APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ALGORITMOS GENÉTICOS NA

Sabe-se que o desempenho mecânico de uma estrutura é fortemente influenciado pela sua geometria. Portanto, a análise da malha estrutural com o mínimo ...
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APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ALGORITMOS GENÉTICOS NA MINIMIZAÇÃO DO CONSUMO DE MADEIRA DE ESTRUTURAS ESPACIAIS COM BARRAS CRUZADAS PARA COBERTURAS Dogmar Antonio de Souza Junior ([email protected]) Universidade de Uberaba – Faculdade de Engenharia Civil – Campus de Uberlândia Francisco Antonio Romero Gesualdo ([email protected]) Universidade Federal de Uberlândia – Faculdade de Engenharia Civil RESUMO: Considerando os vários aspectos positivos relacionados à madeira, torna-se importante desenvolver técnicas e ferramentas computacionais que permitam a otimização de sistemas estruturais empregando este material. Assim, o objetivo deste trabalho é apresentar os resultados obtidos na minimização do volume de madeira em estruturas espaciais com barras cruzadas de madeira para coberturas utilizando o programa computacional OTR (OTimização de Estruturas Reticuladas). O método de otimização implementado no programa OTR é o método dos algoritmos genéticos. É importante ressaltar que durante o processo de otimização o programa OTR, a cada iteração, monta a geometria da estrutura, determina as forças aplicadas sobre os nós devidas ao peso próprio, à sobrecarga e à ação do vento. Com os esforços e os deslocamentos é feito o dimensionamento da estrutura segundo os critérios da NBR 7190/97. A partir dos resultados obtidos concluiuse que o software OTR é uma ferramenta computacional versátil e de fácil utilização, pois requer do usuário uma pequena quantidade de dados. O sistema estrutural em apreço se mostrou viável para coberturas de pequeno e médio vãos, como é mostrado pelo estudo de vários casos de estruturas. Palavras-chave: otimização, algoritmos genéticos, madeira, cobertura.

TIMBER CONSUMPTION MINIMIZATION FOR THREE DIMENSIONAL STRUCTURES FORMED BY CROSSED MEMBERS USING GENETIC ALGORITHM Abstract: Considering several positive aspects associated to the wood, it is important to develop computational techniques and tools that allow the optimization of structural systems using this material. Thus, the objective of this work is to present information related to the timber volume optimization for three dimensional structures formed by crossed members using computational program OTR (OTimização de Estruturas Reticuladas). Genetic algorithm method was used in OTR software implementation. It is important to observe that during the optimization process, OTR mounts the geometry of the structure for each iteration. The software also determines dead load, overload and live load due to wind applied on nodes. From internal forces and the displacements, the structure is designed according to Brazilian code NBR 7190/97. It was concluded that software OTR is a versatile computational tool and easy to use, as well it requires small amount of input data that facilitates its use. The structural system analyzed showed feasible for covering small and medium open spaces, as it is shown by the study cases of structures. Keywords: optimization, genetic algorithms, timber, roof.

