PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN GENERALISASI PROSES WIENER DAN MODEL ARIMA
MUTIA INDAH SARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
ABSTRAK MUTIA INDAH SARI. Pemodelan Harga Saham Menggunakan Generalisasi Proses Wiener dan Model ARIMA. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan RETNO BUDIARTI. Saham dari suatu badan usaha merupakan modal awal yang dibayarkan atau diinvestasikan dalam bisnis oleh pendirinya. Seperti diketahui bahwa harga saham berfluktuasi seiring dengan bertambahnya waktu, maka diperlukan model harga saham untuk meramalkan harga saham pada masa yang akan datang. Dalam studi ini, harga saham diasumsikan mengikuti proses stokastik kontinu. Salah satu model stokastik yang dapat digunakan untuk model harga saham adalah generalisasi proses Wiener. Model ini menggambarkan evolusi waktu dari suatu harga saham sebagai variable stokastik dengan drift rate dan ragam konstan. Di sisi lain, diketahui harga saham merupakan data yang sangat memperhatikan waktu. Sehingga model ARIMA juga dapat digunakan dalam memodelkan fenomena ini dan untuk memprediksi harga saham pada masa yang akan datang. Kedua model ini menggunakan sejumlah data. Kemudian hasilnya digunakan untuk meramalkan harga saham pada waktu yang akan datang. Dapat disimpulkan bahwa studi peramalan menggunakan generalisasi proses Wiener menunjukkan hasil yang sedikit lebih baik daripada model ARIMA. Kata kunci: harga saham, generalisasi proses Wiener, model ARIMA.
ABSTRACT MUTIA INDAH SARI. Stock Price Modelling Using Generalized Wiener Process and ARIMA Model. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and RETNO BUDIARTI. The capital stock of a business entity represents the original capital paid or invested in the business by its founders. Since it is known that the stock price fluctuates in time, it is necessary to have a model to forecast the stock price in the future. In this study, stock price is assumed to follow a continous stochastic process. One of stochastic models that can be used to model the stock price is a model of generalized Wiener process. This model describes the time evolution of stock price as a stochastic variable with constant drift and variance rate. On the other hand, since stock prices data are time series data, so ARIMA model can also be used to model this phenomena and to predict the stock price in the future. Both models are estimated using a chosen set of data. The result is then used to forecast the stock price in the future time. It can be concluded that forecasting study using generalized Wiener process shows a slightly better result than the ARIMA model. Keywords: stock price, generalized Wiener process, ARIMA model.
PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN GENERALISASI PROSES WIENER DAN MODEL ARIMA
MUTIA INDAH SARI
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Judul Skripsi Nama NIM
: Pemodelan Harga Saham Menggunakan Generalisasi Proses Wiener dan Model ARIMA : Mutia Indah Sari : G54070028
Disetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS NIP. 19631228 198903 2 001
Ir. Retno Budiarti, MS NIP. 19610729 198903 2 001
Diketahui Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus : ………………………………
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluargaku tercinta: Ibu (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayang, motivasi dan segalanya), adikku (terima kasih atas doa, dukungan,dan kasih sayang), Keluarga Mayor H. Djasman Chaizar (terima kasih atas doa, bantuan, dukungan, kepercayaan, kasih sayang, dan motivasinya), serta keluarga besar (terima kasih atas doa, dukungan, kasih sayang, dan motivasinya). 2. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 3. Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing II terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 4. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 5. Segenap dosen Departemen Matematika: Bu Anggi, Bu Ida, Pak Hadi, Pak Wayan, Pak Prapto, Pak Siswadi, Pak Budi, dan lainnya (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, dan Mas Deni, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya). 7. Sahabat-sahabat di matematika 44: Sri Septiana, Ayu Lembayung, Nurrachmawati, Fajar Gumilang, Denda Rinaldi Hadinata, M. Rofi Hidayat, Della Azizah Munawar, Aulia Retnoningtyas, Dian Nugraha, M. Rizqy Hidayatsyah, Pandi, Nurisma, Imam Ekowicaksono (terima kasih atas doa, bantuan, dukungan, motivasi, persahabatan, dan kebersamaannya). 8. Sahabat-sahabat terbaik: Feni Shintarika, Arumi Pitaloka, Andini Widya Astuti, Cyindi Andari Agmer, Dellyna Septia, Marisa Purnamarini, Firdha Lystia Utami, Desy Caesary, Marista Gilang Mauldina, Pradipta Safitri, Anneke Puspa Caliandra, Sylvanie Ratna Permatasari, Hernani Maryulianti, Rezano Prayudi Putra, Tajudin Noor, Rima Rahayu, Annisa Rahmalia Fitriani, Anisah Anshari, Ikhlasul Amal, dan Pandudamai Insani Taufiq (terima kasih atas doa, dukungan, motivasi, persahabatan, dan kebersamaannya). 9. Teman-teman Matematika angkatan 44:Ali, Arina, Aswin, Ayum, Christoper, Devi, Devina, Diana, Andika,Tanti, Eka, Fani, Fikri, Fitri, Gan-gan, Ihda, Ikhsan, Indin, Iresa, Lazuardi, Lilis, Lili, Lina, Lingga, Lugina, Lukman, Mariam, Masayu, Endro, Aqil, Nadiroh, Cita, Vani, Naim, Nurul, Nunuy, Nurus, Vianey, Wahyu, Wenti, Yanti, Yogie, Yuli, dan Zae (terima kasih atas doa, semangat, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya). 10. Kakak-kakak 41,42,43 dan S2: Kak Agung, Kak Ratna, Kak Slamet, Kak Sofyan, Kak Supri, Kak Apri, Kak Arum, Kak Nia, Kak Elly, Kak Rangga, Kak Eyyi, Kak Hesti, Kak Ryu, Kak Adi, Kak Aini, Kak Putri, Kak Dandi, Kak Destya, Kak Faizul, Kak Kabil, Kak Kunto, Kak Fadhan, Kak Resti, Kak Kiki, Kak Narsih, Kak Erlin, Kak Tami, Kak Vera, Kak Wira, Om Baist, dan yang lainnya (terima kasih atas doa, bantuan, ilmu, dukungan, dan motivasinya). 11. Adik-adik Matematika angkatan 45 (terima kasih atas doa, bantuan, dan dukungannya). 12. Rizka Nuridha Putri , Asep Khoerudin, Putranto Hadi (terima kasih atas doa, bantuan, ilmu, dan motivasinya). 13. Teman-teman TPB dan teman-teman Asrama Putri A2 lorong 2 (terima kasih atas doa, dukungan, kebersamaan, dan motivasinya). 14. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, November 2011
Mutia Indah Sari
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Yogyakarta pada tanggal 28 Juli 1989 dari bapak Yanto dan ibu Rina. Penulis merupakan putri sulung dari dua bersaudara. Penulis mengemban ilmu di SD Negeri Semplak 2 dan lulus pada tahun 2001, selanjutnya penulis melanjutkan studinya di SMP Negeri 1 bogor dan lulus pada tahun 2004, SMA Negeri 1 Bogor menjadi pilihan penulis untuk melanjutkan pendidikannya dan lulus pada tahun 2007, di tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika minor Statistika Terapan, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S1) pada semester ganjil tahun akademik 2009-2010. Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang amanah sebagai staf Departemen Pengembangan Sumber Daya Manusia Gugus Mahasiswa Matematika periode 2008-2009 dan Bendahara Umum Gugus Mahasiswa Matematika periode 2009-2010. Berbagai kegiatan kepanitian penulis ikuti selama menjadi mahasiswi seperti MPKMB 2008 sebagai staf Divisi Komisi Disiplin, Math Expo 2008 sebagai staf Divisi Acara, Liga Gumatika 2009 sebagai staf Divisi Publikasi dan Dekorasi, MPD 2009 sebagai Sekretaris , Math Expo 2009 sebagai staf Divisi Acara, Pesta Sains 2009 Sebagai Kepala Divisi Dana Usaha, Lomba Karya Cipta Mahasiswa 2009 sebagai staf Divisi Acara. Di luar dunia perkuliahan penulis pernah menjadi panitia kegiatan Peduli Anak Yatim 2011 yang diselenggarakan oleh Ikatan Alumni SMP Negeri 1 Bogor dan tergabung dalam kepanitiaan KIRIN Family Day 2011 dalam naungan Event Organizer Dinda Entertainment.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ............................................................................................................ viii DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................................ viii DAFTAR TABEL ................................................................................................................. viii I PENDAHULUAN ............................................................................................................. 1.1 Latar Belakang .......................................................................................................... 1.2 Tujuan Penulisan ........................................................................................................ 1.3 Sistematika Penulisan ................................................................................................
1 1 1 1
II LANDASAN TEORI ........................................................................................................ 2.1 Berbagai Definisi ....................................................................................................... 2.2 Proses Stokastik dan Proses Markov .......................................................................... 2.3 Proses Wiener ............................................................................................................ 2.4 Generalisasi Proses Wiener ....................................................................................... 2.5 Proses Itô ................................................................................................................... 2.6 Proses untuk Harga Saham ........................................................................................ 2.7 Proses Analisis untuk Data Deret Waktu .................................................................. 2.8 Model Deret Waktu ARIMA ......................................................................................
2 2 2 3 3 4 4 5 5
III PEMBAHASAN ..............................................................................................................
7
3.1 Model Wiener ............................................................................................................ 3.2 Model ARIMA .......................................................................................................... 3.3 Pembandingan dan Peramalan ....................................................................................
7 8 11
IV SIMPULAN DAN SARAN ............................................................................................. 4.1 Simpulan .................................................................................................................... 4.2 Saran ..........................................................................................................................
12 12 12
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................................
12
LAMPIRAN .........................................................................................................................
13
vii
DAFTAR GAMBAR Halaman 1
Data Saham Mc-Donald Selama Tahun 2010 ....................................................................
8
2
Plot Korelasi Diri (ACF) ...................................................................................................
9
3
Plot Korelasi Diri Parsial (PACF) ......................................................................................
9
4
Plot Output Stasioner ..........................................................................................................
9
5
Plot Korelasi Diri (ACF) Setelah Pembedaan Satu Kali ....................................................
9
6
Plot Korelasi Diri Parsial (PACF) Setelah Pembedaan Satu Kali .....................................
9
7
Plot Residual Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 Model ARIMA..............
10
8
Plot Kenormalan Sisaan Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 Model ARIMA ...................................................................................................................
