Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato
1
TEMA 2 – MATRICES OPERACIONES CON MATRICES 5 4 2 EJERCICIO 1 : Dada la matriz A 2 1 1 , comprueba que A2 = 2A – I, siendo I la matriz identidad. Usando la 4 4 1 4 fórmula anterior, calcula A . 2 5 4 2 9 8 4 1 2 1 1 4 3 2 4 4 1 4 4 1 8 8 3 2 Solución: Comprobamos que A = 2A - I: 10 8 4 1 0 0 9 8 4 2A I 4 2 2 0 1 0 4 3 2 8 8 2 0 0 1 8 8 3 Utilizando que A2 = 2A - I, calculamos A4: A4 = (A2)2 = (2A - I)2 = 4A2 - 4AI + I2 = 4(2A - I) - 4A + I = 8A - 4I + 4A - I = 4A - 3I 5
A2 2
5
4 1
4
4
Por tanto: A 4 4A 3I 4 2
4 1
Son iguales.
2 1 0 0 20 16 8 3 0 0 17 16 8 1 30 1 0 8 4 4 0 3 0 8 7 4 16 16 7 1 0 0 1 16 16 4 0 0 3
1 2 Satisface la igualdad A2 + xA + yI = 0, halla los valores numéricos de x e y (I EJERCICIO 2 : Si la matriz A 3 4 representa la matriz identidad de orden 2.
Solución: 1 2 1 2 5 10 Calculamos A 2 : A 2 3 4 3 4 15 10 10 2x 0 0 5 10 1 2 1 0 5 x y x y Así: A 2 xA yI 15 10 3 4 0 1 15 3x 10 4x y 0 0
5 x y 0 10 2x 0 Luego, ha de ser: 15 3x 0 10 4x y 0
y 5 x 5 5 10
x 5 x 5
y 10 4x 10 20 10
Por tanto: x = 5; y = 10 2 3 , halla el valor que deben tener “x” para que A2 - xA + EJERCICIO 3 : Si I es la matriz identidad de orden 2 y A = 2 1 yI = 0
Solución: Calculamos A 2 xA yI e igualamos a 0: 2 3 2 3 2 9 A 2 2 1 2 1 6 5 9 3x 0 0 2 9 2 3 1 0 2 2x y x y A 2 xA yI 5 x y 0 0 6 5 2 1 0 1 6 2x
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato 2 2x y 0 9 3x 0 Así, tenemos que ha de ser: 6 2x 0 5 x y 0
2
y 2 2x 2 6 8
x 3 x 3
y 5 x 5 3 8
Por tanto: x = 3, y = 8
0 1 0 EJERCICIO 4 : Dada la matriz: A 1 0 1
a) Calcula A t A y AA t , donde A t denota la matriz traspuesta de A. x b) Encuentra las matrices de la forma X , tales que : AAt X X y a c) Encuentra todas las matrices de la forma Y b , tales que : At AY Y c Solución: a) La matriz transpuesta de A es: 0 1 A t 1 0 . Por tanto: 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 t 0 1 0 A A 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 AA t 1 0 1 0 1 0 2 b) Imponemos la condición dada: 1 0 x x x x x x AA t X X 0 2 y y 2 y y 2 y y y 0 x Por tanto: X , donde x R. 0
c) A t AY Y
1 0 1 a a c a 0 1 0 b b b 1 0 1 c a c c
a c a b b a c c
c0
0 Por tanto: Y b , donde b R. 0 a0
PROBLEMAS CON MATRICES EJERCICIO 5 : Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La evolución de los precios de los años 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B. a) Hallar, si es posible, A · B y B · A e indicar que información proporciona el producto matricial. b) ¿Qué información nos da el elemento c 34 de la matriz producto? PAN
AGUA LECHE
F1 450 800 650 A F2 500 810 620 F3 200 500 600
1997 1998 1999 2000
85 90 90 95 B AGUA 28 30 30 35 LECHE 70 72 75 80 PAN
Solución: a) La matriz A es 3 3 y la B es 3 4. Para poder efectuar el producto de dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Por tanto, el producto B · A no se puede hacer, pero el A · B sí.
