ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN CALCULATOR

MEKANIKA TEKNIK 5

ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN CALCULATOR Pratikto, ST, MSi

Jurusan Teknik Sipil Politeknik Negeri Jakarta NOPEMBER 2010

BUKU AJAR

ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN CALCULATOR (Untuk Program Studi Teknik Konstruksi Gedung)

PRATIKTO NIP. 19610725 198903 1 002

JURUSAN TEKNIK SIPIL Didanai dengan DIPA PNJ Tahun 2010

POLITEKNIK NEGERI JAKARTA NOPEMBER, 2010

LEMBAR PENGESAHAN 1. Judul

: Metode Perpindahan dengan Excel dan Calculator

2. Penulis a. Nama

: PRATIKTO .ST, MsI.

b. NIP

: 19610725 198903 1 002

c. Jenis kelamin

: Laki-Laki

d. Golongan/pangkat

: IV a

e. Jabatan Fungsional

: Lektor

f. Mata Kuliah yang diampu Semester gasal

: Mekanika Teknik 5 : Kerja Proyek Perencanaan Semester genap : Kontruksi Beton 1 ; Lab Uji Bahan g. Jurusan/Program Studi : Teknik Sipil/Teknik Konstruksi Gedung h. Alamat rumah

: Jl. Kakap3 , P15 ; RT3/8 ; Mampang Indah I DEPOK 16433 : [email protected]

Alamat email

[email protected] 3. Jumlah Anggota

:-

4. Lama kegiatan penulisan

: 5 (Iima) bulan

5. Biaya yang diperlukan

: Rp.3.500.000,- (Tiga Juta Lima Ratus Ribu Rupiah)

6. Sumber dana

: DIPA PNJ 2010 Depok, 14 Juni, 2010

Menyetujui,

Pelaksana

Ketua Program Studi,

A.Rudi Hermawan, ST,MT

PRATIKTO., ST, MSi.

NIP.19660118 199011 1 001

NIP.19610725 198903 1 002 Mengetahui

Ketua Jurusan,

Sidiq Wacono, ST, MT. NIP. 19640107 198803 1 001

PRAKATA

ALHAMDULILLAH, Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena anugerah-Nya kami dapat menyelesaikan penulisan diktat ini yang berjudul “ ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN CALCULATOR “ . Tulisan ini membahas mengenai analisa struktur dengan menggunakan dengan alat bantu hitung seperti komputer dengan lembar kerja microsoft office excel ataupun kalkulator. Dasar teori metode perpindahan akan dibahas pada bab 2 yang akan dilanjutkan aplikasinya pada : Struktur rangka batang bab 3 dan Balok baik statis tertentu ataupun statis tak tentu pada bab 4. Pada bab5 pembaca akan diajak untuk mengaplikasikan pada portal bentuk sederhana yang terdiri dari elemen struktur seperti balok dan kolom. Pada tahap ini diberikan tugas untuk menyelesaikan struktur Portal bertingkat dengan bantuaan lembar kerja excel yang terdapat pada komputer. Untuk bentuk yang tidak beraturan sepeti portal dengan kaki miring dibahas pada bab 6. Masalah ini biasanya digunakan untuk menganalisa struktur tangga 2 dimensi Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sedalamdalamnya kepada semua pihak yang telah membantu penulisan ini terutama kepada mahasiswa Jurusan Teknik Sipil Jurusan Teknik Sipil PNJ, yang telah membantu kami dalam penyelesaian penelitian ini. Kami menyadari bahwa penulisan laporan ini masih jauh dari sempurna, maka kami mengharapkan kritik dan saran untuk perbaikan dimasa yang akan datang. Akhir kata penulis berharap semoga tulisan kami ini bermanfaat bagi masyarakat..

penulis

DAFTAR ISI Halaman Sampul Prakata Daftar Isi PENDAHULUAN 1.1

Gambaran Umum Mata Kuliah

I-1

1.2

Hubungan Mata Kuliah dengan yang lain

I-1

1.3

Tujuan Pembelajaran Umum

I-2

1.4

Petunjuk Buku Ajar

I-2

MODUL 1 DASAR METODE PERPINDAHAN 2.1

Pendahuluan

II-1

2.2.

Tujuan Pembelajaran Khusus

II-3

2.3

Kegiatan Belajar

II-3

2.3.1

Dasar Teori Perpindahan

II-3

2.3.1.1 Pembagian elemen

II-5

2.3.1.2 Beban Ekwivalen

II-5

2.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan

II-6

2.3.1.4 Solusi Persamaan Linear

II-7

2.4

Rangkuman

II-7

2.5

Daftar Pustaka

II-8

MODUL 2 RANGKA BATANG 3.1

Pendahuluan

III-1

3.2


III-1

3.3

Kegiatan Belajar

III-2

3.3.1 Perpindahan Batang

III-2

3.3.1.1 Matrik Deformasi dan Statis

III-3


III-4


III-4


III-5

3.3.2 Latihan

III-5

3.3.3

Tugas

III-6

3.3.4

Evaluasi

III-7

3.4

Rangkuman

III-10

3.5

Daftar Pustaka

III-11

MODUL 3 BALOK 4.1

Pendahuluan

IV-1

4.2.


IV-1

4.3

Kegiatan Belajar

IV-1

4.3.1

Deformasi Balok

IV-1


IV-3


IV-3


IV-5

4.3.1.4Momen Akhir

IV-5

4.3.2

Latihan

IV-6

4.3.3

Tugas

IV-8

4.3.4

Evaluasi

IV-8

4.4

Rangkuman

IV-10

4.5

Daftar Pustaka

IV-11

MODUL 4 PORTAL 5.1

Pendahuluan

V-1

5.2.


V-1

5.3

Kegiatan Belajar

V-2

5.3.1

Portal Tak Bergoyang

V-3


V-3


V-4


V-4

5.3.1.4 Persamaan Linear

V-5

5.3.2 Portal Bergoyang

V-6

5.3.3


V-7


V-7


V-8


V-8

Latihan

V - 10

5.3.4 Tugas

V – 13

5.3.5

V - 15

Evaluasi

5.4

Rangkuman

V - 18

5.5

Daftar Pustaka

V - 18

MODUL 5 PORTAL MIRING 6.1

Pendahuluan

VI - 1

6.2.


VI - 1

6.3

Kegiatan Belajar

VI - 2

6.3.1

Deformasi Lentur Portal Miring

VI - 3


VI - 3


VI - 4


VI - 4


VI - 4

6.3.2

Latihan

VI - 5

6.3.3

Tugas

VI - 13

6.3.4

Evaluasi

VI - 13

6.4

Rangkuman

VI - 18

6.5

Daftar Pustaka

VI - 18

LAMPIRAN 1. Istilah LAMPIRAN 2.Kalkulator CFX 9850 GB LAMPIRAN 3.GBPP Mekanika Teknik 5 LAMPIRAN 4. Daftar Tabel dan Daftar Gambar

V-1

MODUL 4

BAB V. PORTAL 5.1

Pendahuluan Portal adalah bagian struktur dengan elemen yang berupa balok dan kolom

baik miring ataupun tegak. Portal yang akan dibahas pada bab ini adalah portal dengan bentuk beraturan. Semakin banyak jumlah lantai – tingkat pada portal , hal ini akan mengakibatkan semakin besar ukuran matrik pada lembar kerja excel. Sebagai pengontrol dari ukuran matrik yang besar disarankan melakukan dengan hati hati perhatikan untuk tidak terdapat sel kosong, ukuran matrik dan sifat matrik. Bila salah satu sel terdapat angka yang aneh atau salah akan berkibat pada hasil matrik berikutnya. Berbeda denga rangka batang yaitu yang hanya mempunyai deformasi aksial , pada portal ini umumnya deformasi aksial diabaikan dengan catatan bahwa nilainya sangat kecil sekali. Sehingga yang terjadi pada konstruksi portal adalah deformasi anguler-sudut dan pergoyangan horizontal. Kolom portal merupakan bagian yang utama didalam menganalisa gaya horizontal. Untuk analisa portal dengan kolom yang miring akan dibahas pada bab berikutnya. Perilaku untuk balok portal ini sama dengan balok yang yang sudah dibahas pada bab sebelumnya. Bila posisi sumbu balok searah dengan gravitasi maka dinamakan kolom sehingga perilakunya sama dengan balok disertai pergoyangan pada arah tegak lurus sumbu balok. . 5.2


Tujuan pada bab ini adalah menganalisa portal sampai mendapatkan besarnya gaya dalam baik momen , lintang ataupun normal. Menganalisa pergoyangan portal dengan mencari deformasi putaran sudut pada kolom akibat pergoyangan. Mengatur dan mengoperasikan analisa perhitungan matrik dengan ukuran ataupun sejumlah data yang besar. Mengontrol hasil perhitungan portal berdasarkan Kesetimbangan dan Kekakuan. Untuk masalah Kekuatan dipersilahkan meninjau pada bab kekuatan bahan elemen.

