Appunti del Corso di Elementi di Fisica Docente: Pierpaolo Mastrolia Autore: Elia Arnese Feffin
Prefazione Questo documento contiene gli appunti del corso di Elementi di Fisica tenuto dal Prof. Pierpaolo Mastrolia durante l’anno accademico 2016-2017 del Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Chimica e dei Materiali tenuto presso l’Università degli Studi di Padova. Il contenuto di questo documento non è da intendersi come sostitutivo del materiale didattico fornito e/o consigliato durante il corso, ma solo come complementare alle lezioni ed ai seguenti testi: • Mazzoldi, Nigro, Voci, Elementi di Fisica, elettromagnetismo e onde. Padova: EdiSES, 2009. • Zotto, Lo Russo, Sartori, Fisica Generale: Elettromagnetismo - Ottica, Edizioni La Dotta, 2016. [errata: http://www.pd.infn.it∼zotto/Errata_Corrige_ZLS_2. pdf]. • Cantatore, Vitale, Gettys Fisica 2: elettromagnetismo - onde, McGraw Hill, IV Edizione. • Halliday, Resnik, Fondamenti di Fisica, elettromagnetismo e onde, Casa Editrice Ambrosiana, 2015. Si precisa inoltre che questo documento non riporta molte figure, talvolta utili alla comprensione degli argomenti trattati; si consiglia quindi di integrare quanto scritto seguendo le lezioni del corso e gli argomenti trattati sui testi citati. Segnalazioni Qualora rinvenuti, si prega di segnalare errori concettuali, formali, o semplici errori di battitura scrivendo agli indirizzi:
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riportando il titolo del documento, la sua versione e dettagli sufficienti all’individuazione dell’errore. Versione del 15 marzo 2017.
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Indice Prefazione
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1 Scalari e Vettori 1.1 Operazioni Vettoriali . . . . . . . . 1.1.1 Prodotto Scalare . . . . . . 1.1.2 Prodotto Vettoriale . . . . . 1.1.3 Prodotto Misto . . . . . . . 1.1.4 Doppio Prodotto Vettoriale 1.2 Operatori Differenziali . . . . . . . 1.2.1 Gradiente . . . . . . . . . . 1.2.2 Divergenza . . . . . . . . . . 1.2.3 Rotore . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Operatore di Laplace . . . .
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1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4
2 Elettrostatica 2.1 Il Campo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Il Flusso di un Campo . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Il Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Distribuzioni Continue di Carica . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Calcolo delle Carica di una Distribuzione Continua 2.2.2 Applicazione del Teorema di Gauss . . . . . . . . . 2.3 I Conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Conduttori Isolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Conduttori Cavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 I Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Il Condensatore Cilindrico . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Il Condensatore Piano . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Collegamenti di Condensatori . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Carica del Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 La Forza nel Condensatore . . . . . . . . . . . . . . 2.5 I Dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Dielettrici all’Interno di un Condensatore Piano . . 2.5.2 Comportamento degli Isolanti . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Teorema di Gauss in Presenza di Dielettrici . . . . 2.5.4 Dielettrici con Spessore Variabile . . . . . . . . . . 2.5.5 Dielettrici con Inserimento Variabile . . . . . . . .
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5 5 5 6 6 7 7 8 10 10 12 15 16 17 18 21 23 25 25 27 27 30 33
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3 Corrente Elettrica 39 3.1 Condizioni di Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ii
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40 41 42 43 45 47 48 49 52 55 55 58
4 Magnetismo 4.1 Il Campo Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 La Forza Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Campo Magnetico Uniforme . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Corrente Elettrica in un Campo Magnetico . . . . . . 4.1.4 Momenti Meccanici Dovuti ad un Campo Magnetico 4.1.5 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Sorgenti Magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 La Legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Campo Magnetico di un’Asta . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Campo Magnetico di una Spira Quadrata . . . . . . . 4.2.4 Campo Magnetico di una Spira Circolare . . . . . . . 4.2.5 Campo Magnetico di un Solenoide . . . . . . . . . . . 4.2.6 Forza tra Due Aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 La Legge di Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Campo Magnetico di un’Asta Infinita . . . . . . . . . 4.3.2 Campo Magnetico di un Solenoide Toroidale . . . . . 4.3.3 Flusso Magnetico tra Circuiti . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Autoinduttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Campi Magnetici nei Materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Magnetizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Materiali Diamagnetici e Paramagnetici . . . . . . . . 4.4.3 Permeabilità e Suscettività Magnetica della Materia . 4.4.4 Teorema di Ampère in Presenza di Materiale . . . . . 4.4.5 Materiali Ferromagnetici . . . . . . . . . . . . . . . .
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61 61 62 63 65 68 72 73 74 75 76 77 79 80 88 90 91 92 94 95 95 96 97 98 100
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102 . 102 . 102 . 103 . 106 . 107 . 111 . 112
3.2 3.3
3.4
3.1.1 Intensità di Corrente . . . . . . . . . . . 3.1.2 Principio di Conservazione della Carica . La Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Legge di Ohm Macroscopica . . . . . . . 3.2.2 Resistenze . . . . . . . . . . . . . . . . . La Forza Elettro Motrice . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Il Generatore di Differenza di Potenziale 3.3.2 La Resistenza Interna . . . . . . . . . . . 3.3.3 Legge di Ohm Generalizzata . . . . . . . Correnti Variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Carica di un Condensatore . . . . . . . . 3.4.2 Scarica di un Condensatore . . . . . . .
5 Elettromagnetismo 5.1 Moto di Particelle Cariche . . 5.1.1 Spettrometro di Massa 5.1.2 Il Ciclotrone . . . . . . 5.2 Equazioni di Maxwell . . . . . 5.2.1 La Legge di Faraday . 5.2.2 Effetto Dinamo . . . . 5.2.3 Il Potenziale Vettore .
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5.3
5.4
Effetti del Campo Magnetico Variabile . . . . . . . 5.3.1 Induttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Energia Magnetica . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Mutua Induttanza tra Circuiti . . . . . . . . Campo Elettrico Variabile . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Legge di Ampère-Maxwell . . . . . . . . . . 5.4.2 Riepilogo sulle Relazioni Elettromagnetiche . 5.4.3 Campo ElettroMagnetico nel Vuoto . . . . .
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6 Onde Elettromagnetiche 6.1 Le Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Il Moto della Corda . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Onde Piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 L’Onda Armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Energia ed Intensità delle Onde . . . . . . . . . 6.1.5 Polarizzazione delle Onde . . . . . . . . . . . . 6.1.6 Onde Piane Tridimensionali . . . . . . . . . . . 6.2 Le Onde Elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Derivazione delle Onde Elettromagnetiche . . . 6.2.2 Proprietà delle Onde Elettromagnetiche . . . . . 6.2.3 Intensità delle Onde Elettromagnetiche . . . . . 6.2.4 Lo Spettro delle Onde Elettromagnetiche . . . . 6.2.5 Doppia Natura delle Onde Elettromagnetice . . 6.3 Fenomeni Ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Propagazione delle Onde nei Mezzi Materiali . . 6.3.2 Riflessione e Rifrazione delle Onde . . . . . . . 6.3.3 Dispersione delle Onde . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Intensità e Potenza Trasmessa e Riflessa . . . . 6.3.5 Casi Particolari di Riflessione e Rifrazione . . . 6.4 Interferenza e Diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Parametri delle Onde Interferenti . . . . . . . . 6.4.2 Casi di Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Esperimento di Young . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 Interferenza della Doppia Fenditura . . . . . . . 6.4.5 Interferenza di un Numero Finito di Fenditure . 6.4.6 Diffrazione: Interferenza di Infinite di Fenditure
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129 . 129 . 129 . 132 . 133 . 135 . 137 . 138 . 139 . 140 . 145 . 147 . 148 . 149 . 150 . 151 . 152 . 155 . 157 . 159 . 164 . 165 . 167 . 169 . 171 . 172 . 175
Appendice A Formulario A.1 Elettrostatica . . . . . . A.2 Corrente Elettrica . . . . A.3 Magnetismo . . . . . . . A.4 Elettromagnetismo . . . A.5 Onde Elettromagnetiche A.6 Costanti . . . . . . . . .
113 114 116 118 122 122 125 127
177 . . . . . .
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178 . 178 . 179 . 180 . 181 . 182 . 184
Acronimi
185
v
1
Scalari e Vettori
Per affrontare gli argomenti che verranno trattati si utilizzeranno due strumenti per esprimere i dati: Grandezze Scalari sono rappresentate da un numero puro. Grandezze Vettoriali sono delle entità matematiche che raccolgono più scalari al loro interno; verranno considerati principalmente i vettori bidimensionali del tipo ~v = (v1 , v2 ) ed i vettori tridimensionali del tipo ~v = (v1 , v2 , v3 ). Oltre alle grandezze “pure”, cioè rappresentate da un solo scalare o da un solo vettore, verranno largamente utilizzati i campi, che rappresentano distribuzioni spaziali di scalari o vettori. Si presti particolare attenzione al fatto che i campi che verranno utilizzati hanno un significato fisico intrinseco dovuto alla sola natura fisica del fenomeno in esame; a livello matematico, questa caratteristica implica delle proprietà univoche, come il valore di un campo scalare o il modulo, la direzione ed il verso di un campo vettoriale. Questa proprietà non rende comunque i campi indipendenti dal sistema di riferimento, necessario ad esprimerli in modo utilizzabile. Una diversa scelta di sistemi di riferimento potrebbe portare ad una diversa rappresentazione delle grandezze studiate, anche se caratterizzate da un significato fisico univoco.
1.1
Operazioni Vettoriali
Le operazioni scalari sono ben note, mentre i vettori possono dare alcune operazioni particolari, come il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale.
1.1.1
Prodotto Scalare
Il prodotto scalare tra due vettori, indicato con l’operatore ·, viene definito come la sommatoria dei prodotti delle rispettive componenti: ~v · w ~ = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3
(1.1)
il cui risultato è una grandezza scalare. Il prodotto scalare può anche essere definito sfruttando una proprietà degli spazi reali come: ~v · w ~ = |~v ||w| ~ cos(α) dove α è l’angolo formato tra i due vettori; in questa forma, è chiaro che il prodotto scalare è nullo se i vettori sono ortogonali, mentre è massimo se i vettori sono paralleli.
1
1.1 Operazioni Vettoriali
1.1.2
Scalari e Vettori
Prodotto Vettoriale
Il prodotto vettoriale tra due vettori, indicato con l’operatore ×, viene definito come il determinante formale della matrice: uˆx uˆy uˆz v2 w3 − v3 w2 ~v × w ~ = det v1 v2 v3 = v3 w1 − v1 w3 (1.2) w1 w2 w3 v1 w2 − v2 w1 dove uˆx , uˆy e uˆx sono le direzioni dei tre assi coordinati, il cui risultato è una grandezza vettoriale. È importante notare che il vettore individuato da un prodotto vettoriale è sempre ortogonale al piano individuato dai due vettori che si stanno moltiplicando. Il modulo dei un vettore derivante dal prodotto vettoriale può essere definito sfruttando una proprietà degli spazi reali come: |~v × w| ~ = |~v ||w| ~ sin(α) dove α è l’angolo formato tra i due vettori; in questa forma, è chiaro che il prodotto vettoriale è nullo se i vettori sono paralleli, mentre è massimo se i vettori sono ortogonali.
1.1.3
Prodotto Misto
Esistono due particolari operazioni vettoriali che permettono di sfruttare prodotto scalare e vettoriale per ottenere il prodotto di tre vettori. È possibile definire il prodotto misto, definito come: v1 v2 v3 ~v · w ~ × ~u = det w1 w2 w3 (1.3) u1 u2 u3 dove è chiaro che va prima eseguito il prodotto vettoriale w ~ × ~u e poi il prodotto scalare del vettore risultante col vettore ~v . Questo prodotto ha un significato fisico molto importante, in quanto rappresenta il volume del parallelepipedo i cui spigoli sono individuati dai vettori ~v , w ~ e ~u.
1.1.4
Doppio Prodotto Vettoriale
Il doppio prodotto vettoriale è definito come: ~v × (w ~ × ~u) dove si esegue prima il prodotto vettoriale w ~ × ~u e poi il prodotto vettoriale del vettore risultante col vettore ~v . È necessario indicare le parentesi perché generalmente l’ordine nel quale vengono eseguite le operazioni influenza il risultato. È possibile dimostrare che il vettore prodotto appartiene al piano individuato dai vettori w ~ e ~u e che può essere calcolato come: ~v × (w ~ × ~u) = (~v · ~u)w ~ − (~v · w)~ ~ u. 2
(1.4)
1.2 Operatori Differenziali
1.2
Scalari e Vettori
Operatori Differenziali
Oltre ai prodotti citati nella sezione precedente, verrà fatto largo uso degli operatori differenziali classici, in particolare modo di gradiente, divergenza e rotore. A differenza dei prodotti vettoriali, questi operatori possono essere applicati sia ad un singolo vettore o ad uno scalare, ottenendo una grandezza consona, sia ad un campo vettoriale che ad un campo scalare, ottenendo un nuovo campo.
1.2.1
Gradiente
~ ed è definito come il vettore che ha per componenti Il gradiente viene indicato con ∇ le derivate parziali, nell’ordine, rispetto a x, y e z: ∂ ∂ ∂ ~ = ∇ , , . (1.5) ∂x ∂y ∂z Il gradiente è un operatore differenziale che può essere applicato a funzioni scalari per ottenere un vettore che ne contiene le derivate parziali; considerando la funzione f = f (x, y, z), il gradiente applicato ad essa è: ∂ ∂ ∂ ~ f, f, f . ∇(f ) = ∂x ∂y ∂z Applicando invece il gradiente ad un campo scalare è possibile ottenere il campo vettoriale dal quale deriva; più avanti verrà infatti detto che il campo elettrico può essere definito come l’opposto del gradiente del potenziale elettrico, che è infatti un campo scalare. Il gradiente non è utile solo come operatore differenziale, ma può essere utilizzato come vettore nelle operazioni di prodotto tra vettori, permettendo di definire altri due oggetti.
1.2.2
Divergenza
La divergenza di un vettore viene definita come il prodotto scalare del gradiente per il vettore: ~ · ~v = ∂ vx + ∂ vy + ∂ vz . (1.6) ∇ ∂x ∂y ∂z La divergenza può essere applicata ad un campo vettoriale per ottenere un campo scalare che rappresenta la tendenza del campo vettoriale a convergere verso un certo punto. Esiste un teorema molto importante, detto teorema della divergenza, che permetterà di ricavare alcune leggi interessanti.
1.2.3
Rotore
Il rotore di un vettore viene definito come il prodotto vettoriale del gradiente per il vettore: ∂ ∂ v − ∂z vy uˆx uˆy uˆz ∂y z ~ × ~v = det ∂ ∂ ∂ = ∂ vx − ∂ vz . ∇ (1.7) ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂ ∂ v − ∂y vx vx vy vz ∂x y 3
1.2 Operatori Differenziali
Scalari e Vettori
Il rotore può essere applicato ad un campo vettoriale per ottenere un nuovo campo vettoriale. Esiste un teorema molto importante, detto teorema di Stokes, che permetterà di ricavare alcune leggi interessanti.
1.2.4
Operatore di Laplace
Come esiste il prodotto scalare di un vettore per sé stesso, definito come la sommatoria delle proprie componenti al quadrato: ~v · ~v = vx 2 + vy 2 + vz 2 esiste il prodotto scalare del gradiente per sé stesso: 2 2 2 ~ ·∇ ~ = ∂ + ∂ + ∂ ∇ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
che restituisce la somma delle derivate seconde; questo operatore viene definito come ∇2 e prende il nome di operatore di Laplace.
4
2
Elettrostatica
L’elettrostatica studia le forze ed i fenomeni connessi alle cariche elettriche, che possono essere di natura positiva o negativa. Le cariche che verranno studiate possono essere cariche puntiformi, cioè concentrate in un punto privo di dimensioni, oppure distribuzioni continue di caria, cioè distribuite su più dimensioni.
2.1
Il Campo Elettrico
Ogni carica puntiforme produce un campo elettrico che ha la caratteristica di essere un campo vettoriale centrale e conservativo. Il campo elettrico viene definito centrale perché la sua intensità dipende dalla distanza dalla carica sorgente, mentre viene definito conservativo perché il lavoro necessario a spostare una carica puntiforme da un punto A ad un punto B del campo non dipende dal percorso seguito. In particolare, la proprietà di essere un campo conservativo vale per qualunque tipo di campo espresso nella forma: ~ = C uˆn E (2.1) rn dove C è una costante arbitraria, rn indica la dipendenza dal raggio elevato alla n e uˆn è il versore radiale alla sorgente del campo. Se l’intensità del campo non dipende linearmente dal raggio, cioè n = 6 1, si può definire il potenziale del campo come il valore Z ∞ C ~ · dS ~= V (r) = E (2.2) (n − 1)rn−1 r che è un valore scalare. Esiste una legge che vale solo se il campo ha una dipendenza quadratica dal raggio, cioè per n = 2, detta legge di Gauss, che ha quindi validità per il campo gravitazionale, per il campo elettrico e per il campo magnetico. Per enunciare la legge di Gauss è necessario introdurre alcuni concetti preliminari.
2.1.1
Il Flusso di un Campo
Considerata una superficie Σ e definito un “verso positivo” di tale superficie, è possibile definire un vettore perpendicolare alla superficie, detto vettore di superficie. La legge di Gauss si fonda sul concetto di flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie, ma la sua espressione ed il suo calcolo cambiano a seconda del tipo di superficie in esame. Per caratterizzare il flusso è bene partire dal concetto di flusso differenziale. Si consideri ~ con direzione uˆr che attraversa una superficie infinitesima dΣ alla il campo elettrico E 5
2.1 Il Campo Elettrico
Elettrostatica
~ attraverso la superficie dΣ quale si associa il vettore di superficie uˆn ; il flusso del campo E si definisce come: ~ = (E ~ · uˆn )dΣ = E(ˆ dΦ(E) ur · uˆn )dΣ = Ecos(θ)dΣ (2.3) dove cos(θ) = uˆr · uˆn e θ è l’angolo tra il vettore di superficie ed il vettore campo elettrico. Il flusso attraverso l’intera superficie, anche detto flusso integrato, si ottiene grazie all’integrale di superficie del flusso differenziale: Z Z ~ = ~ = (E ~ · uˆn ) dΣ. Φ(E) dΦ(E) (2.4) Σ
Σ
Inoltre, se si considera una superficie chiusa Σ, si può calcolare il flusso grazie all’integrale curvilineo su Σ: I ~ = ~ · uˆn dΣ. Φ(E) E Σ
2.1.2
Il Teorema di Gauss
Il teorema di Gauss per il campo elettrico permette di stabilire una relazione tra il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa e la carica elettrica interna a tale superficie: ~ = 1 qint Φ(E) (2.5) ε0 dove qint è la carica elettrica totale interna alla superficie e ε0 è la costante dielettrica del vuoto. ~ è generato dalla totalità delle cariche elettriche, È importante notare che il campo E anche da quelle esterne alla superficie, mentre il flusso attraverso una superficie dipende solamente dalle cariche interne.
2.2
Distribuzioni Continue di Carica
Il teorema di Gauss può essere applicato anche a distribuzioni continue di carica elettrica, che presentino un elevato grado di simmetria, ma serve un modo per calcolare il valore complessivo di tali cariche. Le distribuzioni continue di carica si classificano a seconda delle “dimensioni” sulle quali si sviluppano e vengono studiate attraverso una grandezza denominata densità di carica; questa può essere: • una densità lineare, utile per corpi che si sviluppano su una sola dimensione, che identifica la densità della carica per unità di lunghezza: q λ= ; L • una densità superficiale, utile per corpi che si sviluppano su due dimensione, che identifica la densità della carica per unità di superficie: q σ= ; Σ • una densità volumetrica, utile per corpi che si sviluppano su tre dimensione, che identifica la densità della carica per unità di volume: q %= . τ 6
2.2 Distribuzioni Continue di Carica
2.2.1
Elettrostatica
Calcolo delle Carica di una Distribuzione Continua
Considerando, ad esempio, un volume τ sul quale è distribuita una carica q con densità volumetrica %, la carica interna ad una superficie Σ può essere calcolata grazie all’integrale di volume della densità di carica: Z qint = % dτ τ (Σ)
da cui deriva che il flusso viene espresso come: Z 1 ~ Φ(E) = % dτ. ε0 τ (Σ) Un caso particolare è quando il vettore superficie associato ad una superficie Σ è parallelo al campo elettrico, che significa che il campo è perpendicolare alla superficie; considerando la densità di carica sulla superficie Σ pari a σ, il flusso può essere calcolato come: ~ = |E|Σ ~ = EΣ Φ(E) e, grazie al teorema di Gauss, è noto che il flusso è uguale al rapporto tra la carica interna e la costante dielettrica del vuoto: q EΣ = ε0 e quindi si ottiene il valore del campo nel caso di una superficie generale: E=
2.2.2
q . Σε0
Applicazione del Teorema di Gauss
Il teorema di Gauss si rivela molto utile perché permette di calcolare il valore di un campo elettrico conoscendo la carica e la superficie, servendosi poi del flusso del campo per essa; inoltre, grazie a quanto appena visto, la superficie può essere scelta in modo “intelligente”, al fine di semplificare i calcoli. Esempio di Campo Elettrico di una Sfera con Carica Superficiale Si consideri un guscio sferico di raggio R e di superficie Σ con densità di carica pari a ~ generato dalla sfera sia all’esterno σ; si vuole calcolare l’intensità del campo elettrico E che all’interno della stessa. • r > R. Considerando un punto P a distanza r dal centro della sfera, con r > R, quindi esterno alla sfera stessa, è necessario scegliere una superficie per il calcolo del flusso; una scelta intelligente consiste nel considerare una superficie sferica di raggio r e calcolare il flusso per essa per poi applicare l’equazione 2.5 nella pagina precedente. La superficie della sfera di raggio r è data da 4πr2 , quindi il flusso del campo viene espresso come: ~ = E(r)4πr2 Φ(E) 7
2.2 Distribuzioni Continue di Carica
Elettrostatica
dove E(r) indica il modulo del campo elettrico a distanza r dalla sorgente; si è adottata questa scrittura perché il campo è perpendicolare alla sfera in ogni suo punto. Basta ora applicare il teorema di Gauss: E(r)4πr2 =
q q ⇐⇒ E(r) = ε0 ε0 4πr2
e concludere moltiplicando per il versore radiale alla superficie sferica per ottenere l’espressione vettoriale del campo: ~ = E
q uˆr . ε0 4πr2
• r < R. Se invece si considera punto P a distanza r dal centro della sfera, con r < R, cioè all’interno della sfera carica, si dovrebbe considerare una superficie sferica di raggio r, ma in questo caso non esistono cariche interne a tale superficie; il campo interno alla sfera risulta quindi nullo. Esempio di Campo Elettrico di una Sfera con Carica Volumetrica Considerando invece una carica q distribuita su tutto il volume della sfera con densità %, il campo all’esterno della sfera non cambia rispetto a quello ricavato nell’esempio precedente, ma il campo all’interno sì. Considerando un punto a distanza r dal centro della sfera, con r < R, la carica interna esiste e può essere calcolata come: 4 q = % πr3 . 3 Applicando ora il teorema di Gauss si ha che: E(r)4πr2 =
2.3
% 4 πr3 %r q ⇐⇒ E(r)4πr2 = 3 ⇐⇒ E(r) = . ε0 ε0 3ε0
I Conduttori
In questa sezione verranno studiati i conduttori in equilibrio elettrostatico, che sono materiali che hanno determinate caratteristiche. Prima di tutto, un conduttore è un materiale che rispetta la legge di Gauss vista nella sezione 2.1 a pagina 5, cioè: ! I Z n X 1 1 ~ ~ Φ(E) = E · uˆn dΣ = qi = % dτ. ε0 i=1 ε0 τ (Σ) Σ int
È interessante notare come la legge di Gauss applicata ad un conduttore metta in relazione un integrale di linea chiusa su superficie con un integrale di volume.
8
2.3 I Conduttori
Elettrostatica
Inoltre, esiste un teorema, detto teorema della divergenza, che permette di identificare matematicamente il flusso del campo elettrico con l’integrale di volume della divergenza del vettore campo elettrico: Z ~ ~ ·E ~ dτ Φ(E) = ∇ τ
e, dato che la variabile di integrazione è la stessa, permette di uguagliare la funzione integranda di questo integrale con quella dell’integrale di volume della legge di Gauss: ~ ·E ~ = % ∇ ε0
(2.6)
ottenendo quella che viene detta forma locale del teorema di Gauss. Questa forma della legge di Gauss è un’equazione differenziale che consente di collegare il campo elettrico con la distribuzione delle cariche che lo genera. Una seconda proprietà dei conduttori riguarda la circuitazione del campo elettrico, che deve essere nulla; la circuitazione viene espressa dall’integrale sulla linea chiusa γ del campo elettrico: I ~ · dS ~ = 0. E γ
Esiste un teorema, detto teorema di Stokes, che permette di mettere in relazione la circuitazione con l’integrale di superficie del rotore del campo elettrico: I Z ~ · dS ~ = (∇ ~ × E) ~ · uˆn dΣ = 0. E γ
Σ
La giustificazione matematica dell’annullamento dell’integrale sta nel fatto che il campo elettrico può essere espresso come l’opposto del gradiente del potenziale elettrico: ~ = −∇(V ~ ) E e quando si sostituisce nell’integrale, si ottiene il prodotto vettoriale di due vettori identici, nullo per definizione. Alle due condizioni matematiche appena viste, valide per un conduttore in equilibrio elettrostatico, corrisponde un oggetto che gode delle seguenti proprietà: • la carica elettrica è distribuita solo sulla superficie esterna; • il campo elettrico interno al conduttore è sempre nullo; • il potenziale elettrico è costante in tutti i punti della superficie. Un esempio di conduttore in equilibrio elettrostatico è la sfera cava che si è studiata come esempio alla fine del paragrafo 2.2.2 a pagina 7. Nello specifico, il fatto che il potenziale rimanga costante su tutti i punti della superficie discende dalla proprietà che permette di esprimere il campo elettrico con l’opposto del gradiente del potenziale elettrico. Considerando infatti due punti P1 e P2 sulla superficie esterna del conduttore e calcolandone la differenza di potenziale, grazie al teorema di Stokes è possibile dire che: Z P2 ~ · dS ~ V (P1 ) − V (P2 ) = E P1
9
2.3 I Conduttori
Elettrostatica
ma questo integrale è nullo per la proprietà di circuitazione, quindi si ha che: V (P1 ) − V (P2 ) = 0 ⇐⇒ V (P1 ) = V (P2 ). Questa condizione è particolarmente importante perché impone la statica delle cariche sulla superficie del conduttore: se tutti i punti sono allo stesso potenziale, nessuna carica si sposta da un punto ad un altro. Un’ultima proprietà dei conduttori è che il campo elettrico sul bordo esterno è sempre perpendicolare alla superficie Σ ed il suo modulo vale σ/ε0 , dove σ è la densità superficiale di carica.
2.3.1
Induzione
Quando si inserisce un conduttore all’interno di un campo elettrico esterno, questo tende a modificare la distribuzione di carica del conduttore, indifferentemente dal fatto che sia carico o meno. Ad esempio, se si inserisse un conduttore sferico all’interno del campo generato da due piastre con cariche di segno opposto (che generano un campo tra le piastre diretto verso quella con carica negativa), il campo da esse prodotto induce un campo sulla sfera, che distribuisce le sue cariche in modo da mantenere nullo il campo interno. Il campo interno alla sfera, necessario ad annullare il campo totale, si definisce campo indotto. Questo fenomeno viene infatti definito induzione, dove un campo esterno tende a modificare la distribuzione di carica su un conduttore.
2.3.2
Conduttori Isolati
I conduttori isolati sono conduttori che non sono in alcun modo soggetti all’influsso di cariche o campi esterni. Per questa classe di conduttori è possibile definire una grandezza detta capacità: q C= . (2.7) V Ricordando che la carica elettrica può essere calcolata come: I σdΣ q= Σ
e che il potenziale elettrico può essere calcolato come: I 1 σ V = dΣ 4πε0 Σ r anche se queste due grandezze venissero riscalate, la capacità del conduttore non cambiaerebbe. Per riscalatura si intende una modifica nella distribuzione della carica elettrica tramite moltiplicazione per un numero reale α, detto fattore di riscalatura, con una conseguente modifica di carica totale e di potenziale elettrico. Definendo la riscalatura della distribuzione di carica come: σ → σ 0 = ασ 10
2.3 I Conduttori
Elettrostatica
si ha una riscalatura anche di carica totale e potenziale: q → q 0 = αq
e
V → V 0 = αV
ma la nuova capacità, indicata con C 0 , rimane comunque invariata: C0 =
q q0 αq = = C. = 0 V αV V
La capacità dipende quindi solamente dalla distribuzione della carica sul conduttore, cioè dalla sua geometria. Esempio di Applicazione della Capacità Si considerino due sfere conduttrici S1 e S2 collegate da un filo, rispettivamente di raggio R1 e R2 , con R1 > R2 . La carica complessiva q si distribuisce uniformemente sulle due sfere nelle porzioni q1 e q2 , con densità di carica σ1 e σ2 . Trascurando gli effetti del filo e la carica sullo stesso, si vogliono determinare le cariche q1 e q2 . La carica q si distribuisce uniformemente sulle due sfere, conservandosi, per cui vale che q = q1 + q2 ; inoltre, dato che le due sfere sono collegate da un filo, esse in realtà rappresentano un unico conduttore, quindi il potenziale sulla superficie esterna è lo stesso: V1 = V2 ⇐⇒
q1 q2 q1 R1 = ⇐⇒ = . 4πε0 R1 4πε0 R2 q2 R2
Applicando l’equazione 2.7 nella pagina precedente ai potenziali appena calcolati, si nota che: q2 q1 = 4πε0 R1 = C1 e = 4πε0 R2 = C2 V1 V2 per cui vale che: q1 R1 C1 = = . q2 R2 C2 Per calcolare le cariche, si considera ora il sistema: ( ( ( 2 2 q1 R1 q2 = R q q2 = R q1 1 = R R 1 1 q2 R2 ⇐⇒ ⇐⇒ R1 +R2 2 q = q1 1 + R q = q q = q 1 + q2 1 R1 R1 da cui risulta che le cariche cercate sono espresse come: ( 1 q q1 = R1R+R 2 R2 q2 = R1 +R2 q. Il fatto che le cariche si distribuiscano in modo uniforme implica che ci sia una densità maggiore sulla sfera di raggio minore, ma questo significa che le densità di carica sono inversamente proporzionali ai raggi delle due sfere e che quindi la sfera di diametro minore avrà un campo più intenso. Questo è vero per il principio di equipotenzialità delle superfici. Questo è noto come potere delle punte: una geometria più acuta, che comporta una minor superficie, genera dei campi più intensi ed è più indicata per generare una differenza di potenziale. 11
2.3 I Conduttori
2.3.3
Elettrostatica
Conduttori Cavi
Finora si è dato per scontato che i conduttori fossero dei corpi continui ma in realtà i conduttori sono materiali che conservano le proprietà di campo interno nullo e di superfici equipotenziali indifferentemente dalla geometria interna del conduttore, anche se questo fosse cavo. I conduttori cavi rappresentano un interessante oggetto di studio e costituiscono delle soluzioni tecnologiche interessanti, come lo schermo elettrostatico. In un conduttore cavo, infatti, il campo interno eventualmente generato per induzione di una carica q esterna al conduttore stesso genera effetti all’esterno, ma non all’interno del conduttore; nello stesso modo, i campi interni alla cavità del conduttore non influenzano i campi esterni. La condizione di equilibrio elettrostatico crea un vincolo fortissimo, tale che le eventuali azioni sul campo interno al conduttore non influenzano il campo esterno ed eventuali azioni sul campo esterno non influenzano il campo interno. Si supponga di disporre di una sfera conduttrice di raggio R1 carica in superficie con carica positiva q e concentrica ad un conduttore sferico cavo di raggio interno R2 e raggio esterno R3 ; si vogliono analizzare campo elettrico e potenziale elettrico nei vari punti del sistema, cioè considerando un punto alle distanze dal centro di r < R1 , R1 < r < R2 , R2 < r < R3 e r > R3 . Prima di tutto, si noti che la presenza della carica positiva interna al conduttore sferico cavo induce la presenza di cariche negative sulla sua faccia interna R2 e di cariche positive sulla sua faccia esterna R3 , in modo da mantenere nullo il campo interno complessivo. • r < R1 . Considerando un punto posto a distanza r < R1 , cioè interno alla sfera carica centrale, per quanto già visto nell’esempio alla fine del paragrafo 2.2.2 a pagina 7, il campo interno alla sfera deve essere nullo. I contributi di campo delle tre facce sono: E(r) = 0 + 0 + 0 mentre i contributi di potenziale sono: V (r) =
q q q − + 4πε0 R1 4πε0 R2 4πε0 R3
per cui, per r < R1 , il campo elettrico è nullo, mentre il potenziale elettrico è costante. • R1 < r < R2 . Considerando un punto posto a distanza R1 < r < R2 , cioè nella cavità tra la sfera interna e la faccia interna della sfera cava, il campo è prodotto dalla carica sulla sfera interna mentre il campo esterno non ha alcun effetto in questa parte di spazio. I contributi di campo delle tre facce sono: E(r) =
q +0+0 4πε0 r2
mentre i contributi di potenziale sono: V (r) =
q q q − + 4πε0 r 4πε0 R2 4πε0 R3
per cui, per R1 < r < R2 , il campo elettrico decresce quadraticamente al variare del raggio, mentre il potenziale elettrico decresce linearmente. 12
2.3 I Conduttori
Elettrostatica
• R2 < r < R3 . Considerando un punto posto a distanza R2 < r < R3 , cioè interno al corpo del conduttore cavo, il campo elettrico deve nuovamente essere nullo; inoltre ci si trova all’esterno di due facce con carica opposta, quindi si avrà una compensazione tra il potenziale generato dalla carica positiva e quello generato dalla carica negativa. I contributi di campo delle tre facce sono: E(r) =
q q − +0 2 4πε0 r 4πε0 r2
mentre i contributi di potenziale sono: q q q − + 4πε0 r 4πε0 r 4πε0 R3
V (r) =
per cui, per R2 < r < R3 , il campo elettrico è nullo, mentre il potenziale elettrico è costante. • r > R3 . Considerando un punto posto a distanza r > R3 , cioè all’esterno della sfera cava, il campo elettrico è generato dalla carica indotta, mentre il campo interno non ha alcuna influenza in quanto si ha la compensazione necessaria ad annullare il campo nella zona R2 < r < R3 ; inoltre, questa compensazione vale anche per il potenziale. I contributi di campo delle tre facce sono: E(r) =
q q q − + 2 2 4πε0 r 4πε0 r 4πε0 r2
mentre i contributi di potenziale sono: V (r) =
q q q − + 4πε0 r 4πε0 r 4πε0 r
per cui, per r > R3 , il campo elettrico decresce quadraticamente al variare del raggio, mentre il potenziale elettrico decresce linearmente. Questa è la dimostrazione del fatto che i campi interni non hanno effetto su quelli esterni e che i campi esterni non hanno effetto su quelli interni. Un’ulteriore prova può essere ottenuta apportando delle modifiche al sistema. Contatto tra la Sfera Interna e la Sfera Esterna Se si mettesse a contatto la sfera interna con la faccia interna della sfera cava esterna si formerebbe un unico conduttore, quindi le cariche delle sfera interna si sposterebbero sulla faccia esterna della sfera cava. Rimane quindi solo il contributo della faccia R3 , per cui i valori di campo elettrico e potenziale elettrico sono: • se r < R1 : E(r) = 0 e V (r) =
q ; 4πε0 R3
E(r) = 0 e V (r) =
q ; 4πε0 R3
• se R1 < r < R2 :
13
2.3 I Conduttori
Elettrostatica
• se R2 < r < R3 : E(r) = 0 e V (r) = • se r > R3 : E(r) =
q 4πε0 r2
q ; 4πε0 R3
e V (r) =
q ; 4πε0 r
quindi il campo esiste solo all’esterno della sfera, decrescendo quadraticamente, mentre il potenziale rimane costante all’interno e decresce linearmente all’esterno. Modificando quindi la situazione interna, quella esterna non cambia. Sfera Esterna Messa a Terra Se si mettesse la faccia esterna del conduttore cavo a terra, annullandone la carica, gli effetti esterni cesserebbero di esistere, ma quelli interni no. Rimane quindi solo il contributo della facce R1 e R2 , per cui i valori di campo elettrico e potenziale elettrico sono: • se r < R1 : E(r) = 0 + 0 e V (r) =
q q − ; 4πε0 R1 4πε0 R2
• se R1 < r < R2 : E(r) =
q q q + 0 e V (r) = − ; 2 4πε0 r 4πε0 r 4πε0 R2
• se R2 < r < R3 : E(r) =
q q − 2 4πε0 r 4πε0 r2
e V (r) =
q q − ; 4πε0 r 4πε0 r
E(r) =
q q − 2 4πε0 r 4πε0 r2
e V (r) =
q q − ; 4πε0 r 4πε0 r
• se r > R3 :
quindi il campo esiste solo nella cavità tra le due sfere, decrescendo quadraticamente, mentre il potenziale rimane costante all’interno della sfera carica, decresce linearmente nella cavità e si annulla all’esterno. Modificando quindi la situazione esterna, quella interna non cambia. Il fatto che modificando la situazione interna non si modifichi quella esterna e che modificando quella interna non si modifichi quella esterna è quello che si voleva dimostrare. Si vuole ora calcolare la differenza di potenziale tra la sfera interna e la faccia interna della sfera esterna, data da: q q q 1 1 V1 − V2 = − = − . 4πε0 R1 4πε0 R2 4πε0 R1 R2 questa differenza di potenziale esiste sempre, sia che la faccia esterna della sfera esterna sia carica, sia che questa non lo sia. 14
2.3 I Conduttori
Elettrostatica
Si può anche calcolare la capacità dell’intero sistema, servendosi dell’equazione 2.7 a pagina 10, considerando come potenziale la differenza appena calcolata: C=
q R1 R2 = 4πε0 . V1 − V2 R2 − R1
Il sistema appena descritto è un esempio di induzione totale, definita come un situazione in cui tutte le linee di forza del campo prodotto da un oggetto carico intersecano un conduttore. Un sistema di conduttori nel quale si verifica un fenomeno di induzione totale viene definito condensatore.
2.4
I Condensatori
Per condensatore si intende un sistema di conduttori nei quali si instaura un fenomeno di induzione totale. L’esempio visto alla fine del paragrafo 2.3.3 a pagina 12 è un esempio di condensatore sferico e la capacità calcolata, espressa dall’equazione: C = 4πε0
R1 R2 R2 − R1
(2.8)
rappresenta la capacità del condensatore sferico; si noti che il rapporto: R2 R2 − R1 è sempre maggiore di 1, in quanto il denominatore è certamente minore del numeratore. Era stata definita anche la capacità di un conduttore sferico di raggio R, espressa come: C = 4πε0 R. Se si considera il condensatore sferico del quale si è parlato e si fa tendere il raggio della sfera esterna (R2 ) a +∞, il rapporto: R2 R2 − R1 tende a 1, per cui la capacità del condensatore sferico risulta uguale a 4πε0 R1 , cioè identica a quella di un conduttore sferico isolato. Il limite appena eseguito, cioè: lim 4πε0
R2 →∞
R1 R2 R2 − R1
è un limite caratteristico dei condensatori sferici, grazie al quale un conduttore sferico isolato può essere interpretato come un condensatore sferico in cui la sfera esterna ha un raggio infinito. Si vuole ora capire cosa succede se la distanza tra R1 e R2 è molto piccola, cioè se R2 → R1 ; tale distanza viene definita come h = R2 − R1 e viene considerato h R1 , R2 . 15
2.4 I Condensatori
Elettrostatica
Facendo tendere R2 a R1 , la capacità del condensatore sferico può essere scritta come: C=
4πε0 R1 2 h
dove 4πR1 2 è la superficie della sfera interna, indicata con Σ: C=
ε0 Σ . h
La capacità è quindi dipendente dalla superficie del condensatore.
2.4.1
Il Condensatore Cilindrico
Si consideri un condensatore cilindrico composto di un cilindro di altezza d e raggio R1 , con carica totale q distribuita con densità lineare di carica λ, e che sia posto coassialmente all’interno di un cilindro cavo di raggio interno R2 e di raggio esterno R3 . Si vuole calcolare il campo nella zona R1 < r < R2 , per cui si può considerare una superficie cilindrica (in modo che il campo prodotto dal cilindro interno sia sempre ortogonale ad essa) per il calcolo del flusso: ~ = ΣE = 2πrdE Φ(E) e poi applicare il teorema di Gauss: 2πrdE =
q λd λ ⇐⇒ 2πrdE = ⇐⇒ E = ε0 ε0 2πε0 r
da cui deriva che il campo elettrico è: ~ E(r) =
λ uˆn . 2πε0 r
Ora si può calcolare la differenza di potenziale tra le facce considerate, servendosi dell’integrale tra R1 e R2 del campo elettrico: Z R2 Z R2 λ 1 ~ V1 − V2 = E · d~r = dr 2πε0 R1 r R1 ottenendo che la differenza di potenziale vale: λ R2 V1 − V2 = ln . 2πε0 R1 Si può ora calcolare la capacità del condensatore cilindrico: C=
q = V1 − V2
che risulta essere uguale a: C=
λ 2πε0
2πε0 d . 2 ln R R1 16
λd ln
R2 R1
(2.9)
2.4 I Condensatori
Elettrostatica
Si vuole ora capire cosa succede se la distanza tra R1 e R2 è molto piccola, cioè se R2 → R1 ; tale distanza viene definita come h = R2 − R1 e viene considerato h R1 , R2 . La capacità può anche essere espressa come: C=
2πε0 d 2πε0 d = R2 −R1 ln 1 + Rh1 ln 1 + R1
ed eseguendone il limite per h → 0, si ha che, grazie allo sviluppo di Taylor della funzione logaritmo, questa tende al valore di h/R1 , quindi la capacità del condensatore diventa: C=
2πε0 d h R1
=
2πε0 dR1 h
dove 2πdR1 è la superficie del cilindro interno, indicata con Σ: C=
ε0 Σ . h
Anche in questo caso si è giunti ad un conclusione analoga a quella del condensatore sferico, secondo la quale la capacità è dipendente dalla superficie del condensatore.
2.4.2
Il Condensatore Piano
Un condensatore piano è costituito da due lastre di superficie Σ con carica uguale ed opposta q distribuita con densità superficiale σ = q/Σ. Il campo del condensatore va dal piano positivo al piano negativo e può facilmente essere calcolato come: ~ = σ uˆn . E ε0 Considerata h come la distanza tra i due piani, la differenza di potenziale è data da: V1 − V2 = Eh =
σ q h. h= ε0 ε0 Σ
e quindi la capacità del condensatore piano viene espressa come: C=
q ε0 Σ = . V1 − V2 h
(2.10)
Anche nel caso del condensatore piano si è giunti alla stessa formula della capacità, che dipende dalla superficie del condensatore. Si può quindi concludere che, se la distanza tra i due elementi di un condensatore è molto piccola, gli effetti della curvatura delle superfici sul campo elettrico sono trascurabili e quindi le superfici possono essere approssimate localmente con dei piani. Questo è un altro risultato del teorema di Coulomb, secondo il quale il campo all’esterno di un conduttore, qualunque forma esso assuma, in prossimità della superficie Σ ha valore uguale a σ/ε0 .
17
2.4 I Condensatori
2.4.3
Elettrostatica
Collegamenti di Condensatori
All’interno di un circuito elettrico, i condensatori vengono rappresentati come nella figura 2.1. Si possono collegare più condensatori in uno stesso circuito, ma il loro comportamento complessivo varia a seconda del tipo di collegamento: • collegando due condensatori in parallelo, il potenziale rimane costante; • collegando due condensatori in serie, la carica rimane costante.
Figura 2.1: Rappresentazione schematica di un condensatore.
Si considerino i due condensatori C1 e C2 collegati in parallelo come mostrato nel circuito 2.1. Entrambi in condensatori, con carica rispettivamente q1 e q2 , hanno il polo positivo rivolto verso il capo A del circuito. A
C1
C2
B Circuito 2.1: Condensatori collegati in parallelo.
Dato che il potenziale rimane costante ed è definito come V = VA − VB , le equazioni della carica dei due condensatori possono essere scritte come: q1 = C 1 V
e q2 = C 2 V
ma la carica complessiva del sistema è data dalla somma delle singole cariche dei condensatori, che quindi viene espressa come: q = q1 + q2 = C1 V + C2 V = (C1 + C2 )V. In un sistema di condensatori collegati in parallelo, la relazione tra carica e potenziale è uguale a quella di un conduttore isolato, fatto che permette di definire la capacità complessiva, anche detta capacità equivalente e denotata con Ceq , come la somma della capacità dei due condensatori: C=
q (C1 + C2 )V = = C1 + C2 = Ceq . V V
Un sistema di condensatori collegati in parallelo può quindi essere rappresentato come un unico condensatore di carica pari alla somma della singole cariche e di capacità equivalente pari alla somma delle singole capacità. 18
2.4 I Condensatori
Elettrostatica C1 C
C2 B
A
Circuito 2.2: Condensatori collegati in serie.
Si considerino i due condensatori C1 e C2 collegati in serie come mostrato nel circuito 2.2. Entrambi i condensatori, con carica q, hanno il polo positivo rivolto verso il capo C del circuito. In questo caso il potenziale non si conserva, ma la carica sì; note le capacità dei due condensatori, si può utilizzare l’equazione 2.7 a pagina 10 per calcolare il potenziale nelle due sezioni del circuito: V1 = VC − VB =
q C1
e V2 = VB − VA =
q . C2
Il calcolo della differenza di potenziale ai capi del circuito risulta ora abbastanza semplice: 1 1 V = VC − VA = VC − VB + VB − VA = V1 + V2 = q + . C1 C2 Nella parentesi compare il reciproco della capacità equivalente, che nel collegamento in serie viene definita come: 1 1 C1 C2 1 = + ⇐⇒ Ceq = . Ceq C1 C 2 C1 + C2 Anche nel caso di un sistema di condensatori collegati in serie si può trattare il tutto come un unico condensatore di carica q dove il reciproco della capacità equivalente è pari alla somma dei reciproci delle singole capacità. Per concludere, si ricordi che: • in un sistema di condensatori collegati in parallelo la capacità equivalente è definita come la somma delle singole capacità: Ceq p =
n X
Ci ;
(2.11)
i=1
• in un sistema di condensatori collegati in serie il reciproco della capacità equivalente è definito come la somma dei reciproci delle singole capacità: n
X 1 1 = . Ceq s Ci i=1
(2.12)
Esempio di Circuito di Condensatori Si consideri un circuito elettrico composto da due condensatori C1 e C2 collegati in serie, rispettivamente a tensione V1 = 30 V e V2 = 20 V. 19
2.4 I Condensatori
Elettrostatica
C2 C1
Viene ora collegato in parallelo al condensatore C1 un condensatore C 0 = 2 µF.
C2 C0
C1
A seguito del collegamento, le tensioni dei condensatori C1 e C2 cambiano, portandosi rispettivamente a V1 0 = 5 V e V2 0 = 45 V. Si vogliono calcolare le capacità C1 e C2 . Prima del collegamento, il circuito è composto di due condensatori in serie, per cui la carica totale rimane costante ed è possibile scrivere che: C1 V1 = q
e C2 V2 = q
da qui deriva che: C1 V1 = C2 V2 ⇐⇒
V2 C1 20 V 2 C1 C1 = ⇐⇒ = ⇐⇒ = . C2 V1 C2 30 V C2 3
Dopo il collegamento del condensatore C 0 in parallelo al condensatore C1 , i due condensatori possono essere interpretati come un unico condensatore di capacità equivalente Ceq = C1 + C 0 ; considerando questo condensatore come collegato in serie al condensatore C2 , si può fare un ragionamento analogo al caso precedente per quanto riguarda le cariche: (C1 + C 0 )V1 0 = C2 V2 0 ⇐⇒
C1 + C 0 V2 0 C1 + C 0 45 V C1 + C 0 = 0 ⇐⇒ = ⇐⇒ = 9. C2 V1 C2 5V C2
Basta ora risolvere il sistema: (
C1 = 23 C2 C1 +C 0 = C2
9
per calcolare le capacità dei due condensatori, che sono C1 = 0,16 µF e C2 = 0,24 µF.