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1. INTRODUÇÃO A madeira, a pedra e as fibras vegetais são os materiais mais antigos empregados em construções civis. Especificamente, com relação à madeira, esta foi utilizada principalmente na sua forma natural até o século XX. Entretanto, de acordo com CUNHA e SOUZA JR (2004) a madeira possui algumas propriedades que dificultam seu emprego na forma natural, tais como a heterogeneidade e a anisotropia. A variação de suas propriedades elásticas ocorre tanto entre espécies, como entre árvores da mesma espécie e até mesmo entre peças de uma mesma árvore. Para vencer estes inconvenientes, foram desenvolvidos após as duas grandes guerras mundiais, compósitos de madeira, que preservam suas propriedades positivas e minimizam seus defeitos. A utilização destes materiais ocorreu num primeiro momento pelas indústrias aeronáutica e naval. Posteriormente, no pós-guerra, na reconstrução e recuperação dos centros atingidos pela guerra. Foi dentro deste cenário, que a utilização da madeira na sua forma natural ou de compósito teve um grande crescimento na Europa e EUA. No Brasil, a utilização da madeira como elemento estrutural restringiu-se principalmente a estruturas de cobertura de pequeno porte. Exceções podem ser encontradas como algumas estruturas construídas nas décadas de 50 e 60 usando peças com seções compostas com almas em chapas de compensado (STAMATO et al., 2000). Contudo, a partir dos anos 80 devido a um esforço conjunto de engenheiros, arquitetos, pesquisadores e empresas que investem na qualidade dessas estruturas ocorreu um crescimento substancial na demanda de estruturas em madeira. Atualmente, tem-se, no Brasil, uma estrutura para cobertura com o maior vão em madeira da América-Latina (REFERÊNCIA, 2005) cobrindo uma área projetada correspondente a um círculo de 80m de diâmetro, usando madeira laminada colada. Dentro deste contexto podem ser citados alguns trabalhos, tais como o de SOUZA et al. (2002) que apresenta o projeto de uma residência popular em madeira. PARTEL e DIAS (2000) criaram um programa computacional de dimensionamento de estruturas treliçadas para coberturas. PRATA (2000) faz um estudo sobre o estado de conservação de grandes estruturas de cobertura e, FERREIRA e CALIL JR (2000) avaliaram o comportamento mecânico de estruturas lamelares de eixo circular para cobertura formada por peças de madeira. Além do desenvolvimento de novos materiais, o estudo de diferentes arranjos estruturais que possibilitem a utilização das peças nas suas máximas capacidades resistentes é de grande importância para o desenvolvimento da indústria da construção civil. Sendo assim, o objetivo deste trabalho é avaliar o comportamento mecânico de um tipo de estrutura espacial formada por barras retangulares cruzadas apresentada na Figura 1, através dos resultados obtidos na minimização do consumo de madeira necessário para execução deste modelo. Nota-se pela Figura 1 que a estrutura é composta por dois planos de cobertura (duas águas). Cada plano é formado pelo cruzamento de barras interligadas por chapas e parafusos metálicos. O modelo em apreço apresenta às seguintes características positivas: • • • • • •

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distribuição mais homogênea dos esforços entre as barras, facilidade de industrialização, já que suas peças são padronizadas, pode-se usar peças com comprimento reduzido obtidas principalmente de árvores de reflorestamento ou, utilizar peças de seção maior obtidas por laminação colada ou pregada, possibilidade de se fixar os elementos de vedação diretamente sobre a malha da estrutura, vista interna agradável, dando impressão de leveza.

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Sabe-se que o desempenho mecânico de uma estrutura é fortemente influenciado pela sua geometria. Portanto, a análise da malha estrutural com o mínimo de simplificações permite utilizar o modelo na sua máxima capacidade resistente. Em se tratando de estruturas tridimensionais, as quantidades de nós e elementos são muito grandes, o que dificulta muito o cálculo dos esforços e deslocamentos. No entanto, devido ao rápido avanço computacional e elaboração de programas computacionais específicos para a geração e o cálculo de esforços e deslocamentos em estruturas, tem-se conseguido projetar modelos estruturais tridimensionais com grande eficiência.

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Figura 1 - Vista geral do tipo de estrutura a ser estudada. Além da eficiência estrutural do modelo, sua capacidade de industrialização, pode gerar rapidez de execução e economia de material. Surge então um problema: qual é a geometria ideal para as barras, ou seja, que dimensões elas devem ter para minimizar o consumo de madeira e ainda atender os requisitos de dimensionamento da NBR 7190 (ABNT, 1997). A busca pela resposta desta pergunta é a motivação para esse trabalho. 2. GENERALIDADES SOBRE OTIMIZAÇÃO De maneira simples, pode-se dizer que otimizar é determinar a correlação das variáveis de projeto que possibilitam o sistema trabalhar na condição ótima. De acordo com SOUZA JR e GESUALDO (2005a) a otimização é uma das ferramentas mais importantes da atualidade e vem sendo aplicada nos diversos campos da engenharia, tais como, projetos de sistemas e componentes, planejamento e análise de operação, forma e controle de sistemas dinâmicos e na análise de estruturas. SILVA e RADE (1999), por exemplo, aplicaram o método do gradiente conjugado na identificação de parâmetros de elementos de suporte a partir de forças externas aplicadas à estrutura. ALVES et al. (2001) otimizaram estruturas reticuladas submetidas a uma solicitação dinâmica. NEVES e SANTOS (2001) utilizam técnicas de otimização para determinar o dimensionamento ótimo das armaduras em lajes. BARBOSA et al. (2001) otimizou o consumo de energia na movimentação de fluidos entre reservatórios. O método dos AGs foi utilizado por SILVA (1999) na solução de problemas de identificação em elastodinâmica. LARSON e ZIMMERMAN (1993) e FRISWELL et al. (1995) aplicaram os AGs em alguns problemas de ajuste de modelos. SOUZA e MENDES (2001) empregaram

