EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 1 RADICALES Y LOGARITMOS 1
Calcula las siguientes operaciones, expresando el resultado con el menor número de radicales: 10 2 a) —— 5 b)
3
3
16 : 2
c)
27 — —53— — 5
d)
2 : 24
5
5
20 27 5 27 4 2 c) 9 3 53 5 5 35 b) 16 d) 2 : 2 : 2 8 2 22 12 20 2 10 a) 5 5 3
2
3
4
3
3
5
5
4
7
4
7
a)
(2 )
a)
(2 )
3
4
5
3
3
4
4
21 2 25 2
7
b)
( 32 )
b)
( 32 )
3
3
f)
—14— : 2000
e)
33 317 320 35
f)
1 1 14 : 2000 8000 20
3
3
4
4
4
3
3
3
7
37 221 33 210 6
c)
2
c)
2 2 2
3
3
18
18
6
3
Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles. 3
a)
23 35 57
b)
5 b12 c7 a
a)
28 35 57 24 32 53 35
b)
5 b12 c7 a b4 c2 a2 c a
3
Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.
2 3 23 a) 2 3 5 5 5
26 312 —2— 50 6
5
12
2
20
5
b)
2 4 2 2 2 2 2 8 2 4
28 45 —— 83 8
2
b)
4
4
5
8
10
4
3
4
9
2
4
9
Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica.
23 34 c) —— 5
a) 23 35 27
ab3 — d) —2 c
a) 23 35 27 26 310 27 213 310
23 34 c) 5
4
d)
511 2 —1— 30
3
3 3
ab a aba a bc c bc c bc 3
4
21 b) 35 7 3 72 3 76
3
a —— bc
b) 35 7 3 72
4
6
5
4
317 33
Calcula las siguientes operaciones, extrayendo el máximo número de factores.
a)
5
4
4
e)
2
511 2 1 30
3
3
2 6 3
3 3
4 3 3
Realiza las operaciones indicadas. 3
4
6
a)
a3 a5 a2
a)
a3 a5 a8 a9 a10 a27 a9 a2
b)
3
4
4
23 7 3
6
6
37 25 7
b) 12
12
12
29 21 3
12
12
314 210 72
12
12
4
219 7 3 72
4
23 ——7 3
3
6
37 25 —— 7
3 10 29 312 511 2 2 32 58 53 310
5 3
7
Realiza las operaciones indicadas. 3
x2y7 xy b) —— 6 11 8 x y
4
23 3 a) — 3 2 32 4
3 3 2 a) 3 32 2
29 33 24 38 6
6
b) c)
3 3 3 3 3 3 5
2
4
5
2
4
25 5 3
12
x2y7 xy 6 11 8 y x 4
3 3
12
3
8
c)
4
4 14 y x3y3 x 6 11 8 y x
4
5
10
20
4
14
6
y9 4 x
10
7
Realiza las siguientes operaciones. a)
3
3
200 8 5 2
d)
24 2 6 3 32
—58—
e)
50
3
b) 2 5
6
25
3
c)
5a2 80a 2 20a 4
a)
200 2 2 5 2 10 2 7 2 8 5 2 3
6
b) 2 5 25
f) 10
18 72 — —— — 4 25
3
3
5 0,003 0,024
58 25 5 12 5 32 5 3
3
3
3
3
c)
5a2 80a 2 20a 4 a 5 4a 5 2a2 5 (2a2 3a) 5
d)
24 2 6 3 32 2 3 2 6 3 4 2 3 2 4 3
e)
50
3
3
3
3
3
18 3 6 47 5 2 2 2 2 7225 4 2 5 10
3 3 2 3 1 3 5 3 f) 10 0,024 5 0,003 10 10 3 5 10 3 2 3
9
Racionaliza las siguientes fracciones. 3 a) —— 2
12 — c) — 7 25
2 e) —— 3 5
2 b) —— 5 6
40 — d) — 4 217
29 — f) — 6 211
3 32 32 a) 2 2 2 2
7 12 12 22 12 22 c) 622 7 7 7 5 5 2 2 2 2 2
2 235 30 e) 3 5 3 5 3 5 1 5
2 26 6 b) 56 56 15
40 40 23 5 23 40 23 d) 4 4 5 2 4 217 220
29 29 2 219 f) 6 6 4 211 212
4
7
4
7
4
4
4
4
6
10 Extrae de la raíz todos los factores posibles. a)
a)
5
5
23 b) 4 3 c)
x12y54 —1— z 00
23 b) ——4 3
320 210 —— 56
x12y54 x2y10 5 2 4 1 xy 00 20 z z
