KINEMATIKA_ZADACI 1. Kinematika. Tijelo je bačeno okomito prema tlu početnom brzinom v0 = 54 km/h. Izračunajte visinu s koje je tijelo bačeno, ako je vrijeme trajanja slobodnog pada iznosilo 0,2 min? (g≈10m/s2) R: H=900 m 2. Kinematika, slobodni pad; Tijelo je bačeno okomito prema tlu početnom brzinom 5m/s. Posljednjih 20 m ukupnog puta prijeđe u vrijeme od 0.3 s. Izračunajte visinu s koje je tijelo počelo padati. R: H = 231 m 3. Kinematika; Kamen bacimo okomito uvis s vrha tornja visine 60 m početnom brzinom 20 m/s. Nakon postignute maksimalne visine kamen pada na tlo. Izračunajte brzinu kamena 20 m iznad tla. 4. Kinematika, horizontalni hitac; Tijelo je bačeno horizontalno s visine 400m početnom brzinom 20 m/s. Kolika je brzina tijela i kut koji ta brzina zatvara s osi x (horizontalnom ravninom) nakon 3 sekunde gibanja? r m R: v (3) = 36 , α (3s ) = 56,30 s
5. Kinematika, vertikalni hitac, slobodni pad; Kamen bacimo okomito uvis s vrha tornja visine 50 m početnom brzinom 25 m/s. Izračunajte ukupno vrijeme do pada kamena na tlo.
tVH v0 v0 tSL H
vuk
1
R: tuk = 2tVH + tSL =6,5 s; tVH je vrijeme trajanja vertikalnog hica (od tornja), tSL je vrijeme trajanja slobodnog pada od tornja prema dolje.
6. Autobus se giba iza kamiona na razmaku d = 60m. Oba vozila imaju jednaku brzinu, v0 = 54km/h. U trenutku kad autobus ubrza akceleracijom 0,8 m/s2, da bi pretekao kamion, kamion ubrza akceleracijom 0,6 m/s2. Izračunajte vrijeme u kojem će autobus dostići kamion. R: t = 24,5s Iz izjednačavanja putova (slika dolje): xA=d+xK, gdje je A simbol za autobus i K za kamion, dobivamo izraz za vrijeme susreta:
t 2=
v0
2d 120 = = 600 s 2 → t = 24,5s a1 − a 2 0,8 − 0,6
v0 xK(t) xA(t)
0 d
vrijeme susreta, xA(t)=d+ xK(t)
2
DINAMIKA_ZADACI Gibanje duž ravne podloge
7. Dinamika, kinematika. Čovjek vuče teret mase 30 kg vanjskom silom prema gore tako da sila zatvara kut od 300 s horizontalnom podlogom (pozitivan kut), čiji koeficijent trenja je 0.15. Kolika je vanjska sila čovjeka koja uzrokuje jednoliko ubrzano gibanje duž podloge s akceleracijom 0,6 m/s2 ? 8. Dinamika, kinematika. Čovjek vuče teret mase 30 kg vanjskom silom prema gore tako da sila zatvara kut od 400 s horizontalnom podlogom (pozitivan kut), čiji koeficijent trenja je 0.1. Koliki put pređe tijelo u prvoj minuti gibanja, ako je vanjska sila čovjeka jednaka 50 N a početna brzina tijela jednaka je nuli? 9. Dinamika, kinematika. Čovjek gura teret mase 20 kg vanjskom silom prema dolje tako da sila zatvara kut od 300 s horizontalnom podlogom (negativan kut) čiji koeficijent trenja je 0.2. Kolika je vanjska sila čovjeka koja uzrokuje jednoliko gibanje duž podloge? R: Ovaj zadatak ne možete izraditi bez crteža; ravna podloga, smjer svih sila i njihovih komponenti duž x- i y-smjera. Radi jednolikog gibanja duž podloge (x-osi), suma sila u tom smjeru jednaka je nuli (I Newtonov aksiom): FTR + Fv x = 0 ,
gdje je FTR jednako sili trenja a Fvx dio vanjske sile duž osi x (projekcija vanjske sile na x-os). Kako računamo silu trenja u ovom slučaju? Koristimo opći izraz za silu trenja: n
FTR = μ ∑ F⊥ i
,
1
u kojem su
F⊥ i sile okomite na podlogu (sile pritiska na podlogu). U našem slučaju
to nije samo težina tijela nego je i dio vanjske sile u y-smjeru, te je sila trenja jednaka:
FTR = μ (G + Fv y ) = μ (G + Fv ⋅ sin α ) . Konačni izraz za silu jednak je: Fv =
μ ⋅ mg ; cos α − μ sin α
ovaj izraz ne koristite kao gotovu jednadžbu već ju izvedite sami. Konačna vrijednost vanjske sile jednaka je 52,2 N.
