Estimación de la Demanda: Pronósticos - Usuarios de prof

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR _____________________________

Estimación de la Demanda: Pronósticos PS-4161 Gestión de la Producción I

USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

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Bibliografía Recomendada

_____________________________

♦ Título: Dirección de la Producción: Decisiones Estratégicas. Capítulo 4: Previsión Autores: HEIZER, Jay y RENDER, Barry Editorial: Prentice Hall, 6a. Edición ♦ Título: Dirección y Administración de la Producción y de las Operaciones ♦ Capítulo 7: Administración de la Demanda Autores: CHASE, Richard y AQUILANO, Nicolas Editorial: Adison Wesley Iberoamericana, 6a. Edición USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

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_____________________________

Contenido

♦ Introducción: ¿Qué es el Pronóstico? Horizontes temporales de el pronóstico ♦ La influencia del ciclo de vida del producto ♦

♦ Tipos de Pronósticos ♦ La importancia estratégica del Pronóstico Recursos humanos ♦ Capacidad ♦ Gestión de la cadena de suministros ♦

♦ Siete etapas en el sistema de pronóstico USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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_____________________________

Contenido

♦ Enfoques del Pronóstico ♦ ♦

Visión global de los métodos cualitativos Visión global de los métodos cuantitativos

♦ Pronóstico de series temporales ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Descomposición de una serie temporal Enfoque simple Medias móviles Suavizamiento exponencial Suavizamiento exponencial con ajuste de tendencia Proyecciones de la tendencia Variaciones estacionales en los datos Variaciones cíclicas en los datos


PRONOSTICOS

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_____________________________

Contenido

♦ Métodos de pronóstico causal: análisis de regresión y correlación Utilización del análisis de regresión para realizar Pronósticos ♦ Error estándar de la estimación ♦ Coeficientes de correlación para las rectas de regresión ♦ Análisis de regresión múltiple ♦

♦ Seguimiento y control de Los Pronósticos Suavizamiento adaptable ♦ Pronóstico enfocado ♦ Pronóstico en el sector servicios ♦


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_____________________________

Objetivos

Describir o explicar: Medias Móviles simples y ponderadas ♦ Suavizamiento Exponencial ♦ Proyecciones de tendencia ♦ Análisis de regresión y correlación ♦ Regresión lineal con estacionalidad ♦ Medidas de precisión del pronóstico ♦ Aplicar el método idóneo para cada pronóstico ♦


PRONOSTICOS

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_____________________________

La demanda

Demanda


PRONOSTICOS

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_____________________________

Demanda

Demanda o Consumo Potencial, cantidad de determinado bien o servicio que el mercado requiere

Muestra y cuantifica la existencia de los consumidores actuales y los potenciales y la ubicación geográfica de los mismos


PRONOSTICOS

8

La demanda según la necesidad _____________________________

• Demanda de bien social aquello que la sociedad requiere para su desarrollo y crecimiento (alimentación, vestido, salud, vivienda, educación) • Demanda de bienes no necesarios, consumo suntuario, donde se satisface un gusto y no una necesidad (perfumes, ropa fina, electrónica, arte) USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Demanda según su destino

_____________________________

• Demanda de bienes finales • Demanda

de

bienes

intermedios

o

industriales •Los bienes intermedios forman parte de una cadena productiva, al aumentar la demanda

del

último

aumenta

la

demanda del producto intermedio USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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El pronóstico de la demanda _____________________________

El análisis histórico del comportamiento de la demanda se realiza para estudiar la evolución del pasado a fin de pronosticar el comportamiento futuro, con un margen razonable de seguridad. No es extrapolar una tendencia, sino estudiar los posibles factores que afectan esa tendencia. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Factores que afectan la demanda

_____________________________

• cambios en las políticas económicas, • sustitución del producto, • complementación del producto, • comportamiento estacionario, • cambios de la estructura de la población, • modificaciones significativas de volumen, • coyunturas internacionales USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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¿Qué es el pronóstico?

_____________________________

♦ Arte y ciencia de predecir acontecimientos futuros. ♦

Modelación matemática

♦

Predicción subjetiva

¡Venderá 200 millones de bolívares!

♦ Base de todas las decisiones empresariales: ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Producción Inventario Personal Instalaciones Presupuesto


PRONOSTICOS

13

Tipos de Pronóstico

_____________________________

♦ Cualitativos De caracter subjetivo ♦ Basado en estimaciones y opiniones. ♦ Programación de trabajos, asignación de tareas. ♦

♦ Análisis de series de tiempo Utilización de datos relacionados de periodos anteriores ♦ Componentes: tendencia, estacionalidad y ciclos ♦

♦ Relaciones causales Supone demanda relacionada con una o más causas ♦ Regresión Lineal y Regresión Multilineal ♦

♦ Simulación Modelos complejos simulados en computador ♦ Modelos Dinámicos ♦


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Técnicas y Modelos Comunes

_____________________________

♦ Cualitativos ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Método Delphi Investigación de Mercado Consenso Grupal: Intercambio abierto en reuniones Analogía Histótica: Relación con artículo similar Niveles Inferiores de la organización: Datos de vendedores

♦ Series de tiempo ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦

Promedio Móvil Simple Promedio Móvil Ponderado Suavizamiento Exponencial Análisis de regresiones de tiempo Técnica Box Jenkins Series de tiempo de Shiskin: Descomponer series de tiempo en estacionalidad


PRONOSTICOS

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Técnicas y Modelos Comunes (Cont)

_____________________________

♦ Relaciones causales Análisis de Regresiones causales ♦ Regresión Multilineal: Varias variables causales ♦

♦ Simulación Modelos Dinámicos: incluye variables internas como factores externos. ♦ Permite hacer estudios de sensibilidad ♦ Modelos preprogramados ♦


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Tipos de horizontes temporales del _____________________________ pronóstico ♦ Pronósticos a corto plazo: Cobertura de hasta un año, generalmente inferior a los tres meses. ♦ Programación de compras, trabajos, asignación de tareas. ♦