V-2

5.3

Kegiatan Belajar Perilaku untuk portal bertingkat sangat berbeda dengan struktur Rangka

Batang. Pada portal terdiri dari balok dan kolom sehingga deformasi untuk portal ini terdiri dari balok dan kolom. Untuk balok sudah dibahas pada bab II yang akan direview pada bab ini disertai dengan pembahasan deformasi untuk kolom. Untuk balok : d1 H1 d2-H2

H3 d3 d4 -H4

d1 = 1 unit

H1=4EI/L ; H2=2EI/L

d1

d2 2EI/L

4EI/L d2 = 1 unit

H1=2EI/L ; H2= 4EI/L

d1

d2

4EI/L

2EI/L Gambar 5.1 kekakuan elemen balok Untuk Kolom merupakan kombinasi balok dan perpindahan horizontal atau pergoyangan. Akibat pergeseran Δ= 1 unit akan mengakibatkan deformasi putaran sudut d1 sebesar Δ/L ( kenapa?) d2 =d1. Untuk balok tidak ada perubahan akibat axial deformasi Δ

Δ

d2

d4

L d1

d3

Gambar 5.2 Pergoyangan Portal

Putaran sudut : d1= d2 = Δ/L d3= d4 = Δ/L

V-3

5.3.1

Portal Tak Bergoyang

Apakah yang dimaksud dengan struktur yang simetris? Struktur dikatakan simetris bila seolah olah terdapat satu sumbu putar baik dari geometris struktur ataupun beban yang bekerja. Pada portal yang simetris tidak akan terjadi pergoyangan gambar 5.3 portal simetris. Q=300 kg/m B 600kg

C

2EI

given structure. 2m

EI

EI

Draw the internal forces.

600kg 3m

A

D 5m Gambar 5.3 portal simetris.

5.3.1.1 Pembagian elemen Q1- D1

Q2-D2

2 kinematis

3 elemen

a) Diagram Q-D H3-d3 H2

d2

b) 3 elemen

H4- d4 H5 d5

d1-H1

H6-d6

c) Diagram Hd Gambar 5.4 pembagian elemen.

V-4

5.3.1.2 Beban Ekwivalen 1/12 q l2 = 1/12 300 52 = 625 P ab2 / L2 = 600 3 22 / 52 = 288 Q2

Q1 625

625

432

-193

+193

432

288

288

Gambar 5.5 Beban ekwivalen

⎧− 193⎫ {Q} = ⎨ 193 ⎬ ⎩ ⎭ 5.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan Matrik Deformasi A dan Matrik Kekokohan S D1

d3

D2

d4

d2

d5

Gambar 5.6 Matrik Deformasi

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢1 [A] = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ 1⎥ ⎥ 0 ⎥⎦

⎡4 / 5 ⎢2 / 5 ⎢ ⎢0 [S ] = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣⎢0

⎤ ⎥ ⎥ 8/5 4/5 0 0 ⎥ ⎥ 4/5 8/5 0 0 ⎥ 0 0 4 / 5 2 / 5⎥ ⎥ 0 0 2 / 5 4 / 5⎦⎥

2/5 0 4/5 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

V-5


⎡ 2EI ⎤ ⎡6 2⎤ [K] = [A]t [S][A] = ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ 5 ⎥⎦ ⎣2 6⎦

⎡ ⎤ ⎡ 6 − 2⎤ 5 [K]-1 = ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎣ 2 EI (36 − 4) ⎦ ⎣− 2 6 ⎦ ⎧− 193⎫ ⎧ D1⎫ ⎧− 965 / 8EI ⎫ {D} = [K]-1 {Q} = [K]-1 ⎨ 193 ⎬ = ⎨D2⎬ = ⎨ 965 / 8EI ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

{H} = [S][A]{D} =

⎧ H 1⎫ ⎧− 48.25⎫ ⎪H 2⎪ ⎪ − 96.5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ H 3⎪⎪ ⎪⎪ − 96.5 ⎪⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪H 4⎪ ⎪ 96.5 ⎪ ⎪ H 5⎪ ⎪ 96.5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ H 6⎪⎭ ⎪⎩ 48.25 ⎪⎭

⎧ H 1⎫ ⎧− 288.⎫ ⎧ 239.75 ⎫ ⎪ H 2⎪ ⎪ 432 ⎪ ⎪ − 528.5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ H 3⎪⎪ ⎪⎪ − 625 ⎪⎪ ⎪⎪ 528.5 ⎪⎪ {M}={H} –{FEM} = ⎨ ⎬ − ⎨ ⎬ ⎬=⎨ ⎪ H 4⎪ ⎪ 625 ⎪ ⎪ − 528.5 ⎪ ⎪ H 5⎪ ⎪ − 432 ⎪ ⎪ 528.5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ H 6⎪⎭ ⎪⎩ 288 ⎪⎭ ⎪⎩− 239.75⎪⎭ Perhatikan tanda pada matrik {M} bukan tanda untuk bidang momen 528.5

528.5

239.75

239.75 Free Body(exercise) Gambar 5.7 Hasil gaya dalam moment

V-6

528.5

720 239.75

Bidang Momen

Bidang Lintang (exercise)

Gambar 5.8 Bidang MDN

5.3.2 Portal Bergoyang Pada umumnya struktur yang simetris banyak dijumpai pada peninjauan akibat beban gravitasi dan tidak demikian untuk beban arah mendatar. Dengan ber asumsi bahwa tidak terjadi perubahan panjang pada balok maka yang mengandung perpindahan sudut atau putaran sudut hanya pada elemen kolom. Mengenai besarnya sudut yang kecil ini secara matematis dapat dianggap sama dengan besarnya tangen sudut tersebut.

P=1000 kg B

C

600kg

2EI

EI

400kg

given structure. Draw the internal forces.

EI 4m A

D 4m Gambar 5.9 illustrasi portal bergoyang

V-7

5.3.2.1

Pembagian elemen

Q2-D2

Q3-D3

Q1- D1

3 kinematis

3 elemen


b) 3 elemen

H4- d4 H5 d5

d2

d1-H1

H6-d6


5.3.2.2 Beban Ekwivalen D1

Q2=-500 D2

D3

Restrained Structured

D2 d2

d3

500

500

Q1=1000

Fixed End Forces

d4

Q3=+500

Equivalent Forces

D3

D1=1

d5

d2

d1

d1 Gambar 5.11 Beban Ekwivalen

D1=1 d5 d6

V-8

5.3.2.3 Pembentukan Matrik Kekakuan ⎡1 / 4 ⎢1 / 4 ⎢ ⎢ 0 [A] = ⎢ ⎢ 0 ⎢1 / 4 ⎢ ⎣⎢1 / 4

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ 0 1⎥ ⎥ 0 0⎦⎥

0 1 1 0

⎡4 / 4 2 / 4 ⎤ ⎢2 / 4 4 / 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 8/ 4 4/ 4 [S ] = ⎢ ⎥ EI 4/ 4 8/ 4 ⎢ ⎥ ⎢ 4 / 4 2 / 4⎥ ⎢ ⎥ 2 / 4 4 / 4⎥⎦ ⎢⎣ H3-d3 d2

H2

H4- d4 H5 d5

d1-H1

H6-d6

Gambar 5.12 H-d Diagram

⎡3 / 4 3 / 4 3 / 4⎤ ⎢ 2 ⎥⎥ EI / 2 [K] = [A] [S][A] = ⎢3 / 4 6 ⎢⎣3 / 4 2 6 ⎥⎦ t

5.3.2.4 Solusi Persamaan Linear {D} = [K]-1 {Q} =

⎡ 512 − 48 − 48⎤ ⎢− 48 63 − 15⎥ 1 ⎢ ⎥ 156EI ⎢⎣− 48 − 15 63 ⎥⎦

⎧ 1000 ⎫ ⎧ 3282.05 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨− 500⎬ = ⎨− 557.69⎬1 / EI ⎪ 500 ⎪ ⎪ − 57.69 ⎪ ⎭ ⎭ ⎩ ⎩

V-9

{H} = [S][A]{D} =

⎧ H 1 ⎫ ⎧ 951.92 ⎫ ⎪ H 2⎪ ⎪ 673.07 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ H 3⎪⎪ ⎪⎪− 1173.07 ⎪⎪ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎪ H 4⎪ ⎪ − 673.07 ⎪ ⎪ H 5⎪ ⎪ 1173.07 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ H 6⎪⎭ ⎪⎩ 1201.92 ⎪⎭

⎧ H 1⎫ ⎧ 0. ⎫ ⎧ 951.92 ⎫ ⎪ H 2⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 673.07 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ H 3⎪⎪ ⎪⎪− 500⎪⎪ ⎪⎪ − 673.07 ⎪⎪ {M}={H} – {FEM} = ⎨ ⎬ − ⎨ ⎬ ⎬=⎨ ⎪ H 4⎪ ⎪+ 500⎪ ⎪− 1173.07⎪ ⎪ H 5⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 1173.07 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ H 6⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪⎩ 1201.92 ⎪⎭

673.07

1173.07 406.25

1000

593.75

500

500

406.25

406.25 951.92

593.75

593.75

593.75 593.75

461.54

1201.92 93.75 38.46

1093.75

406.25

593.75961.54

Free Body 1173.07 673.07 1/4PL=

1000

951.92

1201.92

Bidang Momen

Bidang Lintang n Normal (exercise)

Gambar 5.13 Diagram Gaya Dalam

V - 10

5.3.3

Latihan GAMBAR kan DIAGRAM GAYA DALAM

40 kN

B

3EI

C 7,5 m 1.2EI

2EI D 2,5 m A 10 m

Q3- D3

Q2- D2

H3-d3`

H4- d4 H5 d5

Q1- D1

H2 d2

Q5- D5

H6-d6 H1 d1 Q4- D4

Diagram H-d

Diagram Q-D

Gambar 5.14 Portal Beban Horizontal

V - 11

1. Hitung jumlah dari Elemen = KINEMATIS = Ukuran {Q}, = [A] , = [S] = Solusi Pers. Linear Æ [D] dan Gaya Dalam [H] Gambar Gaya Dalam 2. Perhitungan Q =

