Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden Invers suatu fungsi dan turunannya Fungsi logaritma asli Fungsi eksponen asli Fungsi eksponen dan logaritma umum Pertumbuhan dan peluruhan eksponen
Fungsi Transenden
Fungsi satu-ke-satu Fungsi f : D f R f dikatakan satu-ke-satu jika untuk setiap u, v Є Df berlaku u ≠ v, f (u) ≠ f (v). (atau f (u) = f (v) maka u = v, untuk setiap u,v ЄD f ) Contoh:
, f (x) = x3 satu-ke-satu karena f (u) f (v) maka u 3 v3 dengan demikian u3 -v3 0 atau (u v)(u 2 uv v3 ) 0, maka u v 2 Fungsi f : [0, ), f ( x) x bukan satu-ke-satu Fungsi f:
karena -2, 2
D f dengan 2 ≠ 2 tetapi f (-2) = f (2) = 4.
Invers Fungsi & Turunannya x
f
Misalkan x berada pada suatu daerah asal dan f fungsi satu-satu; Kemudian x kita kenakan pada f, akan menghasilkan f(x) pada daerah hasil; Selanjutnya kita kenakan f(x) pada fungsi invers atau balikannya; yang hasilnya adalah x itu sendiri.
f (x)
Atau dengan kata lain dapat dinotasikan dengan
f -1
x
f 1 f x x
dan
f 1 f y y
Fungsi Transenden
Notasi Fungsi Invers Andaikan f memiliki balikan atau invers, maka
x f 1 y y f x Akibatnya y=f(x) dan f invers y menentukan pasangan bilangan (x,y) yang sama, sehingga memiliki grafik-grafik yang identik.
y ( 2, 4 )
y=x
( 4, 2 )
y = f -1 (x)
x y = f(x)
Fungsi Transenden
Teorema Eksistensi Fungsi Invers
Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki fungsi invers
Fungsi Transenden
Contoh Soal f x x 2 x 1 5
f x 5x 2 0 4
f memiliki invers pada daerah asalnya, yaitu bilangan real.
Fungsi Transenden
Prosedur Menentukan Bentuk Invers Fungsi Langkah 1 : Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y. Misalkan:
x 1 x y x 1 x y xy x x xy y y
x1 y y x
y 1 y
Langkah 2 : Gunakan f-1 (y) untuk untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.
y f y 1 y 1
Langkah 3 : Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus untuk f-1(x).
x f x 1 x 1
Fungsi Transenden
Teorema Turunan Fungsi Invers Jika f adalah suatu fungsi yang memiliki invers, dengan g = f - 1 dan f’(g(a)) ≠ 0, maka g dapat diturunkan di a dan g’ (a)=1/f ’(g(a)).
Contoh f(x)=2x+cos x, tentukan (f – 1)’(1). Perhatikan bahwa f’(x) = 2 – sin x > 0, akan dicari f – 1(1); f(0)=1 akibatnya f – 1(f(0)) =0= f – 1(1) Jadi (f – 1)’(1) =1/(f ’ (f – 1(1))) = 1/(f ’ (0)) = ½ Fungsi Transenden
Fungsi Logaritma Asli Perhatikan turunan2 fungsi berikut ini. x2 Dx x 2 x x Dx 2 2
Dx x 2 2 x 1
Kemudian adakah fungsi yang turunannya adalah 1/x?
Dx ????
1 x
Fungsi Transenden
Definisi Logaritma Fungsi logaritma asli dinyatakan dalam ln, didefinisikan sebagai x
1 ln x dt , x 0 t 1
Daerah asalnya adalah himpunan real positip.
Secara Geometri
3
y
1 t dt ln 3 1
y = 1/x
x
Fungsi Transenden
1
3 Luas = ln 3
Turunan Fungsi Logaritma x1 1 Dx ln x Dx dt , x 0. 1 t x
Dengan demikian bila kita akan mencari anti turunan dari fungsi 1/x kita dapatkan
x1 1 Dx ln x Dx dt , x 0. 1 t x
Fungsi Transenden
Penyelesaian Soal
1 Dx ???? , x 1 Dx ln x , x 0 x Dari rumusan ini kita dapat menjawab pertanyaan yang muncul pada awal sub bab ini yakni ln(x) Fungsi Transenden
Teorema A Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi logaritma asli adalah;
Jika a dab b bilangan-bilangan positif dan r sebarang bilangan rasional, maka
(i ). ln 1 0 (ii ) ln ab ln a ln b a (iii ) ln ln a ln b b r (iv ) ln a r ln a
Fungsi Transenden
Contoh Soal Tentukan turunan dari Jawabannya :
3
ln x
Dx ln x 1 .Dx x 3 x 3
1
1 3
1 1 1. x x3 3
2 3
1 . 3x
Fungsi Transenden
Fungsi Eksponen Asli Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh lambang e atau exp; yakni
x exp y y ln x kata exp dikenal dengan lambang e, yg menyatakan bilangan real positip sedemikian rupa sehingga ln e = 1.
