DIBUJO TÉCNICO 2º Bachillerato
Rafael Ciriza Roberto Galarraga Mª Angeles García José Antonio Oriozabala
erein
Diseño de portada: Iturri Diseño y maquetación: IPAR Dibujos: Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles García, José Antonio Oriozabala © Texto: Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles García, José Antonio Oriozabala © EREIN 2005. Tolosa Etorbidea 107 - 20018 Donostia ISBN: 84-9746-124-X D.L.: Imprime: Grafman S.A. Gallarta (Bizkaia)
Dibujo técnico 2º Bachillerato Rafael Ciriza Roberto Galarraga Mª Angeles García José Antonio Oriozabala
EREIN
ÍNDICE
1.- Nociones de geometría proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Elementos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Formas geométricas fundamentales. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Transformaciones geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Producto de transformaciones. Transformación involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Congruencia. Igualdad e isomería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Relaciones de incidencia o determinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Relaciones de ordenación y separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Operaciones proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Perspectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Proyectividad entre formas de primera categoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.- Homología, afinidad homológica y homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Homología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Afinidad homológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.- Potencia e inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Potencia de un punto respecto de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Eje radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Centro radical de tres circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.- Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión. . . . . . . . . . . . 34 Resolución de tangencias aplicando el concepto de potencia. . . . . . . . . . . . . . . 34 Resolución de tangencias aplicando el concepto de inversión . . . . . . . . . . . . . . 36 5.- Curvas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Curvas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.- Métodos del sistema diédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Vistas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Verdadera magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Posiciones favorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Abatimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.- Paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Paralelismo. Condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 8.- Intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Recta con recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Recta con plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Plano con plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.- Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Distancia entre dos puntos. Verdadera magnitud de un segmento . . . . . . . . . . . 95 Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Distancia entre dos rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5
10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
16.-
6
Mínima distancia entre rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Distancia entre planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Sólidos, superficies y sombras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Clasificación de las superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Representación de sólidos limitados por superficies radiadas . . . . . . . . . . . . . 105 Representación de superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Sombras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Secciones y desarrollos de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Desarrollos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Sistema axonométrico ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Fundamentos. Ángulos y coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Tipos de perspectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Representación del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Representación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Representación del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Puntos y rectas sobre el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Intersecciones entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Representación de cuerpos poliédricos y de revolución en axonometría ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Figuras planas sobre las caras del triedro trirrectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Trazado de los ejes en la perspectiva isométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Cuerpos prismáticos, piramidales, cilíndricos y cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Secciones generadas por planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Verdaderas magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Sombras en la axonometría ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Luz natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Luz artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Sistema axonométrico oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Fundamentos. Ángulos y coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Representación del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Representación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Representación del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Puntos y rectas sobre el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Paralelismo, perpendicularidad, intersecciones, secciones y sombras . . . . . . . . 171 Cuerpos prismáticos, piramidales, cilíndricos y cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Verdaderas magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Sistema cónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Tipos de perspectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
