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PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR LUIS FERNANDO HERRERA DÍAZ 31 de agosto de 2005

Índice general

1. GENERALIDADES 1.1. Conceptos generales. . . . . 1.1.1. Energía. . . . . . . . 1.1.2. Calor. . . . . . . . . 1.1.3. Temperatura. . . . . 1.2. Tipos de calor . . . . . . . . 1.3. Mecanismos de transferencia 1.4. Flujo de calor . . . . . . . . 2. CONDUCCIÓN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de calor. . . . . .

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6 6 6 6 6 7 7 8 13

2.1. Ley de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. La conductividad térmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1. Variación de la conductividad térmica con la temperatura. . . . . . 16 2.2.2. Conductividades térmicas de alimentos . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3. Per…l de temperaturas en una pared plana. . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Flujo de calor en paredes compuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1. Paredes en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2. Paredes en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Flujo de calor en cilindros huecos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. Flujo de calor en esferas huecas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6. Ecuación general de conducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6.1. Ecuación general de conducción unidimensional. . . . . . . . . . . . 34 2.6.2. Ecuación general de conducción en tres dimensiones. . . . . . . . . 35 2.7. Flujo de calor bidimensional en estado estacionario. . . . . . . . . . . . . . 36

ÍNDICE GENERAL

1

3. CONVECCIÓN 44 3.1. Determinación del coe…ciente convectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.1. Modelos para la determinación del coe…ciente convectivo en convección forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.2. Modelos para la determinación del coe…ciente convectivo en convección natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO 54 4.1. Cálculo del espesor óptimo para un aislante de tubería. . . . . . . . . . . . 54 4.2. Super…cies extendidas o aletas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN REGIMEN NO ESTACIONARIO 69 5.1. Determinación del per…l de temperaturas de un alimento. . . . . . . . . . . 69 5.1.1. Procesos para números de Biot menores a 0.1 . . . . . . . . . . . . 74 5.1.2. Procesos para números de Biot mayores a 0.1 . . . . . . . . . . . . 75

ÍNDICE GENERAL

2

INTRODUCCIÓN Las diferentes operaciones unitarias que tienen lugar en la industria de alimentos implican la generación y/o absorción de energía, igualmente los procesos de esterilización y conservación de alimentos requieren de tratamientos térmicos por lo que se hace indispensable para el ingeniero de alimentos el conocimiento de las leyes que rigen el ‡ujo de calor y su aplicación en el diseño y manejo termodinámico de los equipos que se usan en los procesos alimenticios para la optimización de tan costoso y apreciado recurso energético

introducción

3

NOTACIÓN

log M

área, L2 número de Biot hL K capacidad calorí…ca MET número de Fourier L2 c entalpia (E) coe…ciente convectivo de transferencia de calor LE2 T E conductividad térmica LT conductividad térmica a presión atmosferica ecuación (2.5) longitud (L) longitud de la tuberia = logaritmo con base e (Ln) = masa (M )

P Pc PM Q Q

= = = = =

presión M L2 presión reducida PPc peso molecular calor (E) ‡ujo volumetrico (L3 =t) para la ecuación (??)

Q R R r T Tr

= = = = = =

‡ujo de calor E resistencia eléctrica costante de los gases ideales 0;008314 radio (L) temperatura (T ) temperatura reducida TTc

A Bi Cp Fo H h K KG L

t

= = = = = = = = =

3

= tiempo ( ) = volumen molar

V Z

M P a m3 kmolK

L3 mol

= velocidad L = factor de compresibilidad

Letras griegas y simbolos

Notación

4

1

= denota las condiciones del medio = difusividad térmica = calor latente de vaporización = viscocidad cinemática = densidad LM3 = densidad reducica

r

= viscosidad

E M

L2

c

M L

Subindices c f in ini liq

= = = =

propiedad crítica condición …nal condición inicial líquidos

Superindices = indica ‡ujo. dd

Notación

5

1. GENERALIDADES

1.1. Conceptos generales. Antes de comenzar a estudiar la transferencia de calor se hará un breve repaso sobre los conceptos básicos.

1.1.1. Energía. La energía es una abstracción matemática utilizada por los físicos que representa la capacidad de realizar un trabajo, sin embargo aquí se ampliara el concepto a la capacidad para producir un cambio o una transformación.

1.1.2. Calor. A partir de lo anterior se puede de…nir el calor como un tipo de energía que se trans…ere de un cuerpo a otro en virtud de una diferencia de temperaturas y por lo tanto no puede ser almacenado.

1.1.3. Temperatura. La temperatura es asociada con la movilidad de las moléculas de un cuerpo, de tal forma que a mayor movilidad mayor temperatura.

GENERALIDADES

6

1.2. Tipos de calor En la naturaleza cuando se trans…ere calor a un cuerpo, éste puede experimentar diferentes cambios los cuales de…nen el tipo de calor. Los tipos de calor más comunes son: Calor sensible: Durante la transferencia de calor ocurre un cambio de entalpía directamente asociada a un cambio en la temperatura, su expresión matemática está dada por Q = M Cp T Calor latente: El cambio de entalpía es caracterizado por un cambio de fase a temperatura constante. Su expresión matemática esta dada por Q = M . Calor de reacción: El calor es liberado o requerido por una reacción química, su expresión esta relacionada con las entalpías de los productos y compuestos como sigue Q = HPr oductos HRe activos : Calor eléctrico: Es el calor que se trans…ere a causa del paso de una corriente eléctrica a través de un material aislante y su valor esta dado por Q = I 2 R

1.3. Mecanismos de transferencia de calor. La termodinámica como ciencia estudia en la primera ley, la naturaleza y transformación de la energía en sus diferentes formas: energía interna, entalpía, trabajo y calor. En la segunda ley explica porque el calor no puede ser transformado totalmente en trabajo. La herramienta con la cual se aplican los conceptos de la primera ley de la termodinámica a los procesos industriales se denomina balance de materia y energía. Sin embargo ninguna de las dos explica como se trans…ere el calor de un cuerpo a otro. Dicha explicación es trabajada en los Procesos de Transferencia de Calor. [9] , de…ne la Transferencia de Calor como “el estudio de las velocidades a las cuales el calor se intercambia entre fuentes de calor y receptores”, mientras que los Procesos de Transferencia de Calor están relacionados con las razones de intercambio térmico que ocurren en los equipos. Por el momento se dirá que existen tres formas de transmitir calor, conducción, convección y radiación. TIPOS DE CALOR

7

En la conducción, dos materiales sólidos a diferente temperatura se ponen en contacto directo, de tal forma que las moléculas del material a mayor temperatura, con mayor movimiento molecular, trans…eren energía en forma de movimiento a las moléculas del cuerpo a menor temperatura, sin que exista un movimiento aparente de las moléculas de los dos sólidos. Por tal razón la velocidad de transferencia de energía estará dada por una propiedad de los materiales asociada a la capacidad de transferir la movilidad de sus moléculas, dicha propiedad es conocida como conductividad térmica (K). En la convección, la transferencia de calor se da entre dos puntos de un ‡uido, de tal forma que debido a la altísima movilidad de sus moléculas, la mezcla entre ellas pasa a ser el comportamiento predominante. Dicho comportamiento se puede presenciar cuando se pone a calentar agua en un recipiente, luego de un tiempo determinado se puede observar en la super…cie la creación de remolinos debido a la diferencia de densidades entre puntos “calientes” y “fríos”. Si la mezcla es debido solo a la diferencia de temperaturas dicho comportamiento es conocido como convección natural. En algunas ocasiones se requiere que el calentamiento se realice más rápidamente, es decir los puntos “calientes”deben ser distribuidos con mayor velocidad en el ‡uido, para lo cual se suele recurrir a introducir un agente externo como un agitador para que aumente los niveles de mezcla, en este caso se habla de convección forzada. Finalmente el último mecanismo de transferencia de calor es la radiación, que a diferencia de las dos anteriores no requiere un contacto directo entre los puntos “calientes” y “fríos”, sino que debido a la diferencia de temperatura cada material posee un movimiento de partículas determinado, el cual está asociado a un nivel de radiación, la diferencia neta entre las emanaciones de radiación de ambos cuerpos es la transferencia de calor.

1.4. Flujo de calor Siempre que ocurre una transferencia interactúan dos factores, uno a favor de la transferencia denominada fuerza impulsora o diferencia de potencial y otra que se opone denominada resistencia, es así como se puede construir la siguiente relación matemática.

Transferencia

Fuerza impulsora Resistencia

(1.1)

Dicha expresión puede ser expresada en términos de una conductancia así: FLUJO DE CALOR

8

Transferencia

Conductancia

Fuerza impulsora

(1.2)

Figura 1-1 Jean-Louis Marie Poiseuille (1799-1869)

Tomado de: [18] Esta expresión ha sido desarrollada en diferentes ámbitos según la naturaleza de la transferencia. En el caso de la transferencia de momento en el ‡ujo de ‡uidos , Poiseuille encuentra que en régimen laminar dentro de una tubería el caudal esta determinado por la ecuación (1.3). [3]

Q = r4

(P2 P1 ) 8 l

(1.3)

Figura 1-2 Esquema de ‡ujo

En el caso del ‡ujo eléctrico fue George Ohm en 1827 estableció que el ‡ujo de electrones sobre un material conductor está dado por la ecuación (1.4) en el documento FLUJO DE CALOR

9

Figura 1-3 Georg Simon Ohm (1789-1854)

titulado Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet. (Trabajos matemáticos sobre los circuitos eléctricos). Tomado de: [18]

I=

V R

(1.4)

Figura 1-4 Trabajos matemáticos sobre los circuitos eléctricos

Tomado de: [18] El esquema de ‡ujo de corriente electrica puede ser esquematizado como:

FLUJO DE CALOR

10

Figura 1-5 Esquema del ‡ujo de electrones en un material conductor

Figura 1-6 Joseph Fourier (1768–1830)

De la misma forma el matemático francés Fourier propone la ecuación (1.5) para el ‡ujo de calor. Tomado de: [2] Q = KA

T L

(1.5)

Dicha expresión puede ser aplicada para el ‡ujo de calor a través de una pared plana cuyos lados se encuentran a diferentes temperaturas, como se muestra en la …gura 1-7

Figura 1-7 Esquema de ‡ujo de transferencia de calor.