A= 6*5

S= 6x6

K = At SA =

V - 12

3. Solusi D =

4. Gaya Dalam Portal {H} = SA D - M Primer H =

-163,72

-177,21 40

163,72 177,21

0,00

0,00

5. Gambar Gaya Dalam -177,21

163,72

Gaya Dalam Momen

V - 13

5.3.4 Tugas GAMBAR kan DIAGRAM GAYA DALAM Fc' = Fy = kolom tinggi balok bentang

25 400 400 4000 400 6000

Mpa Mpa 400 mm 600 7000

Qdl Qll

4

m

6000

16 10

Qdl 13,2 Qll 10

Qdl 16 Qll 10

16 10

Qdl 13,2 Qll 8

Qdl 16 Qll 10

7

6

40/60 4 40/40 Qdl Qll 40/60 4 40/40

6

_portal.xls/sheet1 Persiapkan Data perhitungan , Beban , dimensi , mutu bahan dsbnya. Fc’ (Mpa)

=

Fy (Mpa)

=

Beban Q (DL) ; Q(LL) ; Q(EQ) Dari dimensi untuk Inersia ( EI )

1. Hitung jumlah dari Elemen = ; KINEMATIS = Ukuran {Q}, = [A] , = [S] = Solusi Pers. Linear Æ [D] dan Gaya Dalam [H] Gambar Gaya Dalam

V - 14

2. Perhitungan Q = 14x1

A= 28x14

S= 28 x 28

K = At SA = 14x14

3. Solusi D = 14x1

Gaya Dalam Portal {H} = SA D - M Primer Gambar Gaya Dalam

V - 15

5.3.5 Evaluasi

Q1-D1

Q2-D2

Q3-D3

Q4-D4

Q5-D5

Q6-D6

Q7-D7

Q8-D8

Q13-D13

H1 13 14

Q14-D14 Q9-D9

Q10-D10

H7

Q11-D11 Q12-D12

DL

Q beban kerja LL HL

A

DEFORMASI DL LL 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 75 50

H8

21 22

( D) HL

DL

8,138 0,301 -0,301 -8,138 6,263 0,723 -0,723 -6,263 -3,131 -0,362 0,362 3,131 0,000 0,000

H = SA * D LL HL

F E M ( M Primer ) DL LL HL

DL

22 23

2E-15 0,542562

0 0

0,000 0,543

24 25

1,33E-15 -0,54256

0 0

0,000 -0,543

26 27

-1E-15 -4,69708

0 0

0,000 -4,697

28

2,22E-16

0

0,000

2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

H6

27 28

M AKHIR LL HL -11,269 39,876 -40,538 40,538 -39,876 11,269 -15,029 38,712 -40,128 40,128 -38,712 15,029 11,269 10,332 0,663 0,874 -0,663 -0,874 -11,269 -10,332 4,697

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

H9

17 19 18 20 H10 H11 H12 25 26

H5

DIAGRAM H - d

30 -30 40,83 -40,83 30 -30 30 -30 40,83 -40,83 30 -30 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

H4

23 24

18,731 9,875524 0,291871 -0,29187 -9,87552 -18,731 14,97134 8,711859 0,701714 -0,70171 -8,71186 -14,9713 11,269 10,33158 0,662606 0,873865 -0,66261 -0,87387 -11,269 -10,3316 4,697083

30 10,83 -10,83 -30 30 10,83 -10,83 -30 0 0 0 0 0 0

H3 15 16

DIAGRAM Q - D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

H2

3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0,000

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25 0 0 0 0 0 0 0 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25 -0,25

V - 16

Matrik S

S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

1 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 1,94 0,97 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0,97 1,94 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 3,26 1,13 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0 -0,375 0,375

5 0 0 0 0 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 1,94 0,97 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0,97 1,94 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0

20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0

21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0

22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0

23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0

24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0

25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0

26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0

27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5

28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1

Matrik K

K=

2 1,13 5,2 0,97 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 -0,375 0,375

3 0 0,97 5,2 1,13 0 0 0,5 0 0 0 0 0 -0,375 0,375

Gaya Dalam Portal {H} = SA D - M Primer Lihat tabel diatas Gambar Gaya Dalam MDN

4 0 0 1,13 3,26 0 0 0 0,5 0 0 0 0 -0,375 0,375

5 0,5 0 0 0 4,26 1,13 0 0 0,5 0 0 0 -0,375 0

6 0 0,5 0 0 1,13 6,2 0,97 0 0 0,5 0 0 -0,375 0

7 0 0 0,5 0 0 0,97 6,2 1,13 0 0 0,5 0 -0,375 0

8 0 0 0 0,5 0 0 1,13 4,26 0 0 0 0,5 -0,375 0

9 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 0 0 0 -0,375

10 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 0 0 -0,375

11 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 0 -0,375

12 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 -0,375

13 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 0 0 0 0 0,75 -0,75

14 0,375 0,375 0,375 0,375 0 0 0 0 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,75 1,5

V - 17

Bidang Momen

Bidang Lintang

Bidang Normal

V - 18

5.4

Rangkuman

Secara garis besarnya , langkah2 metode ini adalah : 1. Memilih elemen-elemen dan menentukan kinematis struktur D Untuk pergoyangan portal mempunyai kinematis tersendiri. 2. Buat Diagram Q-D dan H-d dan tentukan arah positip Gunakan penomoran yang mudah untuk di kontrol 3. Tentukan matrik A , S dan Q 4. Perhitungan matrik [K] , [K]-1 dan {D} 5. Matrik gaya dalam [H} = [SA] {D}. 6. Gaya Dalam = {H} - M Primer 7. Gambar gaya dalam M, D, N. Ingat tanda positip yang dipakai

5.5

Daftar Pustaka 1. Supartono F.X,

dan

Boen T ; Analisa Struktur dengan Metode

Matrix, Fakultas Teknik universitas Indonesia, UI Press, 1984 2. Wang , C.K : “ Matrix methods of Structural Analysisa” Scrantons International Text Book Co., 1986

VI - 1

MODUL 5

BAB VI. PORTAL MIRING 6.1

Pendahuluan Portal adalah bagian struktur dengan elemen yang berupa balok dan kolom

baik miring ataupun tegak. Semakin banyak jumlah kinematis pada portal , hal ini akan mengakibatkan semakin besar ukuran matrik pada lembar kerja excel. Sebagai pengontrol dari ukuran matrik yang besar disarankan melakukan dengan hati hati perhatikan untuk tidak terdapat sel kosong, ukuran matrik dan sifat matrik. Bila salah satu sel terdapat angka yang aneh atau salah akan berkibat pada hasil matrik berikutnya. Pada rangka batang yaitu yang hanya mempunyai deformasi aksial dan portal biasa dengan deformasi lentur dimana deformasi aksial diabaikan dengan catatan bahwa nilainya sangat kecil sekali. Pada Portal miring akibat pergoyangan , geometris elemen mengakibatkan komponen horizontal harus diperhatikan sehubungan dengan panjang elemen yang tidak berubah. Sehingga yang terjadi pada konstruksi portal adalah deformasi angulersudut dan pergoyangan horizontal dan untuk portal miring pergoyangan translasi yang terjadi diurai menjadi komponen yang horizontal dan vertikal. Beberapa contoh aplikasi portal miring pada bangunan teknik sipil adalah : rangka atap , tangga dansebagainya. Untuk rangka atap bangunan yang menggunakan bentang panjang dengan profil baja umumnya disebut sebagai Gable-frame . Pengaruh dari elemen struktur yang miring , baik kolom atao balok akan mengakibatkan translasi yang mempunyai dua komponen yaitu : vertikal dan mendatar. . 6.2


Tujuan pada bab ini adalah menganalisa portal miring sampai mendapatkan besarnya gaya dalam baik momen , lintang ataupun normal dari portal miring. Menganalisa pergoyangan portal miring dengan mencari deformasi putaran sudut pada kolom akibat pergoyangan yang mempunyai dua komponen vertikal dan

VI - 2

horizontal . Mengatur dan mengoperasikan analisa perhitungan matrik dengan ukuran ataupun sejumlah data yang besar. Mengontrol hasil perhitungan portal miring berdasarkan Kesetimbangan dan Kekakuan. 6.3

Kegiatan Belajar Perilaku untuk portal bertingkat sangat berbeda dengan struktur Rangka

Batang. Pada portal terdiri dari balok dan kolom sehingga deformasi untuk portal ini terdiri dari balok dan kolom. Perbedaan dari portal miring dengan portal biasa adalah komponen yang mendatar dan vertikal dari pergoyangan atau translasi portal. Untuk balok sudah dibahas pada bab II yang akan direview pada bab ini disertai dengan pembahasan deformasi untuk kolom. Untuk balok : d1 H1 d2-H2

H3 d3 d4 -H4

d1 = 1 unit d1

H1=4EI/L ; H2=2EI/L d2 2EI/L

4EI/L d2 = 1 unit d1

H1=2EI/L ; H2= 4EI/L d2

4EI/L

2EI/L gambar 6.1 kekakuan elemen balok Untuk Kolom merupakan kombinasi balok dan perpindahan horizontal atau pergoyangan. Akibat pergeseran Δ= 1 unit akan mengakibatkan deformasi putaran sudut d1 sebesar Δ/L ( kenapa?) d2 =d1. Untuk balok tidak ada perubahan akibat axial deformasi tetapi translasi arah vertikal. Bedakan antara deformasi axial (

VI - 3

perubahan) dengan translasi ( pergeseran) . Besarnya sudut adalah Δ/L dengan catatan bahwa Δ adalah komponen yang tegak lurus dengan sumbu elemen ,balok. Δ

Δ

d2

Putaran sudut : d1= d2 = Δ/L d3= d4 = Δ/L

d4

L d1

d3

gambar 6.2 Pergoyangan Portal 6.3.1. Deformasi Lentur Portal Miring perhatikan 1. Translasi 2. Tidak ada axial deformasi

gambar 6.3 Pergoyangan Portal Miring 6.3.1.1 Pembagian elemen Q1- D1

Q2-D2

3 kinematis

3 elemen


d2

b) 3 elemen

H4- d4 H5 d5

d1-H1

H6-d6


VI - 4

6.3.1.2 Beban Ekwivalen P ab2 / L2 = 1/8 PL = 500 Q2

Q1

600

600

Gambar 6.5 Beban ekwivalen 6.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan Matrik Deformasi A dan Matrik Kekokohan S D1

d3

d4

d2

D2

D3

d5

Gambar 6.6 Matrik Deformasi Perhatikan untuk balok ataupun kolom miring tidak mengalami perubahan panjang hanya pergeseran. Garis tegak lurus tidak merubah panjang elemen. 6.3.1.4 Persamaan Linear [K] = [A]t [S][A] = {D} = [K]-1 {Q} = {H} = [S][A]{D} = {M}={H} – {FEM} =

VI - 5

6.3.2

LATIHAN (1) Portal dengan Kaki Miring

P=1000 kg C

400kg

600kg

D 2EI

given structure.

