Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED)
Curso 2013/2014
Optimización con restricciones de desigualdad: Condiciones de Kuhn-Tucker Hasta ahora, hemos estudiado como maximizar o minimizar una función sujeta a restricciones en forma de ecuaciones de igualdad. En esta sección, nos ocuparemos de problemas de programación no lineal, con restricciones en forma de desigualdad. Los programas con restricciones de desigualdad, tienen una historia mucho más reciente que los programas analizados anteriormente. Las características y métodos de resolución de estos, se empiezan a dar a conocer en los años cincuenta de este siglo, mientras que los programas con restricciones de igualdad o sin restricciones conforman la optimización clásica, y han sido utilizados desde el siglo XVIII.
Los métodos teóricos de resolución de los programas no lineales, con restricciones de desigualdad, son conocidos a partir de los trabajos de los matemáticos norteamericanos Kuhn y Tucker, publicados en 1951.
Este tipo de programas representan con más fidelidad, las circunstancias en las que se desenvuelve la actividad económica, ya que normalmente se dispone de cantidades limitadas de recursos - más de una vez habremos leído que la economía es la ciencia de la escasez pero sin la obligación de emplearlas en su totalidad, si ello no resulta necesario. Así, este nuevo tipo de programas, nos posibilita obtener soluciones óptimas que no saturen1 necesariamente todas las restricciones, pudiendo quedar recursos que no sea necesario utilizar hasta su agotamiento. Consideremos el problema sencillo de programación no lineal:
Un punto factible ( , ) satura o activa la restricción ( , ) ≤
caso contrario
( , )<
cuando se verifique que ( , ) = . En
diremos que ( , ) no satura la restricción.
1
1
( , )≤
Página
max ( , )
Cursso 2013/201 14
Matemáticas Avan nzadas parra la Econoomía Manuell Sánchez Sánchez S (U UNED)
Lo prim mero que haremos es escribir unn procedimiiento, que nos n permitaa obtener to odos los puntos ( , ) quue pudieran n resolver el probleema. Este procedimieento establlece las ker, que son condicionnes necesarrias para denominnadas conddiciones neccesarias de Kuhn-Tuck que un ppunto - que cumple la hipótesis d de cualifica ación de lass restriccioones2 - sea óptimo. ó ( , ) sujeta a ( , ) ≤
Regla ppara resolveer
1. A Asociar unn multiplicaador constaante de Lag grange
, a la restriccción
( , )≤
y
ddefinir la fuunción lagraangiana: ( , )= ( , )+ ( ( , )− ) 2. IIgualar a ceero las deriv vadas parciaales de
( , ):
´
( , )=
´(
, )+
´(
, )=0
´
( , )=
´(
, )+
´(
, )=0
3. IIntroducir la condición n de holgurra complem mentaria: ≤0,
=0
( , )<
4. E Exigir que ( , ) satisffaga la restrricción: ( , )≤ ( , ) que, junnto con loss valores asociados Hallar ttodos los puntos p a dde
, satisffacen las
condicioones (2), (3), y (4).
Adviérttase, que loss pasos 1 y 2 son exacctamente loss que se usaaron en el m método lagrrangiano de la seección anteerior. Como o la condicción 4 se tiiene que saatisfacer obbviamente, la única novedadd es la conddición 3.
Condición 3 Esta conndición dicee que Así si
debe ser no po sitivo y, además que
=
si ( , ) < .
< 0, se debbe tener ( , ) = .
2
Ver N Nota p.s.
Página
2
Una forrmulación alternativa de d esta condiición es quee:
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) ≤ 0,
Nótese que es posible que sean
Decimos que
∙
Curso 2013/2014
( , )−
=0y ( , )=
≤0y ( , )≤
=0
a la vez en (3).
son desigualdades complementarias en el sentido de que
a lo más se puede "dar holgura" a una, esto es, a lo más una es estricta. Equivalentemente, al menos una debe ser una igualdad.
