CRIPTOGRAFIA: UM TEMA GERADOR PARA OS CONTEÚDOS

CRIPTOGRAFIA: UM TEMA GERADOR PARA OS CONTEÚDOS MATEMÁTICOS NO ENSINO FUNDAMENTAL Clarissa de Assis Olgin Universidade Luterana do Brasil, Brasil [email protected] Claudia Lisete Oliveira Groenwald Universidade Luterana do Brasil, Brasil [email protected] RESUMO Este artigo apresenta uma Engenharia Didática com o tema Criptografia, para o desenvolvimento de atividades didáticas, que aliem os conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental a esse tema e, que incentivem o manuseio de Calculadoras Científicas, no Ensino de Matemática. Hoje, a Criptografia é utilizada em auditorias eletrônicas, na autenticação de ordens eletrônicas de pagamento, no código de verificação do ISBN, nos navegadores de Internet, entre outras situações do cotidiano. O objetivo geral foi investigar o tema Criptografia e suas aplicações através da história, aplicando uma sequência didática elaborada a partir desse tema no Currículo de Matemática do Ensino Fundamental. Para isso, foi elaborada uma sequência didática dirigida à 8ª série, do Ensino Fundamental, utilizando os seguintes conteúdos matemáticos: expressões algébricas de grau 2, porcentagem, operações com frações, divisibilidade e operações com números naturais. A metodologia utilizada foi a Engenharia Didática, caracterizada pelas suas quatro fases, as análises preliminares, a concepção e análise a priori das situações didáticas, a experimentação e a análise a posteriori e validação. Os resultados apontam que o tema Criptografia possibilita o desenvolvimento de atividades didáticas para exercitar e revisar

V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 28 a 31 de outubro de 2012, Petrópolis, Rio de janeiro, Brasil

conteúdos desenvolvidos em sala de aula, através de atividades de codificação e decodificação, envolvendo os conteúdos matemáticos.

Palavras-chave: Educação Matemática, Engenharia Didática, Criptografia. ABSTRACT This paper presents a Didactic Engineering with the theme Cryptography for the development of didactic activities that cover mathematics contents taught in Basic Education the theme and that promote the use of scientific calculators in the teaching of Mathematics. Today, cryptography is used in electronic audits, in the authentication of electronic payment orders, ISBN verification codes, Internet browsers and other daily applications. This paper had for general objective to investigate the theme Cryptography and their applications through the history, applying a didactic sequence elaborated to leave of that theme in the Curriculum of Mathematics of the Fundamental Teaching. For that, a didactic sequence was elaborated driven to 8th series of the Basic Education, using the following mathematical content: algebraic expressions of degree 2, percentage, operations with fractions, divisibility and operations with natural numbers. Didactic Engineering was the methodology used in this investigation, characterized by its four phases, preliminary analyses, a priori conception and analyses, experiment and a posteriori analysis and validation. The results obtained indicate that the theme Cryptography allows developing didactic activities that put to practice and review contents developed in the classroom based on activities involving coding and decoding actions and mathematics contents.

Keywords: Mathematical Education, Didactic Engineering, Cryptography. 1

Introdução O ponto de referência do processo de ensino e aprendizagem, da Matemática,

deve ser a abordagem de assuntos de interesse do aluno, que estimulem a curiosidade e que desencadeiem um processo que permita a construção de novos conhecimentos. A Matemática se torna interessante para a aprendizagem quando desenvolvida de forma

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integrada e relacionada a outros conhecimentos, e o tema Criptografia apresenta-se como gerador de situações didáticas que permitem o aprofundamento dos conteúdos desenvolvidos no Ensino Fundamental. Este artigo apresenta uma Engenharia Didática com o tema Criptografia para o desenvolvimento de atividades didáticas para o Currículo de Matemática do Ensino Fundamental. Segundo Tamarozzi (2001), este tema permite ao professor de Matemática desenvolver atividades didáticas de codificação e decodificação, para revisar, reforçar e aprofundar os conteúdos matemáticos desta etapa do Ensino Básico. 2

Criptografia: história e aplicações O nome Criptografia vem das palavras gregas kriptós que significa escondido,

oculto e graphein que significa escrita (SINGH, 2003). A Criptografia é denominada de arte ou ciência de escrever em códigos (TAMAROZZI, 2001), de forma a permitir que somente o destinatário a decifre e compreenda. Para Shokranian (2005), enviar uma mensagem em código pode servir para dois objetivos, que são: enviar uma mensagem secreta e proteger o conteúdo da mensagem contra pessoas não autorizadas. Ao longo da história, foram criados mecanismos de codificação, denominados códigos, cifras e senhas usados para manter o segredo das mensagens a serem enviadas. Uma das primeiras formas de codificar foi o Citale Espartano (SINGH, 2003), que era um aparelho criptográfico militar, que consistia em um bastão de madeira, onde se enrolava uma tira de couro e se escrevia a mensagem em todo o comprimento desse bastão, conforme figura 1.