400kg

EI

3m

Draw the internal forces.

α

EI

B 1m A 1m

4m

4m

Gambar 6.7 soal latih

Q3- D3 Q2-D2

Q1- D1

3 kinematis

3 elemen

b) Diagram Q-D

b) 3 elemen

Gambar 6.8 Elemen dan Diagram Kinematis H3-d3

H1-d1

H4- d4

H2 d2

Gambar 6.9

H5 d5 H6-d6

Diagram H-d

Asumsi arah positip

VI - 6

-100 400

500

500

333.33

500

500

500 666.66 500

833.33

600+400-666.66=333.33

Gambar 6.10 matrik gaya Q

⎤ ⎡4/4 2/4 ⎥ ⎢2/4 4/4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 8/4 4/4 [s] = ⎢ ⎥ EI; 4/4 8/4 ⎥ ⎢ ⎢ 4/5 2/5⎥ ⎥ ⎢ 2/5 4/5⎥⎦ ⎣⎢

⎧333.34⎫ {Q} = ⎪⎨ − 100 ⎪⎬ ⎪ 500 ⎪ ⎩ ⎭

D1 D2

d3

d4

d2

D3 d5

D1=1 d2

d5 d6

d1

d1 3 α 4

5

5/3

4/3

D1 Gambar 6.11 pembentukan matrik A

α

VI - 7

⎡1/ 4 ⎢1/ 4 ⎢ ⎢4/3? [A] = ⎢44/3 ⎢4 ? ⎢5/3 ? ⎢5 ? ⎢⎣5/3 5

0 0⎤ 1 0⎥⎥ 1 0⎥ ⎥ 0 1⎥ 0 1⎥ ⎥ 0 0⎥⎦

⎡ x x x⎤ ⎢ x x ⎥ EI / 2 [K] = [A] [S][A] = ⎢ ⎥ ⎢⎣ x ⎥⎦ t

⎡1,077 −,625 −,6⎤ 3 1 ⎥ EI [K] = ⎢ ⎥ ⎢ 2,8 ⎥⎦ ⎢⎣

{D} = [K ]

−1

⎧ 427.83 ⎫ {Q} = ⎪⎨ − 38.21 ⎪⎬ 1 ; ⎪284.152⎪ EI ⎩ ⎭

⎧ H1⎫ ⎧ 140.97 ⎫ ⎪H2⎪ ⎪ 121.5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪H3⎪⎪ ⎪⎪− 221.5⎪⎪ {H}=[S][A]{D}= ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪H4⎪ ⎪ 101.56 ⎪ ⎪H5⎪ ⎪ 398.45 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩H6⎪⎭ ⎪⎩ 284.79 ⎪⎭

⎧ H1⎫ ⎧ 0. ⎫ ⎧ 140.973 ⎫ ⎪H 2⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 121.5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ H 3⎪⎪ ⎪⎪− 500⎪⎪ ⎪⎪ 278.48 ⎪⎪ {M}={H} –{FEM} = ⎨ ⎬ − ⎨ ⎬ ⎬=⎨ ⎪H 4⎪ ⎪+ 500⎪ ⎪− 398.44⎪ ⎪ H 5⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 398.44 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ H 6⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪⎩ 284.79 ⎪⎭ Perhatikan tanda positif dan negatif

VI - 8

400

398.44

278.5

121.53

284.79 140.97 400 kg 600

1000 kg 600

400

470

534.38

534.38

530

400 934.38





470

530

 65.62

934.38 530 65.62 870 Gambar 6.12 FREE BODY Portal Miring

VI - 9

(2) Gable frame

10m 80 B

C

D

2 x 15m

E

15m A

Q5-D5

Q2-D2 Q1-D1 Q4-D4

Q3-D3

DIAGRAM Q-D KINEMATIS

H4-d4

H5-d5 H6-d6

H3-d3 H7-d7 H2-d2 DIAGRAM H-d H8-d8 H1-d1

VI - 10

Menentukan matrik Q BCD ΣMD = 0 VB = 80*( 15+7.5)/30 = 60 VC = 80-60 = 20

80 20 30 60

30

BC ΣMC = 0 HB = ( 80*7.5 - 60*15 ) / 10 HB = 30

20

80 -30 -30 60

Perhitungan gaya Q 30

Menentukan matrik A 2α 1

α 1

2α 1 2α α

1

VI - 11

Q=

S=

A= d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8

150 -150 0 -30 30

D1

D2 0 1 1 0 0 0 0 0

D3 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0

D4 -0,0667 -0,0667 0,0500 0,0500 -0,0500 -0,0500 0,00 0,00

D5 0 0 -0,0500 -0,0500 0,0500 0,0500 -0,0667 -0,0667

0,2667 0,1333 0,00

0,1333 0,2667 0,00

0,00 0,00 0,4444

0,00 0,00 0,2222

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00

0,00

0,00

0,2222

0,4444

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,4444 0,2222

0,2222 0,4444

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,00 0,00

0,2667 0,1333

0,1333 0,2667

K=

0,7111 0,2222 0,0000 0,0067 -0,0333

Kinv

D1 D2 D3 D4 D5

0,2222 0,8889 0,2222 0,0000 0,0000

0,0000 0,2222 0,7111 -0,0333 0,0067

0,0067 0,0000 -0,0333 0,0102 -0,0067

-0,0333 0,0000 0,0067 -0,0067 0,0102

2,06 -0,63 0,44 7,45

-0,63 1,44 -0,63 -4,69

0,44 -0,63 2,06 11,30

7,45 -4,69 11,30 245,09

11,30 -4,69 7,45 176,78

11,30

-4,69

7,45

176,78

245,09

5,182E+02 -3,094E+02 4,430E+01 -2,281E+02 4,447E+03

H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8

SA*D 75,18 144,27 5,73 -178,18 28,18 106,77 -106,77 -112,68

FEM 0 0 -150 150 0 0 0 0

M akhir 75,18 144,27 -144,27 -28,18 28,18 106,77 -106,77 -112,68

VI - 12

80,00

80

40,00 9,00 9,75 18,75

-28,18

61,25

-144,27 144,27

11,50 40,00 9,75

75,18

-106,77

-112,68 -14,63

61,25 14,63 FREE BODY

-28,18 Gambar Gaya Dalam :

Momen : -144,27

180 -106,77 -144,27 -106,77

-75,18

Lintang :

-112,68

VI - 13

6.3.3

Tugas

0 C 10 0

2

2 D

B 10 15

1

1 E

A 15

6.3.4

15

Evaluasi

10 10 187,5

-187,5

187,5

-187,5

187,5

-112,5

{ Q }1 0 187, 5 0 -187, 5 0 -112, 5 112, 5

Beban (1)

112,5

-112,5 150

15

15

112,5 150

-112,5

-187,5

112,5

{ Q }2 0, 00 -197, 92 -83, 33 0 0 150 25, 00

Beban (2)

VI - 14

10Hc+15Vc-q*(10/2)=0 10Hc-15Vc = 0 Hc = q*(10/2)/20 -83,33

-25

25

100 83,33

-75 -75

-150

-25,00 150

25,00

-281,25 150

-75

0

75

100 10 -25 -16,67

A

S

K

K in

15

15

MENCARI MATRIK GAYA LUAR { Q } 7x1

16,67

1

0

0

0

0

-0,0667

0

0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 1

-0,0667 0,0500 0,0500 -0,0500 -0,0500 0,00 0,00

0 -0,0500 -0,0500 0,0500 0,0500 -0,1000 -0,1000

0,2667 0,1333 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,1333 0,2667 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,4444 0,2222 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,2222 0,4444 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,4444 0,2222 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,2222 0,4444 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,4000 0,2000

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,2000 0,4000

0,267 0,133 0,000 0,000 0,000 0,027 0,000

0,133 0,711 0,222 0,000 0,000 0,007 0,033

0,000 0,222 0,889 0,222 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,222 0,844 0,200 0,033 0,027

0,000 0,000 0,000 0,200 0,400 0,000 0,060

0,027 0,007 0,000 0,033 0,000 0,010 0,007

0,000 0,033 0,000 0,027 0,060 0,007 0,019

10,242 0,396 0,605 2,815 4,753 62,942 41,071

0,396 2,197 0,664 0,458 1,610 7,020 12,258

0,605 0,664 1,498 0,829 0,855 9,364 8,460

2,815 0,458 0,829 2,857 1,809 30,437 21,583

4,753 1,610 0,855 1,809 10,412 55,582 58,778

62,942 7,020 9,364 30,437 55,582 664,523 472,002

41,071 12,258 8,460 21,583 58,778 472,002 463,795

VI - 15

Q3 - D3

Q4 - D4 Q7-D7

Q6-D6

Q2 - D2

Q1 - D1

Q5 - D5 KINEMATIS ( 7 ) 2α 1

α 1

2α 1 2α α 1

D(Q1) H=SAxD Mprimer -3062,65 0,00 915,45 530,41 132,60 -342,91 -1445,87 -516,88 322,18 516,88 -26049,19 166,11 -2671,71 -353,61 0,00