Las ecuaciones (2) y (3) se conocen como las condiciones de Kuhn-Tucker. Nótese que ellas son, esencialmente, condiciones necesarias para la solución del problema (1). Nota Hipótesis de Cualificación de las restricciones Las condiciones de Kuhn-Tucker son necesarias solamente si se satisface una disposición específica llamada hipótesis de cualificación de la restricción (h.c.r.), que impone una cierta condición sobre las funciones de restricción, con el propósito de descartar ciertas irregularidades en la frontera del conjunto factible, que invalidarían la condiciones de Kuhn-Tucker como necesarias, dándose la posibilidad de la existencia de puntos que siendo óptimos del problema, no verifiquen dichas condiciones.
Esta disposición h.c.r. es en general difícil de comprobar, por ello en la práctica, se exige el cumplimiento de la condición de regularidad, que es una condición suficiente para que se verifique la h.c.r.
Condición de Regularidad de un Punto Un punto ( , ) es regular si no satura ninguna de las restricciones, o bien, en el caso de saturar alguna de ellas, los gradientes de las restricciones saturadas
las
condiciones de Kuhn-Tucker serán condiciones necesarias, que deberá cumplir cualquier posible óptimo del conjunto factible.
Página
Supondremos que se verifica la denominada h.c.r, de modo que
3
en dicho punto son vectores linealmente independientes.
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED)
Curso 2013/2014
Ejemplo Resolver el problema: max ( , ) = x + y + y − 1 sujeta a
( , ) =x + y ≤ 1
Solución La función lagrangiana es: ( , ) = x + y + y − 1 + (x + y − 1)
(i)
Las condiciones de primer orden son: ´
( , )=2 +2
´
( , )=2 +1+2
=0
(ii) =0
(iii)
La condición de holgura complementaria es: ≤ 0,
=0
x +y <1
(iv)
Queremos hallar todos los pares ( , ) que verifican estas condiciones para un valor adecuado de . Consideramos primero la condición (ii), que es 2 (1 + ) = 0.
Hay dos posibilidades:
= 0.
= −1 entonces (iii) da 1 = 0, que es una contradicción. Por tanto,
Supongamos que x + y = 1 y así
condiciones (ii) a (iv).
= 0.
= .
Entonces (iii) implica que Por tanto, (0,1) con
= ±1 ya que según acabamos de ver
= −3/2 y así se verifica (iv).
= −3/2, es un candidato a óptimo porque se satisfacen todas las
4
Tomemos primero
= 0.
Página
Si
= −1 o
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED)
Curso 2013/2014
=− .
Tomemos ahora
La condición (iii) da
= −1/2 y se verifica también (iv).
Por tanto, (0,1) con
= −1/2 es otro candidato a óptimo.
Finalmente consideremos el caso en que Esto es: −1 <
= 0 y x + y < 1.
< 1.
Entonces (iv) implica que
= 0 y (iii) da
= −1/2. Por tanto, (0, -1/2) con
= 0 es un
candidato a óptimo.
La conclusión es entonces que hay tres candidatos a óptimo. Ahora bien: (0,1) = 1
(0, −1) = −1
(0, −1/2) = −5/4
Si sustituimos dichos puntos en la función objetivo, deducimos que en el punto
(v) =0 e
= 1 se encuentra un máximo local del problema, mientras que en el punto (0, −1/2) hay un mínimo local.
Método de Resolución del Problema General Un problema de programación no lineal general es el siguiente:
max ( , … ,
)
( ,…, ) ≤ …………………….. ( ,…, ) ≤
Ahora ya es muy fácil dar una regla para resolver el problema general (1) de programación no
Página
5
lineal. Damos la regla en el siguiente recuadro
Matemáticas Avan nzadas parra la Econoomía Manuell Sánchez Sánchez S (U UNED)
Cursso 2013/201 14
para resolver el probleema generaal de progrramación no lineal Regla p max ( ) ddonde
= ( ,…,
( )≤
,…,
)
). ( )= ( )+∑
Escribir la función f lagrrangiana: 1. E dondde
( = 1, … ,
( )−
son multiplicadores dde Lagrange asociadas con las
rrestriccionees.
