PESQUISA EM MERCADO DE CAPITAIS Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
Cap. 7 – A Estrutura de Correlações dos Retornos dos Ativos: modelo de índice único
ELTON, E.; GRUBER, M.; BROWN, S., GOETZMANN, W. Moderna Teoria de Carteiras e Análise de Investimentos. São Paulo: Editora Atlas, 2004.
• Moderna Teoria de Carteiras – mais de 50 anos!! • Pesquisas sobre como implementar a teoria básica. – Como simplificar a quantidade e tipo de insumos necessários; – Simplificação dos procedimentos computacionais para os cálculos das carteiras ótimas.
Os dados necessários • 𝑅𝑃 = • 𝜎𝑃 =
𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑅𝑖 𝑁 𝑖=1
𝑋𝑖2 𝜎𝑖2
+
𝑁 𝑖=1
𝑁 𝑗=1 𝑗≠𝑖
𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗 𝜌𝑖𝑗
1 2
• Precisamos de estimativas de: – Retornos esperados de cada ativo; – Variância de cada ativo; – Correlação entre cada par de ativos.
• Em uma carteira com 150 ativos isso significa: – 150 retornos, 150 variâncias e 11.175 correlações (N(N-1)/2)
Modelos para prever estruturas de correlações • Técnica mais usada: pressupõe que a variação conjunta entre ações se deve a uma única influência ou índice comum. • Modelo de Índice Único – Uma das razões pelas quais os retornos dos ativos são correlacionados é que há uma resposta comum a mudanças no mercado; – Uma medida útil dessa correlação pode ser a relação entre o retorno de uma ação e o retorno de um índice geral do mercado acionário:
𝑅𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚
Modelo de Índice Único 𝑅𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚 Componente que independe do mercado
Componente que depende do mercado
𝛼𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑒𝑖 Elemento aleatório, tem valor esperado igual a zero
𝑅𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚 + 𝑒𝑖 São variáveis aleatórias, com distribuição de probabilidades, variância e desvio padrão (𝜎𝑒𝑖 ; 𝜎𝑚 )
Pressupostos do Modelo de Índice Único • A análise de regressão garante que ei não seja correlacionado com Rm 𝑐𝑜𝑣 𝑒𝑖 𝑅𝑚 = 𝐸 𝑒𝑖 − 0 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚 = 0 • O modelo de índice único vale apenas com certos pressupostos. • A pressuposição essencial é que ei é independente de ej. 𝐸 𝑒𝑖 𝑒𝑗 = 0 • Isso implica em a única razão para as ações se moverem juntas é a resposta conjunta às variações do mercado. Entretanto, é uma aproximação da realidade, nada no método de regressão garante isso.
Retorno Esperado
𝐸[𝑅𝑖 ] = 𝐸[𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚 + 𝑒𝑖 ] 𝐸[𝑅𝑖 ] = 𝐸[𝛼𝑖 ] + 𝐸[𝛽𝑖 𝑅𝑚 ] + 𝐸[𝑒𝑖 ] 𝐸[𝑅𝑖 ] = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚
Variância do Retorno 𝜎𝑖2 = 𝐸 𝑅𝑖 − 𝑅𝑖
2
𝜎𝑖2 = 𝐸 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚 + 𝑒𝑖 − 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚
2