Expresando la ecuación (1.5) en términos de la fuerza impulsora y la resistencia se FLUJO DE CALOR

11

puede encontrar la ecuación (1.6) R=

FLUJO DE CALOR

L KA

(1.6)

12

2. CONDUCCIÓN Cuando se transmite calor a través de un sólido, se deben tener en cuenta dos conceptos importantes, la velocidad de transferencia de calor y el per…l de temperaturas dentro del sólido. La velocidad de transferencia de calor se re…ere al ‡ujo de entrada o salida de energía en forma de calor y el segundo hace referencia a la forma como cambia la temperatura con respecto a la posición dentro del sólido. Inicialmente en este capítulo se estudiará la ley de Fourier que relaciona estos dos conceptos y sus aplicaciones, aplicadas al ‡ujo de calor en una sola dimensión para diferentes geometrías, luego se abordará el tema de la conductividad térmica, su relación con la temperatura y la forma de estimar su valor para los alimentos, …nalmente se desarrollará brevemente el tema de conducción en más de una dimensión. El estudio de ‡ujo de calor en estado no estacionario se verá en capítulos posteriores

2.1. Ley de Fourier. Hace más de un siglo Fourier propuso que la relación entre el ‡ujo de calor y el gradiente de temperaturas es de carácter lineal, de tal forma que se puede expresar como lo indica la ecuación (2.1) Q=

KA

T L

(2.1)

En donde; Q representa el ‡ujo de calor, K es la conductividad térmica de los materiales, A es el área de transferencia y T es la diferencia de temperaturas entre dos puntos del sólido que se encuentran separados por una distancia L . Por otra parte el ‡ujo de calor puede entrar o salir del sólido, por lo tanto es necesario tener un sistema de referencia que permita distinguir entre estos dos eventos. Se crea entonces un sistema de referencia donde el ‡ujo de calor es positivo si lleva el mismo sentido del eje x, como lo indica la …gura 2-1 De esta forma la expresión (2.1) puede ser escrita como Q = CONDUCCIÓN

KA

T1

T2 L 13

Figura 2-1 Diagrama de ‡ujo de calor en una pared plana.

En algunas ocasiones conviene expresar la ecuación (2.1) en forma diferencial, de tal forma que la expresión se puede escribir como: Q=

KA

dT dx

(2.2)

En resumen se puede decir que con el …n de determinar el valor de cada una de las variables relacionadas en la ley de Fourier, se pueden seguir las siguientes pautas. 1. Realizar un esquema en donde se especi…que la geometría del sistema y la caída de temperaturas. …gura 2-2.

Figura 2-2 Esquema de ‡ujo de calor en una pared plana

2. Trazar la línea de ‡ujo de calor perpendicular a la disminución de la temperatura. (T2 < T1 ). LEY DE FOURIER.

14

Figura 2-3 Determinación del área y la longitud para el cálculo del calor por conducción.

3. Encontrar el camino que recorre el ‡ujo de calor (L1 ) y el área de…nida por la super…cie perpendicular al ‡ujo de calor. A = L2 L3 Ejemplo 2.1: Las caras de una pared de ladrillo de caolín (KCaolin = 0;15) se encuentran a 932 F y 300 F , si la pared mide 13 17 F t y tiene un espesor de 5 in, ¿Cuanto calor se pierde por la pared? Solución: Siguiendo el las pautas que permiten reconocer el valor de cada una de las variables dentro de la ley de Fourier se puede realizar la …gura.

Figura 2-4 Esquema para el ejercicio 2-1.

Luego: A = 13f t

17f t = 221f t2

LEY DE FOURIER.

15

L = 5in

1f t = 0;417f t 12in

T = (300 F

932 F ) =

632 F

Aplicando la ecuación (2.1) se encuentra 632 F BT U 2 Q = 0;15 221f t = 50241;727 BTh U F 0;417f t hf t2 f t

2.2. La conductividad térmica.

Hasta el momento se ha descrito la conductividad térmica como una propiedad de los materiales que resulta del modelo lineal entre el ‡ujo de calor y el gradiente de temperaturas, sin embargo su signi…cado físico puede partir del concepto de temperatura, entendida como la magnitud que permite determinar el grado de movilidad de las partículas, por esto la conductividad térmica puede verse como una capacidad para transmitir dicha movilidad de unas partículas a otras, sin embargo éste concepto implica que la conductividad térmica varíe según la naturaleza del material y la temperatura, a continuación se estudiarán ambos casos:

2.2.1. Variación de la conductividad térmica con la temperatura.

La conductividad térmica de los materiales varía con la temperatura pero de manera distinta si es un sólido, líquido o un gas. En sólidos: Para el caso de los sólidos, según [7], la conductividad térmica varía en forma lineal con la temperatura, como lo indica la ecuación 2.3. K = K0 [1 + (T

T0 )]

(2.3)

En donde: K0 es el valor de la conductividad térmica a la temperatura T0 T0 es la temperatura de referencia. LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.

16

Figura 2-5 Variacion de la conductividad térmica con la temperatura para algunos sólidos Cuadro 2.1 Valores de las constantes parala líquidos Familia Hidrocarburos saturados Ole…nas Ciclopara…nas Aromáticos Alcoholes Ácidos orgánicos

evaluación de la conductividad térmica de los A 0;00350 0;03610 0;03100 0;03460 0;00339 0;00319

1;2 1;2 1;2 1;2 1;2 1;2

0;5 1;0 1;0 1;0 0;5 0;5

0;167 0;167 0;167 0;167 0;167 0;167

T es la temperatura a la cual se está calculando la conductividad. es una constante dependiente del material. Líquidos: Para los líquidos [15] indica como uno de los métodos de estimación para la conductividad térmica el de Latini. Kliq =

A (1

Tr )0;38 1 6

(2.4)

Tr

A Tb y los parámetros A ; ; P M Tc Tomado de [15]. En donde: A =

y

se muestran en la Cuadro 2.1

En la …gura 2-6 se presenta una grá…ca de la variación de la conductividad térmica con la temperatura para algunos líquidos. LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.

17

Figura 2-6 Variación de la condictividad térmica de algunos líquidos con la temperatura Cuadro 2.2 Valores de las constantes para la conductividad de los gases A B C < 0.5 2.702 0.535 -1.000 r 0.5 < r < 2.0 2.528 0.670 -1.069 2.0 < r < 2.8 0.574 1.155 -2.016 Gases: Para gases a presión atmosférica, [14] cita el método de Stiel y Thodos, el cual indica que para estimar la conductividad térmica de un gás en el sistema internacional de unidades se tiene la ecuación (2.5): Kg = KG +

A

10

4

(exp(B r ) + C)

1 1 Tc6 P M 2 2 Pc3

(2.5)

Zc5

Los valores de las constantes estan dados en la Cuadro 2.2. Tomado de: [14]. Mayor bibliogra…a sobre estimación de la conductividad térmica de los gases se puede encoentrar en: [19],

2.2.2. Conductividades térmicas de alimentos

LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.

18

Según [17]. Los modelos que permiten predecir la conductividad térmica de los alimentos están divididos en modelos teóricos y empíricos. Los modelos empíricos relacionan en su gran mayoría la conductividad térmica con la temperatura para algunos productos determinados, los teóricos relacionan la composición pero es necesario considerar una forma especí…ca de distribución de los componentes constitutivos.Dentro de los modelos teóricos se pueden encontrar: Modelo en serie: En este modelo los componentes forman láminas en arreglo en serie, como se estudiará en la sección 2.5.1, el valor del inverso de la resistencia corresponde a la sumatoria de los inversos de las resistencias de cada lámina. Es así como: K=

1 N X i=0

(2.6) i

Ki

Donde: Ki es la conductividad térmica de cada componente, i es la fracción volumétrica de cada componente [1] recomienda este modelo para alimentos cuasihomogeneos, como proteínas, geles, carnicol ya sean congelados o no. Modelo en paralelo: La diferencia con el anterior radica en que las capas siguen la misma trayectoria del ‡ujo de calor (ver 2.5.2), de tal forma que la conductividad térmica, se puede evaluar como: K=

N X

Ki

i

(2.7)

i=o

Modelo aleatorio: En este se considera que varias fases dispersas se encuentran distribuidas en una mayor. Dentro de estos modelos [17], hace referencia a entre otros a [8]. Quien combina el modelo en serie con el de paralelo de tal forma que: 1 = K (1

1 f 1 +f + ) Ks + K g Ks Kg

(2.8)

Donde: X Ks = ! i Ki : para todos los compuestos menos el aire. ! i : es la fracción másica de cada componente. es la porosidad. Kg es la conductividad térmica del aire. f es el factor de distribución, cuyo valor es cero si el arreglo es en paralelo y uno en serie. LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.

19

Cuadro 2.3 Valores de las constantes A1 A2 a 0;44735 0;22601 b 0;873233 14;3434 c 0;43634 25;5292 d 2;18646 9;22053

para la conductividad de los gases A3 A4 1;83405 0;394814 0;619566 5;44528 75;18500 53;41450 53;01440 41;87700

Para valores intermedios [13] proponen la siguiente ecuación. f = A1 + A2 ( A3 ( 0;4)2 + A4 ( 0;4)3 con Ai = a + b + c 2 + d 3

0;4) +

Los valores de a,b,c,d están dados en la Cuadro 2.3: Si i = 1 y 2 entonces

= X; para i = 3; = (X

0;25) y si i = 4 ,

= (X

0;1627)

[10], encontraron las ecuaciones que correlacionan la conductividad térmica de algunos constituyentes de los alimentos con la temperatura, en la …gura 2-7 se presenta su comportamiento.

Figura 2-7 Variación de la conductividad térmica con la temperatura para diferentes componentes de los alimentos

En Colombia se han realizado algunos estudios para determinar las conductividades térmicas de algunos alimentos como el trabajo de [16].

2.2.3. Per…l de temperaturas en una pared plana.


20

El per…l de temperaturas para una pared plana como la que se muestra en la …gura 2-8, puede ser determinado a partir del balance de energía sobre una lámina de pared de ancho x.

Figura 2-8 Per…l de temperaturas en una pared plana.

Partiendo de la ecuación general de balance. Entradas

Salidas + Generacion

(2.9)

Consumo = Acumulacion

En donde: Entradas: dadas por el ‡ujo de calor Qx Salidas: dadas por el ‡ujo de calor Qx+ x Acumulación: Término asociado al calentamiento interno del material, termodinámimCp T camente expresado como un cambio en la entalpía1 .Q = Remplazando en 2.9 se tiene: Qx

Qx+

x

A xCp T

=

Rearreglando Qx 1

Qx+ x

x

=

ACp T

Por comodidad expresaremos la masa en términos del volumen m =


V luego m =

A

x

21

Considerando un cambio en x muy pequeño, se puede expresar como el límite cuando x tiende a cero.

lm

x!0

Qx

dQ = dx

Esto puede ser expresado como: tiene

Qx+ x

x

=

ACp T

ACp T

;si la pared no acumula energía se

dQ = 0: dx

Remplazando la ecuación 2.2. d dx

KA

dT dx

=0

Teniendo en cuenta que K y A son constantes con valores diferentes de cero se tiene d2 T que KA =0 dx Luego

dT = C1 dx

Resolviendo por separación de variables. Z dT = C Z 1 dx dT = C1 dx T = C1 x + C2

De la …gura 2-8 se pueden tener las siguientes condiciones de frontera Tx=0 = T0 y Tx=L = T1 . Remplazando. T0 = C1 (0) + C2 C2 = T0 T1 = T0 + C1 L C1 = L1 (T0 T1 )


22

Finalmente se tiene que el per…l de temperaturas esta dado por la ecuación: T =

1 (T0 L

T1 )

x + T0

(2.10)

Si se compara el valor de la pendiente con la ecuación 2.1 se puede encontrar que: T =

Q KA

x + T0

(2.11)

Dicho grá…co corresponde a una línea recta como la que se muestra en la …gura:

Figura 2-9 Per…l de temperaturas para conducción.