♦ Pronósticos a medio plazo: Entre tres meses y tres años. ♦ Planificación de las ventas, de la producción y del presupuesto. ♦

♦ Pronósticos a largo plazo: Periodos superiores a tres años. ♦ Planificación de nuevos productos, localización de las instalaciones, desembolso de capital. ♦


PRONOSTICOS

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Pronósticos de corto plazo frente a Pronósticos de largo plazo _____________________________

♦ Los pronósticos a medio y largo plazo tratan de asuntos más extensos, y apoyan las decisiones de gestión que conciernen a la planificación y los productos, las plantas y los procesos. ♦ Los pronósticos a corto plazo normalmente emplean metodologías diferentes a las anteriores, utilizan técnicas matemáticas como las medias móviles, alisado exponencial y extrapolación. ♦ Los pronósticos a corto plazo tienden a ser más exactos que los realizadas a largo plazo. Al aumentar el horizonte temporal disminuye la fiabilidad de la previsión. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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La influencia del ciclo de vida del producto

_____________________________

♦ Las etapas de introducción y crecimiento necesitan pronósticos más largos que las etapas de madurez y declive. ♦ Los Pronósticos son útiles para proyectar los diferentes niveles de personal ♦ los diferentes niveles de inventarios ♦ los diferentes niveles de capacidad de producción ♦

mientras el producto pasa de la primera a la última etapa. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Estrategia durante el ciclo de vida de un producto _____________________________

Estrategias de la compañía

Introducción

Crecimiento

Madurez

Mejor periodo para aumentar la cuota de mercado

Buen momento para cambiar el precio o la imagen de calidad

Es vital planear la I + D

Fortalecer el segmento Defender la posición en el de mercado Restaurantes para mercado Fax comer en el carro CD-ROM

Ventas Impresoras a color

Mal momento para cambiar la imagen, el precio o la calidad Los costos competitivos son ahora muy importantes

Declive Es vital controlar el costo

Disquetes de 3 1/2” Máquinas de escribir

Internet

Estrategias de la G.O.

HDTV La planificación y desarrollo del producto son vitales

La pronóstico es muy importante

Cambios frecuentes en planificación del producto y proceso

Fiabilidad del producto y proceso

Cambios de producto menos rápidos; más cambios minuciosos

Posibilidades y mejoras del producto competitivas

Capacidad óptima

Lotes de producción pequeños Altos costos de producción Número de modelos limitado Atención a la calidad

Estandarización

Aumento de la capacidad

Estabilidad creciente del proceso de producción

Cambio de tendencia para centrarse en el producto

Grandes lotes de producción

Atención a la distribución

Mejora del producto y reducción de costos


PRONOSTICOS

Poca diferenciación del producto Minimización de costos Sobrecapacidad en la industria Eliminación de productos que no proporcionan un margen aceptable Reducción de capacidad

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Tipos de Pronósticos

_____________________________

♦Pronósticos económicos: ♦

Dirigidas al ciclo económico, por ejemplo, las tasas de inflación, la masa monetaria, el PIB, etc.

♦Pronósticos tecnológicos: Predicen el progreso tecnológico. ♦ Predicen el nacimiento de nuevas ventas. ♦ Ejemplo: motores de hidrógeno, energía solar ♦

♦Pronósticos de demanda: ♦

Predicen las ventas de productos ya existentes.


PRONOSTICOS

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Etapas del proceso de Pronóstico

_____________________________

♦ Determinar el objetivo del pronóstico. ♦ Seleccionar los artículos sobre los que se va a realizar el pronóstico. ♦ Determinar el horizonte temporal del pronóstico. ♦ Seleccionar el(los) modelo(s) de pronóstico. ♦ Recolección de datos. ♦ Realizar el pronóstico. ♦ Validar e implementar los resultados.


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Demanda del producto o servicio

Demanda de un producto representada en un periodo de 4 años con tendencia de crecimiento y estacionalidad _____________________________

Picos estacionales

Componente de tendencia

Línea de demanda actual

Variación aleatoria Primer año


Segundo año

Demanda media en cuatro años

Tercer año PRONOSTICOS

Cuarto año 23

Demanda real frente a los métodos de media móvil y media móvil ponderada _____________________________

Demanda de ventas

35 30 25

Media móvil ponderada Ventas reales

20 15 10

Media móvil

5 0

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Mes


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24

Realidades sobre el pronóstico

_____________________________

♦ Raras veces los pronósticos son perfectos. Influencia de factores externos. ♦ La mayoría de las técnicas de pronóstico asumen que existe cierta estabilidad sostenida en el sistema. ♦ Tanto las predicciones de familias de productos como las predicciones en conjunto son más precisas que los pronósticos de productos individuales.


PRONOSTICOS

25

Enfoques del Pronóstico

_____________________________

Métodos cualitativos ♦ Se emplean cuando la situación no es clara y hay pocos datos: Productos nuevos. ♦ Nueva tecnología. ♦

♦ Requieren intuición y experiencia: ♦

Por ejemplo, el pronóstico de las ventas a través de Internet.

Métodos cuantitativos

♦ Se emplean cuando la situación es “estable” y existen datos “históricos”: Productos existentes. ♦ Tecnología actual. ♦

♦ Utilizan modelos matemáticos: ♦

Por ejemplo, el pronóstico de las ventas de televisores.

En la práctica, las empresas utilizan una combinación de los dos enfoques USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Métodos Cualitativos

_____________________________

♦ Jurado de opinión ejecutiva: ♦

Se agrupan las opiniones de un grupo de expertos de alto nivel o de directivos, a menudo en combinación con modelos estadísticos.

♦ Proposición de personal comercial: ♦

Las estimación de las ventas esperadas por los vendedores se revisan para ver si se pueden llevar a cabo y luego se obtiene una pronóstico global.

♦ Método Delphi: ♦

Proceso de grupo que permite la realización de los pronósticos a través de un grupo de toma de decisiones con base en las opiniones de otro grupo de personas.