2. IIgualar a ceero todas lass derivadas parciales dee primer ord den de ( )):
( )
( )
=
( )
+
=0
( = 1, … , )
3. IImponer lass condicionees de holguura complem mentaria: ≤ 0,
=0
( )<
4. E Exigir que x satisfaga las l restricciiones: ( )≤
( = 1, … ,
Hallar ttodos los x, y los valorees asociadoos de
,…,
)
que satiisfagan todaas esas cond diciones.
Estos soon los canddidatos a óptimo, y, si eel problemaa tiene solu ución, al meenos uno dee ellos lo resuelvee.
= ( ,…,
El conjjunto de vectores v
) que verrifican todaas las resttricciones se s llama
conjuntto admisiblle, o más freecuentemennte, el conju unto factiblle.
igualdadd
( ,…,
( ,…, )=
)≥
see puede esccribir como − ( , … ,
ess equivalentte a las dos desigualdad des
( ,… ,
). Tamb bién una ) ≤ − , y una )≤
y
6
desiguaaldad como
) es eqquivalente a maximizar − ( , … ,
Página
Nótese que minimiizar ( , … ,
Matemáticas Avan nzadas parra la Econoomía Manuell Sánchez Sánchez S (U UNED) − ( ,…,
Cursso 2013/201 14
) ≤ − . De esta e maneraa la mayo oria de loss problemaas de optim mización
restringida se puedden expresarr en la form ma (1).
Como een la seccióón anterior, las condiciiones de Ku uhn-Tucker son esenciaalmente necesarias para la solución deel problemaa (1), pero no son sufficientes. Ell siguiente teorema no os ofrece condicioones suficieentes:
Cond dicioness Suficieentes dee Kuhn n-Tuckeer Las conndiciones suuficientes co onllevan disstintas impllicaciones que q las conddiciones necesarias, ya que si un puntoo
∗
satisfaace una conndición sufiiciente paraa máximos, entonces ese punto
debe maaximizar la función objjetivo. En estee sentido, las condiciones suficcientes noss proporcionan un tippo de prueeba más definitivvo, aunquee al ser só ólo suficiennte, una so olución gen nuinamente óptima pu uede no satisfaceer la condicción suficien nte.
En la p práctica apparecen con n frecuenciaa programass de optimización en llos que el conjunto c factible S es conveexo y la función objetivvo es cóncav va o convex xa en S. Estos prrogramas se denominaan convexoos y simpliffican consid derablementte la resolu ución del problem ma de optim mización. Concrettamente en un program ma convexoo, el óptim mo local es también gllobal y adeemás las condicioones necesaarias de Kuh hn-Tucker sson también n suficientess.
Condiciones Suficcientes de Óptimo Ó Gloobal Consideeremos el problema p (1), y suponngamos quee el punto
∗
es un punto regu ular, que
satisfacee las condicciones de Khun-Tucke K er (2), (3) y (4), siendo las funcionnes de restricción gi diferencciables en S, S entonces: Si el conjuunto factiblle S es connvexo y laa función f es diferennciable y cóncava ((convexa) en e S, el puntto
∗
es m máximo (mín nimo) global.
Si f es estrrictamente cóncava c o eestrictamente convexa, entonces, el punto
∗
es un
Página
7
m máximo o mínimo m glob bal estricto..
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED)
Curso 2013/2014
Nota En general no siempre es fácil determinar si el conjunto factible S es convexo, Sin embargo cuando las restricciones gi son convexas en el dominio de optimización, podemos asegurar que el conjunto factible S es convexo.