3
10. Dinamika, kinematika. Čovjek gura teret mase 20 kg vanjskom silom prema dolje tako da sila zatvara kut od 300 s horizontalnom podlogom (negativan kut) čiji koeficijent trenja je 0.2. Kolika je vanjska sila čovjeka koja uzrokuje jednoliko gibanje duž podloge? R: Fv = 52,2 N
11. Dinamika, trenje; Čovjek gura teret mase 40 kg vanjskom silom prema gore tako da sila zatvara kut od 300 s horizontalnom podlogom čiji koeficijent trenja je 0.12. Kolika je vanjska sila čovjeka koja uzrokuje jednoliko ubrzano gibanje duž podloge akceleracijom 2m/s2 ?
Kosina 12. Dinamika, kinematika. Kosina visine 5,5 m postavljena je u skladištu dužine 15 m. S vrha kosine spušta se paket papira mase 25 kg s početnom brzinom nula. Za koje vrijeme stiže paket papira s vrha kosine do dna u slučaju a) kada je trenje zanemareno i b) ako je trenje između paketa i kosine 0,2 ?
tuk=? 5,5
15 13. Dinamika, kinematika. Kosina visine 5,5 m postavljena je u skladištu dužine 15 m. S vrha kosine spušta se paket papira mase 30 kg s početnom brzinom nula. Kolika je brzina paketa na dnu kosine u slučaju: a) kada je trenje zanemareno i b) ako je trenje između paketa i kosine 0,2 ? Izrazite brzine u km/h.
vuk=? 5,5
15 4
14. Dinamika. Tijelo mase 5 kg počinje se gibati s vrha kosine početnom brzinom 15 m/s. Kosina, koeficijenta trenja 0,15, ima visinu 50 m i kut nagiba 100. Izračunajte brzinu tijela na dnu kosine. R: vuk=18,9 m/s = 68,04 m/s
15. Dinamika, kosina; Tijelo mase 5 kg počinje se gibati s vrha kosine početnom brzinom 20 m/s. Kosina, koeficijenta trenja 0,15, ima visinu 50 m i kut nagiba 100. Izračunajte brzinu tijela na dnu kosine. R: vuk=23,2 m/s
16. Dinamika; Auto mase 4t spušta se niz kosinu kuta nagiba 80 početnom brzinom 18 km/h, uz konstantnu silu djelovanja motora niz čitavu kosinu. Za prvih 50 m poveća se brzina auta tri puta. Izračunajte srednju snagu motora, ako je koeficijent trenja jednak 0,15. R: Fv = 2,58⋅103, prema dolje
17. Kamion mase 4t počinje se gibati uz kosinu (s dna) nagiba 150 početnom brzinom 90km/h, pri čemu ne upotrebljava silu motora. Za koliko vremena prijeđe tijelo prvih 50m puta ako je koeficijent trenja 0,1 ? (g≈10 m/s2)
v0 G⎥⎥ FTR
18. Kamion mase 3t počinje se gibati uz kosinu, nagiba 80 i koeficijenta trenja 0,15, početnom brzinom 90km/h. Nakon 500m gibanja kamionu se brzina smanji na 72km/h. Izračunajte veličinu i smjer djelovanja vanjske sile (sile motora kamiona). Zadatak svakako skicirajte; u crtež unesite sve sile. (g≈10 m/s2) R: Fv=7951 N, djelovanje uz kosinu, u smjeru gibanja kamiona 19. Kamion mase 3t počinje se gibati uz kosinu (s dna) nagiba 100 početnom brzinom 72km/h, pri čemu ne upotrebljava silu motora. Za koje vrijeme će se auto zaustaviti ako je koeficijent trenja 0,15 ? (g≈10 m/s2) 5
R: u ovom zadatku moramo izračunati akceleraciju (negativnu, retardaciju ili usporavanje) kamiona. Pri tom moramo paziti da pravilno postavimo jednadžbu gibanja tijela (kamiona); ne smijemo relaciju za sile pisati bez slike i bez sila koje djeluju na tijelo a koje nismo ucrtali u našoj slici. U našem slučaju, sile koje djeluju na tijelo koje se počinje gibati uz kosinu, imaju smjer kao na slici: konačna točka,
vuk=0, tuk=?
