PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU
Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu Univerziteta u Sarajevu. Izbor je napravljen prema: 1. Zbirka zadataka iz algebre I, II i III (prema programu za srednje škole), Stjepan Mintaković, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo; 2. Metodička zbirka zadataka iz algebre i geometrije (za sve srednje škole),Dr Marcel Šnajder, Dr Stjepan Tomić, Zavod za izdavanje udžbenika Sarajevo, te na osnovu zadataka koji su postvljeni na klasifikacionom ispitu iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet, Fizički fakultet i Fakultet za fizičku hemiju na Univerzitetu u Beogradu, te na osnovu primjera zadataka za test iz matematike na Sveučilištu u Zagrebu.
2
SADRŽAJ RAZLOMCI... 3 ALGEBARSKI IZRAZI... 9 KVADRATNE JEDNA INE... 14 JEDNA INE SA APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA... 16 GRAFICI KVADRATNE FUNKCIJE SA APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA... 18 LOGARITAMSKE JEDNA INE I NEJEDNA INE... 19 PRIMJENA SLI NOSTI... 21 POVRŠINA RAVNIH FIGURA... 22 TRIGONOMETRIJA... 24 I Svo enje na prvi kvadrant... 24 II Trigonometrijske funkcije složenih uglova...25 III Trigonometrijske jedna ine... 27 ANALITI KA GEOMETRIJA U RAVNI... 30 PRIMJERI PRIJEMNOG ISPITA NA RAZNIM FAKULTETIMA... 40 Elektrotehni ki fakultet Uiverziteta u Beogradu ... 40 Fakultet za saobra aj i komunikacije u Sarajevu ...42 Elektrotehni ki fakultet Uiverziteta u Sarajevu ...43 Gra evinski fakultet u Sarajevo.... 46 Malo statistike sa prijemnog ispita na GF u Sarajevu 02.07.2007... 48 TESTIRAJTE SE ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE... 52 PROGRAMI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE....58
3 Razlomci: Izra unati vrijednosti numeri kih izraza: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 2 5
PRIMJEDBA:Ovdje je mješoviti broj 3 =
15 2 17 + = 5 5 5
3
2 5
4
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
5 21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
6
32.
34.
36.
7 Rješenja 1.
5. 9.
12.
13.
14.
17.
20.
23.
26.
29.
31.
32.
8 33.
34.
9 Algebarski izrazi
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
10
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
11
19.
20.
Riješenja 1.
2. 3.
4.
5.
12 6.
7.
9. 11.
12.
13 13.
14.
15.
16.
17.
18.
14 Kvadratne jedna ine
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
15 Rješenja kvadratnih jedna ina 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
16 Jedna ine sa apsolutnim vrijednostima 1.
2. 3.
4. Rješenja jedna ina 1.
2.
3.
4.
17
18 Grafici kvadratne funkcije sa apsolutnim vrijednostima 1. 3. Rješenja
1.
2.
3.
19 Logaritamske jedna ine i nejedna ine 1. 2.
3.
4.
6.
20 Rješenja logaritamske jedna ine i nejedna ine
1.
2. 3.
4.
5.
6.
21 Primjena sli nosti 1.
2.
3. 4.
5.
6. Rješenja 1.
3.
4.
6.
22 Površina ravnih figura 1.
2. 3.
4.
5.
6.
7.
8. 9.
10. 11.
12.
13.
14.
23 Riješenja 1. 4. 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 14.
24 Trigonometrija
Rješenja
25
26 Rješenja
27 III Trigonometrijske jedna ine
28 Rješenja
29
30 ANALITI KA GAEOMETRIJA U RAVNI Ta ka Rastojanje d ta aka M 1 (x 1 ,y 1 ) i M 2 (x2 .y 2 ): d = (x 2 - x1 ) 2 + (y 2 - y1 ) 2 1 1 Koordinate sredine S duži M1M2 : x s = ( x1 + x 2 ) , ys = ( y1 + y 2 ) . 2 2
Površina trougla Površina P trougla sa vrhovima M 1 (x1 ,y 1 ) i M 2 (x 2 .y 2 ) i M3(x3,y3): 1 P = ± [ x1 (y 2 y3 ) + x 2 (y3 y1 ) + x 3 (y1 y 2 ) ] 2 Ta ke M 1 (x 1 ,y 1 ) i M 2 (x2 .y 2 ) i M3(x3,y3) su kolinearne (tj. leže na istoj pravoj) akko je P=0.
Jedna ina prave • Opšti oblik: Ax + By + C = 0, A ili B je razli ito od nule (tj. A 2 + B2 koordinatni po etak. x y + = 1, • Segmentni oblik: a b ta ka P(a, 0) presjek sa osom Ox, ta ka Q(0, b) presjek sa osom Oy; x = a prava paralelna osi Oy, y= b prava paralelna osi Ox; jedna ina ose Ox y= 0, jedna ina ose Oy: x= 0. • Eksplicitni oblik y = kx + n
(0, n) presjek sa osom Oy,
n ,0 , k k
0, presjek sa osom Ox,
tga koeficijent pravca. • Pramena pravih sa centrum M0 (x0, y0): y y0 = k(x x0). • Prave kroz dvije ta ke M 1 (x 1 ,y 1 ) i M 2 (x2 .y 2 ): y y1 y y1 = 2 ( x x1 ) ili ( y y1 )( x 2 x 2 x1
0 ). C=0 implicira prava prolazi kroz
ugao sa pozitivnim smerom ose Ox,
x1 ) = ( y 2
y1 )( x
x1 )
• Normalni oblik (p 0 je rastojanje prave od koordinatnog po etka, a ugao koji normala na tu pravu zatvara sa (pozitivnom) smjerom ose Ox) x cos + y sin p = 0. Veza izme u raznih oblika jedna ine prave C C A C a= , b= , k = tg = , + = , p= , A B B 2 ± A 2 + B2 Predznak pred korjenom bira se tako da je p 0. Uslov paralelnosti pravih • Prave y = k1x + n1, y = k2x + n2 su paralelne ako i samo ako je k1 = k2. • Prave A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0, su paralelene akko: A1 : B1 = A 2 : B2 . Uslov normalnosti pravih • Prave y = k1x + n1, k1 0 i y= k2x + n2, k2 0, su normalne akko je k1k2 = —1. • Prave A1x + B1y + C1 = 0 i A2x + B2y + C2 = 0 su normalne akko je A1A2 + B1B2 = 0. • Prava kroz Mo (xo,yo) normalna na pravu y = kx + n, k
0 je y
y0 =
1 (x k
x 0 ).
k=
31 Ugao izmedu pravih • y= k1x + m1, y= k2x + n2: tg =
k 2 k1 , 1 + k1 k 2 , tj. 1 +k1 k 2 = 0 1 + k1 k 2 Rastojanje ta ke od prave
• rastojanje d ta ke M0 (x0, y0) od prave Ax + By + C = 0, Ax 0 + By0 + C d= A 2 +B2 d C > 0 ako su ta ke O i M0 sa iste strane prave , d C < 0 ako su ta ke O i M0 sa raznih strane prave, d = 0 ako je M0 na pravoj, C = 0 koordinatni po etak O je na pravoj.
= 900.
A 2 + B2 0, je
Kružnica je geometrijsko mjesto ta aka u ravni jednako udaljenih od jednc utvr ene ta ke (centra kružnice). • Polupre nik je duž ije su krajnje tacke centar i bilo koja ta ka na kružnici. • Jedna ina kružnice sa centrom u tacki C(p, q) i polupre nikom r je (x p)2 + (y q)2 =r2.
Ax 2 + Bx + Ay 2 + Cy + D = 0 je jedna ina kružnice ako je B 2 + C 2 4AD > 0. Tada je: B C B2 + C 2 - 4AD p= , q= , r2 = . 2A 2A 4A 2 Tangenta kružnice • Ako ta ka Mo(xo,yo) pripada kružnici (x p) 2 + (y q) 2 = r 2 onda je (x o p) (x p) + (y o – q) (y q) = r 2 jedna ina tangente kružnice u toj ta ki. • Prava y = kx + n je tangenta kružnice (x — p)2 + (y — q)2 = r2 akko je (1 + k2)r2 = (q kp n)2.