Ejemplo Un individuo consume dos bienes en cantidades ( , )=
+
e , y deriva utilidad según la función = 10 y
. Los precios de los dos bienes son
= 5, respectivamente, y
= 350.
el ingreso del individuo es
Supongamos que consumir una unidad del primer bien toma 0,1 horas, mientras que una del segundo se consume en 0,2 horas. El individuo dispone en total de 8 horas, como máximo, para dedicar a su consumo de los dos bienes. ¿Cuáles son los niveles de consumo óptimos de esta persona? Solución. El problema es: max ( , ) =
10 + 5 ≤ 350 0,1 + 0,2 ≤ 8
+
La función lagrangiana es: ( , )=
+ ln +
(10 + 5 − 350) +
luego las condiciones necesarias para que ( ∗ ,
) resuelva el problema son que existan
tales que:
=
´
=
1 ∗
1
≤ 0,
∗
+ 10 +5
+ 0,1
=0
+ 0,2
=0
=0
10
(i) (ii)
∗
+5
∗
< 350 (iii)
8
´
Página
y
∗
(0,1 + 0,2 − 8)
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) ≤ 0,
=0
Curso 2013/2014 0,1
∗
+ 0,2
∗
< 8 (iv)
Para cada una de las dos restricciones tenemos bien igualdad (si la restricción esta activa) o desigualdad (si la restricción esta inactiva). Así, hay cuatro casos diferentes:
I
Ambas restricciones están activas. En este caso: 10
∗
+5
∗
0,1
∗
+ 0,2
= 350 (v)
y
La solución de (v) y (vi) es ( ∗ ,
∗)
∗
=8
(vi)
= (20,30). Si insertamos estos valores en (i) y (ii),
obtenemos el sistema de dos ecuaciones: 10
+ 0,1
5
+ 0,2
La solución de este sistema es ( ,
= −1/20 = −1/30.
) = (−
, − ), luego hemos encontrado un candidato
a ser solución, puesto que las condiciones de Khun-Tucker se satisfacen. (nótese que es importante verificar que
≤ 0)
La primera restricción esta activa, la segunda no. En este caso, (v) se sigue cumpliendo pero no así (vi), que ahora resulta: 0,1
∗
+ 0,2
∗
< 8.
De (iv) sabemos que en (v) , obtenemos que
= 0, mientras (i) y (ii) implican que ∗
Pero esto implica que 0,1
= 17,5 y, por tanto ∗
+ 0,2
∗
∗
=2
∗
∗
= 2 . Reemplazando
= 35.
= 8,75 lo cual viola la segunda restricción, luego
9
concluimos que no puede haber una solución bajo este caso.
Página
II
≤0y
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) III
Curso 2013/2014
La segunda restricción esta activa, la primera no. ∗
Aquí, (vi) se cumple pero: 10
De (iii) tenemos que
∗
+5
< 350.
= 0, mientras que (i) y (ii) nos dicen que 0,1
Reemplazando en (vi), obtenemos que Pero esto implica que 10
∗
+5
∗
∗
= 20 y, por tanto
∗
∗
= 0,2 ∗ .
= 40.
= 500, lo cual viola la primera restricción.
Nuevamente, podemos concluir que no puede haber una solución bajo este caso.
IV
Ambas restricciones están inactivas. En este caso
=
= 0, lo cual hace que (i) y (ii) sean imposibles de satisfacer.
Conclusión: Hay solo un candidato a solución: el punto (20,30).
Al ser la función f estrictamente cóncava – su matriz Hessiana es definida negativa -, y la región factible convexa – ya que está formada por restricciones lineales - concluimos que en el punto hallado se encuentra el máximo global estricto.
Nota: El método general para hallar todos los candidatos a óptimo en un problema de programación con restricciones de desigualdad se puede formular así:
Estudiar primero el caso en que todas las restricciones están activas,
A continuación estudiar la totalidad de los casos en que todas menos una están activas, luego aquellos en que todas menos dos están activas, y así sucesivamente.
Se termina por el estudio del caso en que ninguna restricción esta activa.
Lagrange, que satisfacen todas las condiciones relevantes.
Por último buscamos entre todas las posibilidades para hallar la mejor.