početna točka, v0≠0, t0=0
v0 FTR G⎥⎥
G⊥ G
Iz slike vidimo da je rezultantna sila koja djeluje na tijelo jednaka: FR= - (G⎥⎥ + FTR) → aR = - g(sin α + μ⋅cos β) = -3,2 m/s2. Kako ćemo sada izračunati vrijeme trajanja gibanja do trenutka kada se ukupna brzina smanji na nulu, vuk=0 ? Znamo da je ovisnost brzine o vremenu za jednoliko ubrzano (i usporeno) gibanje jednaka: v(t) = v0 + aR⋅t za vuk(t) = 0 → 0 = v0 + aR⋅tuk → tuk = −
v0 20 =− = 6,25 s . aR − 3,2
Kada bi se tražio ukupan pređeni put do zaustavljanja, dobili bismo ga iz jednadžbe za ovisnost puta o vremenu: a suk = v0 ⋅ tuk + R ⋅ tuk2 , što nakon uvrštavanja daje vrijednost puta, suk=62,5 m. 2 Isti taj put možemo dobiti iz relacije koja veže početnu i konačnu brzinu jednoliko ubrzanog (usporenog) gibanja s pređenim putom i akceleracijom (retardacijom):
vuk2 = v02 + 2a R ⋅ suk , pa ako je vuk=0, → suk = −
v02 20 2 =− = 62,5 m 2a R − 3,2
6
20. Auto mase 4t spušta se niz kosinu kuta nagiba 80 početnom brzinom 18 km/h, uz konstantnu silu djelovanja motora niz čitavu kosinu. Nakon gibanja od 700m poveća se brzina auta tri puta. Izračunajte srednju snagu motora, ako je koeficijent trenja jednak 0,12. (U kojem smjeru djeluje vanjska sila?) R: aR = 0,14 m/s2, Fv = 240 N, djeluje uz kosinu, „prema gore“, P = 2,4kW
21. Kamion mase 4t počinje se gibati uz kosinu (s dna) nagiba 150 početnom brzinom 90km/h, pri čemu ne upotrebljava silu motora. Za koliko vremena prijeđe tijelo prvih 50m puta ako je koeficijent trenja 0,1 ? (g≈10 m/s2) R: Za ovaj zadatak je svakako potreban crtež iz kojeg se mogu uočiti sile koje svojom rezultantnom akceleracijom usporavaju početnu brzinu.
v0 G⎥⎥ FTR Rezultantna sila na tijelo jednaka je: FR= -(G⎥⎥+ FTR), pri čemu negativan predznak određuje djelovanje sile u suprotnom smjeru od početnog gibanja tijela. Nakon računa dobivamo za rezultantnu akceleraciju i vrijeme trajanja gibanja nakon pređenih 50 m:
aR = -3,6 m/s, ; t1 = 2,4 s i t2 = 11,5 s. 22. Točna je prva vrijednost za vrijednost za vrijeme, jer ona pripada vremenu uspinjanja tijela, a drugo (veće) vrijeme odgovara točki koju tijelo dosegne prilikom silaska niz kosinu. Nakon oba vremena tijelo se nalazi u istoj točki u odnosu na početak gibanja (dno kosine). 23. Tijelo se giba jednoliko usporeno pri čemu u prvih 5 sekundi pređe 500m a u slijedećih 5 sekundi pređe 240m. Izračunajte akceleraciju tijela. R: a = -10,4 m/s2 a = konst, < 0 (usporavanje)
v0
v1 s1
s2
7
24. Čovjek vuče teret mase 30 kg vanjskom silom prema gore tako da sila zatvara kut od 300 s horizontalnom podlogom čiji koeficijent trenja je 0.15. Kolika je vanjska sila čovjeka koja uzrokuje jednoliko gibanje duž podloge?
Fv , y
Fv
FTR
α
Fv , x
r r r F = G ∑ ⊥, i − Fv y n
i =1
G
R: Fv = 47,82 N; komponente sile su: Fv , x = Fv ⋅ cos α , Fv , y = Fv ⋅ sin α
25. Čovjek gura teret mase 20 kg vanjskom silom prema dolje tako da sila zatvara kut od 300 s horizontalnom podlogom (negativan kut) čiji koeficijent trenja je 0.2. Kolika je vanjska sila čovjeka koja uzrokuje jednoliko gibanje duž podloge?
