ESTÁTICA DEC - COD 3764 I - 2007
Resumo das notas de aula do professor. Adaptação do material de vários professores, e do livro “Mecânica vetorial para engenheiros”, Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976. JDNC - 2007
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1 Morfologia das estruturas 1.1 Definição de estrutura Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante.
P
P
P
P
Viga
Pilar Fundação
Fundação
Pilar Fundação
1.2 Classificação das estruturas Definição de componentes de uma estrutura Os componentes de uma estrutura são chamados de elementos, barras ou membros estruturais, que devem ser capazes de receber e transmitir esforços. Podem ser: •
Unidimensionais: Vigas, pilares, barras, travessas, colunas etc.
•
Bidimensionais: Folhas: as lajes e as paredes.
•
Tridimensionais: Sólidos, blocos etc.
1.2.1 Classificação quanto aos elementos estruturais •
Estruturas reticuladas (compostas de barras): Vigas, pórticos planos e espaciais, treliças planas e espaciais, grelhas, etc. As barras são os elementos em que uma das dimensões é bastante maior que as outras duas, as dimensões da seção são nitidamente menores que a extensão da sua linha central. Barras de forma prismática são retas e de seção constante.
•
Estruturas de superfícies (folhas): placas (lajes) e Chapas (paredes, vigas paredes). As folhas são os elementos em que uma das dimensões é bastante menor que as outras duas, a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. As placas recebem cargas normais ao seu plano e as chapas na direção de seu plano.
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•
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Estruturas de volume: Blocos de fundação, barragens de gravidade etc. São os elementos tridimensionais em que as dimensões são de mesma ordem de grandeza.
Para caracterizar os elementos veja alguns exemplos de dimensões usuais (em centímetros): •
Reticuladas Pilar de concreto: 15x15x300, viga de concreto: 12x40x400, Treliça: 2x4x120
•
Superfícies Laje: 300x400x10, Parede: 300x260x12
•
Volumétricas Bloco de fundação: 50x120x50
Vigas
Pórticos
Treliças
Grelhas Vigas
Laje Lajes
Parede, viga parede
Pilar
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1.2.2 Vinculações dos sistemas planos. Sistema plano: todos os elementos são rigidamente vinculados a um plano, isto é, podem se movimentar apenas nas direções contidas neste plano, e todas as forças, ativas e reativas são aplicadas neste plano (isto é uma idealização, não existe na realidade).
Vamos esclarecer um pouco melhor os elementos estruturais para podermos relacioná-los: •
Barra: tem a função estática de transmitir força e a função geométrica de determinar as distâncias de seus pontos extremos.
•
Chapa: tem a função estática de transmitir qualquer esforço e a função geométrica de determinar a posição relativa de vários de seus pontos.
•
Nó: é uma articulação em que são juntadas várias barras pelas suas extremidades;
•
Vínculos: são apoios e articulações pelos quais são unidas as chapas entre si ou, no caso dos apoios, à “chapa terra”.
No sistema plano uma chapa tem 3 graus de liberdade, ou seja, pode se movimentar, se deslocar de três formas: 2 translações (eixos x e y) e uma rotação. Os vínculos têm a função de impedir os deslocamentos em uma determinada direção. Veja a figura (a) abaixo, onde uma viga AB é solicitada por uma carga inclinada P no ponto C. A carga P pode ser decomposta em suas componentes horizontais (Ph) e verticais (Pv) aplicadas no ponto C. Na forma em que se apresenta, esta chapa é solicitada verticalmente, de cima para baixo e, horizontalmente, da direita para a esquerda. Para que a chapa esteja em equilíbrio são necessárias reações verticais e horizontais. Observe que o esquema proposto na figura (b) equilibra apenas as forças horizontais e verticais e a chapa ainda pode girar no sentido horário. As figuras (c) e (d) mostram a chapa em equilíbrio, sendo que em (c) o equilíbrio é mostrado pelas “reações de apoio” e em (d) pelos símbolos que representam estas reações de apoio. Ph P A
C
Ph RAh
Pv
P C
B RAv
a)
Ph Pv
RAh B
P
P
Pv
C RAv
b)
Ph
RBv c)
A
C d)
Pv B
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Para representar a vinculação de uma “chapa” à outra chapa, ou à “chapa terra” são usados símbolos para representar as vinculações ou apoios. Na tabela abaixo os traços fortes ou as zonas hachuradas e os traços finos as barras vinculares.