M akh 0 0 187,50 -187,50 187,50 -187,50 0 0

0,00 530,41 -530,41 -329,38 329,38 353,61 -353,61 0,00

VI - 16

-329,38 329,38

-530,41 530,41

353,61 -353,61

-35,36088475 15

15

35,360885

57,32 23,57 75,00 155,89

45,53 23,57 75,00 144,11

35,36088475 300

-35,36088475 35,36

Beban (2)

D(Q2) 10596,97 979,95 -1609,63 5083,56

0,00 -1282,27 1084,35 508,89

0 -281,25 83,33 -83,33

0,00 -1001,02 1001,02 592,22

9559,33 110869,47 80674,11

-592,22 895,15 -895,15

0 0 0

-592,22 895,15 -895,15

VI - 17

592,22

-592,22

100 10 1001,02 -1001,02

895,15 -895,15

10,48 66,73 -75 18,75 15

250 15 150

10 15

-160,48

-89,52

-250,00 OK ? 59,68 20,20 79,87

-281,25 79,87 -106,22 33,33 -6,99 -79,87

-18,75 dari M Primer

-159,32

89,52

-89,52 -30,29

100 -10,48

30,29 -59,22

89,52

-10,48 159,32

-75

10,48

148,84

150 -89,52 -75 -160,48 30,72 57,83 -27,11

-40,67

352,46 -352,46 515,02 -515,02

10 406,65 -406,65 10

150 15

-150,00

-40,67

-109,33 15 30,72

15 -30,72

-30,72 -3,61 -27,11

-40,67

VI - 18

6.4

Rangkuman Secara garis besarnya , langkah2 metode ini adalah : 1. Memilih elemen-elemen dan menentukan kinematis struktur D 2. Buat Diagram Q-D dan H-d dan tentukan arah positip 3. Tentukan matrik A , S dan Q Ingat bahwa deformasi arah aksial tidak ada. Gaya Q adalah Gaya Aksi bukan Reaksi 4. Perhitungan matrik [K] , [K]-1 dan {D} 5. Matrik gaya dalam [H} = [SA] {D}. 6. Gaya Dalam = {H} - M Primer 7. Gambar gaya dalam M, D, N. Ingat perjanjian tanda yang dipakai

6.5

Daftar Pustaka 1. Supartono F.X,

dan

Boen T ; Analisa Struktur dengan Metode

Matrix, Fakultas Teknik universitas Indonesia, UI Press, 1984 2. Wang , C.K : “ Matrix methods of Structural Analysisa” Scrantons International Text Book Co., 1986

LI-1

LAMPIRAN I. BEBERAPA ISTILAH I. 1. Deformasi Bila suatu struktur diberi beban, maka struktur tersebut (batang) akan mengalami deformasi yaitu perubahan bentuk yang kecil, sehingga setiap titik2 pada struktur akan berpindah ke posisi yang baru perpindahan akan terjadi pada umunya untuk struktur kecuali pada tumpuan yang tidak dapat bergerak. Perpindahan merupakan hal penting dalam analisa struktur. Sebagai potongan

contoh

diambil

suatu

dari

batang

elemen

stryktur rangka berbentuk lingkaran panjangnya dx Gaya2 yang bekerja adalah NX = gaya axsial Vy & Vz = gaya geser My & Mz = momen lentur T adalah forsi Deformasi

yang

terjadi

pada

penampung dx adalah deformasi axial, geser lentur dan torsi seperti diperlihatkan pada gambar (2). Gambar L.1

Adapun

material

bahan

yang

digunakan mengikuti Hukum Hooke yang elastis linier. Perpindahan (displacement) suatu struktur ditimbulkan oleh gabungan pengaruh deformasi seluruh elemen. Dalam menentukan perpindahan suatu struktur

LI-2

tidak semua jenis deformasi berpengaruh besar dan mungkin bias diabaikan.Pada balok deformasi lentur biasanya merupakan satu-satunyayang terpentuing dai pada deformasi axial yang biasanya diabaikan. Untuk jenis struktur rangka batang, maka titik kumpul rangka dianggap sebagai sendi dan semua beban bekerja pada titik kumpul, sehingga analisanya hanya melibatkan deformasi axial batang. Jika terdapat beban di antara titik kumpul, maka beban ini dipindahkan pada titik kumpul seperti analisa balok ber tumpuan sederhana. Pada portal bidang deformasi yangb berpengaruh adalah akibat lenturan dan gaya axial. Pada balok silang deformasi lentur selalu penting dan deformasi punter kadang kala turut diperhitungkan. Tergantung pada penampung yang digunakan, jika penampung tersebut adalah berdendeng tipis seperti balok I, maka batang akan sangat fleksibel terhadap punter dan tidak mengalami gaya punter yang besar. Portal ruang merupakan jenis struktur rangka yang paling umum dlm geometrid an pembebanannya. Oleh karena itu deformasi axial, lentur dan punter mungkin seluruhnya perlu diperhitungkan tergantung jenis struktur dan bebannya. Untuk deformasi geser pada struktur rangka biasanya sangat kecil, sehingga jarang ditinjau dalam analisa. I. 2. Aksi dan Perpindahan Untuk menerangkan konsep dasar pada analisa struktur ada istilah yang akan digunakan seperti AKSI dan PERPINDAHAN. AKSI atau gaya dapat berupa gaya atau momen kopel ataupun gabungan keduanya. Selain Aksi luar pada struktur Aksi dalam juga perlu ditinjau sebagai contoh adalah resultan distribusi tegangan akibat momen lentur, gaya geser, gaya axial ataupun momen puntir. Konsep dasar yang lain adalah perpindahan yang umunya berupa translasi atau rotasi di titik struktur. Transaksi menun jukkan adanya pergerakan, sedangkan rotasi menyatakan sudut perputaran antara garis singgung kurva elastis dengan posisi semula.

LI-3

Dalam analisa struktur kita sering dijumpai aksi dan perpindahan yang paling sesuai dengan momen kopel ialah rotasi putaran sudut. Contoh: L/2

L/2

Notasi A dipakai untuk aksi gaya dan D

A1 A

untuk perpindahan. B

D11

D31 Pada gambar L2 terdapat aksi A1, A2 dan D21

A2

A3 Perpindahan yang terjadi : A1→ D1 (translasi) D11 D21 D31

A

B D32 D12

D22

A2→ D2 (translasi) D12 D22 D32 A3→ D3 (rotasi)

D13 D23 D33

Perhatikan subscript yang dipakai A

B D13

D33 D23

Perpindahan balok atas seluruh beban D1 = D11 + D12 + D13

gambar L.2

D2 = D 21 + D22 + D23 D3 = D 31 + D32 + D33 Penjumlahan ini adalah prinsip superposisi yang dibahas lebih lanjut.

I. 3. Keseimbanan dan Kesesuaian Tujuan analisa struktur di antaranya adalah menentukan berbagai aksi pada struktur seperti reaksi tumpuan dari resultan tegangan, momen lentur, geser dan sebagainya. Penyelesaian ini harus memenuhi syarat keseimbangan statis begitu juga pada bagian struktur yang dianalisa sebagai benda bebas free body.

LI-4

Enam buah persamaan yang terdapat pada keseimbangan statis dalamnya dimensi adalah: ΣFx = 0

ΣFy = 0

ΣFz = 0 vektor gaya

ΣMx = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0 momen terhadap sumbu x, y, z Persamaan ini dapat dideduksi, apabila digunakan pada permasalahan struktur dalam 1 bidang. Dengan menganggap gaya terletak pada bidang x – y maka persamaan menjadi

ΣFx = 0 ΣFy = 0

ΣMz = 0

Selain keseimbangan statis maka seluruh syarat kesesuaian harus terpenuhi dalam analisa struktur. Syarat ini juga disebut syarat geometris karena harus menyatakan kontinuitas perpindahan di seluruh bagian struktur. Sebagai contoh adalah titik tumpuan jepit, harus dipenuhi kesesuaian perpindahan dengan kondisi tumpuan yaitu tidak terjadi tranlasi dan rotasi terhadap sumbu batang. Pada sambungan yang kaku antara dua batang maka perpindahan yang terjadi (tranlasi dan rotasi) harus sama bila ditinjau per batang secara terpisah. I. 4. Ketidaktentuan Statis dan Kinematis Ketidaktentuan suatu struktur tergantung pada yang ditinjau aksi atau perpindahan. Ketidaktentuan menunjukkan kelebihan aksi yang tidak diketahui terhadap jumlah persamaan keseimbangan statis. Jika persamaan keseimbangan cukup untuk menentukan aksi maka struktur bersifat statis tertentu. Sebaliknya bila tidak dapat diselesaikan dengan persamaan keseimbangan maka struktur mempunyai sifat statis tak tentu.