FTR
α
Fv , y
Fv , x Fv
G
r r r F G = ∑ ⊥, i + Fv, y n
i =1
R: Fv = 52,2 N
8
26. Tijelo mase 5 kg počinje se gibati s vrha kosine početnom brzinom 15 m/s. Kosina, koeficijenta trenja 0,15, ima visinu 50 m i kut nagiba 100. Izračunajte brzinu tijela na dnu kosine. R:
Ucrtajte i označite sve sile; prikažite jednadžbu gibanja tijela:
v0 FR
FR = G − FTR
μ≠0
= mg ⋅ sin α − μ ⋅ mg ⋅ cos α
α
vuk
odakle nakon računa slijedi vrijednost za akceleraciju, aR = 0,26 m/s2. Ukupnu brzinu tada računamo iz podataka za jednoliko ubrzano gibanje duž pravca i dobivamo vuk =19,36 m/s ili 69,7 km/h.
27. Vlak mase 500 tona jednoliko se usporuje upotrebljavajući silu kočenja, pri čemu se njegova brzina smanjuje od 43,2 km/h na 27 km/h u 1,2 minute. Izračunajte silu kočenja i izvršeni rad. R: a = - 0,0625 m/s2, Fv = 3, 125⋅104 N, W = 2,19⋅107 J
28. Tijelo mase 10 kg počinje se gibati s vrha kosine početnom brzinom 15 m/s. Kosina, visine 70 m i nagiba 100, ima podlogu koeficijenta trenja 0,2. Izračunajte vrijeme potrebno da tijelo siđe do dna kosine. R: Računajući vrijednosti sila u jednadžbi gibanja, FR = G − FTR = mg ⋅ sin α − μ ⋅ mg ⋅ cos α = −2.33 N
uočavamo da je sila trenja veća od komponente težine tijela prema dolje, FTR 〉 G ; G = 17,4 N , FTR = 19,7 N . Gibanje nije moguće; sila trenja ne uzrokuje gibanje.
Razmislimo o ovom rješenju: tijelo se ne može gibati ako je uvjetovano silom trenja kao dominantnom silom. ali u našem slučaju tijelo već ima početnu brzinu, v0 = 15 m/s, kojom će se gibati tako dugo dok ga rezultantna sila FR = -2,33 N ne zaustavi.
9
Znači, gibanje je moguće; ono je jednoliko usporeno, akceleracijom:
a R = −0,233m / s 2 Vrijeme silaska niz kosinu izračunat ćemo iz jednadžbe za put, s, duž kosine: s (t ) = v0 ⋅ t uk +
aR 2 ⋅ t uk , 2
gdje je s = h/sin α = 403 m, v0 = 15 m/s i aR = -0,233 m/s2. Jednadžba ima dva rješenja: t1 = 38,2 s i t2 = 90,6 s, od kojih je prvo rješenje fizikalno moguće. Razmislite, zašto? Ako želimo saznati kolika je brzina tijela na dnu kosine, račun pokazuje vrijednost 6,1 m/s. Nadalje, brzina tijela postala bi nula tek za duljinu kosine 483 m, što bi pripadalo visini kosine od 84 m. Naša kosina ima premalu visinu za taj uvjet. Ovakva i slična pitanja i analize ( pa i računi) često puta su potrebni da shvatimo neki zadatak u cijelosti. Takve potpune analize se ne izrađuju tokom pismenog dijela ispita; za to se pripremamo prije, studirajući. Za potpuno razumijevanje ovog zadatka trebali bismo skicirati pripadne kinematičke grafove: a(t), v(t) i s(t) i promatrati (i računati) pojedine dijelove puta. Isto tako, često puta moramo ustanoviti koji dijelovi puta su fizikalno mogući za dani slučaj. Napomena: u ovom zadatku uočavamo kompleksnost gibanja, ali i potrebu da slijedimo pravila tih gibanja. Shvatiti problem često puta ne znači izračunati samo ono što se traži u zadatku, a još manje „tražiti jednadžbu“ za pripadni zadatak. Sjetite se: ne postoji jednadžba za neki određeni zadatak, postoji problem koji moramo rješavati onim znanjem i pravilima koje smo naučili o danom sadržaju. R: Rezultat je dakle, ovog zadatka: tijelo će stići do dna kosine za 38,2 s, brzinom 6,1 m/s.
10