Nome do vínculo
Símbolo
Representação por barras vinculares
Nº graus de mobilidade retirados pelo vínculo
Apoio móvel
1
de 1º gênero Apoio fixo
2
Articulação entre 2 chapas (de 2º gênero) Engastamento fixo
3
Engastamento móvel
2
Articulação
4
Entre 3 chapas Articulação Entre
n
1
_____
2 (n-1)
2
n chapas
O apoio móvel (1º gênero) impede apenas um deslocamento, no caso, o deslocamento vertical e permite o deslocamento horizontal e rotação (giro) em torno do apoio. O apoio fixo (2º gênero) impede dois deslocamentos, o vertical e o horizontal e permite a rotação (giro) em torno do apoio O engastamento (3º gênero - considera-se o fixo quando não for especificado) impede os deslocamentos verticais e horizontais e a rotação (giro) em torno do apoio.
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1.2.3 Classificação das estruturas quanto ao equilíbrio estático. a) Estruturas ISOSTÁTICAS Todos os esforços internos e externos podem ser determinados com a aplicação das equações de equilíbrio estático: Σ Fx = 0, Σ Fy = 0 e Σ M(i) = 0. b) Estruturas HIPERESTÁTICAS Quando não é possível a determinação de todos os esforços externos e internos apenas com a aplicação das equações das equações de equilíbrio da Mecânica Geral recorre-se a equações de compatibilidade das deformações. Incógnitas hiperestáticas (ou redundantes): são os esforços externos ou internos que existem a mais do que aqueles que podem ser determinados com as equações de equilíbrio. Hiperestaticidade externa: é o número de reações de apoio superior a três. Hiperestaticidade interna: é o número de incógnitas hiperestáticas supondo conhecidas todas as reações. Ocorre em geral quando um conjunto de barras não todas articuladas entre si, formam uma poligonal fechada. Hiperestaticidade total: é a soma da externa mais a interna.
c) Estruturas HIPOSTÁTICAS Quando o número de vínculos é insuficiente.
1.2.3.1 Graus de Estaticidade - Treliças Uma estrutura composta de barras e nós (os vínculos podem ser representados por barras) é uma treliça. Chamando de b o número de barras e n o número de nós (apoio móvel substituído por uma barra e o fixo por duas) tem-se: b < 2n
treliça indeterminada ou móvel
b = 2n
treliça isostática
b > 2n
treliça hiperestática
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A expressão b = 2n é necessária, mas não suficiente para a determinação geométrica de uma treliça Existem “casos excepcionais” em que as treliças apresentam mobilidade apesar de verificada a expressão b = 2n. Os casos mais simples de excepcionalidade podem ser reconhecidos intuitivamente e os mais complexos, através do determinante dos coeficientes do sistema de equações de equilíbrio ∆ = 0 (bastante trabalhoso).
a)
b)
c)
d)
Observe que são necessárias 3 vinculações de apoio, portanto, internamente → bint = 2n - 3
Barras de apoio - bap Barras internas - bint Número de nós - n b-2n= bap – 3 =
a) 3 7 5 10-2x5 = 0 (2+1) – 3 = 0 Isostática
b) 3 11 7 14-2x7 = 0 (2+1) – 3 = 0 Isostática
c) 4 19 10 23-2x10 = 3 (2+2) – 3 = 1 Hiper. ext. e int
d) 3 16 9 19-2x9 = 1 (2+1) – 3 = 1 Hiper. Int. 1 x
Observe que a treliça (d) é uma vez hiperestática internamente, ou seja, tem uma barra a mais. Para que a treliça seja internamente determinada (isostática), vamos considerar uma treliça base, sem os vínculos de apoio, composta por 3 barras e 3 nós. A este triângulo podemos acrescentar outros nós, porém, sempre vinculados a duas barras. As treliças que formarmos através deste processo serão internamente isostáticas. Veja a construção da treliça (d) abaixo.