9
11
Plot Data Aktual, Data Peramalan Model Wiener dan Model ARIMA .............................................................................................................
11
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1
Tabel Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 ..................................................
14
2
Komputasi dari Volatility ...................................................................................................
16
3
Pengolahan Data Menggunakan Minitab ...........................................................................
21
4
Tabel Simulasi Monte Carlo ..............................................................................................
22
5
Hasil Uji Augmented Dickey-Fuller Data Asli ..................................................................
23
6
Hasil Uji Augmented Dickey-Fuller Data Penutupan Harga Saham Setelah Pembedaan Satu Kali .............................................................................................
23
7
Output Minitab Model ARIMA (1,1,0) .............................................................................
24
8
Output Minitab Model ARIMA (2,1,0) ..............................................................................
26
9
Output Minitab Model ARIMA (1,1,1) .............................................................................
28
10
Plot Residual ACF dan PACF Data Harga Penutupan Saham Mc-Donald Selama Tahun 2010 ............................................................................................................ Perbandingan Peramalan Model Wiener dan Model ARIMA .............................................
30 31
Program ARIMA pada Data Penutupan Harga Saham Mc-Donald Menggunakan Software SAS 9.1.3 .....................................................................................
33
Program ARIMA pada Data Penutupan Harga Saham Mc-Donald dengan Pembedaan Satu Kali Menggunakan Software SAS 9.1.3 .....................................
34
11 12 13
DAFTAR TABEL Halaman 1
Alternatif Model ARIMA Tentatif untuk Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 .......................................................................................................
10
viii
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Setiap variabel yang nilainya berubah seiring waktu dengan cara yang tidak pasti dikatakan mengikuti proses stokastik. Proses stokastik dapat diklasifikasikan sebagai waktu diskret atau waktu kontinu. Proses stokastik waktu diskret merupakan salah satu proses dimana nilai dari variabel yang dapat diubah hanya pada titik-titik tetap tertentu dalam waktu, sedangkan proses stokastik waktu kontinu adalah salah satu proses di mana perubahan bisa terjadi setiap saat. Proses stokastik juga dapat diklasifikasikan sebagai variabel kontinu atau variabel diskret. Dalam proses variabel kontinu, variabel yang mendasari dapat mengambil nilai apapun dalam jarak tertentu, sedangkan dalam proses variabel diskret, nilai-nilai diskret tertentu yang hanya mungkin. Dalam hal ini yang akan dikembangkan adalah proses stokastik dengan waktu kontinu untuk harga saham. Dalam prakteknya, kita tidak memperhatikan harga saham yang mengikuti variabel kontinu, proses waktu kontinu. Harga saham dibatasi dengan nilainilai diskret (misalnya kelipatan persen) dan perubahan dapat diamati hanya ketika pertukaran terbuka. Walaupun demikian variabel kontinu, proses waktu kontinu terbukti menjadi model yang bermanfaat untuk berbagai tujuan. Saham merupakan modal yang dikeluarkan perusahaan atau perseroan terbatas kepada masyarakat agar seseorang atau badan hukum memiliki sebagian hak dari perusahaan tersebut. Hal ini dilakukan karena pemilik perusahaan membutuhkan modal untuk proses produksi dalam perusahaan. Dengan menjual sahamnya, maka perusahan harus berbagi kepemilikan perusahaan tersebut dengan pemegang saham (stockholder), begitu pula dengan keuntungan yang berupa uang tunai yang harus dibagi bersama. Saham adalah tanda penyertaan atau kepemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan atau perusahaan terbatas.
Wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan siapa pemiliknya. Akan tetapi, dimulai dari beberapa tahun yang lalu sistem tanpa warkat sudah dilakukan di bursa efek Jakarta (saat ini berubah menjadi bursa efek Indonesia) dimana bentuk kepemilikan tidak lagi berupa lembaran saham yang diberi nama pemiliknya tapi sudah berupa account atas nama pemilik atau saham tanpa warkat. Jadi penyelesaian transaksi akan semakin cepat dan mudah karena tidak melalui surat, formulir, dan prosedur yang berbelit-belit. Perubahan harga saham dari waktu ke waktu sangat berpengaruh bagi para pemegang saham. Perubahan harga tersebut menentukan apakah sebuah saham akan dijual atau dibeli. Seperti diketahui bahwa harga saham berfluktuasi seiring dengan bertambahnya waktu karena itu diperlukan model harga saham untuk meramalkan harga saham untuk masa yang akan datang. Sehingga perlu dicari model yang paling baik dalam meramalkan harga saham tersebut. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan utama dari penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Memodelkan harga saham menggunakan generalisasi proses Wiener dan model ARIMA. 2. Membandingkan hasil peramalan menggunakan proses Wiener dan model ARIMA. 1.3 Sistematika Penulisan Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pemodelan Harga Saham sekaligus pembandingan hasil peramalan antara proses Wiener dan model ARIMA akan dibahas pada bab tiga. Pada bab empat akan dipaparkan simpulan serta saran dari karya ilmiah ini.
II LANDASAN TEORI 2.1 Berbagai Definisi Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. (Ross 2003) Ruang Contoh Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan (Grimmett dan Stirzaker 1992) Peubah Acak Suatu peubah acak (random variable) adalah suatu fungsi dengan sifat + ( ) bahwa * , untuk setiap dengan adalah sebuah medan- dari suatu ruang contoh . Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X, Y, Z. sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. (Grimmett & Stirzaker 1992) Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi , - yang dinyatakan ( ). sebagai ( ) (Grimmett & Stirzaker 1992) Fungsi Kepekatan Peluang Peubah acak dikatakan kontinu jika ( ) fungsi sebaran ( ) dapat diekspresikan sebagai ( )
∫
( )
untuk suatu fungsi , - yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut juga fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi . (Grimmett & Stirzaker 1992) Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang adalah ( )
∫
( )
Jika integral di atas konvergen. (Grimmett & Stirzaker 1992)
Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan ( ) adalah nilai harapan dari ( ), , dengan fungsi kepekatan peluang maka simpangan baku (standard deviation) dan ragam (variance) dari X dinotasikan dengan dan Var(X) sama dengan √ ,(
) -
dan ( )
,( ∫ (
) ) ( )
(Ghahramani 2005) Sebaran Normal Misalkan diberikan peubah acak . Peubah acak dikatakan menyebar normal dengan rata-rata dan ragam jika memiliki fungsi kepekatan peluang (probability density function) sebagai berikut: (
( )
)
(
)
√
Sebaran normal yang memiliki nilai ratarata 0, dan ragam 1 disebut sebaran normal baku, Misalkan peubah acak menyebar normal baku, maka memiliki fungsi kepekatan peluang ( )
√ (Grimmett & Stirzaker 1992)
Ruang State Misalkan Ѕ adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state. (Grimmett & Stirzaker 1992) 2.2 Proses Stokastik dan Proses Markov Proses stokastik X={X(t) ,t T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state S. (Ross 2003)
3
Proses Markov + merupakan barisan Misalkan * peristiwa dari variabel acak yang nilainya diambil dari titik , yang disebut ruang state. Misalkan adalah variabel acak diskret yang diambil dari salah satu nilai yang mungkin, | |( bisa bernilai dengan ). Proses dikatakan rantai Markov jika memenuhi persamaan berikut (
| (
untuk
semua
Rata- rata , ( ) Standar deviasi , ( ) Ragam , ( )
( )( )-
( )-
) )
| dan
Diketahui ( ) dengan sebaran ∅ ( ) Kita tahu dari sifat kedua bahwa saling bebas satu sama lain. Ini mengikuti persamaan (2.2) yaitu ( ) ( ) menyebar normal, dengan
untuk
semua
. (Grimmett & Stirzaker 1992) 2.3 Proses Wiener Proses Wiener merupakan salah satu proses Markov dengan perubahan rata-rata nol dan volatility satu per tahun. Disajikan secara formal, variabel mengikuti proses Wiener jika memiliki dua sifat berikut: Sifat 1. Perubahan waktu terkecil
selama jangka adalah
√
(2.1)
√ (Hull 2006)
2.4 Generalisasi Proses Wiener Perubahan rata-rata per satuan waktu untuk proses stokastik dikenal sebagai drift rate dan ragam per satuan waktu dikenal sebagai volatility. Proses Wiener dasar, , yang telah dikembangkan sejauh ini memiliki drift rate nol dan volatility 1. Drift rate nol berarti bahwa nilai yang diharapkan dari pada setiap saat untuk waktu yang akan datang sama dengan nilai saat ini. Volatility 1 berarti bahwa perubahan ragam dalam interval waktu dengan panjang bernilai . Generalisasi proses Wiener untuk suatu variabel dapat didefinisikan dalam sebagai (2.3)
dengan є memiliki sebaran normal baku ∅ (0,1). Sifat 2. Nilai untuk dua interval waktu yang berbeda, saling bebas. Ini mengikuti dari sifat pertama yang sendiri memiliki sebaran normal dengan
maka, ∑
√
= konstanta drift rate = perubahan waktu = proses Wiener ~ ∅ (0,1)
Sifat 2 menunjukkan bahwa mengikuti proses Markov. Perubahan nilai selama waktu yang relatif lama, , dapat dinyatakan dengan ( ) ( ). Hal ini dapat dianggap sebagai jumlah perubahan dalam interval waktu pendek , dengan
( )
= perubahan variabel acak
= konstanta volatility
Rata- rata ∆z = 0 Standar deviasi =√ Ragam =
( )
dengan
(2.2)
dengan dan adalah konstanta. Untuk memahami persamaan (2.3). Istilah menyiratkan bahwa memiliki tingkat penyimpangan yang diharapkan sebesar per unit waktu. Tanpa besaran , persamaan menjadi , yang menyiratkan bahwa . Jika diintegralkan dengan memperhatikan waktu, kita mendapatkan
dengan adalah nilai pada waktu 0. Dalam jangka waktu panjang , variabel meningkat sebesar . Istilah di sisi kanan dari persamaan (2.3) dapat dianggap sebagai penambahan variabel ke persamaan yang diikuti oleh . Jumlah dari variabel adalah kali proses Wiener. Proses Wiener
