Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: Administración, Ciencia Política, Contaduría Pública y Relaciones Internacionales. Septiembre 2003
Índice 1. Instrucciones 1.1. Objetivo . . . . . . . . . . . 1.2. Requisitos . . . . . . . . . . 1.3. Caracter´ısticas del examen . 1.4. Calificación . . . . . . . . . 1.5. Temario . . . . . . . . . . .
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1 1 1 2 2 2
2. Examen 2.1. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 14
1. 1.1.
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Instrucciones Objetivo
El examen de clasificación de matemáticas tiene como finalidad determinar si el estudiante posee los conocimientos indispensables para iniciar el programa de matemáticas de la carrera de su elección.
1.2.
Requisitos
Para inscribirse al examen de clasificación es necesario ser alumno admitido al ITAM. El alumno que se inscriba al examen de clasificación de matemáticas y no lo presente se considerará como no aprobado.
1
El alumno sólamente se podrá inscribir al examen de clasificación de matemáticas si no ha sido alumno inscrito o no ha cursado la materia Introducción a las Matemáticas Superiores.
1.3.
Caracter´ısticas del examen
El examen de clasificación es de opción múltiple y se contesta en hojas ópticas que son leídas automáticamente para calificarse por computadora. Por ello se requiere utilizar lápiz del número 2, traer goma suave y conocer su número de folio. Leer con cuidado las instrucciones en la hoja óptica. El examen consta de 25 preguntas de álgebra elemental, trigonometría, geometría analítica y conceptos de funciones.
1.4.
Cali~cación
La calificación del examen se obtiene sumando un punto por cada pregunta bien contestada y restando 0,25 por cada pregunta mal contestada. Para aprobar el examen es necesario que el alumno obtenga 15 puntos.
1.5.
Temario
1. FUNCIONES a) Conjuntos e intervalos. b) Coordenadas cartesianas, regiones en el plano. c) Concepto de relación y función. Interpretación geométrica. Diferentes formas de expresión de una función (como parejas ordenadas, gráficas y expresiones analíticas) y sus relaciones. d) En expresiones gráficas analizar: dominio y rango, intervalos donde es creciente, decreciente o constante. Intersección con los ejes, intervalos donde es positiva, negativa. e) Intervalos donde es par, impar o ninguna de las dos cosas. 2. LINEAS RECTAS, FUNCIONES, ECUACIONES Y DESIGUALDADES LINEALES a) Líneas rectas. Interpretación geométrica. Pendiente (creciente, decreciente, o constante). Desplazamientos horizontal y vertical. Producto por un escalar. A partir de la gráfica llegar a la expresión analítica. Funciones lineales. Notación. Aplicaciones*. b) Intersección con los ejes. Ecuaciones lineales. Interpretación geométrica. Intervalos donde es positiva, intervalos donde es negativa. Aplicaciones* de las funciones y de las ecuaciones lineales. c) Desigualdades lineales. Interpretación geométrica. Aplicaciones*.
2
d) Sistemas de ecuaciones y desigualdades lineales. Interpretación geométrica. (* Nota: Se sugiere usar aplicaciones en Administración y Economía: Modelos de costo lineal. Análisis del punto de equilibrio. Depreciación en línea recta. Oferta y demanda. Punto de equilibrio del mercado.) 3. FUNCIONES CUADRATICAS a) Gráficas de las funciones f (x) = x2 , f (x) = ax2 . Concavidad intervalos donde es positiva o negativa, simetría y paridad. Desplazamientos horizontal y vertical para llegar a la forma f (x) = a(x − h)2 + k. Factorizar para llegar de y = ax2 +bx+c a la expresión y = a(x−h)2 +k. b) Intersección con los ejes. Interpretación geométrica. Relación con la ecuación de segundo grado. Encontrar las raíces factorizando. Solución por fórmula. Relación entre los casos que se presentan en la fórmula y la gráfica de la función. Vértice (máximos, mínimos). Relación con las raíces de la función. Concavidad. Encontrar el vértice factorizando. Dominio y rango. Intervalos donde es creciente, intervalos donde es decreciente, intervalos donde es constante. Intervalos donde es positiva, intervalos donde es negativa. A partir de la gráfica llegar a la expresión analítica. c) Aplicaciones en la Administración y la Economía. d) Desigualdades de segundo grado. Interpretación geométrica. Aplicaciones. e) Sistemas de ecuaciones no lineales. 4. OTRAS FUNCIONES √ √ a) Gráficas de las funciones f (x) = x, f (x) = a x. Intervalos donde es creciente, decreciente. Desplazamientos horizontal y vertical para √ llegar a la forma f (x) = a x − h + k. A partir de la gráfica llegar a la expresión analítica. b) Intersección con los ejes. Interpretación geométrica. Relación con las ecuaciones en las que aparecen radicales. Dominio y rango. Intervalos donde es positiva, intervalos donde es negativa. c) Solución de ecuaciones en las que aparecen radicales. d) Gráficas de las funciones f (x) = x3 , f (x) = ax3 . Desplazamientos horizontal y vertical para llegar a la forma f (x) = a(x − h)3 + k. A partir de la gráfica llegar a la expresión analítica. e) Intersección con los ejes. Interpretación geométrica. Dominio y rango. Intervalos donde es creciente, intervalos donde es decreciente. Intervalos donde es positiva, intervalos donde es negativa. Ecuaciones. f ) Gráficas de las funciones f (x) = x−1 , f (x) = ax−1 . Desplazamientos horizontal y vertical para llegar a la forma f (x) = a(x − h)−1 + k. A partir de la gráfica llegar a la expresión analítica. 3
