PROBLEMAS RESUELTOS TRABAJO Y ENERGIA
CAPITULO 7
FISICA I
CUARTA, QUINTA Y SEXTA EDICION SERWAY Raymond A. Serway Sección 7.1 Trabajo hecho por una fuerza constante Sección 7.2 El producto escalar de dos vectores Sección 7.3 Trabajo hecho por una fuerza variable Sección 7.4 Energía cinética y el teorema del trabajo y la energía Sección 7.5 Potencia Sección 7.6 Energía y automóviles Sección 7.7 Energía cinética a altas velocidades
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Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2007
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Ejemplo 7.13 Gasolina consumida por un coche compacto Un coche compacto, tiene una masa de 800 kg. y su eficiencia esta cercana al 18 %. (Esto es 18 % de la energía del combustible se entrega a las ruedas). Encuentre la cantidad de gasolina empleada para acelerarlo desde el reposo hasta 27 m/seg. Use el hecho de que la energía equivalente a 1 galón de gasolina es 1,34 * 108 julios. Si demora 10 seg en alcanzar la velocidad, que distancia se desplaza? SOLUCION: La energía necesaria para acelerar el coche desde el reposo a una rapidez v es igual a su energía cinética final K = Energía cinética
⎡ 1 1 m⎤ K = m v 2 = (800 kg ) ⎢27 ⎥ 2 2 ⎣ seg ⎦ K = (400 kg ) 729
2
m *m seg 2
K = 291600 Newton * m K = 291600 Julios Si el motor fuera 100 % eficiente, cada galón de gasolina suministraría 1,34 * 108 julios de energía. 1,34 * 108 julios de energía x
100 % 18 %
1,34 *10 8 *18 x= = 23400000 julios 100 Esta es la energía que se le entrega a las ruedas cuando el auto consume 1 galón de gasolina. Con este dato hallamos cuanta gasolina se necesita para desplazar el coche. 1 galón de gasolina x
x=
23400000 julios 291600 julios
291600 = 1,24 * 10 - 2 galones 23400000
0,0124 galones de gasolina se necesitan para acelerar el coche desde reposo hasta 27 m/seg. Si demora 10 seg en alcanzar la velocidad, que distancia se desplaza? 0
Vf = V0 + a t Vf = a t
m Vf 27 seg m a= = = 2,7 10 seg t seg 2 0
x = V0 t + ½ a t2 x = ½ * 2,7 (10)2
2
x = 135 metros Ejemplo 7.14 Potencia entregada a las ruedas Suponga que el coche compacto del ejemplo 7.13 tiene un rendimiento de combustible de 35 mi/galón a 60 mi/hora. Cuanta potencia es entregada a las ruedas? Es necesario encontrar el consumo de galones/hora y esto se consigue dividiendo la rapidez del auto entre el rendimiento de la gasolina
millas hora = 60 galon Consumo de gasolina = millas 35 hora 35 galon 60
Consumo de gasolina = 1,71 galones/hora Si usamos el hecho de que cada galón es equivalente a 1,34 * 108 julios La potencia total empleada es:
P = 1,71
galones * 1,34 * 10 8 julios hora
P = 1,71
galones 1 hora * * 1,34 * 10 8 Newton * m hora 3600 seg
P = 61904,76 Watios Debido a que usa el 18 % de la potencia para impulsar el coche, la potencia entregada a las ruedas es: Potencia entregada = 0,18 * 61904,76 Watios = 11,142 watios Ejemplo 7.15 Coche que acelera al subir una cuesta Considere un coche de masa m que esta acelerando al subir una cuesta, como se ve en la figura 7.20. Un ingeniero de automotores mide la magnitud de la fuerza resistiva total, que es: Ft = (218 + 0,7 v2) Newton Donde v es la rapidez en metros por segundo. Determine la potencia que el motor debe entregar a las ruedas como función de la rapidez?