Figura 1: exemplo de Citale Espartano.

A cifra monoalfabética, caracterizada pela substituição de uma letra por outra ou por um símbolo, era outra opção utilizada para criptografar uma mensagem. Uma das primeiras cifras monoalfabéticas, utilizada por Júlio César, servia para fins militares e consistia em substituir cada letra da mensagem original por outra que estivesse três casas à frente no mesmo alfabeto. Esse método de Criptografia ficou conhecido como Cifra de César.

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Para codificar utilizando a Cifra de César deslocam-se no alfabeto original três casas, conforme apresentado na figura 2:

Figura 2: quadro do método de substituição utilizado por Júlio César. Fonte: Adaptado de Singh (2003, p.27) Utilizando a figura 2 e considerando como texto original a frase “MATEMÁTICA É PARA VIDA”, tem-se o seguinte texto cifrado: “PDWHPDWLFDHSDUDYLGD”, de onde foram retirados os espaços entre as palavras para dificultar a decodificação. Como a Cifra de César era de substituição de letras, facilmente decodificada por criptoanalistas por apresentar 26 chaves em potencial, a solução encontrada no século XVI, foi a cifra polialfabética, criada pelo diplomata francês Blaise Vigenère, denominada Cifra de Vigenère e que seguia o mesmo princípio da Cifra de César, porém eram utilizados 26 alfabetos cifrados para codificar e decodificar uma mensagem, conforme mostra a figura 3.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

A A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

B B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A

C C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B

D D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

E E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D

F F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E

G G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F

H H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G

I I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H

J J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I

K K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J

L L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K

M M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L

N N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M

O O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N

P P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O

Q Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P

R R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q

S S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

T T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S

U U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

V V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

W W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V

X X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W

Y Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X

Z Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y

Figura 3: quadro de Vigenère. Fonte: Singh(2003, p. 66) Segundo Singh (2003), para codificar uma mensagem pelo Quadro de Vigenère, primeiramente, escolhe-se uma palavra-chave, por exemplo: FLOR. A frase a ser codificada será “LUCIANA ADORA ROMÃ”.

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Para codificar a mensagem, temos que escrever a palavra-chave quantas vezes forem necessárias, pois cada letra da palavra FLOR equivale a uma letra na frase, conforme apresentado na figura 4.

Figura 4: exemplo do uso da Cifra de Vigenère. Para codificar as letras da frase, é necessário usar a linha correspondente à letra da palavra-chave relacionada. Para “F”, por exemplo, usaremos o alfabeto da linha 5, assim, o primeiro “L” da frase será traduzido como “Q”. Para “L”, usaremos a linha 11 e o “U” seria traduzido como “F”. Assim, a frase codificada ficará conforme a figura 5.

Figura 5: exemplo do uso da Cifra de Vigenère.

Outro exemplo de Cifra de substituição monoalfabética, foi a Cifra do Chiqueiro utilizada pelos maçons livres para guardar seus segredos (SINGH, 2003). A cifra consiste em substituir uma letra por um símbolo, seguindo o padrão apresentado na figura 6.

Figura 6: exemplo do padrão utilizado pela Cifra do Chiqueiro.

A codificação da Cifra do Chiqueiro é realizada encontrando a posição da letra em uma das quatro grades da figura 6 e desenhando a porção da grade que representa a letra a ser codificada, por exemplo, a letra E corresponde ao símbolo

.

Em 1918, foi introduzido o ADFGVX, uma cifra de guerra que se acreditava dar maior segurança às mensagens a serem enviadas, pois se tratava de uma cifra de substituição e transposição. Foi utilizada pelos alemães, que acreditavam fosse imbatível, mas o criptoanalista Georges Painvin quebrou a Cifra ADFGVX e descobriu onde os alemães atacariam (SINGH, 2003). As letras ADFGVX foram escolhidas


porque quando traduzidas para os pontos e traços do código Morse diminui a possibilidade de erros durante a transmissão. A Cifra ADFGVX para codificar utiliza uma grade 6x6, preenchida com 36 quadrados, onde se coloca as 26 letras do alfabeto e 10 algarismos. Na primeira linha e coluna colocam-se as letras A, D, F, G, V e X, conforme figura 7.