Ejemplo 2 2: Encuentre el per…l de temperaturas para el ejercicio 2-1. Solución: Del ejercicio 2-1 se tiene: T0 = 932 F T1 = 300 F L = 5in = 0;417f t A = 221f t2 K = 0;15 Remplazando en la ecuación 2.10 se tiene: T =

300 F 932 F x + 932 F 0;417 f t

Dicha ecuación corresponde a la siguiente …gura: LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.

23

Figura 2-10 Per…l de temperaturas para el ejemplo 2-2

2.3. Flujo de calor en paredes compuestas.

En muchas ocasiones en la industria de alimentos es necesario encerrar espacios que aíslen muy bien un lugar del ‡ujo de calor externo, tal es el caso de los cuartos fríos, en donde se acostumbra colocar una pared formada de varias capas de material como lo muestra la 2-11(A), en este caso se puede observar que una sola línea de ‡ujo de calor atraviesa todos los materiales, a este tipo de arreglo se le denomina paredes en Serie. En otras ocasiones las capas de material son colocadas de tal forma que cada una tiene su ‡ujo de calor propio, como se ve en la 2-11(B), a este tipo de arreglo se le denomina Paralelo.

2.3.1. Paredes en serie Con el …n de analizar las paredes en serie se estudiará una pared compuesta por tres capas como lo muestra la siguiente …gura.

FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.

24

Figura 2-11 Esquema para paredes compuestas.

Figura 2-12 Diagrama para paredes en serie.

Como se puede observar la misma línea de ‡ujo de calor cruza todas las capas de la pared, por lo tanto el ‡ujo de calor es el mismo para todas las capas. Las ecuaciones de ‡ujo de calor para cada pared serán:

Q=

K1 A

T1 = x1

K1 A

Q=

K2 A

T2 = x2

K2 A

Q=

K3 A

T3 = x3

K3 A

T2

T1 x1

T3

T2 x2

T4

T3 x3

Escribiendo las ecuaciones en términos de las resistencias térmicas. FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.

25

Q=

T2

T1

T2

=

x1 K1 A T4 Q=

T1 R1

T3 x3 K1 A

De (d) se tiene: QRT = T4 De (c) se tiene:QR3 = T4 De (b) se tiene: QR2 = T3 De (a) se tiene:QR1 = T2

=

(A) : Q =

T4 R3

T3

T2

x2 K1 A T4 T3 (C) : Q =

T3

=

T2 R2

T1 RT

(B)

(D)

T1 T3 ! QR3 + T3 = T4 T2 ! QR2 + T2 = T3 T1 ! QR1 + T1 = T2

Combinando las ecuaciones anteriores se tiene:

QR3 + QR2 + QR1 + T1 = T4 Con la ecuación del calor total (d):

QR3 + QR2 + QR1 = T4

T1

QR3 + QR2 + QR1 = QRT Finalmente se tiene .R3 + R2 + R1 = RT Generalizando se puede decir que para las paredes en serie.

Qi = QT X RT = Ri

(2.12) (2.13)

Ejemplo 2 3: Una pared compuesta por 2.5 mm de acero (Kacero = 54W=mK) y 1 cm de corcho (Kcorcho = 0;043W=mK) separan dos ambientes que se encuentran a 4 C y FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.

26

Figura 2-13 Esquema para el ejemplo 2-3.

80 C, si el área de la pared es de 2;5m2 , ¿cual será el ‡ujo de calor que ‡uye a través de la pared y la temperatura entre las láminas de metal y corcho?. Respuesta: Como se puede observar una misma línea de ‡ujo de calor cruza las dos secciones de la pared, por lo tanto se comprueba que se encuentran en arreglo en serie, para lo cual se tienen las ecuaciones 2.12,2.13. Se tendrán entonces: QAcero = QCorcho =

T3

80 C R1

RAcero =

4 C T3 R2 QT = 1;8519

RCorcho = 4C

80 C RT

10

5 C W

9;3023

0;0025m = 54 mWC 2;5m2 0;01m 0;043 mWC

2;5m2

1: 851 9

=

9;302 3

10

5 C W

10

2 C W

RT = RAcero + RCorcho = 10

2 C W

=

9;3042

10

2 C W

Por lo tanto: QT =

4 C 80 C = 816;84W 9;3042 10 2 WC

Encontrando T3 con el ‡ujo de calor para el acero. FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.

27

816;84W =

T3 80 C 1: 851 9 10

5 C W

T3 = 79;985 C Veri…cando con la ecuación del calor para el corcho se encuentra que:

QCorcho =

4 C 79;985 C = 816;84W 9;302 3 10 2 WC

2.3.2. Paredes en paralelo.

En paralelo el ‡ujo de calor no atraviesa todas las capas sino que cada una tiene su propio ‡ujo de calor (ver Figura 2 14), por lo tanto el calor que pasa a través de toda la pared será la suma de cada uno de los calores.

Figura 2-14 Diagrama para paredes en paralelo.

Escribiendo las ecuaciones de conducción para cada pared y el total se tiene:

Q1 =

T2

T1 x1 K1 A

=

T2

T1 R1

(A) : Q2 =


T3

T2 x2 K1 A

=

T3

T2 R2

(B)

28

Q3 =

T4

T3 x3 K1 A

=

T4

T3 R3

(C) : QT =

T4

T1 RT

(D)

Sabiendo que el calor total es la suma de cada uno de los calores se tiene:

Q1 + Q2 + Q3 = QT T2

T1 R1

+

T2

T1 R2

+

T2

T1 R3

=

T2

T1 RT

Luego: 1 1 1 1 + + = R1 R2 R3 RT En conclusión se puede decir que para las paredes en paralelo se tiene:

QT = 1 RT

=

X

Qi

(2.14)

X 1 Ri

(2.15)

Ejemplo 2 4: Un horno en forma de cubo como el que indica la …gura, es construido en concreto cuya conductividad térmica es 0;81W=m C, si la geometría y la diferencia de temperaturas están indicadas en la …gura, Encontrar el ‡ujo de calor que escapa por las paredes y la resistencia total del sistema. Respuesta: Como se puede observar en la …gura, hay una línea de ‡ujo de calor por cada pared del horno, lo cual corresponde al modelo presentado por las paredes en paralelo. Con el …n de realizar más fácilmente el cálculo, se desarmará el horno como lo indica la Figura 2 16. De acuerdo a la …gura se tienen 6 paredes todas con la misma geometría, por tal razón y según la ecuación 2 14 FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.

29

Figura 2-15 Diagrama para el ejemplo 2-4.

Q=6 Qpared =

Qpared KA

Rpared =

T L

L KA

Remplazando. Rpared =

0;05m = (2 2) m2

0;81 mWC

1;5432

10

2 C W

El ‡ujo de calor por pared es: Qpared =

T Rpared

=

15 C 120 C = 6804;0W 1;5432 10 2 WC

Luego el ‡ujo de calor total. Q = 6 6804;0W = 40824:W 1 1 = De la ecuación 2.15 se tiene: =6 RT 1;5432 10 2 WC FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.

388: 8 WC 30

Figura 2-16 Diagrama unidimensional para el ejemplo 2-4

RT =

2;572

10

3 C W

Comprobando el cálculo del calor total.

Qpared =

15 C 120 C = 40824:W 2;572 10 3 WC

Todos los cálculos realizados hasta el momento consideran la transferencia de calor en paredes planas, a continuación se estudiará el caso de los cilindros huecos.


31

2.4. Flujo de calor en cilindros huecos. En muchas ocasiones es necesario calcular el ‡ujo de calor en un cilindro hueco, como en el caso de las tuberías. Para poder calcular este ‡ujo de calor es necesario acudir nuevamente a la ecuación 2 1, que tomaría la forma de la ecuación 2 15.

Q=

KA

dT dr

(2.16)

Esta expresión corresponde a la representación indicada en la siguiente …gura.

Figura 2-17 Esquema para el cilindro hueco.

Como se ve en la …gura el área de transferencia de calor esta dada por A = 2 r, luego dT el ‡ujo de calor es Q = K 2 r dr Resolviendo por variables separables: FLUJO DE CALOR EN CILINDROS HUECOS.

32

Zr1

dr = r

r0

Ln

ZT1

K

Q=

=

dT

Q

T0

r1 r0

2

2 KL

(T1

T0 )

Q 2 KL

(T1 r1 Ln r0

T0 )

(2.17)

El término de resistencia para los cilindros huecos es: r1 r0 2 KL

Ln R=

(2.18)

2.5. Flujo de calor en esferas huecas. Realizando un análisis similar al anterior, ver ejercicio 2, se puede encontrar que el ‡ujo de calor esta dada por:

Q=

4 r0 r1 K (T1 r 0 r1

T0 )

(2.19)

2.6. Ecuación general de conducción La ecuación general de conducción puede ser determinada a partir de un balance de energía sobre un volumen determinado, de la distribución geométrica de las temperaturas y puede ser elaborada en una, dos o tres dimensiones. A continuación se presentarán los balances de energía por conducción en una y tres dimensiones. FLUJO DE CALOR EN ESFERAS HUECAS.

33

2.6.1. Ecuación general de conducción unidimensional. Con el …n de encontrar la ecuación general de conducción en ‡ujo de calor unidimensional, se realiza un balance de energía sobre una fracción de un bloque de materia, como se muestra en la siguiente …gura. FIGURA Diagrama de ‡ujo de calor en una pared plana. Partiendo de la ecuación general de balance de energía se tiene: Entradas

Salidas + Generacion

Consumo = Acumulacion

(2.20)

Si los ‡ujos de calor de entrada y la salida son realizados por conducción entonces: el dT jx y calor que entra esta dado por la ecuación 1-2 evaluado en x Qentra = Qx = KA dx dT jx+ x el de salida evaluado en x+ x Qsale = Qx+ x = KA dx Debido a que el balance está establecido sobre el elemento diferencial de…nido por el volumen V = yz x y con ‡ujos de energía, se debe considerar la velocidad de calor generado QG = Q yz x por unidad de volumen el cual será expresado como . Finalmente dT el calor “acumulado”2 es Q = mCp . d Remplazando en el balance general se tiene:

Qx KA

dT jx dx

Qx+ KA

x

+ QG = Qacum

dT jx+ dx

x

+Q

yz x = mCp

dT d

Expresando la masa en términos de densidad:

KA

dT jx dx

KA

dT jx+ dx

x

+Q

A x = A xCp

dT d

2

Recuerde que según la termodinámica, el calor no se acumula sino que esa energía almacenada es un cambio de entalpía denominada calor sensible.