17.- Procedimientos de trazado en el sistema cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procedimiento Directo o de las Visuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Características fundamentales de la Perspectiva Cónica . . . . . . . . . . . . . Procedimiento de los Puntos de Fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trazado de figuras poligonales planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escala de anchuras para segmentos paralelos a la línea de tierra . . . . . Escala de alturas para segmentos perpendiculares al plano geometral . . Escala de profundidades para segmentos perpendiculares al plano del cuadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procedimiento de los Puntos de Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escala de profundidades para segmentos horizontales oblicuos al plano del cuadro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procedimiento de los Puntos Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Influencia de diferentes parámetros en la perspectiva cónica . . . . . . . . Planos inclinados y rectas límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trazado de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.- Sombras en el sistema cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Luz natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Luz artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.- Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Acotación de piezas según sus formas y dimensiones . . . . . . . . . . . . . . Normas de acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.- Acabados superficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diferentes errores superficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Medición de la rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indicación de acabados superficiales en los planos . . . . . . . . . . . . . . . Acabados superficiales recomendados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.- Tolerancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tolerancias dimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ajustes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tolerancias geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.- Representación normalizada de elementos mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos de unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rodamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ruedas dentadas y engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Muelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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177 177 179 182 185 186 187
. . . . . 188 . . . . . 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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195 197 198 200 203 209 209 209 217 219 219 219 220 223 235 235 235 236 236 238 240 240 240 245 251 257 257 266 270 273
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1. Nociones de geometria proyectiva
Dibujo técnico
Elementos fundamentales
Cualquier figura geométrica está formada por un conjunto de elementos fundamentales, ligados entre si por una serie de relaciones, denominadas propiedades geométricas. Entre las propiedades geométricas conviene destacar las métricas y las gráficas. Las propiedades métricas cuyo estudio corresponde a la Geometría Métrica, se refieren al concepto de medida y las propiedades gráficas, en las cuales no interviene el concepto de medida se refieren a la posición relativa de puntos, rectas y planos dando su estudio origen a la Geometría Proyectiva. Los elementos que componen figuras espaciales pueden deducirse uno a partir de otros, pero siempre algunos de ellos han de definirse como fundamentales. Los elementos fundamentales de la Geometría son el punto, la recta y el plano. Estos elementos fundamentales, tienen en la Geometría Proyectiva un concepto más amplio que en la Geometría Métrica, ya que aquellos reciben ahora los nombres particulares de puntos, rectas y planos propios al admitir la existencia de los llamados elementos impropios o del infinito. Llamaremos punto impropio o del infinito a la dirección de una recta y diremos, por tanto, que todas las rectas paralelas tienen común su punto impropio. El conjunto de los puntos impropios de un plano recibe el nombre de recta impropia o del infinito, y es el elemento común al conjunto de planos paralelos al primero. El conjunto de las rectas impropias del espacio recibe el nombre de plano impropio o del infinito, que contiene también, por tanto, a todos los puntos impropios del espacio.
Formas geométricas fundamentales. Clasificación
Se llama forma geométrica fundamental al conjunto continuo de infinitos elementos fundamentales (puntos, rectas, planos) que cumplen determinadas condiciones de pertenencia respecto a otros elementos fundamentales. Atendiendo a los elementos geométricos fundamentales, las formas geométricas se clasifican en tres grupos:
9
Formas fundamentales de primera categoría
Son las constituidas por elementos de una sola especie (puntos, o rectas, o planos). Tres son las formas fundamentales de primera categoría: Serie rectilínea, constituida por los infinitos puntos de una recta. A dicha recta se le denomina base de la serie. Fig 1 r A B C D
fig. 1
Haz de rectas también llamado haz de rayos y radiación plana, constituida por las infinitas rectas de un plano que pasan por un punto V de dicho plano. El plano que las contiene se llama base del haz, y el punto común V, vértice o centro de l haz. Fig 2
r
V
q s
m p
fig. 2
n
Haz de planos, constituida por los infinitos planos que pasan por una recta denominada arista del haz. Fig 3
γ
β
r α λ
fig. 3
Formas fundamentales de segunda categoría
10
Son las constituidas por elementos de dos especie solamente (puntos y rectas, o rectas y planos). Las formas fundamentales de este grupo son:
1. Nociones de geometria proyectiva
m
La forma plana: es el conjunto de todos los puntos y rectas que constituyen un plano. Fig 4
α β A
λ
La radiación. Es el conjunto de las infinitas rectas y planos que pasan por un punto V, llamado vértice o centro de radiación. Fig 5
n
D n q
m
V
C
B a
q
fig. 4
fig. 5
Es el conjunto de los infinitos puntos, rectas y planos del espacio.