20
2.4 I Condensatori
2.4.4
Elettrostatica
Carica del Condensatore
Come si è notato più volte, i condensatori sono sistemi nei quali le cariche positive sono separate dalle cariche negative, ma questo comporta due problemi: • le cariche dello stesso segno poste su uno stesso corpo tendono a respingersi tra di loro; • le cariche di segno opposto poste su corpi diversi tendono ad attrarsi tra loro. Per mantenere separate le cariche elettriche è quindi necessario fornire dell’energia ai condensatori, che si comportano quindi come degli accumulatori di energia. Per fornire energia ad un condensatore ed aumentare la sua carica q di una quantità dq si deve fornire un lavoro dW = V dq al condensatore; esprimendo il potenziale mediante la capacità si ottiene: q dW = dq C che rappresenta l’espressione del lavoro infinitesimo. Per calcolare il lavoro totale basta integrare questa espressione tra 0 e la carica che si vuole raggiungere, indicata con qf : Z Z qf q qf 2 W = dW = dq = C 2C 0 e rappresenta il lavoro da fornire al condensatore scarico per caricarlo fino alla carica qf . L’energia presente all’interno di un condensatore è quindi un’energia potenziale di natura elettrostatica, indicata con Ue , che può essere espressa in vari modi grazie all’equazione 2.7 a pagina 10: 1 1 1 q2 = CV 2 = qV. (2.13) Ue = 2C 2 2 Considerando un condensatore piano composto di due lastre con carica q, densità di carica σ e con superficie Σ che si trovano a distanza h e ricordando che il campo, diretto dalla lastra positiva alla lastra negativa, ha modulo E = σ/ε0 , l’energia potenziale elettrostatica del sistema può essere calcolata come: 1 1 1 Ue = qV = ΣσV = ΣEε0 V 2 2 2 e, ricordando che V = Eh, l’equazione diventa: 1 Ue = ΣE 2 ε0 h 2 ma il prodotto tra la superficie delle lastre e la loro distanza identifica il volume compreso tra di esse, indicato con τ : 1 Ue = E 2 ε0 τ. 2 Grazie a questa equazione è possibile definire la densità di energia elettrostatica, indicata con ue e definita come l’energia potenziale elettrostatica per unità di volume: ue =
Ue 1 = E 2 ε0 . τ 2 21
(2.14)
2.4 I Condensatori
Elettrostatica
È ora possibile definire la forma infinitesima dell’energia potenziale elettrostatica: 1 dUe = ue dτ = E 2 ε0 dτ 2 da cui deriva che l’energia potenziale elettrostatica totale può essere calcolata integrando l’espressione infinitesima: Z Z Ue = dUe = ue dτ. τ
La densità di energia elettrostatica è fondamentale per calcolare l’energia potenziale elettrostatica, in quanto mette a disposizione una formula che permette il suo calcolo diretto tramite integrazione. Si vuole provare ad applicare quanto appena detto al condensatore sferico. È già ben noto che il campo elettrico nell’intercapedine del condensatore è dato da: E(r) =
q 4πε0 r2
ma è necessario riferirsi ad un volume per il calcolo dell’energia potenziale elettrostatica; si considera allora la corona sferica di spessore infinitesimo dr, grazie alla quale il volume può essere calcolato dal prodotto tra questo spessore e la superficie della sfera: dτ = Σdr = 4πr2 dr. L’energia potenziale elettrostatica può ora essere calcolata grazie all’integrazione dell’equazione 2.14 nella pagina precedente: 2 Z R2 Z R2 q2 1 q2 1 1 q 1 2 4πr dr = Ue = ε0 dr = − . 4πε0 r2 8πε0 R1 r2 8πε0 R1 R2 R1 2 Questa espressione può anche essere scritta servendosi della capacità del condensatore sferico: 1 q2 1 q 2 R2 − R1 q2 q2 . Ue = − = = = R2 8πε0 R1 R2 2(4πε0 ) R1 R2 2C 2(4πε0 ) RR21−R 1 Se la sfera esterna nel condensatore fosse a potenziale nullo, per esempio messa a terra, l’equazione calcolata descriverebbe perfettamente l’energia potenziale elettrostatica del condensatore sferico; tuttavia, se la sfera esterna è carica, c’è da tenere conto del contributo del suo potenziale. Per calcolare il potenziale esterno, cioè per r > R3 , si deve considerare lo stesso integrale utilizzato per calcolare l’energia potenziale elettrostatica nella zona R1 < r < R2 , ma utilizzando come estremi di integrazione R3 e +∞: 2 Z +∞ Z +∞ q2 1 q 1 q2 2 Ue = ε0 4πr dr = dr = . 2 4πε0 r2 8πε0 R3 r2 8πε0 R3 R3 Anche in questo caso, l’energia potenziale può essere espressa servendosi della capacità del conduttore sferico, definita come C = 4πε0 R3 : Ue =
q2 . 2C
22
2.4 I Condensatori
Elettrostatica
Si riportano delle altre formule che permettono di calcolare l’energia potenziale elettrostatica conoscendo il potenziale e la distribuzione di carica; a seconda della “forma” della distribuzione di carica si deve utilizzare una diversa formula: Z Z Z 1 1 1 Ue = V λ dS Ue = V σ dΣ Ue = V % dτ. 2 γ 2 Σ 2 τ è:
Infine, si ricorda che l’energia potenziale elettrostatica in un condensatore a due elementi
1 (2.15) Ue = q(V1 − V2 ) 2 dove V1 − V2 = V è la differenza di potenziale tra le due facce ed il calcolo è facilmente estendibile al caso di un condensatore con n elementi: n
n
n
1X 1X 1 X qi 2 Ue = qi Vi = Ci Vi 2 = . 2 i=1 2 i=1 2 i=1 Ci
2.4.5
(2.16)
La Forza nel Condensatore
Si considerino due sfere isolate di raggi R1 e R2 poste a distanza d e con cariche rispettivamente q1 e q2 ; si consideri la distanza tra le due sfere molto maggiore dei raggi, condizione che garantisce che le distribuzioni di carica delle sfere non varino a causa di interazioni reciproche. L’energia potenziale complessiva del sistema può essere calcolata grazie all’equazione 2.16: 1 1 Ue = q1 V1 + q2 V2 2 2 dove i potenziali sono: V1 =
q1 q2 + 4πε0 R1 4πε0 d
e V2 =
q2 q1 + . 4πε0 R2 4πε0 d
Sostituendo, si ha che: Ue =
1 q1 2 1 q2 2 q1 q 2 + + 2 4πε0 R1 2 4πε0 R2 4πε0 d
dove sostituendo le capacità del conduttore sferico si ha che: Ue =
1 q1 2 1 q2 2 q1 q 2 + + . 2 C1 2 C2 4πε0 d
Nei primi due termini compaiono il deposito di carica rispettivamente sulla sfera R1 e sulla sfera R2 , quindi corrispondono al lavoro per caricare le due sfere a carica q1 e q2 ; il terzo termine viene invece definito mutua interazione ed è dovuto alle interazioni di forza tra le due sfere cariche. Questo esempio può in realtà essere generalizzato al caso di un condensatore. Si consideri un condensatore piano composto da due lastre con carica opposta q e −q poste a distanza h tra loro; la piastra negativa è vincolata, mentre la piastra positiva è libera di muoversi. 23
2.4 I Condensatori
Elettrostatica
Sperimentalmente, si osserva che la piastra positiva si avvicina alla piastra negativa di una distanza dh sotto l’influsso di una forza F~ ; si vuole capire come evolve l’energia potenziale durante il processo. L’energia potenziale elettrostatica iniziale del condensatore è: q2 2C dove, esplicitando la capacità del condensatore piano secondo l’equazione 2.10 a pagina 17, si ha che: q2 Ue = h. 2ε0 Σ Si nota quindi che se la distanza tra le due lastre diminuisce, anche l’energia potenziale elettrostatica diminuisce; considerando quindi la variazione di energia: Ue =
q2 dh 2ε0 Σ questa è in realtà energia liberata dal sistema, che quindi fornisce lavoro e può essere calcolato come: dW = F~ · d~h = F dh dUe =
ed uguagliato all’opposto della variazione di energia potenziale: q2 dh 2ε0 Σ per cui è possibile definire la forza come che sussiste tra le due lastre come: F dh = −dUe = −
F =−
q2 2ε0 Σ
oppure, esplicitando la carica, come: σ2Σ . 2ε0 Più in generale, questa forza, definita forza elettrostatica, può essere calcolata con l’opposto del gradiente dell’energia potenziale: ~ e) F~ = −∇(U F =−
il che rappresenta una sorta di parallelismo con la relazione che sussiste tra il campo elettrico ed il potenziale, secondo la quale il campo può essere definito come l’opposto del gradiente del potenziale. Tramite la forza elettrostatica è possibile definire una nuova grandezza; dividendo infatti tale forza per la superficie delle lastre si ottiene: F σ2 = Σ 2ε0 che rappresenta un pressione, detta pressione elettrostatica ed indicata con p. La pressione elettrostatica può anche essere espressa come: 1 p = E 2 ε0 (2.17) 2 ma questa espressione è analoga a quella dell’equazione 2.14 a pagina 21, che definisce la densità di energia elettrostatica; la pressione elettrostatica coincide infatti con la densità di energia sulla superficie del conduttore. 24
2.5 I Dielettrici
2.5
Elettrostatica
I Dielettrici
Finora si sono ampiamente descritti i conduttori in equilibrio elettrostatico, si è visto come combinare conduttori per formare dei condensatori da utilizzare come accumulatori di energia e come collegare condensatori in vari modi per variarne la capacità; tuttavia, tutti questi studi sono stati condotti assumendo che avvenissero nel vuoto, ma questa condizione non è sempre verificata, per cui è necessario introdurre il concetto di dielettrico. I dielettrici sono materiali non conduttori diversi dal vuoto, ma attraverso i quali il campo elettrico può comunque propagarsi, in presenza di una certa resistenza.
2.5.1
Dielettrici all’Interno di un Condensatore Piano
Per comprendere la differenza di comportamento tra un conduttore nel vuoto ed un conduttore in presenza di un dielettrico, si consideri un condensatore piano posto nel vuoto; tale condensatore è composto da due lastre poste a distanza h caricate con segno opposto con distribuzioni superficiali +σ0 e −σ0 . Il campo E0 ed il potenziale V0 possono facilmente essere calcolati come: E0 =
σ0 ε0
V0 =
q0 = E0 h. C0
Se ora si introduce una lastra di conduttore scarica di spessore s tra le due lastre del condensatore, viene indotta una distribuzione di carica −σ0 sulla faccia rivolta verso la lastra positiva del condensatore ed una distribuzione di carica +σ0 sulla faccia rivolta verso la lastra negativa del condensatore. Il campo elettrico non varia, tranne che nella zona interna al nuovo conduttore dove è nullo per le proprietà del conduttore, ma il potenziale varia diventando: V = E0 (h − s) che è minore del potenziale iniziale V0 . Vista la distribuzione delle cariche indotte, questa situazione può essere interpretata come se si stessero analizzando due condensatori di capacità C1 e C2 collegati in serie; si vuole ora capire come varia la capacità del sistema dopo l’inserimento della lastra s. La capacità iniziale è data da: C0 =
q0 ε0 Σ = V0 h
mentre l’inserimento della lastra s le due capacità sono uguali e sono date da: C1 = C2 =
ε0 Σ h−s 2
.
La capacità equivalente di un sistema di condensatori in serie può essere calcolata grazie all’equazione 2.12 a pagina 19, che risulta essere uguale a: 1 1 1 C1 C2 = + ⇐⇒ Ceq = Ceq C1 C2 C1 + C2 25
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
ma C1 = C2 , quindi:
C1 ε0 Σ C1 2 = = . 2C1 2 h−s Questa nuova capacità è chiaramente maggiore della capacità iniziale C0 ; calcolando infatti il rapporto Ceq /C0 , si ha che: Ceq =
Ceq h = C0 h−s e questo è sempre maggiore di 1. Questo fatto poteva anche essere dedotto osservano la formula che permette di calcolare la capacità, cioè C = q/V , e notando che la carica del sistema non varia nel “collegamento in serie” realizzato: se il potenziale diminuisce, la capacità deve quindi aumentare, perché queste sono in una relazione di proporzionalità inversa. Si supponga ora di tornare alla situazione iniziale, ma anziché inserire una lastra di conduttore, si riempie completamente lo spazio tra le due lastre con del materiale isolante. Un isolante può essere visto come un materiale in cui le cariche non sono libere di muoversi, ma sono vincolate in posizioni ben precise. In un isolante neutro, tali cariche si bilanciano in modo da mantenere l’elettroneutralità del sistema, ma quando questo viene posto tra le due lastre del condensatore, la situazione cambia. Il campo presente tra le due lastre induce, a livello microscopico, un momento di dipolo p~ che causa la formazione di una serie di dipoli nell’isolante, che si orientano con il polo negativo rivolto verso la lastra positiva e con il polo positivo rivolto verso la lastra negativa. In questo modo la carica interna all’isolante è bilanciata, ma sulle sue facce, a contatto con le lastre del condensatore, la carica non è bilanciata; è infatti presente una distribuzione di carica indotta causata dal momento di dipolo: sulla faccia a contatto con la lastra positiva è presente una distribuzione −σp , mentre sulla faccia a contatto con la lastra negativa è presente una distribuzione +σp . Sperimentalmente, è possibile notare che il potenziale diminuisce e che il rapporto tra il potenziale nel vuoto ed il potenziale in presenza dell’isolante ha un valore ben preciso, che varia a seconda dell’isolante: V0 = k. V La costante k viene definita costante dielettrica relativa. Esplicitando il potenziale V secondo la costante k e sostituendo nell’espressione del campo del condensatore, si ha che: E=
V V0 = h kh
e, ricordando che V0 = E0 h, si ha che: E=
E0 σ = . k kε0
È possibile notare che anche il campo elettrico diminuisce a causa della presenza dell’isolante, in quanto k è sempre maggiore di 1, cosa che non accadeva inserendo una lastra di conduttore tra le lastre del condensatore. 26
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
Il prodotto tra la costante dielettrica relativa e la costante dielettrica del vuoto permette di definire una nuova grandezza: kε0 = ε (2.18) che viene definita costante dielettrica assoluta e che rappresenta la dipendenza di tutte le grandezze dell’elettrostatica dal materiale in cui si trovano. Ad esempio, anche la capacità del condensatore varia: C=
q0 q0 = k = kC0 V V0
ma questa aumenta, a differenza di campo elettrico e potenziale.
2.5.2
Comportamento degli Isolanti
Alla luce delle osservazioni sperimentali, si vuole capire se l’interpretazione di quello che succede quando si impone un campo elettrico ad un materiale isolante è sensata. Tramite un artificio matematico, è possibile scrivere il rapporto 1/k in un modo differente: 1 k−1 =1− k k e sostituirlo all’interno dell’espressione del campo elettrico in presenza dell’isolante: σ0 k − 1 σ0 σ0 k − 1 σ0 E= = 1− = − kε0 k ε0 ε0 k ε0 dove compare proprio la distribuzione di carica superficiale indotta nel materiale isolante dal campo elettrico del conduttore, definita come: σp =
k−1 σ0 k
per cui il campo diventa:
σ0 σp − . (2.19) ε0 ε0 Il campo elettrico in presenza di una materiale isolante può quindi essere interpretato come la sovrapposizione di due campi elettrici nel vuoto, il cui effetto tende ad annullarsi: E=
• il campo elettrico prodotto dalle piastre del condensatore, definito come E = σ0 /ε0 ; • un campo di polarizzazione prodotto dall’isolante in reazione al campo del condensatore.
2.5.3
Teorema di Gauss in Presenza di Dielettrici
Il teorema di Gauss può essere applicato anche in presenza di dielettrici purché si tenga conto che il campo elettrico assume la forma mostrata nell’equazione 2.19. Ricordando l’espressione del teorema di Gauss, cioè: I ~ · uˆn dΣ = q E ε 27
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
ed applicando lo stesso artificio matematico alla costante dielettrica relativa, è possibile esprimere il rapporto tra carica e costante dielettrica come: q q k−1 q q k−1 q = = 1− = − ε kε0 k ε0 ε0 k ε0 dove ponendo:
k−1 q k si ha che la carica che genera il campo elettrico presente nella legge di Gauss può essere interpretata come somma di due cariche nel vuoto: qp =
q q qp = − . ε ε0 ε0
(2.20)
Dato che ε è una costante, per esprimere la legge di Gauss in presenza di dielettrici è conveniente moltiplicare entrambi i membri della sua formulazione per ε e definire un nuovo vettore, detto vettore di induzione dielettrica: ~ = εE ~ D
(2.21)
che ha lo stesso verso del vettore campo elettrico e rappresenta il campo elettrico tenendo conto della presenza del dielettrico. Il teorema di Gauss può quindi essere scritto nella forma: I ~ · uˆn dΣ = q. D (2.22) Introducendo una nuova grandezza, definita suscettività elettrica ed indicata con χ, che può essere messa in relazione alla costante dielettrica relativa (e che è quindi caratteristica di ogni dielettrico): k =1+χ (2.23) è possibile ridefinire il vettore di induzione dielettrica come: ~ = εE ~ = kε0 E ~ = (1 + χ)ε0 E ~ = ε0 E ~ + χε0 E. ~ D Questa scrittura permette di definire un ulteriore vettore, detto vettore di polarizzazione: ~ P~ = χε0 E
(2.24)
grazie al quale il vettore di induzione dielettrica può essere scritto come somma vettoriale: ~ = ε0 E ~ + P~ . D Questa scrittura del vettore di induzione dielettrica può essere sostituita nell’equazione 2.22: I I I I ~ · uˆn dΣ = q ⇐⇒ ~ + P~ ) · uˆn dΣ = q ⇐⇒ ~ · uˆn dΣ = q − P~ · uˆn dΣ D (ε0 E ε0 E dove, dividendo entrambi i membri per ε0 , si ha che: I I q 1 ~ · uˆn dΣ = E − P~ · uˆn dΣ. ε0 ε0 28
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
L’integrale su linea chiusa al secondo membro rappresenta il flusso del vettore polarizzazione. Come nel caso dell’equazione 2.20 nella pagina precedente, il flusso del campo elettrico è stato espresso come somma di due contributi; uguagliando quella scrittura con quella appena ricavata, si ha che: I q 1 qp q − − P~ · uˆn dΣ = ε0 ε0 ε0 ε0 e semplificando i termini comuni: I
P~ · uˆn dΣ = qp .
(2.25)
Come il flusso del campo elettrico viene messo in relazione alle cariche che lo generano grazie al teorema di Gauss, questa equazione permette di mettere in relazione il flusso del vettore di polarizzazione con le cariche che lo generano, cioè le cariche di polarizzazione, che sono le cariche indotte nell’isolante dalla presenza di un campo elettrico esterno. Utilizzando il teorema della divergenza è inoltre possibile derivare la forma locale dell’equazione 2.25, eseguendo il prodotto scalare tra il gradiente ed il vettore di polarizzazione: ~ · P~ = %p ∇ che dice che la divergenza del vettore polarizzazione è uguale alla densità di carica di polarizzazione. Molte delle equazioni scritte per il campo elettrico possono quindi essere applicate anche al vettore di polarizzazione; infatti tale vettore è fisicamente rappresentato dalla densità di momento di dipolo per unità di volume. Il vettore di polarizzazione rappresenta infatti il campo elettrico generato dal momento di dipolo indotto dalla presenza di un campo esterno in un isolante. Considerando il campo elettrico del condensatore in presenza dell’isolante e quello nel vuoto, è possibile stabilire una relazione tra questi: E=
σ0 E0 ⇐⇒ E = ⇐⇒ kE = E0 . kε0 k
Se si moltiplicano entrambi i membri per ε0 si ha che: kε0 E = ε0 E0 ⇐⇒ εE = ε0 E0 ma questi prodotti possono essere espressi tramite i vettori di induzione dielettrica: D = D0 . Da questo si può concludere che il modulo del vettore di induzione dielettrica non varia, qualunque sia il mezzo considerato; questo comporta un notevole vantaggio nell’applicazione del teorema di Gauss in presenza di dielettrici, in quanto il vettore campo elettrico cambia a seconda dei materiali che attraversa, ma il vettore di polarizzazione dielettrica rimane costante.
29
2.5 I Dielettrici
2.5.4
Elettrostatica
Dielettrici con Spessore Variabile
Si consideri il condensatore piano del quale si è discusso nella parte iniziale della sezione 2.5 a pagina 25 e si supponga di inserire tra le due lastre del condensatore una lastra di dielettrico di spessore s; si vuole capire come variano il vettore campo elettrico, il vettore di induzione dielettrica ed il vettore di polarizzazione al variare dello spessore dell’isolante. Prima di tutto, è bene ricordare che il campo elettrico è diverso a seconda del materiale in cui ci si trova, risultando uguale a E0 nello spazio vuoto ed uguale a E all’interno del dielettrico. Tra i due campi sussiste la relazione: ε0 E0 = εE ⇐⇒ E0 = kE. Prima di tutto, si calcolano le grandezze fondamentali nel vuoto; il campo elettrico è dato da: σ0 E0 = ε0 l’induzione dielettrica da: D = ε0 E 0 = σ 0 la polarizzazione nel vuoto è nulla: P0 = 0 ed il potenziale da:
σ0 h . ε0 Il vettore di polarizzazione all’interno del dielettrico può essere calcolato come: V0 = E0 h =
P = (k − 1)ε0 E =
k−1 ε0 E 0 k
dove può essere sostituita l’induzione dielettrica come D = ε0 E0 risulta: k−1 k−1 D= σ0 . k k ~ D ~ e P~ sono quindi indipendenti dallo spessore del dielettrico considerato. I vettore E, Considerando invece la differenza di potenziale, questa porta ad una conclusione interessante: Z h ~ · d~h V = E 0
ma il vettore campo elettrico è formato da due contributi, il campo nel vuoto ed il campo nel dielettrico, rispettivamente E0 e E; l’integrale produce quindi due diverse componenti di potenziale: σ0 σ0 V = E0 (h − s) + Es ⇐⇒ V = (h − s) + s ε0 kε0 e ricordando come viene espresso il potenziale nel vuoto, si ha che: σ0 h k−1s k−1s V = 1− = V0 1 − . ε0 k h k h 30
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
Questa è la relazione che lega il potenziale allo spessore del dielettrico, nella quale si nota che al variare dello spessore il potenziale diminuisce linearmente, partendo da V0 per s = 0 (assenza di dielettrico) fino ad arrivare ad un valore minimo per s = h (spazio completamente riempito di dielettrico), caso in cui il potenziale vale V0 /k. Il potenziale può anche essere scritto come: k−1 σ0 h− s V = ε0 k dove, moltiplicando e dividendo per la superficie Σ, si ha che: q k−1 V = h− s . ε0 Σ k Da questa equazione si può derivare la capacità del sistema; è possibile identificare l’inverso della capacità nell’equazione, cioè: 1 V = q C che quindi è:
V h−s s = + q ε0 Σ εΣ
ma questa espressione contiene due termini reciproci dell’espressione della capacità mostrata nell’equazione 2.10 a pagina 17. È quindi possibile individuare due reciproci di due diverse capacità: h−s 1 = ε0 Σ C1
e
1 s = εΣ C2
dove C1 corrisponde alla capacità di un condensatore nel vuoto le cui piastre sono lontane h − s, mentre C2 corrisponde ad un condensatore nel dielettrico considerato le cui piastre sono a distanza s. Il sistema può quindi essere interpretato come due condensatori collegati in serie, uno nel vuoto e l’altro immerso nel dielettrico considerato; questo fatto era già stato osservato nella parte iniziale della sezione 2.5 a pagina 25. È inoltre possibile notare che la posizione del dielettrico nello spazio tra le lastre del condensatore non influenza campo, potenziale e capacità complessiva; l’unica variabile che incide su queste grandezze è lo spessore del dielettrico. Si può osservare una certa analogia con lo schermo elettrostatico, perché anche se il dielettrico all’interno si muovesse, non si noterebbe alcun effetto all’esterno del condensatore. Esempio di Energia in Presenza di Dielettrico Si vuole ora capire quale sia l’effetto del dielettrico sull’energia del sistema. Si consideri il condensatore riempito completamente di dielettrico, cioè con s = h; la capacità del sistema diventa quindi: εΣ C= . h 31
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
È noto che l’energia elettrostatica può essere calcolata secondo l’equazione 2.13 a pagina 21: Ue =
q2 σ 2 Σ2 = εΣ 2C 2h
dove, moltiplicando e dividendo per ε è possibile individuare il quadrato del campo elettrico: Ue =
εσ 2 Σ2 2 2 ε hΣ
da cui deriva che l’energia vale:
1 Ue = εE 2 Σh. 2 È inoltre possibile calcolare la densità di energia, che vale: ue =
Ue 1 = εE 2 Σh 2
La densità di energia nel vuoto vale: 1 ue0 = ε0 E 2 2 e quindi può essere calcolata la variazione di densità di energia tra la situazione in presenza di dielettrico e quella nel vuoto: 1 1 1 ∆ue = ue − ue0 = εE 2 − ε0 E 2 = ε0 (k − 1)E 2 2 2 2 che rappresenta quindi la densità di energia da fornire per polarizzare il dielettrico. Questo risultato può anche essere derivato considerando il lavoro per separare di una distanza dx una carica q da una carica −q, esprimibile come la forza moltiplicata per lo spostamento; la forza è data dal prodotto tra il campo e la carica: dW = Eqdx ma qdx è in realtà il momento di dipolo infinitesimo dp, quindi il lavoro vale: dW = Edp. Dividendo entrambi i membri per l’unità di volume si ha che: dW dp =E τ τ dove il rapporto dp/τ viene detto momento di polarizzazione. Identificando il lavoro per unità di volume come dw, vale che: dw = EdP dove il momento di polarizzazione può anche essere scritto come Eε0 (k − 1)dE; sostituendo ed integrando sul campo elettrico, è possibile ricavare il lavoro per unità di volume finito: 1 w = ε0 (k − 1)E 2 2 che è esattamente la conclusione alla quale si era giunti. 32
2.5 I Dielettrici
2.5.5
Elettrostatica
Dielettrici con Inserimento Variabile
Si consideri un condensatore piano composto da due lastre quadrate di lato d e distanti tra loro h; si supponga di disporre di una lastra di dielettrico k di spessore h che può essere fatta scorrere tra le lastre del condensatore. Assumendo che la carica q sulle lastre del condensatore sia costante, si vogliono calcolare la densità di carica σ, la differenza di potenziale V , la capacità C e l’energia elettrostatica Ue , il tutto in funzione della posizione della lastra di dielettrico (o meglio, di quanto è inserita tra le lastre del condensatore). Verrà considerata come x la lunghezza della quale la lastra di dielettrico è inserita tra le lastre del condensatore, mentre la restante lunghezza libera è naturalmente d − x; inoltre, la zona libera dal dielettrico verrà detta zona 1, mentre la zona occupata dal dielettrico verrà detta zona 2. Quando avviene l’inserimento della lastra di dielettrico le cariche sulle lastre del condensatore si distribuiscono in modo da mantenere il potenziale costante ed in modo da contrastare le cariche di polarizzazione indotte nel dielettrico. Nella zona 1 c’è quindi una distribuzione di carica σ1 , mentre nella zona 2 c’è una distribuzione di carica σ2 = σp + σ1 ; ci deve essere più carica nella zona 2 per compensare la carica di polarizzazione. Dato che le armature sono equipotenziali, il campo è lo stesso in entrambe le zone: E1 =
σ1 ε0
e E2 =
σ2 kε0
da cui deriva che:
σ2 σ1 = ⇐⇒ σ2 = kσ1 ε0 kε0 ma questo significa che σ2 > σ1 , come ipotizzato. La distribuzione della carica di polarizzazione può essere calcolata come: σp = σ2 − σ1 dove, utilizzando la relazione σ2 = kσ1 , si ha che: σp = (k − 1)σ1 =
k−1 σ2 . k
Calcolando i vettori di induzione nelle due zone, si ha che: D1 = ε0 E
e D2 = kε0 E = kD1
quindi anche per l’induzione vale che D2 > D1 . Nel caso analizzato precedentemente, quello di un condensatore piano nel quale era completamente inserita una lastra di dielettrico di spessore variabile, il campo era diverso nelle zone vuote e nelle zone dove era presente il dielettrico, mentre il vettore induzione era costante; in questo caso, al contrario, è il campo elettrico a rimanere costante, mentre il vettore induzione varia. Dato che la carica rimane costante sulle lastre del condensatore, questa è data dalla somma delle cariche nelle due zone: q = q1 + q2 = σ1 (d − x)d + σ2 xd 33
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
dove (d − x)d e xd sono le superficie dei rettangoli rispettivamente nella zona 1 e 2, ma dato che σ2 = kσ1 , sostituendo si ha che: q = σ1 (d − x)d + σ1 kxd e quindi è possibile identificare la distribuzione σ1 in funzione di x: σ1 (x) =
q d d + (k − 1)x
σ2 (x) =
qk . d d + (k − 1)x
ed anche la distribuzione σ2 :
Tutte le altre grandezze richieste possono essere facilmente calcolate in cascata, note le distribuzioni σ1 e σ2 . Il campo elettrico è dato da: E(x) =
σ1 (x) σ2 (x) q = = ε0 kε0 ε0 d d + (k − 1)x
il potenziale è dato da: V (x) = E(x)h =
qh ε0 d d + (k − 1)x
la capacità è data da: ε0 d d + (k − 1)x q C(x) = = V (x) h ma questa può essere separata in due contributi: C(x) =
ε0 (d − x)d ε0 kxd + . h h
Anche in questo caso la capacità può essere interpretata come la somma di due capacità C1 e C2 , rispettivamente come quelle di un condensatore nel vuoto ed uno immerso nel dielettrico, ma in questo caso la somma è delle capacità stesse e non dei reciproci; il sistema può quindi essere rappresentato da due condensatori collegati in parallelo. Si può ora facilmente calcolare l’energia elettrostatica: Ue (x) =
q2 q2h . = 2C(x) 2ε0 d d + (k − 1)x
È possibile notare che per il valore massimo di x, cioè x = d, che significa che il dielettrico è completamente inserito tra le lastre del condensatore, l’energia assume un valore minimo; l’inserimento del dielettrico è quindi spontaneo, perché comporta il raggiungimento di uno stato con energia più bassa. La forza con cui il dielettrico tende ad essere attratto all’interno può essere calcolata considerando l’opposto della variazione di energia potenziale: F (x) = −
d k−1 Ue = 2 . dx d + (k − 1)x 34
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
È possibile notare che la capacità per x = d, cioè quando il dielettrico è completamente inserito, è: ε0 (d − d)d ε0 kd2 ε0 kd2 C = C1 + C2 = + = h h h quindi C2 è l’espressione della capacità di un condensatore completamente riempito di dielettrico, come era già stato notato all’inizio della sezione 2.5 a pagina 25 (ricordando che Σ = d2 ). È più interessante il caso in cui il dielettrico sia inserito solamente per metà, cioè quando x = d/2: ε0 (d − d2 )d ε0 k d2 d 1 ε0 d2 1 ε0 kd2 1 ε0 d 2 C = C1 + C2 = + = + = (k + 1) h h 2 h 2 h 2 h dove il rapporto:
ε0 d 2 h viene definito come C0 e rappresenta la capacità del condensatore nel vuoto. Esempio di Condensatori Si considerino tre gusci sferici sottili e concentrici C1 , C2 e C3 con raggi rispettivamente R1 = 3 cm, R2 = 6 cm e R3 = 9 cm; lo spazio tra C1 e C2 è completamente riempito con un dielettrico di costante relativa k = 4, mentre lo spazio tra C2 e C3 è vuoto, come lo spazio esterno a C3 . Da grande distanza, vengono depositate le cariche q1 , q2 e q3 sulle facce esterne delle rispettive sfere; all’equilibrio elettrostatico è possibile notare che le differenze di potenziale valgono: V21 = V2 − V1 = −100 V e V32 = V3 − V2 = −100 V. È inoltre noto che l’energia elettrostatica all’esterno della sfera C3 vale Ue = 10−5 J. Ad un certo punto, mantenendo il sistema isolato, viene rimossa la metà del dielettrico che riempie lo spazio tra C1 e C2 . Si vogliono calcolare: 1. le cariche q1 , q2 e q3 dopo il deposito; 2. il potenziale V1 rispetto all’infinito all’equilibrio elettrostatico; 3. il lavoro da fornire per la rimozione del dielettrico. Nel depositare le cariche, si deve tener conto degli effetti induttivi delle cariche sugli altri conduttori: • la carica q1 viene depositata sulla faccia esterna della sfera C1 e quindi viene indotta una carica −q1 sulla faccia interna di C2 , con la conseguente formazione di una carica q1 sulla faccia esterna di C2 , che a sua volta induce una carica −q1 sulla faccia interna di C3 , con la conseguente formazione di una carica q1 sulla faccia esterna di C3 ; 35
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
• la carica q2 viene depositata sulla faccia esterna della sfera C2 , sulla quale è già presente una carica indotta q1 , con la conseguente induzione di una carica −q2 sulla faccia interna di C3 e la formazione di una carica q2 sulla faccia esterna di C3 , sulla quale è già presente una carica indotta q1 ; • la carica q3 viene depositata sulla faccia esterna della sfera C3 , sulla quale sono giù presenti le cariche indotte q1 e q2 . Sulle facce esterne delle sfere sono quindi presenti le cariche: • sulla sfera C1 è presente la carica q1 , posta uguale a Q1 ; • sulla sfera C2 è presente la carica q1 + q2 , posta uguale a Q2 ; • sulla sfera C3 è presente la carica q1 + q2 + q3 , posta uguale a Q3 . Una volta fatta chiarezza sulla distribuzione delle cariche presenti sulle sfere, si nota che il sistema può essere trattato come un insieme di condensatori collegati in serie, costituito da tre condensatori: • il condensatore riempito di dielettrico formato dalle sfere C1 e C2 , la cui capacità vale: R2 R1 C12 = 4πε0 k = 2,660 · 10−11 F; R2 − R1 • il condensatore vuoto formato dalle sfere C2 e C3 , la cui capacità vale: C23 = 4πε0
R3 R2 = 2,001 · 10−11 F; R3 − R2
• il condensatore vuoto formato dalla sfera C3 e da un’ipotetica sfera di raggio infinito, la cui capacità vale: C3∞ = 4πε0 R3 = 1,000 · 10−11 F. Ora è facilmente calcolabile la carica Q1 utilizzando l’espressione della capacità del condensatore C12 : Q1 C12 = ⇐⇒ Q1 = C12 V12 V12 ma si presti particolare attenzione al fatto che si dispone della differenza di potenziale V21 e non di V12 ; la relazione che le lega è: V12 = −V21 = 100 V. Ricordando ora che Q1 = q1 , si ha che: Q1 = C12 V12 ⇐⇒ q1 = C12 (−V21 ) = 2,669 · 10−11 C. In modo analogo a quanto appena fatto per q1 , la carica q2 può essere calcolata ricordando che Q2 = q1 + q2 e quindi q2 = Q2 − q1 ; la carica Q2 viene calcolata sfruttando la capacità del condensatore C23 : C23 =
Q2 ⇐⇒ Q2 = C23 V23 V23 36
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
e ricordando di utilizzare la giusta differenza di potenziale: V23 = −V32 = 100 V. È ora possibile calcolare la carica q2 come: q2 = C23 (−V32 ) − q1 = −6,673 · 10−10 C. Per calcolare la carica q3 si deve seguire una strada diversa, cioè utilizzare la formula che permette di calcolare l’energia elettrostatica, che è nota: Ue =
p Q3 2 ⇐⇒ Q3 = 2C3∞ Ue 2C3∞
e ricordando che Q3 = q1 + q2 + q3 , quindi q3 = Q3 − q1 − q2 , si ha che: p q3 = 2C3∞ Ue − q1 − q2 = 1,215 · 10−8 C. Si passa ora al calcolo del potenziale V1 , ma questo deve essere riferito all’infinito; l’unico modo per farlo, è calcolare il potenziale V3 rispetto all’infinito: V3 =
q1 + q2 + q3 Q3 = = 1413,57 V 4πε0 R3 4πε0 R3
e poi utilizzarlo per calcolare V1 . La differenza di potenziale V1 − V3 può essere scritta anche come: V1 − V3 = V1 − V2 + V2 − V3 ⇐⇒ V1 − V3 = V12 + V23 quindi è possibile calcolare V1 come: V1 = V3 − V21 − V32 = 1613,57 V. È chiaro che la rimozione di metà del dielettrico tra le sfere C1 e C2 comporta un innalzamento di energia del sistema, quindi è necessario fornire energia sotto forma di lavoro per rimuoverlo; tale lavoro può essere calcolato dalla variazione di energia del sistema. Lo stato interno, dove lo spazio tra le sfere C1 e C2 è riempito per metà di dielettrico, può essere interpretato come il collegamento in parallelo di due condensatori, uno nel vuoto ed uno immerso nel dielettrico. La capacità del condensatore riempito viene indicata con: 1 C12 0 = C12 2 mentre la capacità del condensatore nel vuoto viene indicata con: 1 C0 = C120 2 dove C120 è la capacità C12 calcolata come se il condensatore fosse nel vuoto: C120 = 4πε0 37
R2 R1 . R2 − R1
2.5 I Dielettrici
Elettrostatica
La capacità equivalente del condensatore formato dalla sfere C1 e C2 nello stato attuale può quindi essere calcolata come: 1 1 Ceq = C12 + C0 = kC120 + C0 2 2 dove C0 = 12 C120 , da cui deriva che: 1 Ceq = (k + 1)C120 . 2 Nota la capacità equivalente, è possibile calcolare il lavoro fornito come differenza tra l’energia finale e l’energia iniziale: Q1 2 1 1 W = ∆Ue = Uef − Uei = − = 8,007 · 10−8 J. 2 Ceq C12
38
3
Corrente Elettrica
Finora si è sempre parlato di apparecchiature in equilibrio elettrostatico, per le quali le cariche sono in posizione fissa; nei rari casi in cui si sono messi a contatto conduttori differenti, il fenomeno dello scambio di carica è stato considerato transitorio, fino al raggiungimento di un nuovo stato di equilibrio elettrostatico. L’equilibrio è quindi uno stato in cui gli elettroni hanno velocità media nulla. Se invece si accostano due conduttori con potenziale V1 e V2 , con V1 > V2 tra i due si sviluppa un campo elettrico diretto da V1 a V2 e, se non si adottano misure per impedire questo fenomeno, si sviluppa anche un moto di elettroni diretto da V2 verso V1 . Tale moto viene definito corrente elettrica.
3.1
Condizioni di Corrente
Perché si sviluppi una corrente elettrica tra due conduttori non è solo necessario che tra i due esista una differenza di potenziale, ma anche che questa differenza perduri nel tempo. La differenza di potenziale necessaria a mantenere gli elettroni in moto, espressa come: Z 2 ~ · dS ~ V1 − V2 = E 1
genera una Forza Elettro Motrice (FEM), che è data dalla circuitazione del campo elettrico. Nella sezione 2.3 a pagina 8 si era detto che i conduttori in equilibrio elettrostatico devono avere circuitazione nulla, ma perché si sviluppi una forza elettro motrice, la circuitazione deve essere non nulla: I ~ · dS ~ 6= 0. ξ= E Per mantenere questa condizione costante nel tempo, quindi per avere una corrente elettrica stabile, si deve introdurre un nuovo elemento, cioè un generatore di differenza di potenziale, schematizzato come mostra la figura 3.1, dove la lamella lunga indica il capo positivo mentre la lamella corta indica il capo negativo.
Figura 3.1: Rappresentazione schematica di un generatore di differenza di potenziale.
Tuttavia, il moto di elettroni per formare una corrente non avviene con bilancio energetico nullo: gli elettroni incontrano infatti una resistenza nel loro moto, dovuta alle interazioni con gli ioni della struttura cristallina del conduttore nel quale si sviluppa la corrente elettrica. 39
3.1 Condizioni di Corrente
3.1.1
Corrente Elettrica
Intensità di Corrente
La corrente introduce quindi la variabile temporale negli studi delle cariche, perché rappresenta una variazione di carica nel tempo; questo è vero, perché in una corrente gli elettroni, cioè le cariche elementari, si spostano. È quindi necessario essere in grado di descrivere l’entità di questa variazione, quindi viene definita l’intensità di corrente, indicata con i e misurata in A. L’intensità di corrente è definita come: i = lim
∆t→0
d ∆q = q ∆t dt
(3.1)
cioè come il limite per ∆t → 0 della variazione di carica, identificato dalla derivata rispetto al tempo della carica stessa. Considerando una corrente di cariche positive in moto sotto l’influsso di un campo ~ che interseca con angolo θ una superficie infinitesima dΣ, si vuole capire quanta elettrico E carica attraversa la superficie nell’unità di tempo. Se si isola una singola carica in moto, questa avrà velocità vd , definita velocità di deriva, e nell’intervallo ∆t avrà percorso una distanza lineare vd ∆t; si può quindi dire che la carica che attraversa la superficie dΣ nell’intervallo di tempo ∆t è contenuta nel volume dτ = dΣvd ∆t cos(θ). Definendo come n+ la densità di carica positiva ed identificando con e la carica elementare con velocità vd , è corretto dire che la variazione di carica ∆q nel volume dτ può essere calcolata come: ∆q = n+ edτ = n+ edΣvd ∆t cos(θ) ed applicando la definizione di corrente elettrica dell’equazione 3.1 si può identificare la corrente infinitesima: di = n+ evd dΣ cos(θ). Questa grandezza può essere ridefinita utilizzando il vettore densità di corrente: ~j = n+ e~vd
(3.2)
per cui la corrente infinitesima risulta: di = ~j · uˆn dΣ dove uˆn è il vettore associato alla superficie dΣ. La corrente finita può essere calcolata integrando l’ultima equazione: Z i = ~j · uˆn dΣ Σ
ma questa quantità rappresenta il flusso del vettore ~j per la superficie Σ, cioè Φ(~j). Nel caso si consideri una corrente di cariche negative, il vettore densità di corrente potrebbe essere definito come: ~j = n− (−e)~vd . 40
3.1 Condizioni di Corrente
Corrente Elettrica
Da questo è possibile osservare che le cariche positive si spostano nella stessa direzione del campo elettrico, mentre le cariche negative si spostano in direzione opposta. Questo permette di osservare un fatto interessante. ~ una carica positiva e in moto con velocità ~v+ concorde al verso del Dato un campo E, campo produce un certo vettore ~j, mentre una carica negativa −e con velocità ~v− uguale in modulo alla precedente ed opposta al verso del campo produce lo stesso vettore ~j, in quanto la relazione che intercorre tra le due velocità è ~v+ = −~v− : e~v+ = −e~v− = −e(−~v+ ) = ~j. Il vettore ~j è quindi sempre rivolto nella direzione del campo elettrico, qualsiasi sia il segno delle cariche che generano la corrente. Se invece fossero presenti sia cariche positive che cariche negative, il vettore densità di corrente potrebbe essere scritto come la somma dei vettori delle singole correnti: ~j = n+ e~v+ + n− (−e)~v− = ~j+ + ~j− . Dato che il vettore ~j è indipendente dalle cariche considerate, come appena dimostrato, verrà considerata convenzionalmente la corrente come composta di sole cariche positive; in questo modo la corrente si sposta dal potenziale maggiore al potenziale minore, proprio come il campo elettrico, il che la rende concorde con il verso del vettore campo elettrico.
3.1.2
Principio di Conservazione della Carica
Nota l’equazione 3.1 nella pagina precedente e noto che l’intensità di corrente può essere individuata tramite il flusso del vettore ~j attraverso una superficie, è possibile legare tale flusso alla variazione di carica che lo genera; considerando solo la carica interna alla superficie dΣ, si ha che: I ∂ i = ~j · uˆn dΣ = − qint ∂t dove è presente il segno negativo perché man mano che la carica interna fluisce attraverso la superficie, questa naturalmente diminuisce. Scrivendo ora la carica interna come prodotto tra la densità volumetrica ed il volume, si ha che: I ~j · uˆn dΣ = − ∂ %dτ ∂t ed applicando il teorema della divergenza il primo integrale può essere scritto come: Z ~ · ~j dτ = − ∂ %dτ ∇ ∂t τ da cui deriva che:
~ · ~j + ∂ % = 0. ∇ (3.3) ∂t L’equazione 3.3 rappresenta l’equazione di continuità della corrente elettrica ed esprime il principio di conservazione della carica: la carica di cui si sta calcolando il flusso di corrente deve essere uguale alla carica interna che fluisce tramite la superficie, logicamente. Questa equazione dice che la corrente è associata ad una distribuzione di cariche che varia nel tempo e che si muovono nello spazio; collega quindi spazio e tempo tramite la grandezza fisica che si studia, cioè la carica. 41
3.1 Condizioni di Corrente
Corrente Elettrica
È inoltre possibile notare che, se la carica non varia nel tempo, la sua derivata è nulla, il che riporta al caso dei conduttori, per i quali vale che: ~ · ~j = 0. ∇ Un esempio rilevante del principio di conservazione della carica è il seguente. Si consideri un conduttore conico nel quale scorre una corrente di densità ~j e si isolino due sezioni dello stesso di superficie Σ1 e Σ2 , con Σ1 > Σ2 ; alla superficie Σ1 è associato il versore uˆ1 , contrario al verso del vettore ~j1 , mentre alla superficie Σ2 è associato il versore uˆ2 , concorde al verso di ~j2 . Il flusso tramite l’intero conduttore può essere calcolato come: I Z Z ~j · uˆn dΣ = ~j1 · uˆ1 dΣ1 + ~j2 · uˆ2 dΣ2 = 0 Σ1
da cui deriva che:
Z
Σ2
~j1 · uˆ1 dΣ1 =
Σ1
Z
~j2 · (−ˆ u2 ) dΣ2
Σ2
ma questo significa che i1 = i2 . Da quanto appena notato si può concludere che dove la sezione del conduttore diminuisce, il vettore ~j aumenta, per mantenere costante l’intensità di corrente, che quindi si muove più velocemente nei tratti con sezione minore. La corrente elettrica si comporta quindi come un fluido incomprimibile, che scorre più velocemente nei tratti di tubo con sezione minore diminuendo la sua pressione.
3.2
La Legge di Ohm
Si vuole ora comprendere che relazione sussista tra la densità di corrente ed il campo elettrico. Noto che i due vettori che identificano le grandezze citate sono paralleli tra loro, una carica elementare soggetta ad un campo elettrico subisce un’accelerazione data dal rapporto tra la forza che agisce su di essa e la sua massa: ~ −eE F~ = . m m Una carica in moto all’interno di una campo elettrico viene deviata dal campo stesso, cambiando continuamente direzione nel suo moto caotico, cioè interagendo con il campo elettrico; la distanza percorsa tra una deviazione e l’altra viene detta cammino libero medio della carica e questo impiega un tempo medio tra due interazioni. Dal rapporto tra queste due grandezze si può identificare la velocità di deriva della singola carica. Non conoscendo esattamente il cammino medio, la velocità di deriva può essere approssimata servendosi dell’accelerazione e del tempo medio tra due interazioni, indicato con τ (da non confondere con il volume); ~a =
~vd ∼ ~aτ =
−eτ ~ E. m
Riportando questa scrittura nell’equazione che definisce il vettore ~j per il moto di una carica negativa, dove la densità di carica verrà indicata semplicemente con n, si ha che: 2 ~ = ne τ E ~ ~j = n(−e) −eτ E m m
42
3.2 La Legge di Ohm
Corrente Elettrica
dove è possibile definire la conduttività del materiale come: σ=
ne2 τ m
da non confondere con la densità superficiale di carica. L’equazione: ~ ~j = σ E.
(3.4)
(3.5)
rappresenta la legge di Ohm ed esprime il legame tra la corrente ed il campo elettrico che la genera. La legge di Ohm viene spesso espressa nella forma: ~ = 1 ~j E σ dove la grandezza: % = 1/σ,
(3.6)
da non confondere con la densità volumetrica di carica, indica la resistività del materiale: ~ = %~j. E
(3.7)
Nella sezione 3.1 a pagina 39 era stato detto che per mantenere una corrente elettrica costante è necessario fornire continuamente energia per mantenere la differenza di potenziale. Si può infatti calcolare la potenza spesa dalla forza elettrica per mantenere il moto della carica e alla velocità ~vd : ~ · ~vd . P = F~ · ~vd = eE Considerando invece la potenza per unità di volume, data dal prodotto tra la potenza complessiva e la densità di carica n, si ha che: ~ · ~vd = ~j · E ~ Pτ = nP = neE ma servendosi della legge di Ohm, mostrata nell’equazione 3.5, l’espressione può essere riscritta come: Pτ = σE 2 oppure, tramite la resistività elettrica, come: Pτ = %j 2 .
3.2.1
Legge di Ohm Macroscopica
Studiando i conduttori metallici si può trarre un’importante conclusione sulla legge di Ohm: si consideri un cilindro di metallo lungo h con sezione Σ al quale viene applicata una differenza di potenziale che induce un campo elettrico che va dal punto A con potenziale positivo al punto B con potenziale negativo; la corrente, quindi il vettore ~j, è diretta da A a B. Per la legge di Ohm, è possibile scrivere che: ~ ~j = σ E 43
3.2 La Legge di Ohm
Corrente Elettrica
e quindi il modulo dell’intensità di corrente vale: i = jΣ =
Σ E. %
È quindi possibile calcolare il modulo del campo elettrico come: E=
% i. Σ
La differenza di potenziale può essere calcolata come di consueto: Z B ~ · dS ~ = Eh E V = VA − VB = A
e sostituendo il modulo del campo elettrico appena ricavato: V =
%h i Σ
dove si può definire la resistenza:
%h . Σ caratteristica intrinseca del materiale conduttore e misurata in Ω. Questa grandezza permette di scrivere la legge di Ohm macroscopica: R=
(3.8)
V = Ri
(3.9)
che mette in relazione la differenza di potenziale che genera la corrente con la resistenza che si oppone ad essa. Anche in questo caso può essere calcolata la potenza da spendere per far circolare la corrente nel conduttore: P = Pτ τ = Pτ Σh = %j 2 Σh ed esprimendo il modulo di j come i/Σ si ha che: P =%
i2 %h 2 Σh = i 2 Σ Σ
da cui deriva che la potenza viene espressa nella forma: P = Ri2 .
(3.10)
Questa espressione di potenza permette di descrivere un effetto caratteristico dei conduttori metallici attraversati da corrente, che si surriscaldano a causa della corrente che li attraversa ed a causa della resistenza che oppongono alla corrente; questo fenomeno prende il nome di effetto Joule e rappresenta una dissipazione di energia. Esistono anche materiali che hanno un effetto Joule praticamente nullo e che quindi non oppongono resistenza alla corrente elettrica: questi materiali si dicono superconduttori e vanno mantenuti a temperatura estremamente bassa, prossima allo zero assoluto.
44
3.2 La Legge di Ohm
3.2.2
Corrente Elettrica
Resistenze
Grazie all’equazione 3.9 nella pagina precedente è stato introdotto un nuovo elemento nello studio dei circuiti, cioè la resistenza, che viene schematizzata in un circuito come mostrato nella figura 3.2.
Figura 3.2: Rappresentazione schematica di una resistenza.
Come visto per i condensatori nel paragrafo 2.4.3 a pagina 18, anche le resistenze possono essere collegate in diversi modi: • collegando due resistenze in serie, l’intensità di corrente rimane costante; • collegando due resistenze in parallelo, la differenza di potenziale rimane costante. Si considerino le resistenze R1 e R2 collegate in serie come mostrato nel circuito 3.1. A
i
R1
B
R2
C
Circuito 3.1: Resistenze collegate in serie.
La differenza di potenziale ai capi della resistenza R1 è data da: VA − VB = R1 i mentre la differenza di potenziale ai capi della resistenza R2 è data da: VB − VC = R2 i. La differenza di potenziale tra i punto A e C può facilmente essere calcolata come: VA − VC = VA − VB + VB − VC = (R1 + R2 )i dove R1 + R2 viene definita come una resistenza equivalente Req . Due resistenze in serie possono quindi essere interpretate come una sola resistenza Req = R1 + R2 . Si considerino le resistenze R1 e R2 collegate in parallelo come mostrato nel circuito 3.2. i1
R1
A
B R2 i2
Circuito 3.2: Resistenze collegate in parallelo.
45
3.2 La Legge di Ohm
Corrente Elettrica
In questo caso la corrente che parte da A si divide in i1 e i2 quando arriva alla diramazione e per il principio di conservazione della corrente si ha che i = i1 + i2 ; l’intensità di corrente complessiva viene quindi espressa come: V 1 1 V + =V + . i = i1 + i2 = R1 R2 R1 R2 Anche in questo caso si possono interpretare due resistenze collegate in parallelo come una sola resistenza equivalente, ma questa volta si devono sommare i reciproci delle resistenze: 1 1 1 R1 R2 = + ⇐⇒ Req = . Req R1 R2 R1 + R2 Per concludere, si ricordi che: • in un sistema di resistenze collegate in serie la resistenza equivalente è definita come la somma delle singole resistenze: Req s =
n X
Ri ;
(3.11)
i=1
• in un sistema di resistenze collegate in parallelo il reciproco della resistenza equivalente è definito come la somma dei reciproci delle singole resistenze: n
X 1 1 = . Req p R i i=1
(3.12)
Da un confronto con quanto detto nel paragrafo 2.4.3 a pagina 18 è possibile notare che condensatori e resistenze si comportano in modo simmetrico quando vengono collegati tra loro. Un altro aspetto interessante è il dualismo che intercorre tra condensatori e resistenze, che permettono di mettere in relazione grandezze elettriche rispettivamente statiche e dinamiche con la differenza di potenziale: • nei condensatori è presente una relazione tra carica e differenza di potenziale basata sulla capacità: q = CV ; • nelle resistenze è presente una relazione tra intensità di corrente e differenza di potenziale basta sulla resistenza: 1 i = V. R Esempio di Collegamenti di Resistenze Si consideri il circuito 3.3 nella pagina successiva, composto di sei resistenze di valore R1 = 3 Ω e R2 = 9 Ω. La corrente circola dal punto A al punto B ed è noto che la differenza di potenziale tra questi due punti è V = VA − VB = 17,4 V. Si vogliono calcolare la resistenza totale del circuito e la potenza trasferita. 46
3.2 La Legge di Ohm
Corrente Elettrica A
R1
R2
C
D
R1
R2
B R1
F
R2
E
Circuito 3.3: Esempio di circuito.