ECUACIÓN GENERAL DE CONDUCCIÓN

34

Reordenando y tomando el límite cuando

KA

dT jx dx

KA

x tiende a cero.

dT jx+ dx

x

+Q

x 8 dT > > < KA dx jx l m x!0 > > : 0

dT KA jx+ dx x

d@KA

1

dT A dx

dx

+Q

x

A = ACp

9 > > = > > ;

A = ACp

+Q

dT d

A = ACp

dT d

dT d

Si la conductividad térmica y el área permanecen constantes se tiene:

KA

d2 T +Q dx2

A = ACp

dT d

(2.21)

Conocida como la ecuación general de conducción en una dimensión.

2.6.2. Ecuación general de conducción en tres dimensiones.

Realizando un análisis similar al anterior pero considerando entradas y salidas de calor en x; y y z, se puede encontrar que la expresión resultante es

KA

@2T @2T @2T + + @x2 @y 2 @z 2

+Q

A = ACp

dT d

(2.22)

Considerando el área constante y reorganizando la expresión puede ser escrita. n

@2T @x2

+

@2T @y 2

+

ECUACIÓN GENERAL DE CONDUCCIÓN

@2T @z 2

o

+

Q = K

1 dT K d ACp 35

Donde

K se conoce con el nombre de difusividad térmica ( ). ACp

Según las condiciones bajo las cuales se aplique la ecuación, algunos términos de esta pueden desaparecer, para el caso en el que la temperatura del alimento no cambia con el tiempo, es decir cuando el comportamiento es en estado estacionario, el término del lado derecho de la igualdad desaparece, de tal forma que la expresión es:

KA

@2T @2T @2T + + @x2 @y 2 @z 2

+Q

A=0

(2.23)

Conocida con el nombre de Ecuación de Poisson. Si además de presentarse en estado estacionario, no hay generación de energía, la ecuación es:

KA

@2T @2T @2T + + @x2 @y 2 @z 2

=0

(2.24)

Denominada Ecuación de Laplace. A continuación se estudiará el ‡ujo de calor por conducción en estado estacionario es decir cuando la temperatura no cambia con el tiempo.

2.7. Flujo de calor bidimensional en estado estacionario. o n 2 2 Para analizar el ‡ujo de calor bidimensional puede ser utilizada la ecuación @@xT2 + @@yT2 , sin embargo en la mayoría de las ocasiones resulta complicado resolver la ecuación diferencial. Por esta razón se han desarrollado métodos grá…cos que permiten reducir este problema a un sistema unidimensional como lo muestra [7] o [6]. Este método se basa en la construcción de una malla que divide el objeto de estudio en pequeños bloques que se encuentran en arreglo en serie y paralelo, facilitando el cálculo. Para trazar la malla se seguían las siguientes pautas:

FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.

36

1. Establecer el diagrama que representa el problema indicando las temperaturas del sistema y el ‡ujo de calor. 2. Se trazan líneas isotérmicas paralelas a las temperaturas. 3. Se trazan líneas de ‡ujo de calor perpendiculares a las isotermas. 4. Las distancias entre las líneas isotérmicas y las de ‡ujo de calor deben ser aproximadamente iguales. Con el …n de mostrar el análisis grá…co, suponga un horno cuadrado, con un centro cilíndrico como el que se indica en la …gura 2 19.

Figura 2-18 Diagrama ejemplo para calor bidimensional en estado estacionario

Tomando la cara frontal del horno, se seguirá el protocolo anteriormente descrito para realizar la malla. Tomando la cara frontal del horno, se seguirá el protocolo anteriormente descrito para realizar la malla. 1. Establecer el diagrama que representa el problema indicando las temperaturas del sistema y el ‡ujo de calor. 2. Se trazan líneas isotérmicas paralelas a las temperaturas. Teniendo en cuenta los lugares donde se tienen las temperaturas, es de suponer que las líneas de temperatura constante se formarán de adentro hacia afuera, inicialmente similares a un circulo y …nalmente formando el cuadro.


37

Figura 2-19 Determinación del ‡ujo de calor.

Figura 2-20 Líneas de temperatura constante.

3. Se trazan líneas de ‡ujo de calor perpendiculares a las isotermas. Por simetría se puede tomar una de las seis secciones de todo el horno. Si en el diagrama se tienen las siguientes convenciones. Tc es el delta de temperatura para un cuadro. x y para cualquier cuadro. K es la conductividad térmica. L es el largo del horno. M número de sendas de ‡ujo de calor. N número de Tc que cruzan el cuerpo. Qc es el ‡ujo de calor en un cuadro. Tomando un solo cuadro de toda la malla, se encuentra que: FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.

38

Figura 2-21 Representación de las líneas de ‡ujo de calor.

Se puede calcular el ‡ujo de calor para un cuadro a partir de la ecuación 2.1, de tal Tc forma que se tiene Qc = K xL ;si el diagrama cumple que x = y entonces y Qc =

KL Tc : T2 T1 Tc = , luego el ‡ujo de calor para un N T2 T1 KL N

Como se puede ver en el diagrama, cuadro puede ser escrito como.Qc =

Por otra parte, todas las sendas de calor se encuentran en paralelo, por lo tanto el ‡ujo T2 T1 total de calor esta dado por Qs = M Qc luego Qs = M KL Reorganizando. N ML Qs = K (T2 T1 ) N Considerando todos los aspectos geométricos (L; M; N ) y agrupándolos en un solo término denominado el factor de forma (S), …nalmente se tendrá la ecuación Qs =

KS (T2

T1 )

(2.25)

Debido a que existen geometrías como las paredes, los …los y las esquinas muy comunes en la resolución de problemas en dos dimensiones, existen ya tabulados factores de forma para esas geometrías especí…cas, como se muestra en la Cuadro 2 4. Tomado de: [7] Ejemplo 2 5. Realice el cálculo del ejercicio 2-4, considerando ‡ujo de calor en las dos dimensiones. FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.

39

Figura 2-22 Selección de la simetría en la elaboración de la malla para ‡ujo de calor en dos dimensiones.

Figura 2-23 Flujo de calor en un cuadro de a malla.

Respuesta: Retomando la geometría de la Figura 2 15, se tiene un horno de paredes cuadradas, de longitud 2m y ancho 5cm. El material tiene una conductividad térmica de 0;81W=m C, con temperatura exterior de 15 C e interior 120 C. Se puede encontrar entonces que el horno tiene 6 paredes, 12 …los y 4 esquinas. Paredes: teniendo como base el 2.4 se puede decir que: El área de la pared esta dada por la longitud del horno, restando el área de los …los y las esquinas: A = (Lhorno 4 Espesor)2 A = (2m 4 0;05m)2 = 3;24m2 FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.

40

Cuadro 2.4 Factores de forma de conducción para diferentes geometrías Sistema físico

Pared plana

Filo

Esquina

Factor de forma

S =A L

S = 0;54L L > 15 x

S = 0;15 x

Restricciones

Flujo de calor unidimensional

Temp. uniformes en la super…cie interior y exterior

Esquema

x << L L es la longd de la pared

Finalmente el calor de una pared es Qpared =

KS (T2

T1 ) =

KA (T2 L

T1 ) =

0;81 mWC

3;24m2 0;05m

(15 C

120 C)

Qpared = 5511;2W El calor por paredes:Qparedes = 6

Qpared = 6

5511;2W = 33067:W

Filos: por el 2.4 se tiene que el ‡ujo de calor es: Qf ilo =

K

0;54L

(T2

T1 )

El valor de la longitud corresponde a la longitud de la arista del horno menos dos veces el espesor de una esquina. L = Lhorno

2

Espesor = 2m

2

0;05m = 1;9m

Luego el calor de un …lo es: Qf ilo =

0;81 mWC

0;54

1;9m

Para todos los …los: Qf ilos = 12 Esquinas: por el 2.4 se tiene que

(15 C

120 C) = 87;261W

Qf ilo = 12

87;261W = 1047;1W

x = 0.05 m:


41

Figura 2-24 Esquema de las paredes, …los y esquinas del ejemplo 2-5.

Qesqu ina =

K

0;15 x

(T2

T1 ) =

0;81 mWC

0;15

0;05m

(15 C

120 C)

Qesqu ina = 0;63788W El total de esquinas es: Qesqu inas = 8

Qesqu ina = 8

0;63788W = 5;103W

El calor total es la suma del calor por paredes, …los y esquinas. Qtotal = Qparedes + Qf ilos + Qesqu inas = 33067:W + 1047;1W + 5;103W = 34119:W En comparación con el resultado obtenido del ejemplo 2-4 se tiene: Dif erencia =

QtotalEj2

5

QtotalEj2

QtotalEj2 Dif erencia =

4

100

5

34119:W 40824:W 34119:W

100 = 19;652 %

El cálculo del ‡ujo de calor en dos dimensiones con respecto a la primera aproximación discrepa en un 19;6 %


42

Ejercicios. 1. Calcular el per…l de temperaturas para una pared plana cuya conductividad térmica varía linealmente con la temperatura. 2. Demostrar que el ‡ujo de calor en una esfera hueca puede ser calculado como 2.19: 3. Si se tiene una semiesfera de radio interior rint = 1 ft y exterior rext = 1.2 ft, en donde se almacena amoniaco a –15 C. encontrar, el ‡ujo de calor si la conductividad térmica es de 1.2 Btu/(h ft F) y la temperatura exterior de la pared es de 12 C 4. Calcular el ‡ujo de calor en el siguiente esquema: a = 1 m, espesor 10 cm y K = 1 W/m C. T = 20 C


43

3. CONVECCIÓN Como se indicó en el capítulo uno la forma predominante de transferencia de calor a través de medios ‡uidos es la convección. Este mecanismo de transferencia consiste en que cuando se tiene una diferencia de temperatura dentro de un ‡uido, se produce un movimiento de partículas, las cuales también trans…eren calor de una parte del ‡uido a otra, lo cual se denomina convección. Existen dos formas de convección la primera según Manuel [11], “una super…cie se pone en contacto con un ‡uido a distinta temperatura se produce, en los primeros instantes, una transmisión de calor por conducción, pero una vez que el ‡uido en contacto con la super…cie modi…ca su temperatura sufre una diferencia de densidad respecto al resto del ‡uido, que hace que sea desplazado por éste al actuar las fuerzas gravitatorias, lo que incrementa la transferencia del calor en una magnitud muy superior al de la mera conducción.”A este tipo de convección se le conoce con el nombre de Convección natural. El segundo tipo de convección se diferencia en que el movimiento del ‡uido se debe a un mecanismo externo como agitadores, a este fenómeno se le conoce como Convección forzada. Debido a que la conducción es un mecanismo enteramente aplicado a los ‡uidos, se tienen algunos problemas para la aplicación de la ley de Fourier como son. ¿Cómo determinar la longitud de transferencia de calor? Si la velocidad de transferencia de calor esta determinada por el grado de movilidad de las partículas, ya no es posible aplicar el concepto de conductividad térmica. Con el …n de superar estos inconvenientes se estableció un coe…ciente de transferencia de calor (h) denominado coe…ciente convectivo o coe…ciente de película, de forma tal que la expresión de Fourier es expresada como:

Q = hA T

(3.1)

De tal forma que las dimensiones de h son de energía por unidad de área, tiempo y temperatura L2E T Aplicando el concepto de resistencia se puede encontrar para convección su valor esta determinado por la ecuación: CONVECCIÓN

44

R=

1 hA

(3.2)

Ejemplo 3 1:Por una tubería de acero (Kacero = 26 hfBtu ) de 2in de diámetro nominal, t F circula vapor saturado a una temperatura de 300o F . Si el tubo está recubierto con 0;5in de aislante para tubería (Kaislante = 0;051 hfBtu ) y la temperatura del ambiente es de 70o F . t F Encuentre las pérdidas de calor por pie de tubería y la temperatura sobre el aislante, si el coe…ciente convectivo del aire tiene la siguiente expresión h = 1;13 (T3 T1 )0;13 Nota: Considere que la temperatura del vapor es igual a la temperatura interna de la tubería, Respuesta: Para una tubería de acero de 2inde diámetro nominal se encuentra en la tabla 11 de la [9] que DI = 2;067in, DE = 2;38in, si el espesor del aislante es de 0;5in entonces DT = 3;38in: Analizando el sistema se encuentra que la tubería, el aislante y el aire se encuentren en serie detal forma que: QT = Qtuberia = Qaislante = Qaire QT =

T T = RT Rtuberia + Raislante + Raire

Qtuberia = CONVECCIÓN

T2 T1 T3 T2 T1 T3 ; Qaislante = ; Qaire = Rtuberia Raislante Raire 45

Rtuberia =

DT log DE log DE 1 DI ; Raislante = ; Raire = 2 Ktuberia L 2 Kaislante L hA

Remplazando los valores dados en el enunciado se encuentra que: 2;38in log 2;067in F = 8;631 2 10 4 hBtu Rtuberia = Btu 2 26 hf t F 1f t log Rtuberia =

2

3;38in 2;38in

0;051 hfBtu t F

1f t

F = 1;094 7 hBtu

Finalmente remplazando en las ecuaciones de transferencia de calor se tiene: h = 1;13 (T3 T1 )0;13 [1] 1 1 Raire = = [2] hA h 0;8848f t2 T2 300 F [3] Qtuberia = F 8;631 2 10 4 hBtu T3 T2 Qaislante = [4] F 1;094 7 hBtu 70 F T3 Qaire = [5] Raire QT = Qtuberia = Qaislante = Qaire

[6]

De acuerdo a lo anterior se tiene un sistema 6 ecuaciones con 6 variables, lo que india que es un sistema que tiene solución, sin embargo debido a la naturaleza de las ecuaciones, es difícil aplicar los métodos tradicionales de resolución. Cuando se tienen sistemas de ecuaciones con estas características se pueden aplicar varios métodos dentro de los cuales están: Ensayo y error Grá…co. Resolución por ensayo y error: Por este método se puede seguir el siguiente protocolo de cálculo. 1. Suponer T3 . 2. Calcular el coe…ciente convectivo de calor h . 3. Calcular RAire . 4. Encontrar QAire . 5. Encontrar T2 CONVECCIÓN

46

3.1. Determinación del coe…ciente convectivo. Como se indico anteriormente el coe…ciente convectivo dependerá del tipo de ‡uido, es decir de sus propiedades como densidad ( ), viscosidad ( ), capacidad calorí…ca (Cp) y conductividad térmica (K), también será función de la geometría mediante una longitud característica (L) y la el movimiento del ‡uido con una velocidad (V ). De tal forma que h = f (V; ; Cp; L; K; ), si se realiza una combinación de estas variables se puede generar la siguiente expresión. h=Va

b

Cpd

L

Kf

g

(3.3)

Remplazando las dimenciones de cada variable: E L2 T

=

L a

M b L3

E d MT

L

E LT

f

m g L

Agrupando por dimensiones se tiene: :

1=

a

f

g

[1]

E :1=d+f L:

2=a

3b +

M :0=b T :

1=

[2] f

d+g d

g

[3] [4]

f

[5]

Del anterior sistema de ecuaciones se encuentra que tiene 5 ecuaciones de las cuales 4 son linealmente independientes y 6 incógnitas, luego es necesario establecer dos variables para poder encontrar una solución. Tomando a y f como los valores …jos se puede encontrar que: De [1] g = 1 De [2] d = 1

f f

a

[6] [7]

Remplazando [6] y [7] en [4]se tiene: 0 = b

a;luego b = a [8]

DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.

47

De [3] se tiene = a

1

Remplazando los valores en la ecuación 3.3 se tiene: h=Va

a

Cp1

f

La

1

Kf

1 f a

Agrupando por exponentes se tiene: hL = K

V L

a

Cp K

1 f

Si la longitud característica es equivalente al diámetro (D) hL = K

V L

a

Cp K

1 f

(3.4)

En la ecuación 3.4 se pueden reconocer tres números adimensionales hL V L Cp , Reynolds Re = ; , Prandtl: Pr = K K Partiendo de la ecuación 3 3, varios trabajos han desarrollado expresiones que son ampliamente referenciada para calcular el número de Nussel, como las citadas en [7] y [6], a continuación se presentarán algunas. Nussel: N u =

3.1.1. Modelos para la determinación del coe…ciente convectivo en convección forzada.

Los modelos más usados para el Nu se encuentran para el ‡ujo turbulento dentro de tubos lisos, algunas correlaciones para el cálculo de Nu con porcentajes de error varían entre +25 y –40 % son: Dittus y Boelter. ([6]) N u = 0;023 Re0;8 Pr0;4 para calentamiento. N u = 0;023 Re0;8 Pr0;3 para enfriamiento. Debido a que la viscosidad dentro del ‡uido cambia con la temperatura, existen otras expresiones que introducen un término que permite evaluar dicho efecto. Colburn. ([6]) DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.

48

1

N u = 0;023 Re0;8 Pr 3 Debido a que la viscosidad dentro del ‡uido cambia con la temperatura, existen otras expresiones que introducen un término que permite evaluar dicho efecto. Seider y Tate: ([7]) 0;14

1

N u = 0;023 Re0;8 Pr 3 Donde:

w;

w

es la viscosidad a la temperatura de la pared del tubo.

Petukhov: ([7]): se encuentra dentro de las correlaciones con rangos de error más pequeños de cerca del 5 % f Re Pr 8r Nu = 2 f 1;07 + 12;7 Pr 3 8 f Re Pr 8r Nu = 2 f 1;07 + 12;7 Pr 3 8 f Re Pr 8r Nu = 2 f 1;07 + 12;7 Pr 3 8

0;14

para calentamiento. w

1

0;25

para enfriamiento. w

1

para ‡ujo de calor constante o en gases. 1

Donde:f = (1;82 log10 Re 1;64)

2

Según [7] dicha expresión debe ser trabajada dentro de los siguientes rangos: 0;08

40 w

5

103

Re

2

Pr

140

1;25

105

Para convección en ‡ujo laminar se ha encontrado expresiones como: Hausen ([6]) DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.

49

N u = 3;66 +

0;0668 1 + 0;04

d L

Re Pr

d L

Re Pr

2 3

Seider y Tate: ([7]) N u = 1;86 (Re Pr)

1 3

d L

0;14

1 3

w

Donde: L es la longitud de la tubería. D es el diámetro de la tubería. Otros modelos se pueden encontrar en: Calculation of the individual heat transfer coe¢ cient. http://www.livstek.lth.se/People_list/ulfb/b9_heat.htm Forced Convection and Natural Convection Equations http://lyre.mit.edu/3.185/2001/handout-nusselt.doc

3.1.2. Modelos para la determinación del coe…ciente convectivo en convección natural.

A diferencia de la convección forzada el número de Nussel en la convección natural es función del número de Grashof (Gr) y Prandtl (Pr), de forma tal que la expresión general es: N u = C (Gr Pr)m Como lo indica [6], los modelos para el cálculo del número de Nussel dependen en gran medida de la geometría del sistema, en la tabla 7.1 del mismo libro se indican los valores de C y m para diferentes geometrías y valores de Gr y Pr. Ejemplo 3 2: Con el …n de preparar una salmuera, como líquido de gobierno de un enlatado, se calientan 40kg=s de agua desde 5 C hasta 80 C, haciéndola pasar a través de un tubo de cobre de 5cm de diámetro interior. Si la temperatura de la pared del tubo es de 90 C y se mantiene constante ¿Cuál será la longitud del tubo? Solución: Organizando la información del ejercicio se tiene que: DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.

50

M = 4 Kg/s. D = 5 cm = 0.05 m Fluido = agua. Tf in = 80 C Tini = 5 C Tw = 90 C Debido a que el agua cambia de temperatura a lo largo de la tubería, es necesario calcular la temperatura promedio. T =

80 C + 5 C Tini + Tf in = = 42;5 C 2 2

Con el …n de determinar los valores de Re y P r se determinan las propiedades físicas del agua a la temperatura promedio Densidad: Para encontrar el valor de la densidad del agua se puede acudir a las tablas de vapor en donde se tabula el volumen especí…co para el agua a diferentes temperaturas. De Smith, Van Ness, Abbott. 2000. el volumen especí…co es de 1;0085cm3 =gr es decir = 0;9915gr=cm3 o 991;5Kg=m3 . Conductividad térmica: El mismo libro indica que el cambio de la conductividad térmica del agua con respecto a la temperatura se puede expresar como: K=

3;838

10

1

+ 5;254

10

3

T + 6;09

10

6

T2

Donde: K: es la conductividad térmica W/(m K) T: es la temperatura en K. K=

3;838

10

1

+ 5;254

10

3

(42;5 + 273;15) + 6;09

10

6

(42;5 + 273;15)2

W K = 1;8814 mK

Capacidad calorí…ca: Tomando la expresión de la capacidad calorí…ca de S Smith, Van Ness, Abbott. 2000 se tiene que: Cp = 8;712 + 1;25 J 8;314 molK

10

J Cp = 8;314 molK

8;712 + 1;25

J Cp = 75;563 Kmol

1mol 18g

3

T 10

0;18 3

10 6 T 2

(315: 65)

0;18

10

6

(315: 65)2

J = 4;1979 Kg


51

Viscosidad: Según Smith, Van Ness, Abbott. 2000, la expresión de la viscosidad para el agua es: log ( ) =