N
F F
N mg senθ
Ft
Ft θ
mg
mg cosθ θ mg
ΣFx = m a F – Ft – m g sen θ = m a F = m a + m g sen θ + Ft F = m a + m g sen θ + (218 + 0,7 v2)
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Por lo tanto, la potencia necesaria para mover el coche es: P=F*v P = m a + m g sen θ + (218 + 0,7 v2) * v P = m v a + m v g sen θ + 218 v + 0,7 v3 m v a = Representa la potencia que el motor debe entregar para acelerar el coche. Si el coche se mueve a velocidad constante, este término es cero. Por lo tanto la potencia total para mover el coche disminuye. m v g sen θ = Es la potencia que se requiere suministrar a la fuerza para equilibrar un componente de la fuerza gravitacional, cuando el coche sube por la cuesta. Si el coche se mueve por una superficie horizontal, este término es cero, por que θ = 0. Por lo tanto la potencia total para mover el coche disminuye. 218 v = Es la potencia necesaria para suministrar una fuerza que equilibre la fuerza de rodamiento. 0,70 v3 = Es la potencia necesaria contra la resistencia del aire. Datos: m = 1450 kg. v = 27 m/seg a = 1 m/seg2 θ = 100 m v a = 1450 * 27 *1 = 39150 kg * m/seg * m/seg2 m v a = 39150 watios m v a = 39,15 kwatios.
mva = 39,15 kwatios *
1 Hp = 52 Hp 0,746 kw
m v g sen θ = 1450 * 27 *9,8 * sen 10 = 66623,59 kg * m/seg * m/seg2 m v g sen θ = 66623,59 watios m v g sen θ = 66,623 kwatios
mv g senθ = 66,623 kwatios *
1 Hp = 89 Hp 0,746 kw
218 v = 218 * 27 m/seg = 5886 watios
218 v = 5,886 kwatios *
1 Hp = 7,9 Hp 0,746 kw
0,70 v3 = 0,7 * (27 m/seg)3 = 14 KW
0,7 v 3 = 14 kwatios *
1 Hp = 18 Hp 0,746 kw
La potencia total necesarias es: 39,15 + 66,623 + 5,886 + 14 = 125,9 KW 52 HP + 89 HP + 7,9 HP + 18 = 166,9 HP Haga los cálculos, para velocidad constante, y una superficie horizontal? 0
ΣFx = m a
por que la velocidad es contante, entonces la aceleracion es cero.
F – Ft = 0 F = Ft
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F = 218 + 0,7 v2 Por lo tanto, la potencia necesaria para mover el coche es: P=F*v P = (218 + 0,7 v2) * v P = 218 v + 0,7 v3 218 v = 5,886 kw y 0,7 v3 = 14 kw P = 5,886 kw + 14 kw P = 19,886 kw P = 7,9 hp + 18 hp = 25,9 hp P = 25,9 hp Problema 7.1 Serway quinta edición Un remolcador ejerce una fuerza constante de 5000 Newton sobre un barco que se mueve con rapidez constante a través de una bahía. Cuanto trabajo hace el remolcador sobre el barco en una distancia de 3 km. W = F * d = 5000 * 3 = 15000 Newton * metro W = 15000 julios Problema 7.1 Serway cuarta edición Si una persona saca de un pozo una cubeta de 20 kg y realiza 6 kj de trabajo ¿Cuál es la profundidad del pozo? Suponga que la velocidad de la cubeta permanece constante cuando se levanta (Trabajo) W = m g h W = 6 kj = 6000 julios