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato PAN AGUA LECHE
1997 1998 1999 2000
3 1997
1998
1999
2000
F1 450 800 650 PAN 85 90 90 95 F1 106150 111300 113 250 122 750 A B F2 500 810 620 AGUA 28 30 30 35 F2 108 580 113140 115 800 125 450 F3 200 500 600 LECHE 70 72 75 80 F3 73 000 76 200 78 000 84 500 La matriz A · B nos da el gasto anual de cada familia en el total de los tres productos durante los años 1997 a 2000. b) El elemento c 34 84 500, correspond e a la familia tercera en el año 2000; es decir, nos indica el gasto total de esta familia en los tres productos durante ese año.
EJERCICIO 6 : En una acería se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se obtienen a partir de chatarra, carbón mineral y ciertas aleaciones metálicas, según la tabla adjunta, que representa las unidades de cada material necesaria para fabricar una unidad de producto:
Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones necesarias para la producción de 6 unidades de A, 4 de B y 3 de C. Solución: Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos: A
B
C
CHATARRA 8
6 6 A 6 CHATARRA 90 6 4 B 4 CARBÓN 72 ALEACIONES 2 1 3 C 3 ALEACIONES 25 Es decir, necesitaremos 90 unidades de chatarra, 72 de carbón mineral y 25 de aleaciones.
CARBÓN 6
EJERCICIO 7 : En una compañía se utilizan tres tipos de materiales (madera, plástico y aluminio) para fabricar tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás, según la tabla:
Obtén, matricialmente, las unidades de madera, de plástico y de aluminio que se han utilizado para fabricar 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás. Solución: Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos: SILLA MECED. SOFÁ
1 1 SILLAS 1 100 MADERA 400 PLÁSTICO 1 1 2 MECEDORAS 100 PLÁSTICO 600 200 ALUMINIO 1 500 ALUMINIO 2 3 5 SOFÁS Es decir se han utilizado 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1 500 de aluminio. MADERA
EJERCICIO 8 : Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1; 1,5 y 2 cm con los precios respectivos siguientes: Clavos A: 0,20 0,30 0,40 céntimos de euro Clavos Q: 0,30 0,45 0,60 céntimos de euro Clavos H: 0,40 0,60 0,80 céntimos de euro Sabiendo que en un minuto se producen: De 1 cm de longitud: 100A 50Q 700H De 1,5 cm de longitud: 200A 20Q 600H De 2 cm de longitud: 500A 30Q 400H Se pide:
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato
4
a) Resume la información anterior en dos matrices: M y N. M que recoja la producción por minuto, y N que recoja los precios. b) Calcula el elemento a11 de la matriz M · N y da su significado. c) Calcula el elemento a11 de la matriz N · M y da su significado. Solución: 1
a) Unidades producidas por minuto:
1,5
2
A 100 200 500 Q 20 20 30 M H 700 600 400 A Q H
1 0, 20 0,30 0,40 1,5 0,30 0,45 0,60 N 2 0, 40 0,60 0,80 b) a11 = 100 · 0,20 200 · 0,30 500 · 0,40 = 280 céntimos.