4
memiliki volatility 1. Oleh karena itu, kali proses Wiener memiliki volatility . Dalam interval jangka waktu pendek , maka perubahan dalam nilai diberikan oleh persamaan (2.1) dan (2.3) sebagai √ seperti sebelumnya, є normal baku. Jadi normal dengan
memiliki sebaran memiliki sebaran
Rata- rata Standar deviasi Ragam
√
serupa dengan argumen yang diberikan untuk menunjukkan proses Wiener bahwa perubahan nilai dalam interval waktu biasanya didistribusikan dengan Rata- rata perubahan di Standar deviasi perubahan di Ragam perubahan di
√ dengan limit, dengan
Dengan demikian, generalisasi proses Wiener diberikan dalam persamaan (2.3) memiliki drift rate yang diharapkan (yaitu, drift rata-rata per unit waktu) dan volatility (yaitu, ragam per unit waktu) dari . (Hull 2006) 2.5 Proses Itô Proses Itô adalah generalisasi proses Wiener dengan parameter dan merupakan fungsi dari variabel yang mendasari dan waktu . Sebuah Proses Itô dapat ditulis secara aljabar sebagai (
)
(
)
(2.4)
drift rate dan volatility dari Proses Itô memungkinkan perubahan dari waktu ke waktu. Dalam jangka waktu pendek antara dan , perubahan variabel dari ke , dengan (
)
(
2.6 Proses untuk Harga Saham Dapat dikatakan bahwa harga saham mengikuti generalisasi proses Wiener, yaitu, bahwa ia diharapkan memiliki drift rate konstan dan volatility konstan. Diharapkan persentase pengembalian yang didapatkan para investor saham adalah bebas dari harga saham. Jelas, asumsi drift rate diharapkan konstan tidak tepat dan perlu diganti dengan asumsi bahwa pengembalian yang diharapkan konstan. Jika adalah harga saham pada waktu , maka drift rate yang diharapkan pada dianggap menjadi untuk beberapa parameter yang konstan. Ini berarti bahwa dalam interval waktu yang singkat, , peningkatan yang diharapkan dalam adalah . Parameter μ adalah tingkat pengembalian yang diharapkan pada saham, dinyatakan dalam bentuk desimal. Jika volatility harga saham selalu nol, maka model ini menyiratkan bahwa
) √
Hubungan ini melibatkan sedikit pendekatan. Ini dapat diasumsikan bahwa drift rate dan volatility dari tetap konstan, sama dengan ( ) dan ( ), masing-masing, selama selang waktu antara dan . (Hull 2006)
,
dengan pengintegralan antara waktu 0 dan waktu T, dapat dihasilkan =
(2.5)
Diketahui dan adalah harga saham pada waktu 0 dan waktu . Persamaan (2.5) menunjukkan bahwa, ketika volatility adalah nol, harga saham tumbuh pada tingkat kontinu majemuk per unit waktu. Dalam prakteknya, harga saham tidak memperlihatkan volatility. Asumsi yang masuk akal adalah bahwa variabilitas dari persentase pengembalian dalam waktu singkat, , sama tanpa mempedulikan harga saham. Dengan kata lain, seorang investor tidak dapat memastikan persentase pengembalian ketika harga saham adalah $ 50 maupun pada saat harga saham $ 10. Hal ini menunjukkan bahwa volatility dari perubahan dalam waktu singkat harus proporsional terhadap harga saham dan mengarah ke model
(2.6)
5
Persamaan (2.6) adalah model yang paling banyak digunakan perilaku harga saham. Variabel adalah volatility dari harga saham. Variabel adalah tingkat pengembalian yang diharapkan. (Hull 2006) 2.7 Proses Analisis untuk Data Deret Waktu Dalam analisis data deret waktu, proses baku yang harus dilakukan adalah 1. Memetakan nilai data terhadap waktu, hal ini dilakukan untuk menelaah kestasioneran data, sebab jika data tidak stasioner maka harus distasionerkan melalui proses stasioneritas. 2. Menggambarkan korelogram (gambar fungsi autokorelasi), untuk menelaah apakah autokorelasi signifikan atau tidak, dan perlu-tidaknya proses diferensi dilakukan. Jika autokorelasi data tidak signifikan, analisis data cukup menggunakan analisis regresi sederhana data atas waktu, sedangkan jika signifikan harus menggunakan analisis regresi deret waktu. Jika data ditransformasikan, maka proses pemetaan data dan penggambaran korelogram, sebaiknya dilakukan juga pada data hasil transformasi, untuk menelaah apakah proses transformasi ini sudah cukup baik dalam upaya menstasionerkan data. 3. Jika dari korelogram disimpulkan bahwa autokorelasi signifikan, maka bangun model regresi deret waktunya, dan lakukan penaksirannya baik dalam kawasan waktu maupun kawasan frekuensi. 4. Lakukan proses peramalan dengan metode yang sesuai dengan kondisi datanya, dan untuk mendapatkan hasil yang memuaskan, digunakan metode Box-Jenkins . (Mulyana 2004) Trend dan Kestasioneran Trend adalah komponen data deret waktu yang menunjukkan peningkatan atau penurunan dalam jangka panjang selama periode waktu yang diamati. Sebagai contoh data dengan trend diindikasikan antara lain dengan koefisien autokorelasi beberapa beda kala pertama tinggi dan berbeda dengan nol secara signifikan, lalu turun mendekati nol saat series meningkat. Data dengan trend berarti data tidak stasioner. Data yang stasioner adalah data dengan rataan dan ragam konstan sepanjang waktu pengamatan. Data
ini dicirikan oleh koefisien autokorelasi pada beberapa beda kala pertama mendekati nol atau tidak terdapat autokorelasi antar series. (Firdaus 2006) 2.8 Model Deret Waktu ARIMA Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Pada model ini terjadi proses Autoregressive (AR) berordo- atau proses Moving Average (MA) berordoatau merupakan kombinasi keduanya. Pembeda berordo- dilakukan jika data deret waku bersifat non-stasioner, padahal aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA menghendaki data yang stasioner. Bentuk umum model ARIMA ( ) adalah ( )(
)
dengan = derajat autoregressive (AR) = derajat pembeda = derajat moving average (MA) = waktu = operator backshift = parameter yang menjelaskan AR = parameter yang menjelaskan MA = galat acak pada waktu ke-t yang diasumsikan menyebar normal bebas stokastik. =( =(
) )
( ) Jika ditetapkan nilai model tersebut menjadi model autoregressive ordo yang disingkat AR( ). Sebaliknya jika ditentukan bahwa , menjadi model moving average ordo yang disingkat MA( ). (Cryer 1986) Metode Box dan Jenkins Metode yang biasa digunakan dalam pembuatan model ARIMA adalah metode Box dan Jenkins (Makridaskis et al. 1983) dengan prosedur sebagai berikut: 1.
Identifikasi model: Identifikasi model beranjak dari struktur data yang bersifat stasioner. Dari data yang stasioner dapat diperoleh model sementara dengan
6
2.
3.
mengamati fungsi korelasi diri (ACF) dan fungsi korelasi diri parsialnya (PACF). Ordo proses AR dapat ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri parsial (PACF) yang tidak nol. Sedangkan ordo proses MA ditentukan dengan melihat berapa banyak koefisien korelasi diri (ACF) pertama yang tidak nol (Bowerman & O’Connel, 1987). Identifikasi proses ARIMA dari plot autokorelasi dan plot korelasi parsialnya. Pendugaan parameter: Banyaknya parameter yang akan diduga bergantung pada banyaknya koefisien model awal. Penduga parameter dikatakan berpengaruh jika nilai mutlak yang berpadanan dengan parameter tersebut lebih besar daripada nilai- tabel pada taraf nyata berderajat bebas minus banyaknya parameter (Bowerman & O’Connel, 1987). Diagnostik model: Statistik uji Q BoxPierce dapat digunakan untuk menguji kelayakan model, yaitu dengan menguji apakah sekumpulan korelasi diri untuk nilai sisa tersebut tidak nol. Statistik uji Q Box-Pierce menyebar mengikuti sebaran dengan derajat bebas ( ) dimana adalah lag maksimum yang diamati, adalah ordo AR, dan adalah ordo MA. JIka nilai Q lebih besar nilai ( ) untuk tingkat kepercayaan tertentu atau nilai peluang statistik Q lebih kecil dari taraf nyata maka dapat disimpulkan bahwa model tidak layak. Persamaan statistik uji Q Box- Pierce menurut Makridaskis et al. (1983) adalah:
(
)∑
dengan = nilai korelasi diri pada lag ke= banyaknya amatan pada data awal = ordo pembedaan = lag maksimum 4.
Peramalan: Peramalan merupakan suatu proses untuk memperoleh data beberapa periode waktu ke depan. Untuk memperoleh sejauh period ke depan dari titik waktu ke , maka dipilih satu model yang memiliki nilai Kuadrat Tengah Galat (KTG) minimum. Perhitungan dilakukan secara rekursif, yaitu menghitung peramalan satu periode kemudian dua periode, dan seterusnya sampai periode ke depan.
Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung Mean Absolute Percentage Error (MAPE), dengan rumus sebagai berikut: ∑
|
|
Dengan adalah pengamatan pada waktu kedan adalah ramalan pada waktu ke- . Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual.
III PEMBAHASAN 3.1 Model Wiener Harga saham diasumsikan mengikuti proses Wiener. Dalam penentuan model maka terlebih dahulu dibutuhkan data. Data yang diperoleh adalah data harga penutupan saham Mc-Donald selama tahun 2010. Data tersebut terdapat pada Lampiran 1. Model Wiener dapat dicari dengan mencari model perubahan harga terlebih dahulu. Dengan asumsi tingkat pengembalian konstan dan volatility konstan model perubahan harga saham adalah
Misalkan (
)
dengan : banyaknya amatan : harga akhir saham pada interval ke- , dengan : panjang interval waktu dalam satu tahun dan untuk mencari standar deviasi dari dengan rumus
dengan
√
: harga saham pada waktu : tingkat pengembalian yang diharapkan : perubahan waktu : volatility dari harga saham : proses Wiener ~ ∅ (0,1) Setelah data didapatkan, selanjutnya dilakukan pengolahan data untuk proses selanjutnya. Untuk menduga tingkat pengembalian yang diharapkan, digunakan asumsi volatility harga saham nol, maka model menjadi
∑
(
dimana ̅ adalah rata- rata dari
̅)
.
Dari Lampiran 1, dapat diketahui bahwa , karena data yang diambil adalah data 80%, sisanya yang 20% digunakan untuk peramalan. Karena data tersebut sebanyak 202 data, maka panjang waktu dalam setahun menggunakan formulasi
sehingga didapatkan jika
, maka
dari Lampiran 2 didapatkan
Kemudian dengan menggunakan software minitab dapat diketahui bahwa analisis regresi antara harga saham terhadap waktu menghasilkan tingkat pengembalian ( ) sebesar 0.0316 (Lampiran 3). Selanjutnya yang harus dicari adalah penduga volatility dari harga saham tersebut. Biasanya data yang diambil berasal dari interval yang tepat dari waktu (misalnya harian, bulanan atau tahunan). Dalam kasus ini yang diambil adalah data harian.