24;71 +

4;209 103 + 4;527 T

10 2 T

log ( ) =

24;71 +

4;209 103 + 4;527 (315;65) K

10

log ( ) =

0;44981

2

3;376

10 5 T 2

(315;65)

3;376

10

5

(315;65)2

= 0;63775cP = 0;063775 Kg ms Para calcular la velocidad de ‡ujo se recurre a la ecuación de continuidad M = A : Luego V =

V

M A

40 Kg s

V =

(0;05m) 4

2

991;5 Kg m3

Calculando el Re Re =

DV

= 20;546

m s

0;05m 20;546

=

m s

991;5Kg=m3

0;063775 Kg ms

= 15971:

Re > 10000 el ‡ujo es turbulento. Calculando Pr: Pr =

Cp K

=

J 4197;9 KgK

0;063775 Kg ms

J 1;8814 smK

= 142;30

Tomando la expresión de Dittus y Boelter, para calentamiento: N u = 0;023 Re0;8 Pr0;4 , se encuentra que: N u = 0;023 (15971:)0;8 (142;30)0;4 = 385;19 Sabiendo que: N u =

hD , K

entonces: h =

K Nu D

W 385;19 1;8814 mK W h= = 14494 0;05m Km2

Realizando un balance de energía se encuentra que a perdida de calor sensible del líquido debe ser igual al calor retirado por convección. M

Cp

t = hA T


52

40 Kg s

4;1979 KgJ C

hA T =

(80 C

J 14494 sKm 2

5 C) = 12594;0 Js

12594;0 Js ((90 + 273;15) K

(42;5 + 273;15) K)

= 1;82287

10 2 m2

Si el área de transferencia de calor se puede determinar como: A = 2 rL , se encuentra entonces que: 2

0;05m 2

L = 1;82287

10 2 m2

L = 0;116m


53

4. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO Partiendo de los conceptos de conducción y convección tratados anteriormente, se presentarán a continuación algunos casos para los cuales se requiere el estudio de los dos mecanismos de transferencia de calor simultáneamente, cuando el proceso se lleva a cabo en estado estacionario, en el capitulo 5 se abarcaran los casos para sistemas en los cuales la temperatura cambia con el tiempo.

4.1. Cálculo del espesor óptimo para un aislante de tubería. En muchas ocasiones el la practica de ingeniería es necesario calcular el espesor de un aislante para recubrir una tubería, tal es el caso cuando se necesita llevar vapor desde la caldera hasta el autoclave por ejemplo. Para poder realizar este cálculo se hará el siguiente análisis: Las pérdidas de calor en términos generales puede ser expresada por la ley de Fourier, la cual indica que el ‡ujo de calor es directamente proporcional a la conductividad termina, a la diferencia de temperaturas, al área de transferencia pero inversamente al recorrido del ‡ujo de calor. Sin embargo para el caso del aislante entre mayor sea el espesor, mayor será el área expuesta al aire, de tal forma que se puede intuir, que existen valores para el radio externo del aislante que lejos de disminuir la perdida de calor, logran el efecto totalmente contrario. Con el …n de realizar un análisis que permita dilucidar algún valor para el radio externo se tomara el caso mostrado en la …gura. Donde: CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO

54

Figura 4-1 Esquema para el análisis del espesor para una tubería.

T1 T1 rExt rInt Q

Es la temperatura del aire. Es la temperatura del interior de la tubería. Es el radio externo del aislante. Es el radio interno del aislante o el radio externo de la tubería. Es el ‡ujo de calor

Para este caso la pérdida de calor esta dada por dos mecanismos, la conducción en la tu2 KL (T1 T0 ) bería y el aislante, cuyo ‡ujo de calor se puede calcular como: Q = ;para r1 Ln r0 la convección el ‡ujo de calor es: Q = hA T . Como se ve en la …gura el ‡ujo de calor de la tubería esta en serie con la del aislante térmico y con la del aire luego: Como se ve en la …gura el ‡ujo de calor de la tubería esta en serie con la del aislante térmico y con la del aire luego:

CÁLCULO DEL ESPESOR ÓPTIMO PARA UN AISLANTE DE TUBERíA.

55

QT otal = QT ub = QAis = QAire RT otal = RT ub + RAis + RAire Finalmente si se compara la conductividad térmica de la tubería con la del aislante, se pude decir que KT ub >> KAis , luego RT ub << RAis , luego la resistencia total se puede expresar como: RT otal = RAis + RAire El problema se reduce entonces a calcular determinar el RExt que reduce al mínimo las perdidas de calor. Tradicionalmente este problema se ha analizado desde el punto de vista contrario, es decir, que radio produce la mayor pérdida de calor, de esta forma se estará estableciendo un parámetro que indica cual es el peor espesor del aislante que se puede utilizar. Para hacer este análisis se puede estudiar directamente el valor de la resistencia total del sistema, ya que el mínimo valor de la resistencia, arrojara el máximo ‡ujo de calor. El mínimo valor de la resistencia se calcula como sé realiza tradicionalmente en cálculo, determinando el cambio de la resistencia con respecto al rExt y luego igualándolo acero. dRT otal =0 drExt Luego: r 1 r0 + 2 KL 2h rL

Ln RT otal =

0

Derivando

r B log B B r0 B dB B 2 KL B @

dr

BUscando el mínimo: Finalmente : r =

1 C

C 1 C C + C 2h r C C A

1 2 KLr

=

1 2 KLr

1 2 hLr2

1 =0 2 hLr2

K h

Sin embargo hasta el momento se ha acotado el valor del radio de forma tal que se tiene el criterio sobre cual es el radio que no se debe usar ya que causa las mayores pérdidas de calor. CÁLCULO DEL ESPESOR ÓPTIMO PARA UN AISLANTE DE TUBERíA.

56

Pero cual es el criterio para determinar el radio óptimo de aislamiento. Las razones para su de…nición son principalmente de índole económico. En todos los procesos de producción existen los costos …jos y variables. Los primeros son aquellos que no dependen del volumen de producción, como la depreciación de quipos, los costos variables si dependen del volumen de producción, como ejemplo se puede indicar los costos dados por el consumo de combustible para la producción de vapor de esterilización. En la …gura 4-2 se presenta un esquema del comportamiento de los costos con respecto al radio exterior del aislante.

Figura 4-2 Comportamiento de los costos con respecto al radio externo del aislante.

De acuerdo con la …gura anterior el radio que se debe elegir para el aislamiento de la tubería debe ser aquel que produzca los menores costos.

CÁLCULO DEL ESPESOR ÓPTIMO PARA UN AISLANTE DE TUBERíA.

57

4.2. Super…cies extendidas o aletas. En algunas ocasiones existen equipos de transferencia de calor que necesitan grandes áreas de transferencia pero que deben ocupar poco espacio. Para poder resolver este tipo de inconvenientes, se diseñaron dispositivos encargados de aumentar el área de transferencia de calor los cuales son llamados super…cies extendidas o aletas. Las aletas que con mayor facilidad se recuerdan son las de los radiadores para calentamiento de ambientes 4-3

Figura 4-3 Radiador para ambientes

Tomado de: http://www.icanpuig.com/calefaccions.htm Tipos de aletas: Las aletas se pueden dividir así: Aletas longitudinales: aquellas que tienen el mismo sentido que la tubería.4-4(A) Aletas Transversales: aquellas que forman un ángulo de 90 grados con respecto a la tubería. 4-4(B)

SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.

58

Figura 4-4 Esquema para el tipo de aletas. (A) longitudinales. (B) transversales.

Aletas de área variable: Mantienen tanto el espesor como su longitud constantes 4-4 (A) Aletas se área variable: O el espesor o la longitud cambian. 4-4 (B) Para calcular el ‡ujo de calor en una aleta es necesario realizar un balance de energía diferencial a lo largo de ésta. Partiendo del balance general y asumiendo estado estacionario, se encuentra que: Qentrada = Qsalida Si el calor de entrada es,Qentrada = Qx y el calor de salidaQsalida = Qx+

x

Luego el balance puede ser escrito como: Qx = Qconveccion + Qx+

x

Si el calor por conducción esta dado por la ecuación 3.1, y el area de transferencia de calor es A = P x:se encuentra que Qconveccion =

h

P

x

(T1

T)

Remplazado en la ecuación de balance: Qx = Qx

h Qx+

P x

=

x h

(T1 P

T ) + Qx+ x

(T1


x

T) 59

Figura 4-5 Balance de energía para una aleta.

Pasando Qx+ lm

x al lado izquierdo y tomando el límite cuando tiende a cero, se tiene: Qx

x

=h

x

dQ =h dx

P

(T1

P

(T1

T)

T)

Como Q entra y sale por conducción d

KA dT dx =h dx

P

(T1

T)

La anterior ecuación determinará el per…l de temperaturas para una aleta con cualquier tipo de geometría. En el caso de una aleta con área constante como en la4-4 (A), se puede encontrar que:

KA

d2 T =h dx2


P

(T

T1 )

(4.1)

60

Slucionando el per…l de temperaturas para en aleta de area cosntante como en la …gura 4-6, se tiene:

Figura 4-6 Esquema para una aleta con área constante.

La ecuación 4.1 se puede expresar de la siguiente forma: KA

d2 =h dx2

Donde:

P

=T

T1

La ecuación tiene la solución general de la siguiente forma: = C1 exp

1 x AK

= C1 exp x

q

p

1 x AK

AKP h + C2 exp

Ph AK

+ C2 exp

x

q

p

AKP h o

Ph AK

Y por ser una ecuación de segundo orden las constantes deben estar de…nidas por dos condiciones, el la literatura normalmente se reconocen tres casos típicos para aletas, los cuales se explicarán a continuación. CASO I. Este caso supone que la longitud de la aleta es in…nita, lo cual implica en la práctica que el espesor de la aleta es muy pequeño en comparación a su longitud (L1 << L)y que las temperaturas son: T jx=0 = T0 y T jx=L = T1 :Ver Ejemplo 1. SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.

61

Con el …n de calcular C1 y C2 es necesario remplazar las condiciones, de la siguiente forma: Para x = 1 q q Ph Ph 1 AK (T1 T1 ) = C1 exp 1 AK + C2 exp (T1

q

T1 ) = C1 exp 1

Luago C1 = 0

Ph AK

De la segunda condición se puede encontrar que: x = 0 q Ph (T0 T1 ) = C2 exp 0 AK C2 = T0 T1 Finalmente: (T (T0

T1 ) = exp T1 )

x

r

Ph AK

!

(4.2)

CASO II. Este caso supone que la longitud de la aleta es …nita, pero se espera que el área rayada en la …gura 4-7, no sale ‡ujo de calor por conducción, es decir Q = lo cual se requiere que dT j =0 dx x=L

KA dT j = 0, para dx x=L

Figura 4-7 Representación del esquema de la aleta para el caso 2.