Rearranjando e notando que os α se cancelam:
𝜎𝑖2 = 𝐸 𝛽𝑖 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚 + 𝑒𝑖
2
Elevando ao quadrado os termos entre colchetes:
𝜎𝑖2 = 𝛽𝑖2 𝐸 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚
2
+ 2𝛽𝑖 𝐸 𝑒𝑖 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚
Como, por pressuposição 𝐸 𝑒𝑖 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚
= 0:
+ 𝐸 𝑒𝑖
2
Variância do Retorno 𝜎𝑖2 = 𝛽𝑖2 𝐸 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚
2
+ 2𝛽𝑖 𝐸 𝑒𝑖 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚
Como, por pressuposição 𝐸 𝑒𝑖 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚
𝜎𝑖2 = 𝛽𝑖2 𝐸 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚
= 0:
2
+ 𝐸 𝑒𝑖
2
2 + 𝜎2 𝜎𝑖2 = 𝛽𝑖2 𝜎𝑚 𝑒𝑖
+ 𝐸 𝑒𝑖
2
Covariância entre dois ativos quaisquer 𝜎𝑖𝑗 = 𝐸 𝑅𝑖 − 𝑅𝑖 𝑅𝑗 − 𝑅𝑗
𝜎𝑖𝑗 = 𝐸
𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚 + 𝑒𝑖 − 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚
. 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 𝑅𝑚 + 𝑒𝑗 − 𝛼𝑗 + 𝛽𝑗 𝑅𝑚
𝜎𝑖𝑗 = 𝐸 𝛽𝑖 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚 + 𝑒𝑖 𝛽𝑗 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚 + 𝑒𝑗
𝜎𝑖𝑗 = 𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝐸 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚 2 + 𝛽𝑗 𝐸 𝑒𝑖 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚 𝛽𝑖 𝐸 𝑒𝑗 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚 + 𝐸 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝜎𝑖𝑗 = 𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝐸 𝑅𝑚 − 𝑅𝑚 2 𝜎𝑖𝑗 = 𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝜎𝑚
2
+
Decomposição dos retornos de um ativo
• 𝛽𝑖 = 1,5 é o valor que separa o retorno de mercado do retorno do singular do ativo, tornando zero a covariância entre Rm e ei. • 𝑅𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚 = 2 + 1,5 × 4 = 8 2 2 • 𝜎𝑖2 = 𝛽𝑖2 𝜎𝑚 + 𝜎𝑒𝑖 = 1,5
2
8 + 2,8 = 20,8
Retorno Esperado e Variância de uma carteira
• Retorno esperado 𝑁
𝑅𝑃 =
𝑁
𝑋𝑖 𝑅𝑖
𝑅𝑃 =
𝑖=1
𝑁
𝑋𝑖 𝛼𝑖 + 𝑖=1
• Variância
𝑁
𝑁
𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝜎𝑖𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝑗≠𝑖
𝑖=1 𝑁
𝑁
𝑁
2 + 𝑋𝑖2 𝛽𝑖2 𝜎𝑚
𝜎𝑃2 = 𝑖=1
𝑖=1
𝑁
𝑋𝑖2 𝜎𝑖2 +
𝜎𝑃2 =
𝑋𝑖 𝛽𝑖 𝑅𝑚
𝑁 2 𝑋𝑖2 𝜎𝑒𝑖
2 + 𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝜎𝑚 𝑖=1 𝑗=1 𝑗≠𝑖
𝑖=1
Retorno Esperado e Variância de uma carteira
• Para estimar retorno e risco de uma carteira é preciso: uma estimativa de αi para cada ação, βi para cada ação, 𝜎𝑖2 para cada ação e, o retorno esperado Rm e variância 2 do mercado. 𝜎𝑚 • Um total de 3N + 2 estimativas. Para uma carteira de 150 ativos isso representa 452 estimativas, ao invés das 11.175 sem a estrutura simplificada. • Uma alternativa é estimar retorno esperado, variância e beta de cada ativo e a variância do retorno do mercado. Isso dá 3N + 1 estimativas.