Penduga volatility dapat dicari dengan formulasi ̂ sehingga didapatkan ̂
√
√
8
dan standar deviasi dari pendugaan tersebut dapat dicari dengan formulasi ( ̂)
̂ √
sehingga didapatkan hasilnya sebesar
harga saham tertinggi terjadi pada minggu pertama Desember 2010 (80.34). Plot deret waktu terhadap harga penutupan saham dari Januari 2010 hingga Desember 2010 menunjukkan perkembangan yang cenderung meningkat. Model umum ARIMA ( ) adalah ( )(
( ̂)
√
)
dengan
Dari hasil di atas diketahui bahwa penduga volatility ( ) adalah sebesar 0.142685 atau 14.27%. Berdasarkan hasil perhitungan di atas perubahan harga berdasarkan proses Wiener adalah (3.1)
= derajat autoregressive (AR) = derajat pembeda = derajat moving average (MA) = waktu = operator backshift = parameter yang menjelaskan AR
Pada Gambar 1 dapat terlihat bahwa data tersebut memiliki drift rate positif dan volatility kecil, sesuai dengan teori maka data tersebut cocok mengikuti proses Wiener.
= parameter yang menjelaskan MA = galat acak pada waktu ke- yang diasumsikan menyebar normal bebas stokastik. =(
80
=(
Harga Saham
75
) )
( ) 70
65
60 1
25
50
75
100
125 150 Waktu
175
200
225
250
Gambar 1 Data Saham Mc-Donald Selama Tahun 2010 Setelah didapatkan model perubahan harga saham, maka dilakukan simulasi Monte Carlo untuk mendapatkan nilai peramalan untuk selang waktu berikutnya. Simulasi tersebut dapat dilihat di Lampiran 4. 3.2 Model ARIMA Selanjutnya akan dilakukan pengujian menggunakan analisis deret waktu. Harga penutupan saham Mc-Donald meningkat seiring dengan bertambahnya waktu. Harga saham terendah terjadi pada bulan minggu pertama Januari 2010 (61.45) sedangkan
Tahap awal sebelum mengidentifikasi model ARIMA data Harga Pentupan Saham adalah pemeriksaan kestasioneran data tersebut. Plot data asli pada Gambar 1 dan plot korelasi diri (ACF) pada Gambar 2 yang menunjukkkan pola dies down atau turun secara eksponensial serta plot korelasi diri parsial (PACF) pada Gambar 3 yang menunjukkan pola terputus setelah lag-1 menunjukkan bahwa data tidak stasioner. Hal tersebut juga dapat dilihat dari uji Augmented Dickey-Fuller pada Lampiran 5, pada plot data asli masih mengandung nilailebih besar dari 0.05 yang menunjukkan data tidak stasioner. Karena itu dilakukan pembedaan satu kali ( ) untuk mencari output yang stasioner. Setelah dilakukan pembedaan satu kali dapat dilihat pada Gambar 4 bahwa plot data menunjukkan kecenderungan berada di sekitar nilai tengah nol. Dapat pula dilihat dari plot ACF pada Gambar 5 dan plot PACF pada Gambar 6. Selain itu dari uji Augmented Dickey-Fuller juga mengandung nilai- yang kurang dari
9
0.05 yang menunjukkan data telah stasioner (Lampiran 6). Karena itu tidak diperlukan pembedaan dua kali atau lebih.
1,0 0,8
Autocorrelation
0,6
1,0 0,8
Autocorrelation
0,6
0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4
0,4
-0,6
0,2
-0,8
0,0
-1,0
-0,2
1
5
10
15
20
-0,4
25 Lag
30
35
40
45
50
-0,6 -0,8 -1,0 1
5
10
15
20
25
30 Lag
35
40
45
50
55
60
Gambar 5 Plot Korelasi Diri (ACF) Setelah Pembedaan Satu Kali
1,0
Gambar 2 Plot Korelasi Diri (ACF)
0,8 Partial Autocorrelation
0,6
1,0 0,8
Partial Autocorrelation
0,6 0,4 0,2
0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6
0,0
-0,8
-0,2
-1,0 1
-0,4 -0,6
5
10
15
20
25 Lag
30
35
40
45
50
-0,8 -1,0 1
5
10
15
20
25
30 Lag
35
40
45
50
55
60
Gambar 3 Plot Korelasi Diri Parsial (PACF) 3
2
1
0
-1
-2 1
20
40
60
80
100 Index
120
Gambar 4 Plot Output Stasioner
140
160
180
200
Gambar 6 Plot Korelasi Diri Parsial (PACF) Setelah Pembedaan Satu Kali Pada plot ACF dan PACF di atas garis yang berwarna biru menunjukkan pola dari data yang diolah sedangkan garis yang berwarna merah menunjukkan batas grafik dikatakan bernilai nol atau bukan nol. Setelah data stasioner, tahap selanjutnya adalah mengidentifikasi model tentatif berdasarkan karakteristik ACF (Gambar 5) dan PACF (Gambar 6). Plot korelasi diri menunjukkan ordo- dan plot korelasi ordo parsial menunjukkan ordo- . Dari kedua plot tersebut ada tiga model yang teridentifikasi yaitu ARIMA (1,1,0), ARIMA (2,1,0), dan ARIMA (1,1,1). Tahap selanjutnya adalah pendugaan parameter dengan proses trial and error, yaitu dengan memperkecil ordo- atau yang mempunyai -hitung kecil atau menambah ordo- atau yang mempunyai -hitung besar sehingga memperoleh kandidat- kandidat model. Hasil pendugaan parameter tersebut dapat dilihat pada Tabel 1.
10
Tabel 1 Alternatif Model ARIMA Tentatif untuk Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010
ARIMA (1,1,0)
ARIMA (2,1,0)
ARIMA (1,1,1)
Parameter
Koefisien
Kesignifikanan
Parameter
parameter (nilai-p)
Uji Ljung-BoxPierce Lag ke-
0.08467
0.081
12
0.512
AR(1)
-0.1611
0.022
24
0.484
38
0.668
48
0.514
Konstanta
0.09254
0.057
12
0.409
AR(1)
-0.1751
0.014
24
0.252
AR(2)
-0.085
0.232
38
0.398
48
0.258
Konstanta
0.06418
0.059
12
0.402
AR(1)
0.1251
0.419
24
0.298
MA(1)
0.3007
0.746
38
0.47
48
0.325
Setelah dilakukan pengujian seperti yang dilampirkan pada Lampiran 7, 8 dan 9. Dapat dilihat bahwa model yang memiliki parameter yang nyata adalah ARIMA (1,1,0) karena nilai- koefisien AR = 0.022, kurang dari = 0.05. ARIMA (2,1,0) memiliki nilai MS lebih kecil, namun nilai- kofisien AR(2)= 0.232, melebihi nilai . Sehingga model yang dipilih adalah model yang memiliki nilai parameter nyata, yaitu ARIMA (1,1,0). Koefisien parameter AR (1) pada model ARIMA (1,1,0) yaitu -0.1611, merupakan konstanta untuk model peramalan. Setelah didapatkan model terbaik, selanjutnya adalah diagnostik terhadap model sisaan. Pengujian Ljung-Box-Pierce (uji kelayakan model) pada Tabel 1 menunjukkan nilai korelasi diri sisaan tidak berbeda nyata dengan nol pada semua lagnya (nilai- lebih dari ), artinya model ARIMA (1,1,0) layak. Hal tersebut juga dapat dilihat secara visual, yaitu dapat dilihat pada Gambar 7 bahwa plot residual terhadap waktu sudah tidak memiliki pola tertentu atau sudah bersifat acak.
MS
Nilai-p
Konstanta
0.469
0.4679
0.4692
2
1 Residual
Model ARIMA
0
0
-1
-2 0
50
100 waktu
150
200
Gambar 7 Plot Residual Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 Model ARIMA Dari plot residual fungsi korelasi diri (RACF) dan plot residual fungsi korelasi diri parsial (RPACF) juga tidak menujukkan nilai autokorelasi yang nyata, artinya model sudah besifat acak (Lampiran 10). Selain bersifat acak, sisaan harus normal. Hal tersebut dapat dilihat pada Gambar 8 yang menunjukkan bahwa plot kenormalan cenderung lurus, yang berarti bahwa sisaan mengikuti sebaran normal.
11
99.9 99 95
Percent
90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1
-2
-1
0 Residual
1
2
Gambar 8 Plot Kenormalan Sisaan Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 Model ARIMA
Validasi model diperlukan untuk melihat keakuratan model, yaitu membandingkan antara data aktual dengan data peramalan yang dihasilkan oleh model. Perbandingan hasil peramalan antara model Wiener, model ARIMA dengan data aktual dapat dilihat pada Lampiran 11. Nilai MAPE hasil peramalan dengan model Wiener adalah 0.0172797 sedangkan pada model ARIMA sebesar 0.020014. Nilai MAPE model Wiener lebih kecil dibandingkan dengan model ARIMA, hal tersebut menunjukkan bahwa model Wiener lebih baik untuk pemodelan dibandingkan model ARIMA.
(3.2)
Untuk hasil peramalan serta pembandingan dapat dilihat pada subbab selanjutnya. 3.3 Peramalan dan Pembandingan Peramalan dengan model Wiener dapat dilakukan dengan mengolah data menggunakan persamaan (3.1). Persamaan tersebut merupakan model perubahan harga, sehingga untuk melakukan peramalan nilai yang akan datang dapat dilakukan dengan menambahkan perubahan harga saham pada waktu- dengan harga saham pada waktuuntuk mendapatkan nilai harga saham pada waktu-( ). Pada model ARIMA sendiri peramalan dapat dilakukan dengan mengolah persamaan (3.2), karena persamaan tersebut sudah merupakan model untuk meramalkan harga saham pada waktu yang akan datang. Hasil pengolahan data tersebut dapat dilihat pada Lampiran 7.