Formas fundamentales de tercera categoría
El concepto de transformación equivale a los de operación, relación, correspondencia, etc. En toda transformación, a cada punto A de una forma f , le corresponde uno A´ y solo uno, de f´ y recíprocamente. Son transformaciones geométricas entre otras, la traslación (fig 6), el giro (fig 7), las simetrías central y axial (figs 8 y 9). O
Trasformaciones geométricas
B’
B a
B
A’ A C’ C
A
C
B’
fig. 6
C’
fig. 7 a
A’
C’ B’
B B
A’
O
A A
A’
B’ C C
C’
fig. 8 fig. 9
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1. Nociones de geometria proyectiva
Definiciones: • La transformación de una forma f en otra f´, en la que a cada elemento A de f le corresponde uno A´de f´, se llama univoca. Si también se verifica que cada elemento A´de f´ es el transformado de uno solo A de f, se llama biunívoca. La transformación de f´en f se llama inversa o reciproca y los puntos, rectas , etc., de f y f´ que se corresponden, homólogos. La traslación, el giro, la simetría son transformaciones biunívocas. • Si una forma se transforma en ella misma y si los elementos transformados tienen el mismo sentido u orientación que los primitivos, la transformación se llama acorde. Si tiene distinto sentido u orientación que los primitivos se llama discorde. La traslación, el giro y la simetría central son transformaciones acordes. La simetría axial, discorde. • El elemento que coincide con su transformado se llama doble. En la simetría central, el punto O es punto doble y en la simetría axial son dobles los puntos del eje e. • Si todos los puntos son dobles se dice que la transformación es una identidad. El giro de 360º es una identidad.
Producto de transformaciones. Transformación involutiva
Si por medio de una transformación de elementos homólogos A y A´ una forma f se convierte en otra f´ y si por medio de una segunda transformación geométrica de elementos homólogos A´ y A´´, f´ se convierte en otra f´´, la transformación de elementos homólogos A y A´´ que convierte f en f´´ se llama producto de ambas transformaciones. Si al aplicar sucesivamente dos transformaciones iguales se obtiene una figura idéntica a la primera, la transformación producto se llama involutiva. En la simetría central de la figura 10 al aplicar dos simetrías respecto del centro O, en la primera, el punto A se convierte en A´ y en la segunda el punto A´se convierte en A´´ coincidente con A por lo que es involutiva. 1 O
A
A’
A’’ 2
fig. 10
Congruencia. Igualdad e isomería
Se dice que dos figuras rígidas son congruentes si al superponerse mediante un movimiento coinciden. Dos figuras congruentes son iguales pero dos figuras iguales pueden no ser congruentes si no existe ningún movimiento en el plano o en el espacio que las haga coincidir. La simetría axial es un ejemplo de figuras iguales pero no congruentes en el plano. Otro tanto ocurre con las manos. Son iguales pero no son congruentes. Teniendo en cuenta la palma y el revés de la mano, no existe ningún movimiento que las haga coincidir. Si en una transformación las distancias entre puntos homólogos se mantiene, es decir se verifica la igualdad de segmentos AB=A´B´ la transformación se llama isomería. Si además conserva el sentido, se llama isomería acorde y si no discorde.