Página
hallamos todos los vectores x, junto con los valores asociados de los multiplicadores de
10
Por supuesto que el orden no importa, pero hay que considerar cada caso. En cada paso
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED)
Curso 2013/2014
Resolución Gráfica de Problemas de Optimización Restringida Cuando el programa de optimización está definido sobre el plano, es decir, la función objetivo es de dos variables, el estudio gráfico del problema puede ser en muchos casos un método útil para su resolución, evitando así, las ecuaciones de Kuhn-Tucker. Para resolver gráficamente un problema de optimización, seguiremos los siguientes pasos:
Se dibujan las curvas de nivel de la función objetivo.
Observando el crecimiento de las curvas de nivel y el conjunto factible, es posible determinar gráficamente dónde se encuentran los óptimos del problema.
Si el óptimo es un vértice del conjunto factible – punto de intersección de las restricciones -, su cálculo se realiza fácilmente a partir de las restricciones.
Si el óptimo se encuentra en el interior del conjunto factible, el problema es equivalente a un problema de optimización sin restricciones.
Si el óptimo es punto de tangencia entre una curva de nivel de la función ( , ) y una ( , ) = de las restricciones, el problema es equivalente a un de las curvas problema de optimización con restricciones de igualdad.
. Ejemplo Un proceso productivo transforma dos inputs en cantidades x e y en un output en cantidades Q1 siguiendo la relación: =3 + La utilidad de este proceso ha sido analizada, obteniéndose en función de los inputs como: ( , )=
−
Si por restricciones del mercado sabemos que nunca se deben obtener más de 4 unidades de . ¿Cuáles será las cantidades de inputs que maximizan la utilidad del proceso?
Página
Al ser el conjunto factible = ( , ): 3 + ≤ 4, ≥ 0, ≥ 0 convexo y la función ( ) objetivo , = − cóncava, ya que su matriz Hessiana es semidefinida negativa, podemos aplicar la condición suficiente de globalidad de modo que si existe un máximo ha de ser global.
11
Solución:
Matemáticas Avan nzadas parra la Econoomía Manuell Sánchez Sánchez S (U UNED)
Cursso 2013/201 14
Por otraa parte, al ser s el conjjunto factibble compaccto – cerrraado y acotaado -, y la función objetivoo continuaa, el teorem ma de los vvalores extrremos3, aseegura la exi xistencia de óptimos globaless. De la reepresentacióón gráfica observamos o que la curv va de nivel máxima quue se puede alcanzar sujeta a la restricciión plantead da en el enuunciado dell problema, se encuentrran en el pu unto A = (0,4). O Observemos que es el punto p del cconjunto facctible que pertenece p a la curva de d mayor nivel dee la función de utilidad.
Conddiciones de no negativid n dad paraa las varriables. Es frecuuente que las l variablees que apareecen en loss problemass económiccos de optim mización sean noo negativas por su prropia naturaaleza. A co ontinuación n veremos ccomo no es e difícil
3
Ver A Apéndice.
Página
12
incorporar esas resstricciones a la formulaación del prroblema de optimizacióón; por ejeemplo, la
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) restricción
Curso 2013/2014
≥ 0 se pueden representar por
( ,…,
)=−
≤ 0, y se introduce un
multiplicador de Lagrange adicional para ella. Sin embargo, para no tener que manejar demasiados multiplicadores de Lagrange, se suelen formular las condiciones necesarias de solución de los problemas de programación no lineal con restricciones de no negatividad de las variables de una forma ligeramente distinta. max ( , )
Consideremos primero el problema:
( , )=−
Introducimos las funciones:
y
( , )≤ ,
≥ 0,
≥0
( , )=−
Las restricciones del problema pasan a ser: ( , ) ≤ ,
( , )≤0
( , ) ≤ 0.
A continuación tomamos la función lagrangiana: ( , )= ( , )+ ( ( , )− )+
(− ) +
(− )
Las condiciones de Khun-Tucker son: =
´(
, )+
´(
, )−
= 0 (i)
=
´(
, )+
´(
, )−
= 0 (ii)
( , )< )
(iii)
≤ 0 (= 0 ≤ 0 (= 0
> 0)
(iv)
≤ 0 (= 0
> 0)
(v)
De (i) obtenemos:
´(
´(
, )+
De (iv) obtenemos que:
≤0 y
, )=
.
