hiperbola - halapa.com

1 HIPERBOLA (m©h) hiperbola hiperbola je skup svih to čaka ravnine za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od dvije zadane (fiksne) to čke...

235 downloads 503 Views 87KB Size
HIPERBOLA

(m©h)

hiperbola hiperbola je skup svih točaka ravnine za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od dvije zadane (fiksne) točke te ravnine stalna (konstantna) središte hiperbole S(0, 0) žarišta ili fokusi: F1(– e, 0), F2 (e, 0) vrhovi ili tjemena: A(– a, 0), B(a, 0) realna ili glavna os hiperbole: │AB│ = 2a imaginarna os hiperbole: │CD│ = 2b, C(0, – b), D(0, b) realna poluos hiperbole: │AS│ = │SB│ = a

10

y 8

6

D

4

2

-15

-10

-5

F1 A

B

S -2

5

F2

10

x

15

-4

C

-6

-8

-10

imaginarna poluos hiperbole: │CS│ =│SD│ = b linearni ekscentricitet hiperbole: │F1S│ = │SF2│ = e, e 2 = a 2 + b 2 ⇒ e = numerički ekscentricitet hiperbole: ε =

a 2 + b2 a

e = a

,

a 2 + b2

e > a ⇒ ε >1

parametar hiperbole tetiva hiperbole koja prolazi fokusom i okomita je na realnu os 2 ⋅ b2 b2 duljina parametra: 2 p = , poluparametar: p = a a osna (kanonska) jednadžba hiperbole x2 y 2 − = 1 ili b 2 ⋅ x 2 − a 2 ⋅ y 2 = a 2 ⋅ b 2 a2 b2 vršna jednadžba hiperbole b2 y 2 = 2 ⋅ p ⋅ x + 2 ⋅ x2 a parametarska jednadžba hiperbole 1 , y = b ⋅ tg t , t − parametar x = a ⋅ c h t , y = b ⋅ s h t ili x = a ⋅ cos t jednadžba hiperbole sa središtem S(p, q), a osi 2a i 2b paralelne su s koordinatnim osima

( x − p)

2

( y − q)

2

− =1 a2 b2 međusobni položaj hiperbole i pravca

pravac je sekanta hiperbole pravac je tangenta hiperbole presjek pravca i hiperbole traže se njihove zajedničke točke (ako postoje) treba riješiti sustav jednadžbi

pravac ne siječe hiperbolu

  uvrstimo y iz prve   ⇒   ⇒ b ⋅ x − a ⋅ y = a ⋅b   u drugu jednadžbu  y = kx + l

2

2

2

2

2

2

 nakon sređivanja dobijemo  ⇒  :  kvadratnu jednadžbu  1

ako jednadžba ima dva realna rješenja, onda pravac siječe hiperbolu u dvije točke ako jednadžba ima dvostruko realno rješenje, onda je pravac tangenta ako jednadžba ima konjugirano kompleksna rješenja, onda se pravac i hiperbola ne sijeku

• • •

uvjet dodira pravca y = k · x + l i hiperbole b 2 ⋅ x 2 − a 2 ⋅ y 2 = a 2 ⋅ b 2 a2 ⋅ k 2 − b2 = l 2 koordinate dirališta  k ⋅ a2 b2  D − , −  l l   uvjet dodira pravca Ax + By + C = 0 i hiperbole b 2 ⋅ x 2 − a 2 ⋅ y 2 = a 2 ⋅ b 2

A2 ⋅ a 2 − B 2 ⋅ b 2 = C 2 jednadžba tangente u točki T(x0, y0) hiperbole x0 ⋅ x y0 ⋅ y − 2 = 1 ili b 2 ⋅ x0 ⋅ x − a 2 ⋅ y0 ⋅ y = a 2 ⋅ b 2 a2 b jednadžba normale u točki T(x0, y0) hiperbole a2 ⋅ y y − y0 = − 2 0 ⋅ ( x − x0 ) b ⋅ x0 simetričnost • hiperbola ima dvije osi simetrije • hiperbola ima jedno središte simetrije 10

y

D

8

6

tangenta i normala na hiperbolu simetrale su unutarnjeg i vanjskog kuta među radijus–vektorima dirališta:

n

4

2

x -10

-5

F1 A

B

S

5

-2

F2

10

15



20



F1 D i F2 D

-4

t

-6

-8

- 10

asimptote • pravci koji dodiruju hiperbolu u beskonačnosti • pravci kojima se grane hiperbole neograničeno približavaju pri udaljavanju u beskonačnost jednadžbe asimptota b b y = ⋅x , y =− ⋅x a a jednakostranična hiperbola

(

)

(

žarišta ili fokusi: F1 −a ⋅ 2, 0 , F2 a ⋅

asimptote: y = – x, y = x jednadžbe jednakostranične hiperbole x2 y 2 a = b ⇒ 2 − 2 = 1 ⇒ x2 − y 2 = a 2 a a žarišta i koordinatne osi ako su žarišta F1 i F2 na x-osi jednadžba hiperbole je: 2

2, 0

)

, vrhovi ili tjemena: A(– a, 0), B(a, 0)

ako su žarišta F1 i F2 na y-osi jednadžba hiperbole je:

2

x2 y 2 − = −1 b2 a2

x y − =1 a 2 b2

2

Jednadžba hiperbole kojoj su osi paralelne s koordinatnim osima, a koordinate središta su S(p, q) 2 2 ( x − p) − ( y − q) = 1 2 2 a b pol i polara hiperbole

y

k

P t1 p D2

x D1 k

t2

Polara je spojnica dirališta D1 i D2 tangenata povučenih iz točke P na hiperbolu k. Pravac p je polara točke P s obzirom na hiperbolu k. Točka P je pol pravca p (polare) s obzirom na hiperbolu k. Jednadžba polare točke P s obzirom na hiperbolu k glasi: 2 2 2 2 2 2 b ⋅ x − a ⋅ y = a ⋅b  



(

P x0 , y0 •

)

2

2

2 2 2 2 2 2 b ⋅( x − p) − a ⋅( y − q) = a ⋅ b  

(

P x0 , y0

)

2

 ⇒ b ⋅ x0 ⋅ x − a ⋅ y0 ⋅ y = a ⋅ b  2

(

)

2

2

(

)

2

 ⇒ b ⋅ x0 − p ⋅ ( x − p ) − a ⋅ y0 − q ⋅ ( y − q ) = a ⋅ b 

3

2