Figura 7: quadro da Cifra ADFGVX.

Inicia-se a codificação pegando cada letra da mensagem a ser enviada, localizando a sua posição na grade, e substitui-se pelas letras da linha e da coluna, por exemplo, d será substituído por AG. Uma mensagem codificada por esta cifra ficará conforme a figura 8.

Figura 8: exemplo de codificação da Cifra ADFGVX.

Para cifrar a letra L, localiza-se sua posição na grade e se substitui pelas letras que estão na sua linha e coluna, como mostra a figura 9.

Figura 9: exemplo de codificação da Cifra ADFGVX.

De acordo com Singh (2003), com o avanço da Criptografia, Alberti foi o criador da primeira máquina criptográfica, o Disco de Cifras (figura 10). São dois discos de

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cobre, um maior que o outro, com as letras do alfabeto fixas ao longo dos discos, onde uma letra do texto normal se transformava em outra letra no texto cifrado.

Figura 10: exemplo de Disco de Cifras. Um dos códigos, utilizados nos dias atuais, é o “Código de verificação ISBN” (International Standard Book Number). Este código é escrito como quatro blocos de dígitos separados por hífens ou por espaços em branco. Lendo-se da esquerda para a direita, o primeiro bloco identifica o país, a área ou a área da língua entre os participantes, o segundo bloco identifica as editoras daquele grupo e o terceiro bloco é o número atribuído pela editora para a obra. O último bloco consiste em um único dígito de 0 a 9 ou um X, que representa a10. Sendo os 9 primeiros dígitos do ISBN: a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9. Para calcularmos o dígito verificador do código ISBN, utilizamos a seguinte fórmula:  i(ai ) mod 11 . Para encontrar o dígito verificador do código ISBN 9

 i 1



852440124-X, procede-se da seguinte forma: 9   i(ai ) mod 11  X=  i 1

X= [1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + 4.a4 + 5.a5 + 6.a6 + 7.a7 + 8.a8 + 9.a9] mod11 X= [1.8 + 2.5 + 3.2 + 4.4 + 5.4 + 6.0 + 7.1 + 8.2 + 9.4] mod11 X= [8 + 10 + 6 + 16 + 20 + 0 + 7 + 16 + 36] mod11 X= 119 mod 11 X= 9 Assim, o dígito verificador é 9. Constata-se, através dos exemplos mostrados, no decorrer da história, que o tema Criptografia vem sendo utilizado para fins militares e pessoais. No Brasil, segundo Terada (1988), se tem utilizado a Criptografia para proteger os sistemas eletrônicos e as informações sigilosas, contra modificações e falsificações dos dados eletrônicos no país.

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Neste contexto, pode-se perceber que a Criptografia é um tema que possibilita o desenvolvimento de atividades didáticas (TAMAROZZI, 2001), que podem ser desenvolvidas no Ensino Fundamental, que levem os alunos a aprimorarem seus conhecimentos, levando-os a adquirirem as habilidades e competências de resolver problemas, criar estratégias de resolução, autonomia durante o processo de aprendizagem, com isso, tornando-os mais autoconfiantes e concentrados na realização das atividades e buscando interligar os conteúdos matemáticos às situações do mundo real (GROENWALD; FRANKE, 2008). Para Tamarozzi (2001), o tema Criptografia estimula a curiosidade dos estudantes, permitindo a construção de novos conhecimentos, através de atividades de codificação e decodificação. Atividades de códigos, senhas e cifras permitem que as aulas de Matemática se tornem mais atrativas, pois, conforme Cantoral et al. (2003), este tema pode ser um recurso motivador, o qual permite ao professor desenvolver atividades didáticas que proporcionem aulas que despertem a atenção e o interesse dos alunos para os conteúdos trabalhados. O professor de Matemática pode trabalhar com o educando, em sala de aula, a utilização do tema Criptografia através do planejamento de uma sequência didática de atividades com códigos e senhas para aplicação no Ensino Básico. Nesse trabalho foi desenvolvida uma sequência didática para a 8ª série do Ensino Fundamental. 3

