DISTRIBUSI GAMMA
Ada beberapa distribusi penting dalam distribusi uji hidup, salah satunya adalah distribusi gamma.
A. Fungsi kepadatan peluang (fkp) Fungsi kepadatan peluang (fkp) dari distribusi gamma dengan dua parameter yaitu p dan σ adalah sebagai berikut: 1 x p 1 x f x exp , p Γ p σ σ
dimana:
x 0, σ 0, p 0
Г(p) = (p-1)! adalah fungsi gamma.
Nilai mean dari distribusi gamma adalah:
E x x f x dx 0
1 x p 1 x x exp dx p Γ p σ σ 0
1 xp 1 xp x x exp dx exp dx p p Γ p σ Γ p σ σ σ 0 0
σ Γ p 1 σ p! σ p 1! p σ p p 1! p 1! Γ p
E x x 2 f x dx 2
0
x2 0
1 x p 1 x exp dx p Γ p σ σ
1 x p 1 1 x p 1 x x exp dx exp dx p p Γ p σ Γ p σ σ σ 0 0
σ Γ p 2 σ p 1! σ p 1! p p 1 σ p p 1 p 1! p 1! Γ p
Nilai varians dari distribusi gamma adalah:
Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
1
σ p p σ p σ p σp σ p
Var x E x 2 E x 2
2
2
2
2
2
2
σp
B. Fungsi survivor Fungsi survivor adalah peluang suatu individu atau objek masih tetap hidup sampai dengan waktu t yang telah ditentukan. Fungsi survivor didefinisikan sebagai berikut: S t Pr T t 1 Pr T t S t 1 F t
dimana F(t) adalah fungsi distribusi.
S t f x dx t
S t t
1 x p 1 x exp dx Γ p σ p σ 1 x p 1 x exp dx p Γ p σ σ 0 t
S t 1
S t 1 I p, σ, x
Fungsi survivor distribusi gamma yang kita peroleh adalah suatu fungsi survivor distribusi gamma dalam bentuk eksplisit. Kita membiarkan fungsi survivor distribusi gamma dalam bentuk eksplisit karena untuk menyelesaikan pengintegralan yang ada dalam rumus diatas pengintegralannya cukup rumit
C. Fungsi hazard Karena fungsi survivor distribusi gamma tidak dalam bentuk eksplisit, maka fungsi hazardnya juga tidak dalam bentuk eksplisit juga. Fungsi hazard didefinisikan sebagai berikut:
Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
2
ht F ' t
1 S t 1 ht f t S t 1 t p 1 t exp p Γ p σ σ
1 t p 1 t exp p Γ p σ σ 0
1
D. Fungsi hazard kumulatif Fungsi hazard kumulatif pun tidak bisa kita nyatakan dalam bentuk implisit, karena fungsi hazardnya sendiri dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Fungsi hazard kumulatif didefinisikan sebagai berikut: t
H t h x dx 0 t
H t
1 t p 1 t exp Γ p σ p σ
1 t p 1 t 0 1 exp Γ p σ p σ 0 t
dx
E. Estimasi Misalkan X 1 , X 2 ,, X n adalah variabel random dari waktu-waktu kegagalan dan variabel random itu berdistribusi Gamma dengan parameter p dan σ. 1. Sampel lengkap Suatu sampel dikatakan sampel lengkap apabila ada sebanyak n objek yang ditempatkan pada pengujian dan pengujian dihentikan setelah semua item objek mati. o Fungsi kepadatan peluang (fkp) bersama dari X 1 , X 2 ,, X n adalah:
n
f x1 , x2 ,, xn p, σ n! f xi p, σ
i 1
o Fungsi likelihoodnya adalah:
Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
3
n
L p, σ x 1 , x2 , , xn n! f xi p, σ i 1 n
L p, σ x 1 , x2 , , xn n! i 1
1 x p 1 x exp Γ p σ p σ
n xi n np L p, σ x 1 , x2 , , xn n!Γ p σ exp i 1 σ
n xi n ln L p, σ ln n!Γ p n σ np xip 1 exp i 1 i 1 σ
n p 1 xi i 1
n
xi
n
ln n! n ln Γ p np ln σ p 1 ln xi i 1 σ i 1 Nilai
maksimum
ln Lσ, p xi σ
dari
0 atau
Lσ, p xi
ln Lσ, p xi p
akan
ln Lσ, p xi σ
np i 1 2 σ σ
apabila
0.