= 0 si
> 0.
, )+
´(
, ) ≤ 0,
´(
, )+
´(
, )=0
De manera análoga, (ii) y (v) equivalen conjuntamente a:
> 0 (vi)
Página
´(
13
Asi (i) y (iv) equivalen conjuntamente a:
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED) ´(
, )+
´(
´(
, ) ≤ 0,
, )+
´(
Curso 2013/2014
, )=0
> 0 (vii)
Por tanto, las nuevas condiciones de Khun-Tucker son (vi), (vii) y (iii).
Nótese que, después de sustituir (i) y (iv) por (vi) y (ii) y (v) por (vii), sólo el multiplicador asociado con ( , ) ≤
permanece.
Se puede extender la misma idea al problema de
max ( , … ,
variables:
( ,…, ) ≤ …………………….. ( ,…, ) ≤
)
≥ 0, … . ,
≥ 0 (I)
Formuladas brevemente, las condiciones necesarias de solución de (I) son que, para cada = 1, … , : ( )
( )
+∑
≤ 0,
( )
≤ 0,
=0
( )<
Nota: supongamos que
( )
+∑
( = 1, … ,
)
=0
>0
(II)
(III)
es admisible y satisface las condiciones (II), y las de holgura
complementaria, (III).
Entonces se demuestra que si la función lagrangiana
( ) es cóncava,
resuelve el
problema de maximización.
Ejemplo
x≤5 −x + y ≤ 1 x ≥ 0, y ≥ 0
Página
2 1 1 max (x, y) = x − x + y , sujeta a 3 2 12
14
Resolver el siguiente problema:
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED)
Curso 2013/2014
Solución La función lagrangiana asociada es: 2 1 1 ( )= x− x + y+ 3 2 12 Las condiciones necesarias para que ( ∗ ,
(− +
− 1)
resuelva el problema son que existan números
tales que: ´
= −
´
=
∗
+
+
−
≤ 0,
≤ 0,
=0
≤ 0,
=0
∗
∗
∗
>0
´
=0
∗
> 0 (ii)
<5 ∗
+
(i)
(iii) ∗
=
∗
<1
(iv)
+ 1 > 0, y así, que
= 5. Pero este valor de
∗
+
∗
= 1.
= −1/12, por (ii).
∗
y
= −1/12 implicaría, por (i),
> 0, lo cual es imposible.
= 0, en cuyo caso (i) nos dice que:
Debe ser cierto, entonces que ≥ +
−
= +
>0 ∗
+
=1+
∗
−
De (i) se sigue entonces que Esto a su vez implica que:
∗
Concluimos entonces que ( ∗ ,
∗
=0
∗
= 3/4 ∗
= 1 + = 7/4
) = (3/4, 7/4) con
=0 y
= 7/4 = −1/12, satisface todas
las condiciones. Por último, se comprueba fácilmente que la función lagrangiana es cóncava, luego este candidato es la solución del problema de maximización planteado.
15
∗
−
=0
<0
Esto implicaría, por (iii) que que
∗
≥ 0, lo anterior implica que
Supongamos que
∗
´
< 0, lo cual implica, por (iv), que −
De la condición (ii) se sigue que
Como
≤0
Página
y
∗)
( − 5) +
Matemáticas Avan nzadas parra la Econoomía Manuell Sánchez Sánchez S (U UNED)
Cursso 2013/201 14
Apén ndice d plano o. Topoología del En el ccaso de lass funciones de varias variables se puede analizar a laas distincion nes más relevanttes de los distintos d tipo os de dominnios, mediaante el uso de los siguiientes conceptos de topología elementaal.
Punto IInterior Un puntto (a,b) se llama l un pu unto interioor de un con njunto S dell plano, si exxiste un círculo con centro ((a,b) totalm mente conten nido en S. Conjun nto abierto Un conjjunto se llam ma abierto si todos suss puntos son n interioress. Punto ffrontera El punto (a,b) se llama l un pu unto de froontera de un u conjunto o S, si todoo círculo co on centro (a,b) ccontiene puuntos de S y puntos nno perteneccientes a S. S Un puntoo frontera de S no pertenecce necesariaamente a S. Conjun nto cerradoo Si S conntiene a todoos sus punto os frontera sse dice que S es cerrad do.