Objetivos da investigação O objetivo geral foi investigar o tema Criptografia e suas aplicações através da

história, aplicando uma sequência didática elaborada a partir desse tema no currículo de Matemática do Ensino Fundamental. Para alcançar o objetivo geral foram traçados os seguintes objetivos específicos: investigar o tema Criptografia, através de uma ampla revisão bibliográfica em livros, anais de congressos, periódicos, internet, etc.; pesquisar atividades didáticas para o Ensino Fundamental com o tema Criptografia; desenvolver uma sequência didática com atividades utilizando códigos e senhas; realizar um experimento com alunos do Ensino Fundamental com a sequência desenvolvida. 4

Metodologia da Investigação A metodologia de pesquisa adotada foi a Engenharia Didática, que é composta por

quatro fases consecutivas, que se dividem em: análises preliminares; concepção e

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análise a priori; aplicação de uma sequência didática e a análise a posteriori e validação (ARTIGUE; DOUADY; MORENO, 1995, p.38). Dentro da pesquisa em Engenharia Didática, na fase das análises preliminares, é realizada a análise do objeto em estudo, ou seja, é feito um referencial teórico que irá fundamentar o projeto. Nessa fase, o educador deve levar em consideração as constatações empíricas, concepções do aprendiz e compreender as condições nas quais será exposta a experiência. Nessa fase da pesquisa, também se deve levar em consideração: A análise epistemológica dos conteúdos contemplados pelo ensino; a análise do ensino atual e de seus efeitos; a análise da concepção dos alunos, das dificuldades e dos obstáculos que determinam sua evolução; a análise do campo dos entraves no qual vai se situar a efetiva realização didática (MACHADO, 2008, p. 238).

O levantamento dessas questões deve considerar o objetivo da pesquisa, pois o pesquisador deve ter clareza sobre o que realmente deseja pesquisar (MACHADO, 2008). Com relação à pesquisa, na fase das análises preliminares, foi realizada uma pesquisa bibliográfica, com o propósito de investigar o tema Criptografia, sua história e aplicações. Essa fase foi um estudo exploratório, buscando aliar a Criptografia e os conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental. Segundo Artigue, Douady e Moreno (1995), na fase da concepção e análise a priori, delimitam-se as variáveis didáticas. Nessa fase, buscou-se determinar e compreender as variáveis didáticas, buscando uma relação do conteúdo de Matemática do Ensino Fundamental com as atividades propostas que levem o aluno a adquirir conceitos relevantes sobre o tema. De acordo com Artigue, Douady e Moreno (1995), as análises a priori apresentam uma parte descritiva e uma parte de previsão, referente à situação adidática que se pretende aplicar. Isso é reforçado por Machado (2008), o qual afirma que análise a priori. Nesta fase, realizou-se o desenvolvimento da sequência didática com o tema Criptografia. Na fase de experimentação, realizou-se a aplicação da sequência didática que buscou aliar o tema proposto aos conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental. Na fase das análises a posteriori, foram analisados os dados da aplicação da sequência didática, obtidos através dos seguintes recursos: observação direta do pesquisador, questionários aplicados nos alunos participantes do experimento, análise

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dos registros desses alunos. Através da análise, pretende-se identificar e mostrar a realidade da produção dos alunos no desenvolvimento da sequência didática. A validação foi o processo de verificação dos objetivos pré-estabelecidos no projeto, comparados com a confrontação dos resultados obtidos nas análises a priori e a posteriori que, segundo Machado (2008), possibilita ao professor/pesquisador avaliar a sua proposta metodológica. 5

Fases da Engenharia Didática com o tema Criptografia

Apresentam-se a seguir as quatro fases da Engenharia Didática envolvendo o tema Criptografia. 5.1

Fase das Análises Preliminares Segundo Pais (2005), para as análises preliminares, é necessária a referência de

um quadro teórico, sobre o qual o pesquisador fundamenta suas principais categorias. Considera, também, que, para melhor organizar a análise preliminar, é recomendável proceder a uma descrição das principais dimensões que definem o fenômeno a ser estudado e que se relacionam com o sistema de ensino. As análises preliminares foram realizadas através de pesquisa em livros didáticos, artigos de congressos, revistas da área de Matemática, buscando aplicações e atividades didáticas do tema em estudo para o Ensino Fundamental. Nessa fase, também foi realizada a análise de artigos: Revista do Professor de Matemática (RPM), Educação Matemática em Revista – RS, Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (RELIME), livros didáticos, Banco de Questões das Olimpíadas Brasileiras de Matemática, dissertações de mestrado e artigos de anais de congresso e seminários. Como exemplo, das atividades pesquisadas na fase de análises preliminares temse a análise referente ao livro didático “Matemática em construção”, do autor Oscar Guelli, publicado pela editora Ática, em 2004, que apresenta o tema em estudo e suas aplicações ao longo da história. Após as atividades para introduzir o tema, tem-se atividades didáticas que aliam o tema aos conteúdos matemáticos de expressões algébricas. A atividade explorada nesse artigo é o Código de Viète (figura 11). Na atividade, o autor desenvolve o conceito de expressões algébricas, na forma de exercícios, através do tema Criptografia em atividades de descoberta que envolve letras que correspondem a números.