Quando si hanno molte resistenze collegate in diversi modi, conviene iniziare a “raggruppare” le resistenze servendosi delle formule per il calcolo della resistenza equivalente presentate nel paragrafo 3.2.2 a pagina 45. Le tre resistenze R2 che coprono il percorso tra i punti C, D, E e F sono collegate in serie, quindi possono essere trattate come una sola resistenza Req 0 servendosi dell’equazione 3.11 nella pagina precedente: Req 0 = R2 + R2 + R2 = 27 Ω. La nuova resistenza calcolata è ora collegata in parallelo alla resistenza R1 che copre il percorso tra i punti C e F , quindi può essere individuata una nuova resistenza Req 00 grazie all’equazione 3.12 nella pagina precedente: 1 1 1 00 + 00 = 0 ⇐⇒ Req = 2,7 Ω. Req R1 Req Questa nuova resistenza è ora collegata in serie alle rimanenti resistenze R1 che coprono il percorso tra i punti A, C, F e B, per cui è possibile identificare la resistenza equivalente dell’intero circuito: Req = R1 + Req 00 + R1 = 8,7 Ω. Per calcolare la potenza del circuito è necessario conoscere la corrente che vi circola, facilmente calcolabile grazie alla legge di Ohm macroscopica: i=
V = 2A Req
ed è ora possibile calcolare la potenza come: P = Req i2 = 34,8 W.
3.3
La Forza Elettro Motrice
Nella sezione 3.1 a pagina 39 è stato detto che la condizione fondamentale per cui si sviluppi una corrente elettrica tra due punti è che sia presente una forza elettro motrice, di seguito abbreviato con FEM. Anche la Differenza di Potenziale (DDP) verrà d’ora in poi abbreviata come mostrato.
47
3.3 La Forza Elettro Motrice
Corrente Elettrica
Considerando una resistenza R tra due punti A e B, la DDP tra di essi può essere facilmente calcolata come: Z B ~ · dS ~ = Ri VA − VB = E A
dove i è la corrente che circola da A verso B; inoltre, se il circuito è chiuso, cioè A coincide con B, allora si ha la circuitazione del campo: I ~ · dS ~ = RT i. E (3.13) La quantità RT i viene posta uguale a ξ e rappresenta la FEM del circuito: (3.14)
ξ = RT i che viene impressa da un generatore di differenza di potenziale.
3.3.1
Il Generatore di Differenza di Potenziale
Il generatore di DDP è un elemento necessario alla circolazione delle corrente elettrica all’interno di un circuito ed era già stato schematizzato nella figura 3.1 a pagina 39. Al suo interno si stabilisce quindi un campo elettrico che va dalla lamina positiva alla lamina negativa, ma questo campo si espande anche all’esterno, cioè lungo il circuito al quale è collegato. Questo significa che esiste un campo di natura elettrostatica all’interno del circuito, ~ el . che è proprio quello che sostiene il moto delle cariche; tale campo viene indicato come E ~ el è di natura elettrostatica, questo deve avere circuitazione nulla, Dato che il campo E ma questa può essere espressa come: I Z B Z A ~ ~ ~ ~ ~ el · dS) ~ Eel · dS = (Eel · dS)ext + (E int = 0 A
B
che rappresentano i contributi del campo interno e del campo esterno al generatore, che quindi si bilanciano tra loro. Perché questa condizione sia verificata deve esistere un altro campo, indicato con ∗ ~ ~ ∗ infatti sposta le cariche E , diretto dalla lamina negativa a quella positiva. Il campo E positive che si portano alla lamina negativa del generatore attraverso il circuito nuovamente ~∗ è sulla lamina positiva, mantenendo costante lo scorrimento della corrente. Il campo E quello che genera effettivamente la forza elettromotrice, motivo per cui viene detto campo elettromotore. Considerando quindi anche il campo elettromotore, il campo complessivo all’interno del generatore vale: ~ =E ~∗ + E ~ el E mentre il campo complessivo all’esterno del generatore, cioè lungo il circuito, vale: ~ =E ~ el . E Alla luce di questo, la FEM può essere identificata come: I Z B Z A Z B Z ∗ ~ · dS ~= ~ el · dS ~+ ~ +E ~ el ) · dS ~= ~ el · dS ~+ ξ= E (E E E A
B
A
48
A
B
~∗
~+ E · dS
Z
A
B
~ el · dS ~ E
3.3 La Forza Elettro Motrice
Corrente Elettrica
per cui la FEM è data da: Z
A
~ ∗ · dS ~ E
ξ=
(3.15)
B
~ ∗ non è di natura elettrostatica, in quanto la sua circuitazione non è per cui il campo E nulla e questa rappresenta proprio la FEM. Il campo elettromotore ha quindi il ruolo di portare le cariche sulla lamina positiva del generatore, dove il campo elettrostatico le fa poi circolare nel circuito; il campo elettromotore genera infatti la FEM, mentre il campo elettrostatico realizza l’effettiva circolazione della carica.
3.3.2
La Resistenza Interna
Il campo elettromotore può essere definito a partire dalla forza che sposta effettivamente le cariche all’interno del generatore: ~ ∗ dq ⇐⇒ E ~ ∗ = d F~ ∗ dF~ ∗ = E dq ~ el dq, perché il ma, considerando anche la forza del campo elettrostatico, data da dF~el = E campo elettromotore abbia l’effetto voluto deve valere che: |dF~ ∗ | > |dF~el | cioè la forza elettromotrice deve vincere la forza del campo elettrostatico; in caso contrario non ci sarebbe circolazione di cariche. Deve quindi essere verificato che: Z A ~∗ + E ~ el ) · dS ~>0 (E B
Cioè che il campo elettromotore sia maggiore del campo elettrostatico. L’ultimo integrale viene quindi posto come: Z A ~∗ + E ~ el ) · dS ~ = ri (E B
dove r rappresenta la resistenza interna del generatore, il che rende possibile estendere la leggere di Ohm anche all’interno di un generatore di DDP. Perché circoli corrente all’interno di un circuito il campo elettromotore deve vincere la resistenza interna r, dovuta al generatore stesso. Per rappresentare la resistenza interna si introduce un resistenza r appena dopo il generatore, come mostrato nella figura 3.3 nella pagina successiva, dove sono stati inseriti alcuni nodi per spiegare quanto segue sull’applicazione della legge di Ohm al generatore. Si può quindi applicare a legge di Ohm a questo ramo di circuito, ma si devono osservare alcune accortezze nel senso di circolazione della corrente e nella DDP che si sta cercando di calcolare, specialmente per quanto riguarda il segno da attribuire alla FEM prodotta dal generatore. • A ξ va attribuito il segno positivo se la corrente attraversa il generatore nel verso opposto della corrente che verrebbe impressa dal generatore stesso, cioè dal positivo 49
3.3 La Forza Elettro Motrice
Corrente Elettrica ξ
r B0
A
B
Figura 3.3: Rappresentazione schematica di un generatore di differenza di potenziale con resistenza interna.
al negativo; supponendo che la corrente circoli da sinistra verso destra nel caso mostrato nella figura 3.3, le DDP sono: VA − VB 0 = ri e VB 0 − VB = ξ =⇒ VA − VB = ri + ξ. • A ξ va attribuito il segno negativo se la corrente attraversa il generatore nello stesso verso della corrente che verrebbe impressa dal generatore stesso, cioè dal negativo al positivo; supponendo che la corrente circoli da destra verso sinistra nel caso mostrato nella figura 3.3, le DDP sono: VB − VB 0 = −ξ
e VB 0 − VA = ri =⇒ VB − VA = ri − ξ.
Il fatto che la resistenza interna del generatore influisca sul circuito è facilmente dimostrabile; si consideri il circuito 3.4. R
i
ξ
r B0
A
B
Circuito 3.4: Esempio di circuito.
È stato conveniente inserire il punto B 0 appena dopo il generatore ξ e prima della resistenza interna r perché questo permette di applicare la legge di Ohm a tutti i componenti del circuito. Le differenze di potenziale sono infatti: VA − VB = Ri
VB − VB 0 = −ξ
VB 0 − VA = ri
dalla cui somma totale si ha che: VA − VB + VB − VB 0 + VB 0 − VA = Ri − ξ + ri ⇐⇒ ξ = (R + r)i che è quanto volevasi dimostrare. La somma della resistenza R e della resistenza interna del generatore viene indicata come RT , cioè come resistenza totale del circuito. L’andamento del potenziale all’interno del circuito è il seguente: • il potenziale parte da un valore ξ nel punto B 0 , subito dopo il generatore; 50
3.3 La Forza Elettro Motrice
Corrente Elettrica
• dopo aver attraversato la resistenza r ed aver raggiunto il punto A, il potenziale è diminuito di un valore ri, risultando uguale a ξ − ri; • dopo aver attraversato la resistenza R ed aver raggiunto il punto B, il potenziale è diminuito di un valore Ri, risultando uguale a ξ − ri − Ri. Dall’andamento del potenziale si può dedurre che la FEM è data da: ξ = Ri + ri come già osservato prima; da questa scrittura è anche possibile calcolare la potenza dissipata dal circuito, data da: PR = ξidt = Ri2 dt + ri2 dt = (R + r)i2 dt da cui deriva che:
ξi = RT i2 .
Al primo membro è presente la potenza generata dalla FEM, mentre al secondo membro è la potenza dissipata dal circuito; quindi tutta la potenza generata viene dissipata dalla resistenze del circuito per effetto Joule. Grazie a questo circuito è inoltre possibile dimostrare che il trasferimento massimo di potenza si ha quando r = R; la corrente vale infatti: i=
ξ R+r
per cui la potenza dissipata viene calcolata come: PR = Ri2 = ξ 2
R . (R + r)2
Considerando ora la derivata prima della potenza dissipata rispetto a R, si ha che: d r−R PR = ξ 2 dR (R + r)3 che è nulla se r = R, il che lo qualifica come un punto stazionario; per capire se sia un punto di massimo od un punto di minimo, si analizza la derivata seconda: d2 R − 2r PR = 2ξ 2 2 dR (R + r)4 che è certamente negativa se r = R, per cui la potenza dissipata è minima, il che significa che si ha il massimo trasferimento di potenza se r = R. Esempio di Circuito Si consideri il circuito 3.5 nella pagina successiva, nel quale il generatore produce ξ = 100 V e le resistenze valgono r = 10 Ω, R1 = 40 Ω, R2 = 50 Ω e R3 = 100 Ω. Si vuole calcolare la differenza di potenziale per ogni resistenza e VA − VB . 51
3.3 La Forza Elettro Motrice
Corrente Elettrica A r
R3
E
C ξ
R2 D R1 B
Circuito 3.5: Esempio di circuito.
È prima di tutto necessario calcolare la resistenza totale del circuito, data da: RT = r + R1 + R2 + R3 = 200 Ω grazie alla quale è possibile calcolare la corrente che circola nel circuito: i=
ξ = 0,5 A. RT
È ora possibile calcolare la differenza di potenziale tra i vari punti: V1 = VD − VB = R1 i = 20 V V2 = VC − VD = R2 i = 25 V V3 = VA − VC = R3 i = 50 V mentre nell’altro ramo si ha che: VB − VE = −ξ
e VE − VA = ri
per cui la DDP cercata può essere calcolata come: VB − VA = −ξ + ri ⇐⇒ VA − VB = ξ − ri = V1 + V2 + V3 = (R1 + R2 + R3 )i = 95 V. È possibile notare che la differenza ai capi del generatore è minore della FEM a causa della resistenza interna del generatore stesso; inoltre, grazie a questa distribuzione di resistenze, è possibile modificare il valore del potenziale dei vari punti del circuito modificando il valore delle resistenze, motivo per cui viene definito partitore resistivo.
3.3.3
Legge di Ohm Generalizzata
Si consideri il circuito 3.6 nella pagina seguente, dove i due generatori ξ1 e ξ2 sono orientati in versi opposti e precisamente ξ1 è in verso opposto alla corrente. 52
3.3 La Forza Elettro Motrice
i A
Corrente Elettrica ξ1
r1
R
C0
C
ξ2
r2 D0
D
B
Circuito 3.6: Esempio di circuito.
Applicando la legge di Ohm ad ogni componente si ha che: VA − VC = Ri
VC − VC 0 = r1 i
VC 0 − VD = ξ1
VD − VD0 = r2 i
VD0 − VB = −ξ2
ed in particolare è possibile risalire alle DDP ai capi dei generatori, considerando le resistenze interne: VC − VD = r1 i + ξ1 VD − VB = r2 i − ξ2 . Calcolando ora la DDP ai capi del circuito si ha che: VA − VB = (R + r1 + r2 )i + ξ1 − ξ2 ed in particolare: VA − VB − ξ1 + ξ2 = RT i.
(3.16)
L’equazione appena derivata rappresenta la legge di Ohm generalizzata, nella quale alla differenza di potenziale tra i due capi di un circuito vengono sommati i contributi dei generatori presi con il segno corretto; questa può essere riscritta come: VA − VB +
n X
sgn(ξk )ξk = RT i
(3.17)
k=1
e per un circuito chiuso è valido: VA = VB =⇒
n X
sgn(ξk )ξk = RT i.
(3.18)
k=1
Questa legge in realtà definisce una convenzione importante sulla quale si basano anche le leggi di Kirchhoff per i nodi e per le maglie nei circuiti, che non verranno trattate, ma si ritiene comunque utile parlare dell’idea su cui è fondata la loro formalizzazione. Per derivare la legge di Ohm generalizzata mostrata nell’equazione 3.16 è stata applicata la legge di Ohm ad ogni componente del circuito 3.6 al fine di calcolare la DDP richiesta come somma delle singole, tenendo conto della convenzione su segno della FEM definita nel paragrafo 3.3.2 a pagina 49; la legge di Ohm generalizzata è stata poi definita portando tutti i contribuiti di potenziale al primo membro dell’equazione e tutti i contributi di resistenza al secondo membro. Proprio sull’idea si “separare” potenziale e resistenza si fonda la formalizzazione delle leggi di Kirchhoff; assumendo di adottare sempre questa separazione, è stata adottata una nuova convenzione sui segni di resistenza e FEM, basata stavolta sul verso di scorrimento della corrente. Considerando, ad esempio, i quattro componenti mostrati nella figura 3.4 nella pagina seguente, ponendo tutti i contributi di potenziale a primo membro e tutti i contributi di resistenza al secondo membro si ha che: 53
3.3 La Forza Elettro Motrice
i A
R B
(a) Resistenza.
i A
Corrente Elettrica ξ
R
ξ
i B
i
A
(b) Resistenza.
B
(c) Generatore.
A
B
(d) Generatore.
Figura 3.4: Esempi di resistenze e generatori attraversati da correnti in diverse direzioni.
• alla resistenza mostrata nella sottofigura 3.4a va applicata la legge di Ohm da sinistra a destra: VA − VB = Ri; • alla resistenza mostrata nella sottofigura 3.4b va applicata la legge di Ohm da sinistra a destra: VA − VB = −Ri; • la FEM del generatore mostrato nella sottofigura 3.4c va conteggiata con il segno positivo, in quanto la DDP erogata è concorde con il senso di scorrimento della corrente; • la FEM del generatore mostrato nella sottofigura 3.4d va conteggiata con il segno negativo, in quanto la DDP erogata è discorde con il senso di scorrimento della corrente. Si deve però prestare particolare attenzione a non confondere questa convenzione con quella descritta nel paragrafo 3.3.2 a pagina 49, relativa all’applicazione della legge di Ohm ai generatori; la convenzione appena descritta è invece relativa al segno da attribuire ai vari fattori della legge di Ohm generalizzata. Esempio di Circuito Si consideri il circuito 3.7, nel quale i generatori producono ξ1 = 50 V e ξ2 = 100 V le cui rispettive resistenze interne valgono r1 = 20 Ω e r2 = 30 Ω, mentre la resistenza esterna vale R = 50 Ω. Si vuole calcolare la corrente presente nel circuito. B
R
r1
C r2
ξ1
ξ2 A
D
Circuito 3.7: Esempio di circuito.
Entrambi i generatori tendono a far scorrere la corrente in verso opposto all’altro, ma ξ2 genera una FEM maggiore rispetto a ξ1 , quindi ci si aspetta che il verso della corrente sia dettato da ξ2 . 54
3.3 La Forza Elettro Motrice
Corrente Elettrica
Per dimostrare la veridicità di quanto supposto, si consideri la corrente i0 circolante in senso orario (contrariamente a quanto supposto); applicando la legge di Ohm generalizzata per il circuito chiuso si ha che: i0 =
ξ1 − ξ2 = −0,5 A. R + r1 + r2
Dato che la corrente ipotizzata i0 ha segno negativo, la corrente reale ha verso opposto, in accordo con quanto ipotizzato in principio: i = −i0 = 0,5 A. Questo fatto viene dimostrato considerando la corrente i circolante in senso antiorario ed applicando nuovamente la legge di Ohm generalizzata: i=
3.4
ξ2 − ξ1 = 0,5 A. R + r1 + r2
Correnti Variabili
Finora si sono considerate solo correnti stazionarie, cioè stabili nel tempo, ma in realtà le correnti possono anche variare nel tempo e vengono definite correnti variabili.
3.4.1
Carica di un Condensatore
Il circuito più semplice che si può immaginare nel quale circola una corrente variabile è quello mostrato nel circuito 3.8, nel quale il generatore ha una resistenza interna trascurabile e sono presenti un condensatore ed una resistenza. R
C
ξ
Circuito 3.8: Esempio di circuito a corrente variabile per la carica di un condensatore.
Considerato il tempo t = 0 quello in cui inizia a circolare la corrente perché il generatore inizia a generare FEM, cioè il generatore preleva carica dal punto a potenziale più basso e la sposta a quello a potenziale più alto, questa carica viene trasferita sul condensatore, che accumula una carica q in un certo tempo t. Si vuole capire quanta carica accumuli il condensatore e quanto tempo impieghi; all’instante generico t valgono le equazioni: q(t) + Ri(t) C dove VC è la DDP ai capi del condensatore e VR è la DDP ai capi della resistenza. L’equazione può essere riscritta grazie alla definizione di corrente elettrica, considerandola come la derivata rispetto al tempo della carica: ξ = VC + VR =
R
d q dq dt q=ξ− ⇐⇒ =− dt C q − Cξ RC 55
3.4 Correnti Variabili
Corrente Elettrica
che è un’equazione differenziale a variabili separabili e già separate, per cui basta integrare entrambi i membri, ottenendo che: Z q Z t dq 1 t q − Cξ =− =− dt ⇐⇒ ln RC 0 −Cξ RC 0 q − Cξ Per estrarre l’argomento del logaritmo va applicata l’esponenziale in base e: −
t q − Cξ = e− RC Cξ
per cui la funzione che descrive la variazione di carica accumulata dal condensatore nel tempo è: t q(t) = Cξ 1 − e− RC . (3.19) Nota questa equazione, è possibile fare alcune osservazioni: se il tempo tende a +∞, la parte esponenziale della funzione tende a 0, quindi la carica massima che può essere accumulata dal condensatore è pari a Cξ. Servendosi dell’equazione 3.19 è possibile ricavare una serie di altre equazioni che premettono di descrivere le grandezze caratteristiche del circuito in funzione del tempo: • la relazione che esprime la differenza di potenziale del condensatore al variare del tempo è: t q(t) VC (t) = = ξ 1 − e− RC (3.20) C grazie alla quale è possibile notare che se t → +∞, la DDP del condensatore tende al valore della FEM, cioè a ξ; • la relazione che esprime la corrente circolante nel circuito al variare del tempo è: i(t) =
t ξ d q = e− RC dt R
(3.21)
grazie alla quale è possibile notare che se t → +∞, cioè quando la carica del condensatore tende a Cξ, la corrente circolante nel circuito tende a 0, in quanto la DDP del condensatore si oppone alla FEM che la genera; • la relazione che esprime la differenza di potenziale della resistenza al variare del tempo è: t VR (t) = Ri(t) = ξe− RC . (3.22) Osservando attentamente l’argomento dell’esponenziale nell’equazione 3.19 ed in tutte quelle da essa derivate, è possibile notare che il denominatore dell’esponente ha la dimensione di un tempo, questo perché l’argomento della funzione esponenziale deve essere adimensionale; infatti: VC C RC = ΩF = = = s. AV A Si può quindi definire il valore: τ = RC 56
3.4 Correnti Variabili
Corrente Elettrica
come il tempo caratteristico del circuito, che è il tempo in cui il condensatore raggiunge circa il 60 % del voltaggio impresso dalla FEM, oppure il tempo in cui si ha una riduzione pari a circa il 40 % della corrente iniziale. È possibile fare alcune interessanti considerazioni anche sulle potenze dei vari componenti del circuito. La potenza erogata dal generatore è data da: Pgen = ξi =
ξ2 − t e τ R
mentre la potenza dissipata dalla resistenza è: PR = Ri2 =
ξ 2 − 2t e τ R
ed il lavoro necessario a caricare il condensatore è: PC = VC
d q = VC i dt
espressione che può essere riscritta grazie alle equazioni 3.20 nella pagina precedente e 3.21 nella pagina precedente, ottenendo che: ξ t ξ2 t ξ 2 2t − τt e− τ = e− τ − e− τ = Pgen − PR . PC = ξ 1 − e R R R È quindi possibile notare che l’energia del sistema si conserva: Pgen = PC + PR infatti la potenza erogata dal generatore viene in parte accumulata nel condensatore per la sua carica ed in parte dissipata dalla resistenza. Una verifica di quanto appena osservato può essere fatta tramite il lavoro eseguito ed assorbito dai vari componenti del circuito; il lavoro fornito dal generatore è pari a: Z ∞ Z ∞ 2 ξ −t Wgen = Pgen dt = e τ dt = Cξ 2 R 0 0 mentre il lavoro eseguito sulla resistenza è dato da: Z ∞ 2 Z ∞ ξ − 2t 1 WR = PR dt = e τ dt = Cξ 2 R 2 0 0 e, ricordando che il lavoro eseguito sul condensatore è pari alla variazione di energia potenziale elettrostatica, si ha che: Z C 1 WC = ∆Ue = PR dt = Cξ 2 . 2 0 Anche in questo caso vale che: Wgen = WR + WC cioè il lavoro fornito dal generatore viene assorbito in parte dalla resistenza ed in parte dal condensatore per la sua carica. In questo caso è anche possibile notare che il lavoro si distribuisce equamente tra condensatore e resistenza. 57
3.4 Correnti Variabili
Corrente Elettrica R
C
Circuito 3.9: Esempio di circuito a corrente variabile per la scarica di un condensatore.
3.4.2
Scarica di un Condensatore
Si consideri il circuito 3.9, che riproduce il circuito 3.8 a pagina 55, ma senza il generatore. Al tempo t = 0 si trova una carica q0 sul condensatore, la sua DDP vale V0 = q0 /C e la sua energia potenziale: q2 Ue = . 2C Appena la corrente inizia a fluire nel circuito, la differenza di potenziale presente ai capi del condensatore al generico tempo t è data da: VC =
q C
ed è uguale a quella della resistenza, data da: VR = Ri. La corrente circolante nel circuito è data da: i=−
d q dt
dove il segno negativo è da imputare al fatto che la carica sul condensatore decresce nel tempo, ma la corrente può essere identificata anche uguagliano la DDP del condensatore con quella della resistenza: VC = VR ⇐⇒ da cui deriva che:
q q = Ri ⇐⇒ i = C CR
d q dq dt q=− ⇐⇒ =− dt RC q RC
che è un’equazione differenziale a variabili separabili e che può essere risolta integrando: Z q Z t dq dt q t =− ⇐⇒ ln =− . q0 τ q0 q 0 RC La funzione che permette di definire la quantità di carica presente sul condensatore al variare del tempo è quindi: t q(t) = q0 e− τ (3.23) per cui la carica decresce con andamento esponenziale. 58
3.4 Correnti Variabili
Corrente Elettrica
Utilizzando l’equazione 3.23 nella pagina precedente è possibile esprimere sia l’andamento della differenza di potenziale del condensatore che quello della resistenza al variare del tempo: q0 t q(t) = e− τ (3.24) VC (t) = VR (t) = C C ed è inoltre possibile definire l’andamento della corrente circolante nel circuito al variare del tempo: d VC V0 t VR i(t) = − q = e− τ = = . (3.25) dt R R R Esempio di Carica e Scarica di Condensatori Si consideri il circuito 3.10, composto di due condensatori C1 e C2 collegati in serie ad una resistenza R. R
V1
V2
C1
C2
Circuito 3.10: Esempio di circuito.
È noto che il potenziale V1 è maggiore del potenziale V2 , quindi la corrente circola in senso orario nel circuito; al tempo iniziale sul condensatore C1 è depositata una carica q1 , mentre sul condensatore C2 non è presenta alcuna carica. Si vuole calcolare la corrente circolante i al variare del tempo. Non appena inizia a fluire corrente il condensatore C1 si scarica, mentre il condensatore C2 si carica grazie alla corrente generata dalla scarica di C1 ; si può quindi dire che la corrente circolante al variare del tempo è: i=−
d d q 1 = q2 . dt dt
Il potenziale nel punto V1 è influenzato solamente dal condensatore C1 e vale quindi: V1 =
q1 C1
mentre il potenziale nel punto V2 è influenzato sia dalla resistenza che dal condensatore C2 : q2 V2 = Ri + . C2 Inoltre, i due potenziali sono uguali, in quanto il circuito è chiuso: V1 = V2 ⇐⇒
q1 q2 = Ri + . C1 C2
Per calcolare la variazione di corrente nel tempo, si deriva rispetto al tempo l’equazione appena identificata: d q1 d d q2 i d i d 1 1 = Ri + ⇐⇒ − =R i+ ⇐⇒ R i = −i + dt C1 dt dt C2 C1 dt C2 dt C1 C2 59
3.4 Correnti Variabili
Corrente Elettrica
dove la somma dei reciproci delle capacità dei due condensatori identifica il reciproco della capacità equivalente C1 + C2 , essendo i due condensatori collegati in serie, quindi si ha che: R
d i i=− dt Ceq
che è equazione differenziale a variabili separabili e può essere risolta integrando: Z i Z t di di dt 1 =− ⇐⇒ =− dt i RC RC 0 i0 i da cui deriva che:
t t i =− ⇐⇒ i = i0 e− τ ln i0 RC
ricordando che τ = RC. Manca solo la corrente iniziale i0 , che può essere calcolata come: i0 =
V1 − V2 R
quindi la funzione che esprime l’andamento della corrente circolante al variare del tempo è: i(t) =
V1 − V2 − t e τ. R
60
4
Magnetismo
Il magnetismo è una proprietà intrinseca dei materiali che tendono ad attrarre alcuni tipi di metalli, specialmente il ferro ed altri materiali magnetici; questo tipo di attrazione si manifesta tramite una forza agente sul metallo attratto. Avvicinando due materiali magnetici si hanno però diversi tipi di forze e queste possono essere attrattive, oppure repulsive. Da questa osservazione consegue il fatto che devono esistere due tipi di “cariche magnetiche”; infatti, la forza che si sviluppa tra le cariche magnetiche q ∗ 1 e q ∗ 2 è del tipo: q∗ q∗ F~ ∼ Km 1 2 2 r e questa legge è formalmente identica alla forza che si sviluppa tra due cariche elettriche e come essa decresce con proporzionalità quadratica al raggio. Le cariche prendono il nome di poli magnetici, identificati come nord e sud; come già visto per le cariche elettriche, poli magnetici uguali si respingono, mentre poli magnetici diversi si attraggono. Questa denominazione deriva dal fatto che l’ago di una bussola, che è un materiale magnetico, si orienta in direzione dei poli terrestri, per cui la terra agisce come un materiale magnetico. È possibile osservare, però, che l’ago della bussola si orienta nello stesso modo in ogni punto della terra; la forza magnetiche che attrae i poli dell’ago e che lo orienta è quindi distribuita equamente, per cui deve esistere un campo magnetico.
4.1
Il Campo Magnetico
Nello studio del campo magnetico è stata fatta un’osservazione interessante: si consideri una barra di materiale magnetico, che sarà quindi caratterizzata da un polo nord e da un polo sud; se tale barra venisse tagliata, sarebbe logico pensare di ottenere una barra con il solo polo nord ed una con il solo polo sud. Tuttavia, è possibile osservare sperimentalmente che su ciascuna delle due parti derivanti dalla barra iniziale si formano un nuovo polo nord ed un nuovo polo sud e che questo fenomeno continua a sussistere indifferentemente dal numero di tagli o dalla dimensione del materiale magnetico. Non è quindi possibile isolare una carica magnetica, quindi non esistono dei monopoli magnetici, ma solo dei bipoli. Nota questa osservazione, è possibile dire che il campo magnetico è un campo chiuso, il che significa che le linee di campo di un bipolo isolato congiungono un polo all’altro con delle curve. Contrariamente a quanto accade per i poli magnetici, una carica elettrica può essere isolata e vi può essere posta attorno una superficie gaussiana al fine di calcolare il flusso 61
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
del campo della carica per la superficie, grazie al quale si può calcolare il valore della carica e del campo che produce grazie al teorema di Gauss. A causa dell’inseparabilità dei poli magnetici, applicando il teorema di Gauss ad un ~ il flusso attraverso una materiale magnetico al fine di calcolarne il campo, indicato con B, qualsiasi superficie risulta nullo. Un’altra osservazione interessante che differenzia il campo elettrico dal campo magnetico è il fatto che la circuitazione del campo elettrico, calcolata tramite il prodotto vettoriale ~ ed il vettore campo elettrico E, ~ cioè il rotore del campo elettrico, tra il vettore gradiente ∇ è nullo: ~ ×E ~ =0 ∇ ma il prodotto vettoriale tra due vettori è nullo se e solo se i due vettori sono paralleli, quindi il vettore campo elettrico è parallelo al vettore gradiente. ~ si osserva che questo non è nullo, Studiando il rotore del vettore campo magnetico B ~ ~ cioè ma che il prodotto scalare tra il vettore gradiente ∇ ed il vettore campo elettrico B, la divergenza del campo magnetico, è nulla: ~ ·B ~ =0 ∇ ma il prodotto scalare tra due vettori è nullo se e solo se i due vettori sono ortogonali, quindi il vettore campo magnetico è ortogonale al vettore gradiente. ~ il cui prodotto vettoriale con il vettore gradiente Deve però esistere un vettore A produca proprio il vettore campo magnetico: ~ ×A ~=B ~ ∇ in modo che il vettore campo magnetico sia perpendicolare ad entrambi i vettori, fatto che giustifica la sua divergenza nulla.
4.1.1
La Forza Magnetica
Sperimentalmente, è stato osservato che gli effetti della forza magnetica sono da imputare a delle cariche elettriche in movimento. Si consideri una particella di massa m con carica q posta all’interno di un campo ~ se tale particella è ferma, allora non si osserva alcuna forza agente su di essa, magnetico B; ma se la particella è in moto con velocità ~v , su di essa agisce una forza dettata dalla legge di Lorentz : ~ F~ = q(~v × B) (4.1) La forza agente sulla particella viene quindi detta forza di Lorentz ed è proporzionale sia all’intensità del campo magnetico che alla velocità della particella; tale forza è definita da un prodotto vettoriale, quindi è ortogonale al piano che contiene il vettore campo magnetico ed il vettore velocità. Il modulo della forza di Lorentz può essere calcolato come: |F~ | = F = qvB sin(θ) dove θ è l’angolo tra il vettore campo magnetico ed il vettore velocità della particella; la direzione della forza, che la qualifica come attrattiva o repulsiva, dipende dal segno della carica. 62
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
È possibile notare che la forza è nulla se e solo se la particella si sposta nella stessa direzione del campo, mentre la forza è massima se lo spostamento è perpendicolare al campo. Inoltre, dato che la forza è perpendicolare alla velocità, quindi allo spostamento della particella, questa non compie lavoro quando agisce sulla carica in moto.
4.1.2
Campo Magnetico Uniforme
Si vuole ora studiare il moto di una particella carica all’interno di un campo magnetico uniforme, ma è doveroso distinguere il caso in cui lo spostamento della particella sia sempre ortogonale al campo magnetico da quello in cui questi formano un angolo generico. Moto di una Particella con Spostamento Perpendicolare al Campo Si consideri una particella di massa m e carica +q in moto con velocità v attraverso un campo magnetico di intensità B uniforme nello spazio; si supponga che lo spostamento della particella sia sempre perpendicolare al campo magnetico. Il modulo della forza agente sulla particella è dato da: F = qvB ed avvalendosi della legge di Newton F~ = m~a, l’equazione può essere scritta come: qvB = ma. Dato che le linee di campo magnetico sono curve, perché la forza agente sulla particella sia sempre ortogonale al campo, tale particella deve seguire la direzione delle linee di campo nel suo moto, compiendo quindi un moto curvilineo. La forza è quindi una forza centripeta o centrifuga, grazie alla quale è possibile calcolare il raggio di curvature delle linee di campo servendosi dell’espressione generale delle forze centripete e centrifughe: v2 F = ma ⇐⇒ F = m r da cui deriva che: v2 mv p qvB = m ⇐⇒ r = = r qB qB dove p indica il modulo della quantità di moto della particella: p = mv. Dato che il campo magnetico è uniforme nello spazio, la particella percorre delle traiettorie circolari, muovendosi con moto circolare uniforme, quindi è possibile calcolare la velocità angolare del moto: v qB ω= = r m e grazie a questa grandezza è possibile associare un periodo al moto, dato da: T =
2π 2πm = ω qB
grazie al quale è possibile definire la frequenza del moto, cioè quanti periodi vengono coperti nell’unità di tempo: 1 ω qB ν= = = . T 2π 2πm 63
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
Ricavando il campo magnetico dalla velocità angolare: m qB ⇐⇒ B = ω m q
ω=
e sostituendolo nella forza di Lorentz, espressa nell’equazione 4.1 a pagina 62, si ha che: ~ = m(~ω × ~v ) = −m(~v × ω q(~v × B) ~) da cui deriva che:
q ~ B. m La velocità angolare è quindi un vettore che ha verso opposto al vettore campo magnetico, ma è noto che il vettore è entrante nel piano su cui si sviluppa il moto se questo avviene in senso orario, mentre è uscente dal piano su cui si sviluppa il moto se questo avviene in senso antiorario. Dato che la carica considerata è positiva, se il campo magnetico all’interno del quale si muove è uscente dal piano su cui si sviluppa il moto, la velocità angolare è diretta in verso entrante, per cui il moto è in senso orario; se invece il campo magnetico è entrante, la velocità angolare è diretta in verso uscente, per cui il moto è in senso antiorario. Quest’osservazione è particolarmente utile, in quanto grazie alla legge di Lorentz è possibile stabilire il verso della rotazione di una carica in moto in un campo magnetico uniforme. ω ~ =−
Moto di una Particella con Spostamento con Angolo Generico Si consideri ora il caso in cui la particella di massa m con carica +q sia in moto nel campo magnetico B con velocità v con un angolo θ generico, non necessariamente ortogonale al campo. La velocità della particella può essere scomposta in due componenti, una ortogonale al campo magnetico, indicata con ~v⊥ e calcolabile come v sin(θ), ed una parallela al campo magnetico, indicata con ~vk e calcolabile come v cos(θ). La forza di Lorentz agente sulla particella è data da: ~ = q (~vk + ~v⊥ ) × B ~ F~ = q(~v × B) ma il prodotto vettoriale tra la componente parallela della velocità ed il campo magnetico è nullo, in quanto i due vettori sono nella stessa direzione; la forza è quindi espressa come: ~ F~ = q(~v⊥ × B). Dato che la componente parallela della velocità esiste comunque, il moto può essere interpretato come la composizione di un moto rettilineo uniforme con velocità ~vk e di un moto circolare uniforme originato dalla componente perpendicolare della velocità e dalla forza di Lorentz, per il quale si possono utilizzare tutte le osservazioni precedentemente fatte. Il raggio di curvatura di questo moto può essere calcolato come nel caso precedente, ma considerando la sola componente della velocità perpendicolare al campo: r=
m~v⊥ mv sin(θ) = qB qB 64
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
ed anche in questo caso è possibile ricavare velocità angolare, periodo e frequenza del moto, le cui equazioni sono analoghe a quelle del caso precedente. Nel caso del moto composto, si ottiene che dopo un periodo la particella si sposta nella ~ di un passo, definito come: direzione del campo B ~vk T =
2πm cos(θ) qB
che è la distanza lineare coperta nella direzione del campo nel tempo di un periodo. La particella compie quindi un moto elicoidale, combinando il moto circolare uniforme sul piano ortogonale al campo ed il moto rettilineo uniforme nella direzione del campo.
4.1.3
Corrente Elettrica in un Campo Magnetico
Si vuole ora studiare l’azione di un campo magnetico su un conduttore filiforme nel quale scorre una corrente elettrica; questo quesito è sensato, in quanto la corrente non è altro che un insieme di particelle cariche in moto, quindi questo studio generalizza quanto visto finora sul moto di una singola carica. ~ attraversi un conduttore filiforme adagiato su Si supponga che un campo magnetico B un piano in direzione perpendicolare ad esso e che nel conduttore sia presente un flusso di corrente i. Tale corrente è dovuta allo spostamento di elettroni, per cui viene considerata come n la densità di elettroni per unità di volume; è ora possibile definire la densità di corrente: ~j = −ne~vd dove ~vd è la velocità di deriva ed è parallela al campo elettrico che sostiene la corrente. Su ognuno degli elettroni in moto agisce una forza di Lorentz espressa come: ~ F~L = −e(~vd × B) per cui la forza totale agente su un volume infinitesimo di conduttore, dato da dτ = dSΣ, dove Σ è la sezione del cavo, può essere calcolata conoscendo il numero di elettroni presenti del volume il numero di elettroni al suo interno, cioè: e = ndτ da cui deriva che la forza infinitesima risultante su tutti gli elettroni presenti nel volume dτ è: dF~ = eF~L = ndτ F~L = nΣdS F~L dove si può sostituire l’espressione della forza agente su un elettrone: ~ = dτ (~j × B) ~ dF~ = −ΣdSne(~vd × B) grazie alla quale è possibile identificare la forza per unità di volume: dF~ ~ = F~τ = ~j × B. dτ 65
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
Ricordando ora la relazione tra la corrente elettrica e la densità di corrente, cioè i = jΣ l’equazione della forza infinitesima può anche essere scritta come: ~ × B) ~ dF~ = i(dS
(4.2)
che rappresenta la seconda legge elementare di Laplace e descrive la forza agente sulle cariche in moto in un conduttore in presenza di un campo magnetico. Per calcolare la forza complessiva agente sull’intero conduttore basta integrare tra i suoi capi, indicati con P e Q: Z Q
~ × B. ~ dS
F =i P
La legge di Laplace ha alcune conseguenze molto importanti, che si traducono in casi pratici frequenti. ~ è uniforme ed il conduttore è rettilineo, questo può essere Se il campo magnetico B estratto dall’integrale nel calcolo nella forza: ! Z Q ~ ×B ~ F =i dS P
ed a questo punto l’integrale rappresenta la lunghezza del conduttore, indicato come un vettore ~l il cui modulo è pari alla lunghezza del filo: ~ F~ = i(~l × B). La forza esercitata sul conduttore è orientata nella direzione perpendicolare al piano ~ e dalla direzione della corrente, ed il suo modulo è: individuato da B F = ilb sin(θ) dove θ è l’angolo tra la direzione della corrente ed il campo magnetico. Se invece il conduttore è curvilineo, la forza non dipende comunque della geometria del filo, ma solamente dalla distanza tra i suoi estremi, quindi la forza è: ! Z Q → ~ ~ ×B ~ = i(− F =i dS P Q × B) P
Se invece di avere un generico conduttore filiforme si avesse un circuito chiuso, quindi con gli estremi del conduttore coincidenti, la forza risultante agente su di esso sarebbe nulla, in quanto definita come: Z P ~ ×B ~ = 0. F =i dS P
Grazie a questo fatto è possibile osservare alcuni fatti interessanti originati dalla presenza di un campo magnetico agente su un circuito elettrico.
66
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
Circuito 4.1: Esempio di circuito.
Esempio di Circuito Immerso in un Campo Magnetico Si consideri un bilancia piana a bracci uguali alla quale sono appeni un peso di massa m ed un circuito elettrico quadrato di lato b nel quale scorre una corrente i in senso ~ uscente dal antiorario; il circuito è per metà immerso in un campo magnetico uniforme B piano della bilancia e può essere schematizzato come mostrato nel circuito 4.1. Per studiare il circuito è conveniente considerare la forza agente sui vari rami, analizzandoli uno alla volta. La direzione della forza agente sui lati verticali del circuito può essere determinata grazie alla regola della mano destra, dalla quale deriva che sono presenti due forze F~ 0 dirette verso l’esterno del circuito, che quindi si annullano. Sul lato inferiore è invece presente una forza diretta verso il basso di modulo F = ibB che, per mantenere in equilibrio il sistema, deve bilanciare la forza di gravità agente sul peso, cioè: mg mg = ibB ⇐⇒ B = ib quindi si deve fornire un campo magnetico direttamente proporzionale alla massa da sospendere ed inversamente proporzionale alla corrente circolante nel circuito. Esempio di Spira SemiCircolare Si consideri ora una spira formata da una semicirconferenza di raggio R i cui estremi sono congiunti da una retta, come mostrato nella figura 4.1.
P
Q
Figura 4.1: Spira semicircolare.
Sulla spira circola una corrente in senso antiorario e su di essa agisce un campo magnetico ortogonale alla parte retta della spira e giacente sullo steso piano su cui poggia, rivolto verso l’alto; per esprimere le direzioni, si supponga che la spira sia posta su un piano cartesiano orientato come di consueto. Il campo magnetico può essere espresso come: ~ = B uˆy B mentre la lunghezza della parte piana è data da: −→ P Q = 2Rˆ ux . 67
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
Sul ramo rettilineo della spira agisce una forza pari a: −→ ~ F~ = i(P Q × B) = i(2Rˆ ux × B uˆy ) = i2RB(ˆ ux × uˆy ) = i2RB uˆz quindi la forza è uscente e perpendicolare al sistema piano, in quanto il prodotto vettoriale tra i versori degli assi x e y identifica il versore dell’asse z. Per il tratto curvilineo è necessario servirsi di un’ascissa curvilinea che parametrizzi la lunghezza della semicirconferenza, data da: ~ = −dxˆ dS ux + dyˆ uy grazie alla quale la forza infinitesima può essere espressa come: ~ × B) ~ = −iBdx(ˆ dF~ = i(dS ux × uˆy ) + iBdy(ˆ uy × uˆy ) = −iBdxˆ uz mentre la forza complessiva viene calcolata integrando sulla semicirconferenza: Z R ~ F = −iB uˆz dx = −iB2Rˆ uz . −R
È possibile notare che la forza agente sul tratto curvilineo è esattamente l’opposto di quella agente sul tratto rettilineo, per cui la forza totale è nulla (grazie all’uniformità del campo magnetico), fatto che conferma quanto notato come conseguenza della legge di Laplace. Si può inoltre notare che la forza sul tratto curvilineo dipende solamente dalla distanza tra i due estremi e non dalla traiettoria effettivamente seguita dalla curva.
4.1.4
Momenti Meccanici Dovuti ad un Campo Magnetico
Nel paragrafo precedente è stato notato e dimostrato che la forza complessiva agente su un circuito immerso in un campo magnetico uniforme è nulla, ma questo fatto non è vero a priori per il momento meccanico. Si consideri la spira rettangolare mostrata nella figura 4.2 nella quale scorre una corrente i in senso antiorario. Q
P
a
R
b
S
Figura 4.2: Spira rettangolare.
Alla superficie della spira, denotata come Σ = ab, viene associato un versore normale ~ comunque uscente dal piano, che uˆn uscente e su di essa agisce una campo magnetico B, la interseca e forma un angolo θ con il versore di superficie. 68
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
Le forze agenti sui lati di lunghezza b sono: FRS = ibB sin(θ) e FP Q = ibB sin(θ) che sono entrambe rivolte verso l’esterno della spira e giacciono sul suo stesso piano, quindi si annullano. Le forze agenti sui lati di lunghezza a sono invece: FSP = iaB
e FQR = iaB
che sono comunque opposte ma non sono sullo stesso piano della spira; la forza FQR è in realtà rivolta in verso uscente, mentre la forza FSP è rivolta in verso entrante. Queste due forze agiscono come una coppia che mette in rotazione la spira generando un momento meccanico di modulo: M = b sin(θ)F = iabB sin(θ) = iΣB sin(θ)
(4.3)
e questo è diretto verso l’alto, quindi tende a far ruotare la spira attorno all’asse di simmetria del rettangolo passante per i punti medi dei due lati di lunghezza b. Il momento punta verso l’alto e mette in rotazione la spira, che tende ad allinearsi con il campo magnetico facendo tendere θ a 0, cioè facendo coincidere la direzione del campo ~ con il versore uˆn . B A questo punto è conveniente definire il momento magnetico della spira, dato da: m ~ = iΣˆ un
(4.4)
grandezza che permette di scrivere il momento meccanico generato dal campo magnetico come prodotto vettoriale: ~ =m ~ M ~ × B. (4.5) Come appena detto, nella rotazione il momento magnetico tende a sovrapporsi al campo magnetico, in modo da annullare il momento meccanico. Grazie a questo circuito si può ricavare il principio di equivalenza di Ampère, secondo il quale un circuito chiuso attraversato da un campo magnetico è assimilabile ad un ago magnetico con momento magnetico m; ~ sulla base di questo principio, gli effetti magnetici subiti da una spira attraversata da corrente sono esattamente gli stessi di un dipolo magnetico immerso in un campo magnetico, che tende ad allinearsi al campo. Anche in quanto caso è quindi possibile definire un’energia potenziale associata alla posizione della spira all’interno del campo: ~ = −mB cos(θ) Um = −m ~ ·B
(4.6)
grazie alla quale è possibile notare che, a causa del segno negativo, l’energia potenziale è minima quando l’angolo tra il campo magnetico ed il momento magnetico è nullo, mentre è massima quando l’angolo vale π/2. Ricordando il legame tra l’energia potenziale e la forza tramite il gradiente, la forza agente sulla spira può essere definita come: ~ m) F~ = −∇(U 69
(4.7)
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
dove il gradiente, nel caso unidimensionale, è rappresentato dalla derivata rispetto all’unica direzione presente, quindi il momento meccanico può essere definito come la variazione dell’energia potenziale in funzione dell’angolo θ: ~ = − d Um = − d −mB cos(θ) = −mB sin(θ). M dθ dθ Inoltre, considerando l’energia potenziale infinitesima: ~ = −iB ~ · uˆn dΣ dUm = −dm ~ ·B è possibile identificare il flusso del campo magnetico, definito come: (4.8)
~ = ΣB Φ(B) da cui deriva che l’energia potenziale infinitesima può essere scritta come: ~ dUm = −idΦ(B) ed integrando questa espressione si ha che l’energia potenziale è data da:
(4.9)
~ Um = −iΦ(B).
Utilizzando questa definizione, si ha che la forza agente sulla spira è data dal prodotto tra la corrente circolate ed il gradiente del flusso del campo magnetico: ~ m ) = i∇ ~ Φ(B) ~ . F~ = −∇(U Esempio di Flusso del Campo Magnetico Si consideri la spira mostrata nella figura 4.3 composta di tre lati fissi e di un lato mobile P Q di altezza b, che può scorrere in senso orizzontale lungo i lati dal circuito; il tutto è percorso da una corrente i circolante in senso orario. Si vuole calcolare la forza magnetica agente sul lato P Q ad opera di un campo magnetico ~ uniforme su tutto il circuito e con direzione entrante nel piano della spira. B P
b
Q Figura 4.3: Esempio di spira con lato mobile.
Supponendo che il binario su cui scorre il lato mobile della spira sia parallelo alla direzione uˆx , la forza agente sul tratto P Q è data da: −→ ~ F~ = i(P Q × B) = ibB uˆx 70
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
infatti per la regola della mano destra è possibile dire che la forza è rivolta verso destra e tende ad allontanare il lato mobile dal lato verticale fisso della spira. La stessa forza può essere calcolata considerando il flusso del campo magnetico attraverso la superficie della spira; identificando con x la distanza tra il lato verticale fisso della spira ed il lato mobile, la sua superficie è data da Σ = bx, quindi il flusso può essere calcolato come: ~ = ΣB = bxB. Φ(B) ma il lato P Q non è fisso, quindi ad un suo spostamento dx corrisponde una variazione del flusso: ~ = Bbdx dΦ(B) quindi la forza può essere calcolata come: d ~ F = i Φ(B) = ibB. dx Grazie a quanto appena detto è possibile fare un’osservazione interessante, cioè che la direzione della forza è tale da far aumentare il flusso del campo magnetico, in quanto tende ad aumentare la superficie della spira allontanando il lato mobile. Questo fatto è sensato perché un flusso maggiore porta ad uno stato di minor energia potenziale magnetica, che è infatti definita come l’opposto del prodotto tra la corrente ed il flusso del campo magnetico. Per concludere questo paragrafo, si ricordano le analogie e le differenze tra le grandezze caratteristiche dell’elettrostatica e quelle del magnetismo: • ad una coppia di cariche elettriche q distanti tra loro a è possibile associare un momento di dipolo: p~ = q~a mentre ad una dipolo magnetico, o ad una spira di superficie Σ nella quale scorre una corrente i, è possibile associare un momento magnetico: m ~ = iΣˆ un ; • al momento di dipolo è possibile associare un momento meccanico elettrico dato da: ~ = p~ × E ~ M mentre al momento magnetico è possibile associare un momento meccanico magnetico dato da: ~ =m ~ M ~ × B; • l’energia potenziale elettrostatica può essere calcolata come: ~ Ue = −~p · E mentre l’energia potenziale magnetica può essere calcolata come: ~ Um = −m ~ · B; 71
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
• la forza elettrica lungo la direzione x è data da: Fx = p
∂ E ∂x
mentre la forza magnetica lungo la direzione x è data da: Fx = m
4.1.5
∂ B. ∂x
Effetto Hall
Al campo magnetico sono associati vari fenomeni interessanti, ma uno di quelli più utili è dato dal fatto che la forza elettromagnetica può essere interpretata come la generatrice di un campo elettromotore. Nella sezione 3.3 a pagina 47 era stato discusso della forza elettromotrice ed era stato ~ el di natura elettrostatica a notato che in un circuito è presente un campo elettrico E circuitazione nulla, che sostiene il moto delle cariche elettriche all’interno di un circuito, ~ ∗ di natura non conservativa a circuitazione non nulla, ma è presente anche un campo E la cui circuitazione rappresenta proprio la FEM. Tale campo può essere generato da una forza magnetica. Si supponga di disporre di un parallelepipedo di conduttore con superficie laterale Σ = ab attraversato da una corrente di cariche positive e con densità ~j in direzione x (assunta concorde alla facce laterali di superficie Σ) e che sia presente un campo magnetico ~ in direzione y (assunta concorde alle altre facce la laterali) ortogonale alla corrente. B La densità può essere scritta definita come: ~j = i uˆx = ne~vd ab ma dato che le cariche su muovono con velocità v~d , queste risentono di una forza di Lorentz che tende a spostarle in direzione z: ~ = evd B uˆz F~L = e(~vd × B) dove si assume che le cariche si spostino verso il basso. Si crea quindi un eccesso di carica positiva sulla piastra superiore del parallelepipedo di conduttore, con un conseguente accumulo di cariche negative sulla faccia inferiore; alla ~ H dato da: forza agente può essere associato un campo elettrico E ~ ~ H = FL = ~vd × B ~ E e diretto in direzione z verso l’alto. Questo campo elettrico viene definito campo di Hall, dato dalla forza per unita di carica, che tende ad accumulare le cariche positive su una delle due piastre che interseca, in questo caso sulla piastra superiore; supponendo che il campo abbia spostato tutte le cariche positive possibili sulla faccia superiore, su quella inferiore si saranno accumulate tutte le restanti cariche negative, con la conseguente formazione di un campo di natura ~ el assimilabile a quello presente in un condensatore piano. elettrostatica E 72
4.1 Il Campo Magnetico
Magnetismo
Quando il sistema raggiunge uno stato di equilibrio, questo campo deve necessariamente bilanciare il campo di Hall: ~ el + E ~H = 0 E ma in questo stato non si ha più circolazione di corrente, quindi la densità di corrente si annulla; osservando questa equazione, è possibile notare che la condizione di equilibrio è la stessa presente in una generatore di FEM, dove vale che: ~ el + E ~∗ = 0 E dove la FEM è dovuta alla circuitazione del campo elettromotore: I Z B ∗ ~ ~ · dS. ξ = E · dS = E A
In questo caso, il ruolo del campo elettromotore è affidato al campo di Hall, che ha circuitazione non nulla, fatto che porta alla generazione una FEM data da: Z B ~ H · d~z = EH b ξh = E A
su un circuito esterno collegato alle piastre superiore ed inferiore del conduttore studiato, con la conseguente formazione di una DDP che permette la circolazione di corrente sul circuito esterno. Il campo di Hall viene quindi espresso come: iB jB = EH = ne neΣ dove i rappresenta la corrente circolante sul circuito esterno ed è possibile mettere in relazione tale campo con la FEM che genera come: iB iBb = . ξH = EH b = neab nea Una delle utilità di questa legge consiste nel fatto che conoscendo il valore della FEM è possibile stabilire il segno delle cariche circolanti nel circuito.
