-8)^ = 3 /-8= -2 6. (0)^ = "0 = 0 Si el índice es un número par, entonces la raíz es un número positivo, que satisface:

como bn- a y n es un entero positivo, entonces b es una raíz /z-ésima de a.

7. (-4)2 = 16, la raíz de 16 es 44 y - 4 2

/16 = + 4

8. (-3)2 = 9, la raíz de 9 es +3 y - 3 V9 = + 3 9. (-2)3 = - 8 , la raíz cúbica de -8 es solamente - 2



116

Algebra básica

De los ejemplos anteriores se puede afirmar que: ni a v

Es positiva y negativa si a es positiva y n es par

Es negativa si a es negativa y n es impar

Toda potencia fraccionaria mln, my n enteros, con una base a diferente de cero {a ^ 0) se expresa en forma de radical, en donde n es el índice del radical, a es el subradical y m es exponente de este último.

=Na

10. 11. 2/ 5/

12. 5m 7 5 /r 7 3 =5

5

/m 2

13.




117

3.4.2. Radicales semejantes Son los que tienen el mismo índice (n) y la misma cantidad en el subradical.

Ejemplos de 3.4.2 1.
Radicales semejantes

3. 6/95, abe ¡95, c ¡95

4. aV2, mV8, xV3 Radicales no semejantes

5. 2A/5, x^/5 6. frV95, abcM95* cA/95

3.4.3. Simplificación de un radical Para simplificar radicales es necesario extraer la raíz de cada uno de los factores, hasta llevarlos a su mínima expresión.

Ejemplos de 3.4.3

2.

X

-,^

H

3. 3VI6 = 3



118

Álgebra básica 3.4.4. Introducción de un coeficiente dentro de un radical

Se eleva el coeficiente a una potencia igual al índice del radical.

Ejemplos de 3.4.4 1. 4-íx = •\Í4Tx= J16x 2. 2jc^/¿^ = -v/?(JP7^ = '^/4JcVí¿

3. 2m Vrn1 = I R S i 2 = VSm5 H

(

¿) \| ( fe)

3.4.5. Suma de radicales semejantes Se suman algebraicamente los coeficientes y la suma de éstos es el coeficiente del radical común.

Ejemplos de 3.4.5

2. 4V

(

)

3. 3V7-4<77 = (3-4H7 = -V7

H

4. 5




119

3.4.6. Conversión de radicales distintos a otros, con índice igual al m.c.m. de los índices Se obtiene el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices, se divide entre cada índice, y el subradical se eleva al cociente calculado.

Ejemplos de 3.4.6 1. V3, V4, 4/2 El m.c.m. de los índices (3, 4, 2) = 12 índice común 12 12 12 , . _ = —; —; — = 6, 4, 3 índice del radical 2 3 4 12/^6

12/^f

Yllj?,

Wffi, l?/556, m 2. 72JC, V3?)>, ^/Í8pz El m.c.m. de los índices es el 6 índice común _ 6 6 6 _ índice del radical 2' 3' 6

3.4.7. Suma y resta de radicales Para sumar y restar radicales, primero se operan los radicales semejantes y después se simplifican los radicales no semejantes.



Álgebra básica

120 Ejemplos de 3.4.7

(2 + 8)V5 + 9.J(22)(3)-~7./(2 J(3) 10/5 + 18/3-28/3 10 5-10/3 12 2 6 2 3

(22) (3)

48 24 12 6 3

2

(24) (3)

2 2 2

2. -/45--/27-V20 7(3 3v5-373-275

45 3 15 3 5

27 3 9 3 3

20 2 10 2 5

(32) (5)

(32) (3)

(22) (5)

3. 7 8 0 - / 6 3 - /180

4',/5-3x/7-6-75 -2-/5-3^/7




121

3.4.8. Multiplicación de radicales del mismo índice Se multiplican los subradicales, el resultado queda dentro del radical con el índice de la raíz. i\,ra i/b = v

Ejemplos de 3.4.8 1. (3/ÍO)(2 /T5) (3)(2W(IOXI5) - 6VT50 = 6-N/'(2)(3)(5T) = 30 y6 2. (4V3)(3 /I2) = (3)(4)V(3)a2) = 12/36 = 72

3. í 3 4.

B 5

Ií6x}= — lílAax = — V(23)(3)(a)(*) = — V J 42

5. (2x,í2a)

42

B

42

5¿)

B

6.

3.4.9. División de radicales del mismo índice Se obtiene un radical del mismo índice con el cociente de ambos subradicales.

—

— n

-

Vb'lb



122

Álgebra básica

Ejemplos de 3.4.9

2

x

~ X+ l 2

4-,¡3xys ~2\í 3xy3 ~ 2 ¡

?^ 7 1 (4xy- 1 ). 2 x 2

1 ,"--4-2

4. 2 '

y

4 =

J". ^ JO. Potenciación de radicales (radical elevado a una constante) En este caso, se eleva a la potencia cada uno de los valores que se encuentra fuera y dentro del subradical. (a"fb)m=an"!lrb"

Ejemplos de 3.4.10 1. (a"fb)m = {ab/n)"' = a"'^^ = a"'"

2. (5 / 2 x ) 2 = [ ^ ] 3. [2\/2?)0] 4. (*./8i')2=

H 4

/(8P

5. (4fV9?7) 3 = 4 3

= I92xy2 -Jx

H




123

3.4.11. Radicación de radicales La raíz de una raíz se resuelve mediante el producto de los índices de cada una, mismo que se convierte en el nuevo índice de la segunda raíz.

Ejemplos de 3.4.11 1. W729 = V729 = 3 2. iNaîa

B

B

3. JV4a1 = $J4a2 = WJa 4. AA/T0~24 = ^ T 0 2 4 = 2

B B

5. V6V6 = Â7(62)(6) = V6 J = -y6

B

3.4.12. Racionalización del denominador cuando es un monomio La racionalización consiste en eliminar los radicales de una fracción, ya sea que éstos se encuentren en el numerador o en el denominador. Si la fracción tiene un monomio con un radical en el denominador, para racionalizarla se multiplican tanto el numerador como el denominador por el radical que desea eliminarse.

Ejemplos de 3.4.12 2

8JC

( Sx \( /2x)&x/2x 72x)W2x) llx '



124

Álgebra básica

6 _( 6 VV3?1_

6V3?

36* _ 36*

V2?

V2p

J. ^. 7J. Racionalización del denominador de una fracción cuando es un binomio con raíces cuadradas Se multiplica el denominador y el numerador de la fracción por el conjugado(1) del denominador.

Ejemplos de 3.4.13

2 + 5V2

a

En general, el conjugado de (a+ b) es {a- b\ y (a+ b) es el conjugado de (a- b)\ así, el conjugado de (2 + 5 V2) es (2 - 5 V2). 2-V2 )(2-5-J2) 4-12V2 + 10 14-12-/2 + 575A2-575; 2 2 -(575) 2 4-125 2.

12 75-72

14-12-72 121

„

El conjugado de (75 - 72) es (75 + 72) 12

V-75 + 72^

12(75 + 72) 2

75-72AV5 + 72J (75) -(72)

2

12(75 + 72) 12(75 + 72)

5-2

(1)

E1 conjugado es una expresión que sólo difiere en un signo.




D.

zz

125

zn r&»\

El conjugado de (/JC - V3) es ( VJC + v.3) (

J C - 3 \( VJC + V S I

(JC - 3)(VJC + V3) _ (JC - 3)(VJC + V3) _

U x - V3JI-VJC + '/3j~ T / ^ M V S ) 1 " ~

(JC —3)

,-

~ VX + "

Ejercicios de 3.4 Expresar con signo delYadical l.xy^

R. x . x / y

2. ¿ ^

R.

3. 8 ^ ¿ ^ c ^ 5

R.

Expresar con exponente fraccionario 4. 2 V ?

R. 2a^

5. ",/P' 5/74

R. jc^y'

6.5fl5/PvV

R.

7. 3^/a7

R. 3

5

/¿ ?

Simplificar el subradical 8. /49x3y7

R.

9. 3/25O~¿3¿8

R.

10. ~-/125iwn8

R. 3« 3 -/5m



Álgebra básica

126

Introducir la cantidad dentro del radical 11. 3-76

R. V54

12.

R. V75P7

13. 1/1

R. Vi-a 2

(I-a)J—/ v J_ 1 \

R.

Reducir los radicales semejantes 15. 8-75-10-75

R. -2-/5

16. ^3/2-iV2 4 2 3 17. V8--78 5 Reducir los radicales al menor índice

R.-V2 4 R.- 2 V8

18. 3/4, V5

R.VI6, S/

19. W Z ? , V 3 ? / ^

R.

20. 3Va, 2 V25, 4V5?

R. 3 ^ ? , 2 l

Sumar los radicales 21. v

R. 2-77--73

22. 3-780-4-7320-5-/800+7-7450

R. 5-72-2075

Multiplicar los radicales R. V6 I

24. (8-712) (3-/T5)

R. 720




25. (4}J9a2b)(&!3ab2)

R. 96<2¿>

26. (2 /35)( /14)(3 /6)

R. 84 T5

Yll

Elevar los radicales a una potencia 27. (6 /2)2

R. 72

28. (2 ¡lf

R. 28

29. (2V8P)2

R. %X'í2x

30. (4V9aV) 3

R. 192 ab2-.ía

Radicación de radicales 31 ••f^^x2

R. 3/A:

32. 4 ///Sl

R. /3

33. 3 /278

R. 6 /2 5

~Ji.

~\; ' \ / ^

/ Ci-

V

R. 4 /3ay

Racionalizar el denominador

35. -A. 5>V3a

R.

3

5a

'9a 2

R. 2 + V3

36. 4 - /3 37. ^ 3 v 3 2V2+ /5

_ 19-7/10 R. 3



12 8

Álgebra básica 3.5. POLINOMIOS

3.5.1. Suma de monomios En álgebra, la suma significa aumento o disminución, mientras que en aritmética significa solamente aumento. Para sumar dos o más expresiones algebraicas se debe escribir una a continuación de la otra, con sus respectivos signos, y reducir los términos semejantes si los hay. Son términossemejantes'los que tienen factores literales idénticos, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes: 3abc, %abc, -lOeba. Son términos no semejanteslos que no tienen factores literales idénticos (por lo menos uno difiere en los exponentes): 5abe, \0abx, -%abe, 4dab. Sumar a y +bes igual a (a + b). Sumar a y-bes igual a (a - b), que significa restar de a el valor absoluto de -b (que es \b\). Sumar -a y —b es igual a {-a - b), que implica restar de a el valor absoluto de -¿(que es \b\).

Ejemplos de 3.5.1 1. Sumar 3a, 6a, 8b H 3a+6a+8b=9a+$b 2. Sumar 5xy, -3 a 5xy- 3a 3. Sumar lx, 4a, \5x, 9a, -4 H 7x+4a+ \5x+9a-4 = 22x+ \3a-4 4. Sumar 7x^\ Sy2/\ 3x^\ 4y2/\ 2z 3 H lxA

+ 8 > ^ + 3X% + 4y% + 2Z3 % + 2z>




129

3.5.2. Suma de polinomios Para sumar polinomios se acostumbra colocar uno debajo del otro (o de los otros), para que todos los términos semejantes queden en una sola columna y se procede a hacer la operación con éstos.

Ejemplos de 3.5.2 1. Sumar 5a- 6b y -2a + 4b

B

Solución: 5a-6b -2a + 4b 3a -2b 2. Sum
n H

Solución: 1 , 1 -• JC" +

xy

2 y 1 1 4 4 1 o 3 1. x + xy+ y 2 4 4

2



130

Álgebra básica

v

y

5. Sumar 5a/2-6b/4

y

y

y -2a/2 + 3b/4

Solución: 1

-2c /

Otra forma de sumar los polinomios es mediante el uso de la ley distributiva de la multiplicación.

3.5.3. Ley distributiva de la multiplicación Si a, b, ce 9? a{a + b) = ab + ac a{b - c) = a[b + (-c)] = ab+ a(~c) = ab- ac -a(b + c) = -a(b) + (-a)(c) = -ab - ac -a(b - c) = (-#)(¿) - (-#)(¿0 = -ab + ¿rc

Ejemplos de 3.5.3 1. S u m a r é Solución:

2. Sumar-2¿ + 3¿?+2^y4¿+8¿7-6^

H

Solución: 2c) + (4¿+ 8¿7- 6^) = -2b + 3a + 2c + 4b + %a- 6c = (3ÚT + 8/ar) + (-2¿ + 4¿) + (2c - 6c) - (3 + 8)¿7+ (-2 + 4)¿ + (2 - 6)^




131

3. Sumar 2x2 + 2y2; 8x2-Ay2; -9y2 - 6x2 Solución: (2x2 + 2y2) + (Sx2 - Ay2) + (-9y2 - 6x2) = 2x2 + 2y2 + Sx2 - Ay2 - 9y2 - 6x2 = (2x2 + Sx2 - 6x2) + (2y2 - Ay2 - 9y2) = (2 + 8 - 6)x2+ (2 - 4 - 9)y2 = Ax2-lly2 A. Sumar - x 2 + -xy; -xy + -y2 2 3y 2 3

H

Solución: 1 2 1 | fl 1 21 1 2 1 1 12 -x +- xy \+\ -xy + -y \=-x +-xy + -xy + -y 2 3 ) \2 3 ) 2 3 2 3 1 2

1 2 (l

2

3

1

= -x2 + -y +\ - + 1

2

U 3

1 2

5

= - * + -y 2 3 /

/

/

/

+~xy 6 /

5. Sumar - 2b/4 + 3a/2 + 2c'4; 4b/4 + Sa/2 -6c/4

7

H

Solución: (-2b74 + 3a72 +2c74) + (W4 + $a'2

-6c'4)

= (-2 + 4)¿^ + (3 + 8)a-í/2 + (2 -

3.5.4. Sustracción de monomios En álgebra, la sustracción o resta significa el aumento o disminución, mientras que en aritmética significa disminución.



132

Álgebra básica

La operación de restar b de a significa que a es el minuendo que deseamos restar de b (sustraendo) y se simboliza como a - b; esto es lo mismo que a+ (-b), en donde para restar b de a sumamos el inverso aditivo (o negativo) de b al número a.

Ejemplos de 3.5.4 1. De (-5) restar 9 (-5) - (+9) = -5 - 9 = -14 2. Restar 3¿?de 8¿7 - (3¿?) = %a- 3a = (8 - 3)a =

3. Restar (-5 a) de 9 a (9a) - (-5a) = 9a+5a=(9 + 5)a = 14a 4. Restar (4a) de (-7a) (-la) - (4a) = -la-4a=

(-7 -

4)a=-Ua

5. Restar (-2a) de (-6a) (-6a) - (-2a) = -6a +2a= (-6 + 2)a = -4a

3.5.5. Sustracción de un polinomio Se escribe el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo, de manera que todos los términos semejantes queden en la misma columna y se procede a hacer la operación de éstos.

Ejemplos de 3.5.5 1. De 2a- 3b restar -a+2b

B

Solución: 2a-3b 3a-5b




133

2. D Solución: %ab-2c -4ab + 5c- 4 4ab + 3c-4 3. De 2x 2 -3x restar - 5 ^ 2 + 6x

B

Solución: 2x2 - 3x 5x2 - 6x Ix2-9x 4. De-;r 3 -;r 2 + 6restar5.r 2 -3.r+2

B

Solución: -x3-x2 + 6 -5x2 - 2 + 3x Ordenando el polinomio se tiene: -x3 - óx2-^5. De 2al//4-3b^2 restar -a^+b^2

B

Solución:

Otra forma de realizar la sustracción de los polinomios es utilizando el inverso aditivo, el cual se obtiene sumando los inversos aditivos de todos los términos del polinomio. 6. De 6x - ly restar 2x - 4y



134

Álgebra básica

Solución: (6x- ly) - (2x-4y) = 6x- ly- 2x+4y = (6x- 2x) + {-ly + 4y) = 4x-3y 7. D Solución: (8¿7+ 6 ¿ - 2) - (2¿/- 3¿+ 8) = 8 ^ + 6 ^ - 2 - 2a+3ó- 8 = (Sa-2a) + {6b + 3b) + (-2 - 8)

8. De9xy-2ty+3rGSter6xy+2z-4

H

Solución: (9xy- 2y+ 3) - {6xy+2z-4) = 9xy- 2y+ 3 - 6xy- 2z+ 4 = (9xy- 6xy) - 2y- 2z+ 7 = (9-6)xy-2y-2z+l = 3xy-2y-2z+l 9. De %x%-ly% restar 2x^-4y^ 4

B

Solución: (Sx^ -ly3/4)-(2x2/3

-4y3/4)

= Sx2/3 -ly3/4

-2x%

3/

+ 4y3/4) 2/

=

3/

6x/3-3yÁ

3.5.6. Multiplicación La rnuliiplicación en aritmética y álgebra significa que, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, se encuentra una tercera cantidad conocida como producto. Al multiplicando y multiplicador se les llama también factores del producto.




1. 2. 3. 4.

Las siguientes son leyes de multiplicación: Ley conmutativa: Ley asociativa: Ley distributiva: Multiplicación de cantidades con signo:

135

ab = ba a(bc) = (ab)c a(¿ + c) = (b + c)a = ab + ac (+á)(+b) = +ab

{-a){-b) = +ab Los símbolos de agrupación son los paréntesis ( ) , las llaves { } y el paréntesis rectangular o corchete [ ]; se emplean para manejar las cantidades encerradas dentro de ellos (como una sola cantidad) de una manera más sencilla, cuando hay necesidad de realizar más de una operación.

Ejemplos de 3. S. 6 1.

2x-4{x+y) Solución:

= -2x-4y 2. 2xSolución: = 2x- (2y+4x) + 3(x= 2x- 2y- 4x+ 3x- ISy = x-20y 3. 3x+2[2y-3(3x-5y)]

H

Solución: = 3x+2[2y-9x+\5y] = 3x+2[l7y-9x] = 3x+34y= -\5x+34y



13 6

Algebra

básica

4. 6x- {2^+2[3 Solución: = 6x- {2y+2[3-x- y + lftr+2]} = 6x- {2y + 6 - 2x= -12r-10 5. 2A/ 2 Solución: _ ( V /2 y/2 I , /73 = 2x•/Il//l-9(x + y 3 >) A

=

2x/2-9x/2-9y% 1/

=

2/

-lx/2-9yA

J. 5.7. Multiplicación de monomios Se multiplican los coeficientes y a continuación se escriben los factores en orden alfabético, colocándole a cada uno su exponente, que se obtiene de la suma de los exponentes de cada uno de los factores.

Ejemplos de 3.5.7 1. 2^ 2 por-3x

H

Solución:

2.

a2Ppor3a2¿?x

Solución: = 3a2+2b3+lx = 3aAbAx




137

3. -4a2 por - 5 ab2c Solución: (-4a2)(-5a¿>2c) = +20a2+lb2c = 20a3b2c 4. -x2y7>zpov4yAz2

B

Solución: 2 3+4 l+2

( - J 2 / Z ) ( 4 / V ) = -4x y

z

2 1 l

=

-4x y z

5. 3¿r"+4¿*+1 por -4an+2b-"+3

H

Solución:

r

3

7

2

2

6. — JC y por — x y 7 4

,

Solución: ( 3 2 V 7 2 — x yy \\—xy

{ 7

){ 4

3)

21 2+2 1 \=—x y

) 28

21 4 4 = —* y 28 7. ¿ A ^ 2 por Solución:



138

Álgebra básica 3.5.8. Monomio por polinomio

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplos de 3.5.8 1. 3x 2 -4r+9por4.r 2 B Solución: (3x2- 4r + 9)(4r2) = 3*2(4r2) - 4;r(4r2) + 9(4r2) Otra forma de resolver el ejercicio es: 3x2 -Ax+9 4x2 \2xA-\6x3 + 36x2

Multiplicando Multiplicador Producto o resultado

2. Sx^-Sj^porlaxy

B

Solución: (%x2y- %y2\2axy) = %x2y{2axy) - %y\2axy) = I6ax3y2 - lóaxy3 Empleando la otra forma: %x2y-%y2 2axy \6ax3y2- \6axy3


-3aV 4

Solución:

(3a-5b-8c{-3< a2b2)=

J 3 \

:

4 15

2 3

24 2,2




139

4.

Solución: x^5 -2x2 + 4x^6 - óx^5 5. 3xl/l-4x'/4


+ 9 por

Solución:

3.5.9. Multiplicación de dos polinomios Se multiplican todos los términos del primer polinomio (multiplicando) por cada uno de los términos del segundo polinomio (multiplicador).

Ejemplos de 3.5.9 1. Multiplicar (x - 3) por (4 + x)

H

Solución: Los factores se ordenan con respecto x-3 4 +x x(x) — 3x + 4x - 3(4) x2 + x - 12

a cada literal Multiplicando Multiplicador

Producto o resultado

Otra forma de solucionarlo:

(x- 3)(x + 4) = x(x) + 4(x) -3(x)~ 3(4)



140

Álgebra básica

2. 8x Solución:

5x-2y (5x)(Sx)-3y(5x) -2y{%x)-3y{-2y)

Multiplicando Multiplicador

Entonces:

Sx-3y 5x-2y 40x 2 - \5xy - \6xy+6y2 40x2-3lxy+6y2

Producto o resultado

Otra forma de solución es:

(8x- 3y)(-2y+ 5x) = %x(-2y) + 8x(5x) - 3y(-2y) - 3y(5x) = -\6xy + 40x2+ 6y2- I5xy = 40x2+6y2-l6xy-l5xy = 40x2+6y2-3lxy 3. x 3 + 2 x 2 - x p o r x 2 - 2 ^ - + 5 H Solución:

(x3 + 2x2 - x)(x2 - 2x + 5) = x\x2) + x\-2x) + x\5) + 2x\x2) 2x2(5)-x(x2)-x(-2x)-x(5) = x5-2x4+ 5x3 + 2x 4 -4r 3 + \0x2-x3+ 2x2- 5x = x5-2x4+2x4+ 5x3-4x%-x*+ \Qx2 + 2x2- 5x = xs+\2x2-5x 4. 8x^2-3y^4 por -2y^ + 5x^2 H Solución:




= 40x + ó / 4 -

2 /4

y

141

-

3.5.10. División La división consiste en obtener el cociente de dos términos alb. Al primero (a) se le llama dividiendo y al segundo (b) divisor. Dividendo Divisor = Cociente ab

Dividendo -s- divisor = cociente ab-^b — a

=a

3.5.11. Propiedades de la división Si a, b, c, ¿/e Z,(2) todos los denominadores de las fracciones deben ser diferentes a cero. 1.

a

no está definida cuando b - 0

b

u.!=o ¿7

1.2. - no es un número

1.3. - es indeterminado 0

a_ac b'bc

(2)

Números enteros Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}



142

Álgebra básica

a +b a b ce

<• i acJaVd

3.5.12. División de monomios Primero se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor, después se escriben las letras en orden alfabético con su respectivo exponente, que se obtiene de la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor.

Ejemplos de 3.5.12 7

1. a- = a1-5 = a2

H

2. *a--2b- = -2a b

3. ilOflW -5ab c

=

(a-1) 3

5 Z<£±2)! = O + 2) 7

J

L_

=

(x + 2)7""3

(x + 2)4

H

m+3

6.

a

_ m + 3-(m+l) _ m + 3-m-l _ 2 r —d — U, —U m+l

6xy 2 J L

J

3

B




8

(2aVe 3 ) 3 _ 23a6b6c9 _ 8 a V

- l3a¥cf~¥aJbs?''~9yr

9. —Y/—i/ — &

b

143

B

—aib

H

J. J. 13. División de un polinomio por un monomio Cada uno de los términos del polinomio se dividen entre el monomio.

Ejemplos de 3.5.13 Dividir y simplificar los siguientes polinomios 12a 3 -6a 2 + 24a Solución: 6a

12a3 6a 2 6a 6a

1

24a 6a

_

2

= 2a •

3a Solución: 3a - bf - a(3y + b) j.

3a3 1 8 a ¿ 2 7 a V + = 3a 3a 3a

^ . . a2 - 6ab + 9ab| 4

n

Solución: b)2 (3y + b)

a(3y + b) (3y



144

Álgebra básica

Í2axbm + Sax+¡bm'[-4ax+2b'"-2

p

Solución:

l 3

- b-4-4er2bm-5

+ 2a*-1bm-6

5. Solución: 2

T

X

X

3

= x -2x2-2x2-5x = x3-4x2-5x

6¿

Solución: y

Á

6a

^ 6aÁ

T— = 2a

A

/4 / 2

- a/2 /2b + 4a/2/2b/2

6a

Definición: El grado de un polinomio con respecto a una literal es el exponente mayor de esta literal presente en el polinomio.




145

3.5.14. División de dospolinomios Para dividir dos polinomios se realizan los siguientes pasos: 1. Ordenar ambos polinomios en relación con una misma letra, en orden decreciente de potencias. 2. Dividir el primer término del dividiendo entre el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente. 3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor, el producto obtenido se resta término a término del polinomio original (dividendo); para hacerlo, al producto obtenido se le cambian los signos y se escribe cada término debajo de su semejante. 4. La diferencia obtenida es el nuevo dividendo; se divide el primer término del nuevo dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo cociente; se repiten los pasos anteriores hasta obtener el residuo igual a cero o de grado menor al dividendo.

