PENERAPAN TEORI GRAF UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH MINIMUM SPANNING TREE (MST) MENGGUNAKAN ALGORITMA KRUSKAL Swaditya Rizki Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Metro, Lampung Email:
[email protected]
ABSTRACT: One of useful graph theory to solve the real problems is Minimum Spanning Tree (MST). MST is network optimization problems that can be applied in many fields such as transportations problems and communication network design (Gruber and Raidl, 2005). MST begins from tree namely a connected graph has no circuits. From the graph, there is a sub-graph that has all the vertex or spanning tree. If that graph has the weight/cost, then the spanning tree that has the smallest weight/cost is called Minimum Spanning Tree. Basic algorithm used to determine the MST is Kruskal’s algorithm. This algorithm is known as one of the best algorithms for the optimization problems, especially for MST. In this paper is developed a source code program to determine MST using Kruskal’s algorithm and then implemented on several data representing a complete graph. Keywords: Graph, Tree, Minimum Spanning Tree (MST), Kruskal’s Algorithm.
saat ini dapat memudahkan manusia
1. Latar Belakang dan Masalah
dalam Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi sampai saat ini terus mengalami peningkatan yang signifikan. Para peneliti terus melakukan penelitian untuk selalu memunculkan penemuanpenemuan baru yang dapat memberikan sumbangan
ilmu
pengetahuannya
sebagai penunjang berkembangnya ilmu-
menyelesaikan
permasalahan
yang ada. Teknologi komputer sendiri pembuatannya
sebagian
besar
menggunakan logika matematika yang sampai saat ini terus berkembang pesat, sehingga digunakan
ilmu
matematika
untuk
dapat
menyelesaikan
berbagai permasalah-an dalam dunia nyata.
ilmu lain. Salah satunya adalah ilmu matematika yang sudah ditemukan oleh
Salah satu contoh bagian dari ilmu
ilmuan-ilmuan ratusan tahun yang lalu,
matematika adalah teori graf. Berawal
sekarang
dalam
dari permasalahan jembatan Konigsberg
perkembangan teknologi yang sampai
yang memiliki tujuh buah jembatan,
sangat
berguna
ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
142
penduduk kota tersebut ingin melewati
Penelitian
ini
berfokus
jembatan tersebut tepat satu kali dan
algoritma
kembali
Minimum Spanning Tree (MST) yang
lagi
ke
keberangkatan.
tempat
Dari
awal
permasalahan
terkait
Kruskal
tentang
untuk
pada
masalah
optimasi
dalam
tersebut, seorang matematikawan Swiss,
permasalahan
transportasi
Leonard Euler menemukan jawaban dari
pembuatan
jalan
permasalahan
menghubungkan lebih dari n kota dan
tersebut
yaitu
memodelkan masalah ini dengan cara
permasalahan
merepresentasikan
raya
desain
yang
jaringan
dalam
graf.
komunikasi untuk kecepatan transfer
tersebut
dapat
data. Permasalahan ini direpresentasi-
menganalisis
dan
kan ke dalam suatu graf, kemudian dicari
suatu
pohon merentang minimum (Minimum
permasalahan yang sangat membutuhkan
Spanning Tree) menggunakan algoritma
dana besar dan waktu lama untuk
Kruskal.
Dengan
ke
khususnya
representasi
mempermudah menemukan
solusi
dari
membuktikannya secara langsung. 2. Tujuan Penelitian Graf juga manfaat
untuk
mempunyai
banyak
optimasi
dalam
membangun jalan raya, rel kereta api, desain jaringan komunikasi, dll. Sebagai contoh, untuk membangun sebuah jalan raya yang menghubungkan beberapa kota, sangat dibutuhkan suatu desain dalam graf agar dapat mengoptimalkan pembangunan
suatu
jalan
tersebut
dengan dana yang minimal. Masalah ini dapat direpresentasikan ke dalam graf yaitu sebagai
dengan
menyatakan kota-kota
titik/node/vertex,
sebagai
garis/edge,
jalan dan
raya biaya
pembangunan jalan raya sebagai bobot dalam graf.
ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
Tujuan memberikan
penelitian suatu
ini
adalah
solusi
untuk
mendeskripsikan transportasi komunikasi
permasalahan
dan ke
desain dalam
jaringan
suatu
graf
lengkap. Kemudian membentuk graf tersebut menjadi Minimum Spanning Tree
(MST)
dengan
menggunakan
algoritma Kruskal sehingga didapatkan biaya
minimum
transportasi
dan
pada
permasalahan
desain
jaringan
komunikasi dengan titik/node 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Proses ini kemudian diimplementasikan ke dalam sebuah program komputasi sehingga dengan
mudah
dan
cepat
untuk
143
mendapatkan solusi dari permasalahan
Graf lengkap adalah graf sederhana
tersebut.
yang setiap titiknya mempunyai sisi ke
3. Graf (Graph)
semua titik lainnya atau graf yang setiap titiknya saling bertetangga. Graf dengan
Graf G adalah suatu struktur (V,E) dimana V = {v1, v2, …} himpunan tak kosong
dengan
elemen-elemennya
n buah titik dilambangkan dengan Kn. Setiap titik pada Kn berderajat n-1. K1 sampai K5 adalah contoh graf lengkap.
disebut vertex (titik), sedangkan E = {e1, e2,
…}
(mungkin
kosong)
adalah
himpunan pasangan tak terurut dari elemen-elemen di V(G). Anggota dari E(G) disebut edge (sisi). Secara geometri graf digambarkan sebagai sekumpulan noktah (simpul) di dalam bidang dua dimensi
yang
dihubungkan
dengan
Gambar 2. Graf Lengkap K1 – K5. Jumlah sisi pada graf lengkap yang
sekumpulan garis (sisi). terdiri dari n buah titik adalah v1 e5
e3
e4
v2
e1
(Munir, 2001). v5
e2 e7
v3
e6
n(n 1) . 2
v4
Definisi 2v5Graf Berbobot (Weighted e7 Graph) Graf berbobot adalah graf yang
Gambar 1. Graf G dengan sebuah loop
setiap
sisinya
diberi
sebuah
harga
dan parallel edges.
(bobot). Bobot pada tiap sisi dapat menyatakan jarak antar dua buah kota,
e4 dan e5 dinamakan sisi ganda (parallel
biaya perjalanan antar dua buah kota,
edges), sedangkan e1 dinamakan loop
waktu tempuh atau biaya instalasi dari
karena ia berawal dan berakhir pada titik
sebuah simpul komunikasi ke simpul
yang sama (Deo, 1989).
komunikasi
lainnya
dalam
jaringan
komputer, atau biaya pembangunan jalan Definisi 1 Graf Lengkap (Complete
raya antar dua buah kota (Munir, 2001).
Graph)
ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
144
Definisi 3 Sirkuit (Cycle) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus (Munir, 2001).
5.
G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.
6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan (jembatan adalah sisi yang
a. Pohon (Tree)
bila
dihapus
menyebabkan
graf
terbagi menjadi dua komponen) Definisi 4 Pohon
(Munir, 2001).
Tree adalah graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit (Deo, 1989).
b. Pohon Merentang (Spanning Tree) Misalkan G graf terhubung. Tree T dikatakan spanning tree dari G jika T adalah subgraf dari G yang memuat semua titiknya (Deo, 1989). Misalkan G = (V,E) adalah graf tak-
Gambar 3. Pohon (Tree).
berarah terhubung yang bukan pohon, artinya pada G terdapat sirkuit. G dapat
Sifat-sifat dari pohon (tree) adalah
diubah menjadi pohon T = (V,E) dengan
sebagai berikut:
cara memutuskan sirkuit-sirkuit yang
Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-
ada. Caranya yaitu dengan memutuskan
berarah sederhana dan jumlah simpulnya
salah satu sisi pada sirkuit hingga tidak
n. Semua pernyataan di bawah ini adalah
ada sirkuit pada G. Jika di G tidak ada
ekivalen:
lagi sirkuit maka pohon T ini disebut
1. G adalah pohon.
dengan pohon merentang (spanning
2. Setiap pasang simpul di dalam G
tree). Disebut merentang karena semua
terhubung dengan lintasan tunggal.
simpul pada pohon T sama dengan
3. G terhubung dan memiliki n – 1 buah
simpul pada graf G, dan sisi pada T
sisi.
sisi pada G, dengan kata lain V1 = V dan
4. G tidak mengandung sirkuit dan
E1 E (Munir, 2001).
memiliki n – 1 buah sisi.