Elipsa je geometrijsko mjesto ta aka u ravni sa osobinom da je zbir rastojanja od dvije utvr ene ta ke (fokusa F1 i F2) stalan. Zbir rastojanja ma koje ta ke elipse do fokusa obilježava se sa 2a.
32 y2 x2 + =1 a2 b2
• Kanonska jedna ina: • Ekscentritet: e =
b2 < 1 ; Fokusi (žiže): (c,0), ( c,0) a2 a a b2 x= , x= ; fokalni parametar: p = a e e
c = 1 a
• Jedna ine direktrisa:
• Fokalni radijusi: r1 = a + ex, r2 = a • Tangenta u ta ki M (x0, yo):
ex ;
x 0 x y0 y + 2 =1 a2 b
• Uslovi da prava y = kx + n bude tangenta hipcrbole: a2k2 + b2 = n2
Hiperbola je geometrijsko mjesto ta aka u ravni za koje vrijedi da je razlika rastojanja od dvije utvr ene ta ke (fokusa F1 i F2) stalna. Stalna razlika udaljenosti od fokusa obelezava se sa 2a. x 2 y2 • Kanonska jedna ina: =1 a 2 b2 •
Ekscentricitet:
e=
c b2 = 1 + 2 > 1 ; Fokusi (žiže): a a
(c,0), ( c,0)
a a b2 x= , x= ; fokalni parametar: p = e e a • Fokalni radijusi: r1 = a + ex, r2 = a + ex ; x 0 x y0 y • Tangenta u ta ki M (x0, yo): =1 a2 b2 • Uslovi da prava y = kx + n bude tangenta hipcrbole: a2k2 – b2 = n2 • Jedna ine direktrisa:
Parabola je geometrijsko mjesto ta aka u ravni sa osobinom da je rastojanje od jedne fiksne ta ke (fokusa F) jednako rastojanju od jedne fiksne prave (direktrise d). • Kanonska jedna ina: y2 = 2px • Ekscentricitet: e = • Fokus:
p ,0 2
• Jedna ina direktrise: x =
p , Fokalni parametar: p 2
33 p 2 • Tangenta u ta ki M(xo ,yo): • Fokalni radijus:
r =x+
y0 y = p (x + x 0 )
• Uslovi da prava y = kx + n bude tangenta parabole: 2kn = p
34 ZADACI Ta ka i trougao 1. Odrediti ta ku M(x,y) koja je jednako udaljena od tacaka: M 1 (l,0), M 2 (2,2) i M 3 (0, 2). Rjesenje. Iz uslova zadatka je MM1 = MM2 i MM1 = MM3, dobije se slijede i sistem jedna ina:
odnosno 2x +4y = 7, 2x 4y = 3, ije je rješenje x = 1 i y = 5 / 4, pa je tražena ta ka M( 1, 5 / 4). 2. Pokazati da je trougao ABC jednakokrako pravougli ako su njegova temena: A(2,l), 5(5,3) i C(0,4). 3.
Data su tri uzastopna tjemena A(l,0), B(3,1) i C(5,4) paralelograma ABCD. Na 'i koordinate temena D. Rezultat. D(3,3).
4.. Data su dva susjedna tjemena A( 4,4), B(2,8) i presjek dijagonala S(2,2) paralelograma ABCD. Odrediti tjemena C i D. Rezultat. C(8,0), D(2, 4). 5. Dva tjemena trougla ABC su A( 3,1) i B(2,2), a tre e tjeme C pripada pozitivnom dijelu y ose. Na i koordinate ta ke C tako da površina tog trougla bude 10. Uputstvo. Iz uslova zadatka dobija se slijede a jedna ina: 5y 8 = 20
(y > 0).
Rezultat. C (0, 28 5).
' 6. Tri tjemena cetvorougla ABCD su: A(4,0), B(3,5) i C( 7,5), a etvrto tjeme D pripada negativnom dijelu x ose. Odrediti koordinate tacke D tako da površina cetvorougla ABCD bude 50. Rezultat. D( 6,0).
Prava 7. Data je ta ka A(l,2) i prava jednacinom 2x + y 3 = 0. a) Naci jednacinu prave koja prolazi kroz tacku A i normalna je na datoj pravoj. b) Naci jedna inu prave koja prolazi kroz tacku A i paralelna je sa datom pravom. Rjesenje. a) Koeficijent pravca date prave je k = 2, a koeficijent trazene prave je k1 =
1 1 = , pa je jedna ina k 2
1 2 = ( x 1) , odnosno x 2y + 3 = 0. Rezultat. b) 2x + y 4 = 0. 2 8. Tacke A1( l, 0), B1(2,1) i C1(0, 3) su sredine stranica trougla ABC. Naci koordinate tjemena tog trougla. Uputstvo. y x +1 Prava BC je paralelna sa pravom B1C1 i lahko je viditi da je BC: = ; prava AB je paralelna sa pravom A1B1 pa je 2 2
tražene prave y
AB:
y 3 x x 2 y 1 = ; prava AC je paralelna sa pravom A1C1 pa je: AC: . Rezultat. A(3,4), B( 3,2), C(l 2). = 3 1 1 3
9. U jedna ini prave mx 2y + 5 =0 odrediti parametar m tako da: a) prava bude paralelna pravoj x + y 1 = 0, b) prava bude normalna na pravu x y +1 = 0; c) prava zaklapa sa pozitivnim smijerom x ose ugao od 60°. Rezultat. a) m = 2; b) m = 2; c) m = 2 3. 10. Tjemena trougla su ta£ke: M1(3,0), M2(5,2) i M3(4, 5). Na i jedna inu visine trougla MiM2M3 koja odgovara temenu M1. Rezultat. x 3y 3 = 0. 11. Na i jedna inu prave koja prolazi kroz ta ku A(2,3) i sa koordinatnim osama gradi trougao povrsine 12. Uputstvo.
1 x y + = 1 , a površna trougla je P = p q = 12. Iz uslova da ta ka A leži na toj 2 p q 2 3 pravoj dobija se jedna ina + = 1 . Za nalaženje veli ina p i q koristi se sistem jedna ina: pq = 24, 3p + 2q = 24. p q Jedna ina tražene prave je
Rezultat. 3x + 2y 12 = 0.
34
35 12. Odrediti parametar p tako da prava 2x + py 5 = 0 zaklapa sa koordinatnim osama trougao ija je površina 5. Rezultat. p =
5 . 4
13. Odrediti koordinate tacke A' koja je simetri na ta ki A(1, 1) u odnosun na pravu x+2y 1 = 0. Rješenje. Prava kroz tacku A normalna na datu pravu ima jedna inu 2x y 3 = 0. Presjek tih pravih je 7 1 tacka B , AB = B A', tj. , a tražena ta ka A'(x',y') odre uje se iz uslova 5 5 7 x +1 1 y 1 9 3 . Prema tome, trazena tacka je A = i = , . 5 2 5 2 5 5 14. Na pravoj 3x y + 3 = 0 naci tacku M2 najbližu ta ki M1(2, 1). Rezultat. M 2 ( l,0). 15. Na i jedna inu prave koja prolazi kroz ta ku M3(3, 3), a sa pravom 4x y 2 = 0 zaklapa ugao uslova zadatka dobija se jedna ina
4
. Uputstvo. Iz
k 4 = 1, gde je k koeficijent pravca tražene prave. Rezultat. Dva rješenja: 5x 1 + 4k
+ 3y 24, 3x 5y = 6. 16. Odrediti jedna inu geometrijskog mjesta ta aka u ravni Oxy koje su podjednako udaljene od ta aka A( 1,3) i B(3,l). Rezultat. 2x y = 0. 5 2 . 4 18. Odrediti jedna ine simetrala uglova koje obrazuju prave 8x + 16y 21 = 0 i 16x 8y + 23 = 0. Rezultat. 2x – 6y + 11 = 0, 12X + 4y +1 = 0. 19. Na pravoj 2x y 10 = 0 na i ta ku M(x,y) tako da je zbir kvadrata rastojanja od ta aka M1( 5,0) i M2( 3, 4) najmanji. Uputstvo. Iz uslova zadatka je: MM12 +MM22 =2x2 + 2y2 + 16x 8y + 50 i y = 2x 10, odakle je MM12 +MM22 =10x2 80x + 300. Rezultat. M(4, 2).