Precios (en céntimos de euro):
Producen 280 céntimos de euro de clavos de aluminio por minuto. c) a11 = 0,20 · 100 0,30 · 50 0,40 · 700 = 315 céntimos. Producen 315 céntimos de euro de clavos de 1cm por minuto. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Buscar alguna sin inversa EJERCICIO 9 : Calcula la inversa de las siguientes matrices: 6 0 1 3 1 2 2 3 1 A 2 1 7 . B = 2 1 2 C 2 1 1 1 2 1 0 5 2 0 2 0 Solución: 1 2
3 1
6 7
1 0
0 1
0 0 1
a
3 6 1 0 0 1 2 2 1 0 5 5 2 1 0 a a 1 2 1 0 0 3 1 0 5 7 1 0 1 a a 1 0 0 1 33 1 3 0 4 3 3 a a 2 1 0 22 53 0 10 0 9 7 5 a 0 1 1 1 3 0 2 1 1 1 1 13 9 15 a 1 1 0 0 a a 10 10 10 10 10 1 3 2 10 0 0 13 9 15 1 9 7 5 a a 2 0 10 0 9 7 5 2 0 1 0 10 10 10 10 a 0 3 0 2 1 1 1 1 a 1 1 1 3 0 0 1 2 2 2 2 13 9 15 1 1 Por tanto, A 9 7 5 . 10 5 5 5 La inversa de B: 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 2 1 2 0 1 0 F2 F2 2F1 0 5 2 2 1 0 F3 F3 F2 0 5 2 2 1 0 0 5 2 0 0 1 0 5 2 0 0 1 0 0 0 2 1 1 No tiene inversa porque la tercera fila es nula. a 1 0 0 1 1 0 0 2 3 1 2 3 1 a La inversa de C: 2 1 1 0 1 0 2 1a 0 4 2 1 1 0 a 0 0 2 0 0 0 1 3 2 0 0 0 1 La inversa de A: a 1 3 6 1 a 2 0 5 5 a a 3 2 0 0 2
1
a
a
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato 1
2
a a
a
23 2
a
3 1 4 2
2 0 0
0
1 1
2
0 1
1 a
1 3
2 3
a
a a
8 0 0
0 4 0
0 0 2
2 0 1
2 0 1
a
0 0 2
1
1
2 2 2
8 1 4 1
5
4 1 3 2 a
2 3 3 1
2
a
3
a
a
a
1 0 0
a
2
a
8 0 0
0 4
2 0
1 0
3 0
0
2
1
1
0
0
1 4
1 4
1
0
0
0
0
1
1 2
1 2
0 2 2
1 4 1 2
1 1 1 Así, C 1 1 0 0 2 . 4 2 2 4 1
CALCULAR LA POTENCIA N-ÉSIMA DE UNA MATRIZ 0 a b EJERCICIO 10 : Se considera la matriz: A 0 0 c , donde a, b y c son tres números reales arbitrarios. 0 0 0
a) Encuentra An para todo natural n.
2
b) Calcula A 35 A .
Solución: a) A1 A 0 a b 0 a b 0 0 c 0 0 c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ac 0 a A3 A 2A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A2 0
0 ac 0 0 0 0 b 0 0 0 c 0 0 0 0 0 0 0
Por tanto, como A 3 0, tenemos que A n 0 para n 3.
b) Teniendo en cuenta lo obtenido en a): A 35 A
0 0 ac 0 0 0 0 0
2 0 A2 A 2 A 2 0
RESOLVER ECUACIONES MATRICIALES 2 0 1 EJERCICIO 11 : Dadas las matrices: A 1 3 0 5 1 3 1 3 9 1 a) Comprueba que A 1 3 1 1 4 14 2 6 Solución:
y
1 1 B = 2 1 0 3
b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.
a) Se trata de probar que A A 1 I, donde I es la matriz identidad de orden 3. Efectuamos el producto: 1 3 1 3 2 0 1 9 2 0 1 9 4 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 3 0 3 1 1 0 4 0 0 1 0 , como queriamos demostrar. 1 3 0 3 5 1 3 4 14 2 6 4 5 1 3 14 2 6 4 0 0 4 0 0 1
b) Despejamos X en la igualdad AX B, multiplicando por la izquierda por A 1: A 1 AX A 1B IX A 1B X A 1B 3 1 1 11 1 1 2 1 1 4 4 18 14 2 6 0 3 9
1 Por el apartado a), conocemos A 1 ; luego: X 3