Características do Modelo de Índice Único • O beta e o alfa de uma carteira 𝑁
𝛽𝑃 =
𝑁
𝑋𝑖 𝛽𝑖
𝛼𝑃 =
𝑖=1
𝑋𝑖 𝛼𝑖 𝑖=1
• O retorno da carteira pode então ser escrito: 𝑅𝑃 = 𝛼𝑃 + 𝛽𝑃 𝑅𝑚
• Sendo P a carteira de mercado teremos que ter αP = 0 e βP = 1 para que RP = Rm. Portanto, o beta do mercado é igual a 1. • A expressão do risco de uma carteira pode ser reescrita (fazendo i = j no duplo somatório): 𝑁
𝑁
𝜎𝑃2 =
𝑁
2 𝑋𝑖2 𝜎𝑒𝑖
2 + 𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝜎𝑚 𝑖=1 𝑗=1
𝑖=1
Características do Modelo de Índice Único • Rearranjando os termos: 𝑁
𝜎𝑃2 =
𝑁
2 𝑋𝑖2 𝜎𝑒𝑖
2 + 𝑋𝑗 𝛽𝑗 𝜎𝑚
𝑋𝑖 𝛽𝑖 𝑖=1
𝑁
𝑗=1
𝑖=1
• O risco da carteira pode então ser escrito: 𝑁 2 𝑋𝑖2 𝜎𝑒𝑖
2 𝜎𝑃2 = 𝛽𝑃2 𝜎𝑚 + 𝑖=1
• O risco de uma carteira igualmente ponderada será: 1 2 2 2 𝜎𝑃 = 𝛽𝑃 𝜎𝑚 + 𝑁
𝑁
𝑖=1
1 2 𝜎𝑒𝑖 𝑁
= 1/N vezes o risco residual médio
Características do Modelo de Índice Único • À medida que aumenta o no. de ativos na carteira, a importância 1 𝑁 1 2 do risco residual médio 𝑖=1 𝜎𝑒𝑖 diminui drasticamente. 𝑁
𝑁
• O risco que não é eliminado é o associado ao termo βP. • Se o risco residual se aproxima de zero o risco da carteira pode ser escrito: 𝑁 2 𝜎𝑃 = 𝛽𝑃2 𝜎𝑚
1 2
= 𝛽𝑃 𝜎𝑚 = 𝜎𝑚
𝑋𝑖 𝛽𝑖 𝑖=1
• Portanto, a medida da contribuição de um ativo para o risco de uma carteira diversificada é βi.
Decomposição do Risco 2 + 𝜎2 𝜎𝑖2 = 𝛽𝑖2 𝜎𝑚 𝑒𝑖 2 • 𝜎𝑒𝑖 se aproxima de zero à medida que a carteira aumenta de tamanho. É o risco diversificável.
2 2 • 𝛽𝑖2 𝜎𝑚 não diminui à medida que N aumenta. Como 𝜎𝑚 é igual para todos os ativos, βi é a medida do risco não diversificável do ativo. • βi é muitas vezes usado como medida do risco de um ativo.
Estimativas de Betas
Estimativa de Betas Históricos • Através de diagramas de dispersão e regressão linear 𝜎𝑖𝑚 𝛽𝑖 = 2 = 𝜎𝑚
𝑁 𝑡=1
𝑅𝑖𝑡 − 𝑅𝑖𝑡 𝑅𝑚𝑡 − 𝑅𝑚𝑡 𝑁 2 𝑅 − 𝑅 𝑚𝑡 𝑚𝑡 𝑡=1
𝛼𝑖 = 𝑅𝑖𝑡 − 𝛽𝑖 𝑅𝑚𝑡 • São estimativas. • Podem não ser estacionários no tempo.
Exatidão dos Betas Históricos • Blume (1970) e Levy (1971): em que medida o beta de um período se relacionava com o beta do período seguinte, examinando carteiras de diferentes tamanhos
Ajustamento de Estimativas Históricas • O beta estimado é função do verdadeiro beta subjacente e do erro amostral; • Uma estimativa alta aumenta a chance de um erro amostral positivo, e uma estimativa baixa a de um erro amostral negativo; • Se esse cenário é correto deve-se esperar que os betas tendam a convergir para 1 em períodos sucessivos; • Estimativas muito maiores que 1 seriam seguidas por betas mais próximos de 1 (mais baixas), e estimativas de betas abaixo de 1 seriam seguidas por betas mais altos.
Ajustamento de Estimativas Históricas • Evidências foram apresentadas por Blume (1975) e Levy (1971)
A técnica de Blume • Tenta corrigir os betas históricos capturando essa tendência a estar mais próximo de 1; • Blume (1975) mediu betas em dois períodos consecutivos e fez uma regressão do segundo período em relação ao primeiro: 𝛽𝑖2 = 0,343 + 0,677𝛽𝑖1 • A equação reduz valores altos e aumenta valores baixos. • A técnica de Blume resulta em uma extrapolação contínua da tendência de aumento dos betas.