Contoh pembentukan spanning tree.
ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
145
digunakan adalah masalah transportasi seperti pemodelan proyek pembangunan jalan raya menggunakan graf. MST digunakan untuk memilih jalur dengan bobot terkecil yang akan meminimalkan biaya pembangunan jalan.
Contoh graf dan pohon berbobot:
G Gambar 4. Graf dan tiga buah spanning T2
tree T1, T2, T3.
Gambar 5. G graf berbobot, T1 danT2 T1
c. Minimum Spanning Tree (MST) Jika G pada merupakan graf
rentang pohon
berbobot.
berbobot, maka bobot pohon merentang T1 atau T2 didefinisikan sebagai jumlah
Dari graf berbobot G, akan ditentukan
bobot semua sisi di T1 atau T2. Di antara
pohon merentang mana yang paling
pohon merentang yang ada pada G, yang
minimum. Apakah T1 atau T2?. Hal
paling penting adalah pohon merentang
tersebut
dengan
membangun
bobot
minimum.
Pohon
merentang dengan bobot minimum ini disebut
dengan
pohon
yang
akan pohon
dicari
dengan
merentang
minimum.
merentang
minimum atau Minimum Spanning Tree (MST). Contoh aplikasi MST yang sering
ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
146
4. Algoritma Kruskal (Thomas, et.al, 2001) Adapun langkah-langkah algoritma Kruskal yaitu sebagai berikut: 1. Urutkan (sorting)
biaya/bobot
setiap edge dari biaya yang terkecil ke biaya terbesar. 2. Kemudian pilih edge terkecil dan pasang ke dalam tree. 3. Cek apakah jumlah E V 1 . Jika tidak, ke Langkah 4. Jika ya, stop. 4. Pilih
edge
berikutnya
dalam
sorting. 5. Cek apakah pemasangan edge tersebut sirkuit/cycle.
menyebabkan Jika
tidak,
masukkan edge ke dalam tree dan ke Langkah 6. Jika ya, ke Langkah 7. 6. Kembali ke Langkah 3. 7. Buang edge pada Langkah 5 dan kembali ke Langkah 4.
ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
147
Diagram alir Minimum Spanning Tree (MST) adalah sebagai berikut: Mulai Input Jumlah Vertex(v), Diameter (D)
Random bobot nilai tiap edge
Sorting edge dari kecil ke besar
Ambil edge terkecil, pasang ke dalam tree
Edge = vertex -1 ? ya tidak Ambil edge berikutnya
ya
membentuk sirkuit?
tidak
Pasang ke dalam tree
Output MST
Selesai Gambar 6. Diagram alir (flowchart) MST.
ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
148
acak dengan jumlah vertex 10, dari 10
5. Hasil dan Pembahasan
vertex tersebut dihubungkan sebagai Input
program
berupa
jumlah
graf lengkap sehingga mempunyai edge
vertex/titik. Dari jumlah vertex tersebut
sebanyak 45. Untuk proses menentukan
dibangkitkan bobot/biaya tiap edge
graf lengkap dapat dilihat pada gambar
untuk suatu graf lengkap. Kemudian
2. Kemudian dari graf lengkap tersebut
data tersebut diurutkan berdasarkan bobot/biaya
terkecil
dan
dibangkitkan biaya/bobot secara acak
kemudian
untuk masing-masing edge dengan nilai
diperoleh solusi optimal MST. Sebagai
yang
contoh, akan dibangkitkan data secara
bervariasi.
Berikut
ini
hasil
simulasi data untuk 10 vertex.
Tabel 1. Data graf lengkap dengan jumlah vertex 10.