♦ Estudio de mercado del consumidor: ♦

Requiere información de los clientes o consumidores potenciales.


PRONOSTICOS

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Jurado de opinión ejecutiva

_____________________________

♦ Requiere un pequeño grupo de directivos: ♦

El grupo establece una estimación conjunta de la demanda.

♦ Combina la experiencia directiva con modelos estadísticos. ♦ Es bastante rápido. ♦ Desventaja del “pensamiento en grupo”. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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© 1995 Corel Corp.

Proposición de personal comercial

_____________________________

♦ Cada vendedor estima las ventas que hará. ♦ Se revisan las previsiones para definir si se pueden llevar a cabo. ♦ Se combinan con los pronósticos a niveles de distritos y con las nacionales. ♦ El representante de ventas conoce las necesidades de los consumidores. ♦ Tiende a ser bastante optimista. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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_____________________________

Método Delphi

♦ Proceso de grupo iterativo. ♦ 3 tipos de participantes: Los que toman decisiones. ♦ El personal de plantilla. ♦ Los que responden.

Los que toman decisiones

♦

Personal de plantilla (¿Qué ventas

(¿Ventas?)

(Habrá 50 ventas)

♦ Reduce el habrá? cuestionarios) “pensamiento en grupo”. ♦ Coteja opiniones para Los que responden llegar a un consenso en (Habrá 45, 50, 55 ventas) varias iteraciones de opiniones-respuestas USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Estudio de mercado

_____________________________

¿Cuántas horas ♦ Preguntar a los consumidores sobre sus utilizará Internet la próxima semana? futuros planes de compra. ♦ Lo que dicen los consumidores y lo que luego hacen suele diferir. ♦ A veces es difícil contestar a las preguntas del estudio. ♦ Es útil para mejorar el diseño de un producto y planificar nuevos productos. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I PRONOSTICOS © 1995 Corel Corp.

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Métodos Cuantitativos

_____________________________

♦ Enfoque simple ♦ Medias móviles ♦ Suavizamiento exponencial ♦ Proyección de tendencia

Modelos de series temporales

♦ Regresión lineal ♦ Regresión lineal con estacionalidad

Modelos asociativos o causales


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Métodos de pronóstico cuantitativos

_____________________________

(no simples)

pronóstico cuantitativo

Modelos asociativos


Media móvil

Suavizamiento

exponencial


Proyección de tendencia

PRONOSTICOS

Regresión lineal

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¿Qué son las series temporales?

_____________________________

♦

Es una secuencia de datos uniformemente espaciada: ♦

♦

Se trata de un pronóstico basado en los datos pasados: ♦

♦

Se obtiene observando las variables en periodos de tiempo regulares.

Supone que los factores que han influido en el pasado lo sigan haciendo en el futuro.

Ejemplo: Año: Ventas:

1999 78,7


2000 63,5

2001 89,7

PRONOSTICOS

2002 93,2

2003 92,1

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Descomposición de una serie temporal _____________________________

Tendencia

Ciclos

Estacionalidad

Variaciones aleatorias


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Tendencia _____________________________

♦ Es el movimiento gradual de ascenso o descenso de los datos a lo largo del tiempo. ♦ Los cambios en la población, ingresos, etc. influyen en la tendencia. ♦ Varios años de duración.

Respuesta

Mes, trimestre, año USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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_____________________________

Estacionalidad

♦Muestra de datos de ascenso o descenso que se repite. ♦Se puede ver afectada por la climatología, las costumbres, etc. ♦Se produce dentro de un periodo anual. Respuesta

Verano

Mes, trimestre USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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_____________________________

Ciclos

♦Movimientos de ascenso o descenso que se repiten. ♦Se pueden ver afectados por interacciones de factores que influyen en la economía. Respuesta

Ciclo

% Mes, trimestre, año USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Variaciones aleatorias

_____________________________

♦Son “saltos” en los datos causados por el azar y situaciones inusuales. ♦Son debidas a variaciones aleatorias o a situaciones imprevistas: Huelgas o paros nacionales ♦ Inundaciones ♦

♦Son de corta duración y no se repiten.


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_____________________________

♦Cualquier valor que aparezca en una serie temporal es la multiplicación (o suma) de los componentes de la serie temporal. ♦Modelo multiplicativo: ♦

Yi = Ti x Si x Ci x Ri (si los datos son mensuales o trimestrales).

♦Modelo aditivo: ♦

Yi = Ti + Si + Ci + Ri (si los datos son mensuales o trimestrales).


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_____________________________

Enfoque Simple

♦ Suponer que la demanda en el próximo periodo será igual a la demanda del periodo más reciente: ♦

Por ejemplo, si en mayo hubo 48 ventas, en junio habrá 48 ventas.

♦ Es el modelo con la mejor relación eficacia-costo y eficiencia. ♦ Sirve como punto de partida para modelos mas sofisticados. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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.

41

Media Móvil _____________________________

♦

La media móvil es la media aritmética de las demandas de los periodos anteriores.

♦

Se utiliza si no hay tendencia o si ésta es escasa, las demandas son estables a lo largo del tiempo.

♦

Se suelen utilizar para suavizar o alizar las irregularidades a corto plazo en las series de datos: ♦

♦

Proporciona una impresión general de los datos a lo largo del tiempo.

Ecuación:

demanda de n periodos previos ∑ MM = n


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Ejemplo de media móvil

_____________________________

Usted es el director de una tienda de un museo que vende réplicas. Quiere predecir las ventas (000) del año 2004 mediante una media móvil de 3 años. 1999 4 2000 6 2001 5 2002 3 2003 7

.


