Benda Tegar
Momentum sudut didefiniskan sebagai:
L r xp
m
dL dp rx r xF dt dt dp F dt
dL d dr dp (r xp ) xp r x dt dt dt dt
dp dp v xp r x 0 rx dt dt Momen gaya:
dL r xF dt
Momen gaya:
dL r xF dt
Momen gaya (): + berlawanan arah jarum jam - Jika searah jarum jam.
Jika F=0, tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada benda m. Maka:
dL 0 dt
Tinjau sistem partikel yang membentuk benda tegar:
v1 m2 v2
r2
j i r1 m1
m3
r3
v3
r
v
v x r d dt d dt
v x r d dv d a (v ) (xr ) dt dt dt dr d d x r x xv r x xxr r x dt dt dt 2 v 2 r r ( tangensial) rˆr 2 r ( tangensial) (radial ) r ( tangensial) r
L1 m1r1 xv1 m1r1 x ( 1 x r1 ) Mengingat:
axb xc b (a.c ) c (a.b ) r1 x( 1 xr1 ) 1 (r1 .r1 ) r1 (r1 . 1 )
r1 dan 1 saling tegak lurus, sehingga r1 . 1 0
2 2 L1 m1 1 r1 mr1 1 2 2 2 Ltotal L1 L2 L3 mr1 1 mr2 2 mr3 3
Untuk benda tegar berlaku 1 2 3 2 2 2 Ltotal (m1 r1 m2 r2 m3 r3 ) 2 ( mi ri ) I i
I ( mi ri 2 ) r 2 dm i
Jika tidak ada gaya eksternal berlaku: kekekalan momentum sudut
dL 0 L : konst I 1 I 2 dt
dL d ( I ) d I I dt dt dt
Besaran Fisika Benda Titik (Hanya translasi)
Benda Tegar (ada Rotasi)
• • • • • •
• • • • • •
x v a m F p
I L
b 6-8
Hubungan Besaran Gerak Linear - Rotasi
Linear x (m)
Rotasi (rad)
v (m/s)
(rad/s)
a (m/s2)
(rad/s2)
m (kg) F (N)
I (kg·m2) (N·m)
p (N·s)
L (N·m·s)
Momen inersia batang
-(½)L
L
x
dm
+(½)L
dm dx M L
I
(1 / 2 ) L 2
1 3 x dm x dx x 3 (1 / 2 ) L 2
(1 / 2 ) L (1 / 2 ) L
1 3 1 L ML2 12 12
Momen Inersia: 1 I ml 2 12
ℓ
R
R
I mR
1 I m(a 2 b 2 ) 12 Bab 6-10
1 I mR2 2
2
a
b
2 I mR2 5
Turunkan rumusan momen inersia cincin tipis dengan radius dalam R1 dan radius luar R2, jika diputar pada pusat massanya.
I r 2 dm r 2dV dm dV dV dr rd I (
r 3drd 1 4 r 4
R2 R1
1 d ) (2 )( R24 R14 ) 4
1 ( )( R24 R14 ) 2 M ( R22 R12 ) 1 I M ( R22 R12 ) 2
Dalil sumbu sejajar
r
r'
I r 2 dm r r' 2 r r .r ( r ' ).( r ' ) 2 2 r ' 2 .r
I r 2 dm I
2 dm r ' 2 dm 2 x rx' dm 2 y ry' dm
I 2 dm I PM 0 0 2 M I PM Dari pusat massa
DALIL SUMBU SEJAJAR
l r
r’
l: jarak dari sumbu putar ke pusat massa r’: jarak dari pusat massa ke elemen massa r: jarak dari sumbu putar ke elemen massa
r l r' 2 r r r (l r ' ) (l r ' ) '2 2 l r 2(l r )
I r 2 dm l 2 dm r ' 2 dm 2l x rx' dm 2l y ry' dm l 2 dm I PM l 2 dm I PM
Momen inersia batang
PM
0
(1/3)L
(1 / 2) L (1 / 3) L (1 / 6) L I 2 M I PM 1 I PM ML2 12 1 2 1 2 M ( L) M ML2 6 36 1 1 1 2 2 I ML ML ML2 12 36 9
L
Contoh: Sesorang dengan massa 80 kg berlari dengan kecepatan 4 m/s menuju meja bundar dengan massa 160 kg dan radius meja 2m. Jika meja mula-mula diam dan dapat berputar dengan bebas pada porosnya. Tentukan: a. Kecepatan sudut meja berputar jika orang tersebut melompat dan naik di pinggir meja. b. Jika kemuadian orang tersebut berjalan menuju pusat meja. Hitung kecepatan berputar meja. c. Berapa kecepatan meja berputar saat orang berada pada jarak 0.5 R dari pusat meja.