4.2
Sorgenti Magnetiche
Finora si è discusso del campo magnetico e dei principali fenomeni ad esso collegati, ma non ci si è mai posto il problema di capire cosa possa generare un campo magnetico; è ormai noto che fenomeni elettrici e magnetici sono i stretta relazione, quindi si prova a studiare un conduttore attraversato da corrente. ~ = dS uˆt di Considerando un punto P posto a distanza r dall’elemento infinitesimo dS conduttore, la legge di Laplace permette di dire che su questo punto agisce un campo magnetico infinitesimo espresso come: ~ × uˆr ) µ0 i(dS µ0 idS = (ˆ ut × uˆr ) 2 4π r 4π r2 dove µ0 viene definita permeabilità magnetica del vuoto e vale 4π · 10−7 H m−1 , uˆr è il versore perpendicolare al verso della corrente e uˆt è il versore della corrente stessa. Si ricorda che il campo magnetico è proporzionale alla corrente circolante nel conduttore ed è diretto secondo la regola della mano destra. ~ = dB
73
4.2 Sorgenti Magnetiche
4.2.1
Magnetismo
La Legge di Laplace
L’equazione:
µ0 idS (ˆ ut × uˆr ) (4.10) 4π r2 rappresenta la prima legge elementare di Laplace e può essere utilizzata in vari casi, primo tra tutti la determinazione del campo magnetico prodotto da una singola singola carica in moto. Considerando un numero n di cariche q in moto con velocità ~v , la densità di corrente è data da: ~j = nq~v ~ può essere calcolata conoscendo quindi la corrente che attraversa l’elemento infinitesimo dS la sua superficie come: ~ = ~jΣdS = ~jdτ = nq~v dτ idS ~ = dB
ma il prodotto tra la densità di carica ed il volume infinitesimo rappresenta il numero di particella all’interno del volume stesso. Noto questo, riportando questa scrittura nell’equazione 4.10, si ha che: µ0 q(~v × uˆr ) ndτ 4π r2 che rappresenta il campo magnetico prodotto da tutte le particella in moto nel conduttore infinitesimo, quindi il campo prodotto da una sola particella si può ricavato dividendo per il numero di particelle: ~ ~ = dB = µ0 q(~v × uˆr ) . B (4.11) ndτ 4π r2 Se oltre all’effetto del campo magnetico si considera anche l’effetto del campo elettrico prodotto dalla particella carica, che è radiale in direzione uˆr e dato da: q ~ = E uˆr 4πε0 r2 ~ = dB
da esso si può estrarre il versore: ~ uˆr = E
4πε0 r2 q
e sostituito nell’equazione 4.11: µ0 q 4πε0 r2 ~ ~ ~ B= (~v × E) = µ0 ε0 (~v × E) 4π r2 q ma è possibile dimostrare che:
1 = c2 µ 0 ε0 dove c è le velocità della luce, quindi l’equazione può essere riscritta come:
~ = 1 ~v × E. ~ B (4.12) c2 Campo elettrico, campo magnetico e velocità di spostamento della carica possono ~ quindi essere interpretati come una terna locale di riferimento, composta dai vettori ~v e E, ~ il cui prodotto vettoriale produce il vettore B. 74
4.2 Sorgenti Magnetiche
4.2.2
Magnetismo
Campo Magnetico di un’Asta
Si consideri un’asta rettilinea di conduttore lunga a ed attraversata da una corrente ~ e si consideri un punto P posto a elettrica i; si isoli un suo elemento infinitesimo dS distanza r da tale elemento ed a distanza R dall’ortogonale dell’asta, identificato con il ~ da cui deriva che il vettore che congiunge punto a distanza S dall’elemento infinitesimo dS, ~ forma un angolo esterno θ con l’asta. il punto P con l’elemento dS Il campo magnetico risentito dal punto può essere calcolato grazie alla legge di Laplace: ~ = dB
~ × uˆr ) µ0 i (dS µ0 i dS sin(θ) = 2 4π r 4π r2
ma è possibile sfruttare le formule trigonometriche per eseguire alcune semplificazioni; l’angolo θ ammette un angolo complementare pari a π − θ, per cui vale che: r sin(π − θ) = r sin(θ) = R e r cos(π − θ) = −r cos(θ) = S da cui deriva che:
2 sin(θ) 1 = r2 R2
ed è inoltre possibile dire che: S = − cot(θ) ⇐⇒ S = −R cot(θ). R Ricordando che la derivata della cotangente vale: d 1 cot(θ) = − 2 dθ sin(θ) la variazione infinitesima dS può essere espressa come: dS =
Rdθ 2 sin(θ)
e riportando tutto questo nella formula del campo magnetico si ha che: ~ = dB
µ0 i sin(θ)dθ µ0 i d cos(θ) =− . 4π R 4π R
A questo punto, l’unica variabile è l’angolo θ, quindi per calcolare il campo risentito dal punto P basta integrare sulla lunghezza dell’asta. Considerando θ1 come l’angolo interno tra il vettore che congiunge il punto p ed uno degli estremi dell’asta e l’asta stessa e come θ2 l’angolo esterno all’altro estremo, un integrale tra questi due angoli permette di calcare in campo magnetico: Z θ2 µ0 i µ0 i µ0 i B=− d cos(θ) = − cos(θ2 ) − cos(θ1 ) = cos(θ1 ) − cos(θ2 ) (4.13) 4πR θ1 4πR 4πR dove la variazione tra l’angolo θ1 e l’angolo θ2 significa che l’angolo interno θ1 è aumentato man mano fino a diventare l’angolo esterno θ2 , che è quindi pari a θ2 = π − θ1 . 75
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
Considerando ora l’effettiva lunghezza del filo come a e supponendo che il punto P sia posto sull’asse di simmetria ortogonale alla stessa, vale che: cos(θ2 ) = cos(π − θ1 ) = − cos(−θ1 ) = − cos(θ1 ) si ottiene che il campo magnetico è dato da: B=
µ0 i µ0 i 2 cos(θ1 ) = cos(θ1 ). 4πR 2πR
dove è possibile notare che: s 2 a a a 2 2 √ cos(θ1 ) = ⇐⇒ cos(θ1 ) = R + 2 2 2 R + a2 quindi il campo è dato da: ~ = B
µ0 i a q 2 2πR R2 +
a 2 2
uˆφ
dove uˆφ è il versore di direzione del campo magnetico. Il campo magnetico risentito dal punto è sempre ortogonale alla congiungente tra l’asta ed il punto stesso, il che permette di dire che le sue linee di forza sono circolari, centrate sull’asta e giacciono sul piano ortogonale ad essa; se la corrente ha direzione entrante nel piano, allora le linee di campo hanno verso orario, mentre se la corrente è uscente dal piano, le linee di campo hanno verso antiorario. Se si considera invece un’asta di lunghezza infinita, cioè per a → ∞, la legge in questione risulta essere: ~ = µ0 i uˆφ B (4.14) 2πR nota come legge di Biot-Savart.
4.2.3
Campo Magnetico di una Spira Quadrata
Un’applicazione immediata di questa legge consiste nel calcolare il campo magnetico prodotto da una spira quadrata di lato a nella quale scorre una corrente i; considerando un punto P posto sull’ortogonale al centro della spira, si possono analizzare i campi magnetici di cui risente dovuti ad ogni ramo della spira. Ponendo come R la distanza tra il lato della spira ed il punto P , il campo magnetico su esso impresso da un ramo è: B=
µ0 i a q 2 2πR R2 +
a 2 2
ma questo campo può essere scomposto in una componente lungo l’asse ortogonale alla superficie della spira, indicata con B⊥ , ed in una componente parallela ad essa, indicata con Bk . In particolare, la componente ortogonale è data da: B⊥ = B cos(α) 76
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
dove α è l’angolo tra il vettore che congiunge il ramo di spira con il punto P e l’ortogonale alla superficie. Studiando tutti i rami è possibile osservare che tutte le componenti parallele alle spira si annullano tra loro a coppie sui rami opposti, fatto dovuto alla simmetria delle posizione del punto P ; rimangono quindi solamente le componenti lungo l’ortogonale della spira, per cui il campo magnetico complessivo risentito dal punto P e vale: B⊥ = 4B cos(α) dove scrivendo il coseno come: cos(α) = si ottiene:
a 2
R
=
a 2R
2 1 µ0 i a q B⊥ = 4 2π 2R R2 +
a 2 2
la cui espressione del campo in funzione della distanza tra il punto p e la spira è: a 2 2µ i 0 2 ~ (4.15) B(x) = q uˆn . π a 2 a 2 2 2 x + 2 x + 2 Anche in questo caso, se x tende a ∞, quindi x diventa molto maggiore di a, si può approssimare l’espressione trascurando a/2 al denominatore: a 2 2µ i 0 2 ~ uˆn B(x) = π x3 dove si può moltiplicare e dividere per 4: 2µ0 i a2 ~ B(x) = uˆn 4π x3 ed a questo punto a2 rappresenta la superficie della spira, dal cui prodotto con la corrente i e con il versore uˆn si ottiene il momento magnetico: µ0 i Σ µ0 m ~ ~ uˆn = . B(x) = 3 2π x 2π x3 Un punto posto a grande distanza dalla spira risente quindi di un campo di tipo dipolare; questo è un ulteriore esempio delle validità del principio di equivalenza, infatti il campo generato da una spira attraversata da corrente si comporta come un campo di dipolo con andamento m/x ~ 3.
4.2.4
Campo Magnetico di una Spira Circolare
Un altro esempio di applicazione della legge di Laplace è lo studio del campo magnetico generato da una spira circolare. Si supponga di disporre di un circuito perfettamente circolare con raggio R sul quale scorre una corrente i e si consideri un punto p a distanza x dall’asse ortogonale alla 77
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
circonferenza; questo implica che tutti i punti della circonferenza si trovino alla stessa distanza dal punto, indicata con r. ~ il campo magnetico che Considerato un elemento infinitesimo della spira come dS, questo esercita sul punto è dato da: dB =
~ × uˆr µ0 i dS 4π r2
~ ed il versore uˆr sono ortogonali, quindi risulta che: ma il vettore dS µ0 i dS . 4π r2 Come già visto per la spira quadrata nel paragrafo 4.2.2 a pagina 75, il campo prodotto ~ può essere scomposto in una componente ortogonale da ogni elemento infinitesimo dS alla spira ed in una componente parallela ad essa, ed anche in questo caso le componenti parallele si compensano tra loro. Considerato come θ l’angolo tra la spira e la congiungente del punto p con l’elemento ~ la componente ortogonale del campo magnetico è data da: infinitesimo dS, dB =
µ0 i dS cos(θ). 4π r2 quindi il campo complessivo può essere ottenuto integrando su tutta la circonferenza: I I µ0 i dS cos(θ) dS Btot = dB⊥ = 4π r2 dB⊥ = dB cos(θ) =
ma l’integrale vale 2πR:
µ0 i cos(θ)2πR 4πr2 e posti r2 = x2 + R2 e cos(θ) = R/r, il campo può essere espresso in funzione della distanza del punto p dalla spira: Btot =
µ0 iR2 µ0 iR2 ~ B(x) = uˆn = uˆn . 2r3 2(x2 + R2 )3/2
(4.16)
Anche in questo caso si può osservare il comportamento di un punto posto a distanza infinita, cioè per x → ∞; trascurando R al denominatore si ha che: µ0 iR2 ~ B(x) = uˆn 2x3 dove, moltiplicando e dividendo per π, è possibile identificare la superficie della spira: µ0 iΣ µ0 im ~ µ0 iπR2 ~ B(x) = uˆn = uˆn = 3 3 2πx 2πx 2πx3 per cui un punto posto a grande distanza dalla spira risente di un campo dipolare, come nel caso della spira quadrata. L’espressione: µ0 iR2 ~ B(x) = uˆn 2r3 dove uˆn è il versore normale alla superficie, che descrive il campo magnetico della spira rotonda è fondamentale per quanto verrà presentato a breve. 78
4.2 Sorgenti Magnetiche
4.2.5
Magnetismo
Campo Magnetico di un Solenoide
Un solenoide è costituito da un conduttore avvolto a spirale con passo molto stretto attorno ad un asse rettilineo, ma per studiarne il campo magnetico può essere interpretato come una serie di spire circolari accostate. Si consideri un solenoide di lunghezza d composto da N spire di raggio R, da cui deriva che il numero di spire per unità di lunghezza è n = N/d, ed un punto p posto sull’asse del solenoide; si vuole calcolare il campo magnetico risentito dal punto ad effetto di un elemento infinitesimo dx di solenoide, che conterrà quindi ndx spire. Si consideri come r la distanza tra l’elemento dx ed il punto p e come φ l’angolo tra la loro congiungente e l’asse del solenoide; il campo magnetico può essere interpretato come il campo prodotto da n spire circolari accostate, risultando quindi da: µ0 iR2 dB = n dx 2r3 mentre per calcolare il campo complessivo si deve integrare su tutta la lunghezza del solenoide. Per farlo, si considera il punto p posto in una posizione fissa x0 e si considera come x la distanza sull’asse tra il punto p e l’elemento dx, quindi si hanno le relazioni R = r sin(φ) e x0 − x = r cos(φ), da cui deriva che: x0 − x = R cot(φ) quindi l’elemento infinitesimo dx viene espresso come: d(x0 − x) = −dx = Rd cot(φ) = R −
1
2 dφ sin(φ)
! ⇐⇒ dx = R
1
2 dφ sin(φ)
dove sostituendo R = r sin(φ) si ha che: dx =
r sin(φ) r dφ. 2 dφ = sin(φ) sin(φ)
Il campo magnetico può quindi essere espresso sostituendo sia R che dx: 2 µ0 ir2 sin(φ) r µ0 ni dB = n dφ = sin(φ)dφ 3 2r sin(φ) 2 e, considerando come φ1 e φ2 gli angoli tra la congiungente del punto p con l’elemento dx e l’asse del solenoide agli estremi dello stesso, il campo totale è dato da: Z µ0 ni φ2 µ0 ni B=+ sin(φ) dφ = − cos(φ2 ) − cos(φ1 ) (4.17) 2 2 φ1 ed è diretto lungo l’asse del solenoide e per esso valgono le stesse considerazioni sugli angoli fatte nel paragrafo 4.2.2 a pagina 75. Un caso interessante è quello del solenoide infinito, cioè per d → ∞, dove gli angoli agli estremi assumono i valori di φ1 = 0 e φ2 = π, caso in cui che il campo vale: B = µ0 ni. Nel caso di un solenoide di lunghezza finita, il campo “esce” dai capi e si richiude attorno ad esso, ma per il solenoide infinito, questo non è possibile, il che porta alla presenza di un campo esterno nullo. 79
4.2 Sorgenti Magnetiche
4.2.6
Magnetismo
Forza tra Due Aste
È ormai noto i circuiti attraversati da corrente immersi in un campo magnetico sono soggetti ad una forza, ma si è visto che i campi magnetici possono essere anche generati dai circuiti stessi a causa delle corrente che scorre in essi; è quindi lecito pensare che due circuiti attraversati da corrente posti uno vicino all’altro generino e risentano dei campi magnetici prodotti, con la conseguente manifestazione di una forza tra essi. Si vuole ora sfruttare la legge di Laplace per cercare di capire quali interazioni magnetiche si sviluppino tra due aste parallele percorse da corrente elettrica. Si consideri un’asta I di lunghezza indefinita attraversato da una corrente elettrica i1 , che genera un campa magnetico circolare descritto dalla legge di Biot-Savart: µ0 i 1 2πr dove r rappresenta la distanza dall’asta; si consideri una seconda asta infinita II posta a distanza r dalla prima, nella quale scorre una corrente elettrica i2 nella stessa direzione di i1 . Considerando il campo B1 agente sull’asta II, è possibile applicare la legge di Lorentz, grazie alla quale si può notare che il prodotto vettoriale tra il campo B1 e la direzione della corrente i2 genera una forza di richiamo lungo la congiungente delle due aste agente su II diretta verso I. Tale forza è espressa come: B1 =
~ 1 ) = il2 (ˆ F~12 = i2 (~l2 × B uy × uˆz )(−B1 ) = −i2 l2 B1 (ˆ uy × uˆz ) = −i2 l2 B1 uˆx dove è stata assunta come uˆy la direzione della corrente, come uˆz la direzione del campo magnetico e come uˆx il prodotto di queste due, cioè la direzione della forza F~12 ; per esprimere tale forza è stato necessario introdurre la lunghezza dell’asta in analisi, indicata con l2 , ma si vuole che valga la legge di Biot-Savart, quindi questa lunghezza deve essere infinita. Conviene quindi definire la forza per unità di lunghezza: F~12 f~12 = = −i2 B1 uˆx l2 dove è ora possibile sostituire il campo B1 : µ0 i1 f~12 = − i2 uˆx 2πr ma è possibile operare una permutazione di fattori per individuare il campo prodotto dall’asta II a distanza r da essa, cioè sull’asta I; µ0 i 2 i1 uˆx = B2 i1 uˆx = −f~21 2πr che infatti permette di identificare la forza esercitata dell’asta II sull’asta I, che risulta uguale in modulo e direzione alla forza esercitata dell’asta I sull’asta II, ma con verso opposto: |f~12 | = |f~21 | ⇐⇒ f~12 = −f~12 . −
È possibile notare che il segno della forza dipende dal verso reciproco nel quale scorre la corrente all’interno delle due aste: 80
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
• se le due aste sono attraversate da correnti i cui versi sono concordi, cioè vanno nella stessa direzione, allora tra le due aste si sviluppa una forza attrattiva; • se le due aste sono attraversate da correnti i cui versi sono discordi, cioè vanno in direzioni opposte, allora tra le due aste si sviluppa una forza repulsiva. Infine, si ricorda che la generalizzazione della legge di Lorentz per la forza risentita da un’asta di lunghezza l2 attraversata da una corrente i2 ad effetto di un campo magnetico B1 è data da: ~ 1) F~12 = i2 (~l2 × B (4.18) e che, definita la forza per unità di lunghezza come f12 = F12 /l2 , se si considerano due aste di lunghezza infinita parallele tra loro, poste a distanza r ed attraversate dalle correnti i1 e i2 , il modulo della forza che esse esercitano reciprocamente sulle altre può essere calcolato come: µ0 i1 i2 F = . (4.19) f= l 2πr Esempio di Campo Magnetico Generato da Conduttori Si considerino tre aste infinite orientate secondo gli assi del sistema di riferimento tridimensionale che convergono nel suo origine e che proseguono all’infinito nella direzione degli assi; la prima asta giace sull’asse z ed è attraversata da una corrente i1 = 12 A diretta verso l’origine, la seconda asta giace sull’asse y ed è attraversata da una corrente i2 = 8 A diretta nel verso dell’asse e la terza asta giace sull’asse x ed è attraversata da una corrente i3 = 8 A diretta nel verso dell’asse. Considerato un punto P di coordinate P = (a, a, 0), con a = 20 cm, si vuole calcolare il modulo del campo magnetico impresso su di esso da ciascuna delle tre aste, le componenti del campo magnetico totale ed il suo modulo; si vuole poi calcolare il lavoro da fornire per ruotare di un angolo π un dipolo magnetico m ~ di modulo 60 nA m−2 situato nel punto P che forma un angolo θ = 60° con il campo magnetico. La situazione generale del sistema è mostrata nella figura 4.4, dove sono state rappresentate la posizione del punto P e le direzioni delle correnti circolanti nelle aste. z
P
i1
x
a
a
i3
y i2
Figura 4.4: Esempio con tre aste infinite percorse da corrente.
Per calcolare il campo magnetico risentito dal punto P si analizzano uno ad uno i campi prodotti dalle aste a partire da considerazione di natura geometrica:
81
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
• la corrente i1 è entrante nel piano su cui giace il punto P , quindi il prodotto vettoriale tra il verso della corrente ed il vettore ortogonale ad essa che congiunge l’asta con il √ ~ 1 rivolto verso punto P , di modulo pari a l = a 2, identifica un campo magnetico B destra; • la corrente i2 giace sul piano su cui giace il punto P , quindi il prodotto vettoriale tra il verso della corrente ed il vettore ortogonale ad essa che congiunge l’asta con ~ 2 rivolto verso il il punto P , di modulo pari a a, identifica un campo magnetico B basso; • la corrente i3 giace sul piano su cui giace il punto P , quindi il prodotto vettoriale tra il verso della corrente ed il vettore ortogonale ad essa che congiunge l’asta con il ~ 3 rivolto verso l’alto. punto P , di modulo pari a a, identifica un campo magnetico B I tre campi magnetici sono stati riportati sul punto nella figura 4.5. z
P ~ B1 ~2 B ~3 B
i1
x
a
a
i3
y i2
Figura 4.5: Esempio con tre aste infinite percorse da corrente con i rispettivi campi magnetici prodotti sul punto P .
Per calcolare i campi magnetici prodotti dalle varie aste è necessario conoscere gli angoli formati tra il vettore che congiunge gli estremi delle aste ed il punto e le aste stesse; è inoltre necessario considerare il senso in cui scorre la corrente, in quanto si deve utilizzare come angolo iniziale quello del punto in cui inizia a scorrere la corrente e come angolo finale quello del punto in cui termina lo scorrimento: • sull’asta i1 la corrente inizia a scorrere all’infinito e termina nell’origine del sistema di riferimento, quindi gli angoli sono: ( θ1 = π θ2 = π/2; • sull’asta i2 la corrente inizia a scorrere all’origine del sistema di riferimento e termina all’infinito, quindi gli angoli sono: ( θ1 = π/4 θ2 = π; 82
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
• sull’asta i3 la corrente inizia a scorrere all’origine del sistema di riferimento e termina all’infinito, quindi gli angoli sono: ( θ1 = π/4 θ2 = π. Ogni campo magnetico può quindi essere calcolato come: Bi = −
µ0 i i µ0 ii cos(θ2 ) − cos(θ1 ) = cos(θ1 ) − cos(θ2 ) 4πr 4πr
ma si è interessati al suo modulo, dato da: µ0 ii |Bi | = cos(θ1 ) − cos(θ2 ) 4πr quindi il modulo del campo magnetico prodotto dall’asta i1 sul punto P è dato da: ! π µ0 i 1 µ0 i1 √ cos(π) − cos √ = 4,24 · 10−6 T ⇐⇒ B1 = B1 = 2 4πa 2 4πa 2 il modulo del campo magnetico prodotto dall’asta i2 sul punto P è dato da: ! √ µ0 i 2 π 2 µ0 i 2 B2 = cos + 1 = 6,83 · 10−6 T − cos(π) ⇐⇒ B2 = 4πa 4 4πa 2 ed il modulo del campo magnetico prodotto dall’asta i3 sul punto P è dato da: ! √ π µ0 i 3 µ0 i3 2 cos − cos(π) ⇐⇒ B3 = + 1 = 3,41 · 10−6 T. B3 = 4πa 4 4πa 2 Vanno ora attribuiti i versi ai moduli dei campi magnetici per ricavarne le forme ~2 è vettoriali; osservando la figura 4.5 nella pagina precedente risulta chiaro che il campo B in direzione opposta all’asse z, quindi con direzione −ˆ uz , risultando: √ µ i 2 0 2 ~ 2 = B2 (−ˆ ~2 = − B uz ) ⇐⇒ B + 1 uˆz 4πa 2 ~ 3 è in direzione concorde all’asse z, quindi con direzione uˆz risultando: mentre il campo B √ µ i 2 0 3 ~ 3 = B3 uˆz ⇐⇒ B ~3 = B + 1 uˆz . 4πa 2 La componente z del campo magnetico può quindi essere calcolata come: ~ z = (B3 − B2 )ˆ B uz = −3,42 · 10−6 T · uˆz . ~ 1 non è parallelo a nessuno degli assi, ma giace sul piano formato all’asse x Il campo B ~ 1 forma un angolo di 90° e dall’asse y, quindi va scomposto lungo questo assi; il vettore B con la retta che congiunge il punto P e l’origine del sistema di riferimento, il che significa 83
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
che forma un angolo di 45° con entrambe gli assi del piano su cui giace; le sue componenti lungo quei possono quindi essere calcolate come: π π e B1y = B1 cos B1x = B1 sin 4 4 ma è necessario notare che, nella scomposizione come somma vettoriale, il campo in direzione x è concorde alla direzione dell’asse, quindi ha direzione uˆx , mentre il campo ~1 è in direzione y è contrario alla direzione dell’asse, quindi in direzione −ˆ uy . Il campo B quindi dato da: √ √ 2 2 µ0 i 1 µ0 i 1 ~ √ √ uˆx − uˆy . B1 = B1x uˆx + B1y (−ˆ uy ) = 4πa 2 2 4πa 2 2 Da tutto questo deriva che le componente x e y del campo magnetico sono: ~ x = B1x uˆx = 3,00 · 10−6 T · uˆx B
~ y = −B1y uˆy = −3,00 · 10−6 T · uˆy . e B
Tutte le componenti del campo possono ora essere raccolte in un vettore tridimensionale per calcolare il campo complessivo: Bx B1x 3,00 · 10−6 T ~ = By = −B1y = −3,00 · 10−6 T B Bz B3 − B2 −3,42 · 10−6 T il cui modulo è facilmente calcolabile come: q B = Bx 2 + By 2 + Bz 2 = 5,45 · 10−6 T Per calcolare il lavoro necessario a ruotare il dipolo di un angolo pari a π sapendo che questo forma un angolo di α = 60° con il vettore campo magnetico si ricorre alla variazione di energia potenziale magnetica; ricordando che questa è definita come: ~ = −mB cos(α) Um = −m ~ ·B quindi può essere espressa come una funzione dell’angolo come U (α). Il lavoro può quindi essere calcato come: W = U (α + π) − U (α) = −mB cos(α + π) + mB cos(α) ma sfruttando il fatto che cos(α + π) = − cos(α), risulta: W = mB cos(α) + mB cos(α) = 2mb cos(α) = 3,27 · 10−13 J. Esempio di Forza Dovuta al Campo Magnetico Si consideri la spira quadrata mostrata nella figura 4.6 nella pagina successiva, alla quale è affiancata un’asta infinita di materiale conduttore. Il sistema è composto di una spira quadrata di area Σ = 8 cm2 e percorsa da una corrente i1 = 3 A in senso antiorario, mentre l’asta è parallela ai lati verticali della spira, si trova a distanza d dal centro della stessa ed è attraversata da una corrente i2 rivolta verso il 84
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
C
B
D
A
Figura 4.6: Esempio di spira quadrata alla quale è stata avvicinata un’asta conduttrice infinita.
basso; si vuole calcolare il campo magnetico nel punto O posto al centro della spira e sul suo stesso piano trascurando gli effetti magnetici dell’asta, si vuole successivamente calcolare quale deve essere il valore della corrente impressa all’asta perché il campo magnetico nel punto O sia nullo ed infine si vuole calcolare la forza risentita dalla spira ad opera del campo magnetico prodotto dall’asta attraversata dalla corrente i1 calcolata. √ Nota l’area della spira, il suo lato può essere calcolato come l = Σ, quindi il punto O si trova a distanza l/2 da ogni ramo che la compone; per calcolare il campo complessivo che la spira imprime sul punto O si analizzano i campi prodotti dai singoli rami. Il lato AB produce un campo magnetico dato da: BAB =
µ0 i 1 µ0 i1 cos(θ1 ) − cos(θ2 ) = cos(θ1 ) − cos(π + θ1 ) l 2πl 4π 2
dove sfruttando il fatto che cos(π + θ1 ) = − cos(θ1 ), si ha che: BAB =
µ0 i 1 cos(θ1 ) + cos(θ1 ) 2πl
dove l’angolo θ1 = 45°; dato che tutti i rami sono equidistanti dal punto O, ognuno di essi produrrà un campo formalmente identico a quello prodotto dal lato AB, quindi il campo complessivo, indicato con B1 , è dato da: √ µ0 i1 2 2 B1 = 4BAB = = 1,20 · 10−4 T. πl Va ora calcolata la corrente i2 necessaria ad annullare il campo magnetico al centro della spira; è possibile notare che il campo magnetico impresso dalla spira ha verso uscente dal piano su cui giace, mentre il campo magnetico impresso dall’asta di conduttore ha verso entrante nel piano, per cui basta che i due campi siano uguali in modulo per rendere nulla la loro somma vettoriale. 85
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
Deve quindi valere che: B1 = B2 dove il campo B2 può essere calcato grazie alla legge di Biot-Savart, trattandosi di un’asta infinita: 2πdB1 µ0 i 2 ⇐⇒ i2 = = 60 A. B1 = 2πd µ0 Una volta nota la corrente, è possibile calcolare la forza esercitata dall’asta sulla spira; dato che la spira è composta di quattro lati, ognuno di questi risente di una diversa forza, quindi si inizia considerando la forza risentita dai lati orizzontali della spira. Considerando il lato BC, la forza da esso risentita ad opera del campo B2 può essere calcolata considerando un suo elemento infinitesimo, ma il campo non è uniforme lungo il lato, in quanto ogni elemento infinitesimo di questo si trova ad una distanza diversa dall’asta: ~BC × B ~ 2 (r)) dFBC = i1 (dS ~ 2 (r) sta proprio ad indicare la dipendenza del campo dalla distanza r: dove B ~ 2 (r) = µ0 i2 . B 2πr Il campo mantiene comunque la stessa direzione su tutta l’estensione del ramo, puntando costantemente nella direzione entrante nel piano, quindi la forza da esso impressa sul lato CD punta verso il basso e giace sullo stesso piano della spira; la forza complessiva può essere calcolata integrando la forza infinitesima su tutta la lunghezza del lato: l Z d+ l Z 2 d + 2l µ0 i1 i2 d+ 2 dr µ0 i1 i2 dFBC = FBC = = ln . 2π r 2π d − 2l d− 2l d− 2l Una calcolo analogo sul lato DA permette di concludere che la forza ha lo stesso modulo della forza agente sul lato BC, ma in questo caso punta verso l’alto; i contributi delle due forze verticali quindi si annullano. Si studia ora la forza agente sui lati orizzontali della spira, ma si inizia col notare che la distanza del lato AB dall’asta è costante, così come quella del lato CD; il campo magnetico è quindi costante su questi due lati, ma ha un modulo diverso in quanto i due lati si trovano a distanze diverse dall’asta. La forza agente sul lato AB è data da: Z l Z l l µ0 i 2 l FAB = dFAB = i1 B2 d − dSAB = i1 2 2π d − 2l 0 0 e tale forza punta verso sinistra, mentre la forza agente sul alto CD è data da: Z l Z l l µ0 i2 l FCD = dFCD = i1 B2 d + dSCD = i1 2 2π d + 2l 0 0 e tale forza punta verso destra. La forza complessiva può ora essere calcolata come somma vettoriale di queste due; supponendo che la direzione uˆx sia rivolta verso destra, si ha che: µ0 i1 i2 1 1 µ0 i1 i2 2 1 ~ F = (FCD − FAB )ˆ ux = l − uˆx = − l ˆx . 2 u l l 2π 2π d+ 2 d− 2 d2 − l4 86
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
Esempio di Relazione tra Forza e Flusso Questo risultato si sarebbe anche potuto derivare facendo delle considerazione sull’energia potenziale magnetica, in quanto la forza è data da: " # l l F = i1 l B2 d + − B2 d − 2 2 ma riassumendo la differenza del valore del campo magnetico semplicemente come ∆B2 e poi moltiplicando e dividendo per l, si ha che: F = i1 l 2
∆B2 l
dove possibile identificare l2 come la superficie della spira: F = i1
Σ∆B2 l
ma ora Σ∆B2 rappresenta la variazione del flusso del campo magnetico per la superficie Σ: F = i1
∆Φ(B2 ) . l
La forza può essere riscritta come: Φ B2 (r0 + l) − Φ B2 (r0 ) F = i1 l dove il punto r0 è stato posto uguale al punto A, cioè al punto più vicino all’asta, ma questa scrittura, per l → 0, è il limite di un rapporto incrementale, cioè la derivata del flusso del campo magnetico rispetto alla distanza r0 ; questa scrittura è analoga a quella ricavata nell’esempio fatto alla fine del paragrafo 4.1.4 a pagina 68, dove una spira rettangolare aveva un lato scorrevole che variava la sua area e quindi il flusso del campo magnetico, assunto uniforme, solo che stavolta è il campo magnetico a variare di intensità, mentre l’area rimane costante. A parte questa considerazione, tornando alla scrittura della forza come: F = i1
Σ∆B2 l
la quantità i1 Σ può essere identificata come il momento di dipolo magnetico: F =
m∆B2 ∆Um = l l
ma questa scrittura coincide con la derivata dell’energia potenziale, cioè con la sua variazione, da cui è possibile notare che la forza è proporzionale alla variazione dell’energia potenziale.
87
4.2 Sorgenti Magnetiche
Magnetismo
Esempio di Relazione tra Forza ed Energia Magnetica Esiste un terzo modo per calcolare la forza: considerando una “fetta verticale” infinitesima di area della spira dΣ = ldr e ricordando il campo magnetico in essa è dato da: µ0 i 2 B2 = 2πr il flusso del campo per quest’area è: dΦ(B2 ) = B2 (r)dΣ =
µ0 i2 l dr 2π r
quindi il flusso complessivo è dato da: Z µ0 i2 l r0 +l dr µ0 i 2 l r0 + l Φ(B2 ) = = ln 2π r0 r 2π r0 dove il punto r0 è stato posto uguale al punto A, cioè al punto più vicino all’asta. L’energia potenziale magnetica può ora essere espressa come: r0 + l µ0 i1 i2 l ln Um = i1 Φ(B2 ) = 2π r0 mentre la forza può essere identificata dalla sua variazione: F =
d µ0 i1 i2 l2 Um = − dr0 2πr0 (r0 + l)
e ricordando che, per come è stato definito r0 , questo è uguale a d − 2l , la forza risulta essere: µ0 i1 i2 2 1 l F =− 2 . 2π d2 − l4
4.3
La Legge di Ampère
Se si considera un filo rettilineo di lunghezza indefinita percorso da una certa corrente, è chiaro che il campo magnetico che produce è tangenziale alla circonferenza ortogonale al filo, come detto nel paragrafo 4.2.2 a pagina 75; considerando come R la distanza tra il filo ed il campo, si può considerare un tratto infinitesimo di circonferenza dato da: dS = Rdθ dove θ è l’angolo che identifica l’arco di circonferenza, ed è possibile dire che: ~ · dS ~ = µ0 i dS = µ0 i dθ. B 2πR 2π Considerando invece un arco finito di circonferenza, delimitato dai punti C e D, e considerando come θ l’angolo tra i segmenti che delimitano l’arco, si ha che: Z D ~ · dS ~ = µ0 i θ B 2π C 88
4.3 La Legge di Ampère
Magnetismo
ed estendendo l’integrale all’intera circonferenza, indicata con γ, si conclude che: I ~ · dS ~ = µ0 i. B (4.20) γ
L’equazione appena derivata rappresenta il teorema di Ampère, che mette in relazione la circuitazione del campo magnetico con la corrente circolante nel circuito che lo genera ed è l’analogo del teorema di Gauss per il campo elettrico. Per l’applicazione di questa legge è fondamentale che il filo percorso da corrente, cioè il generatore del campo magnetico, sia completamente contenuto nella circonferenza; considerando infatti un arco della circonferenza γ con angolo θ ed un’altra curva generica γ1 che congiunge i due punti che delimitano l’arco, si ha che: Z D Z D ~ ~ ~ · dS ~γ1 B · dSγ = B C
C
ma se ora si considera un’altra curva generica γ2 che congiunge i punti tramite un percorso inverso, cioè da D a C, si ottiene che che: Z D Z C ~ ~ ~ · dS ~γ2 . B · dSγ1 = − B C
D
Se ora si considera l’integrale di linea chiusa sulle curve γ1 e γ2 , cioè la circuitazione del campo magnetico, si ha che: Z Z D Z C ~ · dS ~= ~ · dS ~γ1 + ~ · dS ~γ2 = 0 B B B γ1 +γ2
C
D
in quanto i due integrali sono uguali ed opposti. L’esemplificazione grafica di quanto detto è riportata nella figura 4.7. D γ
i
γ1
γ2 C
Figura 4.7: Esempio di curve per l’applicazione della legge di Ampère.
Questa è la dimostrazione del fatto che la circuitazione del campo magnetico è non nulla se e solo se la sua sorgente è interna alla curva considerata per calcolarla. Anche in questo caso si ha un’analogia con il teorema di Gauss per il campo elettrico, ma in quel caso si sarebbero dovute considerare una superficie ed il flusso del campo elettrico attraverso la stessa, anziché una curva e la circuitazione del campo magnetico. Da questo discende che il teorema di Ampère può essere utilizzato come il teorema di Gauss: conoscendo infatti la corrente circolante in un circuito che genera un campo magnetico ed utilizzando un secondo circuito, cioè una curva, per identificare la circuitazione del campo magnetico, è possibile calcolare il campo stesso. 89
4.3 La Legge di Ampère
4.3.1
Magnetismo
Campo Magnetico di un’Asta Infinita
Si consideri, ad esempio, un conduttore cilindrico di raggio R e lunghezza indefinita percorso da una corrente i, del quale si vuole calcolare il campo magnetico prodotto. Considerando una circonferenza ortogonale al conduttore con centro nel centro del cilindro e raggio pari a r, con r > R, è possibile applicare il teorema di Ampère considerando un ~ arco infinitesimo di circonferenza dS: I ~ · dS ~ = µ0 i B dove il campo può essere estratto dall’integrale, ottenendo: I ~ = µ0 i ⇐⇒ B2πr = µ0 i B dS quindi il campo è dato da:
µ0 i 2πr ma questa equazione coincide con la legge di Biot-Savart, mostrata nell’equazione 4.14 a pagina 76, che era stata ricavata con un procedimento molto più lungo e complesso. Se si considera invece una circonferenza di raggio r, con r < R, la corrente circolante nel conduttore entro la circonferenza dipende dal raggio r: B=
i(r) = jπr2 =
r2 i 2 πr = i πR2 R2
ed ora può essere applicata la legge di Ampère: 2πrB = µ0 i(r) ⇐⇒ 2πrB = µ0 i
r2 R2
da cui deriva che il campo vale:
µ0 ir . 2πR2 È quindi possibile notare che il campo magnetico cresce linearmente a partire dal centro della cilindro, assume un valore massimo per r = R e poi decresce linearmente al variare della distanza dalla faccia esterna del conduttore. Un altro esempio di applicazione del teorema di Ampère riguarda il calcolo del campo di un solenoide rettilineo di lunghezza indefinita con n spire per unità di lunghezza; per il calcolo si considera un circuito rettangolare, i cui vertici sono identificati con A, B, C e D, parzialmente inserito nel solenoide in modo che il lato BC sia posto sull’asse del solenoide, i lati AB e CD siano ortogonali all’asse ed escano dalla fessure tra le spire e che il lato DA sia parallelo all’asse, ma esterno al solenoide. Nel solenoide scorre una corrente i. Nell’applicazione del teorema di Ampère, l’integrale sul circuito può essere separato in quattro integrali sui lati: I Z B Z C Z D Z A ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ · dS ~ B · dS = B · dS + B · dS + B · dS + B B=
γ
A
B
C
90
D
4.3 La Legge di Ampère
Magnetismo
ma i lati AB e CD sono ortogonali alla direzione del campo, quindi il loro integrale è nullo; inoltre, il lato DA è esterno al solenoide, quindi non risente di alcun campo magnetico, il che annulla anche questo integrale. L’unico contributo restante è quello dovuto al lato BC, che risulta essere: Z C −→ ~ · dS ~ = B|− B BC| = Bh B
dove h è la lunghezza del lato BC, cioè il tratto di circuito coperto dal campo magnetico; applicando ora il teorema di Ampère e notando che il numero di spire del solenoide coperte dal tratto h è dato da N = hn, si ha che: Bh = N µ0 i = nhµ0 i ⇐⇒ B = nµ0 i ed anche in questo caso, l’espressione coincide con quella ricavata nel paragrafo 4.2.5 a pagina 79 utilizzando solamente considerazioni geometriche. Grazie al teorema di Ampère è possibile calcolare anche campi magnetici prodotti da sistemi abbastanza complessi, come possono essere i solenoidi toroidali.
4.3.2
Campo Magnetico di un Solenoide Toroidale
Il solenoide toroidale può essere interpretato come un “solenoide curvo” il cui asse longitudinale descrive una curva chiusa, tipicamente un circonferenza. Questa geometria dà origine ad un campo magnetico lungo la circonferenza descritta dall’asse longitudinale del solenoide, fatto che può essere dimostrato grazie al teorema di Ampère considerando come circuito una curva circolare. Si suppone quindi che la circonferenza data dall’asse del solenoide abbia raggio r e si considera una curva circolare γ con lo stesso raggio; calcolando la circuitazione del campo magnetico lungo questa curva, si ha che: I ~ · dS ~ = 2πrB B γ
e può essere ora applicato il teorema di Ampère: 2πrB = µ0 N i ⇐⇒ B =
µ0 N i . 2πr
L’andamento del campo magnetico del solenoide toroidale è molto simile a quello del campo di un’asta; inoltre, posto R1 il raggio interno del solenoide e R2 il raggio esterno, è possibile notare che il campo decresce linearmente al variare di r e che non è presente né per r < R1 né per r > R2 . Inoltre, approssimando la densità di spire per unità di lunghezza come: n=
N 2πr
si ottiene la stessa espressione di campo magnetico di un solenoide infinito: B = µ0 ni. È bene precisare che le spire di un solenoide toroidale sono generalmente circolari, ma potrebbero anche essere spire quadrate o con una qualsiasi altra geometria. 91
4.3 La Legge di Ampère
4.3.3
Magnetismo
Flusso Magnetico tra Circuiti
Nel paragrafo 4.1.4 a pagina 68 è stato notato per la prima volta che un circuito chiuso attraversato da corrente in presenza di un campo magnetico può risentire del suo flusso, dipendente dalla superficie del circuito e dall’intensità del campo. Nella sezione 4.2 a pagina 73 è poi stato notato che un circuito percorso da corrente è a tutti gli effetti una sorgente di campo magnetico. Si vuole ora capire quali interazioni si sviluppino tra due circuiti attraversati da corrente. Si consideri una spira circolare di superficie Σ1 attraversata da una corrente i1 che ~ 1 in direzione ortogonale al centro della spira; il campo produce un campo magnetico B attraversa un secondo circuito di superficie Σ2 orientata secondo una direzione uˆn,2 non ~ 1. parallela alla direzione della campo B ~ 1 attraverso la superficie Σ2 può essere calcolato come: Il flusso del campo B Z ~ 1 · uˆn,2 dΣ2 Φ12 = B Σ2
~ 1 può essere calcolato integrando l’equazione 4.10 a pagina 74 sulla dove il campo B circonferenza della spira Σ1 : Z I Φ12 = Σ2
~ × uˆr,1 µ0 i 1 dS ·ˆ un,2 dΣ2 4π r2
dove è possibile considerare la corrente i1 come uniforme e quindi estrarla dall’integrale: Z I Φ12 = i1 Σ2
~ × uˆr,1 µ0 dS ·ˆ un,2 dΣ2 . 4π r2
~ 1 attraverso la superficie Σ2 può essere scritto In questo modo il flusso del campo B definendo il coefficiente di mutua induttanza come tutto quello che moltiplica i1 : Z I M12 = Σ2
~ × uˆr,1 µ0 dS ·ˆ un,2 dΣ2 4π r2
grazie al quale il flusso viene riscritto come: Φ12 = i1 M12 . Considerando la situazione inversa, dove la spira Σ2 è attraversata da una corrente i2 ~ 2 , è possibile definire il flusso di questo campo e quindi produce un campo magnetico B attraverso la superficie Σ1 come: Φ21 = i2 M21 . I due coefficienti di mutua induttanza sono uguali tra loro, in quanto caratteristica della geometria del sistema di circuiti ed indipendenti dalle correnti che generano i campi magnetici; questo fatto verrà dimostrato in seguito.
92
4.3 La Legge di Ampère
Magnetismo
Esempio di Mutua Induttanza tra Circuiti Si considerino due solenoidi coassiali e concentrici con densità di spire n1 e n2 e superfici Σ1 e Σ2 , con Σ1 > Σ2 ; nei solenoidi scorrono le correnti i1 e i2 con versi concordi. Si vogliono calcolare i coefficienti di mutua induttanza M per unità di lunghezza. Dato che la corrente scorre nello stesso senso in entrambe i solenoidi, il campo magnetico ~ 1 generato dal solenoide con prodotto da essi è nello stesso verso; inoltre, il campo B superficie maggiore si propaga anche all’interno del solenoide Σ2 , dove si ha quindi la ~ 2 da esso generato. sovrapposizione con il campo B ~ 1 attraverso la superficie Σ2 : Si inizia col calcolare il flusso del campo B Φ12 = B1 (n2 Σ2 ) = µ0 n1 i1 n2 Σ2 dove si isola poi la corrente i1 per ricavare l’espressione del primo coefficiente di mutua induttanza: Φ12 = µ0 n1 n2 Σ2 . M12 = i1 ~ 2 attraverso la superficie Σ1 : Si calcola il flusso del campo B Φ21 = B2 (n1 Σ1 ) ma è bene notare che il campo magnetico è non nullo solamente all’interno del solenoide Σ2 , quindi interseca solo la superficie Σ2 e non dà alcun flusso attraverso la superficie esterna a Σ2 . L’espressione corretta del flusso è quindi: Φ21 = B2 (n1 Σ2 ) = µ0 n2 i2 n1 Σ2 da cui deriva che:
Φ21 = µ0 n1 n2 Σ2 . i2 ma questo coefficiente è uguale a quello calcolato prima; questa è la dimostrazione del fatto che i coefficienti di mutua induttanza sono uguali tra loro e questo fatto è sensato in quanto viene sempre considerata la superficie minore per il calcolo del flusso, come si è notato in questo esempio. M21 =
Esempio di Mutua Induttanza tra Filo e Solenoide Si con consideri un filo infinito attraversato da una corrente i1 posto al centro di un solenoide toroidale con circonferenza interna R composto da spire rettangolari attraversate da una corrente i0 , il cui lato parallelo al filo ha dimensione a, mentre l’altro lato ha dimensione b; i versi della corrente sono tali da far sì che i campi prodotti dal solenoide e dal filo siano nella stessa direzione. Si vuole calcolare il coefficiente di mutua induttanza del sistema. Per fare quanto richiesto, si considera un elemento di area di una delle spire del solenoide dato da d~ra, in modo che l’elemento infinitesimo d~r abbia verso concorde al verso della corrente nel solenoide. 93
4.3 La Legge di Ampère
Magnetismo
~ generato dal filo attraverso una spira del solenoide può Il flusso del campo magnetico B essere calcolato integrando il flusso attraverso la superficie considerata sull’intera superficie della spira: Z Z R+b µ0 i 1 R+b µ0 i1 ~ (dra) = ln Φ1 = B · uˆn dΣ = 2πr 2πa R Σ R ed il flusso complessivo può essere calcolato moltiplicando il flusso attraverso una singola spira per il numero totale di spire, risultando: µ0 i1 R+b Φ = N Φ1 = N ln . 2πa R È ora possibile calcolare il coefficiente di mutua induttanza: Φ µ0 a R+b M = =N ln . i1 2π R Se si considerasse il filo come chiuso all’infinito, sarebbe possibile calcolare il flusso campo prodotto dal solenoide attraverso la sua superficie; tuttavia, si deve ricordare che il campo prodotto dal solenoide è non nullo solamente al suo interno, il che implica che il flusso vada calcolato considerando la sola superficie del solenoide. Da tutto questo deriva un coefficiente di mutua induttanza identico a quello già calcolato.