Problema 7.2 Serway quinta edición Fátima en un supermercado empuja un carrito con una fuerza de 35 Newton dirigida a un ángulo de 250 hacia abajo desde la horizontal. Encuentre el trabajo que realiza Fátima conforme se mueve por un pasillo de 50 m. de longitud. FX 250
FX = F cos 25 FX = 35 * cos 25 FX = 35 * 0,9063 FX = 31,72 Newton
FY
d = 50 m
W = FX * d = 31,72 * 50 = 1586,03 Newton * metro W = 1586,03 julios
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Problema 7.2 Serway cuarta edición; Problema 7.3 Serway quinta edición Una gota de lluvia (m = 3,35 X 10 -5 kg.) cae verticalmente con rapidez constante bajo la influencia de la gravedad y la resistencia del aire. Después de que la gota ha descendido 100 metros. Cual es el trabajo realizado por: a) la gravedad? b) La resistencia del aire? W=F*d
pero: d = h
a) la gravedad ? W=mgh W = 3,35 x 10 -5 kg. * 9,8 m/seg2 * 100 m W = 0,03283 N * m W = 0,03283 julios
R
h = 100 mg
b) La resistencia del aire? W=-R*h W = m g h = - 3,35 x 10 -5 kg. * 9,8 m/seg2 * 100 m W = - 0,03283 N * m W = - 0,03283 julios Problema 7.3 Serway cuarta edición; Un bloque de 2,5 kg de masa es empujado 2,2 metros a lo largo de una mesa horizontal sin fricción por una fuerza constante de 16 Newton dirigida a 250 debajo de la horizontal. Encuentre el trabajo efectuado por: a) b) c) d)
La fuerza aplicada La fuerza normal ejercida por la mesa La fuerza de la gravedad La fuerza neta sobre el bloque.
FX 250
FY
a) Trabajo efectuado por la fuerza aplicada FX = F cos 25 FX =16 * cos 25 FX = 16 * 0,9063 FX = 14,5 Newton W = FX cos 0 * d = 14,5 * 2,2 = 31,9 Newton * metro W = 31,9 julios b) Trabajo efectuado por la fuerza normal ejercida por la mesa La fuerza normal N esta a 900 respecto al desplazamiento FX , Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento se dice que no existe TRABAJO. Σ FY = 0 N – mg = 0 N = mg = 2,5 * 9,8 = 24,5 Newton N = 24,5 Newton
N FX
mg
W = N * d * (cos 90) W = 24,5 * 2,2 * (0) W=0 C) Trabajo efectuado por la fuerza de la gravedad El peso mg esta a 900 respecto al desplazamiento FX , Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento se dice
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que no existe TRABAJO. W = mg * d * (cos - 90) W = 24,5 * 2,2 * (0) W=0 d) Trabajo efectuado por la fuerza neta sobre el bloque. Σ (FX + N + mg) Σ (31,9 + 0 + 0) = 31,9 julios Problema 7.4 Serway cuarta edición Dos bolas que tienen masas m1 = 10 kg. m2 = 8 kg. cuelgan de una polea sin fricción, como se muestra en la figura p7.4. a) Determine el trabajo realizado por la fuerza de gravedad sobre cada bola por separado cuando la de 10 kg. de masa se desplaza 0,5 metros hacia abajo. b) Cual es el trabajo total realizado por cada bola, incluido el efectuado por la fuerza de la cuerda. c) Redacte un comentario acerca de cualquier relación que haya descubierto entre estas cantidades.
