ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I
PROF. IBERÊ
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¾ TEOREMA DE CASTIGLIANO
Onde :
δ =∫
⇒
a) Cálculo da Flecha
M o ⋅ M1 ⋅ dx E⋅I
δ – flecha Mo – momento fletor devido ao carregamento externo M1 – momento fletor devido a uma carga unitária locada no ponto onde se deseja conhe-
cer a flecha . E – módulo de deformação / elasticidade longitudinal do material I – momento de inércia da seção transversal No exemplo abaixo , calcularemos a flecha no ponto B , conforme o esquema estático dado : 3,0 kN/m
– viga auxiliar com carregamento unitário : 1,0 kN
A
B A
2,0 m
B 2,0 m
E , I → constantes
– diagramas de momento fletor Mo e M1 : 2,0
6,0 kN.m
Mo
kN.m
M1
– utilizando a tabela de Kurt Beyer para integral de duas funções :
∫ M o .M 1.dx =
s.i.k 2.6.2 = =6 4 4
– cálculo de δB por Castigliano :
δB = ∫
M o ⋅ M1 1 1 ⋅ dx = .∫ M o ⋅ M 1 ⋅ dx = ⋅6 E⋅I E⋅I E⋅I
b) Cálculo do Giro
⇒
ϕ =∫
M o ⋅ M1 ⋅ dx E⋅I
∴δ B =
6 E⋅I
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Onde :
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ϕ – giro Mo – momento fletor devido ao carregamento externo M1 – momento fletor devido a um momento unitário locado no ponto onde se deseja co-
nhecer o giro . E – módulo de deformação / elasticidade longitudinal do material I – momento de inércia da seção transversal No exemplo abaixo , calcularemos o giro no ponto B , conforme o esquema estático dado : 3,0 kN/m
A
– viga auxiliar com carregamento unitário :
1,0 kN.m
B A
2,0 m
B 2,0 m
E , I → constantes
– diagramas de momento fletor Mo e M1 : 6,0
1,0 kN.m
Mo
kN.m
M1
– utilizando a tabela de Kurt Beyer para integral de duas funções :
∫ M o .M 1.dx =
s.i.k 2.6.1 = =4 3 3
– cálculo de ϕB por Castigliano :
ϕB = ∫
M o ⋅ M1 1 1 ⋅ dx = .∫ M o ⋅ M 1 ⋅ dx = ⋅4 E⋅I E⋅I E⋅I
c) Cálculo do Giro Relativo Onde :
⇒
ϕR = ∫
M o ⋅ M1 ⋅ dx E⋅I
ϕ – giro relativo Mo – momento fletor devido ao carregamento externo
∴ϕ B =
4 E⋅I
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M1 – momento fletor devido a momentos relativos unitários locados no ponto onde se deseja conhecer o giro relativo E – módulo de deformação / elasticidade longitudinal do material I – momento de inércia da seção transversal No exemplo abaixo , calcularemos o giro no ponto B , conforme o esquema estático dado : 3,0 KN/m
A
C
B 2,0 m
4,0 m
E , I → constantes
Observação : existe uma articulação na estrutura no ponto B .
– cálculo reações na estrutura articulada : 3,0 kN/m
A
6,0 kN
3,0 kN/m
+
B
C
B 6,0 kN
2,0 m
6,0 kN 4,0 m
– diagramas de momento fletor Mo : Trecho AB
Trecho BC
6,0
1,0
Mo
kN.m
M1
kN.m
+ 6,0
12,0
Mo
kN.m
– viga auxiliar com carregamento unitário :
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MRA = 1,5 kN.m 1,0 kN.m A
1,0 kN.m C
B
RVA = 0,25 kN 2,0 m
∑ M Bdir = 0 ∑ FV = 0
⇒ ⇒
∑ M Besq = 0
RVC = 0,25 kN 4,0 m
− 1 + 4.RVC = 0 R VA − RVC = 0
⇒
⇒ ⇒
R VC = 0,25 KN R VA = 0,25 KN
+ 1 + 2.RVC − M RA = 0
⇒
M RA = 1 + 0,5 = 1,5 KN.m
– diagramas de momento fletor M1 : Trecho BC
Trecho AB 1,5 1,0 kN.m
Mo
1,0 kN.m
M1
– utilizando a tabela de Kurt Beyer para integral de duas funções : trecho AB :
∫ M o .M 1.dx =
s.i.(3.k1 + k 2 ) s.i.(2.k1 + k 2 ) 2.6.(3.1,5 + 1) 2.12.(2.1,5 + 1) + = + = 21,5 12 6 12 6
trecho BC :
∫ M o .M 1.dx = −
s.i.k 4.6.1 =− = −8 3 3
– cálculo de ϕRB por Castigliano :
ϕ RB = ∫
M o ⋅ M1 1 1 ⋅ dx = .∫ M o ⋅ M 1 ⋅ dx = ⋅ (21,5 − 8) E⋅I E⋅I E⋅I
∴ϕ RB =
* Observação : nos exercícios acima são utilizadas as seguintes tabelas : TABELA 01 – Integral de duas funções ( Kurt Beyer ) TABELA 02 e 03 – Reações e Momentos para vigas bi-apoiadas isostáticas simples
13,5 E⋅I
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¾ Diagrama de carga modificado Em algumas situações, dentro do método dos esforços, será interessante a utilização do diagrama de carga modificado na resolução do exercício, de modo a transformar trechos em balanço por um conjugado formado por uma carga e um momento que represente o trecho , tal qual vemos nos exemplos abaixo : 6,0 kN
3,0 kN/m
≡
C A
6,0 kN.m A
B
2,0 m
3,0 kN/m
B 4,0 m
4,0 m
FC = q.A b = 3, 0.2, 0 = 6, 0 kN
–
M C = q.A b .
Ab 2, 0 = 3, 0.2, 0. = 6, 0 kN.m 2 2
10,0 KN/m
5,0 KN
10,0 KN/m 5,0 KN
≡
C A
B
A
3,0 m
FC = F = 5, 0 kN
4,0 KN.m B
0,8 m
–
4,0 m
M C = F .A b = 5, 0.0,8 = 4, 0 kN.m 1,5 m
3,0 m
3,0 m 6,0 kN
5,0 kN
4,0 kN
5,0 kN
8,0 kN/m
C A
57,0 kN.m A
3,0 m
B 8,0 m
FC = F1 + F2 + q.A b = 6, 0 + 4, 0 + 8, 0.3, 0 = 34, 0 kN M C = F1.x + F2 .A b + q.A b .
34,0 kN
≡
B 8,0 m
8,0 kN/m
Ab 3, 0 = 6.1,5 + 4, 0.3, 0 + 8, 0.3, 0. = 57, 0 kN.m 2 2