Ejemplos de 3.5.14 1. Dividir 3y2 +2y-8 entre y + 2 Solución: Paso 1

y +2

Paso 2

y + 2)3y2^ h2y-8

Paso 3

3y y + 2) 3yl + 2y-S

Paso 4

- 3 / -6y 0 -4y-8 -4 y + 2) 3y2 + 2y-8 '-6y 0 -4y-8 0

0



146

Álgebra básica

2. Dividir -x2 + x4+4 entre x-l Solución: Paso 1

H

x4-x2 + 4 x-l r3

Paso 2

* - l ) * 4 - -x¿ + <

Paso 3

x-l)

x 4 - J C 2 - h4 3

— x'»+x 0 + x 3 - -x2 + 4

Paso 4

x-l)

* 3 + jt 2 x 4 - * 2 - (-4 —X

4 ,

3

0 +x 3 - -* 2 + 4 -X3+

0

0 +4

3. Dividir 6 / + 10^+ 12^+ 1 + ly> entre 2 ^ + ^ + 4

H

Solución: Paso 1

, ^

Paso 2

2y2 + y + 4 ) 6 / + 7y3 + I2y2 + lOy +1

Paso 3

2 / + y+ 4 ) 6 / + Ty^

2y2

- 6 y 4 - 3y 3 -l2y 2 0

+l0y




147

-1

Paso 4

4)6/ + 7/ + 12y2 + 10y + l 2 - 6 / - 3 / -12y

+ 0 + 10y + l

0 -4y

3

- 8y

0 - 2 y 2 + 2y + l + y+4

0

3y + 5

4. Dividir 6a3 -11 a1+16 entre 3a - 4 H Solución: Paso 1

6a 3 -17a 2 + 16

3a-4 la2

Paso 2

3a-4)6a 3 -17a 2 + 16 7.a2

Paso 3

3a-4)6a 3 -17a 2 + 16 -6a 3 + 8a2 0

Paso 4

- 9a 2 + 16

2n23 -3a

3a - 4)6a -17a2

-4

-6a 3 +8a2 0 -9a 2 +9a 2 -12a 0 -12a + 16 + 12a-16 0 0



148

Álgebra básica

5. Dividir 2x4 + Ox3y - 13x2y2 + 14xy2 - 3y4 entre * 2 + 2xy - 3y2

2

H

2*2 -4xy + y' + 2xy- 3y 2 ) 2* 4 - 1 3 x 2y 2 + 14xy3 - 3 / ' + 6* 2 !

+ 14xy ' - 3 /

J

+ 2xy3 - 3 y 4

2

-2^y 3

+ 4x1\ + %x-x'

•y

O

O

Ejercicios de 3.5 Sumar los monomios y polinomios

1 2 3 2 3 4 2. -8Â-5tf¿ 2 ;-* 2 ¿-lltf¿ 2 ;-7¿ 3 1. -x + -y; — x

3.

2

1 ,

1 ,

1 2

a +-aí>; —ab+-a 4 2 4 4. — ;c2 + - x 3 — x ; x4 -x2 + 5; 5

6

X

X

2 1 3 4 R. - 9 ^ 2 ¿ - 6 ^ 2 - 7 ¿ 3

R. -y — x

3 2

1 , 4

R. -a 2 --ab

4

3 ~8 ~ Restar los monomios y polinomios

R. - x 4 + - x 5

2

5. De -Aab2 restar - ó ^ 2 6. De 2« - 3b restar - # + 2b 7. T>exi-9x+6y1- 19

R. 2tf¿ 2 R. 3a-5b

2 2 2 8. De a restar —a —ab + -b

R.

restar -1 \x2 + 2 Ix - 43 + 6x3 2

4

3

5

R. -5x2

4a

—A: — J C + 2

8

-Ux1-3Qx+6y1+24 3a ~5

r , T ^ 5 2 3 2 5 1 2 3 ^ 5 2 5 9. De -JC - - y restar -xy-\—y R.-JC —xy 9 8 7 10 11 9 7

19

3 2 y H— 40 11




149

Multiplicar los monomios 10. —%a2b3 por -9a2bx4 11. -xm+lya+2 por 4xm-3ya~5z2

R. 72* 4 ¿ 4 .r 4 R.

12. -jt 2 y 3 Fpor 3

R.

-~a2x4y 5

- 2 a 2 xV

Multiplicar el monomio por el polinomio 13. x3 - 4x2y + 6xy2 por ax3y 14. -3x3 + 5x2y- Ixy2 - 4y3 por 5¿72x^2

R. axey - 4ax5y2 + 6¿zr4^3 R. \5a2x4y2 + 25¿7V^ 3 — 20¿7 2 ^ 5 R. 4^r3^ + 2xy - 6x2y - Sy

Dividir los polinomios y simplificar a n

R.

4

36a1 V ' -\2aAb* 9 9

R. 3a6b

R.

15m n x

\ 5

R. +64r 6

19. ^ ^

20. ^

1 a

^

R. - ^ 4

-2x

R. — x +-•) 2 2

21.

22. "^L^L ° ~" ° a3b -2.x 2

R.

a^hâ^b-^-a^b-^

x



150

04

Algebra básica

9(x-a) 2 + 3(^:-a)2 3(x-a)

R

25. 18a4-6a^ + 1 2 a 2 _ 2 a ( 3 a _ 2 )

R

3¿T

26. — — 3 * +J* 1

R

4 j r 2_ 9 ; r + 1 2

Residuo = 0

Residuo = 5 28. ^ - ^ a b ~

R. ¿ 7 5 + ^ ¿ ¿ 7 Residuo = 0

3.6. APLICACIONES

Entre las muchas expresiones algebraicas en economía podemos mencionar las siguientes: 1. El consumo. En economía, el consumo depende del ingreso, y en su forma más simple, la ecuación de consumo se representa mediante la fórmula:

C=a+bV en donde C= consumo Y- ingreso a - consumo autónomo b - propensión marginal al consumo 2. La expresión

representa el valor obtenido al acumular un capital dado P, a una tasa de interés i, durante cierta cantidad de años /.




151

3. La expresión algebraica

representa la producción obtenida con Ky L, insumos de capital y de mano de obra, respectivamente. Se dice que hay rendimientos a escala constantes si cuando se incrementan todos los insumos en determinada proporción, la producción aumenta en el mismo porcentaje. Si la producción aumenta, hay rendimientos crecientes a escala; y si el crecimiento es menor que determinada proporción, entonces hay rendimientos decrecientes a escala. Los rendimientos se pueden obtener de la suma de los exponentes. Si a + /?= 1, se tienen rendimientos a escala constantes. Si a + /?> 1, se tienen rendimientos a escala crecientes. Si a + p < 1, se tienen rendimientos a escala decrecientes. Por ejemplo, en la expresión:

a=0.6 /?=0.8 como a + j 8 = 1 . 4 > l s e tiene rendimientos a escala crecientes. Pero si la expresión es

320Jf02l05

a=0.2 £=0.5 a + {}= 0.7 < 1 se tiene rendimientos a escala decrecientes.



Algebra básica

152

3.7. MANEJO DE POLINOMIOS CON MATHEMATICA

Las operaciones que tiene disponibles el paquete Mathematica para manipular las expresiones algebraicas son las siguientes:

Operaciones estructurales en polinomios Nombre Expand[polinomio] Factor[polinomio] Simplify [polinomio] Together[polinomio] Apart[polinomio] Cancel[polinomio] FactorTerms[polinomio] Collectfpolinomio, x] Collect[polinomio, {x, y,...}] PowerExpandfexpresión]

Operación Efectúa los productos y potencias indicados. Realiza factorización completa. Simplifica a la menor expresión. Escribe los términos con común denominador. Separa en términos con denominador simple. Simplifica expresión fraccionaria. Obtiene los factores comunes. Acomoda el polinomio de acuerdo con la suma de potencias de x. Acomoda el polinomio de acuerdo con la suma de potencias de x, y, ... Desarrolla expresiones de la forma {ab)c y (ab)c.

Ejemplos (véase imagen 3.1) (2 + 4 x A 2 ) A 2 ( x - l ) A 3 Out[l]=(-l+x3)(2

(Polinomio en una variable.)

In[2]:= t = Expand[%] (Lo presenta en términos simples.) Out[2]= - 4 +12x - 28x2 + 52x3 - 64x4 + 64x5 - 48x6 + 16x7 In[3]:=Factor[t] Out[3]= 4(-l + x)3(l + 2 x2)2

(Lo factoriza completamente.)

In[4]:= FactorTerms[t] (Calcula el factor numérico común.) Out[4]= 4(-l + 3x - 7x2 + 13x3 - 16x4 + 16x5 - 12x6 + 4x7) Cuando el polinomio contiene varias variables puede acomodarse de diversas maneras, eligiendo la variable dominante.




153

In[5]:=Expand[(l+3x + y)3] Out[5]= 1 + 9x + 27x2 + 27x3 + 3y + 18xy + 27x2y + 3y2 + 9xy2 + y3 In[6]:= Collect[%, x] (Lo acomoda eligiendo x como dominante.) Out[6]= 1 + 27x3 + 3y + 3y2 + y3 + x2 (27 + 27y) + x(9 + 18y + 9y2) In[7]:= Collect[Expand[(l + x + 2y + 3z)A3], {x, y}] (Desarrolla y lo acomoda eligiendo x y después y como dominantes.) Out[7]= 1 + x3 + 8y3 + 9z + 27z2 + 27z3 + x2(3 + 6y + 9z) + y2(12 + 36z) + y(6 + 36z + 54z2 + x(3 + 12y2 + 18z + 27z2 + y(12 + 36z)) IMAGEN 3 . 1

31 3

Out[1]- (-1

!

inp]- Factor[%] Outp]" 4 (-1 + x) J ( U 2 x V ln[41 = FactorTermltJ 0^(4]= 4 ( - 1 * 3 x - 7 x

l

4

7

- 1 3 x * - 16 x * 16 x* - 12 x* * 4 x )

Out[6]* 1 + 9 x + 27 x x + 2 7 x* + 3 y + 18 x y + 27 x 1 y + 3 y 1 + 9 x y* + y3 ln[61 - C o l l C C t [%, X] Out[6)« l + 2 7 x ) + 3 y + 3 y 1 4 - y ' t x ' ( 2 7 + 2 7 y ) + x (9 + 18 y -t- 9 y* ) m[7)- C o l X e c t : [ Z : 3 v a L J M t [ ( l + X 4 . 2 y + 3 z ) » 3 ] ,

1

x (3 • 12 y* * 18 z + 27 z + y (12

I

{x, y}]

+36i))

Respecto a la estructura de los polinomios, existen las siguientes funciones:

Estructura de un polinomio Nombre PolynomialQ[expr, x] PolynomialQ[expr, {Xj, x2> ' " ) J Variables[polinomio] Length[polinomio] Exponent[polinomio, x] Coefficient[pol, expr,] Coefficient[pol, expr, n] Coefficient[pol, expr, 0] CoefficientList[pol, {x,, x„ -}]

Operación Demuestra si la expresión es polimonio en x. Prueba si la expresión es polinomio en xr Enlista las variables en el polinomio. Muestra el número de términos. Indica el máximo exponente de x. Señala el coeficiente de la expresión. Indica el coeficiente de la expresión a la n. Da el término independiente de la expresión. Ordena los coeficientes de x. en el polinomio.



154

Álgebra básica

Ejemplos In[22]:= t = Expand[(l + x)A3 (1 - y - x)A2] Out[22]= 1 + x - 2x2 - 2x3 + x4 + x5 - 2y - 4xy + 4x3y + 2x4y + y2 3xy2 + 3x2y2 + x3y2 In[23]:= PolynomialQ[t,x] Out[23]= True

(Es verdad que /es un polinomio en x.)

In[24]:= PolynomialQfx + Sin[x], x] Out[24]= False

(No es verdad que x + Sin\x\ es un polinomio e n x )

In[25]:=Variable[t] Out[25]= {x, y}

(Enlista las variables en /.)

In[26]:=Length[t] Out[26]= 14 In[27]:=Exponent[t,x] Out[27]= 5

(Muestra el número de términos.)

(Indica el mayor exponente de x en /.)

In[28]:= Coefficient[t, xA2] Out[28]= -2 + 3y2

(Da el coeficiente total de jr2 en /.)

Para solicitar el coeficiente de x2 se usa también: Coefficientft, x, 2J. Así, Coefficientft, x, ¿y proporciona el coeficiente de x° en t, esto es: 1 - 2y+y2. In[29]:= CoefficientList[l + 3xA2 + 4xA4, x] Out[29]={l,0,3,0,4}

(Enlista los coeficientes.)

In[30]:= CoefficientList[t, {x, y}]

(Ordena los coeficientes de cada potencia de cada variable.) Out[30]= {{1, - 2 , 1}, {1, - 4 , 3}, {-2, 0, 3}, {-2, 4, 1}, {1, 2, 0}, {1, 0, 0}}

Si el polinomio es /= 1 + x- 2x2 - 2x3 + x4 + x5-2y- 4xy + 4.r3^ + 2xAy+y2 + 3xy2 + 3x2y2 + .r3^2, entonces el primer subconjunto corresponde a los coeficientes de los términos con x°, que son: término independiente, término en^; término en y2; el siguiente subconjunto son los coeficientes de los términos enx, en xy y en xy2:




155

a continuación aparecen los coeficientes de los términos en x2, x2y y x2 y1, y así sucesivamente. Las siguientes instrucciones corresponden a operaciones entre polinomios ordinarios, con exponentes enteros y coeficientes racionales:

Operaciones entre polinomios Instrucción PolynomialQuotientfpol!, pol2, x] PolynominalRemainder[pol,, pol2, x] PolynominalGCDtpolj, pol2](3) PolynominalLCMIjpol!, polj

Operación Da el cociente de dividir pol^/pol^jc). Proporciona el residuo de dividir pol^/pol^*). Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo.

Otra instrucción útil en el caso de polinomios es la que permite evaluar el polinomio en un valor dado para la variable. Esta operación se logra con "Expresión I. x-> valor". Por ejemplo: In[21]:=l+x + x A 2 / . x - > 3 Out[21]= 13 También puede utilizarse para lograr la composición de funciones. Si/Xr) = 3 + l&x- 5x2 pQrox = g(y) = 4y-35, entonces/j^(^)) puede obtenerse con las instrucciones: In[22]:= 3 + 18x - 5xA2.x - >4y - 35 Out[22]= 3 + 18(4y - 35) - 5(4y - 35)A2 Otro ejemplo con dos variables In[23]:= (x + y) (x - y)A2 /.{x - > 3, y - > 1 - z} Out[23]= (4 - z) (2 + z)2 La instrucción PolynomialQuotient proporciona el resultado de la división de dos polinomios y PolynomialRemainder devuelve el residuo. El máximo común divisor de varios polinomios se obtiene a partir de PolynomialGCD y el mínimo común múltiplo con PolynomialLCM.

(3)

Pueden incluirse más de dos polinomios.



Álgebra básica

156

Ejercicios del capítulo 3 resueltos con Mathematica IMAGEN 3.2a in(4i].= E x p a n d [ ( 4 a b

A

3 )

A

2]

"\

Outj4i]= 16 a* b*

]1

h[42j« Expand[(-2a A 2b A 4) A 2] Out[42]= 4 a 4 b *

ln[43]= Expand[(-3x A 2b A 3) A 3] O.jt¡43]= - 2 7 b ' x S

"

3.1.1. Ejercicios del 1 al 5

11 ]J ]1

in[44].= ExpaiUt[(-4x/(3a A 2» A 3]

]JJ

64x J

ln[46]= E x p a n d [ ( - 5 y A 2 / ( 7 x A 3 ) ) A 2 ] Outf45)=

25 y*

49 x* A

]

J A

tn[46) = 2 2 ir 2 3

3.2.1. Ejercicio 1

ii

0ut(46!= 32 ln(47] = - 2 A 4 * - 2 A 2

3.2.1. Ejercicio 3

Out(47]= 64

i

*

W

3.2.1. Ejercicio 4 "«É

i

; l

IMAGEN 3.2b 0utf48}= X7 mpo]- ( x y ) A 3 * ( x y ) A 2

3.2.1. Ejercicio 5

Out[50]= X 5 y 5

mpi]- ( ( x y ) A 2 ) A 3

3

3.2.2. Ejercicio 4

Out[51]= x ' y * ir>[52J« ( - 3 a b ) A 4

3.2.3. Ejercicio 3

0ut[52]= 81 a* b*

3i

mp3]« (4xy/(3ab)) A 5

3.2.4. Ejercicio 4

y

1024 x s y 5 OUtf531

1

2 4 3 a5 b 5

;n[«].= 16x A 4/ (tx)

•

^1

Out{55]= 2X 5

>-

mpe]- 7 x A 2 / (343 x A 4 )

3.2.5. Ejercicios 1 y 5

i i

]

49 x*

•
1




157

IMAGEN 3.2c

xl 3.3.2. Ejercicio 4

í

J

3.3.2. Ejercicio 5 Out[59]=

ln|í>0]:= 8 A ( 1 / 3 )

3.4.1. Ejercicio 4

Out(BO]> 2 Ir,[61):= X A ( 3 / 4 )

3.4.1. Ejercicio 10

Out[61]= X J / * in[82]= ( S g r t [ W 8 a A 5 b A 7 ] ) * ( l / 2 )

3.4.3. Ejercicio 2

]

Out[82]= 3 < / ¥ V a 5 b T ln(65]~ 3Sqrt[7] - 4Sqrt[7]

3.4.5. Ejercicio 3

Out[65]= - \ T 7 !n[66]:= 5 a ( 5

A

(l/3))

-8a(5

A

(l/3))

3.4.5. Ejercicio 4

Out[66]= - 3 5 1 ' 3 a

] i

]

IMAGEN 3.2d Outp"1]= - 2 V 5 - 3 V ?

1L

lr.[75]:= ( 3 / « ) ir ( 3 a A 2) A ( 1 / 3 ) * 8 * ( 3 a bA 2 )A ( 1 / 3)

3.4.8. Ejercicio 3

11

Otro- 9 (a 1 ) 1 ^ ( a b V 5 ln[76]:= ( 3 / 7 ) ( 4 a ) OutiTei- i

3

1 / 3

a

1

A

(l/3) 1

" x '

ln[77]:- 5 ( 2 a ) A ( l / 3 )

*( 5 / í ) (6x)

A

(l/3)

3.4.8. Ejercicio 4

3

(4aA2)A(l/3)

3.4.8. Ejercicio 6

Out{77]= 1 0 a 1 / 3 ( a 1 ) 1 ' * Inp5]:« 2 S q r t [ 4 8 x A 3 y ] / (4 Sqrt[3 x y A 3 ] )

in(90]:= (Sqrt[72>]) A (l/3)

3.4.9. Ejercicio 3

3.4.11. Ejercicio 1

Out[90]= 3 mpi]:- Sqrt[(4a A 2) A (l/3)]

3.4.11. Ejercicio 3

Outpij- 2 1 / : > ( a 1 ) 1 ' 8



Álgebra básica

158

IMAGEN 3.2e Expresiones Racionales.nb

3.13

Out(93}=

x'-lSxy-lly*

lnp4]:-

-2b +3a + 2 c + 4 b + 8 a - 6 c

3.5 3. Ejercicio 2

lla+2b-4c (1/2) x A 2 + ( l / 3 ) x y + (1/2) xy + (1 / 3 ) l OutDMJ»

k M

x*

T

5xy

+

6

+

A

3.5 .3. Ejercicio 4

2

y1

T

,

-2b A (3/4) + 3 a A ( l / 2 ) + 2 c A ( l / 4 ) + 4b A (3/4) + 8 a A ( l / 2 ) - 6 c A ( l / 4 ) Out(96J=

llVI

+

3.5 .3. Ejercicio 5

8 x A ( 2 / 3 ) - 7 y A ( 3 / 4 ) - (2x A (2/3) - 4 y A (3/4)) OUTP7J-

(x A (a + 5)-2x A (a + 4) + 3x A (a + 3))# (-2x A 2) 3+1

1 ]] 1

2b^-4c^

OutW -2x* (3x

3J

3.5 .5. Ejercicio 9

í 1]

]J|

-2x 4 f i + x5+i)

E3cpand[%]

J

-6x5+4+4xf+*-2x7+1

IMAGEN 3.3a S i i v l i f y [ l / 2 S q r t [ 3 x A 4 y A 2 ] / ( ( 3 / 4 ) (Sqrt[x

A

2] ) ) ] (ejarcio 4 sección 3.4 .9)

2x y Oijt¡H]=

=-

(5Sqrt[2x])A2

(ejemplo 2sección 3.4 .10)

0ut{i4]= 50 x ln[W]:« (2 ( 2 x A 2 y ) A ( l / 3 ) ) A 4 Outp5)= 32 2ín (x* y) * / J Ouiliej- 32 2 1 ' 3 x í y ( x í y ) 1 ' 3 |(8xA3)

A

(l/4))

Outp8}= 2 "J~2 y x

A

2 (ejerció 4 sección 3.4 .10)

3

(4 ( > x A 3 y A 4 ) A ( l / f i ) ) A 3

(ejai^lo 5 sección 3.4 .10)

Outp2J» 192 V* 3 Y 4 out í2.:<]= 192 x" 1 y*




159

IMAGEN 3.3b (Sqrt[a]) A (1 / 3) (Ejemplo 2 sección 3 . 4 .11) Outpej» a x / í

(Sqrt[1024])A (1 / 5) (Ejemplo 4 sección 3.4 .11) Out[27]= 2

( * S q r t [ 6 ] ) A ( l / 3 ) (Ejemplo 5 sección 3.4 .11) Out[2S]= j l

4/(Sqrt[2]) (Ejemplo 1 sección 3.4 .12) üut[29]= 2 V"2~

8 x / (Sqrt [2 x])

(Ejemplo 2 sección 3.4 .12)

OutpO]= 4 "fl
6/(9 a)A (1/3)

(Ejemplo 3 sección 3 . 4 . 1 2 )

2 31'3i Outp2]=

IMAGEN 3.3c

<2-Sqrt[2])/(2

+

5Sqrt[2]| (ejen^lo 1 sección 3.4 .13)

OutJ41]-

Outf«]- —— (14-12 121 V 12 / (Sqrt [5] - Sqrt [2]) (ejen^lo 2 sección 3.4 .13) 12

(x-3)/(S«rt[x] -Sgrt[3]) (ejen^lo 3 sección 3.4 .13)

II 11

I



Álgebra básica

160

IMAGEN 3.4a 3a+fa+8b Outí4?3=

(ejemplo 1s e c c i ó n 3 . 5 . 1 )

9 a + 8 b

7 x + 4 a + 1 5 x +9 a - 4

(ejarcio3sección3.5 .1)

Out[4S]= - 4 + 13 a + 22 x 7 x A ( l / 2 ) + 8 y A ( 2 / 3 ) +3 x A ( l / 2 ) + 4 y A ( 2 / 3 ) + 2 z A 3 ( e j e r c i ó 4 s e c c i ó n 3 . 5. 1 ) 0ut[49]= 10 *fí< + 12 y t / J + 2 Z* ( 5 a - 6 b ) + ( - 2 a +4 b ) ( e j o i p l o l s e c c i ó n 3 . 5. 2 ) Out[50J= 3 a - 2 b ( 2 x A 2 - 4 x y + 2 y A 2 ) +< - 5 x y + 8 x A 2 - 4 y A 2 ) +(-9yA2 - 6 x y - 9 x A 2 )

( e j e n * l o 3s e c c i ó n 3 . 5. 2 )

out[5i]= x ^ l S x y - l l y * ( ( l / 2 ) x A 2 + ( l / 2 ) x y ) + ( ( l / 4 ) x y + (1/4) r) (ejemplo 4 sección 3.5 .2 Out[52]=

xí

y 3x y +—+ 4 4

2 (5a

A

(l/2)-6b

A

( l / 4 ) ) + ( - 2 a A ( 1 / 2 ) + 3 b A ( 1 / 4 ) ) ( e j e u i » l o 51 s e c c i ó n 3 . 5 . 2 )

Jy\ IMAGEN 3.4b

•• ( 2 a - 3 b ) - ( - a + 2 b ) (ejemplo 1 s e c c i ó n 3 . 5 . 5 ) Out[54]= 3 a - 5 b ( 2 x

A

2 - 3 x )

- ( - 5 x

A

2 +í x ) ( e j e m p l o 3 s e c c i ó n 3 . 5 . 5 )

OuiJ35]« - 9 x + 7 x * < - x A 3 - x A 2 +6) - ( 5 x Outpe]* 4 + 3 x - 6 x ' - x (2a Out[57]= 3 a

A

1/4

A

2 - 3 x + 2 ) (ejemplo4sección3.5 .5)

]J 31

3

(l/4)-3b

A

(l/2)) - (-aA(l/4)

+

b

A

(l/2))

( e j e n p l o 5s e c c i ó n 3 . 5. 5 )

- 4VF

( 6 x - 7 y ) - ( 2 x - 4 y ) (ejemplo 6sección3.5 .5)|

3 J ••

Out[58]= 4 x - 3 y ( 9 x y - 2 y üutf59]=

+

3)- ( 6 x y

+

2 z - 4 )

( e j e m p l o 8s e c c i ó n 3 . 5 . 5 ) |

3J

7-2y+3xy-2z (8x

A

(2/3)-7y

A

( 3 / 4 ) ) - (2x

A

(2/3)-4y

A

(3/4))

(ejemplo 9 s e c c i ó n 3 . 5 . 5 ) |

3




161

IMAGEN 3.4c 2 x - ( 2 y +4 x ) + 3 ( x - í y ) ( e j e i p l o 2 s e c c i ó * 3 . 5 . í ) OutfBij» - 2 x + 3 (x - 6 y ) - 2 y

3x+(2y-3(3x-5y))

(ejen^lo 3 s e c c i ó n 3 . 5 . ( )

. Outf82]= 3 x - 3 ( 3 x - 5 y ) + 2 y íx-

( 2 y + 2 ( 3 - ( x + y) + 2 ( 5 x + l ) ) )

(ejenplo 4 sección 3.5 . ( )

Out{63]= 6 x - 2 ( 3 - x + 2 ( l + S x ) - y ) - 2 y 2xA(l/2)-f (xA(l/2)+yA(2/3))

(ejen^lo 5 sección 3.5 . í )

Outf64J= 2 Vx" - 9 (^/x + y í / J ) 2xA2(-3x) Out{65]=

-6x

(ejen9lolseccion3.9.7)¡

i

(aA2bA3) ( 3 a A 2 b x )

(ejeqplo 2 s e c c i ó n 3 . 5 . 7 ) |

M

Ojtf66]= 3 a 4 b * x (-xA2yA3z) (4yA4zA2)

(ejerció42sección3.5 .7)