Harga Peramalan
82
Dengan demikian asumsi keacakan dan kenormalan terpenuhi. Maka model ARIMA (1,1,0) merupakan model terbaik untuk meramalkan harga penutupan saham McDonald. Model tersebut adalah
80 78 76 74 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 Waktu Aktual
Wiener
ARIMA
Gambar 9 Plot Data Aktual, Data Peramalan Model Wiener dan Model ARIMA Dari plot data aktual, data peramalan model Wiener dan Model ARIMA pada Gambar 9, diketahui pola data aktual lebih mirip dengan model Wiener dibandingkan dengan model ARIMA yang cenderung memiliki pola trend linier. Peramalan dengan model Wiener masih mempertimbangkan fluktuasi sehingga peramalannya lebih mendekati data yang sebenarnya. Selain itu model ARIMA mengikuti proses deterministik yang tidak memperhitungkan peluang, sehingga terlihat bahwa peramalannya cenderung linier mengikuti garis lurus.
IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Harga saham dapat dimodelkan dengan menggunakan generalisasi proses Wiener maupun dengan model ARIMA. Proses Wiener merupakan proses stokastik, sedangkan ARIMA adalah proses deterministik yang tidak memperhitungkan peluang. Karena harga saham sendiri dipengaruhi oleh peluang maka akan lebih cocok jika dimodelkan menggunakan generalisasi proses Wiener. Hal tersebut juga dapat dilihat pada hasil peramalan yang menunjukkan bahwa model Wiener sedikit lebih baik dalam peramalan harga penutupan saham Mc-Donald. Hasil
peramalan menggunakan model ARIMA kurang memuaskan, hal tersebut dapat dikarenakan adanya variabel lain yang mempengaruhi harga saham tersebut yang tidak dipertimbangkan dalam model. 4.2 Saran Penulis menyarankan untuk mengkaji pemodelan dan peramalan dengan metode lain yang mungkin lebih representatif. Selain itu tipe plot data harga saham dapat lebih divariasikan, tidak hanya yang memiliki drift rate positif yang dijadikan data untuk pemodelan.
DAFTAR PUSTAKA Bowerman BL, O’ Connell, RT. 1987. Time Series Forecasting. Inufied Concepts and Computer Implementation. 2nd edition. Boston: Duxbury Press. Cryer JD. 1986. Time Series Analysis. Boston : Duxbury Press. Firdaus, M. 2006. Analisis Deret Waktu Satu Ragam. Bogor: IPB Press. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. New Jersey: Prentice Hall, Inc. Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2nd edition. Oxford: University Press. Hull JC. 2006. Options, Futures, and Other Derivatives. 6th edition. New Jersey:Pearson Education.
http://finance.yahoo.com/q/hp?s=MCD+Hist orical+Prices [18 februari 2011] Makridaskis S, Whelwright SC, VE McGee VE. 1983. Forecasting: Methods and Applications. 2nd edition. New York: John Wiley and Sons. Mulyana. 2004. Analisis Data Deret Waktu. http://resources.unpad.ac.id/unpadcontent/uploads/publikasi_dosen/PEN GUJIAN%20AUTOKORELASI%20 PERIODIK%20UNTUK%20DATA %20DERET%20WAKTU.PDF [13 Maret 2011]. Ross SM. 2003. Introduction to Probability Models. Burlington: Elsevier, Inc.
LAMPIRAN
14
Lampiran 1 Tabel Harga Penutupan Saham Mc-Donald Tahun 2010 No
Tanggal
Saham
No
1
1/4/10
62.78
43
2
1/5/10
62.30
44
3
1/6/10
61.45
4
1/7/10
5 6 7
Tanggal
Saham
No
Tanggal
Saham
3/5/10
63.67
85
5/5/10
70.66
3/8/10
65.12
86
5/6/10
69.42
45
3/9/10
65.10
87
5/7/10
68.01
61.90
46
3/10/10
64.94
88
5/10/10
70.58
1/8/10
61.84
47
3/11/10
65.21
89
5/11/10
70.48
1/11/10
62.32
48
3/12/10
65.53
90
5/12/10
70.67
1/12/10
62.66
49
3/15/10
65.93
91
5/13/10
70.50
8
1/13/10
62.59
50
3/16/10
66.07
92
5/14/10
69.59
9
1/14/10
62.65
51
3/17/10
66.38
93
5/17/10
70.14
10
1/15/10
62.28
52
3/18/10
66.68
94
5/18/10
70.02
11
1/19/10
63.48
53
3/19/10
66.53
95
5/19/10
69.40
12
1/20/10
63.01
54
3/22/10
67.01
96
5/20/10
67.66
13
1/21/10
63.20
55
3/23/10
67.35
97
5/21/10
67.86
14
1/22/10
63.39
56
3/24/10
66.80
98
5/24/10
67.66
15
1/25/10
63.09
57
3/25/10
66.90
99
5/25/10
67.84
16
1/26/10
63.81
58
3/26/10
67.26
100
5/26/10
66.01
17
1/27/10
63.73
59
3/29/10
67.07
101
5/27/10
67.20
18
1/28/10
62.83
60
3/30/10
67.24
102
5/28/10
66.87
19
1/29/10
62.43
61
3/31/10
66.72
103
6/1/10
66.36
20
2/1/10
63.89
62
4/1/10
67.58
104
6/2/10
67.77
21
2/2/10
64.03
63
4/5/10
68.03
105
6/3/10
67.85
22
2/3/10
65.21
64
4/6/10
67.81
106
6/4/10
66.70
23
2/4/10
64.06
65
4/7/10
67.70
107
6/7/10
66.75
24
2/5/10
63.37
66
4/8/10
68.76
108
6/8/10
68.38
25
2/8/10
62.92
67
4/9/10
68.68
109
6/9/10
68.26
26
2/9/10
63.57
68
4/12/10
68.53
110
6/10/10
69.37
27
2/10/10
63.25
69
4/13/10
68.92
111
6/11/10
69.54
28
2/11/10
63.79
70
4/14/10
69.42
112
6/14/10
69.30
29
2/12/10
63.59
71
4/15/10
69.16
113
6/15/10
70.40
30
2/16/10
64.01
72
4/16/10
69.03
114
6/16/10
70.29
31
2/17/10
64.26
73
4/19/10
69.92
115
6/17/10
70.05
32
2/18/10
64.48
74
4/20/10
70.34
116
6/18/10
69.88
33
2/19/10
64.74
75
4/21/10
70.36
117
6/21/10
69.92
34
2/22/10
64.77
76
4/22/10
71.03
118
6/22/10
68.64
35
2/23/10
64.87
77
4/23/10
71.15
119
6/23/10
68.63
36
2/24/10
65.26
78
4/26/10
71.02
120
6/24/10
67.73
37
2/25/10
64.38
79
4/27/10
70.53
121
6/25/10
67.42
38
2/26/10
63.85
80
4/28/10
70.34
122
6/28/10
67.33
39
3/1/10
63.98
81
4/29/10
71.52
123
6/29/10
66.46
40
3/2/10
64.07
82
4/30/10
70.59
124
6/30/10
65.87
41
3/3/10
63.63
83
5/3/10
71.42
125
7/1/10
66.71
42
3/4/10
63.43
84
5/4/10
70.64
126
7/2/10
66.14
15
No
Tanggal
Saham
No
Tanggal
Saham
No
Tanggal
Saham
127
7/6/10
66.11
169
9/2/10
75.02
211
11/2/10
78.40
128
7/7/10
67.31
170
9/3/10
75.09
212
11/3/10
78.50
129
7/8/10
69.02
171
9/7/10
75.80
213
11/4/10
79.18
130
7/9/10
69.22
172
9/8/10
76.08
214
11/5/10
79.30
131
7/12/10
69.94
173
9/9/10
74.37
215
11/8/10
79.31
132
7/13/10
70.84
174
9/10/10
75.01
216
11/9/10
79.10
133
7/14/10
70.90
175
9/13/10
74.57
217
11/10/10
79.50
134
7/15/10
71.33
176
9/14/10
73.94
218
11/11/10
79.70
135
7/16/10
69.94
177
9/15/10
74.71
219
11/12/10
78.85
136
7/19/10
69.91
178
9/16/10
74.80
220
11/15/10
79.07
137
7/20/10
70.87
179
9/17/10
74.32
221
11/16/10
77.42
138
7/21/10
70.11
180
9/20/10
75.11
222
11/17/10
78.37
139
7/22/10
71.40
181
9/21/10
75.51
223
11/18/10
79.02
140
7/23/10
69.90
182
9/22/10
75.13
224
11/19/10
79.64
141
7/26/10
70.87
183
9/23/10
74.64
225
11/22/10
79.52
142
7/27/10
70.40
184
9/24/10
75.10
226
11/23/10
79.01
143
7/28/10
69.77
185
9/27/10
74.76
227
11/24/10
79.48
144
7/29/10
69.38
186
9/28/10
74.63
228
11/26/10
78.54
145
7/30/10
69.73
187
9/29/10
74.45
229
11/29/10
78.26
146
8/2/10
70.25
188
9/30/10
74.51
230
11/30/10
78.30
147
8/3/10
70.45
189
10/1/10
74.92
231
12/1/10
79.29
148
8/4/10
70.69
190
10/4/10
74.95
232
12/2/10
79.38
149
8/5/10
70.45
191
10/5/10
75.82
233
12/3/10
79.76
150
8/6/10
71.74
192
10/6/10
75.56
234
12/6/10
79.58
151
8/9/10
72.92
193
10/7/10
75.86
235
12/7/10
80.34
152
8/10/10
72.84
194
10/8/10
76.10
236
12/8/10
78.74
153
8/11/10
71.57
195
10/11/10
75.59
237
12/9/10
77.61
154
8/12/10
72.06
196
10/12/10
75.58
238
12/10/10
77.56
155
8/13/10
71.89
197
10/13/10
75.75
239
12/13/10
77.11
156
8/16/10
71.79
198
10/14/10
77.04
240
12/14/10
77.11
157
8/17/10
73.22
199
10/15/10
77.48
241
12/15/10
76.98
158
8/18/10
73.25
200
10/18/10
77.32
242
12/16/10
76.71
159
8/19/10
72.97
201
10/19/10
76.99
243
12/17/10
76.81
160
8/20/10
73.08
202
10/20/10
77.41
244
12/20/10
76.92
161
8/23/10
73.34
203
10/21/10
78.44
245
12/21/10
76.86
162
8/24/10
72.72
204
10/22/10
78.55
246
12/22/10
77.01
163
8/25/10
73.19
205
10/25/10
78.70
164
8/26/10
73.16
206
10/26/10
78.76
165
8/27/10
73.99
207
10/27/10
77.48
166
8/30/10
72.74
208
10/28/10
77.48
167
8/31/10
73.06
209
10/29/10
77.77
168
9/1/10
74.54
210
11/1/10
77.88