g) Asíntotas. Interpretación geométrica. Intersección con loe ejes. Dominio y rango. Intervalos donde es creciente, intervalos donde es decreciente. Intervalos donde es positiva, intervalos donde es negativa 5. FUNCION VALOR ABSOLUTO a) Gráficas de las funciones f (x) = |x| , f (x) = a |x|. Simetría y paridad. Desplazamientos horizontal y vertical para llegar a la forma . f (x) = a |x − h| + k.
b) Intersección con los ejes. Interpretación geométrica. Relación entre las raíces de la función y la ecuación que involucra valor absoluto. Dominio y rango. Intervalos donde es creciente, intervalos donde es decreciente. Intervalos donde es positiva, intervalos donde es negativa. A partir de la gráfica llegar a la expresión analítica. c) Ecuaciones y desigualdades en las que aparece valor absoluto.Interpretación geométrica. Sistemas de ecuaciones no lineales.
6. CONICAS Y SEMICONICAS a) Gráficas de círculos, elipses e hipérbolas . A partir de las gráficas llegar a la expresión analítica.Intersecciones con los ejes. Desplazamien2 (x − h) tos horizontal y vertical y su relación con las expresiones + a2 2 2 2 2 2 (x − h) (y − k) (x − h) (y − k) (y − k) = 1, − = 1, − + =1. b2 a2 b2 a2 b2 A partir de la gráfica llegar a la expresión analítica. √ b) Relación con las funciones de la forma f (x) = ax2 + d. (Semicírculos, semi-elipses, semi-hipérbolas). Dominio y rango.Desplazamientos horizontal q y vertical para llegar a la forma f (x) = a (x − h)2 + d + k. Intervalos donde es positiva, intervalos donde es negativa. Asíntotas. Interpretación geométrica. Dominio y rango. Intervalos donde es creciente, intervalos donde es decreciente. Intervalos donde es positiva, intervalos donde es negativa. A partir de la gráfica llegar a la expresión analítica. Intersección con los ejes. Interpretación geométrica. Relación con las ecuaciones en las que aparecen radicales. Dominio y rango. Intervalos donde es positiva, intervalos donde es negativa. Sistemas de ecuaciones no lineales.
c) Aplicaciones. 7. OPERACIONES CON FUNCIONES f a) Combinación de funciones f + g, f − g, f g, , f · g, f ◦ g. Dominio g y rango. b) Operaciones gráficas para encontrar la función recíproca a partir de f , para toda f . Dominio y rango. 4
c) Operaciones gráficas para encontrar la funcion inversa f −1 . d) Funciones con dominio limitado. e) Funciones con varias reglas de correspondencia. f ) Solución de ecuaciones y desigualdades en las que intervienen cocientes y productos de funciones. g) Aplicaciones a la Administración y la Economía. 8. LOGARITMOS Y EXPONENCIALES a) Funciones exponenciales. Gráficas de ax . Operaciones gráficas. Dominio y rango. El número e y la función ex . b) Funciones logarítmicas. Gráficas de logb x, como función inversa de la exponencial logb bx = x. Operaciones gráficas. Dominio y rango. Cambio de base. c) Ecuaciones en las que intervienen funciones exponenciales y logarítmicas, y su solución. d) Aplicaciones a: Modelos de crecimiento. Interés compuesto. Recuperación de inversiones. Manejo de pagos. Modelos de aprendizaje. e) Recíprocas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Dominio y rango. 9. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS a) Conceptos trigonométricos elementales. Ángulo. Formas de medición. Grados, radianes, conversiones de grados a radianes y viceversa. Angulos positivos y negativos. b) Funciones trigonométricas. Las funciones seno y coseno definidas con el círculo unitario. Gráfica de las funciones seno y coseno. Operaciones gráficas. c) Definición y gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Graficar las funciones secante y cosecante como reciprocas de las funciones coseno y seno. Graficar las funciones tangente y cotangente a partir de la información en las gráficas de seno y coseno d) Aplicaciones. BIBLIOGRAFIA 1. ARYA, Jodish C, LARDNER, Robin W. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la EconomíaPrentice Hall. 2. BUDNICK, Frank. Matemáticas Aplicadas para la Administración, Economía y Ciencias Sociales. McGraw Hill. 3. HAUSSLER, EErnest F. Jr., PAUL, Richard. Matemáticas para Administración y Economía. Grupo Editorial Iberoamérica. 5
4. SWOKOWSKI, Earl W. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. 5. SHILOV, G.E. Cómo constuir gráficas. Editorial Limusa. 6. HOFFMANN LAURENCE D. Cálculo Aplicado para Administración, Economía, Contaduría y Ciencias Sociales. McGraw Hill.