Out|67]= - 4 x l y 7 z }

í

IMAGEN 3.4d (3a A (n +1) b A (m+1)) (-4a A (n + 2) b A ( - n + 3)) (ejen^lo 5sección3.5 .7) Outp8]« -12tt í + I n b* ( a A ( 2 / 3 ) b A ( l / 2 ) ) ( 3 a A ( l / 3 ) b A ( 2 / 3 ) c A ( l / 2 ) ) (ejenplo 7 sección 3.5 .7)

(3xA2-4x

+

9) (4x A 2) (ejenploIsección3.5 .8)

T 3

0>jt[?0]s 4 x l ( 9 - 4 X + 3X*) ln[72]:» Expand[4xA2 ( 9 - 4 x + 3 x A 2 ) ] OutF2]« 3 6 x í - 1 6 x 3 + 12x 4 ( 8 x A 2 y - 8 y A 2 ) ( 2 a x y ) (ejenplo 2sección3.5 .8) 2 a x y (Qx^-Sy*)

Expand[2axy(8x2y-8y2)] out|73]= í e a x ' y ( x A ( a + 5) - 2 x A ( a + 4) + 3 x A ( a + 3 ) ) ( - 2 x A 2 ) ( e j e ^ D l o 4 s e c c i ó n 3 . 5 . 8 ) Cut[74]= -2X 1 ( 3 x í + * - 2 x 4 + * + X$+i)

Out[75]= - 6 x s + i + 4 x í + 4 - 2 x ? + a

3 3 M

33



162

Álgebra básica IMAGEN 3.4e (X-3M4+X) (ejenplolsección3.5 .9)

3J

Out|?6]= (-3+X) (4+X)

]

1

ln[7?]:= Expand[%]

]J

Out[7?]= - 1 2 + x +X 1 ( 8 x - 3y ) (-27 +5 x ) (ejenplo 2sección 3. 5 . 9 )

1

]J

ÜIJII?9]= -216 x + 40 x* + 81 y - 15 x y ( x A 3 +2 x (S-2x)

A

2 - x ) ( - 2 x +5)(ejerció 3sección3.5 .9)

( - x + 2 x í + x

3

]|

]J

)

]

1,

U»pi]:« Expand[%] Out|31]= - S x + 1 2 X

]

]

in[?9]:= ExpandO]

Out[80]=

]

]J

Out[78]- (-27 + Sx) ( 8 x - 3 y )

1

+ x

3

]J

- 2 x *

( 8 x A ( l / 2 ) - 3 y A ( 3 / 4 ) ) ( - 2 y A (3 / 4 ) + 5 x A ( 1 / 2 ) ) (ejemplo 4 sección 3. 5 . 9 ) | 0
3/4

3 4

) (5^/7-2 y ' )

"" *l

1J ]J ]

1

lr,I83]:= Expand[%]

]J ,

Outp3}= 40 x - 3 1 -Jx y 3 / 4 + 6 Y 3 / Í

\

]

1 IMAGEN 3.4f

a A 7 / a A 5 (ejen^lo 1 sección 3.5 .12) üut|84]= a z

] ^

( - 1 0 a A 4 b A 3 c A 2 ) / ( - 5 a b A 2 c ) (ejemplo 3 sección 3.5 .12) Outp5]= 2 a3 b c

] ^

- ( x + 2 ) A 3 / ( x + 2) A 7 ( e j e n v l o 5 s e c c i ó n 3 . 5 .12)

]

Outl86]= - -

(2 + x) 4

j

a A ( m + 3 ) / a A ( m + l ) (ejemplo 6 sección 3.5 .12) Out|87]= a

1

] ]

( 2 x A 4 y z A 2 / 6 x y A 2 ) A 3 (ejeu^loT sección 3. 5 .12)

]

]J

Oijt|88]= — x 1 5 y 9 z6

( 2 a A 2 b A 2 c A 3 ) A 3 / ( 3 a b A 4 c ) A 2 (ejeni)lo8sección 3.5 .12) Out¡89]=

8a4c7

a A (l/2)b A (l/2)/a A (l/4)b A (l/4) (ejerció 9 sección 3.5 .12)

jl

1




163

IMAGEN 3.4g (12a A 3 - 6 a A 2 + 24 a ) / (6 a) (ejenplo 1 sección 3.5 .13)

]"

j

1

J

24 a - 6 a* + 12 a

0ut(B4]> 4 - a + 2 a *

]•

<3a A 3-18a A 2b+27a A 2b A 4)/(3a) (ejenplo 2sección3.5 .13)

i

J

3 a - 18 a* b + 27 a* b*

j. Outp]= a ( a - 6 b + 9b 4 )

]

1

in[97] = Expand[%]

il

Out(07]= a * - 6 a b + 9 a b * ((3y+b)

A

y

2 - a ( 3 y + b ) ) / ( 3 y +b ) ( e j e m p l o 3 s e c c i ó n 3 . 5 . 1 3 )

i

i

b +3y

]J.

!n[9S] = Sinplify[%] Outp]= - a + b + 3 y

-i

.

1 IMAGEN

.. .irf

3.4h A

4) (ejenplo 4 sección 3.5 .13)

_ 4 a í + x b - í + m + 8 a l + x b - U K+ 1

2 a

1 iJ

i

xb»

OutílC2]=

Sinplifym Out[1G3]=

2a- 3 + x b- 6 + m (a í -2ab-3b í )

3"

Expand[%] Out[104]=

z a

InfiOS] = ( x Out[1ü8]=

- 4 a

D

A

5-2x

A

4)/x

A

x (5 i ° x ) i ~

D

- 6 a

D

]

2 - x ( 2 x+ 5 )

]

+X

-2x*+x5 ir í *E • f> v'k .

/ A - Í M I M I n K AAV-U-I<« AHÍ O

.5.13)

y

InfiOS] = Together[%] OUIPC8].

Our[H0]=

-5x-4x í +x 3

(12a A (3/4)-6a A (l/2)b + 24aA(5/2)b 4 ( l / 2 ) ) / ( í a A (l/2)) (ejeuplo 6 sección 3.5.13)|

y

12 a í/4 - 6 - / I b + 48a 5/í b

i

6 VI Jn'JHJ"

M«Hf.l*l... i t

j

j



164

Álgebra básica IMAGEN 3.4Í

WipWililll

\mmmffimm <12a

A

(3/4)-6a

A

(l/2)b +24aA(5/2)b

4 ( 1 / 2)) / (
6VI ln[iH]=SÍjnplify[%] Out[ii i]= 2 a 1 ' 4 - b + 8 a4 b ( 3 y A 2 + 2 y - 8 ) / ( y + 2) (ejarpio 1 s e c c i ó n 3 . 5 .14) Out[112]= ^—^ 2+y

0ut[U3)= - 4 + 3 y ( x A 2 + x A 4+ 4) / ( x - 1 ) (ejemplo 2 sección 3.5 .14) 4-X* +X4 0ut[114]=

-1+x . ftpart[%] Out[115]=

4

Como se observa en el ejemplo, se usa Simplify cuando la división es exacta, o bien Apart^di2i que separe la parte entera de la fraccionaria. Puede utilizarse siempre la segunda instrucción; cuando es exacta, reporta el cociente. IMAGEN 3.5 1 0 y + 1 2 y A 2 + l + 7 r A 3 ) / ( 2 y A 2 + y + 4) (ejemplo 3 sección 3.5 .13)

( < a A 3 - r i a A 2 + 1 6 ) / (3 a - 4 ) (ejenvlo4 sección 3.5 .13) 16 - 17 a* + 6 aJ

Out[)20]= - 4 - 3 a + 2 a* ( 2 x A 4 + 0 x A 3 y - 1 3 x A 2 y A 2 + 14x y A 3 - 3 y A 4 ) / (x A 2 + 2 x y - 3 y A 2 ) (ejen*lo 5 sección 3.5 .13)|

11

* + 2 x y - 3 y*

O-jt[122]= 2 x* - 4 x y + y*

A




165

BIBLIOGRAFÍA

Adalid Diez de U., Claramartha, Víctor Breña Valle, Andrés Morales Alquicira et al., Fundamentos de álgebra, Universidad Autónoma MetropolitanaXochimilco, México, 1998. Arya, Jagdish C , y Robin W. Lardener, Matemáticas aplicadas a la administración y la economía, 3a. ed., P.H.H., México, 1992. Baldor, A., Álgebra, Mediterráneo, Madrid, 1991. Bittinger, Keddy, Álgebra y trigonometría, Fondo Educativo Interamericano, México, 1990. Budnick, Frank S., Matemáticas aplicadas para la administración, economía y ciencias sociales, 3a. ed., McGraw-Hill, México, 1990. Eslava, María E., et al, Introducción a las matemáticas universitarias, 4a. ed., McGraw-Hill, Medellín, 1997. Gobran, Alfonse, Álgebra elemental, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1991. Hsruddlrt, Rtnrdy R., y Jr. Richard S., Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida, P.H.H., 8a. ed., México, 1990. Kramer, G., Matemáticas contemporáneas, McGraw-Hill, México, 1997. Lovaglia & M.A., Álgebra, Haría, México, 1998. Nichols, Eugene D., etal, Álgebra 1, CECSA, México, 1980. Raymond, Barnett, Álgebra y trigonometría con geometría analítica, McGrawHill, México, 1995. Rees, Paul K., etal, Álgebra, McGraw-Hill, México, 1992. Swokowski, Ernest W., Álgebra y trigonometría con geometría analítica, 2a. ed., Grupo Editorial Iberoamericano, México, 1998.





CAPÍTULO 4

Factorizacion y fracciones algebraicas





4. FACTORIZACIÓN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Estructura del capítulo Introducción 4.1. Factorización de polinomios. 4.2. Productos notables. 4.3. Factorización con factor común, productos notables y combinación de ambos. 4.4. Factorización por agrupamiento. 4.5. Factorización de una ecuación cuadrática. 4.6. Descomposición factorial de polinomios. 4.7. Fracciones algebraicas. 4.8. Simplificación mediante factorización. 4.9. Multiplicación y división de fracciones algebraicas. 4.10. Suma y resta defraccionesalgebraicas. 4.11. Aplicaciones. 4.12. Productos notables y factorización con Mathematica. Solución a los ejercicios propuestos.

Al terminar este capítulo, el lector podrá: • Ejecutar productos usuales en operaciones algebraicas. y Establecer el método adecuado para factorizar una expresión. y Conocer el método para la búsqueda de raíces de un polinomio. y Descomponer distintos tipos de polinomios de grado».
INTRODUCCIÓN

E

STE CAPÍTULO se refiere a distintas formas de descomponer un polinomio integrado por una suma de factores; éste es el proceso de factorización, útil cuando se requiere simplificar. Además se ampliarán las operaciones de suma, resta, multiplicación y división con fracciones aritméticas ya estudiadas en capítulos anteriores, a operaciones con fracciones algebraicas. Se tratarán también formas de resolver ecuaciones que contengan expresiones con variables en el denominador. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones con fraccionesTy son empleadas frecuentemente en el campo de la economía y la administración. Para desarrollar la práctica necesaria a fin de resolver este tipo de ecuaciones con fracciones, como también ecuaciones polinomiales no lineales, el lector debe realizar un esfuerzo para manejar con agilidad la forma de factorizar, simplificar expresiones algebraicas y resolver operaciones con fracciones algebraicas. El resultado de todo este esfuerzo se reflejará al final de este capítulo (tema 4.11) y en el siguiente. 169



170

Álgebra básica 4 . 1 . FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Se ha dicho que cuando se multiplican dos números reales a y by éstos se denominan factores del producto (a){b). Es decir, si se tiene el producto de (3)(8) = 24, entonces 3 y 8 son factores de 24. Si un polinomio es el producto de otros polinomios, entonces a cada uno de los polinomios anteriores se le denominz factores del polinomio original. Como: O-8)Cr+8) = .r2-64 se deduce que los polinomios j - 8 y j + 8 son factores del polinomio x2 - 64. El proceso de hallar los factores de un polinomio se conoce como factorización o descomposición del polinomio. La factorización es importante cuando se trabaja con fracciones y se resuelven ecuaciones. También se puede decir que: La descomposición de un polinomio p(x) consiste en expresarlo como producto de otros polinomios, de igual o menor grado que el mismo. Antes de comenzar con factorización de polinomios, es necesario especificar el sistema del que se han de elegir los coeficientes de los factores. Generalmente es válida la regla de que si se da un polinomio con coeficientes enteros, entonces los factores deberán ser polinomios con coeficientes enteros. Asimismo, si se comienza con un polinomio que contiene coeficientes racionales, la regla es que los factores también deben tener coeficientes racionales.

Ejemplos x2 + x- 6= (x+ 3)Cr- 2) S = (3 + x)(-2 +x)

4x2 - 9/16 = (2x- 3/4)(2r + 3/4) H = (-3/4 + 2r)(3/4 + 2x) '

En general, no es fácil descomponer polinomios con grados altos. Hay diversas técnicas que se pueden utilizar, según sea la forma de la expresión por factorizar: por factor común, utilizando productos notables, por agrupamiento, por el método de ensayo y error, completando cuadrados y mediante la obtención de raíces por divisiones sucesivas, entre otras técnicas usuales.



4. Faetorización y fracciones algebraicas

171

4.2. PRODUCTOS NOTABLES

Los siguientes productos de polinomios son muy usuales en álgebra, normalmente identificables y ayudan en el proceso de faetorización de polinomios. Por tal razón se denominan productos notables. Sean dos monomios cualesquiera denominados A y B, sumándolos y restándolos se obtienen los binomios: A + By A- B Primero: binomio al cuadrado

El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

A2 + (2A)(B) + B2 Segundo: binomio al cuadrado

El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Tanto en el primero como en el segundo caso, el producto de un binomio por sí mismo da como resultado un binomio al cuadrado. Tercero: binomio conjugado

El producto de la suma de dos monomios por la diferencia de los mismos es igual al cuadrado del primer monomio menos el cuadrado del segundo. A este producto también se le conoce como producto de binomios conjugados y a su resultado como diferencia de dos cuadrados.



172

Algebra básica

Los binomios conjugados difieren del binomio al cuadrado sólo en el signo de uno de los binomios. Aplicando estas reglas se pueden escribir directamente los resultados de las siguientes operaciones: (4r+ 3)2 = I6x2 + 24r+ 9 = 9 + 24*+ lar 2 (2x - 5)2 = 4x2 - 20* + 25 = 25 - 20* + 4x2 (2x+ 1X2*- 1) = 4x2 - 1 = - 1 + 4r 2 Cuarto: binomio al cubo

2A2B+AB2+A2B+2AB2

+ B3

2. (A-B)(A-B)(A-B) = (A-Bf = A3-3A2B+3AB2-B3 Quinto: suma y diferencia de dos cubos 1. (A +

B)(A2-AB+B2)=A3

2. (ASexto: binomio con término común

2. (Ax + By){Cx + Dy) = ACx2 + {AD + 3C)xy+BDy2 3. (x + A)(x+B) = x2 + (A + B)x+AB Las letras A, B, C, D pueden ser números reales o expresiones algebraicas.



4. Factorización y fracciones algebraicas

173

Ejemplos de 4.2 1. (2a+5¿>)2

B

Solución: Mediante la aplicación del producto notable del caso primero, donde A es 2a, B es 5b, se tiene: (2a+ 5b)2 = (2a)2 + 2(2a)(5b) + (5b)2 = 4a2 + 20ab + 25b2 2. (7 2 +7)(/ 2 -2)

9

Solución: Mediante la aplicación 3 del caso sexto de productos notables, donde x es t1. (t2 + l)(t2 - 2) = (Z2)2 + (7 - 2)/ 2 + 7(-2) = /4 + 5 / 2 - 1 4 = - i 4 + 5/ 2 + / 4 a 3. ( 3 « 3 + 4 V 2 ) ( 3 « 3 - 4 J / 2 )

B

Solución: Mediante la aplicación del producto notable del caso tercero, donde A es 3z/3 y = (3u3)2 - (4v2)2 = 9« 6 -16v 4 4. Solución: Mediante la aplicación del producto notable 2 del binomio con término común, donde x es x2, y es y, A es 5, Bes -2, Ces 3 y D es 6. (5x2- 2JO(3X 2 + 6 J ) = (5)(3)(.r2)2+ [(5)(6) + (- 2)3]x2y+ (- 2)6y2

=

l5x4+24x2y-l2y2



174

Álgebra básica

Ejercicios de 4.2 Utilizar las reglas mencionadas para encontrar los siguientes productos: 1. (r-7)(.r+4)

5. (2x-

2. (2x+4y)(6x-ly)

6.

3. Í3jc + | 4. O 2 + 4 ) O 2 - 3 )

8.

4.3. FACTORIZACIÓN CON FACTOR COMÚN, PRODUCTOS NOTABLES Y COMBINACIÓN DE AMBOS

4.3.1. Factorización confactor común Esta forma de descomposición de un polinomio es una de las más útiles, ya que permite factorizar casi todas las expresiones. Como su nombre lo indica, se factoriza la expresión dada, buscando un factor común a todos los términos o, en su defecto, se obtiene el máximo común divisor. Los pasos por seguir son los siguientes: De acuerdo con la expresión abx + cdx + efx • Buscar un factor que aparezca en todos los términos. En este caso el factor común es x. • Al encontrar el factor común se debe multiplicar por los factores no comunes: x(ab + cd+ ef) Ejemplos de 4.3.1 1. Observar la factorización de los polinomios en los que se han obtenido los factores comunes 5x2, 6x2 y 6x39 respectivamente. Solución: 5x2 = 5^2(5^2 - 6x+ 1)

S




175

l) B ( - 3 ) B 2. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios. En el inciso b), n es un entero positivo. a) -\0r3s2t4-2(W/3+

5r2s4t4

B

b) x2n+xn+2

B

Solución: a) -10/*V/ 4 - 20r3s2 / 3 + 5/*W 4 = -5r2s2t3 (2A-/+ 4A-- J*2 /) b) x2"+ xn+1 = ^ ( ^

^. J.2. Factorización con productos notables Con la aplicación de los productos notables, pero en sentido contrario, se pueden descomponer algunos polinomios en producto de otros dos más simples. Se puede aplicar el cuadrado de una suma o de una diferencia, un binomio al cuadrado, como es el ejemplo del siguiente trinomio dado/?(;r):

Considerando que

entonces:

x4 es el cuadrado de x2 25 es el cuadrado de 5 10;r2 es el doble del producto de x2 por 5

p(x) = (x2 + 5)2

Si se factoriza aplicando suma por diferencia, es decir, un binomio conjugado de la forma 25x4 - 64, su resultado es: - 64 = (5;r2 + S)(5x2 - 8)

Ejemplos de 4.3.2 1. Factorizar los siguientes polinomios, reconociendo productos notables. B



176

Álgebra básica

(4)2

B

2

9x - 6x + 1 = ( 3 * - I)2 = ( 3 * - l)(3x- 1)

H

2. El polinomio Sx6 - 21 y9 se reconoce como la diferencia de dos cubos, el caso quinto de productos notables. Solución: Sx6 - 21 y9 = (2x2f - (3y3)3 S - 3y3)(4x4 + 6x2y3 + 9y6) 3. El polinomio \6xA - (y- 2z)2 se resuelve al observar que es una diferencia de dos cuadrados, resultado de un binomio conjugado. Solución:

\6xA -(y-

2z)2= (4x2)2- (y- 2zf = [(4^2) + (y-2z)][(4x2) - (y- 2z)\ = (4x2 +y- 2z)(4x2 -y+2z)

4. El trinomio x2 + 3x- 28 es de la forma del segundo miembro en la aplicación 3 del binomio con término común. Éste puede factorizarse en el producto de dos binomios x+ayx+¿?si hay dos enteros a y b tales que a¿> = -28y a+ b=3. Los enteros - 4 y 7 satisfacen estas condiciones, y de este modo se tiene:

x2 + 3x- 28 = (x- 4)(x+ 7) = (-4 + x)(l + x) El trinomio también puede factorizarse aplicando la ley distributiva, es decir:

x2 + 3x - 28 = x2 + (-4)x = x(x-4) +

5. Algunos polinomios de tres términos se resuelven mediante la aplicación 2 del caso sexto para productos notables, de una manera sencilla y rápida, factorizando por un método de ensayo y error que requiere memorizar una pequeña regla: A * C- coeficiente del primer término del trinomio. B* D= coeficiente del tercer término del trinomio. A* D+ B * C- coeficiente del segundo término del trinomio.




111

Para factorizar el trinomio \5x2 + Ixy- 2y2 como un producto de dos binomios (Ax+By){Cx+Dy), como el indicado en el punto 2 del caso sexto de productos notables, se determinan dos números^y £7cuyo producto sea 15 y dos números B y D cuyo producto sea - 2 , tal que AD + BCsea, igual a 7. Si A y ¿7 van a ser positivos, las posibilidades d e ^ y ¿7son 1 y 15, o bien, 3 y 5. Las posibilidades de By Dson I y - 2 y - l y 2 . Mediante aproximaciones sucesivas se obtiene el término medio requerido Ixy si se escribe: Ixy- 2y2 = (3x+

2y)(5x-y)

4.3.3. Factorización de polinomios combinando ambos métodos 1. En el polinomio/7(jr) = x3 + 2x2 + xse observa un factor común x, por tanto se escribe x(x2 + 2x+ 1), y este nuevo trinomio es el resultado de un binomio al cuadrado. De esta forma, combinando los dos métodos se descompone el polinomio, expresándolo como una serie de productos: p{x) = x> + 2x2 + x = x(x2 + 2x+ l)=x(x + I)2 = x(x+ l)(x+ 1) 2. En el trinomio 2st4- 8st2- 90s hay un factor común monomial 2s. De aquí el trinomio pueda escribirse como 2s(t4 - 4t2- 45). Este nuevo trinomio puede factorizarse y expresarlo como el producto de dos binomios, uno de los cuales es la diferencia de dos cuadrados: - Sst2 - 90s= 2s(t4 - 4 / 2 - 45)

Ejercicios de 4.3.3 1. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa los factores de (x+ l ) 2 ( r - I)2? aj x2 + 2x-l b) 2x2 + x-\ c) xA-x2+\ dj x4-2x2+l



178

Álgebra básica

2. ¿Cuál es el resultado de faetorizar 9JT3 - 729xy2c? a) 3x(x-9y2)(x+9y2) b) 9x\x-9y){x+9y) c) 9x(x-9y)(x+9y) d) Ninguno de los anteriores 3. ¿Cuál es el resultado de faetorizar x3 + 125? a) ( X + 5 ) ( X 2 - 5 J T + 2 5 )

b) ( x c) d) ( x 4. ¿Cuál es el resultado de faetorizar l%x1y-v Wlxy1 hasta el último término? a) bj c) d)

x(78xy+my) xy(7Sx+U7y2) Todos los anteriores Ninguno de los anteriores

5. ¿Cuál es el resultado de faetorizar x6- y9l a) b) c) d)

(x2 +y3)(x4 + xY -y6) (x2 +yi)(x4 - 2x2y2 +y6) (x2-yi)(x4 + x2y2+y6) (x2 -/)(•*•" - 2-r>3 +y6)

6. ¿Cuál es el resultado de faetorizar 2xy5 - 32xy? aJxy(y+4)\y-4)2 bJxy(y2 + 4)(y2-4) cJ2xy(y2 + 4)(y2-4) dJ2xy(y2 + 4)(y+2)(y-2) 7. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta? a) (x+yf = xi- 3x2y+ 3xy2 b) (x+y)5 = x5- 5x4y- lOx 3 / + lOx2y3 + 5xyA +y5



4. Factorización y fracciones algebraicas c) (x-y)3

179

= x3 -y3

d) Ninguna de las anteriores 8. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta? a) b) c) d)

500 2 -400 2 = (9)(103) 12000 2 -(-13000) 2 = (-2.5)(106) 8 8 2 - 87 2 = 175 196(25) 2 -169(25) 2 = 675 4.4. FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO

Es otra técnica muy sencilla, que consiste en buscar los posibles factores comunes en la expresión y agrupar los términos de acuerdo con ellos, para que después se factorice por factor común. En esta técnica de factorización se encuentran factores que no son comunes a todos los términos, pero que son comunes a algunos. Si se requiere factorizar una expresión

«==o

ax + by + ay + bx

Pasos por seguir: 1. Identificar los términos con posibles factores comunes. Es posible darse cuenta de que no existe un factor común a todos los términos, pero sí hay dos factores comunes a términos diferentes: x es factor común de ax, bx;yes factor común de ay, by. 2. Agrupar los factores de acuerdo con cada factor común. bx+ ay+ by 3. Factorizar por cada factor común. x(a+b)+y(a+b) 4. Como se obtuvieron dos términos, se localiza nuevamente el factor común. El factor común de ambos términos es (a+ b). 5. Factorizar nuevamente por cada factor común, multiplicando el término común por los no comunes {x, y), obteniendo como resultado: (a+b)(x+y)



180

Álgebra básica

Ejemplos de 4.4 1. Factorizar el polinomio B Solución: Se agrupan los dos primeros y los dos últimos términos, y se tiene:

Los dos primeros términos tienen un factor común igual a x y los dos últimos tienen un factor común -2y. Por lo tanto, el polinomio puede expresarse como: x{3x+l)-2y(3x+l) Se observa que hay un factor común 3x+ 7 en cada término. De aquí se tiene que: (3* + T)(x - 2y) = (7 + 3x)(x - 2y) 2. Factorizar cada uno de los siguientes polinomios: a) 5xz-5yz-x+y

B

b) 4 2 - 6u3 - Iv2 + u* v2 B

Solución: a) 5xz-5yz-x+y=5z(x-y)-l(x-y) = (x-y)(5z-l) = (-x+y)(\-5z) b) 42 - 6u3 - lv2 + uz v2= 6 (7 - //3) - v\l - u3)

3. Factorizar 3;r3 + 2x2 - \2x- 8 Solución: 3x3 + 2x2 - \2x- 8 = x2 (3*+ 2) - 4(3*+ 2) = (3.r+2)(.r 2 -4)




181

4.5. FACTORIZACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Un binomio al cuadrado tiene como resultado un trinomio cuadrado perfecto'.

