Ejercicios resueltos de microeconomía avanzada - Novedades

Ejercicios resueltos de microeconomía avanzada


Vicente Raúl Pérez Sánchez

Ejercicios resueltos de microeconomía avanzada © Vicente Raúl Pérez Sánchez ISBN: 978–84–8454–907–9 Depósito legal: A–867–2009 Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33 C/ Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma. Telf.: 965 67 19 87 C/ Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

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ÍNDICE Capítulo I. La teoría del consumidor................................................................................ 5 Capítulo II. El equilibrio general en una economía de intercambio................................. 67 Capítulo III. Teoría de la empresa..................................................................................... 93 Capítulo IV. Equilibrio sin producción............................................................................ 151

CAPÍTULO I. La Teoría del Consumidor Este primer capítulo está destinado a tratar problemas relacionados con la teoría del consumidor. Recordemos que se trata de explicar como el consumidor, basándose en sus preferencias y en su renta limitada, toma decisiones que le conducen a la maximización de su bienestar. Con la finalidad de hacer lo más sistemático posible el tratamiento de la resolución de los problemas de este primer capítulo, se ha estimado oportuno agruparlos en cuatro bloques. Para ello se ha tenido en cuenta la técnica de resolución utilizada, con el objetivo de que el usuario del libro se enfrente, de manera repetitiva, a ejercicios cuya resolución es similar, permitiéndole esto familiarizarse con la misma. Así pues, encontraremos los siguientes: Bloque 1, que comprende los ejercicios del 1 al 10, en los cuales se tratan problemas cuyas utilidades vienen representadas por funciones logarítmicas o polinómicas, las cuales al satisfacer monotonía y cuasiconcavidad permiten resolver el ejercicio aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange, forzando la no negatividad o la positividad, según los casos, de las variables. Bloque 2, ejercicios del 11 al 15, en los que se trata la resolución de ejercicios cuya función de utilidad no cumple monotonía y se resolverán utilizando el método gráfico. En esta colección de problemas, es muy importante la representación gráfica del conjunto de curvas de indiferencia y del conjunto presupuestario, así como la interacción de ambos conjuntos, de cuyo análisis e interpretación se obtendrá la solución final del problema.

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V. Raúl Pérez Sánchez

Bloque 3, ejercicios del 16 al 24, en ellos se abordan funciones de utilidad típicas en economía, es decir funciones min y max. En estos casos se efectúa la resolución de los mismos comparando las utilidades que proporcionan las distintas situaciones, cosa que en la mayoría de ejercicios se puede hacer directamente, pero sin embargo, en otros la preparación previa será indispensable para acometer la solución final de los mismos. Bloque 4, ejercicios del 25 al 28, entre los que se pueden distinguir dentro de este bloque dos tipos de ejercicios. Un primer tipo en los cuales la función de utilidad es lineal y cuya resolución se realiza utilizando el método gráfico, y otros en los que a pesar de que la función de utilidad puede o no ser lineal, tendrían la consideración de ejercicios atípicos o particulares. Su resolución es inmediata y directa si analizamos la posición del mapa de curvas de indiferencia y del conjunto presupuestario. Por último, y antes de iniciar el capítulo, se ha de tener presente que en este libro se tratan ejercicios para cuya resolución es indispensable unos conocimientos teóricos que en ninguna parte del mismo el lector encontrará. Con lo cual y antes de abordar la lectura del presente, se considera indispensable la asimilación de la teoría del consumidor para poder comprender el tratamiento económico que se realiza en la resolución de los ejercicios que comprenden este libro.

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Ejercicio 1 Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x1, x2)= (x1)2x2. El problema al que se enfrenta el consumidor es: Max U(x1, x2)= (x1)2x2 s.a. p1x1+p2x2 ≤ R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

}

(P)

Como la función de utilidad es monótona, la restricción presupuestaria se cumplirá en términos de igualdad, con lo cual el problema inicial (P) se puede transformar en el problema (P´): Max U(x1, x2)= (x1)2x2 s.a. p1x1+p2x2 = R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

}

(P´)

Como la función de utilidad es cuasicóncava, un modo posible para resolver el problema (P´) es utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange, forzando en este caso la no negatividad de las variables. L(x1 , x2 , λ ) = x12 x2 + λ (R − p1 x1 − p2 x2 ) ∂L = 2 x1 x2 − λp1 = 0 (1) ∂x1 ∂L = x12 − λp2 = 0 (2) ∂x2 ∂L = R − p1 x1 − p2 x2 = 0 (3) ∂λ

Si dividimos (1) entre (2) tendremos 2 x1 x2 λp1 px − = 0 ⇒ x2 = 1 1 (4) 2 x1 λp 2 2 p2

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px  Sustituyendo (4) en (3) tendremos: R − p1 x1 − p2  1 1  = 0 =>  2 p2  2R 3 R − p1 x1 = 0 , y finalmente llegamos a que x1 = y sustituyendo este 3 p1 2 valor en (4) obtenemos el valor de x2 =