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Relaciones de incidencia o determinación
Relaciones de ordenación y separación
La palabra incidencia es sinónima de pertenencia o determinación. Diremos que dos elementos de distinto nombre se pertenecen cuando el primero está sobre el segundo, o el segundo pasa por el primero. Por ejemplo, decir que una recta pertenece a un plano significa que la recta está en el plano o que el plano contiene o pasa por la recta. Las relaciones de incidencia son las siguientes: • Dos puntos distintos determinan una recta que contiene a ambos. • Dos rectas distintas determinan un punto que pertenece a ambas. • Dos planos distintos determinan una recta que pertenece a ambos. • Tres puntos no pertenecientes a una misma recta, determinan un plano que contiene a los tres puntos. • Tres planos no pertenecientes al mismo haz determinan un punto que pertenece a los tres planos. • Un punto y una recta que no se pertenezcan determinan un plano que contiene a ambos. • Un plano y una recta que no se pertenezcan determinan un punto que pertenece a ambos. La definición de punto impropio por la cual una recta AB tiene un solo punto impropio I∞, nos hace concebir a la recta como una línea (curva de radio infinito) cerrada por su punto del infinito, de tal modo que, dado un punto A en ella, se pueda recorrer íntegramente pasando por el punto impropio y volver a A de nuevo. Esta es la llamada disposición natural o circular de los puntos en la recta proyectiva. En la figura 11, se puede comprobar que fijado un punto A y un sentido como origen, queda determinada la ordenación de cualquier par de puntos M y N de la recta. En el sentido de la flecha M precede a N ó N sigue a M. Si cortamos la recta por dos puntos A y B, figura 12 , aparecen en ella dos segmentos: el segmento finito de extremos A y B, y el segmento infinito de extremos también A y B. El primero solo contiene puntos propios y el segundo contiene puntos propios y el impropio de la recta. Para diferenciar los dos segmentos, será necesario marcar un tercer punto en cada segmento; así en la figura 13, el segmento ACB (ó BCA) es el segmento finito y el ADB (ó BDA) el infinito. Uno cualquiera de ellos se llama complementario del otro. Por último, si los elementos C y D están respectivamente, en los dos segmentos complementarios, figura 13, se dice que los pares AB y CD se separan, y si C y D estuvieran en el mismo segmento, se dice entonces que los dos pares no se separan. B
A
M B
A N
I•
I•
fig. 12
A
C
B
D I•
I• I•
fig. 11
fig. 13
13
Las operaciones fundamentales de la geometría proyectiva son proyectar desde un punto o una recta y cortar por una recta o un plano.
Operaciones proyectivas
• Proyectar un punto A desde V es trazar la recta VA llamada recta proyectante. Fig 14
Proyección desde un punto V
• Proyectar una recta s desde V es trazar el plano α determinado por V y s llamado plano proyectante. Fig 15 • Proyectar una figura formada por puntos y rectas desde V es trazar las rectas y planos Que determina V con los puntos y rectas de la figura. La radiación formada se llama proyección o perspectiva de la figura. Fig 16 V
M
V
A
c
b
a
N
V
fig. 14
fig. 15
Sección por un plano λ
fig. 16
• Cortar una recta s por un plano es hallar la intersección I también llamada traza de s con λ. Fig 17 • Cortar un plano α por otro λ es hallar la intersección o traza i de α con λ. Fig 18
• Cortar una figura formada por planos y rectas, por un plano λ es hallar las trazas de dichas rectas y planos con λ formando lo que se denomina una sección. Fig 19
s
B c
a b i
m
I l
A
λ α
a
fig. 17
γ
β
a
n
fig. 18
14
fig. 19
• Proyectar un punto A desde r es trazar el plano α determinado por r y A. Es el mismo caso que la fig. 15
Proyección desde una recta r
• Proyectar una recta a desde otra r, coplanaria con ella, es trazar el plano α que determinan. Fig 20 • Proyectar desde r una figura formada por los puntos A, B y C es trazar los planos α, β y γ, determinados por r y cada uno de los puntos de la figura. Fig 21 r C a
B r γ
A
a
β
fig. 20
• Cortar una recta a por otra s coplanaria con ella es hallar la intersección I de ambas. Fig 22. s
I
fig. 21
• Cortar un plano α por una recta s, es hallar la intersección o traza I entre ambas. Fig 17
Sección por una recta s
a
α
β
• Cortar una figura formada por planos, por una recta s es hallar las intersecciones o trazas de s con cada uno de los planos. Fig 23
γ
α
C B A
fig. 22
Perspectividad
Para terminar podemos decir que proyectar una figura sobre un plano es lo mismo que cortar la proyección por dicho plano.
