PENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH

PENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH MINIMUM SPANNING TREE (MST) MENGGUNAKAN ALGORITMA KRUSKAL Swaditya Rizki Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Metro, Lampung Email: [email protected]

ABSTRACT: One of useful graph theory to solve the real problems is Minimum Spanning Tree (MST). MST is network optimization problems that can be applied in many fields such as transportations problems and communication network design (Gruber and Raidl, 2005). MST begins from tree namely a connected graph has no circuits. From the graph, there is a sub-graph that has all the vertex or spanning tree. If that graph has the weight/cost, then the spanning tree that has the smallest weight/cost is called Minimum Spanning Tree. Basic algorithm used to determine the MST is Kruskal’s algorithm. This algorithm is known as one of the best algorithms for the optimization problems, especially for MST. In this paper is developed a source code program to determine MST using Kruskal’s algorithm and then implemented on several data representing a complete graph. Keywords: Graph, Tree, Minimum Spanning Tree (MST), Kruskal’s Algorithm.

saat ini dapat memudahkan manusia

1. Latar Belakang dan Masalah

dalam Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sampai saat ini terus mengalami peningkatan yang signifikan. Para peneliti terus melakukan penelitian untuk selalu memunculkan penemuanpenemuan baru yang dapat memberikan sumbangan

ilmu

pengetahuannya

sebagai penunjang berkembangnya ilmu-

menyelesaikan

permasalahan

yang ada. Teknologi komputer sendiri pembuatannya

sebagian

besar

menggunakan logika matematika yang sampai saat ini terus berkembang pesat, sehingga digunakan

ilmu

matematika

untuk

dapat

menyelesaikan

berbagai permasalah-an dalam dunia nyata.

ilmu lain. Salah satunya adalah ilmu matematika yang sudah ditemukan oleh

Salah satu contoh bagian dari ilmu

ilmuan-ilmuan ratusan tahun yang lalu,

matematika adalah teori graf. Berawal

sekarang

dalam

dari permasalahan jembatan Konigsberg

perkembangan teknologi yang sampai

yang memiliki tujuh buah jembatan,

sangat

berguna

ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012

142

penduduk kota tersebut ingin melewati

Penelitian

ini

berfokus

jembatan tersebut tepat satu kali dan

algoritma

kembali

Minimum Spanning Tree (MST) yang

lagi

ke

keberangkatan.

tempat

Dari

awal

permasalahan

terkait

Kruskal

tentang

untuk

pada

masalah

optimasi

dalam

tersebut, seorang matematikawan Swiss,

permasalahan

transportasi

Leonard Euler menemukan jawaban dari

pembuatan

jalan

permasalahan

menghubungkan lebih dari n kota dan

tersebut

yaitu

memodelkan masalah ini dengan cara

permasalahan

merepresentasikan

raya

desain

yang

jaringan

dalam

graf.

komunikasi untuk kecepatan transfer

tersebut

dapat

data. Permasalahan ini direpresentasi-

menganalisis

dan

kan ke dalam suatu graf, kemudian dicari

suatu

pohon merentang minimum (Minimum

permasalahan yang sangat membutuhkan

Spanning Tree) menggunakan algoritma

dana besar dan waktu lama untuk

Kruskal.

Dengan

ke

khususnya

representasi

mempermudah menemukan

solusi

dari

membuktikannya secara langsung. 2. Tujuan Penelitian Graf juga manfaat

untuk

mempunyai

banyak

optimasi

dalam

membangun jalan raya, rel kereta api, desain jaringan komunikasi, dll. Sebagai contoh, untuk membangun sebuah jalan raya yang menghubungkan beberapa kota, sangat dibutuhkan suatu desain dalam graf agar dapat mengoptimalkan pembangunan

suatu

jalan

tersebut

dengan dana yang minimal. Masalah ini dapat direpresentasikan ke dalam graf yaitu sebagai

dengan

menyatakan kota-kota

titik/node/vertex,

sebagai

garis/edge,

jalan dan

raya biaya

pembangunan jalan raya sebagai bobot dalam graf.