17. Na i rastojanje izme u paralelnih pravih x y + 2 = 0 i 2x 2y + 9 = 0. R e z u l t a t .
Kružnica 20. Na i jedna inu kružnice koja prolazi kroz ta ke A(l,6) i 5(3, 2), a centar C te kružnice leži na pravoj x y + 3 = 0. Rješenje. Centar C(p,q) tražene kružnice leži na pravoj x – 4y + 6 = 0 koja je simetrala duži AB i leži na datoj pravoj. Zna i, za nalaženje veli ina p i q postoji sljede i sistem jedna ina: p 4q + 6 = 0, p – q + 3 = 0, pa je centar kružnice 2
2
C( 2,l), a polupre nik je r = AC = 34. Prema tome, tražena jedna ina kružnice je ( x + 2) + ( y 1) = 34. 21. N a i j e d n a i n u k r u ž n i c e k o j a p r o l a z i k r o z t a k e M 1 ( l , 3 ) , M 2 ( l , 1 ) i M3( 1, 3). Rezultat. (x + 3) 2 +(y +1) 2 = 20. 22. Na i jedna inu kružnice koja prolazi kroz koordinatni po etak i iji centar l e ž i n a p r a v o j y = x n a ra s t oja n ju p 2 od k o o r d i n a t n o g p o e t k a . R e z u l t a t . x 2 + y 2 2 p x 2 p y = 0 , x 2 + y 2 + 2 p x + 2 p y = 0 . 23. N a p i s a t i j e d n a i n u k r u ž n i c e p o l u p r e n i k a r = 2 , k o j a d o d i r u j e x o s u , a c e n t a r joj j e n a p r a v o j y = 2 x . Rezultat. ( x 1) 2 + ( y – 2 ) 2 = 4, ( x + 1) 2 +(y + 2) 2 = 4. 24. Iz ta ke A(15, 5) povu i se icu na kružnicu x 2 +y 2 = 50 tako da odseca tetivu dužine 10. Na i jedna inu te se ice. Rezultat. 3x + 4y 25 = 0, y + 5 = 0. 25. Na i jedna inu tetive kružnice x2 +y2 4x + 2y + 1 = 0 koja je ta kom A(3,0) prepolovljena. Rezultat. x + y 3 = 0. 26. Odsje ak prave 3x + 2y 6 = 0 koji odsjecaju koordinatne ose je hipotenuza jednakokrakog pravouglog trougla. Na i tre e tjeme tog trougla. Uputstvo. Ta ke presjeka koordinatnih osa i date prave su A(2,0) i B(0,3). Prava 4x – 6y + 5 = 0 je simetrala duži AB; kružnica iji je pre nik AB =
13 ima jedna lnu (x 1)2 + (y
C(x,y) je rješenje sljede eg sistema jedna ina: 4x - 6y + 5 = 0, (x
1) 2 + (y
3 2 13 ) = . Zna i, tražena ta ka 2 4 3 ) 2
2
=
13 . Rezultat. 4
5 5 1 1 , , C2 , . 2 2 2 2 27. Na i jedna inu kružnice koja dodiruje pravu x + y 2 = 0 u ta ki A(1,1) i prolazi kroz ta ku B(4,0). Rezultat. C1
x
7 2
2
+ y
7 2
2
=
25 . 2
35
36 28. Odrediti jedna inu kružnice iji je centar u ta ki presjeka pravih 3x 4y + 11 = 0 i 5x + 7 y 50 = 0 koja dodiruje pravu 5x + 12 y 10 = 0. Rezultat. (x 3) 2 + (y 5) 2 = 25. 29. Odrediti n tako da prava y = x + n bude tangenta kružnice x2 +y2 2x 2y + 1 = 0.
i
Rezultat. n1 = 2 , n2 = 2. 30. Odrediti jedna inu kružnice iji je centar tadka C(2,5), a dodiruje kružnicu (x + 2) 2 + (y l) 2 = 2. a) spolja; b) iznutra. R e z u l t a t . a ) ( x 2 ) 2 + ( y 5 ) 2 = 1 8 ; b ) ( x 2 ) 2 + ( y 5 ) 2 = 5 0 . 31. Naci geometrijsko mjesto sredina tetiva kruznice x2 + y2 = r2 koje prolaze kroz tacku M0( r, 0). 2
r r2 + y 2 = , osim ta ke M 0( r, 0). 2 4 32. Na i geometrijsko mjesto svih ta aka u ravni Oxy iz kojih se kruznica x2 +y2 = r2 vidi pod pravim uglom. Rješenje. Neka ta ka M(x,y) pripada trazenom skupu i neka je Y = kX + y kx tangenta date kruznice u ta iki M(X,Y)
Rezultat. x +
(X i Y) su teku e koordinate prave). Uslov dodira tangente i kruznice je (1 + k 2 ) r 2 = ( y
2
kx ) , odnosno (r2
x2)k2+2xyk + r2 y 2 = 0. Dobijena kvadratna jedna ina po k ima dva rjesenja k1 i k2, koja zadovoljavaju relaciju k1k2 r 2 y2 = 1, pa je: 2 = 1. Prema tome, tražena jedna iina je x2 + y2 = 2r2. r x2
Elipsa 33. Na i kanonski oblik jednadine elipse ako je a + b = 10 i c = 20 (a velika poluosa; b mala poluosa; 2c rastojanjeizme u žiža). Rješenje. Iz uslova zadatka dobija se sljede i sistem jedna ina: a 2 b 2 =20, a + b = 10, ije je rješenje a = 6 i b = 4, pa je tražena jedna ina elipse 16x2 + 36y2 = 36 16. 34. Pod kojim se uglom vidi žižno rastojanje elipse 9x2 + 36y2 = 9 36 i iz ta ke A 3, arctg
3 3 ? Rezultat. 2
=
12 . 5
35. U elipsu x2 +4y2 = 4 upisan je jednakostrani ni trougao ije se jedno tjeme poklapa sa desnim krajem velike poluose te elipse. Na i koordinate ostala dva tjemena tog trougla. Uputstvo. Tjemena B i C tog trougla nalaze se na pravama y = Rezultat. B
2 4 3 2 , , C , 7 7 7
3 (x 3
2) i y =
3 (x 3
2) .
4 3 . 7
36. Tjemena etvorougla nalaze se u žižama elipsi: b 2 x 2 +a 2 y 2 = a 2 b 2 i a2x2 + b2y2 = a2b2. Na i površnu tog etvorougla. Rezultat. P = 2 a2 b2 . 37. Na i jedna ine tangenata elipse x 2 +4y 2 =1 koje su paralelne pravoj x +y = 2. 5 . 2 38. Napisati jedna inu elipse u kanonskom obliku ako ona dodiruje prave: x + y 8 = 0, x + 3y + 16 = 0. Rezultat. a2 = 40, b2 = 24. 39. Prava koja odsjeca jednake odsje ke na koordinatnim osama je tangenta elipse iz zad. 38. Na i jedna inu te tangente. Rezultat. x +y 8 = 0. 40. Na i jedna nu tangente elipse 9x2 +25y2 = 225 iji je odsje ak izme u koordinatnih osa ta kom dodira
R e zu l t at . y =
x ±
prepolovljen (prvi kvadrant). Rezultat. 3x + 5y 15 2 = 0. 41. Na i jedna inu tangente elipse sa osama a2 = 72, b2 = 32 koja sa koordinatnim osama zaklapa trougao površine 48. Rezultat. 2x ± 3 v ± 24 = 0. 42. Na i ugao pod kojim se sjeku kružnica x2 + y 2 = 4 i elipsa 3x2 + 4y2 = 13. Rezultat. 43. Odrediti jedna ine zajedni kih tangenata elipsi x2+4y2=4 i 9x2 +y2 = 9. Rezultat. y = 2
= arctg
3 . 13
2 35 2 35 x± , y= 2 x± . 3 3 3 3
44. Na i geometrijsko mjesto centara krugova koji dodiruju kružnice x2 + y2 = 16 i (x 2)2 +y2 = 4.
36
37 Uputstvo. Neka je M(x, y) jedna ta ka traženog geometrijskog mjesta ta aka, a r polupre nik kružnice koja dodiruje date kružnice. Tada je o ito (obavezno nacrtajte sliku): r + 2 = (x
Rezultat. Elipsa 8 ( x
2
2) + y 2 , 4 r = x 2 + y 2 .