Se le llama trinomio cuadrado perfecto porque los términos que están en los extremos tienen raíz cuadrada exacta. Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto debe expresarse como el producto de un binomio al cuadrado, pero antes hay que determinar si ese trinomio realmente es cuadrado perfecto. Se requiere factorizar el siguiente polinomio

p(x):4a2+l6ab+l6b2 Pasos por seguir: 1. Reconocer si es un trinomio cuadrado perfecto. 2. Calcular la raíz cuadrada del primer y tercer términos.

V i ? = 2a

VÍ6F = 4b

3. El doble producto 2(2a)(4b) = \6ab, por lo tanto es un trinomio cuadrado perfecto. 4. Sustituir en la fórmula del binomio al cuadrado. (2a + 4b)2 5. Para comprobarlo, resolver el binomio al cuadrado. (2a + 4b)2 = (2a)2 + 2(2a)(4b) + (4b)2 = 4a2 + \6ab + b2

Ejemplos de 4.5 1. El trinomio 16¿/2 + 40¿7 + 25 tiene dos términos cuadrados perfectos, es decir, 16¿z2 que es (4a)2, y 25 que es 52; además, el otro término es 40¿z, el cual es 2(4¿7)(5). Por tanto, es un trinomio cuadrado perfecto y se aplica la fórmula del binomio al cuadrado. En consecuencia: 16a2 + 40¿7 + 25 = (4a + 5)2 = (5 + 4# )2

H



182

Álgebra básica

2. Factorizar 4x2 -\2xy+

9y2

H

Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Como la raíz cuadrada de 4x2 es 2* y la raíz cuadrada de 9y2 es 3y, se tiene que:

4x2 - \2xy + 9y2 = (2x- 3yf = (-2x+ 3yf 4.5.1. Factorización de un trinomio de segundo grado El polinomio por factorizar es de la forma:(1)

Ax2 + Bx+C Se plantea la siguiente expresión algebraica: 6*2 + 5;r-6

H

Pasos por seguir: 1. Determinar los coeficientes numéricos. J=6

£=5

C=-6

2. Encontrar dos números cuyo producto sea igual a -36(^ *C) y cuya suma sea igual a 50?). Para agilizar la búsqueda de esos dos números, es necesario descomponer el número -36 en factores como: -36 = (9)(-4)

-36 = (-9)(4)

-36 = (6)(-6)

3. Cuando se tengan los factores deben sumarse y así se encontrarán dos números que cumplan las condiciones que se piden.

Los números que satisfacen las condiciones son: 9 y - 4 .

)

Esta expresión es un trinomio de segundo grado, pero no es un trinomio cuadrado perfecto.




183

4. Tomar el término que se encuentra al centro del polinomio. En este caso 5 x 6^ 2 + 5 z ~ 6 5. Luego factorizar este término como la suma de los dos números encontrados.

5x = 9x-4x 6. Sustituir en la fórmula original.

7. Factorizar por agolpamiento. La factorización por agrupamiento implica factorización por factor común.

de donde: lx(2x + 3) - 2(2x + 3) Se obtuvieron dos términos con un factor común, que es: {2x+ 3). 8. Factorizar multiplicando el término común por los no comunes. (2r+3)(3;r-2)

Ejemplo de 4.5.1 Factorizar: 6x2 + 19.T + io

a

Solución: ac- 60 (15)(4) = 60

¿=19 15 + 4 = 1 9

Si 19;r= 15x+4x Reemplazando en el trinomio 6x 2 +15^ + 4^+10



184

Álgebra básica

se obtiene factor común: + 15JT= 3JT(2JT+ 5)

10 = 2(2*+5) El resultado es 6x2 + 19* + 10 = (3*+ 2)(2*+ 5) = (2 + 3*)(5 + 2x)

Ejercicios de 4.5.1 1. Factorizar los siguientes polinomios: a) 9x2 + 24*7 + I6y2 c) 9x2 + 25xy+ I6y2 e) 9x2-\6y2

b) 9x2 - 24xy+ I6y2 d) 9x2 - \45xy+ \6y2 f) 9x2+\6y2

4.6. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE POLINOMIOS

Cuando se tienen polinomios con grado n de la forma p{x) = anxn + anX xn~x + anl xn~2 -\-... + a{x+ aQ considerando que a0, av ..., an son números reales con an * 0 y n es un número entero no negativo, es posible descomponerlo de la siguiente manera:

p(x) = (x- rx)(x- r2)(x- rj ... (x- r) C(x) donde rv rv rv ..., rn son raíces del polinomiop{x), que se encuentran por divisiones sucesivas, y C{x) es el último cociente. A continuación se hace un recorrido para recordar estos temas: raíces de un polinomio, teorema del residuo, división de polinomios aplicando la Regla de Ruffini y descomposición factorial de todo polinomio de grado n.

4.6.1. Raíces de polinomios Un número r se dice que es una raíz del polinomiop(x) si el valor numérico del polinomio para x = r es cero, es decir, s\p(r) = 0



185


El polinomio p{x) = x- 3 tiene por raíz x= 3, ya que/?(3) = 0 El siguiente cuadro permite ver otros ejemplos. Polinomio

Raíz 1 -1 2 3

2

JC -1

*2-l JC - 5x + 6 JC2 - 5JC + 6 2

Comprobación I 2 - 1= 0 (-l)2-l=0 2 2 - 5(2) + 6 = 0 32 - 5(3) + 6 = 0

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio de grado n tiene n raíces (para algunos números reales y otros complejos). Para encontrar las raíces de un polinomio/?^) se resuelve la ecuación/?^) = 0; en el caso de ecuaciones de segundo grado véase el capítulo 5. Si no es posible resolver la ecuación/?^) = 0, recordar que las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente ayudará en la búsqueda de las raíces enteras. Cuando se tienen polinomios de grado superior a 2 es factible aplicar el método de ir calculando el valor numérico del polinomio para los distintos divisores del término independiente. Los pasos para hallar las raíces del polinomio x4 + 3x3 - x2 - 3x son: 1. Se obtiene factor común x

3x2-x-3)

de donde se deduce que x= 0 es una raíz. 2. Se observa que los divisores del término independiente del polinomio que queda dentro del paréntesis x3 + 3x2 - x- 3 son 1, -1,3 y - 3 . Entre ellos estarán las raíces enteras. 3. Se comprueba cuáles son raíces enteras: Polinomio

x3 + 3x2-x-3 * 3 + 3JC 2 -JC-3 i x +

2>x1-x-3

* 3 + 3JC 2 -JC-3

Posible raíz 1 -1 3 -3

Comprobación (I)3 + 3(1)2 - 1 - 3 = 0 (-l) 3 + 3 ( - l ) 2 - ( - l ) - 3 = 0 (3)3 + 3(3) 2 -3-3=48 3 2 (_3) + 3(-3) -(-3)-3 = 0

¿Es raíz? Sí Sí No Sí

4. Luego de comprobarlo, las raíces encontradas son cuatro: 0, 1,-1, - 3 , cuyo número coincide con el grado del polinomio propuesto.



186

Algebra básica 4.6.2. Teorema del residuo

Sea R el residuo de la división de un polinomio p(x) entre x - r, el teorema del residuo dice que el valor numérico dep(x) para x- r coincide con R. Si/?(x) es un polinomio y r es un número real, entonces sip(x) se divide entre x - r, el residuo esp(r). Este teorema permite determinar el residuo de la división de un polinomio por x - r sin necesidad de realizar la división.

Ejemplos de 4.6.2 1. Dividir el polinomio x4 + x3 - 5 entre j + 2 y luego encontrar el residuo por medio del teorema del residuo. Al realizar la división del polinomio por la forma ya vista en el capítulo anterior, se encuentra el valor 3 como residuo. Mediante el teorema del residuo, sip(x) se divide entre x+ 2, el residuo R debe ser/?(-2), porque x+ 2 = x- (-2). Luego se comprueba que/?(-2)= (-2)4 + (-2)3 - 5 = 16-8-5 =3 que coincide con el residuo de la división. 2. Si se divide xA - 2x2 entre x+ 5 se halla un residuo de 575. Con la utilización del teorema, como el divisor es x+ 5 = x- (-5), entonces el número r- -5 y el valor numérico dzp(x) para x= res:

4.6 3. División por Regla de Ruffini Una consecuencia del teorema del residuo es el teorema del factor, del cual se desprende que res miz dep(x) si y sólo si el residuo de dividirp(x) entre xres cero.




187

Por ejemplo, x3 - 8 es divisible por x- 2, ya que el 2 es raíz/>(2) = 23 - 8 = 0 Teorema del factor. Si p(x) es un polinomio y r es un número real, entonces p(x) tiene JT- /-corno un factor si y sólo si p(r) = 0.

Ejemplo del teorema del factor Probar que x - 4 es un factor de 2x3 - 6x2 - 5x - 12.

H

Solución: Sip(x) = 2x3 - 6x2 -5x- 12, entonces p(4) = 2(4)3 - 6(4)2 - 5(4) - 12 = 2(64) -6(16) - 2 0 - 1 2 = 128-96-32 = 0 Por lo tanto, del teorema del factor se deduce que x— 4 es un factor dep(x). Regla de Ruffini. Un polinomio completo y ordenado en x, dividido por un binomio de la forma x- r. da por cociente un polinomio de grado menor en una unidad que el dividendo, cuyos coeficientes son: • El primero es el primero del dividendo. • El segundo es igual al producto del primer coeficiente por r cambiando de signo, más el segundo del dividendo; en la misma forma se obtienen los restantes.

Ejemplos de 4.6.3 1. Dividir 3x5 + 1 Ox4 - 15x2 + 5 entre x + 2 Solución: Primero hay que completar el dividendo: 3x5 + 10x4 + Ox3 - 15.r2 + 0x+ 5. Como el dividendo es de quinto grado, el cociente es de cuarto grado y su primer coeficiente es el primer coeficiente del dividendo, o sea, 3. Como r- 2, cambiando de signo es r- -2; se multiplica 3(-2) = -6, se agrega al segundo coeficiente 10 del dividendo y se tiene - 6 + 1 0 = 4, que es el segundo coeficiente del cociente, y así se continúa.



Álgebra básica

188

Para entender mejor esta regla, conviene utilizar la siguiente distribución práctica, con la colocación de los coeficientes numéricos: 3 -2 3

10 3(-2) = - 6 10-6 =4

0 4(-2) = -8 -8

-15 (-8)(-2) - 16 -15 + 16=1

0 l(-2) - - 2 0 - 2 = -2

5 +4 =9

Es decir que los coeficientes del cociente son: 3,4, - 8 , 1 , - 2 y el residuo que se obtiene con el mismo procedimiento es 9. Luego: 3x5 + l&r4 - Í5x2 + 5 entre x+ 2 tiene como cociente:

C(x) = 3x4 + 4x3-$x2 + x-2y como residuo R= 9 Una forma de comprobar si r es una raíz dep(x) es dividirp(x) e n t r e x - r por la Regla de Ruffíni y observar si el residuo es cero. 2. Dividir p(^) = x4 - x3 - 4x2 + 2x + 4 entre x-2

S

Solución: Al dividir se obtiene un residuo R= 0, por lo tanto se comprueba la raíz r=2y

el cociente C(x)=

x3+x2-2x-2

CUADRO 4.1 Para comprobar si r es una raíz dep(x), puede dividirse p(x) entre x-r por Ruffini y observar si el residuo es cero. x4

-x3

-4x2

+2x

+4

2

4

2 - 4

-4

1 - 1 - 4 2

2 1

División de p(x) entre x - 2

1

-

2

-

2

/ Residuo



4. Factorizacióny fracciones algebraicas

189

4.6.4. Descomposición factorial de polinomios La descomposición factorial de polinomios implica encontrar las raíces de un polinomio por divisiones sucesivas, utilizando la regla de Ruffini. Como/?(>) = (x- r) C(x), en lugar de buscar las raíces dsp(x) se buscan las raíces del cociente, ya que se tiene la ventaja de que el grado de C(x) es una unidad menor. Ejemplo de 4.6.4 1. Descomponer el polinomio x3 + x2 - 4x - 4

H

Solución: Las posibles raíces son los divisores del término independiente: 1,-1,2, -2,4, -4. En el cuadro 4.2 se indica el inicio de la división del polinomio por las posibles raíces: CUADRO 4.2 -4 -4 4

1

1 2

-4x -4 6

1

3 1

2 4

0 6

i\1

4

6

6

X3

r—*-2 1 \

+JC 2

— Pto C(x) = x2 + 3x + 2 Posibles raíces 1,-1,2,-2

1 no es raíz

Cuando se divide por la posible raíz 2 se obtiene un residuo 0, con ello se confirma que r = 2 es raíz. El cociente C(x) = x2 + 3x + 2 tiene como posibles raíces 1, - 1 , 2, - 2 , todos ellos divisores del término independiente 2. Al elegir el valor 1 se observa que no es raíz al dar un residuo distinto de cero. Se intenta con el valor de otra posible raíz, por ejemplo - 1 , comprobando que r— - 1 es raíz al dar un residuo de cero. El nuevo cociente es C{x) = x+2 que tiene



Álgebra básica

190

también como posibles raíces: 1, - 1 , 2, -2. Con el valor de - 2 se obtiene la última raíz con un cociente de C{x) = 1. La operación completa se muestra en el cuadro 4.3: CUADRO 4.3

1

1 2

-4 6

-4 4

1

3 -1

2 -2

0

1

2 -2

0

1

0

2

-1

-2

CM-JC + 2

Posibles raíces 1,-1,2,-2

Las raíces obtenidas 2 , - 1 , - 2 determinan los factores x- /*en donde r se cambia de signo: 2=>(jr-2)

-l=>(r+l)

-2=»(;r+2)

El polinomio descompuesto esp(x) = (x - 2)(x + l)(x + 2)(1).

4.7. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Las fracciones, también llamadas expresiones algebraicas racionales, consisten en un cociente de dos polinomios. Se pueden simplificar fracciones que involucren exponentes y variables de la misma manera como se hace con fracciones aritméticas. Aquí es importante recordar la propiedad fundamental de las fracciones: ax _a bx~b

donde




191

Al proceso de pasar de axibx a alb se le denomina simplificación y se realiza eliminando factores idénticos del numerador y el denominador. Si a y b no tienen ningún factor común, excepto 1, entonces se dice que ¿?/¿está en los términos más simples, es irreducible. El procedimiento de factorizar ayuda a simplificar fracciones algebraicas.

4.7.1. Propiedades de las fracciones 1. Para cualquier número real a y b, donde b sea diferente de cero: -a__a b~-b

^8_A-_4 T"^2~

2. Para cualquier número real a y b, donde b sea diferente de cero: -a = a -b~b

-20_20_ 4 -5 ~ 5 ~

3. Para cualquier número real a y b, donde b sea diferente de cero: a-b_

bâ~

1 0

-

5

_

5

_ -

5

_ i

5^To~^5~T~~

4. Propiedad de suma defracciones Si ¿T, by c son números reales, donde b es diferente de cero: a c_a+c b b~~ b

4 5 4+5 9 2+ 2 ~ ~ 2 ~ ~ 2

Si a, b, c y ¿/son números reales, donde b y ¿/son diferentes de cero: a c _ad be _ad + bc b d~bd bd~ l*d~

6 2_24 16_24 + 16_40 8 4~32 32~ 32 ~32

5. Propiedad de multiplicación de fracciones Si a, b, c y ¿/son números reales, donde b y ¿/son diferentes de cero: a)(c)_(a)(c)_ac b)\d) (b)(d) bd

(6)(x) _ 6x _ 6je _6 (5)(JC) 5x 5Je 5

(a)(d)Ja)(á)= a

Í5x](ly)

(b)(d) (b)(d) b

UJUJ

(5*)(7y) = 35xy

16

16



192

Álgebra básica

6. Propiedad de división de fracciones

Si a,b,cy ¿/son números reales, donde b, cy ¿/son diferentes de cero: a

c

Ejemplo de 4.7.1 Resolver utilizando las propiedades de multiplicación y división. 12 =

=

18 (3)(6) 3 4.8. SIMPLIFICACIÓN MEDIANTE FACTORIZACIÓN

La simplificación de un número o cualquier expresión algebraica implica reducirla. Ejemplos de expresiones algebraicas racionales 6JC4-8

4JC2 + 2 0 * + 25

8*

50;y

jt 4 + 5

4y8z

El primer ejemplo se llama expresión racional entera enxyy pues cada uno de los polinomios en el cociente es un polinomio en xy un polinomio eny La segunda expresión es una expresión racional en x, ya que cada uno de los polinomios en el cociente es un polinomio en x. Por razones similares, la tercera expresión es racional en x,yyz. Las propiedades de las fracciones pueden ser útiles para simplificar expresiones como las anteriores.

Ejemplos de 4.8 1. Factorizar y eliminar términos semejantes. -1)

2JC-1

Frecuentemente, al simplificar una expresión algebraica se factoriza primero la expresión y después se utilizan las propiedades de las fracciones para reducirla.




193

2. Factorizar y eliminar términos semejantes. 4-y2

2 2 -y 2

(2-y)(2 + y)

Se puede considerar que: (2 -y) = —{y- 2) (4y-l)(y-2) = 4 y - l (y-2)(2 + y) 2 +y 3. Factorizar y eliminar términos semejantes. =

25-x2 (5-x)(5 + x) ~2 = — x - 3 x - 1 0 (jc-5)(jc + 2)

_ , , . . „ Recuérdese que 5 - x = -(x - 5) Asíque(5-x)/(jr-5) = l

n

H

Ejercicios de 4.8 Simplificar las siguientes expresiones racionales: 6JC 2 -JC-2

4xy

4.9. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Como se ha indicado previamente, el cálculo con fracciones algebraicas se facilita al simplificar expresiones algebraicas, y son menores los esfuerzos al resolver ecuaciones con fracciones.

4.9.1. Multiplicación de fracciones Recordemos la forma como multiplicamos las fracciones numéricas. Multiplicar 2/5 por 6/7.



194

Álgebra básica

Solución: 12 (5)(7)

35

Para multiplicar dos fracciones se obtiene el producto de los numeradores y el producto de los denominadores. La aritmética con fracciones numéricas proporciona un modelo para la aritmética con fracciones algebraicas. Se multiplican las fracciones algebraicas exactamente en la misma forma.

Definición de producto de fracciones Dadas dos fracciones algebraicas alb y cid, se define su producto a\\c b(d cíe

como: — donde b ^ 0, bd Para multiplicar expresiones racionales algebraicas se utiliza la propiedad 5 de las fracciones. Cuando se multiplican dos expresiones racionales, los numeradores y denominadores deben factorizarse completamente antes de aplicar la propiedad de la definición de producto de fracciones; esto facilita la reducción al mínimo de la expresión racional que representa el producto.

Ejemplos de 4.9.1 1. Multiplicar y simplificar tanto como sea posible.

Ax-\)

y

U+3,

Soluciones:

.hrfYex3) a)

—y- = A

c

(3^2)(6^) -p—^(4wz)(5w¿y)

., Definición de multiplicación




195

=

~Propiedades de los exponentes 20w3yz La multiplicación está efectuada, pero tal vez la fracción resultante tenga una forma equivalente más simple. De hecho la tiene, ya que: lSx4y2 20w3yz

(2)(9)x4yy (2)(lO)w3yz

.

~

•

i

,*

,

*

•

Propiedad fundamental de las fracciones n

9x4y

f

A

A

A

Respuesta en la forma más simple

z = lOw -—fV 3 * + 5^

JC(3JC + 5 )

. .,

.,

Definición de multiplicación

u-i) Respuesta en la forma más simple También es correcto dejar la respuesta de este problema en forma factorizada:

Si se quiere escribir la respuesta en la forma más simple, se pregunta: ¿hay factores comunes en el numerador y el denominador? c

=

)

7

{x + 3){ x )

V^^—;—

Definición de multiplicación

(x + 3)(x)

Factorícese tanto como sea posible:

x\x2-9) (x + 3)x

=

x\x + 3)(x-3) (x + 3)x

Se simplifican las xy los términos (x+ 3), quedando: = x\x-

3) o bien x3 - 3x2

Respuesta en la forma más simple

Este ejemplo sugiere que debería factorizarse tanto como sea posible antes^de multiplicar los numeradores y denominadores. De esta manera, es posible descubrir una forma simple de la respuesta.



196

Álgebra básica 4.9.2. División de fracciones

Recordemos que para dividir una fracción numérica entre otra, digamos 3/5 -*- 8/7, cambiamos el problema de división a un problema de multiplicación (invertir el divisor y multiplicar), de este modo 3/5 •*• 8/7 se transforma en 3/5 * 7/8 = 21/40. La división de fracciones algebraicas se hace exactamente de la misma manera, aplicando la propiedad 6 de las fracciones. Definición de cociente de fracciones Dadas dos fracciones algebraicas a c - y - donde c ^ 0 b d su cociente es igual a

donde b, d* 0

Ejemplos de 4.9.2 1. Desarrollar las operaciones indicadas y simplificar tanto como sea posible. 4wz 2

,. 25x2-l6y2

x2-4

2xy-6y2 3 Soluciones: a) — ^ - -swz

— x y

Se cambia el problema de división a un problema de multiplicación, de acuerdo con la definición anterior




197

4wz2 4 w z

-y

(4)(2wY) ,. 25x -I6y ^ ~2

j

x-4

Propiedades de los exponentes y definición de multiplicación Respuesta en la forma más simple -, , . i, J , . - . . , Cambio a un problema de multiplicación

* ~2

x2-4 10)(x2-4)

Factorizar completamente

(5x - 4y)(5x + 4y)(x + 5)(x - 2) Respuesta de la forma más simple (x-2)(x + 2) =

c)

(5x-4y)(5x + (x + 2)(x + 2)

2xy-6y2

4xy-\2y2

ix~ +oxy

x + zy

3

+

6x2y)[4xy-l2y2)

(3xi + 6x2y)(4xy-l2y2) =

No se necesita multiplicar

Utilizar la propiedad de la definición

Buscar factores comunes

2y(x-3y)(x + 2y) 3x2((x + 2y))(4y)(x-3y)

6x

La respuesta hasta la forma más simple posible



198

Álgebra básica

Observar el ejemplo \cnuevamente. ¿Cómo puede ayudar la división de fracciones algebraicas? Suponiendo que estas fracciones provienen de la aplicación de un problema real, y también suponiendo que x= 1.5 y y- 2,,se tiene la elección de: a) poner los valores de x y y en el primer renglón del ejemplo l e y obtener: 2(1.5)(2) - 6(2)2 4(1.5)(2) -12(2) 2 3(1.5)3 + 6(1.5r(2) 1.5 + 2(2) (lo cual implica más cálculos), o b) se puede hacer el álgebra primero (como en el ejemplo \c)y luego sustituir en el resultado obtenido los valores ásxy y: —~ = ~= = = 0.074 con una exactitud de tres decimales 6x2 6(1.5)2 6(2.25) 13.5 Es más probable que la aritmética resulte más fácil en el segundo caso, y de esto es lo que trata la simplificación de fracciones algebraicas, de hacer los cálculos más fáciles.

Ejercicios de 4.9.2 Multiplicar, dividir y simplificar tanto como sea posible. 450^ ' 2 8 V' + 9^

5J (x6x

+ 9)Í2x_2

Ax2-9y2 6x2-xy-l2y ' xy + y22 '' xy + 2x2 x +2

t

JC2-4

4.10. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

La suma y la diferencia de expresiones racionales se determinan aplicando la propiedad 4 de las fracciones: a b_a+b

a

b_a-b

d d'IT

d~~d~^dT




199

Para ello es necesario que las fracciones tengan el mismo denominador. Si se desea sumar o restar fracciones que no tengan el mismo denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes que tengan mínimo común denominador. El mínimo común denominador (MCDn) de expresiones racionales dadas es el polinomio de grado mínimo que es múltiplo de cada uno de los denominadores. Para determinar este polinomio, primero se obtiene la forma completamente faetorizada de los denominadores. El MCDn es el producto de los diferentes factores primos que hay en alguno de los denominadores, donde la potencia de cada factor es la potencia más elevada que aparece. Por ejemplo: Desarrollar las operaciones indicadas. ,37 a) - + 8 8

,,79 b) y

12 20

Soluciones: a) Considérese 3/8 + 7/8. Los denominadores j4? están en unidades comunes. Por lo tanto, se puede simplemente sumar los numeradores: 3 7 3 + 7 10 5 - +- = = —= O

O

O

O

, . t t . Respuesta en la forma mas simple

D

4

b) Considérese 7/12 - 9/20. En este caso, los denominadores no son los mismos. Si se quiere volver a definir cada fracción de tal forma que los denominadores estén en unidades comunes, ¿cómo debe encontrarse el MCDn de 12 y 20? Tanto 12 como 20 deben dividir a este MCDn exactamente. Por lo tanto, todo factores 12 y 20 debe dividir también al MCDn. Se factoriza 12 y 20 para ver cómo se obtiene el MCDn. 12 = 4(3) = 20 = 4(5) = (2)(2)(5)

Factorizado en factores primos

El MCDn necesitará dos factores iguales a 2, un factor igual a 3 y un factor igual a 5. De este modo, el MCDn es (2)(2)(3)(5) = 60. Luego: 7 9 35 27 8 2 12"20 = 60"60 = 60 = 15

Respuesta en la forma mas simple

En este caso, el denominador 12 necesitaba un factor 5 para alcanzar el MCDn. El denominador 20 necesitaba un factor 3 para alcanzar el MCDn.



200

Álgebra básica

Cuando se determina el MCDn, es útil considerar el procedimiento de redefinición de una fracción como una multiplicación por 1 en una manera conveniente. Por ejemplo: 7 9 (7 ^ 9 = — (1) (1) 12 20 U2j 20

Multiplicar por 1 no cambia nada F

F

7 )(5] ( 9 V 3

60

6060l5

Se ha vuelto a escribir el 1 de manera conveniente, utilizando lo que hacía falta para el MCDn. Esto implica la propiedad fundamental de las fracciones: 7V5>|_(7)(5)_35 12 \12J\5) (12) (5) 60

9_f9V3>| 20 \20j\3J

(9) (3) 27 (20) (3) 60

Esto es, se multiplica cada fracción por 1 en la forma de: _ factores del MCDn que faltan en el numerador factores del MCDn faltantes en el denominador Escribir fracciones con el MCDn implica el inverso de la propiedad fundamental de las fracciones:

b

b

(b)(c) be

Se suman (o se restan) fracciones algebraicas, como lo efectuado en el modelo aritmético en el ejemplo 1.