s
fig. 23
Se dice que dos formas son perspectivas, o que están relacionadas perspectivamente, cuando una es sección de la otra o cuando las dos son proyección o sección de una forma de primera categoría y existe un elemento común a ambas. V
Perspectividad entre una forma y su sección o proyección
m D C B
• Si cortamos un haz de rectas a, b, c... por otra recta m que no pase por V, la serie rectilínea A,B, C... de base m que se forma como sección, es perspectiva con el haz de rectas. Fig 24
A d
c
a b
fig. 24
15
1. Nociones de geometria proyectiva
• Si seccionamos un un haz de planos de arista r con otra recta m no coplanaria con r, la serie rectilínea A, B, C... que se forma como sección es perspectiva con el haz de planos. Fig. 25 • Si cortamos un haz de rectas a, b, c... por un plano π que no pase por V, el conjunto de puntos A, B, C... sección del haz de rectas, es perspectiva con ésta. Fig. 26 • Si cortamos una radiación de planos α, β, γ... por un plano π, el conjunto de rectas a, b, c... sección de la radiación de planos, es perspectiva con ésta. Ver Fig. 19
m
• Si cortamos el haz de planos α, β, γ... de arista r por un plano π, el haz de rectas que pasa por V que se forma como sección, es perspectiva con el haz de planos. Fig. 27
A
r α
V
γ β
B β
α E
r
A c
D
V
B C
C
γ
b
e a
fig. 25
d
b
c a
π
fig. 26 fig. 27
Perspectividad entre secciones de la misma forma
• Dos series rectilíneas de base m y n, figura 28, son perspectivas por ser secciones del haz de rectas que pasan por V, siendo V el centro perspectivo de las series. • Si cortamos un haz de planos de arista r por dos planos α y β que pasan por un mismo punto de la arista, figura 29, las dos secciones resultantes de ambos planos son dos haces de rectas perspectivos. La arista r del haz de planos se llama eje perspectivo de los haces de rectas. α r
V
V β
m
n
fig. 28
16
fig. 29
Perspectividad entre proyecciones de la misma forma
• Dos haces de rectas de vértices V y V´, de una misma serie rectilinea A, B, C, D de base r, figura 30, son perspectivos por ser proyecciones de la serie r. La base de la serie se llama eje perspectivo de los haces. • Dos haces de planos, proyecciones de un mismo haz de rectas a, b, c, d, desde dos rectas distintas m y n que pasan por el vértice V del haz de rectas, figura 31, son perspectivos por ser proyecciones del haz de rectas. El plano del haz se llama plano central perspectivo. V’
V
d c b a
A
B
C
D
r
n m V
fig. 31 fig. 30
De entre las definiciones sobre proyectividad, la Chasles, la Staudt y la de Poncelet, todas ellas equivalentes, nos quedamos con la de Poncelet por ser la más sencilla de interpretar: “Dos formas de primera categoría son proyectivas si pueden obtenerse una de otra por medio de una cadena finita de proyecciones y secciones”.
Proyectividad entre formas de primera categoría
δ
α
γ
r
β A B
C
m D
V n A’
B’
C’
D’ d
a
fig. 32
b
c
En el ejemplo de la figura 32, dada la serie rectilínea A, B , C y D de base m y la recta r, proyectando desde r, se obtiene el haz de planos α, β, γ y δ de arista r. Cortando este haz de planos por otro plano π, se obtiene el haz de rectas a, b, c y d de vértice V. Cortando este haz de rectas con una recta n obtenemos la serie rectilínea A´, B´, C´ y D´. Estos haces y series, y los obtenidos de ellos por proyección y sección, son proyectivos entre si.
π
Clasificación de la proyectividad
Según la especie de los elementos que se correspondan, la proyectividad se clasifica en: • Homografía: Si los elementos homólogos son de la misma especie: punto y punto; recta y recta ó plano y plano. • Correlación: Si son de distinta especie: Punto y recta, punto y plano...