6
2.
Examen
2.1.
Preguntas
EXAMEN DE CLASIFICACIÓN DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE LAS CARRERAS DE ADMINISTRACIÓN, CIENCIA POLÍTICA,CONTADURÍA PÚBLICA, Y RELACIONES INTERNACIONALES (2002-II) TIPO DE EXAMEN: B Llene con cuidado el encabezado de la hoja de respuestas, cuidando no doblarla, es importante poner el número de folio y el tipo de examen. Lea con cuidado los enunciados de las preguntas, puede hacer las operaciones sobre la carátula o sobre las hojas que se adjuntan. La calificación se obtiene sumando un punto por cada pregunta bien contestada y restando 0.25 por cada pregunta mal contestada. Las preguntas no contestadas no alteran el resultado acumulado. Para aprobar el examen se requieren al menos 15 puntos.
1. Al simplificar a)
−4x 5
4x2 + 12x hasta llegar a la mínima expresión se obtiene: 15x2 + 5x3 b)
4x 5
c)
4x (x + 12) x2 (15 + 5x)
d)
4 5x
2. Al desarrollar la expresión (x − 4)2 (x + 3) se obtiene: a) x3 + 2x2 − 15x − 36 b) x3 − 4x2 + 9x − 36 3 2 c) x − 5x − 8x + 48 d) −4x2 + 25x − 36 3. Al simplificar
µ
4y −2/3 x3/2
se obtiene: µ −2/3 −1/4 ¶−2 8y x a) x3/2 y 4/3 4. La expresión
¶3 µ
2x−1/4 y 4/3
b)
¶−3
hasta llegar a la mínima expresión
96 y 20/3 x4
c)
y4 x2
2x2 + 9x − 5 se puede simplificar como: 3x2 + 17x + 10
a)
2x2 + 9x − 1 3x2 + 17x + 2
b)
c)
(2x + 9) − 1 (3x + 17) + 2
d)
7
2x − 1 3x + 2
2x + 9 1 − 3x + 17 2
d)
8y 2 x15/4
5. Si f (x) = a)
a+2 a−2
x+2 , el valor de f (f (a)) es: x−2 3a − 2 a+2 b)− c) +2 a−6 a−2
6. Al ordenar los números a)
80 27 83 < < 39 13 39
c)
80 83 27 < < 39 39 13
d)
3a − 2 a−6
80 83 27 , y de menor a mayor se obtiene: 39 39 13 27 80 83 b) < < 13 39 39 d)
no se puede determinar
7. Un paquete grande de cereal contiene 440. g y cuesta $9,30. Un paquete supereconómico contiene 1080 g. y cuesta $22,80. De los dos paquetes es más conveniente comprar: a)El supereconómico
b)El grande
c)Cualquiera de los dos paquetes
d)Ninguna de las anteriores
2x + 5 x = 2 + , es: 4 6 9 35 b)x = c)x = 4 2
8. La solución de la ecuación a) x =
51 5
d)x =
29 5
9. Una ecuación de segundo grado que tiene como raíces a 1 y −5 es a)6(x + 1)(x − 5) = 0
b) 6(x − 1)(x + 5) = 0
c) 6(x − 1)(x − 5) = 0
d) 6(x + 1)(x + 5) = 0
10. La suma de las soluciones de las ecuaciones lineales 3x − 5y −x + 3y es: 3 a) 2
b) −
3 2
c) 4
= 2 = 1
d) −4
11. Cuatro hamburguesas grandes con queso y dos malteadas de chocolate cuestan $90,00. Las dos malteadas cuestan $2,50más que una hamburguesa. Si x es el costo de una hamburguesa y y el costo de una malteada, las ecuaciones con las que se puede encontrar el costo de cada hamburguesa y cada malteada son: a)
4x + 2y = 90 x + 2y = 2,50
b)
4x + 2y = 90 −x + 2y = 2,50
c)
4x + 2y = 90 x − 2y = 2,50
d)
4x + 2y = 90 x + 2y = −2,50
8
12. Las soluciones del sistema de ecuaciones: = −x2 + 10 = 0
y 3x − y son: a) x = 5, y = 15 x = 2, y = 6