PRONOSTICOS

43

Solución de la media móvil

_____________________________

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Respuesta Yi 4 6 5 3 7

Media Media móvil móvil total (n=3) (n=3) ND ND ND ND ND ND 4+6+5=15 15/3 = 5

ND


PRONOSTICOS

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_____________________________

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Respuesta Yi 4 6 5 3 7

Media Media móvil móvil total (n=3) (n=3) ND ND ND ND ND ND 4+6+5=15 15/3 = 5 6+5+3=14 14/3=4 2/3

ND


PRONOSTICOS

45


_____________________________

Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Respuesta Yi 4 6 5 3 7 ND


Media Media móvil móvil total (n=3) (n=3) ND ND ND ND ND ND 4+6+5=15 15/3=5,0 6+5+3=14 14/3=4,7 5+3+7=15 15/3=5,0 PRONOSTICOS

46

Gráfico de la media móvil

_____________________________

Ventas 8

Real

6

pronóstico

4 2 99

00


01 02 Año PRONOSTICOS

03

04 47

Método de la media _____________________________

móvil ponderada

♦ Se utiliza cuando se presenta una tendencia: ♦

Los datos anteriores tienen importancia ponderada.

♦ Las ponderaciones se basan en la intuición y análisis de datos previos: Suelen estar entre 0 y 1, y la suma dar 1,0. ♦ Los periodos más recientes suelen ponderarse con mayor peso ♦

♦ Ecuación: Media móvil Σ (ponderación para el periodo n) (demanda en el periodo n) ponderada = Σ ponderaciones


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Demanda actual, media móvil y media _____________________________ móvil ponderada 35 Demanda de ventas

30 25

Media móvil ponderada Ventas reales

20 15 10

Media móvil

5 0

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic Mes


PRONOSTICOS

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Inconvenientes de los métodos de media móvil _____________________________

♦Al aumentar n veces, los pronósticos son menos sensibles a los cambios. ♦No es posible predecir bien la tendencia. ♦Se necesitan muchos datos históricos. ♦El horizonte de proyección es corto.


PRONOSTICOS

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Suavizamiento Exponencial _____________________________

♦ Es una técnica de pronóstico de media móvil ponderada: Las ponderaciones disminuyen exponencialmente. ♦ Se ponderan más los datos más recientes. ♦

♦ Se necesita una constante de Suavizamiento (α): Toma valores entre 0 y 1. ♦ Se escoge de forma subjetiva. ♦ Mayor α : Pondera más la demanda reciente, el periodo reciente ♦ Menor α : Pondera poco la demanda reciente. Le da peso a demandas anteriores. ♦

♦ Necesita una cantidad reducida de datos históricos.


PRONOSTICOS

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Ecuaciones del Suavizamiento _____________________________ Exponencial ♦

Ft = αAt - 1 + α(1-α)At - 2 + α(1- α)2At - 3 + α(1- α)3At - 4 + ... + α(1- α)t-1A0 Ft = Valor del pronóstico ♦ At = Valor real ♦ α = Constante de Suavizamiento (0 < α < 1) ♦ Habitualmente (0.05 < α < 0.50) ♦

♦

Ft = Ft-1 + α(At-1 - Ft-1) ♦

Se utiliza para calcular el pronóstico.


PRONOSTICOS

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Ejemplo de Suavizamiento Exponencial _____________________________

Usted está organizando un evento cultural. Desea predecir el número de personas que asistirán en el año 2004 mediante el Método de Suavizamiento Exponencial (α = 0,10). El pronóstico para 1999 fue de 175. 1999 180 2000 168 2001 159 2002 175 2003 190


PRONOSTICOS

53

Solución mediante Suavizamiento _____________________________ Exponencial

Ft = Ft-1 + α (At-1 - Ft-1) pronóstico, F t ( α = 0,10)

Año Real 1999

180

2000

168

2001

159

2002

175

2003

190

2004

ND

175,00 (Dato) 175,00 +


PRONOSTICOS

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Solución del Suavizamiento Exponencial _____________________________

Ft = Ft-1 + α(At-1 - Ft-1) pronóstico, F t ( α = 0,10)

Año Real 1999

180

2000

168

2001

159

2002

175

2003

190

2004

ND

175,00 (Dado) 175,00 + 0,10(


PRONOSTICOS

55


Ft = Ft-1 + α (At-1 - Ft-1) pronóstico,Ft (α = 0,10)

Año Real 1999

180

2000

168

2001

159

2002

175

2003

190

2004

ND

175,00 (Dado) 175,00 + 0,10(180 -


PRONOSTICOS

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Ft = Ft-1 + α (At-1 - Ft-1) pronóstico, Ft (α = 0,10)

Año Real 1999

180

2000

168

2001

159

2002

175

2003

190

2004

ND

175,00 (Dado) 175,00 + 0,10(180 - 175,00)


PRONOSTICOS

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Ft = Ft-1 + α (At-1 - Ft-1) pronóstico, Ft (α = 0,10)

Año Real 1999

180

2000

168

2001

159

2002

175

2003

190

2004

ND

175,00 (Dado) 175,00 + 0,10(180 - 175,00) = 175,50


PRONOSTICOS

58


Ft = Ft-1 + α (At-1 - Ft-1) Año

pronóstico, F t ( α = 0,10)

Real

1999

180

2000

168

175,00 + 0,10(180 - 175,00) = 175,50

2001

159

175,50 + 0,10(168 - 175,50) = 174,75

2002

175

2003

190

2004

ND

175,00 (Dado)


PRONOSTICOS

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Ft = Ft-1 + α (At-1 - Ft-1) Año

pronóstico, F t (α = 0,10)

Real

1999

180

175,00 (Dado)

2000

168

175,00 + 0,10(180 - 175,00) = 175,50

2001

159

175,50 + 0,10(168 - 175,50) = 174,75

2002

175

174,75 + 0,10(159 - 174,75)= 173,18

2003

190

2004

ND


PRONOSTICOS

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Ft = Ft-1 + α (At-1 - Ft-1) Año


Real

1999

180

2000

168

175,00 + 0,10(180 - 175,00) = 175,50

2001

159

175,50 + 0,10(168 - 175,50) = 174,75

2002

175

174,75 + 0,10(159 - 174,75) = 173,18

2003

190

173,18 + 0,10(175 - 173,18) = 173,36

2004

ND

175,00 (Dado)