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Os espanhóis estavam desnorteados. Tinham acabado de entrar em guerra com a França, e bastava um mensageiro espanhol ser preso para que as mensagens secretas espanholas fossem imediatamente decifradas pelos inimigos. “Os franceses têm um pacto com o demônio”, murmurava-se. Mas, na verdade, era um inteligente advogado francês, que mais tarde se tornaria um grande matemático. Seu nome: François Viète (1540-1603). Naquela época era comum nas guerras entre dois países que as mensagens secretas fossem escritas com números substituindo letras, para confundir o inimigo:

Para decifrar estas duas mensagens secretas, substituímos os números por letras, até formar frases que tenham significado (=significa é):

Ana é médica

Pablo é jornalista

Viète gostou tanto de decifrar as mensagens secretas que resolveu levar essa ideia para a Matemática, mas fazendo exatamente o contrário: passou a escrever mensagens matemáticas com letras substituindo os números. Por exemplo:

Assim, as expressões b + 3, c + y e c – b + y representam, de acordo com os valores do quadro, os seguintes números naturais: b+3=6+3 c + y = 18 + 25 c – b + y = 18 – 6 + 25 b+3=9 c + y = 43 c – b + y = 12 + 25 c – b + y = 37 (GUELLI, 2004, p.45-46).

Figura 11: exemplo de atividades de Criptografia.

Nesta fase, também, buscou-se observar se as atividades que relacionam o tema aos conteúdos matemáticos se constituíam de desafios, problemas ou exercícios. 5.2

Fase da Concepção e análise a priori A fase da concepção e análise a priori foi o planejamento e organização da

sequência didática, onde as atividades propostas apresentavam aplicações do tema Criptografia, através de atividades envolvendo Cifra de César, Cifra do Chiqueiro e a Cifra ADFGVX. Também, apresentou atividades envolvendo os conteúdos matemáticos de múltiplos, divisores, porcentagem, operações com frações, expressões algébricas de grau 2, potenciação e radiciação, pois dentre os abordados no Ensino Fundamental observou-se que o tema em estudo permite explorar esses conteúdos e suas propriedades, de forma a revisar e ampliar os conhecimentos dos alunos para os mesmos, em atividades didáticas de codificação.

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Na fase da concepção e análise a priori, também, se determinou as variáveis microdidáticas da pesquisa, que foram o tema Criptografia envolvendo códigos e senhas e os conteúdos de Matemática do Ensino Fundamental. Nessa fase, procurou-se desenvolver atividades didáticas que relacionassem os conteúdos matemáticos ao tema proposto. A seguir apresenta-se, um exemplo de atividade didática envolvendo o tema Criptografia e os conteúdos de múltiplos, divisores, porcentagem e operações com frações, onde se propõe um alfabeto codificado, onde: A é o quádruplo de E, B é o dobro de 75% de A, C é E elevado ao 0

quadrado adicionado da

3

1 5 125 , D é a raiz cúbica de A subtraída de  :  , E é a terça 2 7

5 7 7  parte de I, F é 20% de U adicionado de  :  , G é um meio de U subtraído de , H é 4  4 16  a raiz quadrada de G adicionada de oitava parte de J adicionada de

3 , I é o dobro de O, J é o quíntuplo de B, K é a 4

3 , L é o dobro de 25% de I adicionado de 4

1 1   , M é  4 5

K elevado ao quadrado subtraído de G elevado ao quadrado, N é 15% de M adicionado de

13 , O é a quinta parte de U, P é 40% de N adicionado da 20

3

216 , Q é E elevado ao 125

quadrado multiplicado por E elevado a quinta potencia dividido por E elevado ao cubo, R é F elevado na menos 1 dividido por F elevado na menos 3, S é 33% de Q 1