62

Partiendo de estas condiciones de frontera se puede establecer por un procedimiento similar al anterior que la expresión del per…l de temperatura esta determinada por: p Ph p Ph exp x AK exp x AK (T T1 ) p Ph + p Ph = 1+exp L AK +1 exp 2 AK (T0 T1 ) Que puede ser expresada como:

(T (T0

T1 ) = T1 )

cosh

q

Ph AK

(L

q

cosh

x) (4.3)

Ph L AK

CASO III. El caso tres es el que se aproxima más a la realidad, ya que supone que en la pared rallada de la …gura 4-7, el ‡ujo de calor por conducción se iguala al ‡ujo de calor por convección, de tal forma que: Q =

KA dT j = dx x=L

hA (T1

T)

El per…l de temperaturas está dado entonces por: (T (T0

T1 ) = T1 )

cosh

q

Ph AK

cosh

(L q

x) + Ph L AK

+

p Phh

K AK h

p Ph

AK

K

sinh sinh

q q

Ph AK

(L

x) (4.4)

Ph L AK

Partiendo de los tres casos anteriores es posible evaluar el ‡ujo de calor disipado por una aleta, de dos formas diferentes: La primera reconoce que el calor que disipa una aleta, entra por conducción en el extremo donde x = 0, luego el calor total es: Q =

KA dT j dx x=0

La segunda forma consiste en indicar que todo el ‡ujo de calor que disipa una aleta es liberado por convección, luego será la suma de todos los ‡ujos de calor por convección R x=L en la super…cie de la aleta: Q = x=0 hP (T1 T ) dx. A continuación se realiza el procedimiento para el caso I por ambos métodos. Caso I. Partiendo de la ecuación4.2 se puede decir que SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.

63

T = (T0

T1 )

T1 T0 T1

+e

T1 T0 T1

T1 )

p

KA dT dx

Si se asume que :Q = d (T0

x

1 Ph AK

jx=0 y m =

hP AK

xm

+e

= mT1 e

dx Evaluado en x = 0 se tiene: Por tanto: Q =

q

mx

mT0 e

dT jx=0 = mT1 dx

q Ph KA AK (T1

T0 ) o Q =

mT0 p

KAP h (T1

Mediante el segundo procedimiento se tiene que: p 1 R1 Q= 0 hP T1 (T0 T1 ) T0T1T1 + e x AK P h R1 Q= 0 hP T1 (T0 T1 ) T0T1T1 + e xm dx R1 Q = hP (T0 T1 ) 0 e mx dx Q = hP (T0

T1 )

Q = hP (T0

T1 )

Q = hP (T0

T1 )

1 m 1 m

(e

m1

m0

e

mx

T0 )

dx

)

( 1)

p1P h q AK

Q = hP (T0 T1 ) KA Ph p Q = hpKA (T0 T1 )

Finalmente se encuentra que de ambas formas: p

T1 )

hP KA (T0

T1 ) tanh (mL)

Q=

hpKA (T0

(4.5)

Por cualquiera de los procedimientos anteriores pero para los casos II y III se encuentra que: Caso II. Q=

p

(4.6)

Caso III SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.

64

Q=

p

hP KA (T0

"

h sinh (mL) + mK cosh (mL) T1 ) h cosh (mL) + mK sinh (mL)

#

(4.7)

Con el …n de evaluar la e…ciencia de la aleta se establece la siguiente relación:

=

Calor real transferido por la eleta Máximo calor transferido por la aleta

En donde el calor real es determinado por las ecuaciones 4.5, 4.6 y 4.7, que están soportadas sobre el per…l de temperaturas y el calor máximo se encontrara cuando la toda la super…cie de la aleta este a la temperatura T0 , ya que la diferencia de temperaturas en todos los puntos será la mayor que se puede tener. Qmax = hP L (T0

T1 )

Por tanto para cada caso se tiene: Caso I. p hP KA (T0 T1 ) q KA = = hP L2 hP L (T0 T1 ) Caso II p

hP KA (T0

=

T1 ) tanh

hP L (T0

T1 )

q

hP L KA

=

q

AK L2 P h

tanh L

q

1 Ph AK

Caso III p =

hP KA (T0

T1 )

sinh cosh

p hP L pAK hP AK

h + mK cosh

h L + mK sinh

p hP L p AK hP AK

L

3 qhP L (T0 T1 ) q hP h hP L + mK cosh L 7 AK AK 1 6 sinh q q q 5 4 h hP hP hP L + sinh L L cosh AK mK AK AK

=

2

Para analizar cada uno de los modelos y compararlos entre sí, se pueden realizar los per…les de temperatura para cada caso, variando la longitud de la aleta, que se encuentra en la …gura 4-8. Del análisis de las gra…cas anteriores se puede encontrar que: SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.

65

Cuadro 4.1 Per…les de temperatura para diferentes relaciones de longitud/espesor para aletas

L1 = 0;002m Caso I Caso II Q =208;7W = 26;06 Q =76;4W = 0;95

L = 0;002m Caso III Q = 83;2W = 0;95


L = 0;002m Caso III Q = 83;2W = 0;95



66

L = 0;02m Caso III Q = 139;3W = 0;984

Figura 4-8 Representación esquematica para la comparación de los per…les de temperatura en una aleta.

o De…nición de una aleta in…nita: Como se puede ver en la tabla los per…les de temperatura para el caso I solo se parece al caso III (El caso más real), cuando la altura L1 de 0.002 m es 80 veces más pequeño que el largo, con lo cual se puede determinar un criterio para la de…nición de una aleta in…nita. o Flujo de calor para cada caso: Para el caso I el ‡ujo de calor siempre es el mismo, ya que al considerar longitudes in…nitas, no se tiene realmente encuenta el efecto de la longitud sobre el calor disipado. Los casos II y III se diferencian en considerar la transferencia de calor por convección en el área rayada, la cual sera depreciable cuanto mayor longitud tenga la aleta, por tal razon a longitudes altas, el ‡ujo de calor para estos dos casos se iguala (…gura E). o E…ciencia de la aleta para el caso cero: Se puede ver que para las tres ultimas …guras el valor de la e…ciencia es máyor de 1, para el caso I, sin embargo al ver los per…les de temperatura estos distan mucho de los modelos que más se aproximan a la realidad. o Relación de la e…ciencia y la longitud: Comparando los valores de las e…ciencias con respecto a la longitud de la aleta, se encuentra que al aumentar la longitud, disminuye el valor de la e…ciencia, esto debido a que se tendrá una mayor área para la aleta que realmente no está trans…riendo un ‡ujo de calor importante debido la poca diferencia de temperatura que hay con el ambiente. Esto se puede observar claramente en el per…l E, donde a partir de una longitud de 0.12 m, la temperatura de la aleta es prácticamente la del ambiente. Con los modelos también se puede analizar el efecto del valor de la relación entre la conductividad térmica y el coe…ciente convectivo, como se muestra en la siguiente tabla. Figura SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.

67

Del análisis de las gra…cas anteriores se puede encontrar que: o Descenso en la temperatura: en la grá…ca A todos los per…les de temperatura coinciden, esto debido a que al tener una conductividad térmica muy baja, el calor que pierde por conducción es mucho mayor que el se puede transmitir al interior de la aleta, de tal forma que la longitud poco importa. o Comparación de los per…les: Se puede observar que a medida que aumenta el valor de la conductividad térmica, los per…les de cada uno de los casos discrepan más, en especial el caso I del II y III. Eso se puede explicar debido a que con conductividades térmicas altas, el calor por conducción es mucho mayor al que se puede disipar por convección. o E…ciencia: Al aumentar la conductividad térmica, la e…ciencia aumenta ya las temperaturas en la super…cie de la aleta serán más cercanas al To y por ende el calor se acercara al máximo calor que se puede disipar.


68

5. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN REGIMEN NO ESTACIONARIO En algunas ocasiones, como se indicó anteriormente la transferencia de calor implica un cambio en la temperatura de los alimentos o materiales con el tiempo, como es el caso de la esterilización de alimentos en un autoclave o la evaporación o concentración en una marmita. En este capitulo se estudiará básicamente los per…les de temperatura que se pueden obtener al interior de un alimento durante un tratamiento térmico.

5.1. Determinación del per…l de temperaturas de un alimento. Con el …n de establecer la variación de la temperatura al interior de un alimento, que se encuentra en un ambiente cuya temperatura es constante, se debe acudir a la ecuación general de balance de energía.2.22. Teniedo encuenta que el termino de Q tiene:

KA

@2T @2T @2T + + 2 @x2 @y 2 @z

= ACp

dT d

A = 0;se

(5.1)

Haciendo el análisis para solo una dimensión espacial y la temporal se encuentra que dT = dx2 d

d2 T

Dicha ecuación diferencial puede ser solucionada para el caso de una placa calentada o enfriada, como la mostrada en la …gura 5-1, mediante la siguiente expresión 5-3

CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN REGIMEN NO ESTACIONARIO

69

Figura 5-1 Esquema para una placa calentada por convección.

T Ti Donde: Los valores de

n

X T1 = e T1 n=1 1

2 nF o

2 sin ( n ) cos n Lx n + sin ( n ) cos ( n )

están determinados por la expresión. cot (

n)

(5.2)

=

n hL K

=

n

Bi

F o es el número de Fourier T es la temperatura evaluada en cualquier punto al interior del alimento y en cualquier tiempo. T1 es la temperatura del medio. Ti es la temperatura inicial de la placa. X es la posición al interior del la placa. Lc es la la distancia del centro a la super…cie de la placa. Como se presenta en múltiples libros de transferencia de calor, (Karlecar y Manrique) se pueden determinar los valores de n , encontrando los puntos de corte entre las siguientes dos funciones, G (

n)

= cot (

n)

yF(

n)

=

n

Bi

, como se muestra en la siguiente …gura:

DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO.

70

Figura 5-2 Determinación de los valores de

n

para diferentes valores de Bi.

De la …gura se pueden encontrar que: 1. Los valores de aumentan a medida que aumenta n de tal forma que: < 3 < 4 < .... 2. En la medida en que Bi tiende a cero, los valores de 1 tienden a cero.

1

<

2

Para estudiar la forma del per…l de temperaturas con respecto al número de Biot, se puede establecer la relación , la cual muestra diferencia de temperaturas entre la super…cie de la placa y el medio, con respecto a la temperatura en el centro de la placa y el medio, partiendo de la 5.2 se puede establecer que:

TL; T0;

1 X

T1 = n=1 1 X T1 n=1

e e

2 nF o

2 nF o

2 sin ( n ) cos ( n ) n + sin ( n ) cos ( n ) 2 sin ( n ) n + sin ( n ) cos (

(5.3)

n)

Para calcular los valores de la ecuación 5.3 para diferentes valores del número de Biot, DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO.

