PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP) Anita T. Kurniawati, S.Si., M.Si.
PDP: persamaan yg memuat suatu fs dgn 2 atau
lebih variabel bebas berikut derivatif parsial fs tsb thd variabel bebasnya. Penyelesaian PDP: sembarang fs yg memenuhi PD sec identik PUPDP: penyelesaian yg terdiri dari sejumlah fs sembarang yg bebas linier yg banyaknya sama dgn orde PD-nya. Penyelesaian partikulir (khusus) PDP: penyelesaian yg diperoleh dari PUPDP dgn pilihan khusus dari fs sembarangnya
Contoh PDP yang penting: 1.
2u
c2
2u
t 2 x 2 2 u u 2 2. c t x 2 2u 2u 3. 2 2 0 x y 4. 5.
2u x 2 2u x 2
2u y 2 2u y 2
Pers. Gelombang 1 dimensi
Pers. Konduksi panas 1 dimensi Pers. Laplace 2 dimensi
f ( x , y ) Pers. Poisson 2 dimensi
2u z 2
0 Pers. Laplace 3 dimensi
PDP Orde 2: Pers. Umum:
2u
2u 2u u u A 2 B C 2 D E F (u ) G x y x y x Ket:x
u= variabel tak bebas (fs dari x dan y) x, y = variabel bebas
Penyelesaian PDP: Pengintegralan spt PDB 2z Contoh1: Selesaikan PDP: x y Penyelesaian: 1.
x 2 y , z ( x,0) x 2 ; z (1, y ) cos y
z z . x2 y x y z x 2 y dx y x
1 3 x y F ( y) 3
1 1 z x 3 y 2 F ( y ) dy G ( x ) 3 2 PUPD : z
1 3 2 x y H ( y ) G ( x) 6
1 3 2 PUPD : z x y H ( y ) G ( x ) 6 1 z ( x ,0 ) x 2 x 2 x 3 .0 H ( 0 ) G ( x ) 6 G ( x ) x 2 H (0) 1 3 2 x y H ( y ) x 2 H (0) 6 1 z (1, y ) cos y cos y 13 y 2 H ( y ) 12 H (0) 6 1 2 H ( y ) cos y y 1 H (0) 6 1 3 2 1 2 z ( x , y ) x y cos y y 1 H (0) x 2 H (0) 6 6 1 3 2 1 2 PPPD : z ( x , y ) x y cos y y 1 x 2 6 6 z ( x, y )
ax by
2. Pemisalan u e (A,B,C,D,E,F konstan) u u Contoh2: Selesaikan 2 3 0, u ( x,0) 4e x x y Penyelesaian: Misal:
u ( x, y ) e
ax by
u ax by u ae ; be ax by x y PD : 2 ae ax by 3be ax by 0 ( 2 a 3b )e
ax by
0
2 2 a 3b 0 b a 3
2
PUPD : u ( x , y ) e
ax ay 3
e
2 a x y 3
2 F x y 3
u ( x ,0 ) 4 e x F ( x ) 4 e x PPPD : u ( x , y ) 4e
2 x y 3
4e
2 y 3 x 3
3. Pemisahan variabel Banyak dipakai dalam aplikasi seperti perpindahan panas, getaran, dll. PERPINDAHAN KONDUKSI PANAS a. Perpindahan panas 1 dimensi Batang dengan penampang seragam diisolasi secara lateral. Panjang batang = L dan diletakkan pd sb. X. Temperatur pd batang suatu waktu hanya tergantung pd posisi x, u=u(x,t). Persamaan atur: u 2u c 2 , 0 x L, t 0 t x
Syarat batas: a. Jika temperatur awal adalah f(x) dan temperatur ujung dijaga konstan pd nol, maka kondisi batasnya: u(0,t)=0, u(1,t)=0 pd t>0. Kondisi awal pd t=0: u(x,0)=f(x); 0xL b. Jika batang diisolasi sec keseluruhan, termasuk pd x=0 dan x=L maka pd x=0 dan x=L panas tdk bisa masuk atau keluar (fluks panas =0) shg kondisi batas: u k x
x 0
u 0 x
0 xL
Contoh3: Tentukan persamaan temperatur dari suatu kawat yg permukaannya diisolasi kecuali di kedua ujungnya. Ujung kawat diletakkan pada x=0 dan x=3, temperatur pd ujung kawat dijaga tetap pada 0. Temperatur awal pd kawat dinyatakan dengan f(x)= 5 sin 4x – 3 sin 8x + 25 sin 10x. Koefisien difusivitas kawat adalah 2. Penyelesaian: Persamaan atur: u 2u 2 2 ;0 x3 t x