Fungsi Transenden
Sifat Fungsi Eksponensial Andaikan a dan b adalah sebarang bilangan real, maka
(i).e e e a
b
a b
a
e a b (ii ) b e e Fungsi Transenden
Turunan & Integral Fungsi Eksponen Dx e x e x x x e dx e C
Karena fungsi logaritma natural dan eksponensial asli adalah fungsi yang saling invers, maka grafik dari kedua fungsi tersebut adalah sebagai berikut y = ex
y ex y=x
y = ln(x)
ln y ln e x ln y x ln e ln y x
Fungsi Transenden
Fungsi Eksponen & Logaritma Umum Definisi Fungsi eksponensial berbasis a didefinisikan sebagai berikut Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x.
a e x
x ln a
Fungsi Transenden
Sifat Fungsi Eksponen & Logaritma Umum Jika a > 0, b > 0, dan x,y adalah bilangan-bilangan real, maka (i )a x a y a x y ax (ii ) y a x y a
(iii ) a x
y
a xy
(iv )ab a x b x x
x
ax a (v) x b b dengan bentuk turunan dan integralnya adalah sebagai berikut;
Dx a x a x ln a ax a dx ln a C, a 1 x
Fungsi Transenden
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 1. Pertumbuhan Populasi dan Peluruhan Radioactive
Glacier National Park, Montana Photo by Vickie Kelly, 2004
Pertumbuhan & Peluruhan Eksponensial Greg Kelly, Hanford High School, Richland, Washington
Fungsi Transenden
Model Peluruhan & Pertumbuhan Eksponensial Pertumbuhan suatu populasi dapat dinyatakan sebagai:
laju perubahan populasi relative terhadap populasi awalnya; misalnya laju pertumbuhan tersebut konstan sebesar k; maka dapat dinyatakan dalam formula berikut;
dy ky dt
Solusi Solusi
Fungsi Transenden
1 dy k dt y 1 y dy k dt
ln y kt C
e
ln y
ekt C
y eC ekt y eC ekt
y Aekt y0 Aek 0 Fungsi Transenden
Diperoleh:
y y0ekt Bila k bernilai positif maka disebut sebagai pertumbuhan eksponensial; dan bila k bernilai negatif disebut sebagai peluruhan eksponensial; yang contohnya ada dalam peluruhan radioaktif. Peluruhan radioaktif dapat digambarkan dalam proses berikut : Alpha Beta +
Gamma Fungsi Transenden
2. Kegunaan pada bahan makanan adalah untuk pengawetan
Fungsi Transenden
Waktu Paruh Bahan Radioaktif
1 y0 y0e kt 2 1 ln ln e kt 2 0 ln1 ln 2 kt
ln 2 kt
ln 2 t k
Fungsi Transenden
Pertumbuhan terbatas Laju pertumbuhan sebanding dengan selisih antara jumlah tertentu dan populasinya. Aplikasi: Penjualan produk terbaru, depresiasi peralatan, pertumbuhan perusahaan, proses belajar, dan sebagainya. Solusi:
Pertumbuhan logistik Laju pertumbuhan sebanding dengan perkalian populasinya dengan selisih antara jumlah tertentu dan populasinya.
Aplikasi: Pertumbuhan populasi jangka panjang, epidemi, penjualan produk baru, penyebaran rumor (gosip), pertumbuhan perusahaan, dan sebagainya
dy M = ky(M - y), k, t > 0, y(0) = 1 + c . dt M y = Solusi: - kM t 1 + ce
M dy dy = kM dt •Bukti: = ky ( M y ) ubah menjadi y ( M y ) dt 1 1 Membuat rasional sederhana: + dy = k M dt y M- y 1 1 + dy = kM dt y M- y y kMt +c1 kMt y = e = c e ln M - y = kMt + c1 atau M - y 2 M- y 1 - kMt - kMt = = c e M y = yc e atau 3 3 y c2ekM t M - kMt y (1 + c3e ) = M atau y = 1 + c e- kM t 3
ò(
)
(
)
ò
M Karena y (0) = 1 + c
maka
M M = 1 + c3 1 + c
sehingga c3 = c. Jadi solusinya adalah y =
M 1 + ce- kM t
Exercise (1) Carbon 14, an isotope of carbon is radioactive and decays at a rate proportional to the amount present. Its half-life is 5730 years; that is, it takes 5730 years for a given amount of carbon 14 to decay to one-half its original size. If 10 grams was present originally, how much will be left after 2000 years? Fungsi Transenden
Answer The half-life of 5730 allows us to determine k, since it implies that 1 1ek (5730) 2 Or, after taking logarithms,
ln 2 570k ln 2 k 0.000121 5730 Thus, y=10e-0.000121t
At t = 2000, that gives
y 10e0.000121(2000) 7.85grams Fungsi Transenden
Exercise (2) The number of bacteria in a rapidly growing culture was estimated to be 10,000 at noon and 40,000 after 2 hours. Predict how many bacteria there will be at 5 P.M.
Fungsi Transenden
Answer We assume that the differential equation kt y y e 0 dy/dt = ky is applicable, so Now we have two conditions (y0=10,000 and y=40,000 at t=2), from which we conclude that
Fungsi Transenden
40,000 10,000e k (2) 4 e2 k Taking logarithms yields ln 4 2k or 1 k ln 4 ln 4 ln 2 2 Thus, y 10,000e(ln 2) t and at t=5, this gives y 10,000e0.693(5) 320,000 Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