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os AGs no dimensionamento de seções transversais retangulares de concreto armado. O método dos AGs foi aplicado por LIMA e VELLASCO (2004) para calibrar a rigidez póslimite de ligações viga-coluna. SOUZA et al. (2001) utilizou o método dos AGs associado à lógica nebulosa (Fuzzy Logic) na otimização de cabos para ancoragem. Dessa maneira, para cada problema escolhe-se o método de busca a ser utilizado, definem-se as variáveis de projeto e uma função objetivo que deverá ser otimizada, ou seja, maximizada ou minimizada, num contexto em que podem existir restrições. A escolha do método a ser utilizado está restritamente ligada ao problema. Sendo assim, devido às características do problema em estudo neste trabalho, o método de busca implementado no programa computacional OTR foi o método dos AGs. 2.1. Método dos AGs Os algoritmos evolucionários são métodos de busca estocásticos que imitam a evolução biológica natural. Dentre eles encontra-se o método dos Algoritmos Genéticos (AGs) desenvolvido por John Holland (SILVA, 1999). Diferente de outros métodos que partem de um ponto do espaço de busca para encontrar a solução ótima, os AGs operam num conjunto de soluções aplicando o princípio da sobrevivência dos indivíduos mais aptos para produzir uma solução cada vez melhor. Dessa forma, geração após geração, um novo conjunto de indivíduos é criado pelo processo de seleção dos indivíduos progenitores, de acordo com o nível de aptidão associado ao problema. A procriação é feita entre os progenitores através de operadores extraídos da genética natural. Este processo leva à evolução de indivíduos que se adaptam melhor ao problema, tal como na adaptação natural. Os AGs modelam os processos naturais, através de operadores básicos tais como seleção, cruzamento, mutação, etc (GOLDBERG, 1989). O uso dos AGs não garante uma solução ótima, mas na maioria das vezes encontra-se uma solução quase ótima que satisfaz os critérios de parada do método. Além disto, são aplicados numa grande variedade de problemas, pois não impõem limitações que são encontradas, na maioria das vezes, nos métodos de busca diretos e indiretos. Devido às suas características, os AGs demonstram ser muito mais robustos que os métodos tradicionais, sendo este o principal motivo do crescente emprego destes algoritmos no estudo de problemas de engenharia (SOUZA JR e GESUALDO, 2005a). 3. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO O modelo estrutural com barras cruzadas para cobertura é formado por uma malha reticulada tridimensional em dois planos que apresenta, em geral, uma grande quantidade de nós e barras na sua geração. Para facilitar esta etapa do cálculo foi desenvolvido na Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Federal de Uberlândia (GESUALDO, 2005) um programa computacional para geração de dados, cálculo e análise de estruturas reticuladas. Considerando a disponibilidade do código deste programa, considerou-se apropriado adaptálo ao programa computacional de otimização OTR, tornando-o mais eficiente e ágil. A Figura 2 ilustra a vista superior e a frontal do modelo apresentado na Figura 1.

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Eixo de simetria (cumeeira)

Barras de contorno (eixo x)

Barras de contorno (eixo z)

l’ C

α α Unidade da malha losangular z L x

a) Vista superior da estrutura

θ

Tirante y

h

x

b) Vista frontal da estrutura Figura 2 - Detalhamento da estrutura de cobertura. onde: C: comprimento da cobertura; L: largura da cobertura; h: altura dos pilares; θ: ângulo de inclinação da cobertura; α: ângulo entre as barras que formam um módulo; l’: projeção do comprimento da barra no plano xOz; l: comprimento da barra no plano de cobertura (comprimento inclinado).

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3.1. Variáveis de projeto A função objetivo (volume de madeira) que deverá ser minimizada depende das constantes de projeto: comprimento da cobertura (C), largura da cobertura (L), altura dos pilares (h), das propriedades geométricas e mecânicas dos materiais (tirantes e pilares) e, das seguintes variáveis: • • • • •

m - número de módulos na direção x (como a estrutura é simétrica, “m” só pode assumir valor par); n - número de módulos na direção z; θ - ângulo de inclinação da cobertura; bs – largura da seção transversal das barras que formam os planos de cobertura; hs – altura da seção transversal das barras que formam os planos de cobertura.