b)
x = 5, y = 15 x = −2, y = −6
c) x = −5, y = −15 x = 2, y = 6
d) x = −5, y = −15 x = −2, y = −6
13. La solución de la ecuación 3−x = 27, es: a) x = −3
b) x = log(2)
c) x = 3
14. Las soluciones de la ecuación |x + 3| = x + 3 , son: a) {3, −3} c) R
b) {x ∈ R |x > 0} d) {x ∈ R |x ≥ −3}
9
d) x = −log(2)
15. La gráfica que representa al sistema de ecuaciones y y
= −(x − 2)2 + 30 = 5x
es: a) 20 -8
x -4
-6
-2
2
4
0 -20 -40 -60
b) 20 -12
-10
x
-8
-6
-4
-2
2
0 -20 -40 -60 -80 -100
b) 30 20 10 -6
-4
-2
0
2
x
4
-10 -20 -30
d) 50 40 30 20 10 -4
-2
0 -10
2
x
4
6
-20 -30
10
16. De las siguientes gráficas, la que corresponde a la gráfica de una función es: a) 6 5 4 3 2 1 -4
0
-2
2
4
x
-1
b) 4 y
-4
2
0
-2
2
4
x
-2 -4
c) 2 1 -1
1
x
2
3
4
5
0 -1 -2 y -3 -4 -5
d) 4 y
-1
2
0
1
2
3 x
4
5
6
-2 -4
11
√ 1 x + 1 + es: x a) R = {0} b) {x ∈ R | x ≥ −1 y x 6= 0} c) {x ∈ R | x > 0} d){x ∈ R |x ≥ −1}
17. El dominio de la función f (x) =
2x + 4 determina el valor en miligramos de una sub2x + 1 stancia en la sangre después de x horas. Un valor que nunca está en la imagen de esta función es:
18. La función f (x) =
a) 4
b) 2
c) 1
d) 8
19. Si la gráfica de una parábola intersecta al eje de las x en los puntos (−5, 0) y (3, 0), entonces un posible valor para el vértice de la parábola es: a) (−1, 5)
b) (1, 5)
c) (4, 1)
d) (−4, 1)
20. La función de ingreso de una compañía con respecto al número de artículos vendidos está representada en la siguiente gráfica 120000 100000 80000 y 60000 40000 20000 0
100
200 x
300
400
Al observar la gráfica se puede concluir que la proposición falsa es: a) b) c) d)
El ingreso por vender 100 artículos es de $4000. El máximo ingreso se obtiene al vender 200 artículos. El máximo ingreso es de $120,000. Si se venden 100 o 300 artículos se obtiene el mismo ingreso.
21. Si la siguiente gráfica corresponde a la función f (x) = de a es:
5 4 3 2 1 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12
√ ax + 4, el valor
a) 4
b) −2
c) 2
d) −4
22. Para la siguiente gráfica, 5 4 3 2 1
-4
-2
0
la ecuación correcta es: √ ¡ ¢− 1 a) y = x2 2 b) y = − x2
2
x
4
c) y = |x|
d) x = |y|
23. El inciso en el que aparece una ecuación que no corresponde a la recta de la gráfica 20 15 10 5 -4
-2
0
2
x
4
-5
es: x y + =1 −2 6 c) y = 3x + 6
a)
b) y = −3x + 6
d) −3x + y = 6 ¢ ¡√ 24. La solución de la ecuación log x3 + 36 = 1, es: √ √ b) 4 c) 64 d) 4 a) 3 100 25. El inciso en el que aparece la ecuación que corresponde a la gráfica
13
-3
-2
-1
0 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 -4.5 -5 -5.5 -6 -6.5
es: a)
(x − 2)2 (y − 4)2 + =1 4 9
b)
(x + 2)2 (y + 4)2 + =1 4 9
c)
(x − 2)2 (y − 4)2 + =1 9 4
d)
(x + 2)2 (y + 4)2 + =1 9 4
2.2.
Solución
1. d 2. c 3. d 4. b 5. b 6. a 7. c 8. b 9. b 10. c 11. b 12. c 13. a 14. c 15. a 16. a
14
17. b 18. c 19. a 20. a 21. c 22. c 23. b 24. d 25. b
15