Ketidaktentuan statis berderajad 3 ada 6 reaksi yang harus dicari Gambar L3

LI-5

Ketidaktentuan statis bisa dibedakan atas ketidaktentuan luar dan dalam. Bila berhubungan dengan reaksi struktur maka termasuk pada ketidaktentuan statis luar. Sebagai contoh adalah struktur ruang mempunyai 6 buah persamaan dan untuk struktur bidang mempunyai 3 buah persamaan. Apabila lebih di jumlah persamaan keseimbangan statis, maka disebut bersifat statis tak tentu luar. Ketidaktentuan statis dalam berhubungan dengan perhitungan resultan tegangan dalam struktur dengan anggapan semua reaksi telah ditentukan sebelumnya. Ketidaktentuan bersifat

statis

statis

luar

adalah

tertentu

untuk

ketidaktentuan statis dalam berdenyutdenyut karena 2j – m = 3 yaitu 2 x 6 – 11 = 1. Ada dua batang yang dipenggal artinya dengan melepas 2 gaya Gambar L4

pada

rangka

batang,

maka

struktur menjadi statis tertentu.

Jenis ketidaktentuan yang lain adalah ketidaktentuan kenematis yaitu yang bertentangan dengan perpindahan titik kempul yang tidak diketahui. Pada struktur rangka titik kempul dapat berupa perteman dua batang atau lebih, titik tumpuan dan ujung bebas. Titik kumpul dapat mengalami transaksi atau rotasi. Titik A terjepit tidak mengalami perpindahan, A Gambar L5

B

sedangkan

titik

B

memiliki 2 perpindahan ber rotasi dan bergeser.

LI-6

Ketidaktentuan kenematis balok AB berderajat dua dan 2 perpindahan titik kempul ini harus dihitung dalam analisa balok. Apabila deformasi axial balok diabaikan, maka titik B hanya berrotasi, sehingga balok ini sebagai struktur dengan 1 derajat ketidaktentuan kenematis. Rangka D

A

batang

statis

tak

tentu

berderajat 2 titik A, B, D dan E mempunyai dua derajat kebebasan

E

B

masing-masing (translasi dalam 2 arah tegak lurus). Titik c dan f masing-

F

C

masing adalah nol dan satu derajat kebebasan.

Gambar L6

Jadi

rangka

batang

mempunyai 9 derajat kebebasan untuk translasi

titik

ketidaktentuan

kempul

dan

kenematisnya

berderajat 9. Untuk menentukan ketidaktentuan statis dan kenematis, maka ada aturan yang dapat dipakai seperti. I.

Tentukan jumlah kelebihan gaya. Hitung jumlah pelepasan yang diperlukan agar struktur menjadi statis tertentu.

II.

Tentukan jumlah derajat kebebasan titik kempul. Hitung jumlah pengembangan titik kempul yang diberikan agar struktur menjadi kenematis tertentu tidak ada perpindahan titik kempul.

LI-7

I. 5

Stabilitas

Pada pembahasan derajat kebebasan terlihat bahwa, apabila jumlah reaksi melebihi jumlah persamaan, maka struktur bersifat statis taktentu luar. Dan jika jumlah ini sama, maka struktur statis tertentu luar. Hal ini berlaku, bahwa struktur tidak akan bergerak, apabila beban diberikan pada struktur tersebut. Pada contoh balok di atas 3 tumpuan roller terdapat 3 reaksi yang sama jumlahnya Gambar L7

keseimbangan

dengan statis

persamaan untuk

gaya

perbidang. Akan tetapi jelas bahwa balok akan bergerak ke kiri apabila beban dan yang mirin g diberikan. Jenis struktur ini dikatakan bersifat tidak stabil. Gambar L8

Struktur pada gambar L8 dikatakan tidak stabil karena garis kerja gaya dan tidak melalui 3 gaya reaksi yang konkuren.

Jadi selain jumlah tumpuan struktur struktur yang cukup, maka tata letaknya harus menjamin agar struktur tidak tidak dapat bergerak. I. 6. Superposisi Pada suatu struktur akan terdapat besaran aksi gaya dan perpindahan yang tertentu. Aksi dan perpindahan ini menimbulkan aksi perpindahan lainnya pada struktur. Aksi perpindahan semula merupakan penyebab, sedangkan yang terakhir adalah pengaruh. Secara umum, nahwa pengaruh yang ditimbulkan oleh sejumlah penyebab dapat diperoleh dengan menggabungkan pengaruh setiap penyebabnya.

LI-8

Dari prinsip superposisi bahwa akibat A2

Mb

A1

aksi dan perpibndahan A1 dan A2 dapat ditinjau secara terpisah.

Ra

Rb

RA = RA’ + RA” RB = RB + MB”

A1

M’b

MD = MB’ + MB” D =

R’a

D’

D’ + D”

R’b

M”b R”a

D”

R”b

Gambar L9 Prinsip superposisi ini hanya berlaku, apabila hubungan antara aksi dan perpindahan pada struktur b ersifat linear. Hal ini terjadi apabila syarat-syarat b erikut terpenuhi: (struktur elstis linear). 1. Bahan struktur mengikuti hokum Hooke 2. Perpindahan struktur kecil (small deflection) 3. Tidak ada interaksi antara pengaruh axial dan lentur. I. 7. Matrik Kekakuan Hubungan antara aksi dan perpindahan berperan penting dalam analisa struktur dan digunakan dalam metode kekakuan. Untuk menyatakan hubungan aksi dan perpindahan ialah dengan persamaan aksi dan perpindahan.

LI-9

Sebagai contoh: Aksi A yang b ekerja pada balok me A

nimbulkan perpindahan D. Hubungan A dan D ini dapat dengan beban sebagai:

D’

A=SD

Gambar L10 Di mana S adalah kekakuan yang didefinisikan sebagai aksi yang dikukuhkan untuk menimbulkan perpindahan satu unit. Satuannya adalah gaya persatuan panjang. Untuk keadaan yang lebih umum : A1

A2

A3

a

Dalam

perpindahan

a)

gambar balok

diperlihatkan yang

selaras

A1,A2 dan A3. Dari superposisi b)

D1

D2

D3

D1 = D11 + D12 + D13

1

c)

S31 S11

e)

S32

D11 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A1 D12 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A2 D13 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A3 Analog untuk D2 dan D3

S33

D11 : perpindahan yang selaras A2

S21

d)

1

S12 S13

didapatkan :

S22 S23 1

Gambar L11 Persamaan aksi: A1 : S11 D1 + S12 D2 + S13 D3 A2 : S2 D1 + S22 D2 + S23 D3 A3 : S31 D1 + S32 D2 + S23 D3

diakibatkan oleh A2 dst.

L I - 10

Di mana: S adalah koefisien kekakuan yang menyatakan aksi akibat perpindahan satu satuan. S11 : aksi yang selaras dengan A1 bila satu satuan perpindfahan D1 diberikan sementara perpindahan yang lain = 0 dan seterusnya. Arah setiap koefisien kekakuan yang diperlihatkan dianggap positif, apabila searah dengan aksi yang selaras. Persamaan aksi untuk struktur dengan n buah aksi adalah: A1 : S11 D1 + S12 D2 + S13 D3 A2 : S21 D1 + S22 D2 + S23 D3 --An : Sn D1 + S31 D2 + S33 D3 Dalam balok matrik

⎡ A1 ⎤ ⎡ S11 S12 .. S1n ⎤ ⎡ D1⎤ ⎢ A2⎥ ⎢ S 21 S 22 .. S 2n⎥ ⎢ D 2⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ atau[A] = [S ][D] ⎢ .. ⎥ ⎢ .. .. .. .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ An⎦ ⎣ Sn1 Sn2 .. Snn ⎦ ⎣ Dn ⎦ Dimana A = Matrik aksi berukuran n x 1 D = Matrik perpindahan berukuran n x 1 S = Matrik kekakuan berukuran n x n Koefisien kekakuan Sij didefibnisikan sebagai aksi ke – i akibat satu satuan perpindahan ke- j sementara petrpindahan lainnya adalah nol. I. 8. Beban Ekivalent Analisa struktur mengharuskan struktur hanya memikul beban yang bekerja pada titik kempul. Sebenarnya beban yang bekerja pada struktur tidak memenuhi syarat tersebut. Agar supaya syarat terpenuhi beban pada batang harus diganti dengan beban ekivalen pada titik kem pul. Beban ekivalen ini sedemikian rupa, sehingga

L I - 11

perpindahan struktur yang ditimbulkan sama dengan perpindahan akibat beban sebenarnya. Beban ekivalen dapat dihitung berdasarkan gaya jepit ujung. W

M1

P1

P2

Titik kempul dikekang terhadap semua perpindahan, sehingga menghasilkan 2 balok terjepit (gambar L12).

L

L/2

L/2 2

1/12 WL

wL/2

P1

PL/8 .5P1

Di sini gaya ujung ditunjukkan sebagai reaksi

pengekangan

pada

struktur

PL/8

terhekang. Jika reaksi pengekang ini

.5P1

dibalik arahnya akan menjadi beban

WL/2

yang ekivalen dengan beban yang bekerja pada batang. WL/2+.5P1

.5P1+P2

2

1/12 WL

Beban titik kempul ini digabungkan, 2

M1+1/12WL -PL/8

Gambar L12

sehingga dapat digunakan dalam analisa struktur.

I. 9. Teori Energi Pembahasan konsep energi ini terbatas pada struktur yang regan gan dan perpindahannya kecil serta energinya tidak hilang selama proses pembebanan statis. Dengan kata kain, kerja luar (external) dari beban yang diberikan secara perlahanlahan sama dengan energi yang disimpan dalam struktur. Dari teori elastis, apabila ditinjau pada elemen yang sangat kecil akan terdapat beberapa tegangan seperti pada gambar 17.

L I - 12

Terdapat 3 tegangan normal (σx, σy, σz) dan 6 tegangan geser (τxy,τxz dst nya).

σy

τxy = τyx

τyx τyz τzy

τxy

dx

σx

(a.)