Definidas as variáveis de projeto, o segundo passo é criar o espaço de busca, ou seja, os possíveis valores que as variáveis poderão assumir. Para esta etapa, o programa computacional OTR exige que o usuário forneça os seguintes valores: número máximo de módulos na direção x (mmáx), número máximo de módulos na direção z (nmáx), ângulos de inclinação mínimo e máximo (θmín e θmáx). Largura e altura mínimas e máximas para a seção transversal das barras. A Figura 3 ilustra a tela principal do programa computacional OTR que permite entrar com estes dados.

Figura 3 – Tela principal do programa computacional OTR.

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Por motivos construtivos, devido ao tamanho da telha a ser utilizada na cobertura, é conveniente que seja fornecido ao programa o comprimento máximo para a barra (lmáx). Essa restrição ao comprimento máximo para a barra padrão evita que o algoritmo perca tempo em regiões do espaço de busca inviáveis. Com esta restrição, os menores valores que as variáveis m e n poderão assumir é a parte inteira obtida das Equações (1) e (2).

mmin =

L 2.lmáx

(1)

nmin =

C 2.lmáx

(2)

onde lmáx é o comprimento máximo da barra padrão definido pelo usuário. 3.2. Função objetivo A função objetivo a ser minimizada neste problema é o volume de madeira. As Equações (3) e (4) definem os parâmetros necessários para o cálculo da função objetivo. Ângulo entre as barras cruzadas

⎛C×m⎞ ⎟ ⎝ L×n ⎠

α = 2 ⋅ arctg ⎜

(3)

Comprimento da barra padrão l=

L ⎛α ⎞ 2 ⋅ m ⋅ cos⎜ ⎟ cos θ ⎝2⎠

(4)

Função objetivo - volume de madeira Na Equação (5), a primeira parcela refere-se à quantidade de barras necessárias (em metros lineares) para a execução dos dois planos da cobertura. A segunda parcela indica a quantidade de barras (em metros lineares) usadas na periferia da estrutura fazendo o seu contorno, e por fim, a última parcela refere-se a madeira (em metros lineares) necessária para ligar os nós da cumeeira. A 2ª e a 3ª parcela pode ou não existir, a critério do usuário. ⎡ ⎤ L ⎞ ⎛ f = ⎢4 ⋅ m ⋅ n ⋅ l + 2⎜ C + ⎟ + C ⎥bs × hs cos θ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦

(5)

Gerado o espaço de busca, existem diversas possibilidades de combinação das variáveis de projeto para formar a malha geométrica da estrutura, o que implicará em diferentes valores para o consumo de madeira. Selecionar os parâmetros adequados que minimizem o consumo de madeira da estrutura é uma tarefa árdua, porém muito importante para um mercado cada vez mais exigente.

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O programa OTR inicia a execução gerando aleatoriamente uma população de indivíduos que representam possíveis soluções para o problema. Cada indivíduo é formado por um conjunto de valores, cada qual associado a uma variável de projeto, como por exemplo: Variável Valor

m 6

n 8

θ 18º

bs (cm) hs (cm) 5 11

Em seguida, o programa OTR determina o valor da função objeto para todos os indivíduos. A partir destes valores, determina-se a função aptidão e a probabilidade de seleção para cada indivíduo, de maneira que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1,0. A partir dos valores das variáveis do indivíduo que apresentar o menor valor da função objetivo, ou seja, maior probabilidade de seleção é feita a geração da malha geométrica da estrutura. Também como dados de entrada o usuário deverá fornecer o tipo e a classe da madeira que possibilitará ao programa definir as propriedades mecânicas a serem utilizadas no dimensionamento das barras. Ainda, para o programa OTR definir o carregamento submetido a estrutura, o usuário deverá fornecer os valores para o peso próprio das telhas, a sobrecarga e os parâmetros necessários para o cálculo das forças devidas à ação do vento. As Figuras 4, 5 e 6 ilustram algumas das telas que permitem a entrada destes dados.

Figura 4 – Tela para escolha das propriedades físicas da madeira.

Figura 5 – Tela de entrada dos parâmetros necessários para a definição do carregamento devido à ação do vento.