F 8 9 1 A
3
4
B 2
D 5
C
12
6
7 E
11 10
Um nó com duas barras. Como está é isostática.
H 13
15 14
Coloque a barra que falta e I será 1 vez hiperestática
G
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1.2.3.2 Graus de Estaticidade - Chapas Vigas e pórticos:
g e = NVA − 3
(NVA = Número de vínculos de apoio)
g e = NVA − 3 − ( NCLR − 1)
Quando houver rótulas internas NCLR = Nº de chapas ligadas à rótula
NVA = 3, ge = 0
NVA = 4, ge = 1
NVA = 3, NCLR = 2 , ge = -1
Isostática
Hiperestática
Hipostática
NR = 3, ge = 0
NR = 3, ge = 0
NR = 4, ge = 1
Isostática
Isostática
Hiperestática
NVA = , NCLR = _____stática
, ge =
NVA = , NCLR = _____stática
, ge =
NVA = , NCLR = _____stática
, ge =
NVA = , NCLR = _____stática
, ge =
NVA = , NCLR = _____stática
, ge =
Uma viga sobre duas colunas Quais são as vinculações?
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Estruturas espaciais: Sistema tridimensional de eixos ortogonais No sistema plano as entidades (forças, deslocamentos etc.) estão contidas neste plano. No sistema espacial, dado por um sistema ortogonal x, y e z, as entidades podem atuar nas três direções. y
z
x y
Sistema plano
x Sistema espacial
No sistema tridimensional um ponto pode ter seis deslocamentos (seis graus de liberdade): três translações (nas direções x, y e z) e três rotações (em torno os eixos x, y e z). Na figura abaixo o pórtico espacial tem, entre outros, os seguintes tipos de apoios:
Articulação espacial (apoio fixo)
z
Apoio simples/fixo x
Apoio simples espacial Engaste espacial
y
Articulação espacial: impede as 3 translações e permite as 3 rotações:
GL = 3.
Apoio simples espacial: impede 1 translação e permite as 3 rotações:
GL = 4.
Apoio simples/fixo espacial: impede 2 translações e permite as 3 rotações:
GL = 5.
Engaste espacial: impede as 3 translações e as 3 rotações:
GL = 0.
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3.2 – Estruturas aporticadas A maneira mais simples de se determinar o grau de hiperestaticidade de estruturas aporticadas é a técnica da árvore. A árvore é uma estrutura em balanço, ou seja, engastada na terra (engastamento dado através das raízes = três vínculos) e com galhos (barras) ligadas por nós rígidos sem formar “anel”, isto é, sem fechar. Como a árvore é isostática, deve-se procurar através de trocas e retiradas de vínculos transformar a estrutura em uma ou várias árvores separadas. Quando estiver formando um “anel”, há necessidade de abrir o anel através de um corte. Uma
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chapa ao ser cortada perde três barras vinculares, que transmitiam N, Q e M. Uma barra interna articulada nas extremidades ou um tirante ao ser cortado perde apenas uma barra vincular. Cada articulação para se transformar em nó rígido precisa receber mais uma barra vincular. Após transformar a estrutura em uma ou várias árvores, o número de barras vinculares retiradas que não foram repostas para transformar as eventuais articulações em nós rígidos, é o grau de hiperestaticidade. Externamente o grau de hiperestaticidade é o número de barras vinculares que supera três.