T1 T
T
T m2
T
W2 = m2 g
W1 = m1 g
m1 ∑ FY = m1 a m1 g – T = m1 a (Ecuación 1) ∑ FY = m2 a T – m2 g = m2 a (Ecuación 2) Sumando las ecuaciones m1 g – T = m1 a (Ecuación 1) T – m2 g = m2 a (Ecuación 2) m 1 g - m2 g = m 1 a + m 2 a m1 g - m2 g = (m1 + m2 ) a 10 * 9,8 – 8 * 9,8 = (10 + 8) a 98 – 78,4 = 18 a 19,6 = 18 a a = 1.088 m/seg2 Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión m1 g – T = m1 a (Ecuación 1)
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T = m1 g - m1 a T = 10 * 9,8 - 8 * 1,088 T = 98 - 8,711 T = 89,289 Newton Determine el trabajo realizado por la fuerza de gravedad sobre cada bola por separado cuando la de 10 kg. de masa se desplaza 0,5 metros hacia abajo. Wm1 = m g d cos (0) Wm1 = 10 * 9,8 * 0,5 Wm1 = 49 julios Observe que la tensión de la cuerda esta a 1800 respecto del movimiento de la masa m1 WTENSION T = T d cos (180) WTENSION T = 89,289 * 0,5 cos (180) WTENSION T = 44,64 cos (180) WTENSION T = - 44,64 julios el trabajo realizado por la fuerza de gravedad es: Wm1 + WTENSION T 49 julios- 44,64 julios = 4,35 julios Se analiza para m2 = 8 kg. Observe que m2 g estan a 1800 respecto al desplazamiento del sistema Wm2 = m2 g d cos (180) Wm2 = 8 * 9,8 * 0,5 * (-1) Wm2 = - 39,2 julios Observe que la tensión de la cuerda esta a 00 respecto del movimiento de la masa m1, es decir la tensión tiene la misma dirección que el movimiento del sistema. WTENSION T = T d cos (0) WTENSION T = 89,289 * 0,5 cos (0) WTENSION T = 44,64 cos (0) WTENSION T = 44,64 julios el trabajo realizado por la fuerza de gravedad es: Wm2 + WTENSION T - 39,2 + 44,64 = 5,44 Problema 7.4 Serway quinta edición Una carretilla cargada con ladrillos tiene una masa total de 18 kg y se jala con rapidez constante por medio de una cuerda. La cuerda esta inclinada a 200 sobre la horizontal y la carretilla se mueve 20 m sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el suelo y la carretilla es de 0,5. a) Cual es la tensión en la cuerda? b) Cuanto trabajo efectúa la cuerda sobre la carretilla? c) Cual es la energía perdida debido a la fricción.
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N
TY
0
20
TX
FR
T TY
200 TX mg
TX = T cos 20 Σ FX = 0 por que se desplaza a velocidad constante. Pero: FR = μ N TX – FR = 0 TX = FR T cos 20 - μ N = 0 T cos 20 = μ N
Ecuación 1
Σ FY = 0 N + TY – mg = 0 N = mg - TY Ecuación 2 Igualando las ecuaciones 1 y 2, se halla el valor de la tensión de la cuerda.
b) Cuanto trabajo efectúa la cuerda sobre la carretilla? TX = T cos 20 = 79,42 * cos 20 = 74,63 Newton TX = 74,63 Newton W = TX (cos 0) * d = 74,63 * 20 = 1492,6 Newton * metro W = 1492,6 julios c) Cual es la energía perdida debido a la fricción. TX = FR TX = T cos 20 = FR FR = T cos 20 TX = 74,63 Newton FR = 74,63 Newton Observamos que la fuerza de rozamiento FR esta 1800 respecto del desplazamiento de la carretilla. W = FR (cos 180) * d = 74,63 (-1) * 20 = -1492,6 Newton * metro W = - 1492,6 julios Problema 7.6 Serway quinta edición Un bloque de 15 kg. Se arrastra sobre una superficie horizontal rugosa por una fuerza de 70 Newton que actúa a 200 sobre la horizontal. El bloque se desplaza 5 metros y el coeficiente de fricción cinética es de 0,3. Determine el trabajo realizado por: a) La fuerza de 70 Newton, b) La fuerza normal c) La fuerza de gravedad d) Cual es la energía perdida debido a la fricción e) Encuentre el cambio total en la energía cinética del bloque.
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N
TY
200 TX
FR
Datos: T = 70 Newton d = 5 metros μ = 0,3 m = 15 kg.