Ejemplo de 4.10 1. Desarrollar las operaciones indicadas. 3JC

3JC

x

2y




201

Soluciones: . 5 y lz 5 y + 7z ¿27 — H =—

3x

3x

, . , , Los denominadores son los mismos, asi

T

3x

qUe s e

suman

i o s numeradores

Respuesta en la forma más simple 3

x

Primero encontrar el MCDn:

2y=2(y)

3 x 3Í2y) x(x2) ~2 = ~2 \~2\ x 2y x \2yJ 2y\x J JC3 6y = \ A h o 2x y 2x y _6y-x3 2 2x

-

y

. u. r 1 multiplica por 1 en una forma convenientepara redefinir las fracciones o

r

_-x3 2x

a las fracciones tienen el mismo denominador Se restan los numeradores y se obtiene la respuesta

2 y

Los pasos seguidos son exactamente los mismos utilizados cuando se suman fracciones numéricas.

4.10.1. Procedimiento para sumar (o restar) fracciones Caso 1: Si las fracciones ya tienen el mismo denominador, sumar (restar) los numeradores y escribir la suma (diferencia) sobre el denominador. Luego reducir la respuesta a la forma más simple: a c

a+c

+ Caso 2: Si las fracciones no tienen el mismo denominador, entonces: a) Hallar el mínimo común denominador (MCDn) 1. Factorizando cada denominador completamente y 2. Formando el MCDn.



Álgebra básica

202

b) Redefinir cada fracción con el MCDn como denominador, multiplicando por 1 en una forma conveniente. c) Los denominadores ahora son los mismos, así que debe procederse como en el caso 1.

b d [bAd)

[dAb

bd bd

bd

Ejemplos de 4.10.1 1. Desarrollar las operaciones indicadas y simplificar tanto como sea posible. Estos denominadores son monomios

y z xz

Algunos de estos denominadores tienen más de un término

x +7 x . c)

a

b +

a-b

a+b

Solución: Hallar el MCDn: y z xz

y z\xzj

xz yy J Se multiplica por 1

5x2z

xyh1

Los denominadores son iguales

Respuesta

Solución: 3 5 b) x +7 x

Hallar el MCDn: El único factor x+ 7 es x+ 7 y de x es x, luego el MCDn es x(x+ 7)




x + l\x)

x\x + '

3x x(x + l)

x(x

203

Se multiplica por 1 en forma conveniente Se tienen los mismos denominadores

Puede simplificarse el numerador _-2JC-35_-35-2JC JC(JC + 7 )

Se llega a la respuesta

X ( 7 + JC)

Solución: C)

a a-b

b a+b

a (a + b\ b (a-b a-b\a + b) a + b\a-b

Multiplicar por 1 para redefinir

b(a-b) a(a + b) (a-b)(a + b) (a + b)(a-b)

Se tienen fracciones con los mismos denominadores

_a(a + b) + b(a-b) ~ (a-b)(a a2 + ab+ab-b2 (a-b)(a + b) a2 + 2ab-b2 b2 a2-b

Se multiplica y se suman los numeradores Simplificar el numerador hasta donde sea posible Respuesta



204

Algebra básica 4.11. APLICACIONES

En ciencias sociales, especialmente en administración y economía, frecuentemente se encuentran funciones como: costo de producción en función de las unidades que se fabrican, cantidades demandadas por el mercado con base en los precios, ingresos obtenidos en función de las unidades vendidas, entre otros ejemplos. En ocasiones, estas funciones pueden parecer, a simple vista, complicadas para su graficación; sin embargo, esta situación se resuelve mediante la factorización y el uso de productos notables. Los siguientes ejemplos se refieren a dos funciones, donde C es el costo de producción y Q las unidades que se fabrican.

0 2 -36 (0+6)(0-6) C(0)= Q+1 = Q+1 = l 2 0 - 4 9 (0+7)(0-7) 0 - 7 Las siguientes funciones representan al ingreso (R) en función de las cantidades vendidas (Q).

2

160

160

(2+3X0+5) 4.

g +6 2 2

Q + 2 g - 2 4 (G + 6)(Q-4) Q-4 Los ejemplos planteados se comprenden mejor cuando se trata de encontrar la continuidad de la gráfica o de la función. 4.12. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN CON MATHEMATICA

Mathematica ofrece fundamentalmente dos instrucciones que apoyan estas operaciones. Para efectuar un producto de polinomios o expresiones, aun no algebraicas, se utiliza la instrucción Expandfoperación deseada]. En lo que respecta a la factorización, la instrucción Factorfexpresiónj^ realiza la factorización completa y FactorTerms'[expresión]'genera los factores comunes. Como ejemplos, véanse imágenes 4.1 y 4.2.




205

IMAGEN 4.1

ln[46]:= Out[46]= ln[47]:= Out[47]=

16 - 9 x* + 40 y + 25 y£

A A ln[48]:= E x p a n d [ ( - 2 x 3 y 2 + 5 t )

(2xA3yA2+5t)]

6 4 Out[48]= 25 t* - 4x y

ln[40]:= Out[49]= -2 + 9 X* A ln[50]:= E x p a n d [ ( l / 2 x ^ 2 - 3 / 5 y) 3 ]

Out[50]=

x6

9x4y

8

2 0

27 X* y* 50

31':

27yJ 125

ln[51]:= E x p a n d [ ( 2 X + 3 Y + 4 ) ( 2 X + 3 Y - 8 ) ] Out[51]=- - 3 2 - 8 x + 4 x *

-4y+16xy+15yí

A

A A ln[53]:= Expaiul[(3 x 3 - 5 4 y 2 ) 4 ]

IV-

1 9 6 2 Out[53]= 81 x * - 5832 x y* + 157464X y* - 1889568 x y* + 85O3O56 y*

í

-; IMAGEN 4.2 ln[54]:= FactorTen»[7 xSqrt [y] + 14 x A 2 Sqrt [y] - 2 1 Sqrt [ y ] ] 0ut[54]= 7 (-3 -/Y +X
II •

ln[íí]:= Factor [%] Out[65|= 7 ( - 1 + X ) ( 3 + 2 X ) \ T y

ln|56]:= Factor[9 y A 4 - « l x A 2] Out[66]= - 9 ( 3 x - y * ) ( 3 K + y l ) ;

ln[«7]:= F a c t o r [ - 4 y A 2 - 144y A 8 + 48 y A 5] Outp?]- - 4 y 1 C-l + e y V in[«8]:= Factor[9 y A 2 - 30 y + 23] Out[58]= (-5 + 3 y ) r

1

ln[59]:= Factor[6x A 4 y A 6 - 9 x A 2 y A 3 - tO] Out[69]= 3 (-4 + x ^ * ) (5+2x í y J )

1

ln[6ü]:= Factor[8 x A 3 - 125 y A 3]

]"

Outpo]= ( 2 x - 5 y ) ( 4 x l + 1 0 x y + 25y 1 )

1 T 1

Inpi]:» Factor[x A 2 - 2 x y + y A 2 - z A 2 ] outpij» ( x - y - z ) ( x - y + z)



Álgebra básica

206

Para simplificar expresiones algebraicas, el paquete brinda las instrucciones siguientes: Simp/i/yfexpresión]. Busca una forma simple de expresión, utilizando transformaciones algebraicas. FullSimplify[expresión]. Encuentra la forma más simple de expresión, utilizando incluso transformaciones no algebraicas. Together[expresión]. Coloca todos los términos sobre un común denominador. Apart[expresión]. Separa términos con denominadores simples (véanse imágenes 4.3 y 4.4). Cancel[expresión]. Cancela factores comunes entre numeradores y denominadores. IMAGEN 4.3 ln|68].= f =

i Outf68]=

( X - 1 )

(-l+x)

í

A

2 ( 2 +X ) / ( ( 1 + X )

( x - 3 ) * 2 )

(2 + x)

( - 3 + x ) í ( i +x)

ln|68J:= Expailll[f] 3x

Out(69]=

(-3 + x)« (1 + x)

(-3+x)i (i + x)

in[7i)):= ExpandAll[f] 2

3x

Out[70]=

+ 3x-5x £ +

ln[7i]:= Together[%] 2-3x+x} Out[71]«

ln[721:«

19

Out[721« 1 + •

4 ( - 3 + x) A

4 ( l + x) A

in[74]:= Cancel[(3x 2 - 3 x - 2) / ( x 2 - 4 ) ] l + 3x Out[74]=

2+ x Inp5]:= Cai»cel[(2-x-3x A 2)/(íx A 2-x-2)]



207

4. Factorización y fracciones algebraicas IMAGEN 4.4

1 + 2x In [7«1:= Sin^li fy[(6x A 2y A 3/4wz A 2)/(2w A 3z A 3/lOx A 4y A 4)] Out [76]=

-ÍÍ 2 w* x í y z

ln[77]:= Siji»li£y[((2xy-6y A 2) / (3 x A 3 - t xA2 y)) / ((4 xy - 12 y A2) / (x + 2 y))] OutP 7]=

X +2 Y 6x*(x-2y)

, ln[7S]:= C a n c e l O ] x +2 y x 1 (x - 2 y ) 9]:= T o g e t h e r [ ( 3 / x A 2 ) - ( x / 2 y ) ] 79]=

6 - x ' y *

DJ:- T o g e t h e r [ ( 5 x / ( y

A

2

z ) )

+

( 2 y / ( x z

A

2 ) ) ]

xy* z

Ejemplos resueltos con Mathematica IMAGEN 4.5

JSEÍ E j e n p l o s de Xa s e c c i ó n 4 . 1

(-2

-4- X )

Factor[4

]J

( 3 - 4 -X ) x A 2-9/16]

( - 3 •+- 8 x )

]]

( 3 -+- 8 x )

16

Ejen^los

d e Xa s e c c i ó n 4 . 2

2 2 4 a -+- 20 a b + 25 b Expand[(t A 2+7)

T

J

F a c t o r [ x A 2 +x-6]

(tA2-2)]

Expand [(3u A 3+4v A 2)

<3n.A3— 4v

]JJ ]j 1 ]]

]J ]

1 i

_£j I



Álgebra básica

208

IMAGEN 4 . 6 1^ liiiillíiii^

T*

Ejenplos de l a sección 4 . 3 . 1 Factor[25x A 4-30x A 3+5x A 2]

J 1

S (1 - 5 x) (1 - x) x Factor[12x A 3-«x A 2] 2 6 x (-1 + 2 x)

]J-

Factor[3 0xA 6-18xA 3]

]1"

3 3 6 x (-3 + 5 x )

r~

~~" *i

i IMAGEN 4 . 7

Ejemplos

sección 4.3.1

Factor [-10r A 3s A 2t A 4-20i: A 3s A 2t A 3-i-Si: A 2s A 4t A 4]

2 5 r

2 s

3 t

2 (-4 r - 2 r t + s t)

i];

A

Factor [x ( 2n) +x~ ( 2n+l) ]

2 n (1

]j




209

IMAGEN 4.8

Sección 4 . 3 . 2 Ejen^los ± Factor- £x^ 2 + 6x+ 9]

]Jl!

(3 -»- x)

m:¡m

IIIÜ

Factor- [x~ 2 - 8x+ ±6] (-4 -»- x)

1

2

Factor- [ 9x 2 - 6x+ ±2 (-1 + 3 X) : !

1

2

11

Ejerció 2 Factor[8x A 6-27y A 9] (2 x

2

-

3 y

i

]1ill

A

3

)

(4 x

4

•+• 6 x

2

y

3

6 -»- 9 y )

].

lili

i

WBSMMMJÍ IMAGEN 4.9 Ejerrólos de l a s e c c i ó n 4 . 4 Factor [ 3xA 2 + 7x- 6x y-14y] (7 + 3 x)

(x - 2 y)

]J

Ej erólos 2 Factor[5x z-5y z-x+y]

(-x + y)

(1 - 5 z)

Factor[42-6uA3-7vA2+uA3 (-7 + u )

(-6 + v )



210

Álgebra básica IMAGEN 4.10

11

Sección 4 . 5 Ejemplo 1 F a c t o r [ 1 6 a ~ 2 +4 0a+ 2 5} (5 -+- 4 a)

Factor[4xA2-12x (-2

x + 3 Y)

y+9y A 2]

1

2

T

Factor[6xA2 + 5x-6] (3 + 2 x )

( - 2 + 3 x)

F a c t o r C 6x A 2 + 19x+10] (5 + 2 x )

J

(2 + 3 x)

IMAGEN 4.11 Sección 4.6 L.A división sólo se efectúa cuando e l divisor es factor y se realiza a partir de l a instriiccón Ejen^los (x-4) 3 3 -+• 2 x + 2 x

_]_

S i m ^ l i f y [ ( x A 4 - x A 3 - 4 x A 2 + 2 x + 4 ) /
1 J_

F a c t o r [ x A 3 +x A 2 - 4 x - 4 ]

^] "1

(-2 + x) (1 + x) (2 + x)

«i

]J

i




211

IMAGEN 4 . 1 2

Sección 4. 8 -4) / ( 4 x A 2 - 4 x + l ) ] 4

•+• 3

X

]\

-1 + 2 x S±JT*>Xif y [ < 2-9y+4y~2) / <4-y~2) ] 1 - 4 y 2 + Y

5 + x

Sección 4.9 Cancel [ ( ( 3x y A 2 ) / ( 4 w z) ) 9 x

4

(6x A 3/(5w A 2 y) > ]

y

IMAGEN 4.13 sección 4.9.2 Cancel[((6xA2 yA3)/(4w 15 x

6

y

7

Cancel[<<2x y-6y A 2)/(3x A 3+6x A 2 y>>/((4x y-12yA2)/
6 x



Álgebra básica

212

IMAGEN 4.14 Sección 4.10 P a r a s a c a r e l comcún djenomxnaidLoi: s e together[.] Together[(5y)/(3x) + <7z)/<3x>] 5

la

instrucción

y -I- 7 z 3

x

Together[3/xA2-x/< 2y) ] 3 -x 2 x

6 y y

Together[5x/(y A 2z)+2y/< 3 2

y

x

2 -4- 5 X Z

2 2 y z

Together£3/(x+7)-5/x] -35 x

2 x

(7 + x)


Tema 4.2

2. 3. 4.

- 12

5. 6. 7.




213

8. a2

Tema 4.3 1. d)x4-2x2 + \ 2. cJ9x(x-9y)(x+9y) 3. aJ(x+5)(x2-5x+25) 4. d) Ninguno de los anteriores 5. c) (x2 -y%c* + x2y + y6) 6. d)2xy(y2 +

4){y+2)(y-2)

7. d) Ninguna de las anteriores 8. ^ 8 8 2 - 8 7 2 = 1 7 5

Tema 4.5 1. a) El primer y tercer términos del trinomio son cuadrados perfectos, es decir, (3x)2 y {Ay)\ y 24xy es 2(3x)(4y). De aquí que se aplique el caso primero del binomio al cuadrado y se obtenga: 9x2 + 24xy+ b) El primer y tercer términos son los mismos que los del inciso a), pero debido a que el término medio del trinomio es -24xy, se considera a 16^ como {~4y). Del caso primero del binomio al cuadrado: 25xy+ \6y= {3x- 4y)



214

Álgebra básica

c) Se tiene un polinomio de segundo grado del tipo que se indica en el punto 2 del caso sexto del binomio con término común. Mediante aproximaciones sucesivas se obtiene: 9x2 + 25xy + I6y2 = (9x+ \6y)(x+y) d) Una vez más se tiene un trinomio de segundo grado del tipo que se indica en el punto 2 del caso sexto, y nuevamente por aproximaciones sucesivas queda: 9x2 - I45xy + \6y2 = {9x-y){x-

\6y)

e) Se tiene un binomio que es la diferencia de dos cuadrados, por lo que se aplica el caso tercero y resulta: 9x2 -I6y2 = (3x + 4y)(3x - 4y) f) Este binomio es la suma de dos cuadrados.

Tema 4.8 1.

3JC2-5X-2

x2-4

(x-2)(x + 2)

2-x-3x2 '

_(\ + x)(2-3x) 2

~

^

x+2 _~

donde se utiliza el hecho de que (2 - 3x) = -(3x - 2). Esto explica el signo menos en la respuesta final. x+3 6x2y-2y 2y(3x2-1) 3x2-l 4. — ~ - —-— = 2x 4xy 2y(2x) Á

_ + . .r .Á , t t Factonzar y luego utilizar la propiedad fundamental de las fracciones




215

Tema 4.9 La multiplicación y división se manejan usando las reglas para cocientes de números reales y después se simplifica: 10 J

(3)0(2*57 =

2x3y((2)(3y)) 5((2)(3y))

( x - 5 \Ux2 + \2x + 9\( x - 5 2 -9j[2x2-llx + 5){(2x+3)(2x-3)){(2x-l)(x-5)

(2x - 3)(2x - l)[(2x + 3)(x - 5)]

-2V

3 í-y

-l

Qc-3)2(2(;c-l))

V 4

2

xy + y

=

2(^-3)

){x-3 J ( ( ) ( 2

xy + x

f - 3 y ) ( 2 x + 3y)^í ( y(x + y)

x(y + x)

x(2x - 3y)(2x + 3y)(y + x) y(x + y)(2x-3y)(3x + 4y)

x-3y)] _x(2x + 3y) ~y(3x + 4y) _2x2 + 2xy 4y2 + 3xy



216

Algebra básica

45a3b 28c V

-75a4b 8c2d*

5. ^—¿-n3 + -

f(3 2 )(5aV) ¥ 23c2d4 {(22)(lc4d3)){(-3)52a4b) (-22)(3)(52)(7a4bc4d3) (2)(3bd(22*3*5a3bc2d3)) ' (-5)(7ac2(22 * 3 * 5a3¿c2d3)) 35ac2

6

±±2_+ .x 2x-3

4

2x - 3 x

_( x + 2){2xz-3x}_ U^-3A

x-4

)

(x + 2)(x(2x-3)) (2x-3)(x

+ 2)(x-2)

x-2

BIBLIOGRAFÍA

Lovaglia, Florence M., etal., Álgebra, Haría, México, 1994. Swokowski, Earl W., Algebra universitaria, Compañía Editorial Continental, México, 1971.



CAPÍTULO 5

Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades





5. ECUACIONES, SISTEMAS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Al terminar este capítulo, el lector podrá:
Estructura del capítulo Introducción 5.1. Ecuaciones de primer grado. 5.2. Ecuaciones de segundo grado. 5.3. Sistemas de ecuaciones de primer grado. 5.4. Sistemas de ecuaciones de primer y segundo grados. 5.5. Sistemas de ecuaciones de segundo grado. 5.6. Desigualdades. 5.7. Aplicaciones. 5.8. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones con el paquete Mathematica.

INTRODUCCIÓN

E

N LA CIENCIA ECONÓMICA y en la administración hay una gran cantidad de problemas que se resuelven utilizando ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticos. También hay problemas que requieren, para su solución, sistemas que combinan ecuaciones de primer y segundo grados. En este capítulo se explica la forma de plantear, resolver y grafícar: ecuaciones de primer y segundo grados, sistemas simultáneos de primer y segundo grados, sistemas simultáneos combinados (de primer y segundo grados), así como inecuaciones. En la sección 5.6 se desarrolla el concepto de desigualdad y se explica cómo resolver sistemas de desigualdades. Éstos tienen especial relevancia y utilidad en modelos de programación lineal. En la penúltima sección se muestran algunas aplicaciones en las ciencias sociales. En la última se resuelven ejercicios utilizando el paquete Mathematica. 219



220

Algebra básica 5.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Definición: Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias incógnitas y sólo se puede comprobar que es verdadera para determinados valores de las incógnitas, por ejemplo: Sea la ecuación 3.r= 2.r+ 3 Es verdadera si x se sustituye por el valor de 3, porque entonces tanto el lado derecho como el izquierdo son iguales a 9. 3(3) = 2(3) 4- 3 9=9 Es falsa si x se sustituye por el valor de 4, ya que el lado izquierdo es igual a 12 y el derecho igual a 11. Esto da lugar al concepto de conjunto solución, formado por todos los números que satisfacen la igualdad. A los elementos del conjunto solución se les denomina raíces de la ecuación. Definición: Una ecuación se dice lineal cuando está formada con variables que tienen exponente 1, y ningún término de la ecuación es un producto cruzado de dos o más variables, por ejemplo:

x-h2x-\-6x = 5 Sea la ecuación: 5x2 + x- 9 No es una ecuación lineal, porque el exponente de la variable es igual a 2. Sea la ecuación: 2x+ 5xy= 8 No es una ecuación lineal, porque tiene el producto cruzado xy como uno de sus términos.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita Una ecuación de primer grado con una incógnita se escribe de la siguiente forma: ax= b



S. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades

221

En donde: a y b: son constantes x: es una variable En la solución de esta ecuación se presentan solamente tres casos: • Si a± 0, la ecuación tiene una única solución: x- bla • Si a- 0 y b- 0, la solución tiene número infinito de opciones (0x= 0), porque cualquier número real x satisface a la ecuación ax- b, y por lo tanto, es solución de ésta. • Si a - 0 y b ^ 0, la ecuación no tiene solución (Ox = b), ya que cualquier número real x, al sustituirlo del lado izquierdo de la ecuación y multiplicarlo por cero, da como resultado que el primer miembro sea cero y el segundo sea distinto de cero (0 ^ b).

Ejemplos de 5.1 1. Sea la ecuación: 3x = 6, la solución única es x = 2. H 2. Sea la ecuación: - 6 = 2x, la solución es x- - 3 . 3. La ecuación: 0 = Obtiene un número infinito de soluciones.

5.2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Durante muchos años, el estudio del álgebra ha estado relacionado con la solución de ecuaciones. Hay una amplia variedad de problemas en las ciencias económico administrativas que se resuelven utilizando ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. En esta sección se explica en qué consiste una ecuación de segundo grado, cuáles son sus elementos, qué procedimientos hay para encontrar sus raíces, cómo se representan gráficamente, etcétera. Las ecuaciones de la forma ax1 + bx + c - 0, donde ¿7^0, son ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Toda ecuación de segundo grado en la que b = 0 es una ecuación cuadrática pura. Las ecuaciones: axljr c= 0, 5x2- 25 = 0, Ax1- 36 = 0 y Ix2+ 24 = 0 son cuadráticas puras. La ecuación cuadrática pura carece del término de primer grado.



222

Algebra básica

La ecuación de segundo grado en la que c- 0 es una ecuación cuadrática mixta incompleta. Las ecuaciones: ax2 + bx- 0, 6x2- 36*= 0 y 14*2 + 16* = 0 son cuadráticas mixtas incompletas. La ecuación cuadrática mixta incompleta carece del término independiente. Las ecuaciones de segundo grado en que aÔ, bÔycÔ son ecuaciones cuadráticas mixtas completas. Ejemplos de este tipo de ecuaciones son: ax2+ bx+ ¿?=0, 2*2 + 6 * - 9 = 0, 4x2- 15* + 2 = 0, 35* 2 - 30*+ 22 = 0. Las ecuaciones cuadráticas mixtas completas tienen término de segundo grado, término de primer grado y término independiente.

5.2.1. Solución de la ecuación cuadrática pura Para resolver una ecuación cuadrática pura se realizan los siguientes pasos: 1. Se despeja el término de segundo grado. 2. Se dividen ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente de la incógnita. 3. Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación.

Ejemplos de 5.2.1 1. * 2 - 4 = 0

B

• Se despeja el término de segundo grado: x2= 4 • Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación: * = +2. Las raíces de la ecuación son: 2 y -2 Las raíces se identifican de la siguiente forma: xx = -2, x2= 2. Comprobación: Sustituyendo xx = - 2 : - 2 2 - 4 = 0 4-4 =0 Para*2 = 2: (2) 2 -4 = 0 4-4 =0 Ambas respuestas satisfacen la ecuación, son sus raíces (véanse la tabla y gráfica 5.1).



5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades

223

TABLA 5.1 VALORES DEy = X2- 4 = < X

-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

y - x2 - 4 12.0 8.3 5.0 2.3 0.0 -1.8 -3.0 -3.8 -4.0 -3.8 -3.0 -1.8 0.0 2.3 5.0 8.3 12.0

2. 3x 2 -48 = 0

GRÁFICA 5.1 VALORES DEy = x2-4

=0

B

• Se despeja el término de segundo grado: 3x2 = 48 • Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de la incógnita: x2=\6 • Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación: x- ±4 Las raíces son: x{ = -4, x2 = 4. Comprobación: Sustituyendo en la ecuación x por - 4 resulta: 3(-4) 2 - 48 = 0 3(16)-48 = 0 Sustituyendo x por 4 se obtiene: 3(4)2 - 48 = 0 3(16)-48 = 0



Álgebra básica

224

Ambas respuestas satisfacen la ecuación, son sus raíces (véanse tabla y gráfica 5.2). TABLA 5.2 VALORES DE y = 3x2- 48 = 0 X

-5.0 -4.5 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

y = 3x> - 48 27.0 12.8 0.0 -11.3 -21.0 -29.3 -36.0 -41.3 -45.0 -47.3 -48.0 -47.3 -45.0 -41.3 -36.0 -29.3 -21.0 -11.3 0.0 12.8 27.0

GRÁFICA 5.2 VALORES D E ^ = 3x2- 48 = 0

3.

• Se despeja el término de segundo grado: 7x2 = 56 • Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de la incógnita: x2 • • Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros de la ecuación:




225

4. 4 r 2 - 2 7 = ;r2 B • Se despeja el término de segundo grado: 4x2 - x2 - 27; 3x2 = 27 • Se divide entre el coeficiente de la incógnita: x2= 9 • Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x- ±3 Las raíces son: xl=-3,x2

5

=

Q

3 x-2 • Se quitan los denominadores y se tiene: x2-4-\2 • Se despeja el término de segundo grado: x2 = 16 • Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x=±4 Las raíces son: xx = - 4 , x 2 - A 6. (;r+6)Cr-6) = 28 B • Se efectúa el producto en el primer miembro: x2-36 = 28 • Se despeja el término de segundo grado: x2 — 64 • Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x- ±8 Las raíces de la ecuación son: xx - - 8 y x2 = 8

5.2.2. Solución de la ecuación cuadrática pura por descomposición en factores Para resolver una ecuación cuadrática pura por descomposición en factores se realizan los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4.

Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen. Se divide entre el coeficiente de la incógnita. Se descompone el primer miembro en factores. Se iguala a cero cada uno de los factores y se resuelven las dos ecuaciones así obtenidas.



226

Álgebra básica

Ejemplos de 5.2.2 1. 3x2 - 36 - x1

B

(Por descomposición de factores)

• Se pasan todos los términos al primer miembro: 3x2 + x2- 36 = 0 4r2-36 = 0 2 • Se divide entre el coeficiente de la incógnita: x - 9 = 0 • Se descompone el primer miembro en factores: (x+ 3)(x- 3) = 0 • Se iguala a cero cada uno de los factores: x + 3 = 0, ; r - 3 = 0 Al resolver: x+ 3 = 0, xx - -3 Al resolver: x- 3 = 0, x2 = 3 Comprobación: Para ^ = - 3 : 3(-3) 2 = 36 - (-3)2 3(9)= 3 6 - 9 27 = 27 Para^ 2 = 3: 3(32) = 36 - (3)2 3(9) = 3 6 - 9 27 = 27 Ambas respuestas son raíces de la ecuación (véanse tabla y gráfica 5.3).




227

TABLA 5.3 VALORES

= 4x2- 36 = 0

X

y = 4JC2 - 3 6

-5.0 -4.5 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

64.0 45.0 28.0 13.0 0.0 -11.0 -20.0 -27.0 -32.0 -35.0 -36.0 -35.0 -32.0 -27.0 -20.0 -11.0 0.0 13.0 28.0 45.0 64.0

GRÁFICA 5.3 VALORES T>Ey=4x2- 36 = 0

2.

• Al pasar todos los términos al primer miembro y reducir se obtiene: 4^-76 = 0 • Se divide entre el coeficiente de la incógnita: x2- 19 = 0 • Se descompone el primer miembro en factores: (x + ^fl9)(x- VI9) = 0 • Se iguala a cero cada uno de los factores: x + VI9 = 0, x- VI9 = 0 Al resolverx + vT9 = 0, xx = -A/19 Al resolver X =09x = VI9



228

Algebra básica

Comprobación: = -VT9: 2(-Vl9)2 = 2(19) = 38 Parax2=VT9: 2(VÍ9)2 = 2(19) = 38 Ambas respuestas son raíces de la ecuación. 5.2.3. Solución de la ecuación cuadrática mixta incompleta Para resolver la ecuación cuadrática mixta incompleta se realizan los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4. 5.

Se le da la forma ax2 + bx = 0. Se descompone ax2 + bx en factores. Se iguala a cero cada uno de los factores. Se resuelven las dos ecuaciones que resultan. La ecuación cuadrática mixta incompleta siempre tiene una raíz igual a cero.

Ejemplos de 5.2.3 1. * 2 - 5 x = 0

B

• Se descompone x2 - 5x en factores: x2- 5x=x(x- 5) • Se iguala a cero cada uno de los factores: ^ = 0 , ^ - 5 = 0 • Se resuelven las dos ecuaciones x = 0 y x- 5 - 0. Las raíces son: xx = 0, x2 = 5

Comprobación: ParaxÔ: 0 2 -5(0) = 0 Para.r2 = 5: 5 2 -5(5) = 25-25 = 0 2. 6.r2+5;r=0

H

• Se descompone 6x2+ 5* en factores: x{6x+ 5) • Se iguala a cero cada uno de los factores: x- 0, 6x+ 5 = 0




229

• Se resuelven las ecuaciones jr=0y6jr+5 = 0. Las raíces son: 5

Ambas respuestas son raíces de la ecuación (véanse tabla y gráfica 5.4). TABLA 5.4 VALORES X

5x

2

y = 6x + 5x

1.8 1.0 0.4

-1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1

-0.2 -0.6 -0.8 -1.0 -1.0 -1.0 -0.8 -0.4

0.0 0.1 0.2 0.3

0.0 0.6 1.2 2.0

GRÁFICA 5.4

VALORES DEy= 6x2 + 5x

L-i.o

3.

• • • •

Se pasan todos los términos al primer miembro y se reducen: 2;r2+ 3x= 0 Se descompone 2^ 2 + 3xen factores: 2x2+ ?>x = x(2x+ 3) Se iguala a cero cada uno de los factores: x= 0, 2x+ 3 = 0 Se resuelven las ecuaciones . r = 0 y 2 . r + 3 = 0. Las raíces son:



230

Álgebra básica 5.2.4. Solución de ecuación cuadrática mixta completa por descomposición en factores

Este método se emplea principalmente para resolver trinomios de la forma x2 + (a+ b)x+ ab. Para resolver una ecuación cuadrática mixta completa por descomposición en factores se realizan los siguientes pasos: 1. Se le da a la ecuación la forma general de una ecuación de segundo grado: ax2+ bx+ c=0 2. Se descompone en factores el trinomio ax2 + bx + c = 0 3. Se iguala a cero cada uno de los factores (para que un producto sea cero es necesario que por lo menos uno de los factores sea cero). 4. Se resuelve cada una de las ecuaciones obtenidas.

Ejemplos de 5.2.4 1. x2 + 3x + 2 = 0

B

(Por descomposición en factores)

• Como ya tiene la forma general se descompone x2+ 3x+ 2 en factores: Se iguala a cero cada uno de los factores: ;r+2 = 0 y ; r + l = 0 Se resuelven las ecuaciones .r+2 = 0 y . r + l = 0 . Las raíces son:

Comprobación: Para*, = - 2 : (-2) 2 + 3(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 Para^ 2 = - 1 : (-1) 2 + 3(-l) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 Los dos resultados son raíces de la ecuación (véase tabla 5.5).




231

TABLA 5.5. VALORES D E j / = X2 + 3x + 2 = 0

2. x 2 - 3x- 10 = 0

X

>>=;C2 + 3JC + 2 = 0

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

30 20 12 6 2 0 0 2 6 12 20 30 42 56 72

B

• Se descompone x1- 3x- 10 en factores: (.r— 5)(;r + 2) • Se iguala a cero cada uno de los factores: ^r-5 = Se resuelven las ecuaciones: x - 5 = 0 y x+ 2 = 0. Las raíces son: xx = - 2 y x2 = 5 3.

• Se descompone 2.r2 + Ix + 6 en factores. Para ello se multiplica el término independiente 6 por el coeficiente del término de segundo grado 2, 2(6) =12 y se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados den el coeficiente del término de primer grado 7; así, los números son 3 y 4. • El término de primer grado se descompone en la suma de los dos números anteriores y se va agrupando. 7^+6 =



232

Álgebra básica

• Se iguala a cero cada uno de los factores: .r+2 = 0 y 2 . r + 3 • Se resuelven las ecuaciones: .r+2 = 0 y 2 . r + 3 = 0 Las raíces son x{=-2yx2

=—

Comprobación: Para x{ = -2: 2(-2) 2 + 7(-2) + 6 = 0 8-14 + 6 = 0

Para,,»-?: /-fJ + TT-¡] + 6.0

+

2

2

0

2

Las dos respuestas son raíces de la ecuación. 4. 2;r2 -lx-A

=0

B

(Por descomposición en factores)

• Primero se descompone 2x2- Ix- 4 en factores; para ello se buscan dos números que multiplicados den 2(-4) = -8 y sumados - 7 ; estos números son - 8 y 1 • Se descompone el término de primer grado en -&x+xy se agrupa: 2x2- &x+ x-4 = 2x{x-A) + l ( r - 4) = ( r - 4)(2r + 1) • Se iguala a cero cada uno de los factores: . r - 4 = 0 y 2 . r + l = 0 • Se resuelven las ecuaciones . r - 4 = 0 y 2 ; r + l = 0 . Las raíces son: 4

5.2.5. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa por el procedimiento de completar el cuadrado perfecto Para resolver una ecuación cuadrática mixta por este procedimiento se realizan los siguientes pasos: 1. Se despeja el término independiente: ax2+ bx= -c




233

2. Se divide entre el coeficiente del término de segundo grado: b c +-x=— a a 3. Se suma, en ambos miembros de la igualdad, el cuadrado de la mitad del coeficiente del término de primer grado: 2

x

b

2

x

+-a

x+

b2

b2

~ = ~ 4a 4a

c

a

4. Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce el segundo: b2-4ac

bY •y

I

I

2a) Aa2 5. Se extrae raíz cuadrada de ambos miembros: b ±~Jb2-4ac x +— = 2a 2a 6. Se despeja la incógnita:

Ejemplos de 5.2.5 1. x 2 + 6 x - 1 6 = 0

H

(Completando el cuadrado)

• Se despeja el término independiente: x2+ 6x= 16 • Como el coeficiente de x1 es 1, al dividir nos queda la misma ecuación. • Se suma, en ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x: x2+ 6x+ 9 =16 + 9 = 25 • Se descompone en factores el primer miembro: (x+ 3)2 = 25 • Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros: x+ 3 = ±5 • Se despeja la incógnita: x- - 3 ± 5. Las raíces que resultan son: xx = - 3 + 5 xx = 2 .r2=-3-5 x2=-S • Reordenando se obtiene: xx = - 8 y x2- 2



234

Álgebra básica

2. x2 -lx+\2

=0

B


• Se despeja el término independiente: x2- lx- -12 • Como el coeficiente de x2 es 1, al dividir nos queda la misma ecuación. • Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x: X1

4

4

Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce el segundo: j 2)

49 48 4 4

• Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros: x — = ± 2 2 • Se despeja la incógnita: x = -±7 1

* 2 = = 2~2

*2=3

• Reordenando se obtiene: xx = 3 y x2= 4 3. 3x2 - lx - 6 = 0

H


• Se despeja el término independiente: 3x2- lx=6 • Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de x2: x2 - - x = 2 3 • Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x: 2 7 49 . 49 JC — J C H — = 2 H —

3 36 36 • Se descompone en factores el primer miembro y se reduce el segundo: 7Y 72 49 121 x-= —+ — = — 6 36 36 36




235

Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros: _7_+H

6~"i 7 11 Se despeja la incógnita: x = - ± — 6 6 7 11 . x. = 3 *, = - + — 1 6 6 ' *2

6

6

6

*2

3

2 • Reordenando se obtiene: jr, = — y x2= 3 "3

4. 2x2 - Ix - 4 = 0


• Se despeja el término independiente: 2x2- lx=A 2 7 • Se dividen ambos miembros entre el coeficiente de x2: x2 - - x = 2 2 • Se suma, a ambos miembros, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x:

x2--x

2X

+ — = 2 + -9 16~

16

• Se descompone en factores el primer miembro y se reduce el segundo: 4j

16

81 16

7 9 • Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros: x - - = ± 4

4

7 9 • Se despeja la incógnita: x = -±4

4

7 9 *!=- +X =4 1 4 4 _7_9 __1 *2~ 2 *2~4 4 • Reordenando se obtiene: xx = — y x2 = 4



236

Álgebra básica 5.2.6. Solución de la ecuación cuadrática mixta completa por medio de lafórmula general

Para obtener la fórmula general se resuelve la ecuación ax1 + bx + c = 0 complementando el cuadrado. Para ello se desarrollan los siguientes pasos: 1. Se despeja el término independiente: ax2+ óx=-c< b c 2. Se divide entre el coeficiente de x2: x2 + ~x = — a a 3. Se suma, a ambos miembros de la ecuación, el cuadrado de la mitad del coeficiente de x: b b2 b2 a 4a2 4a2 a 4. Se descompone en factores el primer miembro de la ecuación y se reduce el segundo: ¿Y JC + T 2a)

b2-4ac =4a2

5. Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros: b ^b4ac 2a I4a¿ a c A • i • ' •• 6. Se despeja la incógnita:

x-

n o 1 • i. 7. Se suma el segundo miembro:

o

y

~

i

2a

2 ± ,lb -4ac 2a 2a

^

-b±-Jb2-4ac x= 2a

-b±

i

8. La formula general es:

^

x=

2a




237

Ejemplos de 5.2.6 1. x 2 +4.r+3 = 0

a

• Se identifica que en esta ecuación: a= \, ¿? = 4y c=3 , r, ~¿±V¿ 2 -4ac t • Se sustituyen estos valores en la tormula: x = J 2a o

t

x=

2(1) ~~

Xt

1

11

^C^

D

2

2

2

• Reordenando se obtiene: x{ = - 3 y x2= -1 2. x 2 - 14r+ 13 = 0

S

• En esta ecuación: a= 1, ¿> = -\4, ye-

13

- ¿ ± Ví>2 - 4ac Se sustituyen estos valores en la formula: x 2a o

i

i

c

i

^ 14 + / H 4 ) 2 -4(Í)Q3) _ 14± 7196^52_-14 + ^T44 14 + 12 2(1) ~ 2 " 2 2 14 + 12

14-12

,

• Reordenando se obtiene: xt = 1 y x2= 13 3. 2 x 2 - 4 x - l = 0

H

• En la ecuación propuesta:
se obtiene: 2a

4±V(-4) -4(2)(-l)_4±-yT6^8_4±V24_4±2V6 2(2) " 4 4 " 4



238

Álgebra básica

_4 + 2 /6_2 + /6 _4-2/6_2--76 2 *' " " ~4~ ~ 2~" * ~ 4~" ~ ~ 2 ~ _ . , 2-/6 2 + -/6 w. • Reordenando se obtiene: x = y x, = 2 ' 2 * 2 2 4. 9^ • En la ecuación propuesta: a =9, 3 = -36 y c = 31 _, , , , , -, -b±fb2 -4ac , . • Sustituyendo los valores en la formula x = se obtiene: _ 36± ,/(-%)2-J(9)(3J)_ 36± / ñ 9 6 T n i 6 _ 36±_/180_ 36±6 5 2(9) " 18 --———i8 _36 + 6/5_6+ -75 Xt —

----

18 D

A

_ 3 6 - 6 / 5 _ 6 - /5 X*) —~

—

—

3 A

18 6

U.-

• Reordenando se obtiene: x, = 1

3 6 +

'5

-

f

5

y x, =

3

y

2

3

Ejercicios de 5.2 Resuelva los siguientes ejercicios:

2. 3. 2x2 + 7x+6 =

Solución:

x=±9

Solución: Solución:

x=l x=-2

4

3 x= 2 — 2 4.3^-5= 5 9 5.

Solución:

x=l

Solución:

x =0 Xl

~

3 2




239

5.3. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se escribe, en forma general, como: a x

\\ \

+ anxi = b\

Los elementos axv axv alx y a22 son coeficientes de las variables xx yxv mientras que b{ y b2 representan los términos independientes (constantes numéricas reales). La solución de este sistema de ecuaciones con dos incógnitas es una pareja de números: xx = a y x2 = b, que al sustituirlos en ambas ecuaciones las convierte en identidades. En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pueden presentarse tres casos: 1. El sistema tiene solución única. 2. El sistema tiene un número infinito de soluciones. 3. El sistema no tiene solución. Al sistema de ecuaciones lineales que tenga al menos una solución se le denomina compatible o consistente determinado; al que tiene un número infinito de soluciones se le conoce como incompatible o consistente indeterminado; y si no tiene solución, se dice que es inconsistente.

Ejemplos de 5.3 1. 2x-2y + -% B -2x+4y= 14 El sistema tiene una solución única, la pareja (-1, 3); por lo tanto, el sistema es consistente determinado, como se muestra en la tabla 5.6 y gráfica 5.5:



Álgebra básica

240 TABLA 5.6 VALORES DEL SISTEMA 1 X

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

y =4 +x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

7 = ( 1 4 / 4 ) + (1/2)JC

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

GRÁFICA 5.5 VALORES DEL SISTEMA 1 Y v—4 + x y ^ ~ •*

7_

v « ri4/41 + (\l2\x

(-i. 3)

6_ 5-

| 2-

0 -8

-7

-6

-5/^-A

-3

-2

-1

1

2

i X 3

-2-

Observe que las ecuaciones 2.r- 2^= - 8 y -2x+ 4j/= 14 pueden ser representadas como:/= 4 + x,y= (14/4) + (1/2)^ respectivamente. 2. —>

^= 2 -

El sistema tiene una infinidad de soluciones. El sistema es consistente indeterminado y su representación gráfica es una sola línea recta. Cualquier punto en la línea es solución del sistema.




241

3.

x+y=3 No hay ningún punto común (intersección) en el sistema de ecuaciones; por lo tanto, no tiene solución: el sistema es inconsistente. Su gráfica son dos rectas paralelas.

5.3.1. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sólo se pueden resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas si éstas son equivalentes; es decir, si y sólo si tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplos de 5.3.1 1.

+ 3y = 9 4x + 5y = l

(1)1 (2)J

x

H

• Multiplicando la primera ecuación por 4, tenemos el sistema II, equivalente al sistema I. 36

4x + 5y=+l

(1)1 (2)J

• Multiplicando la segunda ecuación del sistema II por - 1 y sumándosela a la primera ecuación, tenemos el sistema III, equivalente al I y al II.

= 35 Entonces: 7>> = 35 (1) Ax + 5y = L (2)

III



242

Algebra básica

• El valor de jipara la primera ecuación del sistema III es: ^=35/7 = 5 • Sustituyendo el valor deên la segunda ecuación del sistema III: y= 1 4x = 1 - 2 5 x=-6 El sistema tiene una solución única, la pareja (-6, 5); por lo tanto, el sistema es consistente determinado. 2. x + y=2 2jc + 2y = 4

(1)1 (2)J

• Multiplicando la primera ecuación por 2, obtenemos el sistema II, equivalente al sistema I.

n • Multiplicando la primera ecuación por - 1 y sumándosela a la segunda ecuación, tenemos el sistema III. -2x-2y = 0= 0 El sistema puede ser representado por una sola ecuación y hay infinidad de soluciones que satisfacen la ecuación; el sistema es consistente e indeterminado. 3. -4x + 6y = 2 6x-9y = 4

(1)1 (2)J

H

• Multiplicando la primera ecuación por 6 y la segunda por 4, se obtiene el sistema II, equivalente al sistema I.



243


(1) 24x-36v = 16

(21

II

• Sumando la primera ecuación a la segunda del sistema II se tiene: -24x+36y=l2 24x-36y=l6 0 + 0 = 4 0=4

0) (2).

III

La primera ecuación del sistema III es falsa, entonces el sistema no tiene solución y es inconsistente. El sistema III no es equivalente al sistema I y II porque son rectas paralelas que no llegan a intersectarse.

Ejercicios de 5.3.1 Resuelva los siguientes ejercicios: 1. a) 2x+ 2^=344 b) 2x-2_y=40

Solución

2. a) 2x+5y= 10 b) 6x-1.5y=9

Solución

3. a)

Solución

y =1

^=36 4. a) 2\y-2x=\A b) 13*+8^= 32 5. a)

x +3 2 =y+3 3 x-2 1

Solución

Solución

x=7

y=l2



244

Álgebra básica 5.4. SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADOS

Para resolver un sistema simultáneo, formado por ecuaciones de primer y segundo grados, se procede de la siguiente forma: 1. 2. 3. 4.

Se identifica cada una de las ecuaciones del sistema. Se igualan las ecuaciones. Se despeja y se genera una sola ecuación cuadrática. Se resuelve la ecuación cuadrática por cualquier método: descomposición por factores, completando el cuadrado perfecto, fórmula general, etcétera. 5. Aunque los sistemas simultáneos de ecuaciones de primer y segundo grados pueden tener ninguna, una o dos soluciones, en ciencias sociales, por lo general, sólo se utiliza la que se ubica en el primer cuadrante (xpositiva,y positiva). Por esta razón, para los siguientes ejercicios sólo se calcula la solución ubicada en ese cuadrante.

Ejemplos de 5.4 1. Resolver el sistema: o

*

*2

30-x

n

y =2 +- +— y= H y A 5 20 • Se igualan las ecuaciones: 20>> = 40 + Ax + x2 = 150 - 5x • Se reducen: x2 + 9x- 110 = 0 c A

n i *> i Se desarrolla la formula general:i x = - 9 ± V 8 1 + 440

-9±V521 x=- 2 -9 ±22.825

JC = -

Se sustituye el valor de x en alguna de las ecuaciones dadas para obtener el valor de y. Las raíces son:

x=6.9l9y=5.17




245

GRÁFICA 5.6. GRÁFICA DEL SISTEMA 1

-20 J

En este sistema simultáneo combinado de primer y segundo grados, se tienen dos puntos en los que se interseetan ambas funciones, aquí sólo se anotan los valores de xyj^que se encuentran en el cuadrante positivo {x— 6.9\,y= 5.77). 2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: y-\6-x2

y=4 + x

H

x=3



Álgebra básica

246


20 y (3,7)

I -2

-1

I

-5.

4 +x -10. -15. -20. -25. -30. -35.

3. Resolver el sistema:

3x2

X

=

- 3 + 7 9 + 36 "" 2

X

=

-3+ -/45 2^

X

=

X —

-3 ±6.708 1.85 28.65



247

5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades GRÁFICA 5.8. GRÁFICA DEL SISTEMA 3

-i

-6

-5

-4

-1

1

-10 _

2

3

\ 4

5

X

6

-20 _ -30. -40 _ -50 _ -60 _ -70 _ -80 _

4. Resolver el sistema:

Cr+6)O/+12)=144 2

x+6

4jr+24 + x 2 6 x = 2 8 8 - 24x-144 x2- t-34x- 120 = 0 x=

-34 ±71156+ 480 2

-34 ±-71636 X —

-34 + 40.447 X —

2

2

x= 3.22 y= 3.61



Algebra básica

248 TABLA 5.7 VALORES DEL SISTEMA 4 X

y = (144/(JC + 6)) - 12

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

132.0 60.0 36.0 24.0 16.8 12.0 8.6 6.0 4.0 2.4 1.1

^ = 2+JC/2

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

GRÁFICA 5.9 GRÁFICA DEL SISTEMA 4

5. Resolver el sistema: (.r+4)O+2) = 24

B




249

48 -4x- 16 = x2 + 10^-24 = Cr+12)(.r-2) = x=2

Ejercicios de 5.4 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 1. y = 4

Solución:

jr=4

2. X

Solución:

x= 3

3. 0+12)0+6)= 169 x -j,+ 6 = 0

Solución:

x= 1 7=7

4. 0+5)0+6) = 80

Solución:

^r=3

5. xy= 15

Solución:

jr=3 7=5

6. x(y+6) = y

Solución:

x=3 7=2

Solución:

;r=5

7.

(j

= 225

5.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Un sistema simultáneo formado por ecuaciones de segundo grado se resuelve mediante el siguiente procedimiento:



Álgebra básica

250

1. 2. 3. 4.

Se identifica cada una de las ecuaciones del sistema. Se igualan las ecuaciones. Se despeja y se genera una sola ecuación cuadrática. La ecuación cuadrática se resuelve por cualquier método: descomposición de factores, completando el cuadrado perfecto, fórmula general, etcétera.

Ejemplos de 5.5 Resolver el sistema: 1. y = 6 H

x- A/36 - y

H

x=2V6 El punto de intersección es: x= 4.90,^= 12 GRÁFICA 5.10. GRÁFICA DEL SISTEMA 1 '

Y 40^

^

X-

"(4.9, 12) I I -10 - 9

I I 7 1 I -8 -7 A6 -5

I -4

I I I -3 -2

-1

-10J -20. -30. -40 -50 -60



5. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades 2.

251

y=\§-

4x2 + 2 ^ - 6 =

y=l GRÁFICA 5.11. GRÁFICA DEL SISTEMA 2 Y

y =10-3^

3.

y=.

y+2x2-9

=0

B

(3jr+8)(jr- 1) = 0

x=l y=l



Álgebra básica

252


0,7) y = x2 + 5x + 1

0.5

1

1.5

-5. -10. -15

y~-2x1

-20 -25 J

4. x=2_y2-2_y-6

y=3 x=6 5.

X=3J>*-3J>-2

x=\0-y2-y

H

3y2-3y-2 = l0-y2-y 4y2-2y-l2 = 0 2y2-y-6 = 0 (2y+3)(y-2) = 0 y=2 x=4




253

Ejercicios de 5.5 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 1. ^ = 4 8 - 3 ; r 2 j = x 2 + 4 r + 16

Solución:

x=2.31 ^=31.15

2. x=\0y+5y2 x=64-Sy-2y2

Solución:

x=40 y=2

3. y=(x+2)2 y=39-3x2

Solución:

;r=5/2

4. x= y y x=96-8y-2y2

Solución:

y =2.77 .*•= 58.39

5. A-=84-y

Solución:

^=4

5.6. DESIGUALDADES

/.á/. Concepto Desigualdad: relación matemática donde se tiene en cuenta el orden de los números Si a y b son números reales, se dice que a es mayor que b, y se denota a > b si y sólo si a- b es positivo. Esto es equivalente a decir que a> b si y sólo si existe un número positivo xtal que a= b-\-x. Si ¿7 no es mayor que b, entonces: • a debe ser menor que b{a < b) o • a es igual a b. Si se desea indicar que a es mayor o igual a ¿ se denota a>b;o que ¿7 es menor o igual &b, a

menor que mayor que

a b



254

Álgebra básica

< >

menor o igual mayor o igual

ab

Propiedades de las desigualdades Las demostraciones de estas propiedades se encuentran en el apéndice 5.6. • Si a> by b> c, entonces a> c

Ejemplos de 5.6.1 1. Si el costo marginal (cm) de producir 100 unidades de un producto (100 cm) es mayor que el costo marginal de 90 unidades (90 cm) y éste es mayor que el costo marginal de 80 unidades (80 cm), entonces por el teorema anterior 100 cm >80cm. Si a> bentonces a+ o ¿>+ c, ce 9Í 2. Si 100 cm > 90 cm y se les impone un impuesto de $5.00 en cada unidad producida, entonces se tiene: 100cm + 5 > 9 0 c m + 5 Si a > b y c es positivo, entonces ac > be El sentido de la desigualdad no cambia si se multiplica en ambos lados de la desigualdad por un número positivo. Si a > b y c es un número negativo, entonces ac < be El sentido de la desigualdad cambia si se multiplica en ambos lados por el mismo número negativo.