2
2) + 9y 2 = 72 i prava y = 0 bez ta ke (4,0).
II na in. Neka su: O1 centar ve e kružnice iji je polupre nik r1 = 4, O2 centar kružnice iji je polupre nik r1 = 2, tada je (vidi sliku) (O1M = r1 – r, O2M = r2 + r) O1M + O2M = r1 + r2 = 6, tj. traženo geometrijsko mjesto je elipsa iji su fokusi O1 i O2, tako da je 2a = 6, 2c = O1O2= r1 = 2. Zato je (a, c) = (3, 1) i b = a 2 c 2 = 8 . 45. Na i geometrijsko mjesto ta aka koje dijele ordinate ta aka kružnice x2 + y2 =25 u razmjeri 3:2. Rezultat. 9x2+25y2 = 225. x 2 y2 45. Odrediti geometrijsko mjesto ta aka iz kojih se elipsa 2 + 2 = 1 vidi pod pravim uglom. Uputstvo. Vidi zadatak a b 32, odjeljak Kružnica. Rezultat. x2 + y2 = a2 + b2..
Hiperbola 47. Odrediti jedna inu hiperbole u kanonskom obliku ako ta hiperbola prolazi kroz ta ke M1(2,0) i M2(6,4). Rješenje. Iz uslova da ta ke M1 i M2 pripadaju hiperboli ija je jedna ina: b 2 x 2 a 2 y 2 = 1 dobija se sljede i sistem jedna ina: 4b2 =
x 2 y2 =1. 4 2 4 8 . Na i jedna inu hiperbole u kanonskom obliku ako ta hiperbola prolazi kroz ta ku A( 4 2, 3) i a k o o n a i m a a2 b2 , 36b2 16a2 = a2 b2. I z l a z i a 2 = 4 i b 2 = 2 , p a j e j e d n a i n a t e h i p e r b o l e
x 2 y2 =1 . 16 9 49. Data je jedna ina elipse 9x2 + 25y2 = 225. Napisati jedna inu hiperbole ija su temena u žižama te elipse, a žiže te hiperbole u temenima date elipse. x 2 y2 Rezultat. =1. 16 9 x 2 y2 50. Izra unati rastojanje žiža hiperbole =1 od njenih asimptota. Rezultat. 6. 64 36 51. Na i dužinu tetive hiperbole 5 x2 4y2 = 20 koja prolazi kroz desnu žižu te hiperbole i paralelna je sa pravom x + y = 1. Rezultat. 40. 52. Napisati jedna inu tetive hiperoble 4x2 9y2 = 36 koju polovi ta ka A(5,1). Rezultat. 20x 9y = 91. 53. Jednakostrani ni trougao, koji je simetri an u odnosu na x osu, ima jedno tjeme u koordinatnom po etku, a druga dva tjemena su na hiperboli 4x2 9y2 = 36 (x > 3). Na i koordinate tjemena tog trougla. Rezultat. O(0, 0), A(6, 2 3 ), B(6, 2 3 ). 54. Iz ta ke A(1,0) povu ene su tangente na hiperbolu x2 y2 =4. Na i jedna ine tih
iste žiže kao i elipsa 2 x2 + 7y2 =70. Rezultat.
2 3 ( x 1) . 3 55. Odrediti jedna ine tangenata hiperbole 9x2 4y2 =36 koje su paralelne pravoj 2x y 4 = 0. Rezultat. y = 2x ± 7 . 56. Odrediti jedna ine tangenata hiperbole x2 2y2 = 4 koje su normalne na pravoj x +2y = 1. R e z u l t a t . y = 2 x ± 14 . 57. Odrediti jedna inu hiperbole u kanonskom obliku ako ta hiperbola dodiruje pravu x – y x 2 y2 2 = 0 u ta ki A(4,2). Rezultat. =1. 8 4 58. Ako su prave 5x 7y l = 0 i x y l = 0 tangente hiperbole b2x2 a2y2 = a 2b2, odrediti jedna inu te hiperbole. Rezultat. x2 2y2 = 2. 59. Pod kojim se ugtom seku krive x2 + y 2 = 25 i 2x2 y 2 = 2? Rezultat. = arctgl8. 60. Na i jedna ine zajedni kih tangenata hiperbole 3x2 4y2 = 12 i kružnice 2x 2 +2y 2 =1. Rezultat. y = x + 1 , y = x 1, y = x + 1, y = x 1 .
tangenata. Rezultat. y = ±
37
38 61. Na i jedna inu kružnice iji je centar na y osi i dodiruje hiperbolu 3 x 2 y 2 = 3 u ta k i M(2, 3) . Rezultat. x 2 + (y 4) 2 = 5. 62. Na i jedna inu one krive ije su ta ke dva puta dalje od ta ke F(8,0) nego od prave x = 2. Rješenje. Neka je M(x,y) proizvoljna ta ka tražene krive. Iz datog uslova dobija se jedna ina 2
( x 8) + y 2 = 2 x 2 , x 2 y2 =1 . 16 48 63. Na i geometrjsko mjesto ta aka iz kojih se hiperbola b2x2 a2y2 = a2b2 vidi pod pravim uglom. Uputstvo. Vidi zadatak 32, odjeljak Kružnica. Rezultat. x 2 + y 2 = a 2 b 2 (a > b). 64. Na i geometrijsko mjesto centara kružnica koje dodiruju spolja kružnice x 2 + y 2 = 4 i x 2 + y 2 6x = 0.
a posle kvadriranja i sre ivanja dobija se tražena kriva
Rezultat. 8 x
3 2
2
y 2 = 2.
Parabola 65. U jedna ini parabole y2 = 2px odrediti parametar p tako da ta ka M(2,4) leži na toj paraboli, a zatim na 'i direktrisu i žižu te parabole. Rezultat. p = 4, x = 2, F(2,0). 66. Na paraboli y2 = 4x na i ta ku A ije rastojanje od koordinatnog po etka iznosi 21. Rješenje. Neka je ta ka A = (a,b). Tada je b2 = 4a, a iz uslova OA = 21 dobija se jedna ina a2 +b2 = 21. Dakle, a i b se dobiju iz sistem jedna ina: b2
(
)
=4a , a2 + b2 = 21. Tražene ta ke su: A1,2 = 3, ±2 3 . 2
67. U parabolu y = 2x upisan je istostrani ni trougao ije se jedno tjeme nalazi u tjemenu te parabole, a druga dva na datoj paraboli. Na i koordinate druga dva tjemena tog trougla.