1 1
1 11 / 4 1 / 4 1 1 / 4 1 / 4 2 9 / 2 1 / 2
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato
6
3 0 1 1 EJERCICIO 12 : Halla la matriz X que verifica BX = A, siendo B 1 0 2 y A 2 . 0 1 0 4
Solución: Despejamos X multiplicando por la izquierda por B-1: B 1BX B 1 A
a
2 3
a a
Como B
1
a
15 0 0
0 1
0 0
6 0
0
5
1
6 1 0 15 3
3 0 0 15 , 9 0
X B 1 A
a 1 0 1 1 0 0 3 0 1 1 0 0 3 a a 3 0 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 a a a 2 1 0 2 0 1 0 3 3 1 0 0 5 1 3 0 6 3 1 0 0 0 a 1 1 15 15 3 0 6 3 0 15 a 1 1 0 1 2 0 1 0 0 0 1 B 0 0 15 15 1 a 3 0 3 1 3 3 9 0 5 0 0 1 0 5 5 6 3 0 1 12 4 / 5 1 1 X 0 15 2 . Así: X 0 60 X 4 15 15 7 / 5 0 4 3 9 21
3 0 1 1 0 0 1 Hallamos B : 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 5 1 3
1
a
1 2 3 1 y B . EJERCICIO 13 : Resuelve la ecuación matricial XA = B, siendo A 0 1 0 2
Solución: Despejamos X multiplicando por A-1 por la derecha: XAA 1 BA 1 F 2F2 1 1 2 1 0 1 Hallamos A 1: F2 0 1 0 1 0 3 1 1 2 3 7 X Así: X 0 2 0 1 0 2
0
1
1
0
2 1
X BA 1
1 2 A 1 0 1
1 2 1 5 EJERCICIO 14 : Halla la matriz X que verifica AX + B = 0, siendo A 2 4 3 , B 2 y 0 la matriz nula. 3 5 2 1
Solución: Despejamos X: AX B
A 1 AX A 1 B
a a 2 2 1 1 2 1 1 0 0 Calculamos la inversa de A: 2 4 3 0 1 0 a a 3 5 2 0 0 1 3 3 1 2 1 1 0 0 1 a a Intercambiamos las filas 2 y 3 : 0 1 1 3 0 1 0 0 1 2 1 0 a a 0 1 5 0 2 1 3 1 0 0 7 1 0 1 1 3 0 1 2 a 3 a 0 1 0 5 a 0 0 0 1 2 0 1 2 1 0 3 7 1 2 5 35 35 X 5 1 1 2 26 X 26 2 1 0 1 12 12
IX A 1B 1 0
2 0
1 1
0
1 a
X A 1B
1 2
0 1
1 3
0
2 1 2 0 1 a 3 0 0 1 2 1 1 Por tanto, 1 0 1
a
1 1 1 A 1
0 0 1 1 3
0 0
0 a 1 2 2a 1 2 1 0 2 7 1 5 1 1 . 2 1 0
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato
7
RESOLVER SISTEMAS MATRICIALES 5 4 0 7 EJERCICIO 15 : Resuelve el siguiente sistema matricial: 3 X 2Y 5 9 0 ; 2X Y 6 15 4 4 10 Solución: 5 4 1 2 0 7 3 X 2 X A Llamamos: A 5 9 0 y B 6 6 7 Así, el sistema queda: 2 X X B X 15 4 4 10 5 2 1 3 X 2 B 2 X A 3 X 2B 4 X A 7 X A 2B X A 2B 7 2 2 4 3 2 1 Y B 2 X B A 2B B A B B A 3B 2 A 7 7 7 7 7 7 Por tanto: 0 5 4 1 2 7 0 1 0 7 14 2 1 1 1 X A 2B 5 9 0 2 6 6 7 7 21 14 1 3 2 7 7 0 5 2 7 35 14 0 5 2 0 15 4 4 7 1 2 1 1 Y 3B 2A 3 6 6 7 2 7 7 10 5 2
5 4 0 21 7 14 3 1 2 1 9 0 28 0 21 4 0 3 5 15 4 4 7 0 0 1 2 7 14
EJERCICIO 16 : Halla la matriz X 2 + Y 2, donde X e Y son dos matrices cuadradas de orden dos, 0 2 1 1 verificando: 5 X 3Y 3 X 2Y 4 15 2 9 Solución: 0 2 1 1 y B . Tenemos que resolver el sistema: Llamamos A 4 15 2 9 a 5X 3Y A 3 1 a 15X 9Y 3A 2 1 10X 6Y 2A a a 3X 2Y B 52 15X 10Y 5B 32 9X 6Y 3B Sumando: Y 5B 3A Sumando: X 2A 3B Por tanto: 0 2 1 4 0 3 3 1 3 2 3 X 2 4 15 2 9 8 30 6 27 2 3 5 6 0 1 5 1 1 2 0 5 3 Y 5 0 2 9 4 15 10 45 12 45 2 Calculamos X 2 e Y 2 : 1 3 1 3 5 12 1 5 1 5 9 5 ; Y 2 X 2 0 2 0 2 10 2 3 2 3 8 3 2 5 14 17 5 12 9 Luego: X 2 Y 2 8 3 2 10 10 7