255

5.6.2. Desigualdades con una incógnita La solución de una desigualdad con una incógnita es el intervalo donde la incógnita toma valores que satisfacen la desigualdad. Para resolver una desigualdad con una incógnita se siguen los siguientes pasos: • Con base en la propiedades de las desigualdades, se despeja la incógnita. • Se determina el intervalo de solución, es decir, los valores que puede tomar la incógnita para los cuales se satisface la desigualdad. • Se gráfica el intervalo en la recta de los números reales (opcional).

Ejemplos de 5.6.2 1. - 2 ^ + 6 > 0 • Se despeja el término que contiene a la incógnita: -2x> -6 • Se multiplica por (-1) ambos lados, cambiando el sentido de la desigualdad: x<3 La solución es: • La desigualdad se satisface para x < 3; el intervalo solución es: (-<*>, 3), o bien, -oo < x < 3 • Gráficamente: GRÁFICA 5.13 -10 12 3 Intervalo solución -oo,3

El límite inferior de la desigualdad es -°° y el límite superior de la desigualdad es 3 (sólo se acostumbra identificar el límite superior).



256

Álgebra básica

3

Procedimiento algebraico 1. Determinar los valores de x que hacen no definidas a las fracciones: Para

si x - — la fracción es no definida. 2x + \ 2 Para si x = — la fracción es no definida. 2 5 2 Por lo tanto, para x = — y x = — no es posible determinar si la desigualdad se cumple o no. 2. Determinar los valores para los cuales las fracciones se hacen cero, es decir, cuando el numerador se anula, pues sirven de referentes para encontrar el conjunto solución de la desigualdad. Para ^ 2

l

si * = ! la fracción es cero. 3

3x + 2 . 2, ., si x = — la fracción es cero. 3 Gráficamente:

n

Para

GRÁFICA 5.14 Intervalo donde se cumple la desigualdad

-5/2

No definida

-2

Intervalo donde se cumple la desigualdad

- 1 -2/3 -1/2

0

1/3

1 7/6

No definida

Para determinar los intervalos donde se cumple o no la desigualdad, es necesario hacerlo segmento a segmento.




257

TABLA 5.8 3x-l

Intervalo

2JC + 1

5 3x-l. o x< — Seax=3 =2 2* +l 2 5 x = -2 5 2 2 3x-l n

—
-

3x + 2 2x + 5

3x + 2 _ 2¿7 =7 2x + 5 3x + 2 t , J f l ( 1 no esta definida

No se cumple

2JC + 5

3x + 2 . =0 2x + 5

=9

2x + l 3x

-~4 = 126.5 3 x + 2 = 0.118 2x + l 2x + 5

9>3

Sí se cumple

126.5 > 0.118 Sí se cumple

no está definida 2x + 5 3x+2 2

^"^-i 2x + l

= 2x + 5 5

3x-l_Q

3 x+ 2 _ 9

2x + l

2JC + 5

17

-M-2

No se cumple No se cumple

Como ya no hay valores de x donde se llegue a una indefinición o las fracciones tengan valor de cero, el procedimiento es el siguiente:

3

3x

1 3JC 4-2

7

>^ =$(3x-l)(2x + 5)>(3x + 2)(2x + l) = 6x>l=>x>~ 2 i + l 2x + 5 6 1

7

3 7

6

-<

JC
- < JC<

No se cumple Sí se cumple

6

En conclusión: Si

No se cumple la desigualdad

JC<--

2

SÍ - 5 < , < - 1 2

Sí se cumple la desigualdad

2

2x + No se cumple la desigualdad

SÍ ~ 6

Sí se cumple la desigualdad



258

Álgebra básica

Ejercicios de 5.6.2 Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades, representando gráficamente la solución:

2. 3^-12>2^-2 2x + l

x> 10

2

}

y

10
5 i ~2
3JC + 2

4. (x-l) 2 -5>(^-3)3)2 V

xe (10, oo)

}

x> >

fj c e f , ]

4

U4 J

4

5.6.3. Sistemas de desigualdades simultáneas con una incógnita Los sistemas de desigualdades con una variable contienen dos o más desigualdades; el problema consiste en hallar el intervalo de valores para la incógnita, que satisfaga el conjunto de desigualdades simultáneamente. Para resolver un sistema de desigualdades se procede a: • Resolver cada una de las desigualdades por separado. • Obtener la intersección de los intervalos resultantes. • Granear en la recta de los números reales (opcional).

Ejemplos de 5.6.3 1. Hallar los valores de x que satisfacen el sistema de desigualdades con una incógnita 5-;r>-6

Solución de la primera desigualdad: 5-.r>-6 -x>-\\ x<\\ xe (-oo, 11)




259

Solución de la segunda desigualdad: -x>-9 x<9

xe (-<~, 9)

Los valores de x que satisfacen simultáneamente son los que están en el intervalo (-©o, 9), es decir, x< 9. 2. Hallar el intervalo de valores de x que satisface el siguiente sistema de desigualdades:

>0 3 Se resuelve la primer desigualdad: 8

-2;t>0,

=>-2x>—=>*<8 4

Se resuelve la segunda desigualdad: - + 3x > 0 => 3A: > — =» x > — 4 4 12 — ,

©o

Se resuelve la tercera desigualdad: 2

n c 2 2 ->0=>5;c> — => x> 3 3 15

xe

, 00

I

15



260

Álgebra básica

La solución es la intersección de los tres intervalos: x e 1,

2

3

, 15 4

Ejercicios de 5.6.3 Encontrar el conjunto solución que satisface las siguientes dos desigualdades: Ux-5>lx-l6 1. i 7-8* < 16-15*

Solución: x e

5.6.4. Desigualdades lineales con dos incógnitas Las soluciones de las desigualdades con dos incógnitas generan un plano. El procedimiento para encontrar el plano donde se encuentran los puntos que satisfacen la solución es el siguiente: • Se despeja una de las incógnitas en términos de la otra. • Aquí es importante granear para visualizar mejor la solución; para ello, primero se gráfica la ecuación de la recta que limita al plano.

Ejemplos de 5.6.4 1. Encontrar la solución de la siguiente desigualdad:

2x+4y< 12 esta desigualdad se satisface sij/< 3 - 1/2 x




261

Gráficamente: GRÁFICA 5.15

(0,3) Plano solución

(6,0)

2. Encontrar la solución de la siguiente desigualdad lineal: x-y>

1

Esta desigualdad se satisface p a r a / < x — 1 • Se g r á f i c a x - y - 1 • Como el (0, 0) no satisface la desigualdad, no está contenida en el plano solución, entonces el plano es el que se muestra: GRÁFICA 5.16

(0,1)

(0,0)

0,0)



262

Álgebra básica

Ejercicios de 5.6.4 Encuentra el plano solución para las siguientes desigualdades lineales: 1. 4r+2>><12 2. 2x + 4y 1 Las desigualdades lineales con dos incógnitas tienen una aplicación importante en problemas de programación lineal de dos variables. Por ejemplo, una fábrica de ropa tiene 100 metros de lana, con lo que quiere fabricar faldas y sacos, y sabe que cada saco requiere 2.5 metros y cada falda 1.2 metros de lana. Expresar esta situación como una desigualdad. Sean

x- número de sacos y = número de faldas

Entonces 2.5* + \2y < 100 Observa que: • Aquí marcamos < porque es posible acabarse los 100 metros de tela. • Este problema es puramente matemático, pues resultados negativos para la variable x (número de sacos) y la variable y (número de faldas) no tienen sentido práctico. Considera que 2.5 metros/sacos (número de sacos) + 1.2 metros/faldas (número de faldas) = metros. Y la solución será:




263

GRÁFICA 5.17

2.5JC+1.2J;=100

aquí la región de puntos factibles contiene a la recta 2.5;tr + \.2y- 100 La solución es el plano y <

x 3

12

Ejercicios 1. Una máquina verificadora de emisión de gases para autos trabaja 10 horas al día. Por cada automóvil se tarda 20 minutos y por cada camión 45 minutos. Expresa esta situación con una desigualdad. 2. Una empacadora hace dos tipos de paquetes (grandes y chicos) y los guarda en un almacén con capacidad de 10/?. Los paquetes grandes ocupan 2/7 y los chicos 1.2/7. Expresa esta situación con una desigualdad.

5.6.5. Sistemas de desigualdades lineales con dos variables En los sistemas de desigualdades se busca el conjunto de puntos (x,y) en el plano que satisfagan dos o más desigualdades lineales.



2 64

Álgebra básica

El procedimiento algebraico de solución es el siguiente: • Se despeja una de las incógnitas en términos de la otra para dada desigualdad. El procedimiento gráfico consiste en granear la ecuación límite de cada desigualdad y visualizar el plano intersección.

Ejemplos de 5.6.5 1. 2x+2y<6 4x+y< 6 D e 2 x + 2 > > < 6 = > ^ < 3 - . r = > ; r e (-©o, °o)? y <= (-<*>, oo) De4x+y<

6 =$y< 6-4x=>xe

{-<*>, °°)^ye (-oo, oo)

No todos los sistemas de desigualdades tienen solución. 2. x+y> 1

-1

- x

Lo cual es imposible, pues si suponemos que x - 0, los valores para y son mayor que 1 y menor que - 1 .




265

Gráficamente: GRÁFICA 5.18 Y

x +y <1

-•X

x+y <-

Ejercicios de 5.6.5 Encuentra gráficamente el plano de soluciones. 1. i

L-2x + 3y>2 3

,* + y5



266

Álgebra básica \x + 2y<4

x-2y>4 * x>0

5

5.7. APLICACIONES

En esta sección se presentan algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones, en el campo de las ciencias económicas.

5.7.1. El ingreso nacional El ingreso nacional es un modelo que permite cuantifícar la producción global de un país durante un periodo de tiempo, el cual generalmente es un año. En éste se integra y registra la producción del sector privado, la del sector público y la mixta, así como el intercambio comercial con el exterior. También se asienta el ingreso que perciben quienes proporcionan los factores de la producción (capital, trabajo) y el destino de ese ingreso (consumo, ahorro o inversión). Del ingreso nacional se deduce una serie de categorías macroeconómicas básicas, para entender la dinámica de la economía de un país. Estas categorías son: • • • • • • •

Producto Nacional Bruto (PNB) Producto Interno Bruto (PIB) Producto Nacional Neto (PNN) Ingreso Nacional (IN) Ingreso Privado (I Priv.) Ingreso Personal (I Pe) Ingreso Personal Disponible (I Pe D)

John Maynard Keynes hace un análisis macroeconómico del sistema capitalista, en el que plantea un posible equilibrio económico general, que ocurre cuando el ingreso nacional es igual al consumo nacional más el ahorro nacional.




267

Es decir que: Ingreso nacional = Consumo nacional + Ahorro nacional

El ahorro nacional {A) es igual a la inversión nacional (/), por lo que:

r=c+i Se observa que el equilibrio económico existe cuando: • El ingreso es igual a la producción, es decir, a la oferta, representada por Y, que a su vez es igual a la demanda, o sea, consumo más ahorro. • Los ingresos (Y) son iguales a los "gastos" (£7+/). Si el ingreso nacional se incrementa, aumenta el consumo y la inversión, de manera que:

AY=AC+Df Para Keynes, uno de los factores básicos de la dinámica económica es la inversión, por lo que es necesario incrementarla e impulsarla, ya que lleva consigo un efecto multiplicador en la economía. El multiplicador de la inversión expuesto por Keynes es igual al recíproco de la propensión a invertir. El multiplicador provoca que los efectos de una inversión inicial sean mayores en un múltiplo de ella; esto se debe a que una inversión inicial incrementa la producción, ésta a su vez el empleo y, por lo tanto, la demanda, lo que provoca el incremento de la producción y nuevamente se incrementa el empleo y con él, la demanda. Este ciclo (inversión, producción, empleo y demanda) se activa a través del multiplicador, teniendo como límite el que éste señala. La fórmula del multiplicador es: A/ / - A C La inversión depende de lo que se gaste en consumo (propensión al consumo); esto también determina al multiplicador, por ejemplo:



268

Álgebra básica

Supongamos que el ingreso (Y) es igual a 100, que el consumo (C) es igual a 80 y que la inversión (/) es igual a 20 Si Y= C+1 entonces 100 = 80 + 20 En este caso, la propensión al consumo es de 80%, lo que quiere decir que de cada $100.00 de ingreso se destinan $80.00 (80%) al consumo y $20.00 (20%) a la inversión. Si el multiplicador es el inverso de la propensión a la inversión, que es de 20%, entonces K- 5. Manteniendo la misma propensión al consumo y a la inversión, y con el multiplicador de 5, el ingreso se incrementa a 500, el consumo a 400 y la inversión a 100, por lo que el nuevo equilibrio general queda como: Z(500) = ^(400) +7(100) Un modelo keynesiano simple del ingreso nacional puede ser resuelto mediante sistemas de ecuaciones simultáneas. Con ello se obtienen los valores de equilibrio para el ingreso (F) y el consumo (C). Supongamos el modelo de dos ecuaciones simultáneas.

Donde: Go = Gasto del gobierno (variable exógena). 70 = Inversión determinada exógenamente. a - Consumo autónomo (donde a > o). b - Propensión marginal al consumo (suponemos o < b < 1). Definidos los parámetros y las variables exógenas (7Q9 GQ9 a y b), así como las restricciones para a y b, el sistema de ecuaciones puede ser planteado de la siguiente forma:

r-c=/0 + G0 -bY+ C= a De esta manera, las variables endógenas Yy Caparecen únicamente en el primer miembro de las igualdades, en tanto que las variables exógenas y los parámetros independientes aparecen sólo en el segundo miembro.




269

Enseguida mediante despejes sucesivos se calculan los valores de equilibrio para el ingreso y el consumo.

Ejemplo de 5.7.1 Considerando la siguiente información, se calculan los valores de equilibrio para el ingreso (y) y el consumo (C). Gasto del gobierno (É?o = 100) Inversión determinada exógenamente (fQ = 400) Consumo autónomo (a = 5) Propensión marginal al consumo (b = 0.60) Solución: Como primer paso se establece un modelo de dos ecuaciones simultáneas.

0

0

C=a+¿?Y Enseguida se calculan los valores de equilibrio para el ingreso (F) y el consumo (C). Despejando se tiene que:

Y- C- fQ + GQ

-bY+ C= a Sustituyendo los valores en el sistema se escribe: Ecuación 1

Y- C= 400 + 100

Ecuación 2

-0.60 Y+ C= 5

Despejando se obtiene: Ecuación 1 modificada Ecuación 2 modificada

Y- C= 400 + 100 -C= 500 - Y C2 = 5 4- 0.6 Y



270

Algebra básica

Igualando Cx y C2 - 500 + r= 5 + 0.67 Y- 0.6F= 5 + 500 7 ( 1 - 0 . 6 ) = 505 7(0.4) = 505 7=505/0.4=1262.5 El ingreso de equilibrio es 1262.5 Sustituyendo en la ecuación original 2, se obtiene el consumo de equilibrio: -0.607+ C= 5 -0.60(1262.5) + C= 5 -757.50 + C= 5 C= 5 + 757.50 C= 762.50 Comprobación: Sustituyendo en la ecuación original 1 se obtiene la igualdad de la ecuación: ^-£-=400+100

1262.5 - 762.5 = 400 + 100 500 = 500 Sustituyendo en la ecuación original 2, también se obtiene la igualdad de la ecuación: -0.60 (1262.5)+ 762.5 = 5 -757.50 + 762.5 = 5 5=5




271

GRÁFICA 5.19

755

750

1255

1257

1259

1261

1263

1265

1267

1269

1271

1273

1275

En la gráfica se muestra el punto de equilibrio para el ingreso y el consumo.

5.7.2. Modelo de mercado con dos bienes Una de las aplicaciones más comunes de los sistemas de ecuaciones en economía se desarrolla en el análisis de mercados. En esta aplicación se expone un modelo de mercado con dos bienes. Es necesario mencionar que se ejemplifica con un modelo en equilibrio, donde los bienes tienen sustitutos cercanos, de manera que la cantidad (£?) y el precio (/*) de un bien afectan la cantidad y el precio del otro bien; no hay excedente, por lo cual la oferta es igual a la demanda. Bajo estas condiciones el equilibrio se da cuando Qd.= Qs.. El equilibrio en el modelo de mercado con n mercancías comprenderá n ecuaciones, una para cada mercancía, de modo que



272

Álgebra básica

Donde: £= Equilibrio del mercado. Qd- Cantidad demandada de d.. Qs = Cantidad ofertada de d.. Si hay una solución, tendremos un conjunto de precios Pi y sus correspondientes cantidades Q.9 de manera que se satisfarán en forma simultánea todas las n ecuaciones de las condiciones de equilibrio.(1) Al plantear el modelo simplificamos las funciones de demanda y oferta de ambas mercancías haciéndolas lineales. Con parámetros, el modelo puede escribirse como:

2. 3. Qf 4- #/-£& =0 5. Qdz=h+*X 6. Qs = 8Q Donde: Q. es variable endógena. a, b, 0 y 8 son coeficientes de demanda y oferta. / z corresponden a bienes. Un primer paso en la solución de este modelo consiste en la eliminación de variables. Sustituyendo las ecuaciones segunda y tercera en la primera (del primer bien) y la quinta y sexta en la cuarta (del segundo bien), el modelo se simplifica a dos ecuaciones de dos variables.

Aquí se presenta la versión de dos mercancías, luego que se han sustituido las funciones de oferta y demanda en las dos ecuaciones de la condición de equilibrio. Este sistema de sólo dos ecuaciones contiene no menos de 12 parámetros, lo cual (1)

P¡, Q¡ se refieren a precio y cantidad de equilibrio para el bien /




213

complica la manipulación algebraica; por ello definimos dos símbolos simplificadores.

Donde: / = 1,2 De esta manera, después de despejar eQ y ¿?oal lado derecho de la igualdad, se tiene:

Planteado así, el sistema de ecuaciones para obtener los precios de equilibrio puede resolverse mediante sistemas de ecuaciones simultáneas.

Ejemplos de 5.7.2 1. Suponga que en el mercado de la fresa la demanda está determinada por la siguiente ecuación: £ , = 1000-100/? y la oferta tiene la siguiente: £ = - 1 2 5 + 125/» Obtener el precio y las cantidades de equilibrio en ese mercado. Solución: En equilibrio, las cantidades ofertadas y demandadas se igualan, por lo que: 1000 - 100/?= -125 + 125/7 -100/7-125/;=-125 - 1000 -225/7 =-1125 /? = -1125/-225 /7=5



Álgebra básica

274

El precio de equilibrio se sustituye en cualesquiera de las dos ecuaciones para encontrar la cantidad de equilibrio; utilizando la ecuación de demanda se tiene: £ , = 1000-100/> £ , = 1000-100(5) £ , = 1000-500 £ , = 500 Por lo tanto, en el mercado de la fresa, el precio de equilibrio es de $5.00, con una cantidad de 500 unidades (pueden ser toneladas, kilogramos, etcétera). Un precio por arriba del precio de equilibrio provocará un exceso de oferta. El precio por debajo llevará a una escasez del producto. GRÁFICA 5.20

11

12

-500 _

2. Supongamos que la ecuación de demanda de cierto artículo para un individuo es:

Para un productor individual, su función de oferta es:



/. Ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades

275

Supongamos que hay 1000 individuos idénticos con la misma función de demanda y 100 productores con la misma función de oferta. Determinar la cantidad y precio de equilibrio de mercado. Solución: En equilibrio, la oferta es igual a la demanda de mercado. Se requiere tener la función de demanda y de oferta de mercado. Puesto que se tienen 1000 individuos con la misma función de demanda, la demanda de mercado está determinada por: Qd= ^ Qd= 1000(10 -3/; 2 ) Qd= 10000 - 3000/?2 La oferta de mercado se obtiene multiplicando la función por los 100 productores:

¿o= 100(4 £ , = 400 + 200/;+ 100/72 Para encontrar precio y cantidad de equilibrio se requiere igualar las ecuaciones: 10000 - 3000/?2 = 400 + 200/7+ 100/72 -3000/?2 -l00p2= 400 - 10000 + 200/7 -3100/72 =-9600+ 200/7 -3100p 2 - 200p + 9600 = 0 -31/7 2 -2/7+96 = 0 Aplicando la fórmula general:

_-b±-J~b2-4ac "" " 2a _

_

-(-2)±V(-2)2-4(-31)(96) +2±V4-4(-2976) -62



Álgebra básica

276

'

+2 ± 7 4 + 11904 ^62

+2± /TT908 " ^62 +2 + 109.12378 -62

Q<=

111.12378 -62

£ , = -1.79 _-107.12378 °~ ^62 £=1.7278029 Sustituyendo en la ecuación de oferta se encuentra la cantidad que se oferta: £ = 400 + 200/7 + 100/72 Qo = 400 + 200(1.7278029) + 100(1.7278029)2 £ o =1044 GRÁFICA 5.21 Qd,Qo

-2.0/1.8 -1.5 -1.3 -1.0 -0.8 -0.5 -0.3 ( -2500.

0.3 0.5 0.8 1.0 1.3 1.5 1.8 V.0 2.3 2.5 2.8 3.0 P

-5000J




277

Como puede observarse, el equilibrio del mercado en la parte negativa no tiene sentido; la siguiente gráfica muestra sólo el equilibrio positivo. GRÁFICA 5.22 Qd,Qo 3000 _

2000 _

Oferta

1.6 1.6 1.7 1.7 1.7 1.7 1.7 1.8 1.8 1.8 1.8

De esta forma, el precio al que se equilibra el mercado es $1.727; la cantidad demandada y ofrecida es de 1044 unidades.

5.7.3. Análisis de optimización En microeconomia frecuentemente nos encontramos con problemas de optimización, que se refieren a determinar la producción óptima de artículos, con recursos escasos, en el sentido de maximizar las ganancias o bien minimizar los costos de producción. Si el problema tiene sólo dos variables se representa mediante el siguiente modelo, denominado modelo de programación lineal.(2) max/min z = clxl + c2x2 (<

(2)

La programación lineal es una rama de las matemáticas que se ocupa de problemas de optimización, con relevante utilidad en las carreras de economía y administración.



278

Álgebra básica

a

2\X\

x,>0

2

x2>0

Un método de solución para este modelo de sólo dos variables consiste en encontrar el plano de soluciones. • Si no existe, se dirá que el problema no tiene soluciones. • Si no está acotado, se dirá que el problema no es acotado y tampoco tiene solución. • Si tiene un plano de soluciones acotado, entonces: - Se procede a determinar los vértices (intersección de las rectas de los planos generados por cada restricción). - Se evalúa la función objetivo z en cada vértice. - Se elige la mejor (es decir, la máxima o la mínima según sea el sentido de la función objetivo).

Ejemplo de 5.7.3 Consideremos la fábrica de ropa de punto Crece, que produce camisetas y trusas para niños. Cada día cuenta con 1000 metros de tela de algodón, 500 metros de resorte y 40 horas/costura. Un ciento de camisetas requiere 50 metros de algodón, no necesita resorte, se ocupa una hora para su producción y genera una ganancia de $500.00. Un ciento de trusas requiere 25 metros de algodón, 25 metros de resorte, 1.6 horas para su producción y genera $400.00 de ganancia. Se desea saber cuántos cientos de cada producto se deben fabricar con los recursos, de tal manera que se maximice la ganancia. Una forma conveniente de resolver este tipo de problemas consiste en organizar los datos:




279

TABLA 5.9 Productos

Materia prima

25 25 1.6 450

50 0 1 500

Algodón Resorte Horas / costura Ganancia

Límite

Trusa (100)

Camiseta (100)

1000

500 40

El modelo de programación lineal para este problema es: max¿r=500x+450.r. 50*, + 25x, <1000 Rl Rl 2Sx2 <500 x + \.6x2 <40 R3 \

x2>0

xx> 0

Método gráfico de solución:

GRÁFICA

5.23

40

^1

35 _

Vértices

30 _ 25 _

15 _

Región factible

—-—-—.

^ -

20 _

R2

*

V3

V2

^

10 _

-

^

-

^

^

' \ .

KS

5_ 0 -5.

VI 1

'5'

'

' ' <>

'

'l3'

'

17^

'

21

Cada una de las restricciones genera un plano, la intersección de los planos genera la región de soluciones y las intersecciones de las rectas que limitan los planos son los vértices y las posibles soluciones óptimas. Los vértices son las intersecciones de las rectas.



Álgebra básica

280

En la siguiente tabla se presentan los vértices, la intersección a la que corresponde y la evaluación de la función objetivo. TABLA 5.10 Vértices

Sistema o intersección de rectas

VI

(xl9 x2)

Z - 500x, + 450x2

(0,0)

0

(0,20)

9,000

(8, 20)

13,000

(10.9, 18, 2)

13,640

(20, 0)

10,000

JC2 = 0

V2 V3

x.-O x2 = 20 25JC2 = 500

^ + 1.6x2-40 V4

50JC, + 2 5 X 2 = 1 0 0 0

V5

50JC, + 25JC 2 =1000

xx + 1.6JC2 = 4 0

*2=0

La solución óptima matemática es: x{ = 10.9 y x2 = 18.2 con Z- 13,640 Sin embargo, en la práctica la solución óptima será fabricar 11 cientos de camisetas y 18 cientos de trusas para niños diariamente, con una ganancia óptima de $13,600.00.

5.8. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES CON EL PAQUETE MATHEMATICA

Ecuaciones de primer y segundo grados y sus soluciones Mathematica maneja las ecuaciones como proposiciones lógicas, incluso maneja la composición de proposiciones a partir de los conectivos: usa 11 para disyunción y && para conjunción. Si se teclea la ecuación xA2 + 3x== 2, el paquete la interpreta como la afirmación de que la suma del cuadrado de xy su triple es igual a 2; si se le asigna a ;r un valor, como 4, el paquete evalúa la proposición como verdadera o falsa. Para encontrar las soluciones de la ecuación se utiliza la instrucción Solve, indicando las variables cuyos valores se desean. También Roots proporciona la solución.