7 D 1  1  multiplicado por , T é (K + G) . , U é o resultado da expressão   . 3   8 E 5  27  2

2

M B D é , W é     , X é T I  E

1

,V

2

O 4 . O8 O D  Q  O , Y é  G   .  , Z é . Em N N O9  2

seguida, solicita-se que o estudante descubra o valor de cada letra e crie uma mensagem para outro colega decodificar. Assim, foi desenvolvida uma sequência didática, para a fase da experimentação, que propusesse aos alunos atividades com códigos e senhas aliados aos conteúdos matemáticos. A sequência didática elaborada com códigos e senhas para o Ensino Fundamental, que foi utilizada na fase de experimentação, seguiu as seguintes etapas: introdução do tema Criptografia através de uma abordagem histórica, realizada pela professora/pesquisadora; resolução de aplicações do tema em estudo ao longo da


história; resolução de atividades didáticas com o tema presente em livros didáticos do Ensino Fundamental; e resolução de atividades didáticas que aliam o tema em estudo aos conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental. 5.3

Fase da Experimentação O experimento foi aplicado em uma turma da 8ª série do Ensino Fundamental da

Escola Estadual de Ensino Fundamental no Bairro Santo Afonso, no município de Novo Hamburgo, no Rio Grande do Sul, no turno da manhã, em dois períodos a cada dia, totalizando 16 horas aula, no período de setembro a outubro de 2009. A turma era formada por 35 alunos, sendo 16 do sexo feminino e 19 do sexo masculino, na faixa etária entre 14 e 19 anos. Nesta fase, foram explicados aos alunos os objetivos e as condições necessárias para a realização do experimento e foi aplicada a sequência elaborada, conforme a figura 12.

1ª Aula

2ª Aula 3ª Aula

4ª Aula 5ª Aula 6ª Aula 7ª Aula 8ª Aula

AULAS DA FASE DA EXPERIMENTAÇÃO Foram distribuídas as apostilas com as atividades didáticas envolvendo o tema Criptografia e os conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental. Nesta aula os alunos organizaram-se em grupos para realização das atividades. Em seguida, introduziu-se a história da Criptografia e foram desenvolvidas as atividades envolvendo Cifra de César e a Cifra do Chiqueiro. Os alunos realizaram as atividades envolvendo a Criptogramas, cujo objetivo era revisar e reforçar o conteúdo matemático de aritmética. Na terceira aula os alunos iniciaram a atividade de codificação e decodificação envolvendo o conteúdo de potenciação, radiciação e as quatro operações no Conjunto dos Números Naturais. Foram aplicadas as atividades didáticas com códigos e senhas utilizando o conteúdo de operações com frações, cujo objetivo era revisar e reforçar o conteúdo abordado. Aplicação e resolução das atividades didáticas envolvendo o conteúdo de múltiplos, divisores, porcentagem e operações com frações. Os alunos realizaram a atividade didática de codificação envolvendo o conteúdo de expressões algébricas de grau 2. Deu-se prosseguimento a atividade didática de codificação envolvendo expressões algébricas de grau 2. Foram discutidas as atividades didáticas propostas com o tema Criptografia e os conteúdos abordados na sequência proposta.

Figura 12: desenvolvimento das aulas da fase de experimentação. 5.4

Fase da análise a posteriori e validação Nesta fase foram analisados os dados obtidos na fase de experimentação. Na

atividade didática envolvendo o tema Criptografia e suas aplicações ao longo da história, pode-se constatar que os alunos compreenderam a proposta das atividades e conseguiram resolvê-las, o que se pode observar na resolução do grupo C, na figura 13.

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Resolução do grupo C Para cifrar utilizando a Cifra de César, o grupo utilizou a tabela dada na atividade e escreveu a frase a ser codificada em cima e abaixo escreveu o texto codificado.

Figura 13: exemplo da resolução da atividade da aula 1.

Também, pode-se observar que os alunos se concentraram na resolução das atividades, envolvendo a utilização da Calculadora HP 35s, pois era necessário que eles conhecessem esse recurso, conforme figura 14, onde dois alunos do grupo f estão tentando resolver uma atividade, utilizando a Calculadora HP 35s.

Figura 14: imagem dos alunos resolvendo as atividades.

Observou-se, ainda, que em várias atividades, tiveram que formular hipóteses e verificá-las. Por exemplo, na atividade de codificação utilizando o algoritmo da divisão, “doce dividido por do”, foram formuladas várias hipóteses até conseguirem chegar à resposta, conjecturando quais números poderiam ser as iniciais das palavras para o algoritmo se verificar, conforme a resolução do grupo A na figura 15.