17
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
Dibujo técnico
La homología en el espacio es la correspondencia existente entre dos figuras resultantes de seccionar un haz de rectas por dos planos no paralelos.
Homología
En la figura 1 observamos que las tres rectas que parten del punto V son seccionadas por los planos α y β obteniéndose unos puntos de corte, de forma que a cada punto A1 le corresponde otro homólogo A’, a cada recta r1 otra homóloga r’, y a cada figura S1 otra homóloga S’.
β
V
Los elementos que intervienen en una homología son: – El centro de homología: punto V de donde parten el haz de rectas. – El eje de homología: recta intersección entre los dos planos.
A1 s1
r1
Por otro lado, diremos que tres puntos A1 B1 C1 son homólogos de A’ B’ C’ cuando cumplan las siguientes condiciones:
B1
– Estar en línea recta, con el centro de homología punto V. – Que las rectas homólogas, por ejemplo A1 B1 y A’ B’, se corten en puntos del eje de homología.
C1 A’ 1
C’ S’
r’ 2
α
Esta última condición nos lleva a definir el eje de homología como el lugar geométrico de los puntos dobles, es decir, de los puntos que son homólogos de sí mismos.
B’ Eje de homología
fig. 1
3
Se llama recta límite al lugar geométrico de los puntos homólogos de los puntos del infinito.
Rectas límites
β ML
V M’L’
N1 M1 α' K' T' α
18
fig. 2
β'
Como sabemos, si dos rectas son paralelas, o un plano y una recta son paralelos, estos se cortan en el infinito. Pues bien, si en la figura 2 trazamos rectas paralelas al plano α por el punto V en diferentes direcciones, significa que dichas rectas se cortarán con α en el infinito según esas direcciones. Sin embargo, estas mismas rectas cortan al plano β en los puntos M1, N1… formando una recta. Esta recta es la llamada recta límite RL. El punto M1 tendrá su homólogo M’ sobre el plano α en el infinito
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
ML
según la dirección VM1, al igual que todos los puntos que conforman esta recta límite.
V ω
β
De igual manera hallaremos la recta límite R’L’. Por V se trazan paralelas al plano β y los puntos de corte con el plano α formarán la R’L’. Así, diremos que el homólogo del punto K’ perteneciente al plano α estará en el infinito sobre el plano β. Según la dirección VK’.
C1 M’L’ B1
1
ML
T
A1
V
B
2 B'
C A
En la figura 3 podemos observar cómo se realiza el paso de la homología espacial a la plana.
C' A'
Z
α
3
fig. 3
V M
N
Z
K
B Z
A C
N'
M'
2
1
Para ello se abate el plano β sobre el plano α girándolo sobre el propio eje de homología obteniendo A, B, C y RL. Para abatir el punto V se traza por dicho punto un plano ω perpendicular a los plano α y β obteniéndose el punto T intersección del plano ω con R’L’. Haciendo centro en T y con radio TV hallamos V sobre el plano α. En la misma figura podemos ver que las direcciones de las rectas A’B’ y VZ son paralelas. En la figura 4 tenemos la homología dibujada en el plano y podemos observar que las rectas límites son paralelas al eje de homología. Además, las distancias de las rectas limites R’L’ y RL al eje de homología y al centro de homología respectivamente son iguales. Puede darse el caso de que las dos rectas límites sean exteriores a la parte del plano comprendido entre V y el eje, tal como indica la figura 5.
C'
También puede ocurrir que las dos rectas límites se confundan, es decir, coincidan, tal como indica la figura 6. La homología se llama entonces homología involutiva.