247 248 249 250 251 252
12/23/10 12/27/10 12/28/10 12/29/10 12/30/10 12/31/10
76.96 76.43 76.43 76.99 76.76 76.76
16
Lampiran 2 Komputasi dari Volatility No
Date
Close ( )
Price Relative ( )
Daily Return ( ( ))
1
04/01/2010
62.78
2
05/01/2010
62.30
0.992354253
-0.007675126
3
06/01/2010
61.45
0.986356340
-0.013737590
4
07/01/2010
61.90
1.007323027
0.007296344
5
08/01/2010
61.84
0.999030695
-0.000969775
6
11/01/2010
62.32
1.007761966
0.007731997
7
12/01/2010
62.66
1.005455712
0.005440884
8
13/01/2010
62.59
0.998882860
-0.001117765
9
14/01/2010
62.65
1.000958620
0.000958160
10
15/01/2010
62.28
0.994094174
-0.005923334
11
19/01/2010
63.48
1.019267823
0.019084549
12
20/01/2010
63.01
0.992596093
-0.007431452
13
21/01/2010
63.20
1.003015394
0.003010857
14
22/01/2010
63.39
1.003006329
0.003001819
15
25/01/2010
63.09
0.995267392
-0.004743842
16
26/01/2010
63.81
1.011412268
0.011347639
17
27/01/2010
63.73
0.998746278
-0.001254509
18
28/01/2010
62.83
0.985877922
-0.014222743
19
29/01/2010
62.43
0.993633615
-0.006386737
20
01/02/2010
63.89
1.023386193
0.023116926
21
02/02/2010
64.03
1.002191266
0.002188869
22
03/02/2010
65.21
1.018428861
0.018261108
23
04/02/2010
64.06
0.982364668
-0.017792687
24
05/02/2010
63.37
0.989228848
-0.010829581
25
08/02/2010
62.92
0.992898848
-0.007126485
26
09/02/2010
63.57
1.010330579
0.010277583
27
10/02/2010
63.25
0.994966179
-0.005046533
28
11/02/2010
63.79
1.008537549
0.008501311
29
12/02/2010
63.59
0.996864712
-0.003140213
30
16/02/2010
64.01
1.006604812
0.006583096
31
17/02/2010
64.26
1.003905640
0.003898033
32
18/02/2010
64.48
1.003423592
0.003417745
33
19/02/2010
64.74
1.004032258
0.004024150
34
22/02/2010
64.77
1.000463392
0.000463285
35
23/02/2010
64.87
1.001543925
0.001542734
36
24/02/2010
65.26
1.006012024
0.005994024
37
25/02/2010
64.38
0.986515477
-0.013576265
38
26/02/2010
63.85
0.991767630
-0.008266443
39
01/03/2010
63.98
1.002036022
0.002033952
40
02/03/2010
64.07
1.001406690
0.001405701
41
03/03/2010
63.63
0.993132511
-0.006891178
17
No
Date
Close ( )
Price Relative ( )
Daily Return ( ( ))
42
04/03/2010
63.43
0.996856829
-0.003148122
43
05/03/2010
63.67
1.003783699
0.003776558
44
08/03/2010
65.12
1.022773677
0.022518228
45
09/03/2010
65.10
0.999692875
-0.000307172
46
10/03/2010
64.94
0.997542243
-0.002460783
47
11/03/2010
65.21
1.004157684
0.004149065
48
12/03/2010
65.53
1.004907223
0.004895222
49
15/03/2010
65.93
1.006104074
0.006085520
50
16/03/2010
66.07
1.002123464
0.002121213
51
17/03/2010
66.38
1.004691993
0.004681020
52
18/03/2010
66.68
1.004519434
0.004509252
53
19/03/2010
66.53
0.997750450
-0.002252084
54
22/03/2010
67.01
1.007214790
0.007188888
55
23/03/2010
67.35
1.005073870
0.005061041
56
24/03/2010
66.80
0.991833705
-0.008199822
57
25/03/2010
66.90
1.001497006
0.001495887
58
26/03/2010
67.26
1.005381166
0.005366739
59
29/03/2010
67.07
0.997175141
-0.002828856
60
30/03/2010
67.24
1.002534665
0.002531458
61
31/03/2010
66.72
0.992266508
-0.007763550
62
01/04/2010
67.58
1.012889688
0.012807323
63
05/04/2010
68.03
1.006658775
0.006636703
64
06/04/2010
67.81
0.996766133
-0.003239108
65
07/04/2010
67.70
0.998377820
-0.001623497
66
08/04/2010
68.76
1.015657312
0.015536001
67
09/04/2010
68.68
0.998836533
-0.001164144
68
12/04/2010
68.53
0.997815958
-0.002186430
69
13/04/2010
68.92
1.005690938
0.005674806
70
14/04/2010
69.42
1.007254788
0.007228599
71
15/04/2010
69.16
0.996254682
-0.003752350
72
16/04/2010
69.03
0.998120301
-0.001881468
73
19/04/2010
69.92
1.012892945
0.012810539
74
20/04/2010
70.34
1.006006865
0.005988896
75
21/04/2010
70.36
1.000284333
0.000284293
76
22/04/2010
71.03
1.009522456
0.009477403
77
23/04/2010
71.15
1.001689427
0.001688002
78
26/04/2010
71.02
0.998172874
-0.001828797
79
27/04/2010
70.53
0.993100535
-0.006923376
80
28/04/2010
70.34
0.997306111
-0.002697524
81
29/04/2010
71.52
1.016775661
0.016636504
82
30/04/2010
70.59
0.986996644
-0.013088639
83
03/05/2010
71.42
1.011758039
0.011689451
84
04/05/2010
70.64
0.989078689
-0.010981386
18
No
Date
Close ( )
Price Relative ( )
Daily Return ( ( ))
85
05/05/2010
70.66
1.000283126
0.000283086
86
06/05/2010
69.42
0.982451175
-0.017704631
87
07/05/2010
68.01
0.979688850
-0.020520257
88
10/05/2010
70.58
1.037788561
0.037092065
89
11/05/2010
70.48
0.998583168
-0.001417837
90
12/05/2010
70.67
1.002695800
0.002692173
91
13/05/2010
70.50
0.997594453
-0.002408445
92
14/05/2010
69.59
0.987092199
-0.012991831
93
17/05/2010
70.14
1.007903434
0.007872366
94
18/05/2010
70.02
0.998289136
-0.001712329
95
19/05/2010
69.40
0.991145387
-0.008894048
96
20/05/2010
67.66
0.974927954
-0.025391704
97
21/05/2010
67.86
1.002955956
0.002951596
98
24/05/2010
67.66
0.997052756
-0.002951596
99
25/05/2010
67.84
1.002660361
0.002656828
100
26/05/2010
66.01
0.973024764
-0.027345746
101
27/05/2010
67.20
1.018027572
0.017867002
102
28/05/2010
66.87
0.995089286
-0.004922811
103
01/06/2010
66.36
0.992373262
-0.007655971
104
02/06/2010
67.77
1.021247740
0.021025154
105
03/06/2010
67.85
1.001180463
0.001179767
106
04/06/2010
66.70
0.983050847
-0.017094433
107
07/06/2010
66.75
1.000749625
0.000749344
108
08/06/2010
68.38
1.024419476
0.024126087
109
09/06/2010
68.26
0.998245101
-0.001756441
110
10/06/2010
69.37
1.016261354
0.016130554
111
11/06/2010
69.54
1.002450627
0.002447629
112
14/06/2010
69.30
0.996548749
-0.003457220
113
15/06/2010
70.40
1.015873016
0.015748357
114
16/06/2010
70.29
0.998437500
-0.001563722
115
17/06/2010
70.05
0.996585574
-0.003420268
116
18/06/2010
69.88
0.997573162
-0.002429788
117
21/06/2010
69.92
1.000572410
0.000572246
118
22/06/2010
68.64
0.981693364
-0.018476276
119
23/06/2010
68.63
0.999854312
-0.000145698
120
24/06/2010
67.73
0.986886201
-0.013200544
121
25/06/2010
67.42
0.995423003
-0.004587503
122
28/06/2010
67.33
0.998665085
-0.001335807
123
29/06/2010
66.46
0.987078568
-0.013005640
124
30/06/2010
65.87
0.991122480
-0.008917160
125
01/07/2010
66.71
1.012752391
0.012671764
126
02/07/2010
66.14
0.991455554
-0.008581159
127
06/07/2010
66.11
0.999546417
-0.000453686
19
No
Date
Close ( )
Price Relative ( )
Daily Return ( ( ))
128
07/07/2010
67.31
1.018151566
0.017988793
129
08/07/2010
69.02
1.025404843
0.025087504
130
09/07/2010
69.22
1.002897711
0.002893521
131
12/07/2010
69.94
1.010401618
0.010347893
132
13/07/2010
70.84
1.012868173
0.012786081
133
14/07/2010
70.90
1.000846979
0.000846621
134
15/07/2010
71.33
1.006064880
0.006046563
135
16/07/2010
69.94
0.980513108
-0.019679265
136
19/07/2010
69.91
0.999571061
-0.000429031
137
20/07/2010
70.87
1.013731941
0.013638512
138
21/07/2010
70.11
0.989276139
-0.010781776
139
22/07/2010
71.40
1.018399658
0.018232432
140
23/07/2010
69.90
0.978991597
-0.021232220
141
26/07/2010
70.87
1.013876967
0.013781564
142
27/07/2010
70.40
0.993368139
-0.006653950
143
28/07/2010
69.77
0.991051136
-0.008989145
144
29/07/2010
69.38
0.994410205
-0.005605476
145
30/07/2010
69.73
1.005044681
0.005032000
146
02/08/2010
70.25
1.007457335
0.007429667
147
03/08/2010
70.45
1.002846975
0.002842930
148
04/08/2010
70.69
1.003406671
0.003400882
149
05/08/2010
70.45
0.996604895
-0.003400882
150
06/08/2010
71.74
1.018310859
0.018145234
151
09/08/2010
72.92
1.016448285
0.016314478
152
10/08/2010
72.84
0.998902907
-0.001097695
153
11/08/2010
71.57
0.982564525
-0.017589263
154
12/08/2010
72.06
1.006846444
0.006823114
155
13/08/2010
71.89
0.997640855
-0.002361932
156
16/08/2010
71.79
0.998608986
-0.001391982
157
17/08/2010
73.22
1.019919209
0.019723417
158
18/08/2010