(
)
(
)
Rezultat. A = 6, 2 3 , B = 6, 2 3 . 2
68. Na i jedna inu tetive parabole y = 4x koja je ta kom A(3,1) prepolovljena. Rješenje. 2x y = 5. 69. Kroz žižu parabole y2 = 4x, okomito na pravu y = 2x, povu ena je tetiva parabole. Odrediti koordinate sredine S ove tetive. Rezultat. S(9, 4). 70. Na i tangentu parabole y2 = 3x koja je paralelna pravoj 3x – y l = 0. Rezultat. 12x 4y + l = 0. 71. Pod kojim se uglom vidi parabola y2 = 8x iz ta ke A( 2,3)? Rezultat. = 2. 72. Na i ugao izme u tangenata parabole y2 = 2x koje su povu ene u ta kama preseka te parabole i prave x y = 2. 2 5 . 3 73. Na paraboli y2 = 4x na i ta ku najbližu pravoj 4x + 3y + 46 = 0 i izra unati njeno rastojanje d od te prave. 9 3 35 Rezultat. A , ,d = . 16 2 4 74. Na i jedna inu kružnice iji je centar na x osi i koja sa parabolom y2 = 12x u ta ki A(3,6) ima zajedni ku tangentu. Uputstvo. Jedna ina tangente parabole y2 = 12x u ta ki A(3,6) je y = x + 3. To je i jedna ina tangente tražene kružnice. Jedna ina normale te prave u ta ki A je y = x + 9. Ta ka C(9,0) je centar kružnice, a polupre nik je r = AC = 6 2. Rezultat. (x 9) 2 +y2 = 72. 75. Koja od parabolu y2 = 2px koja sije e kružnicu (x +3)2 +y2 = 72 pod pravim uglom. Rezultat. y 2 = 12x. 76. Pod kojim se uglom sjeku krive y2 = 3x i x2 + y2 4x 6 = 0? Rezultat. = 4. 77. Na i zajedni ke tangenate kružnice x2 + y 2 = 2 i parabole y 2 = 8x. Rezultat. y = x + 2, y = x 2. 78. Na pravoj x + y + 3 = 0 na i ta ku iz koje se parabola y2 = 4x vidi pod pravim uglom. Rezultat. A( l, 2). 79. Na i geometrijsko mjesto sredina tetiva krive y2 = 12x koje su paralelne pravoj 3x – 4y + 24 = 0. R e z u l t a t . y 16 8 = 0 x . 9 80. Koju krivu opisuje centar kružnice koja dodiruje y osu i kružnicu x2 + y 2 2x = 0? Rezultat. y 2 =4x.
Rezultat.
= arctg
Grafi ki predstavi i riješiti sistem jedna ina: 81. x2 + y2 6x 4y 12 = 0 , x y 6 = 0. Rezultat. Presje ne ta ke kružnice (polupre nika 5 sa centrom u
38
39 ta ki (3,2)) i prave
K
P = {(3, 3) , (8, 2)} .
82. x 2 + y 2 = 16, y 2 = 6x. Rezultat. Presjek kružnice i parabole
{(2, ±2 3)} . 3 2
83. x 2 + 4y 2 = 4 , 4y 2 = 3x. Rezultat. Presjek kružnice i parabole
1, ±
84. y=x2 + 3x 1, xy = 3. Rezultat. Presjek parabole i hiperbole
{(±1, ±3) , (
.
3, 1)} .
85. x2 + y2 + 2x 6y + 5 = 0 , x2 + y2 – 2y 9 = 0. Rezultat. Presjek dvije kružnice {(1, 4) , ( 3, 2)} . 86. 9x 2 + y 2 = 45, xy = 6. Rezultat. Presjek elipse i hiperbole {(±2, ±3) , (±1, ±6)} . 87. x 2 + y 2 = 25, x 2 + y = 13. Rezultat. Presjek kružnice i parabole {(±4, 3) , (±3, 4)} . 88. x 2 + y 2 = 34, xy = 15. Rezultat. Presjek kružnice i hiperabole {(±3, 5) , (±5, 3)} . LITERATURA 1. M. Merkle (i dr. devet autora): ZBIRKA ZADATAKA I TESTOVA za polaganje prijemnog ispita IZ MATEMATIKE za upis na tehni ke i ., 2. dopunjeno izdanje, Beograd 2000, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva,
39
40
PRIMJER PRIJEMNOG ISPITA Elektrotehni ki fakultet Uiverziteta u Beogradu, 2003
40
41
41
42 Fakultet za saobra aj i komunikacije, Univerziteta u Sarajevu
Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007) Grupa A Broj zad.
Tekst zadatka
Odredite skup svih vrijednosti realnog parametra k za koje kvadratna jedna ina 1.
(k 1) x 2
2 (k
1) x
k
1
0
ima dva rješenja oba negativna. Riješite u skupu realnih brojeva nejedna ine: 2. a)
2x 3 x 2
Ako je f ( x )
5;
3x
b)
2 f (1
x)
5
x 1.
x , riješite trigonometrijsku jedna inu
3.
f (sin x
2
cos x )
4 6
.
U trouglu ABC ije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povu ena je prava koja je paralelna sa 4.
stranicom BC zadanog trougla i sije e stranicu AB u ta ki B1 , a stranicu CA u ta ki C1 . Izra unajte: a) poluobim s zadanog trougla ABC i dužinu polupre nika kružnice K upisane tom trouglu; b) površinu P1 novonastalog trougla AB1C1.
Napomena: Svaki od zadataka 1. 4. se vrednuje na isti na in po maksimalno 10 bodova.
Broj bodova po zadacima
Šifra kandidata 1
2
3
4
Ukupan broj bodova
42
43 Fakultet za saobra aj i komunikacije Univerziteta u Sarajevu
Zadaci za Prijemni ispit (09. 07. 2007) Grupa B Broj zad.
Tekst zadatka
Odredite skup svih vrijednosti realnog parametra k za koje kvadratna jedna ina
(k 1) x 2
1.
2 (k
1) x
k
1
0
ima dva rješenja razli itog znaka.
Riješite u skupu realnih brojeva nejedna ine: 2. a)
2x 3 x 2
Ako je f (1
5; x)
b)
3x
2 f ( x)
5
1
x 1.
x, riješite trigonometrijsku jedna inu
3.
f (sin x
cos x )
2
4 6
.
U trouglu ABC ije stranice BC, CA, AB imaju redom dužine 24 cm, 12 cm, 18 cm upisana je kružnica K. Kroz centar te kružnice povu ena je prava koja je paralelna sa stranicom BC zadanog trougla i sije e stranicu AB u ta ki B1 , a stranicu CA u ta ki C1 . Izra unajte : a) površinu P zadanog trougla ABC i dužinu njegove visine h na stranicu BC ;
4.
b) obim O1 novonastalog trougla AB1C1. Napomena:
Broj bodova po zadacima
Šifra kandidata 1
2
3
4
Ukupan broj bodova
Svaki od zadataka 1. 4. se vrednuje na isti na in po maksimalno 10 bodova.
Komisija za pripremu, pregled i ocjenu radova Prijemnog ispita na Fakultetu za saobra aj i komunikacije Univerziteta u Sarajevu, akademske 2007/2008. godine 43
44 Elektrotehni ki fakultet Univerziteta u Sarajevu
PRIJEMNI ISPIT (02. 07. 2007) Broj zad.
Grupa A
Tekst zadatka
a) Nacrtati grafik funkcije f zadane formulom f (x) nejednadžbi:
x2 5 x
1.
0 , x2 5 x
4
0 , x2 5 x
4
x2 5 x
4
4. Nakon toga riješiti svaku od
0 , x2 5 x
4 0.
b) Odrediti sve vrijednosti realnog parametra k tako da 2 jednadžba kx 2 (k intervalu (0,5).
2.
2) x
Riješiti sistem jednadžbi:
2k 1
0 ima dva realna i razli ita rješenja koja pripadaju
log 2 ( x 2
y2 ) 1
log 2 130
log10 ( x y ) log10 ( x y ) log10 2.
Odrediti sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslove: 3.
z 12
5
8i
3
z
,
4
z
z
8
1 , gdje je i imaginarna jedinica.
sin
cos
3 . 5
i sin
4.
Izra unati sve vrijednosti izraza
5.
U trokut ije stranice imaju dužine 24 cm, 12 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povu ena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izra unati obim novonastalog trokuta.
ako je
tg
Napomene: -
Ime i prezime kandidata
Svi zadaci se vrednuju na isti na in po maksimalno 8 bodova. Rezultati prijemnog ispita bit e objavljeni 03. 07. 2007. u 1400, u zgradi Elektrotehni kog fakulteta, ul. Zmaja od Bosne, bb., KAMPUS.
Broj bodova po zadacima 1
2
3
4
5
Ukupan broj bodova
44
45 Elektrotehni ki fakultet Univerziteta u Sarajevu
PRIJEMNI ISPIT
(02. 07. 2007)
Grupa B Tekst zadatka
roj zad.
x2 4 x
a) Nacrtati grafik funkcije f zadane formulom f (x) svaku od nejednadžbi:
x2 4 x
1.