281

Ejemplo:

In[31]:=xA2 + 3x==2 In[32]:=Roots[%,x] Out[32]= x == - 3 + Sqrt[17] I |x == - 3 - Sqrt[17] La expresión producida por Roots tiene la forma: x == rx 11 x == /;, la cual establece que tanto x - r{ como x - r2 son valores que hacen cierta la afirmación establecida por la ecuación. En ocasiones se requiere sustituir las soluciones de una ecuación en otra y la interpretación de la proposición no lo permite; entonces es necesario transformar la proposición, para tener la solución en una forma explícita que permita la sustitución; esto se logra mediante la instrucción ToRules: In[33]:= {ToRules[%]} Out[33]= {{x -> -3 + Sqrt[17]}, {x -> - 3 - Sqrt[17]}}(3) Para sustituir estas raíces en otra expresión que involucre x se utiliza la instrucción (/.). In[34]:=xA2 Out[34]= {(-3 + Sqrt[17])2+ (-3 + Sqrt[17])} {x -> -3 - Sqrt[17]}}

Ecuaciones en una variable Mathematica puede encontrar la solución exacta de las ecuaciones. In[35]:= Solve[xA3 + 3xA2 + 3x + 2 == 0, x] Out[35]= {{x -> - 2 } , {x -> - 1 + Sqrt[-3]}, {x -> - 1 - Sqrt[-3]}} Como se observa, el primer elemento en la pareja es la ecuación que desea resolverse y el segundo es la variable cuyo valor se busca. El resultado se da como lista de reglas de reemplazo (->) (3)

Recuerda que el signo -> que se obtiene combinando el menos con el mayor que, sin espacio intermedio, sirve para asignar valores a las variables en una expresión.



282

Álgebra básica

Para obtener una lista de las raíces en una ecuación se usa Variable/. Solve. In[36]:= x/. Solve[xA2 == 4, x] Out[36]= {2, -2} Anteponiendo Nse obtiene la expresión numérica de las raíces; si además se agrega al final TableForm precedida de //, se obtiene como tabla: In[37]:= N[Solve[xA6 + xA5 + xA2 + 1 == 0, x]]//TableForm Out[37]= x - > -1.15408 - 0.613723 I(4) x->-1.15408+ 0.613723 I x - > -0.08275 - 0.795302 I x - > -0.08275 + 0.795302 I x - > 0.736832-0.6103391 x - > 0.736832 + 0.6103391 Por otro lado, si la expresión involucra más variables, éstas son tratadas como constantes. In[38]:= Solve[xA2 - 5xy + 4yA2 == 0, x] Out[38]={{x->4y},{x-»y}} Para encontrar las raíces de un polinomio de grado mayor, la operación se facilita si la expresión primero se descompone en factores, usando Factor, o se escribe como composición de polinomios de grados menores, utilizando Descompose. In[39]:= Factor[xA5 - 2xA4 - 9xA3 + 14xA2 + 20x - 24] (Primero factoriza) Out[39]= (x + 2)2(x - l)(x - 2)(x - 3) (Automáticamente proporciona las raíces) In[40]:= Expand[Product[x - i, {i, 5}]] Esta instrucción está pidiendo desarrollar el producto de los factores (x- í) con /= 1, 2, 3, 4, 5, esto es, (x- \){x-2){x- 3)(x-4)(x- 5) Out[40]= -120 + 274x - 225xA2 + 85xA3 - 15xA4 + xA5 In[41]:=Solve[%==0,x] Esta instrucción solicita encontrar las raíces de la ecuación anterior, igualada a cero. Out[41]= {{x->5}, {x->4}, {x->3}, {x->2}, {x-> 1}} (4)

I significa número imaginario, esto es, V^l




283

In[42]:=Solve[x A 6==l,x] í { x - > 1}, { x - > E (I)/3Pl }, { x - > E (2I)/3Pl }, Out[42] = | ^ ^ ^ Esta salida se interpreta como que la ecuación tiene dos raíces reales, 1 y - 1 , y cuatro raíces imaginarias, expresadas en su representación a partir de la función exponencial. Para aproximar la solución de ecuaciones generales se utiliza la instrucción FindRoot. In[43]:= FindRoot[x Sin[x] -1/2 == 0, {x, 1}] (Encuentra una solución para esta ecuación cercana a x= 1) Out[43]={x-> 0.740841} Sin instrucciones adicionales, el paquete factoriza en enteros, pero si se desea manejar números complejos se puede usar la instrucción Gaussianlntegers.

Ejemplo In[44]:= Factor[xA2 + 9 Gaussianlntegers -> True] Out[44]=(x-3I)(x + 3I) El paquete no factoriza usando radicales; éstos sólo aparecen como raíces de un polinomio. La forma de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones que involucran más de una variable, es a partir de una lista que incluya las ecuaciones y las variables cuyos valores se desea encontrar, por ejemplo: In[45]:=Solve[{2x + 3 y = = 7 , 3 x - 2 y = = l l } , {x,y}] Out[45]= {x - > 47/13, y -> -(1/13)}} Si el sistema tiene más de una solución, se obtiene la lista de los valores: In[46]:= Solve[{xA2 + yA2 == 16, xA2 - 4 == y}, {x,y}] Out[46]= {{y -> 3, x -> sqrt[7]}, {y -> 3, x -> -sqrt[7]}, {y -> - 4 , x -> 0},



Álgebra básica

284

Asimismo, se puede añadir el comando //TableForm para obtener las soluciones en forma de tabla, como en el caso de una sola ecuación: In[47]:= Solve[{xA2 + yA2 == 16, xA2 - 4 == y}, {x,y}]//TableForm Out[47]= y -> 3 x -> sqrt[7] y -> 3 x -> -sqrt[7] y -> - 4 x -> 0 y -> - 4 x -> 0 En general, para solucionar cualquier sistema de ecuaciones simultáneas deberá utilizarse la instrucción: Solve[{ecuación 1 == bj,ecuación2 == b2,...,ecuación n == b n }, {x1?x2,..,xn}] Los operadores relaciónales utilizados por el paquete son: TABLA 5.11 Operadores x==y x¡=y x >y x=y x <= y x » y -- z x¡—y¡—z

Significado Igualdad Desigualdad Mayor que Menor que Mayor o igual que Menor o igual que Los tres iguales Los tres distintos

Mathematica realiza la prueba de las afirmaciones relaciónales que se le introducen y contesta con verdadero o falso. In[27]:=3<5< = Sqrt[37] Out[27]= True Los operadores lógicos que se manejan en el paquete son:




285

TABLA 5.12

Operador ¡p (proposición) p&&q&&...

PllqllXor[p, q,...] If[p, then, else] LogicalExpand[expresión]

Significado Negación Conjunción Disyunción Disyunción exclusiva Si/? verdadera entonces... Expande expresiones lógicas

Este paquete siempre proporciona las raíces de un polinomio hasta de grado cinco; cuando el grado es mayor, en ocasiones no puede generar fórmulas explícitas y utiliza objetos Roo t para representar las soluciones. La instrucción FindRoot se usa para encontrar las raíces de una expresión no algebraica.

Ejemplos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones IMAGEN 5.1 mp4]= H[Solve[x A 3 + x A 2 - 25 x - 25 « 0, x ] ] / / TábléForm

1"

01jt[84]//TableFom=

1

x-t-5. X-+-1. X->5.

,*'

J. 11J

in[86]:= Expand[Product[x- i , { i , 5 } ] ] Out[85]- -120 + 2 7 4 x - 225 x 1 + 85 x J - 15 x 4 + x 5

;

ln[86]:= Solve[*== 0, x ] OutP6]=

({x-,l},íx^2}/{x^3},{x^4}/(x-,5}}

Inl87]:= Factor[x A 5 - 2 x A 4 - 9 x A 3 + 14 x A 2 + 20 x - 24] Out[87]= ( - 3 + x )

( - 2 + x) ( - 1 + x )

1

(2+x)1

!n[88]:= H[Solve[x A 6 -» 1, x ] ] / / TábléForm

]

0ut|88]//TableForm= X-f-1. X-»-0.5-0.866025 I X - ^ 0 . 5 + 0. 8 6 6 0 2 5 1 xÔ.5-0.8660251 x - » - 0 . 5 + 0.866025 I

_

r

r



Álgebra básica

286

IMAGEN 5.2 ln[89]:= 3< 5 <= Sqrt[37] Outl89]= True ¡n|90] = Solve[x A 4 - 5 x A 2 - 3 == O, x ]

}, {x ^ i (s Solve[2-4x+ 5xA5==O, x] üutp}i> { { x - * R o o t [ 2 - 4 # l + 5#1 5 &, 1 ] } , {x-»Root[2- 4 #1 + 5#1 5 &, 2 ] } , {x -> Root[2 - 4 #1 + 5 #15&, 3 ] } , {x~*Root[2~4#l + 5 #1!&, 4 ] } , { x - + R o o t [ 2 - 4 # l + 5 # l s s , 5]}}

Out{5¿]= {{x-»-1.04302}, {:<-* 0.587454}, {x -* 0. 674467}, {x-»-0.109451 - 0.977715 I } , {x-»-0.109451 + 0.977715 I}} inp?] = S o l v e [ - 6 x + 2 y - 5 = = 0 ,

{x, y}]

S o l v e r : s v a r s : Equations may n o t give s o l u t i o n s for a l l "solve" v a r i a b l e s .

Ejemplos de solución de sistemas de ecuaciones lineales IMAGEN 5.3

ln[97] =

Solve[-6x+2y - 5 « 0 , {x, y}]

]"|

Solve::svars : Equations may n o t give soiutions for ail "solve" variables.

]

Solve[{3x-4y « 11, - x - 5y== Oit[1012»

íx, y}]

<{x-l,y->-2 } Solve[{2x-4y -5z== 12, - x - 5y + 7z== -15, 2 x ^ 5y + 10z==-7>, {x, y, z}]

Out[1ú2]=

] JJ 11

ff

874 {{x-> 11 291

, y-*

97

291 J

}

Solve[{2x-3y , Out[10J]' ¡n[104] = Solve[{6y+6z

= = - 1 , Sx + 6 z = = -1, 4 x + 9 y = = «},{x, y, z>]

1"

1

M ]Ji




287

IMAGEN 5.4

inp?]:= S o l v e [ - 6 x + 2 y - 5 == O, ( x , y ) ]

5olve::svar3 : Equations may not give solutions foc a l l "solve" variables.

in[10i]= Solve[{3x-4 y == 11, -x - 5y == 9}, {x, y}] O.jtfiD!]»

{ { x - » l ,

Y - >

- 2 } }

!n[iO2}= Solve[{2 x - 4 y - 5 z == 12, - x - 5 y + 7 2 == - 1 5 , 2 x + 5 y + 10 z == - 7 } , {x, y , z>]

«

874 874

33 33

428^

ln[ii)3]:- S o l v e [ { 2 x - 3 y + z - w = = - 8 , x + y - z - w = = - 4 ,

= 22,x - y - z - w = =

- 1 4 } / { x , y , z,

Out[:03]= ( { x - » 4 , y - » 5 , z - + 6 , w - > 7 } } in[iO4]:= S o l v e [ { 6 y +

«

1

fiz==-l, 2

8 x + 6 z == - 1 , 4 x + 9 y = = 8 }

/

( x , y ,z } ]

5 -i -i

if.[iO5]~ S o l v e [ { x A 2 + y A 2 == 1 , x + 3 Y == 0 } , { x , y } ]

vio

vio

Vio

Para sistemas de ecuaciones cuadráticas las instrucciones son las mismas; en realidad, se utilizan para cualquier sistema de ecuaciones: IMAGEN 5.5 Solve[{2x374 •{{-

s ==-7}, {x, y , z}]

33

42S

íhitiü3J=: S o l v c [ { 2 x - 3 y + z - w « = - 8 , x + y - z - w == - 4

-14}, {x, y, z, vU

;OutI103J» {{X-» 4 , y - » 5 , 2 - » 6 , W-• 7 } }

kr.[iü4]:* Solve[{6 y+ í z == - 1 , 8 x + 6 z == - 1 , 4 x + 9 y ^1041= { { x - » i / y - , 2 , Z —1}} Í »n[107]:» Solve[2x A 2 + 13 X- 24 == 0 , x ] ;0ut[1071- {(x-»-8), ( x - * - | } } in[105]:= Solve[{x*2 + y A 2 = » l , x + 3 y « 0 } , {x, y}]

] ', Ir.[106]:= Solve[{-3x'-2 ^

1),

lnt)03]= Solve[{x A 2+y A 2-- 25, 2x A 2 + y*2«= 34), {x, y>l { { x - * - 3 , Y - ^ - 4 } , {x - » - 3 , Y - ^ 4 } , {x -» 3 , Y-> -4} , {x - * 3 , Y-+¿



Algebra básica

288

IMAGEN 5.6

,üut[11¿l= •

[ y + _ ¡899 - 6 V 22389 )

+ - (899 + 6 V 22389 )

3

3 '•• 8?9+ °

(899-6V22389) ] 3l

îo3f , A 899 + 6V22389]

!

1

- + - Í399-6 V22 3

3 '•

b

i

r — — ,1/J

_ [899 + 6 V 22389 } 3 ^ '

1

+— 2

3

3v

;

- (899+6V22389)1 1 + A (899 - 6 V22389) 1 / 3 + A (899 + 6 V 22389

^

Solución de algunos de los ejemplos y ejerciciospropuestos en este capítulo utilizando Mathematica IMAGEN 5.7 5 o l v c [ 3 x - 6 = - 0 , X]

Solve [xA2 - 4 »

5.1.1. Ejemplo 1

0, x]

{{x-» - 2 > , { x - » 2 } > 5olve[3 XA2 - 4» == 0, x ] { (x-» -A},

{x -*4} >

S o l v e [ 7 x A 2 - 56 == 0, x ]

5.2.1. Ejemplos del 1 aló

S o l v e [ 3 x A 2 - 2 7 — 0, x ] < Sol ve [ ( x + 2 ) / 3

((x

- 4 / ( x - 2 )

- -

> 8 ) , (x - ^ 8 ) )

S o l v e [ 3 x « 2 - 36 +xrt2 — 0 , x ] ((x

5.2.2. Ejemplo 1

>- 3 ) , (x->3)}




289

Otros ejercicios IMAGEN 5.8 Solve [ 4 x A 2 - 3 { » 0, x]

5.2.2. Ejemplo 1

{{X-+-3}, {x-*3}} Plot[4x A 2 - 36, {x, - 5 , 5}]

La gráfica se solicita con la instrucción Plot/función, {variable, límite inferior, límite superior}] IMAGEN 5.9

Solve[xA2 - 5 x . . 0, x]

5.2.3. Ejemplo 1

Solve[6x^2 t ü x » l , x ]

5.2.3. Ejemplo 3

¿ft,



Algebra básica

290

IMAGEN 5.10

Solve[xA2 +

0, x]

5.2.4. Ejemplo 1

T

Plot[x A 2 + 3x + 2, {x, - 4 , 4}]

- Graphics Solve[x*2-3x-10~ B, x]

5.2.4. Ejemplo 2

IMAGEN 5.11 5olve[2x"2 + 7x + C «

5.2.4. Ejemplo 3

i1 J1

Plot[2xA2 + 7x+S, {x , -5, 3 ) ]

/ / 31

/ 1»

\

/ 1»

/

i -4

-i

- GraphicsuSolve[2x A 2-7x-4== 0, x]

1

j

1

i

]J

A




291

Soluciones de ecuaciones cuadráticas mixtas completas IMAGEN 5.12 - Graphics 5olve[2x A 2-Tx-4« O, x]

Solve[xrt2 + 6x-16== O, x]

5.2.4. Ejemplo 1

5.2.5. Ejemplo 1

Ux->-8}, {x-»2}} Plot[x A 2 + 6 x - 1 6 , {x, - 8 , 4

-S

-4

-t

- Graphics -

IMAGEN 5.13 - Graphics 5olve[xA2-7x+12== 0, x]

5.2.5. Ejemplo 2

Plot[x A 2-7x+12 /
-10

-5

- Graphics Solve[3x A 2-7x-6== O, x]

5.2.5. Ejemplo 3

Ti i



292

Álgebra básica IMAGEN 5.14 E j e m p l o s i l , 2,

3 , y 4 del a sección 5 .2 .6

A

inm:- S o l v e [ x 2 + 4 x + 3 = = 0 , x ] Out[2]= { { X -> - 3 } , { X -* - 1 } }

me»:- Solve [xA 2 - 14 x + 13 == 0 , xj outP]= { { x + l } , { x - > 1 3 } }

m[4]= Solve [xA 2 - 4 x - 1 » 0 , x]

Solve [9 xA 2 - 36 x + 31 == 0 , x] {{x

1 (6-V5)}, { x . i ( 6

+

Sistemas de ecuaciones de primer grado IMAGEN 5. 15 Solve[{2 x- 2 Y + í . . 0 , - 2 x + 4 Y-14 - - 0}, {x, y } ]

Solve[{x+y-l== 0 , x

+

5.3. Ejemplo 1

i ,. -

y - 3 = = 0 \, (X, f>] ]

5.3. Ejemplo 3

Solve[{x+ 3 y - 9 - - 0, 4 x + 5 y - l- 0 ) , {x, y}] {{x-»-6, Y-»5}} Plot[{(-x + 9)/3 , (-4X/D/5), (x, -8 , 2}]

5.3.1. Ejemplo 1 •>

6

4

-í

-t

-4

t

-t

• Gcaphics -

\

«I

\

|




293

IMAGEN 5.16 - Graphics Solve[{-4x+ 6 y » 2 , i x - 9 y « > 4 ) , (x, y)]

5.3.1. Ejemplo 3

Plot[{(2 + 4x) / 6 , (6 y - 4 ) / J > , {Jc, - 3 , 3 } ] t

^ ^ X

-3

,^x—

-í

i

t

3

-í

• Graphics -

Sistemas de ecuaciones de primer y segundo grados IMAGEN 5.17 - Graphics SolTrc[, {x, y}]

5.4. Ejemplo 1

||y_» i (51-1 V359), x-* - (9+1 V359)}, {y-> i (SI + I V~3~ ) , x - » Í ( 9 - l / 3 S 9 ) } } Plot[{2+ ( x / 5 ) + ( x A 2 / 2 0 ) , ( 3 9 - x ) / 4 } , { x , - 5 0 , 50}]



Algebra básica

294

IMAGEN 5.18 ;:p| Solve[{xA2 +y -16 == 0 ,

X-Y + 4==

y}]

5.4. Ejemplo 2

7^ x-»3

:<{y->-0, x - - 4 }, {

^

11

Plot[{l«-atA2 4 + x>, {x, -7 10

^——"

1 ¡11

,—--

^——-

-¿-—•

-t

f

*\

1

-xo

¡

/

| 1 1 ¡11

-Í0 \

¡/

-30

\

1 III

¡ - Graphics ^Solve[{9x-y +

12 = =

A

0 3x 2

0} , {x, j\l

V7

-1 -

5.4. i (-1*9 VI) , x - > i ( - i + VEjemplo 3

vi)]

*)}}

i SI ] ¡

IMAGEN 5.19

IHIIiilBI 1 i ¡1 i ! 111 Í0

> í

lili

-10 -40 -Í0

\ \

ll¡¡

i - Graphics Solve[{(x + 6) (y + 12) - 1 4 4 = = 0, x/2-y+2 = = 8}, {x, y}] i

¡{{x^-17- Vio? , y ^ i . ( - 1 3

1

- V 409 ) } , {XH -17 +V 409 , Y-»• —

5.4. Ejemplo 4 (-13 + Vio?)}}

2

i

Solve[{(x + 4) (y + 2) -24 « 0 x / 2 - y + l - - l I}/ {x,y}] j {{x-^-12, y-»-5 }, (x-*2, y-+ 2}}

5.4. Ejemplo 5

] •ÍÜÍ

1 ¡i

11 i lll

1 lili

|||ilÍIÍ!¡ÍI¡Í

íifíiiíiiils




295

Gráficas de los ejercicios anteriores IMAGEN 5.20 Plot[{144/(x + 6) - 12, x / 2 +

5.4. Ejemplo 4

- Graphics P l o t [ { 2 4 / ( x + 4 ) - 2 , X / 2 + 1 ) , {X, 0 , 4 } ] 4

5.4. Ejemplo 5

Í.5

j """• « L



Algebra básica

296

Sistemas de ecuaciones de segundo grado IMAGEN 5.21 5olvc[{x A 2/4 - y + 6 - - o , x-Sqrt[36 - y ]

5.5. Ejemplo 1

"11 Plot[{6 + x A 2 /

3 6 - 1fA2} . , . . - ! . . , 0 } ]

10

. .

5

\ .

-Í0

\

i«

\

/ \ \

/

-fO

\

- &raphics c c

vil

U

"* 4

~*

P

•

io

5.5. Ejemplo 2

,x-,l}}

2

j 5

"

\

"" '

La función se expresa de la formay-f{x)

(despejandoy)

IMAGEN 5.22 , {x,- 3 , 3}]

Solve[{x A 2 + 5 x - y 4 l = = 0 , 2 x A 2 + y - 9 == 0 ) , { x ,

5 o l v e [ { x - 2 y A 2 + 2 y + 6 = = 8 , x + y A 2 + y - l S = = 0>, { x , y } ] ({x-»6,y-»3},(x-í•I I

, y-* 9

5.5. Ejemplo 3

5.5. Ejemplo 4

\\ 3-IJ

Solvc[{3y A 2-3y-x-2==8,y A 2 + y + x-10==0} /
5.5. Ejemplo 5

¡U




297

APÉNDICE DE 5.6

Teorema Si a> by b> c, entonces a> c Demostración: a> b<=> a- b-x, y b— c-y donde xyy son positivos

a-c = x+y a> cporque xyy son positivos Teorema Si¿?> b, entonces a+ c> b+ c, CG SÍ por hipótesis a > b<^> a- b + x,xes positivo sumando c en ambos lados.

a-v c- b+ c + x a+c>b+c Teorema Si a > b y c es positivo ac> be El sentido de la desigualdad no cambia si se multiplica en ambos lados de la desigualdad por un número positivo. Demostración: Por hipótesis, a> b$=> a=b + x, xes positivo multiplicando ambos lados por c. ac- bc + xc



298

Álgebra básica

ahora xc es positivo ya que x y c son positivos ac> be

Teorema Si a > b y c es un número negativo, entonces ac< be El sentido de la desigualdad cambia si se multiplica a ambos lados por el mismo número negativo. Demostración: Por hipótesis, a> ¿ <=> a=- b + x, xes positivo multiplicando ambos lados por c. ac= be- xc esto es equivalente a: be- ac — xc ahora xc es negativo porque x es positivo y c negativo .°. —xc es positivo .\ be— ac+ algún número positivo .*. be > ac .*. ac < be Ejercicios del apéndice 5.6 Demuestra que: 1. Si a, b, c, ¿/son positivos y úa> by e> d, entonces: ac> bd 2. Si a> by c> d, entonces: a+ c> b + d 3. Si a y b son positivos y a > b, entonces: a1 > b2




299

BIBLIOGRAFÍA

Chiang, A., Métodos fundamentalesde economía matemática, McGraw-Hill, México, 1994. Weber, J., Matemáticas para administración y economía, Haría, México, 1984. Frank, S.B., Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales, 3a. ed., McGraw-Hill, México, 1990. Haeussler, Jr. Ernest R, y Richard S. Paul, Matemáticas para administración y economía, 2a. ed., Grupo Editorial Iberoamericana, México, 1992.





La primera edición de Álgebra básica / Soluciones con el paquete Mathematica, de Claramartha Adalid Díez de U., Edith Ariza Gómez, Víctor A. Breña Valle, José Fernández García, Andrés Morales Alquicira, Ana Elena Narro Ramírez, Vicente Ramírez, Araceli Rendón Trejo, Jesús Rodríguez Franco, Angélica Rosas Huerta, Jorge Óscar Rouquette Alvarado, Irene Sánchez Guevara, Tomasa Tlahuel Tlahuel, se terminó de imprimir en la ciudad de México el 15 de diciembre de 2001 en Impresora Publicitaria y Editorial; Serapio Rendón, 82; colonia San Rafael; México, D.F. Se imprimió en prensa offset de pliego o cama plana Aurelia 52 de 4 oficios. Para la composición se emplearon las familias Times New Roman (10/12 y 11/13), Symbol (10/12 y 11/13) y Garamond Light Condensed (24/26,14/16 y 9/13) con el programa PageMaker 6.5 de Adobe en plataforma Apple Macintosh G3 iMac a 600 mhz. Los negativos se hicieron mediante contacto con positivos de poüéster Myriad II de Agfa impresos con PlateMaker 3 de Xanté. Se emplearon papel Cultural de 90 g y cartulina Lustrolito mate de 255 g, ambos de Kimberly Clark de México. Se encuadernó en Servicios y Publicaciones Grande. La edición consta de 500 ejemplares, más sobrantes para reposición.





""""Alma y poique Del mito af Método""? ñ

ÁÜÜk ü WERSIOAO AUTC9NOMA METHOi

\ \





ste libro se elaboró para apoyar académicamente a los estudiantes de las licenciaturas en administración y economía en sus cursos de álgebra básica. ¿Qué es lo que caracteriza este libro? Básicamente dos elementos: además de explicar en forma detallada la lógica de los temas y de resolver numerosos ejercicios y problemas como lo hacen otros libros, éste muestra también (en forma detallada y con el auxilio de numerosas imágenes) los procedimientos para resolver problemas y operaciones algebraicas mediante el uso del paquete Mathematica, lo cual permite a los lectores aumentar su eficiencia en la solución de problemas algebraicos. La demostración de cómo opera Mathematica no incluye una copia del mismo. Sin embargo, se decidió explicar su uso, ya que es el paquete más utilizado en la mayoría de las universidades e institutos de educación superior de México. El segundo elemento que distingue el libro son sus exposiciones del uso real del álgebra en el campo de la administración y la economía. Esto se desarrolla en el último capítulo mediante aplicaciones que son resueltas íntegramente en forma manual y mediante el uso del paquete.



algebra basica. soluciones con el paquete mathematica

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