4.3.4
Autoinduttanza
Dato che un campo magnetico genera un flusso all’interno di un circuito e che un circuito attraversato da corrente è anche il generatore di un campo magnetico, si può pensare che un circuito attraversato da corrente generi un campo magnetico che generi flusso attraverso il circuito stesso. Questo fenomeno non è una pura astrazione, ma la rappresentazione di un fenomeno reale definito autoflusso; considerando un circuito con superficie Σ attraversato da una corrente i, questo produce una campo magnetico che genera un flusso attraverso la superficie del circuito stesso dato da: Z I ~ × ~r µ0 i dS Φ= · uˆn dΣ 2πr r2 Σ ed anche in questo caso si può estrarre la corrente dagli integrali e definire il coefficiente di autoinduttanza: Z I ~ × ~r µ0 dS · uˆn dΣ L= 2πr r2 Σ che permette di riscrivere il flusso come: Φ = iL. Questo coefficiente è una caratteristica della sola geometria del circuito in esame ed è completamente indipendente dalla corrente che vi fluisce all’interno. Si presenta a titolo esemplificativo il calcolo coefficiente di autoinduttanza di un solenoide rettilineo di lunghezza indefinita composto di n spire per unità di lunghezza con 94
4.3 La Legge di Ampère
Magnetismo
superficie Σ ed attraversato da una corrente i; il flusso del campo magnetico del solenoide attraverso sé stesso è: Φ = nΣB = nΣµ0 ni da cui deriva che il suo coefficiente di autoinduttanza vale: Φ L = = n2 Σµ0 . i Un’osservazione attinente dell’esempio presentato alla fine del paragrafo 4.3.3 a pagina 92, dove si è discusso dei coefficienti di mutua induttanza tra due solenoidi, permette di concludere che il coefficiente di autoinduttanza è assimilabile al coefficiente di mutua induttanza tra due solenoidi identici tra loro e sovrapposti.
4.4
Campi Magnetici nei Materiali
Nella sezione 2.5 a pagina 25 sono stati ampiamente discussi i materiali dielettrici, cioè sostanze diverse dal vuoto attraverso le quali il campo elettrico assume un comportamento diverso. In particolare, il campo elettrico in un materiale dielettrico risultava scomponibile nella sovrapposizione di due campi elettrici nel vuoto, il campo vero e proprio è quello generato dalle cariche di polarizzazione, prodotte dal dielettrico in reazione al campo che le attraversa. In questa sezione si vuole cercare di capire se esistano dei materiali in grado di dare fenomeni simili, ma considerando il campo magnetico.
4.4.1
Magnetizzazione
La magnetizzazione è la reazione di un materiale con certe caratteristiche alla presenza di un campo magnetico che lo attraversa; si consideri un solenoide rettilineo orientato nella direzione di un asse z, composto di n spire per unità di lunghezza e di lunghezza indefinita nella direzione opposta dell’asse (verso il basso). La corrente circolante nel solenoide è tale da produrre un campo magnetico in direzione dell’asse z. Si supponga ora di inserire dall’alto in direzione dell’asse longitudinale del solenoide una bobina percorsa da corrente nello stesso verso di quella nel solenoide e di raggio minore di quello dello stesso. Alla bobina può essere associato un momento magnetico m ~ 0 , che può essere sfruttato per capire che forza si sviluppi tra i due corpi nell’inserimento; è infatti noto che il campo magnetico prodotto dal solenoide non ha modulo costante ai suoi estremi, il che permette di dire che esiste una forza dovuta alla presenza del momento magnetico della bobina data da: d |F~ | = m0 B. dz Questo fatto è facilmente dimostrabile in quanto la forza può essere calcolata come: ~ m )| |F~ | = |−∇(U dove è possibile utilizzare l’espressione dell’energia potenziale magnetica mostrata nell’equazione 4.6 a pagina 69, ottenendo: ~ m ~ |+∇( ~ 0 · B)| 95
4.4 Campi Magnetici nei Materiali
Magnetismo
e dato che si sta considerando uno spostamento lungo l’asse z del momento magnetico, l’unica componente non nulla del gradiente è la derivata rispetto all’asse z: |F~ | = m0
d B. dz
Il segno della forza dipende quindi dell’orientamento del momento magnetico della bobina: ~ allora la forza è attrattiva; • se il vettore m ~ 0 è nella stessa direzione del vettore B, ~ allora la forza è repulsiva. • se il vettore m ~ 0 è nella direzione opposta al vettore B, La forza è quindi rivolta in verso opposto al momento magnetico.
4.4.2
Materiali Diamagnetici e Paramagnetici
Questo studio può in realtà essere generalizzato ad un qualsiasi materiale capace di interagire con un campo magnetico; sperimentalmente, si osserva che diversi materiali hanno comportamento diverso, infatti un materiale può essere attratto dal campo magnetico all’interno del solenoide lungo il suo asse, oppure può essere spinto via. I materiali che tendono ad essere attratti all’interno del solenoide vengono definiti paramagnetici, mentre i materiali che tendono ad essere repulsi vengono detti diamagnetici. Esiste un terzo tipo di materiali, definiti ferromagnetici, che hanno un comportamento simile a quello dei materiali paramagnetici, ma verranno descritti in seguito. Per descrivere correttamente i materiali paramagnetici e diamagnetici è opportuno introdurre il vettore di magnetizzazione, dato da: ~ ~ =m M τ
(4.21)
dove τ è il volume del materiale considerato. Grazie a questo vettore è possibile descrivere il modulo della forza per unità di volume come: F m d d Fτ = = B=M B τ τ dz dz ~ è il coefficiente di proporzionalità e grazie a questa espressione è possibile notare che M della forza per unità di volume con il campo magnetico del solenoide. Dato che il vettore di magnetizzazione viene definito a partire dal momento magnetico, come si nota nell’equazione 4.21, è possibile dire che questo ha la stessa direzione del momento magnetico, in quanto il volume del materiale non può mai essere negativo. Una proprietà importante del vettore di magnetizzazione riguardante i materiali paramagnetici e diamagnetici consiste nel fatto che la magnetizzazione è nulla se e solo se il campo magnetico è nullo. Per i materiali ferromagnetici, contrariamente a quanto appena detto, un volta esposti ad un campo magnetico, la magnetizzazione non si annulla nemmeno dopo l’annullamento del campo magnetico che l’ha indotta.
96
4.4 Campi Magnetici nei Materiali
4.4.3
Magnetismo
Permeabilità e Suscettività Magnetica della Materia
Grazie al vettore di magnetizzazione è possibile fare alcune considerazioni interessanti sui materiali. È noto che il campo magnetico prodotto da un solenoide infinito con n spire per unità di lunghezza percorse da una corrente i vale: B0 = µ0 ni ma questa espressione è valida nel vuoto; sperimentalmente si osserva che riempiendo completamente il solenoide di un mezzo omogeneo, il suo campo magnetico varia ed ha rapporto con B0 pari a: B = km (4.22) B0 dove km viene definita permeabilità magnetica relativa ed ha un ruolo analogo alla costante dielettrica relativa nel caso elettrostatico. Forti di questa osservazione, è possibile dire che il campo del solenoide completamente riempito vale: B = km B0 = µ0 km ni dove è possibile definire la permeabilità magnetica del materiale come: µ = km µ0 .
(4.23)
Considerando ora la variazione di campo tra il caso nel vuoto ed il caso in presenza di materiale, questa può essere calcolata come: B − B0 = (km − 1)B0 dove viene definita un’ulteriore grandezza: km − 1 = χm
(4.24)
che rappresenta la suscettività magnetica del materiale. Utilizzando questa grandezza, è possibile interpretare il campo magnetico prodotto dal solenoide in presenza di materiale di riempimento come: B = km B0 = (1 + χm )B0 = µ0 ni + µ0 nχm i come fatto per il campo elettrico in un dielettrico, cioè come sovrapposizione di due campi magnetici nel vuoto: • un campo magnetico nel vuoto generato da un solenoide percorso da una corrente i; • un campo magnetico nel vuoto generato da un solenoide identico percorso da una corrente χm i, definita corrente amperiana e responsabile della presenza del vettore di magnetizzazione, del quale rappresenta la circuitazione. Nel caso dei dielettrici la carica di polarizzazione formata è sempre opposta alla carica che la genera, ma in questo caso la corrente amperiana può avere verso concorde oppure discorde a quella che scorre nel solenoide e questo fatto dipende dalla tipologia del materiale di riempimento: 97
4.4 Campi Magnetici nei Materiali
Magnetismo
• nei materiali paramagnetici la corrente amperiana scorre nello stesso verso della corrente reale, rafforzando il campo magnetico complessivo; • nei materiali diamagnetici la corrente amperiana scorre in verso opposto alla corrente reale, indebolendo il campo magnetico complessivo. Per i materiali ferromagnetici sono valide le stesse considerazioni fatte per i materiali paramagnetici, ma il loro effetto ha un’entità decisamente superiore. Un breve confronto dei valori tipici di permeabilità magnetica relativa e di suscettività magnetica delle varie classi di materiali permette infatti di verificare quanto appena detto: • i materiali diamagnetici hanno una permeabilità magnetica relativa km < 1, quindi la loro suscettività magnetica è χm < 0 ed ha tipicamente valori di circa 10−4 ; • i materiali paramagnetici hanno una permeabilità magnetica relativa km > 1, quindi la loro suscettività magnetica è χm > 0 ed ha tipicamente valori di circa 10−4 ; • i materiali ferromagnetici hanno una permeabilità magnetica relativa km > 1, quindi la loro suscettività magnetica è χm > 0, ma questa ha tipicamente valori di circa 104 , di gran lunga maggiori di quelli dei materiali paramagnetici.
4.4.4
Teorema di Ampère in Presenza di Materiale
Grazie alle osservazioni fatte nei paragrafi precedenti è possibile ricavare una forma del teorema di Ampère valida all’interno di un qualsiasi materiale. Ponendo χm i = im e considerando l’espressione del campo magnetico in presenza di un materiale ed inserendola nell’equazione 4.20 a pagina 89 si ha che: I ~ · dS ~ = µ0 (i + im ) B ma, ricordando che la corrente amperiana rappresenta la circuitazione del vettore di magnetizzazione, cioè: I ~ · dS ~ = im M si ottiene la relazione integrale: I
~ · dS ~ = µ0 i + µ0 B
I
~ · dS. ~ M
È inoltre possibile derivare una forma locale dell’equazione appena mostrata: ~ ×B ~ = µ0 (~j + ~jm ) ∇ dove la densità di corrente amperiana rappresenta il rotore del vettore di magnetizzazione: ~ ×M ~ = ~jm ∇ il che permette di dire che: ~ ×B ~ = µ0~j + µ0 (∇ ~ ×M ~ ). ∇ 98
4.4 Campi Magnetici nei Materiali
Magnetismo
Considerando nuovamente la forma integrale del teorema di Ampère applicato ad un campo magnetico in presenza di materiale, è possibile unificare i due integrali presenti raccogliendo le funzioni integrande I ~ − µ0 M ~ ) · dS ~ = µ0 i (B da cui deriva che:
I ~ B ~ · dS ~ = µ0 i −M µ0 µ0 dove è possibile definire un nuove vettore come: ~ B ~ =H ~ −M µ0 da cui si ottiene la forma del teorema di Ampère cercata: I ~ · dS ~ = i. H
(4.25)
(4.26)
~ contiene infatti le informazioni sul campo magnetico e sulla magnetizzazione Il vettore H del materiale, permettendo quindi di scrivere il vettore campo magnetico come: ~ = µ0 ( H ~ +M ~ ). B È inoltre possibile derivare la forma locale dell’equazione 4.26, che risulta essere: ~ ×H ~ = ~j ∇ ~ M ~ e H: ~ ed infine si possono ricavare un serie di relazioni ausiliarie tra i vettori B, ~ = χm H ~ M
~ 1 χm B ~ = 1 km − 1 B. ~ M µ µ0 km
~ = µH ~ B
È possibile notare che tra il comportamento del campo magnetico in presenza di materiale ed il comportamento del campo elettrico in presenza di dielettrici ci sono molte analogie, che si vogliono ora sottolineare: • la suscettività elettrica può essere definita come: χ=k−1 mentre la suscettività magnetica può essere definita come: χm = km − 1; • il vettore di induzione dielettrica può essere scritto come: ~ = εE ~ + P~ D mentre il vettore di magnetizzazione può essere scritto come: ~ ~ = B − H; ~ M µ0 99
4.4 Campi Magnetici nei Materiali
Magnetismo
• l’applicazione del teorema di Gauss al vettore di induzione dielettrica permette di metterne in relazione il flusso con la carica di polarizzazione: I ~ + P~ ) · uˆn dΣ = qp (εE mentre l’applicazione del teorema di Ampère al vettore di magnetizzazione permette di metterne in relazione la circuitazione con la corrente amperiana: I ~ B ~ · dS ~ = im . −H µ0 Esempio di Campo Magnetico in Presenza di Materiale Si consideri un solenoide toroidale di raggio interno R1 e raggio esterno R2 composto di N spire ed immerso in un materiale con permeabilità magnetica relativa km ; si vogliono calcolare il campo magnetico ed il campo H. ~ vi si applica la legge di Ampère considerando una circonferenza Per calcolare il campo H con raggio R1 ≤ r ≤ R2 e ricordando di moltiplicare la corrente per il numero di spire: I ~ · dS ~ = Ni H da cui deriva che:
Ni 2πr e tale campo è tangente alla circonferenza considerata. ~ è possibile calcolare il campo magnetico come: Noto il campo H H2πr = N i ⇐⇒ H =
~ = µ0 km H ~ = µ0 km N i uˆφ B 2πr ~ non dipende dalla materiale, esattamente come il vettore Si noti che il campo H ~ in presenza di dielettrici non dipendeva dal materiale nel caso del campo induzione D elettrico.
4.4.5
Materiali Ferromagnetici
Come già detto alla fine del paragrafo 4.4.2 a pagina 96, i materiali ferromagnetici hanno la caratteristica di conservare gli effetti della magnetizzazione dopo essere stati esposti ad un campo magnetico anche dopo che questo si è annullato. Un modo per studiare questi particolari materiali consiste nell’inserirne un campione in un solenoide toroidale, per il quale è noto che il campo H varia in proporzione al prodotto N i, dove N è il numero di spire. Dato che: B M= −H µ0 e possibile variare la corrente che genera H e misurare il campo magnetico B, ricavando una curva caratteristica dei materiali ferromagnetici che mette in relazione la magnetizzazione con il campo H. 100
4.4 Campi Magnetici nei Materiali
Magnetismo
La magnetizzazione aumenta fino ad una valore di soglia di H, indicato con Hm , dove la magnetizzazione è completa; la curva caratteristiche che porta dall’origine al punto Hm viene dette curva di prima magnetizzazione. Se si inverte la corrente per cercare i riportare il materiale nel suo stato iniziale, questo non ripercorre la curva al contrario, ma attraversa l’asse delle ordinate in un punto indicato con Mr e detto magnetizzazione residua, che corrisponde al valore di magnetizzazione registrato quando H = 0; per portare la magnetizzazione a 0, si deve raggiungere un valore critico di H, indicato con Hc , che corrisponde al valore di H che permette di annullare la magnetizzazione. Continuando a spingere il valore H in negativo, si raggiunge un valore di magnetizzazione −Hm ; infine, lo stesso ciclo può essere ripercorso per annullare nuovamente il campo e giungere di nuovo a Hm . Questo ciclo viene detto ciclo di isteresi ed un suo tracciato qualitativo è mostrato nella figura 4.8.
Figura 4.8: Tracciato qualitativo del ciclo di isteresi.
Per smagnetizzare un materiale ferromagnetico è necessario quindi eseguire vari cicli riducendo gli estremi di magnetizzazione, in modo da arrivare con campo H nullo a magnetizzazione nulla.
101
5
Elettromagnetismo
Finora, campo elettrico e campo magnetico sono stati considerati come due entità completamente separate tra loro, ad eccezione della discussione sull’effetto Hall fatta nel paragrafo 4.1.5 a pagina 72. In realtà, questi due campi sono in strettissima correlazione, ma questo dovrebbe ormai essere chiaro. In questo capitolo si intende discutere di tutti i fenomeni che mettono i relazione questi due campi, a partire dal moto di particelle cariche dovuto ad una combinazione dei due.
5.1
Moto di Particelle Cariche
Il campo elettrico ed il campo magnetico possono essere combinati in modo più o meno semplice per controllare ogni aspetto del moto di una particella carica, a partire dalla semplice accelerazione fino ad arrivare ad una finissimo controllo della traiettoria. Gli strumenti principali che permettono di controllare il moto di una particella carica sono la forza elettrostatica e la forza di Lorentz, che permettono di suddividere la forza risentita da una particella carica in due contributi: ~ + ~v × B) ~ F~ = q(E ed i due esempi principali di questa combinazione sono lo spettrometro di massa ed il ciclotrone.
5.1.1
Spettrometro di Massa
Lo spettrometro di massa è uno strumento analitico che permette di separare persino gli isotopi degli atomi e si basa su una combinazione di campo elettrico e di campo magnetico. Gli isotopi sono atomi caratterizzati dallo stesso numero atomico, ma da numero di massa differente; questo significa che tutte le particella hanno la stessa carica, ma gli isotopi più pesanti hanno una massa maggiore. Un esempio tipico di spettrometro di massa è lo spettrometro Dempster, dove le particelle vengono accelerate da una differenza di potenziale V , escono dal condotto ~ di accelerazione con velocità ~v e vengono deviate da un campo magnetico uniforme B ortogonale al piano di moto; queste particelle poi impattano su un rivelatore, ma impattano in punti diversi a seconda della massa delle particella. L’accelerazione infatti è uniforme, perché tutte le particella hanno la stessa carica, ma vengono deviate con raggi di curvatura diversi proprio in virtù della loro massa. L’energia impressa dalla differenza di potenziale ad una singola particella di carica q ad opera della DDP V è data da: 1 Ek = qV = mv 2 2 102
5.1 Moto di Particelle Cariche
Elettromagnetismo
mentre l’orbita seguita dalle particella all’interno del campo magnetico è circolare ed è descritta dall’equazione: v2 mv qvB = m ⇐⇒ r = r qB ricavando ora la velocità dall’espressione dell’energia cinetica come r q v= 2V m questa può essere sostituita nell’equazione del raggio di curvatura: s s 2 m q 2V m r= 2V = 2 2 q B m B2 q da cui deriva che:
B 2 r2 m = . q 2V Osservando questa equazione, è possibile notare che particelle con massa maggiore hanno velocità minore, in quanto l’energia cinetica impressa loro dal campo elettrico è la stessa ed è funzione della carica, ma non della massa; da questa osservazione deriva che particelle con massa maggiore risentono di una forza di Lorentz minore, quindi percorrono traiettorie con raggio di curvatura maggiore. L’acceleratore di particelle presente nello spettrometro di massa è sostanzialmente un differenza di potenziale lineare che imprime un’accelerazione, ma questo tipo di acceleratore è inefficiente ed è spesso vittima di malfunzionamenti. Esiste un tipo di acceleratore decisamente più efficiente, cioè il ciclotrone.
5.1.2
Il Ciclotrone
Il ciclotrone è un’apparecchiatura che permette di accelerare una particella carica sfruttando una combinazione di differenzia si potenziale oscillante ed un campo magnetico uniforme. L’apparecchiatura è composta di due conduttori a forma di semicirconferenza con le facce piane parallele tra loro e poste ad un certa distanza; tra le due facce è presente un differenza di potenziale oscillante che segue la funzione: V = V0 sin(ωRF t) dove la grandezza ωRF viene detta pulsazione di radiofrequenza ed il tutto è immerso in un campo magnetico ortogonale ai conduttori. Denominando i due conduttori come D1 e D2 , una particella con carica q e massa m viene iniettata dalla faccia di D2 verso la faccia di D1 nel momento in cui la DDP è massima in modulo e diretta verso da D2 a D1 . La particella viene accelerata dal campo elettrico fino ad entrare nel conduttore D1 con velocità v1 , dove viene deviata dal campo magnetico che la forza a percorrere una traiettoria circolare fino ad uscire nuovamente da D1 in direzione di D2 . Nel tempo richiesto per percorrere la semicirconferenza, il potenziale ha cambiato di segno, quindi il campo elettrico si è invertito ed accelera nuovamente la particella da D1 fino ad entrare in D2 con velocità v2 , dove viene nuovamente deviata. 103
5.1 Moto di Particelle Cariche
Elettromagnetismo
La particella compie quindi un moto a spirale continuando il suo percorso di accelerazione fino a raggiungere il limite del ciclotrone. Si analizza ora il processo appena descritto dal dal punto di vista matematico; al tempo iniziale, la particella viene iniettata e subisce la prima accelerazione che la porta a velocità v1 grazie all’energia cinetica impressa dalla DDP: 1 mv1 2 = qV 2 e quando entra nel conduttore D1 , essa segue una traiettoria circolare dovuta al campo magnetico descritta dall’equazione: qv1 B = m
mv1 v1 2 ⇐⇒ r1 = . r1 qB
La velocità v1 può essere determinata dalla prima equazione e poi utilizzata per determinare il raggio di curvatura r1 dalla seconda equazione. Può inoltre essere calcolato il tempo di permanenza della particella nel conduttore D1 come: 1 t1 = T1 2 dove si fa uso del periodo del moto circolare: T1 =
2π ω1
che a sua volta fa uso della velocità angolare del moto: ω1 =
v1 r1
da cui deriva che il tempo di permanenza è: t1 =
1 2πr1 πr1 πm . = = 2 v1 v1 qB
In questo tempo di percorrenza, il potenziale ha cambiato segno ed accelera nuovamente la particella da D1 verso D2 , che quindi arriva con energia cinetica data dalla somma di quella già in possesso della particella più quella impressa: 1 1 mv2 2 = mv1 2 + qV = 2qV 2 2 da cui è immediato notare che v2 è maggiore di v1 ; questo implica inoltre che il raggio di curvatura r2 sia maggiore di r1 . Il tempo di permanenza del conduttore D2 è: 1 t2 = T2 2 dove nuovamente si fa uso del periodo: T2 =
2π ω2
104
5.1 Moto di Particelle Cariche
Elettromagnetismo
che fa uso della nuova velocità angolare ω2 =
v2 r2
che permette di ricavare il tempo di permanenza: t2 =
πr2 1 2πr2 = . 2 v2 v2
Tuttavia, è possibile notare che questo tempo di percorrenza è pari al tempo t1 , in quanto sussiste l’uguaglianza dei rapporti di raggio di curvatura e velocità: r2 r1 = . v2 v1 Si può ricavare una relazione generale considerano il passaggio n, dove il periodo è: Tn = 2π
rn vn
e quindi il tempo di permanenza risulta essere 1 tn = Tn . 2 È poi valida anche la relazione di scambio dell’energia cinetica: 1 1 mvn 2 = mvn−1 2 + qV = nqV 2 2 che permette di calcolare la velocità come: r q vn = 2V n m che può poi essere utilizzata per il calcolo del raggio di curvatura sapendo che il rapporto tra esso e la velocità è costante e pari a: m rn = . vn qB Posto il raggio del ciclotrone come R, è anche possibile calcolare la velocità massima che la particella può raggiungere: qBR vmax = m e di conseguenza la massima energia cinetica che può acquisire: 1 q 2 B 2 R2 Ekmax = mvmax 2 = . 2 2m Il numero di giri percorsi dalla particella prima dell’uscita può essere calcolato notando che l’energia cinetica impressa dalla DDP ad ogni passaggio è data da: ∆Ek1/2 = qV 105
5.1 Moto di Particelle Cariche
Elettromagnetismo
quindi ad ogni giro viene accumulata l’energia: ∆Ek = 2qV e da questo deriva che il numero di giri prima che la particella esca dal ciclotrone è dato da: Ekmax N= . ∆Ek Chiaramente la condizione di funzionamento del ciclotrone è che il periodo di rivoluzione della particella e la pulsazione di radiofrequenza siano in fase; la radiofrequenza deve quindi essere calibrata con periodo: TRF =
2π ωRF
ponendo quindi la pulsazione uguale alla velocità angolare della particella: ωRF = ω =
qB . m
In questo modo la DDP cambia segno ad ogni mezzo giro e la particella viene accelerata nel modo giusto.
5.2
Equazioni di Maxwell
Ci si vuole ora soffermare sulle equazioni finora studiate riguardanti il campo elettrico ed il campo magnetico. È noto che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa Σ può essere messo in relazione con le cariche al suo interno tramite il teorema di Gauss, mentre la circuitazione del campo elettrico su una qualsiasi curva chiusa γ è nulla: I I q ~ · uˆn dΣ = ~ · dS ~=0 E E ε0 Σ γ mentre è noto che il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie chiusa Σ è nullo, mentre la circuitazione del campo magnetico su una curva chiusa γ può essere messo in relazione con la corrente che lo genera tramite il teorema di Ampère: I I ~ ~ · dS ~ = µ0 i. B · uˆn dΣ = 0 B Σ
γ
Queste quattro equazioni rappresentano le equazioni di Maxwell e sono le equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo, valide nel vuoto ed in presenza di cariche e correnti stazionarie, cioè non variabili nel tempo. Alle quattro equazioni integrali, corrispondono quattro equazioni differenziali ottenute grazie al teorema delle divergenza ad al teorema di Stokes, grazie alle quali si nota che la divergenza del campo elettrico può essere messa in relazione con la densità volumetrica di carica, mentre il rotore del campo elettrico è nullo: ~ ·E ~ = % ∇ ε0
~ ×E ~ =0 ∇ 106
5.2 Equazioni di Maxwell
Elettromagnetismo
e che che la divergenza del campo magnetico è nulla, mentre il rotore del campo magnetico può essere messo in relazione con la densità di corrente: ~ ·B ~ =0 ∇
~ ×B ~ = µ0~j ∇
dove sia % che ~j sono funzione dello spazio, ma non del tempo. In queste condizioni, la situazione tra campo magnetico e campo elettrico è perfettamente simmetrica, quindi non è possibile studiare la correlazione tra i due per cariche e correnti costanti. Come già detto nell’introduzione al capitolo, l’unico caso in cui il campo elettrico è stato messa in relazione al campo magnetico è stato nel paragrafo 4.1.5 a pagina 72 parlando dell’effetto Hall, ma in questo caso il campo elettrico risultava essere una funzione del tempo. Nello studio è stato ottenuto un campo elettrico di natura non elettrostatica, in quanto caratterizzato da circuitazione non nulla e responsabile della generazione di una FEM. È inoltre stato notato che la variazione di flusso di un campo magnetico genera una forza e che tale variazione può essere dovuta ad un campo magnetico variabile nel tempo; proprio su questo fatto si basa la legge di Faraday.
5.2.1
La Legge di Faraday
Le osservazioni sperimentali condotte da Faraday lo portarono a verificare l’esistenza di una FEM ξi indotta dalla variazione del flusso di un campo magnetico attraverso un circuito chiuso, da cui deriva l’esistenza di una corrente indotta nel circuito. Considerando il circuito come caratterizzato da un resistenza R, tale corrente indotta viene calcolata come i = ξi /R, ma la FEM può essere indotta nel circuito da due diversi fenomeni, entrambe responsabili della variazione del flusso del campo magnetico: ~ • quando il circuito è immerso in un campo magnetico B(t) variabile nel tempo; • quando si verifica un moto relativo del circuito in un campo magnetico costante. Faraday derivò una legge sperimentale misurando la corrente indotta nei casi appena descritti e ricavando che la FEM indotta è: ξi = −
d ~ Φ(B). dt
(5.1)
Ricordando che la FEM è dovuta alla circuitazione di un campo elettrico non elettrostatico: I ~ · dS ~ ξ= E γ
e che il il flusso del campo magnetico è definito come: I ~ ~ · uˆn dΣ Φ(B) = B Σ
è chiaro esiste una correlazione tra il campo magnetico ed il campo elettrico; nella fattispecie, l’equazione 5.1 permette di interpretare il campo magnetico come un generatore del campo elettrico. 107
5.2 Equazioni di Maxwell
Elettromagnetismo
Ricordano ora la relazione tra la forza e la variazione del flusso del campo magnetico, cioè: ~ Φ(B) ~ F~ = i∇ e possibile scrivere la corrente come la variazione di carica nel tempo ed il gradiente del flusso come variazione di flusso su variazione di superficie: ~ ∆q ∆Φ(B) F~ = ∆t ∆S e ricordando ora che il campo elettrico può essere definito come il rapporto tra la forza e la variazone di carica, si ha che: ~ ~ ~ = F = ∆Φ(B) E ∆q ∆t∆S da cui si ha che:
~ ∆Φ(B) ~ E∆S = ∆t che è la legge che lega (in termini finiti) le variazione del flusso del campo magnetico al campo elettrico prodotto, responsabile della FEM indotta. Tuttavia, questa legge non considera il segno negativo che compare nell’equazione 5.1 nella pagina precedente; per comprendere l’origine di questo segno ci si deve servire delle legge di Lenz (che è più propriamente un principio) secondo la quale l’effetto della FEM indotta è quello di opporsi alla causa che l’ha generata. ~ genera una FEM attraverso variazioni di flusso, Da questo deriva che se un campo B ~ i che genera allora la corrente indotta i = ξi /R genera a sua volta un campo magnetico B ~ un flusso opposto a quello del campo B; i due campi magnetici sono quindi opposti. Da questo deriva che se la variazione di flusso è positiva, allora la FEM indotta è negativa e viceversa, il che giustifica il segno negativo presente nella legge di Faraday. Per fissare questo concetto, si consideri una particella di carica +q in moto in un campo magnetico uscente dal piano di moto; la particella si muove in senso orario perché la sua velocità angolare è opposta al verso del campo, come detto nel paragrafo 4.1.2 a pagina 63. Considerando la particella in moto come una corrente, il campo magnetico indotto dal moto della carica è opposto al campo magnetico che muove la particella, quindi è nello stesso verso della sua velocità angolare. Esempio di Applicazione della Legge di Faraday Si consideri il circuito mostrato nella figura 5.1 nella pagina successiva, composto di tre lati fissi e del lato N M in moto libero verso destra con velocità ~v ed immerso in un ~ uscente dal piano. campo magnetico uniforme B Si vuole calcolare la FEM indotta sul circuito. Considerata come x la posizione del ramo mobile, come b la sua lunghezza e come VN M la tensione tra i due punti del circuito che delimitano il ramo, dal prodotto vettoriale tra la velocità ed il campo magnetico si ottiene una forza diretta da N verso M , che è la forza che sposta le cariche nel circuito e che quindi induce la FEM, quindi si ha che: Z N ~ · dS ~ VN M = (~v × B) M
108
5.2 Equazioni di Maxwell
Elettromagnetismo
P
N
Q
M
R
Figura 5.1: Esempio di spira con lato in movimento.
~ = F~ /q, si ottiene: ma dato che ~v × B VN M = −vBb ~ è rivolto verso l’alto sulla linea di dove il segno negativo è dovuto al fatto che il dS integrazione, quindi dalla risoluzione dell’integrale si ottiene il segno negativo. Come visto per l’effetto Hall, si ha un campo elettromotore Ei dato da: ~ ~ = F =E ~i ~v × B q che accumula cariche positive sul punto M e cariche negative sul punto N , con la conseguente generazione di un campo elettrostatico diretto da M a N lungo il circuito che induce la circolazione di corrente. Per calcolare il valore della FEM si calcola la circuitazione del campo elettrico complessivo: I ~ · dS ~ ξi = E M QP N
ma il campo che sostiene la circolazione della cariche nel circuito è di natura elettrostatica, quindi ha circuitazione nulla, quindi l’unico contributo rimanente è: Z N ~ i · dS ~ = −vBb. ξi = E M
La FEM può anche essere calcolata come l’opposto della variazione del flusso del campo magnetico attraverso la superficie del circuito: Z ~ ~ · uˆn dΣ = Bbx Φ(B) = B Σ
da cui deriva che la variazione del flusso è data da: d ~ = Bb d x = Bbv Φ(B) dt dt ed è quindi possibile concludere che: ξi = −
d ~ Φ(B) dt
109
5.2 Equazioni di Maxwell
Elettromagnetismo
proprio come dice la legge di Faraday. È inoltre possibile calcolare la variazione di forza dovuta allo spostamento del ramo di circuito mobile; è noto che la FEM indotta vale: ξi = −vBb e che la corrente indotta è data da:
ξi RT dove RT è la resistenza totale del circuito, data dalla somma tra la resistenza presente e la resistenza interna della sbarretta, indicata con r. La forza può quindi essere espressa come: ii =
−−→ ~ B 2 b2 F~ = i(M N × B) =− ~v r+R ed il segno negativo indica che tale forza si oppone al movimento del ramo di circuito in moto, come stabilito dalla legge di Lenz. La potenza da fornire per mantenere il moto deve quindi controbilanciare la forza appena calcolata, quindi deve essere data da una forza esterna: Pext = F~ext · ~v =
B 2 b2 v 2 = ξi i r+R
ed il suo modulo deve essere maggiore o uguale alla forza F~ . Legge di Felici È infine possibile ricavare un legge che stabilisce una relazione tra la carica q che attraversa il circuito in due instanti di tempo; dato che la corrente è definita come la derivata rispetto al tempo della carica, si può pensare di calcolare la carica integrando la corrente sul tempo: Z t
q=
i dt t0
per poi sostituire la corrente con il rapporto tra la FEM indotta e la resistenza del circuito: Z t Z ξi 1 t d ~ dt q= dt = − Φ(B) R t0 dt t0 R da cui deriva che:
~ 0 ) − Φ B(t) ~ Φ B(t q= (5.2) R che viene detta legge di Felici ed è l’equazione che permette di calcolare direttamente la carica indotta che attraversa il circuito a partire dalla variazione del flusso del campo magnetico. Si conclude facendo alcune osservazioni: • se un ramo del circuito si muove in presenza di un campo magnetico, questo deve vincere una forza interna data dal suo stesso moto; 110
5.2 Equazioni di Maxwell
Elettromagnetismo
• la legge di Faraday dice che alla variazione di flusso del tempo consegue una FEM indotta, che genera una corrente indotta e che deve essere generata da un campo elettromotore dovuto allo spostamento; • il campo elettromotore è generato dalla forza di Lorentz che sposta le cariche sul ramo di circuito in moto ma la corrente indotta genera un campo magnetico che tende ad opporsi al campo che l’ha generata.
5.2.2
Effetto Dinamo
Per effetto dinamo si intende un effetto legato all’induzione di una FEM a causa del moto rotatorio di una spira attraversata da un campo magnetico. P
N
S
S0
Q
M
Figura 5.2: Spira rettangolare.
Si consideri la spira rettangolare mostrata nella figura 5.2 attraversata da un campo magnetico uniforme. Si supponga che la spira sia in rotazione attorno al proprio asse verticale con velocità angolare ω; in un generico istante di tempo, la velocità tangenziale ~v ~ che la attraversa ai lati vericali della spira formi un angolo θ con il campo magnetico B, da sinistra verso destra. I due vettori velocità tangenti i lati verticali della spira formano due angoli diversi con il campo magnetico a seconda del lato considerato; si ha che la forza risentita dalle cariche presenti in questi lati vale: −→ → ~ ·− ~ ·− (~v × B) M N = SvB sin(θ) e (~v × B) P Q = SvB sin(θ0 ) ma per la geometria della spira, vale che: sin(θ0 ) = sin(π − θ) = sin(θ). −→ ~ e− Inoltre, dai lati P N e QM non c’è contributo di forza perché i vettori ~v × B PN − − → ~ e QM , fatto che annulla il prodotto sono ortogonali, cosi come lo sono i vettori ~v × B scalare tra essi. Da queste osservazioni deriva che la circuitazione del campo elettromotore sulla spira ha come unici contributi quelli dei due lati verticali: I ~ · dS ~ = 2SvB sin(θ). (~v × B) MNP Q
111
5.2 Equazioni di Maxwell
Elettromagnetismo
Ricordando ora che:
S0 2 0 e che la superficie della spira vale Σ = SS , si ha che: v=ω
ξi = ωBΣ sin(θ) = ωBΣ sin(ωt). A seconda di come si raccolgono i termini all’interno di queste equazione si ottengono due diverse espressioni della FEM indotta: ξi = ωB Σ sin(ωt) = ωBΣ(t) e ξi = ωΣ B sin(ωt) = ωΣB(t) dove nel primo caso si considera il campo variabile nel tempo e nel secondo caso si considera la superficie variabile nel tempo; entrambe questi casi portano comunque ad una variazione del flusso del campo magnetico attraverso la spira, ma la FEM indotta ha la caratteristica di essere legata da una funzione seno quindi la corrente indotta sulla spira ha un andamento sinusoidale.
5.2.3
Il Potenziale Vettore
All’inizio della sezione 4.1 a pagina 61 si è fatto un breve confronto tra il campo elettrico ed il campo magnetico, ed era stato osservato, come è stato più volte osservato, che una campo elettrico stazionario ha circuitazione nulla: I ~ · dS ~=0 E γ
e rotore nullo:
~ ×E ~ =0 ∇
quindi il gradiente deve essere parallelo al campo elettrico; da queste osservazioni deriva l’esistenza di una funzione scalare, detta potenziale scalare, tale che il gradiente applicato ad essa restituisca proprio il campo elettrico: ~ = −∇(V ~ ) E ma questo potenziale è quello che comunemente si utilizza. Nel caso di un campo non elettrostatico, quindi variabile nel tempo, la circuitazione del campo elettrico non è nulla, ma induce un FEM che genera una corrente elettrica e questa grandezza può essere messa in relazione con il flusso di un campo magnetico variabile nel tempo: I Z d ∂ ~ ~ ~ ~ B · uˆn dΣ. E · dS = ξi = − Φ(B) = − dt Σ ∂t Applicando il teorema di Stokes a questa scrittura, si ha che il rotore del campo elettrico è uguale all’opposto della variazione del campo magnetico: ~ ×E ~ =−∂B ~ ∇ ∂t quindi la variazione del campo magnetico agisce come una sorgente del campo elettrico. 112
5.2 Equazioni di Maxwell
Elettromagnetismo
Considerando invece il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa, si ha che questa è nulla: I ~ · uˆn dΣ = 0 B Σ
così come la sua divergenza:
~ ·B ~ =0 ∇
quindi il gradiente deve essere ortogonale al campo magnetico; da queste osservazioni ~ il cui prodotto vettoriale con il gradiente sia deriva l’esistenza di una funzione vettoriale A proprio il campo magnetico: ~ =∇ ~ × A. ~ B Questa funzione esiste e viene definita potenziale vettore, che quindi ha tre componenti. Utilizzando ora questa scrittura nella relazione tra campo elettrico e campo magnetico, si ottiene: ~ ×E ~ =−∂B ~ × A] ~ ~ = − ∂ [∇ ∇ ∂t ∂t e nel caso più generale: ~ =−∂A ~ − ∇(V ~ ) E ∂t il campo elettrico è dato da una variazione nel tempo di un potenziale vettore e da una variazione nello spazio del potenziale scalare; come nelle equazioni di continuità, le derivate spaziali e temporali vengono considerate equivalenti. Oltre all’equazione di continuità della carica vista nel paragrafo 3.1.2 a pagina 41, questo è il secondo esempio di equazione che mette sullo stesso piano variazioni spaziali e temporali; questa classe di equazioni ha validità relativistica e può essere applicata anche in un sistema di riferimento quadridimensionale, cioè lo spazio-tempo, composto di tre coordinate spaziali ed una temporale.
5.3
Effetti del Campo Magnetico Variabile
Nei paragrafi 4.3.3 a pagina 92 e 4.3.4 a pagina 94 sono stati discussi i fenomeni di mutua induttanza a di autoinduttanza tra circuiti, dicendo che due circuiti possono interagire tra di loro a causa del campo magnetico che generano. Questo concetto era stato formalizzato con l’introduzione del coefficiente di mutua induttanza tra i circuiti, che ha permesso di definire il flusso del campo magnetico prodotto un circuito 1 attraversato da una corrente i1 attraverso un circuito di superficie Σ2 grazie al coefficiente di mutua induttanza: Φ12 = M12 i1 ed era inoltre stato studiato il flusso del campo attraverso il circuito stesso grazie al coefficiente di autoinduttanza: Φ11 = Li1 . Si vogliono ora estendere questi concetti ai casi studiati di campo magnetico variabile, mettendo in relazione la legge di Faraday con i coefficienti di mutua induttanza e di autoinduttanza. 113
5.3 Effetti del Campo Magnetico Variabile
5.3.1
Elettromagnetismo
Induttanza
Ricordando che l’autoinduttanza è un fenomeno derivante dal flusso del campo magnetico generato da un circuito attraverso il circuito stesso, fenomeno detto autoflusso, è possibile definire la FEM di autoinduzione come la variazione del flusso nel tempo dovuta alla relazione tra la corrente ed il flusso: ξL = −
d ~ = − d Li = −L d i Φ(B) dt dt dt
dove L è stato considerato costante. Questo ragionamento permette di introdurre un nuovo elemento nello studio dei circuiti, detto induttanza ed indicata con L, che viene misurata in H e schematizzata in un circuito come mostrato nella figura 5.3.
Figura 5.3: Rappresentazione schematica di un’induttanza.
Il ruolo dell’induttanza nel caso magnetico corrisponde al ruolo di un condensatore nel caso elettrico, cioè permette di accumulare energia potenziale magnetica. Si consideri il circuito 5.1, dove è presente un interruttore indicato con T . L ξ
R T
Circuito 5.1: Esempio di circuito a corrente variabile con induttanza.
La presenza dell’induttanza impedisce variazioni istantanee di corrente dovute alla chiusura o all’apertura del circuito, in quanto l’induttanza introduce una FEM che va sommata a quella del generatore. Studiando il circuito con la legge di Ohm generalizzata si ha infatti: ξ + ξL = Ri dove può essere sostituito il valore di ξL , ottenendo un’equazione differenziale a variabili separabili: d di dt ξ = L i + Ri ⇐⇒ = dt ξ − Ri L che può essere risolta tramite integrazione indefinita, ottenendo: ln(ξ − Ri) t = +c −R L dove c è la costante di integrazione, che viene posta c = 0. Questa espressione è completamente generale, in quanto non si è ancora definito se il caso di riferimento sia l’apertura del circuito o la sua chiusura; viene quindi applicata 114
5.3 Effetti del Campo Magnetico Variabile
Elettromagnetismo
l’esponenziale per estrarre la corrente dal logaritmo e si introduce il valore A che rappresenta le condizioni al contorno dell’equazione: R
ξ − Ri = Ae− L t da cui si ottiene l’andamento della corrente in funzione del tempo: R 1 ξ − Ae− L t . i(t) = R
(5.3)
Come era già stato visto nella sezione 3.4 a pagina 55, l’argomento della funzione esponenziale deve essere adimensionale, quindi il rapporto L/R deve avere le dimensioni di un tempo e viene indicato con τ e detto tempo caratteristico del circuito: τ = τLR =
L R
(5.4)
da non confondere con il tempo caratteristico di un circuito in cui è presente un condensatore; l’equazione 5.3 può quindi essere scritta come: t 1 ξ − Ae− τ . i(t) = R Chiusura del Circuito LR Se il circuito è aperto e viene chiuso, si ha l’inizio della circolazione di corrente, quindi si vuole che la corrente al tempo iniziale t0 = 0 sia nulla. Perché questa condizione sia verificata, il coefficiente A deve assumere il valore ξ, ottenendo quindi l’equazione: t ξ i(t) = 1 − e− τ . (5.5) R Studiando il limite di questa equazione per t → ∞, è possibile notare che la corrente raggiunge un valore asintotico indicato con i∞ : i∞ =
ξ R
che viene definito corrente di regime e che rappresenta la corrente che circolerebbe nel circuito in assenza dell’induttanza L. Il tempo impiegato per il raggiungimento della corrente di regime dipende dal valore dell’induttanza, infatti: L1 < L2 =⇒ τ1 < τ2 il che significa che maggiore è l’induttanza, maggiore è il tempo necessario alla stabilizzazione della corrente. È anche possibile descrivere il valore di ξL in funzione del tempo: ξL (t) = −L
t d i(t) = −ξe− τ dt
e calcolando ora la differenza tra la corrente di regime e la corrente al generico istante di tempo t, si ha che: t
ξe− τ t ξ ξ ξL (t) i∞ − i(t) = − 1 − e− τ = =− R R R R 115
5.3 Effetti del Campo Magnetico Variabile
Elettromagnetismo
e questa grandezza rappresenta la corrente indotta da ξL nel circuito, indicata con iL , grazie alla quale la corrente al generico istante t può essere scritta come: i(t) = i∞ − iL (t). Quando il circuito viene chiuso si ha un passaggio di corrente che induce una variazione di flusso nell’induttanza, che a sua volta genera una corrente opposta alla corrente di regime, ma questa corrente è variabile nel tempo; proprio questa variazione è responsabile della stabilizzazione della corrente di regime in un certo tempo. Apertura del Circuito LR Si studia ora il valore da attribuire a A se si considera il caso di corrente circolante ed apertura del circuito; questo avvenimento può essere descritto come una variazione dovuta all’instaurarsi di una resistenza R0 molto alta, cioè tale che R0 R. Si sostituisce quindi questa resistenza a R nell’equazione 5.3 nella pagina precedente, per cui anche il tempo caratteristico risulta variato: t 1 i(t) = 0 ξ − Ae− τ 0 R e si impone ora che al tempo iniziale la corrente circolante sia pari alla corrente di regime i∞ = ξ/R, da cui deriva che: i(0) = i∞ =
1 (ξ − A) R0
ed è infine possibile ricavare il valore di A ricordando che i∞ = ξ/R: R0 0 A = ξ − R i∞ = ξ 1 − . R La legge che descrive l’andamento della corrente nel caso di apertura del circuito risulta quindi essere: ξ t ξ − τt0 i(t) = 0 1 − e + e− τ 0 (5.6) R R che può essere approssimata come: i(t) =
t ξ − t0 e τ = i∞ e− τ 0 R
e considerandone il limite per t → ∞, la corrente decresce con andamento esponenziale fino a raggiungere un valore asintotico a 0, ed anche in questo caso il tempo in cui la corrente si annulla dipende dall’induttanza.
5.3.2
Energia Magnetica
Un altro interessante studio da condurre sul tipo di circuiti che presentano un’induttanza al loro interno riguarda il loro bilancio energetico; dalla legge di Ohm generalizzata applicata come prima cosa al circuito: ξ + ξL = Ri 116
5.3 Effetti del Campo Magnetico Variabile
Elettromagnetismo
è possibile moltiplicare tutti i termini per i per evidenziare le potenze dei vari componenti: ξi + ξL i = Ri2 ⇐⇒ ξi = Ri2 + Li
d i dt
dove ξi è la potenza erogata dal generatore. È ora possibile considerare la variazione di lavoro fornito dal generatore nel tempo come derivata della potenza: dW = Pgen dt = ξidt = Ri2 dt + Lidi ma questa espressione rappresenta l’energia differenziale che viene spesa dal generatore per mantenere la corrente in circolazione, dove il termine Ri2 dt rappresenta la dissipazione di energia per effetto Joule ad opera della resistenza, mentre il termine Lidi è il lavoro speso dal generatore contro l’autoinduzione di L. Esattamente come nel caso del condensatore, è possibile dire che il termine addizionale all’energia consumata dalla resistenza rappresenta un’energia immagazzinata, ma in questo caso viene assorbita dall’induttanza; il termine Lidi può quindi essere definito come un’energia magnetica infinitesima, il cui valore finito si ottiene tramite integrazione: Z i 1 WL = Li di = Li2 2 0 che viene indicata cone UL e detta energia intrinseca di autoinduzione: 1 UL = Li2 . 2
(5.7)
Esempio di Utilizzo dell’Energia Magnetica Considerando, ad esempio, il caso di un solenoide rettilineo di lunghezza finita d composto di n spire per unità di lunghezza, il cui coefficiente di autoinduttanza è stato calcolato nel paragrafo 4.3.4 a pagina 94, si ha che l’energia intrinseca si presenta come: 1 1 UL = Li2 = µ0 n2 Σdi2 2 2 dove è possibile individuare il campo del solenoide: UL =
B2 Σd. 2µ0
In modo analogo a quanto già fatto per l’energia potenziale elettrica, è possibile definire la densità di energia magnetica per unità di volume, infatti nell’espressione appena ricavata compare il volume del solenoide, dato da Σd = τ : um =
UL B2 = τ 2µ0
(5.8)
e questa relazione è del tutto generale, valida per qualsiasi tipo di circuito. Anche in questo caso c’è un’evidente analogia con il caso elettrostatico, dove la densità di energia potenziale elettrostatica era stata definita come: 1 ue = ε0 E 2 . 2 117
5.3 Effetti del Campo Magnetico Variabile
Elettromagnetismo
Considerando ora le spire che compongono il solenoide come di raggio r e tornando all’espressione della sua energia intrinseca, si nota che: UL =
B2 B2 2 Σd = πr d 2µ0 2µ0
e se si considera il campo uniforme, si ha che la forza che agisce su di un elemento infinitesimo del solenoide può essere definita come: F =
d B2 UL = π2rd dr 2µ0
ma ora π2rd = S rappresenta la superficie esterna del solenoide, quindi può essere definita anche una pressione magnetica, data da: um =
F B2 = S 2µ0
ed anche nel caso magnetico la densità di energia magnetica in superficie al solenoide non è altro che la pressione della forza magnetica.