A'
B'
V
Z'
K'
fig. 4
d
d
ML
ML ≡ M’L’
V
d
d
Homologia-ardatza
M’L’ Homologia-ardatza
fig. 5
fig. 6
19
Una homología queda definida conociendo los elementos siguientes:
Formas de definir una homología
1.El centro, el eje, y dos puntos homólogos. 2.El centro, el eje, y la recta límite de la figura homóloga que se busca.
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dados los datos de la figura 7 halla el polígono homólogo al dado. V
B
A C
D
A'
fig. 7
Solución:Para hallar el homólogo del punto B, por ejemplo, unimos B con A y alargamos hasta cortar al eje de homología en el punto 1. El homóloV go 1’ del punto 1 es el mismo punto por pertenecer al eje. Unimos 1’ con A’ y V con B. Estas dos rectas se cortarán en B’ homólogo de B. Repitiendo esta operaZ ML ción obtendremos los demás puntos. Para obtener las rectas límites tomaremos un punto situado en el infinito según una dirección cualquiera; por ejemplo el punto Z’ del infinito situado sobre la recta A’B’. Si este punto Z’ del infinito está sobre la recta A’B’ su homólogo estará sobre la recta AB. Trazando por V una recta paralela a la recta A’B’, ésta se cortará con la recta AB en el punto Z perteneciente a la recta límite RL.
B
M’L’ A
C
D 1 ≡ 1'
2
3
C' A'
Una vez hallado Z, y sabiendo la propiedad que tienen las rectas límites de equidistancia respecto al centro de homología, y eje de homología y de paralelismo respecto del eje de homología, trazaremos RL y R’L’.
B'
Z'
20
4
D'
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
2. Dados los datos de la figura 8 halla el polígono homólogo al dado. V
ML
B
A C V
D Homologia-ardatza
1
ML
B
A C r
D 4 ≡ 4’
fig. 8
2 ≡ 2’
3 ≡ 3’ D’
r’ C’
A’
Solución:Para hallar por ejemplo el homólogo del punto B, se traza una recta cualquiera que pase por B, por sencillez cogemos la recta BC, la cual corta en 1 a la RL y en 2 al eje. La recta homóloga de la 1-2, recta r, deberá pasar por el punto 2’ y ser paralela a la V1 recta r’. El Homologia-ardatza punto de corte entre la recta r’ y la recta VB nos dará B’ homólogo de B. Para hallar los demás puntos procederemos como en el ejercicio anterior.
B’
V
Dependiendo de que el centro de homología y el eje de homología sean propios o impropios, es decir, que sean conocidos o estén en el infinito, obtendremos casos particulares de homología.
Casos particulares 3 B b C 2
Afinitate-ardatza
A B' 1 A'
C'
a
fig. 9
En la figura 9 vemos que el centro de homología está en el infinito. En este caso obtenemos una afinidad homológica. En la figura 10 observamos que el eje de homología está en el infinito por ser los dos planos paralelos, obteniéndose una homotecia. 21
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
Ya en la figura 11 tenemos que tanto el eje como el centro de homología están en el infinito, obteniéndose una traslación. V
V
B B
b
C A
b
C
B' A a B'
C' a
C'
A'
A'
fig. 10 fig. 11
Ya hemos visto que la afinidad es un caso particular de la homología, y la consecuencia de que el centro de homología sea impropio es que las rectas que unen puntos homólogos sean paralelas. A la dirección de éstas se le denomina dirección de afinidad, pudiendo ser ésta oblicua al eje de afinidad (fig. 12) o perpendicular al mismo (fig. 13). Las rectas límites serán impropias, es decir, estarán en el infinito.
Afinidad homológica
B
B
K <0
K<0 A
A C Ao
Bo
C Ao
Co 2
3
1
Bo
Co 2
1 C'
C'
A'
A'
fig. 12
B
3
B'
B'
fig. 13
En la relación K = A0A /A0A’ = B0B / B0B’ = C0C /C0C’, a la constante K se le denomina razón de afinidad.