HALLAR LAS MATRICES QUE COMUTAN CON UNA DADA EJERCICIO 17 : 2 0 , hallar las matrices que conmutan con A. a) Dada A 1 0 b) Escribe una matriz que conmute con A. Solución:
1 6
2 7 5 2
B 2X
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato 2 0 a a) 1 0 c 2a 2a b 2b 0 a 2c d b0
b a b 2 0 d c d 1 0
b0 a 2c d
8
2a 2b 2a b 0 b 2c d 0 a
2c d 0 c, d R Por tanto, X d c
3 0 b) Por ejemplo, si c 1 y d 1: X 1 1
COMBINACIÓN LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES EJERCICIO 18 : Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores: u1 1, 1, 1, 1; u 2 2, 3, 2, 1; u3 1, 3, 1, 1 Solución: Estudiemos el rango de la matriz cuyas filas son los tres vectores dados. El rango coincide con el número de vectores linealmente independientes. a a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a 3 2 1 2 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 2 0 a a a a 1 3 1 1 3 1 0 2 0 2 3 22 0 0 0 0 Por tanto, el rango de la matriz es 2. Luego, hay dos vectores linealmente independientes; el tercero se puede escribir como combinación lineal de los otros dos. Los tres vectores u1, u 2 , u 3 son linealmente dependient es. RANGO DE UNA MATRIZ EJERCICIO 19 : Halla el rango de las siguientes matrices: 3 0 1 4 2 5 2 1 1 2 1 2 1 1 0 1 a) M b) A 1 8 6 19 1 8 9 6 3 1 2 1 5 10 15 6 1 1 3 0 2 3 1 1 1 1 1 1 1 0 2 1 d) A e) M 1 2 3 1 4 9 7 1 2 1 2 0 7 9 1 4 Solución: a a 0 1 2 1 1 1 1 4 2 5 a a a 1 2 5 1 1 4 2 1 1 1 0 a) a a a 1 8 6 19 8 6 19 3 1 3 1 a a a 3 1 2 1 1 2 1 4 3 4 31 a 1 1 1 1 0 a 2 0 3 2 6 . Por tanto, ran M 3. a a 0 0 0 0 3 32 a a 0 14 30 3 4 4 2 0 0 2 1 3 2 1 2 1 b) 1 8 9 6 5 10 15 6
a
2 1 2 1 a 1 3 0 1 2 a 9 6 3 1 8 a 4 5 10 15 6 2
1 1 1 0 0 3 2 6 0 9 6 18 0 4 2 2
a
2 1 2 1 5 5 4 2 2 1 0 a a 0 10 10 8 3 1 a a 4 5 1 0 20 20 16 1
a
0 2 4 7 1 0 1 0 c) A 2 7 2 2 1 7 1 2
a
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato a
1 2 2 0 5 a a 0 3 22 0 a a 0 4 4 2 0 0 2 4 7 1 0 1 0 c) 2 7 2 2 1 7 1 2 a 1 1 0 1 a 2 0 7 4 a a 0 3 2 0 0 a a 4 2 0 0 4 1
a
1 3 0 1 1 1 d) 1 2 3 2 1 2 a 1 1 a 2 0 a a 0 3 2 a a 4 2 0
e) 2 1 4 7
1
2 5 4 . Por tanto, ran A 2. 0 0 0 0 a a 0 1 0 2 1 1 a a a 7 0 2 1 4 2 4 1 a a a 7 2 2 3 2 3 2 1 a a a 1 2 4 1 7 4 1 0 2 . Por tanto, ran A 3. 0 0
1 1 1 0 1 1 3 0
4 0
0
0
1 0 2 1 9 7 1 9 1 4 a 1 1 a 2 0 a a 0 3 32 a a 4 32 0 3 1
2
9
1 3 4
0 2 3 5 0 0 0 0
a a a a
a 1 1 1 1 1 a a 0 1 1 1 3 2 3 1 a a a 1 2 3 1 3 3 1 a a a 2 0 4 2 1 4 2 1 1 2 . Por tanto, ran A 2. 0 0
2
a
a
1 2 4 7 1 1 . 0 0
0 2
1 3 1 1 9 7 1 9 1 4
a
a
1 2 2 1 0 a a 0 3 4 1 a a 4 7 1 0 1
a
1 0 1 0 0 7 4 2 0 7 4 2 0 7 0 2
1 1 1 1 0 3 4 2 0 3 4 2 0 3 4 2
0
2
1 3 5 1 9 15 3 9 15 3
Por tanto, ran M 2.