73.25
1.000409724
0.000409640
159
19/08/2010
72.97
0.996177474
-0.003829850
160
20/08/2010
73.08
1.001507469
0.001506334
161
23/08/2010
73.34
1.003557745
0.003551431
162
24/08/2010
72.72
0.991546223
-0.008489713
163
25/08/2010
73.19
1.006463146
0.006442350
164
26/08/2010
73.16
0.999590108
-0.000409976
165
27/08/2010
73.99
1.011344997
0.011281125
166
30/08/2010
72.74
0.983105825
-0.017038509
167
31/08/2010
73.06
1.004399230
0.004389582
168
01/09/2010
74.54
1.020257323
0.020054873
169
02/09/2010
75.02
1.006439496
0.006418851
170
03/09/2010
75.09
1.000933085
0.000932649
20
No
Date
Close ( )
Price Relative ( )
Daily Return ( ( ))
171
07/09/2010
75.80
1.009455320
0.009410899
172
08/09/2010
76.08
1.003693931
0.003687126
173
09/09/2010
74.37
0.977523659
-0.022732784
174
10/09/2010
75.01
1.008605621
0.008568803
175
13/09/2010
74.57
0.994134115
-0.005883156
176
14/09/2010
73.94
0.991551562
-0.008484328
177
15/09/2010
74.71
1.010413849
0.010359998
178
16/09/2010
74.80
1.001204658
0.001203933
179
17/09/2010
74.32
0.993582888
-0.006437790
180
20/09/2010
75.11
1.010629709
0.010573611
181
21/09/2010
75.51
1.005325523
0.005311392
182
22/09/2010
75.13
0.994967554
-0.005045151
183
23/09/2010
74.64
0.993477972
-0.006543390
184
24/09/2010
75.10
1.006162915
0.006144002
185
27/09/2010
74.76
0.995472703
-0.004537576
186
28/09/2010
74.63
0.998261102
-0.001740411
187
29/09/2010
74.45
0.997588101
-0.002414812
188
30/09/2010
74.51
1.000805910
0.000805585
189
01/10/2010
74.92
1.005502617
0.005487533
190
04/10/2010
74.95
1.000400427
0.000400347
191
05/10/2010
75.82
1.011607738
0.011540886
192
06/10/2010
75.56
0.996570826
-0.003435067
193
07/10/2010
75.86
1.003970355
0.003962494
194
08/10/2010
76.10
1.003163723
0.003158729
195
11/10/2010
75.59
0.993298292
-0.006724266
196
12/10/2010
75.58
0.999867707
-0.000132301
197
13/10/2010
75.75
1.002249272
0.002246746
198
14/10/2010
77.04
1.017029703
0.016886323
199
15/10/2010
77.48
1.005711319
0.005695071
200
18/10/2010
77.32
0.997934951
-0.002067184
201
19/10/2010
76.99
0.995732023
-0.004277111
202
20/10/2010
77.41
1.005455254
0.005440428
21
Lampiran 3 Pengolahan Data Menggunakan Minitab
Regression Analysis: Mcd versus t The regression equation is Mcd = 0.0316 t Predictor Noconstant t
Coef
SE Coef
T
P
0.031595
0.001242
25.43
0.000
S = 2.06666 Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total
DF 1 201 202
SS 2763.1 858.5 3621.6
MS 2763.1 4.3
F 646.92
P 0.000
22
Lampiran 4 Tabel Simulasi Monte Carlo Harga penutupan saham
Contoh acak
78.44
-1.622380
-0.231333
78.54
0.204140
0.029284
78.55
-0.553486
-0.078818
78.26
-0.760031
-0.108289
78.7
-0.260071
-0.036952
78.3
0.518333
0.074115
78.76
0.947131
0.135298
79.29
-0.991235
-0.141278
77.48
0.970333
0.138608
79.38
-0.849439
-0.121046
77.48
-0.910461
-0.129753
79.76
-0.279066
-0.039662
77.77
-1.980230
-0.282393
79.58
-0.569762
-0.081140
Perubahan harga
Harga penutupan saham
Contoh acak
Perubahan harga
77.88
0.728119
0.104048
80.34
-0.724649
-0.103240
78.4
-1.041440
-0.148441
78.74
0.099968
0.014420
78.5
1.632180
0.233044
77.61
-0.919770
-0.131081
79.18
-0.541427
-0.077097
77.56
-0.388181
-0.055231
79.3
0.061875
0.008985
77.11
1.268980
0.181221
79.31
-0.664382
-0.094641
77.11
1.475450
0.210681
79.1
0.781013
0.111595
76.98
0.289164
0.041416
79.5
0.773792
0.110565
76.71
-0.668472
-0.095225
79.7
0.024096
0.003595
76.81
0.332604
0.047614
78.85
0.603668
0.086291
76.92
0.611082
0.087349
79.07
0.040347
0.005913
76.86
1.352340
0.193115
77.42
0.724566
0.103541
77.01
0.401146
0.057394
78.37
0.873722
0.124823
76.96
2.031430
0.290011
79.02
-1.002750
-0.142921
76.43
-0.362980
-0.051635
79.64
0.094418
0.013628
76.43
1.354750
0.193459
79.52
1.279300
0.182693
76.99
-0.016692
-0.002225
79.01
-3.204390
-0.457062
76.76
-2.000990
-0.285355
79.48
0.942596
0.134651
76.76
-0.959105
-0.136694
23
Lampiran 5 Hasil Uji Augmented Dickey-Fuller Data Asli Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests Type Zero Mean
Single Mean
Trend
Lags
Rho
Pr < Rho
Tau
Pr < Tau
F
Pr > F
2
0.2213
0.7347
1.98
0.9888
3
0.2183
0.7340
1.86
0.9850
4
0.2185
0.7340
1.80
0.9828
2
-1.4474
0.8404
-0.75
0.8297
2.34
0.4742
3
-1.5868
0.8251
4
-1.7844
0.8026
-0.78
0.8220
2.13
0.5289
-0.84
0.8044
2.07
0.5431
2
-12.8039
0.2637
-2.41
0.3722
2.92
0.5937
3
-14.9001
0.1779
-2.54
0.3092
3.24
0.5304
4
-17.1340
0.1142
-2.65
0.2577
3.53
0.4723
Lampiran 6 Hasil Uji Augmented Dickey-Fuller Data Penutupan Harga Saham Setelah Pembedaan Satu Kali Augmented Dickey-Fuller Unit Root Tests Type Zero Mean
Single Mean
Trend
Lags
Rho
Pr < Rho
Tau
Pr < Tau
F
Pr > F
2
-221.451
0.0001
-8.44
<.0001
3
-186.061
0.0001
-6.88
<.0001
4
-175.929
0.0001
-6.05
<.0001
2
-245.530
0.0001
-8.72
3
-219.362
0.0001
-7.16
<.0001
38.00
0.0010
<.0001
25.67
0.0010
4
-224.485
0.0001
-6.36
<.0001
20.25
0.0010
2
-245.998
0.0001
-8.69
<.0001
37.81
0.0010
3 4
-220.083 -225.222
0.0001 0.0001
-7.15 -6.35
<.0001 <.0001
25.55 20.15
0.0010 0.0010
24
Lampiran 7 Output Minitab Model ARIMA (1,1,0)
ARIMA Model: mcd2 Estimates at each iteration Iteration 0 1 2 3 4 5
SSE 101.466 94.648 93.335 93.331 93.331 93.331
Parameters 0.100 0.156 -0.050 0.103 -0.155 0.082 -0.161 0.085 -0.161 0.085 -0.161 0.085
Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters Type AR 1 Constant
Coef -0.1611 0.08467
SE Coef 0.0700 0.04830
T -2.30 1.75
P 0.022 0.081
Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 202, after differencing 201 Residuals: SS = 93.3230 (backforecasts excluded) MS = 0.4690 DF = 199 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag Chi-Square DF P-Value
12 9.2 10 0.512
24 21.6 22 0.484
36 29.9 34 0.668
48 45.0 46 0.514
Forecasts from period 202 Period 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225
Forecast 77.4270 77.5090 77.5804 77.6536 77.7265 77.7994 77.8723 77.9453 78.0182 78.0911 78.1641 78.2370 78.3099 78.3828 78.4558 78.5287 78.6016 78.6746 78.7475 78.8204 78.8933 78.9663 79.0392
95% Limits Lower Upper 76.0845 78.7695 75.7566 79.2613 75.4783 79.6825 75.2549 80.0523 75.0636 80.3894 74.8963 80.7025 74.7475 80.9972 74.6133 81.2772 74.4913 81.5451 74.3796 81.8027 74.2766 82.0515 74.1812 82.2928 74.0925 82.5273 74.0098 82.7559 73.9325 82.9791 73.8600 83.1974 73.7918 83.4114 73.7277 83.6214 73.6673 83.8276 73.6104 84.0305 73.5565 84.2302 73.5056 84.4269 73.4575 84.6209
Actual
25
226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252
79.1121 79.1850 79.2580 79.3309 79.4038 79.4768 79.5497 79.6226 79.6955 79.7685 79.8414 79.9143 79.9873 80.0602 80.1331 80.2060 80.2790 80.3519 80.4248 80.4977 80.5707 80.6436 80.7165 80.7895 80.8624 80.9353 81.0082
73.4119 73.3688 73.3279 73.2891 73.2524 73.2176 73.1846 73.1534 73.1238 73.0958 73.0693 73.0442 73.0205 72.9982 72.9771 72.9572 72.9385 72.9209 72.9044 72.8890 72.8745 72.8611 72.8486 72.8370 72.8263 72.8165 72.8075
84.8123 85.0013 85.1881 85.3727 85.5552 85.7359 85.9147 86.0918 86.2673 86.4411 86.6135 86.7844 86.9540 87.1222 87.2892 87.4549 87.6195 87.7829 87.9452 88.1065 88.2668 88.4261 88.5845 88.7419 88.8984 89.0541 89.2090
26
Lampiran 8 Output Minitab Model ARIMA (2,1,0)
ARIMA Model: mcd2 Estimates at each iteration Iteration 0 1 2 3 4 5
SSE 102.833 94.563 92.680 92.668 92.668 92.668
Parameters 0.100 0.100 0.138 -0.050 0.002 0.089 -0.167 -0.077 0.088 -0.175 -0.084 0.092 -0.175 -0.085 0.093 -0.175 -0.085 0.093
Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters Type AR 1 AR 2 Constant
Coef -0.1751 -0.0850 0.09254
SE Coef 0.0708 0.0709 0.04825
