POLINOMIOS Matemática Intermedia Profesora Mónica Castro
Objetivos Definir
y repasar los conceptos básicos de polinomios. Discutir los distintos métodos de factorización de polinomios. Establecer distintas técnicas de enseñanza para factorizar polinomios. Sintetizar las técnicas de factorización de polinomios mediante la construcción de mapa de conceptos u otras técnicas de assessment.
Definición
Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma axn , donde a es cualquier número y n es un número entero no negativo. Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5)
3x - 2 x4 + 5 2n2 - 5n + 3 5y3 + 4y2 - 3y + 1 23
Definición
Las siguientes expresiones algebraicas no son polinomios:
¿Qué diferencia observas entre los primeros cinco ejemplos que son polinomios y estos dos que no lo son?
Nota: Los polinomios son expresiones algebraicas pero no toda expresión algebraica es un polinomio.
Componentes de un polinomio
Término: Un término es una parte de una expresión algebraica. Los términos se separan entre sí por los signos de suma (+) o resta (-). Coeficiente numérico: es el factor numérico del mismo. Término constante: es el coeficiente numérico que no contiene variable.
Clasificación de los polinomios
Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos.
Un polinomio que tiene un solo término se llama monomio.
Si el polinomio tiene dos términos se llama un binomio
Si tiene tres términos se llama trinomio
Los polinomios formados por más de tres términos no reciben ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la cantidad de términos que contiene.
Grado de un polinomio
Si el polinomio es en una variable, el grado del polinomio está determinado por el término que contiene el mayor exponente. Si tiene más de una variable, se suman los exponentes de cada término y la suma más alta determina el grado del polinomio. Polinomios
Grado Es de grado cuatro Es de grado tres Es de grado dos Es de grado uno Es de grado cero
5x – 1 8 3x3y5 + 5x2y4 – 7xy2 + Es de grado ocho 6
Orden de un polinomio
Los polinomios se ordenan escribiendo los exponentes en orden descendente,
es decir, de mayor a menor ascendente, es decir, de menor a mayor. Polinomio 3x2 – 5x + 8 8 – 5x + 3x2
Orden Orden descendente Orden ascendente
Términos Semejantes
Dos términos son semejantes cuando ambos son numéricos o cuando tienen las mismas variables y sus exponentes son respectivamente iguales.
Semajentes
No semejantes
6
; -11
6
; -11x
x
;
3x
x
;
11x
-3x ; 11xy
-3x ;
3x2
Evaluación de polinomios
Para evaluar un polinomio hacemos lo mismo que evaluar una expresión algebraica. Simplemente
sustituimos el valor asignado a la variable y efectuamos las operaciones indicadas en el polinomio.
Evalua cada polinomio para los valores asignados: 1) 2x4 – 3x3 + 6x – 8 cuando x = -2 2) x2 +5x – 6 cuando x = -3 3) 3xy –xy +4 cuando x = 1 y y = -2
Ejercicio Considera el siguiente polinomio 2a + 4a3 - 9 y contesta: 1.
¿Cuáles son los coeficientes?
2.
¿Cuál es el término constante?
3.
¿Cuántos términos tiene?
4.
¿Cuál es su clasificación de acuerdo al número de términos que tiene?
5.
Expresa el polinomio dado en orden ascendente.
6.
Expresa el polinomio dado en orden descendente.
7.
¿Cuál es el grado del polinomio?
8.
¿Contiene términos semejantes?
9.
Evalua el polinomio para cuando a = -1.
Factorización de polinomios
Es expresar un polinomio como producto de factores, que, al multiplicarlos todos, resulta el polinomio original. Proceso inverso a la propiedad distributiva
Máximo Común Factor
Factor común mayor
Se buscan los factores de cada término Se agrupan a la izquierda los factores en común en cada término, luego se coloca en paréntesis los factores restantes de cada término.
2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) = (m - 2n )( 2a - b )
3x(2z - 5z) + x (2z – 5z) = 3x(2z – 5z) + x(2z – 5z) = (2z – 5z) (3x + x)
Agrupación Se
unen los factores que se parezcan, es decir, los que tengan un factor común, utilizando paréntesis Ejemplos: ax bx ay by (ax bx ) (ay by ) x (a b ) y (a b ) (a b )( x y )
Fórmulas Especiales
Diferencia de cuadrados perfectos
Suma de cubos
a3 + b3=(a + b) (a2 - ab + b2)
Diferencia de cubos
x2 – y2 = (x – y) (x + y)
a3 – b3 =(a - b) (a2 + ab +b2)
Cuadrado perfecto
a2 + 2ab + c =(a + b) 2 a2 – 2ab + c = (a - b) 2
Trinomios De la forma x2 ± bx ± c
Siempre se factoriza de la siguiente manera (x ± #) (x ± #)
El trinomio nos da unas claves para resolver estos ejercicios de una forma más rápida:
El segundo signo nos indica si los signos en los paréntesis son iguales o diferentes,
El primer signo indica donde va colocado el factor mayor.