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Ft = Ft-1 + α (At-1 - Ft-1) Año


Real

1999

180

2000

168

175,00 + 0,10(180 - 175,00) = 175,50

2001

159

175,50 + 0,10(168 - 175,50) = 174,75

2002

175

174,75 + 0,10(159 - 174,75) = 173,18

2003

190

173,18 + 0,10(175 - 173,18) = 173,36

2004

ND

173,36 + 0,10(190 - 173,36) = 175,02

175,00 (Dado)


PRONOSTICOS

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Gráfico del Suavizamiento Exponencial _____________________________

Ventas 190 180 170 160 150 140 99

Real

pronóstico

00


01 02 Años PRONOSTICOS

03

04 63

Efectos del Pronóstico de la constante de Suavizamiento α _____________________________

Ft = α At - 1 + α(1- α)At - 2 + α(1- α)2At - 3 + ... Ponderaciones α=

Periodo anterior Hace 2 periodos Hace 3 periodos

α α= 0,10

α(1 - α)

α(1 - α)2

10%

α= 0,90


PRONOSTICOS

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Ft = α At - 1 + α(1- α) At - 2 + α(1- α)2At - 3 + ... Ponderaciones α= α= 0,10


α

α(1 - α)

10%

9%

α(1 - α)2

α= 0,90


PRONOSTICOS

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Ft = α At - 1 + α(1- α)At - 2 + α(1- α)2At - 3 + ... Ponderaciones α= α= 0,10


α

α(1 - α)

α(1 - α)2

10%

9%

8,1%

α= 0,90


PRONOSTICOS

66


Ft = α At - 1 + α(1- α)At - 2 + α(1- α)2At - 3 + ... Ponderaciones α=


α

α(1 - α)

α(1 - α)2

α= 0,10

10%

9%

8,1%

α= 0,90

90%


PRONOSTICOS

67


Ft = α At - 1 + α(1- α) At - 2 + α(1- α)2At - 3 + ... Ponderaciones α=


α

α(1 - α)

α(1 - α)2

α= 0,10

10%

9%

8,1%

α= 0,90

90%

9%


PRONOSTICOS

68


Ft = α At - 1 + α(1- α) At - 2 + α(1- α)2At - 3 + ... Ponderaciones α=


α

α(1 - α)

α(1 - α)2

α= 0,10

10%

9%

8,1%

α= 0,90

90%

9%

0,9%

La importancia de los periodos antiguos disminuye rápidamente a medida que α aumenta USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

69

Errores de Pronóstico _____________________________

Permite medir el error global del modelo de pronóstico. Error de pronóstico = demanda – pronóstico Se trata de seleccionar el valor de α que minimice el error de pronóstico, calculado como • la desviación absoluta media (DAM), o • el error cuatrático medio (ECM)

DAM = ECM =

∑ errores de pronóstico n ∑ errores de pronóstico


n

PRONOSTICOS

2 70

Suavizamiento exponencial con ajuste de tendencia _____________________________ Se utiliza para dar respuesta a las tendencias presentes en la demanda. Para mejorar la previsión se ajusta el modelo de alisado exponencial para desfases positivos o negativos en la tendencia. pronóstico incluyendo la tendencia (PITt) = pronóstico alisada exponencialmente (Ft) + tendencia suavizada exponencialmente (Tt)


PRONOSTICOS

71

Suavizamiento exponencial con ajuste de tendencia _____________________________ Ft = α (demanda real del último periodo) + (1- α)(pronóstico del último periodo + tendencia estimada del último periodo) o

Ft = α(At-1) + (1- α)(Ft-1 + Tt-1)

Tt = β(pronóstico de este periodo - pronóstico del último periodo) + (1- β)(tendencia estimada del último periodo) o

Tt = β(Ft - Ft-1) + (1- β)Tt-1


PRONOSTICOS

72

Suavizamiento exponencial con ajuste de tendencia _____________________________

♦ Ft = pronóstico suavizado exponencialmente de la serie de datos en el periodo t. ♦ Tt = tendencia suavisada exponencialmente en el periodo t. ♦ At = demanda real en el periodo t. ♦ α = constante de Suavizamiento para la media. (0< α<1)

♦ β = constante de Suavizamiento para la tendencia. (0< β<1) USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

73

Comparación de Pronósticos

Demanda del producto

_____________________________

40 35 30 25 20 15 10 5 0 Ene.

Suavizamiento exponencial + Tendencia

Demanda real

Suavizamiento exponencial

Feb.

Mar.

Abr.

May.

Jun.

Jul.

Ago.

Sep.

Mes


PRONOSTICOS

74

Método de mínimos cuadrados

Valores de la variable dependiente

_____________________________

Observación real

Desviación

Desviación

Desviación Desviación

Desviación

Desviación Desviación

Punto en la línea de tendencia

Yˆ = a + bx Periodo de tiempo


PRONOSTICOS

75

Demanda real y línea de tendencia _____________________________

Demanda

180 160 140

Y = 56,70+ 10,54X

120 100 80 60 40

Demanda real

20 0 0

2

4

6

8

10

Periodo de tiempo


PRONOSTICOS

76

Análisis de regresión lineal

_____________________________

♦ Se usa para prever la línea de tendencia. ♦ Supone una relación entre la variable de respuesta, Y, y el periodo de tiempo, X, que es una función lineal:

Y$i = a + bX i ♦ Se calcula mediante el método de los mínimos cuadrados: ♦

Minimiza la suma de errores cuadrados.