T -2.47 -1.20 1.92
P 0.014 0.232 0.057
Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 202, after differencing 201 Residuals: SS = 92.6360 (backforecasts excluded) MS = 0.4679 DF = 198 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag Chi-Square DF P-Value
12 9.3 9 0.409
24 24.9 21 0.252
36 34.5 33 0.398
48 50.7 45 0.258
Forecasts from period 202 Period 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224
Forecast 77.4571 77.5057 77.5857 77.6601 77.7328 77.8063 77.8798 77.9532 78.0267 78.1001 78.1736 78.2470 78.3204 78.3939 78.4673 78.5408 78.6142 78.6877 78.7611 78.8345 78.9080 78.9814
95% Limits Lower Upper 76.1161 78.7980 75.7674 79.2439 75.5635 79.6079 75.3742 79.9460 75.2104 80.2553 75.0688 80.5438 74.9428 80.8168 74.8293 81.0771 74.7265 81.3268 74.6326 81.5676 74.5465 81.8007 74.4670 82.0270 74.3935 82.2474 74.3253 82.4624 74.2619 82.6727 74.2028 82.8787 74.1476 83.0808 74.0961 83.2792 74.0478 83.4744 74.0026 83.6665 73.9603 83.8557 73.9206 84.0423
Actual
27
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252
79.0549 79.1283 79.2018 79.2752 79.3486 79.4221 79.4955 79.5690 79.6424 79.7159 79.7893 79.8627 79.9362 80.0096 80.0831 80.1565 80.2300 80.3034 80.3768 80.4503 80.5237 80.5972 80.6706 80.7441 80.8175 80.8909 80.9644 81.0378
73.8834 73.8484 73.8157 73.7850 73.7563 73.7294 73.7042 73.6807 73.6588 73.6383 73.6193 73.6017 73.5853 73.5702 73.5563 73.5436 73.5320 73.5214 73.5119 73.5033 73.4958 73.4891 73.4833 73.4784 73.4743 73.4711 73.4686 73.4669
84.2264 84.4082 84.5878 84.7653 84.9410 85.1148 85.2868 85.4572 85.6260 85.7934 85.9593 86.1238 86.2870 86.4490 86.6098 86.7694 86.9279 87.0854 87.2418 87.3972 87.5517 87.7052 87.8579 88.0097 88.1607 88.3108 88.4602 88.6088
28
Lampiran 9 Output Minitab Model ARIMA (1,1,1)
ARIMA Model: mcd2 Estimates at each iteration Iteration 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
SSE 97.8154 93.0574 92.9271 92.9174 92.9168 92.9167 92.9167 92.9167 92.9167 92.9167 92.9167
0.100 0.020 0.160 0.113 0.130 0.123 0.126 0.125 0.125 0.125 0.125
Parameters 0.100 0.156 0.180 0.059 0.330 0.059 0.289 0.065 0.306 0.064 0.299 0.064 0.302 0.064 0.300 0.064 0.301 0.064 0.301 0.064 0.301 0.064
Relative change in each estimate less than 0.0010 Final Estimates of Parameters Type AR 1 MA 1 Constant
Coef 0.1251 0.3007 0.06418
SE Coef 0.3865 0.3714 0.03379
T 0.32 0.81 1.90
P 0.746 0.419 0.059
Differencing: 1 regular difference Number of observations: Original series 202, after differencing 201 Residuals: SS = 92.8959 (backforecasts excluded) MS = 0.4692 DF = 198 Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic Lag Chi-Square DF P-Value
12 9.4 9 0.402
24 23.9 21 0.298
36 32.9 33 0.470
48 48.7 45 0.325
Forecasts from period 202 Period 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219
Forecast 77.4440 77.5124 77.5852 77.6584 77.7318 77.8051 77.8785 77.9519 78.0252 78.0986 78.1719 78.2453 78.3186 78.3920 78.4654 78.5387 78.6121
95% Limits Lower Upper 76.1012 78.7868 75.7721 79.2527 75.5383 79.6320 75.3470 79.9699 75.1833 80.2803 75.0399 80.5704 74.9122 80.8448 74.7974 81.1063 74.6931 81.3573 74.5979 81.5992 74.5104 81.8334 74.4297 82.0609 74.3550 82.2823 74.2856 82.4984 74.2210 82.7097 74.1608 82.9167 74.1045 83.1197
Actual
29
220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252
78.6854 78.7588 78.8322 78.9055 78.9789 79.0522 79.1256 79.1989 79.2723 79.3457 79.4190 79.4924 79.5657 79.6391 79.7124 79.7858 79.8592 79.9325 80.0059 80.0792 80.1526 80.2259 80.2993 80.3727 80.4460 80.5194 80.5927 80.6661 80.7394 80.8128 80.8862 80.9595 81.0329
74.0518 74.0025 73.9563 73.9129 73.8722 73.8340 73.7981 73.7644 73.7328 73.7031 73.6753 73.6493 73.6249 73.6020 73.5807 73.5609 73.5424 73.5252 73.5093 73.4946 73.4810 73.4686 73.4573 73.4470 73.4376 73.4293 73.4219 73.4153 73.4097 73.4049 73.4009 73.3977 73.3953
83.3190 83.5151 83.7080 83.8981 84.0855 84.2705 84.4531 84.6335 84.8118 84.9882 85.1627 85.3355 85.5066 85.6761 85.8441 86.0107 86.1759 86.3398 86.5025 86.6639 86.8241 86.9833 87.1413 87.2984 87.4544 87.6095 87.7636 87.9168 88.0692 88.2207 88.3714 88.5213 88.6705
30
Lampiran 10 Plot Residual ACF dan PACF Data Harga Penutupan Saham Mc-Donald Selama Tahun 2010
ACF of Residuals for Mc- Donald 1.0 0.8
Autocorrelation
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1
5
10
15
20
25 Lag
30
35
40
45
50
40
45
50
PACF of Residuals for Mc- Donald 1.0
Partial Autocorrelation
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1
5
10
15
20
25 Lag
30
35
31
Lampiran 11 Perbandingan Peramalan Model Wiener dan Model ARIMA Waktu ke203
Peramalan Proses Wiener 77.15170
Data Aktual
ARIMA (*) 77.4270
78.44
204
77.06375
77.5090
78.55
205
77.02256
77.5804
78.70
206
77.17376
77.6536
78.76
207
77.32866
77.7265
77.48
208
77.18382
77.7994
77.48
209
76.86849
77.8723
77.77
210
76.98479
77.9453
77.88
211
76.81908
78.0182
78.40
212
77.07945
78.0911
78.50
213
76.99342
78.1641
79.18
214
77.00354
78.2370
79.30
215
76.89792
78.3099
79.31
216
77.02265
78.3828
79.10
217
77.14623
78.4558
79.50
218
77.15032
78.5287
79.70
219
77.24679
78.6016
78.85
220
77.25348
78.6746
79.07
221
77.36921
78.7475
77.42
222
77.50871
78.8204
78.37
223
77.34916
78.8933
79.02
224
77.36447
78.9663
79.64
225
77.56861
79.0392
79.52
226
77.05818
79.1121
79.01
227
77.20866
79.1850
79.48
228
77.24145
79.2580
78.54
229
77.12059
79.3309
78.26
230
77.20345
79.4038
78.30
231
77.04574
79.4768
79.29
232
76.91062
79.5497
79.38
233
76.86641
79.6226
79.76
234
76.77586
79.6955
79.58
235
76.66063
79.7685
80.34
236
76.67682
79.8414
78.74
237
76.53050
79.9143
77.61
238
76.46889
79.9873
77.56
239
76.67139
80.0602
77.11
240
76.90679
80.1331
77.11
241
76.95313
80.2060
76.98
32
242
76.84685
80.2790
76.71
243
76.90012
80.3519
76.81
244
76.99777
80.4248
76.92
245
77.21354
80.4977
76.86
246
77.27773
80.5707
77.01
247
77.60174
80.6436
76.96
248
77.54415
80.7165
76.43
249
77.76031
80.7895
76.43
250
77.75791
80.8624
76.99
251
77.43927
80.9353
76.76
252
77.28668
81.0082
76.76
MAPE
0.0172797
0.0200144
Keterangan: (*) Peramalan pada model ARIMA dirunut dari Lampiran 7
33
Lampiran 12 Program ARIMA pada Data Penutupan Harga Saham Mc-Donald Menggunakan Software SAS 9.1.3 data mcd; input DATE:date7. MCD; format date date7.; cards; 4-Jan 62.78 5-Jan 62.3 6-Jan 61.45 . . . 18-Oct 77.32 19-Oct 76.99 20-Oct 77.41 ; proc gplot data=mcd; title 'Plot Harga Saham Penutupan Mc-Donald Tahun 2010'; symbol i=spline v=dot c=darkblue; plot mcd*date / vref=0 haxis= '4-Jan'd '4-Feb'd '4-Mar'd '4-Apr'd '4May'd '4-jun'd '4-Jul'd '4-Aug'd '4-Sep'd '4-Oct'd; run; proc arima data=mcd; identify var=mcd minic scan esacf stationarity=(adf=(2.3.4)) nlag=1; estimate p=1 method=ml noconstant plot; forecast cut=ramalan id=date lead=50 printall; run;
34
Lampiran 13 Program ARIMA pada Data Penutupan Harga Saham Mc-Donald dengan Pembedaan Satu Kali Menggunakan Software SAS 9.1.3 data mcd; input DATE:date7. MCD; format date date7.; cards; 4-Jan 0 5-Jan -0.48 6-Jan -0.85 . . . 18-Oct -0.16 19-Oct -0.33 20-Oct 0.42 ; proc gplot data=mcd; title 'Plot Harga Saham Penutupan Mc-Donald Tahun 2010'; symbol i=spline v=dot c=darkblue; plot mcd*date / vref=0 haxis= '4-Jan'd '4-Feb'd '4-Mar'd '4-Apr'd '4May'd '4-jun'd '4-Jul'd '4-Aug'd '4-Sep'd '4-Oct'd; run; proc arima data=mcd; identify var=mcd minic scan esacf stationarity=(adf=(2.3.4)) nlag=1; estimate p=1 method=ml noconstant plot; forecast cut=ramalan id=date lead=50 printall; run;