Estos coonceptos se representan n en la siguiiente figuraa (I).
Nótese que un conjjunto que contiene alguunos de suss puntos fro ontera pero nno a todos, como el
Página
complem mento es abbierto.
16
último dde los repreesentados, no es ni abieerto ni cerraado. Un con njunto es ceerrado si y solo s si su
Matemáticas Avan nzadas parra la Econoomía Manuell Sánchez Sánchez S (U UNED)
Cursso 2013/201 14
En mucchos de los problemas de optimizzación, los dominios están e definiidos por un na o más desiguaaldades. Loss puntos frontera perttenecen al conjunto c alllí donde apparezcan siignos de menor o igual. Por ejem mplo, si , y
son parámetros p positivos, el e conjunto (presupuest stario) de lo os puntos
(x,y) quue verifican las desigualldades: +
≤
,
≥
,
≥
(i)
es cerraado.
Este connjunto es unn triángulo, como se mu muestra en laa siguiente figura f (II).
no de los trees lados corrresponde a que una Su fronttera son loss tres lados del triángullo. Cada un de las ddesigualdadees de (i) seaa una igualddad. Por otraa parte, el coonjunto quee se obtiene sustituyend do ≤ por < y ≥ por > es abierto.. En geneeral: Si ( , )es una fuunción contíínua y es uun numero real, los tres conjuntoss: ( , ): ( , ) ≤
,
( , ): ( , ) =
17
son cerrrados.
,
Página
( , ): ) ( , )≥
Matemáticas Avan nzadas parra la Econoomía Manuell Sánchez Sánchez S (U UNED)
Cursso 2013/201 14
Si sustittuimos ≥ poor >, o ≤ po or <, los coonjuntos corrrespondien ntes son abieertos.
nto acotadoo Conjun Un conjjunto se llam ma acotado o si se puedee encontrar un círculo que q lo conteenga. Los conjuntos de las ffiguras (I) y (II) son acotados. P Por el contrrario, el con njunto de toodos los ( , ) que verificaan
≥1e
≥ 0 es cerrrado pero no acotado o
El conjuunto es cerrrado porque contiene a todos sus puntos p fronteera
Conjun nto Compaccto Un conjjunto cerrado y acotad do se llama compacto.. Topologgia en ℝ Los connceptos toppológicos qu ue acabaos de introdu ucir se geneeralizan muuy fácilmentte a ℝ . Recordeemos que se define la distancia eentre dos veectores como ‖ − ‖ =
Una
(
−
-b bola con centro c
( ,…,
) + ⋯+ ( = ( ,…,
−
= ( ,…,
) y
= ( ,…,
)
)
) y radio
es el conju unto de toddos los pun ntos
=
) tales quue ‖ − ‖ < .
Si sustittuimos la palabra p "círcculo" y conj njunto S quee usamos en n las definicciones de to opología plana poor " -bola", y entorno N4, siguenn valiendo en e ℝ las definiciones d de punto interior, i
4
Un en ntorno N dee un punto a es un conjjunto que co ontiene una -bola conn centro a.
Página
18
conjuntto abierto, punto fron ntera, conju unto cerrad do y conjun nto compaccto.
Matemáticas Avanzadas para la Economía Manuel Sánchez Sánchez (UNED)
Curso 2013/2014
Teorema de los Valores Extremos: Este es un teorema de existencia puro, ya que nos da condiciones suficientes para asegurar la existencia de puntos óptimos, pero no nos dice como hallarlos. Para encontrarlos Teorema Si f es una función continua sobre un conjunto compacto (cerrado y acotado) S de ℝ , entonces existe al menos un máximo = ( , … , ) y un mínimo = ( , … , ) en S; esto es, existen c y d en S tales que
Página
19
( ) ≤ ( ) ≤ ( ) para todo x de S
