Gravitatorio PAU Andalucía

Una nave espacial aterriza en un planeta desconocido. Tras varias mediciones se observa que el planeta tiene forma esférica, la longitud de su circunf...
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Gravitatorio PAU Andalucía AND 01. Un meteorito de 1000 kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de 6 veces el radio de la Tierra, y pierde toda su energía cinética. a) ¿Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión? b) Si cae a la Tierra, ¿con qué velocidad llega a la superficie terrestre. AND 02. Dos masas m1 = 2 kg y m2 = 5 kg están situadas en los puntos P1(0,2) y P2(1,0) respectivamente. a) Dibujar y calcular el campo gravitatorio en el punto O(0,0) y en el punto P(1,2). b) Calcular el trabajo necesario para desplazar una partícula de 0,1 kg desde O al punto P. AND 03. Un satélite artificial de 500 kg gira alrededor de la Luna en una órbita circular situada a 120 km sobre la superficie lunar y tarda 2 horas en dar una vuelta completa. Calcular: a) la masa de la Luna. b) la energía potencial del satélite cuando se encuentra en órbita. Dato: RL = 1740 km AND 04. Suponer que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de la Tierra y de la Luna. Calcular: a) la relación entre los tiempos de caída. b) la altura que alcanza un cuerpo lanzado verticalmente en la Luna con una velocidad de 40 ms - 1 Datos: MT=81 ML

RT=(11/3) RL

g=10 m·s

–2

AND 05. Suponiendo que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular de radio 1,5·10 11 m. a) Calcular razonadamente la velocidad de la Tierra y la masa del Sol. b) Si el radio orbital disminuyera en un 20%, ¿cuáles serían el periodo de revolución y la velocidad orbital de la Tierra? AND 06. Un satélite de 200 kg en una órbita alrededor de la Tierra tiene una energía cinética de 5,3·10 9 J. Calcular: a) el radio de la órbita y la energía mecánica del satélite. b) la velocidad de escape del satélite desde su posición orbital. AND 07. Se lanza un cohete de 600 kg desde el nivel del mar hasta una altura de 1200 km sobre la superficie de la Tierra. Calcular: a) Cuánto ha aumentado la energía potencial gravitatoria del cohete. b) Qué energía adicional habría que suministrar al cohete para que escapara a la acción del campo gravitatorio terrestre desde esa altura. AND 08. El planeta Júpiter tiene varios satélites. El más próximo es Io, que gira en una órbita de radio 421600 km con un periodo de 1,53·105 s, y el siguiente satélite es Europa, que gira a 670000 km del centro de Júpiter. Calcular: a) la masa de Júpiter y el periodo de rotación de Europa. b) la velocidad de escape de Júpiter. Dato: RJ = 71500 km

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Gravitatorio PAU AND 09. El satélite español PAZ de observación de la Tierra, de 1400 kg, se lanza para situarlo en una órbita circular geoestacionaria. a) Explique qué es un satélite geoestacionario y calcule el valor de la altura respecto de la superficie terrestre a la que se encuentra dicho satélite. b) Determine las energías cinética y potencial del satélite en órbita. AND 10. a) Dos partículas, de masas m y 2m, se encuentran situadas en dos puntos del espacio separados una distancia d. ¿Es nulo el campo gravitatorio en algún punto cercano a las dos masas? ¿Y el potencial gravitatorio? Justifique las respuestas. b) Dos masas de 10 kg se encuentran situadas, respectivamente, en los puntos (0,0) m y (0,4) m. Represente en un esquema el campo gravitatorio que crean en el punto (2,2) m y calcule su valor. AND 11. a) Dos satélites de igual masa se encuentran en órbitas de igual radio alrededor de la Tierra y de la Luna, respectivamente. ¿Tienen el mismo periodo orbital? ¿Y la misma energía cinética? Razone las respuestas. b) Según la NASA, el asteroide que en 2013 cayó sobre Rusia explotó cuando estaba a 20 km de altura sobre la superficie terrestre y su velocidad era 18 km·s-1. Calcule la velocidad del asteroide cuando se encontraba a 30000 km de la superficie de la Tierra. Considere despreciable el rozamiento del aire.

