DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT

Vol.14, No. 2, 143-148, Januari 2018

Distribusi Normal Multivariat Husty Serviana Husain1 Abstrak Pada pengendalian proses univariat berdasarkan variabel, biasanya digunakan model distribusi normal untuk mengamati kualitas proses dari waktu ke waktu. Fungsi kepadatan peluangnya (fkp) adalah

1 x  f ( x)  exp   ,   x   , 2   2 2 2 dimana  adalah meannya dan  adalah variansinya. Dalam kenyataannya, seringkali 2

1

kualitas proses ditentukan oleh lebih dari satu karakteristik yang saling berkorelasi. Dalam hal ini kita bisa saja melakukan pengendalian terhadap masing-masing karakteristik satu-persatu. Akan tetapi hal ini akan menimbulkan banyak sekali kesalahan seperti dikemukakan Montgomery [4]. Oleh karena itu pengendalian proses harus melibatkan semua karakteristik sekaligus. Untuk itu digunakan distribusi normal mulitivariat. Distribusi ini dan beberapa sifatnya merupakan topik bahasan dalam tulisan ini.

Kata Kunci: Distribusi Normal Bivariat, Statistical Proces Control .

1.

Pendahuluan

Pengendalian proses secara statistik (Statistical Proces Control atau disingkat SPC), dibagi ke dalam dua jenis yaitu SPC univariat dan SPC mulitivariat. Dalam SPC univariat hanya satu variabel karakteristik mutu yang dikaji. Kenyataannya, banyak sekali proses yang ditentukan oleh sejumlah karateristik mutu yang terpadu, yang satu sama lainnya berkorelasi. Dalam hal ini, digunakan SPC multivariat. Dengan asumsi bahwa proses memiliki ditribusi normal multivariat. Sehingga tulisan ini akan fokus pada teori distribusi normal multivariat, sebagai distribusi yang digunakan dalam SPC multivariat.

2.

Distribusi Normal Multivariat

2.1.

Definisi Distribusi Normal Multivariat Vektor random yang terdiri atas p komponen

X  ( X 1 , X 2 ,..., X p )t

dikatakan

berdistribusi normal multivariat dengan vektor mean  dan matriks variansi-kovariansi  yang definit positif, jika fungsi kepadatan peluang bersama X1 , X 2 ,..., X p adalah:

f ( x) 

1 p 2

(2 ) 

1

1 2

 1  exp  ( x   )t  1 ( x   )   2 

Universitas Pendidikan Indonesia, email : [email protected]

(1)

144 Husty Serviana Husain

x   x1 , x2 ,..., x p 

dengan

t

R p . Untuk selanjutnya vektor random X

di

yang

berdistribusi normal p-variat tersebut diberi lambang X ~ N p (  , ) . Berikut ini dikemukakan fungsi pembangkit momen dari X yang akan digunakan dalam pengkajian distribusi normal multivariat selanjutnya.

2.2.

Teorema 1 Distribusi Normal Multivariat



Jika X ~ N p (  , ) , maka fungsi pembangkit momen dari X , ditulis M X t ,



dengan t  t1 , t2 ,..., t p



t



 

t

adalah M X t  exp  t  

1 t  t t  . 2 

Bukti.



1 t  t  M X t  exp  t   t  t  . 2   Karena X ~ N p (  , ) , maka 



MX t 





 ... 









 2 



p 2

1 2

 



t t t t 1 1 t t 1 1 1 1 ... k .exp t x  x  x  x      x       t   t    2 2   



t



t

;  t t t t  t 



t







1 p

1

 2  2  2





t t t t  1 1 1 1 ... k .exp  x  x  x    x t    x    1      2

t





t

  t  dx1dx2 ...dx p dimana k 

t

t

t

 t  t x  t   t  t  



1 t  exp t x  x    dx1dx2 ...dx p 2   

1















t 1 t t t  t   t  t  t   dx1dx2 ...dx p 2 















t t 1 t  1  1  ... k.exp  2 x    t  x     t  2 2t   t  t  dx1dx2 ...dx p









t t 1 1 t  1  ... k.exp  2 2t   t  t  2 x     t  x    t  dx1dx2 ...dx p











t 1 t  t   1  ... k .exp t   t  t exp  x     t  1 x    t  dx1dx2 ...dx p      2    2 













t 1 t 1  t   1   exp  t   t  t   ...  exp  x     t  1 x    t  dx1dx2 ...dx p  p 1 2      2  2  2  2 


Integral di ruas kanan bernilai 1, sebab integrannya merupakan fungsi kepadatan peluang dari vektor random yang berdistribusi N p



 

    t  ,  . Oleh karena itu fungsi pembangkit

t

momen dari X adalah M x t  exp  t  

2.3.

1 t t t t  . 2 

Teorema 2 Distribusi Normal Multivariat Diketahui X ~ N p (  , ) dengan  definit positif. Jika C pxp suatu matriks non singular



 







t dan a suatu vektor skalar di R p , maka Y  C X  a ~ N p C   a , C  C .