5.3.3
Mutua Induttanza tra Circuiti
L’introduzione dell’energia intrinseca di autoinduzione permette di fare nuove considerazioni su due circuiti che interagiscono tra loro, dimostrando il caso generale di un fatto lasciato in sospeso nel paragrafo 4.3.3 a pagina 92, ovvero l’identità dei coefficienti di mutua induttanza. Tali coefficienti erano stati definiti come: M=
Φ21 Φ12 = i1 i2
ed era stato detto che sono dipendenti solamente dalla geometria del sistema; la loro identità era stata dimostrata solamente nel caso di due solenoidi rettilinei, ma ora si vuole studiare il sistema dal punto di vista del bilancio energetico. Ognuno dei due circuiti genera un campo magnetico che fluisce attraverso l’altro, inducendo quindi due FEM date da: ξ12 = −
d d Φ12 = −M12 i1 dt dt
e ξ21 = −
d d Φ21 = −M21 i2 dt dt
ma sono presenti anche le FEM si autoinduzione: ξ11 = −
d d Φ11 = −L1 i1 dt dt
e ξ22 = −
d d Φ22 = −L2 i2 . dt dt
Questo è il comportamento interattivo che hanno due circuiti del tipo di quello mostrato nel circuito 5.1 a pagina 114 posti con le superfici parallele; tuttavia uno studio che consideri entrambe i circuiti chiusi fin da subito non porta ad alcun risultato, quindi si considerano entrambe i circuiti inizialmente aperti e si chiudono uno alla volta facendo delle considerazioni. 118
5.3 Effetti del Campo Magnetico Variabile
Elettromagnetismo
Si inizia con il considerare la chiusura del circuito 1 al tempo t0 = 0 mantenendo aperto il circuito 2; l’energia fornita dal generatore ξ0 1 per l’accumulo di energia nell’induttanza L1 è: 1 U1 = L1 i1 2 . 2 In un secondo momento, al tempo t = t1 , si chiude anche il circuito 2, quindi il sistema deve spendere un’energia da accumulare nell’induttanza L2 pari a: 1 U2 = L2 i2 2 . 2 Nel momento in cui inizia a circolare corrente nel secondo circuito, il primo deve vincere il contributo energetico della mutua induttanza M21 per mantenere stabile la circolazione di corrente; l’ulteriore contributo che deve fornire il generatore ξ0 1 è quindi dato da: Z U21 = − ξ21 i1 dt dove il segno negativo è dovuto al fatto che il lavoro viene eseguito contro la FEM indotta. La FEM indotta può ora essere esplicita, ottenendo: Z Z d U21 = − M21 i2 i1 dt = M21 i1 di2 = M21 i1 i2 . dt L’energia magnetica totale del sistema viene quindi calcolata sommando questi tre contributi ed ottenendo: 1 1 Utot = L1 i1 2 + L2 i2 2 + M21 i2 i1 . 2 2 Se ora si segue il percorso alternativo, chiudendo prima il circuito 2 e poi il circuito 1, si ottiene un bilancio energetico analogo, ad eccezione del termine di mutua induttanza, che stavolta è dovuta all’interazione del circuito 1 con il circuito 2: 1 1 Utot = L1 i1 2 + L2 i2 2 + M12 i1 i2 . 2 2 Dato che il sistema è lo stesso, l’energia accumulata nel primo caso deve essere identica a quella accumulata nel secondo caso: 1 1 1 1 L1 i1 2 + L2 i2 2 + M21 i2 i1 = L1 i1 2 + L2 i2 2 + M12 i1 i2 ⇐⇒ M21 = M12 2 2 2 2 che è il risultato che si voleva dimostrare. L’energia magnetica del sistema può quindi essere riscritta complessivamente in modo alternativo come: 1 1 1 1 1 1 Um = L1 i1 2 + M12 i1 i2 + M21 i2 i1 + L2 i2 2 = i1 (L1 i1 + M21 i2 ) + i2 (M12 i1 + L2 i2 ) 2 2 2 2 2 2 dove è possibile identificare i flussi totali dei due campi: Φ1 = L1 i1 + M21 i2
e Φ2 = M12 i1 + L2 i2 119
5.3 Effetti del Campo Magnetico Variabile
Elettromagnetismo
per cui l’energia magnetica viene espressa come: 1 Um = (i1 Φ1 + i2 Φ2 ) 2
(5.9)
oppure sfruttando il fatto che M12 = M21 , ottenendo: 1 1 Um = L1 i1 2 + L2 i2 2 + M i1 i2 . 2 2
(5.10)
Il bilancio di energia magnetica appena derivato per due circuiti può essere confrontato con il bilancio di energia elettrica ottenuto da un sistema di due conduttori sferici carichi, studiato nel paragrafo 2.4.5 a pagina 23, che si presentava nella forma: q1 q 2 1 q1 2 1 q2 2 + + . Ue = 2 C1 2 C2 4πε0 d Risulta ancora più chiara l’analogia tra il ruolo della capacità ed il ruolo dell’induttanza ed anche nel caso dell’energia elettrica è presente un termine di mutua interazione tra due “accumulatori” di energia quali sono i conduttori. Esempio di Utilizzo dell’Energia Magnetica Si considerino due solenoidi rettilinei di lunghezza finita d1 e d2 , densità di spire n1 e n2 , superfici Σ1 e Σ2 e percorsi dalle correnti i1 e i2 ; è noto che Σ2 < Σ1 e che il solenoide 2 è inserito solamente in parte nel solenoide 1 di una lunghezza pari a x. Si vuole calcolare l’energia potenziale magnetica del sistema. Non sono noti i versi delle correnti, quindi non si possono definire le direzioni dei campi magnetici all’interno dei solenoidi, ma questo non costituisce una limitazione; è infatti ~1 e B ~ 2 si sufficiente notare che all’interno i campi dei due solenoidi, rispettivamente B sovrappongono solamente nel tratto x. Si hanno tre modi per calcolare l’energia magnetica del sistema, il primo dei quali consiste nell’utilizzare i coefficienti M , L1 e L2 . I due coefficienti di autoinduttanza possono essere calcolati come: L1 = µ0 n1 2 Σ1 d1
e L2 = µ0 n2 2 Σ2 d2
mentre il coefficiente di mutua induttanza può essere calcolato come: M = µ0 n1 n2 Σ2 x. L’energia magnetica può ora essere calcolata secondo l’equazione 5.10: 1 1 Um = µ0 n1 2 Σ1 d1 i1 2 + µ0 n2 2 Σ2 d2 i2 2 + µ0 n1 n2 Σ2 xi1 i2 2 2 ed possibile notare che compare la variabile x, il che significa che l’energia magnetica dipende dall’inserimento del solenoide. Il secondo metodo per calcolare l’energia magnetica consiste nel servirsi dei flussi dei campi magnetici: B1 = µ0 n1 i1 e B2 = µ0 n2 i2 ma si devono considerare i campi corretti nei vari punti del sistema: 120
5.3 Effetti del Campo Magnetico Variabile
Elettromagnetismo
• il flusso attraverso il solenoide 1 è dato dal campo dello stesso al quale va sommato il contributo del campo del solenoide 2 nel tratto di sovrapposizione: Φ1 = n1 d1 Σ1 B1 + n1 xΣ2 B2 ; • il flusso attraverso il solenoide 2 è dato dal campo dello stesso al quale va sommato il contributo del campo del solenoide 1 nel tratto di sovrapposizione, ricordando di utilizzare però la superficie Σ2 : Φ2 = n2 d2 Σ2 B2 + n2 xΣ2 B1 . L’energia magnetica può ora essere calcolata secondo l’equazione 5.9 nella pagina precedente: 1 i1 (n1 d1 Σ1 B1 + n1 xΣ2 B2 ) + i2 (n2 d2 Σ2 B2 + n2 xΣ2 B1 ) 2 ed infatti si ottiene la stessa equazioni già derivata. Il terzo metodo sfrutta la densità volumetrica di energia, definita come: Um =
umi
1 Bi 2 = 2 µ0
che va poi moltiplicata per il volume, ma per calcolare completamente questa energia è necessario considerare il volume effettivo del sistema, tenendo conto che nel tratto x si ha la sovrapposizione dei volumi dei due solenoidi. Si considera per prima la zona d1 − x, dove è presente solamente il campo B1 , quindi l’energia è: 1 B1 2 Um1 = um1 Σ1 (d1 − x) = Σ1 (d1 − x) 2 µ0 ed un calcolo analogo può essere fatto per il tratto d2 − x: Um2 = um2 Σ2 (d2 − x) =
1 B2 2 Σ2 (d2 − x). 2 µ0
Va ora considerata la zona di sovrapposizione, dove si ha anche la sovrapposizione dei campi magnetici nella zona interna al solenoide 2, ma non nella zona esterna; si hanno quindi due contributi distinti: Umx = um1+2 Σ2 x + um1 (Σ1 x − Σ2 x) =
1 (B1 + B2 )2 1 B1 2 Σ2 x + (Σ1 x − Σ2 x). 2 µ0 2 µ0
L’energia magnetica complessiva è data dalla somma di questi tre contributi, ma si ottiene sempre l’espressione già derivata. Una volta nota l’energia magnetica, si può calcolare la forze che sussistono tra i solenoidi, il cui modulo è pari alla variazione di energia magnetica nel tratto x: F =
B1 B2 Σ2 d Um = µ0 n1 n2 Σ2 i1 i2 = . dx µ0
Certamente la forza è diretta lungo la direzione x, ma il suo segno dipende dalla correnti circolanti nei solenoidi, che determinano l’orientamento di campi magnetici; la forza risulta attrattiva se le correnti sono concordi, mentre risulta repulsiva se le correnti sono discordi. 121
5.4 Campo Elettrico Variabile
5.4
Elettromagnetismo
Campo Elettrico Variabile
Nelle sezioni precedenti è stato ampiamente discusso di come un campo magnetico variabile nel tempo possa essere considerato come la sorgente di un campo elettrico. Questa condizione viene chiaramente definita dalla legge di Faraday, che identifica la FEM indotta dalla variazione del flusso di un campo magnetico come la circuitazione di un campo elettrico. Si vuole ora cercare di capire se è vero il contrario, ovvero se il campo elettrico possa essere interpretato come la sorgente di un campo magnetico.
5.4.1
Legge di Ampère-Maxwell
Più e più volte si è sfruttato il teorema di Ampère per il calcolo di un campo magnetico: I ~ · dS ~ = µ0 i B γ
ma la correte che compare al secondo membro può anche essere scritta come il flusso della densità di corrente attraverso una superficie chiusa: I I ~ ~ B · dS = µ0 ~j · uˆn dΣ. γ
Σ
L’applicazione del teorema di Stokes permette ora di ricavare una forma locale di questo teorema, data da: ~ ×B ~ = µ0~j ∇ e considerando il caso stazionario, quello dove la densità di corrente non varia nel tempo, si ha che la divergenza di queste due grandezze è identicamente nulla: ~ · ~j) = ∇ ~ ·∇ ~ ×B ~ = 0. µ0 ( ∇ Nel caso non stazionario, dove c’è una dipendenza esplicita della densità di corrente dal tempo, la sua sua variazione può essere calcolata grazie all’equazione ci continuità: ~ · ~j + ∂ % = 0 ⇐⇒ ∇ ~ · ~j = − ∂ % ∇ ∂t ∂t ma questo significa che la divergenza della densità di corrente è non nulla, il che costituisce una violazione del teorema di Ampère, che non è quindi applicabile a questo caso. L’equazione di continuità è stata ricavata nel paragrafo 3.1.2 a pagina 41, dove è stato detto che la derivata della densità di carica è da imputare ad un flusso di cariche attraverso una superficie; su ha quindi un accumulo di cariche che porta alla formazione si un campo elettrico, ma dato che l’accumulo varia nel tempo, anche il campo deve variare nel tempo. Considerando infatti il teorema di Gauss per il campo elettrico, si ha che: I q ~ ~ · uˆn dΣ = Φ(E) = E ε0 Σ la cui forma locale può essere ottenuta grazie al teorema della divergenza: % ~ · E. ~ =∇ ε0 122
5.4 Campo Elettrico Variabile
Elettromagnetismo
Derivando rispetto al tempo la forma globale, si ha che: I I ∂ q ∂ i ∂ ~ ~ = E · uˆn dΣ ⇐⇒ = E · uˆn dΣ ∂t ε0 ∂t Σ ε0 Σ ∂t mentre derivando la forma locale si ottiene: ∂ ~ ~ 1 ∂ ∂ % ~ · = ∇ %=∇ · E ⇐⇒ ∂t ε0 ∂t ε0 ∂t
∂ ~ E . ∂t
Grazie a queste due equazioni è possibile notare che alla variazione di una carica nel tempo, quindi ad una corrente, corrisponde l’esistenza di un campo elettrico. Ricordando ora che: I i = ~j · uˆn dΣ Σ
sostituendo questa quantità della derivata della forma integrale del teorema di Gauss si ottiene che: I I 1 ∂ ~ · uˆn dΣ ~j · uˆn dΣ = E ε0 Σ Σ ∂t ed è ora possibile uguagliare le funzioni integrande, ottenendo che: ~ ~js = ε0 ∂ E. ∂t
(5.11)
Questa densità di corrente viene definita densità corrente di spostamento, marcata appunto con il pedice s, e non ha nulla a che vedere con la densità di corrente presente nel teorema di Ampère. Ripercorrendo il percorso seguito, si è infatti partiti dalla derivazione della forma locale del teorema di Ampère nel caso non stazionario, dove si è potuto notare che la variazione della densità di corrente è non nulla ed è dovuta al flusso di una densità volumetrica di carica; questo flusso genera un accumulo di carica che a sua volta genera un campo elettrico variabile nel tempo, alla cui variazione è associata una nuova densità di corrente, cioè la densità di corrente di spostamento. A questa densità di corrente è associata la corrente di spostamento, data da: I iS = ~jS · uˆn dΣ. Σ
Manipolando ora la derivata della forma locale del teorema di Gauss si ottiene: ∂ ∂ ~ ~ · ε0 E %=∇ ∂t ∂t e sostituendo la definizione della densità di corrente di spostamento si ottiene che la derivata di % è la divergenza delle densità di corrente di spostamento: ∂ ~ · ~js . %=∇ ∂t L’equazione di continuità dalla quale si era partiti può quindi essere riscritta sostituendo quanto appena derivato: ~ · ~j + ∇ ~ · ~js = 0 ⇐⇒ ∇ ~ · (~j + ~js ) = 0. ~ · ~j + ∂ % = 0 ⇐⇒ ∇ ∇ ∂t 123
5.4 Campo Elettrico Variabile
Elettromagnetismo
La densità di corrente che compare in questa forma dell’equazione di continuità ha le caratteristiche per soddisfare le legge di Ampère, che può essere “corretta” derivando legge di Ampère-Maxwell : I ~ · dS ~ = µ0 (i + is ) B (5.12) γ
valida anche nel caso di corrente non stazionaria. Per distinguere la corrente di spostamento is dalla corrente i, quest’ultima viene detta corrente di conduzione. Mentre la corrente di conduzione è associata al moto della cariche, la corrente di spostamento non lo è, ma è associata al campo elettrico variabile dovuto dall’accumulo di cariche. Con l’introduzione della corrente di spostamento, Maxwell ha completato la legge di Faraday; mentre la legge di Faraday permette di concludere l’esistenza di un campo elettrico generato da un campo magnetico, la legge di Ampère-Maxwell permette di concludere l’esistenza di un campo magnetico generato da un campo elettrico. Per comprendere la reazione tra campo elettrico e corrente di spostamento, si ricorda che se la corrente di conduzione è nulla, l’equazione di Ampère-Maxwell si presenta come: I ~ · dS ~ = µ0 ε0 ∂ Φ(E) ~ B ∂t γ mentre l’equazione di Faraday come: I ~ · dS ~ = − ∂ Φ(B) ~ E ∂t γ dove i membri di destra rappresentano le sorgenti dei campi presenti nei membri di sinistra. Esempio di Corrente di Spostamento Si consideri un condensatore piano con armature circolarità raggio R collegato ad ~ = un generatore che stabilisce un campo elettrico dipendete dal tempo con funzione E E0 sin(ωt); si vuole calcolare il campo magnetico all’interno del condensatore. Il campo elettrico è diretto dalla piastra con carica positiva del condensatore a quella con carica negativa, quindi è ortogonale alle superfici; da questo deriva che il campo magnetico, che è ortogonale alle linee del campo elettrico, è parallelo alle armature. Il campo magnetico può essere calcolato tramite il teorema di Ampère-Maxwell considerando una circonferenza di raggio r < R: I I ∂ ~ ~ · dS ~ = µ 0 ε0 B E · uˆn dΣ γ Σ ∂t da cui deriva che:
∂ ~ = µ0 ε0 πr2 ∂ E ~ Φ(E) ∂t ∂t dove viene svolta la derivata e viene espresso il prodotto µ0 ε0 come il reciproco di c2 : B2πr = µ0 ε0
1 ∂ rωE0 B(r) = ε0 µ0 r E ⇐⇒ B(r) = cos(ωt). 2 ∂t 2c2 124
5.4 Campo Elettrico Variabile
Elettromagnetismo
Il campo magnetico ha una dipendenza lineare dal raggio, ma un esempio di andamento di questo tipo era già stato incontrato studiando il campo all’interno di un conduttore cilindrico nel paragrafo 4.3.1 a pagina 90. In quel frangente era stato applicato il teorema di Ampère: 2πrB = µ0 iint dove iint è la corrente interna al circuito considerato per l’applicazione, data dal prodotto tra la densità di corrente e la sua superficie, cioè jπr2 , mentre la densità di corrente è data dal rapporto tra la corrente totale e la superficie totale del conduttore: j=
i πR2
da cui derivava che il campo magnetico era dato da: B(r) =
µ0 ir . 2πR2
Questi due campi magnetici possono essere identificati associando j alla derivata del campo elettrico: ∂ j = ε0 E ∂t ma questa è esattamente la definizione della corrente di spostamento. Questo esempio dà lo spunto per fare un ragionamento interessante: il condensatore rappresenta a tutti gli effetti un’interruzione del circuito, ma questo si comporta come se fosse un conduttore attraversato da corrente; infatti, gli effetti del campo elettrico e del campo magnetico sono indifferenti all’interruzione, che quindi si comportano di conseguenza per mantenere valida l’equazione di continuità della carica.
5.4.2
Riepilogo sulle Relazioni Elettromagnetiche
Si vogliono ora ricordare e raccogliere tutte le equazioni di maggior rilievo riguardanti il campo elettrico ed il campo magnetico, oppure che mettono in relazione i due campi. Le equazioni di Maxwell in forma differenziale valide nel vuoto in presenza di una densità di carica % per il campo elettrico in condizioni non stazionarie sono: ~ ·E ~ = % ∇ ε0
~ ×E ~ =−∂B ~ ∇ ∂t
mentre le analoghe in presenza di una densità di corrente ~j valide per il campo magnetico sono: ~ ·B ~ =0 ∇
~ ×B ~ = µ0~j + µ0 ε0 ∂ E ~ ∇ ∂t
ed a queste quattro equazioni differenziali corrispondono due equazioni integrali valide per il campo elettrico: I I q ~ · uˆn dΣ = ~ · dS ~ = − ∂ Φ(B) ~ E E ε0 ∂t Σ γ 125
5.4 Campo Elettrico Variabile e due per il campo magnetico: I ~ · uˆn dΣ = 0 B Σ
Elettromagnetismo
I
~ ~ · dS ~ = µ0 i + µ0 ε0 ∂ Φ(E). B ∂t γ
Nello studio di queste relazioni sono state di fondamentale importanza alcune delle equazioni descritte in queste pagine, ma queste possono a loro volta essere ridefinite in modo più accurato per tener conto delle relazioni tra il campo elettrico ed il campo magnetico variabili nel tempo. Si citano ora gli elementi fondamentali e si riportando delle versioni valide per casi estremamente generali di alcune equazioni: 1. l’equazione di continuità della carica e della corrente elettrica: ~ · ~j + ∂ % = 0; ∇ ∂t 2. la forza elettromagnetica, data dalla combinazione della forza elettrica e della forza di Lorentz: ~ + ~v × B) ~ F~ = q(E (5.13) che può essere posta uguale alla derivata nel tempo della quantità di moto della particella ed alla sempre valida legge di Newton: ~ + ~v × B) ~ = d p~ = m~a F~ = q(E dt dove carica e massa sono proprietà intrinseche della materia; 3. la densità di energia potenziale elettromagnetica, data dalla somma di energia potenziale elettrica e di energia potenziale magnetica: 1 1 2 1 u = ε0 E 2 + B ; 2 2 µ0
(5.14)
4. la legge di Ohm microscopica valida nei conduttori: ~ ~j = σ E; 5. i mezzi materiali, dove nei dielettrici alle cariche % corrispondono delle cariche di polarizzazione: ~ = ε0 E ~ + P~ % =⇒ D e nei materiali magnetici alle correnti corrispondono delle correnti amperiane: ~ ~ = B +M ~. ~j =⇒ H µ0
126
5.4 Campo Elettrico Variabile
5.4.3
Elettromagnetismo
Campo ElettroMagnetico nel Vuoto
Nel vuoto in assenza della densità di carica % e della densità di corrente ~j, le equazioni differenziali citate poco fa sono, per il campo elettrico: ~ ×E ~ =−∂B ~ ∇ ∂t
~ ·E ~ =0 ∇ e per il campo magnetico sono:
~ ~ ×B ~ = µ0 ε0 ∂ E. ∇ ∂t
~ ·B ~ =0 ∇ È ora possibile fare due osservazioni cruciali.
• Calcolando il rotore del rotore del campo elettrico, si ottiene che: ∂ ~ ∂ ~ ~ ~ ~ ~ ~ × B) ∇ × (∇ × E) = ∇ × − B = − (∇ ∂t ∂t ma è possibile sfruttare la definizione del doppio prodotto vettoriale mostrata nell’equazione 1.4 a pagina 2, ottenendo: ~ × (∇ ~ × E) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · E) ~ − (∇ ~ · ∇) ~ E ~ ∇ ma in questa espressione è possibile identificare la divergenza del campo elettrico ~ · E, ~ che è nulla, mentre il prodotto scalare del gradiente per sé stesso restituisce ∇ l’operatore di Laplace, presentato nel paragrafo 1.2.4 a pagina 4, quindi l’espressione viene riscritta come: ~ × (∇ ~ × E) ~ = −∇2 (E). ~ ∇ Si possono ora uguagliare le due espressioni del rotore del rotore del campo elettrico: ~ =− −∇2 (E)
∂ ~ ~ (∇ × B) ∂t
dove si può sostituire il rotore del campo magnetico: ∂ ∂ ~ 2 ~ ∇ (E) = µ 0 ε0 E ∂t ∂t ed esprimere il prodotto µ0 ε0 come 1/c2 , ottenendo: 2 ~ = 0. ~ − 1 ∂ E ∇2 (E) c2 ∂t2
(5.15)
• Calcolando il rotore del rotore del campo magnetico, si ottiene che: ∂ ~ × (∇ ~ × B) ~ =∇ ~ × µ 0 ε0 E ~ = µ 0 ε0 ∂ ( ∇ ~ × E) ~ ∇ ∂t ∂t ma è possibile sfruttare la definizione del doppio prodotto vettoriale mostrata nell’equazione 1.4 a pagina 2, ottenendo: ~ × (∇ ~ × B) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · B) ~ − (∇ ~ · ∇) ~ B ~ ∇ 127
5.4 Campo Elettrico Variabile
Elettromagnetismo
ma in questa espressione è possibile identificare la divergenza del campo magnetico ~ · B, ~ che è nulla, mentre il prodotto scalare del gradiente per sé stesso restituisce ∇ l’operatore di Laplace, presentato nel paragrafo 1.2.4 a pagina 4, quindi l’espressione viene riscritta come: ~ × (∇ ~ × B) ~ = −∇2 (B). ~ ∇ Si possono ora uguagliare le due espressioni del rotore del rotore del campo magnetico: ~ = µ0 ε0 ∂ (∇ ~ × E) ~ −∇2 (B) ∂t dove si può sostituire il rotore del campo elettrico: ∂ ∂ ~ 2 ~ ∇ (B) = µ0 ε0 B ∂t ∂t ed esprimere il prodotto µ0 ε0 come 1/c2 , ottenendo: ~ − ∇2 (B)
1 ∂2 ~ B = 0. c2 ∂t2
(5.16)
Queste due equazioni, ricavate nel vuoto in assenza di densità di carica o di densità di correnti e valide per campo elettrico e per campo magnetico variabili nel tempo rappresentano le equazioni delle onde e dicono che, nelle condizioni indicate, campo elettrico e campo magnetico si propagano nel vuoto come se fossero delle onde.
128
6
Onde Elettromagnetiche
Le equazioni 5.15 a pagina 127 e 5.16 nella pagina precedente sono delle espressioni particolari di un’equazione completamente generale, detta equazione di d’Alambert, che descrive il moto delle onde; l’espressione generale della legge di d’Alambert è: 2 ~ − 1 ∂ ξ~ = 0 ∇2 (ξ) v 2 ∂t2
(6.1)
dove ξ~ è una funzione dipendete da spazio e tempo. L’equazione di d’Alambert è infatti un’equazione differenziale alle derivate parziali che mette in relazione la variazione di una certa funzione vettoriale ξ~ dipendente da spazio e tempo, detta funzione d’onda con la velocità di propagazione dell’onda ~v . Campo elettrico e campo magnetico sono due particolari tipi di soluzione dell’equazione delle onde, quindi si possono studiare le onde rappresentate dai due campi utilizzando la teoria delle onde.
6.1
Le Onde
Le onde sono fenomeni fisici che descrivono la propagazione di una perturbazione apportata ad un qualsiasi sistema; tali perturbazioni si manifestano come oscillazioni dello stato del sistema attorno ad un certo stato di equilibrio. Esistono due tipi di onde: • onde che necessitano di un mezzo per propagarsi, definite onde meccaniche in quanto dovute e vibrazioni ed a spostamenti del mezzo stesso; • onde che non necessitano di un mezzo per propagarsi, che quindi possono essere studiate anche nel vuoto. Entrambe questi tipi di onde vengono descritti dell’equazione delle onde citata all’inizio del capitolo, ma per capire come funzioni è bene partire da un esempio semplice, che permetterà però di fare delle importanti considerazioni preliminari.
6.1.1
Il Moto della Corda
Un esempio classico di onda, vista come propagazione della perturbazione di un sistema fisico, è quello della corda. Si supponga di poter disporre di una corda vincolata ad un lato; se alla corda viene impresso un impulso sul lato libero, il fenomeno fisico che si verifica è facilmente immaginabile, ovvero la corda viene deformata a causa dell’impulso con la conseguente formazione di una “gobba” che si sposta su tutta la lunghezza della corda fino al raggiungimento dell’estremo vincolato. Si vuole ora studiare il moto con cui si propaga la perturbazione apportata al sistema; è prima di tutto possibile notare che tale perturbazione non comporta un trasferimento 129
6.1 Le Onde
Onde Elettromagnetiche
di materia, ma si ha comunque il moto della corda, quindi si deve verificare un semplice trasferimento di energia. Si consideri un elemento infinitesimo di corda la cui proiezione sull’orizzontale abbia lunghezza dx nell’istante in cui su di esso si ha la perturbazione apportata; tale elemento forma quindi un angolo α con l’orizzontale, cioè con la sua posizione naturale, ed è soggetto ad una variazione data dalla differenza di altezza tra i sui capi, che viene quindi identificata con dξ e coincide con la proiezione dell’elemento infinitesimo sulla verticale. Si è interessati a conoscere la variazione nello stato della corda, indicato con ξ. La corda è inoltre sottoposta ad una certa tensione ai suoi capi, identificata con F e, dato che la corda è sottoposta ad una perturbazione che la deforma, la tensione ai suoi capi forma due angoli diversi con l’orizzontale; l’angolo della tensione all’inizio dell’elemento considerato è pari a α, mentre l’angolo all’altro estremo viene considerato come α0 . La prima analisi che viene condotta è la scomposizione delle forze lungo gli assi principali quindi si suppone che l’asse x coincida con la direzione orizzontale mentre l’asse y coincida con quella verticale; in questo modo la forza totale viene scomposta lungo gli assi considerando i contributi della tensione ai capi dell’elemento infinitesimo di corda: Fx = F cos(α0 ) − cos(α) e Fy = F sin(α0 ) − sin(α) ma dato si sta considerando un elemento infinitesimo, si può supporre che i due angoli siano molto simili fra loro, approssimando quindi α0 = α + ∆α. Facendo tendere ora il valore degli angoli a 0, il loro coseno tende a 1, mentre il loro seno tende al valore degni angoli; in questo modo la componente x della forza si annulla, ma non la componente y, che può essere approssimata come: Fy = F (α0 − α) = F ∆α ma dato che gli angoli sono stati fatti tendere a 0, la variazione ∆α può essere considerata infinitesima, quindi può essere utilizzata la derivata dell’angolo per rappresentarla, ottenendo che: ∂ Fy = F αdx ∂x dove si moltiplica dx in quanto la variazione d’angolo può dipendere sia dallo spazio che dal tempo. Si può sfruttare la scrittura di dξ come prodotto tra l’incremento di x e la tangente dell’angolo α, ma dato che l’angolo α è stato fatto tendere a 0, la tangente può essere approssimata con il valore dell’angolo stesso, ottenendo: dξ = αdx ⇐⇒ α =
d ∂ ξ= ξ dx ∂x
per poi sostituirla nell’equazione della forza lungo y, ottenendo che: Fy = F
∂ ∂ ∂ αdx = F ξdx ∂x ∂x ∂x
per poi unificare le due derivate, ottenendo che la forza lungo y può essere espressa come: Fy = F
∂2 ξdx. ∂x2
130
6.1 Le Onde
Onde Elettromagnetiche
Supponendo invece che siano note la lunghezza dell’elemento infinitesimo di corda e la sua sezione, assunte pari a dl e Σ, si può identificare la sua massa: dm = %Σdl dove % rappresenta la densità della corda; conoscendo la lunghezza dl, la variazione dξ potrebbe però essere facilmente calcolata grazie a seno di α, che però può essere approssimato con il valore dell’angolo in quanto si sta trattando con degli infinitesimi: dl sin(α) = dξ =⇒ dlα = dξ ⇐⇒ dl =
dξ α
ma questo significa che dl coincide con dx, il che è sensato, dato che per un valore infinitesimo di angolo si può ben immaginare che la lunghezza dell’elemento infinitesimo dl sia molto simile alla sua proiezione orizzontale dx. La massa dell’elemento di corda può quindi essere espressa come: dm = %Σdx. Si nota ora che il prodotto %Σ ha le dimensioni di una massa per unità di lunghezza, quindi può essere considerato come una densità lineare ed indicato con %l , in modo da poter esprimere la massa come: dm = %l dx. Applicando ora la legge di Newton per ricavare la forza Fy , si ha che: Fy = dma dove a rappresenta l’accelerazione in direzione y ed è, per definizione, la derivata seconda rispetto al tempo dello spostamento su y, quindi la legge di Newton diventa: ∂2 ∂2 Fy = dm 2 ξ = %l 2 ξdx. ∂t ∂t Uguagliando questa espressione della forza con quella precedentemente ottenuta, si ottiene: ∂2 ∂2 ∂2 F ∂2 %l 2 ξdx = F 2 ξdx ⇐⇒ ξ = ξ ∂t ∂x ∂t2 %l ∂x2 p e definendo F/%l come una velocità v, si ottiene: ∂2 1 ∂2 ξ = ξ ∂x2 v 2 ∂t2 che è esattamente l’equazione delle onde. La funzione ξ, già definita come funzione d’onda, descrive quindi la propagazione della perturbazione attraverso un sistema fisico, sia che questo sia semplice come l’esempio della corda appena studiato, sia che questo costituisca un sistema esteso su più dimensioni; l’equazione delle onde non verrà risolta analiticamente, ma si vuole comunque dare una descrizione delle differenti funzioni d’onda che soddisfano l’equazione e delle onde che generano.
131
6.1 Le Onde
6.1.2
Onde Elettromagnetiche
Onde Piane
Le onde piane sono rappresentate da funzioni d’onda dipendenti da una particolare combinazione di spazio e tempo, che viene indicata con φ e si presenta nella forma φ = x ∓ vt; viene ora studiato il caso φ = x − vt, ma tutto quelle che verrà detto e dimostrato è valido anche per il caso φ = x + vt. La funzione d’onda considerata è ξ(φ) = ξ(x − vt) e per dimostrare che essa soddisfa l’equazione delle onde si inizia col derivarla rispetto a x: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ξ(φ) = ξ φ= ξ [x − vt] = ξ ∂x ∂φ ∂x ∂φ ∂x ∂φ e poi la si deriva nuovamente ripercorrendo lo stesso camminino: ∂2 ∂ ∂ ∂2 ∂ ∂ ξ = ξ = ξ(φ) = ξ. ∂x2 ∂x ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ2 La funzione d’onda viene ora derivata rispetto al tempo: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ξ(φ) = ξ φ= ξ [x − vt] = −v ξ ∂t ∂φ ∂t ∂φ ∂t ∂φ e poi la si deriva nuovamente, ottenendo che: 2 ∂2 ∂ ∂ ∂ ∂ 2 ∂ ξ(φ) = ξ = −v ξ = v ξ. −v −v ∂t2 ∂t ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ2 È ora possibile isolare un termine comune alle due derivate, ovvero la derivata seconda di ξ rispetto a φ, che permette di scrivere le derivate seconde rispetto a spazio e tempo come: ∂2 ∂2 1 ∂2 ∂2 ξ = ξ e ξ = ξ ∂φ2 ∂x2 ∂φ2 v 2 ∂t2 ed è ora possibile uguagliare le due derivate, ottenendo che: ∂2 1 ∂2 ξ = 2 2ξ ∂x2 v ∂t che è esattamente l’equazione delle onde, di cui la funzione ξ(φ) = ξ(x − vt) è quindi soluzione. Da questo studio è in realtà possibile ricavare una “relazione bonus”, data dall’uguaglianza delle derivate prime rispetto a spazio e tempo; tali derivate possono intatti essere isolate come: ∂ ∂ ∂ 1∂ ξ= ξ e ξ=− ξ ∂φ ∂x ∂φ v ∂t da cui deriva che:
∂ 1∂ ξ=− ξ (6.2) ∂x v ∂t che stabilisce un importante legame valido per le onde piane che verrà utilizzato più avanti. Le funzioni d’onda che possono dare origine alle onde piane sono funzioni che stabiliscono un relazione ben precisa tra spazio e tempo; nella fattispecie, nella funzione deve comparire 132
6.1 Le Onde
Onde Elettromagnetiche
una combinazione lineare di queste due variabile nella forma stabilita all’inizio del paragrafo, quindi possono essere considerate onde piane le funzioni: ξ = (x − vt)2 ξ = sin k(x − vt) ξ = cos k(x − vt) ξ = ξ0 ek(x−vt) ma non la funzione ξ = xvt. Le onde piane si propagano lungo un’unica direzione perpendicolare al piano su cui si sviluppa la funzione ξ, quindi se la direzione di propagazione è x la funzione d’onda si sviluppa sul piano yz; il piano di sviluppo della funzione d’onda è definito fronte d’onda. Inoltre, perché il moto sia effettivamente classificabile come onda, la forma della funzione deve essere conservata nel moto, quindi la funzione d’onda deve rispettare determinate condizioni, la più importante delle quali è la periodicità; dato cioè uno stato iniziale ξ0 = ξ(x0 − vt0 ) ed uno stato generico ξ = ξ(x − vt) dopo un periodo, le due funzioni devono essere uguali tra loro: ξ0 = ξ ⇐⇒ ξ(x0 − vt0 ) = ξ(x − vt) ⇐⇒ x0 − vt0 = x − vt ⇐⇒ x = x0 + v(t − t0 ) e grazie alla condizione di rigidità della funzione d’onda (conservazione della forma nel moto) si può dedurre che l’onda è soggetta ad un moto rettilineo uniforme, di cui l’equazione appena derivata è la legge oraria.
6.1.3
L’Onda Armonica
L’onda armonica è un particolare tipo di onda piana definita grazie alle funzioni trigonometriche periodiche elementari; la sua forma di base è: ξ(x, t) = ξ0 sin k(x − vt) oppure ξ(x, t) = ξ0 cos k(x − vt) (6.3) quindi si può notare che è una funzione oscillate tra i valori ±ξ0 , motivo per cui ξ0 viene definito ampiezza dell’onda. Dato che l’argomento del seno deve essere adimensionale la costante k viene definita come il reciproco di una lunghezza e denominata numero d’onda, il cui significato verrà spiegato più avanti; l’interno argomento della funzioni goniometriche viene detto fase dell’onda e definito come: φ = k(x − vt) = kx − kvt = kx − ωt
(6.4)
dove viene definita la pulsazione come ω = kv. La funzione può essere rappresentata graficamente fissando una delle due variabili ed a seconda di quella fissata si possono fare delle diverse considerazioni. • Fissando la variabile temporale come t = t0 e considerando la prima forma della funzione mostrata nell’equazione 6.3, la funzione parte da un certo valore iniziale x0 propagandosi con andamento sinusoidale al variare di x. Data la periodicità spaziale della funzione, la distanza tra due creste d’onda, cioè tra due punti massimi o minimi, viene definita lunghezza d’onda ed indicata con λ, che rappresenta la distanza coperta dall’onda nel tempo di un’oscillazione completa; questa caratteristica è in realtà conservata considerando due punti generici x1 e x2 dell’onda a distanza λ, per i quali vale che: ξ(x2 , t0 ) = ξ(x1 , t0 ) ⇐⇒ sin k(x2 − vt0 ) = sin k(x1 − vt0 ) 133
6.1 Le Onde
Onde Elettromagnetiche
dove è possibile uguagliare gli argomenti della funzione seno tenendo conto del periodo della funzione stessa, pari a 2π: k(x2 − vt0 ) = k(x1 − vt0 ) + 2π ⇐⇒ k(x2 − x1 ) = 2π ma ricordando ora che x2 − x1 = λ si ha che: kλ = 2π da cui è possibile ricavare due equazioni importanti: λ=
2π k
e k=
2π . λ
(6.5)
Queste equazioni stabiliscono una relazione tra lunghezza d’onda e numero d’onda fondata sul periodo di oscillazione spaziale della funzione seno; in particolare, osservando la seconda equazione, è possibile notare che il numero d’onda indica il numero di oscillazioni compiute dall’onda nello spazio di un periodo. • Fissando la variabile spaziale come x = x0 , la funzione parte da un certo valore iniziale t0 propagandosi con andamento sinusoidale al variare di t. Data la periodicità temporale della funzione, la distanza tra due creste d’onda identifica semplicemente il periodo di oscillazione, indicato con T ; considerando infatti due generici istanti di tempo t1 e t2 a distanza di un periodo, si ha che: ξ(x0 , t2 ) = ξ(x0 , t1 ) ⇐⇒ sin k(x0 − vt2 ) = sin k(x0 − vt1 ) dove gli argomenti della funzione seno sono uguali se e solo se la loro differenza è pari al periodo della funzione stessa, pari a 2π: k(x0 − vt2 ) − k(x0 − vt1 ) = 2π ⇐⇒ kv(t1 − t2 ) = 2π dove il prodotto kv viene posto uguale a ω e rappresenta la pulsazione dell’onda quindi, ricordano che t1 − t2 = T , si ottiene: ωT = 2π da cui è possibile ricavare altre due equazioni importanti: ω=
2π T
e T =
2π . ω
(6.6)
Queste equazioni stabiliscono una relazione tra pulsazione dell’onda e periodo temporale dell’onda fondata sul periodo di oscillazione temporale della funzione seno. Si può concludere dicendo che la periodicità spaziale dell’onda viene parametrizzata dalla lunghezza d’onda, mentre la periodicità temporale viene parametrizzata dal periodo di oscillazione dell’onda. Inoltre, dato che il valore 2π, periodo della funzione seno, è comune alle due coppie di equazioni 6.5 e 6.6, è possibile esplicitarlo come: 2π = kλ e 2π = ωT 134
6.1 Le Onde
Onde Elettromagnetiche
arrivando a stabilire una relazione tra le caratteristiche spaziali e temporali dell’onda: kλ = ωT ⇐⇒ λ =
ωT vkT = = vT k k
dove è possibile definire la frequenza dell’onda come il reciproco del periodo, cioè ν = 1/T , da cui deriva l’equazione: λν = v (6.7) che rappresenta una delle relazioni più importanti in assoluto nello studio delle onde, in quanto permette di stabilire un legame tra le variabili spaziali e le variabili temporali che caratterizzano l’onda fondata sulla sua velocità di propagazione. Un’onda può quindi essere univocamente identificata conoscendo due delle tre variabili che compaiono nell’equazione 6.7, che permettono poi di calcolare tutti i restanti parametri dell’onda servendosi delle relazioni mostrate in questo paragrafo. Le onde caratterizzate da una funzione d’onda che si sviluppa su un piano ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda, caso delle onde piane appena studiate e dell’esempio della corda discusso nel paragrafo 6.1.1 a pagina 129, si definiscono onde trasversali e per esse è possibile definire alcune grandezze particolarmente interessanti, quali l’energia trasmessa, l’intensità e la polarizzazione.
6.1.4
Energia ed Intensità delle Onde
Come è stato possibile notare nel paragrafo 6.1.1 a pagina 129 studiando il moto della corda, il moto delle onde non comporta un trasferimento di massa, ma solo un trasferimento di energia. È chiaro che l’unica forza presente in grado di trasportare energia è in direzione ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda; considerando l’esempio della corda appena citato, tale forza è diretta lungo y, quindi il lavoro da essa fornito può essere calcolato considerando la forza agente in quella direzione e moltiplicandola per lo spostamento che produce: W = F sin(α) · dξ ed ora la potenza trasmessa può essere calcolata considerando la variazione di energia nel tempo: i d dh ∂ P = W = F sin(α) · dξ = F sin(α) ξ dt dt ∂t dove il seno viene approssimato con il valore dell’angolo, come ormai ben noto: P = Fα
∂ ξ ∂t
e, ricordando che l’angolo può essere espresso come la derivata rispetto a x di ξ, si ottiene: P =F
∂ ∂ ξ ξ. ∂x ∂t
Supponendo ora che la funzione d’onda che causa il moto della corda sia quella dell’onda armonica nella forma ξ(x, t) = ξ0 sin(kx − ωt), si possono ricavare le scritture esplicite delle derivate spaziali e temporali: ∂ ξ0 sin(kx − ωt) = ξ0 k cos(kx − ωt) e ∂x 135
∂ ξ0 sin(kx − ωt) = −ξ0 ω cos(kx − ωt) ∂t
6.1 Le Onde
Onde Elettromagnetiche
che possono ora essere sostituite nell’equazione della potenza: 2 P = F ξ0 k cos(kx − ωt) −ξ0 ω cos(kx − ωt) = −F kωξ0 2 cos(kx − ωt) . È ora possibile definire la potenza media prodotta dall’onda come la media integrale della potenza nel tempo di un periodo: Z Z 2 1 T 1 T Pm = P dt = −F kωξ0 2 cos(kx − ωt) dt T 0 T 0 dove è necessario calcolare l’integrale del quadrato del coseno, unico fattore che comporta la dipendenza da t; questo integrale è uno degli integrali notevoli della trigonometria ed il suo valore è: Z 2π 2 1 1 cos(θ) dθ = 2π 0 2 dove si è posto T = 2π, θ = kx − ωt, quindi la potenza risulta essere: 1 Pm = F kωξ0 2 . (6.8) 2 Esplicitando ora la forza come F = %l v 2 ed il numero d’onda come k = ω/v e sostituendole nell’equazione 6.8, si ottiene: ω 1 1 Pm = %l v 2 ωξ0 2 ⇐⇒ Pm = %l vω 2 ξ0 2 2 v 2 grazie alla quale è possibile notare che la potenza media dipende dal quadrato dall’ampiezza dell’onda e dal quadrato della pulsazione. Ricordando inoltre che %l è la densità lineare di massa definita dal prodotto tra la superficie e la densità volumetrica, si può definire l’intensità dell’onda come il rapporto fra la potenza media ed il fronte d’onda, che si ricorda essere la superficie ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda, dividendo per Σ: 1 %l 2 2 Pm = vω ξ0 I= Σ 2Σ da cui deriva che: 1 I = %vω 2 ξ0 2 . (6.9) 2 Oltre che all’intensità media, si può anche pensare di identificare la massima intensità dell’onda, quindi si studia la derivata rispetto al tempo della funzione d’onda per identificarne il massimo, da cui si ottiene che il valore massimo cercato è ξ0 ω che si ottiene quando |cos(φ)| = 1; Definendo questa quantità come la massima velocità dell’onda, cioè vmax = ξ0 ω, e sostituendola nell’equazione 6.9 si ha che: 1 Imax = %vmax 2 v 2 ma il prodotto tra la metà della densità e la velocità massima può essere interpretato come una densità di energia cinetica, indicata cone uk : Imax = uk v. Dato che questa equazione è stata derivata a partire dal moto di una corda, ma che potrebbe essere derivata in modo analogo considerando un’onda elettromagnetica ed utilizzando la densità di energia, si può pensare di trattare un’onda elettromagnetica come se fosse dovuta allo spostamento di corpi fisici, ma su questo ragionamento si tornerà più avanti. 136
6.1 Le Onde
6.1.5
Onde Elettromagnetiche
Polarizzazione delle Onde
Come è stato detto alla fine del paragrafo 6.1.3 a pagina 133, le onde trasversali possono essere studiate anche dal puto di vista della polarizzazione. È ormai chiaro che la funzione d’onda che definisce un’onda trasversale si sviluppa sul piano ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda stessa; supponendo che la direzione di propagazione sia x la funzione d’onda ξ~ è rappresentata da un vettore che giace sul piano yz e che forma un angolo θ con l’asse y che varia a seconda della definizione ~ ma è comunque chiaro che la funzione può essere scomposta nelle sue componenti di ξ, elementari come: ξy = ξ~ cos(θ) e ξz = ξ~ sin(θ). Se non esiste una funzione che definisce in modo rigoroso l’andamento di θ al variare di spazio e tempo, variabili da cui dipende la funzione d’onda, allora l’onda non trasporta caratteristiche di polarizzazione rilevanti, ma se esiste la funzione appena ipotizzata, l’onda si definisce polarizzata e la relazione tra le sue componenti lungo gli assi elementari è ben definita; la polarizzazione di un’onda è quindi legata all’angolo θ e permette di definire a priori la variazione della posizione della funzione d’onda sul piano sul quale si sviluppa. Considerando un’onda piana armonica nella forma ξ~ = ξ0 sin(kx − ωt), che si sviluppi sul piano yz, questa può essere scomposta nelle sue componenti elementari lungo gli assi, ma queste potrebbero non essere uguali tra loro, differendo di una certa quantità δ: ξy = ξ0 y sin(kx − ωt) e ξz = ξ0 z sin(kx − ωt + δ) dove proprio il parametro δ, che indica lo sfasamento delle onde, è quello che permetterà di definire la polarizzazione dell’onda. Polarizzazione Lineare Se lo sfasamento delle componenti è nullo, cioè se δ = 0, allora le onde sono in fase, il che significa che le funzioni goniometriche che le definiscono sono uguali in ogni punto dello spazio e ad ogni instante di tempo, quindi il rapporto tra le componenti elementari vale: ξz ξ0 sin(kx − ωt) ξ0 = z = z ξy ξ0 y sin(kx − ωt) ξ0 y il che significa che il loro rapporto è una costante e vale tan(θ), dove θ è l’angolo tra il vettore ξ~ e l’asse y; se la tangente di θ è costante, anche l’angolo stesso è costante, quindi il vettore che rappresenta la funzione d’onda non cambia mai di angolo durante la propagazione dell’onda. Questa situazione viene detta polarizzazione lineare dell’onda, in quanto il vettore ξ~ non varia mai d’angolo sul piano del fronte d’onda, quindi la traiettoria da esso descritta durante la propagazione dell’onda corrisponde ad un piano identificato dal vettore velocità e dal vettore ξ~ stesso.
137
6.1 Le Onde
Onde Elettromagnetiche
Polarizzazione Ellittica Se le componenti dell’onda sono sfasate di 90°, ovvero per δ = π/2, la componente z dell’onda può essere scritta come: π ξz = ξ0 z sin kx − ωt + ⇐⇒ ξz = ξ0 z cos(kx − ωt) 2 quindi si può sfruttare l’identità goniometrica studiando la somma dei rapporti dei quadrati delle componenti dell’onda e delle rispettive ampiezze: 2 2 ξ0 y 2 sin(kx − ωt) ξ0 y 2 cos(kx − ωt) ξy 2 ξz 2 + = + ξ0 y 2 ξ0 z 2 ξ0 y 2 ξ0 z 2 2 2 = sin(kx − ωt) + cos(kx − ωt) =1 ma l’equazione:
ξy 2 ξz 2 + =1 ξ0 y 2 ξ0 z 2
rappresenta la figura geometrica di un ellisse. La variazione dell’angolo θ è quindi costante nella propagazione dell’onda ed ha una ~ mentre l’evoluzione dipendenza lineare dalle variabili di spazio e tempo che definiscono ξ, del modulo di questa funzione nella propagazione del tempo descrive un’ellisse sul piano del fronte d’onda. Questo stato viene detto polarizzazione ellittica dell’onda e dalla descrizione matematica appena fornita si può dedurre che il vettore che rappresenta la funzione d’onda ruota costantemente attorno all’asse di propagazione dell’onda e descrive una traiettoria a “spirale ellittica” con semiassi ξ0 y e ξ0 z . Polarizzazione Circolare Se le componenti dell’onda sono comunque sfasate di δ = π/2, ma la loro ampiezza è identica, cioè se ξ0 y = ξ0 z = ξ0 , allora l’equazione derivata diventa: ξy 2 ξz 2 2 2 2 2 + 2 = 1 ⇐⇒ ξy + ξz = ξ0 ξ0 ξ0 che rappresenta l’equazione di una circonferenza; in questo stato, si dice che l’onda è caratterizzata da una polarizzazione circolare, che si comporta in modo analogo alla polarizzazione ellittica, ma la figura geometrica descritta dal modulo di ξ~ è una circonferenza ed il vettore che rappresenta la funzione d’onda ruota costantemente attorno all’asse di propagazione dell’onda e descrive una traiettoria a spirale vera a propria.