La primera pregunta que usted se debe hacer que factores de c sumados (si el segundo signo es +) o restados (si el segundo signo es negativo) me dan b (en valor absoluto).
Trinomios De la forma x2 ± bx ± c Polinomio
Factorización
x2 + bx + c
(x + #) ( x + #) Factores de c que sumados me den b
Explicación Como el segundo signo es positivo ambos paréntesis llevan el mismo signo y como el primero es positivo el signo que se utiliza es positivo.
(x - #) ( x - #) Factores de c que sumados me den b
Como el segundo signo es positivo ambos paréntesis llevan el mismo signo y como el primero es negativo el signo que se utiliza es negativo.
x2 - bx + c
x2 + bx - c
(x + factor mayor) ( x - #) Factores de c que restados me den b
x2 - bx - c
(x + #) ( x – factor mayor) Factores de c que restados me den b
Como el segundo signo es negativo, los paréntesis llevan el signos diferentes. Como el primer signo es positivo, el factor mayor va a ir en el paréntesis con el signo de +. Como el segundo signo es negativo, los paréntesis llevan el signos diferentes. Como el primer signo es negativo, el factor mayor va a ir en el paréntesis con el signo de -.
Trinomios De la forma ax2 + bx + c Método común es el Ensayo y error Otro método Pasos a seguir 1.
Multiplica los términos de los extremos de tu trinomio c(ax2 )
2.
Basándote en el coeficiente del segundo termino (b) y en el resultado del primer paso, se buscan dos números que sumados me den c y multiplicados me den c(ax2 )
3.
Agrupa dentro de un paréntesis el primer término de tu trinomio sumado con el primer factor encontrado
4.
Agrupa el segundo factor encontrado sumado con el tercer término de tu trinomio
5.
Suma los dos paréntesis y luego resuelve por el método de agrupación.
Factoriza 6x² - x – 2
Paso 1: -2(6x²) = -12x² Paso 2: Buscar factores que multiplicados me den -12x² pero sumados me den –x Factor 1
-x
x
-2x
2x
-3x
3x
Factor 2
12x
-12x
6x
-6x
4x
-4x
Suma
11x
-11x
4x
-4x
x
-x
Paso 3: (6x² + 3x)
Paso 4: (-4x – 2)
Paso 5: (6x² + 3x) + (-4x – 2) = 3x(2x + 1) + -2(2x + 1) = (2x + 1) (3x – 2)
Ejercicio de Assessment
Construye un mapa de concepto donde se presenten los distintos métodos de factorización y cómo se aplican
Mapa de concepto de factorización Factorización
Factor común mayor
Diferencia de cuadrados perfectos
Diferencia de cubos perfectos Suma de cubos perfectos
Polinomio de 4 términos
Trinomio
Binomio
Cuadrado perfecto
A2 ± 2AB ± C
De la forma
x2 + bx + c
ax2 + bx + c
Agrupación
Factoriza completamente 1) a2b - ab2 = 2) 6p2q + 24pq2 = 3) 12x3y - 48x2y2 = 4) 9m2n + 18 mn2 - 27mn= 5) ¼ ma + ¼ mb + ¼ mc 6) a/5 + b/25 + c/ 40 7) x2 - 8x + 16 = 8) 16y2 + 24y + 9 = 9) 36a2 - 12a + 1 = 10) 4x2 + 20xy + 25y2 = 11) 16x2 - 25y2 = 12) 144 - x2y2 = 13) 36 - 25a2 =
14) 25 - 4a2 = 15) 16m2n2 - 9p2 = 16) x2 - 4x + 3 = 17) x2 - 2x - 15 = 18) x2 - 7xy - 18y2 = 19) 12 - 4x - x2 = 20) 5x2 - 11x + 2 = 21) 6x2 - 7x - 5 = 22) 12x2 + 17x - 5 = 23) 7u4 - 7u2v2 = 24) kx3 + 2kx2 - 63kx = 25) 5x3 - 55x2 + 140x = 26) 4m2n2 + 24m2n - 28m2 =