0 , x2 4 x
3
0 , x2 4 x
3
3
3. Nakon toga riješiti
0 , x2 4 x
3 0.
b) Odrediti sve vrijednosti realnog parametra k tako da jednadžba
kx 2
(k 1) x
k 1
0 ima dva realna i razli ita rješenja od kojih ta no jedno pripada
intervalu (0, 1). Riješiti sistem jednadžbi: 2.
log10 ( x 2
y2 ) 1
log 2 ( x y ) log 2 ( x y )
log10 130 4log 2 2.
Odrediti sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju uslove: 3.
z
8i
3
z 12
5
,
z
8
z
4
1 , gdje je i imaginarna jedinica.
tg sin + cos
i cos
3 . 5
4.
Izra unati sve vrijednosti izraza
5.
U trokut ije stranice imaju dužine 24 cm, 12 cm i 18 cm upisana je kružnica. Kroz centar te kružnice povu ena je prava paralelna s najdužom stranicom. Izra unati površinu novonastalog trokuta
ako je
Napomene: -
Svi zadaci se vrednuju na isti na in po maksimalno 8 bodova. Rezultati prijemnog ispita bit e objavljeni 03. 07. 2007. u 1400, u zgradi Elektrotehni kog fakulteta, ul. Zmaja od Bosne, bb., KAMPUS. Sarajevu, školske 2007/2008. godine
Ime i prezime kandidata
Broj bodova po zadacima 1
2
3
4
5
Ukupan broj bodova
45
46
1
2
3
4
5
6
GRA EVINSKI FAKULTET, Sarajevo 02 07 2007. ZADACI ZA KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE. Svaki zadatak ima eteri ponu ena odgovora: a, b, c, d. OBAVEZNO : 1. riješite postavljeni zadatak, a zatim 2. zaokružiti SAMO ta an rezultat. SMATRA SE DA NISTE RIJEŠILI TAJ ZADATAK, ako: (i) zaokružite neta an rezultat ili više od jednog ponu enog rezultata (a, b, c, d), (ii) ne zaokružite nijedan od odgovora (a, b, c, d), (iii) samo zaokružite ta an rezultat a da niste zapisali rješenje. (iv) 1. ZADATAK 2 Nejedna ina: (m 1) x + 2mx + m 0 važi za sve realne x, ako je: a) 0
m
1
b) m
0
c) m
1
d) m
1
2. ZADATAK Neka se na horizontalnom terenu iz ta ke A toranj visok 30m vidi pod uglom od 6 . Da bi se iz iste ta ke toranj vidio pod uglom od 3 trebao bi biti visok: a) 60m
b) 75m
3.ZADATAK Ako je je hipotenuza c = 4, a za mjerne brojeve oštrih uglova vrijedi trougla:
(
a) 2 2 2
:
d) 60 2
c) 90m
= 1 : 3, tada je površina pravouglog
)
1;
b) 2 3 ;
c)
5 + 1;
d) 2 2 .
4.ZADATAK Osnovica ravnokrakog trougla je a = 5, a krak b = 10. Tada je polupre nik opisanog kruga oko trougla: a) 3 5 ;
b)
4 15 ; 3
c) 2
(
)
3 + 1 ; d) 3 14 2
5. ZADATAK Izraz: x 3 y3 : x2 x y
y2
2y x y
xy x y2
2
2
4
8
16 1 2
1 2
ima vrijednost: a) 4;
b) xy + 3;
c) 2;
d) xy+4.
5. ZADATAK Ako je: cos 2
tada je
63 , 65
0,
2
i cos
7 130
,
0,
2
,
jednako:
46
47 a) 450;
b) 900 ;
c) 600 ;
d) 1350.
Korisne formule: 1+ cos 2 1 cos 2 , sin = ± , 2 2 . cos ( x + y) = cos x cos y sin x sin y cos = ±
a b U pravouglom trouglu ije su katete a i b, a hipotenuza c: sin = c , cos = c
RJEŠENJA 1.Zadatak Kvadratni trinom f(x) = ax2 +2bx + c ne mijenja znak ako je diskriminanta D = b2 – ac 0, tj. x
R (f x
0
D
0
a>0 )
(f x
0
D
0
a<0 )
Dakle, (( x
R) (m
1) x 2 + 2mx + m
0)
(D = m2 m
2 Drugi na in (S. Dolarevi ): ( x R)(m 1) x + 2mx + m
(m 1) m = m
0
)
(m 1 < 0)
0.
0
m
x2 2
( x + 1)
m
0.
2.Zadatak Neka je x = CA i tražena visina tornja H = CB, tada je: x = hctg300 =30 3 , H = xtg600= 30 3
3 = 30.3= 90 m.
h C C C
A A 0
0
CAB1=30 , 00 CAB=60 CAB1=30 , CAB=6000
CAB1=30 ,
CAB=60
3.Zadatak Iz
: = 1 : 3, izlazi = 3 , tako da iz osobine zbira oštrih uglova u pravouglom trouglu tj. 2 =450.
+ = 900, izlazi 4 =900,
Katete pravougli trougao ABC su (nacrtati sliku) : a = csin , b = c cos , te je površina tog trougla
P
1 1 1 2 ab = csin c cos = c sin 2 2 2 4
=
1 2 2 4 4 2
2 2.
47
48 4.Zadatak Iz pravouglog trougla BDS ( iji su vrhovi (nacrtati sliku): B vrh na osnovici a =BC ravnokrakog trougla ABC, D je podnožje visine h = AD, povu ene iz vrha A na osnovicu BC, dok je S centar opisanog kruga oko ravnokrakog trougla
1 a i h – r , a hipotenuza r, izlazi 2
ABC), ije su katete
2
a r = (h r) + 2 2
2
a 2
2 h = AD = b
2
5 15 ( r je polupre nik kruga opisanog oko trougla ABC ) 2
a , tj. 2hr = h + 2
2
b 2 . Dakle r =
2
b2 2h
4 15 . 3
5.Zadatak Kako je: A
x 3 y3 : x2 x y x
2
xy z
y
2
2
xy 2y
x y x y
B
2
4
2y x y
16 1 2
x
1 2
xy z 2
x y
2
x y x y
8
x y x2
xy 2 x y2 2
y
.
2y x y
1 x y x y
xy
x y x y
2
1,
x y x y
2 2 2 2 4
2 1 2
3 2
2 1
2 1
2
3,
tako da je I = A+B=4. 6.Zadatak Za oštre uglove
i izlazi(ispred korjena uzet znak plus zato što je
cos =
1 + cos 2 2
1 cos 2 sin = 2
1 cos 2
sin
Zato je:
cos ( +
tj.
1350
iz
) = cos cos
0,
2
i
sin sin =
0,
2
slijedi
1
oštar ugao):
1 63 1 = 1 , 2 65 65
=
1 63 8 =, = 1+ 2 65 65
1 7
72 130 8
65 130 0,
9 130 9
65 130
,
.
=
7
72
65 2
=
2 2
.
48
Gradevinski fakultet, Sarajevo 10.9.2007. Prijemni ispit Svaki zadatak ima ˇcetiri ponudena odgovora: a), b), c), d) Rijeˇsite zadatak, a zatim obavezno zaokruˇzite taˇcan rezultat. Smatra´ ce se da niste rijeˇ sili zadatak ako: i) zaokruˇ zite netaˇ can rezultat ili viˇ se od jednog ponudenog rezultata; ii) ne zaokruˇ zite niˇ sta; iii) samo zaokruˇ zite taˇ cP an rezultat a niste priloˇ zili rjeˇ senje. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. Ako su x=1 i
7 1 : 2, 7 + (0, 4 : 2 ) · (4, 2 20 2
1
3 ) 40
a 2 b 1 ( 19 ) 1 1 p + p ): 2 y=( a 1b b a b+ a a
onda je xy jednako: a) 23 ; b) 3; c) 2;
1 2
2
,
d) 2ab.