71

se puede realizar una aproximación con los primeros cinco valores de la serie, los valores de se encuentran en la tabla . De la …gura 5-3 se puede encontrar que el cambio entre la temperatura super…cial y la del centro para valores de Bi menores a 0.1, son inferiores al 5 %, lo cual demuestra que no hay un cambio signi…cativo en las temperaturas al interior de la placa, por el contrario cuando el número de Biot tiende a in…nito la diferencia interna de temperaturas es muy alta en comparación de la diferencia entre la temperatura super…cial y la del medio.

Figura 5-3 Valores de la ecuación 5.3 para diferentes números de Biot

Del análisis anterior se puede que el parámetro más importante para de…nir el per…l de temperaturas dentro de un alimento es el número de Biot. Para interpretar mejor el concepto del número de Biot, se puede estudiar el balance de energía, sobre la super…cie de un alimento, el cual indica que le calor que entra o sale del alimento por convección debe ser igual al que se transmite por conducción en la super…cie del mismo, como lo indica la siguiente ecuación:

hA (T1

T ) = KA

T L

(5.4)

Donde: T es le cambio de temperatura al interior del alimento. DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO.

72

Cuadro 5.1 Valores de lamda para diferentes números de Biot Bi 1 2 3 4 5 0,0000125 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293 12,6453 0,000025 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 12,6060 0,00005 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 12,5823 0,0001 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 12,5743 0,0025 0,2218 3,1574 6,2911 9,4301 12,5703 0.005 0,1575 3,1495 6,2872 9,4274 12,5684 0.01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 12,5672 0,025 0,0707 3,1432 6,2840 9,4253 12,5668 0,05 0,0500 3,1424 6,2836 9,4250 12,5666 0,1 0,0100 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664 0,2 0,0071 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664 0,5 0,0050 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664 1 0,0035 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664 5 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928 12,9352 10 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003 13,2142 20 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117 13,5420 50 1,5400 4,6202 7,7012 10,7832 13,8666 100 1,5552 4,6658 7,7764 10,8871 13,9981 200 1,5630 4,6889 7,8149 10,9409 14,0669 500 1,5677 4,7030 7,8383 10,9736 14,1090 1000 1,5692 4,7077 7,8461 10,9846 14,1230 2000 1,5700 4,7100 7,8501 10,9901 14,1301 5000 1,5705 4,7114 7,8524 10,9934 14,1343 10000 1,5706 4,7119 7,8532 10,9945 14,1358 50000 1,5708 4,7123 7,8538 10,9954 14,1369


73

A el área super…cial del alimento. h es el coe…ciente convectivo del medio de calentamiento o enfriamiento. K la conductividad térmica del alimento. L el recorrido del ‡ujo de calor dentro del alimento T es la temperatura del alimento. T1 es la temperatura del medio. De la cual se puede encontrar la relación entre el cambio en la temperatura interna del alimento con respecto a la diferencia de temperaturas entre el medio y la super…cie Lh T (T1 T ); que esta relación puede ser expresada como = :El término de la K (T1 T ) izquierda es número de Biot. Retomando lo estudiando hasta el momento, dependiendo del número de Biot, se tendran procesos en los que el alimento no presente un per…l de temperatura en su interior y otros en los cuales si se encuentren cambios importantes.

5.1.1. Procesos para números de Biot menores a 0.1

Cuando no existen per…les de temperatura se encuentra que todo el calor que llega por convección es transformado en calor sensible, como lo indica la siguiente expresión. dT = hA (T1 T ) d La expresión se puede escribir como: mCp dT + hA (T d

(5.5)

mCp

Realizando un cambio de variable de forma tal que (T hA = 0 Bajo la condición que

= 0;

=

Separando variables se tiene: plazando la condicion inicial

0

d

=

T1 ) = 0 T1 ) =

0

hA d cuya solución es: mCp

:por ende mCp dd +

hA = C1 e mCp Rem-

= C1 :

hA = e mCp en terminos de la temperatura.

Finamente se encuentra que 0

(T (T0

hA T1 ) = e mCp T1 )


(5.6) 74

Cuadro 5.2 Ecuaciones diferenciales parciales para calentamiento o enfriamiento en una dimensión espacial y una temporal, según el sistema de coordenadas Sistema Coordenado Ecuación diferencial n 2 o Cartesianas KA @@xT2 = ACp @T @ Cilíndricas Esféricas

KA KA

1 @ r @r 1 @ 2 r @r

r @T @r r2 @T @r

= ACp @T @ = ACp @T @

Ejemplo 5 1: Para escaldar papa se utiliza vapor a100 C, si la temperatura inicial de la papa es de 10 C y el diámetro de la papa es de 4cm. Encontrar la temperatura de la papa transcurridos 7 minutos. Solución: Tomando las propiedades de la papa en [5]. Cp = 3;43kJ=kg C, K = 1;1W=mK, =

Falta 5.1.2. Procesos para números de Biot mayores a 0.1

Para este tipo de procesos, se debe resolver la ecuación diferencial parcial del sistema, como se muestra en la tabla La solución de dichas ecuaciones son: Tomado [21] De estas ecuaciones Heissler elaboro las gra…cas que llevan su nombre, las cuales se presentan en las …guras 5-4 a 5-9 Bibliogra…a Stiel, L. I., and G. Thodos, AIChE J., 10 (1964): 26. Stiel, L. I., and G. Thodos, AIChE J., 10 (1964): 275. Stiel, L. I., and G. Thodos, AIChE J., 7 (1961): 611.


75

Cuadro 5.3 Ecuaciones diferenciales parciales para calentamiento o enfriamiento en una dimensión espacial y una temporal, según el sistema de coordenadas Tx; T1 Coordenado n T0; T1 1 X 2 sin ( n ) 2 Cartesianas cos n Lx e ( n F o) cot ( n ) = n + sin ( ) cos ( ) Bi n n n=1 n 1 X 2J1 ( n ) J0 ( n ) 2 r Cilíndricas J02 n rmax e ( n F o) = n 2 2 [J ( ) + J ( )] J ( ) Bi 1 n n n 0 1 n=1 n Esféricas

1 X 2 (sin ( n=1

n

n)

sin (

(

n ) cos ( n ))

n ) cos (

n)

cos

n

r rmax

r n

e (

)

2Fo n

tan (

n) =

n

Bi

1

rmax


76

Bibliografía [1] Andrieu, J. Gonnet, E. y Laurent, M. 1987. Intrinsic thermal conductivities of basic food components. High Temp. High Press. 19:323-330. [2] Adiutori. E. 2005. "Fourier. Is this French mathematician the true father of modern engineering?",. Mechanical Engineering. http://www.memagazine.org/contents/current/features/fourier/fourier.html. Consultado Agosto 2005. [3] Bird R, Lightfoot E y Stewart W. 2002. Transport phenomena. Second edition. John Wiley & Sons, Inc. [4] Fonseca, V. López, D. Leal, J. et. all. 2002. Operaciones en la industria de alimentos I. Universidad Nacional Abierta y a distancia. [5] Hayes, G. 1987. Manual de datos para ingeniería de alimentos. Acribia S.A. España. [6] Holman. J. P. 1987. Transferencia de calor. Compañía editorial continental, S.A. México. [7] Karlekar 1982. Transferencia de calor. Mc Graw Hill. México. [8] Keey, R. 1972. Drying: Principles and practice. Pergamon Press. New York. [9] [10] Lewis. T. Nielsen, D. 1970. Dynamic mechanical propierties of particulate …lled polymers, J. Appl. Polym. Sci, 14: 1449. [11] Monroy. M. 2004. Transmisión de calor. http://editorial.cda.ulpgc.es/ambiente/1_calor/4_transm/a143.htm. [12] Marú M. 2004. Determinación de coe…cientes convectivos de transferencia de calor natural y forzada para aletas radiales en agua y agua de mar. Universidad de las Américas, Puebla Escuela de Ingeniería. [13] Murakami, E. Okos, M. 1986. Predicting the thermal conductivity of dry porous foods. ASAE Paper 86-6538. [14] Perry. 1999. Chemical Engineer’s Handbook. Mc. Graw Hill. [15] Prausnitz. J, Poling. B, O’Conell. J. 2001. Properties of gases & liquids. 5 edición. Mc Graw Hill. [16] Salamanca, G .G *.; Pérez F. C. 2004. Propiedades térmicas de mieles de algunas mieles de Apis mellifera de las zonas de Boyacá consociaciones de bosque BIBLIOGRAFÍA

77

seco montano bajo y bosque húmedo montano bajo. Departamento de Química -Universidad del Tolima. Escuela de Ciencias Químicas Universidad pedagógica y Tecnológica de Colombia. http://www.apicultura.com/articulos/salamanca/capacidad_calori…ca_miel.htm [17] Sing, R. Rotstein, E. Valentas, K. 1997. Handbook of food engineering practice. CRC Opress. [18] Sparkmuseum. 2004. Ohm´s Law 1827. http://www.sparkmuseum.com/BOOK_OHM.HTM. Consultado julio de 2005. [19] Telaviv University 2005. Thermal conductivity of Gases. http://www.tau.ac.il/~phchlab/experiments/Thermal_conductivity/. consultado en Julio 2005. [20] Vesovic, V.2001. Prediction of the Thermal Conductivity of Gas Mixtures at Low Pressures International. Journal of Thermophysics, Vol. 22, No. 3 [21] Hermida B. 2000. Fundamentos de ingeniería de procesos agroalimentarios. MundiPrensa. 320.

BIBLIOGRAFÍA

78

Índice alfabético Balance de energía, 21 Calor, 6 Flujo de, 8 Tipos de, 7 eléctrico, 7 latente, 7 reacción, 7 sensible, 7 Velocidad de transferencia de, 13 Coe…ciente convectivo, 47 Estimacion Colburn, 48 Hausen, 49 Petukhov, 49 Seider y Tate, 49, 50 Conducción bidimencional, 36 en esferas huecas, 33 en tuberias, 32 Factores de forma en 2D, 39 Generalidades, 8 Velocidad de transferencia de, 13 Conductancia, 8 Conductividad térmica, 13, 16 Alimentos, 18, 19 Gases, 18 Líquidos, 17 Sólidos, 16 Convección, 44 Forzada, 8, 44, 48 Generalidades, 8 Natural, 8, 44, 50

Flujo de ‡uidos, 9 Flujo eléctrico, 9 Fourier, 11, 13 Laplace Ecuación de, 36 Ley Fourier, 13 Ohm, 10 Número de Grashof, 50 Nussel, 48, 50 Prendtl, 48 Reynolds, 48 Número de Biot, 74 Ohm George, 9 Paredes Compuestas, 24 paredes en paralelo, 24, 28 paredes en serie, 24 Poiseuille Jean-Louis Marie , 9 Poisson Ecuación de, 36 Radiación Generalidades, 8 Temperatura, 6 Per…l de, 13, 21

Energía, 6 Estado estacionario, 36 79

PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR - avalon.utadeo.edu.co

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