Castilla y León 8

8

CYL 01. La distancia Luna Tierra es 3,84 ⋅10 m, y la distancia Tierra Sol es 1496·10 m. La Luna tiene una masa 7,35·1022 kg y el Sol 1,99·1030 kg. Considere las órbitas circulares y los astros puntuales. a) Comparando la velocidad lineal de los astros en sus órbitas respectivas, determine cuántas veces más rápido se desplaza la Tierra alrededor del Sol que la Luna alrededor de la Tierra. b) En el alineamiento durante un eclipse de Sol, calcule la fuerza neta que experimenta la Luna debido a la acción gravitatoria del Sol y de la Tierra. Indique el sentido (signo) de dicha fuerza. CYL 02. Sabiendo que la distancia media Sol–Júpiter es 5,2 veces mayor que la distancia media Sol–Tierra, y suponiendo órbitas circulares: a) Calcule el periodo de Júpiter considerando que el periodo de la Tierra es 1 año. b) ¿Qué ángulo recorre Júpiter en su órbita mientras la Tierra da una vuelta al Sol? CYL 03. Un satélite artificial de 250 kg se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 500 km. Si queremos transferirlo a una nueva órbita en la que su periodo de revolución sea tres veces mayor: a) Calcule la altura de esta nueva órbita y su velocidad lineal. b) Obtenga la energía necesaria para realizar la transferencia entre ambas órbitas. CYL 04. La masa de Marte, su radio y el radio de su órbita alrededor del Sol, referidos a las magnitudes de la Tierra, son, respectivamente: 0,107, 0,532 y 1,524. Calcule: a) la duración de un año marciano (periodo de rotación alrededor del Sol) b) el valor de la gravedad y la velocidad de escape en la superficie de Marte.

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Gravitatorio PAU CYL 05. Dos masas puntuales, m1=5 kg y m2=10 kg, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos de coordenadas (0,1) y (0,7) respectivamente. Sabiendo que todas las coordenadas están expresadas en metros, calcule: a) La intensidad del campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto (4,4). b) El trabajo necesario para trasladar una masa de 1 kg situada en el punto (0,4) hasta el punto (4,4), en presencia de las otras dos masas, indicando el signo del trabajo calculado. CYL 06. La lanzadera espacial Columbia giraba en una órbita circular a 250 km de altura sobre la superficie terrestre. Para reparar el telescopio espacial Hubble, se desplazó hasta una nueva órbita circular situada a 610 km de altura sobre la Tierra. Sabiendo que la masa del Columbia era 75000 kg, calcule: a) El periodo y la velocidad orbital iniciales de la lanzadera Columbia. b) La energía necesaria para situarla en la órbita donde está el Hubble. CYL 07. En el caso del campo gravitatorio creado por un planeta, demuestre que: a) la velocidad de escape de un cuerpo es independiente de su masa. b) para un cuerpo en órbita circular la ECINETICA 

1 2

EPOTENCIAL

CYL 08. Calcular la energía potencial gravitatoria de un satélite de 100 kg de masa que está orbitando a 1000 km de altura sobre la Tierra. ¿Se podría utilizar la expresión E=m g h? CYL 09. El periodo de rotación de Marte es 24,6229 horas. Si el radio de la órbita aeroestacionaria (equivalente a una órbita geoestacionaria en la Tierra) es 20425 km, ¿cuál es la masa del planeta? Si sabemos que la velocidad de escape de Marte es 5,027 km/s ¿cuál es el radio del planeta? CYL 10. Mediante observaciones astronómicas se ha descubierto recientemente un planeta extrasolar (Gliese 581b) orbitando en torno a una estrella de la clase de las enanas rojas. La órbita es circular, tiene un radio de 6,076 millones de kilómetros y un periodo de rotación orbital de 5,368 días. Determine la masa de la estrella. CYL 11. La Luna se mueve alrededor de la Tierra describiendo una órbita circular de radio 3,84·108 m con un periodo de 27,32 días. a) Calcule la velocidad y la aceleración de la Luna respecto a la Tierra y realice un esquema de la trayectoria en el que se muestren ambos vectores. b) Si desde la superficie terrestre se lanza un objeto verticalmente con una velocidad inicial igual a la mitad de su velocidad de escape, ¿qué altura máxima alcanzará sin tener en cuenta el efecto de la atmósfera? CYL 12. Un meteorito de 350 kg que cae libremente hacia la Tierra, tiene una velocidad de 15 m·s-1 cuando está a una altura de 500 km sobre la superficie terrestre. Calcular: a) el peso del meteorito a esa altura. b) velocidad con la que llega al suelo.