6.1.6
Onde Piane Tridimensionali
Oltre alle onde piane che si propagano lungo un’unica direzione, ampiamente studiate in questa sezione, esistono anche onde piane a sviluppo tridimensionale, che quindi si 138
6.1 Le Onde
Onde Elettromagnetiche
sviluppano in ogni direzione dello spazio; l’equazione che descrive un particolare tipo di queste onde è: ξ~ = ξ0 sin(~k · ~r − ωt) dove ~r indica una generica direzione di propagazione nello spazio. In questo caso, anche il numero d’onda è un vettore ed ha per componente i numeri d’onda delle propagazioni lungo gli assi del sistema di riferimento, infatti il suo prodotto scalare con vettore ~r vale: ~k · ~r = kx rx + ky ry + kz rz . Il numero d’onda di questo tipo di onda non può essere identificato a partire dal semplice vettore ~k, ma è necessario servirsi del quadrato del suo modulo: r 2 ω ω2 k 2 = kx 2 + ky 2 + kz 2 = 2 ⇐⇒ k = v v2 mentre le caso unidimensionale il numero d’onda poteva essere definito come k = ω/v. Una particolare categoria di onde piane che si sviluppano su più dimensioni sono le onde sferiche, la cui funzione d’onda nel caso generale si presenta come: ξ(r, t) = A(r) sin(kr − ωt) che è sempre funzione di spazio e tempo, ma la l’ampiezza, identificata dalla funzione A(r) è anche dipendente dal raggio; nelle onde piane a sviluppo monodimensionale, l’ampiezza non ha alcuna dipendenza dalla distanza dalla sorgente, come si può notare nell’equazione 6.3 a pagina 133. La potenza media per un’onda di questo tipo deve comunque essere costante in qualunque punto della superficie di propagazione Σ e può essere identificata a partire dall’intensità: 2 Pm = IΣ = A(r) 4πr2 . Osservando questa equazione è possibile notare che la potenza ha un andamento asinitoco a 1/r2 il che significa che la funzione ampiezza deve avere un andamento asintotico a 1/r. Da queste osservazioni è possibile dedurre che la funzione ampiezza di un’onda sferica deve presentarsi nella forma: ξ0 A(r) = r e che la funzione dell’onda sferica si presenta quindi come: ξ(r, t) =
6.2
ξ0 sin(kr − ωt) r
(6.10)
Le Onde Elettromagnetiche
Ora che sono noti i concetti fondamentali riguardanti le onde, è possibile utilizzare la teoria costruita nella sezione 6.1 a pagina 129 per studiare in modo approfondito le leggi di Maxwell e nelle fattispecie le equazioni che definiscono le onde elettriche e le onde magnetiche, derivate nel paragrafo 5.4.3 a pagina 127. 139
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
Onde Elettromagnetiche
Tali equazioni sono state derivate considerando i casi di campo elettrico e di campo magnetico nel vuoto in assenza di densità di carica e di densità di correnti di conduzione, cioè per % = 0 e ~j = 0, quindi in assenza di sorgenti dei campi; le equazioni di Maxwell possono essere riscritte in modo analogo considerando i campi all’interno di un mezzo materiale con costante dielettrica assoluta ε e con permeabilità magnetica assoluta µ. In questo caso, la divergenza di campo elettrico e magnetico continua ad essere nulla: ~ ·E ~ =0 e ∇ ~ ·B ~ =0 ∇ il rotore del campo elettrico continua ad essere uguale all’opposto della derivata temporale del campo magnetico, ma il rotore del campo magnetico tiene conto delle caratteristiche del materiale attraversato, pur restando legato alla derivata temporale del campo elettrico: ~ ×E ~ =−∂B ~ ∇ ∂t
~ ×B ~ = εµ ∂ E. ~ e ∇ ∂t
Le equazioni delle onde assumono una forma analoga alle equazioni 5.15 a pagina 127 e 5.16 a pagina 128, ma in questo caso non è possibile utilizzare la relazione tra la velocità della luce ed il prodotto tra costante dielettrica e permeabilità magnetica, che devono quindi rimanere indicate: ~ = εµ ∇2 E
∂2 ~ E ∂t2
~ = εµ e ∇2 B
∂2 ~ B. ∂t2
È comunque possibile porre:
1 v2 dove v rappresenta la velocità delle onde ed è strettamente dipendete della caratteristiche del mezzo attraversato. εµ =
6.2.1
Derivazione delle Onde Elettromagnetiche
Per capire che tipo di onde siano le onde elettriche e le onde magnetiche, si studiano le equazioni di Maxwell appena citate esplicitando le componenti di ognuna di essa. Si suppone innanzitutto che il campo elettrico ed il campo magnetico abbiano dipendenza solamente dal tempo e dalla direzione x e che rimangano costanti lungo le direzioni y e z; questo permette di dire che tutte le derivate dei campi rispetto a y e z sono nulle. La divergenza del campo elettrico può essere scritta come: ~ ·E ~ = 0 ⇐⇒ ∂ Ex + ∂ Ey + ∂ Ez = 0 ∇ ∂x ∂y ∂z ed in particolare si ha che:
∂ Ex = 0 ∂x in quanto le derivate rispetto alle direzioni y e z sono nulle; la divergenza del campo magnetico può essere scritta come: ~ ·B ~ = 0 ⇐⇒ ∂ Bx + ∂ By + ∂ Bz = 0 ∇ ∂x ∂y ∂z 140
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
Onde Elettromagnetiche
ed in particolare si ha che:
∂ Bx = 0 ∂x in quanto le derivate rispetto alle direzioni y e z sono nulle. Queste osservazioni permettono di supporre che le onde si propaghino lungo la direzione x, in quanto le componenti dei due campi in direzione x sono nulli o costanti, avendo derivate nulle rispetto a x. Si devono ora studiare i rotori dei campi, quindi è bene ricordare che questo operatore differenziale, a differenza della divergenza, restituisce un vettore, per cui si separano fin da subito le sue componenti. Il rotore del campo elettrico può essere scritto come: • la componente x del rotore del campo elettrico è data da: ~ ×E ~ = − ∂ Bx ⇐⇒ ∂ Ez − ∂ Ey = − ∂ Bx ∇ x ∂t ∂y ∂z ∂t ma entrambe le derivate rispetto a y e z del campo elettrico sono nulle, quindi si ottiene che la componente x del campo magnetico non varia nel tempo: ∂ Bx = 0; ∂t • la componente y del rotore del campo elettrico è data da: ~ ×E ~ = − ∂ By ⇐⇒ ∂ Ex − ∂ Ez = − ∂ By ∇ y ∂t ∂z ∂x ∂t ma la derivata rispetto a z del campo elettrico è nulla, mentre non lo è quella rispetto a x, quindi si ottiene che la variazione della componente y del campo magnetico nel tempo è uguale alla variazione della componente z del campo elettrico nella direzione x: ∂ ∂ By = Ez ; ∂t ∂x • la componente z del rotore del campo elettrico è data da: ~ ×E ~ = − ∂ Bz ⇐⇒ ∂ Ey − ∂ Ex = − ∂ Bz ∇ z ∂t ∂x ∂y ∂t ma la derivata rispetto a y del campo elettrico è nulla, mentre non lo è quella rispetto a x, quindi si ottiene che la variazione della componente z del campo magnetico nel tempo è uguale all’opposto della variazione della componente y del campo elettrico nella direzione x: ∂ ∂ Bz = − Ey . ∂t ∂x Il rotore del campo magnetico può essere scritto come: • la componente x del rotore del campo magnetico è data da: ~ ×B ~ = εµ ∂ Ex ⇐⇒ ∂ Bz − ∂ By = εµ ∂ Ex ∇ x ∂t ∂y ∂z ∂t ma entrambe le derivate rispetto a y e z del campo magnetico sono nulle, quindi si ottiene che la componente x del campo elettrico non varia nel tempo: ∂ Ex = 0; ∂t 141
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
Onde Elettromagnetiche
• la componente y del rotore del campo magentico è data da: ~ ×B ~ ∇
y
= εµ
∂ ∂ ∂ ∂ Ey ⇐⇒ Bx − Bz = εµ Ey ∂t ∂z ∂x ∂t
ma la derivata rispetto a z del campo magnetico è nulla, mentre non lo è quella rispetto a x, quindi si ottiene che il prodotto tra εµ e la variazione della componente y del campo elettrico nel tempo è uguale all’opposto della variazione della componente z del campo magnetico nella direzione x: 1 ∂ ∂ Ey = − Bz ; ∂t εµ ∂x • la componente z del rotore del campo magnetico è data da: ~ ×B ~ ∇
z
= εµ
∂ ∂ ∂ ∂ Ez ⇐⇒ By − Bx = εµ Ez ∂t ∂x ∂y ∂t
ma la derivata rispetto a y del campo magnetico è nulla, mentre non lo è quella rispetto a x, quindi si ottiene che il prodotto tra εµ e la variazione della componente z del campo elettrico nel tempo è uguale alla variazione della componente y del campo magentico nella direzione x: 1 ∂ ∂ Ez = By . ∂t εµ ∂x Il fatto che le componenti x dei campi siano costanti nel tempo potrebbero essere dovute alla presenza di una distribuzione di carica e di una corrente di conduzione costanti nel tempo, ma questo non è possibile in quanto si è supposto di essere in assenza di cariche e correnti; tali componenti hanno inoltre derivata nulla rispetto alla direzione x, quindi non variano in funzione di x,il che permette di concludere che le componenti x dei campi devono necessariamente essere nulle: Ex (x, t) = 0 e Bx (x, t) = 0. Questo risultato rafforza quanto ipotizzato dopo lo studio delle divergenze, ovvero che le onde si propaghino in direzione x e che le funzioni d’onda, date dai campi, si sviluppino solo sul piano y e z, quindi che le onde elettromagnetiche siano delle onde piane trasversali; tuttavia, questa non è altro che una supposizione che va dimostrata, quindi è necessario studiare la correlazione tra le componenti y e z dei campi. Le equazioni ottenute dallo studio dei rotori dei campi sono: ∂ ∂ Ez = By ∂x ∂t
∂ ∂ Ey = − Bz ∂x ∂t
∂ 1 ∂ Ez = By ∂t εµ ∂x
∂ 1 ∂ Ey = − Bz ∂t εµ ∂x
ma è finalmente giunto il momento di servirsi dell’equazione 6.2 a pagina 132, che stabilisce un legame tra derivate temporali e spaziali delle onde piane come: ∂ 1∂ ∂ ∂ ξ=− ξ ⇐⇒ −v ξ = ξ ∂x v ∂t ∂x ∂t 142
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
Onde Elettromagnetiche
dove è sufficiente ricordare che si è posto: εµ =
1 1 ⇐⇒ √ = v 2 v εµ
quindi le quattro equazioni rimanenti possono essere riscritte come: ∂ ∂ Ez = By ∂x ∂t
∂ ∂ Ey = − Bz ∂x ∂t
∂ ∂ Ez = vv By ∂t ∂x
∂ ∂ Ey = −vv Bz . ∂t ∂x
Si possono effettuare varie sostituzioni considerando le diverse equazioni: • considerando la prima equazione: ∂ ∂ Ez = By ∂x ∂t dove può essere operata la sostituzione: ∂ 1∂ Ez = − Ez ∂x v ∂t si ottiene che:
1∂ ∂ Ez = By v ∂t ∂t quindi, fissata la variabile spaziale come x = x0 , è possibile notare che: −
Ez (x0 , t) = −vBy (x0 , t) oppure si può operare la sostituzione: ∂ ∂ By = −v By ∂t ∂x da cui si ottiene che:
∂ ∂ Ez = −v By ∂x ∂x quindi, fissata la variabile temporale come t = t0 , è possibile notare che: Ez (x, t0 ) = −vBy (x, t0 ); • considerando la seconda equazione: ∂ ∂ Ey = − Bz ∂x ∂t dove può essere operata la sostituzione: ∂ 1∂ Ey = − Ey ∂x v ∂t si ottiene: −
1∂ ∂ Ey = − Bz v ∂t ∂t 143
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
Onde Elettromagnetiche
quindi, fissata la variabile spaziale come x = x0 , è possibile notare che: Ey (x0 , t) = vBz (x0 , t) oppure si può operare la sostituzione: ∂ ∂ Bz = −v Bz ∂t ∂x da cui si ottiene che:
∂ ∂ Ey = v Bz ∂x ∂x quindi, fissata la variabile temporale come t = t0 , è possibile notare che: Ey (x, t0 ) = vBz (x, t0 ). Nelle altre due equazioni è possibile osservare delle sostituzioni analoghe che portano agli stessi risultati. Dato che la componente y del campo elettrico è uguale al prodotto tra le velocità di propagazione e la componente z del campo magnetico sia fissando la variabile t e variando x, sia fissando x e variando t, è possibile dire che l’identità sussiste in generale: Ey (x, t) = vBz (x, t) ed un discorso analogo viene fatto per la componente z del campo elettrico, posta uguale all’opposto del prodotto tra la velocità di propagazione e la componente y del campo magnetico: Ez (x, t) = −vBy (x, t). Da queste osservazioni deriva che campo elettrico e campo magnetico si sviluppando solamente nelle componenti y e z, che sono legate tra loro, quindi è possibile parlare effettivamente di onde elettromagnetiche, che sono onde trasversali. Dallo studio appena condotto si possono quindi raccogliere tre informazioni molto importanti per definire la natura delle onde elettromagnetiche: • le componenti x di campo elettrico e campo magnetico sono nulle, cioè Ex = 0 e Bx = 0, quindi la funzione d’onda che caratterizza le onde elettromagnetiche si sviluppa solo sul piano yz, il che permette di concludere che sono onde trasversali; • la componenti y del campo elettrico è uguale al prodotto tra la componente z del campo magnetico e la velocità di propagazione dell’onda, cioè Ey = vBz ; • la componenti z del campo elettrico è uguale all’opposto del prodotto tra la componente y del campo magnetico e la velocità di propagazione dell’onda, cioè Ez = −vBy . Le tre relazioni che legano le componenti dei campi sono quindi: Ex = Bx = 0
Ey = vBz
144
Ez = −vBy .
(6.11)
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
Onde Elettromagnetiche
Da queste osservazioni è possibile ricavare finalmente la scrittura vettoriale dei due campi, considerando la loro dipendenza da spazio e tempo come x − vt: ~ = Ey (x − vt)ˆ E uy + Ez (x − vt)ˆ uz
~ = By (x − vt)ˆ e B uy + Bz (x − vt)ˆ uz
ed utilizzando le relazioni tra i campi dedotte si ottiene che: ~ = Ey (x − vt)ˆ E uy + Ez (x − vt)ˆ uz
~ = −Ez (x − vt)ˆ e vB uy + Ey (x − vt)ˆ uz
e queste due equazioni soddisfano tutte le proprietà di un’onda piana trasversale, come ipotizzato. Si conclude quindi che l’onda elettromagnetica generata dalla propagazione di un campo elettrico e di un campo magnetico variabili nel tempo in assenza di cariche e correnti è un’onda piana trasversale; inoltre, dato che il legame che intercorre tra i campi, si può dire che le onde elettromagnetiche sono delle onde armoniche.
6.2.2
Proprietà delle Onde Elettromagnetiche
Le onde elettromagnetiche hanno alcune proprietà particolari che le distingue dalle altre onde, prima fra tutte il fatto di essere dovute alla combinazione di un campo elettrico e di una campo magnetico. Esiste una relazione tra i moduli di questi due campi, data da: ~ 2 2 1 E2 |E| 2 2 2 2 ~ B = |B| = By + Bz = 2 (Ey + Ez ) = 2 = 2 v v v 2
ma questa relazione è vera se e solo se: E =v B
(6.12)
quindi la velocità di propagazione dell’onda stabilisce una precisa relazione tra i moduli dei campi che la generano. Calcolando il prodotto scalare tra il campo elettrico ed il campo magnetico che generano un’onda elettromagnetica si ottiene che: ~ ·B ~ = Ey By + Ez Bz E ma utilizzando la relazione che intercorre tra le componenti di campo elettrico e campo magnetico mostrate nell’equazione 6.11 nella pagina precedente si ottiene che: 1 1 1 ~ ~ E · B = Ey − Ez + Ez Ey = (−Ey Ez + Ez Ey ) = 0 v v v ma se il prodotto scalare tra due vettore è nullo, significa che questi sono ortogonali tra loro; un’onda elettromagnetica è quindi data da una campo elettrico e da un campo magnetico ortogonali tra loro. Calcolando il prodotto vettoriale tra il campo elettrico ed il campo magnetico che generano un’onda elettromagnetica si ottiene che: uˆx uˆy uˆz uˆx uˆy uˆz 1 ~ ×B ~ = det 0 Ey Ez = det 0 Ey Ez = (Ey 2 + Ez 2 )ˆ E ux v 1 1 0 By Bz 0 − v Ez v Ey 145
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
Onde Elettromagnetiche
dove è possibile identificare il quadrato del modulo del vettore campo elettrico ed utilizzare le relazioni che lo legano al campo magnetico: ~ ×B ~ = 1 E 2 uˆx = vB 2 uˆx = EB uˆx = vˆ E ux v ma dato che il prodotto vettoriale genera un vettore ortogonale ad entrambe i vettori di partenza e che tale vettore punta nella direzione di propagazione dell’onda, si ha la conferma di quanto già notato alla fine del paragrafo 4.2.1 a pagina 74, ovvero che i vettori campo elettrico, campo magnetico e velocità dell’onda sono sempre ortogonali tra loro e costituiscono quindi una terna di riferimento. Questa relazione permette inoltre di dire che la velocità con cui si propagano campo elettrico e campo sono uguali tra loro e nel vuoto è pari alla velocità della luce: 1 c= √ ε0 µ 0 ma se le onde si propagano all’interno di una mezzo materiale, la loro velocità va messa in relazione con le costanti ε e µ, che sono sempre maggiori rispettivamente di ε0 e µ0 ; in questo caso, la velocità di propagazione delle onde può essere calcolata come: 1 1 1 1 √ v=√ =√ =√ εµ ε0 µ0 ke km ε0 ke µ0 km da cui deriva che:
c . (6.13) ke km Per la propagazione di un’onda elettromagnetica in un mezzo materiale risulta inoltre utile definire una grandezza detta indice di rifrazione, indicato con n e dato dal rapporto tra la velocità dell’onda nel vuoto e la velocità nel mezzo: c p n = = ke km (6.14) v ma dato che nella maggior parte dei materiali la suscettività magnetica è prossima a 1, l’indice di rifrazione può essere approssimato con la sola radice quadrata della costante dielettrica relativa: p n = ke . v=√
L’ultima grandezza che risulta utile definire in stretta correlazione con le onde elettromagnetiche è la impedenza caratteristica del mezzo materiale, indicata con Z e definita come il prodotto tra la velocità di propagazione e la permeabilità magnetica assoluta: r 1 µ Z = µv = µ √ = (6.15) εµ ε ma questa grandezza può essere definita anche nel vuoto come: r µ0 Z0 = ε0 il che permette di mettere in relazione l’impedenza caratteristica del mezzo con l’impedenza caratteristica del vuoto, ricavando una relazione valida per i mezzi con km = 1: Z0 Z0 Z=√ = . n ke 146
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
6.2.3
Onde Elettromagnetiche
Intensità delle Onde Elettromagnetiche
Ricordando che l’intensità di un’onda trasversale è definita come la potenza media per unità di superficie, nel caso delle onde elettromagnetiche si devono considerare due densità di energia, quella del campo elettrico e quella del campo magnetico, rispettivamente pari a: 1 B2 1 ue = εE 2 e um = 2 2 µ dove viene quindi definita la densità di energia elettromagnetica come le somma di queste due: 1 1 B2 u = ue + um = εE 2 + . 2 2 µ A partire dalla densità di energia magnetica ed utilizzando l’equazione 6.12 a pagina 145 è possibile dire che: 1 B2 1 E2 1 = um = = εE 2 = ue 2 2 µ 2µ v 2 da cui deriva che densità di energia potenziale elettrica e densità di energia potenziale magnetica sono uguali tra loro, fatto che permette di esprimere la densità di energia elettromagnetica come: B2 u = 2ue = εE 2 = = 2um . µ Supponendo ora che la propagazione dell’onda elettromagnetica avvenga all’interno di un cilindro di superficie dΣ con velocità ~v e che tale vettore formi un angolo α con il vettore di superficie, l’energia contenuta nel cilindro può essere espressa come: dU = udτ dove il volume può essere calcolato considerando il prodotto tra la superficie del cilindro e la sua altezza, che a sua volta può essere calcolata come il prodotto della componente di velocità ortogonale alla superficie con il tempo di attraversamento dt: dU = udΣv cos(α)dt dove è possibile esplicitare la densità di energia elettromagnetica ed esprimere la componente di velocità ortogonale alla superficie come prodotto scalare: dU = εE 2 (~v · uˆn )dΣdt. Derivando ora questa espressione rispetto al tempo al fine di calcolare la potenza si ottiene: dP =
d U = εE 2 (~v · uˆn )dΣ dt
~ e definito vettore di Poynting, che permette di dove il vettore εE 2~v viene indicato con S scrivere la derivata temporale dell’energia come: ~ · uˆn )dΣ. dP = (S Il vettore di Poynting:
~ = εE 2~v = U~v S 147
(6.16)
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
Onde Elettromagnetiche
rappresenta un vettore che giace lungo la direzione di propagazione dell’onda e che contiene l’informazione sulla potenza per unità di superficie, quindi l’intensità dell’onda; una sua caratteristica interessante è data dal fatto che il suo modulo può essere calcolato come: S=
1 ~ ~ |E × B|. µ
Il valore medio del vettore di Poynting può essere calcolato considerando il valore medio del campo elettrico ed utilizzando la sua scrittura come funzione d’onda di un’onda armonica piana: ! ! Z Z 2 2 1 T 2 1 T 2 2 Sm = εEm v = vε E0 sin(kx − ωt) dt = vεE0 sin(kx − ωt) dt T 0 T 0 ed anche in questo caso si può sfruttare la relazione notevole dell’integrale: Z 2π 2 1 1 sin(θ) dθ = 2π 0 2 dove si è posto T = 2π, θ = kx − ωt, quindi il valore medio cercato vale: 1 Sm = vεE0 2 . 2 L’intensità dell’onda è ora data dal rapporto tra la potenza e la superficie, ma questa coincide con il valore medio del vettore di Poynting, il che permette di concludere che: 1 B0 2 1 = vu. I = Sm = vεE0 2 = v 2 2 µ Ricordando infine che:
(6.17)
1 1 n εv = ε √ = = εµ Z Z0
l’intensità può essere riscritta come: I=
6.2.4
1 n 2 E0 . 2 Z0
(6.18)
Lo Spettro delle Onde Elettromagnetiche
Una volta studiati approfonditamente tutti i parametri legati alle onde elettromagnetiche è possibile darne una classificazione in base a frequenza e lunghezza d’onda, in quanto queste onde sono delle onde armoniche. È ormai chiaro che le onde trasportano energia e le onde elettromagnetiche non fanno eccezione: più alta è la frequenza di un’onda, maggiore è l’energia che trasporta e maggiore è la sue capacità penetrante, cioè la capacità di attraversare gli ostacoli; tuttavia, le onde ad alta frequenza hanno anche una minor capacità di viaggio ed una minor tendenza ad aggirare gli ostacoli. Si espone ora una classificazione di massima delle onde elettromagnetiche nel vuoto in base a frequenza e lunghezza d’onda, cioè lo spettro delle onde. 148
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
Onde Elettromagnetiche
Onde Radio caratterizzate da frequenze tra 103 Hz e 1011 Hz e da lunghezze d’onda tra 106 m e 10−2 m, sono le onde capaci di coprire le distanze maggiori, ma sono anche quelle che trasportano la più bassa energia. Microonde caratterizzate da frequenze tra 1011 Hz e 1013 Hz e da lunghezze d’onda tra 10−2 m e 10−4 m, sono onde in grado di mettere in vibrazione i legami delle molecola d’acqua, fino al puntp di romperla. Onde Infrarosse caratterizzate da frequenze tra 1013 Hz e 1014 Hz e da lunghezze d’onda tra 10−2 m e 10−4 m, sono onde associate alle vibrazioni molecolari generiche e quindi alle emissioni termiche di un corpo. Onde Visibili caratterizzate da frequenze tra 4 · 1014 Hz e 8 · 1014 Hz e da lunghezze d’onda tra 0,8 · 10−6 m e 0,4 · 10−6 m, che rappresentano tutto lo spettro luminoso delle onde visibili e che quindi comprendono i colori, a partire dal rosso fino ad arrivare al violetto coprendo i colori dell’arcobaleno all’aumentare delle frequenza. Onde Ultraviolette caratterizzate da frequenze tra 1015 Hz e 1018 Hz e da lunghezze d’onda tra 10−6 m e 10−8 m, sono onde ad alta energia capaci di spezzare ed alterare molti dei legami molecolari, quindi particolarmente dannose. Raggi X caratterizzati da frequenze tra 1018 Hz e 1020 Hz e da lunghezze d’onda tra 10−8 m e 10−10 m, sono onde in grado di attraversare la maggior parte dei materiali a bassa densità, ma vengono fermate da materiali con densità maggiore, motivo per cui trovano una vasta applicazione in campo medico. Raggi γ caratterizzati da frequenze tra 1020 Hz e 1023 Hz e da lunghezze d’onda tra 10−10 m e 10−14 m, sono le onde a più alta energia finora conosciute e rappresentano un sorta di eccezione, in quanto sono anche in grado di coprire grandi distanze senza manifestare dissipazioni significative di energia. Naturalmente, tutte queste onde si propagano nel vuoto con velocità pari alla velocità della luce, cioè: c = 299 792 458 m s−1 .
6.2.5
Doppia Natura delle Onde Elettromagnetice
Nello studio dei fenomeni fisici correlati alle onde elettromagnetiche si sono rivelati di fondamentale importanza i contributi della meccanica quantistica ed uno dei maggiori è la definizione della doppia natura delle onde elettromagnetiche. Secondo la meccanica quantistica, l’energia trasportata nella propagazione delle onde elettromagnetiche può essere interpretata come la quantità di moto di una particella definita fotone, che si muove nella stessa direzione dell’onda; questo risultato è stato ottenuto notando che l’energia delle onde è quantizzata, cioè è sempre espressa come un multiplo di una certa quantità elementare detta quanto di energia. L’energia di un’onda elettromagnetica può essere messa in relazione con la sua frequenza grazie all’equazione di Planck : U = hν (6.19)
149
6.2 Le Onde Elettromagnetiche
Onde Elettromagnetiche
dove h rappresenta la costante di Planck e grazie a questa equazione è possibile stabilire un legame tra la quantità di moto di un’onda e l’energia da essa trasportata: p=
U hν h = = . c c λ
Un’onda elettromagnetica possiede quindi una doppia natura: • una natura ondulatoria, che permette di studiare i fenomeni ondulatori dovuti alla propagazione dell’onda stessa; • una natura corpuscolare, che permette di analizzare gli scambi di energia tra le onde come collisioni tra particella in moto. Dato che le onde elettromagnetiche possono essere viste come fasci di fotoni in moto, è lecito chiedersi se sia possibile calcolare il numero di particelle che compongono un’onda; questo calcolo è possibile e viene condotto come: Nγ =
I hν
ed è possibile notare che il numero di fotoni in moto rappresenta il rapporto tra l’intensità dell’onda e l’energia ad essa associata. Si presti particolare attenzione al simbolo γ posto al pedice di N : i fotoni vengono infatti convenzionalmente indicati con γ, ma non si deve confondere questa loro rappresentazione i raggi γ; a tutte le onde sono associati dei fotoni, mentre le onde γ rappresentano semplicemente dei particolari tipi di fotoni. L’intero studio quantistico che permette di verificare i risultati appena presentati si fonda completamente sull’energia associata all’onda elettromagnetica, che è infatti il legame tra la sua interpretazione ondulatoria e corpuscolare.
6.3
Fenomeni Ondulatori
Per fenomeni ondulatori si intendono tutti i fenomeni fisici connessi alla natura ondulatoria delle onde elettromagnetiche, esempi dei quali sono la riflessione, la dispersione o la rifrazione, che verranno studiati in questa sezione. Si distingua correttamente tra i fenomeni ondulatori ed i fenomeni di interazione riguardanti le onde elettromagnetiche: • i fenomeni ondulatori sono connessi al natura ondulatoria dell’onda osservata ed avvengono anche con una sola onda; • i fenomeni di interazione sono connessi, appunto, alle interazioni tra diverse onde elettromagnetiche, quindi presuppongono la presenza di almeno due onde. I fenomeni di interazione, un esempio dei quale è l’interferenza tra le onde, verranno studiati in seguito.
150
6.3 Fenomeni Ondulatori
6.3.1
Onde Elettromagnetiche
Propagazione delle Onde nei Mezzi Materiali
Si vuole ora capire come cambino i parametri di un’onda elettromagnetica quando questa si propaga attraverso diversi mezzi materiali; è chiaro che un mezzo materiale è caratterizzato da una certa costante dielettrica assoluta ε = ke ε0 e da una certa permeabilità magnetica µ = km µ0 ed è altrettanto chiaro che l’espressione della velocità di un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto: 1 c= √ ε0 µ 0 può essere messa in relazione con l’espressione della velocità di un’onda elettromagnetica che si propaga nel mezzo materiale: 1 v=√ εµ ottenendo che queste sono messe in relazione dall’indice di rifrazione: p c ke km = n = v come è già stato fatto nel paragrafo 6.2.2 a pagina 145. L’indice di rifrazione di un materiale si rivela quindi fondamentale nello studio dei fenomeni ondulatori, in quanto stabilisce un importante legame tra la velocità di un’onda nel vuoto e la velocità della stessa in un mezzo materiale ad indice di rifrazione n come: c v= . n Nota la definizione di indice di rifrazione e ricordando che la costante dielettrica assoluta e la permeabilità magnetica relativa sono sempre maggiori di 1, anche n risulta essere maggiore di 1, il che significa che la velocità dell’onda in un mezzo materiale è sempre minore di c in proporzione al valore di n. Ricordando ora che le onde elettromagnetiche sono onde armoniche piane e che sono quindi caratterizzate da una frequenza e da una lunghezza d’onda, che possono essere messe in relazione con la velocità di propagazione dell’onda grazie all’equazione 6.7 a pagina 135, si possono fare delle considerazione estremamente interessanti sul moto delle onde attraverso mezzi materiali diversi. Si consideri un’onda elettromagnetica caratterizzata dalla pulsazione ω e dal numero d’onda k che si propaga in due mezzi materiali diversi tra loro con indici di rifrazione n1 e n2 . La pulsazione dell’onda è definita dalla sua frequenza come ω = 2πν ed è quindi una caratteristica intrinseca dell’onda dovuta alla sua sorgente, che quindi è completamente indipendente dal mezzo di propagazione; tuttavia, la velocità dell’onda cambia nei mezzi n1 e n2 , infatti vale rispettivamente: c c e v2 = . v1 = n1 n2 Dato il legame tra frequenza e lunghezza d’onda mostrato nell’equazione 6.7 a pagina 135 e dato che la frequenza dell’onda non cambia, è possibile notare che la lunghezza d’onda varia a seconda del mezzo attraversato e vale: λ1 = νv1
e λ2 = νv2 151
6.3 Fenomeni Ondulatori
Onde Elettromagnetiche
rispettivamente in n1 ed in n2 ; come conseguenza della variazione della lunghezza d’onda, anche il numero d’onda varia, portandosi ai valori: k1 =
2π λ1
e k2 =
2π . λ2
Tornando ora a calcolare il rapporto tra le lunghezze d’onda nei due mezzi materiali, questo vale: λ1 v1 = λ2 v2 dove si moltiplica e divide il secondo membro per la velocità della luce: λ1 v1 c λ1 v1 c λ1 n2 = ⇐⇒ = ⇐⇒ = λ2 v2 c λ2 c v2 λ2 n1 ed è finalmente possibile mettere in relazione le lunghezze d’onda nei mezzi materiali coi rispettivi indici di rifrazione: n1 λ1 = n2 λ2 ⇐⇒ λ2 =
n1 λ1 . n2
Questa equazione permette di dire che quando un’onda elettromagnetica si sposta da un materiale con indice di rifrazione minore ad un materiale con indice di rifrazione maggiore la sua lunghezza d’onda diminuisce e di conseguenza anche la sua velocità diminuisce in modo che il loro rapporto rimanga costantemente pari alla frequenza dell’onda; considerando infatti il passaggio dal vuoto, per il quale n0 = 1 e λ = λ0 ad un materiale con indice di rifrazione n, la nuova lunghezza d’onda è data da: λ=
λ0 n
che è certamente minore di λ0 . Si conclude quindi ricordando due osservazioni importanti: • la frequenza di un’onda elettromagnetica è indipendente dal mezzo di propagazione, in quanto è funzione della sola sorgente; • la lunghezza d’onda varia a seconda del mezzo di propagazione, in quanto essa è messa in relazione con la velocità dell’onda che è a sua volta messa in relazione con l’indice di rifrazione del materiale.
6.3.2
Riflessione e Rifrazione delle Onde
I fenomeni di riflessione e rifrazione si verificano quando un’onda elettromagnetica incide sulla superficie di separazione con un mezzo materiale; sperimentalmente, è possibile osservare che un’onda che incontra un mezzo materiale viene in parte riflessa dalla superficie di separazione ed in parte trasmessa attraverso il mezzo. Considerando un’onda piana armonica descritta dalla funzione d’onda: ξi = ξ0 i cos(~ki · ~r − ωt) che incida sulla superficie di separazione di un mezzo materiale con angolo θi rispetto alla normale alla superficie, è possibile notare che vengono originate altre due onde: 152
6.3 Fenomeni Ondulatori
Onde Elettromagnetiche
• un’onda riflessa che rimbalza sulla superficie di separazione e si propaga all’esterno del mezzo materiale, descritta dalla funzione d’onda: ξr = ξ0 r cos(~kr · ~r − ωt) e la cui direzione di propagazione forma un angolo θr con la normale alla superficie; • un’onda trasmessa che attraversa la superficie di separazione e si propaga all’interno del mezzo materiale, descritta dalla funzione d’onda: ξt = ξ0 t cos(~kt · ~r − ωt) e la cui direzione di propagazione forma un angolo θt con la normale alla superficie. Si vuole cercare di comprendere quali sono le leggi che governano questo fenomeno. È chiaro che le tre onde si incontrano tutte nello stesso punto, cioè dove l’onda “iniziale” incide sulla superficie di separazione, ed è noto che l’energia dell’onda incidente deve conservarsi. Esistono tre leggi fondamentali che regolano i fenomeni di riflessione e rifrazione: 1. la condizione di raccordo, espressa come: ~ki · ~r = ~kr · ~r = ~kt · ~r
(6.20)
che è un’equazione di continuità ed assicura che i vettori di propagazione associati alle onde appartengano tutti allo stesso piano, detto piano di incidenza ed indicato con π; 2. la condizione di riflessione, espressa come: θi = θr
(6.21)
che dice che l’angolo tra la direzione di propagazione dell’onda incidente e la normale alla superficie è identico all’angolo tra la direzione di propagazione dell’onda riflessa e la normale alla superficie; 3. la legge di Snell, espressa come: sin(θi ) v1 n2 = = sin(θt ) v2 n1
(6.22)
dove v1 è la velocità dell’onda incidente in noto nel mezzo n1 e v2 è la velocità dell’onda trasmessa al mezzo n2 , che permette di definire i parametri dell’onda trasmessa conoscendo quelli dell’onda incidente e nota la natura dei mezzi materiali attraversati. La legge di Snell viene spesso espressa anche nella forma: n1 sin(θi ) = n2 sin(θt ) e permette di fare molte considerazioni interessanti, a partire dal capire come cambia l’angolo dell’onda trasmessa a seconda degli indici di rifrazioni dei materiali: 153
6.3 Fenomeni Ondulatori
Onde Elettromagnetiche
• se n2 > n1 , si ha che:
n1 sin(θi ) n2 dove il rapporto tra gli incidi di rifrazione è minore di 1, quindi si ha che: sin(θt ) =
sin(θt ) < sin(θi ) ⇐⇒ θt < θi cioè l’angolo di trasmissione è minore dell’angolo di incidenza, il che significa che la direzione di propagazione dell’onda trasmessa si avvicina alla direzione normale alla superficie di separazione; • se n2 < n1 , si ha che:
n1 sin(θi ) n2 dove il rapporto tra gli incidi di rifrazione è maggiore di 1, quindi si ha che: sin(θt ) =
sin(θt ) > sin(θi ) ⇐⇒ θt > θi cioè l’angolo di trasmissione è maggiore dell’angolo di incidenza, il che significa che la direzione di propagazione dell’onda trasmessa si allontana dalla direzione normale alla superficie di separazione. Il fenomeno della rifrazione di un’onda elettromagnetica consiste proprio nella variazione d’angolo subita dall’onda trasmessa nell’attraversamento di una superficie di separazione tra due materiali ad indice di rifrazione diverso, motivo per cui l’onda trasmessa viene anche detta onda rifratta. Se ci si trova nel caso della seconda osservazione, ossia quando l’onda trasmessa si trova in un mezzo con indice di rifrazione maggiore rispetto al mezzo in cui si trova l’onda incidente, si può pensare di aumentare l’angolo di incidenza fino al caso limite in cui l’onda trasmessa viene propagata lungo la superficie di separazione, cioè si propaga con angolo θt = π/2; il valore dell’angolo di incidenza perché si verifichi questo caso può essere calcolato sfruttando la legge di Snell ed imponendo che θt = π/2: π n2 n1 sin(θiL ) = n2 sin ⇐⇒ n1 sin(θiL ) = n2 ⇐⇒ sin(θiL ) = 2 n1 da cui si ottiene che: θiL
n2 = arcsin . n1
(6.23)
Questo angolo viene definito angolo limite ed è il massimo angolo di incidenza ammissibile perché si abbia trasmissione; oltre questo angolo si ha che l’angolo di trasmissione è maggiore di π/2, quindi l’onda incidente viene completamente riflessa. Questo fenomeno viene infatti definito riflessione totale ed è il principio sul quale si fonda il funzionamento dalla fibra ottica, che è infatti un mezzo in grado di dare un fenomeno di riflessione totale al suo interno, intrappolando le onde elettromagnetiche e facendole viaggiare lungo essa. L’esistenza dell’angolo limite è una caratteristica intrinseca della coppia di materiali ed una condizione fondamentale perché quest’angolo esista è che l’onda incidente si trovi nel mezzo con indice di rifrazione minore. 154
6.3 Fenomeni Ondulatori
6.3.3
Onde Elettromagnetiche
Dispersione delle Onde
Il fenomeno di dispersione delle onde elettromagnetiche si verifica quando un fascio di onde incide sulla superficie di separazione tra due mezzi materiali. Per prima cosa è bene dire che un fascio di onde è dato da un’onda elettromagnetica originata dalla sovrapposizione di più onde a lunghezza l’onda diversa tra loro. Si consideri, ad esempio, un fascio di luce bianca, data dalla sovrapposizione di tutte le onde elettromagnetiche nel campo visibile; quando il fascio incide sulla superficie di separazione tra mezzi materiali è logico che tutte le onde che lo compongono abbiano lo stesso angolo di incidenza, ma è possibile notare che il fascio di luce trasmessa “si apre”. Nel fenomeno, le onde rosse, cioè quelle a bassa frequenza, tendono ad allontanarsi dalla normale alla superficie, mentre le onde blu, cioè quelle ad alta frequenza, tendono ad avvicinarsi alla normale alla superficie; le onde ad alta frequenza hanno quindi un angolo di trasmissione minore delle onde a bassa frequenza. Questo fenomeno viene detto dispersione delle onde elettromagnetiche e si verifica solamente con i fasci di onde; su di esso si basa la formazione dell’arcobaleno, dove la luce solare viene rifratta dalle gocce d’acqua sospese nell’atmosfera. Dopo che il fascio di luce è stato disperso, una seconda incidenza sulla superficie di separazione tra i due mezzi materiali permette di “raddrizzare” le onde che compongono il fascio, che vengono però rese parallele dato che la prima incidenza ha causato l’apertura del fascio e che quindi le onde che lo compongono incidono in punti diversi sulla seconda superficie; su questo concetto si fonda il funzionamento del prisma ottico che permette appunto di separare un fascio di onde nelle sue componenti. L’esempio di effetto del prisma più noto, al punto da essere diventato un icona, è quello dell’immagine di copertina dell’album The Dark Side of the Moon, rilasciato nel 1973 dalla band britannica Pink Floyd. Esempio di Utilizzo dei Fenomeni Ondulatori Si supponga di poter osservare un moneta posta sul fondo di una piscina piena d’acqua di profondità h = 2 m, per la quale è noto l’indice di rifrazione, pari a n = 1, 33; assumendo l’indice di rifrazione dell’aria pari a n0 = 1, si vuole calcolare l’altezza apparente della moneta se essa viene osservata da un’angolo θ = 41,6823° con la direzione normale allo specchio d’acqua. La visione della moneta è possibile grazie al fatto che la luce che riflette viaggia attraverso l’acqua della piscina con angolo α rispetto alla normale alla sua superficie, ma viene deviata dalla stessa e solo dopo questo fenomeno raggiunge l’occhio dell’osservatore. Si considera l la distanza percorsa dall’onda in acqua, d la distanza tra il punto di impatto nell’onda e la normale alla superficie passante per la moneta, in modo da identificare un triangolo rettangolo i cui cateti sono d e h, la cui ipotenusa è l ed il cui angolo tra h e l è α; si considera inoltre h0 la profondità apparente della moneta e l0 la lunghezza che l’onda percorrerebbe in acqua se la moneta si trovasse a quest’altezza, in modo da identificare un secondo triangolo rettangolo i cui cateti sono d e h0 , la cui ipotenusa è l0 ed il cui angolo tra h e l è, per costruzione, θ. Prima di tutto, l’angolo α può essere calcolato grazie alla legge di Snell: sin(θ) n0 sin(θ) = n sin(α) ⇐⇒ α = arcsin = 30° n 155
6.3 Fenomeni Ondulatori
Onde Elettromagnetiche
e si possono ora applicare le relazioni trigonometriche ai due triangoli, ottenendo che: ) ) d = l0 sin(θ) d = l sin(α) d d =⇒ 0 = tan(θ) =⇒ = tan(α) e 0 0 h h h = l cos(θ) h = l cos(α) e dato che il termine d è comune ad entrambe le relazioni, questo può essere ricavato come: d = h tan(α) e d = h0 tan(θ) da cui è possibile calcolare h0 come: h0 = h
tan(α) = 1,3 m. tan(θ)
Esempio di Utilizzo dei Fenomeni Ondulatori Una stella emette luce monocromatica che incide sull’atmosfera con un angolo θi e che viene deviata dall’atmosfera stessa, il cui indice di rifrazione decresce progressivamente fino a giungere ad un valore al suolo di circa n3 = 1,000 029; si vuole calcolare l’angolo col quale la luce della stella incide sull’atmosfera se essa viene osservata dal suolo con un angolo di 50°. L’andamento dell’indice di rifrazione dell’atmosfera terrestre è continuo, in quanto l’atmosfera cambia di densità e composizione man mano che ci si avvicina allo spazio, dove l’indice di rifrazione è quello del vuoto e vale n0 = 1; generalmente, l’atmosfera viene approssimata con un modello a tre strati con indici di rifrazione via via crescenti a partire dallo spazio fino al suolo, dove gli indici sono n0 < n1 < n2 < n3 . In questo modo, la luce che arriva dalla stella indice con angoli via via decrescenti sulle “superfici di separazione” tra i vari stati, avvicinandosi man mano alla normale a tali superfici; precisamente, considerando l’angolo di incidenza come θi , si avranno tre spostamenti sulle tre superfici, dove le onde trasmesse avranno angoli di trasmissione θ1 < θ2 < θ3 . Per calcolare l’angolo richiesto, si può pensare di applicare la legge di Snell ad ogni coppia di strati, cioè: ni−1 sin(θi ) = ni θi−1 per i = 1, 2, 3 ovvero: n3 sin(θ3 ) = n2 sin(θ2 )
n2 sin(θ2 ) = n1 sin(θ1 )
n1 sin(θ1 ) = n0 sin(θ0 )
per cui si ottiene una catena di uguaglianze: n3 sin(θ3 ) = n2 sin(θ2 ) = n1 sin(θ1 ) = n0 sin(θ0 ). Questo è uno dei fatti più interessanti della legge di Snell, nella cui applicazione a più superfici di separazione fra strati contigui non ha alcuna rilevanza conoscere i parametri dei materiali interni, ma solo quelli dei due strati più esterni. La legge applicata ai tre starti del modello atmosferico risulta infatti essere: n3 sin(θ3 ) = n0 sin(θ0 ) e ricordando che n0 = 1, si ha che: θ0 = arcsin n3 sin(θ3 ) = 50,002°. 156
6.3 Fenomeni Ondulatori
6.3.4
Onde Elettromagnetiche
Intensità e Potenza Trasmessa e Riflessa
Nella sezione 6.1.5 a pagina 137 si è discusso della polarizzazione delle onde ma questa caratteristica delle onde non è ancora stata citata nello studio dei fenomeni ondulatori; naturalmente, se l’onda non è polarizzata, l’unico studio effettuabile sui fenomeni ondulatori riguarda le proprietà angolari viste nei paragrafi di questa sezione, ma se l’onda è polarizzata si possono fare alcune considerazioni aggiuntive. Ricordando quanto detto all’inizio del paragrafo 6.3.2 a pagina 152 circa le onde incidente, riflessa e trasmessa, è noto che ogni onda è caratterizzata da un campo magnetico e da un campo elettrico ortogonali tra loro ed ortogonali alla direzione di propagazione dell’onda; inoltre, dalla condizione di raccordo è noto che le tre onde si propagano sul piano di incidenza π. La polarizzazione di un’onda elettromagnetica viene sempre riferita al vettore campo elettrico, quindi si possono avere due tipi di polarizzazione: • se i vettori campo elettrico delle tre onde sono sempre contenuti nel piano π, allora le onde si dicono in polarizzazione π; • se i vettori campo elettrico delle tre onde sono sempre ortogonali al piano π, direzione individuata come σ, allora le onde si dicono in polarizzazione σ. Naturalmente, dato che campo elettrico e campo magnetico sono sempre ortogonali tra loro, se le onde sono in polarizzazione π i campi magnetici sono orientati in direzione σ, mentre le se onde sono in polarizzazione σ i campi magnetici sono contenuti nel piano π. Si considera per prima la situazione della polarizzazione π, quindi con i campi elettrici contenuti nel piano π e con i campi magnetici orientati in direzione σ; i campi che compongono un’onda elettromagnetica hanno a tutti gli effetti le caratteristiche di un’onda, quindi l’andamento dei campi in ciascuna delle onde è descritto dalle funzioni d’onda: ~ i = Ei0 cos(~ki · ~r − ωt) E ~ r = Er0 cos(~kr · ~r − ωt) E ~ t = Ei0 cos(~kt · ~r − ωt) E
~ i = Bi0 cos(~ki · ~r − ωt) B ~ r = Br0 cos(~kr · ~r − ωt) B ~ t = Bt0 cos(~kt · ~r − ωt) B
Considerando il campo elettrico, è possibile definire il coefficiente di riflessione in polarizzazione π: Er π tan(θi − θt ) rπ = π0 = (6.24) Ei 0 tan(θi + θt ) dove il π in apice all’ampiezza dei campi elettrici è per ricordare che essi appartengono al piano π, che rappresenta la frazione di campo elettrico riflesso ed analogamente è possibile definire il coefficiente di trasmissione in polarizzazione π: tπ =
Et π0 2 sin(θt ) cos(θi ) π = Ei 0 sin(θi + θt ) cos(θi − θt )
(6.25)
che rappresenta la frazione di campo elettrico trasmesso. Al fine di abbreviare le formule ed alleggerire le notazioni, si può porre: θ+ = θi + θt
e θ− = θi − θt 157
6.3 Fenomeni Ondulatori
Onde Elettromagnetiche
in modo da esprimere i coefficienti di riflessione e di trasmissione come: rπ =
tan(θ− ) tan(θ+ )
e tπ =
2 sin(θt ) cos(θi ) . sin(θ+ ) cos(θ− )
Questi due coefficienti vengono definiti coefficienti di Fresnel relativi al piano π e permettono di calcolare le ampiezze delle onde riflessa e trasmessa conoscendo l’ampiezza dell’onda incidente, l’angolo di incidenza e gli indici di rifrazione dei mezzi (questi tre dati permettono di servirsi della legge di Snell per calcolare l’angolo di trasmissione). Una volta note le ampiezze delle onde è possibile calcolarne le intensità grazie all’equazione 6.18 a pagina 148: n1 n1 n2 Iiπ = (Ei π0 )2 Irπ = (Er π0 )2 Itπ = (Et π0 )2 2Z0 2Z0 2Z0 dove si ricorda che Z0 è l’impedenza caratteristica del vuoto definita come: r µ0 Z0 = . ε0 Se fossero note anche le superfici coperte dalle onde, sarebbe possibile anche calcolarne le potenze trasmesse; considerando come Σ0 la superficie illuminata dall’onda incidente, le tre superfici delle onde sono calcolabili a partire da questa grazie agli angoli delle onde: Σi = Σ0 cos(θi )
Σr = Σ0 cos(θr )
Σt = Σ0 cos(θt )
ma è bene notare che la superficie di incidenza è uguale alla superficie di trasmissione, dato anche anche i relativi angoli sono uguali. Generalmente, non è direttamente nota la superficie illuminata, ma solamente la superficie dell’onda incidente che comunque permette di ricavare la superficie illuminata. Note le superfici, le potenze medie trasmesse dalle onde sono date da: Wiπ = Σi Iiπ
Wrπ = Σr Irπ
Wtπ = Σt Itπ .
È inoltre possibile calcolare le frazioni di potenza trasmessa e riflessa, a partire dalla frazione di potenza riflessa, data da: Rπ =
Wrπ Σr Irπ = Wiπ Σi Iiπ
le due superfici di trasmissione e di riflessione sono uguali, quindi rimane solo il rapporto delle intensità: n1 (Er π0 )2 Irπ (Er π0 )2 2Z0 Rπ = π = n1 = Ii (Ei π0 )2 (Ei π0 )2 2Z0 ma il quadrato del rapporto tra le ampiezze dei campi è pari al quadrato del coefficiente di riflessione, quindi si arriva a dire che: Rπ = rπ 2 . Considerando ora la frazione di potenza trasmessa, si ha che: Tπ =
Wtπ Σt Itπ = Wiπ Σi Iiπ 158
6.3 Fenomeni Ondulatori
Onde Elettromagnetiche
e stavolta le due superfici non sono uguali tra loro: n2 cos(θt ) 2Z (Et π0 )2 n2 cos(θt ) (Et π0 )2 Σ0 cos(θt )Itπ 0 = Tπ = = n1 Σ0 cos(θi )Iiπ n1 cos(θi ) (Ei π0 )2 (Ei π0 )2 cos(θi ) 2Z 0
ma è comunque possibile notare che il quadrato del rapporto tra le ampiezze dei campi è pari al quadrato del coefficiente di trasmissione, quindi si arriva a dire che: Tπ =
n2 cos(θt ) 2 tπ . n1 cos(θi )
Dato che i coefficienti di trasmissione e riflessione della potenza sono due coefficienti percentuali e che nel processo non si ha dissipazione di energia, la loro somma deve essere unitaria: Rπ + Tπ = 1. Questa trattazione può essere condotta in modo analogo considerando la situazione della polarizzazione σ, quindi con i campi elettrici ortogonali al piano π ed orientati in direzione σ e con i campi magnetici contenuti nel piano π; in questo caso, i coefficienti di Fresnel sono: Er σ0 sin(θi − θt ) (6.26) rσ = σ = Ei 0 sin(θi + θt ) e: Et σ 2 sin(θt ) cos(θi ) tσ = σ0 = (6.27) Ei 0 sin(θi + θt ) ed anche in questo caso si può porre θ± = θi ± θt in modo da esprimere i coefficienti di riflessione e di trasmissione come: rσ =
sin(θ− ) sin(θ+ )
e tσ =
2 sin(θt ) cos(θi ) . sin(θ+ )
Inoltre, anche in questo caso valgono le relazioni: Rσ = rσ 2
e Tσ =
n2 cos(θt ) 2 tσ n1 cos(θi )
ed è quindi sempre valido che: Rσ + Tσ = 1.