Syarat batas: Kondisi batas u(0,t)=u(3,t)=0; t0 Kondisi awal u(x,0)= 5 sin 4x – 3 sin 8x + 25 sin 10x. Misal: PUPD: u(x,t)=F(t).G(x) u F ' (t ) G ( x ) t u 2u F (t ) G ' ( x ); F (t ) G ' ' ( x ) 2 x x PD menjadi : F ' (t ) G ( x ) 2 F (t ) G ' ' ( x ) F ' (t ) G ' ' ( x ) k 2 2 F (t ) G ( x)
F ' (t ) k 2 F ' (t ) 2 k 2 F (t ) 0 2 F (t ) Pers.Karak teristik (PK) : m 2 k 2 0 m k 2 F (t ) C 1 e
2 k 2t
G ' ' ( x) k 2 G ' ' ( x) k 2 G ( x) 0 G ( x) Pers.Karak teristik (PK) : m 2 k 2 0 m 2 k 2 m1, 2 ki G ( x ) e 0 x A1 cos kx B1 sin kx A1 cos kx B1 sin kx PUPD : u ( x , t ) C1 e
2 k 2t
A1 cos kx B1 sin kx e
Kondisi batas 1 : u (0, t ) 0 0e
2 k 2t
u ( x , t ) Be
A cos 0 B sin 0 A 0
2 k 2t
sin kx
2 k 2t
A cos kx B sin kx
Kondisi batas 2 : u (3, t ) Be
2 k 2 t
sin 3k 0
Jika B 0 maka menghasilk an penyelesai an trivial, maka sin 3k 0 3k m ; ( m 0, 1, ...) m k 3 u ( x , t ) Be
2
m
2
9
2t
sin m x
Kondisi awal : u ( x ,0) 5 sin 4x 3 sin 8x 2 sin 10x u ( x , t ) Be
2
m 9
2
t 2
sin m x penyelesai an PD u1 ( x , t ) B1 e u 2 ( x, t ) B 2 e u 3 ( x , t ) B3 e
2
m1 9
2
m2
2
m3
2
9
9
2
2
2t
2t
2t
sin m1x
sin m 2 x sin m 3x
Berdasarkan superposisi: u ( x , t ) B1 e
2
m1
u ( x ,0) B1 sin
9
2
t 2
sin
m1x
m1x 3
B 2 sin
B2 e
2
m 2 x
m2 9
2
t 2
sin
B3 sin
3 3 5 sin 4x 3 sin 8x 2 sin 10x
m 2 x
3 m 3 x
B3 e
2
m3 9
2
2t
3
B1 5 m1 12 B 2 3 m 2 24 B3 2 m 3 30 u ( x , t ) 5e
32 2 t
sin 4x 3e
128 2 t
sin 8x 2e
320 2 t
sin 10x
sin
m 3 x 3
b. Perpindahan Panas 2 dimensi, steady state PD :
2u x
2
2u y
0
2
Kondisi Batas : u (0, y ) u ( a , y ) 0 u ( x ,0) 0; u ( x , b ) f ( x ) Pemisahan variabel : u ( x , y ) F ( x ) G ( y ) PD menjadi : G
d 2F dx
2
F
d 2G dy
2
0
1 d 2F 1 d 2G 2 p F dx 2 G dy 2 d 2F dx 2 d 2G dy 2
p 2 F 0 F C1 sin px C 2 cos px p 2 G 0 G C 3 e py C 4 e py
u ( x , y ) F ( x ) G ( y ) C1 sin px C 2 cos px C 3 e py C 4 e py
Kondisi batas : u (0, y ) 0 0 C1 sin 0 C 2 cos 0 C 3 e py C 4 e py
u ( x , y ) C sin px C e C e sin px Ae Be Kondisi batas : u ( a , y ) 0 0 sin ax Ae Be sin pa 0
0 C 2 C 3 e py C 4 e py C 2 0 py
py
1
3
py
py
4
py
py
n p ; n 1,2,... a n u ( x , y ) sin a
n y n y a a x An e B n e
Berdasarkan prinsip superposisi, didapat PUPD: n y n y n a a u ( x, y ) sin x A`n e B`n e a n 1
n 0 n 0 n a a Kondisi batas : u ( x ,0) 0 0 sin B`n e x A`n e a n 1 B n An
n y n y n a a u ( x , y ) sin x A`n e A`n e a n 1
n An sin a n 1
n x sinh a Kondisi batas : u ( x , b ) f ( x )
n An sin a n 1
y
n b x sinh f ( x) a
n b 2 n An sinh f ( x ) sin x dx a a0 a a
Sehingga penyelesaian dari PD adalah n n u ( x , y ) An sin x sinh y a a n 1
2 n dengan An f ( x ) sin n b 0 a a sin a a
x dx
Lat soal 1.
Selesaikan PD berikut: 2z a. 2 x 3 y 2 ; z ( x ,0) x 3 ; z (1, y ) sin y xy b.
2.
u u 3 0; u (0, y ) 4 sin y x y
Sama seperti contoh3, jika syarat awalnya adalah u(x,0)=25