EJERCICIO 20 : Halla el rango de las siguientes matrices: 7 0 1 4 2 4 0 2 1 3 1 1 0 1 0 1 B 1 2 1 2 C A 1 8 6 2 7 2 1 8 9 6 3 1 7 1 1 2
3 D 1 1
0 1
1 1
2
3
1 2 1 E 1 4 1
3 0
1 2
9
7
1 1 1
Solución: A B
a a 2 1 0 2 1 1 1 1 a a a 1 1 0 4 2 3 1 1 2 1 0 a a a 1 8 6 1 8 6 0 9 3 3 1 a a a 3 1 2 1 2 4 4 3 4 3 1 0 a a 2 1 3 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1a 2 1 3 0 2 a 2 1a a a a 1 8 9 6 3 1 8 9 6 3 1 Por tanto, ran (B) = 2.
1
4
a 0 1 1 1 0 a 2 2 0 3 2 ran (A) = 3. a a 0 6 0 0 3 3 2 a a 2 0 14 3 4 4 2 0 a 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a 0 5 5 4 2 0 5 5 4 a a 0 10 10 8 3 22 0 0 0 0
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato
10
a a 0 0 1 0 1 2 1 1 1 a a a 0 1 7 0 7 4 1 4 2 4 1 0 a a a 7 2 2 7 2 0 7 4 3 3 2 1 a a a 7 1 7 1 7 0 4 1 4 1 0 a a 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a 1 1 1 1 3 0 1 1 2 3 1 0 3 4 a a a 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 0 3 4 ran (D) = 2. a a 3 1 1 2 1 0 2 1 1 2 1 1 0 a a a 0 2 1 1 2 3 1 1 2 2 1 0 3 5 1 a a a 9 7 1 3 4 9 7 1 3 4 1 0 9 15 3 ran (E) =2.
4 1 C 2 1 3 D 1 1 Por tanto, 2 E1 4 Por tanto,
7
a
2 a a 3 2 a 4 1 2 2 1
a
1
0
1 0 7 4 ran (C) = 3. 0 0 0 0 7 0 a 1 1 1 1 1 a 2 0 3 4 2 a a 3 2 0 0 0 0 1
2
a a
a
3 3 2
a
1 0 0
0 3
2 5
0
0
1 1 0
EJERCICIO 21 : 0 1 2 1 1 3 a) Halla el rango de la matriz: A 3 1 4 4 2 1 b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores: u1 2, 1, 3, 4 ; u 2 0, 1, 1, 2 y u3 1, 3, 4, 1
Solución: a) 2 1 3 4
a a 1 3 2 1 1 1 1 1 3 a a a 1 3 0 1 2 5 1 2 2 2 1 0 a a a 1 4 3 1 4 0 4 13 3 3 3 1 a a a 2 1 2 1 6 13 4 4 4 4 1 0 a a 3 3 1 1 1 1 1 1 a a 2 5 2 5 2 2 0 0 a . Por tanto, ran A 3. a a 0 0 0 3 0 3 3 22 3 a a a a 0 2 0 0 4 32 0 34 23 0 b) Observamos que las columnas de la matriz A coinciden con los vectores u1 , u 2 , u 3 . El número de vectores linealmente independientes es el rango de A. Por tanto, los vectores son linealmente independientes.