τyz = τzy τzx = τxz Jadi hanya 6 komponen tegangan yang

τzx

perlu ditin jau untuk pegangan berlaku.

σz

u,v,w adalah translasi dalam arah x,y,z. Єx = du/ dx Єy = dv/ dy

(b.)

Єz = dw/ dz

Gambar L13

Untuk regangan geser γxy = γyx = Əu/Əy + Əv/Əx γyz = γzy = Əv/Əz + Əw/Əy

(c.)

γzx = γxz = Əw/Əx + Əu/Əz

⎡ σ 1⎤ ⎡ σx ⎤ ⎢σ 2⎥ ⎢ σy ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢σ 3⎥ ⎢ σz ⎥ σ = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢σ 4⎥ ⎢σxy ⎥ ⎢σ 5⎥ ⎢σyx⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢σ 6⎦⎥ ⎣⎢σzx ⎦⎥

⎡ ε 1 ⎤ ⎡ εx ⎤ ⎢ε 2⎥ ⎢ εy ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε 3 ⎥ ⎢ εz ⎥ ε =⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ε 4⎥ ⎢εxy ⎥ ⎢ε 5⎥ ⎢εyz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ε 6⎦⎥ ⎢⎣εzx ⎥⎦

(d.)

Tegangan dan regangan pada sembarang titik untuk benda 3 dimensi Dari diagram tegangan

– regangan

untuk bahan linear. Energi regangan

didefinisikan sebagai integrasi kerja dalam

dari tegangan selama pertambahan

regangan untuk pegangan total dan seluruh volume. U=

1 2

n5

∑εi.σi. dV i =1

= 1 / 2∫ .σ t ε .dV V

L I - 13

σt transpose matirk kolom

Dimana :

ns jumlah komponen regangan ε U Energi regangan σi dσ dЄ

Єi

gambar L14

Energi regangan komplementer didefinisikan sebagai integrasi kerja dalam dari regangan pertambahan tegangan untuk tegangan total dan seluruh volume. U* =

1 2

n5

∑εi.σi. dV i =1

= 1 / 2∫ .ε t σ .dV V

ε t transpose matirk kolom ε

Dimana :

Untuk kerja beban dapat dirumuskan sama seperti energi regangan. Pj

W=

dP

1 2

W* = dΔ

n5

∑ Pj.Δj. dV = 1/2 A

1 2

t

D

j =1

n5

∑ Pj.Δj. dV = 1/2 D

t

A

j =1

Δj

Gambar L15

Dari prinsip kekuatan energi, bahwa kerja beban W = energi pegangan U yang disimpan dalam struktur, sehingga: U = W = ½ DT S.D

L I - 14

Teori costigliano I

menyatakan bahwa jika energi regangan benda elastis

diunyatakan sebagai fungsi (himpunan) perpindahan, maka turunan parsial pertama fungsi ini terhadap perpindahan sama dengan gaya aksi yang selaras.

∂U = ∂Dj

n

∑ Sjk

Dk = Aj

( j = 1, 2, …..n )

k −1

Persamaan ini menyatakan n (himpunan) syarat keseimbangan. Apab ila persamaan ini diturunkan terhadap Dk , maka akan diperoleh suku kekakuan umum Sjk sebagai:

σU ∂U = σDj ∂Dj ∗ ∂Dk

∂Aj = Sjk ∂Dk

j = 1, 2, ………… n k = 1, 2, …………. N

Hubungan timbal balik (teorema Maxwell), jika untuk differensial dibalik, maka hasilnya harus sama, sehingga:

Sjk = Skj

Oleh karena itu semua pasangan kekakuan silang sama besar, sehingga matrik S adalah simetris atau identik transposenya.

S = ST

1.10. Rangkuman •

Bandungkan jenis2 struktur rangka seperti Rangka Batang , Balok ataupun Portal. Perbedaan terletak pada gaya dalam dan deformasi •

Dasar2 analisa struktur seperti deformasi, Aksi dan Perpindahan , derajat kebebasan , derajat ketidak tentuan statis atau kinematis , stabilitas, Superposisi , Kekakuan , beban ekivalent dan teori energi.

L II - 1

LAMPIRAN II PERINTAH UNTUK CALCULATOR CFX 9850GB Matrix calculations 26 matrix memories (Mat A Through Mat Z) plus a matrix answer memory (MatAns), make it possible to perform the following matrix operations. y

Addition, subtraction, multiplication

y

Scalar multiplication calculations

y

Determinant calculations

y

Matrix transposition

y

Matrix inversion

y

Matrix squaring

y

Raising a matrix to a specific power

y

Absolute value, integer part extraction, fractional part extraction, maximum integer calculations

y

Matrix modification using matrix commands

LII-1 before performing matrix calculations LII-2 matrix cell operations LII-3 modifying matrices using matrix commands LII-4 matrix calculations

L II - 2

LII-1 Before Performing Matrix Calaulations In the Main Menu, select the MAT icon to enter the Matrix Mode and display its initial screen.

{DEL}/{DEL.A} … deletes {a specific matrix}/{all matrices} The maximum number of rows that can be specifies for a matrix is 255, and the maximum number of columns is 255. About Matrix Answer Memory (MatAns) The calculator automatically stores matrix Answer Memory. Note the following points about Matrix Answer Memory. Whenever you perform a matrix calculation, the current Matrix Answer Memory contents are replaced by the new result. The previous contents are deleted and cannot be recovered. Inputting values into a matrix does not affect Matrix Answer Memory contents. Creating a Matrix To create a matrix, you must first define its dimensions (size) in the MATRIX list. Then you can input values into the matrix to specify the dimensions of a matrix

L II - 3

Example : To create a 2-row x 3-column matrix in the area named Mat B Highlight Mat B.

All of the cells of a new matrix contain the value 0. All “Mem ERROR” remains next to the matrix area name after you input the dimensions, it means there is not enough free memory to create the matrix you want.

L II - 4

Displayed cell values show positive integers up to six digits, and negative integers up to tive digits (one digit used for the negative sign). Exponential values are shown with up to two digits for the exponent. Fractional values are not displayed. You can see the entire value assigned to a cell by using the cursor keys to move the highlighting to the cell whose value you want to view. The amount of memory required for a matrix is ten bytes per cell. This means that 3 x 3 matrix requires 90 bytes of memory ( 3 x 3 x 10 = 90 ). Deleting Matrices You can delete either a specific matrix or all matrices in memory. To delete a specific matrix While the matrix list on the display, use

and

to highlight the matrix

you want to delete. Press Press

{DEL} {YES} to delete the matrix or

{NO} to abort the operation

without deleting anything. The indicator “None” replaces the dimensions of the matrix you delete. To delete all matrices While the matrix list is on the display, press Press

{DEL A}.

{YES} to delete all matrices in memory or

operation without deleting anything. The indicator “None” is shown for all the matrices.

{NO} to abort the

L II - 5

LII – 2

Matrix Cell Operations

Use the following procedure to prepare a matrix for a cell operations. While the MATRIX list on the display, use

to highlight the name

of the matrix you want to use. And the function menu with the following items appears. {R.OP} …{row calculation menu} {ROW}/{COL} … {row}/{column} operation menu Row Calculations The following menu appears whenever you

{R . OP} while a

recalled matrix is on the display. {Swap} … {Row Swap} {xRw} … {Product of specific row and scalar} {xRw+} … {Addition of one and the product of a specific row with a scalar} {Rw+} … {Addition of specific row to another row} To swap two rows Example : To swap rows 2 and 3 of the following matrix :

L II - 6

To calculate the product of a row :

Example

: to calculate the product of row 2 of the following matrix and the scalar 4 :

To calculate the product of a row and add the result to another row Example : to calculate the product of row 2 of the following matrix and the scalar 4, then add the result to row 3 :

L II - 7

To add two rows together Example : to add row 2 to row 3 of the following matrix :

Row Operations The following menu appears whenever you

{ROW} while a

recalled matrix is on the display. {DEL} … {delete row} {INS} … {insert row} {ADD} … {add row}

To delete a row Example : to delete row 2 of the following matrix :

L II - 8

To insert a row : To Insert a new row between rows 1 and 2 of the following matrix Example :

To add a row Example

: to add a new below row 3 of the following matrix :

Column Operations The following menu appears whenever you is on the display. {DEL} … {delete column}

(COL) while a recalled matrix

{INS} … {insert column} {ADD} … {add column}

To delete a column Example : to delete column 2 of the following matrix :

L II - 9

To Insert A Column Example : to insert a new column between column 1 and 2 of the following matrix :

To Add A Column Example matrix :

: to add a new column to the right of column 2 of the following

L II - 10

LIII – 3

Modifying Matrices Using Matrix Commands

To Display The Matrix Commands 1. From the main menu, select the RUN icon and

The following describes only the matrix command menu items that are used for creating matrices and inputing matrix data. {Mat} … {Mat command (matrix specification)} {MÆL} … {MatÆList command (assign contents of selected column to list file)} {Aug} … {Augment command (link two matrices)} {Iden} … {identify command (identify matrix input)} {Dim} … {Dim command (dimension check)} {Fill} … {Fill command (identical cell value)}

L II - 11

Matrix Data Input Format The following showns the format you should use when inputing data to create a matrix using the matrix operation menu’s Mat command.

an error occurs if memory becomes full as you are inputing data. You can also use the above format inside a program that inputs matrix data.

To Input An Identify Matrix Use the matrix operation menu’s identify matrix.

to create an identify

L II - 12

To Check The Dimensions Of A Matrix Use the matrix operation menu’s Dim

to check the

dimensions of an existing matrix.

The display showns that matrix A consists of two rows and three columns. You can also use {Dim} to specify the dimensions of the matrix.