R 3 p2

2R ≥0 3 p1 R x *2 = ≥0 3 p2

x1* =

Luego la solución será :

RECUADRO I Una manera de probar la monotonía y cuasiconcavidad de la función de utilidad sería la siguiente: *Para probar monotonía comprobaremos que: δU δU >0y >0 δx1 δx2 Nótese que en nuestro caso se cumple, ya que

δU δδUU = 2 x1 x2 > 0 y >=0x12 > 0 δx1 δδxx21

*Para probar cuasiconcavidad realizaremos la siguiente transformación: k=(x1)2x2 despejamos x2 de esta expresión y obtenemos la siguiente: x2 =

k comprobaremos que se cumple que x12

δ ´x 2 >0 δ ´x1 Nótese que en nuestro caso se cumple, ya que

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δ ´x 2 6 k = >0 δ ´x1 x14


Ejercicio 2 Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x1, x2)= ln[(x1)3]+ 3ln(x2). Antes de comenzar nótese que la función de utilidad la podemos reescribir, haciendo uso de las propiedades logarítmicas, de la siguiente manera U(x1, x2)= 3ln(x1)+ 3ln(x2). De este modo, el problema al que se enfrenta el consumidor es:

Max U(x1, x2)= 3ln(x1)+ 3ln(x2) s.a. p1x1+p2x2 ≤ R x1 > 0 x2 > 0

}

(P) 1

Como la función de utilidad es monótona (véase recuadro I), la restricción presupuestaria se cumplirá en términos de igualdad, con lo cual el problema inicial (P) se puede transformar en el problema (P´):

Max U(x1, x2)= 3ln(x1)+ 3ln(x2) s.a. p1x1+p2x2 = R x1 > 0 x2 > 0

}

(P´)

Como la función de utilidad es cuasicóncava (véase recuadro I), un modo posible para resolver el problema (P´) es utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange, forzando en este caso la positividad de las variables.

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Nótese que dada la forma que tiene la función de utilidad en esta ocasión, en la resolución del problema se ha de forzar la positividad de las variables. 9


∂L 3 = − λp1 = 0 (1) ∂x1 x1 ∂L 3 = − λp2 = 0 (2) ∂x2 x2 ∂L = R − p1 x1 − p2 x2 = 0 (3) ∂λ

Si dividimos (1) entre (2) tendremos 3 x1 λp1 px − = 0 ⇒ x2 = 1 1 (4) 3 λp 2 p2 x2

px  Sustituyendo (4) en (3) tendremos: R − p1 x1 − p2  1 1  = 0 =>  p2  R R − 2 p1 x1 = 0 => x1 = y sustituyendo este valor en (4) obtenemos el 2 p1 valor de x2 =

R 2 p2 R >0 2 p1 R x *2 = >0 2 p2 x1* =

Luego la solución será :

Ejercicio 3 Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x 1 , x 2 ) = ln(x 1 ) + ln(x 2 ) . Antes de comenzar probemos la monotonía y cuasiconcavidad de la función de utilidad. *Monotonía: δU/ δx1=1/(2x1[ln(x1)+ ln(x2)]1/2) >0 y δU/ δx2= 1/(2x1[ln(x1)+ ln(x2)]1/2) >0, luego la función es monótona y la restricción presupuestaria se satisfará en términos de igualdad. 10


*Cuasiconcavidad: k=[ln(x1)+ln(x2)]1/2, despejamos x2 y obtenemos δx1´=(2/x12)

δ´x2/

>0, la función de utilidad es cuasicóncava.

El problema al que se enfrenta el consumidor es: Max U(x1, x2)= [ln(x1)+ ln(x2)]1/2 s.a. p1x1+p2x2 =R x1 > 0 x2 > 0

}

(P´)

Resolvemos el problema utilizando el método de Lagrange:

Si dividimos (1) entre (2) tendremos x2 p1 px = = 0 ⇒ x2 = 1 1 (4) x1 p2 p2

px  Sustituyendo (4) en (3) tendremos: R − p1 x1 − p2  1 1  = 0 => R − 2 p1 x1 = 0  p2  R x1 = => y sustituyendo este valor en (4) obtenemos el valor de 2 p1 x2 =

R 2 p2

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R >0 2 p1 R x *2 = >0 2 p2 x1* =

Luego la solución será:

Ejercicio 4 Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x1, x2)= (x1)1/3(x2)2/3. El problema al que se enfrenta el consumidor es: Max U(x1, x2)= (x1)1/3(x2)2/3 s.a. p1x1+p2x2 ≤ R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

}

(P)

Como la función de utilidad es monótona, la restricción presupuestaria se cumplirá en términos de igualdad, con lo cual el problema inicial (P) se puede transformar en el problema (P´): Max U(x1, x2)= (x1)1/3(x2)2/3 s.a. p1x1+p2x2 = R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

}

(P´)

Como la función de utilidad es cuasicóncava, un modo posible para resolver el problema (P´) es utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange, forzando en este caso la no negatividad de las variables.