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Resolução do grupo A Quais são os algarismos? (Sabendo-se que cada letra representa algarismos distintos e que letras iguais representam o mesmo algarismo) DOCE DO TIO Sabe-se que DO dividido por DO é igual a 1, portanto T vale 1. Logo, D é maior que 1, porque T é igual a 1. Então, o grupo atribuiu para D o valor 2 e para O o valor 3, obtendo DO = 23.

Para encontrar CE o grupo sabia que O é igual a 3 e que DO é igual a 23, então eles multiplicaram DO por O para saber o valor de E.

O grupo realizando a multiplicação encontrou-se o valor numérico das letras, onde C = 6 e E = 9. Se questionando sobre o valor da letra I, os alunos resolveram a divisão, com isso encontrando o valor da última letra.

Figura 15: exemplo de resolução de atividade do grupo A.

As atividades que foram aplicadas com o uso da Calculadora oportunizaram aos alunos adquirirem conhecimentos sobre esse tipo de tecnologia. Além disso, permitiu que a explorassem e a utilizassem melhor, como exposto na resolução do grupo C na figura 16.

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esolução do grupo C Para encontrar o valor da letra A o grupo resolveu da seguinte forma na Calculadora Científica HP 35s: 2

A é igual a

1  2 1    .  5  5 2

Primeiro apertaram a tecla do parêntese para esquerda

, em seguida digitaram 1

, depois apertaram a tecla da potência

 5 apertaram a tecla da seta

e em seguida, apertou a tecla do

algarismo 2 e da operação de adição, apertaram novamente a tecla do parêntese 1  2 e apertaram a tecla

e digitaram 2  5 x

.

Como a Calculadora estava programada para dar o valor em número decimal, os alunos tiveram a oportunidade de aprender a transformar o número decimal em fração utilizando a Calculadora Científica 35s, da seguinte forma: Após obter o valor decimal os alunos apertaram a tecla da seta amarela

ea

tecla / c

.

, para voltar ao número decimal, apertavam a tecla da seta azul

e a tecla

Figura 16: exemplo da atividade de codificação com frações e o uso da Calculadora HP 35s. Importante observar que os alunos não demonstraram dificuldades no uso da Calculadora HP 35s. Durante a aplicação da sequência, pode-se observar que o tema além de desenvolver os conteúdos matemáticos, possibilitou que os alunos se mostrassem mais concentrados nas atividades (figura 17), diminuindo, assim, a agitação da turma, o que pode ser constatado no comentário do grupo F.

Figura 17: comentário do grupo F.

Ainda pode-se observar que um grupo auxiliava o outro, conforme a figura 18, onde um aluno do grupo G estava ajudando os colegas do outro grupo.

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Figura 18: imagem dos alunos utilizando a Calculadora HP 35s. As atividades da sequência didática apresentaram diferentes graus de dificuldades, que os alunos foram conseguindo superar, a cada etapa, desenvolvendo formas de resolução diferenciadas, como se observa na resolução da atividade envolvendo o conteúdo de expressões algébricas de grau 2, conforme figura 19. Resolução do grupo E Para resolver a atividade didática envolvendo códigos com expressões algébricas de grau 2, os alunos perceberam que para encontrar o valor das letras era só substituir a incógnita x pelo número da letra a ser codifica, então a Calculadora Científica se tornou um recurso facilitador na resolução dessa atividade. Para codificar a letra F, encontraram o valor numérico da letra na tabela dada, onde F era igual a 6. E digitaram na Calculadora 6 e apertaram a tecla

apertaram na operação de subtração e em seguida a

tecla do parêntese e digitaram 3  2, em seguida apertaram a tecla da seta para direita e em seguida apertaram a tecla da operação de multiplicação e o algarismo 6, seguido da operação de adição, apertaram novamente a tecla do parênteses e digitaram 1 obter o resultado.

 4 e apertaram a tecla enter

para

Após realizar esse processo para a palavra FLOR, o grupo percebeu que não precisava sempre digitar tudo novamente, pois poderiam andar pelo visor utilizando as teclas para direita depois apertando a tecla clear letra desejada.

e para esquerda

,

para apagar o número da letra anterior para colocar o número da

Figura 19: exemplo da resolução da atividade 6. A sequência ainda apresentou diferentes atividades envolvendo os conteúdos matemáticos trabalhados no Ensino Fundamental. Na atividade didática da aula 5 os alunos se mostram entusiasmados em descobrir o valor das letras, pois eles acharam interessante a forma de resolução da atividade, onde uma letra leva a outra, conforme resolução do grupo G na figura 20.