Modifying Matrices Using Matrix Commands You can also use matrix commands to assign values to and recall values from an existing matrix, to fill in all cells of an existing matrix with the same value, to combine two matrices into a single matrix, and to assign the contents of a matrix column to a list file.

L II - 13

To Assign Values To And Recall Values From An Existing Matrix Use the following format with the matrix operation menu’s Mat to specify a cell for value assignment anf recall. Mat X [m, n] X ………………… matrix name (A through Z, or Ans) m ………………... row number n …………………. Column number

To Fill A Matrix With Identical Values And To Combine Two Matrices Into A Single Matrix Use the matrix operation menu’s fill

to fill all the cells of an

existing matrix with an identical value, or the Augment combine two existing matrices into a single matrix.

to

L II - 14

The two matrices you combine must have the same number of rows. An error occurs if you try to combine two matrices that have different numbers of rows. To Assign The Contents Of A Matrix Column To A List File Use the following format with the matrix operation menu’s MatÆList command (F2) to specify a column and a list file. Mat Æ List (Mat X, m) Æ List n X = matrix name (A through Z , or Ans) m = column number n = list number

You can use matrix answer memory to assign the results of the above matrix input and edit operations to a matrix variable. To do so, use the following syntax.

L II - 15

Fill (n, Mat α) ÆMat β Augment (Mat α, Mat β) Æ Mat γ In the above, α, β, and γ are any variable names A through Z, and n is any value. The above does not affect the contents of Matrix Answer Memory.

LIV - Matrix calculations Use the matrix command menu to perform matrix calculation operations.

z To Display The Matrix Commands 1. Fro the main menu, select the RUN icon and press ( EXE ) 2. Press ( OPTN ) to display the option menu 3. Press ( F2 ) ( MAT ) to display the matrix command menu. The following describe only the matrix commands that are used for matrix arithmetic operations. y

{Mat} … {Mat command (matrix specification)}

y

{Det} … {Det command (determinant command)}

y

{Trn} … {Trn comman (identity matrix input)}

y

{Iden} …{Identity command (identity matrix input)}

All of the following examples assume that matrix data is already stored in memory.

L II - 16

L II - 17

y

The two matrices must have the same dimensions in order to be added or subtracted. An error occurs if you try to add or subtract matrices of different dimensions.

y

For multiplication, the number of columns in matrix 1 must match the number of rows in matrix 2. Otherwise, an error occurs.

y

You can use an identity matrix in place of matrix 1 or matrix 2 in the matrix arithmetic format. Use the matrix command menu’s identity command ( F1 ) to input the identity matrix.

L II - 18

L II - 19

LII – 4

Matrix Calculations

L II - 20

L II - 21

L II - 22

y

Determinants and inverse matrices are calculated using the elimination method, so errors (such as dropped digits) may be generated

y

Matrix operations are performed individually on each cell, so calculations may require considerable time to complete.

y

The calculation precision of displayed results for matrix calculations is +/- 1 at the last siginificant digit.

y

If a matrix calculations result is too large to fit into matrix answer memory, an error occurs.

y

You can use the following operatin to transfer matrix answer memory contents to another matrix (or when matrix answer memory contains a determinant to a variable)

y

MatAns ÆMat α In the above, α is any variable name A through Z. the above does not affect the contents of matrix answer memory.

L III - 2

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP) Nama Mata Kuliah

: Mekanika Teknik 5

Pengembang

Kode Mata Kuliah

: TKG 5147

Tahun Dikembangkan : 2010

Sistem Kredit Semester

:5

Pendekatan Materi

No 1

2.

Kompetensi Khusus REVIEW

Mahasiswa mampu menggunakan calculator untuk operasi matrik

Pengalaman Belajar

Pokok Bahasan

Mahasiswa mempersiapkan alat bantu hitung dan untuk mengingat kembali pelajaran mekanika teknik semester lalu

Pendahuluan

Mahasiswa diajarkan bagaimana menggunakan peralatan calculator untuk operasi matrik.

Operasi pada perhitungan matrik dengan Calculator

Mahasiswa mampu menggunakan komputer untuk operasi matrik Seperti: EXCEL

Mahasiswa diajarkan bagaimana menggunakan Komputer untuk operasi matrik .

Operasi pada perhitungan matrik dengan Lembar Kerja EXCEL

1. 2.

Metode

: Teori dan praktek

Estimasi Waktu

Kepustakaan

Analisa struktur bangunan Kontrak Perkuliahan Calculator dan Komputer Review Rangka batang Review bid M,D,N Hubungan mata kuliah dengan MK yang lain

Presentasi

90 menit

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Definisi matriks ; Sifat matrik Penjumlahan ; Perkalian Invers matrik Input data calculator Transpose Perkalian Invers Solusi Persamaan Linear

Presentasi , praktek

90 menit

1

1. 2. 3. 4. 5.

Input data Lembar kerja Transpose Perkalian Invers Solusi Persamaan Linear

Presentasi , praktek

90 menit

1

3. 4. 5.

Seperti: Casio FX9850GB 3.

Sub Pokok Bahasan

: Pratikto ,ST.MSi

L III - 3

No

Kompetensi Khusus

Pengalaman Belajar

Pokok Bahasan

5.

Mahasiswa mampu menjelaskan Dasar teori metode perpindahan dalam bentuk matrik

Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal.

Membentuk matrik kekakuan struktur dan menyelesaika n persamaan linear

6

Mahasiswa mampu menghitung Rangka Batang dengan bentuk matrik

Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung

6

Mahasiswa mampu menghitung Balok statis tertentu dan tak tentu dengan bentuk matrik


Membentuk matrik kekakuan struktur Rangka Batang dan menyelesaika n persamaan l Membentuk matrik kekakuan struktur Balok dan menyelesai kan ersamaan linear beserta Gambar MDN

1. 2. 3. 4. 5.

Sub Pokok Bahasan

Metode

Estimasi Waktu

Matrik Statis Matrik Deformasi Matrik Kekokohan Matrik Kekakuan Solusi Persamaan Linear

Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri

2X 180 menit

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Matrik Statis Matrik Deformasi Matrik Kekokohan Matrik Kekakuan Solusi Persamaan Linear Gaya Dalam Rangka Batang


180 menit

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Matrik Statis Matrik Deformasi Matrik Kekokohan Matrik Kekakuan Solusi Persamaan Linear Gaya Dalam Balok MDN


180 menit

EVALUASI – UTS- 90 MENIT

Kepustakaan

L III - 4

No

7.

8.

Kompetensi Khusus

Pengalaman Belajar

Pokok Bahasan

Mahasiswa mampu menghitung PORTALdengan bentuk matrik


Membentuk matrik kekakuan struktur PORTAL dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN Membentuk matrik kekakuan struktur PORTAL MIRING dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN

Mahasiswa mampu menghitung PORTAL dengan kaki Miring dalam bentuk matrik


Sub Pokok Bahasan

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Metode

Estimasi Waktu



2X 180 menit

1. 2. 3. 4. 5.


2X 180 menit

6.


EVALUASI – UAS- 90 MENIT

Kepustakaan

L IV - 1

LAMPIRAN 4 DAFTAR TABEL dan DAFTAR GAMBAR Tabel 2.1 Derajat Kinematis Gambar 2.1 Diagram metode matrik Gambar 2.2.a. Beban ekwivalent Rangka Batang Gambar 2.2.b Beban ekwivalent Balok Gambar 3.1 Rangka Batang Gambar 3.2 Model Matematik Rangka Gambar 3.3 Hukum Hooke Gambar 3.4 contoh sederhana Gambar 3.6 Matrik Statis B Gambar 3.7 latihan Rangka Batang (1) Gambar 3.9 Tugas Rangka Batang Gambar 3.8 latihan Rangka Batang (2) Gambar 4.1 kekakuan lentur elemen balok Gambar 4.2 kekakuan lentur balok Gambar 4.3 illustrasi balok Gambar 4.4 3 elemen, Diagram Q-D dan H-d Gambar 4.5 matrik A Gambar 4.6 matrik Kekokohan [S] Gambar 4.7 matrik B Gambar 4.8 Contoh Balok Menerus Gambar 4.9 Kinematis dan elemen Gambar 4.10 matrik Q dan A Gambar 4.11 Matrik S dan B Gambar 4.12 Penyelesaia Gambar 4.13 Latihan 1 Gambar 4.14 Latihan 2 Gambar 4.15 Conto untuk evaluasi Gambar 5.1 kekakuan elemen balok Gambar 5.2 Pergoyangan Portal

L IV - 2

Gambar 5.3 portal simetris. Gambar 5.4 pembagian elemen Gambar 5.5 Beban ekwivalen Gambar 5.6 Matrik Deformasi Gambar 5.7 Hasil gaya dalam moment Gambar 5.8 Bidang MDN Gambar 5.9 illustrasi portal bergoyang Gambar 5.10 pembagian elemen Gambar 5.11 Beban Ekwivalen Gambar 5.12 H-d Diagram Gambar 5.13 Diagram Gaya Dalam Gambar 5.14 Portal Beban Horizontal Gambar 6.1 kekakuan elemen balok Gambar 6.2 Pergoyangan Portal Gambar 6.3 Pergoyangan Portal Miring Gambar 6.4 pembagian elemen Gambar 6.5 Beban ekwivalen Gambar 6.6 Matrik Deformasi Gambar 6.7 soal latihan Gambar 6.8 Elemen dan Diagram Kinematis Gambar 6.9 Diagram H-d Gambar 6.10 matrik gaya Q Gambar 6.11 pembentukan matrik A Gambar 6.12 FREE BODY Portal Miring

ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN CALCULATOR

Recommend Documents