6
320 210 23 33 2 6 2 4 24 6 2 4 24 3 3 2 3 2 3 22 6 4 5 3 5 35 35
3
6
45 64 3 182
3
3 12 3 210 24 34 3 2 3 24 3 22 34
c)
3
45 64 3 —— 182
12
11 Realiza las operaciones indicadas. a3 a — b) — 3 2 a 4
8
6
9 35 2
8
6
a)
5 36 2
a)
5 9 15 8 51 36 2 35 2 31 236 320 2 338 2
b)
a3 a 3 a2
c)
2
4
3
4
24
c)
2
24
12 a9a6 12 a7 a8
3
8
23 2
324
12 Calcula las siguientes operaciones. a) 32 72 42 1 b) —— 20 2
45 4 75
a) 32 72 42 (3 7 4)2 02 0 1 1 b) 20 75 445 2 25 53 4 35 115 53 2 13 Expresa como un único radical: a) 56
45 d) — 3
b) 23 72
e)
3
4
2 2 6
c)
3
5
3 5 f) —— 3 4
3
6
a) 56 52 6
45 d) 15 3
b) 23 72 146 142 6
e)
4 23 27 2 2 2
f)
3 5 3 4
3
4
12
6
c)
3
3
3
5 6 30
12
6
33 5 42
14 Racionaliza las siguientes fracciones. 3 a) —— 7 3
c)
2 —— 2 3 2
2 b) —— 3 2
d)
5 —— 8 22
3(7 3) 3 3(7 3) 3(7 3) a) 7 3 4 7 3 (7 3)(7 3)
2(3 2) 2 6 4 b) 6 2 32 ( 3 2 )( 3 2 ) 3 2 2(23 2) 2 2(23 2) 23 2 c) 4 3 2 5 (2 3 2 )(2 3 2 ) 23 2 5(8 22) 5 5(8 22) d) 56 (8 22)(8 22) 8 22
3
4
3
15 Utiliza la definición y las propiedades de los logaritmos para: a) Reducir a un solo logaritmo y calcular: log 40 log 25 b) Calcular log 8 sabiendo que log 2 0,301. a) log 40 log 25 log (40 25) log 1000 3 b) log 8 log 23 3 log 2 3 0,301 0,903 16 Calcula los siguientes logaritmos. a) log 10 000
c) log2 256
b) log3 81
d) log3 243
a) log 10 000 log 104 4
c) log2 256 log2 28 8
b) log3 81 log3 34 4
d) log3 243 log3 35 5
17 Calcula los siguientes logaritmos. a) log2 0,25
c) log4 2
b) log 0,001
d) log9 27
1 1 a) log2 0,25 log2 log2 2 log2 22 2 4 2 1 1 b) log 0,001 log log 3 log 103 3 1000 10 1
1
1 c) 4 22 ⇒ 2 4 4 2 ⇒ log4 2 log4 4 2 2 1 2
d) 9 32 ⇒ 3 9 9 ;
2
1 3
27 33 9
3 2
9
3
3 2 log9 27 log9 9 2
18 Calcula los siguientes logaritmos. a) log2 0,125
d) log 0,000 01
g) log16 64
b) log3 0,333… 2 c) log3 —— 54
e) log16 2
h) log8 4
f) log64 2
i) log4
2
1 a) log2 0,125 log2 log2 23 3 8
6 1 f) log64 2 log64 64 6
1 b) log3 0,333… log3 log3 31 1 3
4 3 4 g) log16 64 log16 26 log16 (16 )6 log16 16 2
2 1 1 c) log3 log3 log3 3 log3 33 3 54 27 3
3 2 h) log8 4 log8 22 log8 (8)2 log8 8 3 3
d) log 0,00001 log 105 5
i)
6
2
1
1
4 1 4 e) log16 2 log16 16 log16 16 4
4 1 log4 2 log4 4 log4 4 4 4
19 Conociendo los valores aproximados de log 2 0,301 y log 3 0,477, calcula los siguientes usando las propiedades de los logaritmos. a) log 24
b) log 5
a) log 24 log (23 3) log 23 log 3 3 log 2 log 3 3 0,301 0,477 1,38 10 b) log 5 log log 10 log 2 1 0,301 0,699 2 20 Calcula los siguientes logaritmos usando los datos del ejercicio resuelto anterior. a) log 36
9 d) log —— 24
g) log 75
b) log 64
e) log 20