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Gravitatorio PAU Asturias OVI 01. Calcula la distancia Tierra-Luna sabiendo que la Luna tarda 28 días en realizar su órbita circular en torno a la Tierra. Datos: g = 9,8 m·s-2; RT= 6370 km OVI 02. Un cohete de masa 5000 kg despega de la superficie terrestre con una velocidad de 20 km/s. a) Calcular su energía mecánica total, considerando que la energía potencial es nula a distancias muy largas. b) Razona si el cohete será capaz de escapar a la atracción gravitatoria terrestre y, en caso afirmativo, calcula la velocidad del cohete cuando se encuentre muy alejado de la Tierra. Datos: g = 9,8 m·s-2; RT= 6370 km OVI 03. Hay un punto entre la Tierra y la Luna en el que la fuerza gravitatoria total de ambos cuerpos se anula. Sabiendo que la distancia entre los centros de ambos cuerpos es de 384000 km, calcular: a) ¿a qué distancia se encuentra ese punto del centro de la Tierra? b) ¿cuánto vale el potencial gravitatorio en ese punto? OVI 04. Se le quiere plantear a la Agencia Espacial Europea el envío de tres naves a Marte para hacer de satélites “marte-estacionarios”. Calcular: a) qué tipo de órbita tendrían los satélites b) la altura sobre la superficie de Marte a la que se encontrarían. Datos: MM=6,41·1023 kg

RM=radio de Marte 3388 km

período de rotación de Marte 24h37m23s

OVI 05. La Tierra da la vuelta al Sol exactamente en 1 año y el radio medio de su órbita es de 149,5 millones de kilómetros. Saturno tiene una órbita aproximadamente circular a una distancia 9,54 veces mayor del Sol que la terrestre. Determine: a) la masa del Sol b) la relación entre el período de revolución de Saturno alrededor del Sol y el de la Tierra. OVI 06. Determine la velocidad de escape de un objeto de 2 kg de masa en la Luna, la cual (casi esférica) posee una masa de 7,36·1022 kg y un radio de 1740 km. Si deseamos la velocidad de escape de un objeto de 10 kg, ¿cómo se modifica el resultado anterior? OVI 07. Un agujero negro es un objeto tan masivo que tiene una velocidad de escape igual a la velocidad de la luz en el vacío. La gravitación universal de Newton proporciona un valor correcto para el radio del agujero negro (denominado radio de Schwarzschild). Determine ese radio para un agujero negro con una masa: a) 10 veces la del Sol

b) con una masa de 1 kg.

Dato: MS=1,99x1030 kg.

OVI 08. Considera un satélite artificial que describe dos vueltas alrededor de la Tierra cada 24 h en una órbita circular. a) Calcula la altura a la que se encuentra sobre la superficie terrestre. b) Determina la velocidad del satélite. Datos: MT=5,98·1024 kg

RT=6370 km.