Edge 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Dari 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4
Ke 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 5
Biaya 10 57 44 43 35 41 64 92 47 10 38 32 27 77 79 49 24 33 92 21 44 78 2 73 86
Edge 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Dari 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 9
ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
Ke 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 7 8 9 10 8 9 10 9 10 10
Biaya 22 23 75 44 44 59 71 9 52 44 32 77 5 13 96 91 64 96 6 48
149
Tabel 2. Proses mengurutkan data berdasarkan bobot/biaya. Edge 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Dari 3 6 8 5 1 2 6 3 4 4 2 2 2 6 3 1 2 1 1 1 3 4 4 5 1
Ke 9 9 10 8 2 3 10 6 6 7 10 6 5 7 4 6 4 7 5 4 7 9 10 10 10
Biaya 2 5 6 9 10 10 13 21 22 23 24 27 32 32 33 35 38 41 43 44 44 44 44 44 47
Edge 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Dari 9 2 5 1 5 1 7 5 3 4 2 6 3 2 4 7 1 3 7 8
Setelah proses pengurutan data,
Ke 10 9 9 3 6 8 10 7 10 8 7 8 8 8 5 9 9 5 8 9
Biaya 48 49 52 57 59 64 64 71 73 75 77 77 78 79 86 91 92 92 96 96
6. Pasang edge dari vertex 2 ke 3.
edge dipasang satu persatu ke dalam
7. Pasang edge dari vertex 6 ke 10.
tree dimulai dari bobot biaya yang
8. Edge dari vertex 3 ke 6 tidak boleh
terendah sampai memenuhi MST dan
dipasang karena akan membentuk
proses akan berhenti jika jumlah edge =
sirkuit.
vertex -1. Adapun langkah-langkah
9. Pasang edge dari vertex 4 ke 6.
dalam pemasangan edge ke dalam tree
10. Pasang edge dari vertex 4 ke 7.
adalah sebagai berikut:
11. Karena jumlah edge = vertex-1,
1. Pasang edge dari vertex 3 ke 9.
maka proses pemasangan edge
2. Pasang edge dari vertex 6 ke 9.
selesai sehingga didapatkan nilai
3. Pasang edge dari vertex 8 ke 10.
minimum
4. Pasang edge dari vertex 5 ke 8.
sebagai berikut:
dari
spanning
tree
5. Pasang edge dari vertex 1 ke 2. ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
150
Tabel 3. Solusi optimal MST menggunakan algoritma Kruskal. Edge Dari Ke 3 9 6 9 8 10 5 8 1 2 2 3 6 10 4 6 4 7 Total Biaya
minimum dibandingkan dengan solusi yang tidak menggunakan algoritma.
Biaya 2 5 6 9 10 10 13 22 23 100
6. Kesimpulan Data yang digunakan untuk contoh simulasi diatas hanya data dengan jumlah vertex 10, sedangkan untuk jumlah vertex lebih dari 10 bisa menggunakan program komputasi yang disini
Tabel 4. Solusi MST tanpa menggunakan algoritma. Edge Dari Ke 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 Total Biaya
lebih
Biaya
mengefisienkan
waktu
perhitungan. Program komputasi ini
10 57 44 43 35 41 64 92 47 433
juga
nantinya dapat
dikembangkan
untuk MST dengan algoritma yang lain ataupun dengan memodifikasi algoritma Kruskal untuk aplikasi graf lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
solusi optimal dari MST dengan total bobot/ biaya yaitu 100. Sedangkan pada
Deo, N. 1989. Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. Prentice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey. 461 hlm.
yaitu solusi MST tanpa
menggunakan bobot/biaya tersebut
bahasa
pemrograman C/C++ sehingga akan
Dari Tabel 3 diatas tersebut didapat
Tabel 4
menggunakan
algoritma yaitu
dapat
433.
didapatkan Dari
disimpulkan
nilai bahwa
algoritma Kruskal dapat digunakan untuk mencari solusi optimal MST,
Gruber, M. and Raidl, G.R. 2005. Variable Neighborhood Search for the Bounded Diameter Minimum Spanning Tree Problem. Institute of Computer Graphics and Algorithms, Vienna University of Technology. 18th Mini Euro Conference . Austria.
bahkan nilai yang didapatkan jauh lebih
ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
151
Munir, R. 2001. Matematika Diskrit. Informatika, Bandung. Hlm 353456. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition., 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 23.2: The algorithms of Kruskal and Prim, pp.567–574. MIT Press and McGraw-Hill.
ISSN 2089 – 8703 Vol.1 No.2, Oktober 2012
152