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Si dividimos (1) entre (2) tendremos x2 p 2p x = 1 = 0 ⇒ x2 = 1 1 (4) 2 x1 p2 p2

 2p x  Sustituyendo (4) en (3) tendremos: R − p1 x1 − p2  1 1  = 0 =>  p2  R R − 3 p1 x1 = 0 => x1 = y sustituyendo este valor en (4) obtenemos el 3 p1 valor de x2 =

R 2 p2 R ≥0 2 p1 R x *2 = ≥0 3 p2

x1* = Luego la solución será:

Ejercicio 5 Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x1, x2)=ln(x1+1)+ln(2x2). El problema al que se enfrenta el consumidor es:

Max U(x1, x2)= ln(x1+1)+ln(2x2) s.a. p1x1+p2x2 ≤ R x1 ≥ 0 x2 > 0

}

(P)

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Como la función de utilidad es monótona, la restricción presupuestaria se cumplirá en términos de igualdad, con lo cual el problema inicial (P) se puede transformar en el problema (P´):

Max U(x1, x2)= ln(x1+1)+ln(2x2) s.a. p1x1+p2x2 = R x1 ≥ 0 x2 > 0

}

(P´)

Como la función de utilidad es cuasicóncava, un modo posible para resolver el problema (P´) es utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange, forzando en este caso la no negatividad de la variable x1 y la positividad de x2.

∂L 1 = − λp1 = 0 (1) ∂x1 x1 + 1 ∂L 1 = − λp2 = 0 (2) ∂x2 x2 ∂L = R − p1 x1 − p2 x2 = 0 (3) ∂λ

Si dividimos (1) entre (2) tendremos x2 p p (x + 1) = 1 = 0 ⇒ x2 = 1 1 (4) x1 + 1 p2 p2

Sustituyendo (4) en (3) tendremos:

 p (x + 1)  = 0 => R − p1 x1 − p2  1 1 p2  

R − p1 nótese que antes de sustituir este valor 2 p1 en (4) tendremos que discutir los posibles valores que pueda tomar la variable, en función del numerador. R − 2 p1 x1 − p1 = 0 =>



x1 =

Si (R − p1 )< 0 tenemos que x1<0 y por lo tanto x1*=0, sustituyendo este

valor en (3), obtenemos que x2* =

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R >0 p2




Si (R − p1 )≥ 0 tenemos que x1* =

(4), obtenemos que x2* =

Luego la solución será:

R − p1 ≥ 0 , sustituyendo este valor en 2 p1

R + p1 >0 2 p2  R  0,  si (R − p1 )< 0 ⇔ R < p1  p2 

x*=  R − p1 R + p1    si (R − p1 )≥ 0 ⇔ R ≥ p1 , 2 p2   2 p1

Ejercicio 6 Calcular la función de demanda de un consumidor cuya riqueza es R≥ 0, para el caso en que sus preferencias sean representables mediante la siguiente función de utilidad U(x1, x2)= x2+ln(x1+1).

El problema al que se enfrenta el consumidor es:

Max U(x1, x2)= x2+ln(x1+1) s.a. p1x1+p2x2 ≤ R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

}

(P)

Como la función de utilidad es monótona, la restricción presupuestaria se cumplirá en términos de igualdad, con lo cual el problema inicial (P) se puede transformar en el problema (P´): Max U(x1, x2)= x2+ln(x1+1) s.a. p1x1+p2x2 = R x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

}

(P´)

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Como la función de utilidad es cuasicóncava, un modo posible para resolver el problema (P´) es utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange, forzando en este caso la no negatividad de las variables.

∂L 1 = − λp1 = 0 (1) ∂x1 x1 + 1

Si dividimos (1) entre (2) tendremos

∂L = 1 − λp2 = 0 (2) ∂x2 ∂L = R − p1 x1 − p2 x2 = 0 (3) ∂λ

p p − p1 1 = 1 ⇒ x1 = 2 (4) x1 + 1 p2 p1

Nótese que antes de sustituir el valor de x1 dado por (4) en (3), tendremos que discutir los posibles valores que pueda tomar la variable en función del numerador. 

Si (p2 − p1 )< 0 tenemos que x1<0 y por lo tanto x1*=0, sustituyendo este

valor en (3), obtenemos que x2* = 

R ≥0 p2

Si (p2 − p1 )≥ 0 tenemos que x1* =

p2 − p1 ≥ 0 , sustituyendo este valor en p1

R − p2 + p1 , que no sabemos el signo que puede tener, p2  así que tendremos que volver a discutir el signo en función del numerador. (4), obtenemos que x2 =

• Si ( R − p2 + p1 ) < 0 tenemos que x2<0 y por lo tanto x2*=0, sustituyendo este valor en (3), obtenemos que x1* = • Si x1* = 16

( R − p2 + p1 ) ≥ 0 p2 − p1 ≥0 p1

R ≥0 p1

tenemos que

x2 =

R − p 2 + p1 ≥0 p2

y que

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