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Gravitatorio PAU OVI 09. Un mini-satélite artificial de 310 kg utilizado para aplicaciones de observación de la Tierra con alta resolución, gira en una órbita circular a 600 km de altura sobre la superficie terrestre. Calcule: a) Velocidad en órbita y Periodo orbital. b) Energía potencial y Energía mecánica del mismo. c) Energía necesaria para que, partiendo de esa órbita se coloque en otra a una altura de 1000 km. OVI 10. Dos masas de 5000 y 15000 kg distan 2 metros entre sus centros. Determine y discuta la posición del punto o puntos en que la intensidad del campo gravitatorio es nula. ¿En ese lugar cuál es el potencial del campo? OVI 11. El planeta X tiene el mismo radio que la Tierra pero su densidad es el doble de la terrestre. ¿Qué valor tendrá la intensidad del campo gravitatorio en su superficie (gx0)? ¿A qué altura el valor de gx será el mismo que en la superficie terrestre? OVI 12. En un informe se han presentado las siguientes medidas correspondientes a los planetas que se indican considerando las órbitas circulares. Razona a partir de la 3ª Ley de Kepler si las medidas son correctas o no. Planeta

Periodo órbita (s)

Radio órbita (m)

Venus

1,9·107

1,1·1011

Tierra

4,0·107

1,5·1011

Marte

5,7·107

2,3·1011

Aragón ZAR 01. Io es un satélite de Júpiter cuya masa es 8,9·10 22 kg y su radio 1,8·106 m. El radio de la órbita, supuesta circular, en torno a Júpiter es 4,2·10 8 m. a) ¿Cuál es el periodo de rotación de Io en torno a Júpiter? b) Determina la velocidad y la aceleración de Io en su órbita, (modulo y dirección). Datos: MJ=1,9·1027 kg; RJ=6,9·107 m ZAR 02. El satélite Giove-B tiene una masa de 500 kg y su órbita, supuesta circular, se encuentra a una distancia de 2,32·104 km de la superficie terrestre. Calcula: a) Energías potencial y cinética del satélite en su órbita. b) Periodo orbital y módulo del momento angular respecto al centro de la Tierra. c) Energía mínima necesaria para ponerlo en dicha órbita y velocidad de escape de la misma. ZAR 03. La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta esférico de 3200 km de radio es 6,2 m·s-2. Calcular la velocidad de escape desde la superficie del planeta. ¿A qué altura h sobre la superficie del planeta deberá orbitar un satélite que describa una órbita circular en 24 horas? ZAR 04. a) Definir el momento angular L de una partícula. Justifique su teorema de conservación. b) Un satélite de 200 kg describe una órbita circular de radio R=1,914·107 m alrededor de la Tierra. Calcule la velocidad orbital del satélite y su momento angular respecto del centro de la Tierra. c) Determine el trabajo que deben realizar los motores del satélite para pasar a otra órbita circular de radio 1,2·R. Fco Javier Corral 2017-2018

Gravitatorio PAU ZAR 05. El Sputnik 1, primer satélite artificial puesto en órbita con éxito (1957), describía una órbita elíptica con el centro de la Tierra en uno de sus focos. El punto más alejado de la órbita (apogeo) y el

hP

hA

más cercano (perigeo) se situaban a las distancias hA=946 km y hP=227 km de la superficie terrestre. Determine, para cada una de las magnitudes del Sputnik 1 dadas a continuación, el cociente entre su valor en el apogeo y su valor en el perigeo: momento angular respecto del centro de la Tierra, energía cinética y energía potencial gravitatoria. ZAR 06. El satélite Astra 2C, empleado para emitir señales de televisión, es un satélite en órbita circular geoestacionaria. Calcular: a) la altura a la que orbita y la velocidad con que se mueve. b) la energía necesaria para ponerlo en órbita. Datos: RT=6,37∙106 m

MT=5,98∙1024 kg

MASTRA=6000 kg.

ZAR 07. La luz solar tarda 8,31 minutos en llegar a la Tierra y 6,01 minutos en llegar a Venus. Suponiendo que las órbitas que describen ambos planetas alrededor del Sol son circulares, determine: a) El periodo orbital de Venus en torno al Sol. b) La velocidad con la que se desplaza Venus en su órbita. ZAR 08. La nave Apolo 11 permitió la llegada del hombre a la Luna en 1969. Para ello orbitó alrededor de ella con un periodo de 119 minutos y a una distancia media del centro de la Luna de 1850 km. Suponiendo que su órbita fue circular, determine: a) La velocidad orbital del Apolo 11. b) La masa de la Luna.