n
xi
dicapai
n
xi
np i 1 sehingga 0 2 σˆ σˆ
n
dan 0 np
xi i 1
σˆ
n
xi
dan kita peroleh σˆ i 1 . np Berdasarkan hasil estimasi tehadap σ yang kita peroleh diatas, maka kita dapat membuktikan bahwa E σˆ σ dan Var σˆ
σ2 . Distribusi dari σˆ merupakan np
distribusi gamma dengan parameter np dan
σ . np
Seperti kita ketahui X 1 , X 2 ,, X n adalah distribusi identik independen (iid) yang berdistribusi gamma dengan parameter p dan σ, oleh karena itu maka
n
xi i 1
Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
4
berdistribusi gamma dengan parameternya np dan σ , sedangkan untuk σˆ merupakan distribusi gamma dengan parameternya np dan
xi np
σ . Sehingga kita peroleh np
fungsi kepadatan peluang (fkp) dari σˆ adalah sebagai berikut:
σˆ np1 1 1 g σˆ p, σ exp σˆ Γnp σ np σ np np n
xip1
diperoleh
Lx1 ,, x n p, σ Γnp 1 i 1 n g σˆ p, σ Γ p np np σˆ np1
bebas dari parameter σ yang
tidak diketahui. Karena itu, σˆ adalah cocok untuk σ . Kelengkapan dari σˆ dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat unik dari transform Laplace dan mengacu pada Lehmann dan Scheffe (1955). Sehingga kita memperoleh hasil bahwa σˆ tidak hanya merupakan MLE tetapi juga merupakan UMVUE dari σ . Dalam model distribusi gamma kita mengetahui bahwa rata-rata hidup adalah pσ dan jika kita mengestimasi pσ maka MLE dan UMVUE dari pσ adalah sama untuk rata-rata sampel
1 n xi . n i 1
Besar dari parameter p dan σ tidak diketahui. Kita akan melakukan estimasi parameter p dan σ . Berdasarkan perhitungan diatas kita telah memperoleh hasil estimasi parameter σ yaitu σˆ
xi
np . Selanjutnya kita akan mengestimasi parameter p
berdasarkan pada estimasi σ yang telah kita peroleh. o Fungsi kepadatan peluang (fkp) bersama dari X 1 , X 2 ,, X n adalah:
f x1 , x2 ,, xn p, σ n! f xi p, σ n
i 1
Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
5
o Fungsi likelihoodnya adalah:
n
L p, σ x 1 , x2 , , xn n! f xi p, σ i 1 n
L p, σ x 1 , x2 , , xn n! i 1
1 x p 1 x exp p Γ p σ σ
n xi L p, σ x 1 , x2 , , xn n!Γ p n σ np exp i 1 σ
n xi n ln L p, σ ln n!Γ p n σ np xip 1 exp i 1 i 1 σ
n p 1 xi i 1
n
xi
n
ln n! n ln Γ p np ln σ p 1 ln xi i 1 σ i 1 Nilai
maksimum
ln Lσ, p xi σ
0 atau
dari
Lσ, p xi
ln Lσ, p xi p
akan
dicapai
apabila
0 .
n
ln Lσ, p xi σ
ln Lσ, p xi p Fungsi
xi np i 1 2 0 , σ σ n
n ln Γ p n ln σ ln xi 0 p i 1
ln Γ p sulit untuk dipecahkan sehingga untuk rumus diatas kita dapat p
menyelesaikannya dengan menggunakan metode iterasi Newton-Raphson. Metode lain yang dapat kita adalah dengan mensubstitusikan σˆ
ln Lσ, p xi p
n
n ln Γ p n ln σ ln xi 0 . p i 1
xi np
x
Sehingga
p ke dalam persamaan
diperoleh
persamaan
seperti dibawah ini: Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
6
d 1 n ln Γ p ln p xi ln x . dp n i 1 MLEnya
σˆ x ˆ p
adalah
dimana
pˆ adalah
d 1 n ln Γ p ln p xi ln x . Persamaan dp n i 1 kita
selesaikan
dengan
menggunakan
hasil
dari
penyelesaian
d 1 n ln Γ p ln p xi ln x dp n i 1 metode
interpolasi
invers.
dapat Fungsi
d ln Γ p diketahui sebagai fungsi gamma dan perluasannya dapat dilihat pada tabel dp dalam Abramowitz dan Stegun (1964) dan Pairman (1919). Untuk nilai p yang besar, kita menggunakan aproksimasi
2. Sampel tersensor tipe I 3. Sampel tersensor tipe II
F. Estimasi reliabiliti Misalkan S t 1 F t p, σ adalah fungsi reliabiliti. Maka untuk distribusi gamma dengan parameter p dan σ, fungsi reliabilitinya S t p, σ adalah sebagai berikut:
S t p, σ t
1 x p 1 x exp dx Γ p σ p σ
MLE dari S t p, σ dinotasikan dengan S t pˆ , σˆ dimana pˆ dan σˆ adalah MLE dari p dan σ. Oleh karena itu untuk sampel lengkap diperoleh:
Sˆ t p, σ S t pˆ , σˆ
1
σˆ
pˆ
x Γ pˆ t
pˆ 1
x exp dx σˆ
1 y pˆ 1 exp y dy Γ pˆ t σˆ
Untuk nilai t , pˆ , dan σˆ yang diketahui, hasil pengintegralannya dapat kita peroleh dengan menggunakan tabel fungsi gamma tak lengkap [K. Pearson, 1968]
Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
7
Pada kasus dimana p diketahui, MLE dari S t p, σ akan berubah menjadi
x Sˆ t p, σˆ dimana σˆ . Karena itu rumus estimasi reliabiliti dimana p diketahui adalah p sebagai berikut:
1 Sˆ t p, σ y p 1 exp y dy Γ p tp x
Seperti telah diketahui diatas bahwa apabila p diketahui maka σˆ x
p
adalah
UMVUE dari σ dan σˆ dapat ditunjukkan
Fitriani Agustina Jurusan Pendidikan Matematika UPI
8