T TY
200 TX mg
a) Trabajo efectuado por la fuerza aplicada de 70 Newton FX = F cos 20 FX =70 * cos 20 FX = 70 * 0,9396 FX = 65,77 Newton W = FX (cos 0) * d = 65,77 * 5 = 328,85 Newton * metro W = 328,85 julios
b) Trabajo efectuado por la fuerza normal Σ FY = 0 N – mg +TY = 0 Pero: TY = T sen 20 TY = 70 sen 20 TY = 70 * 0,342 TY = 23,94 Newton
N FR
TX
mg
N – mg +TY = 0 N = mg -TY N = 15 * 9,8 – 23,94 N = 147 – 23,94 N = 123,06 Newton La fuerza normal N esta a 900 respecto al desplazamiento TX , Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento se dice que no existe TRABAJO. W = N * d * (cos 90) W = 123,06 * 5 * (0) W=0 C) Trabajo efectuado por la fuerza de la gravedad El peso mg esta a 2700 respecto al desplazamiento TX, Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento se dice que no existe TRABAJO. W = mg * d * (cos 270) W = 15 * 9,8 * 5 * (0) W=0 d) Cual es la energía perdida debido a la fricción FR = μ N FR = 0,3 * 123,06 FR = 36,918 Newton
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Observamos que la fuerza de rozamiento FR esta 1800 respecto del desplazamiento del bloque de 15 kg. W = FR (cos 180) * d = 36,918 * (-1) * 5 = -184,59 Newton * metro W = - 184,59 julios e) Encuentre el cambio total en la energía cinética del bloque. Es la suma entre el trabajo realizado por la tensión de la cuerda en el eje x y el trabajo de la fuerza de rozamiento W = 328,85 julios W = - 184,59 julios 328,85 – 184,59 = 144,3 Newton Problema 7.7 Serway quinta edición; Problema 7.10 Serway cuarta edición Batman que tiene 80 kg. de masa, cuelga del extremo libre de una cuerda de 12 m cuyo extremo opuesto se encuentra fijo a la rama de un árbol. Batman puede poner la cuerda en movimiento como solo el sabe hacerlo y balancearse lo suficiente para alcanzar una saliente cuando la cuerda forma un ángulo de 600 con la vertical. Cuanto trabajo se realizo contra la gravedad en esta maniobra?
12 m
600
h = 12 cos 60 h = 12 * 0,5 h = 6 metros
h 12 m
W=mgh
W = 80 * 9,8 *6 W = 4704 julios Problema 7.22 Serway cuarta edición; Problema 7.18 Serway quinta edición; Problema 7.14 Serway sexta edición Una fuerza F = (4xi +3jy) actúa sobre un objeto cuando este se mueve en la dirección x del origen a x = 50 m. Encuentre el trabajo efectuado sobre el objeto por la fuerza. 5
5
0 5
0
W = ∫ F * dr = ∫ (4xi + 3yj) dxi 5
W = ∫ (4 xi dxi + ∫ 3yj dxi 0 5
0
W = ∫ (4 x dx 0
W=
4 2 5 x Ι0 2
W = 2 x 2 Ι 50 W = 2 (5)2 = 2 * 25 = 50 julios W = 50 Julios
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Problema 7.23 Serway cuarta edición; Problema 7.17 Serway quinta edición; Problema 7.13 Serway sexta edición Una partícula esta sometida a una fuerza Fx que varia con la posición, como se ve en la figura p7.13. Encuentre, el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula cuando se mueva. a) De x = 0 a x = 5 metros b) De x = 5 a x = 10 metros c) De x = 10 a x = 15 metros d) Cual es el trabajo total realizado por la fuerza sobre la distancia de x = 0 a x = 15 metros
F Newton 3 2 1
A1
A2
5
A3
10
15
X metros
El trabajo es el área bajo la curva, por que trabajo es fuerza en newton por la distancia en metros. a) De x = 0 a x = 5 metros
A1 =
Base * altura 5 * 3 15 = = = 7,5 julios 2 2 2
b) De x = 5 a x = 10 metros A2 = lado * lado = 5 * 3 = 15 julios c) De x = 10 a x = 15 metros