PRONOSTICOS

77

Modelo del análisis de regresión lineal _____________________________

Y

Y$i = a + bX i b>0

a b<0 a Tiempo, X USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

78

Diagrama de dispersión

_____________________________

Ventas 4 3 2 1 0 99

Ventas frente a tiempo

00

01

02

03

Periodo de tiempo USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

79

Ecuaciones de mínimos cuadrados

_____________________________

Ecuación:

ˆ i = a + bx i Y n

Pendiente:

∑ x i y i − nx y

b = i =1n ∑ x i2 − nx 2 i =1

Corte con el eje Y: a = y − bx


PRONOSTICOS

80

Tabla de cálculo

_____________________________

Xi X1

Yi

2 Xi

2 Yi

X iY i

Y1

X1

2

Y1

2

X 1Y 1

2

Y2

2

X 2Y 2

X2

Y2

X2

:

:

:

Xn ΣX i

: 2

Yn

Xn

ΣYi

2 ΣX i


: 2

X nY n

2 ΣY i

ΣX iY i

Yn

PRONOSTICOS

81

Ejemplo de análisis de regresión lineal _____________________________

Usted es el analista de marketing de Shu-Q-To, compañía japonesa productora de piezas mecanizadas de alta precisión. Obtuvo los siguientes datos: Año Ventas (unidades) 1999 1 2000 1 2001 2 2002 2 2003 4 ¿Cuál es la ecuación de tendencia? USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

82

Modelo de pronóstico del análisis de _____________________________ regresión lineal

Usted está realizando el análisis de marketing de ^ Shu-Q-To. Al utilizar años codificados, halla que Yi = 0,1 + 0,7Xi. Año Ventas (Unidades) 1999 1 2000 1 2001 2 2001 2 2003 4 Determine el pronóstico para el año 2004. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

83

Modelo estacional multiplicativo _____________________________

♦ Encontrar la demanda histórica media para cada “estación” sumando la demanda de esa estación cada año y dividiéndola entre el número de años de datos disponibles. ♦ Calcular la demanda media a lo largo de todas las estaciones dividiendo la demanda media total anual entre el número de estaciones. ♦ Calcular un índice estacional dividiendo la demanda histórica real de esa estación (calculado en la etapa 1) entre la demanda media a lo largo de todas las estaciones. ♦ Estimar la demanda anual de todo el año próximo. ♦ Dividir esta estimación de la demanda anual total entre el número de estaciones y entonces multiplicarla por el índice estacional de esa estación. Esto proporciona el pronóstico estacional . 84 USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I PRONOSTICOS

Modelo de Previsión Causal a través de la regresión lineal _____________________________

♦Muestra la relación lineal entre las variables dependientes e independientes. ♦

Ejemplo: ventas y publicidad (sin tiempo) Corte con el eje Y

Pendiente

^ Yi = a + b X i Variable dependiente


Variable independiente

PRONOSTICOS

85

Modelo de regresión lineal

_____________________________

Y

Y i = a  b X i  Error Error Línea de tendencia

Yî = a  b X i

X Valor observado USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

86

Suposiciones de los mínimos cuadrados _____________________________

♦Se supone que la relación es lineal. Primero trace los datos, si existe relación en curva, utilice el análisis curvilineal. ♦Se supone que la relación sólo se sustenta dentro o justo fuera del campo de datos. No trate de predecir periodos de tiempo lejanos al campo de la base de datos. ♦Se supone que las desviaciones que rodean a la línea de los mínimos cuadrados son aleatorias. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

87

Transformación de variables para linearizar

_____________________________

β 〉0

β 〈0

Y =Y

Y = α + β log X

logY = α + β log X

logY = α + βX 1 = α + βX Y USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

88

Criterios para determinar “la mejor” línea

_____________________________

♦ La mejor línea es aquella que minimiza la suma de todos los errores n

min ∑ (Yi − Yî ) i =1

♦ La mejor línea es aquella que minimiza la suma de los valores absolutos de los errores n

min ∑ Yi − Yî i =1

♦ La mejor línea es aquella que minimiza la suma de los cuadrados de los errores n

min ∑ (Yi − Yî ) USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

i =1

2

PRONOSTICOS

89

Minimización de los cuadrados

_____________________________

min ∑i =1 [Yi − (αˆ + βˆX i )]

2

n

∂ ∂α

∑ [Y − (αˆ + βˆX )]

2

n

i =1

i

i

=0 ∂ ∂β

∑ (Y − αˆ − βˆX ) = 0 i =1

Resolviendo:

i =1

i

i

=0

∑ X (Y − αˆ − βˆX ) = 0

n

i

∑ [Y − (αˆ + βˆX )]

2

n

n

i

i =1

i

i

i

αˆ = Y − βˆ X n

βˆ = USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

∑

X iYi − n X Y

∑

X i − nX

i =1 n

i =1

2

2

PRONOSTICOS

90

Ecuaciones de regresión lineal

_____________________________

Ecuación:

ˆ i = a + bx i Y n

Pendiente:

∑ x i y i − nx y

b = i =1n ∑ x i2 − nx 2 i =1

Corte con el eje Y: a = y − bx


PRONOSTICOS

91

Tabla de cálculo

_____________________________

Xi X1

Yi

2 Xi

2 Yi

X iY i

Y1

X1

2

Y1

2

X 1Y 1

2

Y2

2

X 2Y 2

X2

Y2

X2

:

:

:

: 2

Yn

2

ΣY i

Xn

Yn

Xn

ΣX i

ΣYi

ΣX i


:

PRONOSTICOS

2

X nY n

2

ΣX iY i 92

Interpretación de los coeficientes

_____________________________

♦Pendiente (b): ♦

El cálculo de Y varía en b cada unidad extra en X. ♦ Si b = 2, entonces las ventas (Y) aumentarán en 2 por cada

unidad extra en publicidad (X).

♦Corte con el eje Y (a): ♦

Valor medio de Y cuando X = 0. ♦ Si a = 4, entonces las ventas medias (Y) serán de 4 cuando

la publicidad (X) sea 0.


PRONOSTICOS

93

Variación de los errores aleatorios

_____________________________

♦Variación del Y real a partir del Y predecido. ♦Se mide mediante el error estándar de la estimación: Muestra los errores de la desviación estándar ♦ Es una medida de la variabilidad alrededor de la línea de regresión. ♦ SY,X ♦

♦Refleja la precisión de la predicción.