Tujuan memberikan

penelitian suatu

ini

adalah

solusi

untuk

mendeskripsikan transportasi komunikasi

permasalahan

dan ke

desain dalam

jaringan

suatu

graf

lengkap. Kemudian membentuk graf tersebut menjadi Minimum Spanning Tree

(MST)

dengan

menggunakan

algoritma Kruskal sehingga didapatkan biaya

minimum

transportasi

dan

pada

permasalahan

desain

jaringan

komunikasi dengan titik/node 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Proses ini kemudian diimplementasikan ke dalam sebuah program komputasi sehingga dengan

mudah

dan

cepat

untuk

143

mendapatkan solusi dari permasalahan

Graf lengkap adalah graf sederhana

tersebut.

yang setiap titiknya mempunyai sisi ke

3. Graf (Graph)

semua titik lainnya atau graf yang setiap titiknya saling bertetangga. Graf dengan

Graf G adalah suatu struktur (V,E) dimana V = {v1, v2, …} himpunan tak kosong

dengan

elemen-elemennya

n buah titik dilambangkan dengan Kn. Setiap titik pada Kn berderajat n-1. K1 sampai K5 adalah contoh graf lengkap.

disebut vertex (titik), sedangkan E = {e1, e2,

…}

(mungkin

kosong)

adalah

himpunan pasangan tak terurut dari elemen-elemen di V(G). Anggota dari E(G) disebut edge (sisi). Secara geometri graf digambarkan sebagai sekumpulan noktah (simpul) di dalam bidang dua dimensi

yang

dihubungkan

dengan

Gambar 2. Graf Lengkap K1 – K5. Jumlah sisi pada graf lengkap yang

sekumpulan garis (sisi). terdiri dari n buah titik adalah v1 e5

e3

e4

v2

e1

(Munir, 2001). v5

e2 e7

v3

e6

n(n  1) . 2

v4

Definisi 2v5Graf Berbobot (Weighted e7 Graph) Graf berbobot adalah graf yang

Gambar 1. Graf G dengan sebuah loop

setiap

sisinya

diberi

sebuah

harga

dan parallel edges.

(bobot). Bobot pada tiap sisi dapat menyatakan jarak antar dua buah kota,

e4 dan e5 dinamakan sisi ganda (parallel

biaya perjalanan antar dua buah kota,

edges), sedangkan e1 dinamakan loop

waktu tempuh atau biaya instalasi dari

karena ia berawal dan berakhir pada titik

sebuah simpul komunikasi ke simpul

yang sama (Deo, 1989).

komunikasi

lainnya

dalam

jaringan

komputer, atau biaya pembangunan jalan Definisi 1 Graf Lengkap (Complete

raya antar dua buah kota (Munir, 2001).

Graph)


144

Definisi 3 Sirkuit (Cycle) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus (Munir, 2001).

5.

G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.

6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan (jembatan adalah sisi yang

a. Pohon (Tree)

bila

dihapus

menyebabkan

graf

terbagi menjadi dua komponen) Definisi 4 Pohon

(Munir, 2001).

Tree adalah graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit (Deo, 1989).

b. Pohon Merentang (Spanning Tree) Misalkan G graf terhubung. Tree T dikatakan spanning tree dari G jika T adalah subgraf dari G yang memuat semua titiknya (Deo, 1989). Misalkan G = (V,E) adalah graf tak-

Gambar 3. Pohon (Tree).

berarah terhubung yang bukan pohon, artinya pada G terdapat sirkuit. G dapat

Sifat-sifat dari pohon (tree) adalah

diubah menjadi pohon T = (V,E) dengan

sebagai berikut:

cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang

Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-

ada. Caranya yaitu dengan memutuskan

berarah sederhana dan jumlah simpulnya

salah satu sisi pada sirkuit hingga tidak

n. Semua pernyataan di bawah ini adalah

ada sirkuit pada G. Jika di G tidak ada

ekivalen:

lagi sirkuit maka pohon T ini disebut

1. G adalah pohon.

dengan pohon merentang (spanning

2. Setiap pasang simpul di dalam G

tree). Disebut merentang karena semua

terhubung dengan lintasan tunggal.

simpul pada pohon T sama dengan

3. G terhubung dan memiliki n – 1 buah

simpul pada graf G, dan sisi pada T 

sisi.

sisi pada G, dengan kata lain V1 = V dan

4. G tidak mengandung sirkuit dan

E1  E (Munir, 2001).

memiliki n – 1 buah sisi.