6.3.5
Casi Particolari di Riflessione e Rifrazione
In questo paragrafo si intendono presentare tre casi molto interessanti connessi con i fenomeno ondulatori, che permettono di mettere in luce alcune delle peculiarità che si possono incontrare nello studio delle onde. Incidenza Normale Un caso particolarmente interessante dei fenomeni di riflessione rifrazione è quello in cui l’onda incidente si propaga ortogonalmente alla superficie di separazione, quindi l’angolo di incidenza tende a 0. 159
6.3 Fenomeni Ondulatori
Onde Elettromagnetiche
Particolare rilevanza assume il caso di polarizzazione σ; la legge di Snell rimane sempre e comunque valida: n1 sin(θi ) = n2 sin(θt ) ma dato che l’angolo θi tende a 0, quindi anche θt tende a 0, il seno di questi angoli può essere approssimato con gli angoli stessi: n1 θi = n2 θt quindi il coefficiente di riflessione mostrato nell’equazione 6.26 nella pagina precedente diventa: θi − θt rσ = θi + θt che può anche essere espresso come: rσ =
n1 − n2 n1 + n2
quindi gli angoli vengono equiparati agli indici di rifrazione dei materiali. Considerando invece il coefficiente di trasmissione mostrato nell’equazione 6.27 nella pagina precedente, questo diventa: 2θt tσ = θi + θt che può anche essere espresso come: tσ =
2n1 n1 + n2
ed anche in questo caso gli angoli vengono equiparati agli indici di rifrazione. Le espressioni di questi coefficienti sono riferite al caso della polarizzazione σ, ma possono essere utilizzate anche nel caso di luce non polarizzata, come verrà mostrato a breve. Si possono fare alcune osservazioni interessanti circa l’onda riflessa a seconda di qual è l’indice di rifrazione maggiore; l’onda trasmessa prosegue infatti il suo cammino inalterata, ma l’onda riflessa cambia: • se n2 < n1 allora rσ > 0, il che significa che l’ampiezza del campo elettrico nell’onda riflessa ha lo stesso segno dell’ampiezza del campo elettrico dell’onda incidente, quindi il campo elettrico mantiene lo stesso verso sia nell’onda incidente che nell’onda riflessa, mentre il campo magnetico cambia verso; • se n2 > n1 allora rσ < 0, il che significa che l’ampiezza del campo elettrico nell’onda riflessa ha segno opposto dell’ampiezza del campo elettrico dell’onda incidente, quindi il campo elettrico ha versi opposti nell’onda incidente e nell’onda riflessa, mentre il campo magnetico mantiene lo stesso verso. In entrambe i casi, il campo elettrico rimane comunque polarizzato, ma cambia verso a seconda dei casi, il che significa che si ha una variazione di fase: • se n2 < n1 la fase dal campo elettrico nell’onda incidente e nell’onda riflessa non cambia; • se n2 > n1 la fase dal campo elettrico nell’onda incidente e nell’onda riflessa viene invertita. 160
6.3 Fenomeni Ondulatori
Onde Elettromagnetiche
Angolo di Brewster Un secondo caso interessante, stavolta riguardante la polarizzazione π, dove il coefficiente di riflessione mostrato nell’equazione 6.24 a pagina 157 assume la forma: rπ =
tan(θi − θt ) tan(θi + θt )
è quando θi + θt → π/2, cioè quando la tangente al denominatore tende a +∞ annullando di conseguenza il coefficiente di riflessione. Questa condizione significa che non si ha campo elettrico riflesso sul piano π in quanto la sua ampiezza è nulla, ma solamente campo elettrico trasmesso; per capire quando si verifica questo fenomeno, si studia la legge di Snell imponendo che θi + θt = π/2: sin(θi ) n n2 n2 sin(θi ) sin(θi ) sin(θi ) n2 = 2 ⇐⇒ = = ⇐⇒ ⇐⇒ = π π sin(θt ) n1 n1 n1 cos(θi ) n1 sin 2 − θi sin 2 cos(θi ) dove è possibile individuare la tangente dell’angolo di incidenza: tan(θi ) = da cui:
n2 n1
n2 θB = arctan n1
(6.28)
dove l’angolo θB viene detto angolo di Brewster. L’angolo di Brewster è uno speciale valore dell’angolo di incidenza nel quale l’onda riflessa è caratterizzata dall’avere una campo elettrico nullo, quindi dal contenere solo componenti in direzione σ date dal campo magnetico. Formalmente, l’angolo di Brewster è simile all’angolo limite di riflessione totale mostrato nell’equazione 6.23 a pagina 154, ma non si devono confondere: l’angolo limite di riflessione totale esiste solo se n1 > n2 e regola un particolare meccanismo di riflessione, cioè quando non esiste la componente dell’onda trasmessa, mente l’angolo di Brewster esiste sempre ed è relativo alla polarizzazione delle onde. Polarizzazione per Riflessione L’ultimo caso interessante in relazione ai fenomeni ondulatori, nonché uno dei più utili è quello della polarizzazione per riflessione. L’angolo di Brewster appena presentato ha infatti delle caratteristiche molto interessanti che permettono di espandere il suo studio al caso in cui l’onda indicente non sia polarizzata. Un fascio di luce non polarizzata viene detto luce ordinaria e, per quanto detto sulla polarizzazione del paragrafo 6.1.5 a pagina 137, è chiaro che non esiste una legge che definisce a priori l’evoluzione dell’angolo del campo elettrico e del campo magnetico sul piano ortogonale alla direzione di propagazione dell’onda, quindi i due campi possono essere considerati equamente distribuiti in tra il piano π e la direzione σ; tuttavia, è possibile osservare sperimentalmente che quando il fascio di luce incide sulla superficie di separazione tra due mezzi materiali proprio all’angolo di Brewster, la luce riflessa risulta essere polarizzata linearmente in direzione σ. 161
6.3 Fenomeni Ondulatori
Onde Elettromagnetiche
Questo fenomeno viene detto polarizzazione per riflessione e si verifica solamente nel caso in cui l’angolo di incidenza coincida con l’angolo di Brewster, che si ricorda avere la caratteristica di annullare completamente il coefficiente di riflessione sul piano π; ricordando quanto appena detto, il meccanismo della polarizzazione per riflessione risulta essere logico, in quanto l’onda riflessa viene privata di qualsiasi componente distribuita sul piano π. Prima di presentare un esempio su alcuni dei casi particolari dei fenomeni ondulatori, si ragiona sulla potenza trasportata da un fascio di luce ordinaria (anche se tutto quello che verrà detto è valido anche per l’intensità). Considerando una fascio di luce che trasporti una generica potenza W , tale potenza viene distribuita in modo diverso a seconda delle caratteristiche dell’onda: • se l’onda è polarizzata sul piano π, allora tutta la potenza da essa trasportata si trova sul piano π; • se l’onda è polarizzata in direzione σ, allora tutta la potenza da essa trasportata si trova in direzione σ; • se l’onda non è polarizzata, quindi è un fascio di luce ordinaria, allora la potenza da essa trasportata viene distribuita equamente sul piano π ed in direzione σ, quindi valgono le relazioni: W W Wπ = e Wσ = . 2 2 Quanto appena osservato sulla potenza, oltre che per l’intensità, è naturalmente valido anche per le frazioni di onda trasmessa e riflessa. Esempio di Casi Particolari di Fenomeni Ondulatori Si consideri un fascio di luce ordinaria proveniente dal vuoto che copre una superficie Σi = 4 mm2 e che incide con anglo di 90° sulla superficie di una lastra di vetro con indice di rifrazione n = 1, 5; è noto che la potenza del fascio trasmesso vale Wt = 3,84 mW e si vuole calcolare la potenza del fascio indicente. Il fascio di luce viene poi deviato in modo che incida sulla lastra di verto con un certo angolo θi , al quale è possibile osservare che il fascio riflesso risulta essere polarizzato linearmente; si vogliono calcolare le ampiezze di campo elettrico e campo magnetico nel fascio riflesso e l’ampiezza del campo elettrico nel fascio trasmesso. Quando si è parlato di incidenza normale si è detto che le espressioni dei coefficienti di trasmissione e di riflessione in direzione σ assumono una connotazione generale nel caso in cui si tratti la luce non polarizzata; si sfrutta allora il coefficiente di trasmissione per calcolare la frazione di potenza riflessa (ricordando che la luce proviene dal vuoto): 2
R = rσ =
n−1 n+1
2 = 0, 04
che permette poi di ricavare il valore della frazione di potenza trasmessa sfruttando il principio di conservazione dell’energia: T = R − 1 = 0, 96. 162
6.3 Fenomeni Ondulatori
Onde Elettromagnetiche
A questo punto, la definizione di frazione di potenza trasmessa permette di ricavare facilmente la potenza del fascio incidente: T =
Wt Wt ⇐⇒ Wi = = 4,00 mW. Wi T
Quando il fascio di luce viene deviato, il fatto che la luce riflessa risulti polarizzata permette di dire che l’angolo incidente, non dato, è l’angolo di Brewster, unico angolo al quale si verifica il fenomeno della polarizzazione per riflessione; la definizione stessa dell’angolo permette di calcolarne il valore: θi = arctan(n) = 56,3° e la condizione dell’angolo di Brewster permette di ricavare anche il valore dell’angolo di trasmissione: θi + θt = 90° ⇐⇒ θt = 90° − θi = 33,7°. Si inizia con il calcolo dell’ampiezza del campo elettrico nell’onda riflessa, quindi si considera la frazione di potenza riflessa in direzione σ, che vale: 2 sin(θi − θt ) Rσ = = 0, 15 sin(θi + θt ) e si ragiona poi sul fatto che la luce indicente sia non polarizzata; da questo fatto discende che la potenza dell’onda è equamente distribuita sul piano π ed in direzione σ, quindi la potenza che si deve considerare è solo quella su σ, data da: Wiσ =
Wi = 2,00 mW 2
grazie alla quale è possibile calcolare la potenza riflessa: Wrσ = Wiσ Rσ = 0,30 mW. Ricordando che è nota la superficie dell’onda incidente, pari a Σi = 4 mm2 , e che tale superficie è uguale a quella dell’onda riflessa, si arriva a dire che: Σr = 4 mm2 il che permette di calcolare l’intensità dell’onda riflessa: Irσ =
Wrσ = 75,0 W m−2 . Σr
Ci si serve ora della definizione di intensità mostrata nell’equazione 6.18 a pagina 148, che vale anche per il caso di polarizzazione σ: Irσ =
1 1 (Er σ0 )2 2 Z0
dove l’impedenza caratteristica del vuoto è data da: Z0 =
1 ε0 c
163
6.3 Fenomeni Ondulatori da cui si ottiene che:
Onde Elettromagnetiche
Er σ0 =
p 2Irσ Z0 = 237,7 V m−1
e la relazione tra campo elettrico e campo magnetico permette di calcolare facilmente l’ampiezza di quest’ultimo, ricordando che questo deve essere orientato sul piano π in quanto ortogonale al campo elettrico: Br π0 =
Er σ0 = 0,793 µT. c
Rimane solo da calcolare il campo elettrico dell’onda trasmessa, che risulta essere ancora un fascio di luce ordinaria e non polarizzata; va prima di tutto calcolata la superficie del fascio trasmesso, operazione eseguibile ricordando le relazioni che sussistono tra le superfici: Σi = Σ0 cos(θi ) e Σt = Σ0 cos(θt ) dalle quali si ha che: Σi Σt cos(θt ) = ⇐⇒ Σt = Σi = 6 mm2 cos(θi ) cos(θt ) cos(θi ) e poi la potenza dell’onda trasmessa, per la quale si sfrutta il principio di conservazione dell’energia: Pt = Pi − Pr = 3,70 mW. Questi due dati permettono ora di calcolare l’intensità dell’onda trasmessa: It =
Pt = 616,7 W m−2 Σt
la cui definizione permette infine di calcolare l’intensità del campo magnetico trasmesso: r Z0 1 n 2 (Et0 ) ⇐⇒ Et0 = 2It = 556,6 V m−1 . It = 2 Z0 n
6.4
Interferenza e Diffrazione
Come è già stato accennato nell’introduzione della sezione 6.3 a pagina 150, per fenomeni di interazioni si intendono i fenomeni fisici dovuti alle interazioni tra due o più onde dovuti alla loro natura ondulatoria. Il fenomeno più interessante è certamente quello dell’interferenza che si verifica quando due onde armoniche si sovrappongono parzialmente o completamente. Il fenomeno di interferenza tra onde elettromagnetiche è un fenomeno di interazione dovuto alla natura ondulatoria di due o più onde che si sovrappongono in certo punti ed è più precisamente dovuto alla differenza di fase delle onde, che viene generalmente indicata con δ; tale differenza di fase può essere: • intrinseca, cioè dovuta alle sorgenti delle onde; • geometrica, cioè dovuta a differenze del percorse seguito dalle onde oppure al mezzo in cui queste si propagano. 164
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
Oltre alla natura della differenza di fase tra due onde, è importante conoscerne anche l’evoluzione nel tempo: se la differenza di fase tra due onde rimane costante nel tempo, le onde vengono definite coerenti e presentano un fenomeno di interferenza ben definito e costante. Un altro fenomeno di interazione molto interessante, strettamente correlato all’interferenza, è la diffrazione delle onde; questo fenomeno si verifica solamente quando un’onda attraversa una fenditura di lunghezza paragonabile alla sua lunghezza d’onda, che agisce come se fosse una nuova sorgente dell’onda.
6.4.1
Parametri delle Onde Interferenti
Particolare interesse nello studio delle onde interferenti riveste il caso delle onde coerenti, per le quali è possibile studiare il fenomeno in modo preciso. Si considerino due sorgenti d’onda S1 ed S2 che emettono due onde identiche con pulsazione ω e che siano poste rispettivamente a distanza x1 e x2 da un punto P che si trova tra le due sorgenti e sulla retta che le congiunge; si vuole capire come si comporti la sovrapposizione delle onde nel punto P . Le due sorgenti emettono onde armoniche perfettamente coerenti in quanto hanno pulsazione identica, ma i fattori che incidono sulla differenza di fase sono la loro distanza dal punto P e la loro fase intrinseca; inoltre, non è detto che le sorgenti emettano onde con la stessa ampiezza, quindi si considerano le funzioni d’onda come: ξ~1 = A1 cos(kx1 − ωt + φ1 ) e ξ~2 = A2 cos(kx2 − ωt + φ2 ) dove i parametri φ1 e φ2 tengono conto delle fasi intrinseche delle onde, ovvero del loro “punto iniziale”. Si vuole cercare di semplificare gli argomenti delle funzioni e notando che il coseno è una funzione pari, le funzioni d’onda possono essere riscritte come: ξ~1 = A1 cos(kx1 − ωt − φ1 ) e ξ~2 = A2 cos(kx2 − ωt − φ2 ) dove si pone: α1 = kx1 + φ1
e α2 = kx2 + φ2
quindi le funzioni d’onda vengono riscritte come: ξ~1 = A1 cos(ωt − α1 ) e ξ~2 = A2 cos(ωt − α2 ) e ponendo infine: θ1 = ωt − α1
e θ2 = ωt − α2
si ottengono le funzioni d’onda espresse come: ξ~1 = A1 cos(θ1 ) e ξ~2 = A2 cos(θ2 ) che sono molti più semplici da trattare, pur contenendo le stesse informazioni delle funzioni iniziali. Ricordando ora che le funzioni d’onda sono dei vettori e che nelle onde armoniche questi variano sul piano individuato dal fronte d’onda, ortogonale alla superficie di propagazione, dato che il punto P è allineato alle sorgenti, su di esso i due fronti d’onda si sovrappongono perfettamente ed entrambe i vettori ξ~1 e ξ~2 si trovano sullo stesso piano; questo fatto 165
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
permette di sommare i vettore grazie alla regola del parallelogramma. Ricordando che i moduli dei due vettori sono rispettivamente A1 e A2 , la regola del parallelogramma permette di identificare il modulo del vettore somma ξ~ come A e la somma delle due funzioni d’onda risulta essere: ξ~ = ξ~1 + ξ~2 = A cos(ωt + α). Si devono calcolare i parametri di quest’onda, quindi si pone θ = ωt + α e si nota che sono valide le relazioni: A cos(θ) = A1 cos(θ1 ) + A2 cos(θ2 ) e A sin(θ) = A1 sin(θ1 ) + A2 sin(θ2 ) delle quali si elevano al quadrato i membri: 2 2 2 A2 cos(θ) = A1 2 cos(θ1 ) + A2 2 cos(θ2 ) + 2A1 A2 cos(θ1 ) cos(θ2 ) 2 2 2 A2 sin(θ) = A1 2 sin(θ1 ) + A2 2 sin(θ2 ) + 2A1 A2 sin(θ1 ) sin(θ2 ) e se ne calcola poi la somma membro a membro, ottenendo: A2 = A1 2 + A2 2 + 2A1 A2 cos(θ1 ) cos(θ2 ) + sin(θ1 ) sin(θ2 ) = A1 2 + A2 2 + 2A1 A2 cos(θ1 − θ2 ) dove è stata utilizzato la formula di differenza del coseno; ricordando ora che θ1 = ωt − α1 e θ2 = ωt − α2 , si ha che: A2 = A1 2 + A2 2 + 2A1 A2 cos(α2 − α1 ) dove si può definire lo sfasamento delle onde: α2 − α1 = δ = k(x2 − x1 ) + φ2 − φ1
(6.29)
che rappresenta la differenza di fase tra le due onde dovuta sia alla fase intrinseca che al percorso seguito, grazie al quale si arriva ad identificare il modulo del vettore somma: q A = A1 2 + A2 2 + 2A1 A2 cos(δ). dove 2A1 A2 cos(δ) rappresenta il contributo di ampiezza dovuto all’interferenza tra le onde e può determinare effetti positivi o negativi a seconda del valore dello sfasamento. Rimane da calcolare solamente l’angolo θ presente nella formula del vettore somma, la cui tangente può essere calcolata come: tan(θ) =
A sin(θ) A1 sin(θ1 ) + A2 sin(θ2 ) = . A cos(θ) A1 cos(θ1 ) + A2 cos(θ2 )
Infine, dato che l’intensità delle onde è proporzionale al quadrato della loro ampiezza, l’intensità dell’onda somma è data da: p I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(δ) √ dove 2 I1 I2 cos(δ) rappresenta il contributo di intensità dovuto all’interferenza delle onde, che può essere positivo o negativo a seconda del valore di δ. 166
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
Si può verificare un caso particolare del fenomeno appena studiato, cioè quando l’ampiezza delle due onde è identica e posta pari a A0 ; in questo caso, l’ampiezza dell’onda somma viene calcolata come: q δ 2 A = 2A0 1 + cos(δ) = 2A0 cos 2 dove si è sfruttata la formula di duplicazione del coseno 2 1 + cos(2ϕ) = 2 cos(ϕ) . ed in questo caso anche l’intensità delle due onde è uguale, quindi l’intensità dell’onda somma è data da: !2 δ I = 2I0 1 + cos(δ) = 4I0 cos . 2
6.4.2
Casi di Interferenza
Il caso appena studiato presupponeva che le sorgenti ed il punto di interferenza fossero perfettamente allineati, in modo che i fronti d’onda delle onde interferenti coincidessero nel punto P ; si vuole studiare un caso più generale, nel quale le sorgenti S1 e S2 sono poste a distanza d e rispettivamente a distanza r1 e r2 da un punto Q, nel quale si vuole capire come si comporta la somma delle onde. Come nel caso precedente, entrambe le sorgenti producono onde armoniche con pulsazione ω e numero d’onda k che si propagano con velocità ~v , per le quali è quindi noto che: 2πv ω 2π v e k= = . λ= = ν ω v λ Si suppone che le sorgenti abbiano la stessa potenza, quindi che emettano onde con ampiezza ξ0 , ma che emettano onde sferiche, che hanno quindi una dipendenza dalla distanza e sono definite dalle funzioni d’onda: ξ0 ξ0 ξ~1 = cos(kr1 − ωt) e ξ~2 = cos(kr2 − ωt). r1 r2 Le onde non hanno alcuna differenza di fase intrinseca, quindi lo sfasamento può essere dovuto solamente alla differenza di percorso. Servendosi quindi dell’equazione 6.29 nella pagina precedente, lo sfasamento può essere calcolato come: 2π δ = k(r2 − r1 ) = (r2 − r1 ) λ ed è noto che le onde hanno la stessa ampiezza, quindi l’intensità in Q vale: p 2π I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos (r2 − r1 ) (6.30) λ dove le intensità delle due onde sferiche possono essere facilmente calcolate tramite la loro potenza: P1 P2 I1 = e I2 = . 2 4πr1 4πr2 2 167
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
L’equazione 6.30 nella pagina precedente è un’equazione generale valida per l’intensità di due onde interferenti con sfasamento nullo, dove gli unici parametri dello sfasamento sono i raggi r1 e r2 che determinano il valore del coseno. A seconda dei valori di questi raggi si possono avere vari casi di interferenza: • l’interferenza viene definita costruttiva se il suo contributo di intensità è positivo ed è possibile osservare un caso particolare, cioè quando lo sfasamento delle onde è un multiplo esatto del periodo delle onde: δ = 2πm ma questo accade se e solo se la differenza di percorso delle onde è un multiplo esatto della lunghezza d’onda: r2 − r1 = mλ caso in cui le onde arrivano nel punto Q perfettamente in fase e si sommano completamente, dando origine alla massima intensità: p Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2 ; • l’interferenza viene definita distruttiva se il suo contributo di intensità è negativo ed è possibile osservare un caso particolare, cioè quando lo sfasamento delle onde è un multiplo esatto delle metà del periodo delle onde: δ=
π (2m + 1)2 2
ma questo accade se e solo se la differenza di percorso delle onde è un multiplo esatto della metà della lunghezza d’onda: r2 − r1 = (2m + 1)
λ 2
caso in cui le onde arrivano nel punto Q con lo sfasamento massimo, dando origine alla minima intensità: p Imin = I1 + I2 − 2 I1 I2 . Approssimazione della Grande Distanza Supponendo che il punto Q sia sufficientemente lontano dalle sorgenti, si possono considerare le distanze r1 e r2 molto simili tra loro ed entrambe possono essere approssimate con la loro distanza media, indicata con r e rappresentata dalla distanza tra Q ed il punto medio tra le sorgenti; considerando ora come d la distanza tra le sorgenti, con r d, e come θ l’angolo formato dalla direzione di r con l’ortogonale alla direzione d, l’effettiva differenza di percorso delle onde è data da: r2 − r1 = d sin(θ) quindi lo sfasamento può essere calcolato come: δ=
2π d sin(θ) λ 168
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
e l’intensità delle onde interferenti possono essere approssimate con una sola intensità che risulta essere funzione dell’angolo: !2 π d sin(θ) I(θ) = 4I1 cos . λ In questo caso il sistema viene completamente descritto da un parametro di distanza, che rappresenta la distanza tra le sorgenti e da un parametro angolare. Al variare di questi due parametri si hanno vari casi di interferenza: • si ottiene la massima intensità data dal contributo dell’interferenza costruttiva: sin(θ) = m
λ d
caso in cui l’intensità vale: Imax = 4I1 ; • si ottiene la minima intensità data dal contributo dell’interferenza distruttiva: sin(θ) = (2m + 1)
λ 2d
caso in cui l’intensità vale: Imin = 0.
6.4.3
Esperimento di Young
La costruzione di due sorgenti coerenti che permettano di studiare il fenomeno dell’interferenza non è scontata come sembra, ma è sperimentalmente molto complessa da realizzare. All’inizio del diciannovesimo secolo, Young ha costruito due sorgenti coerenti servendosi di una doppia fenditura; una sorgente S di onde sferiche è stata posta in prossimità di uno schermo con due fenditure in modo da essere equidistante da entrambe e sperimentalmente è stato possibile osservare che le fenditure si comportano come due sorgenti S1 e S2 di onde sferiche S se la loro ampiezza è simile alla lunghezza d’onda di S. Questa costruzione ha permesso la realizzazione di due sorgenti perfettamente coerenti e con differenza di fase intrinseca nulla. L’esperienza condotta da Young aveva come fine quello di studiare quale fosse l’effetto di due onde coerenti a livello di interferenza, quindi pose uno schermo fotosensibile a grande distanza dal piano delle fenditura ed osservò che le onde vi incidevano con intensità che presentava un’alternanza tra dei valori massimi e nulli. Considerando lo schermo posto a distanza l dal piano delle fenditura, come θ l’angolo formato dai raggi luminosi con l’ortogonale al piano e definendo un’ascissa x sullo schermo, la legge sperimentale che governa la distribuzione dei valori di intensità è del tipo: x sin(θ) = l ma supponendo che l’angolo θ sia molto piccolo, il suo seno può essere approssimato con il valore dell’angolo stesso: x θ= . l 169
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
Il fatto che lo schermo sia posto ad una significativa distanza dal piano delle fenditure permette di servirsi dell’approssimazione di un punto posto a grande distanza da due sorgenti di onde coerenti, quindi si possono utilizzare le formule ricavate per esso ed in particolar modo la formula dell’intensità: !2 π I = 4I1 cos d sin(θ) λ dove d è la distanza tra le due fenditure ed è possibile sostituire il valore del seno di θ ricavato da Young: !2 π x d I = 4I1 cos λ l e poi esprimere la lunghezza d’onda nel mezzo, cioè dell’aria, tenendo conto del suo indice di rifrazione: !2 πn x d I = 4I1 cos . λ0 l A questo punto, è noto che l’intensità è massima se e solo se: sin(θ) = m
x λ0 λ ⇐⇒ =m d l nd
e considerando ∆x come la distanza tra i massimi al variare di m ∈ N, si arriva a dire che: ∆x =
λ0 l nd
ma in questa equazione sono note tutte le variabili ed eccezione di λ0 ; l’esperienza di Young ha definito infatti la prima determinazione sperimentale della lunghezza d’onda di un’onda elettromagnetica e rappresenta la dimostrazione sperimentale della natura ondulatoria delle onde elettromagnetiche. L’esperienza è stata condotta sotto l’approssimazione di schermo lontano, ma nella situazione reale si ha una situazione più complessa; inoltre sono state implicitamente fatte altre due assunzioni: • nel considerare una direzione lineare di propagazione delle onde dopo l’attraversamento delle fenditure, si è supposto che il fronte d’onda fosse un piano tangente al fronte d’onda sferico nel punto individuato dalla direzione di propagazione delle onde; • la seconda assunzione deriva direttamente dalla prima, in quanto considerando il fronte d’onda come un piano tangente al fronte d’onda ed ortogonale alla direzione di propagazione, questo è stato fatto coincidere con il piano su cui si trovano le fenditure al raggiungimento dello stesso da parte dell’onda. Rimane una sola cosa da giustificare, che riguarda il fatto che le fenditure si comportino come sorgenti; questo fatto può essere giustificato considerando ogni punto del fronte d’onda dell’onda iniziale come una sorgente di onde, il che è sensato ed è dovuto al principio di sovrapposizione, che dice esattamente quanto appena supposto. Questo principio ha due interpretazioni fondamentali: 170
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
• a livello delle equazioni differenziali che descrivono il moto delle onde, il principio di sovrapposizione dice che il fronte in un dato istante fornisce delle condizioni al contorno per l’equazione delle onde in ogni istante successivo; • a livello fisico, il principio di sovrapposizione dice che le onde che si trovano sullo stesso fronte d’onda e che sono state generate dalla stessa sorgente sono in fase. Tuttavia, per quanto si possa ridurre l’apertura della fenditura, non ci sarà mai una solo punto del fronte d’onda che la attraversa, ma una moltitudine di raggi attraversano la fenditura; si vuole cercare di comprendere cosa succeda nel processo di attraversamento.
6.4.4
Interferenza della Doppia Fenditura
Si considerino due fenditure poste su un piano a distanza d e che siano attraversate da un raggio di onde elettromagnetiche con angolo θ rispetto alla normale al piano; per quanto detto poco fa, è chiaro che le fenditure si comportano come sorgenti, quindi produrranno due onde di ampiezza identica e prive di differenze di fase intrinseche. Tuttavia, a causa dell’angolo con il quale il raggio attraversa le fenditure, si ha uno sfasamento geometrico dato da: 2π d sin(θ). δ= λ Nel paragrafo 6.4.1 a pagina 165, l’ampiezza di due onde interferenti era stata calcolata con la regola del parallelogramma considerando gli angoli formati dai vettore che definivano le funzioni d’onda con gli assi del piano su cui si trovavano, ma tali angoli erano arbitrariamente influenzati dalle fasi intrinseche. In questo caso si conosce già la natura dello sfasamento e si hanno inoltre due vettori identici in modulo ed angolo, si può allora considerare la somma vettoriale vera e propria come: ~r = A ~1 + A ~ 2 = 2A ~ 1. A Ragionando sul significato geometrico di una somma vettoriale di questo genere, si stata sostanzialmente “spostando” il punto di applicazione del primo vettore nel punto che esso identifica, che a sua volta coincide con il punto di applicazione del secondo vettore, che viene spostato a sua volta dal vettore stesso; si sono quindi percorsi i primi due lati di un poligono regolare con lato A1 = A2 e variazione d’angolo δ tra le direzioni dei due lati (cioè i due lati sono “sfasati” di δ). Questa costruzione geometrica è abbastanza complessa, ma rappresenta esattamente il fenomeno fisico in esame e tiene perfettamente conto dello sfasamento. Si suppone ora l’esistenza di una circonferenza di raggio % circoscritta al poligono, quindi tangente ai suoi vertici; per costruzione, l’arco di circonferenza che spazza i due lati è delimitato dall’angolo 2δ e grazie al fatto che i due lati siano identici, è possibile dire che l’angolo che delimita l’arco di circonferenza che spazza uno solo dei due lati vale δ. Considerando uno solo dei due archi, i raggi che ne congiungono gli estremi al centro della circonferenza rappresentano due lati di un triangolo isoscele il cui terzo lato è il vettore che funge da lato del poligono; dividendo a metà questo triangolo con un segmento normale al vettore e passante dal centro della circonferenza, si ottengono due triangoli rettangoli con uno degli angoli pari a δ/2. Questo procedimento permette dividere in quattro settori la superficie dell’arco che spazza i due vettori rappresentati da altrettanti triangoli rettangoli il cui cateto minore ha 171
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
lunghezza A1 /2 la cui ipotenusa ha lunghezza % ed un angolo di δ/2, quindi è valida la relazione: δ δ A1 = % sin ⇐⇒ A1 = 2% sin 2 2 2 ma si può applicare la stessa logica al triangolo isoscele delimitato dai due raggi che congiungono l’intero arco di circonferenza, dal cui sezionamento si ottengono due triangoli rettangoli il cui cateto minore ha lunghezza Ar /2 la cui ipotenusa ha lunghezza % ed un angolo di δ, quindi è valida la relazione: Ar = % sin(δ) ⇐⇒ Ar = 2% sin(δ) 2 che permette finalmente di calcolare l’ampiezza del vettore somma. Calcolando il rapporto tra le ampiezze come: sin(δ) Ar = A1 sin 2δ e ricordando che l’intensità di un’onda è proporzionale al quadrato della sua ampiezza, caratteristica che si conserva anche nel rapporto tra intensità: 2 2 Ar Ir (Ar )2 sin(δ) = = = I1 A1 sin 2δ (A1 )2 l’intensità dell’onda somma è data da: Ir = I1
sin(δ) sin 2δ
2
che può essere riscritta grazie alla formula di bisezione del seno: θ θ sin(θ) = 2 sin cos 2 2 applicata all’angolo δ, grazie alla quale si ottiene che: !2 δ Ir = 4I1 cos 2 che è la stessa formula dell’intensità derivata nel paragrafo 6.4.1 a pagina 165, ma stavolta è stato fatto utilizzando metodi puramente geometrici.
6.4.5
Interferenza di un Numero Finito di Fenditure
Lo studio appena condotto è certamente più complesso della derivazione fatta nel paragrafo 6.4.1 a pagina 165, ma a differenza di quella condotta dove appena detto, la derivazione geometrica permette facilmente di generalizzare il caso della coppia di fenditure alla presenza di un generico numero N di fenditure equidistanti, che agiscono quindi come N sorgenti. 172
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
Considerando la distanza tra ogni coppia di sorgenti pari a d, la distanza tra la prima e l’ultima risulta essere pari a d(N − 1) e lo stesso vale per la differenza di cammino tra la prima e onda e l’ultima, così come per lo sfasamento; tutti i vettori che rappresentano le onde risultano essere uguali in modulo, cioè A1 = · · · = AN ed il vettore risultante è dato dalla somma di tutti gli N vettori: ~r = A ~1 + · · · + A ~N = N A ~ 1. A È possibile ricorrere alla stessa costruzione geometrica del caso con soli due vettori ottenendo i primi N lati di un poligono regolare con lato A1 e variazione d’angolo δ tra le direzioni di ogni coppia di lati. Considerando ora la circonferenza di raggio % circoscritta al poligono, l’arco che spazza gli N lati ha ampiezza angolare pari a N δ, quindi ognuno dei lati viene spazzato da un angolo di ampiezza δ; ripetendo la costruzione dei triangoli su ogni lato, si ottengono 2N triangoli rettangoli il cui cateto minore ha lunghezza A1 /2 la cui ipotenusa ha lunghezza % ed un angolo di δ/2, quindi è valida la relazione già vista: δ A1 = 2% sin 2 ma applicando la stessa costruzione all’intero arco di circonferenza, si ottengono sempre due triangoli rettangoli il cui cateto minore ha lunghezza Ar /2 la cui ipotenusa ha lunghezza % ed un angolo di N 2δ , quindi è valida la relazione: δ Ar = 2% sin N 2 Per il calcolo dell’intensità si ripercorrono esattamente gli stessi passi del caso delle due fenditure, calcolando prima il rapporto tra le ampiezze: sin N 2δ Ar = A1 sin 2δ ricordando che l’intensità di un’onda è proporzionale al quadrato della sua ampiezza: !2 2 sin N 2δ Ir (Ar )2 Ar = = = I1 A1 sin 2δ (A1 )2 e ricavando infine l’intensità: Ir = I1
!2 sin N 2δ sin 2δ
che può essere riscritta ricordando che la formulazione di δ per ogni coppia di fenditure è: δ=
2π d sin(θ) λ
quindi l’intensità si presenta come: Ir = I1
!2 sin N πλ d sin(θ) . sin πλ d sin(θ)
(6.31)
Come nel caso di N = 2, anche questa funzione deve ammettere dei valori massimi e dei valori minimi al variare di θ. 173
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
Massimi Principali di Intensità Il caso più semplice è quello in cui θ = 0, quindi anche δ = 0 il che significa che tutte le onde sono in fase; tuttavia, questa condizione porta all’annullamento sia del numeratore che del denominatore delle equazioni dell’ampiezza e dell’intensità, ma è possibile servirsi delle proprietà della stima asintotica nei limiti: sin(N x) Nx N =⇒ lim = =N x→0 x x→0 sin(x) 1 lim
in quanto le due funzioni tendono a 0 con lo stesso ordine di infinitesimo, quindi l’ampiezza dell’onda somma risulta essere: Ar = N A 1 mentre l’intensità risulta essere massima in quanto tutte le onde sono in fase ed è data da: Imax = N 2 I1 . La situazione di intensità massima non si verifica solo per θ = 0, ma anche tutte le volte che numeratore e denominatore dell’equazione 6.31 nella pagina precedente tendono ad annullarsi contemporaneamente, cioè quando l’argomento del seno al denominatore è un multiplo di π, cioè: πd sin(θ) = mπ ⇐⇒ d sin(θ) = mλ. λ Questi angoli identificano i massimi principali, cioè quelli per cui l’interferenza porta l’onda somma alla massima intensità. Minimi di Intensità Dato che l’argomento del seno al numeratore è pari a N volte l’argomento del seno al denominatore, il numeratore tenderà ad annullarsi anche quando il denominatore è non nullo, identificando quindi dei punti di minimo dove l’intensità è nulla; questo fatto si verifica solo quando l’argomento del seno al numeratore è un multiplo di π, cioè: N
λ πd sin(θ) = mπ ⇐⇒ d sin(θ) = m con m 6= 0, N, 2N, 3N, . . . λ N
dove si escludono tutti i punti per cui m è un multiplo di N , caso in cui si ha un punto di massimo principale. È quindi possibile notare che tra due massimi principali esistono N − 2 minimi. Massimi Secondari di Intensità Oltre ai massimi principali esistono anche dei massimi secondari, che si hanno quando il numeratore assume valore unitario, cioè quando l’argomento del seno al numeratore è un multiplo di π/2, cioè: N
πd sin(θ) π λ = (2m + 1) ⇐⇒ d sin(θ) = (2m + 1) . λ 2 2N
174
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
Quando questa condizione è verificata, si ha un’intensità media data da: Im =
I1 sin
2 .
(2m+1)π 2N
Un aspetto interessante nell’interferenza di N onde è dato dal fatto che la posizione dei massimi principali è indipendente da N , ma al suo variare si ha la formazione di N − 2 massimi secondari tra i principali, quindi nel caso N = 2 non sa ha alcun massimo secondario.
6.4.6
Diffrazione: Interferenza di Infinite di Fenditure
Nonostante il nome della sezione, non si è ancora formalizzato cosa sia la diffrazione, ma si è solamente parlato dei fenomeni di interferenza dati prima da due fenditure e poi da un generico numero N di fenditure equidistanti. Questo perché si sono finalmente compiuti tutti i passi per arrivare a definire cosa sia effettivamente la diffrazione, che può essere interpretata come il limite dell’interferenza di infinite onde passanti per infinite fenditure, ma che coprono una porzione finita di piano. Per formalizzare quanto appena detto, si considera per prima cosa lo sfasamento di due onde nel caso di due fenditure: δ=
2π d sin(θ) λ
e si moltiplicano entrambi i membri per N : Nδ =
2π N d sin(θ) λ
ed è ora possibile iniziare a lavorare sul limite, ma ci sono alcune condizioni da imporre: • il numero delle fenditure deve tendere a +∞, cioè N → +∞; • la distanza tra le fenditure deve tendere a 0, cioè d → 0; • queste due condizioni forzano la tendenza dello sfasamento ad annullarsi cioè δ → 0. Il significato fisico di quanto appena detto è quello di star considerando infinite fenditure a distanza infinitesima tra loro; devono essere definite anche alcune condizioni secondarie: • la lunghezza coperta dalle fenditure deve essere finita e costante, cioè: lim
N →∞,d→0
N d = a;
• l’angolo di propagazione del fascio di onde che attraversa le fenditure deve assumere un valore finito e costante, cioè: lim
N →∞,δ→0
175
N δ = α.
6.4 Interferenza e Diffrazione
Onde Elettromagnetiche
Se valgono queste condizioni, il numero di onde tende a +∞ e quindi la costruzione geometrica poligonale di questi vettori, generalizzata al caso di un numero finito nel paragrafo 6.4.5 a pagina 172, tende a diventare un arco di circonferenza; in questo caso, considerando il limite di per N → ∞, d → 0 e δ → 0, l’angolo che delimita l’arco di circonferenza che spazza un singolo vettore tende a α, quindi l’ampiezza di una singola onda viene definita dalla relazione α A1 = 2% sin N2 mentre l’ampiezza dell’onda risultante viene definita come: α Ar = 2% sin 2 e quindi l’intensità risultante vale: Ir = I1
!2 sin α2 . sin Nα2
Quando N tende a +∞ l’argomento del seno al denominatore tende a 0 quindi il seno può essere approssimato con l’angolo: 2 !2 α sin α2 sin 2 Ir = I1 = N 2 I1 α 1 α 2 2
N 2
dove è possibile identificare il prodotto con N I1 cn l’intensità massima della caso di N fenditure, ottenendo che: !2 sin α2 Ir = Imax . α 2
2
Dato che la diffrazione rappresenta un caso particolare di interferenza, questa ammette dei massimi e dei minimi; i minimi, definiti minimi di diffrazione, si hanno quando: λ sin(θ) = m a ricordando che: 2π lim N d = a lim N δ = α Nδ = N d sin(θ) N →∞,d→0 N →∞,δ→0 λ questa condizione corrisponde a α = 2πm, ma il massimo principale di diffrazione è sempre uno solo e la sua posizione è individuata dalla posizione media tra i primi due minimi di diffrazione all’origine, quindi è sempre in corrispondenza di θ = 0, ed è possibile definire la sua ampiezza angolare come: λ ∆ sin(θ) = 2 a che rappresenta l’apertura angolare coperta dall’intensità massima. La figura di diffrazione è infatti sempre simmetrica, dove il massimo si trova al centro e le onde si affievoliscono man mano che l’angolo si allontana dal valore che identifica il massimo. Si ricorda infine che interferenza e diffrazione sono stati studiati come due casi distinti, ma nelle situazioni reali di onde che attraversano delle fenditure questi due fenomeni si verificano sempre in sovrapposizione. 176
Appendice In questa appendice si raccolgono tutte le formule finora incontrate nello studio dei fenomeni fisici.
177
A A.1
Formulario
Elettrostatica
Forza Elettrostatica F~e =
1 q1 q 2 4πε0 r2 Φ(E) =
1 qs ~ ~ =Σ ~ ·E ~ uˆr F~e = qp E(r) Φ(E) 4πε0 r2 I ~ ~ · uˆn dΣ = qint ~ ·E ~ = % Φ(E) = E ∇ ε0 ε0
~ E(r) = qint ε0
Distribuzioni Continue di Carica λ=
q l
σ=
q Σ
%=
q τ
~ pia = σ uˆn E ε0
q uˆn 4πε0 R2
~ sf e = E
Il Potenziale Elettrico
Ue V = q
Z
A
~ · dS ~ E
VA − VB = −
V (r) =
B
q 4πε0 r
Ue (r) = qV (r)
Conduttori e Condensatori
C=
Ceq p =
q q = V V1 − V2
n X
Csf e = 4πε0
R1 R2 R2 − R1
n
Ci
i=1
X 1 1 = Ceq s Ci i=1
Ue =
Ccil =
2πε0 d R2 ln R 1
1 q2 1 1 = CV 2 = qV 2C 2 2
Cpia =
ue =
ε0 Σ h
Ue 1 = E 2 ε0 τ 2
I Dielettrici
kε0 = ε
σp =
k−1 σ0 k
k =1+χ I
E=
σ0 σp − ε0 ε0
~ = εE ~ D
qp =
k−1 q k
q q qp = − ε ε0 ε0
~ ~ = ε0 E ~ + P~ P~ = χε0 E D I ~ · uˆn dΣ = q D P~ · uˆn dΣ = qp 178
A.1 Elettrostatica
Formulario
Dielettrici a Spessore Variabile E0 = kE
D = ε0 E0 P0 = 0 k−1s 1 V = V0 1 − Ue = εE 2 Σh k h 2
P = (k − 1)ε0 E
Dielettrici ad Inserimento Variabile E0 =
σ0 ε0
D0 = ε0 E σ0 (x) =
Ed =
σp = (k − 1)σ0 =
q d d + (k − 1)x
Ue (x) =
k−1 σd k
q = q0 + qd = σ0 (d − x)d + σd xd
Dd = kε0 E σd (x) =
qk d d + (k − 1)x
E(x)
q ε0 d d + (k − 1)x
ε0 d d + (k − 1)x ε0 (d − x)d ε0 kxd C(x) = = + h h h
qh V (x) = ε0 d d + (k − 1)x
A.2
σd kε0
q2h 2ε0 d d + (k − 1)x
F (x) = −
d Ue dx
Corrente Elettrica
Condizioni di Corrente i=
d q dt
~j = n+ e~v+ + n− (−e)~v− = i Σ
~ · ~j + ∂ % = 0 ∇ ∂t
Leggi di Ohm
σ= V = Ri
ne2 τ m Req s =
~ ~j = σ E n X
~ · dS ~ = ξ = RT i E
~ = %~j E
R=
%h Σ
n
Ri
i=1
I
% = 1/σ
VA − VB +
X 1 1 = Req p Ri i=1 n X
Pd = Ri2
sgn(ξk )ξk = RT i
k=1
179
n X k=1
Pg = ξi
sgn(ξk )ξk = RT i
A.2 Corrente Elettrica
Formulario
Carica del Condensatore
t − RC
q(t) = Cξ 1 − e i(t) =
t d ξ q = e− RC dt R
ξ2 − t e τ R
Pgen =
t q(t) − RC VC (t) = =ξ 1−e C
t
VR (t) = Ri(t) = ξe− RC ξ 2 − 2t e τ R
PR =
Pgen = PC + PR
1 WC = ∆Ue = Cξ 2 2
1 WR = Cξ 2 2
Wgen = Cξ 2
PC = V C i
τ = RC
Wgen = WR + WC
Scarica del Condensatore
t
q(t) = q0 e− τ
A.3
VC (t) = VR (t) =
q(t) q0 t = e− τ C C
i(t) = −
d VC V0 t VR q = e− τ = = dt R R R
Magnetismo
La Forza Magnetica ~ F~ = q(~v × B)
ω ~ =−
q ~ B m
T =
2πm qB
2πm cos(θ) qB
~vk T =
Corrente Elettrica nel Campo Magnetico ~ × B) ~ dF~ = i(dS ~ Um = −m ~ ·B
M = ΣB sin(θ) ~ m) F~ = −∇(U
m ~ = iΣˆ un ~ = ΣB Φ(B)
~ =m ~ M ~ ×B ~ Um = −iΦ(B)
Campi Magnetici Particolari µ0 idS (ˆ ut × uˆr ) 4π r2 µ0 i = cos(θ1 ) − cos(θ2 ) 4πR ~ = dB
Basta
~ spqu (x) = 2µ0 i B π Bsole =
~ part = µ0 q(~v × uˆr ) B 4π r2 µ0 i a2 ~ q Basta = 2πR R2 +
a 2 2 q 2 x2 + a2 x2 +
uˆn a 2
~ = 1 ~v × E ~ B c2 uˆφ a 2
~ asta = µ0 i uˆφ B 2πR
2
2 µ0 iR2 ~ spci (x) = µ0 iR uˆn = B uˆn 2r3 2(x2 + R2 )3/2
2
µ0 ni cos(φ1 ) − cos(φ2 ) 2
~ 1) F~12 = i2 (~l2 × B
180
f=
F µ0 i1 i2 = l 2πr
A.3 Magnetismo
Formulario
Flussi e Induttanze
Bsolt =
µ0 N i 2πr
Φ12 = i1 M12
Φ = iL
Msole = µ0 n1 n2 Σ2
Lsole = µ0 n2 Σ
Campo Magnetico nei Materiali
~ ~ =m M τ
Fτ =
F d =M B τ dz
B = km B0
µ = km µ0
km − 1 = χm
Il Teorema di Ampère
I
I
~ · dS ~ = µ0 i B
I
~ · dS ~ = µ0 (i + im ) B
~ · dS ~ = µ0 i + µ0 B
I
~ · dS ~ M
γ
I
~ · dS ~=i H
A.4
~ B ~ =H ~ −M µ0
~ = χm H ~ M
~ = µH ~ B
~ 1 χm B ~ ~ = 1 km − 1 B M µ µ0 km
Elettromagnetismo
Campi Combinati: Spettrometro e Ciclotrone
~ + ~v × B) ~ F~ = q(E
Tn = 2π
rn vn
m B 2 r2 = q 2V
1 tn = T 2
1 mvn 2 = nqV 2
V = V0 sin(ωRF )t
1 1 q 2 B 2 R2 Ekmax = mvmax 2 = M 2 2 m2
N=
Ekmax qV
rn = ωRF =
mvn qB
qB m
Legge di Faraday ~ 0 ) − Φ B(t) ~ Φ B(t d ~ ξi = − Φ(B) q= dt R t ξ ξ ich (t) = 1−e− τ i∞ = ich (t) = i∞ −iL (t) R R
d L i τ= dt R ξ t t ξ − τ0 + e− τ 0 iap (t) = 0 1−e R R
ξL = −L
Energia Magnetica
1 UL = Li2 2
um =
UL F = τ S
1 1 1 Um = (i1 Φ1 + i2 Φ2 ) = L1 i1 2 + L2 i2 2 + M i1 i2 2 2 2 181
A.4 Elettromagnetismo
Formulario
Legge di Ampère Maxwell I
~ ~js = ε0 ∂ E ∂t
I
~jS · uˆn dΣ
iS = Σ
~ · dS ~ = µ0 (i + is ) B
γ
Relazione ElettroMagnetiche I I q ∂ ~ · uˆn dΣ = ~ · dS ~ = − Φ(B) ~ ~ · uˆn dΣ = 0 E E B ε0 ∂t Σ γ Σ I 1 1 1 2 ~ ~ · dS ~ = µ0 i + µ0 ε0 ∂ Φ(E) u = ε0 E 2 + B B ∂t 2 2 µ0 γ
I
A.5
Onde Elettromagnetiche
Le Onde
2 ~ − 1 ∂ ξ~ = 0 ∇2 (ξ) v 2 ∂t2
ξ(x, t) = ξ0 sin k(x − vt)
φ = k(x − vt) ω = kv
λ=
2π k
k=
2π λ
ξ(x, t) = ξ0 cos k(x − vt) 2π T
T =
c= √
1 ε0 µ 0
ω=
2π ω
λν = v
Onde ElettroMagnetiche
2 ~ − 1 ∂ E ~ =0 ∇2 (E) c2 ∂t2
2 ~ − 1 ∂ B ~ =0 ∇2 (B) c2 ∂t2
Ex = Bx = 0 Ey = vBz ~ = εE 2~v S
Ez = −vBy
E =v B
1 1 B0 2 2 I = Sm = vεE0 = v = vu 2 2 µ
n=
c p = ke km v
I=
1 n 2 E0 2 Z0
c ke km r µ Z= ε
v=√
U = hν
Fenomeni Ondulatori n1 λ2 = λ1 n2
θi = θr
sin(θi ) n2 v1 = = sin(θt ) n1 v2
θiL
n2 = arcsin n1
Er π0 tan(θi − θt ) Et π0 2 sin(θt ) cos(θi ) = t = π π π = Ei 0 tan(θi + θt ) Ei 0 sin(θi + θt ) cos(θi − θt ) n1 n1 n2 Iiπ = (Ei π0 )2 Irπ = (Er π0 )2 Itπ = (Et π0 )2 2Z0 2Z0 2Z0 Σi = Σr = Σ0 cos(θi ) Σt = Σ0 cos(θt ) Wiπ = Wrπ = Σi Iiπ Wtπ = Σt Itπ rπ =
182
A.5 Onde Elettromagnetiche Rπ = rσ =
Wrπ = rπ 2 Wiπ
Tπ =
Er σ0 sin(θi − θt ) σ = Ei 0 sin(θi + θt )
Rσ = rσ 2 rσin
Formulario
Tσ =
θi − θt n1 − n2 = = θi + θt n1 + n2
tσ =
n2 cos(θt ) 2 tσ n1 cos(θi ) tσin
Wtπ n2 cos(θt ) 2 tπ = π Wi n1 cos(θi ) Et σ0 2 sin(θt ) cos(θi ) σ = Ei 0 sin(θi + θt ) Rσ + Tσ = 1 = Rπ + Tπ n2 θB = arctan n1
2θt 2n1 = = θi + θt n1 + n2
Interferenza Generale
δ = k(x2 − x1 ) + φ2 − φ1
q p A = A1 2 + A2 2 + 2A1 A2 cos(δ) I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(δ) !2 δ I = 2I0 1 + cos(δ) = 4I0 cos 2
q δ 2 A = 2A0 1 + cos(δ) = 2A0 cos 2 Casi Particolari di Interferenza
p 2π (r2 − r1 ) r2 − r1 = mλ =⇒ Imax = I1 + I2 + 2 I1 I2 λ p p 2π λ I = I1 +I2 +2 I1 I2 cos (r2 −r1 ) r2 −r1 = (2m+1) =⇒ Imin = I1 +I2 −2 I1 I2 λ 2 δ = k(r2 − r1 ) =
Approssimazione della Grande Distanza
r2 − r1 = d sin(θ) sin(θ) = m
2π δ= d sin(θ) λ
λ =⇒ Imax = 4I1 d
I(θ) = 4I1
!2 π cos d sin(θ) λ
sin(θ) = (2m + 1)
λ =⇒ Imin = 0 2d
Interferenza di Finite Fenditure
Ir = I1
!2 sin N πλ d sin(θ) sin πλ d sin(θ)
d sin(θ) = mλ =⇒ Imax = N 2 I1
λ con m 6= 0, N, 2N, 3N, · · · =⇒ Imin = 0 N λ I1 d sin(θ) = (2m + 1) =⇒ Im = 2 2N sin (2m+1)π 2N
d sin(θ) = m
183
A.6 Costanti
A.6
Formulario
Costanti Tabella A.1: Costanti utili.
Costante
Simbolo
Valore
Unità di Misura
Costante Dielettrica del Vuoto
ε0
8,85 · 10−12
C2 N−1 m−2
Permeabilità Magnetica del Vuoto
µ0
4π · 10−7
H m−1
Velocità della Luce nel Vuoto
c
299 792 458
m s−1
184
Acronimi FEM Forza Elettro Motrice La forza elettro motrice è una forza di natura elettrostatica che induce lo spostamento di carica da un punto ad un altro ed è in grado di generare una corrente elettrica all’interno di un circuito.
DDP Differenza di Potenziale La differenza di potenziale rappresenta lo scompenso di potenziale elettrico tra due punti ed è in grado di generare un campo elettrico o una corrente elettrica, con la possibile introduzione di una forza elettro motrice.
185