A técnica de Vasicek • O ajustamento depende do tamanho da incerterza (erro amostral) em relação ao beta. • Vasicek (1973) utiliza como ponderação a variação dos 2 betas históricos de uma amostra de ações 𝜎𝛽1 no perído 1 e a variação na estimativa de beta de uma 2 determinada ação i medida no período 1, 𝜎𝛽𝑖1 . 𝛽𝑖2 =
2 𝜎𝛽𝑖1
𝜎𝛽2 1
+
2 𝜎𝛽𝑖1
𝛽1 +
𝜎𝛽2 1
𝜎𝛽21
+
2 𝜎𝛽𝑖1
𝛽𝑖1
Precisão do beta ajustado • Klemkosky e Martin (1976) testaram as duas técnicas ao longo de 3 períodos de 5 anos para uma ação e uma carteira com 10 ações; • As duas técnicas produziram previsões mais exatas dos betas futuros do que os betas sem ajustamento; • Entretanto, entre a técnica bayesiana e a de Blume não foi possível identificar claramente qual a melhor. • Outra forma de testar os betas é avaliar sua capacidade de prever a estrutura de correlações entre ações!!
Betas como previsores de coeficientes de correlação 2 𝜎𝑖𝑗 𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝜎𝑚 𝜌𝑖𝑗 = = 𝜎𝑖 𝜎𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗 • Elton, Gruber e Ulrich (1978) compararam: – A matriz de correlações históricas; – Previsões da matriz a partir de betas históricos do período anterior; – Idem anterior utilizando a técnica de Blume para ajuste dos betas históricos; – Idem anterior utilizando a técnica de Vasicek.
Betas como previsores de coeficientes de correlação
• Elton, Gruber e Ulrich (1978) conclusões: – A matriz de correlações históricas foi a pior técnica; – O modelo de índice único funciona melhor que o conjunto completo de dados históricos; – A comparação entre as três técnicas de previsão de betas é mais ambígua.
Erros de previsão de betas • Modelo de índice único: – Como pressupõe que a única fonte de correlação é a resposta ao mercado, quando há outras fontes de correlação como por exemplo setoriais, se essa correlação é positiva o beta será subestimado.
• Técnica de Blume: – Como ajusta o beta me relação a 1 tende a aumentar o coeficiente de correlação médio. Como o coeficiente de correlação é o produto de dois betas o produto tende a ser maior.
• Técnica de Vasicek: – Tende a puxar os coeficientes de correlação médios para baixo.
Resumo: por que estimar betas? • Para estimar betas futuros; • Para gerar coeficientes de correlação necessários à solução da otimização de carteiras. • Ao prever betas utilize uma das técnicas de ajustamento (Blume ou Vasicek); • Não é clara a preferência de uma ou outra; • Para estimar a matriz de correlações a partir de betas, qualquer técnica trará tendenciosidades; – Qualquer das 3 estimativas (índice único, Blume ou Vasicek) é melhor que a matriz de correlações histórica; – Os autores recomendam fazer o ajustamento na previsão média, neste caso a técnica bayesiana tem melhor desempenho.
Betas Fundamentais • O risco de uma firma depende de fundamentos operacionais e de mercado; • Beaver, Kettler e Scholes (1970) examinaram sete variáveis e a relação com o beta: – – – – – – –
Distribuição de dividendos (-); Crescimento dos ativos (+); Alavancagem (+); Liquidez (-); Tamanho do ativo (-); Variabilidade dos rendimentos (+); Beta contábil (+).
Betas Fundamentais e Históricos • Betas Históricos: – Vantagens: • Medem a resposta de cada ação aos movimentos do mercado;
– Desvantagens: • Mudanças em características das companhias demoram a ter efeito nas estimativas
• Betas Fundamentais: – Vantagens: • Respondem mais rapidamente a mudanças nas características das companhias.
– Desvantagem: • Pressupõe que a sensibilidade de todos os betas a uma variável fundamental subjacente é a mesma.
O Modelo de Mercado • Idêntico ao Modelo de Índice Único, exceto que não se pressupõe que cov(ei, ej) = 0. • Relação entre retornos e retorno de mercado:
𝑅𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚 + 𝑒𝑖
• Retorno esperado para qualquer ação:
𝑅𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅𝑚
• Como não pressupõe que todas as covariâncias entre ações se devem à covariância comum com o mercado, as expressões para risco da carteira são diferentes e mais complexas do que as resultantes do Modelo de Índice Único. • A estimativa do beta, entretanto, vale para ambos os moedelos.