A3 =
Base * altura 5 * 3 15 = = = 7,5 julios 2 2 2
d) Cual es el trabajo total realizado por la fuerza sobre la distancia de x = 0 a x = 15 metros La suma de las tres áreas, es el trabajo total realizado de x = 0 a x = 15 metros. Trabajo total = 7,5 + 15 + 7,5 = 30 julios Trabajo total = 30 julios Problema 7.65 Serway cuarta edición; Problema 7.49 Serway quinta edición; Problema 7.45 Serway sexta edición Un coche compacto de 900 kg. de masa tiene una eficiencia total del motor del 15 %. (Esto es 15 % de la energía suministrada por combustible se entrega a las ruedas). a) Si consumir un galón de gasolina produce 1,34 * 108 julios de energía, encuentre la cantidad de gasolina empleada al acelerar desde el reposo a 55 mi/hora. Aquí se puede hacer caso omiso de los efectos de la resistencia del aire y la fricción de rodamiento. b) Cuantas de estas aceleraciones suministrara un galón? C) El recorrido en millas dado por el coche es 38 mi/galón a 55 mi/hora. Que potencia es entregada a las ruedas (para superar los efectos de fricción) cuando el coche es conducido a esta rapidez? Solución: La energía necesaria para acelerar el coche desde el reposo a una rapidez v = 55 mi/hora. es igual a su energía cinética final
v = 55
mi 1609 m 1 hora m * * = 24,58 hora 1 mi 3600 seg seg
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K = Energía cinética
⎡ 1 1 m⎤ K = m v 2 = (900 kg ) ⎢24,58 2 2 seg ⎥⎦ ⎣ K = (450 kg ) * 604,17
2
m *m seg 2
K = 271879,38 Newton * m K = 271879,38 Julios Si el motor fuera 100 % eficiente, cada galón de gasolina suministraría 1,34 * 108 julios de energía. 1,34 * 108 julios de energía x
x=
100 % 15 %
1,34 *10 8 *15 = 20100000 julios 100
Esta es la energía que se le entrega a las ruedas cuando el auto consume 1 galón de gasolina. Con este dato hallamos cuanta gasolina se necesita para desplazar el coche. 1 galón de gasolina x
x=
23400000 julios 20100000 julios
20100000 = 1,3526 * 10 - 2 galones 23400000
0,013526 galones de gasolina se necesitan para acelerar el coche desde reposo hasta 24,58 m/seg. b) Cuantas de estas aceleraciones suministrara un galón? 1 aceleración gasta x
x=
0,013526 galones de gasolina 1 galón de gasolina
1 = 73,91 aceleraciones 0,013526
C) El recorrido en millas dado por el coche es 38 mi/galón a 55 mi/hora. Que potencia es entregada a las ruedas (para superar los efectos de fricción) cuando el coche es conducido a esta rapidez? Es necesario encontrar el consumo de galones/hora y esto se consigue dividiendo la rapidez del auto entre el rendimiento de la gasolina
millas hora = 55 galon Consumo de gasolina = millas 38 hora 38 galon 55
Consumo de gasolina = 1,44 galones/hora
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Si usamos el hecho de que cada galón es equivalente a 1,34 * 108 julios La potencia total empleada es:
P = 1,44
galones * 1,34 * 10 8 julios hora
P = 1,44
galones 1 hora * * 1,34 * 10 8 Newton * m hora 3600 seg
P = 53600 Watios Debido a que usa el 15 % de la potencia para impulsar el coche, la potencia entregada a las ruedas es: Potencia entregada = 0,15 * 53600 Watios = 8040 watios Potencia entregada = 8,040 kwatios
potencia entregada = 8,040 kwatios *
1 Hp = 10,77 Hp 0,746 kw
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