Contoh pembentukan spanning tree.


145

digunakan adalah masalah transportasi seperti pemodelan proyek pembangunan jalan raya menggunakan graf. MST digunakan untuk memilih jalur dengan bobot terkecil yang akan meminimalkan biaya pembangunan jalan.

Contoh graf dan pohon berbobot:

G Gambar 4. Graf dan tiga buah spanning T2

tree T1, T2, T3.

Gambar 5. G graf berbobot, T1 danT2 T1

c. Minimum Spanning Tree (MST) Jika G pada merupakan graf

rentang pohon

berbobot.

berbobot, maka bobot pohon merentang T1 atau T2 didefinisikan sebagai jumlah

Dari graf berbobot G, akan ditentukan

bobot semua sisi di T1 atau T2. Di antara

pohon merentang mana yang paling

pohon merentang yang ada pada G, yang

minimum. Apakah T1 atau T2?. Hal

paling penting adalah pohon merentang

tersebut

dengan

membangun

bobot

minimum.

Pohon

merentang dengan bobot minimum ini disebut

dengan

pohon

yang

akan pohon

dicari

dengan

merentang

minimum.

merentang

minimum atau Minimum Spanning Tree (MST). Contoh aplikasi MST yang sering


146

4. Algoritma Kruskal (Thomas, et.al, 2001) Adapun langkah-langkah algoritma Kruskal yaitu sebagai berikut: 1. Urutkan (sorting)

biaya/bobot

setiap edge dari biaya yang terkecil ke biaya terbesar. 2. Kemudian pilih edge terkecil dan pasang ke dalam tree. 3. Cek apakah jumlah E  V  1 . Jika tidak, ke Langkah 4. Jika ya, stop. 4. Pilih

edge

berikutnya

dalam

sorting. 5. Cek apakah pemasangan edge tersebut sirkuit/cycle.

menyebabkan Jika

tidak,

masukkan edge ke dalam tree dan ke Langkah 6. Jika ya, ke Langkah 7. 6. Kembali ke Langkah 3. 7. Buang edge pada Langkah 5 dan kembali ke Langkah 4.


147

Diagram alir Minimum Spanning Tree (MST) adalah sebagai berikut: Mulai Input Jumlah Vertex(v), Diameter (D)

Random bobot nilai tiap edge

Sorting edge dari kecil ke besar

Ambil edge terkecil, pasang ke dalam tree

Edge = vertex -1 ? ya tidak Ambil edge berikutnya

ya

membentuk sirkuit?

tidak

Pasang ke dalam tree

Output MST

Selesai Gambar 6. Diagram alir (flowchart) MST.


148

acak dengan jumlah vertex 10, dari 10

5. Hasil dan Pembahasan

vertex tersebut dihubungkan sebagai Input

program

berupa

jumlah

graf lengkap sehingga mempunyai edge

vertex/titik. Dari jumlah vertex tersebut

sebanyak 45. Untuk proses menentukan

dibangkitkan bobot/biaya tiap edge

graf lengkap dapat dilihat pada gambar

untuk suatu graf lengkap. Kemudian

2. Kemudian dari graf lengkap tersebut

data tersebut diurutkan berdasarkan bobot/biaya

terkecil

dan

dibangkitkan biaya/bobot secara acak

kemudian

untuk masing-masing edge dengan nilai

diperoleh solusi optimal MST. Sebagai

yang

contoh, akan dibangkitkan data secara

bervariasi.

Berikut

ini

hasil

simulasi data untuk 10 vertex.

Tabel 1. Data graf lengkap dengan jumlah vertex 10.