A K>0 B'
C
Si las figuras afines están una a cada lado del eje de afinidad la razón de afinidad será negativa, K < 0 (figs. 12 y 13). Si las dos figuras están al mismo lado del eje de afinidad la razón de afinidad será positiva, K>0. (fig. 14)
A' C' Ao
Bo
Co 2
1
fig. 14
22
3
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dados los datos de la figura 15 halla el polígono afín al dado. B
B
C
C
A
A 1
D
2
3
D
4 D'
A'
A'
C' B'
fig. 15
Solución:En la figura se puede observar cómo obtenemos los puntos afines del polígono dado, de forma similar a como lo hacíamos en una homología normal. 2. Dados los datos de la figura 16 y sabiendo que la razón de afinidad es K = -1 halla el polígono afín al dado. B
B A
C
A
C
E
D
D
E
1
Ao
4
3
2
d D'
E'
C'
A'
fig. 16 B'
Solución:Aplicando la definición de la razón de afinidad, tenemos:
K = AA0 /A’A0
-1 = AA0 /A’A0
A’A0 = -AA0
El signo menos (–) indica que las figuras afines están una a cada lado del eje de afinidad. Si nos fijamos en el resultado del ejercicio comprobaremos que las dos figuras son simétricas respecto del eje de afinidad. Por tanto, podemos decir que la simetría axial es un caso particular de la afinidad homológica.
Homotecia
La homotecia también es un caso particular de la homología. En esta relación geométrica el eje de homología es impropio y como consecuencia de ello no existen rectas límites. En la figura 17 el homólogo del triángulo ABC es el triángulo A’B’C’, y se cumple que OA’/OA = OB’/OB = OC’/OC = K, siendo K la razón de homotecia. Si ésta es positiva, K > 0, los puntos homólogos están a un mismo lado del centro de homotecia (fig. 17), y si es negativa, K < 0, los puntos homólogos están a distinto lado del centro de homotecia. (fig. 18)
23
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
En toda homotecia se cumple que: 1. Las rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas. 2. Los segmentos homólogos son paralelos y proporcionales. 3. Los ángulos homólogos son iguales. C'
A'
K
A
K>O
B' B B
O
O A
A'
C B' C
fig. 17
C'
fig. 18
En la figura 19 tenemos dos circunferencias homotéticas. Se cumple que:
R/r = OC’/OC = K También:
R=r·K
OC’ = K · OC T' B'
R
A'
T
r
B
A C' C
O
D
fig. 19
D'
EJERCICIOS RESUELTOS
10
25
1. Dado el centro de homotecia O, la razón de homotecia K = 2,5 y una circunferencia de centro C y radio 10 mm, calcula su homotética sabiendo que OC = 25 mm.
O
En la figura 20 se observa que la homotética es otra circunferencia de centro C’ situada en la recta OC tal que:
C'
C
OC’ = K · OC = 2,5 · 25 = 62,5 mm R = K · r = 2,5 · 10 = 25 mm
25 62,5
24
fig. 20
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
2. Dados los datos de la figura 21 y la razón de homotecia K = –1 halla el homotético del polígono dado ABDC. En el ejercicio resuelto podemos observar que la homotecia así definida es una simetría central.
C'
B
O A
A' D'
D
fig. 21 C
B'
EJERCICIOS 1. Halla el homólogo del punto B en la homología definida en la siguiente figura. B
V
A
A'
2. Halla las figuras homólogas de las dadas. V
V
P A A
D C P' B
C
B
3. Halla las figuras afines de las dadas. B'
A'
A B
A
B P
C D
C
25
2. Homología, afinidad homológica y homotecia
4. Halla la figura homotética del polígono dado, siendo el centro de homotecia el punto 0 y la razón de homotecia K = 1/3. C
D
B
A
O
E
H
F
G
5. Halla la figura homotética del triángulo ABC siendo O el centro de homotecia y K = 2 la razón de homotecia.
K
A
B
O
26
C