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Figura 6 - Tela de entrada do peso próprio e da sobrecarga. A partir do carregamento e da malha geométrica da estrutura, o programa Gestrut determina os esforços e deslocamentos da estrutura e armazena estes valores num arquivo tipo texto. Este arquivo é lido pelo programa OTR, que dimensiona a estrutura seguindo as recomendações da NBR 7190 (ABNT, 1997). Quanto à estabilidade global da estrutura é verificado o deslocamento vertical máximo. Caso o indivíduo não atenda esta exigência da norma, ele é descartado da população. Para isto impõe sua probabilidade de seleção igual a zero, retira-se da soma total das probabilidades de seleção dos indivíduos o valor de sua probabilidade e recalculam-se as probabilidades de cada indivíduo, exceto a do indivíduo descartado que deve ser zero. Dos indivíduos restantes, seleciona-se o indivíduo melhor adaptado e chama-se o programa Gestrut para determinar o arquivo de dados geométricos. Refaz-se o processo até que um indivíduo atenda a este critério de dimensionamento. Uma vez atendido, o programa OTR calcula as forças concentradas em cada nó por área de influência para a combinação de carregamento do estado limite último. O programa computacional Gestrut é chamado novamente para determinar os deslocamentos dos nós e os esforços nas barras da estrutura. Com estes dados, todas as barras são verificadas quanto à resistência (flexotração ou flexocompressão) e a estabilidade. Novamente, caso alguma condição não seja atendida para qualquer barra da estrutura, o indivíduo é descartado da população. Dos indivíduos restantes, seleciona-se o indivíduo melhor adaptado e chama-se o Gestrut para determinar o arquivo de dados geométricos refazendo o processo até que um indivíduo atenda aos critérios de dimensionamento da norma NBR7190 (ABNT, 1997). É importante ressaltar que as ligações entre as barras deverão ser dimensionadas após o término da otimização para a solução final encontrada. Após esta etapa de cálculo que exige o maior tempo computacional, procede-se com os operadores genéticos, recombinação discreta, mutação uniforme e restrita e, elitismo. O processo é repetido até que um dos critérios de parada sejam satisfeitos, que pode ser número máximo de gerações ou o critério da estagnação (SOUZA JR e GESUALDO, 2005c). 3.3. Dimensionamento 3.3.1. Verificação dos elementos estruturais

a) Quanto à resistência As barras que formam os planos de cobertura são solicitadas por esforços axiais, transversais e de flexão. Portanto, cada barra é dimensionada à flexotração ou flexocompressão seguindo as recomendações da Seção 7.3.6 da norma NBR7190 (ABNT, 1997). Não foi feita a verificação em relação à força cortante, considerando que o seu efeito para o caso é bastante reduzido.

b) Quanto à estabilidade A estabilidade das peças dos elementos estruturais é verificada para os dois eixos da seção transversal conforme recomendações da Seção 7.5 da norma NBR7190 (ABNT, 1997). Caso a

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barra tenha índice de esbeltez maior que 140, a mesma é considerada reprovada no dimensionamento. 3.3.2. Verificação global da estrutura Para não afetar a utilização normal da estrutura ou seu aspecto estético, a Seção 9.2.1 da norma NBR7190 (ABNT, 1997) limita a flecha efetiva, determinada pela soma das parcelas devidas à ação permanente e à ação acidental, a 1/200 da largura do vão coberto. 4. RESULTADOS A seguir serão apresentados os resultados obtidos na otimização de uma estrutura espacial com barras cruzadas de madeira. O modelo otimizado possui dimensões de 10 × 15m, para a largura e o comprimento do vão coberto, respectivamente. Foram admitidas barras ligando os nós no contorno da estrutura e os nós de cumeeira e, tirantes com diâmetro de ½” ligando os pilares de apoio da estrutura. A Figura 7 ilustra uma visão geral da estrutura otimizada. As Tabelas 1, 2 e 3 apresentam os valores adotados para os parâmetros necessários para a otimização. Tabela 1 - Parâmetros geométricos e propriedades mecânicas dos materiais que compõem as estruturas Comprimento máximo da barra padrão (cm) Número máximo de módulos na direção x Número máximo de módulos na direção z Ângulo mínimo de inclinação Ângulo máximo de inclinação Largura mínima da seção transversal (cm) Largura máxima da seção transversal (cm) Altura mínima da seção transversal (cm) Altura máxima da seção transversal (cm) Tipo da madeira Classe da madeira Ligações (semi-rígidas) Coeficiente de ponderação (kmod) Seção transversal do pilar de apoio Módulo de elasticidade do concreto

150 8 10 15° 45° 6,0 8,0 12,0 20,0 Conífera C25 Sim 0,56 30 × 30 cm 3500 kN/cm2

Tabela 01 - Valores para os parâmetros do AG Geração População Taxa de recombinação Taxa de mutação Estagnação

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50 50 0,80 0,05 50

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Tirantes

Figura 7 – Vista geral da estrutura otimizada com nós numerados. Tabela 02 - Valores usados para definir o carregamento da estrutura Peso próprio das telhas Sobrecarga Altura da edificação Velocidade básica do vento Fator S1 Fator S2 Fator S3 Ângulo de incidência do vento Quatro faces permeáveis