Madrid MAD 01. El planeta A tiene tres veces más masa que el planeta B y cuatro veces su radio. Obtenga: a) La relación entre las velocidades de escape desde las superficies de ambos planetas. b) La relación entre las aceleraciones gravitatorias en las superficies de ambos planetas. MAD 02. Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal manera que alcanza una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de 500 km. Despreciando el rozamiento con el aire, calcule: a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de escape desde la superficie terrestre. b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad se ha reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento. MAD 03. Un satélite describe una órbita circular alrededor de un planeta con un periodo de 24 h. La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es 3,71 m·s -2 y su radio es 3393 km. Determine: a) El radio de la órbita. b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta Fco Javier Corral 2017-2018

Gravitatorio PAU MAD 04. Un planeta esférico tiene una densidad =1,33 g/cm3 y un radio de 71500 km. Determine: a) El valor de la aceleración de la gravedad en su superficie. b) La velocidad de un satélite que orbita alrededor del planeta en una órbita circular con un periodo de 73 horas. MAD 05. Movimiento elíptico de la Tierra en torno al Sol. Cuando la Tierra está en el afelio (posición más alejada del Sol) su distancia al Sol es de 1,52.10 11 m y su velocidad orbital es de 2,92.104 m/s. Hallar: a) El momento angular de la Tierra respecto al Sol. b) La velocidad orbital en el perihelio (posición más cercana al Sol), siendo en este punto su distancia al Sol de 1,47.1011 m. MAD 06. Una estrella gira alrededor de un objeto estelar con un periodo de 28 días terrestres siguiendo una órbita circular de radio 0,45·108 km. a) Determine la masa del objeto estelar. b) Si el diámetro del objeto estelar es 200 km, ¿cuál será el valor de la gravedad en su superficie? MAD 07. Una nave espacial aterriza en un planeta desconocido. Tras varias mediciones se observa que el planeta tiene forma esférica, la longitud de su circunferencia ecuatorial mide 2·10 5 km y la aceleración de la gravedad en su superficie vale 3 m·s-2 a) ¿Qué masa tiene el planeta? b) Si la nave se coloca en una órbita circular a 30.000 km sobre la superficie del planeta, ¿cuántas horas tardará en dar una vuelta completa al mismo? MAD 08. Dos lunas que orbitan alrededor de un planeta, describen órbitas circulares concéntricas con el planeta y tienen periodos orbitales de 42 h y 171,6 h. El diámetro de la órbita que describe la luna más alejada es de 2,14·106 km. Despreciando el efecto gravitatorio de una luna sobre otra, determine: a) La velocidad orbital de la luna exterior y el radio de la órbita de la luna interior. b) La masa del planeta y la aceleración de la gravedad sobre su superficie si tiene un diámetro de 2,4·104 km. MAD 09. Un asteroide de forma esférica y 3 km de radio tiene una densidad de 3 g/cm3. Calcular: a) La velocidad de escape desde la superficie del asteroide. b) La velocidad de un cuerpo que partió de la superficie con la velocidad de escape cuando se encuentra a una altura de 2 km. MAD 10. Una reciente investigación ha descubierto un planeta similar a la Tierra orbitando alrededor de la estrella Proxima Centauri, una enana roja cuya masa en el 12% de la masa solar y su radio es el 14% del radio solar. Mediante técnicas de desplazamiento Doppler se ha medido el periodo del planeta alrededor de la estrella obteniéndose un valor de 11,2 días. Calcular: a) El valor de la gravedad en la superficie de la estrella. b) El radio de la órbita del planeta supuesta circular. Datos: MSOL=2·1030 kg

RSOL=7·108 m

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