PRONOSTICOS

94

Medidas de Eficiencia de la Estimación

_____________________________

Error Estándar del Estimado Es una medida del error en que se incurre al emplear en lugar del Y verdadero n

S =

∑

i =1

Yˆ

2 ˆ (Yi − Y i )

n − (k + 1 )

K = no. de variables independientes N-(k+1) = no. de grados de libertad

El 95% de las observaciones caerá entre más o menos 2S a cada lado de la línea de regresión USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

95

Error estándar del estimado

_____________________________

n

∑

S y, x =

=

(yi − yî )2

i =1

El libro utiliza el

n−2

símbolo Yc

n 2 n n ∑ yi − a ∑ yi − b ∑ x i yi i =1 i =1 i =1

n−2

Ecuación cuando k=1 (una sola variable independiente) USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

96

_____________________________

Correlación

♦Respuestas: ‘¿qué intensidad tiene la relación lineal entre las variables?’ ♦El coeficiente de correlación se identifica normalmente como r o R. Los valores varían entre -1 y +1 . ♦ Mide el grado de asociación. ♦


PRONOSTICOS

97


_____________________________

Coeficiente de Correlación Es una medida de la asociación entre las variables aleatorias X e Y

S xy Co var ianzaX , Y R= = SxS y SxS y S xy

Sx =

(X ∑ =

2 ( ) − X X ∑ i

n


i

− X )(Yi − Y ) n

Sy = PRONOSTICOS

2 ( ) − Y Y ∑ i

n 98

Fómula del coeficiente de correlación _____________________________

r=

n

n

n

i =1

i =1

i =1

n ∑ x i yi − ∑ x i ∑ yi ⎡ n 2 ⎛ n ⎞2 ⎤⎡ n 2 ⎛ n ⎞2 ⎤ ⎢n ∑ x i − ⎜ ∑ x i ⎟ ⎥ ⎢n ∑ yi − ⎜ ∑ yi ⎟ ⎥ ⎝ i =1 ⎠ ⎦ ⎣ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎦ ⎣ i =1


PRONOSTICOS

99

Valores del coeficiente de correlación _____________________________

Correlación negativa perfecta

-1,0

Correlación positiva perfecta

Sin correlación

-0,5

Aumento de la correlación negativa


0

+0,5

+1,0

Aumento de la correlación positiva

PRONOSTICOS

100

Coeficiente de correlación y modelo de regresión _____________________________ Y

r=1

Y

Yî = a + b X i

r = -1

Yî = a + b X i

X Y

r = 0,89

X Y

Yî = a + b X i

Yî = a + b X i

X USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

r=0

PRONOSTICOS

X

101


_____________________________

Coeficiente de Determinación Es la tasa de la suma de los cuadrados explicada por la regresión y la suma total de los cuadrados 2 2 ˆ ( ) ( ) − − − Y Y Y Y ∑ i ∑ i i R2 = 2 ( ) − Y Y ∑ i


PRONOSTICOS

102

Análisis de Regresión Múltiple

_____________________________

♦ Modelo con varias variables independientes en lugar de una sola.

^ Y i = a + b X1i + c X2i Variable dependiente


Variables independientes

PRONOSTICOS

103

Análisis de Regresión Múltiple

_____________________________

Elaboración de un modelo lineal: 1. Examinar la relación entre cada variable dependiente y la variable independiente con el fin de detectar no linearidades. 2. Linearizar toda relación no lineal encontrada, mediante transformación de variables. 3. Determinar la matriz de correlación simple 4. En dicha matriz, detectar: a) Variables independientes que tengan una asociación estadística con la variable dependiente b) Dependencia entre variables dependientes 5. Estimar los parámetros y medidas de eficiencia de las ecuaciones de regresión potenciales 6. Analizar los resultados encontrados USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

104

Guía para elegir el modelo de pronóstico _____________________________

♦En el pronóstico quiere lograr: ♦

Ninguna conducta o dirección del error de pronóstico. ^ ♦ Error = (Y - Y ) = (Real - pronóstico). i

i

♦ Se observa en las representaciones de los errores a lo largo

del tiempo. ♦

Un error de pronóstico más pequeño: ♦ Error cuadrado medio (ECM). ♦ Desviación absoluta media (DAM).


PRONOSTICOS

105

Conducta del error de pronóstico

_____________________________

Tendencia no totalmente justificada

Conducta deseada

Error

Error

0

0 Tiempo (años)


Tiempo (años)

PRONOSTICOS

106

Ecuaciones del error de pronóstico

_____________________________

♦Error cuadrado medio (ECM): n

ECM =

∑ (y i − ˆy i ) 2

i =1

n

2

∑ errores de pronóstico = n

♦Desviación absoluta media (DAM): n

DAM =

∑ | yi

i =1

− yˆ i |

n


=

∑ |errores

de pronóstico| n

PRONOSTICOS

107

Ejemplo de selección del modelo de _____________________________ pronóstico Usted es el analista de marketing de Shu-Q-To. Ha previsto las ventas con un modelo lineal y suavizamiento exponencial. ¿Qué modelo usará? Ventas

pronóstico del

Año

reales

modelo lineal

pronóstico del Suavizamiento exponencial (0,9)

1999 2000 2001 2002 2003

1 1 2 2 4

0,6 1,3 2,0 2,7 3,4

1,0 1,0 1,9 2,0 3,8


PRONOSTICOS

108

Evaluación del modelo lineal

_____________________________

^

Año

Yi

Yi

Error

Error2

|Error|

1999 2000 2001 2002 2003 Total

1 1 2 2 4

0,6 1,3 2,0 2,7 3,4

0,4 -0,3 0,0 -0,7 0,6 0,0

0,16 0,09 0,00 0,49 0,36 1,10

0,4 0,3 0,0 0,7 0,6 2,0

ECM = Σ Error2 / n = 1,10 / 5 = 0,220 DAM = Σ |Error| / n = 2,0 / 5 = 0,400 USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