0
EJERCICIO 22 : Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores u1 2, 1, 0, 1; u2 1, 0, 2, 1; u3 5, 4, 6, 7 y di cuál es el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u2 , u3 . Solución: Estudiamos el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u 2 , u 3 : a 1 2 1 0 2 1 2 1 0 a 2 1 1 2 1 0 1 1 0 a 5 4 6 7 3 5 4 6 7
1
a
a
a
a
a
2 2 1 3 51
1 0 0 1 0 4
2 4 16
1 3 12
a
2 1 1 0 0 1 4 3 . Por tanto, el rango de la matriz es 2. a a 3 42 0 0 0 0 Esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Hay dos vectores linealmente independientes y el tercero depende de ellos. 1
2
a
EJERCICIO 23 : Calcula el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente 2 1 2 3 independientes: A 1 1 1 2 1 6 5 6 Solución:
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato
11
Calculamos el rango de la matriz dada: a a 2 1 2 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1a 3 2 1 2 2 a 3 1a 1 1 a a a 1 6 5 6 3 1 6 5 6 3 1 a 1 1 2 1 1 a 2 5 4 4 . Por tanto, ran A 2. 0 a a 3 2 0 0 0 0 Esto significa que hay dos columnas linealmente independientes en A;
1 2 1 1 5 4 4 0 0 5 4 4
las otras dos dependen linealmente de ellas.
EJERCICIO 24 : Estudiar el rango de las siguientes matrices, en función de los valores de los parámetros: a 1 0 3 1 1 a 2 a a 1 3 1 a A B 2 a 1 C 3 2 0 D E 1 a 1 . 4 2 a 2 a 1 3 2 a 1 a 1 0 a 1 Solución: 1 A: Aplicamos el método de Gauss: a a 2 Hacemos 4 a 2 0 a 2 1 2 1 o Si a 2, 0 0 0 1 2 o Si a 2, 0 0 o Si a 2, ran C = 2. 1 B: Aplicamos el método de Gauss: 2 3 a 7 Hacemos a 2 9a 14 0 a 2
a 1 2
a 4
2 a 1 1
a
a
a
1 0
a 4a2
a 1 a a 2 2
ran A 1
3 4
ran A 2
0 3 a 1 2 a
1
a
a
a
a
a
2 2 1 3 3 1
Si a 7 y a 2, ran B = 3 1 0 3 o Si a 7, 0 7 7 ran B 2 0 0 0 a 1 1 1 a C: Aplicamos el método de Gauss: 3 2 0 2 a 3 1 a a a 1 a 1 3 1 a 1 Hacemos 3a 2 2a 1 0 a 1 / 3
3 1 0 7 0 a 0 2 a 9
1 2
a a
a
a 3 22
a
3 1 0 7 0 a 0 0 a 2 9a 14
o
o
1 1 1 Si a 1, 0 1 3 0 0 0
1 0 3 Si a 2, 0 2 7 0 0 0 a 1 a 1 1 a 2 0 1 3a a a 0 a 1 1 a 3 a 12
o
a 3 Hacemos a 2 a 6 0 a 2
a 1 1 3a 0 1 0 0 3a 2 2a 1
1 1 1 3 1 Si a , 0 1 1 3 0 0 0
ran C 2
1 Si a 1 y a , ran C 3. 3 3 a D: Aplicamos el método de Gauss: 2 a 1
ran B 2
a
3 a 2 a 2 2 1 0 a a 6 1
a
a
ran C 2
Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato o o
12 2 3 Si a 2, 0 0
3 3 ran D 1 Si a 3, 0 0 Si a 3 y a 2, ran D = 2.
ran D 1
a
1
a a 2 2 a a E: Aplicamos el método de Gauss: 1 a 1 2 2 1 0 a 2 a 0 0 a 1 3 a 1 La tercera fila se anula si a = 1 y la segunda, si a = 2. Estudiamos estos dos casos: 2 1 2 o Si a 1, 0 3 ran E 2 Si a 2, 0 0 0 0 Por tanto, ran D = 2 cualquiera que sea el valor de a.
2 0 3
ran E 2