Solusi: Tidak ada gaya luar, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut
a
L akhir L awal L f L i Li r xp R p R(mvorang ) L fl I L I 1 I ( MR 2 mR 2 ) 2
b
L f L i 1 Li ( MR 2 mR 2 ) 1 2 1 L fl ( MR 2 ) 2 2 1 ( MR 2 mR 2 ) 1 2 2 1 ( MR 2 ) 2
1 R (mvorang ) ( MR 2 mR 2 ) 2 mvorang 1 ( M m) R 2 c
L f L i 1 Li ( MR 2 mR 2 ) 1 2 1 1 L fl ( MR 2 m( R ) 2 ) 2 2 2 1 ( MR 2 mR 2 ) 1 2 2 1 1 ( MR 2 m( R ) 2 ) 2 2
F1=5N Lempengan/piringan pejal (solid) R1: 1m dan R2: 0,5 m M=1kg Tentukan kemana arah gerak lempengan?
F2=6N
1 2 r xF
1 r1 F1 5 Nm (arah masuk/searah jarum jam) 2 r2 F2 3 Nm (arah keluar/berlawanan arah jarum jam) Resultan adalah 2 Nm arah searah jarum jam I 1 I MR12 2
I
2 I
I 0,5
I
2 4 0,5
F1=5N
a. Jika berlobang, bgm? b. Bagaimana jika F2 membentuk sudut 450.
450 F2=6N
Tentukan besar dan arah percepatan sudut sistem di atas.
PR
m2
Tentukan besar dan arah percepatan sudut sistem di atas.
m1 Tentukan momentum sudut sistem, jika kecepatan sudut =5 rad/s Hitung percepatan sudut () saat =300. Bagaimana jika sumbu putar (poros) dipindah (1/4)l dari massa m1.
m1
m2
Dinamika Benda Tegar Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb: W
s2
s1
v2 dv 1 1 2 Fds (ma)ds (m ds ) (mv)dv mv 2 mv12 v1 dt 2 2
2
2
1
1
1
2
W d Id I I Bab 6-20
2 2
1
2
2 1
Energi Kinetik Rotasi Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah
1 1 2 K mi (ri ) 2 2 1 2 K I 2
( m r )
Dimana I adalah momen inersia, Bab 6-21
2
2
i i
I mi ri
2
Energi Kinetik Rotasi • Linear
• Rotasi
1 2 K Mv 2 Massa Kecepatan Linear
Bab 6-22
1 2 K I 2 Momen Inersia Kecepatan Sudut
Prinsip Kerja-Energi Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi: 2
2
1
1
1
2
W d Id I I
W K rotasi Bila Bab 6-23
0
dimana
,maka
K rot 0
2 2
1
2
2 1
1 2 K rotasi I 2
W 0 sehingga rot rot Ki K f
Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi
L, M
Tentukan kecepatannsudut saat posisi vertikal. Berlaku hukum kekekalan energi (translasi dan rotasi).
U i K i U f K f L 1 mg ( ) 0 0 I 2 2 2 1 I ML2 3 1 1 L 2 2 ( ML ) Mg ( ) 2 3 2 3g L
Bagaimana jika poros rotasi di (1/4L) dari pusat.
r xF I
1 1 ( L)( Mg ) ( ML2 ) 2 3 3g ( ) (arah ' searah jarum jam' , - ) 2L
R
Gunakan kekekalan energi untuk menentukan kecepatan sistem. Tentukan pula percepatan sudut sistem.
m2 m1
vi v f
Ei E f
1 1 1 m2 gh m1 gh ( m1 m2 )v 2 I 2 2 2 2 v r
Ei m2 gh E f m1 gh
1 1 1 m1v12 m2 v 22 I 2 2 2 2 v
2(m2 m1 ) gh I (m1 m2 2 r
v
2(m2 m1 ) gh M (m1 m2 ) 2
Menggelinding Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi
Bab 6-26
Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi
s R
Ban bergerak dengan laju ds/dt
vcom
Bab 6-27
d R dt
Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi
Bab 6-28
Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi
The kinetic energy of rolling
K 12 I P 2
I P I com MR 2
K I com MR 1 2
2
1 2
2
2
2 K 12 I com 2 12 Mvcom K r Kt
Bab 6-29
Roda dengan jari-jari R, massa M menggelinding murni (tanpa selip) pada bidang miring dengan sudut , dari ketinggian h. Tentukan kecepatan dan percepatan pusat massa saat mencapai dasar lantai. a. Gunakan hukum kekekalan energi. b. Gunakan uraian gaya (dinamika) R
I
1 mR2 2
2 I mR2 5
Gerak Menggelinding Di Bidang Miring Gunakan:
N
torsi = I
R Fg sin I P
Fg sin
fs
acom R
R
Maka:
x
MR 2 g sin I P acom
P
Bab 6-31
Fg
Fg cos
I P I com MR 2 acom
g sin 1 I com / MR 2
Menggelinding Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi.
1
1
K mv I 0 2
2 0
2
V0
Bab 6-32
2
Hukum Kekekalan Energi Mekanik Total Dengan Gerak Rotasi
Bab 6-33
R
Berapa kali bola akan bolakbalik sampai berhenti? Jari-jari benda adalah (1/10) R atau rbenda = 0,1 R.
Tentukan kecepatan dan percepatan “yoyo”.
h