2. Rjeˇsenja kvadratne jednaˇcine a a+1 + 2 2 =1 bx + x b x + 2bx2 + x2 su: a) x1 = 1, x2 = 2; c) x1 =
a , b+1
x2 =
b) x1 = 1 ; b+1 1 x
3. Rjeˇsenje nejednaˇcine
a+1 , b+1
d) x1 = +1<
1 x+1
1 , b+1
1 . b+1
x2 =
je:
b) ( 1, 1) [ (0, 1);
a) (1, 2];
1 ; b+1
x2 =
c) ( 1, 0);
d) [ 1, 0).
4. Dijagonale jednakokrakog trapeza sijeku se pod pravim uglom, a njihovi dijelovi su 4 i 3. Povrˇsina trapeza je: a) 1;
b)
p
2;
c)
49 ; 2
d)
p 49 2 . 2
p ( 3
5. Rjeˇsenja trigonometrijske jednaˇcine tg2 x a) c)
⇡ 6
⇡ 4
+ m⇡, ⇡ 3
⇡ 4
+ m⇡,
6. Ako je sin ↵ = a)
119 ; 169
+ n⇡, m, n 2 Z;
5 , 13
b) 1;
b) 2m⇡,
+ n⇡, m, n 2 Z; sin
= c)
12 , 13
1;
a↵i d)
d)
⇡ 3
⇡ 4
1)tg x
p
3 = 0 su:
+ n⇡, m, n 2 Z;
+ m⇡,
⇡ 4
+ n⇡, m, n 2 Z.
su oˇstri uglovi, onda je sin(↵ 119 . 169
) jednako:
Gradevinski fakultet Univerzitet u Sarajevu 07.07.2010. Prijemni ispit Svaki zadatak ima pet ponudenih odgovora: a), b), c), d), e) Rijeˇsite zadatak, a zatim obavezno zaokruˇzite taˇcan rezultat. Smatra´ ce se da niste rijeˇ sili zadatak ako: i) zaokruˇ zite netaˇ can rezultat ili viˇ se od jednog ponudenog rezultata; ii) ne zaokruˇ zite niˇ sta; iii) samo zaokruˇ zite taˇ can rezultat a niste priloˇ zili rjeˇ senje. P 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. Izraz A = ( 2(x33(x+2) + +x2 +x+1) a) 0
2x2 x 10 ) 2(x3 x2 +x 1)
b) x
: ( x25+1 +
c) 2
3 2(x+1)
3 ) 2(x 1)
d)
x+2 2
jednak je:
x
e) N
x+2 2. Rjeˇsenje nejednaˇcine | 2x | < 3 je skup: 3
a)
( 1, 32 )[( 11 ,1) 5
b)
( 1,1)[( 11 ,1) 5
3. Rjeˇsenja jednaˇcine cos2 2x a) { ⇡4 , 5⇡ } 4
b) { ⇡4 , 3⇡ } 4
b) log2 6
d)
(1, 11 ) 5
2 sin x cos x =
4. Rjeˇsenje jednaˇcine x + log2 (10 a) 1
c)
( 1,1][[ 11 ,1) 5
e) N
1 koja se nalaze u intervalu (0, 2⇡) su:
c) { 3⇡ , 7⇡ } 4 4
d) {
⇡ , 4
5⇡ } 4
e) N
2x ) = 4 koje se nalazi u intervalu (1, 3] je: c) 3
d) 2
e) N
5. Ako je u trouglu ABC dato b = 12, a c = 10 i = ⇡3 , onda je a + c jednako: p p p p a) 2 69 b) 69 c) 2 69 10 d) 69 5 e) N 6. Ako je prava (1 a)x + (1 + a)y onda a ima vrijednost: a)
1
b)
1 3
7 = 0 (a 6= c) 1
N-Nijedan od ponudenih odgovora nije taˇcan.
1) normalna na pravu 2x + y = 3, d) 3
e) N
Gradevinski fakultet Univerzitet u Sarajevu 07.09.2010. Prijemni ispit Svaki zadatak ima pet ponudenih odgovora: a), b), c), d), e) Rijeˇsite zadatak, a zatim obavezno zaokruˇzite taˇcan rezultat. Smatra´ ce se da niste rijeˇ sili zadatak ako: i) zaokruˇ zite netaˇ can rezultat ili viˇ se od jednog ponudenog rezultata; ii) ne zaokruˇ zite niˇ sta; iii) samo zaokruˇ zite taˇ can rezultat a niste priloˇ zili rjeˇ senje. P 1. 2. 3. 4. 5. 6. a
1. Izraz A = ( ab b
a)
+ ab b a
+
1 a b
1 1+ ab
b a
1
):
a 3b a+b 3a+b 3 a b
1
b) 1
2. Rjeˇsenje nejednaˇcine a)
1
( 5, 2)[( 2, 1)
b)
3. Rjeˇsenja jednaˇcine 24 a) { ⇡2 , 5⇡ } 2
|x 1| x+2
jednak je:
c) <
3a2 +b2 (a b)2
d) ab
e) N
{ 2}
d)
e) N
2 je skup: c)
( 5, 2) 2 cos2 x 4 sin x
b) { 3⇡ , 5⇡ } 2 2
2 · 2sin
2
x 2 sin x+1
c) { 5⇡ , 7⇡ } 2 2
( 5, 1)
+ 1 = 0 iz intervala (0, 4⇡) su: d) { 3⇡ , 7⇡ } 2 2
e) N
d) 4
e) N
4. Rjeˇsenje jednaˇcine log2 x + log2 (x + 2) = 3 je: a)
4
b) log2 3
5. Ako je u trouglu ABC dato a = a)
3⇡ 4
b)
c) 2 p
7⇡ 12
3, b = c)
p
2 i ↵ = ⇡3 , onda je ugao
⇡ 4
d)
jednak:
5⇡ 12
e) N
6. Jednaˇcina normale na pravu 2x + 3y = 2 koja prolazi taˇckom A( 23 , 1) je: a) 2x
3y = 0
b) 2x + 3y = 0
c) 3x
N-Nijedan od ponudenih odgovora nije taˇcan.
2y = 0
d) 3x + 2y = 0
e) N
49 MALO STATISTIKE - Uspješnost rješavanja pojedinih zadataka (tj. broj kandidata koji su riješili pojedine zadatke): Zadatak br. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Nijedan zad.
Rijšilo kand.
18
25
6
13
35
6
80
%(0d 141)
12.75
17.73
4.25
9.21
24.82
4.25
56.74
4
5
6
-
Uspješnost kandidata po ukupnom broju rješenih zadataka: 0 1 2 3
Rješili ukupno zadataka kandiddata
80
33
16
10
2
0
0
% (od 141 kand.)
56.74
23.40
11.35
7.09
1.42
.00
.00
Gornje tabele sve kažu o nevjerovatno lošem predznanju kandidata: najlakši zadatak br. 5 (operacije sa razlomcima : elementarna algebra i aritmetika) riješilo je 35 (slovima „tridesetpet“, tj. samo 25% od 141 kandidata ), nepoznavanje trigonometrije je još gore (zadaci 2, 3, 6 ).
Navodim nekoliko “ rariteta” iz radova kandidata koji se ne vide iz priloženih tabela:
1. formule za površinu trougla koje se koriste u 3. zadatku. : c
P
2
, P
a
2b, P
c b b ,P 2
a
b 3
,
2. „Pitagorina formula za pravougli trougao c2 = b2 – a2, gdje je c hipotenuza i a, b su katete pravouglog trougla; 3. u 2. zadatku jedan kandidat koristi proporciju H: h = : , te je tražena visina tornja H
h
30
600 300
60;
4. „biseri“ iz aritmetike vezani za 5. zadatak: 2 ta no x y x y, ili „analogan rezultat“:
1 22
4 2 22
8 3 22
16 4 22
10 22
2 4 8 16
30 , tj. treba da je
...
49
50 Gra evinski fakultet, Sarajevo 03.07.2008. Prijemni ispit Svaki zadatak ima etiri ponu ena odgovora: a), b), c), d). Riješite zadatak, a zatim obavezno zaokružite ta an rezultat. Smatra e se da niste riješili zadatak ako: i) zaokružite neta an rezultat ili više od jednog ponu enog rezultata; ii) ne zaokružite ništa; iii) samo zaokružite ta an rezultat a niste priložili rješenje.