Bukti. Karena X ~ N p (  , ) , maka PDF dari X adalah



1

f x 

 2 

p 2









t  1  exp   x    1 x    , x  R p  2  

1 Karena C pxp non singular, maka X  C Y  a . Dengan demikian, PDF dari Y adalah

    

g y  f x y mod  J  , dengan mod  J  adalah nilai mutlak dari deterrminan Jacobian transformasi J. Jadi,

J

x1 y1

x1 y2

. .

x2 y1

x2 y2

x2 . . y p

. . x p

. . x p

. . . .

y1

y2

. .

x1 y p

. . x p

C11 C12 C 21 C 22  . . . . p1 C C p2

. . . . .

. C1 p . C2 p 1 1 . . C  C . . . C pp

y p

Akibatnya,

 1  g y  f C 1 y  a mod   C   

 





1 p

 2  2



t  1   1  exp   C 1 y  a    1 C 1 y  a    mod   C  2    



 














 



 2 

p 2

p

 2  2

 2 

p 2

 2 

p 2

1







 C  





 C  C 



 y C   a   





 C  C  

  y C  a    

 1 exp   y  C   a  2 

1

 1   y    a  mod   C   

 1 exp   y  C   a  2 

 1 exp   y  C   a  2 

1

1

 



p 2

1



 

p 2

1

 2 

  C t

 1 exp   C 1 y  C   a  2 

1

 2 



 1 exp   C 1 y    a  2 

1



t

t

1

t

t

t

t



 1 exp   y  C   a  2 C  Ct

t

1

 1   C 1 y  C   a  mod   C   

1

1

1



 1   C 1 y  C   a  mod   C   



 



1

  C C  1

  '  C C    y  C   a , y  R p 





t









 C  C   t







1





t Ini adalah PDF dari vektor acak berdistribusi N p C   a , C  C . Dengan demikian



 







Y  C X  a ~ N p C   a , C  Ct . 2.4.

Teorema 3 Distribusi Normal Multivariat Misalkan X ~ N p (  , ) dengan  non singulir dan X merupakan super posisi

 X 1  1  2 X   2  dimana X dan X berturut-turut berdimensi q dan p – q. Maka vektor random X    1

 2

X dan X independen jika dan hanya jika matriks kovariansi antara X 12  0 (matriks nol). Bukti.

Kita tuliskan X

1

 X1   X q 1      X q2   X2    2   .  dan X   .  .      .   .   Xq   Xp     

1

dan X

 2

adalah


(i)

1

Misalkan X 1,2,...,(p-q),

 2

dan X independen. Jadi untuk setiap k = 1,2,...,q dan setiap m = Xk variabel-variabel random dan adalah X qm

 k  q  m   E  X k  k   X q  m  q  m 

 E  X k  k   E  X q  m  q  m  

=0 Karena ini berlaku untuk setiap k dan m, maka

  1 q 1  1 q  2    2 q  2   2  q  2  12   . .  . .    q q 1  q q  2 

. . 1 p   0 0 . . 0   . . 2p  0 0 . . 0   . . . . . . . .    . . .  . . . . .    . .  qp   0 0 . . 0  

Jadi 12 adalah matriks nol (ii)

Misalkan 12  0 . Maka matriks variansi-kovariansi dari vektor random X , yakni  , dapat dituliskan sebagai berikut.

    11   21

12   11   22   0 1  11

1 Karena   

 0

0  t  dimana 21   12   0 .  22 

t 0  , maka bentuk kuadrat Q  X    1 X   1   22 









dapat

pula ditulis sebagai berikut. t

 x1   1    1 0   x1   1    11  Q 1   x     2   0  221   x1    2     



1  1  x  



1

 x 

1

 x t

 2

  x t

1 11

 1

 2





t

1

1   11   0

x

 2

1 1 0   x      221   x1    2   



 2

  x t

1 22

 2



 2



 Q1  Q2 dimana Q1 dan Q2 berturut-turut menyatakan suku pertama dan kedua. Selanjutnya karena   11 22 , maka f.k.p dari X dapat ditulis sebagai berikut.




f x 

 1  exp   Q   2  

1

 2 

p 2

1 2

   1 1   1    1   exp   Q1    exp   Q2   p p q 1 1  2     2  2  2  2    2  2 11 2 22    Sedangkan fungsi yang di dalam tanda kurawal pertama dan kedua berturut-turut merupakan f.k.p dari X   dan dari X 1

dari X   dan dari X 1

3.

 2

 2

  f x 



. Jadi, f x  f1 x

. Ini berarti X

1

1

dan X

 2

2

 2

dengan f1 dan f 2 adalah f.k.p marginal

independen.

Kesimpulan

Tulisan ini hanya membahas beberapa teori mengenai distribusi normal multivariat dan pembuktiannya, yang akan banyak digunakan sebagai distribusi dalam pengendalian kualitas proses statistik secara multivariat (SPC multivariat).

Daftar Pustaka [1]

Anderson T.W., 1958. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. John Wiley & Son, New York, NY.

[2]

Djauhari M.A., 1987. Pengantar Statiska Matematika II. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Universitas Terbuka.

[3]

Hoong R.V., and Craig T.A., 1995. Introduction to Mathematical Statistics, 5th edition. Prentice Hall, Inc., New Jersey.

[4]

Montgomery D.C., 2001. Introduction to Statical Qualtiy Control, 4th edition. John Wiley & Son, New York, NY.

DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT

Recommend Documents