08/11/2015
Anita T. Kurniawati
y
disebut fungsi dari x jika dpt ditentukan suatu hubungan antara y dan x SDH untuk setiap nilai x menentukan secara tunggal nilai y. Hubungan antara y dan x biasanya ditulis :
y f (x) Contoh
1: f ( x) x 1 2
Mendefinisikan fungsi f yang mengawankan bilangan x dengan bilangan x f (3) x 1 3 1 10 f mengawankan 10 dengan 3 2
2
2
1
D E F I N I S I
1
08/11/2015
Contoh
2:
1
Jika ( x) x 1 maka 3
(3 7 )
1 1 (3 7 ) 1 16 3
1
1 6
(5 )
1 6
(5 ) 1
f ( x) x 2 1
3
1 5 1
D E F I N I S I
2
08/11/2015
Diberikan
f ( x) 2 x 3 , dapatkan 2
a) f (2) b) f ( 3) c) f (a 1) d) f (3t ) Dapatkan domain dan range dari fungsi berikut : a) f ( x) x 2 b) f ( x) 1 f ( x)
x 4 x2 2
2 x
c) Buatlah sketsa grafik
x 3, x 3 ( x) x3 7,
OPERASI-OPERASI ARITMATIK PADA FUNGSI Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan, digandakan dan dibagi. Sebagai contoh, jika f(x) = x dan g(x) = x2, maka f(x) + g(x) = x + x2 Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang disebut jumlah dari f dan g dan dituliskan dengan f + g. Jadi (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + x2
3
08/11/2015
Jumlah
(f + g)(x) = f(x) + g(x) Selisih (f – g)(x) = f(x) – g(x) Hasil Kali (f.g)(x) = f(x).g(x) Hasil Bagi (f/g)(x) = f(x)/g(x) Contoh Misalkan f(x) = 2x dan g(x) = x-2 Dapatkan (f + g)(x),(f - g)(x),(f.g)(x), (f/g)(x)
Diketahui
fungsi-fungsi f dan g, maka komposisi f dengan g, ditulis f o g adalah funsi yang didefinisikan dengan f g (x) = f(g(x)) artinya g(x) disubtitusikan pada x dalam rumus f
Contoh 2 Misal f ( x) x 1 f g (x) = f(g(x)) =
dan
g ( x) x 2
f ( x) ( x 2) 2 1 x 2 4 x 5
4
08/11/2015
Latihan
Dapatkan rumus dari fungsi-fungsi dan tetapkan domain untuk masing-masing soal : 1.(f+g)(x) , 2. (f.g)(x), 3. (fog)(x) a. f ( x) 2 x, g ( x) x 1 2
x
1
b. f ( x) 1 x , g ( x) x 2
Grafik suatu fungsi f pada bidang-xy didefinisikan sebagai grafik dari persamaan y = f(x) Contoh : 1. Buatlah sketsa grafik f(x) = x + 3 Penyelesaian : Berdasarkan definisi grafik f dlm bidang-xy adalah grafik persamaan y = x + 3 y
G R A F I K
3
-3
y
5
08/11/2015
2. Buatlah sketsa grafk Penyelesaiannya :
x2 1, g ( x) x 2, x 2
y o 1 2
x
Grafik fungsi f ( x) a ( x p ) q2 dapat diperoleh dengan mentranslasikan grafik f ( x ) ax oleh vektor (p,q), yaitu kekiri/kanan sejauh p dan ke atas /bawah sejauh q 2
Contoh : gambarkan grafik fungsi berikut ini ; a. y = x2 + 2 b. y = x2 – 2 c. y = (x+2)2 d. y = ( x – 2)2
6
08/11/2015
y
y
x
x
y = x2
y = -x2
y
y
x
x = y2
x
x = -y2
y
y
x
y = √x
x
y = -√x
y
y
x
y = x3
x
y =
y
3
√x
y
x
y = 1/x
x
y = -1/x
7
08/11/2015
Fungsi Aljabar : Fungsi
Polinomial Fungsi Rasional Fungsi Pangkat
Fungsi Transenden :
Fungsi Trigonometri dan Inversnya Fungsi Eksponensial dan Logaritma Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Fungsi yang paling sederhana disebut fungsi konstan. Contohnya ; f(x) = 3 maka f(-1) = 3, f(0) = 3, f(√2) = 3, f(9) = 3 Fungsi dengan bentuk cxn, dimana c adalah suatu konstanta dan n adalah bilangan bulat tak negatif, disebut monomial dalam x.
contoh
2x3, πx7, 4x0(= 4), -6x, x17
Fungsi-fungsi 4x1/2 dan x-3 bukan monomial sebab pangkat dari x bukan bilangan bulat tak negatip.