1.
2.
3.
4.
sinx
1. Riješiti jedna inu:
log2 sinx
2
log2 1 cos2x
1.
Skup rješenja je:
a)
2k ,
2
c)
2
2. Ako je u
2k ,
6 6
2k ,
5 6
2k
k
; b)
2k ,
5 6
2k
k
; d)
ABC : b + c = 10,
6
a) R= 100 24 3;
2 2
2k , 2k ,
6 3
2k ,
5 6
2k
k
;
2k ,
5 6
2k
k
.
i površina P = 6, izra unati polupre nik R opisane kružnice.
b) R= 52 44 3;
c) R= 52 24 3;
3 . Dat je jednakokraki trapez ija se ve a osnovica iz presjeka dijagonala vidi pod uglom
d) R= 52 26 3. 2 , a odsje ci na 3
dijagonalama su 2 i 1. Izra unati obim O i površinu P trapeza. (Nacrtati skicu). 11 3 11 3 a) O = 7 3, P = , b) O = 5 3, P = ; 4 4 9 3 9 3 c) O = 7 3, P = ; d) O = 5 3, P = . 4 4
2
4. Odrediti skup rješenja nejedna ine
a)
1,
3 4
3 ,1 4
b)
1,
1 2
1 ,1 2
3x x
1
c)
1,
1. 1 4
1 ,1 4
d)
1,
1 2
1 ,1 . 4
Potrebne formule. a b c 2R. sin sin sin 2 ) K o s i n u s n i s t a v ( k a d s u u ABC d a t e d v i j e s t r a n e i z a h v a e n i u g a o , n p r . s t r a n e a , b i u g a o ) :
1) Sinusni stav:
c
a2
b2
2ab cos ;
1 ab sin . 2
3) Osobina kvadratne jedna ine: brojevi u i v su korijeni kvadratne jedna ine x2
px + q = 0 akko je
u+v=p i uv=q.
50
51 Gradevinski fakultet, Sarajevo 03.07.2008. Prijemni ispit
B
Svaki zadatak ima etiri ponu ena odgovora: a), b), c), d). Riješite zadatak, a zatim obavezno zaokružite ta an rezultat. Smatra e se da niste riješili zadatak ako: i) zaokružite neta an rezultat ili više od jednog ponu enog rezultata; ii) ne zaokružite ništa; iii) samo zaokružite ta an rezultat a niste priložili rješenje. 1. 2. 3.
2 , a odsje ci na dijagonalama su 2 i 1. Izra unati 3
U istokra nom trapezu dijagonale se sijeku pod uglom
1.
4.
obim O i površinu P trapeza. (Nacrtati skicu). 9 3 11 3 ; a) O = 7 3, P = , b) O = 5 3, P = 4 4 9 3 11 3 c ) O = 5 3, P = ; d) O = 7 3, P = . 4 4 2.
Odrediti skup rješenja nejedna ine a)
3.
1 4
1,
1 ,1 4
b)
1 2
1,
2
x
1
1 ,1 2
log 2 sin x
sin x
Riješiti jedna inu:
3x
1.
c) 2
1,
1 4
log 2 1 cos 2x
3 ,1 4
d)
1,
3 4
3 ,1 . 4
1.
Skup rješenje je: a) c)
4. U
2k ,
2 2
2k ,
6
2k ,
6
5 6
2k ,
5 6
ABC je a + c = 10,
2k 2k
6
a) R= 64 24 3;
k
; b) k
; d)
2k ,
2 2
6
2k ,
3
2k ,
5 6
2k
k
;
2k ,
5 6
2k
k
.
i površina P = 6. Izra unati polupre nik R opisane kružnice.
b) R= 52 24 3;
c) R= 62 24 3;
d) R= 102 24 3 .
Potrebne formule. a sin
1) Sinusni stav:
b sin
c sin
2R.
2 ) K o s i n u s n i s t a v ( k a d s u u ABC d a t e d v i j e s t r a n e i z a h v a e n i u g a o , n a p r . s t r a n e a , b i u g a o ) : c
a2
b2
2ab cos ;
1 ab sin . 2
3) Osobina kvadratne jedna ine: brojevi u i v su korjeni kvadratne jedna ine x2
px + q = 0 akko je u+v=p i uv=q.
51
52 Testirajte se za prijemni ispit iz matematike!
Za rešavanje testa koristite papir i olovku, a zatim unesite rešenja zadataka! Ime:
Prezime:
1. Vrednost izraza
2. Za a=30 i b=6 vrednost izraza
je:
3. U jednakokrakom trouglu ABC (AC=BC) du ina osnovice AB=10, a du ina krakova AC i BC iznosi 13. Zbir du ina sve tri visine trougla ABC je:
52
53
4. Ako je
, onda vrednost izraza
5. Za svako realno x razlomak
6. Sfera S1 polupre nika te kocke. Zbir
7. Vrednost izraza
pripada intervalu:
je jednak:
upisana je u kocku ivice 1, a sfera S2 polupre nika
je opisana oko
je:
je:
53
54 -1 nijedan od ponu enih 1 i -i
8. Ako je
i
, onda je
:
9 19 7 8 4 9. Zbir svih rešenja jedna ine
10. Proizvod svih rešenja jedna ine
je:
je:
12 24 2 6 0 11. Srednja linija trapeza deli trapez na dva dela ije se površine odnose kao 7:5. Odnos manje i ve e osnovice trapeza je: 1:3 1:5
54
55 1:4 1:6 1:2 12. Skup svih vrednosti realnog parametra
za koje su rešenja kvadratne jedna ine
negativna je podskup skupa:
13. Jedna ina
na segmentu
:
ima ta no 1 rešenje ima više od 4 rešenja ima ta no 2 rešenja nema rešenja ima 4 rešenja
14. Broj rešenja jedna ine
je:
3 1 0 2 bar 4 15. Zapremina paralelepipeda ije su sve strane rombovi stranice je:
i oštrog ugla
jednaka
55
56
16. Rastojanje izme u tangenti na hiperbolu
koje su normalne na pravu
je:
17. Zbir svih vrednosti realnog parametra jedinstveno rešenje je:
za koje sistem
,
ima
2 -3 -2 1 3
18. Ako je
i
, tada je
jednak:
56
57 19. Osoba A tr i stalnom brzinom po kru noj putanji i obi e je za 40 sekundi. Osoba B tr i u suprotnom smeru stalnom brzinom i mimoi e se sa A svakih 15 sekundi. Za koliko sekundi B obi e putanju? 55 25 12 24 27.5 20. Broj prese nih ta aka svih dijagonala unutar konveksnog sedmougla ABCDEF kod kojeg se nikoje tri i više dijagonala ne seku u jednoj unutrašnjoj ta ki tog sedmougla je: 21 28 42 45 35
57
58
Programi za prijemni ispit iz Matematike 1. Osnovne logi ke operacije. Pojam funkcije. 2. Racionalni algebarski izrazi. Polinomi. 3. Linearna funkcija. Linearne jedna ine i nejedna ine. Sistemi linearnih jedna ina i nejedna ina. 4. Kvadratna funkcija. Kvadratne jedna ine i nejedna ine. Sistemi kvadratnih jedna ina. 5. Algebarske i iracionalne jedna ine i nejedna ine. 6. Pojam logaritma. Logaritamska i eksponencijalna funkcija. Logaritamske i eksponencijalne jedna ine i nejedna ine. 7. Trigonometrijske funkcije. Identiteti, jedna ine i nejedna ine. Primena trigonometrije na trougao i mnogougao. 8. Kompleksni brojevi. 9. Analiti ka geometrija u ravni (prava, krug, elipsa, hiperbola i parabola). 10. Planimetrija (prvenstveno geometrija trougla, etvorougla i kruga). 11. Stereometrija (prizma, piramida, zarubljena piramida, valjak, kupa, zarubljena kupa, sfera i delovi sfere). 12. Binomna formula. Aritmeti ka i geometrijska progresija. 13. Pojam grani ne vrednosti. Izvod i primjena izvoda.
58