h) log 0,2
2 c) log —— 3
f) log 150
i) log 0,8333…
a) log 36 log (22 32) log 22 log 32 2 log 2 2 log 3 2 0,301 2 0,477 1,556 b) log 64 log 26 6 log 2 6 0,301 1,806 2 c) log log 2 log 3 0,176 3 9 3 d) log log log 3 3 log 2 0,426 24 8 e) log 20 log (2 10) log 2 log 10 0,301 1 1,301 3 100 f) log 150 log log 3 log 100 log 2 2,176 2 3 100 g) log 75 log log 3 log 100 2 log 2 1,875 4 2 h) log 0,2 log log 2 log 10 0,301 1 0,699 10 5 10 i) log 0,8333… log log log 10 log 12 1 (2 log 2 log 3) 0,079 6 12 21 Emplea la fórmula del cambio de base y los datos del ejercicio 49 para calcular los siguientes logaritmos. a) log3 2
c) log3 32
e) log2 30
b) log2 9
d) log2 10
f) log8 2
log 2 0,301 a) log3 2 0,631 log 3 0,477 log 9 log 32 2 log 3 2 0,477 b) log2 9 3,169 log 2 log 2 log 2 0,301 log 32 5 log 2 c) log3 32 3,155 log 3 log 3 log 10 1 d) log2 10 3,322 log 2 0,301 log 30 log 3 log 10 e) log2 30 4,907 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2 1 f) log8 2 3 log 8 log 2 3 log 2 3
22 Calcula las siguientes operaciones. a) log3 7 log7 3
c) log7 (log3 (log2 8))
b) log3 5 log5 9
d) log4 (log2 (log3 (10 log 10)))
log 7 log 3 a) log3 7 log7 3 1 log 3 log 7 log 5 log 9 log 32 2 log 3 b) log3 5 log5 9 2 log 3 log 5 log 3 log 3 c) log7 (log3 (log2 8)) log7 (log3 (log2 23)) log7 (log3 3) log7 1 0 d) log4 (log2 (log3 (10 log 10))) log4 (log2 (log39)) log4 (log2 2) log4 1 0 23 Sabiendo los valores de log a 0,5 y log b 0,3, calcula log Usando las propiedades de los logaritmos, log
3
a2 b ——. 10
3
a2 b 1 a2 b 1 log (log (a2 b) log 10) 10 3 10 3
1 1 (log a2 log b 1) (2 log a log b 1) 3 3 Se sustituyen los valores dados. log
3
a2 b 1 1 (2 0,5 0,3 1) 0,3 0,1 10 3 3
Con los datos anteriores, calcula el logaritmo:
a log — —. 100b3
1 a 1 1 log 3 log a log 100b3 log a 2 (log 100 log b3) log a 2 3 log b 0,5 2 3 0,3 2,65 100b 2 2
24 Calcula los siguientes logaritmos. a) log 100 000
b) log5 625
c) log7 343
a) log 100 000 log 105 5
b) log5 625 log5 54 4
c) log7 343 log7 73 3
a) log2 0,125
c) log81 3
e) log1000 10
3 b) log4 —— 48
d) log25 5
f) log1000 100
25 Calcula los siguientes logaritmos.
1 a) log2 0,125 log2 log2 23 3 8
1 d) log25 5 log25 25 2
3 1 b) log4 log4 log4 42 2 48 16
3 1 e) log1000 10 log1000 1000 3
4 1 c) log81 3 log81 81 4
3 2 f) log1000 100 log1000 102 log1000 1000 2 3
26 Expresa estos logaritmos como sumas y diferencias. 25 34 b) log —— 76
a) log (25 37)4
a) log (25 37)4 log (220 328) log 220 log 328 20 log 2 28 log 3 25 34 b) log log (25 34) log 76 5 log 2 4 log 3 6 log 7 76 c) log
4
1 a 1 a log log a log b b 2 b 4
c) log
a —— b