Edge 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Dari 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4

Ke 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 5

Biaya 10 57 44 43 35 41 64 92 47 10 38 32 27 77 79 49 24 33 92 21 44 78 2 73 86

Edge 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Dari 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 9


Ke 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 7 8 9 10 8 9 10 9 10 10

Biaya 22 23 75 44 44 59 71 9 52 44 32 77 5 13 96 91 64 96 6 48

149

Tabel 2. Proses mengurutkan data berdasarkan bobot/biaya. Edge 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Dari 3 6 8 5 1 2 6 3 4 4 2 2 2 6 3 1 2 1 1 1 3 4 4 5 1

Ke 9 9 10 8 2 3 10 6 6 7 10 6 5 7 4 6 4 7 5 4 7 9 10 10 10

Biaya 2 5 6 9 10 10 13 21 22 23 24 27 32 32 33 35 38 41 43 44 44 44 44 44 47

Edge 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Dari 9 2 5 1 5 1 7 5 3 4 2 6 3 2 4 7 1 3 7 8

Setelah proses pengurutan data,

Ke 10 9 9 3 6 8 10 7 10 8 7 8 8 8 5 9 9 5 8 9

Biaya 48 49 52 57 59 64 64 71 73 75 77 77 78 79 86 91 92 92 96 96

6. Pasang edge dari vertex 2 ke 3.

edge dipasang satu persatu ke dalam


tree dimulai dari bobot biaya yang

8. Edge dari vertex 3 ke 6 tidak boleh

terendah sampai memenuhi MST dan

dipasang karena akan membentuk

proses akan berhenti jika jumlah edge =

sirkuit.

vertex -1. Adapun langkah-langkah


dalam pemasangan edge ke dalam tree


adalah sebagai berikut:

11. Karena jumlah edge = vertex-1,


maka proses pemasangan edge


selesai sehingga didapatkan nilai


minimum


sebagai berikut:

dari

spanning

tree

5. Pasang edge dari vertex 1 ke 2. ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012

150

Tabel 3. Solusi optimal MST menggunakan algoritma Kruskal. Edge Dari Ke 3 9 6 9 8 10 5 8 1 2 2 3 6 10 4 6 4 7 Total Biaya

minimum dibandingkan dengan solusi yang tidak menggunakan algoritma.

Biaya 2 5 6 9 10 10 13 22 23 100

6. Kesimpulan Data yang digunakan untuk contoh simulasi diatas hanya data dengan jumlah vertex 10, sedangkan untuk jumlah vertex lebih dari 10 bisa menggunakan program komputasi yang disini

Tabel 4. Solusi MST tanpa menggunakan algoritma. Edge Dari Ke 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 Total Biaya

lebih

Biaya

mengefisienkan

waktu

perhitungan. Program komputasi ini

10 57 44 43 35 41 64 92 47 433

juga

nantinya dapat

dikembangkan

untuk MST dengan algoritma yang lain ataupun dengan memodifikasi algoritma Kruskal untuk aplikasi graf lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

solusi optimal dari MST dengan total bobot/ biaya yaitu 100. Sedangkan pada

Deo, N. 1989. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey. 461 hlm.

yaitu solusi MST tanpa

menggunakan bobot/biaya tersebut

bahasa

pemrograman C/C++ sehingga akan

Dari Tabel 3 diatas tersebut didapat

Tabel 4

menggunakan

algoritma yaitu

dapat

433.

didapatkan Dari

disimpulkan

nilai bahwa

algoritma Kruskal dapat digunakan untuk mencari solusi optimal MST,

Gruber, M. and Raidl, G.R. 2005. Variable Neighborhood Search for the Bounded Diameter Minimum Spanning Tree Problem. Institute of Computer Graphics and Algorithms, Vienna University of Technology. 18th Mini Euro Conference . Austria.

bahkan nilai yang didapatkan jauh lebih


151

Munir, R. 2001. Matematika Diskrit. Informatika, Bandung. Hlm 353456. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition., 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 23.2: The algorithms of Kruskal and Prim, pp.567–574. MIT Press and McGraw-Hill.


152

PENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH

Recommend Documents