FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO f: [1, 1] , f(x) = sen (x)
f(x) = sen(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg (x)
Domínio
x
x
Imagem
y 1, 1
y 1, 1
y
Período
2
2
x
k,k Z 2
TRANSFORMAÇÕES NOS GRÁFICOS f(x) = A + B . sen (Cx) ou f(x) = A + B . cos (Cx) A Desloca o gráfico A unidades para cima (A > 0) ou para baixo (A < 0). Afeta a imagem. A reta y = A é um eixo
FUNÇÂO CO-SENO f: [1, 1] , f(x) = cos (x)
de simetria da curva. B Altera a amplitude sem alterar o período. Afeta a imagem. Reflete o gráfico em torno do eixo de simetria se negativo.
C Altera o período. Não afeta a imagem. P =
2 |C |
FUNÇÃO TANGENTE f: x / x k, k Z , f(x) = tg (x)
2
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Exercícios de Aula:
03) Quantas soluções a equação sen 2x = cos x possui:
01) Esboce o gráfico de f(x) = 1 + 2 sen(x).
a) se x 2 , 2
A imagem é obtida a partir dos valores máximo e mínimo de sen x. Dessa forma, são valores extremos de f(x): 1 + 2.(1) = 1 + 2 = 3 e 1 + 2.(-1) = 1 - 2 = -1. Logo, If 1, 3 . O eixo de simetria da onda localiza-se sobre a reta y = 1. Ainda, a amplitude da onda mede 2.
b) se x 40 , 40 a) O número de soluções de equações na forma f(x) = g(x) pode ser visualizado como o número de intersecções entre seus gráficos, onde as abscissas de cada intersecção serão as soluções. Assim, esboçando o gráfico de f(x) = sen 2x (cuja imagem é If 1, 1 e cujo período vale P g(x)
=
cos
x
(onde
If 1, 1
e
2 ) e de 2
P
2 2 ), 1
constatamos que no intervalo desejado existem 8 pontos de intersecção. Logo, 8 soluções.
02) Esboce o gráfico de y = 2 - 3.cos(x). A imagem da função co-seno é obtida do mesmo modo: 2 - 3.(1) = 2 - 3 = -1 e 2 - 3.(-1) = 2 + 3 = 5.
b) Como para cada período de g(x) existem 4 soluções, no
Logo, If 1, 5 . O eixo de simetria da onda localiza-se
intervalo
sobre a reta y = 2. Ainda, a amplitude da onda mede 3. Como B = -3, o gráfico será refletido em torno do eixo de simetria.
40 ,
40 g(x) dará 40 voltas completas, já
que seu período vale 2 . Logo, serão 160 soluções.
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EXERCÍCIOS
10) (PUC) O gráfico abaixo é da função f. A lei de f é
01) Determine o período, a imagem e construa o gráfico de cada uma das funções abaixo:
x 2 b) f(x) = 3cos 2x a) f ( x ) 3 cos
y 3
x 2 d) f(x) = 3sen 2x
a) f(x) =3sen(x)
b) f(x) = cos(4x)
c) f(x) = 1 - sen(3x)
d) f(x) = -cos(x)
x e) f(x)=2cos -3 3
f) f(x) =-1+2sen(0,5x)
c) f ( x ) 3 sen
02) (UFPEL) Qual a imagem de f(x) = 2sen(x) - 3?
e) f ( x ) 3 sen
0
2
x
4
3
-3
x 2
11) (UFRGS) O gráfico abaixo representa uma função real f. Esta função é dada por:
03) (UFRN) Sejam f(x) = 4cos(2x) e g(x) = 2cos(0,25x). Se Pf é o período de f e Pg é o período de g, então:
a) f(x) = 1 – cos x b) f(x) = 1 + cos x
a) Pg = Pf
c) Pg = 4Pf
b) Pg = 0,5Pf
d) Pg = 2Pf
e) Pg = 8Pf
c) f(x) = cos(x + 1) d) f(x) = cos(x – 1) e) f(x) = cos(x + )
04) (PUCRS) Qual o período e a imagem da função definida por f(x) = 3sen(2x)? 05) (FUVEST) Qual o menor valor de
1 ? 3 cos( x)
01a
01b
01c
01d
01e
01f
06) Obtenha k, k > 0, na função f(x) = sen(kx), sabendo que seu período é igual a
. 3
07) Qual o maior valor que f(x) = 5+5sen(5x+5) assume? 08) (FUVEST) A figura abaixo mostra parte do gráfico da função a) sen(x)
x b) 2 sen 2 x c) sen 2 d) 2sen(x) e) sen(2x) 09) Se y = 3.cos(x) – 1, então y varia no intervalo: a) [2, 4]
b) [–1, 1]
c) [–1, 3]
d) [–3, 1]
e) [–4, 2]
01a
2, [3;3]
01b
, [ 1;1] 2
01c
2 , [0;2] 3
01d
2, [1;1]
01e
6, [5; 1]
01f
4, [3;1]
02
[-5; -1]
03
E
04
e [3;3]
05
1 4
06
6
07
10
08
B
09
E
10
C
11
B
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