Resolução do grupo G O grupo começou a atividade tentando encontrar o valor numérico da letra A, mas para isso precisavam saber o valor numérico da letra E, mas a letra E necessitava do valor numérico da letra I e a letra I precisava do valor numérico da letra O e a letra O levava ao valor numérico da letra U, como a letra U apresentava uma expressão, os alunos a resolveram.

Encontrado o valor da letra U o grupo procurou outra letra para decodificar que necessitasse da letra U, pois era a única letra que eles sabiam o valor numérico, e seguindo esse raciocínio eles encontraram o valor de todas as letras.

Figura 20: exemplo da resolução da atividade 5.

Ainda, é importante salientar que as atividades didáticas com códigos e senhas, desenvolvidas e aplicadas no experimento, permitiram que os alunos reforçassem conteúdos já trabalhados, ampliando sua compreensão dos conceitos matemáticos trabalhados nas séries anteriores, explorassem os recursos da Calculadora e ainda treinassem o uso de estratégias de resolução de problemas. 6

Conclusão A metodologia de Engenharia Didática possibilitou que a pesquisa fosse analisada

internamente, verificando a validade das atividades desenvolvidas. Na fase das análises preliminares, da Engenharia Didática com o tema Criptografia, foi possível verificar que o tema permite desenvolver atividades didáticas com os conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental, explorando atividades de codificação e decodificação, o que possibilitou o desenvolvimento de uma sequência didática para esta etapa do Ensino Básico. Na fase de experimentação, verificou-se que as atividades didáticas envolvendo códigos e senhas possibilitaram aos alunos trabalhar o conceito de Criptografia, aliado aos conteúdos de Matemática. Também tornou viável desenvolver as capacidades de concentração nas atividades, trabalho em grupo, desenvolver estratégias de resolução de problemas e validação das mesmas. As atividades didáticas desenvolvidas aliam os conteúdos matemáticos a um tema atual, apresentando diferentes situações e aplicações, bem como a utilização desse tema ao longo da história. Atividades envolvendo o tema Criptografia e os conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental são exemplos de material didático que pode ser utilizado pelos professores

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para exercitar, aprofundar, fixar e revisar conteúdos, fazendo uso de códigos e senhas, conforme as indicações de Tamarozzi (2001) e Cantoral et al. (2003). Pode-se verificar que os objetivos propostos, foram alcançados, através da sequência didática proposta para o Ensino Fundamental, e das análises realizadas na fase de análise a posteriori e validação. Entende-se que a busca de temas de interesse e que permitem o desenvolvimento de atividades didáticas devem ser incentivadas, pois o Currículo de Matemática que deve ser desenvolvido necessita ser de interesse do aluno, além de motivador, incentivando-o ao estudo dos conteúdos. Referências ARTIGUE, Michèle; DOUADY, Régine; MORENO, Luis. Ingeniería Didática en Educación Matemática: Un esquema para la investigación y la innovavación en La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.Venezuela: Pedro Gómez, 1995. CANTORAL, Ricardo et al. Desarrollo del pensamiento matemático. México, Trillas: ITESM, Universidade Virtual, 2003. GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira; FRANKE, Rosvita Fuelber. Currículo de Matemática e o tema Criptografia no Ensino Médio. Educação Matemática em Revista – RS. 2008, 51-57. GUELLI, Oscar. Uma aventura matemática. 6ª série. São Paulo: Ática, 2004. MACHADO, Silvia Dias Alcântara et al. Educação Matemática: uma (nova) introdução. 2.ed. São Paulo: EDUC, 2008. PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática – Uma análise da influência francesa. 2.ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. PANNUTI, M.R.V. Caminhos da prática pedagógica. TVE Brasil. Rio de Janeiro, p. 01- 05, jun. 2004. SHOKRANIAN, Salahoddin. Criptografia para Iniciantes. Brasília: UnB, 2005. SINGH, Simon. O Livro dos Códigos: A Ciências do Sigilo - do Antigo Egito à Criptografia Quântica. Rio de Janeiro: Record, 2003. TAMAROZZI, Antônio Carlos. Codificando e decifrando mensagens. In Revista do Professor de Matemática 45, São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.

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TERADA, Routo. Criptografia e a importância das suas aplicações. Revista do Professor de Matemática (RPM). Nº12, 1º semestre de 1988. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática, 1988. ZABALA, Antoni. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: ARTMED, 1998.

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CRIPTOGRAFIA: UM TEMA GERADOR PARA OS CONTEÚDOS

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