8
08/11/2015
Contoh :
x3 + 4x + 7, 3 – 2x3 + x17, 9, 17 – 2 x, x5 3
Rumus untuk polinomial dalam x adalah
f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +…+ an xn atau f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 +…+a0
DESKRIPSI RUMUS UMUM Polinomial linier a0 + a1 x (a1 ≠ 0) Polinomial kuadratik a0 + a1 x + a2 x2 (a2 ≠ 0) Polinomial kubik a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 (a3 ≠ 0)
9
08/11/2015
Adalah suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua polinomial. Contoh : X5 – 2x2 + 1 X2 - 4
x x+1
a a x a x ... a x f ( x) b b x b x ... b x 2
0
1
2
0
1
2
n
n
2
n
n
FUNGSI PANGKAT Contoh : ( x 3) x
f(x) = x2/3 = (√ x) 2 dan g(x) =
x5 x2 1
Fungsi Transenden
Fungsi Trigonometri dan Inversnya Hubungan antara ukuran sudut dan radian o
o
360 180 2
Dan satu derajat ekivalen dengan
o
180
rad. nilai 3,14
y sin( x T ) sin x Periode fungsiadalah 2
10
08/11/2015
sin x cos x cos x y cot x sin x y tan x
Untuk nilai cos x=0, maka nilai tan x tidak terdefinisi Untuk nilai sin x=0, maka nilai cot x tidak terdefinisi
11
08/11/2015
Fungsi Eksponensial dan Logaritma Jika y log x , maka y merupakan pangkat untuk a yang a y harus menghasilkan x, jadi x a kebalikannya, jika y log x sehingga a
y log x dan x a a
y
adalah ekivalen
12
08/11/2015
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
f x
Jika x a (baca x mendekati a dari kanan) dan lim f x ada, maka bentuk lim f x disebut limit kanan. jika x a (baca x mendekati a dari kiri) dan lim f x ada, maka bentuk lim f x disebut limit kiri. Jika limit kanan dan limit kiri ada dan nilainya sama, maka dikatakan bahwa lim f x ada.
x a
x a
x a
x a
x a
Contoh : Diberikan f(x) = x+1 , ditanyakan lim f x x2
x
x
1,80
1,90
1,97
1,99
1,99999
2,80
2,90
2,97
2,99
2,99999
2,20 3,20
2,15 3,15
2,05 3,05
2,01 3,01
2,00001 3,00001
13
08/11/2015
SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x) g x M dan c memenuhi lim f x L dan lim x a xa adalah bilangan real, maka lim [ f x g ( x)] lim f x lim g x L M x a
x a
x a
lim cf x c lim f x cL xa
xa
lim [ f x g ( x)] lim f x . lim g x L.M x a
lim[ x a
xa
xa
f x lim f ( x) L ] , dan lim g ( x) 0 g ( x) lim g ( x) M x a
x a
x a
lim
x a
f ( x) lim f ( x) L x a
14
08/11/2015
Definisi ; Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c, jika syarat-syarat berikut dipenuhi ; 1. f(c) terdefinisi 2. lim f ( x ) ada x c
3. lim f ( x) f ( x) x c
jika salah satu tidak terpenuhi, maka fungsi disebut diskontinu dititik c
y = f(x)
y = f(x)
c
c
Pada gambar diatas terjadi lubang pada titik c Karena fs f tidak terdifinisi di ttk tsb (a)
Pada gb diatas terjadi patahan pd grafiknya, fs f terdifinisi di c, tapi lim f(x) tdk ada x
c (b)
y = f(x)
y = f(x)
c Sama seperti gambar (b)
c Pada gambar diatas, fs f terdifinisi di c dan lim f(x) ada, tetapi ada patahan pd ttk c, lim f(x) ≠f(c)
15