109

Evaluación del modelo de Suavizamiento exponencial _____________________________ ^

Year

Yi

Yi

1999 2000 2001 2002 2003 Total

1 1 2 2 4

1,0 1,0 1,9 2,0 3,8

Error 0,0 0,0 0,1 0,0 0,2 0,3

Error2 0,00 0,00 0,01 0,00 0,04 0,05

|Error| 0,0 0,0 0,1 0,0 0,2 0,3

ECM = Σ Error2 / n = 0,05 / 5 = 0,01 DAM = Σ |Error| / n = 0,3 / 5 = 0,06 USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

110

Evaluación del modelo de Suavizamiento exponencial _____________________________ Modelo de Suavizamiento exponencial: ECM = Σ Error2 / n = 0,05 / 5 = 0,01 DAM = Σ |Error| / n = 0,3 / 5 = 0,06 Modelo lineal: ECM = Σ Error2 / n = 1,10 / 5 = 0,220 DAM = Σ |Error| / n = 2,0 / 5 = 0,400 USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

111

Señal de rastreo _____________________________

♦Mide el grado de precisión del Pronóstico para predecir valores reales. ♦Suma actual de los errores de pronóstico (SAEP) dividida entre la desviación absoluta media (DAM): ♦

Una buena señal de rastreo tiene valores bajos.

♦Debe estar dentro de los límites de control superiores e inferiores. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

PRONOSTICOS

112

Ecuación de la señal de rastreo _____________________________

Señal de rastreo =

SAEP DAM ∑ (y i n

− yˆ i )

= i =1 DAM =

∑


errores de pronóstico DAM

PRONOSTICOS

113

Cálculo de la señal de rastreo

_____________________________

Trim. Demanda Demanda prevista

Error SAEP Error |Error| DAM

real

1

100

90

2

100

95

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140


SR

absoluto acumulado

PRONOSTICOS

114


_____________________________ Trim. Demanda Demanda

prevista


real

1

100

90

2

100

95

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140

SR

absoluto acumulado

-10


Error Error==Real Real--pronóstico pronóstico ==90 90--100 100==-10 -10

PRONOSTICOS

115


_____________________________ Trim. Demanda prevista

Demanda


real

1

100

90

2

100

95

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140

SR

absoluto acumulado

-10


-10 SAEP SAEP==ΣΣErrores Errores ==ND ND++(-10) (-10)==-10 -10

PRONOSTICOS

116


_____________________________ Trim. Demanda Demanda prevista real

1

100

90

2

100

95

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140


SR

absoluto acumulado

-10


-10

10

Error Errorabsoluto absoluto==|Error| |Error| ==|-10| |-10|==10 10

PRONOSTICOS

117


_____________________________ Trim. Demanda prevista

Demanda


real

1

100

90

2

100

95

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140

SR

absoluto acumulado

-10


-10

10

10

|Error| |Error|acumulado acumulado==ΣΣ|Errores| |Errores| ==NA NA++10 10==10 10

PRONOSTICOS

118


_____________________________

Trim. Demanda prevista

Demanda


real

1

100

90

2

100

95

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140

absoluto

-10


-10

SR

acumulado

10

10 10,0

DAM DAM==ΣΣ|Errores|/n |Errores|/n ==10/1 10/1==10 10

PRONOSTICOS

119


_____________________________


Demanda


real

1

100

90

2

100

95

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140

absoluto

-10


-10

SR

acumulado

10

10 10,0

-1

SR SR==SAEP/DAM SAEP/DAM ==-10/10 -10/10==-1 -1

PRONOSTICOS

120


_____________________________



real

SR

absoluto acumulado

1

100

90

-10

2

100

95

-5

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140


-10

10

10 10,0

-1

Error Error==Real Real--pronóstico pronóstico ==95 95--100 100==-5 -5

PRONOSTICOS

121


_____________________________


Demanda

Error SAEP Error |Error| DAM absoluto

real

1

100

90

-10

-10

2

100

95

-5

-15

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140


SR

acumulado

10

10 10,0

-1

SAEP SAEP==ΣΣErrores Errores ==(-10) (-10)++(-5) (-5)==-15 -15

PRONOSTICOS

122


_____________________________



real

SR

absoluto acumulado

1

100

90

-10

-10

10

2

100

95

-5

-15

5

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140


10 10,0

-1

Error Errorabsoluto absoluto==|Error| |Error| ==|-5| |-5|==55

PRONOSTICOS

123


_____________________________



real

SR

absoluto acumulado

1

100

90

-10

-10

10

2

100

95

-5

-15

5

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140


10 10,0

-1

15

Error Erroracumulado acumulado==ΣΣ|Errores| |Errores| ==10 10++55==15 15

PRONOSTICOS

124


_____________________________



real

SR

absoluto acumulado

1

100

90

-10

-10

10

2

100

95

-5

-15

5

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140


10 10,0 15

-1

7,5

DAM DAM==ΣΣ|Errores|/n |Errores|/n ==15/2 15/2==7,5 7,5

PRONOSTICOS

125


_____________________________



real

SR

absoluto acumulado

1

100

90

-10

-10

10

2

100

95

-5

-15

5

3

100 115

4

100 100

5

100 125

6

100 140


10 10,0

-1

15

-2

7,5

SR SR==SAEP/DAM SAEP/DAM ==-15/7,5 -15/7,5==-2 -2

PRONOSTICOS

126

Representación de una señal de rastreo _____________________________

Señal que supera el límite

Señal de Rastreo

+

Límite de control superior

Señal de rastreo

0 -

Intervalo aceptable Límite de control inferior Tiempo


PRONOSTICOS

127

Señales de rastreo

160 140 120 100 80 60 40 20 0

3 pronóstico

2 1 0

Demanda real

-1

Señal de rastreo

-2

Señal de rastreo

Demanda real

_____________________________

-3 0

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo


PRONOSTICOS

128

Estimación de la Demanda: Pronósticos - Usuarios de prof

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