0,025 N/cm2 0,025 N/cm2 500 cm 0,25 cm/s 1,00 1,00 1,00 0°/90° Sim

Os resultados a seguir foram obtidos a partir da utilização do programa computacional OTR. Na Tabela 03 encontram-se os valores otimizados para as variáveis de projeto e a função objetivo. Para estes resultados foram necessárias 91 gerações e um tempo computacional 7 minutos e 25 segundos. A Figura 8 e a Figura 9 mostram a distribuição de força normal e momento fletor Mx, nas barras da estrutura, e a Figura 10 ilustra a estrutura deformada com ampliação dos deslocamentos. Tabela 03 - Resumo dos parâmetros otimizados do modelo Número de módulos na direção x Número de módulos na direção z Inclinação da cobertura (°) Largura da seção transversal da barra (cm) Altura da seção transversal da barra (cm) Comprimento da barra (cm) Deslocamento vertical máximo (cm) Volume de madeira (m3)

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4 10 15 6,8 13,8 143,6 4,81 3,10

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Figura 8 – Mapa do esforço normal (N) nas barras da estrutura otimizada.

Figura 9 - Mapa do esforço de flexão Mx (N⋅m) na extremidade inicial das barras da estrutura otimizada.

Figura 10 – Ilustração da estrutura deformada com ampliação dos deslocamentos em 10 vezes.

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5. CONCLUSÃO Conclui-se que o programa computacional OTR é uma ótima ferramenta para otimização e dimensionamento de estruturas espaciais com barras cruzadas de madeira para coberturas. Sua utilização é simples, rápida e segura, pois requer do usuário uma pequena quantidade de informações. Do ponto de vista arquitetônico e estrutural, o sistema estrutural estudado neste trabalho apresentou-se como uma boa alternativa construtiva. É importante ressaltar que ainda deve ser estudada a influência do número de ligações na minimização da função objetivo. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALVES, E. C.; VAZ, L. E.; KATAOKA FILHO, M.; VENÂNCIO FILHO, F. (2001). An Confrontation Between Deterministic and Probabilistic Optimization of Reticulated Structures. Anais do 22° Iberian Latin-American Congress on Computacional Methods in Engineering. CD ROM. (Arquivos\TrabalhosPDF\CIL096.pdf). Campinas, SP. 2001. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1997). NBR 7190 – Projeto de Estruturas de Madeira. ABNT. Rio de Janeiro. BARBOSA, P. R.; MICHELS JR, V.; ROLNIK, V. P.; SELEGHIM JR, P. (2001). Estratégias Otimizadas para Movimentação de Fluidos e Gestão de Reservatórios. Anais do 22° Iberian Latin-American Congress on Computacional Methods in Engineering. CD ROM. (Arquivos\TrabalhosPDF\CIL079.pdf) Campinas, SP. 2001. CUNHA, J.; SOUZA JR, D. A. (2004). Avaliação estrutural de peças de madeira por fibras de carbono. Engenharia Civil, Ano 2004, n. 20. Escola de Engenharia - Universidade do Minho. Portugal. Maio. 2004. FERREIRA, N. S. S.; CALIL JR, C. (2000). Recomendações para o dimensionamento de estruturas lamelares de madeira para coberturas. Anais do VII Encontro Brasileiro em Madeiras e Estruturas de Madeira. CD-ROM. (Arquivos\TrabalhosPDF\EB171.02.pdf). São Carlos, SP. 2000. FRISWELL, M. I.; PENNY, J. E. T.; LINDFIELD, G. (1995). The Location of Damage from Vibration Data Using Genetic Algorithms. Procedures of the 13th International Modal Analysis Conference. International Modal Analysis Conference. N° 13. 1640-1646. Nashville, Tennessee. 1995. GESUALDO, F.A.R. (2005). Gestrut – Análise e Dimensionamento de Estruturas Reticuladas. Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, /Software, versão educativa. GOLDBERG, D. E. (1989). Genetic Algorithms in Serch, Optimization e Machine Learning. Massachusetts: Addison-Wesley Pub. Co, 412p. LARSON, C. B.; ZIMMERMAN, D. C. (1993). Structural Model Refinement Using a Genetic Algorithm Approach. Procedures of the 11th International Modal Analysis Conference. International Modal Analysis Conference. N° 11. 1095-1101. Kissimmee, Florida. 1993.

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