HIPERBOLA
(m©h)
hiperbola hiperbola je skup svih točaka ravnine za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od dvije zadane (fiksne) točke te ravnine stalna (konstantna) središte hiperbole S(0, 0) žarišta ili fokusi: F1(– e, 0), F2 (e, 0) vrhovi ili tjemena: A(– a, 0), B(a, 0) realna ili glavna os hiperbole: │AB│ = 2a imaginarna os hiperbole: │CD│ = 2b, C(0, – b), D(0, b) realna poluos hiperbole: │AS│ = │SB│ = a
10
y 8
6
D
4
2
-15
-10
-5
F1 A
B
S -2
5
F2
10
x
15
-4
C
-6
-8
-10
imaginarna poluos hiperbole: │CS│ =│SD│ = b linearni ekscentricitet hiperbole: │F1S│ = │SF2│ = e, e 2 = a 2 + b 2 ⇒ e = numerički ekscentricitet hiperbole: ε =
a 2 + b2 a
e = a
,
a 2 + b2
e > a ⇒ ε >1
parametar hiperbole tetiva hiperbole koja prolazi fokusom i okomita je na realnu os 2 ⋅ b2 b2 duljina parametra: 2 p = , poluparametar: p = a a osna (kanonska) jednadžba hiperbole x2 y 2 − = 1 ili b 2 ⋅ x 2 − a 2 ⋅ y 2 = a 2 ⋅ b 2 a2 b2 vršna jednadžba hiperbole b2 y 2 = 2 ⋅ p ⋅ x + 2 ⋅ x2 a parametarska jednadžba hiperbole 1 , y = b ⋅ tg t , t − parametar x = a ⋅ c h t , y = b ⋅ s h t ili x = a ⋅ cos t jednadžba hiperbole sa središtem S(p, q), a osi 2a i 2b paralelne su s koordinatnim osima
( x − p)
2
( y − q)
2
− =1 a2 b2 međusobni položaj hiperbole i pravca
pravac je sekanta hiperbole pravac je tangenta hiperbole presjek pravca i hiperbole traže se njihove zajedničke točke (ako postoje) treba riješiti sustav jednadžbi
pravac ne siječe hiperbolu
uvrstimo y iz prve ⇒ ⇒ b ⋅ x − a ⋅ y = a ⋅b u drugu jednadžbu y = kx + l
2
2
2
2
2
2
nakon sređivanja dobijemo ⇒ : kvadratnu jednadžbu 1
ako jednadžba ima dva realna rješenja, onda pravac siječe hiperbolu u dvije točke ako jednadžba ima dvostruko realno rješenje, onda je pravac tangenta ako jednadžba ima konjugirano kompleksna rješenja, onda se pravac i hiperbola ne sijeku
• • •
uvjet dodira pravca y = k · x + l i hiperbole b 2 ⋅ x 2 − a 2 ⋅ y 2 = a 2 ⋅ b 2 a2 ⋅ k 2 − b2 = l 2 koordinate dirališta k ⋅ a2 b2 D − , − l l uvjet dodira pravca Ax + By + C = 0 i hiperbole b 2 ⋅ x 2 − a 2 ⋅ y 2 = a 2 ⋅ b 2
A2 ⋅ a 2 − B 2 ⋅ b 2 = C 2 jednadžba tangente u točki T(x0, y0) hiperbole x0 ⋅ x y0 ⋅ y − 2 = 1 ili b 2 ⋅ x0 ⋅ x − a 2 ⋅ y0 ⋅ y = a 2 ⋅ b 2 a2 b jednadžba normale u točki T(x0, y0) hiperbole a2 ⋅ y y − y0 = − 2 0 ⋅ ( x − x0 ) b ⋅ x0 simetričnost • hiperbola ima dvije osi simetrije • hiperbola ima jedno središte simetrije 10
y
D
8
6
tangenta i normala na hiperbolu simetrale su unutarnjeg i vanjskog kuta među radijus–vektorima dirališta:
n
4
2
x -10
-5
F1 A
B
S
5
-2
F2
10
15
→
20
→
F1 D i F2 D
-4
t
-6
-8
- 10
asimptote • pravci koji dodiruju hiperbolu u beskonačnosti • pravci kojima se grane hiperbole neograničeno približavaju pri udaljavanju u beskonačnost jednadžbe asimptota b b y = ⋅x , y =− ⋅x a a jednakostranična hiperbola
(
)
(
žarišta ili fokusi: F1 −a ⋅ 2, 0 , F2 a ⋅
asimptote: y = – x, y = x jednadžbe jednakostranične hiperbole x2 y 2 a = b ⇒ 2 − 2 = 1 ⇒ x2 − y 2 = a 2 a a žarišta i koordinatne osi ako su žarišta F1 i F2 na x-osi jednadžba hiperbole je: 2
2, 0
)
, vrhovi ili tjemena: A(– a, 0), B(a, 0)
ako su žarišta F1 i F2 na y-osi jednadžba hiperbole je:
2
x2 y 2 − = −1 b2 a2
x y − =1 a 2 b2
2
Jednadžba hiperbole kojoj su osi paralelne s koordinatnim osima, a koordinate središta su S(p, q) 2 2 ( x − p) − ( y − q) = 1 2 2 a b pol i polara hiperbole
y
k
P t1 p D2
x D1 k
t2
Polara je spojnica dirališta D1 i D2 tangenata povučenih iz točke P na hiperbolu k. Pravac p je polara točke P s obzirom na hiperbolu k. Točka P je pol pravca p (polare) s obzirom na hiperbolu k. Jednadžba polare točke P s obzirom na hiperbolu k glasi: 2 2 2 2 2 2 b ⋅ x − a ⋅ y = a ⋅b
•
(
P x0 , y0 •
)
2
2
2 2 2 2 2 2 b ⋅( x − p) − a ⋅( y − q) = a ⋅ b
(
P x0 , y0
)
2
⇒ b ⋅ x0 ⋅ x − a ⋅ y0 ⋅ y = a ⋅ b 2
(
)
2
2
(
)
2
⇒ b ⋅ x0 − p ⋅ ( x − p ) − a ⋅ y0 − q ⋅ ( y − q ) = a ⋅ b
3
2
